1 Åëåêòðîäèíàìiêà

1 Åëåêòðîäèíàìiêà

Åëåêòðîäèíàìiêîþ íàçèâàþòü ðîçäië ôiçèêè, â ÿêîìó âèâ÷àþòü âçà¹ìîäiþ ìiæ çàðÿäæåíèìè òiëàìè.

• Âçà¹ìîäi¨ ñòîñóþòüñÿ âçà¹ìîäié ìiæ åëåêòðîíàìè òà ÿäðàìè â àòîìàõ òà ìîëåêóëàõ. Òàêîæ åëåêòðîìàãíiòíó ïðèðîäóìàþòü ïðóæíi ñèëè (òåðòÿ òà iíøi).

• Åëåêòðîäèíàìiêà ëåæèòü â îñíîâi åëåêòðîòåõíi÷íèõ äèñöèïëií, òåîði¨ åëåêòðè÷íèõ êië òîùî.

• Åëåêòðîìàãíiòíi ÿâèùà ¹ íàñëiäêîì íàáóâàííÿ òiëàìè åëåêòðè÷íèõ çàðÿäiâ. Öÿ âçà¹ìîäiÿ ïðîÿâëÿ¹òüñÿ ó âèïàäêóíåðóõîìèõ çàðÿäiâ (åëåêòðîñòàòèêà), à òàêîæ äëÿ ðóõîìèõ çàðÿäiâ (ìàãíåòèçì).

• Çäàâàëîñÿ á, ùî öi äâà ïðîÿâè âçà¹ìîäi¨ íå óçãîäæóþòüñÿ ç ïðèíöèïîì âiäíîñíîñòi. Òåîðiÿ Ìàêñâåëà ïîâ'ÿçó¹ åëåêòðè-÷íå òà ìàãíiòíå ïîëÿ i óçãîäæó¹ ïðèíöèï âiäíîñíîñòi ùîäî åëåêòðîìàãíiòíèõ âçà¹ìîäié

1.1 Åëåêòè÷íèé çàðÿä

Åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó òiëà íàáóâàþòü âíàñëiäîê åëåêòðèçàöi¨. Íàïðèêëàä, ïðè äîòèêó åáîíiò-øåðñòü, ñêëî-øîâê. Ïðè âçà¹-ìîäi¨ äâîõ åëåêòðèçîâàíèõ åáîíiòîâèõ ïàëè÷îê âèíèêàþòèìå ñèëà âiäøòîâõóâàííÿ (2 ñêëÿíi ïàëè÷êè àíàëîãi÷íî). Ñêëÿíà iåáîíiòîâà- ïðèòÿãóâàííÿ

Çíàê ñèëè (âiäøòîâõ. ÷è ïðèòÿãàííÿ) îçíà÷à¹, ùî åëåêòðè÷íi çàðÿäè ìîæóòü áóòè äâîõ çíàêiâ - âiä'¹ìíi òà äîäàòíi (îäíî-éìåííîãî âiäøòîâõóþòüñÿ, ðiçíîéìåííîãî ïðèòÿãóþòüñÿ)

Àòîìè ñêëàäàþòüñÿ ç ÿäåð, íàâêîëî ÿêèõ ¹ åëåêòðîíè. Ïðèéíÿòî ââàæàòè, ùî çàðÿä åëåêòðîíà - âiä'¹ìíèé, ÿäåð äîäàòíié.ßäðà ñêëàäàþòüñÿ ç ïðîòîíiâ, êiëüêiñòü ÿêèõ äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi åëåêòðîíiâ, çàðÿä ïðîòîíà äîðiâíþ¹ çàðÿäó åëåêòðîíà, òàì๠iíøèé çíàê

Âñi àòîìè åëåêòðîíåéòðàëüíi ⇒ âåëè÷èíà çàðÿäó íå çàëåæèòü âiä øâèäêîñòi.

Âèõîäÿ÷è ç òàêî¨ áóäîâè àòîìó, åëåêòðèçàöiþ ðå÷îâèíè ìîæíà ïîÿñíèòè çìiíîþ êiëüêîñòi åëåêòðîíiâ â íié. ßêùî ïðè åëå-êòðèçàöi¨ òiëî íàáóâ๠äîäàòíüî¨ êiëüêîñòi åëåêòðîíiâ, òî âîíî ìàòèìå âiä'¹ìíèé çàðÿä. q = −Ne , e = 1.6 · 10−19 Êë

I íàâïàêè, çàðÿä áóäå äîäàòíié ïðè âiääàâàííi åëåêòðîíà. q = Ne

Ââàæà¹òüñÿ, ùî åëåêòðîí íå ì๠ïðîñòîðîâî¨ ñòðóêòóðè ðîçïîäiëó âëàñíîãî çàðÿäó - çàðÿä åëåêòðîíà çîñåðåäæåíèé â òî÷öi.Öå ïîëîæåííÿ ïðîòèði÷èòü ôóíäàìåíòàëüíèì ïîíÿòòÿì, áî â òàêîìó âèïàäêó åíåðãiÿ åëåêòðîíà ïîâèííà áóòè áåçêiíå÷íîþ.Àëå â òîé ÷àñ me = 9.1 · 10−31êã

Ó ïðîòîíà çàðÿä ì๠ïðîñòîðîâèé ðîçïîäië. Äîñëiäè ïîêàçóþòü, ùî âåñü çàðÿä ïðîòîíà çîñåðåäæåíèé íà âiäñòàíi 10−15 ìâiä öåíòðà ïðîòîíà.

dr - òîâùèíà ñôåðè÷íîãî øàðó

ρ(~r)-îá'¹ìíà ãóñòèíà çàðÿäó

Ïëîùà çàçíà÷åíî¨ ôiãóðè ì๠áóòè ðiâíîþ åëåìåíòàðíîìó çàðÿäó. Îñêiëüêè çàðÿä e - åëåìåíòàðíèé

i ìåíøå çàðÿäó íåìà¹, òî çâiäêè ç'ÿâëÿ¹òüñÿ ρ(~r) - îá'¹ìíà ãóñòèíà çàðÿäó?

Äëÿ ïîÿñíåííÿ öüîãî ôàêòó áóëà çàïðîïîíîâàíà ãiïîòåçà ïðî iñíóâàííÿ êâàðêiâ. Ââàæà¹òüñÿ, ùî ïðîòîí ñêëàäà¹òüñÿ ç 3êâàðêiâ

Öå îçíà÷à¹, ùî ïðèïóñêàþòü, ùî öi êâàðêè ðóõàþòüñÿ õàîòè÷íî ïî îá'¹ìó ïðîòîíà.

e e

e

я1.01

1.02

dr

1.03 1.04

1

1.2 Çàêîí çáåðåæåííÿ çàðÿäó. 1 Åëåêòðîäèíàìiêà

1.2 Çàêîí çáåðåæåííÿ çàðÿäó.

Ïðè åëåêòðèçàöi¨ âiäáóâà¹òüñÿ ïåðåõiä ïåâíî¨ êiëüêîñòi åëåêòðîíiâ.

Åëåêòðîí - öå ñòiéêà ÷àñòèíêà ç íåñêií÷åííèì ÷àñîì æèòòÿ, ÿê i ïðîòîíè. ×åðåç öå çàðÿä áóäü-ÿêî¨ ñèñòåìè åëåêòðè÷íèõòië ì๠çáåðiãàòèñÿ çà óìîâè, ùî ñèñòåìà çàìêíóòà (çàêîí çáåðåæåííÿ çàðÿäó)

Ìà¹ìî, ùî∑i

qi = const ;∑i

qi = qïîâí ; qïîâí = const .

Çàêîí çáåðåæåííÿ çàðÿäó ì๠áiëüø ôóíäàìåíòàëüíå òðàêòóâàííÿ. Âií òàêîæ âïëèâ๠íà ïðîöåñè ïåðåòâîðåííÿ åëåìåíòàð-íèõ ÷àñòèíîê ç óòâîðåííÿì íîâèõ çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê.

Íàïðèêëàä, ïðè β-ðîçïàäi óòâîðþþòüñÿ åëåêòðîí, à çàðÿä ÿäðà çáiëüøó¹òüñÿ íà e.

1.3 Çàêîí Êóëîíà

Çàêîí Êóëîíà âèçíà÷๠âçà¹ìîäiþ ìiæ òî÷êîâèìè íåðóõîìèìè çàðÿäàìè. Ðèñ 1.5

Òî÷êîâèìè íàçèâàþòüñÿ çàðÿäè, ðîçìiðè ÿêèõ áàãàòî ìåíøi çà âiäñòàíü äî iíøèõ îá'¹êòiâ.

Fêë = 14πε0

|q1||q2|r2

ε0 = 8.85 · 10−12Ôì

Çàïèøåìî ôîðìóëó çàêîíó Êóëîíà ó âåêòîðíîìó âèãëÿäi

~F12 = 14πε0

q1q2|~r12|2

~r12

|~r12| ;~F21 = 1

4πε0

q1q2|~r21|2

~r21

|~r21|

~r12 = −~r21

~F12 = −~F21

Äî ÿêèõ âiäñòàíåé âèêîíó¹òüñÿ çàêîí Êóëîíà?

Çàêîí Êóëîíà âèêîíó¹òüñÿ äëÿ r > 10−15ì

Âçà¹ìîäiþ ìiæ çàðÿäàìè çäiéñíþþòü øëÿõîì îáìiíó âiðòóàëüíèìè ôîòîíàìè. Î÷åâèäíî, ùî maxλm(äîâæèíà õâèëi ïðèòà-ìàííà ôîòîíàì, ìàêñ.) ì๠äàòè âåðõíþ ìåæó, äëÿ ÿêî¨ âèêîíó¹òüñÿ çàêîí Êóëîíà.

Íàéìåíøà ÷àñòîòà åëåêòðîìàãíiòíî¨ õâèëi, ùî ñïîñòåðiãà¹òüñÿ â ïðèðîäi ¹ õâèëÿ Øóìàíà. Äëÿ νmin ∼ 8 Ãö òà rmax ∼107ìçàêîí Êóëîíà ùå âèêîíó¹òüñÿ.

1.05

+ +

+ -1.06

q>0

q<0

q

qпр

1.4 Íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

Åëåêòðîñòàòè÷íå ïîëå ì๠ïîëüîâó ïðèðîäó.

Çàðÿä â îòî÷óþ÷îìó ïðîñòîði ñòâîðþ¹ åëåêòðè÷íå ïîëå, à öå ïîëå ÷èíèòü äiþ íà iíøèé çàðÿä. Âiäïîâiäíî iíøèé çàðÿäñòâîðþ¹ ñâî¹ ïîëå, ùî ÷èíèòü ñèëîâó äiþ íà ïåðøèé çàðÿä. Íà çàðÿäè ñèëîâó äiþ ÷èíÿòü åëåêòðè÷íi ïîëÿ.

Äëÿ îçíà÷åííÿ ââîäÿòü âåêòîð íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ. Âèçíà÷à¹ìî éîãî ç ôîðìóëè ~E =~F

qïðîá

~F - ñèëà, ç ÿêîþ ïîëå äi¹ íà qïðîá.

qïðîá > 0, qïðîá ì๠áóòè äîñòàòíiì, ùîá âèìàãàòè ñèëó ~F , àëå òàêèì, ùîá íå ñòâîðèòè ïîëå.

~F = q ~E

Çíàþ÷è âåêòîð íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ, çíàõîäèìî ñèëó, ùî äîðiâíþ¹ äîáóòêó âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãîïîëÿ i áóäü-ÿêîãî çàðÿäó.

Îñòàííÿ ôîðìóëà âèçíà÷๠ñèëó äi¨ íà ïåâíèé çàðÿä (íå qïðîá).

2

1.4 Íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ. 1 Åëåêòðîäèíàìiêà

1.4.1 Íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó (ðèñ 1.06)

~Fê =qqïð

4πε0r2~rr

~E =~Fêqïð

= q4πε0r2

~rr

~er = ~rr - îðò ðàäióñ âåêòîðà

~E = q~er4πε0r2

1.4.2 Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨ äëÿ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Äëÿ åëåêòðè÷íèõ ïîëiâ âèêîíó¹òüñÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨, çà ÿêèì íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ â ò. ïðîñòîðó äîðiâíþ¹ñóìàðíié íàïðóæåíîñòi âñiõ íàïðóæåíîñòåé ïîëiâ â öié òî÷öi ~E =

∑i

~Ei.

Áåðåìî 2 ïîëÿ i òî÷êó ~E1, ~E2. ~E = ~E1 + ~E2

Ó öié òî÷öi çàðÿä q~F = q ~E = q( ~E1 + ~E2) = q ~E1 + q ~E2 = ~F1 + ~F2

Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨ ïðèçâîäèòü äî íåçàëåæíîñòi äi¨ ñèë ç áîêó êîæíîãî ç ïîëiâ

Íàïðóæåíiñòü âñåðåäèíi àòîìiâ 1011 − 1017 Âì. Íà ïîâåðõíi âàæêîãî ÿäðà E ~ 1022 Â

ì

Íåçâàæàþ÷è íà öå, äîñëiäè ïîêàçóþòü, ùî ïðèíöèïè ñóïåðïîçèöi¨ âèêîíóþòüñÿ ç âèñîêîþ òî÷íiñòþ, àëå ìîæëèâà ïîëÿðèçàöiÿâàêóìó.

1.4.3 Åëåêòðè÷íå ïîëå ñèñòåìè òî÷êîâèõ çàðÿäiâ (ðèñ 1.7)

~E =∑i

~Ei

~E1 = 14πε0

q1(~r−~r1)|~r−~r1|3

~Ei = 14πε0

q1(~r−~ri)|~r−~ri|3

~E =∑i

14πε0

qi(~r−~ri)|~r−~ri|3

Ex =∑i

14πε0

qi(x−xi)((x−xi)2+(y−yi)2+(z−zi)2)

32

1.4.4 Íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íåïåðåðâíî ðîçïîäiëåíèõ çàðÿäiâ

1.4.4.1 Îá'¹ìíèé ðîçïîäië Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðîçïîäiëó íåïåðåðâíèõ çàðÿäiâ ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ãóñòèíè ðîçïîäiëåíèõçàðÿäiâ

ρ = ∆q

∆V, ∆V → 0.

∆q → ∆V, ρ = dqdV

Âiäïîâiäíî dq = ρdV (ðèñ 1.8)

Íàì âiäîìà îá'¹ìíà ãóñòèíà ρ

Òðåáà ðîçðàõóâàòè ~E â ò. À, ïîëîæåííÿ ÿêî¨ çàäà¹òüñÿ ðàäióñ-âåêòîðîì ~r

Ðîçiá'¹ìî íà ìàëi äiëÿíêè dV .

dq = ρ(~r)dV , dq - òî÷êîâèé

d ~E = 14πε0

dq|~r−~r′|2

~r−~r′|~r−~r′|

E = 14πε0

´V

ρ(~r′)(~r−~r′)dV|~r−~r′|3 (äëÿ îá'¹ìíî ðîçïîäiëåííîãî çàðÿäó)

3

1.5 Ñèëà âçà¹ìîäi¨ ìiæ çàðÿäæåíèìè òiëàìè 1 Åëåêòðîäèíàìiêà

1.4.4.2 Ïîâåðõíåâèé ðîçïîäië Ó ïðîâiäíèêiâ çàðÿäè ðîçïîäiëÿþòüñÿ ïî ïîâåðõíi.

Ïî ïîâåðõíi çàäàþòü ïîâåðõíåâîþ ãóñòèíîþ çàðÿäiâ

σ = ∆q

∆S,∆ S → 0

∆q → ∆S, σ = dqdS

dq = σdS

Ðîçãëÿíåìî äîâiëüíå òiëî (ðèñ 1.09 (â ðîçðîáöi) )

d ~E = 14πε0

dq|~r−~r′|2

~r−~r′|~r−~r′|

~E(~r) = 14πε0

´S

σ(~r)(~r−~r′)ds|~r−~r′|3

1.4.4.3 Ëiíiéíèé ðîçïîäië Ó âèïàäêó ëiíiéíîãî ðîçïîäiëó çàðÿäó

λ = ∆q

∆l, ∆l→ 0, λ = dq

dl ,

dq = λdl

Áåðåìî çàðÿäæåíó íèòêó (ðèñ 1.10)

~Eâ ò. À õàðàêòåðèçó¹ ~r

dq = λ(~r′)dl

d ~E = 14πε0

· dq|~r−~r′|2 ·

~r−~r′|~r−~r′|

~E(~r) = 14πε0

´l

λ(~r′)(~r−~r′)dl|~r−~r′|3

[ρ] = Êëì3

[σ] = Êëì2

[λ] = êëì

1.5 Ñèëà âçà¹ìîäi¨ ìiæ çàðÿäæåíèìè òiëàìè

Ðîçãëÿíåìî 2 òiëà îá'¹ìíà ãóñòèíà êîòðèõ ρ1 i ρ2 (ðèñ 1.11)

F =´~E1dq2

ðîçðàõó¹ìî ñèëó. ç ÿêîþ 1 äi¹ íà 2

dq1, dq2 - òî÷êîâi, òîäi

d~F = 14πε0

dq1dq2(~r′′−~r′)|~r′′−~r′|3

~F = 14πε0

´V1

´V2

ρ1(~r′)ρ2(~r′′)(~r′′−~r′)dV1dV2

|~r′′−~r′|3

àáî ó âèïàäêó ïîâåðõíåâîãî ðîçïîäiëó çàðÿäó äðóãîãî òiëà

~F = 14πε0

´V1

´S2

ρ1(~r′)σ2(~r′′)(~r′′−~r′)dV1dS2

|~r′′−~r′|3

1.11

1

2

1.12 1.13

4

1.6 Ñèëîâi ëiíi¨ 2 Ðîáîòà åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó

1.6 Ñèëîâi ëiíi¨

Âåêòîðíå åëåêòðè÷íå ïîëå ìîæíà õàðàêòåðèçóâàòè çà äîïîìîãîþ ñèëîâèõ ëiíié.

Ñèëîâèìè ëiíiÿìè íàçèâàþòü ëiíi¨ â ïðîñòîði, äîòè÷íi äî ÿêèõ ñïiâïàäàþòü ç âåêòîðîì íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

Áåðåìî ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ 1.12)

d~ ~E ⇒ [~R · d~] = 0

~E = Ex~i+ Ey~j + Ez~k

d~=~idx+~jdy + ~kdz

dxEx

= dyEy

= dzEz- äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ çà äîïîìîãîþ ÿêîãî ìîæíà ðîçðàõóâàòè ñèëîâó ëiíiþ

Áåðåìî òî÷êó (x0, y0, z0)⇒ Ex(x0, y0, z0), Ey(x0, y0, z0), Ez(x0, y0, z0).

x1 = x0 + dx

y1 = y0 +Ey(x0,y0,z0)Ex(x0,y0,z0)dx

z1 = z0 + Ez(x0,y0,z0)Ex(x0,y0,z0)dx

Çíàéøëè 1 òî÷êó. Çíàõîäèìî iíøó òî÷êè àíàëîãi÷íî

x2 = x1 + dx

y2 = y1 +Ey(x1,y1,z1)Ex(x1,y1,z1)dx

z2 = z1 + Ez(x1,y1,z1)Ex(x1,y1,z1)dx

2 Ðîáîòà åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó

Ðîçãÿíåìî òî÷êîâèé äîäàòíié çàðÿä q. q - íåðóõîìèé (ïîëîæåííÿ ôiêñîâàíå). Áåðåìî iíøèé q′ - ðóõîìèé (ðèñ 1.13)

Çðîçóìiëî, ùî ïðè äàíîìó ðóñi âèêîíó¹òüñÿ ðîáîòà

~E = 14πε0

qr2~er

~F = q′ ~E

Î÷åâèäíî dA = ~Fd~r

d~r- ðàäióñ âåêòîð ïåðåìiùåííÿ çàðÿäó q′

Î÷åâèäíî, ùî d~r ìîæåìî ðîçêëàñòè íà 2 ñêëàäîâi

d~r = d~r‖ + d~r⊥

d~r‖ ~F

d~r‖ ~r

dA = ~F ~dr‖ = Fdr = q′qdr4πε0r2

dr- ïðèðiñò |~r|

A =r2

r1

dA =r2

r1

q′qdr4πε0r2 = q′q

4πε0

r2

r1

drr2 = − q′q

4πε01r |

r2r1= q′q

4πε0( 1r1− 1

r2)

Ðîáîòà íå çàëåæèòü âiä ôîðìè òðàåêòîði¨ à âèçíà÷à¹òüñÿ ëèøå ïî÷àòêîâèì òà êiíöåâèì ïîëîæåííÿì çàðÿäiâ. Îòæå, åëåêòè÷íåïîëå òî÷êîâîãî çàðÿäó ¹ ïîòåíöiàëüíèì.

Î÷åâèäíî, ùî âåëè÷èíà ïîòåíöiàëüíî¨ åíåðãi¨ âçà¹ìîäi¨ äâîõ òî÷êîâèõ çàðÿäiâ ì๠âèãëÿä W = q′q4πε0r

5

2.1 Äèôåðåíöiéíà óìîâà ïîòåíöiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ 2 Ðîáîòà åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó

2.1 Äèôåðåíöiéíà óìîâà ïîòåíöiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Ðàíiøå ç'ÿñîâàíî, ùî A = q′q4πε0

( 1r1− 1

r2) íå çàëåæèòü âiä ôîðìè òðàåêòîði¨.

ßêùî ïîëå ïîòåíöiàëüíå, òî ðîáîòà íà çàìêíåíié òðàåêòîði¨ äîðiâíþ¹ 0.

A =¸~Fd~r = 0

~F = q′ ~E

Äëÿ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ öèðêóëÿöiÿ âåêòîðà ~E äîðiâíþ¹ 0

Óìîâà ïîòåíöiàëüíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ â iíòåãðàëüíîìó âèãëÿäi¸~Ed~r = 0

~Ed~r = Exdx+ Eydy + Ezdz

Íåçàëåæíiñòü ðîáîòè âiä ôîðìè òðàåêòîði¨ òà ðiâíiñòü íóëþ öèðêóëÿöi¨ îçíà÷à¹, ùî ~Ed~r = Exdx + Eydy + Ezdz ¹ ïîâíèìäèôåðåíöiàëîì.

òîäi äëÿ ïîâíîãî äèôåðåíöiàëó ïðîåêöiÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ì๠çàäîâiëüíÿòè óìîâàì∂Ey∂x −

∂Ex∂y = 0

∂Ex∂z −

∂Ez∂x = 0

∂Ez∂y −

∂Ey∂z = 0

Î÷åâèäíî, ùî âèðàçè çëiâà ¹ ïðîåêöiÿìè ðîòîðà âiä âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

~i ~j ~k

rot ~E = ∂∂x

∂∂y

∂∂z =~i(∂Ez∂y −

∂Ey∂z )−~j(∂Ez∂x −

∂Ex∂z ) + ~k(

∂Ey∂x −

∂Ex∂y )

Ex Ey Ez

Òàêèì ÷èíîì äèôåðåíöiàëüíà óìîâà ïîòåíöiàëüíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íàáóâ๠âèãëÿäó: rot ~E = 0

2.2 Ïîòåíöiàë åëåêòðîñòàòè÷íîãî ïîëÿ

 ïîïåðåäíüîìó ïóíêòi ìè âèçíà÷èëè, ùî ~Ed~r = Exdx+ Eydy + Ezdz ¹ ïîâíèì äèôåðåíöiàëîì. Éîãî ââîäÿòü ùå é òàê

dϕ = − ~Ed~r = −(Exdx+ Eydy + Ezdz)

dϕ = ∂ϕ∂x dx+ ∂ϕ

∂y dy + ∂ϕ∂z dz

Ïðèðiâíþþ÷è âèðàçè, îòðèìà¹ìî:

Ex = −∂ϕ∂x , Ey = −∂ϕ∂y , Ez = −∂ϕ∂zÎ÷åâèäíî, ùî ÷àñòèííi ïîõiäíi âiä ïîâíîãî äèôåðåíöiàëó ¹ ãðàäi¹íòîì âiä íüîãî

~E = −(∂ϕ∂x~i+ ∂ϕ

∂y~j + ∂ϕ

∂z~k)

~E = −gradϕ = −dϕd~r

ϕ(~r) = ϕ(~r0)−~r

~r0

~Ed~r

Ïîòåíöiàë - öå ñêàëÿðíà ôóíêöiÿ ïîëÿ, ãðàäi¹íò ÿêî¨, âçÿòèé çi çíàêîì ìiíóñ, ¹ íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Ç âèçíà÷åííÿ dA = ~Fd~r = qEd~r = −qdϕ

Îòæå, A = q(ϕ1 − ϕ2)

ϕ1 − ϕ2 =∆ ϕ

1 o-→o 2

ϕ1 − ϕ2 = U

U - íàïðóãà

Òàêîæ ðîáîòó ìîæíà çàïèñàòè A = W1 −W2

Òîäi W = qq′

4πε0r= qϕ

Ç ðiâíîñòi A = q(ϕ1 − ϕ2) âèïëèâà¹, ùî ïîòåíöiàë òî÷êîâîãî çàðÿäó ϕ = q′

4πε0r

6

2.3 Åêâiïîòåíöiàëüíi ïîâåðõíi 3 Ïîòiê âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

2.3 Åêâiïîòåíöiàëüíi ïîâåðõíi

Åêâiïîòåíöiàëüíèìè ïîâåðõíÿìè íàçèâàþòü içîïîòåíöiàëüíi ïîâåðõíi ç ïîñòiéíèì ïîòåíöiàëîì, òîáòî ϕ(~r) = const (ðèñ 2.01)

ßêùî ïîâåðõíÿ åêâiïîòåíöiàëüíà, òîäi ¨¨ ïîòåíöiàë ïîñòiéíèéϕ(~r) = ϕ(~r + d~r) = const, òîäi dϕ(~r) = ∂ϕ∂xdx+ ∂ϕ

∂y dy + ∂ϕ∂z dz=0

d~r = dx~i+ dy~j + dz~k, ~E = −~i∂ϕ∂x −~j∂ϕ∂y − ~k

∂ϕ∂z , dϕ = ~Ed~r = 0, ~E ⊥ d~r,

~E ⊥ içîïîâåðõíi (ôîðìó ïîâåðõíi ÷àñòî çàäàþòü íîðìàëëþ ~r)

2.01

Y

X

O

Z

2.02

3 Ïîòiê âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Ðîçãëÿíåìî äîâiëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå. Öå îçíà÷à¹, ùî íàì â êîæíié òî÷öi ïðîñòîðó âiäîìèé âåêòîð ~E(~r), ~r → ~E(~r) (ðèñ 2.02)

Âiçüìåìî äîâiëüíó ïîâåðõíþ S.  êîæíié òî÷öi ïîâåðõíi ìà¹ìî âåêòîð ~Å. Âiçüìåìî äiëÿíêó ïîâåõíi. Ïëîùà äiëÿíêè ∆S. Ïðè∆S → 0 , ∆S = ds. Äëÿ îçíà÷åííÿ íàïðÿìëåíîñòi ââåäåìî âåêòîð ~n ⊥ ds. Ââåäåìî âåêòîð åëåìåíòàðíî¨ ïîâåðõíi d~S = ~ndS

|d~S| = dS

Åëåìåíòàðíèé ïîòiê âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ÷åðåç åëåìåíòàðíó ïîâåðõíþ dS âèçíà÷à¹òüñÿ ó âèãëÿäi ñêà-ëÿðíîãî äîáóòêó

dΦE = ~Ed~S = ~E~ndS = EcosαdS

Âåëå÷èíà ïîòîêó âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ âèçíà÷à¹òüñÿ iíòåãðàëîì

ΦE =´S

dΦE =´S

~Ed~S =´s

~E~ndS

3.1 Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó òî÷êîâèé çàðÿä q, ùî ñòâîðþ¹ åëåêòðè÷íå ïîëå íàâêîëî ñåáå

q → ~E(~r) = 14πε0

q~err2

~er ~r

~r- ïî÷àòîê íà çàðÿäi q (ðèñ 1.16)

Îòî÷èìî çàðÿä q ñôåðè÷íîþ ïîâåðõíåþ ðàäióñà R òàê, ùî ò.Î ñïiâïàä๠ç q. ò.O → q

Ìè ìà¹ìî, ùî ~er(Îäèíè÷íèé âåêòîð) íàïðÿìëåíèé ÿê íà ðèñ. 1.16

 öüîìó âèïàäêó ðàäióñ ñôåðè ñïiâïàä๠ç ðàäióñ-âåêòîðîì íà ¨¨ ïîâåðõíi. Òîäi åëåìåíòàðíèé ïîòiê ÷åðåç åëåìåíòàðíó äiëÿíêóïîâåðõíi:

dΦE = ~E~ndS = 14πε0

qr2~er~ndS = 1

4πε0

qr2 dS

Ðîçðàõó¹ìî ïîâíèé ïîòiê ÷åðåç çàìêíåíó ïîâåðõíþ¸S

- iíòåãðàë ïî çàìêíåíié ïîâåðõíi

ΦE =¸S

~E~ndS =¸S

14πε0

qr2 dS

Ó âèïàäêó, êîëè ìè ìà¹ìî ñôåðó ïðè ðîçðàõóíêó îñòàííüîãî iíòåãðàëó äëÿ çàçíà÷åíî¨ ñôåðè R2 ¹ êîíñòàíòà (ìîæíà âèíåñòèçà çíàê iíòåãðàëó)

ΦE = q4πε0r2

¸S

dS = q4πε0r2S = q4πr2

4πε0r2 = qε0

ΦE = qε0

7

3.2 Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ â äèôèðåíöiéíié ôîðìi3 Ïîòiê âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

Ìè ðîçãëÿíóëè ïðîñòèé âèïàäîê. À òåïåð çíàéäåìî ïîòiê â çàãàëüíîìó âèïàäêó, êîëè ïîâåðõíÿ, ùî îòî÷ó¹ çàðÿä ¹ äîâiëüíîþ(ðèñ 1.17)

φE =¸S

~E~ndS =¸S

| ~E|cosαdS =¸S

qcosαdS4πε0r2

Ðîçãëÿíåìî âiäíîøåííÿcosαdSr2 = dS⊥

r2

dS⊥- ïðîåêöiÿ d~S íà ðàäióñ âåêòîðdS⊥r2 = dΩ

dΩ - âåëå÷èíà åëåìåíòàðíîãî òiëåñíîãî êóòà

ΦE = q4πε0

¸s

dΩ = q4πε0

4π

Äëÿ äîâiëüíîãî òî÷êîâîãî çàðÿäó ΦE = qε0

Ìè îòî÷èëè äîâiëüíèé òî÷êîâèé çàðÿä äîâiëüíîþ çàìêíåíîþ ïîâåðõíåþ, i îòðèìàëè, ùî äëÿ äîâiëüíîãî òî÷êîâîãî çàðÿäóîòî÷åíîþ äîâiëüíîþ ïîâåðõíåþ ΦE = q

ε0¸S

~Ed~S =´S1

~Ed~S +´S2

~Ed~S < 0

ßêùî çàðÿä çíàõîäèñÿ âñåðåäèíi, òî ïîòiê åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ qε0. ßêùî çàðÿä çíàõîäèòüñÿ çà ìåæàìè ïîâåðõíi, òî ïîòiê

äîðiâíþ¹ íóëþ. (ðèñ 1.18)

Îáèäâi öi ïîâåðõíi ìàþòü îäèí i òîé ñàìèé òiëåñíèé êóò. Â ðåçóëüòàòi, îñêiëüêè òiëåñíèé êóò îäíàêîâèé, à çíàêè iíòåãðàëiâðiçíi, öÿ ñóìà áóäå äîðiíþâàòè íóëþ.¸S

~Ed~S =´S1

~Ed~S +´S2

~Ed~S = 0

Ðîçãëÿíåìî äîâiëüíèé òî÷êîâèé çàðÿä àáî ñèñòåìó çàðÿäiâ. Ðåçóëüòóþ÷à íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ äîðiíþ¹ ñóìiíàïðóæåíîñòåé. (ðèñ 1.19)

E =∑i

~Ei- ðåçóëüòóþ÷à íàïðóãà.

ΦE =¸S

Ed~S =¸S

∑i

~Eid~S =∑i

¸S

~Eid~S =∑i

ΦEi =∑j

qjε0

Òàì ñòî¨òü iíøà ñóìà, òîìó ùî ìè ìà¹ìî âðàõóâàòè òiëüêè òi çàðÿäè, ÿêi çíàõîäÿòüñÿ âñåðåäèíi ïîâåðõíi.

Ñóìó∑j

qj íàçâåìî qoxoïë- çàðÿä, ÿêèé çíàõîäèòñÿ âñåðåäèíi ïîâåðõíi.

Îòæå, òåîðåìà Ãàóñà â iíòåãðàëüíîìó âèãëÿäi ì๠íàñòóïíèé âèãëÿä: ΦE = qoxoïëε0

,¸S

~Ed~S = qoxoïëε0

3.2 Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ â äèôèðåíöiéíié ôîðìi

Çà òåîðåìîþ Ãàóñà ìà¹ìî ΦE = qoxoïëε0

.

Ó ðàçi íåïåðåðâíîãî ðîçïîäiëó çàðÿäó qoxoïë =´V

ρdV , äå V- îá'¹ì îõîïëåíèé ïîâåðõíåþ, ρ- ðîçïîäië çàðÿäó.

ΦE = 1ε0

´V

ρdV =¸S

~Ed~S (ðèñ 1.20)

Íàâåäåìî ôîðìóëþâàííÿ ìàòåìàòè÷íî¨ òåîðåìè Îñòðîãðàäñüêîãî-Ãàóñà, ó âiäïîâiäíîñòi ç ÿêîþ ïîòiê âåêòîðà ~A ÷åðåç ïî-âåðõíþ äîâiëüíîãî õàðàêòåðó

¸S

~AdS =´V

div ~AdV .

~A = Ax~i+Ay~j +Az~k

div ~A = ~∇ ~A = ( ∂∂x~i+ ∂

∂y~j + ∂

∂z~k) · (Ax~i+Ay~j +Az~k) = ∂Ax

∂x +∂Ay∂y + ∂Az

∂z

~E → ~A¸S

~Ed~S =´V

div ~Ed~V = 1ε0

´V

ρdV

Îáèäâà iíòåãðàëè ðîçðàõîâóþòüñÿ ïî îäíîìó i òîìó æ îá¹ìó ÿêèé îõîïëåíèé äîâiëüíîþ ïîâåðõíåþ. div ~E = ρε0

Îñêiëüêè öÿ ðiâíiñòü âèêîíó¹òüñÿ äëÿ äîâiëüíèõ ïîâåðõîíü i äîâiëüíèõ îá'¹ìiâ,~∇ ~E = ρε0.

Îòðèìàíèé âèðàç ¹ Òåîðåìîþ Ãàóñà â äèåðåíöiàëüíié ôîðìi.

Éîãî ìîæíà òàêîæ ïåðåïèñàòè íàñòóïíèì ÷èíîì: ∂Ex∂x +∂Ey∂y + ∂Ez

∂z = ρε0

(ëîêàëüíèé çàïèñ)

8

3.3 Ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà 3 Ïîòiê âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ

3.3 Ðiâíÿííÿ Ïóàññîíà

Çàïèøåìî òåîðåìó Ãàóñà â äèôåðåíöiàëüíié ôîðìi.∂Ex∂x +

∂Ey∂y + ∂Ez

∂z = ρε0

Öå ðiâíÿííÿ ìiñòèòü 3 íåâiäîìèõ ôóíêöi¨ i íåçðó÷íå äëÿ ðîçðàõóíêiâ. Çãàäà¹ìî, ùî ~E = −gradϕ òà ðîçïèøåìî ~E = −~∇ϕ. Âðåçóëüòàòi ìè ìîæåìî âèêîíàòè ïiäñòàíîâêó.

~E = −∂ϕ∂x~i−∂ϕ∂y~j − ∂ϕ

∂z~k

Ex = −∂ϕ∂x , Ey = −∂ϕ∂y , Ez = −∂ϕ∂z∂(− ∂ϕ∂x )

∂x +∂(− ∂ϕ∂y )

∂y +∂(− ∂ϕ∂z )

∂z = ρε0

∂2ϕ∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ∂z2 = − ρ

ε0

Öå ðiâíÿííÿ ìiñòèòü îäíó íåâiäîìó ôóíêöiþ Ðîçâÿçêè òàêèõ ðiâííü ðîçâÿçóþòü çà äîïîìîãîþ ìåòîäiâ ìàòôiçèêè. Ïðèρ = 0 çàçíà÷åíå ðiâíÿííÿ íàçèâà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì Ëàïëàñà. Âîíî äîçâîëÿ¹ ðîçðàõóâàòè íàïðóæåíiñòü åëåêòðè÷íîãî ïîëÿçà âiäñóòíîñòi çàðÿäó.

3.4 Ïðèêëàäè ðîçðàõóíêó åëåêòðè÷íèõ ïîëiâ çà äîïîìîãîþ òåîðåìè Ãàóñà

3.4.1 Çàðÿäæåíà ïëîùèíà (ðèñ 1.21)

ΦE = qoxoïëε0

, qoxoïë = σ · Sîñí

ΦE =¸S

Ed~S = 2´

Sîñí

~Ed~S +´

Sái÷íà

~Ed~S ,´

Sái÷íà

~Ed~S = 0

Ìà¹ìî ïëîùèíó, ÿêà îäíîðiäíî çàðÿäæåíà σ

~E ⊥ d~S(Sái÷í), áî ~E ds

ΦE =´

Sîñí

Eds = 2ESîñí = σSîñíε0

E = σ2ε0

3.4.2 Çàðÿäæåíà íèòêà (ðèñ. 1.22)

Íèòêà ì๠ãóñòèíó çàðÿä, r- íàéìåíøà âiäñòàíü âiä òî÷êè äî íèòêè. ïîëå îäíàêîâå íà ñòîðîíàõ öèëiíäðó

ΦE = qoxoïëε0

, qoxoïë = λh

ΦE =¸S

~Ed~S =´

Sái÷íà

~Ed~S + 2´

Sîñí

~Ed~S =´

Sái÷íà

~Ed~S = Eh2πr= λhε0

´Sîñí

~Ed~S = 0 ( ~E ⊥ d~S)

E = λ2πε0r

9

4 Åëåêòðè÷íå ïîëå â äiåëåêòðèêàõ

ϕ(r) = ϕ(r0)−R

r0

E(r)dr

ϕ(r) = ϕ(r0)−r

r0

λ2πε0r

dr = ϕ(r0)− λ2πε0

ln( rr0 )

4 Åëåêòðè÷íå ïîëå â äiåëåêòðèêàõ

Äiåëåêòðèêàìè íàçèâàþòü ðå÷îâèíè, ÿêi íå ïðîâîäÿòü åëåêòðè÷íèé ñòðóì.  íèõ âiäñóòíi òàê çâàíi âiëüíi çàðÿäè, ÿêi ìîæóòüïåðåìiùóâàòèñü â îá'¹ìi öi¹¨ ðå÷îâèíè, iíøèìè ñëîâàìè âñi çàðÿäè äiåëåêòðèêà ëîêàëiçîâàíi ó ìåæàõ àòîìiâ ÷è ìîëåêóë.Ïðè ðîçòàøóâàííi äiåëåêòðèêà â çîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi ñïîñòåðiãà¹òüñÿ ñïîòâîðåííÿ öüîãî ïîëÿ. (ðèñ 1.23)

Ñïîñòåðiãà¹ìî ïîëå ~E′ âñåðåäèíi (ñò๠íå òàêèì, ÿêáè äiåëåêòðèêà íå áóëî, ~E′ 6= ~E ). Áiëüøå òîãî, äîñëiäè ïîêàçóþòü, ùî|E′| < E. Ïîëå ~E′′ ïîðÿä ç äiåëåêòðèêîì, àëå íå âñåðåäèíi äiåëåêòðèêà, òàêîæ ñïîòâîðþ¹òüñÿ i ~E′′ 6= ~E.

Î÷åâèäíî, ùî ïîëå ~Å ìîæóòü çìiíèòè òiëüêè çàðÿäè. Çìiíà ïîëÿ â äiåëåêòðèêó âiäáóâà¹òüñÿ âíàñëiäîê ÿâèùà ïîëÿðiçàöi¨.Íà ïîâåðõíi äiåëåêòðèêà ñòâîðþþòüñÿ òàê çâàíi ïîëÿðiçàöiéíi çàðÿäè, ÿêi i ñïîòâîðþþòü åëåêòðè÷íå ïîëå. ~Å

′′- ïîëÿðiçàöiéíi

çàðÿäè. Î÷åâèäíî, ùîá ïîÿñíèòè öå ÿâèùå íåîáõiäíî çâåðíóòè óâàãó íà àòîìíó áóäîâó ðå÷îâèíè. Ñëiä ïðèïóñòèòè, ùî ïiääi¹þ ïîëÿ âiäáóâà¹òüñÿ åôåêò ïîëÿðiçàöi¨ àòîìà, ïðè ÷îìó öå âiäáóâà¹òüñÿ âïîðÿäêîâàíî, òîáòî âñi àòîìè ïîëÿðèçóþòüñÿîäíàêîâèì ÷èíîì, òàê ùî â ñóìi óòâîðþþòüñÿ ïîâåðõíåâi ìàêðîñêîïi÷íi çàðÿäè (çàðÿäè â àòîìi - ìiêðîñêîïi÷íi).

Ìîëåêóëà, íàïðèêëàä, H2O â öiëîìó åëåêòðîíåéòðàëüíà. Ìiñòèòü àòîì êèñíþ òà äâà àòîìó âîäíþ, ïðè ÷îìó ó àòîìó êèñíþáiëüøà ñïîðiäíåíiñòü äî åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó, íiæ ó âîäíþ. Òîìó ïîçèòèâíi çàðÿäè çîñåðåäæåíi íà êèñíi, à íåãàòèâíi íàâîäíi. (ðèñ 1.24à)

 ðåçóëüòàòi îòðèìà¹ìî, ùî ó ìîëåêóëè âîäè öåíòð ðîçïîäiëó äîäàòíüîãî i âiä¹ìíîãî çàðÿäó íå ñïiâïàäàþòü. Iíøèìè ñëîâàìèòàêà ìîëåêóëà â åëåêòðè÷íîìó âiäíîøåíi ïðåäñòàâëÿ¹ ñîáîþ ñèñòåìó äâîõ îäíàêîâèõ çà âåëè÷èíîþ çàðÿäiâ ïðîòèëåæíîãîçíàêó ðîçíåñåíèõ íà ïåâíó âiäñòàíü.

Ðîçãëÿäà¹ìî ñèñòåìó çà âiäñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ. Òàêà ìîëåêóëà ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà ñóêóïíiñòþ (ðèñ 1.25)

Çàðÿäè ìîëåêë çà âiäñóòíîñòi ïîëÿ îði¹íòóþòüñÿ õàîòè÷íî. ßêùî òåïåð ìè òàêó ñèñòåìó âíåñåìî â åëåêòðè÷íå ïîëå ~Å, òîïiä äi¹þ ïîëÿ ìè áóäåìî ìàòè òàêó ñèñòåìó, ÿê íà ðèñ 1.26

Òîáòî ïiä äi¹þ çîâíiøíüãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïîëÿðiàöiéíå âïîðÿäêóâàííÿ çàðÿäiâ â ìîëåêóëàõ.

Âñåðåäèíi äiåëåêòðèêà ñèñòåìà åëåêòðîíåéòðàëüíà, à çîâíi óòâîðþþòüñÿ ìàêðîñêîïi÷íi äîäàòíi òà âiä¹ìíi çàðÿäè. Öå i ¹ïîëÿðiçàöiéíi çàðÿäè. Öå i ¹ ïîëÿðiçàöiéíå ÿâèùå äiåëåêòðèêà.

Ó ìîëåêóë H2Î, HCl, NH3, ... - çàðÿäè íå ñïiâïàäàþòü

4.1 Äèïîëü

Äèïîëåì íàçèâàþòü ñèñòåìó äâîõ òî÷êîâèõ çàðÿäiâ îäíàêîâèõ çà âåëè÷èíîþ, àëå ïðîòèëåæíèõ çà çíàêîì, ÿêi çíàõîäÿòüñÿíà âiäñòàíi `. (ðèñ. 1.27)

10

4.2 Âåêòîð ïîëÿðiçàöi 4 Åëåêòðè÷íå ïîëå â äiåëåêòðèêàõ

Öÿ ñèñòåìà ñòàíå äèïîëåì, êîëè òî÷êà ñïîñòåðåæåííÿ r>>`. Àòîìè, ÿêi ìàþòü ðiçíi öåíòðè ðîçïîäiëó çàðÿäó ìîæíà ðîç-ãëÿäàòè ÿê äèïîëi. Ìîæåìî ââåñòè ðàäióñ âåêòîð ~= ~r+ − ~r−, ùî íàçèâà¹òüñÿ ïëå÷å äèïîëÿ. Ïîçíà÷èìî q = |q+| = |q−|.Äîäàòíié çàðÿä äèïîëÿ íàçèâàòü çàðÿäîì äèïîëÿ.

~pä = q~l- äèïîëüíèé ìîìåíò.

ßñíî, ùî â îäíîðiäíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi ñèëà, ÿêà äi¹ íà äèïîëü çi ñòîðîíè ïîëÿ áóäå ðiâíîþ íóëþ.~F = ~F+ + ~F− = q+

~E + q− ~E = q ~E − q ~E = 0 (ñèñòåìà åëåêòðîíåéòðàëüíà).

Ñèëà, ÿêà äi¹ íà äèïîëü â îäíîðiäíîìó åëåêðè÷íîìó ïîëi = 0. ßêùî ïîëå íå îäíîðiäíå, òî ñèëà 6= 0.

Ðîçãÿíåìî äèïîëü â îäíîðiäíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi. (ðèñ 1.28). ~F+ = q ~E , ~F− = −q ~E (ïðîòèëåæíi çà íàïðÿìêîì, ïðèêëàäåíiäî ðiçíèõ òî÷îê).

q` = ~pä

~M = [~r+ · ~F+] + [r− · ~F−] = [~r+ · q ~E]− [r− · q ~E] = [q(~r+ − ~r−) · ~E] = [q~l · ~E] = [~pä · ~E]

Ìîìåíò ñèëè, ÿêèé äi¹ íà äèïîëü äîðiâíþ¹ âåêòîðíîìó äîáóòêó äèïîëüíîãî ìîìåíòó íà âåêòîð íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãîïîëÿ .

~pä ~E , ϕ = 0; ~pä ↑↓ ~Å, ϕ = π.

Íåîáõiäíî âèçíà÷èòè, ÿêà ç îði¹íòàöié áóäå ñòiéêîþ. Ðîáîòà, ùî âèêîíó¹òüñÿ åëåêòðè÷íèì ïîëåì ïðè îáåðòàííi äèïîëÿ:

dA = −Mdϕ = −päEsinϕdϕ

A =´dA = −

ϕ2´ϕ1

päEsinϕdϕ = −päEϕ2´ϕ1

sinϕdϕ = −päE(−cosϕ)|ϕ2ϕ1

= (päEcosϕ2)− (päEcosϕ1)

(päEcosϕ2)- êiíöåâà åíåðãiÿ äèïîëÿ, (päEcosϕ1)- ïî÷àòêîâà åíåðãiÿ äèïîëÿ.

Åíåðãiÿ äèïîëÿ â åëåêòðè÷íîìó ïîëi W = −~pä · ~E.Ðîáîòó âèêîíó¹ ïîëå çà ðàõóíîê âëàñíî¨ åíåðãi¨, òîìó çìiíà ðîáîòè áóäå âiä'¹ìíà ïî âiäíîøåííþ äî çìiíè åíåðãi¨.

Åíåðãiÿ äèïîëÿ â åëåêòðè÷íîìó ïîëi: W = −päEcosϕ ; ϕ = 0, W → min

Êðiì ïîëÿðíèõ äiåëåêòðèêiâ, òîáòî äiåëåêòðèêiâ, ìîëåêóëè ÿêèõ ìàþòü âëàñíèé äèïîëüíèé ìîìåíò iñíóþòü òàê çâàíi íåïî-ëÿðíi äiåëåêòðèêè. Âîíè ¹ ñèìåòðè÷íi. Íàïðèêëàä, ìîëåêóëè Î, He, H2, C → Pä = 0, àëå ÿêùî ¨õ ðîçòàøóâàòè â çîâíiøíüîìóåëåêòðè÷íîìó ïîëi ìà¹ìî ~pä = βε0

~E.

Ïiä äi¹þ çîâíiøíüãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ïîëÿ âiäáóâà¹òüñÿ çáóðåííÿ åëåêòðè÷íèõ ñòàíiâ.

Íà íåïîëÿðíi äiåëåêòðèêè ìîìåíòó íåìà, áî â íèõ äèïîëüíèé ìîìåíò çàâäè îði¹íòîâàíèé âçäîâæ ~Å

4.2 Âåêòîð ïîëÿðiçàöi

Ðîçãëÿíåìî äiåëåêòðèê, ìîëåóëè ÿêîãî ìàþòü äèïîëüíèé ìîìåíò. (ðèñ 1.29)

1.29

Ñóìà ~Pv =∑i

~Päi- ïîâíèé äèïîëüíèé ìîìåíò ñèñòåìè àòîìiâ. Pv → V

Ââåäåìî âåêòîð ïîëÿðiçàöi¨ ~P =~PvV , ~P = 1

V

∑i

~päi

~P íå çàëåæèòü âiä îá'¹ìó ðå÷îâèíè, à çàëåæèòü òiëüêè âiä ¨¨ ôiçè÷íèõ âëàñòèâîñòåé, ¨¨ ñòàíó

ßêùî äiåëåêòðèê íåïîëÿðíèé, òî ~päi = βε0~E i ~P = 1

V Nβε0~E = nβε0

~E

nβ = κ- äiåëåêòðè÷íà ñïðèéíÿòëèâiñòü ðå÷îâèíèÄëÿ îäíîðiäíîãî ïîëÿðíîãî äiåëåêòðèêà ìà¹ìî

P ≈ nP 2ä

3kT E - ñåðåäíÿ âåëè÷èíà ïîëÿðèçàöi¨.

nP 2ä

3kT ↔ κ ∼ 1T

Çàïîëÿðèçóâàòè äiåëåêòðèê òèì âàæ÷å, ÷èì âèùà òåìïåðàòóðà, òîìó äiåëåêòðè÷íà ñïðèéíÿòëèâiñòü îáåðíåíî ïðîïîðöiéíàäî òåìïåðàòóðè.

11

4.3 Çâÿçîê ìiæ âåêòîðîì ïîëÿðiçàöi¨ òà ïîëÿðiçàöiéíèìè çàðÿäàìè 4 Åëåêòðè÷íå ïîëå â äiåëåêòðèêàõ

4.3 Çâÿçîê ìiæ âåêòîðîì ïîëÿðiçàöi¨ òà ïîëÿðiçàöiéíèìè çàðÿäàìè

Âiçüìåìî îäíîðiäíèé äiåëåêòðèê ó âèãëÿäi ïëàñòèíè. Ðîçòàøó¹ìî öåé äiåëåêòðèê â çîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi, ùîïåðïåíäèêóëÿðíå äî ïëîùèíè ïëàñòèíè. Î÷åâèäíî, ùî âiäáóâà¹òüñÿ ïîëÿðiçàöiÿ. Íà ïîâåðõíi óòâîðþþòüñÿ ïîëÿðiçàöiéíiçàðÿäè. (ðèñ 1.30)

Áåðåìî äiëÿíêó äiåëåêòðèêó ó âèãëÿäi öèëiíäðó. Äèïîëíèé ìîìåíò P∆V = Pl∆S, äå P - âåêòîð ïîëÿðiçàöi¨ l∆S - îá'¹ì.

Ç iíøîãî áîêó P∆V = σ∆Sl, äå σ∆S - çàðÿä, l - ïëå÷å.

Ïîðiâíÿ¹ìî ïðàâi ÷àñòèíè öèõ âèðàçiâ. Ìè áà÷èìî, ùî âåêòîð ïîëÿðiçàöi¨ ó ðàçi îäíîðiäíîãî äiåëåêòðèêà äîðiâíþ¹ îäíîði-äíîìó çàðÿäó. P = σ ⇒ Pn = σ- íîðìàëüíà ñêëàäîâà.

Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê íåîäíîðiäíîãî äiåëåêòðèêà. Áåðåìî ìàëåíüêó âóçüêó äiëÿíêó dS, ñïiâíàïðàâëåíó ïî ôîðìi äî ~E, ÿêó ìî-æíà ââàæàòè îäíîðiäíîþ. ßâèùå ïîëÿðiçàöi¨ îáóìîâëåíî ïåðåðîçïîäiëîì çàðÿäó, àëå çàðÿä çáåðiãà¹òüñÿ, òîìó äëÿ âèäiëåíî¨äiëÿíêè ìè ìîæåìî çàïèñàòè:

¸~Pd~S = −q

 ìåæàõ ìàëåíüêî¨ äiëÿíêè ïîëå áóäå îäíîðiäíèì. q ìîæåìî ðîçòàøóâàòè ÿê q =´V

ρdV .

Ç iíøîãî áîêó çà òåîðåìîþ Îñòðîãðàäñüêîãî-Ãàóñà:¸~Pd~S =

´div ~PdV .

Ïiäñòàâèâøè, ìà¹ìî´div ~PdV = −

´ρïoëdV ,

div ~P = −ρïoë - ãóñòèíà ïîëÿðiçàöiéíîãî çàðÿäó.

4.4 Âåêòîð åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨.

Çàïèøåìî òåîðåìó Ãàóñà äëÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çà óìîâè ïðèñóòíîñòi äiåëåêòðèêà.

(1)¸~Ed~S = 1

ε0(qñòîð + qïîë)

(qñòîð + qïîë) = qîõîï

Âíàñëiäîê íàÿâíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ óòâîðþ¹òüñÿ qñòîð. ÿâèùå ïîëÿðiçàöi¨. Ìè çÿñóâàëè, ùî −qïîë =¸~Pd~S. Òåïåð,

ÿêùî ìè âðàõó¹ìî öåé âèðàç äëÿ qïîë, ç (1)¸

(ε0~E + ~P )d~S = qñòîð.

Ìè áà÷èìî, ùî íåçâàæàþ÷è íà ÿâèùå ïîëÿðiçàöi¨ ïiä iíòåãðàëîì ñòî¨òü òàêà âåëè÷èíà, ïîòiê ÿêî¨ âèçíà÷à¹òüñÿ òiëêè ñòî-ðîííiì çàðÿäîì.

ε0~E + ~P = ~D - âåêòîð åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨ (âåêòîð åëåêòðè÷íîãî çìiùåííÿ)

4.5 Äiåëåêòðè÷íà ïðîíèêíiñòü

Âðàõó¹ìî, ùî âåëè÷èíà âåêòîðà ïîëÿðèçàöi¨ â ëiíiéíèõ ñåðåäîâèùàõ ïðÿìîïðîïîðöiéíà âåêòîðó íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãîïîëÿ

~P = κε0~E

Âðàõó¹ìî öå i ïiäñòàâèìî â ôîðìóëó îçíà÷åííÿ äëÿ ε0~E + ~P = ~D

1 + κ = ε- äiåëåêòðè÷íà ïðîíèêíiñòü ñåðåäîâèùà.

~D = εε0~E- âèêîíó¹òüñÿ äëÿ ëiíiéíîãî îäíîðiäíîãî ñåðåäîâèùà.

Çÿñó¹ìî ôiçè÷íèé çìiñò äiåëåêòðè÷íî¨ ïðîíèêíîñòi. Äëÿ öüîãî âiçüìåìî äiåëåêòðèê ó âèãëÿäi ïëàñòèíè i ðîçòàøó¹ìî âçîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi ~Å. (ðèñ 1.31)

12

4.6 Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨ 5 Ïðîâiäíèêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi

Äëÿ ðîçðàõóíêó ~E′ âèêîðèñòà¹ìî ïðèíöèï ñóïåðïîçèöi¨. ~Å′ì๠áóòè ðiâíèì ñóìi íàïðóæåíîñòåé çîâíiøíüîãî ïîëÿ òà çàðÿ-

äàìè çàðÿäæåíèõ ïëîùèí ±σ(ðèñ 1.32). Eçàðÿäæ.ïëoùèí = σ2ε0

 ðåçóëüòàòi E′ = E − σε0, σ = P

E′ = E − pε0⇒ ε0E

′ = ε0 − P

ε0E′ + P = ε0E

Î÷åâèäíî, ùî P ñòâîðþ¹ ïîëå Å′, òå ïîëå, ÿêå ñòâîðþ¹ äiåëåêòðèê

P = ε0κE′

ε0E′ + ε0κE′ = ε0E

(1 + κ)E′ = E

εE′ = E

ε = EE′

Äiåëåêòðè÷íà ïðîíèêíiñòü ïîêàçó¹ ó ñêiëüêè ðàçiâ äiåëåêòðèê ïîñëàáëþ¹ åëåêòðè÷íå ïîëå (Å-ïîëå, áåç äiåëåêòðèêà, E′-ïîëåçà íàÿâíîñòi äiåëåêòðèêà)

4.6 Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨

Ïîòiê âåêòîðà åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨ ïðîïîðöiíèé îõîïëåíîìó ñòîðîííüîìó çàðÿäó.¸~Dd~S = qñòîð.îõîïë¸~Dd~S =

´div ~DdV

qñòîð.îõîïë =´ρñòîð.îõîïëdV - çà òåîðåìîþ Îñòðîãðàäñüêîãî-Ãàóñà

´div ~DdV =

´ρñòîð.îõîïëdV

div ~D = ρñòîð.îõîïë- Òåîðåìà Ãàóñà äëÿ âåêòîðà åëåêòðè÷íî¨ iíäóêöi¨ â äèôåðåíöiéíié ôîðìi.

Âèêîíàííÿ òåîðåìè Ãàóñà îçíà÷à¹, ùî äëÿ òî÷êîâîãî ñòîðîííüîãî çàðÿäó:

~D = q4πr2~er = ~Eεε0

 ñåðåäîâèùi äëÿ òî÷êîâîãî çàðÿäó ~E = q4πεε0r2~er.

Î÷åâèäíî, ùî ïîòåíöiàë ϕ = q4πεε0r

.

Âçà¹ìîäiÿ äâîõ òî÷êîâèõ çàðÿäiâ â îäíîðiäíîìó ñåðåäîâèùi ìîäèôiêó¹ çàêîí Êóëîíà: ~F12 = 14πεε0

q1q2~r212

~r12

|~r12|

 äiåëåêòðèêó âiäáóâà¹òüñÿ òàêîæ çìiíà âçà¹ìîäi¨ ìiæ çàðÿäiâ dA = −pEsinαdϕ

A =ϕ2´ϕ1

−PEsinαdϕ = PEcosϕ2 − PEcosϕ1; P = σ

5 Ïðîâiäíèêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi

Ïðîâiäíèêîì íàçèâàþòü ðå÷îâèíó, ÿêà ìiñòèòü âiëüíi çàðÿäè òà çäàòíà ïðîâîäèòè åëåêòðè÷íèé ñòðóì. Âiëüíi çàðÿäè ìîæóòüâiëüíî ïåðåìiùóâàòèñü â ìåæàõ îá'¹ìó âñüîãî ïðîâiäíèêà.

Ðîçãëÿíåìî ïðîâiäíèê â çîâíiøíüîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi ~E. Íà íüîãî äi¹ ñèëà ~F = q0~E i âií ðóõà¹òüñÿ. Ïiä äi¹þ ñèëè ~F

áóäå âiäáóâàòèñÿ ïåðåðîçïîäië çàðÿäiâ â ïðîâiäíèêó, i öåé ïåðåðîçïîäië áóäå âiäáóâàòèñü äî òèõ ïið, ïîêè íàïðóæåíiñòüåëåêòðè÷íîãî ïîëÿ â ñåðåäèíi ïðîâiäíèêà íå áóäå äîðiâíþâàòè íóëþ.

13

5.1 Òèñê, ùî ïîëå ÷èíèòü íà ïîâåðõíþ çàðÿäæåíîãî ïðîâiäíèêà 5 Ïðîâiäíèêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi

Êîëè ~E 6= 0 â ïîëi áóäå iñíóâàòè ñòðóì, ùî ñóïåðå÷èòü çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåðãi¨. Îòæå, ~E = 0. Êîìïåíñàöiÿ ïîëÿ âiäáóâà¹-òüñÿ çà ðàõóíîê ïåðåðîçïîäiëó çàðÿäiâ òàê, ùî íà ïîâåðõíi âèíèêàþòü ïîâåðõíåâi çàðÿäè.  ðåçóëüòàòi ìà¹ìî òàêó ñèòóàöiþ(ðèñ 1.34)

ßêùî ïîëå âñåðåäèíi ïðîâiäíèêà îäíàêîâå, âiäñóòí¹ i äîðiâíþ¹ íóëþ, òî ϕ = const ; ~E = −grad(const) = 0 .

Ïîòåíöiàë òî÷îê ïîâåðõíi ïðîâiäíèêà òàêîæ îäíàêîâèé i éîãî íàçèâàþòü ïîòåíöiàëîì ïðîâiäíèêà.

~E ~n, ~Eτ = 0

Ó âèïàäêó çàðÿäæåíîãî ïðîâiäíèêà.

Ìà¹ìî ïðîâiäíèê, ÿêîìó íàäàëè çàðÿäó q âñåðåäèíi ïðîâiäíèêà ïîëå äîðiíþ¹ íóëþ, îòæå çàðÿä ðîçïîäiëèòüñÿ ïî ïîâåðõíi.(ðèñ 1.34a) σ = dq

dS . Âiçüìåìî ïðîâiäíèê (ðèñ 1.35, 1.36)

Eë = dϕdl - íàéìåíøà âiäñòàíü ìiæ ñóñiäíiìè åêâiïîòåíöiàëüíèìè ïîâåðõíÿìè

Eëíà ðèñ 1.36 E, áî ∆l2 ∆ l1

5.1 Òèñê, ùî ïîëå ÷èíèòü íà ïîâåðõíþ çàðÿäæåíîãî ïðîâiäíèêà

Îáåðåìî äiëÿíêó d`. (ðèñ 1.37 , 1.38).

Å= σ2εε0

; σ = dqdS ;

Eâ = 0;

~Eâ = ~Åâä + ~Åâçàãàë

~Åâä = −~ÅâçàãàëÇi ñòîðîíè åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çàëèøêó íà äiëÿíêó äi¹ åëåêòðè÷íà ñèëà. Ïîëå, ùî óòâîðþ¹ âåñü ïðîâiäíèê íà äiëÿíöi çàâèêëþ÷åííÿì ñàìî¨ äiëÿíêè:

E = 2Eçä = σεε0

Î÷åâèäíî, ùî íà äiëÿíêó çi ñòîðîíè åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çàëèøêó äi¹ ïàíäåìîòîðíà ñèëà

dF = Eçàëdq = Eçàëσds

p = dFdS - òèñê.

p = Eçàëσ = σ2

2εε0

E = σεε0

P = εε0E2

2

Çà âåëè÷èíîþ òèñê íà ïîâåðõíi çàðÿäæåíîãî ïðîâiäíèêà ñïiâïàä๠çà âëè÷èíîþ ç ãóñòèíîþ åëåêòðèíîãî ïîëÿ.

5.2 ìíiñòü âiääàëåíîãî ïðîâiäíèêà

Çà îçíà÷åííÿì ¹ìíiñòü ïðîâiäíèêà âèçíà÷à¹òüñÿ çà ôîðìóëîþ C = qϕïð

Ðîçãÿíåìî ìàëåíüêó äiëÿíêó çàðÿäîì dq. (ðèñ 1.39).

dq = σdS

σ = kq = k(x, y, z)q

ϕ =´S

dq4πεε0r

= q4πεε0

´S

k(x,y,z)dSr

C = qϕïðîâ

= 4πεε0´s

k(x,y,z)dSr

k(x, y, z)- ãåîìåòðè÷íèé ôàêòîð. ìíiñòü ïðîâiäíèêà çàëåæèòü âiä ε òà ãåîìåòðè÷íî¨ ôîðìè ïðîâiäíèêà.

14

5.3 ìíiñòü ïðîâiäíèêà ñôåðè÷íî¨ ôîðìè (ðèñ 1.40) 5 Ïðîâiäíèêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi

5.3 ìíiñòü ïðîâiäíèêà ñôåðè÷íî¨ ôîðìè (ðèñ 1.40)

Âñåðåäèíi ïðîâiäíèêà r < R⇒ E = 0

Ççîâíi ïðîâiäíèêà r ≥ R⇒ E = q4πεε0r2

ΦD = D4πr2

qoxon = q

ΦD = qoxon

D · 4πr2 = q

D = q4πr2

E = Dεε0

= q4πεε0r2

ϕ(r) = ϕ(r0)−r

0

Edr

r0 =∞

ϕ(r) = −r

∞

qdr4πεε0r2 = q

4πεε0r|R∞ = q

4πεε0r

ϕ(r = R) = q4πεε0R

C = qϕïð

= 4πεε0R

Cçåìëi = 4 · 3.14 · 8.85 · 10−12 · 6.4 · 106 = 6 · 10−4(Ôàðàä)

[C] = 1Ô = 1êë1Â

5.4 Åíåðãiÿ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ âiääàëåíîãî ïðîâiäíèêà

Ââàæà¹ìî, ùî âií ì๠¹ìíiñòü Ñ. Ïîðàõó¹ìî åíåðãiþ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ïðîâiäíèêà. Î÷åâèäíî, âîíà ðiâíà ðîáîòi ïðè çàðÿ-äæåííi ïðîâiäíèêà, W = A. Çàðÿäèìî éîãî øëÿõîì íàäàííÿ éîìó ïîñëiîâíèìè ïîðöiÿìè çàðÿäó dq.

dA = ϕdq = qC dq

A =q

0

dA =q

0

qdqC

W = q2

2C = qϕ2 = Cϕ2

2

• Êîíäåíñàòîð - öå ïðèñòðié äëÿ íàêîïè÷åííÿ åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó. Ìiñòèòü äâà ÷è áiëüøó êiëüêiñòü åëåêòðîäiâ, ðîçäi-ëåíèõ ìiæ ñîáîþ äiåëåêòðèêîì.

• Ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ì๠åëåêòðîäè ó âèãëÿäi ïëàñòèí. (ðèñ 1.41)

• Çàðÿä êîíäåíñàòîðà qê = |q|

• Íàïðóãà ìiæ ïëàñòèíàìè íàçèâàåòüñÿ íàïðóãîþ íà êîíäåíñàòði. q = σS ; E = σ2εε0

• ìíiñòü êîíäåíñàòîðà âèçíà÷à¹òüÿ ç âiäíîøåííÿ çàðÿäó äî íàïðóãè êîíäåíñàòîðà C = qU , U = Ed, C = εε0S

d

15

5.5 Ç'¹äíàííÿ êîíäåíñàòîðiâ 5 Ïðîâiäíèêè â åëåêòðè÷íîìó ïîëi

5.5 Ç'¹äíàííÿ êîíäåíñàòîðiâ

5.5.1 Ïàðàëåëüíå (ðèñ.1.43)

U1 = U2 = U3

q = q1 + q2 + q3

C = C1 + C2 + C3

5.5.2 Ïîñëiäîâíå (ðèñ. 1.44)

q1 = q2 = q3 = q

U = U1 + U2 + U3

1c = 1

c1+ 1

c2+ 1

c3

5.6 Åíåðãiÿ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ êîíåíñàòîðà.

Ïåðåíîñèìî dq âiä îäíi¹¨ ïëàñòèíè äî iíøî¨. Åëåêòðè÷íå ïîëå âñåðåäèíi êîíäåíêñàòîðà ¹ îäíîðiäíå.

W = q2

2C = qU2 = CU2

2

5.7 Ãóñòèíà åíåðãi¨ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

W = CU2

2 = εε0Sd

E2d2

2

U = Ed , d- âiäñòàíü ìiæ ïëàñòèíàìè.

C = εε0Sd

W = εε0E2

2 Sd = εε0E2

2 V

wE = WV - ãóñòèíà åíåðãi¨ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

[wE ] = Äæ

ì3

wE = εε0E2

2

εε0~E = ~D

wE =~D~E2

wE = D2

2εε0

w =´V

wEdV =´V

εε0 ~E2

2 dV

16

6 Åëåêòðè÷íèé ñòðóì

6 Åëåêòðè÷íèé ñòðóì

Åëåêòðè÷íèì ñòðóìîì íàçèâà¹òüñÿ âïîðÿäêîâàíèé ðóõ çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê - íîñi¨â ñòðóìó ïðè ÿêîìó âiäáóâà¹òüñÿ ïå-ðåíåñåííÿ çàðÿäó. Íîñiÿìè ñòðóìó ¹:

• åëåêòðîíè â ìåòàëàõ,

• åëåêòðîíè òà äiðêè â íàïiâïðîâiäíèêàõ,

• éîíè òà åëåêòðîíè â ãàçàõ òà ðiäèíàõ.

×åðåç ïåðåðiç ïðîâiäíèêà S áóäå ïåðåíåñåíî çàðÿä. Çà ÷àñ ∆q → ∆t.

Iíòåíñèâíiñòü âèçíà÷à¹òüñÿ ç âiäíîøåííÿ I = ∆q

∆t, ∆t→ 0, I = dq

dt

[I ]= êë/ñ=À

Âåëè÷èíà ïåðåíåñåíîãî çàðÿäó dq = Idt => q =t

0

Idt

6.01 6.02 6.03

V

6.1 Âåêòîð ãóñòèíè ñòðóìó

Ðîçãëÿíåìî ïðîâiäíèê çi ñòðóìîì ïåðåðiçó S. î÷åâèäíî, ùî

I = ∆q

∆t.

~υ- øâèäêiñòü âïîðÿäêîâàíîãî ðóõó

∆q = q0∆N = q0n∆V = q0nSυ∆t

I = q0nSυ

~j- ãóñòèíà ñòðóìó j = IS , j = q0nυ ~j = q0n~υ.

~j - âåêòîð ùî ñïiâïàä๠ç íàïðÿìîì ñòðóìó

ßêùî I -ñêàëÿð, òî ~j - âåêòîð. ßêùî ñèëà ñòðóìó - iíòåãðàëüíà õàðàêòåðèñòèêà, òî ãóñòèíà - ëîêàëüíà õàðàêòåðèñòèêàåëåêòðè÷íîãî ñòðóìó

~j = ~j+ +~j− = q+n+~V+ + q−n−~V−

Ìà¹ìî ñåðåäîâèùå (ðèñ 6.02)

Ìîæåìî ðîçðàõóâàòè ñèëó ñòðóìó ÷åðåç öþ ïîâåðõíþ ÿê ïîòiê âåêòîðà ~j

I =¸~jd~S

6.2 Ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi

Ðîçãëÿíåìî çàìêíåíó ïîâåðõíþ. Áóäåìî ââàæàòè ùî â ñåðåäîâèùi òå÷å ñòðóì, îòæå â óñiõ òî÷êàõ ¹ âåêòîð ~j. Òîäi ÷åðåç âñþïîâåðõíþ S çà ÷àñ ∆t áóäå ïåðåíåñåíî çàðÿä ∆qïåðåíåñ =∆ t

¸~jd~S

Îòæå, îá'¹ì, îáìåæåíèé ïîâåðõíåþ, íàáóäå çàðÿäó. Òîäi ∆q = −∆qïåðåíåñ

 ðåçóëüòàòi ìà¹ìî, ùî äëÿ âèäiëåíîãî îá'¹ìó âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü ∆q = −∆t¸~jd~S.

∆t→ 0¸~jd~S = −dqdt

q =´V

ρdV

17

6.3 Çàêîí Îìà 6 Åëåêòðè÷íèé ñòðóì

¸~jd~S = − d

dt

´V

ρdV

Îòðèìàëè äèôåðåíöiéíå ðiâíÿííÿ, ùî íàçèâàþòü ðiâíÿííÿì íåïåðåðâíîñòi åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó â iíòåãðàëüíié ôîðìi

öå ðiâíÿííÿ ¹ íàñëiäêîì çàêîíó çáåðåæåííÿ çàðÿäó

Âðàõó¹ìî, ùî çà òåîðåìîþ Ãàóñà¸~jd~S =

´V

div~jdV.

Ïîõiäíó ddt ìîæåìî âíåñòè ïiä çíàê iíòåãðàëó, òîìó ùî ôîðìà âèäiëåíî¨ íàìè äiëÿíêè íå çàëåæèòü âiä ÷àñó

ddt

´V

ρdV =´V

∂ρ∂t dV

Ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi íàáóâ๠âèãëÿä:´V

div~jdV = −´V

∂ρ∂t dV ; div~j = −∂ρ∂t ;

∂ρ∂t + div~j = 0 ∂ρ

∂t + ∂jx∂x +

∂jy∂y + ∂jz

∂z = 0

ßêùî ìà¹ìî ñòàöiîíàðíå ïîëå ∂ρ∂t = 0, div~j = 0

äëÿ ëiíiéíèõ ñåðåäîâèù âèêîíó¹òüñÿ çàêîí Îìà: ~j = σ ~E.

Ââåäåìî ïðîâûäíiñòü σ = 1ρ , äå ρ- ïèòîìèé îïið ðå÷îâèíè.

σ(x, y, z) = const

div~j = σdiv ~E

div ~E = 0, div ~Eåë = 0

Îñêiëüêè ðiâíÿííÿ òîòîæíi çà âiäñóòíîñòi çàðÿäó òî ïîëå ~E äëÿ ñòàöiîíàðíî¨ ñòðóìîâî¨ çàäà÷i ¹ òîòîæíèì åëåêòðîñòàòè÷íîìóïîëþ. I äëÿ öüîãî ïîëÿ ~E ìîæíà ââåñòè ïîòåíöiàë ϕ , ïðè÷îìó ~E = −gradϕ

6.3 Çàêîí Îìà

Çàêîí Îìà âèêîíó¹òüñÿ äëÿ îäíîðiäíèõ ìåòàëåâèõ ïðîâiäíèêiâ ïðàâèëüíî¨ ôîðìè, íàïðèêëàä öèëiíäðè÷íî¨ - äðîòèíà. Åêñ-ïåðåìåíòàëüíî Îì âñòàíîâèâ, ùî ñèëà ñòðóìó â ïðîâiäíèêó ïðÿìîïðîïîðöiéíà íàïðóçi I ∼ U .

Êîåôiöi¹íò ïðîïîðöiéíîñòi çàïèñóþòü ÿê 1R ; I = U

R

Îïið ïðîâiäíèêà R = ρ lS

[R]= 1 Îì

[ρ]= Îì · ì

Äëÿ ïðàâèëüíîãî ïðîâiäíèêà ïðè ïðîòiêàííi ïîñòiéíîãî ñòðóìó U = El, I = jS

Ïiäñòàâèìî öi âèðàçè â çàêîí Îìà: jS = SρlEl; j = E

ρ

~j = σ ~E , äå σ - ïðîâiäíiñòü, σ = 1ρ

~j = −σgradϕ- çàêîí îìà â äèôåðåíöiéíié ôîðìi (çàêîí Îìà - ëîêàëüíèé)

6.04

I

U

1

2

3

I~U 6.05

6.4 Ìàêñâåëiâñüêà ðåëàêñàöiÿ

Çàïèøåìî ðiâíÿííÿ íåïåðåðâíîñòi.∂ρ∂t + div~j = 0

Íåõàé ìè ìà¹ìî îäíîðiäíèé ïðîâiäíèê, òîäi ~j = σ ~E

∂ρ∂t + divσ ~E = 0

∂ρ∂t + σdiv ~E = 0

18

6.5 Ðîáîòà åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó 6 Åëåêòðè÷íèé ñòðóì

div ~E = ρε0

çà òåîðåìîþ Ãàóñà ∂ρ∂t + ρσ

ε0= 0

ρ(t) = ρ(t = 0)e−tτ . (Çàóâàæåííÿ: òóò ρ - öå ãóñòèíà çàðÿäó, à íå ïèòîìèé îïið)

τ = ε0σ

Çà ÷àñ t = τ , ρ çìiíþ¹òüñÿ â e ðàçiâ. Òàêèé ÷àñ τ íàçèâà¹òüñÿ ÷àñîì ðåëàêñàöi¨. Äëÿ ìåòàëåâèõ ïðîâiäíèêiâ τ ì๠âåëè÷èíóïîðÿäêà τ ∼ 10−14. Ñàì ïðîöåñ íàçèâàþòü ðåëàêñàöi¹þ Ìàêñâåëà.

6.5 Ðîáîòà åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó

Ïðè ïðîõîäæåíi ñòðóìó âèêîíó¹òüñÿ ðîáîòà ∆A = U∆q = UI∆t

Äëÿ U òà I âèêîíó¹òüñÿ çàêîí ∆I = 1RU

∆A = U2

R ∆t

ßêùî ïiä ÷àñ ïðîõîäæåííÿ ñòðóìó íå âiäáóâà¹òüñÿ õiìi÷íèõ ðåàêöié òà ïðîâiäíèê íå âèêîíó¹ ìåõàíi÷íî¨ ðîáîòè, ðîáîòà ïîëÿñèëè ñòðóìó éäå íà íàãðiâàííÿ ïðîâiäíèêà, ïðè öüîìó ∆Q = I2R∆t - çàêîí Äæîóëÿ-Ëåíöà.

I = j∆S,

R = ρ lS

∆Q = j2∆S

2ρ ∆l∆S∆t = ρj2

∆S∆l∆t = ρj2∆V∆t

∆Q

∆V∆t= q - øâèäêiñòü âèäiëåííÿ òåïëîòè â îäèíè÷íîìó îá'¹ìi.

q = ρj2- äèôåðåíöiàëüíèé çàïèñ çàêîíó Äæîóëÿ-Ëåíöà.

j = 1ρE; q = jE; q = E2

ρ

6.6 Ñòîðîííi ñèëè

Ðîçãëÿíåìî çàìêíåíèé ëiíiéíèé ïðîâiäíèê (ðèñ 6.06). Íåõàé ïî íüîìó òå÷å ïîñòiéíèé ñòðóì. Öå îçíà÷à¹, ùî ì๠iñíóâàòèåëåêòðè÷íå ïîëå.

A =¸~Fåëd~l = q0

¸~Ed~= 0 -ðîáîòà ñèëè Êóëîíà

Ñòðóì ¹, à ðîáîòà ïî çàìêíåíié äiëÿíöi âñüîãî ïðîâiäíèêà = 0, àëå ïðè ïðîõîäæåíi ñòðóìó ì๠âèäiëÿòèñÿ Q. Îòæå âçàìêíåíîìó ïðîâiäíèêó íå ìîæå iñíóâàòè ñòðóì òiëüêè çàâäÿêè äi¨ åëåêòðè÷íèõ ñèë, áî åëåêòðè÷íå ïîëå ïîòåíöiàëüíå.Çàáåñïå÷èòè ïðîõîäæåííÿ ñòðóìó ìàþòü çàáåçïå÷èòè ñòîðîííi ñèëè.¸~Fñòd~l = Añò

Î÷åâèäíî, ùî ìè ìîæåìî ââåñòè âåêòîð ïîëÿ ñòîðîííiõ ñèë, ÿê ~Eñò =~Fcòq0

Q = Añò

6.7 Çàêîí Îìà äëÿ äiëÿíêè êîëà ç ÅÐÑ

Íà íîñié äiþòü äâi íàïðóæåíîñòi ïîëÿ ~Eåë òà ~Eñò

~j = σ( ~Eåë + ~Eñò) = 1ρ ( ~Eåë + ~Eñò)

Ââåäåìî ñèëó ñòðóìó. Ìà¹ìîIρS = Eåë + Eñò

IρdlS = Eåëdl + Eñòdl

Iρ2

1

dlS =

2

1

Eåëdl +2

1

Eñòdl

ρ2

1

dlS = R12

2

1

Eåëdl = ϕ1 − ϕ2

19

6.8 Ïðàâèëà Êiðõãîôà 7 Ìàãíiòíå ïîëå

2

1

Eñòdl = ε12- åëåêòðîðóøiéíà ñèëà.

2

1

Fñòdl = q0ε12 = Añò;

ε12 = Añò

q0

U = IR

6.06

ел

ел

ст

6.08

6.07

21R

,r

+-

I

21R

,r

+-

I

6.09

додатні

від’ємнівузол

I2

I1

I3

6.10

R3

+

-

R1

+

-

R2

+-

I

I1 I3

I2

6.8 Ïðàâèëà Êiðõãîôà

Ïðàâèëà Êiðãîôà çàñòîñîâóþòü äëÿ ðîçãàëóæåííÿ äëÿ ðîçðàõóíêó íàïðóã òà ñòðóìiâ â êîëàõ, ÿêi ìiñòÿòü ðîçãàëóæåííÿñòðóìó. Âóçëàìè íàçèâàþòüñÿ òî÷êè ñõîäÿòüñÿ áiëüøå, íiæ 2 ïðîâiäíèêè. Íàïðèêëàä ìà¹ìî âóçîë (ðèñ 6.09). Ñòðóìè, ùîâõîäÿòü â âóçîë ââàæà¹ìî äîäàòíiìè, ñòðóìè, ùî âèõîäÿòü - âiä'¹ìíèìè.

6.8.1 Ïåðøå ïðàâèëî Êiðãîôà

íàñëiäêîì çàêîíó çáåðåæåííÿ çàðÿäó. Çà ïðàâèëîì∑i

Ii = 0, I1 − I2 − I3 = 0

 âóçëàõ íå íàêîïè÷ó¹òüñÿ çàðÿä, òîìó âåñü çàðÿä, ÿêèé ââiéøîâ â âóçîë ì๠ç íüîãî âèéòè. (ðèñ 6.10)

Ïðè ðîçãëÿäi çàñòîñóâàííÿ äðóãîãî ïðàâèëà Êiðãîôà ìè ìà¹ìî çäiéñíþâàòè îáõiä ïî çàìêíåíîìó êîëó i íàïðÿì ì๠áóòèîäèí. Çàçâè÷àé îáèðàþòü íàïðÿì çà ãîäèííèêîâîþ ñòðiëêîþ.

Çíàê îòðèìà¹òüñÿ òiëüêè â ðåçóëüòàòi ðîçðàõóíêó, òîìó ìè óìîâíî ñòàâèìî íàïðÿìêè äëÿ ñèë ñòðóìiâ. Îáåðåìî íàïðÿìîêçà ãîäèííèêîâîþ ñòðiëêîþ.

I1(R1 + r1)− I3(R3 + r3)− I2(R2 + r2) = ε1 + ε3 − ε2

6.8.2 Äðóãå ïðàâèëî Êiðãîôà

Äëÿ çàìêíåíî¨ äiëÿíêè ëàíöþãà ñóìà ïàäiíü íàïðóãè ì๠áóòè ðiâíà ñóìi ÅÐÑ íà öié çàìêíåíié äiëÿíöi. Ïðè öüîìó íàïðÿìîáèðà¹òüñÿ çà ãîäèííèêîâîþ ñòðiëêîþ. Íàïðóãà íà îêðåìié äiëÿíöi ¹ äîäàòíüîþ, ÿêùî íàïðÿîê ñèëè ñòðóìó ñïiâïàä๠çíàïðÿìêîì îáõîäó i ÅÐÑ äiëÿíêè ââàæà¹òüñÿ äîäàòíüîþ, ÿêùî ïðè îáõîäi ìè éäåìî ç ¾-¿ áàòàðå¨ äî ¾+¿. Íà ñõåìàõ ¾+¿áiëüøà ãîðèçîíòàëüíà ëiíiÿ, ¾-¿ - ìåíøà.

7 Ìàãíiòíå ïîëå

Ìiæ ðóõîìèìè çàðÿäàìè, ïðîâiäíèêàìè çi ñòðóìîì, à òàêîæ òâåðäèìè òiëàìè - íîñiÿìè ìàãíåòçìó âèíèê๠òàê-çâàíà ìà-ãíiòíà âçà¹ìîäiÿ, ÿêà âiäìiííà âiä êóëîíiâñüêî¨ åëåêòðè÷íî¨ âçà¹ìîäi¨. Ïðîiëþñòðó¹ìî öå ïðèêëàäîì. Íà äiëÿíêàõ AB CDñòðóìè òîòîæíi i ìàþòü îäíàêîâèé íàïðÿìîê. Äîñëiäè ïîêàçóþòü, ùî çà óìîâè ïðîõîäæåííÿ ñòðóìó ïðîâiäíèêè ïðèòÿãóþ-òüñÿ. (ðèñ 3.1) Îñêiëüêè ñõåìè ïiäëþ÷åííÿ AB i CD ñèìåòðè÷íi, òî áóäü-ÿêå ïðîõîäæåííÿ ñòðóìó ïðèçâåëî á äî óòâîðåííÿíåîäíîðiäíèõ çàðÿäiâ. ×åðåç ñèìåòðiþ çàðÿäiâ (âîíè áóëè á îäíîãî çíàêó ) öi ïðîâiäíèêè á âiäøòîâõóâàëèñü - îòæå, âçà¹ìîäiÿíå Êóëîíiâñüêà. Åêñïåðåìåíòàëüíî áóëî âñòàíîâëåíî, ùî ñèëà âçà¹ìîäi¨ ìiæ ïàðàëåëüíèìè òîíêèìè ñòðóìàìè âèçíà÷à¹òüñÿçà ôîðìóëîþ

F = µ0

4π2I1I2b ∆

` - çàêîí Àìïåðà.

µ0 = 4π · 10−7 Ãíì

µ0- ìàãíiòíà ñòàëà.

I1, I2 - ñòðóìè â ïðîâiäíèêàõ, ÿêi ìè ââàæà¹ìî òîíêèìè (äiàìåòð ïðîâiäíà äåëåêî ìåíøèé âiäñòàíi ìiæ íèìè) (ðèñ 3.2, 3.3,3.4)

20

7.1 Iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ðóõîìîãî çàðÿäó 7 Ìàãíiòíå ïîëå

Ñèëà ~F ïðèêëàäåíà äî äiëÿíêè ∆`

Çàêîí Àìïåðà ¹ ôóíäàìåíòàëüíèì çàêîíîì, à âñÿ òåîðiÿ ïîáóäîâàíà òàê, ùîá çàäîâiëüíèòè öüîìó çàêîíó. Çðîçóìiëî, ùîñòðóìè íå äiþòü îäèí íà îäíîãî áåçïîñåðåäíüî, à âçà¹ìîäiÿ çäiéñíþ¹òüñÿ çàâäÿêè ìàãíiòíîìó ïîëþ. Ñòðóì I2 óòâîðþ¹ âîòî÷óþ÷îìó ñåðåäåäîâèùi ìàãíiíå ïîëå, ÿêå ÷èíèòü ñèëîâó äiþ íà ïðîâiäíèê çi ñòðóìîì I1. I1 òàêîæ ñòâîðþ¹ ïîëå,ùî äi¹ñèëîþ íà I2. Ìàãíiòíå ïîëå õàðàêòåðèçóþòü âåêòîðîì ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨ ~B. (ðèñ. 3.3) Ðîçïîäië ïîëÿ çäiéñíþþòü çà äîïîìîãîþëiíié ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨, òàê ùî äîòè÷íà äî ëiíié â áóäü-ÿêié òî÷öi ì๠ñïiâïàäàòè ç âåêòîðîì ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨ ~B. Íàïðÿìîêìàãíiòíîãî ïîëÿ ìîæíà âèçíà÷èòè çà äîïîìîãîþ ìàãíiòíî¨ ñòðiëêè. Âåêòîð ~B âiäïîâiä๠íàïðÿìêó âiä S äî N. Íàïðÿìîê ëiíiéìàãíiòíî¨ iíäóêöi äëÿ ïðîâiäíèêà çi ñòðóìîì ìîæíà âèçíà÷èòè çà äîïîìîãîþ ïðàâèëà Áóðàâ÷èêà. Îáåðòàííÿ ñâåðäëèêà ìà¹çäiéñíþâàòèñÿ â òàêèé ñïîñiá, ùîá ñâåðäëèê ïåðåìiùóâàâñÿ âçäîâæ ñòðóìó. (ðèñ. 3.4) Íàïðÿì ïîâîðîòó ðó÷êè - öå íàïðÿì~B. Ëiíi¨ ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨ - öå êîíöåíòðè÷íi êîëà, ÿêi ëåæàòü â ïëîùèíi, ïåðïåíäèêóëÿðíié ïðîâiäíèêó çi ñòðóìîì i öåíòðèöèõ êië çíàõîäÿòüñÿ íà ïðîâiäíèêó. Iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ çàäîâiëüíÿ¹ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöi¨ ~B =

∑i

~Bi. Ðåçóëüòóþ÷èé

âåêòîð â äàíié òî÷öi äîðiâíþ¹ ñóìi âåêòîðiâ iíäóêöi¨ êîæíîãî ç äæåðåë ìàãíiòíîãî ïîëÿ.

 CI [B] âèìiðþòüñÿ â Òåñëàõ.

7.1 Iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ðóõîìîãî çàðÿäó

Ìàãíiòíå ïîëå óòâîðþþòü ðóõîìi çàðÿäè. Ðîçãëÿíåìî çàðÿä âåëè÷èíîþ q, ÿêèé ðóõà¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ ~υ. íàñ öiêàâèòüiíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ðóõîìîãî çàðÿäó â òî÷öi ç ðàäióñ-âåêòîðîì ~r. Î÷åâèäíî, ùî âåêòîð ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨ ~B çàëåæèòüâiä øâèäêîñòi ~υ òà Р~r (ðèñ 3.5, 3.6)

~B ∼ q, ~υ, ~r

q ↑⇒ ~B ↑

~υ ↑⇒ ~B

~B ∼ q~υ

~r ↑⇒ ~B ↓~B ∼ q[~υ~r]

r3

~B = µ0

4πq[~υ~r]r3

Ìè ìîæåìî íàìàëþâàòè ðîçïîäië ïîëÿ (ðèñ 3.6)

Áà÷èìî, ùî ëiíi¨ ìàãíiòíî¨ iíäóêöi¨ ¹ êiëüöÿ ïåðïåíäèêóëÿðíi ~υ, â öåíòði ëåæàòü íà îñi, âçäîâæ ÿêî¨ ðóõà¹òüñÿ çàðÿä, àùiëüíiñòü ëiíié íàãàäó¹ ñòðóêòóðó âåðåòèíî .

7.2 Çàêîí Áiî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà

Çàêîí Áiî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà äîçâîëÿ¹ ðîçðàõóâàòè iíäóêöiþ ìàãíiòíîãî ïîëÿ äîâiëüíîãî ïðîâiäíêà çi ñòðóìîì (ðèñ 3.7). Ðîç-ãëÿíåìî äîâiëüíèé òîíêèé ïðîâiäíèê, ïî ÿêîìó òå÷å ñòðóì. Âiçüìåìî ìàëåíüêó äiëÿíêó ïðîâiäíèêà äîâæèíîþ d`. Çðîçóìiëî,ùî öÿ äiëÿíêà ìiñòèòü ðóõîìi çàðÿäè, êîæåí ç ÿêèõ ¹ äæåðåëîì iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ.

d ~B =∑i

d ~Bi = dN µ0

4πq0[~υ·~r]r3 = nSd`µ0

4πq0[~υ·~r]r3

n- êîíöåíòðàöiÿ

dN êiëüêiñòü ÷àñòèíîê â d`

d ~Bi- öå iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ êîæíîãî ðóõîìîãî çàðÿäó âèäiëåíî¨ äiëÿíêè.

~j = qn~υ

d ~B = S · d` · µ0

4π[~j·~r]r3

21

7.3 Ðîçðàõóíîê iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ëiíiéíîãî ïðîâiäíèêà çi ñòðóìîì 7 Ìàãíiòíå ïîëå

I = S · j

Ââåäåìî âåêòîð íàïðÿìêó äiëÿíêè d~, ÿêèé ì๠ñïiâïàäàòè çà íàïðÿìêîì ç ~j

|d~| = d`

d~ ~j

d ~B = Sj µ0

4π[d~·~r]r3

d ~B = µ0

4πI·[d~·~r]r3 - çàêîí Áiî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà

~B =´l

d ~B = µ0

4π

´l

I[d`·~r]r3

7.3 Ðîçðàõóíîê iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ëiíiéíîãî ïðîâiäíèêà çi ñòðóìîì

(ðèñ 3.8)

d ~B = µ0

4πI[d~~r]r3

d ~B ~B

B =´dB (óci âåêòîðè êîëiíåàðíi i íàïðÿìëåíi â îäíó ñòîðîíó, òîìó ñêàëÿð)

dB = µ0

4πI·d`·rsinα

r3

r = bsinα

d` · sinα = rdα

dl = b·dαsin2α

dB = µ0

4π · I ·b·dαsin2α

· bsinα ·sinαb3

sin3α

dB = µ0

4π ·Ib · sinα · dα

Ìà¹ìî ïðîâiäíèê çi ñòðóìîì. (ðèñ 3.9, 3.10)

B =α2´α1

µ0

4πIb sinαdα = µ0

4πIb (−cosα)|α2

α1

B = µ0

4π ·IB · (cosα1 − cosα2)

B = µ0

4π ·Ib · 2cosα

α1 = 0, α2 = π

B = µ0

4π ·2Ib

B = µ0I2πb

7.4 Ñèëà Ëîðåíöà. Íÿ =)

Ñèëà Ëîðåíöà - öå òà ñèëà, ç ÿêîþ ìàãíiòíå ïîëå äi¹ íà ðóõîìèé çàðÿä.

~B, q, ~υ. Òðåáà îðãàíiçóâàòè âåêòîð ñèëè.

~F ∼ ~B

|~F | ∼ q

22

7.5 Ñèëà Àìïåðà 7 Ìàãíiòíå ïîëå

~F∼~υ~Fë = q[~υ · ~B]

Ìè ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî öå ¹ ñèëà Ëîðåíöà, íàïðèêëàä, ðèñ 3.11

Ìà¹ìî çàðÿä íà âiäñòàíi b, ùî ðóõà¹òüñÿ çi øâèäêiñòþ υ âçäîâæ ïðîâiäíèêà. Ñèëà, ùî äi¹ íà çàðÿä - öå ñèëà Ëîðåíöà. (ðèñ3.12)

Fë = qυB = qυ µ0I2πb

7.5 Ñèëà Àìïåðà

Ðîçãëÿíåìî ïðîâiäíèê çi ñòðóìîì I. Ðîçìiñòèìî éîãî â îäíîðiäíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi ~B (ðèñ 3.13)

~Fë = q0[~υ ~B]

d~F =∑i

~Fi = dN · q0[~υ ~B] = n · S · d` · q0[~υ · ~B]

~j = n · q0 ~·υd~F = S · d`[~j ~B] = s · j · [d~ · ~B]

d~ ~j

d~F = I[d~ · ~B]- öå i ¹ ñèëà Àìïåðà

Î÷åâèäíî, êîëè ìè ìà¹ìî äîâiëüíèé ïðîâiäíèê, ùî çíàõîäèòüñÿ â äîâiëüíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi 3.14~F =´`

d~F = I´`

[d~~B]

äëÿ ëiíiéíîãî ïðîâiäíèêà ~B = const

~F = I[´d~, ~B] = I[~~B]

F = B · I · ` · sinα

α = (ˆ~, ~B)

7.14

I1 I2

b

7.15

I

7.16

I

7.17 7.18

S

7.6 Òåîðåìà Ñòîêñà äëÿ âåêòîðà iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ

Ðîçãëÿíåìî ïðîâiäíèê çi ñòðóìîì (ðèñ 7.14). Âií óòâîðþ¹ íàâêîëî ñåáå ëiíi¨ êîíöåíòðè÷íi ñòðóìó. Çäiéñíèìî îáõiä ïî ëiíi¨iíäóêöi¨. Ïðè çäiéñíåíi òàêîãî îáõîäó

¸~Bd~=

¸Bd` = µ0I

2πr

¸d` = µ0I

2πr ` = µ0I2πr2πr (ðèñ 7.15)

~B d~¸~Bd~= µ0I, I - äæåðåëî ïîëÿ.

Óçàãàëüíåìî öå âiäíîøåííÿ íà âèïàäîê äîâiëüíîãî êîíòóðó. Ðîçãëÿíåìî äîâiëüíèé êîíòóð, ÿêèé ëåæèòü ó ïëîùèíi, ùîïåðïåíäèêóëÿðíà ïðîâiäíèêó çi ñòðóìîì. (ðèñ 7.16)¸~Bd~= ~Bd~= B(d`)B

(d`)b →ïðîåêöiÿ d~íà ~B

(dl)B = r · dα¸~B·d~=

¸B · r · dα =

¸µ0I2πr rdα = µ0I

Òåîðåìà Ñòîêñà: öèðêóëÿöiÿ âåêòîðà iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ äîðiâíþ¹¸~Bd~ = µ0I, äå I - çàãàëüíà ñèëà ñòðóìó, ùî

ïðîíèçó¹ êîíòóð, ïî ÿêîìó ðîçðàõîâó¹òüñÿ öèðêóëÿöiÿ. (ðèñ 7.17)¸~Bd~=

¸ ∑i

~Bid~=∑i

¸~Bid~=

∑i

µ0Ii∑i

Ii = i

¸~Bd~= µ0

∑i

Ii

23

7.7 Òåîðåìà Ñòîêñà äëÿ âåêòîðà iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ â äèôåðåíöiàëüíié ôîðìi. 7 Ìàãíiòíå ïîëå

7.7 Òåîðåìà Ñòîêñà äëÿ âåêòîðà iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ â äèôåðåíöiàëüíié ôîðìi.

Çàïèøåìî â iíåãðàëüíié ôîðìi¸~Bd~= µoI

Î÷åâèäíî, ùî I =´~jd~S

Ïîâåðõíÿ S - öå ïîâåðõíÿ, ÿêó íàòÿãíóòî íà êîíòóð (ðèñ 7.18).¸(`)

~Bd~= µ0

´(S)

~jd~S

¸(`)

~Bd~=´

(S)

rot ~Bd~S

Ìàòåìàòè÷íà òåîðåìà ñòîêñà. Çàñòîñó¹ìî ¨¨ äëÿ ðîçðàõóíêó öèðêóëÿöi¨ âåêòîðà ~B.´(S)

rot ~Bd~S = µ0

´(S)

~jd~S

rot ~B = µ0~j

~i ~j ~k

µ0j = ∂∂x

∂∂y

∂∂z =~i(∂Bz∂y −

∂By∂z )−~j(∂Bz∂x −

∂Bx∂z ) + ~k(

∂By∂x −

∂Bx∂y )

Bx By Bz

7.19

I

7.20

. . ..... .

X X X X X X XX

7.21 7.22

b

середовище

7.23

I

7.8 Ïîëå Ñîëåíî¨äà.

Ñîëåíî¨ä - öå ïðèñòðié, ÿêèé âèêîðèñòîâóþòü äëÿ íàêîïè÷åííÿ åíåðãi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ïðåäñòàâëÿ¹ ñîáîþ ïðîâiäíèê, ÿêèéç îäíîðiäíîþ ùiëüíiñòþ íàìîòàíèé íà öèëiíäðè÷íó ïîâåðõíþ. (ðèñ 7.19, 7.20)

Ïðîïóñòèìî ÷åðåç ñîëåíî¨ä ñòðóì I. Ðîçãëÿíåìî ïåðåðiç ïëîùèíîþ, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç âiñü ñîëåíî¨äà.

Âèáèðà¹ìî êîíòóð äëÿ ðîçðàõóíêè öèðêóëÿöi¨ B. (·- ñòðóì âèõîäòü, x - ñòðóì âõîäèòü. )¸~Bd~= B`¸~Bd~= µ0∆NI

B` = µ0n`I

B = µ0nI - ôîðìóëà äëÿ iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ íåñêií÷åííî äîâãîãî ñîëåíî¨äà.

∆N = n`

Íà îñi iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ Bê = 12µ0nI (ðèñ 7.21)

B = µ0NL I, L - äîâæèíà êîòóøêè

7.9 Ìàãíiòíå ïîëå â ñåðåäîâèùi

Ðîçãëÿíåìî 2 ïàðàëåëüíi ïðîâiäíèêè I1 òà I2

F ∼ µ0

4π2I1I2b ∆

`

F = µµ0

4π2I1I2b ∆

`

µ çìiíþ¹ ñèëó âçà¹ìîäi¨. (ðèñ 7.22)

Ñèëîâó äiþ ÷èíèòü ìàãíiòíå ïîëå, îòæå ñëiä ïðèïóñòèòè, ùî â ñåðåäîâèùi çìiíþ¹òüñÿ iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ. Ìè âèìóøåíiïðèïóñòèòè, ùî ñèëà ~B âèêëèêàíà ìiêðîñòðóìàìè íà àòîìíîìó ðiâíi.

~B = ~BI + ~B′ìiêðîñòðóì

µ ìîæå áóòè áiëüøå 1, òîäi ~B çðîñòà¹... Ìiêðîñòðóìè ìîæóòü ìàòè ïðîòèëåæíi íàïðÿìêè. (ðèñ 7.23)

24

7.10 Ìàãíiòíèé äèïîëü 7 Ìàãíiòíå ïîëå

7.10 Ìàãíiòíèé äèïîëü

Ðîçãÿíåìî çàìêíåíèé êîíòóð çi ñòðóìîì. Ìàãíiòíèì ìîìåíòîì (ìàãíiòíèì äèïîëåì) íàçèâà¹üñÿ äîáóòîê ñèëè ñòðóìó íàïëîùó êîíòóðó.

PM = IS

~PM = IS~n, äå ~n -âåêòîð íîðìàëi äî êîíòóðó.

~PM ì๠íàïðÿìîê âçäîâæ íîðìàëi. Î÷åâèäíî, ùî íà ìàãíiòíèé äèïîü äi¹ ìåõàíi÷íèé ìîìåíò ñèë çi ñòîðîíè çîâíiøíüîãîìàãíiòíîãî ïîëÿ ~M = [~PM ~B].

Åíåðãiÿ ìàãíiòíîãî äèïîëÿ E = −~PM ~B.

ßêùî â ñåðåäîâèùi ïiä äi¹þ çîâíiøíüîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ óòâîðþþòüñÿ çàìêíóòi ìiêðîñòðóìè, òî êîæíèé ç òàêèõ ñòðóìiâ ¹ìàãíiòíèì äèïîëüíèì ìîìåíòîì i òî÷êà ñåðåäîâèùà íàáóâ๠äèïîëüíîãî ìîìåíòó

7.11 Âåêòîð íàìàãíi÷åíîñòi

Íàìàãíi÷åíà ðå÷îâèíà - öå ðå÷îâèíà , ÿêà âíåñåíà â çîâíiøí¹ ìàãíiòíå ïîëå íàáóâ๠ìàãíiòíîãî ìîìåíòó

~Mìàã =∑i

~Pmi

~Mìàã ∆V

~M =~Mìàã

∆V

~m = 1∆V

∑i

~Pìàã

~m = n~po

7.24 7.25

контур

7.26

I

7.27

m

H

1 2

m

H

>0 <0

парамагнетики діамагнетики

7.28

m

mm

m

m

H1

2

7.12 Íàïðóæåíiñòü ìàãíiòíîãî ïîëÿ

Çàïèøåìî òåîðåìó Ñòîêñà â äèôåðåíöàëüíié ôîðìi.

rot ~B = µ0~j + µ0

~jìiêð

~j-ñòðóìè ïðîâiäíîñòi, ~jìiêð - ìiêðîñêîïi÷íi çàìêíåíi ñòðóìè, ùî âèíèêàþòü âíàñëiäîê äi¨ ïîëÿ.

Ç'ÿñîâó¹òüñÿ, ùî ~jìiêð = rot~m

Íåõàé ìà¹ìî ëiíi¨ iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ. Âèíèêàþòü ìiêðîñêîïi÷íi ñòðóìè. (ðèñ 7.25)

Î÷åâèäíî, ùî íà êîíòóð ` ìè ìîæåìî íàòÿãíóòè êîíòóð S

I =´~jìiêðd~S =

´nIìiêðSìiêðd`=

¸~md~

Âðàõîâàíî, ùî âêëàä â ñòðóìè äàþòü òiëüêè òi ìiêðîñòðóìè, ÿêi ïåðåòèíàþòü êîíòóð `. Âåëè÷èíà òàêîæ çàëåæèòü âiäùiëüíîñòi òà êiëüêîñòi.

PMI - ìàãíiòíèé äèïîëüíèé ìîìåíò.

nIìiêðSìiêð-íàìàãíi÷åíiñòü.

Çà ìàòåìàòè÷íîþ òåîðåìîþ Ñòîêñà¸~md` =

´rot~md~S ⇒ ~jìiêð = rot~m

rot ~B = µ0~j + µ0rot~m

rot(~Bµ0− ~m) = ~j (ñòðóì ïðîâiäíîñòi)

~H =~Bµ0− ~m

25

7.13 Ìàãíiòíà ïðîíèêíiñòü. Ìàãíiòíà ñïðèéíÿòíëèâiñòü 7 Ìàãíiòíå ïîëå

~H- âåêòîð íàïðóæåíîñòi ìàãíiòíîãî ïîëÿ.

rot ~H = ~j - òåîðåìà Ñòîêñà äëÿ âåêòîðà íàïðóæåíîñòi (~j - ãóñòèíà ñòðóìó ïðîâiäíîñòi).

Iíòåãðàëüíèé çàïèñ:¸~Hd~= I

Äëÿ ëiíiéíîãî ïðîâiäíèêà çi ñòðóìîì (ðèñ 7.26)¸Hd` = H2πr

H2πr = I

H = I2πr

7.13 Ìàãíiòíà ïðîíèêíiñòü. Ìàãíiòíà ñïðèéíÿòíëèâiñòü

Äëÿ áiëüøîñòi ðå÷îâèí âåêòîð íàìàãíi÷åíîñòi ïðÿìîïðîïîðöiéíèé âåêòîðó íàïðóæåíîñòi ìàãíiòíîãî ïîëÿ.

~m = χ ~H (χ- êîåôiöi¹íò ïðîïîðöiéíîñòi, ùî íàçèâà¹òüñÿ ìàãíiòíà ñïðèéíÿòëèâiñòü) (ðèñ 7.27)

~m ~H

~H =~Bµ0− ~m

~H =~Bµ0− χ ~H

(1 + χ) = µ>0 - ìàãíiòíà ïðîíèêíiñòü.

~B = µ0(1 + χ) ~H ⇒ ~B = µµ0~H

d~B = µµ0

4πI[d~·~r]r3 - çàêîí Áiî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà â ñåðåäîâèùi.

d ~H = I[d~·~r]4πr3

Ôåðîìàãíåòèêè - öå ðå÷îâèíè, â ÿêèõ âiäáóâà¹òüñÿ ÿâèùå ñïîíòàííîãî (ñàìî÷èííîãî) âèíèêíåííÿ íàìàãíi÷åíîñòi.

Âiçüìåìî ôåðîìàãíåòèê, ðîçiá'¹ìî éîãî íà äiëÿíêè (äîìåíè). (ðèñ 7.28). ~m = χ ~H. ßêùî ââåñòè ìàãíiòíå ïîëå,

1. H = 0, mïîâíå = 0

2. H 6= 0, mñåð 6= 0 ⇒ ôåðîìàãíåòèê íàìàãíi÷åíèé.

Ïðàâîîáëàäàòåëè

Êîíñïåêò ëåêöèé ïî ôèçèêå, íàáðàííûé ñ ëåêöèé Êàëèòû Â.Ì.. Îòëè÷àåòñÿ îò îðèãèíàëà.

Àâòîð, ãëàâíûé ðåäàêòîð: Ñêóáåíêî Ðóñëàí (RuslanUSP).

Ðåäàêòîð: Ãóñàí Åêàòåðèíà.

Ñïåö ïî âåêòîðíîé ãðàôèêå: Åôèì÷åíêî Àíàñòàñèÿ.

Êàâàéíàÿ Íÿøêà: Òþðèíà Àëåêñàíäðà

mineralka.da02.com.ua

ProResource

26