МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

ТЕХНІЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА

Конспект лекцій

КИЇВ 2006

Технічна електродинаміка. Конспект лекцій / Укл. В.В. Пілінський, П.В. Попович. – К.:

Національний Технічний Університет України “КПІ”, 2006. – 224с.

Конспект лекцій охоплює основні положення електродинаміки, рівняння Максвелла, хвильові рівняння, граничні умови, тощо. В конспекті наведено особливості випромінювання та поширення електромагнітних хвиль. Описані радіохвилеводи, лінії передачі та резонансні системи.

Призначено студентам напряму підготовки 6.0924 “Телекомунікації” за фахом 7.092401 “Телекомунікаційні системи та мережі”.

Укладачі: Пілінський Володимир Володимирович, к.т.н, проф. (розд. 1-9,11) Попович Павло Васильович, ас. (розд. 10, 12) Відповідальний за випуск: М.П. Макаренко, д.т.н., проф. Рецензенти: О. П. Шпінь, д.т.н., проф. Ю.Г. Савченко, д.т.н., проф. В.Б. Швайченко, к.т.н., доц. Рекомендовано Кафедрою звукотехніки та реєстрації інформації Протокол № 9 від 13.03.2006 Завідувач кафедри проф. М.П. Макаренко

2

ЗМІСТ Стор.

Передмова………………………………………………………….……………………... 6 1. Електродинаміка - основа професіоналізму спеціаліста електрозв’язку…………….. 8

1.1. Предмет та задачі курсу…………………………………………………………... 8 1.2. Стисла історична довідка…………………………………………………………. 16 1.3. Розподіл радіохвиль за діапазонами……………………………………………... 17 1.4. Спрощена схема відеозв’язку…………………………………………………….. 19

1.4.1 Структурна схема відеозв’язку………………………………..………… 19 1.4.2 Структура та смуга частот телевізійного сигналу………………...……. 20

1.5. Висновки…………………………………………………………………………… 23 2. Електростатика…………………………………………………………………………… 24

2.1 Закон взаємодії електричних зарядів…………………………………………….. 24 2.2 Основні характеристики електричного поля…………………………………….. 25 2.3 Закон Гаусса-Остроградського…………………………………………………… 28

2.3.1 Закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі………………..… 28 2.3.2 Закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі……………... 30 2.3.3 Перетворення (теорема) Гаусса-Остроградського……………………... 33

2.4 Робота сил та потенціал електростатичного поля………………………………. 33 2.5 Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу……………………………….. 35 2.6 Рівняння Пуассона та Лапласа……………………………………………………. 37 2.7 Граничні умови електростатики………………………………………………….. 40

2.7.1 Нормальні складові векторів D та E …………………………………………. 40 2.7.2 Тангенціальні складові векторів D та E …………………………………….. 42 2.7.3 Граничні умови для потенціалу……………………………………......... 43 2.7.4 Граничні умови на поверхні ідеального провідника…………………... 44

2.8 Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля……………... 45 2.9 Висновки…………………………………………………………………………… 46

3. Магнітне поле постійного струму………………………………………………………. 48 3.1 Магнітне поле постійного струму. Закон Біо-Савара…………………………... 48 3.2 Закон повного струму…………………………………………………………….. 52

3.2.1 Закон повного струму в інтегральній формі……………………………. 52 3.2.2 Закон повного струму в диференціальній формі………………….......... 54 3.2.3 Перетворення (теорема) Стокса………………………………………….. 57

3.3 Розв’язування прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді…………... 57 3.4 Граничні умови магнітостатики………………………………………………….. 60

3.4.1 Нормальні складові векторів B та H ………………………………… 60 3.4.2 Тангенціальні складові векторів B та H ……………………….......... 61 3.4.3 Граничні умови на поверхні ідеального провідника…………………... 63

3.5 Поняття індуктивності. Енергія магнітного поля постійного струму ………… 63 3.6 Висновки…………………………………………………………………………... 64

4. Основні рівняння електродинаміки. Система рівнянь Максвелла…………………… 66 4.1 Закон збереження електричного заряду………………………………….…….... 67 4.2 Перше рівняння Максвелла (закон повного струму або коловий закон

Ампера)…………………………………………………………………………….. 69 4.3 Друге рівняння Максвелла ……………………………………………………….. 72 4.4 Повна система рівнянь Максвелла…………………………………..…………… 73 4.5 Рівняння Максвелла для монохромного коливання (у комплексній формі)..… 75 4.6 Класифікація середовищ за провідністю………………………………………… 77 4.7 Принцип переставної двоїстості…………………………………………………. 78

3

4.8 Електродинамічні потенціали, що запізнюються……………………………….. 79 4.9 Висновки…………………………………………………………………………… 85

5. Енергія електромагнітного поля………………………………………………………… 87 5.1 Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля………………………. 87 5.2 Теорема Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі)………... 90 5.3 Уявлення процесу передавання енергії………………………………………….. 92 5.4 Лема Лоренца……………………………………………………………………… 92 5.5 Висновки…………………………………………………………………………… 94

6. Поширення електромагнітних хвиль у різних середовищах………………………….. 95 6.1 Хвильові рівняння…………………………..…………………………..………… 95 6.2 Поняття про однорідні плоскі електромагнітні хвилі…………………………... 97 6.3 Поляризація однорідих плоских хвиль…………………………..……………..... 98 6.4 Хвильові рівняння однорідних плоских хвиль …………………………………. 100 6.5 Особливості поширення однорідних плоских хвиль в різних середовищах..… 102

6.5.1 Напівпровідне середовище (діелектрик з втратами)…………………... 102 6.5.2 Діелектрики та провідники………………………..……………………. 107

6.6 Поверхневий ефект у провідниках………………………..……………………… 108 6.7 Висновки…………………………..…………………………..…………………… 110

7. Основи випромінювання електромагнітних хвиль…………………………………….. 111 7.1 Елементарний електричний випромінювач (диполь Герца, електричний вібратор)…………………………..…………………………..……………………. 111

7.1.1 Загальний випадок…………………………..……………………………. 111 7.1.2 Ближня зона (зона індукції)……………………………………………… 117 7.1.3 Дальня зона (зона випромінювання)……………………………………. 119 7.1.4 Проміжна зона…………………………..…………………………..……. 121 7.1.5 Діаграма спрямованості випромінювача………………………….…….. 123 7.1.6 Потужність та опір випромінювання диполя Герца…………………… 124

7.2 Магнітний елементарний випромінювач………………………………………... 126 7.2.1 Метод вирішення задач.………………………..……………………..…. 126 7.2.2 Ближня зона…………………………..…………………………..………. 127 7.2.3 Дальня зона…………………………..…………………………..……….. 128 7.2.4 Потужність та опір випромінювання елементарного магнітного випромінювача…………………………..……………………………….. 129

7.3 Елементарний щілинний випромінювач……………………………………..….. 129 7.3.1 Метод вирішення задач…………………………………………………… 129 7.3.2 Потужність та опір випромінювання елементарного щілинного випромінювача…………………………………………………………….. 130

7.4 Елемент Гюйгенса………………………………………………………………… 131 7.5 Висновки…………………………………………………………………………… 132

8. Хвильові явища на границі розподілу двох середовищ……………………………….. 134 8.1 Основні поняття та закони………………………………………………………... 134

8.1.1 Представлення процесів на границі розподілу двох середовищ………. 134 8.1.2 Закони Снелліуса………………………………………………………….. 135

8.2 Похиле падіння електромагнітної хвилі на границю розподілу двох середовищ………………………………………………………………………..... 138

E розташований в площині, яка перпендикулярна до 8.2.1 Вектор 138 площини падіння…………………………………………………………..

E розташований у площині падіння (або у площині, 8.2.2 Вектор 139 паралельній до площини падіння)………………………………………...

8.3 Явище повного внутрішнього відбиття………………………………………….. 141

4

8.4 Явище повного проходження електромагнітної хвилі. Кут Брюстера………… 142 8.4.1 Вектор розташований у площині падіння (паралельна поляризація) E 142 8.4.2 Вектор розташований у площині, що є перпендикулярною до E

144 площини падіння…………………………………………………………. 8.5 Утворення невідбиваючого середовища………………………………………… 144 8.6 Висновки…………………………………………………………………………… 145

9. Поширення електромагнітних хвиль над плоскою ідеальною провідною поверхнею…………………………………………………………………………………

147

9.1 Загальні поняття…………………………………………………………………… 147 9.1.1 Типи хвиль………………………………………………………………... 147 9.1.2 Поняття рухомої та стоячої хвилі……………………………………….. 148 9.1.3 Фазова та групова швидкості……………………………………………. 150

9.2 Структура електромагнітного поля над ідеальною провідною поверхнею…… 152 9.2.1 Вектор E , перпендикулярний до площини падіння…………………… 152 9.2.2 Вектор E ,паралельний площині падіння……………………………… 156

9.3 Висновки…………………………………………………………………………… 158 10. Електромагнітні хвилі у радіохвилеводах……………………………………………… 160

10.1 Необхідність застосування принципіально нової елементної бази в діапазонах НВЧ та вище…………………………………………………………... 160 10.2 Хвилі у хвилеводах з поперечним перерізом прямокутної форми…………….. 162

10.2.1 Поздовжньо-магнітна хвиля – хвиля типу H………………………….. 162 10.2.2 Поздовжньо-електрична хвиля – хвиля типу E……………………….. 164 10.2.3 Структура струму в стінках і порожнині хвилеводу…………………. 165 10.2.4 Основні співвідношення для хвиль у хвилеводі……………………… 167 10.2.5 Середня потужність, що предається по хвилеводу…………………… 169 10.2.6 Хвиля основного типу. Хвилі вищих порядків……………………….. 170 10.2.7 Коефіціент поширення хвилі у хвилеводі……………………………... 171 10.2.8 Вибір поперечних розмірів хвилеводу з хвилею основного типу…… 172

10.3 Хвилеводи з круглим поперечним перерізом…………………………………… 173 10.4 Висновки…………………………………………………………………………… 175

11. Лінії передачі……………………………………………………………………………... 177 11.1 Теоретичні засади…………………………………………………………………. 177 11.2 Параметри ліній передачі…………………………………………………………. 180 11.3 Графічний метод визначення параметрів лінії передачі. Діаграма Сміта……... 182 11.4 Висновки…………………………………………………………………………… 189

12. Резонансні системи та інші засоби в діапазоні надвисоких частот…………………... 191 12.1 Порожнисті об’ємні резонатори………………………………………………….. 191 12.2 Коаксіальні об’ємні резонатори………………………………………………….. 195 12.3 Квазістаціонарні об’ємні резонатори…………………………………………….. 197 12.4 Інші пристрої тракту НВЧ………………………………………………………… 199

12.4.1 Елементи ліній передачі………………………………………………... 199 12.4.2 Феритові пристрої НВЧ………………………………………………… 206

12.4 Висновки…………………………………………………………………………… 212 Додаток А Деякі співвідношення корисні для вивчення курсу «Технічна електродинаміка». Довідкова інформація……………………………………..

213

Додаток Б Деякі завдання для самостійної роботи з курсу “Технічна електродинаміка”……………………………………………………………….

220

Література ……………………………………………………………………………………. 223

5

Передмова

“Технічна електродинаміка” - базова дисципліна бакалаврів, інженерів, магістрів за напрямом підготовки “Телекомунікації”, спеціальності “Телекомунікаційні системи та мережі”.

Книга, яку Ви тримаєте в руках, складена за змістом навчальної та робочих програм (відповідно до форм навчання) дисципліни, затверджених деканом факультету Електроніки (ФЕЛ).

Цей матеріал має на меті допомогти студенту оволодіти базовими знаннями електродинаміки. Наполеглива робота з ним створить надійний фундамент для подальшого засвоєння курсу, вирішення практичних задач електродинаміки (прямої та зворотньої), інших дисциплін за фахом. Цей матеріал, в більшості, складено з урахуванням конспектів лекцій професора, д.т.н. В.О. Іванова, а також відповідної літератури та досвіду роботи лектора із студентами кафедри Звукотехніки та реєстрації інформації факультету Електроніки НТУУ “КПІ”, які навчаються за напрямом підготовки “Телекомунікації”.

У першому розділі наведені: основні поняття електродинаміки; історична довідка накопичення знань з електротехніки, радіотехніки; розподіл радіохвиль за діапазонами частот та довжинами хвиль; визначення смуги частот телевізійного сигналу.

У другому розділі наведена базова інформація з електростатики, основні поняття: вектор напруженості електричного поля, вектор електричного зміщення, потенціал тощо; закони електростатики; граничні умови та інше.

У третьому розділі сформульовані засади формування магнітного поля постійним струмом, наведені основні поняття: вектор напруженості магнітного поля, вектор магнітної індукції (густини магнітного потоку), векторний магнітний потенціал; закони магнітного поля, граничні умови.

Четвертий розділ є базовим для розуміння подальших положень електродинаміки. В ньому показано формування системи рівнянь Максвелла як узагальнення законів електродинаміки, взаємозв’язок між електричним та магнітним полями як складовими єдиного електромагнітного поля; обґрунтовано введення Максвеллом поняття “струм зміщення”, завдяки якому в подальшому показано формування електромагнітних хвиль; з’ясовано поняття “потенціал, що запізнюється”.

У п’ятому розділі на основі рівнянь Максвелла виведена теорема Пойнтінга; наведено обґрунтування балансу потужностей (та енергії) стосовно електромагнітного поля; сформульоване поняття вектора Пойнтінга, за якого визначають потужність електромагнітного поля – носія інформації в навколишньому середовищі.

У шостому розділі на основі рівнянь Максвелла отримано хвильове рівняння, яке показує зв’язок характеристик поля в часі і просторі з швидкістю поширення. Наведено розв’язок хвильового рівняння; показані параметри, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах: ідеальному діелектричному, діелектричному з втратами (напівпровідному), провідному.

У сьомому розділі наведена інформація щодо формування електромагнітних хвиль елементарними (базовими) випромінювачами: електричним(диполь Герца), магнітним (рамка з струмом), елементарним щілинним випромінювачем, елементом Гюйгенса, на основі яких в подальшому сформульовані засади функціонування антен, обґрунтовані поняття зон: ближньої (індукції) та дальньої (випромінення).

У восьмому розділі наведені основні поняття та закони хвильових явищ на границі розподілу двох середовищ, розглянуті явища повного внутрішнього відбиття та явища повного проходження електромагнітної хвилі, обґрунтовано особливості утворення невідбиваючого середовища.

Дев’ятий розділ дає пояснення щодо особливостей поширення електромагнітних хвиль над плоскою ідеальною провідною поверхнею. В розділі розглянуті основні типи хвиль, поняття рухомої та стоячої хвилі, фазової та групової швидкості, а також наведена структура

6

електромагнітного поля над ідеальною провідною поверхнею, що створює основу для розуміння побудови хвилеводів та інших спеціальних пристроїв.

У десятому розділі обґрунтовано необхідність застосування принципово нової елементної бази в діапазонах надвисоких частот НВЧ та вище, розглянуті електромагнітні хвилі у радіохвилеводах, наведено особливості хвилеводів з поперечним перерізом прямокутної форми та у вигляді кола.

У одинадцятому розділі наведена інформація щодо ліній передач та їх параметрів. Пояснено графічний метод визначення параметрів лінії передач, наведено порядок побудови та використання діаграми Сміта.

Дванадцятий розділ є корисним для вивчення резонансних систем в області надвисоких частот, в ньому розглянуті порожнисті, коаксіальні та квазістаціонарні об’ємні резонатори, а також інші елементи техніки НВЧ.

В кінці кожного розділу наведені висновки, щоб допомогти студенту краще засвоїти матеріал.

В оформленні цієї роботи приймали участь студенти кафедри ЗТ та РІ, особлива подяка студентам: Бакіко В.М., Горичевській О.Е., Динді О.В., Дроб’язку А.А., Кир’янову П.Г., Крошку С.С., Харікову П.О.

7

“Немає кращого засобу повідомлення розуму знань ніж метод викладання їх в якомога різноманітніших формах”.

Джеймс Кларк Максвелл

(1831 - 1879)

1 ЕЛЕКТРОДИНАМІКА – ОСНОВА ПРОФЕСІОНАЛІЗМУ СПЕЦІАЛІСТА ЕЛЕКТРОЗВ’ЯЗКУ

1.1 Предмет та задачі курсу 1.2 Стисла історична довідка 1.3 Розподіл радіохвиль за діапазонами 1.4 Спрощена схема відеозв’язку 1.4.1 Структурна схема відеозв’язку 1.4.2 Структура та смуга частот телевізійного сигналу 1.5 Висновки 1.1 Предмет та задачі курсу Почнемо із запитання – навіщо студентам, які навчаються за напрямом “Телекомунікації”,

дисципліна «Технічна електродинаміка»? Розглянемо типову для телекомунікації ситуацію. Є передавальна А та приймальна В

радіостанції (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 Спрощена схема організації радіозв‘язку

Яким чином здійснюється передавання інформації з пункту А до пункту В? Після

відповідного формування сигналу, його підсилення та перетворення в комплексі 1, проходження через фідерний тракт 2 й випромінювання антеною 3, електромагнітна енергія поширюється в навколишньому середовищі 4 (з параметрами: діелектрична проникність ε, магнітна проникність µ, питома електропровідність σ) сприймається антеною 5, й через фідерний тракт 6 потрапляє до приймального пристрою 7, в якому обробляється та як інформація надається користувачу. Цей процес реалізовано радіоканалом.

За ДСТУ 3254-95 «Радіозв‘язок. Терміни та визначення»: Радіоканал – це сукупність радіотехнічних пристроїв разом з радіолінією, що слугує для

передавання повідомлень від відправника до одержувача (на рис. 1.1 це 1–7).

8

Радіолінія – це сукупність передавальної, приймальної антен та середовища поширення радіохвиль (на рис. 1.1 це 3–5).

Таким чином, процеси формування (збудження), випромінювання й поширення в різних середовищах електромагнітної енергії за допомогою електромагнітних хвиль – носіїв інформації є змістом курсу «Технічна електродинаміка». Задачі електродинаміки пов‘язані з діапазонами частот, що використовуються сучасною радіотехнікою.

Наука має справу з матеріальними об’єктами. Не вдаючись до філософського визначення матерії, можна стверджувати, що матерія – це нескінченна множина всіх існуючих в світі об’єктів та систем. Вона містить в собі не тільки об’єкти і тіла природи, які вже відомі, але і ті, які ще можуть бути відкриті в майбутньому завдяки вдосконаленню засобів спостереження та експеримента.

Електродинаміка — це розділ фізики, що вивчає закони руху та взаємодії електричних зарядів – наука про електромагнітні поля і електромагнітні хвилі, яка базується на хвильовому уявленні електромагнітного поля. Електродинаміка надає інформацію щодо складних процесів, які відбуваються в джерелах електромагнітного випромінення, хвилеводах, об’ємних резонаторах, пристроях надвисокої частоти (НВЧ), антенах тощо. Цей курс спирається на відповідні розділи фізики та математики й формує базу для вивчення дисциплін «Лінії передачі», «Електромагнітна сумісність радіозасобів» та інших фахових дисциплін.

Згідно з ДСТУ 2843-94 «Електротехніка. Основні поняття, терміни та визначення»: Електромагнітне поле (ЕМП) – вид матерії, що визначається в усіх точках двома векторними величинами, які характеризують дві його сторони, що називають відповідно «електричне поле» та «магнітне поле», які чинять силовий вплив на заряджені частинки залежно від їх швидкості та значення їх заряду.

Тобто можна стверджувати, що електромагнітне поле – це особливий вид матерії, що характеризується всіма ознаками матерії – масою, кількістю руху, моментом кількості руху, енергією та, що важливо для телекомунікації, здатністю поширювати електромагнітну енергію.

Складові електромагнітного поля були виявлені завдяки силовій взаємодії. Силова взаємодія між двома електронами, яка має електричну природу, перевищує

відповідну силу гравітації в разів. 421017,4 ⋅Електромагнітне поле, як це випливає з назви, має дві складові. Електричне поле - це одна з двох складових ЕМП, що обумовлена електричними зарядами

та змінним магнітним полем. За ДСТУ 2843-94: Електричне поле - це прояв електромагнітного поля, що характеризується впливом на

електрично заряджену частинку з силою, яка пропорційна заряду частинки і не залежить від її швидкості.

Магнітне поле - це одна з двох складових ЕМП обумовлена рухомими електричними зарядами (електричним струмом) та змінним електричним полем.

За ДСТУ 2843-94: Магнітне поле - це прояв електромагнітного поля, що характеризує вплив на рухомі

електрично заряджені частинки з силою, пропорційною заряду частинки та її швидкості. В основі електродинаміки лежать емпіричні закони електромагнетизму узагальнені

Джеймсом Кларком Максвеллом системою рівнянь та електромагнітна теорія Хендрика Антона Лоренца.

Взагалі всі фізичні матеріальні об’єкти можна уявно розділити на два різновиди: речовину та поле.

Речовина - це форма матерії, яка складається з частинок, що мають масу (масу спокою). Фізичні поля - це форма матерії, яка зумовлена взаємодією частинок речовини і зв’язують їх

(частинки) між собою.

9

Тобто фізичні поля та речовина зв’язані між собою. Відкриття Альбертом Ейнштейном закону, що зв’язує між собою масу та енергію, було сприйнято в свій час як криза у фізиці. “Матерія зникає” - висловлювались деякі філософи. Але це свідчить про поглиблення знань стосовно матерії. Речовина здатна переходити в іншу, в даній ситуації – електромагнітну форму існування.

Розглянемо приклад. Відоме рівняння Ейнштейна має вигляд:

2mcE = ,

де E - енергія поля, m – маса, с - швидкість поширення електромагнітної енергії (швидкість світла). Звідси

m=E/c2, або

m=(P·t)/c2.

Тоді, наприклад, для енергії, яку випромінює джерело потужністю P = 1000 кВт протягом доби (86400 с) маса буде дорівнювати:

m = (P·t)/с2 = (106 ·8,64·104)/ (3·108)2 = 9,6·10-7 кг ≈ 1мг.

Це дуже мале значення, але, наприклад, квазар 3C 273, що знаходиться на відстані 1,5 млрд.

світових років від Землі, випромінює за 1 годину електромагнітне поле масою m = 8·1025 кг, що перевищує масу Землі (6·1024 кг).

Об’єктивно існує єдине електромагнітне поле. Поділ його на електричні та магнітні складові пов’язаний з постановкою дослідів в конкретних умовах. Наприклад, нерухомий заряд для земного спостерігача створює електричне поле, а для позаземного - він рухається та створює магнітне поле.

Для опису електромагнітних явищ необхідно використовувати досить складний математичний апарат на базі відповідних знань.

Фізичні величини поділяють на дві групи: скалярні та векторні (рис.1.2).

Векторні (значення, напрям,

розташування в просторі) div [вектор] ⇒ [скаляр] rot [вектор] ⇒ [вектор]

Фізичні величини

Скалярні

(значення) grad [скаляр] ⇒ [вектор]

Рисунок 1.2 Умовна класифікація фізичних величин із визначенням їх характеристик

10

Скалярні величини (маса, довжина, час, температура, сила струму, електричний заряд, електричний потенціал, напруга, магнітний потік тощо) характеризують значенням та градієнтом. Інтегрально скалярну величину визначає значення, а ії змінення за відстанню характеризує диференціальна величина – градієнт (grad).

Векторні величини (сила, швидкість, напруженість електричного та магнітного полів, густина струму, елемент площини Sd , елемент шляху dl , векторний магнітний потенціал A тощо) характеризують значенням, напрямом та розташуванням у просторі. Інтегральні характеристики - напрям та значення величини, а диференціальні характеристики описують математичні операції дивергенція (div) та ротор (rot).

Таким чином, скалярні та векторні величини, які зв’язані між собою математичними співвідношеннями, описують інтегральними та диференціальними характеристиками. Скалярні – значенням, векторні – значенням і напрямом. Допоміжні величини, що характеризують скалярні величини, є градієнт (grad), а векторні величини – дивергенція (div) та ротор (rot) (рис.1.2).

В найпростішому випадку формування електромагнітного поля в просторі можна умовно показати за допомогою кола, що складається з джерела змінної напруги та конденсатора (рис.1.3,а).

Рисунок 1.3 Умовна трансформація: а – уявлення теорії електричних кіл; б – уявлення електродинаміки

В ситуації, якщо геометричні розміри приладу або системи значно менше довжини хвилі

(λ), фазові співвідношення в той самий момент часу практично однакові. Тому для дослідження електромагнітних процесів в цих умовах можна використовувати апарат теорії електричних кіл. Із зменшенням λ (зростанням частоти f) фазові співвідношення відрізняються й апарат теорії електричних кіл непридатний. Треба використовувати апарат електродинаміки. Умовно це можна показати на прикладі.

Між обкладинками конденсатора створюється змінне електричне поле, яке в свою чергу створює магнітне поле. Якщо обкладинки конденсатора розвести на деякий кут одну від одної, то електричне поле “вийде” за межі конденсатора та створить у просторі магнітне поле, яке створить електричне поле і т. д., тобто буде створено електромагнітну хвилю (рис.1.3,б).

Швидкість поширення електромагнітних хвиль визначають за формулою:

V εμ/1= м/c,

де ε, µ – відповідно – діелектрична та магнітна проникність. У вакуумі (вільному просторі) швидкість поширення електромагнітних хвиль становить:

80 01 3c / ε μ 10= ≈ ⋅ м/c.

Електромагнітні хвилі поширюється у просторі чи середовищі, яке характеризують

електродинамічними параметрами (діелектричною проникністю ε, магнітною проникністю µ та питомою електропровідністю σ )

11

Нагадаємо визначення електродинамічних параметрів середовища з урахуванням ДСТУ 2843-94.

Діелектрична проникність ε характеризує діелектричні властивості середовища; одиниця виміру [ Ф/м ] [ с / Ом ·м ] [ с·А / м·В ].

Базова діелектрична проникність для вакууму або вільного простору - електрична стала (ε0)

– це стала, що дорівнює в Міжнародній Системі (System International – SI) SI величині, зворотній до добутку магнітної сталої і квадрату швидкості світла у вакуумі:

;c 2

00

1μ

ε = 90 10

361 −⋅=π

ε 1210854.8 −⋅≈мФ

.

Абсолютна діелектрична проникність – це величина, що характеризує діелектричні

властивості діелектрика, яка є скалярною величиною для ізотропної речовини і дорівнює відношенню модуля електричного зміщення до модуля напруженості електричного поля, та тензорною для анізотропної речовини.

Відносна діелектрична проникність це – відношення абсолютної діелектричної проникності до електричної сталої:

0/εεε =r .

Магнітна проникність µ характеризує магнітні властивості середовища; одиниця виміру

[ Гн/м ] [ с·Ом / м ] [ с·В / м·А ]. Базова магнітна проникність для вакууму або вільного простору – магнітна стала (µ0) – це

стала, що характеризує середовище і дорівнює в Міжнародній Системі SI µ0= . 74 10 /Гн мπ −⋅Абсолютна магнітна проникність – це величина, яка характеризує магнітні властивості

речовини та дорівнює відношенню модуля магнітної індукції до модуля напруженості магнітного поля, вона скалярна для ізотропної речовини та тензорна для анізотропної.

Відносна магнітна проникність – це відношення абсолютної магнітної проникності до магнітної сталої:

0/μμμ =r . Питома електропровідність σ характеризує провідні властивості середовища; одиниця

виміру [См/м] [А/м·В]. За ДСТУ 2843-94 питома електропровідність – величина, що характеризує здатність

речовини проводити струм, і яку визначають як відношення модуля густини струму провідності до модуля напруженості електричного поля, вона скалярна для ізотропної речовини та тензорна для анізотропної.

Абсолютна питома електропровідність:

rCиσσσ = ,

де rσ - відносна провідність; Cиσ = 5,7·107 См/м - питома провідність міді, яка прийнята за базову величину.

12

Знання законів електродинаміки дозволяє визначити інтенсивність електромагнітної енергії, яка поширюється в просторі, в конкретній точці, якщо відомі потужність передавача, параметри середовища та тип антени.

Закони електродинаміки дають можливість з‘ясувати складні процеси, які відбуваються в хвилеводах, об’ємних резонаторах (замкнуті металеві об’єми, в яких збуджується коливання електромагнітної енергії) та в інших системах існування та поширення електромагнітної енергії.

В курсі електродинаміки використовують макроскопічну теорію електромагнітних полів на відстанях значно більших за розміри атомів. Такий підхід справедливий для більшості задач електрозв’язку. Застосування таких пристроїв, як напівпровідникові та квантові підсилювачі та інші, вимагає відносного поєднання класичної та квантової теорій.

Електромагнітні поля описують такими дескрипторами:

– вектор напруженості електричного поля ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡мВЕ ;

– вектор напруженості магнітного поля ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡мАH ;

– вектор електричного зміщення (вектор електричної індукції) (густина електричного заряду)

D 2 2 ;Кл А см м

⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

– вектор магнітної індукції (густина магнітного потоку)

B [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⇒ 22 м

сВмВбТл ;

– густина струму J

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2мА ;

– заряд електричний q [ ]Кл ⇒ [ ]cA ⋅ ; – потенціал електричний ϕ [ ]В ;

– потенціал векторний магнітний A

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅мсВ .

Курс електродинаміки можна умовно поділити на три розділи: - Електростатика та магнітне поле постійного струму (це потрібно для визначення

основних характеристик поля та закономірностей, які є базовими для статичних режимів та дозволяють обґрунтувати систему рівнянь електродинаміки, відому як система рівнянь Максвелла);

- Електромагнітне поле, тобто електродинаміка; - Застосування технічних засобів формування та передавання електромагнітних

хвиль. Нижче наведена спрощена умовна модель взаємозв’язку величин, що характеризують

електростатичне поле та магнітне поле постійного струму (рис.1.4). Нерухомий незмінний в часі аряд q створює електричне поле, яке визначають вектором напруженості електричного поля та вектором електричного зміщення (електричної індукції)

зE

D . Для полегшення вирішення прямої та зворотньої задач електростатики (пряма задача: за характеристиками джерела поля визначити характеристики поля у точці спостереження; зворотна задача: за характеристиками поля визначити просторовий розподіл джерел) використовують допоміжну величину – електричний потенціал φ (рис. 1.4, а).

13

Постійний струм створює магнітне поле, яке визначають напруженістю магнітного поля H , вектором густини магнітного потоку (вектором магнітної індукції) . Для полегшення вирішення прямої та зворотньої задач магнітостатики використовують допоміжну величину – векторний магнітний потенціал

B A (рис. 1.4, б).

пряма задача пряма задача

q I D,E B,H зворотня задача зворотня задача

φ A а б Рисунок 1.4 Спрощена модель взаємозв‘язку між величинами, що визначають поле: а –

електричне; б – магнітне Проявом електричного і магнітного полів є сила Лоренца, яка діє на точковий заряд:

])B[E(qF ×+= v , v - вектор швидкості руху заряду в магнітному полі. Поля залишаються статичними, доки параметри їх джерел не залежать від часу. Як тільки

значення, наприклад заряду й відповідно електричного поля починають змінюватися в часі, з’явиться змінне в часі магнітне поле, яке в свою чергу створює змінне електричне поле і т. д. Цей процес описують рівняння, які узагальнив Максвелл. Сукупність цих полів, що існують одночасно, тобто нерозривно за умов їх зміни в часі, є електромагнітне поле. Їх причиною є змінні у часі заряди та змінний електричний струм. Статичні поля можна розглядати, як частинні прояви електромагнітного поля.

Спрощена модель взаємозв‘язку характеристик електромагнітного поля за змінних значень q(t), і(t) представлена на рис. 1.5. На відміну від статичних режимів (рис. 1.4), де електричне й магнітне поля існують окремо одне від іншого, за динамічних умов (тобто зміні в часі параметрів поля) вони існують спільно та створюють одне одного (рис.1.5).

q(t) E (t), D (t) B (t), H (t) i(t)

ϕ (t-r/v) A (t-r/v)

Рисунок 1.5 Спрощена модель взаємозв‘язку величин, що визначають електромагнітне поле

Комплекс рівнянь Максвелла, що описує в загальній формі електродинамічні явища, характеризує найбільш узагальнену систему законів електротехніки і складається з 6 рівнянь (4+2). В трактаті Максвелла їх було 12. До сучасного вигляду вони доведені Генріхом Герцем та Олівером Хевісайдом. Рівняння Максвелла узагальнюють експериментальні факти встановлені законами Ампера, Гаусса, Фарадея та ін.

14

Різновиди електромагнітного поля представлені на рис.1.6.

Електромагнітне поле

Детерміноване Квазідетерміноване Стохастичне

Гармонічне (динамічне)

Статичне Стаціонарне Нестаціонарне

Квазігармонічне Широкополосне

Рисунок 1.6 Різновиди електромагнітного поля

Таким чином: Мета дисципліни - сформувати основи принципів функціонування засобів радіозв’язку та

практичної реалізації радіолінії. Задачі студентам:

- з’ясувати фізичні основи та засвоїти математичний апарат для опису електростатичних, магнітостатичних та електромагнітних полів та явищ;

- оволодіти методами розв’язання прямої та зворотньої задач електродинаміки (пряма задача: за характеристиками джерела поля визначити характеристики поля; зворотна задача: за характеристиками поля визначити характеристики джерела);

- оволодіти математичним апаратом рівнянь Максвелла в інтегральній, диференціальній, алгебраїчній [з оператором Гамільтона (оператор набла) - ∇ ] та комплексній [для гармонічних (монохроматичних) процесів] формах, засвоїти їх фізичний зміст;

- опанувати енергетичні характеристики електромагнітних полів; - засвоїти природу формування хвильових процесів в різних провідних, діелектричних

та напівпровідних (діелектричних із втратами) середовищах; - зрозуміти та засвоїти принципи роботи випромінювачів електромагнітних полів; - вивчити особливості хвильових процесів на межі двох середовищ; - вивчити особливості поширення електромагнітних хвиль над ідеальною провідною

поверхнею; - засвоїти засади побудови і роботи фідерних трактів (хвилеводних систем); - засвоїти засади побудови і роботи різних пристроїв і елементів радіотехнічних

систем.

15

1.2 Стисла історична довідка

Можливість використання електромагнітної енергії для перетворення та передачі інформації була відкрита більше ніж 160 років тому, і як сучасну основу радіозв‘язку – більше 110 років тому. Нижче наведено хронологію відкриття й дослідження явищ розвитку електромагнетизму та їх практичного застосування

1600 - Вільям Гільберт застосував поняття електрон (ηλεκτρον — бурштин) в книзі "Про

магнітні тіла та великий магніт Землю". 1729 - Відкрито явище електропровідності (Англія). 1773 - Генріх Кавендіш відкрив явище силової взаємодії зарядів. 1785 - Шарль Кулон описав явища силової взаємодії зарядів та сформулював закон, який

отримав назву за його ім'ям. 1791 - Луїджі Гальвані винайшов джерело струму яке отримало назву “гальванічний

елемент”. 1794 - Алессандро Вольта описав джерело постійного струму ("вольтів стовп"). 1820 - Ганс Христіан Ерстед відкрив явище відхилення магнітної стрілки біля провідника, через

який проходив електричний струм. 1820 - Жан Батист Био та Фелікс Савар виміряли значення магнітного поля, створеного

провідником зі струмом. 1826 - Георг Сімон Ом сформулював експериментальний закон електричного кола (закон Ома). 1831 - Майкл Фарадей сформулював закон електромагнітної індукції (закон Фарадея). 1832 - Павло Шилінг встановив телеграфний зв'язок між Зимовим Палацом та Міністерством

шляхів в Росії. 1837 - Семюель Морзе запропонував телеграфний апарат, та розробив абетку для передачі

телеграфних сигналів. 1842 – Джозеф Генрі повідомив про приймання на відстані майже 10м сигналів від іскрового

передавача. 1845 - Густав Роберт Кірхгоф відкрив закономірності розподілення електричного струму в

розгалудженному колі та сформулював відповідні закони. 1861 - Філіп Райс вперше сформулював ідею телефона. 1870 - Побудована трансконтинентальна телеграфна лінія "Лондон - Варшава - Житомир -

Одеса - Тегеран - Бомбей". 1873 - Джеймс Кларк Максвелл опублікував трактати з узагальненням законів

електромагнетизму . 1876 - Запатентовано електромагнітний телефон (А. Белл, США). 1877 - Створено фонограф - пристрій для механічного запису та відтворення звуку

(США). 1881 - Почав діяти перший міський Київський телеграф. 1882 – Надрукована наукова стаття Уїльяма Крука із викладанням принципів радіозв’язку, які

були реалізовані у перші два десятиріччя ХХ століття. 1886 - Відкрита перша телефонна станція в Києві. 1888 - Генріх Герц експериментально довів існування електромагнітних хвиль (хвилі Герца). 1890 – Ед. Бранлі запропонував детектор із назвою радіоконтур, що започаткувало

використання терміну “радіо”. 1895 - Олександр Попов вперше продемонстрував сеанс радіозв‘язку. 1897 - Джон Томсон описав електрон:

заряд електрона: е = - 1.6021892 .10 -19 Кл, маса електрона: те = 9.109534 .10 -31 кг.

1897 – Гульєльмо Марконі отримав патент на застосування електромагнітних хвиль для

16

безпровідного зв'язку. (Лауреат Нобелевської премії 1909 р.) 1901 – Г. Марконі здійснив зв'язок через Атлантичний океан. 1902 - 1907 - Здійснені перші в Україні пробні радіопередачі між Херсоном та Голою

пристанню. 1906 – Організована перша конференція з питань радіо (Берлін). 1907 - Винайдена телевізійна система з використанням осцилографічної трубки Брауна

(Росія). 1924 - 16 листопада - Започатковане регулярне радіомовлення в Україні. (День працівників

радіо, телебачення та зв‘язку України). 1929 - Винайдено кінескоп. 1936 - Розпочато телевізійне мовлення за системою електронної розгортки (США, Англія,

Франція). 1938 - Розпочато телевізійне мовлення в СРСР. 1947 - Винайдено транзистор (США). 1957 – Виведено на околоземну орбіту перший штучний супутник Землі з радіопередавачем

(СРСР). 1959 - Створено інтегральну мікросхему (США). 1965 - Створено першу систему міжнародного супутникового зв'язку «Intelsat». 1967 - Впроваджено в Києві радіотелефонний зв'язок системи "Алтай". 1969 - Створено мікропроцесор (США). 1979 - Запроваджено першу мережу стільникового радіозв'язку (Японія). 1993 - В Києві почала діяти перша в Україні мережа стільникового радіозв'язку. 1995 - Впроваджено систему IS95 CDMA (США). 1998 - Впроваджено глобальну супутникову систему Iridium. 2002 – Розпочато розгортання стільникових систем мобільного зв’язку третього покоління

IMT-2000.

1.3 Розподіл радіохвиль за діапазонами Як з‘ясовано вище, в курсі “Технічна електродинаміка” оперують із електромагнітними

хвилями. Розглянемо їх докладніше. За ДСТУ 3254 – 95 «Радіозв‘язок. Терміни та визначення» наведемо деякі визначення. Радіозв’язок – електрозв’язок, що здійснюється з допомогою радіохвиль. Радіохвиля – електромагнітна хвиля з частотою до 3ТГц, що поширюється у просторі без

штучних напрямних ліній. Діапазон радіохвиль – визначена безперервна ділянка довжин радіохвиль, котрій присвоєна

умовна назва. Радіочастота – частота радіохвилі. Носійна частота – частота носійного коливання. Носійне коливання [радіохвиля] – електромагнітне коливання, призначене для створення

радіочастотного сигналу зміною одного чи декількох параметрів цього коливання. Модуляція – процес зміни інформаційного параметра (параметрів) носійної радіохвилі,

згідно з інформацією, що передається. Розподіл та використання за різним призначенням радіохвиль є компетенцією відповідних

національних та міжнародних установ. Однією з головних є Міжнародний союз електрозв’язку – International Telecomunication Union – IТU.

В табл. 1.1 наведені діапазони радіохвиль за міжнародним документом Регламентом радіозв’язку та відповідно за стандартом України ДСТУ 3254 – 95.

Для визначення частотних меж діапазонів використовують формулу:

17

n10)33,0( ⋅− Гц, де n – номер діапазону. Діапазон включає верхні значення границь. Таблиця 1.1 Розподіл радіохвиль за діапазонами

За частотою За довжиною хвилі

№№ діапазонів n назва

скорочення (рос.) [англ.]

частоти назва скорочення* довжини

орієнтовні галузі

застосування

1 вельминизькі частоти

ВНЧ (КНЧ) [ELF]

3...30 Гц декамегаметрові - 10…100 Мм спеціальна

2 наднизькі частоти

ННЧ (СНЧ) [ULF]

30...300 Гц мегаметрові хвилі - 1…10 Мм спеціальна, ЛЕП

3 інфранизькі частоти

ІНЧ (ИНЧ) [ILF]

300…3000 Гц гектокілометрові хвилі - 100…1000 км телефонний

зв’язок

4 дуже низькі частоти

ДНЧ (ОНЧ) [VLF]

3…30 кГц міріаметрові хвилі - 10…100 км РН, МС, РТГЗ, РЗПЧ

5 низькі частоти НЧ

(НЧ) [LF]

30…300 кГц кілометрові хвилі (довгі хвилі) ДХ 1…10 км РТЗ, РТГЗ, РМ

6 середні частоти СЧ

(СЧ) [МF]

0,3…3 МГц гектометрові хвилі(середні хвилі) СХ 0,1…1 км РТГЗ, РМ

7 високі частоти ВЧ

(ВЧ) [HF]

3…30 МГц декаметрові хвилі (короткі хвилі) КХ 10…100м РАЗ, РМ, РТГЗ,

ВЗ

8 дуже високі частоти

ДВЧ (ОВЧ) [VНF]

30…300 МГц метрові хвилі

(ультракороткі хвилі – м)

УКХ – м 1…10м ТБ, РЛ, КЗ, РАЗ, РРЗ

9 ультрависокі частоти

УВЧ (УВЧ) [UHF]

300…3000 МГцдециметрові хвилі

(ультракороткі хвилі – дм)

УКХ – дм 0,1…1 м КЗ, ТБ, РРЗ

10 надвисокі частоти

НВЧ (СВЧ) [SHF]

3…30 ГГц сантиметрові хвилі

(ультракороткі хвилі – см)

УКХ – см 1…10 см РЛ, КЗ, АН

11 вельмивисокі частоти

ВВЧ (КВЧ) [EHF]

30…300 ГГц міліметрові хвилі - 1…10 мм РЛ, КЗ

12 гіпервисокі частоти

ГВЧ (ГВЧ) 300…3000 ГГц дециміліметрові

хвилі - 0,1…1 мм КРЕ

Примітка: *ДСТУ 3254–95 скорочення не встановлено. Список скорочень галузей застосування наведено в табл. 1.2:

Таблиця 1.2 Список скорочень галузей застосування радіохвиль ЛЕП лінії електропередач

РН радіонавігація

МС метеослужба

РТГЗ радіотелеграфний зв’язок

РЗПЧ радіозв‘язок з підводними човнами

РТЗ радіотелефонний зв’язок

РМ радіомовлення

18

Продовження таблиці 1.2 РАЗ радіоаматорський зв’язок

КЗ космічний зв’язок

ТБ телебачення

РЛ радіолокація

РРЗ радіорелейний зв’язок

АН астронавігація

КРЕ квантова радіоелектроніка ВЗ військовий зв’язок

1.4 Спрощена схема відеозв’язку Для з‘ясування, які частоти використовують в телебаченні – однієї з галузей майбутнього

місця праці фахівців із телекомунікацій розглянемо спрощену схему відеозв‘язку, а також переконаємось в необхідності опанування засад електродинаміки.

Одним з широкопоширених джерел отримання інформації є телебачення. Відомо, що 80% інформації людина отримує через органи зору. Завдяки телебаченню можна побачити Еверест або Ніагарський водоспад, відвідати інші куточки нашої планети, прослідкувати за спортивними змаганнями чи отримати останні політичні та економічні новини без виходу з домівки тощо. Це можливо завдяки роботі багатьох людей та функціюванню комплексу технічних засобів, що забезпечують передачу зображення та звуку від джерела сигналу до користувача. Цей комплекс має назву телевізійний тракт.

1.4.1 Структурна схема відеозв’язку

В багатьох системах відеозв‘язку зображення передають паралельно зі звуковим

супроводом. Спрощена структурна схема такої системи відеозв’язку зображена на рис.1.7.

Рис. 1.7 Спрощена структурна схема відеозв’язку

Список позначень на рис. 1.7: 1 – мікрофон; 2 – підсилювач; 3 – перетворювач “світло-сигнал”;

19

4 – відеопідсилювач; 5 – перетворювач сигналів (передавач); 6, 17 – генератор горизонтальної (рядкової) розгортки; 7, 16 – генератор вертикальної (кадрової) розгортки; 8 – генератор синхроімпульсів; 9 – середовище поширення електромагнітних хвиль; 10 – підсилювач звукового сигналу; 11 – звуковідтворювальна система; 12 – перетворювач прийнятого сигналу (приймач); 13 – підсилювач відеосигналу; 14 – телевізійна трубка; 15 – селектор синхроімпульсів. Звуковий сигнал з мікрофона (1) після проходження через підсилювач звуку (2) подається

на перетворювач сигналів (5). Відеосигнал, сформований приймальною трубкою (3), через відеопідсилювач (4) надходить до перетворювача сигналів (передавача) (5). Відеосигнал формується завдяки генератору рядкової (6) та кадрової (7) розгорток, робота яких узгоджена генератором синхроімпульсів (8). Після перетворення звуковий та телевізійний сигнали від передавача (5) через антенно-фідерний тракт випромінюють в навколишній простір з параметрами ε, µ, σ (9). Прийнятий сигнал через антенно–фідерний тракт надходить в перетворювач (12), де він розділяється на звуковий та відео сигнали. Звуковий сигнал через підсилювач (10) збуджує гучномовець (11). Сигнал зображення через підсилювач відеосигналу (13) надходить на телевізійну трубку. Зображення формують генератори горизонтальної (рядкової) (17) та вертикальної (кадрової) (16) розгорток синхронізовані імпульсами синхронізації, які надходять з селектора синхроімпульсів (15).

1.4.2. Структура та смуга частот телевізійного сигналу Інформацію про кожний елемент зображення передають послідовно в часі завдяки

розгортці, яку здійснюють синхронно на передавальній та приймальній сторонах. Генератор горизонтальної розгортки забезпечує швидке переміщення електронного променя по горизонталі, а генератор вертикальної розгортки – повільне переміщення по вертикалі. За час формування однієї горизонтальної лінії електронний промінь зміщується по вертикалі під впливом вертикальної розгортки на один діаметр променя. Таким чином, кожна наступна горизонтальна лінія знаходиться нижче попередньої і дотикається до неї без перекриття та проміжків. За час прямого ходу кадрів горизонтальні лінії повністю заповнюють поле кадру. Яскравість світіння кожної точки екрану визначається інтенсивністю електронного променя, модульованого сигналом зображення.

Основні параметри розкладання зображення: z – число рядків;

k – формат кадру: ( ,34

==hlk де h, l – висота та ширина кадру відповідно);

N – число елементів розкладання; nп, nв – число кадрів за секунду, що передають та відтворюють відповідно; Кз – контраст зображення.

В сучасній апаратурі зображення формується з 625 рядків. Вважають, що на відстані

(4…5)h від екрану рядкова структура зображення стає непомітною. Наведемо історичну довідку: В 1937 році в Москві використовували число рядків z = 343, в Ленінграді z = 340; В 1941 році в СРСР – z = 411, а з 1948 року – z = 625.

20

Загальна кількість елементів розкладання зображення:

522 10552000062534

⋅≈=⋅=⋅= zkN елементів.

Зйомку в кіно здійснюють з частотою 24 кадри/с, в телебаченні — 25 кадрів/с, аматорську

зйомку – 16 кадрів/с. Телевізійний сигнал є імпульсним однополярним сигналом (тому що він є функцією

яскравості, яка не може бути різнополярною). Він має складну форму і його спектр можна представити як суму постійної складової та гармонічних складових коливань різних частот. Рівень постійної складової характеризує середню яскравість зображення. В процесі передачі рухомих зображень значення постійної складової буде безперервно змінюватись відповідно до освітлення. Ці зміни відбуваються з дуже низькими частотами (0…3 Гц). За допомогою нижніх частот спектру відеосигнала відтворюються великі деталі зображення. Мінімальну частоту відеосигнал матиме при передаванні рівномірно освітленої мішені – жодного перепаду яскравості, тоді частота сигналу дорівнює нулю, тобто fmin = 0 Гц. Завдяки верхнім частотам передають найбільш дрібні деталі зображення. Найбільш складним є зображення, яке можна представити як послідовність змін чорних та білих елементів “шахова дошка” (рис.1.8), що мають розміри, які дорівнюють товщині променя. Це зображення сформовано з максимальної кількості елементів зображення.

Визначимо максимальну частоту сигналу за умови, що частота кадрів в режимі відтворення =50 Гц вn

512210550

2

5,Nnf вmax =

⋅⋅=⋅= МГц.

Рис. 1.8. Зображення дискретних сусідніх точок за умов сигналу “шахова дошка”.

Таким чином спектр телевізійного відео сигналу охоплює смугу від 0 до 12,5 МГц. Але передача сигналу з таким широким спектром пов’язана з технічними труднощами та

обмежує кількість каналів. Тому, щоб зменшити смугу частот сигналів, що передають, застосовують черезрядкову розгортку, суть якої в тому, що кожен кадр ділиться на два півкадра (або поля – парні та непарні), протягом яких передаються по 312,5 рядків, тобто в 2 рази менше, ніж для рядковій розгортці. Тоді частота fmax = 6.25 МГц.

Повний телевізійний сигнал є суміш відеосигналу та синхросигналу. Для передачі цього сигналу, а також сигналу звуку на відстань використовують носійні частоти, на яких здійснюють поширення цих сигналів в просторі. Розрахунки показують, якщо ширина спектру інформаційного каналу 6 МГц – мінімальна носійна частота повинна бути не менше 50 МГц; тоді спектр телевізійного сигналу передаватиметься без спотворення.

В спеціальному пристрої – модуляторі реалізовано перетворення телевізійного сигналу.

21

В телебаченні для передачі зображення використовують амплітудну модуляцію, за якої здійснюється вплив на амплітуду високочастотного сигналу носійної без зміни її частоти і фази.

У відповідності до правил амплітудної модуляції ширина спектру високочастотних складових після модуляції подвоюється, бо з’являються нижня і верхня бічні смуги і загальна дорівнюватиме 12,5 МГц. Але інформація про зображення міститься як у верхній, так і в нижній бічних смугах, отже, нема необхідності передавати їх разом. Для відтворення зображень достатньо передавати тільки одну бічну (верхню) смугу частот, носійну частоту і невеликій “залишок” (1,25 МГц) від іншої смуги.

Для передачі звуку використовують частотну модуляцію носійної, і відповідну смугу (0,5 МГц) розташовують вище частотного спектру верхньої бокової cмуги сигналу зображення, на відстань між носійними зображення і звуку, яка складає 6,5 МГц (незмінна на будь-якому каналі).

Таким чином загальна смуга телевізійного сигналу складає (рис.1.9) 1,25+6,25+0,5=8 МГц. В табл. 1.3 наведені смуги телевізійних сигналів деяких каналів. Перші три смуги

розташовані в діапазоні метрових хвиль, останні дві – в діапазоні дециметрових хвиль. За стандартом в метровому діапазоні від 48,5 до 230 МГц розташовуються телевізійні канали з № 1 до № 12, у четвертій смузі (470 – 582 МГц) з № 21 до № 34 і в п‘ятій смузі (582 – 950) з № 35 до № 80.

К(f)

Рис. 1.9. Структура частотної смуги телевізійного сигналу

Таблиця 1.3. Смуги частот TV-каналів

№ Ч TV№ астоти, МГц -канали I 48,5-66 1-2 II 76-100 3-5 III 174-230 6-12 IV 470-582 21-34 V 582-960 35-80

На рис. 1.10 наведено розташування на осі частот смуг першого та двадцять третього телевізійних каналів.

K(f)

Рис. 1.10. Розміщення смуг частот 1-ого та 23-ого телевізійних каналів

Таким чином з’ясована необхідність використання електродинаміки, як науки, щодо

електромагнітного поля - носія інформації (на прикладі телевізійного сигналу).

22

1.5 Висновки 1. Електродинаміка оперує з поняттями і законами формування, розподілу і поширення

електромагнітних полів в просторі та часі. 2. Курс складається з трьох основних частин:

- Електростатика та магнітне поле постійного струму; - Електромагнітне поле, тобто електродинаміка; - Застосування технічних засобів, формування та передавання електромагнітних

хвиль. 3. Для опису електромагнітного поля використовують 5 основних дескрипторів: Е , ;

, ; , ; B / м

D 2Кл / м H A / м В , Тл ; J , , а також інші характеристики поля. 2A / м4. В електродинаміці вирішують задачі:

- пряма - за параметрами джерела визначають параметри поля; - зворотна - за параметрами поля визначають параметри джерела.

5. Електродинаміка базується на системі рівнянь узагальнених Максвеллом, на підставі експериментально отриманих законів й положень електромагнетизму, які сформовані протягом достатньо великого інтервалу часу.

6. Задачі електродинаміки пов’язані із використанням різних діапазонів частот: з нульової до оптичних. Але найчастіше ці задачі пов’язані з діапазонами ВЧ, ДВЧ, НВЧ, які використовують в сучасних системах зв’язку. Частоти радіохвиль складають 12 діапазонів й лежать в межах від 3 Гц до 3 ТГц.

7. На формування та поширення електромагнітних полів суттєво впливають властивості і параметри середовища. Електродинамічними параметрами середовища є діелектрична проникність, магнітна проникність, питома провідність; у вакуумі (вільному просторі),

їх значення м/Ф90 10

361 −⋅==π

εε ; ; м/Гн70 104 −⋅== πμμ 0=σ .

8. Знання курсу підтверджується вмінням вирішувати задачі електродинаміки для різних теоретичних і практичних ситуацій. Розглянемо складові електромагнітного поля в статичному режимі.

23

2 ЕЛЕКТРОСТАТИКА

2.1 Закон взаємодії електричних зарядів 2.2 Основні характеристики електричного поля 2.3 Закон Гаусса-Остроградського 2.3.1 Закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі 2.3.2 Закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі 2.3.3 Перетворення (теорема) Гаусса-Остроградського 2.4 Робота сил та потенціал електростатичного поля 2.5 Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу 2.6 Рівняння Пуассона та Лапласа 2.7 Граничні умови електростатики 2.7.1 Нормальні складові векторів D та E 2.7.2 Тангенціальні складові векторів E та D 2.7.3 Граничні умови для потенціалу 2.7.4 Граничні умови на поверхні ідеального провідника 2.8 Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля 2.9 Висновки

2.1 Закон взаємодії електричних зарядів

Із повсякденної практики відомо, що наелектризовані тіла взаємодіють між собою. Явище

взаємодії електричних зарядів відкрив у 1773р. Генріх Кавендіш, але його результати були невідомі протягом 100 років. В 1785р. Шарль Августін Кулон незалежно від Кавендіша відкрив та опублікував експериментальний закон, який описує взаємодію нескінченно малих заряджених тіл – точкових електричних зарядів і відтоді носить його ім’я. Два нерухомих точкових електричних заряда та взаємодіють один з одним із силою, яка направлена по прямій, що з’єднує ці заряди (рис 2.1,а).

1q 2q

Рис. 2.1 Взаємодія електричних зарядів: а – одного знаку; б – різних знаків. Значення сили взаємодії дорівнює добутку цих зарядів (кількості електрики в кожному з

них), обернено пропорційне квадрату відстані між зарядами та залежить від електричних властивостей середовища, що відображує коефіцієнт :

rk

rrqq

krqq

kF r 321

221 1 == , (2.1-1)

де rrr 1= ,

24

r1 – одиничний вектор, напрям якого відповідає напряму сили, що діє на одиничний заряд , який знаходиться в полі, яке створює заряд ;

1q

2qk – коефіцієнт пропорційності, в системі SI :

επ41

=k , (2.1-2)

rεεε 0= - абсолютна діелектрична проникність, - електрична стала ( для вакууму), а

9 120 (1/ 36 ) 10 8,854 10 /Ф мε π − −= ⋅ ≈ ⋅

rε - відносна діелектрична проникність середовища, яка показує в скільки разів сила взаємодії між електричними зарядами в даному середовищі менша ніж у вакуумі;

( ) ( ) ( )221

221

221 zzyyxxr −+−+−= , (2.1-3)

де , ,i i ix y z – координати розташування зарядів 1 2, ; 1, 2.q q i =

2.2 Основні характеристики електричного поля

На підставі закону Кулона встановлено, що один або декілька зарядів, які розміщені будь-

яким чином в деякому об'ємі, викликають в просторі появу електричного поля. Нерухомі та незмінні за значенням електричні заряди, які знаходяться в деякій області простору створюють електростатичне поле. Якщо в це поле внести пробний точковий заряд , то на нього буде діяти сила яка дорівнює рівнодієвій усіх сил від кожного з цих зарядів. Необхідно оцінити це поле як поле електростатичне, для цього вводять таке поняття – напруженість електричного поля

q′

E . Тобто напруженість електричного поля – це прояв силової дії поля на пробний точковий

заряд , якщо припустити, що внесення його в поле не впливає на розміщення, зарядів які створюють це поле

q′

rrq

qFE 1

4 2πε=′

= , [ ] H ВEКл м⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (2.2-1)

Напруженість електричного поля E залежить від середовища ( ε ), тобто на границі

розподілу середовищ з різними значеннями ε , функція напруженості поля має розрив. Позбутися цього ефекту можна за використання іншої характеристики поля – вектора електричного зміщення, який характеризує електричне поле, але не залежить від парметра середовища

rrqD 1

4 2π= . (2.2-2)

Із порівняння (2.2-1) та (2.2-2) отримаємо

D E= ε . (2.2-3)

Рівняння (2.2-3) – перше матеріальне рівняння. Одиниця виміру D 2Кл м⎡⎣ ⎤⎦ , тобто він характеризує густину заряду. Сила взаємодії зарядів, а відповідно напруженість електричного поля в різних середовищах

різна. Це пояснюється тим, що під дією електричного поля речовина поляризується. В результаті

25

створюється додаткове електричне поле, яке накладається на первинне. При цьому сумарне електричне поле буде відмінним від того, яким воно було у вакуумі.

Нагадаємо фізичну сутність параметра ε . Розглянемо однорідне лінійне ізотропне середовище та монохромне поле. В цьому випадку

вектор поляризованості речовини:

EP eχ= , (2.2-4)

де eχ - абсолютна діелектрична сприйнятливість. За ДСТУ 2843 поляризованість – векторна величина, якою характеризують ступінь

електричної поляризації речовини і яку визначають як границю відношення електричного моменту певного об'єму речовини до цього об'єму, коли останній прямує до нуля.

Абсолютна діелектрична сприйнятливість (за ДСТУ 2843) – це величина яка характеризує здатність діелектриків (за винятком сегнетоелектриків) поляризуватися в електричному полі, що є скалярною для ізотропної речовини і яку визначають як відношення модуля поляризованості до модуля напруженості електричного поля та тензорною для анізотропної речовини.

Для такого середовища можна записати:

( ) ( ) EEEEEEEPD reree 00000 1 εεεχεεχεχε =+==+=+=+= , (2.2-5)

де ε - абсолютна діелектрична проникність; erχ - відносна діелектрична сприйнятливість;

rε - відносна діелектрична проникність. Нагадаємо, що абсолютна діелектрична проникність – це величина, яка характерезує

діелектричні властивості діелектрика, яка є скалярною для ізотропної речовини і дорівнює відношенню модуля електричного зміщення до модуля напруженості електричного поля, та тензорною для анізотропної речовини.

Таким чином отримали перше матеріальне рівняння (2.2-3): D E= ε . Параметр ε характеризує середовище. За станом зміни параметрів середовища можна

класифікувати як: однорідне або неоднорідне ( властивості середовища можуть змінюватися від точки до точки – неоднорідне середовище, або залишатися незмінними – однорідне середовище); ізотропне або анізотропне ( середовища, фізичні властивості яких в будь-якій точці однакові в усіх напрямках, називають ізотропними); лінійне або нелінійне.

Параметри середовища можуть бути також стохастичними: стаціонарними та нестаціонарними.

Поле може бути гармонічним – мати одну гармоніку, або багато гармонік, або характеризуватися спектральною густиною.

Для монохромного поля та неоднорідного лінійного ізотропного середовища діелектрична проникність в загальному випадку є функція узагальнених криволінійних координат ζηξ ,, :

( )ED ζηξε ,,= . (2.2-6)

Для монохромного поля та однорідного нелінійного ізотропного середовища діелектрична

проникність залежить від поля, тобто ( )Eεε = :

( )EED ε= . (2.2-7)

Для монохромного поля та однорідного лінійного анізотропного середовища маємо

26

⎪⎭

⎪⎬

⎫

++=

++=

++=

ζηξζ

ζηξη

ζηξξ

εεε

εεε

εεε

EEEDEEEDEEED

333231

232221

131211

, (2.2-8)

де сукупність чисел ( )ε має назву тензор . У скороченній формі: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

( )ED ε= . (2.2-9)

Запровадження вектора зміщення доцільне для розгляду поля в неоднорідних середовищах. Розглянемо поле точкового заряду та розрахуємо загальну кількість силових ліній, що

перетинає деяку сферу радіусом r з центром у точці джерела. Кількість силових ліній, які перетинають деяку поверхню, визначає потік векторного поля.

Рис. 2.2 До визначення потоку , EN PN

Стосовно сфери (рис.2.2) потік вектора E

2

22

444E

s

q r qE dS N ES E rr

πππε ε

⋅ = = = = =∫ , (2.2-10)

потік вектора D

224 4

4Ds

qD dS N DS D r r qr

π ππ

⋅ = = = = =∫ 2 . (2.2-11)

Додатними вважають лінії, які виходять з об’єму, обмеженого деякою поверхнею, а

від’ємними, – які в нього входять. Зауважимо, що кількість ліній , тобто потік D DN , які перетинають сферичну поверхню, дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які знаходяться всередині об’єму, обмеженого цією поверхнею.

27

2.3 Закон Гаусса-Остроградського

2.3.1 Закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі Нехай вектор , створений зарядом , перетинає нескінченно малу площину D q dS –

плоский елемент поверхні і характеризується орієнтацією в просторі. Тобто ця площина характеризується значенням та напрямом, як векторна величина і має назву вектор-площадка. Вектор dS перпендикулярний до поверхні, а його значення чисельно дорівнює . dS

На рис. 2.3 показана довільна орієнтація векторів D та Sd .

Рисунок 2.3 Приклад орієнтації векторів Sd та D .

Визначимо диференціал потоку вектора D :

cos( )DdN D dS D dS DdS∧

= ⋅ = . (2.3-1)

Нехай далі маємо замкнену поверхню будь-якої форми, яка оточує точковий заряд .

Замінимо

q

D через заряд за його визначенням (2.2-2) 24 rqDπ

= , тоді:

2

cos( )4D

qdS DdSdNrπ

∧

= , (2.3-2)

або

π4Ω

=dqdN D , (2.3-2а)

де - елементарний тілесний кут, під яким можна побачити площину з точки розташування (рис 2.4)

Ωd q

2

cos( )dS DdSdr

∧

Ω = . (2.3-3)

28

Рис. 2.4 До визначення поняття тілесний кут

Міра тілесного кута – співвідношення елемента сферичної поверхні до квадрату відстані з урахуванням орієнтації. Потік вектора через цю поверхню можна визначити інтегруванням (2.3-2а) за поверхню (тобто в межах

SS Ω π40 − ).

qqdN D =Ω

= ∫π

π

4

0 4. (2.3-4)

Нехай в об’ємі, який обмежує поверхню , є безліч зарядів . Тоді згідно з

принципом суперпозиції для лінійних середовищ отримаємо результуючий вектор: S nqqq ,...,, 21

,...21 nрез DDDD +++= (2.3-5)

де вектори електричного зміщення, створені в точці спостереження відповідними зарядами .

nDDD ,...,, 21

nqqq ,...,, 21

Таким чином результуючий потік вектора електричного зміщення:

1 2 ...DS S S

N D dS D dS D dSΣ n= ⋅ + ⋅ + + ⋅∫ ∫ ∫ , (2.3-6)

де . ni ,...,2,1=Тоді

Σ=

Σ ==∑ qqNn

iiD

1

, (2.3-7)

тобто D dS qΣ⋅ =∫ . (2.3-8)

Формула (2.3-8) визначає закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі і свідчить,

що потік вектора електричного зміщення через будь-яку замкнену поверхню дорівнює

29

алгебраїчній сумі зарядів, які знаходяться всередині об’єму, обмеженого цією поверхнею. За цією формулою можна вирішувати пряму задачу електродинаміки – за відомими кількістю і значенням зарядів можна визначити характеристики поля E та D .

Але чи можливо вирішити зворотню задачу: визначити розподіл зарядів? Відповідь негативна. Більш того, неможливо відповісти на питання: чи є взагалі заряди

всередині даного об’єму, тому що алгебраїчна сума зарядів може дорівнювати нулю за умов однакового розташування зарядів протилежних знаків.

Необхідно мати співвідношення, яке пов’язує вектор D з зарядом в даній точці. Тобто необхідно розглянути диференціальну форму закона Гаусса-Остроградського.

2.3.2 Закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі

Рисунок 2.5 До визначення закону Гаусса-Остроградського в диференціальній формі. Модель

елемента простору

Розглянемо будь-яку точку в просторі, в якому існує електричне поле, визначену у декартовій системі координат, як показано на рис. 2.5. Значення у точці складено з компонентів:

a

aD a

1 1a ax x ay y azD D D D= + + 1z . (2.3-9)

Представимо замкнену поверхню як елементарний куб з центром в точці із сторонами

довжиною , , та застосуємо закон Гаусса-Остроградського, тобто визначимо потік вектора крізь цей куб (2.3-8)

axΔ yΔ zΔ

D

S

D dS q⋅ =∫ .

Для визначення цього інтегралу треба розкласти його на шість складових – відповідно

кожній грані куба:

30

1234 5678 1584 2673 1563 4873S

D dS⋅ = + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (2.3-10)

Розглянемо детально перший інтеграл для фронтальної поверхні. Оскільки елемент поверхні дуже малий, значення D можна вважати незмінним й тоді:

1234 1234 1234 ,12341234

1x xD S D y z D y⇒ ⋅Δ ⇒ ⋅Δ Δ ⇒ Δ Δ∫ z , (2.3-11)

де потрібно визначити на цій грані куба. xD

Ця грань знаходиться на відстані 2xΔ від точки , тому a

,1234 2x

x axD xD Dx

∂ Δ⇒ +

∂, (2.3-12)

де - значення в точці a ; axD

частинна похідна x

Dx

∂∂

визначає зміну по осі xD x .

Таким чином із (2.3-11) з урахуванням (2.3-12) маємо

1234

( )2

xax

D xDx

y z∂ Δ⇒ + Δ Δ

∂∫ . (2.3-13)

Розглянемо інтеграл для протилежної поверхні

5678 5678 5678 ,56785678

( 1 )x xD S D y z D y⇒ ⋅Δ = ⋅ −Δ Δ = − Δ Δ∫ z . (2.3-14)

Зміна значення xD від точки до площини a 5678SΔ

,5678 2x

x axD xD Dx

∂ Δ= −

∂, (2.3-15)

Таким чином із (2.3-14) із урахуванням (2.3-15) маємо

5678

(2

xax

D xDx

) y z∂ Δ⇒ − + Δ Δ

∂∫ . (2.3-16)

Поєднаємо інтеграли (2.3-13) та (2.3-16) й отримаємо:

1234 5678

xD x y zx

∂+ ⇒ Δ Δ Δ

∂∫ ∫ . (2.3-17)

За саме таким принципом знайдемо:

1584 2673

yDx y z

y∂

+ ⇒ Δ Δ Δ∂∫ ∫ (2.3-18)

та

31

1562 4873

zD x y zz

∂+ ⇒ Δ Δ Δ

∂∫ ∫ . (2.3-19)

Із об’єднання всіх результатів (за всіма гранями) маємо:

( )yx z

S

DD DD dS x y zx y z

∂∂ ∂⋅ ⇒ + + Δ Δ

∂ ∂ ∂∫ Δ , (2.3-20)

або

( yx z

S

DD DD dS q Vx y z

)∂∂ ∂

⋅ = ⇒ + + Δ∂ ∂ ∂∫ . (2.3-20,а)

Таким чином використано закон Гаусса-Остроградського для обмеженого простору, який оточує елемент об’єму , і як результат маємо апроксимацію, яка стверджує, що заряд замкнений в об’ємі дорівнює

VΔVΔ

( yx zDD Dq

x y z) V

∂∂ ∂= + + Δ

∂ ∂ ∂. (2.3-20,б)

Тобто з (2.3-20) – (2.3-20,б) можна визначити, що сума частинних похідних проекцій вектора D дорівнює потоку віднесеному до об’єму за умов прямування об’єму до нуля:

0 0lim limyx z

V V

D dSDD D qx y z V VΔ → Δ →

⋅∂∂ ∂+ + = = =

∂ ∂ ∂ Δ Δ∫ ρ . (2.3-21)

За визначенням з математики границя потоку вектора віднесеного до об’єму за умов 0→ΔV є дивергенція цього вектора

0lim yx z

V

D dS DD D divDV x y z

ρΔ →

⋅ ∂∂ ∂= + + = =

Δ ∂ ∂ ∂∫ . (2.3-22)

Таким чином можна вважати що дивергенція – це диференціальна характеристика потоку .

Зауважимо, що операція змінює одиницю виміру відповідної функції на div 1м− (до речі теж саме притаманне операціям та ). rot grad

З використанням оператора Гамільтона набла ∇

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

,

де - одиничні вектори (орти) вздовж координатних осей; , ,i j kможна записати:

divD D ρ= ∇⋅ = . (2.3-23)

Формула (2.3-23) визначає закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі.

32

2.3.3 Перетворення (теорема) Гаусса-Остроградського

З’ясуємо взаємозв’язок сумарного заряду в об’ємі з об’ємною густиною зарядівq V ρ . Розгляд починаємо із визначення заряду q з відомих формул:

S

q D dS= ⋅∫ , (2.3-24)

та

V

q dρ= V∫ . (2.3-25)

Тоді з урахуванням (2.3-23) маємо:

S V

D dS divDdV⋅ =∫ ∫ . (2.3-26)

Це співвідношення отримало назву перетворення (теорема) Гаусса–Остроградського -

потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції цього вектора, взятого за об’ємом, обмеженим цією поверхнею. Тобто воно пов’язує об’ємний інтеграл з поверхневим і дозволяє змінювати порядок інтегрування.

2.4 Робота сил та потенціал електростатичного поля

Розглянемо ситуацію таку, що в електростатичному полі точкового заряду в деякому

просторі переміщується пробний заряд за траекторією (рис. 2.6). q

0q l

Рисунок 2.6 Траєкторія руху заряду в полі, що створено зарядом 0q q За законом Кулона на заряд діє сила

rr

qqF 1

4 20

πε= . (2.4-1)

Елемент роботи цієї сили dA на ділянці шляху dl (рис. 2.6):

33

02cos( ) cos( )

4 4qq qqdA F dl F dl rdl dl rdl dr

r rπε πε

∧ ∧

= ⋅ = = = 02 . (2.4-2)

Повна робота сил з переміщення заряду з точки в точку визначають інтегруванням по шляху

0q a b dAab

0 02

1 1( )4 4

b

a baab

qq qqA dA drr r rπε πε

= = = −∫ ∫ . (2.4-3)

Звідки випливає, що робота сил електростатичного поля не залежить від форми шляху, а

визначається найкоротшою відстанню між початковою та кінцевими точками. Сили, робота яких не залежить від шляху, називають консервативними.

Рисунок 2.7 Замкнутий контур переміщення заряду в полі . 0q E

Цей висновок для точкового заряду можна узагальнити для будь –якого електростатичного поля. Розглянемо роботу сил електростатичного поля з переміщення заряду по замкнутій траєкторії

abcd (рис 2.7). В даному випадку роботу розрахують інтегруванням 0q

E по замкнутому контуру . Проявом сили, яка здійснює роботу, є напруженість поля. В електричному полі цю силу характеризує вектор

l

E

l

A E d′ l= ⋅∫ , де A′=qA

(2.4-4)

- такий інтеграл називають циркуляцією вектора E . З рисунку 2.7

0l abc cda

A E dl E dl E dl′ = ⋅ = ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ . (2.4-5)

На ділянці abc поле витрачає енергію, а на cda навпаки заряд віддає енергію полю. Оскільки робота не залежить від форми траєкторії, то можна стверджувати, що

34

abc cda

E dl E dl⋅ = − ⋅∫ ∫ , (2.4-6)

де i – відстані, що починаються і закінчуються в цих самих точках. Цей інтеграл в енергетичному аспекті відповідає принципу збереження енергії.

abc cda

Робота з перенесення заряду є тільки функцією відстані між початковою та кінцевими точками, тому можливо ввести скалярні параметри поля, які називають потенціалами. Різниця потенціалів між двома точками характеризує роботу сил електростатичного поля (взяту з протилежним знаком) по перенесенню одиниці кількості електрики з однієї точки в іншу:

b a

a ba b

E dl E dlϕ ϕ− = ⋅ = − ⋅∫ ∫ . (2.4-7)

Одиниця виміру потенціалу - вольт [B]. На відміну від напруженості поля E , яка є

функцією точки, потенціал визначається тільки різницею своїх значень в двох точках і є скаляром. Уявімо, що точка знаходиться на нескінченно великій відстані, тобто потенціал в ній дорівнює нулю; відстань до т. , то 0∞→b bϕ → і тоді aϕ характеризує роботу з переміщення пробного заряду із нескінченності в дану точку. 0q

E dl Cϕ = − ⋅ +∫ , (2.4-8)

де С- стала інтегрування, яка враховує початкові умови. Для поля сукупності зарядів сумарний потенціал, у відповідності з принципом суперпозиції

(якщо середовище лінійне) дорівнює сумі потенціалів:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n nE dl C E dl C E dl CϕΣ = − ⋅ + + − ⋅ + + + − ⋅ +∫ ∫ ∫ . (2.4 – 9)

Для електростатичного поля 0E dl⋅ =∫ . Таким чином електростатичне поле визначають

векторними величинами та й скалярною величиною E D ϕ , яка є допоміжною величиною, й характеризує електричне поле.

2.5 Еквіпотенціальні поверхні. Градієнт потенціалу

Оскільки електростатичне поле характеризують скалярною неперервною функцією - потенціалом, то в ньому завжди можна виділити геометричне місце точок з однаковим потенціалом. В тривимірному просторі таку поверхню називають еквіпотенціальною. Таким чином електростатичне поле можна уявити безліччю еквіпотенціальних поверхонь. Щоб визначити взаємне розміщення однієї поверхні відносно іншої, а також відносно силових ліній

, тобто структуру поля, введемо поняття градієнта потенціалу – характеристику, яка визначає зв’язок між та E

E ϕ . Градієнт потенціалу - це вектор, який характеризує ступінь змінення скалярної величини

ϕ та направлений у бік її зростання (за нормаллю до відповідної поверхні). Оскільки найінтенсивніша зміна відповідає найменшій відстані між поверхнями S1 та S2, то вектор градієнта перпендикулярний дотичній еквіпотенціальній поверхні в конкретній точці і направлений до більшого значення. Тобто можна записати:

35

1ngradnϕϕ ∂

=∂

, (2.5-1)

де 1 - одиничний вектор вздовж нормалі до поверхні. n

Для визначення градієнту в ортогональній системі координат розглянемо спочатку похідну потенціалу ϕ вздовж довільного напрямку (рис.2.8).

Рисунок 2.8 До визначення градієнта потенціалу

З рис.2.8. визначимо

cos( )

nlnl∧

ΔΔ = . (2.5-2)

Візьмемо відношення приросту потенціалу до приросту : l

cos( )nll nϕ ϕ ∧Δ Δ

=Δ Δ

, (2.5-3)

або для нескінченно малих:

cos( )nll nϕ ϕ ∧∂ ∂=

∂ ∂ . (2.5-3а)

Вираз (2.5-3а) визначає проекцією вектора ϕgrad на довільний напрям l :

lgradlϕϕ ∂

=∂

. (2.5-4)

Якщо довільний напрямок l представити в прямокутній системі координат

x yl il jl kl= + + z , то отримаємо :

x y zgrad igrad jgrad k gradϕ ϕ ϕ= + + ϕ , (2.5-5) або:

grad i j kx y zϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂

= + + = ∇∂ ∂ ∂

. (2.5-6)

36

Модуль: 2 2 2

gradx y zϕ ϕ ϕϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (2.5-7)

Для визначення зв’язку між напруженістю поля з потенціалом ϕ скористаємось співвідношенням (2.4-7), в якому за умов зменшення ab в границі dϕ отримаємо:

E dlϕ∂ = − ⋅ . (2.5-8) На підставі (2.5-4) та (2.5-8), отримаємо:

E gradϕ= − . (2.5-9)

Це важливе співвідношення свідчить про те, що електричне поле вектора E можна визначити як градієнт скалярної величини – потенціала ϕ . З формули (2.5-9) випливає, що за відомим значенням потенціалу можна розв’язати пряму задачу електростатики, якщо відомий зв'язок між потенціалом та густиною заряду. Цей зв'язок отримаємо із розв'язку рівняння Пуассона.

2.6 Рівняння Пуассона та Лапласа

Для розв'язку прямої задачі електростатики необхідно визначити три проекції вектора E : . Це можливо на підставі (2.5-6) та (2.5-9) zyx EEE ,,

zE

yE

xE zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=ϕϕϕ

;; . (2.6-1)

Раніше було визначено (2.3-22) – закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі:

ρ=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=z

Dy

Dx

DDdiv zyx .

Підстановкою (2.6-1) в (2.3-22), з урахуванням першого матеріального рівняння D Eε= , отримаємо:

ερϕϕϕ

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zyx. (2.6-2)

З використанням оператора Гамільтона в загальному вигляді, запишемо

ερϕϕ −==∇ divgrad2 . (2.6-3)

Формула (2.6-3) – це рівняння Пуассона. Математичний розв’язок цього рівняння:

∫=V

dVrρ

πεϕ

41 , (2.6-4)

37

де r - поточна відстань між елементом та точкою спостереження. dVАбо після інтегрування отримаємо:

4q

rϕ

πε= (2.6-4а)

Таким чином шлях вирішення прямої задачі: за (2.6-4) знайдемо потенціал, як функцію

розподілу зарядів відносно координат точки спостереження, а далі за відомим потенціалом визначимо напруженість поля, як градієнт із протилежним знаком (2.5-9).

Якщо в об’ємі, що розглядають, заряди відсутні, то рівняння (2.6-2) та (2.6-3) є:

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zyxϕϕϕ , (2.6-5)

02 ==∇ ϕϕ divgrad (2.6-5а)

Формули (2.6-5), (2.6-5а) – це рівняння Лапласа. Їх визначають для розрахунку полів в області простору вільній від зарядів. Розв’язок рівняння Лапласа визначають як добуток функцій однієї змінної

)()()(),,( zZyYxXzyx =ϕ . (2.6-6)

Підставимо цей розв’язок в початкове рівняння і отримаємо

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zZXY

yYXZ

xXYZ . (2.6-7)

Перетворимо (2.6-7) таким чином, щоб кожний доданок залежав тільки від однієї змінної:

01112

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zZ

ZyY

YxX

X. (2.6-8)

Тепер можна припустити, що останнє рівняння має розв’язок за умови, що кожний вхідний

в нього доданок є величина стала. Далі, для одержання з виразу (2.6-8) системи трьох рівнянь, кожне з яких є функцією змінної, виконаємо такі дії:

- диференціюємо вираз (2.6-8) по x . Отриманий диференціал дорівнює нулю. Це означає, що перший доданок у (2.6-8) є постійною величиною. Позначимо її через . 2

xK- диференціюємо вираз (2.6-8) по y та . Зробимо висновки про те, що інші доданки в (2.6-

8) теж постійні величини, наприклад, та . Вони, відповідно до виразу (2.6-8), зв’язані рівністю:

z2yK 2

zK

2 2 2 0x y zK K K+ + = .

Таким чином, одержимо систему з трьох рівнянь, кожне з яких має лише одну невідому.

Перепишемо перше рівняння цієї системи з урахуванням виразу (2.6-8) у вигляді:

22

2

1x

X KX x∂

=∂

.

38

Та помножимо його на X : 2

22 0x

X K Xx

∂− =

∂.

Наведемо одержане рівняння в канонічному вигляді, за якого його розв’язок можна представити через гармонічні функції. Оскільки позначення введені довільно, то змінимо їх знаки на протилежні. Тоді останнє рівняння набуде вигляду:

zyx KKK ,,

2

22 0x

X K Xx

∂+ =

∂.

Його розв’язок буде таким:

1 2cos( ) sin( )x xX A K x A K x= + . (2.6-9)

В співвідношенні (2.6-9) – деякі сталі. 21 , AAАналогічно записуємо інші рівності отриманої системи:

22

2 0yY K Y

y∂

+ =∂

,

22

2 0zZ K Z

z∂

+ =∂

,

та їх розв’язки:

1 2cos( ) sin( )yY B K y B K yy= + , (2.6-10)

1 2cos( ) sin( )z zZ C K z C K z= + , (2.6-11)

де – відповідні сталі. 2121 ,,, CCBB

Підставимо вирази (2.6-9), (2.6-10) і (2.6-11) в (2.6-6) та розв’яжемо рівняння Лапласа. Для цього із введених коефіцієнтів два будемо вибирати довільно, тоді третій буде зв’язаний з цим вибором. Нехай та – позитивні натуральні числа. Тоді: 2

xK 2yK

, (2.6-12) 2 2(z xK K K= − + 2 )y

або: 2

z xK j K K= + 2y

)z

(2.6-13)

Ця уявна величина входить в аргументи тригонометричних функцій – синуса та косинуса. Тоді розв’язок (2.6-11) записується через гіперболічні косинус та синус:

1 2( ) (zZ C ch K z jC sh K z= + . (2.6-14)

Надалі виникає проблема визначення коефіцієнтів , які відповідають єдиному розв’язку рівняння Лапласа. Тому необхідно розглянути поведінку вектора напруженості електростатичного поля при переході через поверхню розподілу двох середовищ.

212121 ,,,,, CCBBAA

39

Єдиному розв’язку конкретної задачі, із безлічі інших розв’язків, буде відповідати такий розв’язок рівняння Лапласа, який водночас задовольняє як саме рівняння, так і граничні умови.

2.7 Граничні умови електростатики На границі розділу двох середовищ з різними значеннями ε векториD та E можуть бути

представлені двома складовими: - нормальною( проекцією на нормаль до границі) - тангенціальною, або дотичною складовою (проекція на границю розподілу).

Для визначення нормальних складових доцільно використати поняття потоку, тобто ;для тангенціальних – циркуляції , тобто D dS⋅∫ E dl⋅∫ . На рис.2.9 наведено приклад

представлення довільного вектора K двома складовими: нормальною 1n nK та

тангенціальною 1 . Kτ τ

Рисунок 2.9 Вектор K та його проекції cosnK K α= , cosK Kτ β= .

2.7.1 Нормальні складові векторів D та E Щоб визначити нормальну складову доцільно вибирати вектор як такий, що

характеризує потік. D

Рисунок 2.10 До визначення нормальних складових електричного поля

40

Нехай вектор D Eε= перетинає границю двох середовищ з параметрами 1ε та 2ε , за умови, що ця границя характеризується поверхневою густиною заряду:

Sq

Sρ Σ= Δ . (2.7-1)

У відповідності до закону Гаусса–Остроградського в інтегральній формі:

S

D dS qΣ⋅ =∫ . (2.7-2)

Побудуємо циліндр з поперечним перерізом SΔ , верхньою та нижньою основами

. Відносно циліндра потік вектора 21 , SS ΔΔ D це сума потоків крізь верхню, нижню та бокову поверхню (рис.2.10):

1 2S S Sбок

D dS D dS D dS qΣΔ Δ Δ

⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ . (2.7-2а)

В зв’язку з тим, що заряд зосереджується на поверхні SΔ , висоту циліндра можна

змінювати без втрат для загального результату. За умови зменшення висоти до нуля з урахуванням (2.7-1) отримаємо:

1 2S S

D dS D dS q SρΣΔ Δ

⋅ + ⋅ = = Δ∫ ∫ (2.7-3)

Перший доданок характеризує стан поля в першому середовищі, а другий - в другому.

Зменшуємо величину так, щоб можна було вважати, що в кожній її точці . SΔ constD =Тоді: 1 1 2 2 SD S D S Sρ⋅Δ + ⋅Δ = Δ , (2.7-4)

або

. (2.7-4а) 1 1 1 1 2 2 2 2cos( ) cos( ) SS D D S S D D S S∧ ∧

Δ ⋅ Δ + Δ ⋅ Δ = ρ Δ В (2.7-4а) перший доданок - нормальна складова в першому середовищі , а другий – в

другому , зауважимо, що та 1nD

2nD 1SΔ 2SΔ протилежні за напрямками до і рівні по модулю SΔ

1SΔ = 2SΔ = SΔ .

Тоді граничні умови нормальної складової вектора D :

1 2n nD D Sρ− = , (2.7-5)

тобто нормальна складова вектора D у випадку наявності поверхневої густини заряду зазнає стрибок. Стосовно складових вектора E , запишемо:

1 1 2 2n nE E Sε ε ρ− = , (2.7-6)

В окремому випадку, якщо поверхневий заряд відсутній 0Sρ = ,

41

21 nn DD = , (2.7-7)

21 2

1n nE E ε

ε= . (2.7-7а)

Таким чином нормальна складова зазнає стрибок. E 2.7.2 Тангенціальні складові векторів D та E

Для визначення тангенціальної складової доцільно скористастатися вектором E . Нехай силова лінія E перетинає границю розділу двох середовищ з параметрами 1ε та

2ε . Дослідимо напруженість на присутність вихору, тобто визначимо циркуляцію . Як відомо, від форми контуру циркуляція не залежить, виберемо для зручності контур прямокутної форми

, сторони якого нескінченно малі, а напрямок обходу за годинниковою стрілкою (рис.2.11). Циркуляція характеризує роботу сил поля. За визначенням для електростатики

E

abcdE

0E dl⋅ =∫ ,

тобто: 0

ab bc cd da

E dl E dl E dl E dl⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ . (2.7-8)

Рисунок 2.11 До визначення тангенціальних складових електричного поля.

Якщо наближувати контур до границі розподілу, то ,bc da

E dl E dl⋅ ⋅∫ ∫ дорівнюють нулю. Тоді із

(2.7-8) маємо

0ab cd

E dl E dl⋅ + ⋅ =∫ ∫ . (2.7-8а)

Перший доданок характеризує стан в першому середовищі, другий - в другому. Сторони ab та cd , відповідно нескінченно малі величини і дорівнюють , тому можна вважати, що в кожній точці , тоді :

dlconstE =

42

1

2

,

.

ab

cd

E dl E ab

E dl E cd

⎫⋅ = ⋅ ⎪

⎪⎬⎪⋅ = ⋅ ⎪⎭

∫

∫ (2.7-9)

З (2.7-8а) з урахуванням (2.7-9) та напрямів, отримаємо

1 1 2 2cos( ) cos( ) 0E ab E ab E cd E cd∧ ∧

− = . (2.7-10)

Враховуючи, що ab=cd= та скорочуючи маємо: dl

1 1 2 2cos( ) cos( ) 0E E ab E E cd∧ ∧

− = . (2.7-10а)

Доданки (2.7-10) – це тангенціальні складові E , які не зазнають розриву.

1E E 2τ τ= . (2.7-11)

Для тангенціальних складових вектора D співвідношення таке:

11 2

2

D Dτ τεε

= . (2.7-12)

2.7.3 Граничні умови для потенціалу

Розглянемо граничні умови для потенціалу електростатичного поля. Згадаємо

співвідношення (2.5-9) E gradϕ= − , яке стосовно площини ділянки границі, в прямокутній системі координат, представимо таким чином:

x yi j iE jx y

Eϕ ϕ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ . (2.7-13)

Тобто

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

−=

∂∂

−=

yE

xE

y

x

ϕ

ϕ

. (2.7-14)

Оберемо координати таким чином, що вісь x направлена вздовж границі розділу двох

середовищ, а вісь – співпадала з напрямком нормалі до границі (див.рис.2.12) . Тоді, відповідно до (2.7-5)

y

snn DD ρ=− 21 та (2.7-11) отримаємо:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=

16)-(2.7.

15)-(2.7,

2211

21

ρεε yy

xx

EE

EE

43

З врахуванням, що x → τ , ny → :

;Eτϕτ∂

= −∂

(2.7-17)

nEnϕ∂

= −∂

. (2.7-18)

ε1

ε2

Рисунок 2.12 Складові вектора E на границі розподілу двох середовищ

Відповідно з врахуванням (2.7-15) на границі поділу середовищ для 0y = :

τϕ

τϕ

∂∂

=∂∂ 21 . (2.7-19)

З цієї рівності на підставі граничних умов для тангенціальних складових вектора , який виражений через

Eϕ , отримаємо :

1 2 0|yτ τϕ ϕ == , (2.7-20) (2.7-20) свідчить про те, що потенціал на границі розділу двох середовищ – неперервна функція. Нормальні складові , можливо виразити через E ϕ , з врахуванням (2.7-17) та (2.7-18):

1 21 2 sn nϕ ϕε ε ρ∂ ∂

− + =∂ ∂

. (2.7-21)

2.7.4 Граничні умови на поверхні ідеального провідника

Практичне значення має ситуація, коли одне з середовищ є провідник, наприклад антена,

яка межує з повітрям. Провідник відрізняється від діелектрика тим, що має вільні заряди (ідеальним є провідник в якому кількість вільних зарядів нескінченно велика). Внесення провідника в електростатичне поле, викликає перерозподіл зарядів, тобто негативні заряди зосереджуються на поверхні провідника, яка направлена назустріч полю, а позитивні заряди – на

44

протилежній. Тоді всередині провідника утворюється поле, направлене назустріч по відношенню до зовнішнього. Перерозподіл зарядів буде продовжуватися доки поле, яке знаходиться всередині, не скомпенсує зовнішнє в межах об’єму провідника. Отже ідеальний провідник має достатню кількість зарядів, щоб скомпенсувати зовнішнє поле в межах всього об’єму провідника. Тому результуюче поле всередині ідеального провідника дорівнює 0. Для тангенціальних складових на підставі (2.7-11), маємо всередині провідника поле скомпенсоване, тоді:

021 == ττ EE . (2.7-22)

Тобто та складові й 2 0E = 2 0Eτ = 2 0nE = . Для нормальних складових вектора на підставі (2.7-6), маємо:

E

11

SnE ρ

ε= . (2.7-23)

Таким чином силові лінії електростатичного поля завжди направлені за нормаллю до

поверхні ідеального провідника. У компактній формі граничні умови електростатики наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 Граничні умови електростатики

Граничні умови Складові поля Базові співвідношення В загальному

випадку З ідеальним провідником

Нормальна n

D dS q⋅ =∫ snn DD ρ=− 21

snn EE ρεε =− 2211

21 nn EE ≠

02 =nE

01 ε

ρSnE =

Тангенціальна τ

0E dl⋅ =∫ 021 == ττ EE

21 ττ EE = 01 =τE

02 =τE

E

2.8 Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля

Нагадаємо, який компонент електричного кола може накопичувати електричну енергію.

Цей елемент – конденсатор. Відомо, що основним функціональним параметром конденсатора є електрична ємність. Для кожного відокремленого провідника відношення q / ϕ є сталою величиною і називається ємністю. Тобто ємність визначають як відношення накопиченого в конденсаторі заряду до прикладеної до нього напруги різниці потенціалів: q

qCϕ

=Δ

. (2.8 - 1)

За одиницю ємності приймають ємність такого конденсатора, в якому накопичується заряд

1Кл при підключенні конденсатора до напруги 1В. Ця одиниця має назву фарад (Ф): 1Ф=1Кл/1В.

Для тіл сферичної форми : 4

qR

ϕπε

= , тому електрична ємність провідника сферичної форми:

4qC Rπεϕ

= =Δ

, (2.8 - 2)

45

де R - радіус сфери. З цієї рівності бачимо, що ємність провідників залежить від їх розмірів, форми, властивостей середовища.

Як будь-який заряджений провідник, конденсатор має енергію. Відомо, що для зарядження

тіла від нульового потенціалу до ϕ необхідно виконати роботу: 2

0 2CA C d

ϕ ϕϕ ϕ= =∫ . Відповідно

енергія зарядженого конденсатора дорівнює тій роботі, яку необхідно виконати, щоб його зарядити:

2

2CW ϕ

= . (2.8 – 3)

Перетворимо формулу (2.8-3), скориставшись виразом для ємності плоского конденсатора SC

dε

= та різниці потенціалів між його обкладинками EdϕΔ = . Тоді:

2 2

2 2E EW Sdε ε

= = V . (2.8 – 4)

Скориставшись першим матеріальним рівнянням, отримаємо

2

E DW V⋅= . (2.8 – 5)

В конденсаторі поле однорідне, тому енергія розподілена в об’ємі рівномірно. Відповідно в

одиниці об’єму поля міститься енергія:

2

W E DwV

⋅= = . (2.8 – 6)

Тоді:

2

2 2V V V

E E DW wdV dV dVε ⋅= = =∫ ∫ ∫ . (2.8 – 7)

Електрична енергія накопичується не тільки в конденсаторі, який можна використовувати

при вирішенні різних інженерних задач. Будь-які провідники, розміщені близько один від одного, контакти мають ємність, тобто здатні накопичувати електричну енергію та впливати на процеси в електричних колах, на що треба звертати увагу при розрахунках та проектуванні електричних приладів.

2.9 Висновки

1. Електричне поле (статичне) створюють незмінні в часі нерухомі заряди. 2. Проявом взаємодії зарядів є так звана, Кулонівська сила [ ]F H , яка для електронів

значно перевищує гравітаційну. 3. Для визначення електричного характеру сили взаємодії зарядів використовують поняття

вектор напруженості електричного поля ( ) rrqqFE 14 2πε== , [ ]В м .

46

4. Для визначення характеристик електричного поля незалежного від параметрів середовища використовують поняття вектора електричного зміщення D Eε= , 2Кл м⎡ ⎤⎣ ⎦ який характеризує густину електричного заряду.

5. Для опису характеристик електричного поля використовують поняття: інтегральні – значення, напрям, потік вектора електричного зміщення, циркуляція напруженості електричного поля та диференціальні – градієнт, дивергенція та ротор.

6. Потік вектора електричного зміщення визначає заряд який його створює D dS q⋅ =∫

(закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі); дивергенція вектора D визначає густину заряду ρ=Ddiv (закон Гаусса-Остроградського в диференціальній формі):

. divD = ρ7. Для вирішення задач електродинаміки є корисним перетворення (теорема) Гаусса-

Остроградського . S V

D dS divDdV⋅ =∫ ∫8. Ознакою електричного поля є сила, тому в умовах переміщення заряду виконується

робота l

A q E dl= ⋅∫ .

9. Роботу можна характеризувати потенціалом E dl Cϕ = − ⋅ +∫ . 10. Для опису поля потенціалом в просторі використовують поняття еквіпотенціальні

поверхні. 11. Для оцінювання ступеня зміни потенціала з відстанню використовують поняття градієнт

потенціалу nn 1)( ∂∂ϕ , Egrad −=ϕ . 12. Розв’язок прямої та зворотної задач електростатики полягає у виявленні зв’язків між

,q ρ , ϕ , E , D . 13. Визначають потенціал із розв’язку рівняння Пуассона , . ερϕ /2 =∇ rdV περϕ 4/)(∫=

14. Існування електричного поля в просторі, параметри якого змінюються, вимагає розгляду граничних умов: – для нормальних складових використовують потік вектора D та отримують

, 1 2n nD D− = ρS

– для тангенціальних складових використовують циркуляцію вектора E та отримують . 21 ττ EE =

15. Потенціал на границі розподілу не має стрибка. 16. Великі практичні значення має ситуація, якщо одне із середовищ – ідеальний провідник.

В цьому випадку силові лінії вектора E перпендикулярні до провідної поверхні. 17. Математична модель електричної ємності: коефіцієнт пропорційності між зарядом та

різницею потенціалів 1 2

q qCUϕ ϕ

= =−

.

18. Енергію електричного поля визначають 2E

E DW dV⋅= ∫ ;

2

2EEε

= ∫W d ; V2

2ECϕW = .

Перейдемо до розгляду магнітного поля постійного струму.

47

3 МАГНІТНЕ ПОЛЕ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ 3.1 Магнітне поле постійного струму. Закон Біо-Савара 3.2 Закон повного струму

3.2.1. Закон повного струму в інтегральній формі 3.2.2 Закон повного струму в диференціальній формі 3.2.3 Перетворення (теорема) Стокса 3.3 Розв’язування прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді 3.4 Граничні умови магнітостатики 3.4.1 Нормальні складові векторів B та H 3.4.2 Тангенціальні складові векторів B та H 3.4.3 Граничні умови на поверхні ідеального провідника 3.5 Поняття індуктивності. Енергія магнітного поля постійного струму 3.6 Висновки 3.1 Магнітне поле постійного струму. Закон Біо-Савара Сили, які виявляють за умов взаємодії струмів та дії магнітів, мають однакову природу і їх

називають магнітними. Джерелом магнітних сил є магнітне поле, яке існує в просторі ,що оточує магніти і провідники зі струмом. Будь-який рухомий електричний заряд створює в навколишньому середовищі магнітне поле. Воно неперервне в просторі і впливає на інші рухомі електричні заряди. Скрізь, де є електричний струм, тобто рухомі електричні заряди, існує магнітне поле .Електричний струм та магнітне поле невіддільні один від одного. Через те, що магнітне поле виникає навколо провідника, коли в останньому з‘являється струм, струм вважають джерелом магнітного поля. Саме так треба розуміти висловлювання «магнітне поле струму», «магнітне поле, створене струмом».

Одним із способів виявлення магнітного поля навколо провідника є використання залізних ошурків. В магнітному полі ці шматочки заліза стають магнітами, орієнтованими так, що їх вісь збігається з напрямком магнітного поля в даній точці. При проходженні постійного струму крізь провідник пропущений наприклад, через лист картону з залізними ошурками ,вони розміщуються навколо нього за концентричними колами.

За аналогією з електростатики введемо поняття магнітних зарядів. На відміну від електричних зарядів, магнітних зарядів одного знаку в природі не існує, бо скільки б не зменшували розміри магніту , він завжди матиме два полюси (рис.3.1а). Тому для спрощення досліджень застосовують модель магніту у вигляді довгої , нескінченно тонкої магнітної «спиці» (рис.3.1б), в наслідок чого фіктивні магнітні заряди протилежних знаків зосереджуються на її кінцях .

а б

qm1 qm2

N S

N Sq1мq м2

N S

---------------------------N S

Рисунок 3.1 Модель : а- магніту ;б- магнітної спиці

48

Для такої моделі магніту можна за аналогією скористатись законами та положеннями електростатики. Аналогія закону Кулона для магнітної спиці:

21 2 l

4r

м мм

q qF rπμ

→→= , (3.1-1)

1мq , одиниці виміру [В·с]–фіктивні магнітні заряди, – відстань між ними , 2мq r μ - магнітна

проникність середовища. Вектор напруженості електричного поля визначають як:

rrq

E l4 2

→→=

πε,

за аналогією запишемо вектор напруженості магнітного поля:

2 l4

м мr

м

F qHq rπμ

→→= = . (3.1-2)

Одиниця виміру ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=мAH .

Знайдемо одиниці виміру qм з формули (3.1 - 2): 2мВсqмА

мA м

⋅⋅⋅⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ , звідки [ ] [ ] [ ]ВбсВqм =⋅= .

В електростатиці вектор електричного зміщення (вектор електричної індукції) введено для того, щоб охарактеризувати електричне поле незалежно від середовища, в якому це поле існує, за аналогією з електростатикою введемо поняття вектора магнітної індукції :

→→

= ED ε

rм

rqHB

→→→

== l4 2π

μ . (3.1-3)

Вектор →

B являє собою густину магнітного потоку . Визначимо одиницю виміру вектора магнітної індукції.

[ ]ТлмВб

мсВB =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡→

22 , . ГсТл 4101 =

Речовини які знаходяться в магнітному полі мають властивість намагнічуватися. Це явище відображає вектор намагніченості .

мrM Hχ→

= , (3.1-4)

де М- намагніченість речовини, мrχ - магнітна сприйнятливість. За ДСТУ 2843 намагніченість – це векторна величина, якою характеризують магнітний

стан речовини, яку визначають як границю відношення магнітного моменту елементів об‘єму речовини до цього елемента об‘єму, коли останній прямує до нуля.

Для магнітних речовин вектор магнітної індукції визначають:

→→→→→→→→

==+=+=+= HHHHHHMB rмrмr μμμχμμχμμμ 000000 )1( . (3.1-5)

49

За ДСТУ 2843 магнітна сприйнятливість - це величина , яка характеризує властивість речовини намагнічуватись у магнітному полі і яку визначають, як відношення модуля намагніченості до модуля напруженості магнітного поля, вона скалярна для ізотропної речовини. Магнітна

проникність μ - величина, що показує, в скільки разів індукція →

B магнітного поля в

однорідному середовищі відрізняється від індукції магнітного поля в вакуумі. Для діамагнетиків, тобто речовин, що послаблюють магнітну індукцію зовнішнього поля , μ

0

→

Br <1 ( мrχ

<0). Для парамагнетиків , що підсилюють магнітну індукцію зовнішнього поля μr>1( мrχ >0) .Для феромагнетиків, що мають власну намагніченість і внутрішнє магнітне поле у багато разів перевищує зовнішнє поле, μr >>1. Для монохромного поля та неоднорідного лінійного ізотропного середовища магнітна проникність в загальному випадку є функція узагальнених криволінійних координат. .,, ζηξ Тоді маємо :

( , , , )B Hμ ξ η ζ= , (3.1-6)

Якщо середовище нелінійне, тобто μ=μ(Н) маємо:

( )B Hμ= H . (3.1-7)

Для монохромного поля, однорідного лінійного анізотропного середовища:

( ) ,B Hμ= (3.1-8)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( ) ,μ μ μμ μ μμ μ μ

μ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

де )(μ – тензор абсолютної магнітної проникності.

ζηξζ

ζηξη

ζηξξ

μμμ

μμμ

μμμ

HHHBHHHBHHHB

333231

232221

131211

++=

++=

++=

. (3.1-8а)

Розглянемо питання про визначення магнітного поля, що створюється постійним

електричним струмом. В основі розв‘язання прямої задачі магнітостатики покладемо закон Біо – Савара, відкритий експериментально у 1820 р.:

rr

IdlHd→

⎯→⎯→

×= l4 2π

, (3.1-9)

де - елемент струму, що є вектором і визначає модуль і напрям елементу . ⎯→⎯

Idl dH Закон Біо-Савара свідчить про те, що напруженість магнітного поля, яке створюється елементом постійного струму Idl, прямо пропорційна значенню цього елемента, обернено пропорційна квадрату відстані до точки спостереження і залежить від напряму на неї (рис.3.2).

50

Рисунок 3.2 До визначення напрямку вектора H : а- на площині; б- умовно в просторі

Визначимо модуль : dH

^| ||1 |sin( 1 )

| | 24

Idl dlr rdHrπ

= , (3.1 - 10)

де = sin (φ), φ – кут між напрямом ^

sin( 1 )rdl ld та одиничним вектором . Загальне поле за принципом суперпозиції визначають в результаті інтегрування за всіма

елементами струму Тоді рівняння для напруженості магнітного поля індукції має вигляд:

2

sin| |4IdlH d

rlϕ

π

∞

−∞

= ∫ . (3.1 - 11)

Розглянемо приклад застосування закону Біо - Савара для нескінченно довгого тонкого

провідника зі струмом l I . На відстані R від провідника знаходиться точка спостереження A , через яку проходять силові лінії магнітного поля (рис 3.3) розглянемо ділянку провідника . dl

∞

-∞ Рисунок 3.3 До визначення напруженості

магнітного поля. Розглянемо (3.1 - 11). Інтеграл має нескінченні межі інтегрування. Для того, щоб ці межі

інтегрування були визначеними, скористаємося співвідношеннями із трикутників АВС, ВСD відповідно:

51

sindl dlψ = ϕ , (3.1-12)

ψψ drdl sin= ≈ rdψ . (3.1-13) Після заміни sindl ϕ (в 3.1-11) на rdψ (із 3.1-13) з урахуванням (3.1-12) та зміни границь

інтегрування, маємо

∫−

=2

2

4

π

π

ψπ r

dIH . (3.1-14)

З трикутника АЕD (враховуючи, що внаслідок нескінченно малого значення AD=BD)

маємо: dl

ψ

ψcos

cos RrrR

=⇒= .

Підставимо останній вираз в рівняння (3.1 - 14) і отримаємо :

∫−

=2

2

cos4

π

π

ψψπ

dR

IH . (3.1-15)

Після інтегрування (3.1 - 15), отримаємо вираз для напруженості магнітного поля:

2

IHRπ

= , (3.1-16)

Визначимо вектор H :

12 н

IHRπ

= ,

де - це вектор перпендикулярний до площини з провідником із струмом та вектором r1н . Таким чином встановлено, що значення напруженості магнітного поля, яку створює

нескінченно довгий провідник зі струмом I , визначають за формулою (3.1-16), напрям вектора H визначають за дотичною до концентричних кіл навколо провідника зі струмом.

Застосування закону Біо-Савара для аналізу провідника кінцевої довжини із визначеним діаметром вимагає складного інтегрування, тому потрібен інший підхід до розрахунку магнітного поля, на підставі закону повного струму.

3.2 Закон повного струму

3.2.1 Закон повного струму в інтегральній формі Оцінимо роботу поля з переміщення пробного заряду вздовж замкнутого контуру. Цю

роботу визначають в загальному випадку інтегралом за контуром: м

l

A F dl q H dl= ⋅ = ⋅∫ ∫ . (3.2-1)

52

Контур (рис.3.4) може охоплювати струм I , а може і не охоплювати. Вважаємо, що струм I протікає в нескінченно тонкому і довгому провіднику. Вектор dl є дотичною до контуру, вектор dlϕ - напрямлений в тому ж напрямку, що й вектор H , а rdl перпендикулярний до нього.

Напрям силових ліній вектора напруженості магнітного поля H визначають правилом свердлика.

Рисунок 3.4 Провідник із струмом: а - охоплений контуром ; б - неохоплений контуром l l

Розглянемо перший випадок, коли контур охоплює струм I (рис.4.3,а). Позначимо

відстань від провідника до елемента контура dl через R й визначимо :

Rdl dl dlϕ= + , (3.2-2) RH dl H dl H dlϕ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ . (3.2-3)

Розглянемо праву частину (3.2-3) Оскільки вектори Rdl і H взаємно перпендикулярні , їх

скалярний добуток дорівнює нулю ; напрями векторів dlϕ і H співпадають – добуток цих векторів дорівнює добутку їх модулів. Тому відповідно маємо :

^

^

cos( ) 0,

cos( ) .

R R RH dl Hdl H dl

H dl Hdl H dl Hdlϕ ϕϕ ϕ

⋅ = =

⋅ = = (3.2-4)

Тоді враховуючи, що

sindl R dϕ ϕ≅ , (3.2-5) та за умови малого кута dφ

dl Rdϕ ϕ≅ . (3.2-5а) рівняння (3.2-3) набуває вигляду:

. (3.2-6) ∫ ∫ =⇒l

HRHRdHdlπ

ϕ πϕ2

0

2

Із урахуванням (3.1 - 16) маємо

53

1

k

nl

H dl I IΣ=

⋅ = =∑∫ . (3.2-7)

Розглянемо іншу ситуацію, коли контур не охоплює провідник зі струмом. Проведемо дві

прямі, що дотикаються в точках 1 та 2 контура. Тоді контур розділений на дві траекторії 1а2 та 2b1:

В цьому випадку циркуляція вектора H , є сума двох інтегралів:

1 2 2 1

[ ]2l a b

IH dl d dϕ ϕπ

0⋅ = +∫ ∫ ∫ = . (3.2-8)

Перший інтеграл характеризує роботу поля з переміщення пробного заряду за траєкторією

1а2, а другий – за траєкторією 2b1. Оскільки кути за колами 1а2 та 2b1 однакові за значенням та протилежні за знаком в результаті маємо нуль.

Узагальнення результатів ситуацій 1 та 2 (за рис.3.4,а та рис.3.4,б) показує, що циркуляція вектора H за замкнутим контуром дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які охоплює цей контур.

Таким чином, закон повного струму в інтегральній формі дає можливість розв’язку прямої задачі магнітного поля.

А як бути із зворотньою задачею, тобто за даними поля знайти розподіл струмів у провіднику, які створюють це поле. Закон повного струму в інтегральній формі відповіді не дає, тому необхідно перейти до диференціальної форми.

3.2.2 Закон повного струму в диференціальній формі

Визначимо в просторі точку ( , , )a x y z , де напруженість поля аH :

.a ax ay azH iH jH kH= + + (3.2-9)

Рисунок 3.5 До визначення закону повного струму в диференціальній формі. Модель площини паралельної xOy ;

54

Розглянемо циркуляцію вектора H в околицях точки , спочатку в площині a xOy (рис.3.5).

(3.2-10) 12 23 34 411234

( ) ( ) ( ) ( )H dl H l H l H l H l⋅ = ⋅Δ + ⋅Δ + ⋅Δ + ⋅Δ∫ .

х

Відповідно до рис.3.5 із урахуванням напрямку руху за контуром 1-2-3-4-1 (3.2-10)

набуває вигляд :

12 23 34 411234

( ) ( )у х у хH dl Н y Н х Н у Н⋅ ⇒ Δ + −Δ + −Δ + Δ∫ . (3.2-10а)

Визначимо з урахуванням змінення вздовж осі х 12уН уН

12 2y

y аy

H xH Hx

∂ Δ⇒ +

∂, (3.2-11)

Тоді

12( ) ( )2

yаy

H xH l H yx

∂ Δ⋅Δ = + Δ

∂. (3.2-12)

Теж саме запишемо і для інших сторін чотирикутника:

23( ) ( )2

xаx

H yH l H xy

∂ Δ⋅Δ ⇒ − + Δ

∂, (3.2-12а)

34( ) ( )2

yаy

H xH l H yx

∂ Δ⋅Δ ⇒ − − Δ

∂, (3.2-12б)

41( ) ( )2

xаx

H yH l H xy

∂ Δ⋅Δ ⇒ − Δ

∂. (3.2-12в)

Об’єднаємо (3.2 - 12) - (3.2 – 12в):

1234

y yx xz

H HH HH dl x y x y x y J x yx y x y

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⋅ ⇒ Δ Δ − Δ Δ = − Δ Δ = Δ Δ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ . (3.2 - 13)

Це закон повного струму, за контуром 1234 – в дужках маємо проекцію густини струму

(за напрямком ). Аналогічно для площин zJ

z zOx та yOz отримаємо:

zOx : ( )x zy

H HH dl x z J x zz x

∂ ∂⋅ = − Δ Δ = Δ

∂ ∂∫ Δ , (3.2-14)

в дужках густина струму yJ (за напрямом ). y

yOz : ( )yzx

HHH dl x z J y zy z

∂∂⋅ = − Δ Δ = Δ

∂ ∂∫ Δ , (3.2-15)

55

в дужках густина струму Jx (за напрямом x ).

Тобто співвідношення для густини струму в різних напрямах:

yx

ldH

yH

xH

J xyz ΔΔ

⋅=

∂∂

−∂

∂= ∫ ; (3.2-16)

zx

ldH

xH

zH

J zxy ΔΔ

⋅=

∂∂

−∂∂

= ∫ ; (3.2-16а)

zy

ldH

zH

yH

J yzx ΔΔ

⋅=

∂

∂−

∂∂

= ∫ . (3.2-16б)

Границі від правих частин рівнянь, (3.2-16)…(3.2-16б) є проекції ротора на осі перпендикулярні відповідним площинам:

0

lim zx y

H dlrot H

x yΔ Δ →

⋅=

Δ Δ∫ , (3.2-17)

0

lim yx z

H dlrot H

x zΔ Δ →

⋅=

Δ Δ∫ , (3.2-17а)

0

lim xy z

H dlrot H

y zΔ Δ →

⋅=

Δ Δ∫ , (3.2-17б)

Узагальнено:

0

limn

nSn

H dlrot H

SΔ →

⋅=

Δ∫ . (3.2-18)

Таким чином межа відношення циркуляції вектора до елемента площини за умов

прямування цієї площини до нуля є проекція ротора цього вектора на нормаль до даної площини.

В декартовій системі координат ротор визначають :

x y z x yrotH irot H jrot H krot H iJ jJ kJ= + + = + + x . (3.2-19) Тобто закон повного струму в диференціальній формі є

прrotH J= . (3.2-20)

У компактній матричній формі операцію визначають як rot

=H∇× ( ) ( ) (y )yx xz z

x y z

i j kH HHH HrotH i j k H

x y z y z z x x yH H H

⎡ ⎤⎢ ⎥ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥= = − + − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∂− . (3.2-21)

56

3.2.3 Перетворення (теорема) Стокса З’ясуємо взаємозв’язок сумарного струму I в контурі із густиною струмів . l JПеретворення Стокса пов’язує інтеграли різного порядку (на зразок перетворення

(теореми) Гаусса - Остроградського). Вона дозоляє переходити від лінійного інтеграла до поверхневого, і навпаки, що в деяких ситуаціях суттєво полегшує розв’язування задач електродинаміки.

Скористаємось підходом аналогічно п.2.3.3 для перетворення Гаусcа – Остроградського. Розгляд почнемо зі струму I і скористаємось відомими формулами:

l

I H dl= ⋅∫ ,

s s

I J dS rotH dS= ⋅ = ⋅∫ ∫ . (3.2-22)

Отримуємо: .

l s

H dl rotH dS⋅ = ⋅∫ ∫ (3.2-23)

Циркуляція H в довільному замкнутому контурі дорівнює потоку його ротора через

поверхню, обмежену цім контуром. Тобто циркуляція вектора по довільному замкнутому контуру дорівнює потоку його

ротора через поверхню, обмежену цим контуром.

3.3 Розв’язування прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді

Як встановлено вище, першопричиною магнітного поля є струм: , ,I J H→ B

A де H - визначає силу, тобто напруженість магнітного поля , - густину потоку, B A є

допоміжний параметр – векторний потенціал. Встановимо зв’язок між густиною струму ( , , )J x y z та напруженістю H магнітного поля

створеного стр мом. уВектор H визначають трьома проекціями, тому для вирішення цієї задачі знадобиться

система не менш, як із трьох рівнянь: Перше рівняння – закон повного струму в диференціальній формі:

JHrot = . (3.3-1) Магнітне поле існує у певному середовищі, яке характеризується магнітною

проникністю тому друге рівняння це:

HB μ= - друге матеріальне рівняння середовища (3.3-2) Третє рівняння – аналог закону Гаусса - Остроградського в інтегральній формі, стосовно

магнітних тіл:

57

м

s

B dS q⋅ =∫ , (3.3-3)

тобто потік вектора магнітної індукції дорівнює сумарному магнітному заряду в заданій області простору. Але через те, що магнітні заряди завжди існують у вигляді диполів, сумарний заряд дорівнює 0 й відповідно маємо, що інтеграл дорівнює 0 :

0s

B dS⋅ =∫ - в інтегральній формі, (3.3-4)

0divB = - в диференціальній формі. (3.3-5)

Нагадаємо, що з векторного аналізу відомо: якщо дивергенція будь-якого вектора, дорівнює нулю, наприклад , то можна стверджувати, що існує деякий вектор 0divL = M , ротор якого дорівнює вихідному вектору , тобто L LMrot = . Це положення ілюструє рис.3.6.

Рисунок 3.6 До пояснення положення: якщо 0divL L=∇⋅ = т існує вектор о M , ротор якого

дорівнює L, LMMrot =×∇=

На основі цього твердження отримаємо ще одне рівняння:

B rotA= , (3.3-6) де A має назву векторний потенціал. Визначимо одиницю виміру векторного потенціалу з (3.3-6).

2

1Вс Вм м м

⎡ ⎤ ⎡= ⋅⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣с ⎤⎥⎦

,тобто [ ] В c ВбAм м⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

З виразу (3.3-6) з урахуванням (3.3-2) отримаємо:

1H rotμ

= A . (3.3-7)

Виконаємо операцію ротор з лівою та правою частинами рівняння (3.3-7), отримаємо:

1rotH rot rotAμ

= . (3.3-8)

58

і тоді на підставі (3.3-1) маємо що: rot rotA Jμ= . (3.3-9)

Нагадаємо положення з векторного аналізу: ротор ротора довільного вектора M дорівнює: 2rot rotM grad divM M= −∇ .

Тоді з урахуванням (3.3 -9) маємо: JAAdivgradArotrot μ=∇−= 2 . (3.3-10) Оскільки вектор B визначають через Arot (3.3 - 6) та Arot , величина, яка не дорівнює

нулю, тобто вектор , має вихровий характер. В той же час відомо, що дивергенція вихору дорівнює нулю, тоді в (3.3 - 10):

A0grad divA =

Враховуючи це можемо записати: JA μ−=∇ 2 . (3.3-11)

Представимо векторне співвідношення (3.3 - 11) як систему скалярних у формі проекцій

на координатні осі:

2

2

2

,

,

.

x x

y y

z z

A J

A J

A J

μ

μ

μ

⎫∇ = −⎪

∇ = − ⎬⎪

∇ = − ⎭

(3.3-12)

Ці рівняння аналогічні за формою рівнянню Пуассона (2.6-3). Їх розв’язок за формою

аналогічний до (2.6-4):

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

∫

∫

∫

,4

,4

,4

dVrJA

dVr

JA

dVr

JA

zz

yy

xx

πμπμπμ

(3.3-13)

де r – це відстань від джерела поля (яке створює струм) до точки спостереження.

Якщо домножити проекції на відповідні орти, отримаємо формулу у векторній формі :

zyx ААА ,,

.4 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++= ∫ ∫ ∫ dV

rJkdV

rJ

jdVrJ

iАkАjАiA zyxzуx π

μ (3.3-14)

В компактній формі :

4

JAr

μπ

= dV∫ . (3.3-14а)

Якщо визначити , то формулу (3.3-14а) можна записати інакше: dV dl dS= ⋅

59

4

IdlAr

μπ

= ∫ . (3.3-14б)

На основі рівняння (3.3-7) із урахуванням (3.3-14а) отримаємо:

14

JH rot dVr

μμ π

= ∫ . (3.3-15)

Після скорочення і заміни порядку операцій маємо :

14

rotJHrπ

= ∫ dV . (3.3-16)

Рівняння (3.3-16) – розв’язок прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді: знайдено

напруженість магнітного поля H через густину струму в просторі. Всі одержані співвідношення застосовують для аналізу магніто-статичних полів в

конкретних середовищах з визначеним значенням магнітної проникності µ. Але на межі розподілу двох середовищ отримані рішення не дають однозначну відповідь, тому потрібно розглянути граничні умови.

3.4 Граничні умови магнітостатики Використаємо аналогічний підхід як в електростатиці. Для нормальних складових

скористаємося формулами потоку вектора магнітної індукції, для тангенціальних - циркуляцією напруженості магнітного поля.

3.4.1 Нормальні складові векторів B та H Нормальна складова вектора – проекція вектора на нормаль до поверхні розподілу. Нехай

вектор B Hμ= перетинає границю поділу двох середовищ. Виділимо нескінченно малу ділянку поверхні , щоб можна було знехтувати її кривизною , і SΔ B = const.

Побудуємо циліндр з поперечним перерізом SΔ , твірні якого паралельні до нормалі n (рис. 3.7)

Рисунок 3.7 До визначення нормальних складових магнітного поля

60

Магнітні заряди існують у вигляді диполів .Тому сумарний магнітний заряд 0=Σmq , а отже аналог теореми Гаусса – Остроградського для магнітного поля має вигляд:

0.mB dS q Σ⋅ = =∫ (3.4-1) Потік вектора B - це сума потоків

1 2

0.бокS S S

B dS B dS B dSΔ Δ Δ

⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ (3.4-2)

Оскільки заряд зосереджено на площадці SΔ ,то без втрати загального результату можна

спрямувати до нуля висоту циліндра, а отже і площу бічної поверхні бокSΔ . Тоді

.01 2

=⋅+⋅∫ ∫Δ ΔS S

SdBSdB (3.4-3)

Перший доданок характеризує стан в першому середовищі, а другий в другому.

Зменшуємо величину так, щоб можна було вважати, що в кожній точці тоді: SΔ B const= .02211 =Δ⋅+Δ⋅ SBSB (3.4-4)

За умови , то з (3.4-4) маємо скалярні добутки : SSS Δ=Δ=Δ |2||1|

^ ^1 1 1 2 2 2cos( ) cos( ) 0.B B S B B SΔ + Δ = (3.4-5)

Складові лівої частини рівняння є нормальними складовими вектора магнітної індукції.

.021 =− nn BB (3.4-6)

або для напруженості магнітного поля:

.02211 == nn HH μμ (3.4-7)

3.4.2 Тангенціальні складові векторів B та H Для визначення скористаємось вектором H . Нехай вектор напруженості магнітного поля

перетинає границю поділу двох середовищ. Знайдемо циркуляцію вектора H за контуром (рис.3.8) . Поняття циркуляції зручно застосовувати, адже вона не залежить від форми контуру, тому виберемо для зручності контур прямокутної форми , сторони якого нескінченно малі, а напрямок обходу за годинниковою стрілкою (рис. 3.8). Циркуляція

abcd

abcdH характеризує роботу сил

поля. За визначенням для магнітостатики .H dl IΣ⋅ =∫

Тобто:

.ab bc cd da

H dl H dl H dl H dl IΣ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ (3.4-8)

61

Рисунок 3.8 До визначення тангенціальних складових магнітного поля

Якщо наближувати контур до границі розподілу, то ,bc da

H dl H dl⋅ ⋅∫ ∫ дорівнюють нулю. Тоді із

(3.4-8) маємо

.ab cd

H dl H dl IΣ⋅ + ⋅ =∫ ∫ (3.4-9)

Перший доданок характеризує стан в першому середовищі, другий – в другому. Сторони ab та cd , відповідно нескінченно малі величини і дорівнюють , тому можна вважати, що в кожній точці , тоді :

dconstH =

1

2

,

.

ab

cd

H dl H ab

H dl H cd

⎧⋅ = ⋅⎪

⎪⎨⎪ ⋅ = ⋅⎪⎩

∫

∫ (3.4-10)

З (3.4-9) з урахуванням (3.4-10) та напрямками, отримаємо

1 1 2 2^ ^cos( ) cos( )H ab H ab H cd H cd IΣ− = .

Враховуючи, що ab=cd= та скоротивши маємо: dl

1 1 2 2^^cos( ) cos( ) IH H ab H H cd

lΣ− =Δ

(3.4-11)

Тобто

,21 lIHHΔ

=− Σττ (3.4-12)

або 1 2 ,повH H Jτ τ− = (3.4-13)

де - густина струму провідності вздовж границі розподілу. повJ

62

3.4.3 Граничні умови на поверхні ідеального провідника В ідеальному провіднику магнітне поле відсутнє.

Для тангенціальних складових з рівності (3.4-13) за умови, що всередині ідеального провідника поля немає, маємо (результуюче поле відсутнє)

1 0повH Jτ = ≠ ,

тобто на границі розподілу існує ненульова дотична складова вектора напруженості магнітного поля. Нормальну складову вектора напруженості магнітного поля знайдемо з рівності (3.4-4), враховуючи що всередині провідника магнітне відсутнє. 2nH

Тоді 1 0nH = ,

тобто на границі розподілу середовищ нормальна складова вектора напруженості магнітного поля відсутня . Отже, силові лінії на границі розподілу середовищ орієнтовані тільки вздовж дотичної до поверхні провідника, тоді як силові лінії електричного поля напрямлені до провідника вздовж нормалі. Таблиця 3.1 Граничні умови магнітного поля при постійному струмі

Граничні умови Складова поля

Базові співвідношення В загальному

вигляді З ідеальним провідником

Нормальна n

0.mB d S q Σ⋅ = =∫ .021 =− nn BB Н1n=0

Тангенціальна τ l

H dl⋅∫ = ΣI 1 2 пов,H H Jτ τ− = 1Hτ = повJ

2Hτ =0

H

3.5 Поняття індуктивності. Енергія магнітного поля постійного

струму

Нагадаємо, який елемент електричного кола здатен накопичувати магнітну енергію. Цей елемент – котушка індуктивності або соленоїд. Відомо, що основний функціональний параметр соленоїда – індуктивність. Індуктивність – властивість фізичних об’єктів накопичувати та віддавати енергію магнітного поля. Провідник зі струмом завжди оточений магнітним полем. Зчеплений з провідником (соленоїдом), магнітний потік пропорційний струму I в провіднику

Ф LI= , (3.5-1)

де ФLI

= - індуктивність провідника. За одиницю індуктивності приймають індуктивність

такого контуру, магнітний потік самоіндукції якого при струмі в 1 А дорівнює 1 Вб. Ця одиниця має назву генрі (Гн): 1 Гн= 1 Вб/А= 1 В·с/А=1 с·Ом.

Енергія магнітного поля дорівнює роботі, яка витрачається струмом на створення цього поля. При зміні струму на , магнітний потік змінюється на величину . dI dФ LdI=

63

Для зміни магнітного потоку на величину необхідно виконати роботу dФ

dA IdФ LIdI= = . (3.5-2) Проінтегрувавши це рівняння, отримаємо формулу для роботи, яку необхідно виконати для

створення магнітного поля:

2

2

I

o

LIA LIdI= =∫ . (3.5-3)

Відповідно енергія магнітного поля: 2

2LIW = .

Енергію магнітного поля можна представити як функцію величин, що характеризують це поле в оточуючому середовищі. Розглянемо однорідне магнітне поле всередині довгого

соленоїда з індуктивністю 2N SLl

μ= , де - кількість витків. Тоді: N

2 21

2N IW

lμ= S . (3.5-4)

Так як BlINμ

= , а B Hμ= згідно другого матеріального рівняння, тому :

2

2 2B B HW Vμ

⋅= = V , (3.5-5)

де - об’єм соленоїда. В соленоїді поле однорідне, тому енергія поширюється в об’ємі рівномірно. Відповідно в одиниці об’єму поля міститься енергія:

V

2

W B HwV

⋅= = . (3.5-6)

Відповідно:

2

2 2H H BW dVμ ⋅

= =∫ ∫ dV . (3.5-7)

3.6 Висновки 1. Протікання в провіднику постійного струму створює навколо нього магнітне поле. 2. Проявом магнітного поля є сила взаємодії умовних магнітних зарядів ,[Н]. mF3. Для використання співвідношень отриманих в електростатиці розроблена

модель магнітного дротика (спиці) із зосередженим на кінцях умовними магнітними зарядами , [B·с]. mq

4. Для визначення магнітного характеру сили взаємодії рухомих зарядів

використовують поняття вектор напруженості магнітного поля м

м

FНq

= , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡мА .

5. Для визначення характеристик магнітного поля, незалежно від параметрів середовища використовують поняття вектор магнітної індукції

B Hμ= , 2 2

Вс Вб Тлм м

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦.

64

6. Для опису характеристик магнітного поля використовують поняття – потік вектора магнітної індукції, циркуляція вектора напруженості магнітного поля, дивергенція та ротор.

7. Співвідношення між напруженістю магнітного поля та його джерелом, електричним струмом, визначає закон Біо-Савара.

8. Магнітне поле має вихровий характер, тому потік вектора та дивергенція магнітної індукції дорівнюють нулю. 0.мB d S q⋅ = =∫

9. Для визначення характеристик магнітного поля, яке створює струм в реальних провідниках використовують закон повного струму (круговий закон Ампера)

H dl IΣ⋅ =∫ - в інтегральній, та rotH J= - диференціальній формах. 10. Для вирішення одинаміки є корисним перетворення (теорема) Стокса:

. задач електр

l s

H dl rotH d S⋅ = ⋅∫ ∫11. Розв’язку задач магнітного поля сприяє введення поняття векторного магнітного

потенціала 1А rotHμ

= .

12. Векторний магнітний потенціал визначають із розв’язку аналога рівняння Пуассона 2 А Jμ∇ = , звідки

4А JdV

rμπ

= ∫ .

13. Існування магнітного поля в просторі параметри якого змінні вимагає розгляду граничних умов:

- для нормальних складових використовують потік вектора B , ( 1 2n nB B= ). - для тангенціальних складових використовують циркуляцію вектора H , ( 1 2 ,повH H Jτ τ− = ).

14. Велике практичне значення має ситуація, коли одне із середовищ є ідеальним провідником. В цьому випадку силові лінії вектора H паралельні (дотичні) до провідної поверхні .

15. Індуктивність - це фізична величина, яка характеризує можливість накопичення та

віддавання магнітної енергії ФLI

= .

16. Магнітне поле є носієм енергії, яку можна визначити через індуктивність: 2

2нLIW = ,

2

;2 2H HW dV Wμ ⋅

= =∫ ∫B dV .

Тепер слід перейти до розгляду електромагнітного поля.

65

4 ОСНОВНІ РІВНЯННЯ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ. СИСТЕМА РІВНЯНЬ МАКСВЕЛЛА

4.1 Закон збереження електричного заряду 4.2 Перше рівняння Максвелла (закон повного струму або коловий закон Ампера ) 4.3 Друге рівняння Максвелла 4.4 Повна система рівнянь Максвелла 4.5 Рівняння Максвелла для монохромного коливання (у комплексній формі) 4.6 Класифікація середовищ за провідністю 4.7 Принцип переставної двоїстості 4.8 Електродинамічні потенціали, що запізнюються 4.9 Висновки В розділах 2 та 3 розглянуті явища незалежні від часу, тобто перебувають в статичному

режимі. Згадаємо основні базові співвідношення для електростатики та магнітного поля постійного струму, серед яких формули Лоренца, Пуассона, закони Кулона та Гаусса, перетворення Гаусса–Остроградського та Стокса, граничні умови та інші важливі формули та закони. Ці основні формули зведені в таблицю, зліва для електричного поля, справа – для магнітного поля (табл. 4.1).

Таблиця 4.1 Основні співвідношення для електростатики та магнітного поля постійного

струму ,q ρ DE,

ϕ

vF qE q B⎡ ⎤= + ×⎣ ⎦

,I J BH ,

A rεεε 0=

мФ,10

361 9

0−⋅=

πε

Cи rσ σ σ=

мСм

Cи ,107,5 7⋅=σ

Закон Ома в диференціальній формі:

EJ пр σ=

0μμμ r=

мГн,104 7

0−⋅= πμ

1 22 1

4м м

м rq qF

rπμ= 1 2

2 14 rq qF

rπε= ;

1 234

q qF rrπε

= ,

де 1 rr r=2 1r

IdldHr

→

= ×

FEq

= м

м

FHq

=

D Eε= B Hμ=

D dS qΣ⋅ =∫ 0мB dS q⋅ = =∫

ρ=Ddiv

0== мBdiv ρ

66

Продовження таблиці 4.1 0E dl⋅ =∫ H dl IΣ⋅ =∫

0=Erot JHrot = ϕgradE −=

E dl Cϕ = ⋅ +∫ 1H rotAμ

=

V

D dS divDdV⋅ =∫ ∫ l S

H dl rotH dS⋅ = ⋅∫ ∫

ερϕ −=∇ 2

JA μ−=∇ 2

∫= dVrρ

πεϕ

41

4 4J IA dVr r

μ μπ π

= = dl∫ ∫

Граничні умови 21 ττ EE = повJHH =− 21 ττ

snn DD ρ=− 21 21 nn BB = Граничні умови, якщо одне з середовищ – ідеальний провідник

( 2 2 2 20; 0; 0; 0E H D B= = = = )

Еτ1 = 0 Еn1 ≠ 0

Нτ1 ≠ 0 Нn1 = 0

Ємність Індуктивність

UqC =

IL ψ=

Енергія

2

2CUWE = 2

2LIWH =

∫ ∫=⋅

=V V

E dVEdVDEW22

2ε ∫ ∫=⋅

=V V

H dVHdVBHW22

2μ

Надалі розглядатимемо динамічні процеси, тобто ті, які є функціями часу. 4.1 Закон збереження електричного заряду Електричний струм через замкнуту поверхню S – це швидкість зміни кількості заряду q в

об‘ємі V, обмеженому поверхнею S. Для пояснення закону збереження електричного заряду розглянемо модель деякого

фізичного тіла, яке має об’єм V, обмежений поверхнею S (рис.4.1). Нехай це тіло має деякий заряд. Вважаємо, що зі зміною часу відбувається зміна цього заряду. В момент часу t1 значення заряду - q , а в момент t1 2 – , та |q2q 2| < |q1|. Тобто частина зарядів відійшла з цього об’єму, але вони не зникли на основі закону збереження матерії й утворили електричний струм, математично це може бути представлено як похідна за часом:

dqIdt

= − . (4.1-1)

67

Знак “–“ означає, що заряд із зростанням часу зменшується, тобто якщо t2–t1=Δt > 0, то q1–q2=Δq < 0.

Рисунок 4.1. Модель спливання заряду

Струм через одиницю поверхні називають густиною струму:

1ndIJdS

= , (4.1-2)

де - нормаль до площини dS. n1На підставі (4.1-2) сила струму:

I J dS= ⋅∫ . (4.1-3) Формула (4.1-3) показує, що електричний струм можна трактувати як потік зарядів і тому

на основі (4.1-1) та (4.1-3) маємо:

S

dqJ dSdt

⋅ = −∫ (4.1-4)

Формула (4.1-4) відображає закон збереження заряду в інтегральній формі: будь-яка зміна заряду всередині деякого об’єму у часі супроводжується спливанням відповідної кількості зарядів через поверхню, що обмежує цей об’єм.

Розглянемо ці ж процеси в конкретній точці об′єму V за умов змінення заряду. Скористаємось перетворенням Гаусса-Остроградського (2.3-6) стосовно (4.1-4):

S V

J dS divJdV⋅ =∫ ∫ . (4.1-5)

Використовуючи формули , (4.1-4) та (4.1-5) маємо: ∫= dVq ρ

∫ ∂ ∫∂

−=V V

dVt

dVJdiv ρ . (4.1-6)

За умов незмінної поверхні, похідну за часом вважають частинною похідною й з урахуванням, що у виразі (4.1-6) інтегрування виконується за тією ж змінною є допустимою зміна порядку інтегрування та диференціювання, отримаємо співвідношення:

68

divJtρ∂

= −∂

. (4.1-7)

Рівняння (4.1-7) описує закон збереження заряду в диференціальній формі: дивергенція густини потоку (струму) визначається похідною за часом густини заряду у конкретній точці, з протилежним знаком.

Припустимо, що у (4.1-7), const=ρ , тоді

0=Jdiv . (4.1-8) Це співвідношення означає, що алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює 0 , а це є

положення першого закону Кірхгофа. Оскільки кількість вільних зарядів у середині об’єму характеризує провідні властивості

середовища, то створений цими зарядами струм має назву струму провідності. Струм провідності починається та закінчується у точках із змінною у часі густиною заряду,

а співвідношення (4.1-8) вказує на вихровий характер постійного струму, тому для його протікання електричне коло повинно бути кондуктивно замкнутим, тоді як кола змінного струму допускають розрив кондуктивного зв’язку. Це означає, що у колі змінного струму, окрім струму провідності повинен бути також струм іншої природи (див. 4.2).

В розділах 2 та 3 наведені дані щодо електричного та магнітного полів без їх взаємозв’язку, але такий зв’язок вочевидь повинен бути тому, що першоджерелом електричного та магнітного полів є електричний заряд:

D dS q⋅ =∫ ,

dqH dl Idt

⋅ = = −∫ .

Тобто характеристики полів (електричного та магнітного) та їх джерела повинні бути

взаємно пов’язані та описані відповідною системою рівнянь. Легко запам‘ятати, що їх повинно бути шість, адже вектори E та H в просторі мають по три проекції. Ця система складена Дж. Кларком Максвеллом (1831-1879) в 1873 р. На підставі отриманих раніше законів та положень: Ампера (повного струму), Фарадея, Гаусса-Остроградського та інших. В роботі Максвелла була складна форма запису рівнянь. Сучасний вигляд вони набули в працях Г. Герца, Л. Лоренца, О. Хевісайда.

4.2 Перше рівняння Максвелла (закон повного струму або коловий закон Ампера) Перше рівняння Максвелла базується на законі повного струму:

прrotH J= , – диференціальна форма, (4.2-1)

прH dl I⋅ =∫ – інтегральна форма. (4.2-2)

Закон повного струму був сформульований за умови існування постійного струму провідності. Чи буде закон повного струму справедливий для змінного струму? Знайдемо дивергенцію від обох частин рівняння (4.2-1):

За визначенням, дивергенція ротора дорівнює нулю, тобто:

69

div 0rotH = . (4.2-3)

Але з іншого боку маємо для змінного струму (4.1-7), враховуючи, що йдеться про струм провідності:

0прdivJtρ∂

= − ≠∂

. (4.2-4)

Тобто на підставі формули (4.2-4) можна зробити висновок, що рівність (4.2-1) справедлива

лише для постійного струму. Щоб цей вираз можна було застосовувати для змінного струму треба здійснити

корегування, що реалізував Д. К. Максвелл. В праву частину (4.2-1) додамо деякий вектор X , такий, що в результаті загальний вектор дорівнює ротору вектора напруженості магнітного поля:

XJHrot пр += , (4.2-5)

Виконаємо тепер ту ж саму операцію: знайдемо дивергенцію від обох частин рівняння

(4.2-5), та скористаємось тотожністю, що дивергенція ротора вектора напруженості магнітного поля дорівнює нулю:

( ) 0=+= XJdivHrotdiv пр . (4.2-6) З формули (4.2-6) випливає, що

XdivJdiv пр −= . (4.2-7) У відповідності із законом збереження заряду з урахуванням (4.1-7) та (2.3-23), що

Ddiv=ρ й можливістю змінення порядку диференціювання вираз (4.2-7) можна переписати:

tDdiv

tDdiv

tJdiv пр ∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=ρ . (4.2-8)

Звідки маємо

DdivX divt

∂=

∂. (4.2-9)

Тобто невідомий вектор має одиницю виміру [А/мX 2] й дорівнює:

змJtE

tDX =

∂∂

=∂∂

= ε . (4.2-10)

Таким чином величина визначається похідною за часом вектора X D , і має назву вектора

густини струму зміщення в діелектрику (введення поняття струму зміщення – велика заслуга Максвелла).

Таким чином перше рівняння Максвелла в диференціальній формі записують у вигляді:

змпр JJHrot += . (4.2-11) Перепишемо рівняння (4.2-11) інакше:

tEEHrot∂∂

+= εσ , (4.2-12)

70

де прJE =σ , (4.2-13)

змE Jt

∂ε =∂

. (4.2-13а)

Формула (4.2-13) є матеріальним рівнянням провідного середовища або законом Ома в

диференціальній формі. З рівняння (4.2-11) витікає, що магнітне поле створюється струмами провідності й

струмами зміщення. Якщо середовище – ідеальний діелектрик, то струму провідності в ньому немає: . Тоді формула (4.2-12) набуває вигляд: 0прJ =

tEHrot∂∂

= ε . (4.2-14)

З формули (4.2-12) можна визначити, що вектори E та H взаємно перпендикулярні.

Вектори E та мають однаковий напрямок, а будь-який вектор та вектор його ротора взаємно перпендикулярні. Додатково проілюструємо це на рис.4.2.

Hrot

З використанням оператора Гамільтона (вектор∇ – набла) операцію ротор записують: HHrot ×∇= . (4.2-15)

Відповідна графічна побудова стосовно (4.2-15) та (4.2-14) наведена на рис. 4.2, звідки

випливає, що в однорідному просторі вектори E та H взаємно перпендикулярні.

Рисунок 4.2 Визначення взаємної орієнтації в просторі векторів напруженості магнітного та електричного полів Перше рівняння Максвелла в диференціальній формі описує зв'язок струму у конкретній

точці з проекціями вектора H . Для того, щоб отримати інтегральну форму, проінтегруємо рівняння (4.2-11) за поверхнею та отримаємо вираз:

пр змS S S

rotH dS J dS J dS⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ . (4.2-16)

71

З використанням перетворення Стокса (3.2-23)S l

rotH dS H dl⋅ = ⋅∫ ∫ отримаємо:

пр змl

H dl I I⋅ = +∫ . (4.2-17)

Рівняння (4.2-17) представляє закон повного струму(в англомовній літературі – Ampere’s circuital law – коловий закон Ампера) в інтегральній формі – перше рівняння Максвелла в інтегральній формі: циркуляція вектора напруженості магнітного поля за замкнутим контуром визначається сумою всіх струмів, які охоплені контуром, тобто струмів провідності та зміщення ; рівняння (4.2-11) – в диференціальній формі.

прI

змI 4.3 Друге рівняння Максвелла

Друге рівняння Максвелла представляє закон електромагнітної індукції Майкла Фарадея.

Цей закон формулюється таким чином: якщо провідний замкнутий контур перетинає змінний магнітний потік Ф, то в контурі створюється електрорушійна сила ЕРС, значення якої дорівнює швидкості зміни магнітного потоку, взяте з протилежним знаком:

.tФe∂∂

−= (4.3-1)

Максвелл узагальнив цей закон для довільного контура. Тобто Максвелл припустив, що

рівняння (4.3-1) справедливе також і в тому випадку, якщо середовище не має провідних властивостей.

Магнітний потік Ф зв’язаний з величиною магнітної індукції (густиною магнітного потоку) співвідношенням: B

Ф B dS= ⋅∫ . (4.3-2)

Одиниця виміру магнітного потоку:

][2

2 ВбммсВФ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅⇒

.

Якщо провідник має декілька витків, тоді використовують поняття потокозчеплення ψ :

NФ=ψ ,

де N-кількість витків. Підставимо в формулу (4.3-1) визначення для магнітного потоку (4.3-2) та отримаємо:

S

d B dSe

dt

⋅= −

∫. (4.3-3)

За фізичним змістом ЕРС – це робота з переміщення заряду з однієї точки в іншу крізь

джерело, але цю ж роботу можна уявити як різницю потенціалів, тобто ЕРС можна зв’язати з параметрами електричного поля. Представимо ЕРС як характеристику роботи, тобто циркуляції вектора E по замкнутому

72

контуру l:

.dФE dldt

ϕ = ⋅ = −∫ (4.3-4)

Перепишемо останнє рівняння з використанням формули для магнітного потоку (4.3-2) та

за умов незмінної площини скористаємось частинною похідною:

.S

S

B dSBE dl dS

t t

∂ ⋅∂

⋅ = − = −∂ ∂

∫∫ ∫ (4.3-5)

Формула (4.3-5) визначає друге рівняння Максвелла в інтегральній формі. Застосуємо до лівої частини (4.3-5) перетворення Стокса (3.2-23):

.S S

BE dl rotE dS dSt

∂⋅ = ⋅ = −

∂∫ ∫ ∫ (4.3-6)

Оскільки в (4.3-6) інтегрування здійснюється за поверхнею в лівій і правій частинах, то

,tBErot∂∂

−= (4.3-7)

або

.t

HErot∂∂

−= μ (4.3-7а)

Це друге рівняння Максвелла в диференціальній формі. З цих рівнянь можна зробити такі висновки:

– магнітне поле, яке змінюється у часі, створює електричне поле; – електричне поле, що створюється змінним у часі магнітним полем, має вихровий характер, тобто змінне у часі магнітне поле створює незалежно від параметрів середовища електричне поле таке, що для будь якого довільно вибраного контуру циркуляція вектора напруженості цього поля дорівнює швидкості зміни магнітного потоку крізь поверхню, обмежену цим контуром, взяту зі знаком мінус (4.3-5).

4.4 Повна система рівнянь Максвелла Нагадаємо умовну схему формування єдиного електромагнітного поля, що створюється

змінними в часі зарядами та струмами – електричним та магнітним полями:

q(t) E (t), D (t) B (t), H (t) i(t)

ϕ (t*) A (t*)

де t*=vrt − – це параметр, який свідчить, що електричні та магнітні потенціали є такими, що

запізнюються(це положення доведено в розділі 4.8).

73

Струми, що створені зовнішніми джерелами (генераторами) і не залежать від електромагнітного поля, що ними збуджується, називають сторонніми. Векторні поля густини сторонніх струмів разом з густинами струмів провідності і зміщення повинні знаходитись в правій частині формули закону повного струму. В таблиці 4.2 перше рівняння Максвелла наведено з урахуванням сторонніх струмів.

Таблиця 4.2. Повна система рівнянь Максвелла

Форма

Рівняння

Диференціальна форма Інтегральна форма Коментарі

1. Закон повного струму або коловий закон Ампера (1-е рівняння Максвелла)

)(

)()(

tJ

tJtJHrot

стор

змпр

+

++=

)()()()(

tJttE

tEtHrot

стор+∂

∂+

+=

ε

σ

( ) ( )

( )

пр змl

стор

H dl I t I t

I t

⋅ = + +

+

∫

( ) ( )

( ) ( )

S

сторS S

H t dl E t dS

E t dS J t dSt

σ

ε

⋅ = ⋅ +

∂+ + ⋅

∂

∫ ∫

∫ ∫

Закон повного струму – струми різної природи створюють вихрове магнітне поле. Інтегральна форма свідчить, що циркуляція H дорівнює сумі струмів різної природи, які охоплені цим контуром. Змінне в часі електричне коло створює магнітне поле.

2. Закон Фарадея (2-е рівняння Максвелла)

ttH

ttBtErot

∂∂

−=

=∂

∂−=

)(

)()(

μ

( )( )

( )

( )

l

S

S

dФ tE t dldt

B t dS

tH t dS

tμ

⋅ = − =

∂ ⋅= − =

∂∂ ⋅

= −

∫

∫

∫∂

Магнітне поле, яке змінюється у часі, створює вихрове електричне поле.

3. Закон Гаусса –Остроградського (3-е рівняння Максвелла)

)()()(

ttEdivtDdiv

ρε

===

( ) ( )

S

D t dS q t⋅ =∫

Заряд, що змінюється у часі, створює змінне лектричне поле. еПотік вектора D є заряд.

4. Закон неперервності силових ліній магнітного поля; аналог закона Закон Гаусса –Остроградського (4-е рівняння Максвелла)

0)( =tBdiv

( ) 0мS

B t dS q±⋅ = =∫ ,

де qм – сумарний магнітний заряд, який за визначенням рівний нулю (розділ 3).

Свідчить про те, що магнітне поле є вихровим, тобто силові лінії не мають ні початку ні кінця, тому дивергенція цього поля дорівнює нулю. В природі вільні магнітні заряди відсутні.

5. Перше матеріальне рівняння (5-е рівняння Максвелла)

)()( tEtD ε=

6. Друге матеріальне рівняння (6-е рівняння Максвелла)

)()( tHtB μ=

Ці рівняння зв’язують напруженості електричного та магнітного полів з вектором електричного зміщення та магнітною індукцією, через електродинамічні параметри середовища ( )με , .

74

4.5 Рівняння Максвелла для монохромного коливання (в комплексній формі)

Для здійснення операцій із гармонічними функціями зручно користуватися представленням

функцій в комплексній формі. Нехай маємо гармонічну функцію

( ) ( )ψπ ±= ftAta m 2cos . (4.5-1) В цій формулі три параметра: амплітуда – Аm, частота – f (або колова частота fπω 2= ,

нагадаємо що 2Tπω = ), початкова фаза – ψ .

Звісно, виконувати операції з трьома параметрами складніше, ніж з меншою кількістю. Спробуємо зменшити кількість параметрів.

Скористаємось перетворенням Ейлера

ϕϕϕ sincos je j ±=± . (4.5-2) Якщо в (4.5-2) прийняти до уваги лише дійсну складову cosϕ , то замість (mA cos t )ω ψ± (4.5-1)можна записати

, або ψω jtjm eeAta ±

•

=)(

tjm

tjjm eAeeAta ωωψ

•±

•

==)( , (4.5-3)

де – комплексна амплітуда mA•

jmA e ψ± .

В зв‘язку з тим, що в лінійній системі кількість гармонічних складових не змінюється, можна вважати, що комплексна амплітуда розміщена на площині, що “обертається” з коловою частотою ω, тобто для здійснення операцій достатньо мати комплексну амплітуду, яка містить інформацію лише за двома параметрами (амплітуда та початкова фаза). Більш того, здійснювати математичні операції зручніше, якщо мати справу з експоненціальною функцією, показники якої додаються або віднімаються, замість операцій множення та ділення тригонометричних функцій, також полегшуються операції диференціювання (інтегрування), для чого достатньо помножити (розділити) на jω.

Для повернення до миттєвих значень після операцій з комплексною величиною достатньо визначити дійсну частину комплексної величини.

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

•

)(taRеta . (4.5-4)

Запишемо перше рівняння Максвелла, для гармонічного поля (4.2-12) (без сторонніх струмів) в комплексній формі:

j tj t j t j t j tm

m m m mE erot H e E e E e j E e

t

ωω ω ωσ ε σ ωε

•• • • •∂

= + = +∂

ω . (4.5-5)

Скоротивши множники в рівнянні (4.5-6) маємо: tje ω

•••

+= mmm EjEHrot ωεσ . (4.5-6)

75

Якщо винести за дужки загальний множник •

mE та jω, рівняння (4.5-6) матиме такий вигляд:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

••

εωσωj

EjHrot mm , (4.5-7)

де вираз в дужках – це комплексна діелектрична проникність:

j σε εω

•

= − . (4.5-8)

Перевіримо одиницю виміру ⇒ωσj См c Ф

м м⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, тобто таж сама, як для діелектричної

проникності. Формула (4.5-8) – має глибокий фізичний зміст – в ній присутня складова, яка

характеризує провідні властивості σω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, та складова, яка характеризує діелектричні властивості

середовища ( )ε й частота ( )ω . Значення частоти ω впливає на співвідношення доданків ( )ε та ( )σ , тобто вона визначає співвідношення між значеннями прJ та змJ . А це свідчить про те, що навіть за умов незмінних електродинамічних параметрів одне і теж середовище, в залежності від частоти може характеризуватися різними властивостями, тобто бути провідним, діелектричним або напівпровідним (діелектриком з втратами) (див. п. 4.6). На підставі (4.5-3) за аналогією перепишемо всі рівняння Максвелла у комплексному представленні; для диференціальної форми – також з використанням оператора Гамільтона (набла) (табл. 4.3):

Таблиця 4.3 Система рівнянь Максвелла в комплексній формі Рівняння Максвелла Диференціальна форма Інтегральна форма

перше •••

+= mmm EjHHrot ωεσ , або

•••

+=×∇ mmm EjEH ωεσ

m пр m змmH dl I I• • •

⋅ = +∫ ,

m пр m змmH dl I dS I dS• • •

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

друге ••

−= mm BjErot ω , ••

−= mm HjErot ωμ , або

••

−=×∇ mm HjE ωε

m m

l

E dl j Фω•

⋅ = −∫ ,

m m

l

E dl j B dSω• •

⋅ = − ⋅∫ ∫ ,

m m

l

E dl j H dSωμ• •

⋅ = − ⋅∫ ∫

третє mmEdivDdiv ρε ==

••

, або

mmD••

=⋅∇ ρ

0m mS

D dS q• •

⋅ = =∫ ,

0mm

S

qE dSε

••

⋅ = =∫

четверте 0=

•

mBdiv ,

або 0=⋅∇•

mB 0mB dS

•

⋅ =∫

76

Продовження таблиці 4.3 п‘яте

mm ED••

= ε

шосте mm HB

••

= μ

4.6 Класифікація середовищ за провідністю

Середовища розрізняють за провідністю на підставі співвідношення між значеннями струмів (густини струмів) провідності Jпр та зміщення Jзм :

– якщо – провідне середовище, (4.6-1) змпр JJ ⟩⟩

– якщо змпр JJ ⟨⟨ – діелектричне середовище (4.6-2) Якщо та мають порівняльні значення, середовище можна вважати напівпровідним,

або діелектричним з втратами. прJ змJ

Звернемось до першого рівняння Максвелла:

змmпрmm JJHrot

•••

+= . (4.6-3) Після заміни Jпр та Jзм маємо відповідно з (4.2-13) та (4.2-13а)

mmm EjEHrot•••

+= ωεσ . (4.6-4)

Після винесення за дужки маємо mj Eω•

mmrot H j Ejσω εω

• • ⎛ ⎞= +⎜

⎝ ⎠⎟ . (4.6-5)

або

mmrot H j E jσω εω

• • ⎛= −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . (4.6-5а)

З формул (4.6-3)…(4.6-5а) робимо висновок, що значення струму провідності визначає

доданок в дужках ωσj , значення густини струму зміщення – ε, тобто від співвідношення між

ними залежить характер середовища. Звертаємо увагу, що в першому доданку є параметр ω, тобто значення колової частоти

впливає на співвідношення між Jпр та Jзм. Частота, за якої вони однакові (діелектрик з втратами) має назву гранична частота

εσω =гр . (4.6-6)

Якщо грωω⟨⟨ – середовище, ближче до провідного; (4.6-7)

грωω⟩⟩ – середовище, ближче до діелектричного. (4.6-8)

77

З першого рівняння Максвелла також випливає, що модуль просторового вектора прJ за

фазою (на комплексній площині) співпадає з модулем просторового вектора E , а змJ зсунутий на π/2 (рис.4.3).

Рисунок 4.3 Ілюстрація фізичного змісту тангенса кута діелектричних втрат. Модулі густини струмів провідності та зміщення на комплексній площині.

Кут δ в трикутнику має назву кут діелектричних втрат. Його тангенс:

пр

зм

J EtgJ j E

σ σδωε ω

= = =ε

, (4.6-

9)

залежить від параметрів середовища σ, ε та частоти. Для ідеальних діелектриків 0→δtg ; для радіочастот вважають, що середовище можна

вважати діелектриком, якщо .

m

10...10 43 −−<δtg 4.7 Принцип переставної двоїстості

Геометрична схожість силових ліній магнітного та електричного полів на рис. 4.4 й

відповідно дуальність двох перших рівнянь Максвелла

mrot H j Eωε• •

= , (4.7-1)

mm HjErot••

−= ωμ

які переходять одне в інше за умови заміни

,m mE H ε μ• •

⇔ ⇔ −

дають підставу для обґрунтування принципу переставної двоїстості.

78

Практичне значення принципу переставної двоїстості полягає в тому, що для вирішення задач електродинаміки можливі відповідні заміни, тобто якщо відоме рішення будь-якої електродинамічної задачі в одній формі перестановка дозволяє отримати рішення в іншій формі.

Принцип переставної двоїстості полягає в замінах:

,

,,

м м

м стор стоp м

E HJ J I I

J J

ε μ

ρ ρ

⇔ ⇔ −⇔ − ⇔ −

⇔ − ⇔ −

(4.7-2)

Прикладом використання принципу переставної двоїстості є отримання характеристик електромагнітного поля магнітного елементарного випромінювача із характеристик електричного елементарного випромінювача (див. п. 7.2).

Рисунок 4.4 Ілюстрація до обґрунтування принципу переставної двоїстості. Силові лінії: а –

магнітного, б – електричного полів Розглянемо більш докладно рис. 4.4. На рис. 4.4а показані магнітні силові лінії, що

виникають поблизу тонкої смуги шириною Δ, по якій протікає електричний струм Іел. Силові лінії поблизу провідника дещо повторюють його контур, але в процесі віддалення вони поступово деформуються та перетворюються в коло.

На рис. 4.4б зображена картина силових ліній електричного поля в системі з двох заряджених металевих напівплощин, які розподілені зазором шириною Δ. З точністю до напряму стрілок у верхньому та нижньому напівпросторах ця картина тотожна тій, що розглянута вище.

Схожість картин даних полів дозволяє формально припустити, що в зазорі протікає гіпотетичний (фіктивний) струм Ім, який має назву магнітний струм з одиницею виміру – вольт [B]. Таким чином обґрунтовано принцип переставної двоїстості.

4.8 Електродинамічні потенціали, що запізнюються

Функцією, що полегшує вирішувати задачі електродинаміки, є потенціал. Нагадаємо, що в

електростатиці формула для потенціалу має вигляд (2.6-4):

∫= dVrρ

πεϕ

41 , (4.8-1)

а для магнітного поля постійного струму (3.3-14а):

∫= dVrJA

πμ

4, (4.8-2)

79

де 222 zyxr ++= , відстань від джерела до точки спостереження, в декартовій системі координат.

Останні рівняння отримані в результаті розв’язування рівняння Пуассона для електростатики та магнітного поля постійного струму відповідно:

ερϕ −=∇2 , (4.8-3)

прJA μ−=∇2 , ( 4.8-4)

де - оператор Лапласа (лапласіан). 2∇ ≡ Δ

З іншого боку:

E gradϕ ϕ= −∇ = − , (4.8-5)

1H rotμ

= A . (4.8-6)

Спробуємо визначити функцію A , якщо струм і заряд змінні в часі. Нагадаємо витоки появи вектора . З векторного аналізу відомо: якщо 0A =Bdiv – існує деякий вектор, ротор якого дорівнює вихідному, тобто BArot = (див. п. 3.3).

Таким чином, якщо відомі ϕ (4.8-1) та A (4.8-2), можна знайти E (4.8-5) та H (4.8-6) відповідно. Визначимо напруженість електричного поля для випадку, коли ці процеси змінюються у часі (для змінного джерела). На підставі другого рівняння Максвелла:

( )ttHtErot

∂∂

−=)(μ , (4.8-7)

з урахуванням (4.8-6), можемо записати:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= tArott

tErotμ

μ 1 . (4.8-8)

Оскільки операція ротор є операцією диференціювання за координатами, то (4.8-8) можна записати як

( ) ( ) 0A t

rot E tt

⎡ ⎤∂+ =⎢

∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ . (4.8-9)

З векторного аналізу відомо також, якщо ротор будь-якого вектора дорівнює нулю, то існує скалярна функція, наприклад ψ , градієнт якої дорівнює цьому вектору, тобто:

( ) ( )( )A t

grad t E tt

ψ∂

= +∂

. (4.8-10)

Підтвердимо це положення: rot ( ) [ ] 01))(sin(|||| =⋅∇∇∇⋅∇=∇×∇= ngrad ψψψψ .

Якщо A const− , то (4.8-10) співпадає із співвідношенням: ϕgradE −= (2.5-9) або (4.8-5), за умови ϕψ −= . Використовуємо цю заміну, бо обмежень на вибір знаку нема ϕψ −= й отримаємо:

80

( )( ) ( )A t

E t grad tt

ϕ∂

= − −∂

. (4.8-11)

Звідси випливає, що в динамічному процесі на відміну від статичного режиму,

напруженість електричного поля )(tE визначається не лише електричним потенціалом )(tϕ , але й змінним в часі векторним магнітним потенціалом )(tA .

Тепер встановимо зв’язок )(tϕ і )(tA з параметрами першоджерела поля. В першому рівнянні Максвела, в якому (табл. 4.2 – перший рядок – без густини стороннього струму):

( )ttEtJtHrot пр ∂

∂+=

)()( ε . (4.8-12)

замінимо )(tH та )(tE , на підставі (4.8-6) та (4.8-11):

( ) ( )1( ( )) ( )пр

A trot rotA t J t grad t

t tε ϕ

μ⎛ ⎞∂∂

= − +⎜⎜∂ ∂⎝ ⎠⎟⎟ . (4.8-13)

З використанням тотожності векторного аналізу rot gradArot = AAdiv 2∇− та перестановки складових, урахуванням можливості зміни порядку диференціювання отримаємо:

( ) ( ) ( )2

22

( ) ( )пр

A t tA t grad divA t J tt t

ϕεμ εμ μ∂ ∂⎛ ⎞∇ − − + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

. (4.8-14)

Зауважимо, що в рівнянні (4.8-14) з’явилась величина, пов’язана зі швидкістю поширення

електромагнітної хвилі 1v =εμ

: [εµ]=(c/м)2. Це рівняння має нескінченну множину рішень, бо в

ньому є дві невідомі величини ϕ і . A Щоб розв’язати (4.8-14) спростимо його; для цього припустимо що:

( ) 0)(=+

∂∂ tAdiv

ttϕεμ . (4.8-15)

Це співвідношення називають калібрувальним перетворюванням Лоренца. За такої умови

(4.8-14) спрощується:

( ) ( )22

2 ( )пр

A tA t

tεμ μ

∂∇ − = −

∂J t . (4.8-16)

Звідки випливає, що векторний потенціал A визначається густиною струму.

До речі, якщо 0=∂∂

tA , то отримаємо рівняння для магнітного поля постійного струму (див.

(4.8-4), а раніше – (3.3-11) ). Тепер встановимо зв’язок потенціалу ϕ з джерелом через густину заряду ρ . Для цього в третє рівняння Максвелла (див. табл. 4.2):

( ) ( )ttDdiv ρ= , (4.8-17)

81

з урахуванням першого матеріального рівняння (п’яте – Максвелла : табл. 4.2) підставимо значення із (4.8-11), й отримаємо:

( ) ( )ερϕ ttgrad

ttAdiv −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∂

∂ )( . (4.8-18)

Змінимо порядок диференціювання у (4.8-18):

( )( )t

divA divgrad tt

ρϕ

ε∂

+ = −∂

. (4.8-18а)

З урахуванням, що з (4.8-15) ( )tdivAt

ϕεμ ∂= −

∂, а також що за правилами використання оператора

Гамільтона запишемо: div ϕϕ 2)( ∇=tgrad( )ερϕεμϕ t

ttt −=

∂∂

−∇ 2

22 )()( . (4.8-19)

Формули (4.8-16) та (4.8-19) однакові за формою й мають назву – рівняння Даламбера. Розв‘язок цього рівняння є найлегшим для випадку точкового заряду. За цих умов )(tϕ у

сферичній системі координат не залежить від кутів та визначається лише відстанню r від точкового заряду до точки спостереження (для спрощення запису далі аргумент не показуємо, наприклад, замість

tϕϕ ⇒)(t ).

Запишемо лапласіан для сферичної системи координат:

2

2

2222

22

sin11sin

sin11

φϕ

θθϕθ

θθϕϕ

∂∂⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇rrr

rrr

.

Тобто з урахуванням тільки залежності від відстані r, після диференціювання та

перестановки приймає вигляд: ϕ2∇

rrr ∂∂⋅+

∂∂

=∇ϕϕϕ 2

2

22 . (4.8-20)

Тоді рівняння Даламбера матиме вигляд:

ερϕεμϕϕ

−=∂∂

−∂∂⋅+

∂∂

2

2

2

2 2trrr

. (4.8-21)

Перетворимо ліву частину цього рівняння, для чого введемо нову змінну ϕrн = .

Диференціюванням за r отримаємо:

2

1rн

rн

rr−

∂∂

=∂∂ϕ (4.8-22)

та

2 2

2 2 2

1 2 2н нr r r r r rϕ∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂ 3

н . (4.8-23)

Підставимо (4.8-22) та (4.8-23) у (4.8-21) з урахуванням ϕrн = , й отримаємо:

82

2 2

2 2

н н rr t

ρεμε

∂ ∂− = −

∂ ∂. (4.8-24)

формула (4.8-24) – хвильове рівняння – це неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних. Нехай 0=ρ , тоді (4.8-24) трансформується в однорідне рівняння:

02

2

2

2

=∂∂

−∂∂

tн

rн εμ . (4.8-25)

Формальний розв‘язок цього рівняння має вигляд:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

vv 21rtrttн ϕϕ , (4.8-26)

де εμ/1v = – швидкість поширення електромагнітної хвилі вздовж напряму ; для

вільного простору

r

00/1 με=c ; 1ϕ , 2ϕ – деякі функції. З урахуванням заміни rн /=ϕ отримаємо

r

rt

r

rtt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= vv)(21 ϕϕ

ϕ . (4.8-27)

Звідки маємо, що аргументи функцій 1ϕ і 2ϕ відрізняються відносно аргументу функції

( )tϕ на значення vr

± .

Хвильові процеси 1ϕ і 2ϕ поширюються з швидкістю v, або c у вільному просторі, в протилежних напрямах із однаковими значеннями незалежно від просторових кутів в усіх фіксованих точках r.

Таким чином, розв‘язок (4.8-27) описує дві сферичні хвилі, одна із яких виходить із центру у нескінченність, а друга – із нескінченності в центр. На рис. 4.5 обвідна другої хвилі показана як відбита (або зворотня, або вторинна) від границі розподілу середовищ.

Рисунок 4.5 Обвідні прямої та відбитої хвиль

83

В нескінченому однорідному середовищі існують тільки хвилі, що поширюються від випромінювача, так звані «хвилі, що падають» (або прямі, або первинні хвилі). Через це для подальшого розгляду залишимо перший доданок:

r

rtt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= v)(1ϕ

ϕ , (4.8-28)

де 1ϕ - поки ще невідома функція часу.

З електростатики відомо (2.6-4а), що потенціал визначають як:

rqπε

ϕ4

= . (4.8-29)

Із порівняння (4.8-28) і (4.8-29) одержимо, що одиниці виміру в (4.8-28) лівої та правої

частин співпадають [ B , якщо ]

πεϕ

4v

v1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

rtqrt . (4.8-30)

Тобто електричний потенціал змінного струму:

( )r

rtqt

πεϕ

4v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= . (4.8-31)

Таким чином потенціал ( )tϕ , зареєстрований на відстані r, в момент часу t визначають

значенням заряду q, який передує спостереженню, тобто у момент часу ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vrt . Тому потенціал

( )tϕ називають таким, що запізнюється на час vrt =′ . Тобто наслідок запізнюється відносно

причини, що збуджує процес. Перейдемо від точкового заряду до об’ємного, з густиною ρ Тоді електричний потенціал:

( ) ∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=V

dVr

rtt v

41

ρ

πεϕ , (4.8-32)

де r - відстань від dV до точки спостереження ( )tϕ .

Аналогічно для векторного магнітного потенціалу

( ) v4 V

rJ tA t

rμπ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= ∫ dV . (4.8-33)

Для гармонічних процесів зручно користуватися комплексним представленням функцій

cos .v vmr rt tρ ρ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

84

У комплексному представленні:

v

j r j tm

rt e eβ ωρ ρ• •

−⎛ ⎞− = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

,

де λπβ 2

= – коефіцієнт фази, λ – довжина хвилі.

Тоді у комплексному представленні електричний потенціал, що запізнюється є таким:

1( )4

j rm

metr

βρπε

•−•

ϕ = ∫ dV , (4.8-34)

– векторний магнітний потенціал, що запізнюється є таким:

( )4

j rmJ eA t

r

βμπε

•• −

= ∫ dV . (4.8-35)

Множник – характеризує запізнення в часі “наслідків” φ та від “причин”, відповідно rje β− A

ρ та . JТаким чином в динамічному режимі електричний та магнітний векторний потенціали є

такими, що запізнюються. 4.9 Висновки

1. Будь-яка зміна заряду у часі в середині будь якого об’єму супроводжується спливанням

саме такої кількості заряду через поверхню, яка обмежує цей об‘єм (принцип збереження заряду).

2. Змінний струм, на відміну від постійного струму (який має вихровий характер) допускає розрив кондуктивного кола (ланки).

3. Для опису процесів в діелектриках введено поняття струму зміщення. 4. Для складання чіткої системи рівнянь, на основі яких вирішуються всі задачі

електродинаміки використані базові закони та положення, які об’єднані в систему рівнянь Максвелла.

5. В диференціальній та інтегральній формах перше рівняння Максвелла являє собою закон повного струму для провідного і непровідного середовищ (коловий закон Ампера), з якого випливає, що мінне електричне поле створює – змінне магнітне:

–

з

( ) ( )пр змErotH J t J t Et

σ ε ∂= + = +∂

– диференціальна форма;

– ( ) (пр змl

H dl I t I t⋅ = +∫ ) – інтегральна форма.

6. Друге рівняння Максвелла ( )( ) H trotE tt

μ ∂= −

∂(диференціальна форма) – закон

електромагнітної індукції Фарадея; E dl B dSt∂

⋅ = ⋅∂∫ ∫ – інтегральна форма, з якого

випливає, що змінне магнітне поле створює змінне електричне. 7. Третє рівняння Максвелла ( ) ( )divD t tρ= (диференціальна форма) – закон Гаусса-

Остроградського інтегральна форма – ( )D dS q t⋅ =∫ .

85

8. Четверте рівняння Максвелла показує, що магнітне поле має вихровий характер (сумарний магнітний заряд дорівнює нулю).

– ( ) 0divB t = – диференціальна форма,

– ( ) 0S

B t dS⋅ =∫ – інтегральна форма.

9. Рівняння п’яте і шосте показують зв’язок векторів з параметрами середовища – D Eε= , B Hμ= , тобто це, так звані, перше та друге матеріальні рівняння.

10. Рівняння Максвелла свідчать, що електричне ( )E t і магнітне поля, існують у взаємному зв’язку і утворюють єдине електромагнітне поле. Ці вектори у просторі зсунуті на 90 (в однорідному ізотропному середовищі).

( )H t

11. Якщо поле є гармонічним, зручно використовувати представлення величин, у комплексній формі.

12. Якщо використовують комплексну форму представлення величин, із першого рівняння Максвелла випливає величина – комплексна діелектрична проникність ε .

13. З аналізу величини ε•

випливає, що характер середовища залежить від частоти електромагнітного поля, де ωгр=σ/ε:

14. Якщо грω ω⟨⟨ - середовище ближче до провідного; якщо грω ω>> – до діелектричного. 15. Для оцінки провідних та діелектричних властивостей середовищ використовують

поняття тангенс кута втрат: /tgδ σ ωε= . 16. З рівнянь Максвелла та порівняння картин поля можна сформулювати принцип

переставної двоїстості, який полягає у можливості заміни у відповідних системах рівнянь: ; E H⇔ μ ε⇔ − ; мI I= − ; мρ ρ= − , мJ J= − .

17. Розгляд електромагнітних процесів показує, що потенціали електричний ( )/ vt rϕ − та

векторний магнітний запізнюються у часі відносно причини, яка їх створила. ( / vA t r− ) Далі потрібно з’ясувати, яким чином можна визначити енергію електромагнітного поля, її баланс, можливість розповсюдження в просторі, тощо.

86

5 ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

5.1 Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля 5.2 Теорема Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі) 5.3 Уявлення процесу передавання енергії 5.4 Лема Лоренца 5.5 Висновки

5.1 Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля В 1874 р. російський фізик Н.А. Умов запропонував та обґрунтував поняття густини потоку

енергії стосовно механіки й довів, що перерозподіл енергії в просторі здійснюється в результаті її перенесення з одних областей поля в інші.

В 1884 р. англійський фізик Дж. Пойнтінг запропонував та обґрунтував поняття густини потоку енергії електромагнітного поля.

Нехай у будь-якому обмеженому об'ємі V з урахуванням втрат, які обумовлені електричною σ та магнітною мσ питомими провідностями, є стороннє джерело

електромагнітного поля, визначене векторами густини електричного , та магнітного

струмів. сторJ

.стор мJ

З'ясуємо, яким чином розподіляється енергія цього джерела в цьому об’ємі та за його межами.

Рисунок 5.1 Об’єм V, обмежений поверхнею , із джерелом електромагнітного поля S

Зауважимо, що в природі магнітний струм не існує, але задля одержання точної системи

всіх складових балансу потужності електромагнітного поля запишемо перше та друге рівняння Максвелла у диференціальній формі у повному складі, тобто з урахуванням сторонніх струмів (електричного й магнітного ) електричних та магнітних втрат (див. табл. 4.2): сторJ .стор мJ

сторErotH E Jt

σ ε ∂= + +∂

, (5.1-1)

.м стор мHrotE H Jt

σ μ ∂= − − −

∂. (5.1-2)

Домножимо скалярно ці рівняння: перше на E , друге на H та віднімемо (5.1.-1) від (5.1-2)

2 2.м стор м стор

HHrotE ErotH H H J H E E J Et t

σ μ σ ε∂ ∂− = − − − − − −

∂ ∂E . (5.1-3)

87

На підставі тотожності з векторного аналізу:

][ BAdivBrotAArotB ×=− , маємо:

0][ 2.

2 =+∂∂

+++∂∂

++× EJtEEEHJ

tHHHHEdiv стормсторм εσμσ . (5.1-4)

Рівняння (5.1-4) – теорема Пойнтінга у диференціальній формі (для миттєвих значень

векторів). Всі складові характеризують густину потужності. Звернемо увагу на першу складову лівої частини під знаком дивергенції – маємо векторний

добуток, який має назву вектор Пойнтінга та визначає густину потужності 2

Втм

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

:

HEП ×= . (5.1-5)

Проінтегруємо (5.1-4) за об’ємом :

2

2

.[ ]

0.

мV V V V

V V V

стор м

стор

Hdiv E H dV H dV H dV J HdVt

EE dV E dV J EdVt

σ μ

σ ε

∂× + + +

∂

∂+ + + =

∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

+

(5.1-6)

Формула (5.1-6) є теоремою Пойнтінга в інтегральній формі.

Після перегрупування складових, і використання перетворення (теореми) Гаусса- Остроградського відносно першого доданка із (5.1-6) маємо:

2 2.

[ ] 0.

мV V V V

V V S

стор стор мJ EdV J HdV E dV H dV

E HE dV H dV E H dSt t

σ σ

ε μ

+ + +

∂ ∂+ + + × ⋅ =

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

+

V

(5.1-7)

Визначимо чотири типи складових:

;стор

V

J EdV∫ .стор мV

J Hd∫ - перша група;

; - друга група; ∫V

dVE 2σ 2м

V

H dVσ∫

dVEtE

V∫ ∂

∂ε ; dVHt

H

V∫ ∂

∂μ - третя група;

( )S S

E H dS П dS× ⋅ = ⋅∫ ∫ - особливий доданок.

Визначимо фізичний зміст всіх складників. Перша група характеризує потужність сторонніх джерел електричного та магнітного,

відповідно: сторJ Ed∫ V , (5.1-8)

.стор мJ Hd∫ V . (5.1-8а)

88

Друга група характеризує теплові втрати потужності , які зосереджені в об’ємі, електричні та магнітні відповідно:

∫ dVE 2σ , (5.1-9)

2мH dVσ∫ . (5.1-9а)

Третя група характеризує потужності електричного і магнітного полів, які зосереджені в

об’ємі , тобто потужності, що витрачаються на утворення відповідних складових електромагнітного поля:

V

∫ ∂∂

V

dVEtEε , (5.1-10)

∫ ∂∂

V

dVHt

Hμ . (5.1-10а)

Останній доданок – дуже важлива складова для практики електрозв’язку. Це потужність

електромагнітного поля через замкнену поверхню , яка охоплює об'єм V , в якому зосереджені сторонні джерела поля. Завдяки цьому доданку маємо можливість користуватися мобільним зв'язком, дивитися телевізійні передачі, слухати радіо і т.і., тобто це – потужність випромінення електромагнітного поля – носія інформації:

S

( )S S

P E H dS П dS= × ⋅ = ⋅∫ ∫ . (5.1-

11)

Таким чином в формулу (5.1-7) входять: - потужність сторонніх джерел поля – перша група (5.1-8), (5.1-8а); - потужність втрат – друга група (5.1-9), (5.1-9а); - потужність електричного та магнітного полів, які зосередження в даному об’ємі –

третя група (5.1-10), (5.1-10а); V

- потужність електромагнітного поля (5.1-11), яка “виходить” за межі цього об’єму. Сума цих потужностей дорівнює нулю, що свідчить про баланс миттєвої потужності в

просторі. Теорема Пойнтінга – одне з найважливіших положень електродинаміки, на основі якої буде

отримана формула ідеального радіозв’язку. Якщо відоме значення вектора Пойнтінга, можна визначити потужність, яку випромінюють та приймають антени, розрахувати потужність, яка поширюється в хвилеводах, тощо.

Визначимо складову електричної енергії електромагнітного поля в об’ємі. Для цього проінтегруємо (5.1-10) за часом:

dVdtEtEdtPW

t VtEE ∫ ∫∫ ∂

∂==

ε . (5.1-12)

Визначивши dttE∂∂ як повний диференціал Ed , запишемо (5.1-12) у вигляді

∫∫=VE

E dVEdEW ε . (5.1-13)

Після інтегрування за напруженістю електричного поля, маємо

∫=V

E dVEW2

2ε . (5.1-14)

89

Після виконання аналогічної процедури з (5.1-10а), отримаємо:

∫=V

H dVHW2

2μ . (5.1-15)

В формулах (5.1-14) та (5.1-15) під інтегралами представлені відповідно густина енергії

електричного та магнітних полів:

22

2 DEEwE⋅

== ε , (5.1-16)

22

2 HBHwH⋅

== μ . (5.1-17)

Енергію електромагнітного поля визначаємо, як суму складових (5.1-14) та (5.1-15)

dVHEWWWV

HE ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

22

22

με . (5.1-18)

Для практики електрозв’язку дуже важливим є визначення напрямку вектора Пойнтінга. Зорієнтуємо в декартовій системі координат вектори E і H та за правилом векторного

множення визначимо напрямок вектора П (рис. 5.2.). Площина, в якій знаходяться E і H має назву фронт електромагнітної хвилі. Таким чином

вектор Пойнтінга зорієнтовано перпендикулярно до фронту електромагнітної хвилі.

Рисунок 5.2 Визначення напрямку вектора Пойнтінга

5.2 Теорема Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі)

Якщо процеси можна описати гармонічною функцією, то зручно скористатися

комплексною та комплексно-спряженими величинами. Відомо, що дійсна частина – напівсума комплексної та комплексно-спряженої величини. Для вектора напруженості електричного поля:

2Re

tjm

tjtj

meEeEeEE

ωωω

−∗•

• +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= . (5.2-1)

90

Для вектора напруженості магнітного поля:

2

Retj

mtj

mtjm

eHeHeHHωω

ω−

∗•• +

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= . (5.2-2)

Тоді вектор Пойнтінга:

.41

41

22

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×+×+×+×=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=×=

−∗∗•••∗∗•

−∗•

−∗•

tjmm

tjmmmmmm

tjm

tjm

tjm

tjm

eHEeHEHEHE

eHeHeEeEHEП

ωω

ωωωω

(5.2-3)

З урахуванням (5.2-1) і (5.2-2) та після перестановки

21 1Re Re2 2

j tm m m mП E H E H e ω

• ∗ • •⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪= × + × ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎪⎭

. (5.2-4)

Таким чином процес перенесення енергії гармонічного електромагнітного поля

визначається двома дійсними доданками: перший доданок незмінний у часі, другий – змінюється з подвійною частотою.

Перший доданок визначає середнє за період значення густини потужності, тобто вектор Пойнтінга:

0

1 1 Re2

T

m mсерП Пdt E HT

• ∗⎧ ⎫= = ×⎨ ⎬

⎩ ⎭∫ . (5.2-5)

Друга складова – коливальна складова вектора Пойнтінга.

21 Re2

j tmкол mП E H e ω

• •⎧ ⎫= ×⎨ ⎬

⎩ ⎭. (5.2-6)

Середнє за період значення цієї складової дорівнює нулю. Таким чином за умов гармонічного поля використовують, так званий, комплексний вектор

Пойнтінга, який має дійсну та уявну складову, відповідно:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×=

∗•∗•∗••

HEIHEHEП m21Re

21

21 , (5.2-7)

Та має властивість:

ReсерП П•⎧ ⎫

= ⎨ ⎬⎩ ⎭

(5.2-8)

Маємо багато спільного між вектором Пойнтінга в комплексній формі та комплексною

потужністю гармонічного коливання, відомого з курсу теорії кіл. Якщо комплексний вектор

91

Пойнтінга є уявним, то це означає, що електромагнітний процес в середньому за період не переносить потужність. Тобто уявному значенню комплексного вектора Пойнтінга аналогією є реактивна потужність.

5.3 Уявлення процесу передавання енергії Процес передавання енергії з використанням вектора Пойнтінга розглянемо на прикладі

двопровідної лінії, вздовж якої енергія від джерела ЕРС передається в резистивне коло навантаження (рис. 5.3а). Орієнтовне зображення силових ліній складових векторів електромагнітного поля E та H наведено на рис. 5.3б.

Рисунок 5.3 Поширення електромагнітної енергії : а – еквівалентна електрична схема;

б – уявлення формування електромагнітного поля двопровідної лінії Ці складові “формують” вектор Пойнтінга, що орієнтований вздовж ліній від генератора до

кола навантаження. Потужність визначимо як

∫ ⋅=S

SdПP .

Тобто потужність передається електромагнітним полем, а провідники виконують функцію

“рейок” вздовж яких поле поширюється.

5.4 Лема Лоренца Лема Лоренца встановлює зв’язок між сторонніми джерелами у двох різних точках

простору і електромагнітним полем, які створюють ці джерела. Нехай деяка сукупність гармонічних сторонніх струмів утворює електромагнітне поле з

комплексними амплітудами ( ), які задовольняють системі рівнянь Максвелла 1mE•

1mH•

.111 сторmmm JEjHrot••••

+= εω , (5.4-1)

мсторmmm JHjErot .111

•••

−−= ωμ . (5.4-2)

Існує також інша група сторонніх струмів, які створюють електромагнітне поле з

напруженостями , 2mE•

2mH•

, які задовольняють системі рівнянь Максвелла:

92

.222 сторmmm JEjHrot••••

+= εω , (5.4-3)

мсторmmm JHjErot .222

•••

−−= ωμ . (5.4-4)

Помножимо скалярно (5.4-1) на 2mE , та (5.4-4) на 1mH та віднімемо другу рівність від першої. В результаті отримаємо

1.22.1212112 mмсторmmсторmmmmmmm HJEJHHjEEjHEdiv•••••••••••

+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×− ωμεω . (5.4-5)

Тепер помножимо скалярно (5.4-2) на 2mH•

, та (5.4-3) на 1mE•

та віднімемо другу рівність від першої. При цьому будемо мати наступне

2.11.2212121 mмсторmmсторmmmmmmm HJEJHHjEEjHEdiv•••••••••••

−−−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ × ωμεω . (5.4-6)

Складемо рівності (5.4-5) та (5.4-6) й прийдемо до співвідношення

1 2 2 1 2 1 11 . 2 . 2 . 1 .m m m m m m m mm стор m стор м m стор m стор мdiv E H div E H J E J H J E J H• • • • • • • • • • • •⎛ ⎞ ⎛ ⎞

× − × = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 , (5.4-7)

яке представляє лему Лоренца в диференціальній формі.

Векторні добутки 21 mm HE••

× та 12 mm HE••

× – взаємні вектори Пойнтінга двох незалежних електромагнітних процесів.

Також можлива інтегральна форма леми Лоренца. Щоб її отримати, припустимо що маємо об’єм , обмежений поверхнею . Після інтегрування (5.4-7) за об’ємом та застосування перетворення теореми Гаусса-Остроградського, отримаємо

V S

1 2 2 1 2 1 1 21 . 2 . 2 . 1 .m m m m m m m mm стор m стор м m стор m стор м

S V

E H E H dS J E J H J E J H dV• • • • • • • • • • • •⎡ ⎤ ⎛

× − × = + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝∫ ∫

⎞

⎠.(5.4-8)

Таким чином отримано співвідношення (5.4-7), (5.4-8), які й визначають взаємний зв’язок

потужностей електромагнітного поля, створеного двома незалежними джерелами.

93

5.5 Висновки

1. На основі першого та другого рівнянь Максвелла в диференціальній формі з урахуванням сторонніх джерел електромагнітного поля та втрат в обмеженому об’ємі отримано рівняння для балансу потужностей – теорему Пойнтінга для миттєвих векторів поля в диференціальній формі.

2. Після інтегрування за об’ємом теореми Пойнтінга в диференціальній формі із застосуванням перетворення Гаусса-Остроградського отримаємо формулу теореми Пойнтінга в інтегральній формі.

3. Векторний добуток E H× – має назву вектор Пойнтінга П та характеризує густину потужності електромагнітного поля, яке поширюється назовні з обмеженого об'єму V .

4. Баланс потужностей електромагнітного поля складають: - ;стор

V

J EdV∫ .стор мV

J Hd∫ V - потужність сторонніх джерел поля;

- ; - потужність втрат; ∫V

dVE 2σ 2м

V

H dVσ∫

- dVEtE

V∫ ∂

∂ε ; dVHt

H

V∫ ∂

∂μ - потужність електромагнітних полів, що зосереджені в даному

об’ємі; - - потужність електромагнітного поля, яка виходить з об’єму.

S

P П dS= ⋅∫5. Площина, в якій розташовані вектори E та H , має назву фронт хвилі; вектор Пойнтінга

зорієнтований перпендикулярно до фронту хвилі. 6. Енергія електромагнітного поля в об’ємі складається з енергії електричного та

магнітного полів: V

∫=V

E dVEW2

2ε ; ∫=V

H dVHW2

2μ

7. Якщо електромагнітне поле є гармонічним процесом, то вектор П можна виразити

через комплексні амплітуди mE•

та mH•

. 8. Вектор Пойнтінга гармонічного електромагнітного поля характеризують двома

складовими: середньою за період серП та коливальною колП . 9. Вектор Пойнтінга дає уявлення про процес переносу енергії провідниками із струмом –

які формують електричне і магнітне поле та вказують шлях перенесення електромагнітної енергії.

10. Лема Лоренца встановлює зв’язок між двома сторонніми струмами у двох різних точках простору і електромагнітними полями, які збуджені цими джерелами.

Далі, на підставі отриманих даних необхідно з’ясувати, яким чином поширюються електромагнітні хвилі у просторі.

94

6 ПОШИРЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ У РІЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

6.1 Хвильові рівняння 6.2 Поняття про однорідні плоскі електромагнітні хвилі 6.3 Поляризація однорідних плоских хвиль 6.4 Хвильові рівняння однорідних плоских хвиль 6.5 Особливості поширення однорідних плоских хвиль в різних середовищах 6.5.1 Напівпровідне середовище (діелектрик з втратами) 6.5.2 Діелектрики і провідники 6.6 Поверхневий ефект у провідниках 6.7 Висновки

6.1 Хвильові рівняння Розглянемо електромагнітні процеси у навколишньому просторі на підставі рівнянь

Максвелла (див. табл. 4.2). Скористаємось першим та другим рівняннями:

;ErotH Et

σ ε ∂= +∂

(6.1-1)

.HrotEt

μ ∂= −

∂ (6.1-2)

Здійснимо операцію rot над (6.1-2) та використаємо підстановку із (6.1-1), тоді

отримаємо зі зміною порядку диференціювання: rotH

.H ErotrotE rot Et t

μ μ σ ε⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂

= − = − +⎜ ⎟ ⎜ t⎞⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6.1-3)

Представимо ліву частину (6.1-3) за відомою тотожністю векторного аналізу:

∇2rotrotE grad( divE ) E= − ;

отримаємо:

2

22

E EgraddivE Et t

μσ εμ∂ ∂−∇ = − −

∂ ∂. (6.1-4)

На основі третього і п’ятого рівнянь Максвелла маємо (див. табл. 4.2):

divE ρε

= ;

після перегрупування доданків (6.1-4) отримаємо рівняння:

,2

22

tEgrad

tEE

∂∂

+=∂∂

−∇ μσερεμ (6.1-5)

відоме як рівняння Гельмгольца.

95

В цьому рівнянні є складові, які визначають процес у просторі й часі, а також є добуток εμ, який пов'язаний із швидкістю поширення електромагнітних хвиль v 1 εμ= , тобто рівняння (6.1-5) характеризує хвильовий процес.

Якщо аналогічно застосувати оператор ротор до обох частин першого рівняння Максвелла, отримаємо хвильове рівняння для вектора напруженості магнітного поля:

2

22 .HH

t tεμ μσ H∂ ∂

∇ − =∂ ∂

(6.1-6)

Загальний вигляд хвильових рівнянь буде мати дещо інший вигляд, якщо їх записати для

гармонічних процесів в комплексній формі. Отже, запишемо функцію, її першу та другу похідні:

22

( ) ,

,

.

j tm

j tm

j tm

E t E e

E j E et

E E et

ω

ω

ω

ω

ω

• •

••

••

⎫⎪=⎪⎪∂ ⎪= ⎬∂ ⎪⎪

∂ ⎪= − ⎪∂ ⎭

(6.1-7)

Підставимо (6.1-7) в (6.1-5), з урахуванням комплексного представлення функції

( ) j tmt e ωρ ρ

•

= й після скорочення j te ω отримаємо:

2 2 .mm mE j E gradσ ρω μ ε

ω ε

•• •⎛ ⎞∇ + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (6.1-8)

Вираз в дужках (6.1-8) – комплексна діелектрична проникність ε•

(4.5-8). З урахуванням цього визначення (6.1-8) матиме вигляд:

2 2 .mm mE E grad ρω με

ε

•• ••

∇ + = (6.1-9)

Аналогічним чином можна отримати комплексну форму хвильового рівняння для вектора

напруженості магнітного поля: 2 2 0.mH Hω με

• ••

∇ + = (6.1-10) В загальному вигляді хвильові рівняння є складними. Але практичні розрахунки виконують

за конкретних обставин, коли можна прийняти деякі умови, що дозволяють спростити хвильові рівняння. Наприклад, на великій відстані від джерела електромагнітного поля кривизною фронту хвилі можна знехтувати й вважати розподіл амплітуд векторів напруженості електричної та магнітної складових електромагнітного поля рівномірним. Така хвиля має назву однорідна плоска, її застосовують для виконання практичних розрахунків.

96

6.2 Поняття про однорідні плоскі електромагнітні хвилі

Припустимо, що джерело електромагнітного поля розташоване в початку декартової системи координат, і хвиля поширюється в додатному напрямі осі Z. Звернемося до сферичного фронту хвилі, фрагмент ΔS, що поширюється вздовж осі Z (на що вказує вектор Пойнтінга П ) (рис. 6.1). Хвиля, яка може бути представлена таким фронтом, має назву поперечна (плоска).

Рисунок 6.1 Фрагмент фронту хвилі та вектор Пойнтінга

Відомо, що вектори E та H взаємно перпендикулярні, кожен з них має, в загальному випадку, три складові Еx, Ey, Ez та Hx, Hy, Hz.

Розглянемо три можливі ситуації: − Складові Ez та Hz відсутні, тобто Ez = 0 i Hz = 0. в цій ситуації є тільки складові

Еx, Ey та Hx, Hy й така хвиля має назву поперечна хвиля, або хвиля типу Т (від transverse – поперечний); в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТЕМ (поперечна Т електромагнітна ЕМ);

− Складова Ez є, складова Hz відсутня, тобто Ez ≠ 0, Hz = 0 й така хвиля має назву повздовжня електрична хвиля типу Е; в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТМ (поперечна Т магнітна Е);

− Складова Нz є, складова Еz відсутня, тобто Ez = 0, Hz ≠ 0 й така хвиля має назву повздовжня електрична хвиля типу Н; в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТЕ (поперечна Т магнітна М).

В стислій наочній формі формування типів хвиль наведено в таблиці 6.1.

Таблиця 6.1 Основні співвідношення для електростатики та магнітного поля постійного струму Складові поля Тип хвилі №

пп. , ,x y zE E E , ,x y zH H H сучасна назва англомовна Назва

1 0zE = 0zH = Т ТЕМ Поперечна

2 0zE ≠ 0zH = Е ТМ Повздовжня електрична (поперечна магнітна)

3 0zE = 0zH ≠ Н ТЕ Повздовжня магнітна (поперечна електрична)

97

Таким чином, при великій відстані від джерела ділянку фронту хвилі ΔS можна вважати плоскою, для якої Ez = 0 і Hz = 0, тобто – це хвиля типу Т, що має не шість, а тільки чотири проекції Еx, Ey та Hx, Hy. Таке припущення суттєво спрощує опис хвилі.

За умов однорідного без втрат (σ⇒0) середовища, тобто ε = const та μ = const, вектори напруженості електричного та магнітного полів у всіх точках простору ділянки ΔS не змінюють значення та напрямку. Тоді, відповідні частинні похідні дорівнюють нулю:

0, 0, 0, 0;

0, 0, 0, 0.

y yx x

y yx x

E EE Ex y x y

H HH Hx y x y

∂ ∂ ⎫∂ ∂= = = = ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎪

⎬∂ ∂∂ ∂ ⎪= = = = ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎭

(6.2-1)

З урахуванням прийнятих припущень для плоскої однорідної хвилі суттєво спрощується

оператори ротор та набла (оператор Гамільтона), що полегшує розрахунки без зниження втрат точності.

Плоска однорідна хвиля, за поширення якої лишається незмінним напрямок вектора E , має назву лінійно-поляризована хвиля. Поляризації електромагнітних хвиль мають важливе практичне значення. Наприклад, від виду поляризації електромагнітної хвилі залежить взаємне розташування приймальної та передавальної антен, що є важливим в організації зв’язку та забезпеченні електромагнітної сумісності.

6.3 Поляризація однорідних плоских хвиль

Назву виду поляризації визначає геометрична фігура, яку описує край вектора E в площині . Припустимо, що фронт однорідної плоскої хвилі розташований в площині XOY. Кут

нахилу вектора напруженості електричного поля XOY

E з віссю ОХ - θ має назву кут поляризації. Площина, в якій розташовані вектори напруженості електричного поля E та Пойнтінга П , має назву площина поляризації (рис. 6.2).

З’ясуємо, яким чином змінюється положення вектора E за часом і в просторі із зміною співвідношення між значеннями його проекцій Ех та Еу.

Рисунок 6.2 Площина поляризації однорідної плоскої хвилі

98

Для хвилі, яку можна описати гармонічним процесом:

1 2( ) cos( ) cos( ),x y mx myE t iE jE iE t jE tω ϕ ω= + = + + +ϕ (6.3-1)

де mxE , – амплітудні значення ЕmyE х та Еу; ϕ1, ϕ2 – початкові фази.

Розглянемо можливі ситуації: 1. Початкові фази однакові, тобто ϕ1 = ϕ2 = ϕ . Тоді модуль вектора :E

2 2 2 2 cos( )x y mx myE E E E E tω ϕ= + = + + (6.3-2)

є функцією часу.

Кут поляризації від часу є незалежним :

my

mx

Earctg

Eθ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ . (6.3-3)

Така поляризація має назву – лінійна поляризація.

2. Нехай 1 2 , .2 mx my mE E Eπϕ ϕ− = ± = = Тоді

( cos sin )mE E i t j tω ω= + . (6.3-4)

Модуль вектора є незмінним:

mx my mE E E const= = = . (6.3-5)

Кут поляризації є функцією часу:

θ = arctg(tgωt)=ωt. (6.3-6)

Тобто у цьому випадку довжина вектора незмінна, й він описує коло. Така поляризація має назву – колова поляризація.

3. Нехай 1 2, 0 .2mx myE E πϕ ϕ≠ < − <

За цих умов модуль E та кут поляризації є величинами, що змінюються, кінець вектора описує еліпс. Така поляризація має назву еліптична поляризація.

Таким чином, назву поляризації визначає геометрична фігура, яку описує за часом вектор E в площині XOY.

Електромагнітні хвилі поширюються в конкретному середовищі. В підрозділі 4.6 показано, що характер середовища (провідне, напівпровідне, або діелектрик з втратами, діелектричне) визначають не тільки електродинамічними параметрами (діелектрична проникність ε, магнітна проникність μ, питома електропровідність σ), а й частотою. Тобто одне й те саме середовище може бути провідником, напівпровідником, діелектриком – з урахуванням значення частоти електромагнітного поля.

99

6.4 Хвильові рівняння однорідних плоских хвиль

Розглянемо ситуації, якщо в просторі заряд відсутній. Тоді хвильове рівняння (6.1-9) електричного поля буде мати вигляд:

2 2 0.m mE Eω ε μ• ••

∇ + = (6.4-1)

Вектор визначають трьома проекціями: mE•

.m mx my mE i E j E k E• • • •

= + + z (6.4-2)

Рівнянню (6.4-1) з урахуванням (6.4-2) задовольняє система трьох рівнянь

2 2

2 2

2 2

0,

0,

0.

mx mx

my my

mz mz

E E

E E

E E

ω ε μ

ω ε μ

ω ε μ

• ••

• ••

• ••

⎫∇ + = ⎪

⎪⎪∇ + = ⎬⎪⎪∇ + =⎪⎭

(6.4-3)

Для однорідних плоских хвиль (див. умови (6.2-1)) з урахуванням того, що Ez = 0, Hz = 0 за

визначенням плоскої (поперечної) хвилі, система (6.4-3) спрощується і матиме вигляд:

22

2

22

2

0,

0.

mxmx

mymy

E Ez

E Ez

ω ε μ

ω ε μ

•• •

•• •

⎫∂ ⎪+ =⎪∂⎬⎪∂

+ = ⎪∂ ⎭

(6.4-4)

Аналогічний вигляд має система для вектора напруженості магнітного поля : H•

2

22

22

2

0,

0.

mxmx

mymy

H Hz

H Hz

ω ε μ

ω ε μ

•• •

•• •

⎫∂ ⎪+ =⎪∂⎬⎪∂

+ = ⎪∂ ⎭

(6.4-5)

Рівняння (6.4-4) та (6.4-5) мають однакову структуру й, відповідно, подібні розв’язки. Це

однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Їх розв’язок має два доданки із показовими функціями, якщо коефіцієнт другого доданка є негативним, тобто

2 2k ω ε μ• •

= − , (6.4-6) або

k jω ε μ• •

= . (6.4-6а)

Щодо обґрунтування його назви див. 6.5.1. Перепишемо системи (6.4-4) і (6.4-5) з урахуванням коефіцієнта k:

100

22

2 0mxmx

E k Ez

•• •∂

− =∂

, (6.4-7)

22

2 0mymy

E k Ez

•• •∂

− =∂

, (6.4-8)

22

2 0mxmx

H k Hz

•• •∂

− =∂

, (6.4-9)

22

2 0mymy

H k Hz

•• •∂

− =∂

. (6.4-10)

Розв'язок цих рівнянь визначає проекції H та E в будь-який момент часу t. Якщо в

рівняннях (6.4-7) – (6.4-10) є взаємно пов’язані пари, то замість чотирьох рівнянь можна розв’язувати лише два.

Скористаємось першим рівнянням Максвелла, яке встановлює зв'язок між векторами напруженості електричного і магнітного полів:

mrot H j Eωε• •

= . (6.4-11) Використаємо форму запису вектора через проекції та скористаємось визначенням операції

ротор. Тоді маємо:

( ) ( ) ( )

.

m mx my mz

mz my mx mz my mx

rot H i j E j j E k j E

H H H H H Hi j ky z z x x y

ωε ωε ωε• • • • • • •

• • • • • •

= + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

(6.4-12)

Із урахування ознак однорідних плоских хвиль (6.2-1) отримаємо з (6.4-12):

mymx

H j Ez

ωε•

• •∂− =

∂, (6.4-13)

mxmy

H j Ez

ωε•

• •∂=

∂. (6.4-14)

Тобто проекція Етх пов’язана з Нту, а Нтх пов’язана Ету. ці пари створюють поперечну

хвилю (типу Т). З’ясуємо, яким чином описують процес поширення електромагнітних хвиль в просторі та

вплив на цей процес параметрів середовища.

101

6.5 Особливості поширення однорідних плоских хвиль в різних середовищах

6.5.1 Напівпровідне середовище (діелектрик з втратами) Задля отримання рівняння, що описує процес поширення електромагнітної хвилі,

визначимо розв'язок одного з рівнянь - (6.4-7), відомий з курсу математики:

1 2k x k x

mx x xE E e E e• •• • •

−= + . (6.5-1)

Комплексний коефіцієнт , який має назву коефіцієнт поширення, запишемо у формі: k•

k jα β•

= + , (6.5-2)

де α – коефіцієнт загасання; β – коефіцієнт фази. Тоді (6.5-1) матиме вигляд:

1 2z j z z j z

mx mx mxE E e e E e eα β α•

− −= + β

2

. (6.5-3) Миттєве значення Ех, тобто як функцію часу маємо:

1 1 2( , ) cos( ) cos( )z z

x mx mxE t z E e t z E e t zα αω β ϕ ω β ϕ−= − + + + + . (6.5-4) В рівняннях (6.5-3) та (6.5-4) перші складові характеризують хвилю, що віддаляється від

початку відліку (координат), тобто пряму хвилю або хвилю, що падає. Її амплітуда збільшується зі збільшенням відстані за законом ,тому параметр z ze α− α має назву – коефіцієнт загасання. Параметр β визначає відставання за фазою залежно від тому він має назву – коефіцієнт фази.

Таким чином, комплексний коефіцієнт

z

k•

має назву – коефіцієнт поширення електромагнітних хвиль.

Другі складові рівнянь (6.5-3) та (6.5-4) характеризують хвилю, що наближається до початку відліку – тобто це зворотна, або відбита хвиля. Огинаючі таких хвиль наведені на рис.4.5.

Для кращого сприйняття змісту аргументу як функції двох змінних часу t і відстані z розглянемо функцію cos( )mf F t zω β= − (за умови, що початкові фази та коефіцієнт загасання дорівнюють нулю) та побудуємо відповідні залежності, з яких випливає взаємозв’язок функції f від (рис. 6.3). t

Тобто для залежності f від t фаза матиме вигляд ωβz ; а для залежності f від відповідно z

tωβ

, які відповідно змінюються в просторі та часі.

На рис.6.3а представлена залежність від функції виду t 1 cos ( )mzf F t βω

ω= − із зсувом фази

ωβz , а на рис.6.3б представлена залежність від z − 2 cos ( )m

tf F zωββ

= − із зсувом фази tωβ

.

102

Ще раз уважно розглянемо суть фази хвильового процесу ( t z)ω β− , яка має дві складові

tω , де 22 fTπω π= = , тобто характеризує відношення періодів: на тригонометричному полі -

2π , в часі - T ; й zβ , де 2πβ =λ

, тобто характеризує відношення періодів: на

тригонометричному полі - 2π та за відстанню – довжина хвилі λ .

Рисунок 6.3 Фрагменти залежностей хвильового процесу: а – як функції часу, б – як функції відстані

Повернемося до розв'язків хвильових рівнянь. Аналогічно для (6.4-10) маємо:

1 2 1z j z z j z k z k z

my my my my myH H e e H e e H e H eα β α β2

• ••− − −= + = + , (6.5-5)

1 1 2( , ) cos( ) cos( )z z

y my myH t z H e t z H e t zα α2ω β ψ ω β ψ−= − + + + + . (6.5-6)

Встановимо зв'язок між складовими Етх та Нту. На підставі (6.4-13) після диференціювання

(6.5-5) з у рахуванням k•

з (6.5-2) та перегрупування доданків маємо:

1 1 2 2 0k z k zmy mx my mxk H j E e k H j E eωε ωε

• •• • • • • • • •−⎛ ⎞ ⎛− − +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝⎞ =⎟⎠

. (6.5-7)

Рівняння (6.5-7) є справедливим для будь яких значень , якщо обидві складові (у дужках)

тотожно дорівнюють нулю, тобто із (6.5-7) маємо два рівняння: z

1 1 0my mxk H j Eωε• • • •

− = (6.5-8)

2 0my mxk H j Eωε• • • •

2+ = . (6.5-9)

З виразів (6.5-8) та (6.5-9) випливає, що між E•

та H•

існує взаємозв’язок. Цей взаємозв’язок визначають величиною:

103

11

1

mxw

my

E kZH jωε

• ••

• •= = , (6.5-10)

22

2

mxw

my

E kZH jωε

• ••

• •= = − , (6.5-10а)

яка має одиницю виміру [Ом] та відповідну назву – хвильовий опір, точніше – імпеданс – внаслідок комплексного характеру. З урахуванням (6.4-6а):

wjZ

jμ ωμ

ωε σε

•

•= =+

. (6.5-11)

Хвильовий імпеданс wZ•

можна представити в алгебраїчній формі:

2 2w w wj jZ X jYj k

ω μ jμ ωμ βωμ αωμα βω με

•

• •

+= + = ⋅ = =

+, (6.5-12)

де дійсна складова:

2 2wX βωμα β

=+

, (6.5-13)

уявна складова:

2 2wY αωμα β

=+

. (6.5-14)

В полярній системі координат

1

1 2

2

( )1 1

1 1

jj j

wj

mx mxw

my my

E e EZ e ZH e H

ϕϕ ϕ e φ

ϕ

• ••

−• •= = = , (6.5-15)

де модуль та фаза хвильового імпедансу, відповідно

2 2

2 2w w wZ X Y μωα β

= + =+

, (6.5-16)

.w

w

Yarctg arctg

Xαφβ

= = (6.5-17)

Значення модуля характеризує співвідношення амплітуд напруженості електричного та

магнітного поля, φ – зсув за фазою між миттєвими значеннями складових Е та Н. Із (6.5-10) та (6.5-10а) маємо:

1 2w wZ Z• •

= − . (6.5-18)

Таким чином, хвильові імпеданси для прямої та зворотної хвиль однакові за модулем, але відрізняються за фазою на кут π.

104

Тоді співвідношення (6.5-6) можна записати у вигляді:

1 21 2( , ) cos( ) cos( )

z zmy my

yw w

E e E eH t z t z t z

Z Z

α α

ω β ψ φ ω β ψ φ π− −

= − + − + + + − + . (6.5-19)

Якщо вважати простір, в якому поширюється хвиля однорідним, то зворотної (відбитої,

вторинної) хвилі не буде, тобто другий складник (доданок) правої частини (6.5-4), (6.5-6), (6.5-19) відсутній.

Графіки миттєвих значень функцій Ex(t,z) та Hy(t,z) прямої хвилі представлені на рис. 6.4 в момент , коли фаза хвилі в будь-якій точці простору відстає за фазою від фази в початку координат на значення

1t zzβ , амплітуда менша в ze α− раз. В наступний момент фаза хвилі у всіх

фіксованих точках зміниться на значення 2t

2 1(t t )ω − , амплітуда залишиться незмінною, тобто маємо рухому хвилю з вектором Пойнтінга вздовж осі . z

Рисунок 6.4 Залежності Ex1(z) та Hy1(z)

Огинальна змінюється за законом ze α− , тому параметр α має назву коефіцієнт загасання,

параметр β характеризує зміну фази залежно від відстані z і має назву коефіцієнт фази. Хвильове рівняння визначає процес поширення в просторі і часі електромагнітних хвиль,

тобто процес, який поширюється з певною швидкістю. Визначимо швидкість поширення хвилі. Для цього розглянемо повну фазу θ на прикладі прямої хвилі в момент t1 на відстані z1. Визначимо момент t2(t2>t1), для якого у точці z2 повна фаза також дорівнює θ, тобто:

.,

22

11

ϕβωθϕβωθ+−=+−=

ztzt

(6.5-20)

Тоді

ωβ )( 12

12zztt −

+= . (6.5-21)

Звідси швидкість поширення хвилі або фазова швидкість дорівнює:

2 1

2 1

2z zvt t T

ω πβ β

−= = =

−, (6.5-22)

де величину Т називають періодом хвилі.

105

Визначимо довжину хвилі, що поширюється. Нехай t2 - t1 =T період гармонічної функції. Тоді довжина хвилі

2 12 2T fTz z vT ω πλ π

β β= − = = = =

β

2

. (6.5-23)

Таким чином, досліджено закономірності, за якими здійснюється поширення

електромагнітних хвиль. Визначимо розрахункові формули для коефіцієнтів α і β. Піднесемо до квадрату вирази (6.4-6а) та (6.5-2)

2 2 2jω ε μ α αβ β

•

− = + − . (6.5-24) З урахуванням (4.5-8), де

jσε εω

•

− = ,

маємо αββαωμσεμω 2222 jj +−=+− . (6.5-25)

Окремо для дійсної частини та уявної частини відповідно:

⎭⎬⎫

=−=−

.2,222

ωμσαβεμωβα

(6.5-26)

Розв'язок системи з урахуванням того, що α – додатна дійсна величина:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= 11

2

2

ωεσεμωα , (6.5-27)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= 11

2

2

ωεσεμωβ . (6.5-28)

З урахуванням тангенса кута втрат ωεσδ =tg отримаємо:

21 1

2tgεμα ω δ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ , (6.5-29)

21 12

tgεμβ ω δ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ . (6.5-30)

Таким чином, отримані залежності коефіцієнта загасання та фази, які утворюють

коефіцієнт поширення k jα β•

= + , від параметрів середовища ε, μ, σ та частоти коливань ω в загальному випадку, незалежно від співвідношення між струмом провідності та зміщення. На практиці зазвичай маємо справу з середовищами, в яких або Іпр>>Ізм (провідники), або Іпр<<Ізм (діелектрики). Для цих випадків співвідношення можна спростити без помилок для кінцевого результату.

106

6.5.2 Діелектрики та провідники

В пункті 6.5.1 наведені формули, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в напівпровідному середовищі (діелектрик з втратами). Ознакою діелектрика або провідника є співвідношення між густиною струму провідності та зміщення, або значення тангенса кута втрат tgδ<<1 – діелектрик, α=0; tgδ>1 – провідник.

Величини, що характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах, для зручності користування зведено в таблицю 6.2. Таблиця 6.2 Величини, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних

середовищах Параметр Середовище

Символ Назва Напівпровідне (діелектрик з втратами) Діелектричне Провідне

α Коефіцієнт загасання

2

1 12εμ σω

ωε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥+ − 0

2ωμσ

β Коефіцієнт фази ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ 11

2

2

ωεσεμω

λπ2

2ωμσ

wZ Модуль

хвильового імпедансу

22 βα

ωμ

+

εμ ωμ

σ

φ Фаза

хвильового імпедансу β

αarctg 0 4π

X

Дійсна частина

хвильового імпедансу

2 2βωμ

α β+

εμ

2ωμσ

Y

Уявна частина

хвильового імпедансу

22 βααωμ+

0 2ωμσ

ν Швидкість поширення β

ω εμ1

μσω2

λ Довжина хвилі β

π2 fν

ωμσπ 22

На підставі співвідношень можна сформулювати такі висновки:

• В діелектричному середовищі хвиля поширюється без втрат, фаза хвильового опору дорівнює нулю;

• В провідному середовищі втрати пропорційні σ , фаза хвильового опору незмінна, довжина хвилі залежить від параметрів середовища й частоти.

Таким чином, найбільш сприятливим для поширення електромагнітних хвиль є діелектричне середовище. В реальних провідниках електромагнітне поле швидко згасає, що

107

призвело до поширеного поняття “витискання” поля змінного струму до його поверхні, тобто в провіднику має місце, так званий, поверхневий ефект (skin-effect).

6.6 Поверхневий ефект у провідниках

Розглянемо напівобмежений плоский провідник, в якому протікає змінний струм i(t)=Imsinωt (рис. 6.5) та визначимо яким чином розподілене поле в провіднику. Навколо провідника створюється магнітне поле, вектор H скеруємо вздовж осі, тобто . yH jH=

Рисунок 6.5 Процес проникнення електромагнітного поля в провідник

Якщо провідник ідеальний – вектор E скеровано перпендикулярно провіднику. Але в

реальному провіднику на будь-якому відрізку провідника різниця потенціалів не дорівнює нулю, тому має місце складова Ех (рис. 6.5), й фактичний вектор E зорієнтовано із нахилом до верхньої поверхні провідника. Як відомо, вектори E та H зорієнтовані взаємно перпендикулярно. Тому вектор Пойнтінга (5.1-5) П E H= × має складові:

x z y

z x y

iП kE jH

kП iE jH

⎫= − × ⎪⎬

= × ⎪⎭ (6.6-1)

Складова характеризує поле в напрямку осі z, тобто всередину провідника. Амплітуда модуля напруженості електричного поля:

zkП

zeEzE α−= )0()( (6.6-2)

зменшується за експоненціальним законом.

Співвідношення (6.6-2) помножимо на σ й отримаємо вираз для модуля густини струму, модуль якої:

zeJzJ α−= )0()( (6.6-3)

також зменшується за експоненціальним законом. Визначимо відстань, за якої поле зменшується в е раз.

108

Скористаємось співвідношенням: ( ) ( )(0) (0)

zE z J z eE J

α−= = , (6.6-4)

звідки маємо , де параметр δ має назву глибина проникнення поля й струму в провідник (skin depth).

αδ−− = ee 1

ωμσαδ 21

== . (6.6-5)

З (6.6-5) випливає, що глибина проникнення зменшується із зростанням питомої

електропровідності, магнітної проникності та частоти. Магнітна проникність для немагнітних провідників μ ≈ μ0, частоту визначає реальний процес, тому на значення δ суттєво впливає значення σ.

Ефект загасання поля (й струму) в провіднику має назву поверхневий (skin-effect), який полягає в тому, що струм протікає в деякому поверхневому шарі провідника. Інколи кажуть, що струм “витискується” на поверхню – це не коректно, бо фактично значення сили струму зменшується в напряму до центру провідника внаслідок загасання. Тому для використання провідників на радіочастотах використовують провідники із нанесенням на їх поверхню найкращого провідника срібла (σr Ag=1.05) або за умови >>δ, де d – діаметр провідника, або, так званий, літцендрат – багатожильний провідник.

d

У зв’язку із зменшенням перерізу протікання струму на високих частотах опір провідника збільшується.

Його значення, за умови >>δ, дорівнює: d

fl lR

d Sπ δσ σ= = , (6.6-6)

де l – довжина провідника.

Для постійного струму значення опору:

0 2

4lRdπ σ

= . (6.6-7)

Для практичного застосування корисна формула:

01 1 34f

гр

fR Rf

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, (6.6-8)

де fгр – частота, з якої слід враховувати поверхневий ефект:

2

9грf

dπ μσ= . (6.6-9)

Поверхневий ефект має важливе практичне значення для процесу поширення

електромагнітних хвиль, екранування тощо.

109

6.7 Висновки

1. На підставі першого та другого рівнянь Максвелла отримано хвильові рівняння, в яких вектори поля пов’язані з простором, часом та величиною, яка визначає швидкість.

2. З метою спрощення розв’язання хвильового рівняння та з урахуванням практичної можливості доцільно вважати фронт хвилі плоским на великій відстані від джерела випромінювання в однорідному середовищі, введено до розгляду однорідні плоскі хвилі.

3. За класифікацією електромагнітних хвиль розрізняють поперечні хвилі типу Т (ТЕМ), повздовжні електричні хвилі типу Е (ТМ), повздовжні магнітні хвилі типу Н (ТЕ).

4. Поширення електромагнітних хвиль обумовлено процесом поляризації: лінійна, колова (правостороння та лівостороння), еліптична.

5. Із розв’язання хвильового рівняння випливає, що існує два процеси – прямий (хвиля, що падає) та зворотній (відбита, вторинна хвиля).

6. Параметр, який характеризує процес поширення хвилі - коефіцієнт поширення

k jα β•

= + , де α – коефіцієнт загасання, β – коефіцієнт фази. 7. Як випливає з розв’язання хвильового рівняння, між значеннями напруженості

електричного та магнітного полів існує взаємозв’язок, визначений величиною, яка має одиницю виміру [Ом], й тому має назву – хвильовий імпеданс (опір) й залежить від

параметрів середовища mw

m

E jZjH

ωμωε σ

•

•= =+

i.

8. Електромагнітні хвилі поширюються в різних середовищах. Ознакою діелектрика або провідника є співвідношення між густиною струму та зміщення, або значення тангенса кута втрат tgδ. Якщо tgδ<<1 – діелектрик, α=>0; tgδ>1 – провідник.

9. В діелектричному середовищі хвиля поширюється без втрат, фаза хвильового опору дорівнює нулю.

10. В провідному середовищі втрати пропорційні σ , фаза хвильового опору незмінна, довжина хвилі залежить від параметрів середовища й частоти.

11. Найбільш сприйнятливим для поширення електромагнітних хвиль є діелектричне середовище.

12. В реальних провідниках в напрямі до центра електромагнітне поле швидко згасає, що призвело до поширеного поняття “витискання” поля змінного струму до його поверхні.

13. Ефект загасання поля (й струму) в провіднику має назву поверхневий (skin-effect), який полягає в тому, що струм протікає в деякому поверхневому шарі кулі на поверхні провідника, тобто значення сили струму в напрямку до центру провідника зменшується.

14. Із виразу 2δ ωμσ= випливає, що глибина проникнення поля у провідник

зменшується із зростанням питомої електропровідності, магнітної проникності та частоти.

15. В зв’язку із зменшенням перерізу протікання струму на високих частотах опір

провідника збільшується. Його значення, за умови >>δ, дорівнює:d 1fR

dπ δσ= .

Далі розглянемо основи випромінювання електромагнітних хвиль.

110

7 ОСНОВИ ВИПРОМІНЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ

7.1 Елементарний електричний випромінювач (диполь Герца, електричний вібратор) 7.1.1 Загальний випадок 7.1.2 Ближня зона (зона індукції) 7.1.3 Дальня зона (зона випромінювання) 7.1.4 Проміжна зона 7.1.5 Діаграма спрямованості випромінювача 7.1.6 Потужність та опір випромінювання диполя Герца 7.2 Магнітний елементарний випромінювач 7.2.1 Метод вирішення задач 7.2.2 Ближня зона 7.2.3 Дальня зона 7.2.4 Потужність та опір випромінювання елементарного магнітного випромінювача 7.3 Елементарний щілинний випромінювач 7.3.1 Метод вирішення задач 7.3.2 Потужність та опір випромінювання елементарного щілинного випромінювача 7.4 Елемент Гюйгенса 7.5 Висновки

7.1 Елементарний електричний випромінювач (диполь Герца, електричний вібратор) 7.1.1 Загальний випадок

Вище показано, що в природі існують електромагнітні хвилі, які можуть поширюватися

в різних середовищах, зокрема у вільному просторі, та були математично описані хвильовими рівняннями , отриманими на підставі рівнянь Максвелла. Експериментально це підтвердив в 1888 р. Генріх Рудольф Герц – ці хвилі отримали назву „хвилі Герца”. Як випромінювач, Герц використовував вібратор з іскровим проміжком, який збуджує коливання (диполь Герца).

Довжина цього вібратора значно менша довжини хвилі ( l λ<< ), тому значення сили та фази вздовж всієї довжини випромінювача однакові.

Тобто диполь Герца - це короткий, в порівнянні з довжиною хвилі, вібратор, й можна вважати, що відстань від точки спостереження до будь-якої точки диполю однакова. Умовно можна вважати, що заряди скоцентровані на кінцях стрижня, тому його й називають диполем. Теорія сучасних антен створена на основі цього пристрою.

Визначимо формули, які описують вектори E і H у довільній точці простору. Будемо вважати, що вібратор збуджують гармонічним сигналом. Нехай диполь Герца

розташований відносно декартової системи координат як показано на рис. 7.1, вздовж осі . zНапруженість поля в будь-якій точці простору може бути визначена за таким

алгоритмом: . Розглянемо докладніше. (4.8 33) (3.3 7)J або I A H E→ − → − →

1. Дано: струм диполя І або густина струму J .

111

2. Потрібно знайти: функції ( , ), ( , )E t r H t r стосовно сферичної системи координат ( , )r θ,ϕ (див рис.7.1).

3. Стратегія розв’язку: нагадаємо схему взаємозв’язку параметрів електромагнітного поля

,J I H E

A

4. Розв’язок.

Рисунок 7.1 Складові електромагнітного поля диполя Герца

За значенням густини струму визначаємо J A з урахуванням, що векторний потенціал A є таким, що запізнюється (4.8-33):

4 V

rJ tvA dV

rμπ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= ∫ , (7.1-1)

або в комплексній формі (для гармонічного сигналу):

4

j rm

mJ eA dV

r

βμπ

•• −

= ∫ . (7.1-2)

Вектор визначимо через векторний потенціал: H•

112

1mmH rot

μ

••

= A . (7.1-3)

Електричне поле знайдемо з першого рівняння Максвелла для діелектричного середовища:

1m m m

ErotH rot H j E E j rot Ht

ε ωεωε

• • •∂= ⇒ = ⇒ = −

∂m

•

r

. (7.1-4)

Оскільки об'єм , що охоплений струмом малий, густина струму всередині цього об'єму - величина незмінна. Згадаємо, що

Vl << , тобто відстань від довільної точки

вібратора до довільної точки простору – точки спостереження, теж величина незмінна. Тому рівняння (7.1-2) надамо у вигляді

r

4 4 4

j r j r j r

V V l

mm mm

J e J e I eA dV dS dl dlr r

β βμ μ μπ π π

• • •• − −

= = ⋅ =∫ ∫ ∫ r

β−

. (7.1-2а)

Вібратор скеровано вздовж осі . Тому: z

0,

0, .

4

j r

mx

my

mmz

A

A

I leAr

βμπ

•

•

•−•

⎫⎪=⎪⎪= ⎬⎪⎪

= ⎪⎭

(7.1-5)

Тобто векторний потенціал має тільки одну проекцію вздовж осі . Оскільки маємо вібратор – провідник зі струмом І, - він утворює електромагнітне поле. Хвиля поширюється в навколишньому просторі й для розгляду цього поля в просторі використаємо сферичну систему координат (див рис.7.1).

z

Задачу розв'язуємо за допомогою вектора 1 1m mr m mrA A A Aθ ϕ 1θ ϕ

• • • •

= + + в точці . Знайдемо його складові.

P

Радіальна складова:

cos cos4

j rmmr mz

I leA Ar

βμθ θπ

•−• •

= = . (7.1-6)

Меридіанна складова:

sin sin4

j rmm mz

I leA Ar

β

θμθ θ

π

•−• •

= − = − . (7.1-7)

113

Азимутна складова:

0mA ϕ•

= . (7.1-8)

Мінус в співвідношенні (7.1-7) свідчить, що напрями векторів 1mA θ θ

•

та 1θ протилежні визначеним в сферичній системі координат.

Розглянемо рівняння (7.1-3). Із використання представлення ротора вектора в сферичній системі координат в загальному вигляді, отримаємо:

1 1 1 ( sin )1sin

1 1 ( ) 1 ( )1 1sin

m mm m r

mr m m mr

A AH rot Ar

A r A r A Ar r r r

ϕ θ

ϕ θϕθ

θμ μ θ θ ϕ

θ ϕ θ

• •••

• • • •

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟= = − +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩⎡ ⎤ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎜ ⎟ .⎢ ⎥+ ⋅ − + ⋅ − ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ⎢ ∂ ∂ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎭⎣ ⎦

⎥

(7.1-9)

Внаслідок колової симетрії вібратора

0mrAϕ

•

∂=

∂; 0mA θ

ϕ

•

∂=

∂. (7.1-10)

З урахуванням (7.1-8) та (7.1-10) маємо із (7.1-9) складову

1 ( )1 1 m mm m

r A AH Hr r

θϕϕ ϕ μ θ

• •• •

.r⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= = −⎢ ∂ ∂ ⎥⎣ ⎦

(7.1-11)

Тобто із (7.1-11) випливає, що напруженість магнітного поля має тільки азимутну

складову Hϕ . Це підтверджується й фізичним змістом – магнітне поле створюється навколо

провідника із струмом (тобто спочатку – навколо диполя). Підставимо у (7.1-11) mrA•

з (7.1-6)

та mA θ•

з (7.1-7). Після диференціювання та перетворення задля отримання складових із

компонентами 2

n

rπλ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

маємо:

sin cos4

j r j rm

mI l re eH

r r r r

β β

ϕ θ θπ θ

•− −• ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛∂ ∂

= ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦

⎞=⎟

⎠

2

1 1sin sin sin4 4

j r j rm mI l I lj e j er r r r

β βββ θ θ θπ π

• •

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = (7.1-12)

22

22 2

1 1 sin sin .4 4 2

j rj rm mI l e I lj e j

r r r r

βββ λ

2λθ β θ

π β β π π π

• •−

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

114

На основі співвідношень (7.1-4) та (7.1-12) визначимо вектор напруженості електричного поля E .

В сферичній системі координат:

sin1 11

sin

1 1 11 1sin

m

mm

m r

mmr mr

HHE j

r

r H r HH H

r r r r

ϕθ

ϕ θ

θ ϕ

θ

ωε θ θ ϕ

θ ϕ θ

••

•

• •• •

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥∂⎪ ⎝ ⎠= − ⋅ − +⎢ ⎥⎨ ∂ ∂⎢ ⎥⎪⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

⎫⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+ ⋅ − + ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎪⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎭

.

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

(7.1-13)

Оскільки , то в співвідношенні (7.1-13) лишаються тільки такі складники:

0mrH•

= 0mH θ•

=

sin1 1 11 1 1 1

sinm

m m

m r mr r

H rE E E j

r rθ θ

ϕ ϕ

θ

θ

ωε θ θ

• •

• • •

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎜ ⎟ ⎜⎪ ⎪.

H

r

⎞⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝= + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⎠

⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎩

(7.1-13а)

Звідки:

sin

1 .sin

m

mr

HE j

r

ϕ θ

ωε θ θ

•

•

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟⎝= − ⋅

∂⎠ (7.1-14)

21 1 ;j

m m

m

r H r HE j e

r r r r

πϕ ϕ

θωε ωε

• •

•

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ = ⋅ ⋅∂ ∂

(7.1-15)

0mE ϕ•

= .

Значення mE ϕ•

, дорівнює нулю, це отримано з формальних математичних перетворень, а також випливає з фізичної сутності процесів – складова 1 mEϕ ϕ – відсутня (див рис.7.1).

Підставимо в вирази (7.1-14) та (7.1-15) попередньо отримане значення mH ϕ з (7.1-12). Після диференціювання та перетворення задля отримання складових із компонентами

2

n

rπλ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

маємо:

22

2 sin cossin 4 2 2

j rmmr

I l eE j jr r r

ββ λ λ θ θωε θ π π π

•−• ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

115

22

2

2 2

2 2 3

2 33

1 cos2 2 2

cos2 2 2 4 2

cos .2 2 2

j r

j r

j r

m

m

m

I l e jr r r

I l e jr r

I l e jr r

β

β

β

β λ λ θπωε π π

β β λ λ λ λ θπωε π π π π

β λ λ θπωε π π

•−

•−

•−

⎡ ⎤⎛ ⎞= − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤=⎥ (7.1-14а)

На підставі (6.5-10), з урахуванням (6.5-22) та формулиvμ1

=ε

, використаємо заміну

для дальнього поля wZβ=

ωε:

2 32

cos4 2 2

j rw

mrI l Z eE j

r r

ββ λ λ θπ π π

•−• ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ . (7.1-14б)

За аналогією знаходимо вираз для складової mE θ•

:

22

2 33

1 1 1 1 sin4 2 2

sin .4 2 2 2

j r

j r

mmm

m

r Hr I l eE j j j

r r r r r r

I l e j jr r r

β

β

ϕ

θβ λ λ θ

ωε ωε π π π

β λ λ λ θπωε π π π

••

−•

•−

⎛ ⎞∂ ⎫⎧⎜ ⎟ ⎡ ⎤∂ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎝ ⎠= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(7.1-15а)

Використаємо заміну wZβ=

ωε й отримаємо:

2 32

sin4 2 2 2

j rm wm

I lZ eE j jr r r

β

θβ λ λ λ θπ π π π

•−• ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ . (7.1-15б)

З аналізу виразів (7.1-12), (7.1-14а,б) та (7.1-15а,б) випливає, що в залежності від

співвідношення між довжиною хвилі λ та відстанню від диполя до довільної точки у просторі r їх можна спростити, якщо умовно поділити простір зайнятий полем на дві області (зони): ближню зону (зона індукції) й дальню зону (зона випромінювання) за ознаками:

якщо: 2

r λπ

<< - ближня зона, (7.1-16)

якщо : 2

r λπ

>> - дальня зона. (7.1-16а)

Цей поділ визначено параметром – гранична відстань:

116

2грr λπ

= . (7.1-17)

Між ближньою та дальньою зонами розташована проміжна зона (див. п.7.1.4). Розглянемо особливості електромагнітного поля в кожній зоні.

7.1.2 Ближня зона (зона індукції)

В ближній зоні 2грr r λπ

<< = , тобто 12

>>rπ

λ .

Тобто у виразах (7.1-12), (7.1-14а,б), (7.1-15а,б) доданками 2

n

rλπ

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ з меншими

степенями n можна знехтувати, а співмножник j re β− за цих умов буде прямувати до одиниці:

2

1rjj re e

πβ λ

−− = → . (7.1-18)

Тобто запізненням також можна знехтувати. Тоді пригадаємо, що для діелектричного

середовища λπβ 2

= та згідно з (7.1-12) отримаємо:

( )

2 2

2 22

2 sin sin .4 42

mm

I l I lHrr

ϕπ λ mθ θ

π λ ππ

• •• ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.1-19)

Таким чином, у ближній зоні напруженість магнітного поля є в фазі зі струмом.

Формулу (7.1-19) можна трактувати як представлення закону Біо-Савара. З формули (7.1-14а) отримаємо:

( )

3 32

3 3 33

2 cos cos cos .2 2 22

jm mmr

mI l I l I lE j j er rr

ππ λ θ θ θπωε λ πωε πωεπ

• •• −⎛ ⎞= − ⋅ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

•

(7.1-20)

Аналогічно з формули (7.1-15а) отримаємо:

3 32

3 3

2 sin sin sin4 2 4 4

jm mm

I l I l I lE j j er r r

π

θπ λ mθ θ θ

πωε λ π πωε πωε

• •• −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•

(7.1-21)

Зауважимо,що радіальна складова вектора напруженості електричного поля cos ,rE θ≡ тоді як меридіанна - sinEθ .θ≡ Тому при визначенні напруженості електричного

поля вздовж осі, перпендикулярної осі вібратора залишається тільки складова Eθ . Зі співвідношень (7.1-19) та (7.1-21) випливає, що у ближній зоні складові напруженості

електричного поля та сила струму за фазою зсунуті на 900. Тобто магнітна та електрична складові поля знаходяться в квадратурі (рис. 7.2).

117

Миттеві значення вектора Пойнтінга коливаються з подвійною частотою, його середнє значення у ближній зоні дорівнює нулю (Пср=0) – перенесення енергії відсутнє (режим стоячих хвиль), має місце коливальний процес.

Рисунок 7.2 Залежності E(t), H(t), П(t) в ближній зоні

В ближній зоні відбувається обмін енергією між електричним та магнітним полями, тому цю зону ще називають зоною коливань або зоною індукції.

За цих умов можуть створюватись електричні або магнітні завади, так звані "наводки" в апаратурі.

Умовно силові лінії поля представлені на рис.7.3: лінії магнітної складової навколо диполя, лінії електричної складової починаються й закінчуються на кінцях диполя й замикаються через навколишній простір, внаслідок існування струму зміщення.

Рисунок 7.3 Уявлення силових ліній складових ближнього поля

Визначимо коефіціент пропорційності між складовими E та H в ближній зоні:

2

3

sin 4 1 ,4 sin

Em m

бз

m m

E I l r jZ jr rH I l

θ

ϕ

θ πj rπωε θ ωε ωε

•••

• •= = − ⋅ = − = (7.1-22)

118

1E

бзZrωε

= . (7.1-22а)

Побудуємо графік модуля E

бзZ в ближній зоні (рис.7.4). Слід звернути увагу, що в п. 6.5.1 співвідношення між складовими E та H отримало назву хвильового імпедансу,що є коректним для зони хвильового процесу – дальньої зони.

Рисунок 7.4 Залежність відношення між складовими E та H

від відстані до електричного вібратора

З формули (7.1-22а) та рис.7.4 випливає, що EбзZ у ближній зоні високоімпедансний.

Зауважимо, що у ближній зоні залежність складових поля від відстані така:

3

1r

E ≡ , 2

1r

H ≡ . (7.1-23)

Ці співвідношення показують, що електрична складова поля електричного вібратора у

ближній зоні загасає швидше, ніж магнітна, тому, що електричний вібратор створює, як електричну, так і магнітну складові поля.

7.1.3 Дальня зона (зона випромінювання)

Як вже зазначено в дальній зоні πλ

2>>r , тобто 1

2<<

rπλ .

В такій ситуації у виразах (7.1-12),(7.1-14а),(7.1-15а) доданками 2

n

rλπ

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ з більшими

степенями n можна знехтувати, а запізнення, яке відображає множник слід враховувати. rje β−

Тоді вирази для складових електромагнітного поля в дальній зоні матимуть вигляд:

sin4

j rm

mI l eH j

r

β

ϕβ θπ

•−•

= , (7.1-24)

119

2

sin4

j rm

mI l eE j

r

β

θβ θπωε

•−•

= , (7.1-25)

2 cos2

j rm

mrI l eE

r

ββ θπωε

•−• ⋅

= . (7.1-26)

З урахуванням заміни wZβ=

ωε отримаємо:

sin4

j rm wm

I lZ eE jr

β

θβ θπ

•−•

= , (7.1-25а)

2 cos2

j rm wmr

I lZ eEr

β

θπ

•−•

= . (7.1-26а)

Порівняння максимальних значень (7.1-25) mE θπθ

•

=2

та mrEθ

•

=0 (7.1-26) показує, що

1mr

m

EE rθ π

λ= << , тобто для умов дальньої зони mr mE E θ<< . Тому в подальшому враховуємо

пару mE θ•

та mH ϕ•

, й вважаємо, що фронт хвилі можна розглядати як плоский в наслідок малої його кривизни.

З аналізу виразів (7.1-24) - (7.1-26) випливає, що комплексні величини mE•

та mH•

змінюються в фазі (рис. 7.5), таким чином середнє значення вектора Пойнтинга , отже, в дальній зоні існує процес перенесення електромагнітної енергії.

0cepΠ ≠

Рисунок 7.5 Залежності Е(t),H(t),П(t) в дальній зоні

Визначимо хвильовий імпеданс:

2 sin 4 1

sin 4

mE mдз

m m

E j I l rZH fj I l r

θ

ϕ

εμβ θ π β μωε ε εβ θ πωε

•

•

⋅= = = = = =

λ⋅ ε. (7.1-27)

У вільному просторі ,/104 7

0 мГн−== πμμ ( ) мФ /1036/1 90

−== πεε та - див. рис.7.4. 0 120 377E

wZ Омπ= ≈

120

Зауважимо, що у дальній зоні виконуються такі співвідношення:

r

E 1≡ ;

rH 1

≡ . (7.1-28)

Ці співвідношення вказують на те, що в дальній зоні інтенсивність загасання

електричної та магнітної складових поля однакові (рис.7.4). Силові лінії складових поля є замкнуті криві, відокремлені від диполя(рис.7.6). Як

свідчать рівняння Максвелла змінне в часі електричне поле створює магнітне, магнітне – електричне і т.д..

Таким чином в дальній зоні створено поле внаслідок випромінювання диполем, але не зв’язане з ним безпосередньо.

Рисунок 7.6 Уявлення силових ліній складових дальнього поля

7.1.4 Проміжна зона Ознакою цієї зони є те, що поле випромінювання, дальнє, та реактивне (зв'язуюче),

ближнє, поле характеризується значеннями однакового порядку. Стадії формування силових ліній поля представлено на рис.7.7.

121

Розглянемо діаграми поля в даному випадку та.

Рисунок 7.7 Стадії формування електромагнітного поля: а-д силові лінії; е-к часові діаграми струму в диполі

Пояснимо кожний рисунок детальніше: а – до появи коливань обидві половини диполя не заряджені; е – струм відсутній; б – з’явився струм провідності; через чверть періоду він зарядив верхню половину

вібратора позитивним зарядом, а нижню половину – негативним, при цьому лінії електричного струму зміщення поля починаються на верхній половині вібратора і закінчуються на нижній;

є – струм в межах від 0 до 4T ;

122

в – на цьому етапі заряди зменшуються (спадають); зовнішня частина поля просувається далі, одночасно починають “відшнуровуватись” лінії поля;

ж– струм в межах від 0 до 3T ;

г – в кінці другої чверті періоду обидві половини вібратора не заряджені; “відшнуровування” лінії поля не закінчено;

з – струм в межах від 0 до 2T ;

д – під час третьої частини періоду струм протікає в зворотному напрямку, тому верхня половина вібратора заряджається позитивним зарядом, а нижня – негативним.

к– струм в межах від 0 до T43 ;

В кінці третьої чверті періоду перейдемо до рисунку аналогічному випадку 2), але лінії поля змінюють напрям і т.д.

Умовно для диполя Герца лінії електричного поля представлені на рис.7.8б, магнітного поля – на рис.7.8а.

а б

Рисунок 7.8.Силові лінії складових поля: а – магнітного ; б – електричного

7.1.5 Діаграма спрямованості випромінювача В загальному випадку діаграма спрямованості - це геометричне місце точок

однакового значення фізичної величини, в залежності від напряму. В курсі “Технічна електродинаміка” цьому терміну надано такий зміст.

Діаграма спрямованості - це графічне зображення залежності амплітуд векторів поля випромінювання в дальній зоні від кута спостереження.

Випромінювач, електричний вібратор, не випромінює електромагнітне поле вздовж своєї осі, а вздовж осі перпендикулярній до осі вібратора випромінення максимальне. Відповідно до (7.1-15а) можна записати в меридіанній площині (рис.7.9а):

max sinmE Eθ θ= . (7.1-29)

123

В азимутальній площині для складової Hϕ– діаграма спрямованості – круг (рис. 7.7б). Введемо безрозмірну функцію – нормовану характеристику, що визначає діаграму спрямованості в меридіанній площині:

max

( , ) sinmEFE

θθ ϕ θ= = . (7.1-30)

Побудуємо її об'ємне графічне зображення, що має назву нормованої діаграми

спрямованості. Оскільки в горизонтальній площині mE θ не залежить від ϕ , то діаграма має вигляд тороїда (рис. 7.9в).

Рисунок 7.9 Діаграма спрямованості електричного вібратора: а – в меридіанній площині; б – в азимутній площині; в – об’ємна

7.1.6 Потужність та опір випромінювання диполя Герца

Як вже відомо, потужність хвильового процесу визначють інтегруванням вектора

Пойнтінга:

S

P П dSΣ = ⋅∫ , (7.1-31)

де

124

(7.1-32) −= ϕθθ ddrdS sin2

елементарна площина у сферичній системі координат. Розглянемо детальніше вектор Пойнтінга і потужність випромінювання. На підставі

(5.2-5) з урахуванням (7.1-24) та (7.1-25а) отримаємо:

2

22 2

1 ( )Re sin 12 8

mcep w r

I lП E H Zr

θ ϕ θλ

• ∗ ⎡ ⎤⎫⎧ ⎢ ⎥= × =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦, (7.1-33)

Визначимо потужність випромінювання, з урахуванням (7.1-32):

сер

sP П dSΣ = ⋅∫ , (7.1-34)

як відомо

∫ =π

θθ0

3

34sin d ,

тоді, з урахуванням що напрями векторів cepП та dS співпадають, маємо:

2 2 3 2

20 0

( ) sin ( )8 3

m w w2mI l Z Z I l

= .P d dπ π θ πϕ θ

λ λΣ

⋅= ∫ ∫ (7.1-35)

На підставі виразу для електричної потужності, можна записати:

2

2mI RP Σ

Σ = , (7.1-36)

де RΣ - опір випромінювання. Вираз для опору випромінювання, з урахуванням (7.1-35):

2

2 322

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== Σ

Σ λπ lZ

IPR w

m

. (7.1-37)

Хвильовий імпеданс у вільному просторі (див (7.1-27)):

πεμ 120

0

0 ==wZ ,

тоді на підставі (7.1-37) отримаємо:

2

280 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Σ λ

π lR . (7.1-38)

Зазначимо, що одиницею виміру опору випромінювання RΣ є Ом.

125

7.2 Магнітний елементарний випромінювач

7.2.1 Метод вирішення задач Поле, що утворює елементарний магнітний випромінювач, можна дослідити за

методикою аналогічною електричному диполю. Елементарний магнітний випромінювач створимо як аналог електричного вібратора але з магнітним струмом ІM. Тобто можливо на підставі принципу переставної двоїстості (див. 4.7) виконати відповідні заміни:

E Hθ θ⇔ , , rr HE ⇔ H Eϕ ϕ⇔ , МII −⇔ , με −⇔ . (7.2-1)

На рис. 7.10а показано електричний вібратор Герца, але з магнітним струмом ІM, який створює силові лінії електромагнітного поля.

Зауважимо, що такі самі лінії поля (відповідно й таке саме поле) формує рамка із електричним струмом (рис.7.10а), замість фіктивного магнітного диполя. Тому реальним магнітним елементарним випромінювачем є рамка із струмом.

Рисунок 7.10 Елементарний магнітний випромінювач: а – з фіктивним магнітним струмом

ІM; б – з реальним електричним струмом (рамка зі струмом)

Таким чином систему рівнянь складових електромагнітного поля магнітного елементарного випромінювача для загального вигляду можна отримати із (7.1-12), (7.1-14а), (7.1-15а) відповідно для складових електромагнітного поляEϕ , , rH Hθ на підставі заміни (7.2-1), таким чином:

2

2 sin ,4 2 2

j rmMm

I lE e jr r

βϕ

λ λβ θπ π π

••

−⎛ ⎞− ⎛ ⎞= +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟⎟ (7.2-2)

2 33

cos ,2 2 2

j rmMmr

I l eH jr r

ββ λ λ θπωμ π π

•−• ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤⎥ (7.2-3)

126

2 33

sin .4 2 2 2

j rmMm

I l eH j jr r r

β

θβ λ λ λ θπωμ π π π

•−• ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.2-4)

В природі магнітний струм не існує, тому реальний магнітний елементарний випромінювач – це рамка із електричним струмом.

Для отримання відповідних формул необхідно виконати заміну фіктивного магнітного

струму mMI•

в лінійному вібраторі довжиною , реальним електричним струмом в рамці площею S, тобто

mI

.mM mI l j I Sωμ• •

= − (7.2-5)

Враховуючи (7.2-5) перепишемо рівняння складових електромагнітного поля магнітного елементарного випромінювача для електричного струму:

2

2 sin ,4 2 2

j rmm

j I SE e jr r

βϕ

ωμ λ λβ θπ π π

••

−⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟⎟ (7.2-

6)

2 33

cos ,2 2 2

j rm

mrj I S eH j

r r

ββ λ λ θπ π π

•−• ⎡− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎤⎥ (7.2-

7)

2 33

sin .4 2 2 2

j rm

mj I S eH j j

r r r

β

θβ λ λ λ θπ π π π

•−• ⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.2-8)

Далі розглянемо конкретні ситуації для ближньої та дальньої зон магнітного

елементарного випромінювача.

7.2.2 Ближня зона

Наведемо формули, що отримані на основі принципу „переставної двоїстості”, за умов ближньої зони 2r λ π<< .

Таблиця 7.1 Складові поля елементарного магнітного випромінювача в ближній зоні Фіктивний магнітний струм Електричний струм

2 sin

4mM

mI lE

rϕ θ

π

••

= − (7.2-9) 2 sin4

mm

I SE jr

ϕμω θπ

••

= (7.2-12)

3 cos

2mM

mrI lH j

rθ

πμω

••

= − (7.2-10) 3 cos2

mmr

I SHr

θπ

••

= (7.2-

13)

3 sin

4mM

mI lH j

rθ θ

πμω

••

= − (7.2-11) 3 sin4

mm

I SHr

θ θπ

••

= (7.2-

14)

Визначимо співвідношення EH

для магнітного випромінювача:

127

H

m

m

бзEZ j rH

ϕ

θ

ωμ•

•

•= = (7.2-15)

H

бзZ rωμ•

= (7.2-15а)

Рисунок 7.11 Залежність відношення між складовими E та H від відстані до магнітного випромінювача

Зазначимо, що середнє значення модуля вектора Пойнтінга в ближній зоні дорівнює

нулю, як це випливає з (7.2-9) та (7.2-11) або (7.2-12) та (7.2-14), складові Е(t) та Н(t) – в квадратурі.

Як випливає із (7.2-15) та рис.7.11 параметр HбзZ електромагнітного випромінювача

низькоімпедансний.

7.2.3 Дальня зона

Наведемо формули, які отримані на основі принципу „переставної двоїстості” за умови дальньої зони 2r λ π>> .

Для дальньої зони запізнення звісно враховують й на підставі наведених вище положень отримаємо формули для лінійного вібратора з фіктивним магнітним струмом (7.2-16)...(7.2-18) та рамкового, з реальним електричним (7.2-19)...(7.2-21). Таблиця 7.2 Складові поля елементарного магнітного випромінювача в дальній зоні Фіктивний магнітний струм Електричний струм

sin4

j rmMm

I lE j er

βϕ

β θπ

••

−= (7.2-16) sin4

j rmm

I SE er

βϕ

μω β θπ

••

−= (7.2-19)

2 cos2

j rmMmr

I lH er

ββ θπμω

••

−= (7.2-17) 2 cos

2j rm

mrI SH j e

rββ θ

π

••

−= (7.2-20)

2

sin4

j rmMm

I lH j er

βθ

β θπμω

••

−= (7.2-18) 2

sin4

j rmm

I SH er

βθ

β θπ

••

−= − (7.2-21)

128

Звідки також випливає, що з точністю до знака, фази півхвиль Е(t) та Н(t) співпадають, тобто середнє значення вектора Пойнтінга існує – існує процес перенесення електромагнітної енергії.

Визначимо хвильовий опір з (7.2-16) та (7.2-18) або (7.2-19) та (7.2-21):

wEZH

ϕ

θ

ωμ μ μβ εεμ

•

•= = = = (7.2-22)

Для вільного простору 0 0; ; 120 377wZ Oмμ μ ε ε π= = = ≈ . Щодо діаграми спрямованості магнітного елементарного випромінювача – вона

аналогічна діаграмі диполя Герца, але зорієнтована перпендикулярно. 7.2.4 Потужність та опір випромінювання елементарного магнітного

випромінювача Електромагнітне поле, що створюється рамочним випрмінювачем, являє собою

просторову локально плоску хвилю, яка переносить потужність в радіальному напряму за аналогією з диполем Герца.

Опір випромінювання: 4 2

2 24

32080 ( ) ,еl SR ππλ λΣ = = (7.2-23)

потужність випромінювання:

2

2 44160 .SP I π

λΣ = (7.2-24)

7.3 Елементарний щілинний випромінювач 7.3.1 Метод вирішення задач Поряд з розглянутими раніше диполем Герца та магнітним елементариним

випромінювачем існує так званий елементарний щілинний випромінювач. Ця випромінююча система є бескінечною ідеально провідною площиною, в якій прорізано щілину довжиною та шириною (рис.7.12).

lΔ

Рисунок 7.12 Елементарний щілинний випромінювач.

129

Якщо в щілині створити змінне електричне поле, то така щілина стане елементом по якому протікає магнітний струм в напрямку паралельному довгим краям щілини. MI

Для того, щоб дана щілина могла вважатися елементарним випромінювачем, необхідне виконання наступних нерівностей: l λ<< , та l<<Δ .

У відповідності до принципу переставної двоїстості щілинний випромінювач дуальний по відношенню до електричного випромінювача, тому він є різновидом магнітного випромінювача.

Немає потреби вирішувати нову задачу електродинаміки, використаємо принцип переставної двоїстості до знайдених раніше проекцій векторів поля елементарного електричного випромінювача в дальній зоні:

sin4

j rMj I l eE

r

β

ϕβ θπ

•−• −

= (7.3-1)

sin4

j rM

w

j I l eHrZ

β

θβ θ

π

•−•

= (7.3-2)

Слід звернути увагу на те, що в дальній зоні елементарний щільовий випромінюва має електричний вектор з єдиною складовою направленою по орту азимутної координати

чϕ . Це

означає, що силові лінії вектора напруженості електричного поля, виходячи з щілини, на деякій відстані приймають форму кіл (рис.4.4б). На практиці в якості величини, що характеризує збуджуюче джерело, замість фіктивного магнітного струму зручно

використовувати комплексну амплітуду напруги в щілині, що вимірюється безпосередньо у вольтах. Врахувавши те, що комплексна амплітуда магнітного струму чисельно дорівнює подвоєній комплексній амплітуді напруги в щілині:

MI

ЩU•

2M ЩI U• •

= , (7.3-3) запишемо кінцеві формули для розрахунку проекцій векторів електромагнітного поля в дальній зоні для щілинного випромінювача:

sin2

j rЩjU l eE

r

β

ϕβ θ

π

•−• −

= (7.3-4)

sin2

j rЩ

w

jU l eHrZ

β

θβ θ

π

•−•

= (7.3-5)

7.3.2 Потужність та опір випромінювання елементарного щілинного випромінювача

У відповідності до (7.3-4) та (7.3-5) усереднений за період коливальний вектор

Пойнтінга має єдину складову, направлену по радіальному орту:

2 2 2

2 2

( ) sin12 8

Щmсрr

w

U lП E H

r Zϕ θ

β θπ

•

= − = (7.3-6)

Потужність, що випромінюється елементарним щілинним вібратором, знаходимо шляхом інтегрування срrП по поверхні сфери достатньо великого радіуса, точки якої розміщені в дальній зоні випромінювача:

S

2 2 22

32

0 0

( ) ( )sin

8 3Щm Щm

Sсрr

w w

U l U lP П dS d d

Z Z

π π 2β βϕ θ θ

π πΣ = = =∫ ∫ ∫ . (7.3-7)

130

Оскільки потужність випромінювання є пропорційною квадрату напруги в щілині, формулу (7.3-7) можна записати в наступному вигляді:

Σ

Σ =Щ

Щm

RU

P2

2

, (7.3-8)

де - величина, що вимірюється в омах і називається опором випромінювання щілинного випромінювача. Співставивши (7.3-7) та (7.3-8) отримаємо:

ΣЩR

22

3 45( )2( )Щ

wZRl lπ λβΣ = = . (7.3-7)

7.4 Елемент Гюйгенса Важливе значення для практики має ще один елементарний випромінювач, який можна

уявити як комбінацію елементарних електричного (диполь Герца) та магнітного (рамка зі струмом). Модель такого випрмінювача – елемент Гюйгенса.

Розглянемо елемент плоскої поверхні з поверхневими магнітним та електричним струмами, розподілення яких відомо. Це важливо, тому що багато реальних антен можуть бути представлені джерелами подібного типу.

Елемент Гюйгенса можна також уявити як елемент фронту хвилі, що поширюється. Магнітне поле на цьому елементі можна замінити еквівалентним електричним струмом, а електричне поле - еквівалентним магнітним струмом. Таким чином, Елемент Гюйгенса можна розглядати як елементарний випромінювач, який обтікають електричний та магнітний струми. Визначимо його властивості спрямованості.

Оскільки вектори E та H в просторі взаємно перпендикулярні, то й еквівалентні їм магнітний та електричний струми також будуть взаємно перпендикулярними. Розташуємо Елемент Гюйгенса на плоску прямокутну пластинку (площадку) 1 2S l lΔ = ⋅ в площині 0Z = (площина ). XOY

Характеристику спрямованості такого елемента можна сформувати як комбінацію фрагментів елементарного електричного випромінювача – рис.7.9а та елементарного магнітного в тій же площині, за принципом „переставної двоїстості” співпадає з характеристикою спрямованості елементарного електричного випромінювача в азимутній площині– рис.7.9б.

Таким чином можна побудувати характеристику спрямованості елемента Гюйгенса – рис.7.13 на підставі характеристик спрямованості диполя Герца рис.7.9а,б та відповідно зорієнтованої характеристики спрямованості магнітого випромінювача, яка має форму кардіоїди (на площині).

Формула характеристики спрямованості такого елемента

( ) 1 cosF θ,ϕ = + θ . (7.4-1)

Окремі точки характеристики наведені в таблиці 7.3.

131

Таблиця 7.3 Дані для характеристики спрямованості елемента Гюйгенса кути θcos 1cos +θ

0 1 2

2π 0 1

π -1 0

23π 0 1

Рисунок 7.13 Діаграма спрямованості елемента Гюйгенса

Таким чином, з діаграми спрямованості елемента Гюйгенса (рис.7.13) можна зробити висновок, що даний випромінювач є напрямленним.

7.5 Висновки 1. Випромінювання електромагнітних хвиль здійснюють спеціальні пристрої, які

мають назву випромінювачі. 2. Найпростішими (базовими) випромінювачами є електричний вібратор (диполь

Герца) та магнітний елементарний випромінювач (рамка з електричним струмом та щілина).

3. Елементарні випромінювачі збуджують (створюють) просторову електромагнітну хвилю, яку за умов великої відстані точки спостереження, можна вважати локально плоскою з основними складовими поля H ϕ , E θ - для елементарного електричного випромінювача; H θ , E ϕ - для елементарного магнітного.

4. Аналіз процесу випромінення електричного елементарного вібратора виконано за

схемою: задано величини: J , І; на підставі співвідношення 4

j rm

l

I eA dr

βμπ

•−

= ∫ l

визначено векторний магнітний потенціал в декартовій та сферичній системах

координат; на підставі співвідношення 1 ( )mH rotμ••

= mA визначено вектор напруженості магнітного поля; на підставі першого рівняння Максвела возначено

132

вектор напруженості електричного поля (1 )mE j ε mH• •

= ω , тобто процедура така J ,

I A H E→ → → . 5. На підставі аналізу отримано для електричного випромінювача (вібратора) одну

складову магнітного поля H ϕ ; та дві складові електричного E θ , E r , але важливою для подальшого розгляду є складові E θ та Hϕ (створюють радіальну складову

вектора Пойнтінга1 1 1r rП E Hϕ ϕθ θ= × ). 6. Формули складових поля елементарного магнітного вібратора отримано на підставі

принципу переставної двоїстості E ϕ , H θ , H r . 7. Залежно від відстані між випромінювачем та точкою спостереження простір можна

умовно поділити на ближню r<< rкр. та дальню зони r>> rкр.=λ/2π. 8. В ближній зоні електромагнітна хвиля не поширюється (це зона індукції) . 0.серП = 9. В ближній зоні електричного вібратора електромагнітне поле є переважно

електричним: 1EбзZ

rε=ω

; 3

1Er

= ; 2

1Hr

= ; 0 0

0

120EwбзZ Z Омμ π

ε> = = (поле

високоомне). 10. В ближній зоні магнітного вібратора електромагнітне поле є переважно магнітним :

HбзZ rμε= ω ; 2

1Er

= ; 3

1Hr

= ; 0 0

0

120HwбзZ Z Омμ π

ε< = = (поле низькоомне).

11. В дальній зоні існує електромагнітне поле(це зона хвильового процесу), у вільному

просторі: 0 0

0wZ μ

ε= ; 1E

r= ; 1H

r= .

12. В проміжній зоні силові лінії поля відокремлюються від вібратора – починає формуватися електромагнітна хвиля.

13. Інтенсивність випромінення елементарних випромінювачів різна в різних напрямах, що показує діаграма спрямованості, для електричного та магнітного вібраторів характеристика спрямованості: ( , ) sinF θ ϕ θ= ; для елемента Гюйгенса ( , ) 1 cosF θ ϕ θ= + .

Далі треба розглянути хвильові явища на границі розподілу двох середовищ.

133

8 ХВИЛЬОВІ ЯВИЩА НА ГРАНИЦІ РОЗПОДІЛУ ДВОХ СЕРЕДОВИЩ

8.1 Основні поняття та закони 8.1.1 Представлення процесів на границі розподілу двох середовищ 8.1.2 Закони Снелліуса 8.2 Похиле падіння електромагнітної хвилі на границю розподілу двох середовищ 8.2.1 Вектор E розташований в площині, яка перпендикулярна до площини падіння 8.2.2 Вектор E розташований у площині падіння (або у площині, паралельній до площини падіння) 8.3 Явище повного внутрішнього відбиття 8.4 Явище повного проходження електромагнітної хвилі. Кут Брюстера 8.4.1 Вектор E розташований у площині падіння (паралельна поляризація) 8.4.2 Вектор E розташований у площині, що є перпендикулярною до площини падіння

8.5 Утворення невідбиваючого середовища 8.6 Висновки

8.1 Основні поняття та закони

8.1.1 Представлення процесів на границі розподілу двох середовищ

Припустимо, що на границю розподілу двох середовищ під кутом ϕ падає плоска ЕМХ (пряма хвиля) – рис. 8.1.

Рисунок 8.1 Процес падіння плоскої хвилі

Вона частково відбивається та проходить в інше середовище. Всі кути - падіння (ϕ ), відбиття ( відϕ ) та заломлення (ψ ) - відраховують від нормалі до границі розподілу.

Площина падіння хвилі - це площина, в якій розміщені нормаль до границі поділу та вектор Пойнтінга.

134

Вектори E та H можуть бути орієнтовані в площині падіння довільно, але в цій площині вони завжди розкладаються на дві складові. Тому окремо розглянемо випадки, коли вектор E розташовано нормально відносно площини падіння, та коли вектор E паралельний площині падіння.

У загальному випадку вектори E та H довільної орієнтації можна отримати як суперпозицію цих двох часткових випадків. Встановимо зв’язок між кутами падіння, відбиття, заломлення та параметрами середовища, а також співвідношення між амплітудами хвиль, що падає, відбивається і заломлюється.

8.1.2 Закони Снелліуса

Нехай на границю розподілу двох діелектриків падає плоска лінійно поляризована хвиля, всі складові якої змінюються за гармонічними законами:

1 11j l

пад myE E e β−=i i

, (8.1-1)

1 22j l

від myE E e β−=i i

, (8.1-2)

2 33j l

зал myE E e β−=i i

, (8.1-3) де l відображає напрямок поширення хвилі.

Згадаємо розв’язок хвильового рівняння, зробивши заміну на l : r

( , ) cos( )lmE t l E e t lα ω β θ−= − + .

При поширенні хвилі в середовищі без втрат (тобто 0σ = та 0α = ) маємо:

( , ) cos( )mE t l E t lω β θ= − + , звідки:

j t j lmE E e eω β−=

i i.

Розглянемо рис. 8.2.

Рисунок 8.2 До визначення законів Снелліуса

135

З креслення (рис. 8.2) можна записати: 1 1 1 sin cosx zl l l x zϕ ϕ= + = + , (8.1-4)

2 2 2 sin cosx zвід відl l l x zϕ ϕ= + = − , (8.1-5)

3 3 3 sin cosx zl l l x zψ ψ= + = + . (8.1-6)

Після підстановки (8.1-4)...(8.1-6) у (8.1-1)...(8.1-3) відповідно отримаємо:

1( sin cos )j x zпад m падE E е β ϕ− +=i i ϕ , (8.1-7)

, (8.1-8) 1( sin cos )від відj x zвід m відE E е β ϕ ϕ− −=i i

2 ( sin cos )j x zзал m залE E е β ψ− +=i i ψ . (8.1-9)

Всі ці складові на границі розподілу (тобто при 0z = ) визначені граничними умовами:

1 2 0zE Eτ τ == . (8.1-10)

Тоді вони матимуть вигляд:

11 2sinsin sinвідj xj x j xmx пад mx від mx залE е E е E еβ ϕβ ϕ β−− −+ =i i i ψ . (8.1-11)

Це співвідношення є справедливим для будь-яких значень x , а це можливо, якщо

показники степенів рівні між собою, тобто:

1 1 2sin sin sinвідбβ ϕ β ϕ β ψ= = . (8.1-12) Із рівності перших двох компонентів (8.1-12) маємо:

sin sin відϕ ϕ= , звідки відϕ ϕ= , (8.1-13)

тобто кут падіння дорівнює куту відбивання - перший закон Снелліуса.

За другим законом Снелліуса - відношення синусів кутів падіння і заломлення обернено пропорційне до відношення коефіцієнтів β відповідних середовищ (це випливає з рівності двох останніх компонентів (8.1-12)):

2

1

sinsin зал

βϕϕ β

= . (8.1-14)

В цьому випадку коефіцієнти β мають зміст коефіцієнтів заломлення : n

2 2

1 1

nn

ββ

= .

136

З урахуванням того, що 1 2σ σ= =σ та кутова частота процесу в обох середовищах однакова (тобто 1 2ω ω= =ω ), з останнього виразу отримуємо:

22 2 2

22 22 2

21 1 1 11 1 1

1

1 12

1 12

nn

ε μ σωωε

ε μββ ε μ

ε μ σωωε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= = =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (8.1-14а)

За умов немагнітного середовища (тобто при 1 2 0μ μ μ= = ), маємо:

22

1 1 1

r

r

nn

2ε εε ε

= = . (8.1-14б)

Зв’язок між амплітудами хвиль, що падають, заломлюються та відбиваються,

встановлюють коефіцієнтами відбиття та заломлення, які мають назву коефіцієнтів Френеля.

Коефіцієнт відбиття хвилі Ri

(від англ. reflection – “відбиття”):

від

пад

ERE

=

ii

i . (8.1-15)

Коефіцієнт проходження хвилі (від англ. transition – “проходження”): Тi

зал

пад

EТE

=

ii

i . (8.1-16)

Визначимо коефіцієнти Френеля через параметри відповідних середовищ з

врахуванням кутів падіння, заломлення та відбиття. Розглянемо два випадки: вектор E перпендикулярний до площини падіння та

паралельний до площини падіння.

Рисунок 8.3 Картина поля з різної орієнтацією вектора E : а - вертикальна; б - горизонтальна

137

Вплив орієнтації векторів на загальну картину поля ілюструє рис. 8.3. Вектори побудовані з використанням принципу дзеркального відображення. Картини поля є різними при різних орієнтаціях векторів E та H , тому слід окремо розглянути ці ситуації.

8.2 Похиле падіння ЕМХ на границю розподілу двох середовищ

8.2.1 Вектор E розташований в площині, яка перпендикулярна до площини падіння

Рисунок 8.4 Процес падіння ЕМХ з вектором E , розташованим перпендикулярно до площини падіння

Як відомо, на границі розподілу двох середовищ значення тангенціальних складових E

в цих середовищах однакове:

1 2E Eτ τ=i i

, тобто на границі розподілу ( ), маємо: 0z =

21

пад від зал

EE

E E E

ττ

+ =ii

i i i. (8.2-1)

За умови відсутності поверхневого струму на границі розподілу, спроектувавши на

вісь x , також маємо:

1 2H Hτ τ=i i

, тобто

( )cosпад від залH H H cosϕ ψ− + = −i i i

, (8.2-2) або

coscos

пад від залH H H ψϕ

− =i i i

. (8.2-2а)

138

З врахуванням w

EHZ

=

ii

i отримаємо з (8.2-2) та (8.2-2а):

1

2

cos

cos

wпад від зал

w

ZE E EZ

ψ

ϕ− =

ii i i

i . (8.2-3)

На підставі (8.1-15) та (8.1-16) після перетворень (8.2-1) і (8.2-3) отримаємо:

1

2

1

cos1cos

w

w

R T

ZR TZ

ψ

ϕ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⎧+ =⎪

⎪⎨⎪ − =⎪⎩

i i

ii i

i

. (8.2-4)

Після розв’язку системи (8.2-4) для вектора E , перпендикулярного до площини

падіння, отримаємо коефіцієнти Френеля (проходження та відбиття відповідно):

2

2 1

2 cos

cos cos

w

w w

ZTZ Z

ϕ

ϕ ψ⊥ =

+

ii

i i , (8.2-5)

2 1

2 1

cos cos

cos cos

w w

w w

Z ZRZ Z

ϕ ψ

ϕ ψ⊥

−=

+

i ii

i i . (8.2-6)

8.2.2 Вектор E розташований у площині падіння (або у площині, паралельній до площини падіння)

Рисунок 8.5 Процес падіння ЕМХ з вектором E , розташованим паралельно до площини падіння

139

Вважаємо, що обидва середовища – діелектрики, та на границі розподілу струму немає.

З рис. 8.5, користуючись граничними умовами, записуємо:

1 2H Hτ τ=i i

,

. (8.2-7) пад відб залH H H+ =i i i

Тангенціальні складові вектора E по обидві сторони границі розподілу також повинні

бути однаковими:

1 2E Eτ τ=i i

, або, як випливає з рисунка 8.5:

( ) cosпад відб залE E E cosϕ ψ− =i i i

. (8.2-8)

Діленням обох частин рівняння (8.2-8) на cosϕ отримаємо:

coscos

пад відб залE E E ψϕ

− =i i i

. (8.2-9)

На підставі (8.2-7) з врахуванням того, що w

EHZ

= , отримаємо рівність:

1

2

wпад відб зал

w

ZE E EZ

+ =

ii i i

i . (8.2-10)

З рівнянь (8.2-9) та (8.2-10) після відповідних перетворень отримаємо:

1

2

1

cos1cos

w

w

ZR TZ

R T ψϕ

ΙΙ ΙΙ

ΙΙ ΙΙ

⎧⎪ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎪⎩

ii i

i

i i . (8.2-11)

Після розв’язання системи рівнянь (8.2-11) для вектора, паралельного до площини

падіння, отримаємо коефіцієнти Френеля (проходження та відбиття відповідно)

2

2 1

2 cos

cos cos

w

w w

ZTZ Z

ϕ

ψ ϕΙΙ =

+

ii

i i , (8.2-12)

1 2

2 1

cos cos

cos cos

w w

w w

Z ZRZ Z

ϕ ψ

ψ ϕΙΙ

−=

+

i ii

i i . (8.2-13)

140

8.3 Явище повного внутрішнього відбиття

Визначимо кут падіння ЕМХ на границю розподілу двох діелектриків, при якому заломлена хвиля відсутня - рис. 8.6. Будемо вважати, що : 1 2ε ε≠ та 1 2 0μ μ μ= = .

Ситуації різні для різних співвідношень між 1ε та 2ε . За другим законом Снелліуса:

2

1

sinsin

r

r

εϕψ ε

= . (8.3-1)

За умови 1 2ε ε> має місце нерівність ϕ ψ< . Оскільки кути ϕ та ψ (рис. 8.6) однозначно зв’язані другим законом Снелліуса, то із

збільшенням кута падіння збільшуватиметься кут заломлення. При деякому куті 0ϕ ϕ= кут заломлення досягне 90 градусів.

Рисунок 8.6 До визначення кута повного внутрішнього відбиття

В цих умовах ЕМХ буде поширюватись лише у приграничному шарі без проникнення в інше середовище. Тобто якщо 0ϕ ϕ≥ можна вважати, що заломлення хвилі відсутнє, а є повне внутрішнє відбиття. Таким чином для sin 1ψ = отримаємо:

20

1sin r

r

εϕε

= . (8.3-2)

Кут, за якого заломлення немає:

20

1arcsin r

r

εϕε

= . (8.3-3)

З (8.3-2) випливає, що явище повного внутрішнього відбиття можливе лише у

випадку 1 2ε ε> . Випадок 1r r2ε ε< неможливий, бо за визначенням функції sin 1ϕ ≤ .

141

8.4 Явище повного проходження ЕМХ. Кут Брюстера

З’ясуємо, за яких умов хвиля, що падає на границю двох середовищ, повністю

проходить в інше середовище без відбиття від границі, тобто 0R =i

, а для двох ситуацій розміщення векторів

1T =i

E відносно площини падіння. Кут падіння хвилі, за якого відсутнє відбиття від границі розподілу, має назву кут

Брюстера.

8.4.1 Вектор E розташований у площині падіння (паралельна поляризація)

Коефіцієнт відбиття у цьому випадку після ділення чисельника та знаменника (8.2-13)

на 1wZi

має вигляд:

1

2

1

2

cos cos

cos cos

w

w

w

w

Z

ZRZ

Z

ϕ ψ

ϕ ψ

ΙΙ

−

=

+

i

ii

i

i

. (8.4-1)

За умови 1 2ε ε≠ та 1 2 0μ μ μ= = маємо:

1 11 1 1 2

12 222 2

w

w

jjZ

jZj

ωμ μωε σ ε ε

εωμ μωε σ ε

+= = =

+

i

i . (8.4-2)

Підставимо у (8.4-1) формулу (8.4-2):

2

1

2

1

cos cos

cos cosR

ε ϕ ψεε ϕ ψε

ΙΙ

−=

+

i. (8.4-3)

У зв’язку з умовою , маємо з (8.4-3): 0RΙΙ =i

2

1cos cos Бр

εψ ϕε

= , (8.4-4)

де Брϕ - кут Брюстера. Наведемо перетворення для знаходження кута Брюстера:

142

2 22

1cos cos Бр

εψ ϕε

= , (8.4-5)

або

2 22

11 sin cos Бр

εψ ϕε

− = . (8.4-6)

На основі другого закону Снелліуса отримаємо:

1

2sin sin Бр

εψ ϕε

= , (8.4-7)

2 21

2sin sin Бр

εψ ϕε

= . (8.4-8)

Скориставшись перетворенням 2 1

21 sin 1 sin Бр

2εψ ϕε

− = − з (8.4-8) та (8.4-6), отримаємо:

2 21 2 2 2

2 1 1 11 sin (1 sin ) sinБр Бр Бр

2ε ε ε εϕ ϕ ϕε ε ε ε

− = − = − , (8.4-9)

або

21 2 1

2 1 21 Бр

ε ε ε sin ϕε ε ε

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, (8.4-9а)

далі

2 2

21 21 22

sin Брε εε εε

⎛ ⎞−− = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ϕ , (8.4-9б)

звідки

2 2

1 2 1 2

1sin1 /Бр

εϕε ε ε

= =+ + ε

. (8.4-9в)

Після перетворень маємо: 2 2

12 22

1 sin cos1 1sin sin sin

Бр Бр

Бр Бр Бр2

ϕ ϕεε ϕ ϕ ϕ

−= − = = , (8.4-9г)

тобто

1 22 Брctgε ϕ

ε= . (8.4-10)

Таким чином кут Брюстера визначають за наступною формулою:

2

1Бр arctg εϕ

ε= (8.4-11)

143

8.4.2 Вектор E розташований у площині, що є перпендикулярною до площини падіння

З аналогічним підходом, як в попередньому пункті, врахувавши R⊥ з (8.2-6), після

перетворень маємо:

2

1

2

1

cos cos

cos cos

Бр

Бр

R

εϕ ψεεϕ ψε

⊥

−=

+

i. (8.4-11)

За умови маємо: 0R⊥ =i

2

1cos cosБр

εϕ ψε

= . (8.4-12)

2 22 2

1 11 sin sinБр

ε εϕ ψε ε

− = − . (8.4-13)

За другим законом Снелліуса:

2

1

sinsin

Брϕ εψ ε

= ,

звідки маємо:

2 21

2sin sin Бр

εψ ϕε

= . (8.4-14)

Підставимо (8.4-14) у (8.4-13):

2 22 2 1

1 1 21 sin sinБр Бр

ε ε εϕ ϕε ε ε

− = − ,

2 22

11 sin sinБр Бр

εϕ ϕε

− = − , (8.4-15)

2

11 ε

ε= або 2 1ε ε= . (8.4-16)

З отриманого співвідношення випливає, що повне проходження електромагнітної хвилі

за умови, коли вектор E є нормальним до площини падіння, спостерігається тільки у випадку 2 1ε ε= , тобто в однорідному середовищі, а це означає, що границі розподілу немає.

8.5 Утворення невідбиваючого середовища

Для виготовлення безлуневих приміщень, в яких, наприклад, випробовують антенні пристрої, потрібні штучні матеріали, які не відбивають електромагнітні хвилі.

144

З формули 2

2 1

w w

w w

1Z ZRZ Z

−=

+(нормальне падіння ЕМХ на границю розподілу) випливає,

що коефіцієнт відбиття від границі розподілу буде дорівнювати нулю лише за умови 2w 1wZ Z= . Ця рівність еквівалентна наступній:

/2 2 1 1/μ ε μ ε= (8.5-1)

На даний час немає ефективної методики синтезу таких середовищ, у яких рівність (8.5-1) виконується у достатньо широкому діапазоні частот.

Потрібно відмітити, що збільшення міри загасання хвиль у середовищі (тобто збільшення кута втрат або коефіцієнта загасання) веде не до зменшення, а до збільшення модуля коефіцієнта відбиття. Дійсно - чим більше значення кута ( / )arctg wδ σ ε= , тим більше значення модуля комплексної діелектричної проникності середовища. Тому при σ →∞ буде . Відповідно 2lim 0wZ = lim 1R = − , тобто середовище з нескінченно великим загасанням веде себе як ідеально відбиваюче.

Практичний метод створення невідбиваючого покриття полягає у використанні ефекту багатократних відбивань. Для прикладу розглянемо середовище, поверхня якого виконана ребристою - рис. 8.7.

Рисунок 8.7 До утворення невідбиваючого середовища

При похилому падінні плоскої ЕМХ в пазах структури відбуватимуться багатократні

відбивання, кожне з яких буде супроводжуватись розсіюванням частини енергії хвилі. Як результат - амплітуда відбитої хвилі є значно меншою за амплітуду хвилі, що падає.

Такому способу компенсацій відбивання притаманний ряд недоліків. Так коефіцієнт відбиття в тій чи іншій мірі залежить від кута падіння та від робочої частоти.

8.6 Висновки 1. За умов падіння ЕМХ на границю розподілу двох середовищ відбувається відбиття

та заломлення хвилі. 2. Перший закон Снелліуса - кут відбиття дорівнює куту падіння: пад відϕ ϕ= . 3. Другий закон Снелліуса - відношення синусів кутів падіння і заломлення обернено

пропорційне до відношення коефіцієнтів заломлення відповідних середовищ:

2 2

1 1

sinsin

пад r

зал r

ϕ β εϕ β ε

= = .

4. Зв'язок між амплітудами хвилі, що падає, відбитої та заломленої хвиль визначають

коефіцієнтами відбиття та проходження (коефіцієнтами Френеля) - Ri

та T . i

145

Коефіцієнт відбиття: від

пад

ERE

=

ii

i .

Коефіцієнт заломлення: зал

пад

EТE

=

ii

i .

5. Коефіцієнти Френеля для випадку, коли вектор E розташований у площині, яка є перпендикулярною до площини падіння:

2

2 1

2 cos

cos cos

w

w w

ZTZ Z

ϕ

ϕ ψ⊥ =

+

ii

i i , 2 1

2 1

cos cos

cos cos

w w

w w

Z ZRZ Z

ϕ ψ

ϕ ψ⊥

−=

+

i ii

i i .

6. Коефіцієнти Френеля для випадку, коли вектор E розташований у площині, яка є

паралельною до площини падіння:

2

2 1

2 cos

cos cos

w

w w

ZTZ Z

ϕ

ψ ϕΙΙ =

+

ii

i i , 1 2

2 1

cos cos

cos cos

w w

w w

Z ZRZ Z

ϕ ψ

ψ ϕΙΙ

−=

+

i ii

i i .

7. Явище повного внутрішнього відбиття має місце лише за виконання умови: 1 2ε ε> .

Кут, за якого заломлення відсутнє: 20

1arcsin r

r

εϕε

= .

8. Кут падіння хвилі, за якого відсутнє відбиття від границі розподілу двох середовищ, має назву кут Брюстера.

9. Для випадку паралельної поляризації: 2

1Бр arctg εϕ

ε= .

10. Для випадку, коли вектор E є нормальним до площини падіння, повне проходження спостерігається тільки у випадку, коли 2 1ε ε= , тобто в однорідному середовищі.

11. Практичний метод створення невідбиваючого покриття полягає у використанні ефекту багатократних відбивань. При цьому використовують середовища, поверхні яких виконано ребристими.

Далі треба розглянути хвильові явища над плоскою ідеальною провідною поверхнею.

146

9 ПОШИРЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ НАД ПЛОСКОЮ ІДЕАЛЬНОЮ ПРОВІДНОЮ ПОВЕРХНЕЮ

9.1 Загальні поняття 9.1.1 Типи хвиль 9.1.2 Поняття рухомої та стоячої хвилі 9.1.3 Фазова та групова швидкості 9.2 Структура електромагнітного поля над ідеальною провідною поверхнею 9.2.1 Вектор E , перпендикулярний до площини падіння 9.2.2 Вектор E ,паралельний площині падіння 9.3 Висновки

9.1 Загальні поняття 9.1.1 Типи хвиль Як відомо (п.6.2), електромагнітні хвилі можна розділити на дві групи. До першої групи

належать ті, що мають тільки поперечні складові - це пари xE - і -yH yE xH , а поздовжні відсутні. Оскільки є тільки поперечні складові, то така хвиля має назву хвиля типу Т або поперечна електромагнітна (ТЕМ).

Однак, як випливає з рівнянь Максвелла в замкнутому просторі можуть існувати і хвилі іншої групи, тобто хвилі, до складу яких входять складові та : якщо 0 , але zH zE zH ≠ 0zE = , або якщо 0 , але 0 . Ці хвилі, відповідно, мають назву поздовжні хвилі типуzE ≠ zH = H , або поперечно-електричні (ТЕ) та поздовжні хвилі типу E , або поперечно-магнітні (ТМ).

Нижче покажемо, яким чином поширюються електромагнітні хвилі над ідеальною провідною поверхнею з виконанням граничних умов.

В залежності від орієнтації вектора E відносно площини падіння, у хвилеводі виникають хвилі або типу Е, або типу Н.

Відзначимо, якщо у хвилеводі передають багаточастотний сигнал (з широким спектром), то кожна гармоніка буде поширюватись зі своїми груповою та фазовою швидкостями.

Порядок хвилі визначають індексами: , , де та - кількість цілих напівхвиль, що існують відповідно вздовж осі

mnE mnH m nx і вздовж осі . Кількість стоячих напівхвиль на стінці

вздовж осі y

x визначає індекс , а вздовж осі - . m y nДля хвилеводу з перерізом у вигляді круга: - m є кількістю цілих стоячих на півхвиль, що укладаються на половині довжини круга; - n є кількістю максимумів поля вздовж радіуса. Щоб побудувати структуру поля хвилі будь-якого порядку необхідно вміти зображувати

хвилі найпростіших типів: , , . Для цього необхідно додержуватись таких правил: 10H 11H 11E- на стінках хвилеводу завжди виконуються граничні умови: 0, 0, 0, 0;n nE E H Hτ τ= ≠ ≠ =

тобто силові лінії вектора E завжди нормальні до стінки хвилеводу, а H - дотичні; - в будь-якій точці простору вектори E та H завжди взаємно перпендикулярні; - силові лінії векторів E для хвиль найпростіших типів починаються і закінчуються на

стінках хвилеводу, а силові лінії векторів H завжди замкнуті самі на себе. У хвилях більш вищих порядків ( ) силові лінії векторів ,m 2n ≥ E також утворюють вихри.

147

9.1.2 Поняття рухомої та стоячої хвилі Нехай на ідеально провідну поверхню падає однорідна плоска поперечна хвиля (хвиля типу

Т). Оскільки глибина проникнення в ідеальному провіднику дорівнює нулю (σ ⇒∞ ):

2 0,δωμσ

= =

хвиля, що падає, повністю відбивається, а це призводить до утворення двох плоских хвиль: такої, що падає та відбитої. Результатний вектор:

.рез пад відП П П= + (9.1-1)

Звернемо увагу на те, що результатний вектор орієнтований паралельно осі . Тобто,

якщо кут падіння z

0ϕ = , то ; а якщо - 0резП ⇒ 090ϕ = резП ⇒ max (рис. 9.1)

Рисунок 9.1 Процес похилого падіння електромагнітної хвилі на ідеальну провідну

поверхню Із зміною ϕ змінюється розподіл складових енергії електромагнітного поля. Розкладемо

вектор Пойнтінга цих двох плоских хвиль: що падає та відбитої уздовж координатних осей:

-пад x пад z падП iП kП= + , (9.1-2)

від x від z відП iП kП= + . (9.1-2а) Умови перенесення енергії вздовж осі x і різні (складові вздовж осі та -

скеровані однаково, а складові вздовж осі

z z z падП z відП

x та - протилежно). В середньому за період вздовж осі перенесення енергії є, а вздовж осі

x падП x відПz x - відсутнє.

Режим, за якого є перенесення енергії - хвильовий режим (рухома хвиля), а режим, за якого немає перенесення енергії - коливальний режим (стояча хвиля) - рис 9.2. Таким чином за умов

0ϕ = утворюється режим стоячої хвилі; - режим рухомої хвилі; - комбінований режим: існують рухома та стояча хвилі.

90ϕ = 0 9ϕ≤ ≤ 0

148

Нехай в момент часу фронт хвилі, що падає, існує у вільному просторі в точці О', а в момент в точціO

0t =t T= ′′ . Якщо Т - період гармонічного процесу, то відстань між точками O′ та

відповідає довжині хвилі у вільному просторі O′′ λ . Довжина хвилі - це мінімальна відстань між двома точками з однаковою фазою. Такі відстані можна показати на осях x і , та позначити

zcλ , рλ - довжини стоячої та рухомої хвиль відповідно.

З’ясуємо, як між собою співвідносяться ці три довжини хвиль.

Рисунок 9.2 До визначення режиму роботи хвиль Із трикутника : ABCΔ cos / cϕ λ λ= . Із трикутника AСBΔ : sin / рϕ λ λ= . Отже маємо:

coscλλϕ

= , (9.1-3)

sinрλλϕ

= . (9.1-4)

З (9.1-3) та (9.1-4) також випливає, якщо 0ϕ = , то рухомої хвилі немає, а якщо - немає стоячої хвилі. Це положення ілюструє рис. 9.3.

90ϕ =

149

Рисунок 9.3 Залежності довжин хвиль від кута падіння 9.1.3 Фазова та групова швидкості Нехай у момент фронт хвилі, що падає, є в положенні t O′ , а через інтервал - tΔ O′′ (рис.

9.4). Згідно з визначенням, фронт однорідної хвилі є поверхнею однакових фаз. Тому зміщення фронту хвилі еквівалентно переносу деякого фазового стану з точки , в точку зі швидкістю у діелектрику

O′ O′′v 1/ εμ= .

Рисунок 9.4 До визначення понять швидкості стосовно електромагнітної хвилі

З розгляду рис. 9.4 випливає, що ця ж швидкість є швидкістю фронту хвилі, яку визначає формула:

1vфрlt

=Δ

. (9.1-5)

Оскільки результатна хвиля зміщується вздовж осі , знаходимо швидкість зміщення

фазового фронту хвилі в цьому напрямку - тобто фазову швидкість: z

150

2 1 2

1

vv

sinфр

фзl l l

t t l ϕ= = =Δ Δ

. (9.1-6)

З формули (9.1-6) маємо, що фазова швидкість перевищує швидкість світла. Ця обставина

не суперечить законам фізики, оскільки поняття фази не зв’язане з процесами перетворення або руху енергії та матерії. Фаза - це математична характеристика стану процесу, яка може змінюватись з будь-якою швидкістю, а також миттєво, тобто з необмежено великою швидкістю. Розглянемо два випадки: кут 0ϕ = , тоді vфз = ∞ - фронт хвилі “пласко” падає на площину, тобто дотикається до неї всіма точками та / 2ϕ π= - фронт хвилі рухається вздовж площини, а фазовий стан у довільній точці на площині змінюється зі швидкістю світла (у вільному просторі).

Розглянемо швидкість руху енергії, яка має назву групова швидкість. Нехай в момент в точці О' маємо певний запас енергії. За проміжок часу

ttΔ ця енергія зміститься в точку О''

вздовж осі зі швидкістю: z

3 31

1v vгрп фр

l llt t l

sinϕ= = =Δ Δ

. (9.1-7)

Ця швидкість не перевищує швидкість світла. Залежності значень швидкостей , ,

від кута падіння

vфр vфзvгрп ϕ зображені на риc. 9.5.

З (9.1-6) та (9.1-7) маємо: 2v v vфз грп фр= . (9.1-8)

Таким чином, у напівобмеженому просторі електромагнітну хвилю характеризують три

швидкості: фронту, фази та групова. У вільному просторі 0 0v 1/фр с ε μ= = .

Рисунок 9.5 Залежність швидкостей від кута падіння v , v , vфз грп фр ϕ

151

9.2 Структура електромагнітного поля над ідеальною провідною поверхнею

Поняття “структура поля” визначає сукупність в просторі векторів E та H результатної

хвилі. Необхідно з’ясувати структуру поля ЕМХ для двох ситуацій: - вектор E хвилі, що падає, перпендикулярний до площини падіння; - вектор E хвилі, що падає, розташований в площині падіння.

9.2.1 Вектор E перпендикулярний до площини падіння

Рисунок 9.6 Складові поля за умови, якщо вектор E перпендикулярний до площини падіння Взаємна орієнтація векторів хвилі, що падає є:

,пад y падE jE= (9.2-1) пад x пад z падH iH kH= − − . (9.2-2) На підставі граничних умов, з врахуванням того, що на поверхні ідеального провідника

маємо: 0Eτ = 0y пад y відE E+ = , (9.2-3)

-y від y падE E= , (9.2-3а)

Знак “мінус” в (9.2-3а) означає, що напрям відбитого вектора змінюється на протилежний.

відE

Відповідно до напряму вектора Пойнтінга відП запишемо відH .

-від x від z відH iH kH= (9.2-4) Результатне значення , знайдемо, додаванням миттєвих значень відповідних

проекцій хвилі, що падає та відбитої хвилі результатного вектора. Нехай у точці маємо: y резE

0x =

152

cosy пад mуE E tω= , (9.2-5)

- cosy від myE E tω= . (9.2-5а)

Тоді, в точках та відповідно: 'O ''O

( ') cos( )y пад myE O E t lω β= + , (9.2-6)

( '' ) - cos( - )y від myE O E t lω β= . (9.2-7) Результатну напруженість E в довільній точці визначимо додаванням (9.2-6) та (9.2-7).

Нагадаємо: ( ) ( )cos cos - -2 sin sinA Aα β α β α+ − =⎡ ⎤⎣ ⎦ β

t

. Тоді:

-2 sin(2 / )siny рез myE E lπ λ ω= . (9.2-8) Із урахуванням, що cosl x ϕ= , маємо:

2 cos-2 sin siny рез myE E xπ ϕ tωλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. (9.2-8а)

Звернемось до співмножника, що не залежить від часу – він визначає амплітуду:

max2 cos-2 siny myE E π ϕ

λ⎛= ⎜⎝ ⎠

x ⎞⎟ . (9.2-9)

Таким чином, амплітуда результатного поля залежить від координати x . На осі x існують

точки, де , що мають назву вузли, та пучності - max 0yE = max 2y mE E= , тобто вздовж осі x сформована стояча хвиля (рис. 9.7)

Рисунок 9.7 Ілюстрація напруженості поля у формі стоячої хвилі

Визначимо значення x , за яких мають місце вузли, тобто (2 cos ) nx nπ ϕ πλ = , де

, звідки: 0, 1, 2, 3...n =

153

2cosn

nx λϕ

= . (9.2-10)

Тоді, довжина стоячої хвилі:

cosсλλϕ

= . (9.2-11)

Для знаходження складових вектора H можна піти двома шляхами: - виконати усі операції, як із вектором E ; - використавши співвідношення між E та H через хвильовий імпеданс. Скористаємось останнім; враховуючи, що середовище – вільний простір, для якого

хвильовий імпеданс – активний : 0 0/ 120wZ μ ε π= = . Визначимо співвідношення між складовими yE та xH .

- -

- sin siny пад пад w

chx пад пад

E E Z RH H ϕ ϕ

= = = , (9.2-12)

де sin

wch

ZRϕ

= ,так званий, характеристичний опір. За аналогією для відбитої хвилі:

- - -sin sin

y від від wch

x від від

E E Z RH H ϕ ϕ

= = = , (9.2-12а)

З (9.2-12) та (9.2-12а), якщо вважати, що chR - дійсна додатна величина (за умов вільного

простору), випливає, що поперечні складові електричного та магнітного полів хвилі, що падає та відбитої, однакові, тобто змінюються за тим самим законом.

Тоді: 2 cos- 2 sin( )siny рез m

x резch ch

E EH xR R

π ϕ tωπ

= = =

2 cos2 sin sin( )sinm

w

E x tZ

π ϕϕ ωλ

= =

2 cos2 sin sin( )sinmH x tπ ϕϕ ω

λ= =

2 cos2 sin( )sinmxH x tπ ϕ ωλ

= . (9.2-13)

Визначимо на підставі граничних умов для тангенціальних складових вектора z резH H на

межі розподілу з ідеальним провідником. Як видно з рис. 9.6 тангенціальна складова після відбиття не змінюється, тобто:

154

z 2 cos-2 cos cos( )sinрез mH H x tπ ϕϕ ω

λ= =

2 cos-2 cos( )sinmzH x tπ ϕ ω

λ= . (9.2-14)

В співвідношеннях між E та H для будь-якої точки поля вздовж осі для конкретного

значення координати маємо додатковий зсув за фазою z

2 /z zβ π λ= . Запишемо співвідношення (9.2-8а), (9.2-13), (9.2-14) з урахуванням додаткового зсуву за

фазою наступним чином:

(2 cos2 sin sinу рез myE )Е x tπ ϕ zω βλ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

; (9.2-15)

(2 cos2 sin sinx рез mxH Н x tπ ϕ )zω βλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− ; (9.2-16)

(2 cos2 cos cosz рез mzH Н x tπ ϕ )zω βλ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (9.2-17)

Побудуємо структуру поля в момент 0t = . Для цього виконуємо наступне: 1) формуємо вирази складових поля уздовж осей x та (9.2-15...9.2-17); z2) умовно визначаємо знаки співмножників уздовж осей x та з урахуванням знаків в

формулах (9.2-15...9.2-17) аргументу z

( )t zω β− :

x zE

HH

− −y

x

z

+ −− +

3) починаємо побудову з осі : (рис. 9.8а); z ( ), ( ), ( )y x zE z H z H z

4) будуємо вздовж осі ( ), ( ), ( )y x zE x H x H x x (рис. 9.8б);

5) перемножуємо складові: ; ; та будуємо відповідні криві на рис. 9.8в;

( ) ( )y yE x E z ( ) ( )x xH x H z ( ) ( )z zH x H z

6) перша перевірка - лінії вектора H замкнуті, друга перевірка - лінії вектора H направлені вздовж межі і є дотичними;

7) будуємо вектори H так само: вони лежать в площині, що перпендикулярна до площини аркуша (рис. 9.8в).

Можна зробити наступний висновок: оскільки силові лінії напруженості магнітного поля мають складові xH та (вектор zH E перпендикулярний до площини падіння) з хвилі типу формується поздовжня хвиля типу

TH , або поперечна електрична хвиля - типу TE .

155

x

zв

z

x

xy

y

z

yH

yH

zE

zE

xE

xE

б

а

Рисунок 9.8 Структура поля за умови, що E перпендикулярний до площини падіння:

а – складові вздовж осі ; б – складові вздовж осі z x ; в - результатна 9.2.2 Вектор E , паралельний площині падіння

Рисунок 9.9 Складові поля за умови, якщо вектор E паралельний площині падіння (в

площині падіння)

156

Нагадаємо - площина падіння є площиною, що містить вектор Пойнтінга та нормаль до границі поділу середовищ. В цій ситуації вектори E та H хвилі, що падає, мають такі складові:

пад yH jH= , (9.2-18)

пад x zE iE k= + E . (9.2-19)

Щоб записати результатні складові, необхідно здійснити ті самі операції, що і в

попередньому пункті. Уздовж осі поширюється рухома хвиля, а уздовж осі z x - сформована стояча хвиля. В цьому випадку вектор H на підставі граничних умов ( 0Hτ ≠ ) на межі поділу має не

нульове значення, його напрям після відбиття не змінюється (рис. 9.9). Тому у формулі для за віссю у резH x повинна бути функція , адже cos cos0 1= ; за часом функція може бути будь-

яка, наприклад також co : s

(2 cos2 cos cosу рез mH Н x tπ ϕ )zω βλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− . (9.2-20)

Складові електричного поля разом з формують рухому хвилю уздовж осі ,

тому вони знаходяться в “фазі” (x резE y резH z

0cрП ≠ ), тобто знову використовуємо функцію : cos

(2 cos2 cos cosx рез mxE )Е x tπ ϕ zω βλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− , (9.2-21)

де sinmx mЕ Е ϕ= . Складова електричного поля разом з вектором утворюють уздовж осі z резE y резH x

стоячу хвилю, тому вони в квадратурі. Для забезпечення відповідного позитивного напряму вздовж осі x виразу передує знак мінус: z резE

(2 cos2 sin sinz рез mE )Е x tπ ϕ zω βλ

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (9.2-22)

де cosmz mЕ Е ϕ= . Далі за визначеними вище правилами виконуємо побудову картини поля: уздовж осі z (рис

9.10а), осі x (рис 9.10б) та загальну (рис 9.10в). Для зазначених складових , ,

знаки вздовж осей у резH x резE z резE

,x z прийняті +. Додатково перевіряємо, щоб лінії поля вектора E „спирались” на межу розподілу (рис 9.10в).

157

Рисунок 9.10 Структура поля за умови, що E паралельний площині падіння: а - вздовж осі ; б - вздовж осі z x ; в - результуюча

Внаслідок падіння на ідеальну провідну поверхню хвилі типу Т формується хвиля типу Е -

поздовжня електрична, поперечна магнітна (TM).

9.3 Висновки 1. Електромагнітні хвилі можна розділити на дві групи. До першої групи належать ті, що

мають тільки поперечні складові - це пари xE - та -yH yE xH , а поздовжні відсутні. Така хвиля має назву хвиля типу Т або поперечна електромагнітна (ТЕМ).

2. Однак, як випливає з рівнянь Максвелла в замкнутому просторі можуть існувати і хвилі іншої групи, тобто хвилі, до складу яких входять складові та : якщо zH zE 0zH ≠

, або 0⇒

⇒0zE = 0zE ≠ zH = . Ці хвилі, відповідно, мають назву хвилі типу H , або поперечні електричні (ТЕ) та хвилі типу E , або поперечні магнітні (ТМ).

в

a

б

zz

y y

x

x

x

yE

yE

xH

xH

zH

zH

z

x

вб

а

Hzрез

урезEEурез

Hxрез

158

3. За умов падіння електромагнітної хвилі типу Т на ідеально провідну поверхню утворюється відбита хвиля, при цьому результатне поле спрямовано вздовж ідеальної провідної поверхні.

4. Результатний вектор П має дві складові: - уздовж осі x (характеризує режим стоячої хвилі); - уздовж осі (характеризує режим рухомої хвилі). z

5. За довільних значень кута ϕ результатне поле має дві складові: рухому, яка поширюється у додатному напрямку осі , та стоячу вздовж осі z x .

6. У напівобмеженному просторі електромагнітна хвиля характеризується трьома швидкостями: фронту , фази vфр v v / sinфз фр ϕ= та групової v v sinгр фр ϕ=

(зауважимо, що ). У вільному просторі 2v v vфз гр фр= vфр с= . 7. За умов падіння ЕМХ на ідеальну провідну поверхню доцільно ввести поняття

характеристичного опору chR , який визначають через хвильовий імпеданс wZ та кут падіння: / sch wR Z inϕ= .

8. Структури полів електричних та магнітних векторів різні за умов різної орієнтації вектора E хвилі типу Т, що падає відносно площини падіння: - якщо вектор E перпендикулярний до площини падіння - в результаті утворюється хвиля типу Н (ТЕ); - якщо вектор E паралельний до площини падіння - в результаті утворюється хвиля типу Е (ТН).

Таким чином створено підґрунтя для вивчення хвилеводів.

159

10 ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ХВИЛІ У РАДІОХВИЛЕВОДАХ

10.1 Необхідність застосування принципово нової елементної бази в діапазонах НВЧ та вище 10.2 Хвилі у хвилеводах з поперечним перерізом прямокутної форми 10.2.1 Поздовжньо-магнітна хвиля – хвиля типу H 10.2.2 Поздовжньо-електрична хвиля – хвиля типу E 10.2.3 Структура струму в стінках і порожнині хвилеводу 10.2.4 Основні співвідношення для хвиль у хвилеводі 10.2.5 Середня потужність, що предається по хвилеводу 10.2.6 Хвиля основного типу. Хвилі вищих порядків 10.2.7 Коефіціент поширення хвилі у хвилеводі 10.2.8 Вибір поперечних розмірів хвилеводу з хвилею основного типу 10.3 Хвилеводи з круглим поперечним перерізом 10.4 Висновки 10.1 Необхідність застосування принципово нової елементної бази в діапазоні НВЧ та вище

Використання в радіотехніці коливань, довжини хвиль яких можна порівняти з

розмірами елементів, викликало необхідність застосування спеціальної елементної бази. Яскравим прикладом є трансформація LC - контуру, сформованого з індуктивного та ємнісного елемента, в об’ємний резонатор (рис.10.1):

Рисунок 10.1 Трансформація LC – контуру в об’ємний резонатор

Дискретні компоненти електричних кіл використовують, орієнтовно, в діапазоні до НВЧ (до 30ГГц), тобто до частот, довжини хвиль яких більше розмірів компонентів. Нагадаємо, що на частотах:

– 30...300 МГц (ДВЧ, VHF) довжини хвиль складатимуть 10...1м; – 300...3000 МГц (УВЧ, UHF) довжини хвиль складатимуть 1м...10см; – 3... 30 ГГц (НВЧ, SHF) довжини хвиль складатимуть 10… 1см.

160

Тобто довжина хвилі – має розмір, що можна порівняти з розміром приладів та елементної бази, тому такі хвилі мають квазіоптичні властивості, зберігають когерентність, властивості когерентності дуже важливі для радіолокації та радіомовлення.

л

На відміну від хвиль НЧ, хвилі НВЧ та вище проходять крізь наносферу без відбиття, що дає можливість організувати зв’язок з космічним простором.

Частоти НВЧ мають настільки широкий діапазон, що в ньому можна розмістити значно більшу кількість каналів зв’язку. Наприклад, при 10 серf ГГц= в смузі , що складає 1% від

300FΔ = MГц

серf , розміститься стільки ж каналів, скільки розміститься в усьому діапазоні до УВЧ.

Зобразимо зміни напруги та струму в залежності від довжини хвилі на НВЧ та вище (рис.10.2):

Рисунок 10.2 Еквівалентні схеми та часові діаграми відповідно: а, б - розімкнутого кола; в, г - замкнутого кола.

Таким чином, із зростанням частоти, вимоги та реалізація елементної бази інші, ніж в

діапазонах частот, за яких довжини хвиль значно більші розмірів елементів. Тому в діапазонаі НВЧ та вище для передачі електромагнітних хвиль застосовують

хвилеводи, які характеризуються: – жорсткою конструкцією та однорідністю вздовж всієї довжини; – відсутністю втрат випромінювання; – значно меншими втратами, ніж в провідниках звичайних ліній; – високою пробивною знатністю (30 кВ/см).

161

10.2 Хвилі в хвилеводах з поперечним перерізом прямокутної форми 10.2.1 Поздовжньо-магнітна хвиля – хвиля типу Н

З аналізу структури хвилі типу “Н” (вектор Е орієнтований до площини падіння

перпендикулярно) випливає, що у вузлових площинах,що віддалені від провідної площини на відстань , граничні умови виконано, і тому в цих площинах можна розташувати ще одну ідеальну провідну площину, паралельну першій, тобто виділити певну структуру поля між площинами. Уздовж осі

mx

x поле характеризується цілим числом m його напівхвиль (варіацій).

Розгорнемо координатну систему таким чином, щоб вісь x стала горизонтальною, вісь – вертикальною, і в першій вузловій площині розташуємо ідеально провідну поверхню,

тобто виділимо поле з однією варіацією (рис.10.3). Перпендикулярно 1, 2 розташуємо ще дві площини 3, 4. На цих площинах виконуються граничні умови. Таким чином отримаємо напрямну систему у вигляді металевої труби з прямокутною формою поперечного перерізу, на стінках якої виконуються граничні умови. Таку систему називають прямокутним радіохвилеводом. Уздовж осі може бути сформовано режим рухомих хвиль, тобто існуватиме режим передачі енергії. Таким чином сформовано хвилю , де індекси вказують порядок хвилі (m - кількість варіацій уздовж осі х, n - уздовж осі y).

y

z10H mnH

Розмір хвилеводу уздовж осі x позначається літерою , уздовж осі a y – літерою . b

Рисунок 10.3 Поле у прямокутному хвилеводі

Якщо хвилевід в цій координатній системі повернути на , то в ньому буде існувати хвиля типу . Якщо поверхню 2 (рис.10.3) розташувати в точках х2, х3,... то у хвилеводі будуть існувати хвилі більш високих порядків .

9001H

20 30 40 0, , ... mH H H H

162

На прикладі хвиль типу розглянемо методику зображення структури поля у хвилеводах. Для цього слід спиратись на положення:

mnH

– ознака хвилі типу – mnH 0, 0z zH E≠ = , а хвилі типу – ; mnE 0, 0z zE H≠ =– у відповідності до значень m та n треба виявити розподіл поля уздовж поперечних

координатних осей хвилевода; – слід пам`ятати, що E H⊥ в буд-якій точці простору;

– , вектор 0, 0E Eτ = ≠n E орієнтовано за нормаллю до стінки хвилеводу; , вектор 0, 0nH Hτ ≠ = H орієнтовано за дотичною до стінки хвилеводу; – вектор H має вихровий характер, тобто завжди замкнутий сам на себе; – вектор E може бути як розімкнений (біля стінок хвилеводу), так і замкнутий.

Тому в прямокутному хвилеводі хвиля типу “Е” з будь-якими нульовими індексами не може існувати.

Побудову починаємо із зображення епюр у відповідності зі значеннями m і n та з силових ліній в поперечній площині хвилеводу.

Для хвилі типу “Н” (наприклад, Н10) (рис.10.4) побудову починаємо з вектора E . Виходячи з того, що n = 0, складова вздовж осі y не змінюється, але щільність ліній складової

yE

yE уздовж осі x змінюється, що відповідає умові m = 1. Виділяємо у хвилеводі два допоміжних перерізи, які розташовані на відстанях від торця і один від одного на довжину рухомої напівхвилі / 2λ . На цій відстані уздовж осі z фаза хвилі змінюється на протилежну.

Розглянемо зображення вектора H у перерізах x - y та -z y . Враховуючи, що 0Hτ ≠ , тому складова вектора xH "повертає" уздовж вертикальних стінок і прямує вздовж z, тобто стає складовою . zH

Пройшовши відстань / 2λ , у першому допоміжному перерізі фаза хвилі змінюється на протилежну.

Вектор H поширюється вздовж осі y еквідистантно, що відповідає n=0. При цьому всередині зображуються концентричні кола.

Рисунок 10.4 Структура поля для хвилі типу 01H

163

Аналогічно будують структуру хвиль інших типів. Нехай, наприклад, потрібно показати структуру хвилі у хвилеводі прямокутного перерізу. Вектор 11H E у даному випадку змінює свій напрям радіально, бо 0Eτ = , але 0nE ≠ , оскільки вектор H

перпендикулярний до вектораE , то і він матиме подібну структуру (рис.10.5).

n=1

y

а

m=1

z

x

b

2λ

m=1

Рисунок 10.5 Структура поля для хвилі типу Н11 10.2.2 Поздовжньо-електрична хвиля – хвиля типу E

На підставі аналізу структури поля хвилі типу “Е” , як і у випадку хвилі типу “Н”, у

вузлових площинах складові xE або в площинах пучності складові виконуються умови, тотожні граничним, тому будь-яку з них можна замінити ідеально провідною поверхнею, яка паралельна площині yОz. Очевидно, що на них повинні виконуватися граничні умови. Оскільки , а 0 , то вектор

yH

0=nH Hτ ≠ H , який проходить через точку x=0, повинен, утворюючи складову xH замикатись через складову , яка проходить через точку x=x1.

Оскільки вектор yH

E перпендикулярний векторуH , то за наявності складової xH з`являється складова , при чому внаслідок дотримання граничних умов . yE 1, 1m n≥ ≥

Методика побудови структури поля хвилі аналогічна. Особливість у тому, що

побудову силових ліній слід починати з вектора mnE

H . Оскільки вектор H завжди вихровий, а для хвилі типу він розташований у

поперечній площині, то у базовому перерізі силові лінії вектора mnE

H матимуть вигляд замкнутої фігури (рис.10.6). При цьому граничні умови та вимоги m=1 та n=1 виконуються автоматично (самі собою).

164

Вектор E починається і закінчується на стінках хвилеводу, перпендикулярний вектору H у кожній точці і утворює поздовжню складову zE . Складова zE на стінках хвилеводу дорівнює нулеві, а її максимальна амплітуда – у центрі хвилеводу.

y

n=1

а

m=1

z

2λ

x

b

n=1

m=1

Рисунок 10.6 Основні фрагменти структури поля хвилі 11E

10.2.3 Структура струму в стінках і порожнині хвилеводу Згадаємо перше рівняння Максвелла

.пр змrotH J J= + З нього випливає, що поява вихрового магнітного поля зумовлена струмами

провідності і зміщення. Густина струмів зміщення визначається швидкістю зміни напруженості електричного

поля (4. 2-13а):

.змEJt

ε ∂=∂

Звідси випливає, що лінії густини струму зміщення змJ та вектора мають однакову форму, а між ними в одній і тій же точці простору та в один і той же момент часу має місце фазовий зсув на (що відповідає просторовому зсуву на

Е

90 / 4λ ), а у точках, що віддалені на / 2λ у напрямку розповсюдження, вони знаходяться у фазі. Таким чином, за структурою хвиль поля у хвилеводі будуємо структуру ліній густини струмів зміщення (рис.10.7).

У стінках хвилеводу існують струми провідності прJ ,пов`язані з вектором кількісно

та якісно. На основі граничних умов

H

прH Jτ = та першого рівняння Максвела, з якого

випливає, що , побудувавши лінії векторів прH J⊥ H та спроектувавши їх на стінки хвилеводу, можна зобразити лінії струмів провідності.

Розглянемо розгортку хвилеводу з хвилею типу (рис.10.8). На основі аналізу структури густини струмів провідності можна дізнатися про структуру поля у хвилеводі.

10H

165

Знання розподілу струмів у стінках хвилеводу необхідні для виготовлення хвилеводно- щілинних антен, вимірювальних ліній та інших технічних пристроїв, для реалізації яких в стінках хвилеводу необхідно створювати випромінюючі щілини.

Рисунок 10.7 Струми зміщення у прямокутному хвилеводі з хвилею типу 10H

Рисунок 10.8 Розгортка хвилеводу з хвилею типу та струми провідності в ньому 10H

166

10.2.4 Основні співвідношення для хвиль у хвилеводі Розглянемо процес передачі енергії електромагнітного поля у хвилеводі. Нехай на

ідеальну провідну поверхню падає хвиля під кутом ϕ . Напрямок поширення хвилі задається вектором падП , а напрямок поширення відбитої хвилі - вектором відбП (рис.10.9).

Рисунок 10.9 Поширення хвилі у хвилеводі

Якщо на відстані від цієї поверхні розміщена інша провідна поверхня, то і від неї відбудеться відбиття. Отже, процес поширення хвилі у хвилеводі полягає у послідовному її відбитті від протилежних стінок.

1x

Розглянемо основні співвідношення, які характеризують процес поширення хвиль у хвилеводах, на прикладі хвилі типу . 0mН

При побудові хвилеводу координати вузлових площин фіксовані: mx

2cosm

mx a λϕ

= = ,

звідки

cos .2m

aλϕ = ( )10.2 1−

З формули (10.2-1) бачимо, що, на відміну від вільного простору, кут ϕ пов`язаний з

довжиною хвилі. Для хвиль типу критична довжина хвилі, при якій припиняється процес передачі

енергії : 0mН

( )02

кр maH

mλ = , ( )10.2 2−

для хвиль типу : 0mН

( )02

кр mbHn

λ = . ( ) 10.2 2а−

У загальному випадку для хвиль типу та : mnH mnE

2 2

2кр

m na b

λ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. ( )10.2 3−

167

Із співвідношень (10.2-2) та (10.2-3) випливає, що критична довжина хвилі залежить від поперечних розмірів хвилеводу і порядку хвилі, який визначається індексами m та n.

Запишемо зв’язок хвильових чисел h та g, відповідно поздовжнього та поперечного: sinh β ϕ= , cosg β ϕ= ,

2 2h g β+ = . У хвилеводі можна збуджувати хвилю з крλ λ< , при цьому реалізується умова 0ϕ > ,

при якій забезпечується прцес передачі енергії у хвилеводі. На основі формул (10.2-2) – (10.2-3) формулу (10.2-1) представимо у вигляді:

'

cosкр

λϕλ

= ( )10.2 4−

Визначимо фазову та групову швидкості поширення хвилі у хвилеводі. Застосовуючи

формули (9.1-6) та (10.2-4), отримаємо:

v21 ( )

ф

кр

cλλ

=−

, ( )10.2 5−

v 2)(1кр

гр с λλ−⋅= . ( )10.2 6−

З формул (9.1-3) та (10.2-4) визначимо довжину рухомої хвилі вздовж повздовжньої осі

хвилеводу:

2

1кр

рλλλλ

=⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )10.2 7−

З формули можна визначити характеристичний опір хвилеводу для хвиль

типу : (9.2 12− )

mnН

2)/(-1)( крwmnch ZHZ λλ= . ( )10.2 8− З формули можна визначити характеристичний опір хвилеводу для хвиль

типу : (9.2 23− )

mnE

2)/(-1)( крwmnch ZHZ λλ= . ( )10.2 9−

Закон зміни електричних та магнітних складових поля хвилі типу на основі формул ( ) , ( ) та

0mH9.2 16− 9.2 18− ( )10.2 2− - ( )10.2 4− :

-2 sin sin( - )ррез mymE E x ta

zπ ω β= , ( )10.2 10−

168

2 sin sin( - px рез xmmH H x ta

)zπ ω β= , ( )10.2 11−

-2 cos cos( - )pz рез zmmH H x ta

zπ ω β= , ( )10.2 12−

де 2 /p pβ π λ= ,

21-( / )крxm mH H λ λ= ,

( / )крzm mH H λ λ= .

Аналогічним чином можна отримати складові поля для хвиль типу , а складові хвиль вищих порядків можуть бути визначені на основі аналізу рівнянь Максвелла.

0nH

10.2.5 Середня потужність, що передається по хвилеводу

Розглянемо середню потужність, що передається по хвилеводу. Встановимо залежність

середньої потужності хвилі , що передається вздовж стінки хвилеводу через поперечний переріз з розмірами а та b. Запишемо загальну формулу середньої потужності:

серP

0 0

12

а b

cер mP П dS= ∫ ∫ , ( )10.2 13−

тут . dS kdxdy=

У загальному випадку амплітудне значення вектора Умова-Пойтінга:

( ) ( ) ( )m m m ym zm zm ym zm xm xm zm xm ym ym xmП E H i E H E H j E H E H k E H E H= × = − + − + − ( )10.2 14−

Спочатку розглянемо хвилю типу , а потім отримані результати узагальнимо для хвиль інших типів. Врахуємо, що у структурі хвиль типу присутні складові, що представлені співвідношеннями (10.2-10)–(10.2-12), тому використовуючи правило векторного перемноження ортів

0mH

0mH

, ,i j k , зведемо співвідношення (10.2-14) до вигляду:

ym xmП kE H= − , ( )10.2 15−

де

xa

mEE mmyπsin2−= , ( )10.2 16−

0( )ym

mxch m

EH

Z H= − . ( )10.2 17−

Підставляючи (10.2-16) та (10.2-17) у (10.2-15), а потім у (10.2-13), після інтегрування

отримаємо для хвилі типу : 10H

2

2 1 .4m

W крсер

abP EZ

λλ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )10.2 18−

169

Для хвилі типу вищезгадана формула матиме вигляд: 11H

2

2 21 ( / ) 1-( / ) .8

mкр

wcеp

EP ab b aZ

λ λ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (10.2-18а)

Для хвилі типу : 11E

2

2( / ) -18

кркр

mcеp

w

EP abZ

.λ

λ λλ

= (10.2-18б)

З формул (10.2-18)–(10.2-18б) випливає, що при інших рівних умовах середня

потужність хвилі, що передається по хвилеводу, тим більша, чим більше значення крλ . Для більшості хвилеводів а>b. Найбільш критичною довжиною хвилі 2кр aλ =

характеризується хвиля типу . Отже, використовуючи цю хвилю, можна передати максимальну потужність.

10H

10.2.6 Хвиля основного типу. Хвилі вищих порядків

Отже, від порядку хвилі залежить значення критичної довжини хвилі крλ . Враховуючи

умову а>b, за формулою ( побудуємо шкалу розподілу )10.2 3− крλ (рис10.10).

Рисунок 10.10 Шкала розподілу крλ хвиль різних типів

Для збудження хвилі заданого типу довжина хвилі джерела повинна бути менше крλ . Хвилі з найбільшим крλ у своєму класі називають хвилями нижчих порядків. Серед хвиль типу хвилею нижчого порядку є , а серед хвиль типу - mnH 10H mnE 11E .

Хвилі та з однаковими значеннями mnH mnE крλ називаються виродженими. Хвиля, яка серед усіх типів хвиль характеризується найбільшим значенням крλ ,

називається хвилею основного типу. При збудженні у хвилеводі хвилі заданого типу робоча довжина хвилі джерела повинна вибиратися з співвідношення:

. .кр ближ кр збуджλ λ λ< < Так, при збудженні хвилі типу Н10 робоча довжина хвилі згідно з умовою

)()( 1020 HH λλλ << вибирається за критерієм а<λ <2а.

b2 a a2 крл

відсіканняобласть

21

21HE

11

11HE

10H20H

01H

170

10.2.7 Коефіцієнт поширення хвилі у хвилеводі Згадаємо, що процес поширення хвилі характеризується комплексним коефіцієнтом:

p pk jα β= +i

, де pα - коефіцієнт загасання; pβ - коефіцієнт фази.

Визначимо залежність pα і pβ від розмірів хвилеводу. Нехай складова поля вздовж напрямку поширення хвилі описується як:

( ) 0

p zE z E e α−= , ( )10.2 19−

а середня потужність, відповідно:

( )0

2 .р zcеp cеpP z P e α−= ( )10.2 20−

В процесі поширення хвилі величина середньої потужності спадає за законом:

0

22 2р zсерр cер р сер

dPP e P z

dzαα α−= − = − ( ) ,

звідки ( )( )

/2сер

рсер

dP z dzP z

α = − . ( )10.2 21−

Швидкість зменшення потужності залежить від втрат та пропорційна периметру

поперечного перерізу хвилеводу, помноженого на деякий коефіцієнт пропорційності : 1k

( ) ( )1 .серdP zk a b

dz− = + ( )10.2 22−

Але за (10.2-18)–(10.2-18б) ( ) 2 ,серP z k ab= ( )10.2 22а−

тоді

3 3

1.р

aa b bk kab a

α++

= = ( )10.2 23−

Із отриманого співвідношення випливає, що загасання у хвилеводі зменшується при

збільшенні розмірів поперечного перерізу. Крім того, загасання залежить від частоти. Збіль-шення частоти, тобто зменшення довжини хвилі, супроводжується збільшенням кута ϕ :

c

кркр

fλ

= , cosкр

λϕλ

= .

Відповідно зменшується кількість точок відбиття на одиницю довжини хвилеводу – це зумовлює зниження коефіцієнта загасання. При подальшому зростанні частоти ростуть вихрові струми в стінках хвилеводу і пов'язані з цим теплові втрати, тому коефіцієнт

171

загасання збільшується. Для двох хвилеводів з однаковими розмірами b, але різними розмірами a1 і a2 коефіцієнт загасання pα буде різним (рис.10.11).

Рисунок 10.11 Графік залежності pα від частоти f

α

fкр=c / λкр

a1

a1> a2

f

αр

Встановимо тепер залежність коефіцієнта фази pβ від розмірів поперечного перерізу

хвилеводу. За визначенням: 2

pp

πβλ

= ,

враховуючи , отримаємо: (10.2 7− )

2 2-p крβ β β= , ( )10.2 24−

де кр

кр лр

в2

= – коефіцієнт фази у вільному просторі при критичній довжині хвилі, а 2πβλ

=

– коефіцієнт фази у вільному просторі для довжині хвилі λ . Якщо крβ β> , то значення pβ – дійсне; якщо крβ β< , то pβ – уявна величина.

Хвилеводи, що збуджуються на довжинах хвиль крλ λ> , називаються хвилеводами у режимі відсікання.

10.2.8 Вибір поперечних розмірів хвилеводу з хвилею основного типу

Основні вимоги, яким повинні задовольняти хвилеводи: – максимальна потужність, що випромінюється, при мінімальних розмірах; – простота збудження; – стійкість площини поляризації.

Першим двом вимогам задовольняє хвиля типу . У відповідності до середня потужність тим більша, чим вище значення критичної довжина хвилі

10H ( )10.2 18−

серP крλ . Хвиля має найбільшу критичну довжину, найпростішу структуру, і для її збудження можуть бути використані найбільш прості засоби.

10H

Якщо розмір або , то площина поляризації хвилі може змінюватись на , при цьому хвиля переходить у хвилю - цього допускати не можна, тому при

b a> b a= 9010H 01H

172

збудженні хвилі робоча довжина хвилі джерела повинна задовольняти умові 10H

01(кр H )λ λ> , тобто 2bλ > . Звідси випливає, що вертикальний розмір хвилеводу обирається із співвідношення:

0 /b 2λ< < . ( )10.2 25−

Звичайно, обирають 0, 45b λ≈ . Неприпустиме також збудження хвилі , тому

робоча довжина хвилі повинна задовольняти другій умові: 20H

( ) ( )20 10кр крH Нλ λ λ< < , ( )10.2 26−

яке можна представити у вигляді:

2a aλ< < ( )10.2 26a−

З цих нерівностей випливає вибір горизонтального розміру:

/ 2 .aλ λ< < ( )10.2 27−

Таким чином, стійкість площини поляризації хвилі гарантується при виконанні

нерівності . a b>Розмір широкої стінки хвилеводу можна суттєво зменшити, якщо в порожнині

хвилеводу розташувати діелектричну пластину з 1rε > товщиною , і якщо , то довжина хвилі у хвилеводі:

d ad =

( ) ( )2 2.

/ /1

p

r кр кр

r

rλ ελλε λ λ λ λ

ε

= =−

−

( )10.2 28−

10.3 Хвилеводи з круглим поперечним перерізом Уявімо собі, що хвилевід з круглим перерізом отриманий при деформації прямокутного

хвилеводу. Проілюструємо це перетворення (рис.10.12):

Рисунок 10.12 Іллюстрація переходу від прямокутного до круглого хвилеводу

Y H10 крH10

X

11крH10 H

Y

X

173

Відповідно, хвиля – це хвиля у прямокутному хвилеводі, а хвиля – хвиля у

круглому хвилеводі. Як видно з рис.10.12, вертор 10H 11

крH

E хвилі має форму дуги, що повністю

відповідає граничним умовам: лінії вектора 11крH

E підходять до стінок хвилеводу по нормалі. Вектор H при цьому залишається перпендикулярним вектору E в будь-якій точці простору, а тому форма ліній вектора H також змінюється.

Розглянемо перетворення хвилі прямокутного хвилеводу в відповідну хвилю круглого хвилеводу (рис.10.13).

21H

Y21Н 31

крH

b

b82

7

1

654

3

0 X 12

3

4

5

6

7

8

1n= 1n=

2m= 3m=

Рисунок 10.13 Перехід від хвилі типу до хвилі типу 21H 31крH

При побудові структури поля в круглому хвилеводі доцільно:

– в прямокутному хвилеводі позначити характерні точки, які відображають уявно введені провідні поверхні;

– перенести ці точки на круглий хвилевід, поділивши його на елементарні хвилеводи нестандартної форми;

– зобразити лінії векторів E та H ; – підрахувати кількість цілих півхвиль на півколі та знайти значення індекса (у

розглянутому випадку ); m

3=m– підрахувати кількість максимумів напруженості поля вздовж напрямку радіуса

поперечного перерізу та знайти значення ідекса (у розглянутому випадку ). n 1=n

Проілюструємо взаємну узгодженість хвиль та . Хвиля характеризується осьовою симетрією, а тому використовується в хвилеводних трактах з перерізами, що обертаються (рис.10.4).

11E крE01крE01

X

11E крE01bY

a

Рисунок 10.14 Перехід від хвилі типу 11E до хвилі типу крE01

174

В круглому хвилеводі може існувати особлива хвиля , яка не має аналога в 01крH

прямокутному хвилеводі (рис.10.15). Так хвиля 01крE єдина серед хвиль всіх типів, при якій в

стінках хвилеводу немає поздовжніх струмів, а лінії струмів провідності є замкнутими прJсамі на себе.

крл

кр

кр

E

H

11

01

крE02

крE01

R413.R612.R641.R141.

крH11

X

Z

Y

λв / 2

Рисунок 10.15 Структура поля хвилі типу 01крE

Проілюструємо розподіл критичних хвиль для хвилеводів круглого поперечного

перерізу (рис. 10.16):

Рисунок 10.16 Розподіл критичних хвиль для хвилеводів з круглим поперечним перерізом

В розглянутому випадку коефіцієнти при R визначаються відповідними значеннями функції Бесселя. Із рис.10.16 видно, що для хвилеводів з круглим поперечним перерізом хвилею основного типу є хвиля . 11

крH

10.4 Висновки 1. В діапазоні НВЧ та вище, для передачі електромагнітних хвиль використовується

принципово інша елементна база – радіохвилеводи . 2. Ознакою хвилі типу є mnH 0zH ≠ , 0zE = , а ознакою хвилі типу –

. mnE

0, 0z zE H≠ =

175

3. Відповідно до граничних умов, вектор E завжди перпендикулярний до стінок хвилевода, а вектор – дотичний. H

4. Відповідно до першого рівняння Максвела, вектор H у хвилеводі завжди має вихровий характер, а вектор E може бути як замкненим, так і розімкненим.

5. Лінії вектора густини струму зміщення у хвилеводі співпадають за формою з лініями вектора , але між ними має місце фазовий зсув на в одній і тій же точці простору та в один і той же момент часу.

E o90

6. Відповідно до граничних умов, лінії вектора H завжди перпендикулярні лініям прJ . Лінії струму провідності та струму зміщення утворюють замкнений контур.

7. Процес передачі електромагнітної енергії у хвилеводі буде мати місце при умові крλ λ< , коли забезпечуються співвідношення 0ϕ > .

8. Критична довжина хвилі крλ , при якій припиняється процес передачі енергії у хвилеводі для хвилі заданого типу:

2 2

2кр

m na b

λ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

9. Максимальна потужність випромінюється хвилею типу , яка є хвилею основного типу.

10H

10. Коефіціент загасання у хвилеводі pα залежить від розмірів поперечного перерізу хвилевода a і b та від частоти f . Коефіціент фази у хвилеводі:

2 2p крβ β β= − .

Хвилеводи, що збуджуються на довжинах хвиль крλ λ> (при цьому крβ β< ), називаються хвилеводами у режимі відсікання

11. Хвилевід з круглим поперечним перерізом можна отримати при деформації прямокутного хвилевода (рис.10.12).

12. В круглому хвилеводі існує особлива хвиля типу , яка не може існувати в прямокутному хвилеводі.

01крE

Перейдемо до розгляду ліній передач, їх параметрів та методів визначення параметрів

ліній передач.

176

11 ЛІНІЇ ПЕРЕДАЧІ

11.1 Теоретичні засади 11.2 Параметри ліній передачі 11.3 Графічний метод визначення параметрів лінії передачі. Діаграма Сміта 11.4 Висновки

11.1 Теоретичні засади

Лінії передачі використовують для передачі електромагнітної енергії з однієї точки до

іншої. Наприклад: радіо або телевізійний передавач, фідер, антена, навколишній простір і відповідно приймальна антена, фідер і телевізійний приймач; регістр зсуву і елемент пам'яті комп'ютера; гідроелектростанція та підстанція за сотні кілометрів від неї, тощо.

Покажемо, що існує аналогія між однорідною лінією передачі (ОЛП) та однорідною плоскою хвилею (ОПХ). Поширення сигналів в ОПХ і ОЛП визначають як поперечні електромагнітні хвилі типу «Т» (ТЕМ), оскільки вектори E H і зорієнтовані перпендикулярно до напряму поширення, тобто в поперечній площині. Схожість в результатах – наслідок того, що в обох випадках "працює" хвиля типу «Т». Однак, для ліній передачі більш природньо визначати напругу та струм. Саме для цих величин складемо рівняння, розв'яжемо їх, знайдемо коефіциєнт поширення, та коефіцієнти відбиття. Далі порівняємо отримані результати із рівняннями Максвелла.

лRСкладемо модель елемента лінії з питомими параметрами активного опору , індуктивності лL лC лG, ємності і провідності витоку ; zΔ - елемент довжини лінії. У цьому випадку - відповідно питомі величини на одиницю довжини лінії, тобто їх одиниці виміру:

лллл GCLR ,,,[ ] [ ] [ ] [ ]мСммФмГнмОм ,,, .

177

Рисунок 11.1 Фрагмент моделі лінії передачі електромагнітної енергії. Припустимо, що поширення здійснюється в лінії у напрямку осі z. Розглянемо відрізок

довжини , комірку, що містить опір zΔ ΔлR z , індуктивність ΔлL z , провідність ΔлG z і ємність , як показано на рисунку 11.1. Така комірка має однаковий вигляд з обох сторін. Розділимо

елементи навпіл для отримання симетричного кола, тобто розташуємо половину активного опору провідності та половину індуктивності з різних сторін відносно елементів та

лC zΔ

лC zΔ ΔлG z . Напруга хвильового процеса між провідниками є функцією від i t , наприклад: z

cos( )mU U t zω β ψ= − + . (11.1-1)

–

+ +

–

1/ 2 ΔлR z

ΔлC z

1/ 2R Δz л 1/ 2 ΔлL z 1/ 2 ΔлR z

I I+ Δ

U U+ Δ U ΔлG z

В комплексній формі:

178

j z jm mU U e U e e j zβ ψ β−= = − . (11.1-2)

Запишемо баланс напруг даного кола:

( ) ( )( )2 2 2 2л л л лR z L z R z L zU j I j I I Uω ωΔ Δ Δ Δ

= + + + + Δ + + ΔU , (11.1-3)

або

( ) (2 2л л

л лR LU R j L I j

zω

ωΔ ) I= − + − + ΔΔ

. (11.1-4)

З першого та другого рівнянь Максвелла складемо рівняння для складових хвилі типу «Т», а також напруги й струму в лінії передачі, відповідно:

xy

dE j Hdz

ωμ= − ( л лdU R j L Idz

ω= − +, ) ; (11.1-5)

( )yx

dHj E

dzσ ωε= − + ( л л

dI G j C Udz

ω= − + , ) ; (11.1-6)

Порівняння цих формул вказує на аналогію між такими парами величин: та ; xEU I та

yH ; л лR j Lω+ та μ ; та лG σ ; та ε . лC

Граничні умови для та однакові, так само і для U mxE I та , тобто розв'язок двох yH

рівнянь для лінії можна одержати на основі відомого рішення рівнянь поля , тобто за kzx mxE E e−=

аналогією . kzmU U e−=

( )k j j jα β ωμ σ ωε− = + = +Константа поширення для однорідної плоскої хвилі для лінії ( )(л л лk j R j L G j Cα β ω ω− = + = + +передачі )л .

Довжина хвилі, як і для попередніх співвідношень, визначають як відстань, що відповідає зсуву фази на π2 рад. Отже,

βπλ 2

= . (11.1-7)

Фазову швидкість також визначають як:

фзωυβ

= (11.1-8)

і цей вираз справедливий для однорідної плоскої хвилі та для ліній передачі.

Для ідеальних кіл без втрат ( 0)л лR G= = л лk j j L Cβ ω= = . Отже

1

л лфз L C

υ = . (11.1-9)

За виразом для напруженості магнітного поля:

kzmxmy

W

EH eZ

−=

запишемо аналогічне для хвилі струму:

kzmm

л

UI eZ

−= , (11.1-10)

звідки випливає, що хвильовий опір лінії також аналогічний (див. (11.1-5) та (11.1-6)). лZ WZ

Оскільки

лл

л л

R j LZ

G j Cωω

+=

+WjZj

ωμσ ωε

=+

, тоді л . (11.1-11)

Якщо однорідна плоска хвиля із одного середовища падає на границю розподілу з іншим

середовищем, то цей процес можна охарактеризувати коефіцієнтом відбиття R . За умови вертикального падіння ( 0ϕ = ):

2 1

2 1

x відW W

W W x пад

EZ ZRZ Z E

−= =

+. (11.1-12)

Для хвилі напруги, за умов вертикального падіння, коефіцієнт відбиття дорівнює:

2 1

2 1

л л ві

л л па

Z Z UR

Z Z U−

= =+

д

д

. (11.1-13)

Коефіцієнт стоячої хвилі має вигляд, аналогічний для поля в просторі:

1

1

Rs

R

+=

− . (11.1-14)

Нарешті, якщо за умови z>0, то з відношення до отримаємо: mxE myH2WW ZZ =

1

11вх

j l j lmx

W W j l j lmx z l

E e R eZ ZH e R

β β

β

−

−=−

+ ⋅= = ⋅

− ⋅

1

1e β , (11.1-15)

де - довжина лінії. lВикористовуючи формулу (11.1-12) та формулу Ейлера, маємо:

2 1 1 1 2 1 1 11

2 1 1 1 2 1 1 1

( )(cos sin ) ( )(cos sin )( )(cos sin ) ( )(cos sin )вх

W W W WW W

W W W W

Z Z l j l Z Z l j lZ ZZ Z l j l Z Z l j l

β β β ββ β β

+ + + − −= ⋅

+ + − − − β. (11.1-16)

Після математичних перетворень:

179

2 1 11

1 2 1

( ),

( )вх

W WW W

W W

Z jZ tg lZ ZZ jZ tg l

ββ

+ ⋅= ⋅

+ ⋅ (11.1-17)

де l - довжина лінії. і тоді вхідний імпеданс лінії:

)()(

121

1121 ltgjZZ

ltgjZZZZ

лл

ллллвх β

β⋅+⋅+

⋅= , (11.1-18)

для z>0.

180

що є відношенням U до I за умови 2лл ZZ =lz −= , якщо

Зазвичай лінії передач закінчуються імпедансом навантаження , наприклад, антеною, нZ

вхідним вузлом телевізійного приймача чи підсилювача в телефонній лінії. Тому, вхідний імпеданс зв умови можна записати так: lz −=

( ) .( )вх

н лл л

л н

Z jZ tg lZ ZZ jZ tg l

ββ

+ ⋅= ⋅

+ ⋅ (11.1-19)

Ці рівняння використовують для аналізу ліній передач за відомих параметрів Rл, Lл, Gл та

Cл.

11.2 Параметри ліній передачі

Лінії передач виконують важливі функції у процесі поширення енергії електромагнітних

коливань від джерела до кола навантаження, тому параметри ліній передач суттєво впливають на якість функціонування радіотехнічних систем. В області низьких частот лінією передачі можуть бути звичайний провід чи пара проводів. Але з підвищенням частоти електромагнітних коливань в такій лінії зростають втрати внаслідок емісії електромагнітного поля провідниками. Тому в діапазоні надвисоких частот необхідно використовувати лінії передач спеціальних типів.

Розглянемо три основних типа лінії передачі:

– коаксіальна (рис. 11.2, а); – двопровідна (рис. 11.2, б); – планарна (рис. 11.2, в).

Рисунок 11.2 Види ліній передачі: а - коаксіальна; б - двопровідна; в – планарна.

a

μεσ ,,d

b μεσ ,,

прσ t

d

прσ

μεσ ,,

c

прσ

a

в а б

Основні параметри ліній передачі наведено в таблиці 11.1, де – питома ємність, – лС лL

питома індуктивність, – питома провідність, – питомий опір, – хвильовий опір, – лG лR лZ highL

повна високочастотна індуктивність. Таблиця 11.1 Параметри ліній передач

Тип лінії передачі

181

Харак-теристика

Коаксіальна Двопровідна Планарна

)/ln( adπε

dbε2

ln( )b aπε (a « d) С л

лL abln

2πμ

adln

πμ

bdμ (a « d)

)ln(2

abπσ

dbσ

( / 2 )arch d aπσ лG

прaδσπ1

bδσ21 1 1

2 пр a bπδσ⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( « a) лR ( « b)δ δ

abln

21

εμ

π bd

εμ1

2darcha

μπ εлZ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

baab 11

2ln

2δ

πμ

2 2darcha a

μ δπ

⎡ ⎤⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ highL ( « a) δ

Лінія електропередач промислової частоти втрачає частину своєї потужності на емісію в

навколишній простір, але частота настільки мала (50, 60Гц), що ці втрати непомітні. До речі, від емісії можна позбутися, розмістивши дріт в металевому екрані, але це непрактично, тому що при таких струмах та напругах в мережах потрібні дуже великі, важкі та дорогі екрани. Саме тому використовують “відкриті лінії” - без екранування.

На вищих частотах (декілька кілогерц) емісія досить помітна. Але її можна зменшити, використовуючи двопровідну лінію передачі, як це робиться при телефонному зв`яку на невеликі відстані. Однак при подальшому збільшенні частоти, емісія стає дуже великою через втрати енергії. На частотах від декількох кілогерц до декількох гігагерц електромагнітні сигнали та електромагнітна енергія звичайно передаються по коаксіальних лініях, тобто по провідникам, розміщеним всередині циліндричного зовнішнього екрану.

Тобто, в області низьких частот ємнісно-індуктивний коливальний контур є резонансною системою генератора електромагнітних коливань. На надвисоких частотах, через паразитні випромінювання, добротність такого контуру може знизитись практично до нуля. Ця обставина обумовлює необхідність використання в діапазоні НВЧ особливих типів резонансних систем – об’ємних резонаторів, в основі яких лежать хвильові лінії передач (див. розділ 12).

11.3 Графічний метод визначення параметрів лінії передач. Діаграма Сміта

Розрахунки різноманітних пристроїв НВЧ, що входять у хвилеводний тракт, пов’язані з

розв’язанням складних рівнянь і громіздкими обчисленнями. З метою спрощення вирішення цих задач можуть використовуватись наглядні графічні методи.

Для графічних розрахунків розроблено спеціальні діаграми, що являють собою графічне зображення певних рівнянь. В техніці НВЧ найбільш широко використовують кругову діаграму Сміта.

Діаграма Сміта являє собою графічне зображення коефіцієнта відбиття і вхідного опору. З виразу (11.1-13) випливає, що коефіцієнт відбиття:

1

1

1 12 (від н

пад н

нj Z j ZU Z ZR RU Z Z

е еβ ϕ− −−= = =

+⋅ 2 )β ,

Rде - модуль коефіцієнта відбиття;

- фаза коефіцієнта відбиття в перерізі до якого підключено навантаження хвилевода; нϕ

12н zϕ ϕ β= − - фаза коефіцієнта відбиття в будь-якому перерізі хвилевода. З формули (11.1-19) відомо, що вхідний опір:

( ) .( )ββ

+ ⋅= ⋅

+ ⋅вх

н лл л

л н

Z jZ tg lZ ZZ jZ tg l

Графіки зображено в комплексній площині. Для зручності використання дійсна вісь

напрямлена зверху вниз, а уявна вісь – справа наліво. Початок координат співпадає з центром діаграми (рис. 11.3). Радіус-вектор точки М визначає модуль, а кут ϕ - фазу коефіцієнта відбиття.

ϕr2

r1

rM

-jx

y

Рисунок 11.3 Вигляд система координат на комплексній

площині для побудови діаграми Сміта На діаграмі (рис. 11.8) нанесені чотири види графіків: - лінії модуля коефіцієнту відбиття; - лінії фази коефіцієнту відбиття; - лінії нормованого реактивного опору; - лінії нормованого активного опору. Діаграма дозволяє визначити: - коефіцієнт відбиття; - КСХ (коефіцієнт стоячої хвилі); - КРХ (коефіцієнт рухомої хвилі); - опір в даному перерізі хвилеводу;

182

- різницю фаз в перерізах хвилеводу; - нормовану відстань між перерізами хвилеводу. Застосування нормованих величин опору і довжин відрізків хвилеводу, дозоляє

використовувати діаграму для будь-яких значень опорів на будь-якій частоті. Нормований опір отримують шляхом ділення на хвильовий опір даного хвилеводу:

'X X

Z R jXZZ Z

±= = = ±' ',R jX (11.3-1)

де - опір хвилеводу. XZ

Довжина хвилеводу нормують шляхом ділення на довжину хвилі в хвилеводі:

'λ

=x

ll , (11.3-2)

- довжина хвилі в хвилеводі. де λxЗа умови відсутності втрат, в лінії передачі амплітуди падаючої і відбитої хвилі від перерізу

до перерізу незмінні. Тому в будь-якому перерізі значення модуля коефіцієнта відбиття R є величиною незмінною, а фаза змінюються від перерізу до перерізу. Отже, переміщення точки спостереження вздовж осі хвилеводу відповідає переміщенню точки М вздовж кола радіусом R .

R0 R≤ ≤

183

Відомо, що 1, тому лінії представляють собою концентричні кола (рис. 11.4).

y

jx

00,2

0,5

1

2

5

Рисунок 11.4 Вигляд ліній модуля коефіцієнта відбиття на круговій діаграмі Сміта

0R = 1R = Мінімальне коло відповідає режиму рухомої хвилі, а максимальне ( ) – режиму стоячої хвилі. На діаграму наносять лінії не модуля коефіцієнта відбиття, а КСХ або КРХ, що розраховують за формулами:

1

1

Rs

R

+=

− , (11.3-3)

111

R

s R

−=

+ (11.3-4)

відповідно.

Шкала для вимірювання КРХ від 0 до 1 і для КСХ від 1 до нанесені на дійсній

(вертикальній) осі. Фази коефіцієнта відбиття змінюються на 360

∞

2xλо на відстані, що дорівнює .

Тому один оберт на діаграмі відповідає переміщенню вздовж хвилеводу на відстань 2

λ= xl , а в

нормованих величинах 'λ

= =x

ll 0,5 . Лінії фази являють собою радіальні прямі. Зазвичай їх не

наносять, а для відліку використовують шкалу-лінійку, що нанесена навколо діаграми (рис. 11.8). Лінії фази являють собою радіальні прямі (рис. 11.5 ).

y

jx

ϕ= 180ο

ϕ= 0

135ο

90ο

45ο315ο

270ο

225ο }Uмин

}Uмакс

Рисунок 11.5 Вигляд ліній фази на круговій діаграмі Сміта

На всіх діаграмах будують шкали нормування відстаней (від 0 до 0,5), які відповідають певній фазі. Наносять дві шкали, одну для відліку відстаней в напрямку до генератора, а іншу – до кола навантаження. Початок шкал суміщають з перерізом мінімуму напруги ( ), адже його точніше можна знайти експериментально. min180 ,o пад відU U U Uϕ = = = −

Лінії нормованого активного опору являють собою ексцентричні кола з центрами на дійсній осі. Максимальне коло відповідає

'R' 0R = . Точка ' 0R = на дійсній осі відповідає короткому

замиканню хвилевода. Мінімальне коло відповідає розкриву провідника ( 'R = ∞ ), воно вироджене в точку, де дотикаються всі інші кола (рис. 11.6).

Рисунок 11.6 Лінії нормованого активного опору на круговій діаграмі Сміта

184

185

sВідомо, що , , тому для відліку використовують шкали КРХ та КСХ. min' 1/R s= max'R = 'R

Лінії нормованого реактивного опору є дугами кіл (рис.11.6). Від’ємні значення відповідають ємнісному опору, а додатні – індуктивному. Шкали для відліку нормованих опорів (від 0 до і від 0 до ) нанесені на кінцях дуг.

'X

∞ −∞

Рисунок 11.6 Лінії нормованого реактивного опору на круговій діаграмі Сміта

Кругова діаграма повних опорів одночасно є круговою діаграмою повних провідностей, але потрібно враховувати відмінності, що пов’язані з фізичною сутністю процесів. Оскільки 1Y Z= і

, то точка відповідає розриву провідника, а точка 'G = ∞' 0G =Y G jB= ± - короткому замиканню. Тому перерізи та порівняно з діаграмою опорів переставлені місцями (рис. 11.7). Тобто додатна реактивна провідність відповідає ємності, а від’ємна – індуктивності. Нормують провідність шляхом множення на хвильовий опір хвилеводу:

maxUminU

' 'XY Y Z G jB '.= ⋅ = ± (11.3-5)

Тобто, якщо на діаграму опорів нанесена точка , то для визначення необхідно на тому

ж колі КРХ (КСХ) знайти діаметрально протилежну точку. 'Z 'Y

y

jx} Uмин

Uмакс} +

Y

Z

Рисунок 11.7 До пояснення відмінностей між діаграмою повних опорів і діаграми повних провідностей.

На рисунку 11.8 зображено загальний вигляд діаграми Сміта.

Рисунок 11.8 Діаграма Сміта

Для розв’язку задач розрахунку довгих ліній передач за допомогою діаграми Сміта необхідно дотримуватись такої послідовності дій:

1) за умовою задачі зробимо «прив’язку» лінії, що розглядається, до кругової діаграми,

тобто знайдемо на діаграмі точку, що відповідає відомому перерізу лінії; 2) рухаємось вздовж лінії постійних значень КСХ (КРХ) на круговій діаграмі від відомого

перерізу до перерізу, в якому необхідно визначити шукану величину (при цьому рух вздовж лінії постійних значень КСХ (КРХ) на діаграмі Сміта відповідає рухові вздовж лінії, що розглядається);

3) визначаємо на круговій діаграмі нормоване значення шуканої величини. Від нормованого

значення перейти до фактичного значення шуканої величини.

186

Нижче наведені приклади розрахунку параметрів лінії передачі за круговою діаграмою Сміта.

Приклад Задача 1

Дано: Відрізок лінії довжиною 3 см з хвильовим опором 70xZ Ом= навантажено на опір

. Довжина хвилі . Визначити вхідний опір лінії. (26 40)нZ j Ом= − 10x смλ =

Стратегія:

' нн

X

ZZZ

=1. Обчислюємо .

2. Знаходимо на діаграмі опорів точку, що відповідає нормованому опору навантаження . 'нZ

' 'λ

= =x

lZ l3. Обчислюємо нормовану відстань .

4. За діаграмою Сміта знаходимо точку 'вхZ , що відповідає вхідному опору лінії. '= ⋅вх вх xZ Z Z5. Обчислюємо фактичне значення вхідного опору .

Розв’язок:

1. Визначаємо нормоване значення навантаження лінії:

26 40' 0,37 0,57.70 70

нн

X

ZZ jZ

= = − = − j

7

Здійснюємо «прив’язку» до кругової діаграми Сміта: знаходимо на діаграмі опорів точку, що відповідає нормованому опору навантаження . Ця точка лежить на перетині двох ліній: лінії постійного нормованого активного опору і лінії постійного нормованого реактивного опору

'нZ' 0,37нR =

' 0,5нX = − . Проводимо через дану точку радіальну пряму і по круговій шкалі нормованих відстаней фіксуємо положення перерізу навантаження на круговій діаграмі (точка на рис. 11.9). 'нZ

0

2

0,25

Zвх

Zн

3,71,7

Рисунок 11.9 До розв’язку задачі 1.

2. З точки вздовж кола постійного КСХ, що дорівнює 3,7 , перемістимось в сторону генератора за часовою стрілкою на нормовану відстань:

'нZ

187

3' ' 0,310λ

= = = =x

lZ l .

Так ми отримаємо точку 'вхZ - вхідний опір лінії.

3. В точці 'вхZ перетинаються лінія постійного нормованого активного опору 'вхR 2= і лінія постійного нормованого реактивного опору ' 1,вхХ 7= . Таким чином, нормований вхідний опір лінії:

' 2 1,7.= +вхZ j

Знаходимо фактичне значення вхідного опору лінії:

' 2 70 1,7 70 (140 119) .= ⋅ = ⋅ + ⋅ = +вх вх xZ Z Z j j Ом

Відповідь: (140 119) .= +вхZ j Ом

Задача 2 Дано:

Яким повинен бути опір навантаження відрізка ліній довжиною 0,97 λ= ⋅ xl , щоб вхідний опір лінії був лише активним і дорівнював 25 .= =вх вхZ R Ом Хвильовий опір лінії

100 .=хZ Ом Стратегія:

' = вхвх

x

ZZZ

1. Обчислюємо .

2. Знаходимо на діаграмі опорів точку , що відповідає вхідному опору лінії. 'вхZ3. Знаходимо на діаграмі опорів точку , яка відповідає нормованому опору навантаження. 'нZ4. Обчислюємо фактичне значення опору навантаження 'н н XZ Z Z= ⋅ .

Розв’язок:

1. Визначаємо нормоване значення вхідного опору лінії:

25' ' 0,2100вх вхZ R= = = 5.

Відмічаємо на діаграмі опорів точку , що відповідає вхідному опору лінії (рис. 11.10). Проводимо через точку радіальну пряму і фіксуємо положення початку лінії.

'вхZ'вхZ

188

Рисунок 11.10 До розв’язку задачі 2.

2. Вздовж кола постійного КРХ, що дорівнює 0,25, яке проходить через точку , переміщуємось в сторону навантаження (проти годинникової стрілки) на нормовану відстань . Відмічаємо точку , яка відповідає нормованому опору навантаження.

'вхZ

' 0,97=l 'нZ3. Зчитуємо нормований опір навантаження:

' 0,352 0,625.нZ j= −

Знаходимо фактичне значення опору навантаження:

0,352 100 0,625 100 (35,2 62,5) .нZ j j Ом= ⋅ − ⋅ = −

Відповідь: (35,2 62,5) .нZ j Ом= −

11.4 Висновки

1. Лінії передачі використовують для передачі електромагнітної енергії з однієї точки до іншої. Наприклад: радіо або телевізійний передавач, фідер, антена, навколишній простір і відповідно приймальна антена, фідер і сам телевізійний приймач; регістр зсуву і елемент пам'яті комп'ютера; гідроелектростанція та підстанція за сотні кілометрів від неї.

2. Існує аналогія між однорідною лінією передач (ОЛП) і однорідною плоскою хвилею(ОПХ), що поширюється як електромагнітна хвиля типу “Т”.

3. З першого та другого рівнянь Максвелла отримують рівняння для складових хвилі типу «Т», а також для напруги й струму в лінії передачі, відповідно:

xy

dE j Hdz

ωμ= − ( )л лdU R j L Idz

ω= − +, ;

( )yx

dHj E

dzσ ωε= − + ( )л л

dI G j C Udz

ω= − +, .

Порівняння цих формул вказує на аналогію між такими парами величин: та ; U xE I

189

та ; yH л лR j Lω+ та μ ; та лG σ ; та лC ε .

190

4. Граничні умови для U та однакові, так само і для mxE I та , тобто розв'язок двох рівнянь для лінії можна одержати на основі відомого рішення рівнянь поля

, тобто за аналогією .

yH

kzx mxE E e−= kz

mU U e−=

5. Фазову швидкість визначають як:

фзωυβ

= .

Для ідеальних кіл без втрат [ ( 0)л лR G= = л лj L Cβ ω= =k j ]: 1

фзл лL C

υ = .

6. Лінії передач навантажені імпедансом , наприклад, антеною, вхідним вузлом

телевізійного приймача чи підсилювача в телефонній лінії. Вхідний імпеданс при можна записати як:

нZ

lz −=

( ) .( )вх

н лл л

л н

Z jZ tg lZ ZZ jZ tg l

ββ

+ ⋅= ⋅

+ ⋅

7. Існують три основні лінії передач:

- коаксіальна; - двопровідна; - планарна.

8. Основні параметри лінії передачі: – питома ємність, – питома індуктивність, – питома провідність, – питомий опір, – хвильовий опір, – повна високочастотна індуктивність .

лС лL лG

лR лZ highL

9. Для графічних розрахунків лінії передачі розроблені спеціальні діаграми, що являють собою графічне зображення певних рівнянь. В техніці НВЧ найбільш широко використовують кругову діаграму Сміта.

10. Діаграма Сміта - це графічне зображення чотирьох величин: - модуля коефіцієнту відбиття; - фази коефіцієнту відбиття; - нормованого реактивного опору; - нормованого активного опору.

11. Діаграма дозволяє визначити: - коефіцієнт відбиття по напрузі; - КСХ (коефіцієнт стоячої хвилі); - КРХ (коефіцієнт рухомої хвилі); - опір в даному перерізі хвилеводу; - різницю фаз в перерізах хвилеводу; - нормовану відстань між перерізами хвилеводу.

Як встановлено в розділі 10 для передавання електромагнітної енергії в діапазонах НВЧ та вище необхідні спеціальні конструкції, тобто необхідні нові підходи до реалізації таких систем, тому далі слід визначити використання в цих діапазонах спеціальних засобів. Саме тому розглянемо об’ємні резонатори та інші елементи НВЧ техніки.

12 РЕЗОНАНСНІ СИСТЕМИ ТА ІНШІ ЗАСОБИ В ДІАПАЗОНІ НАДВИСОКИХ ЧАСТОТ

12.1 Порожнисті об’ємні резонатори 12.2 Коаксіальні об’ємні резонатори 12.3 Квазістаціонарні об’ємні резонатори 12.4 Інші пристрої тракту НВЧ 12.4.1 Елементи ліній передачі 12.4.2 Феритові пристрої НВЧ 12.5 Висновки

Основним видом коливальних або резонансних систем в діапазоні НВЧ є пристрої, які називають об'ємними резонаторами. Як правило, це системи з розподіленими параметрами, основою яких є конкретний вид ліній передачі.

Об’єм резонатора може бути обмежений поверхнями поділу діелектрик-метал (порожнисті металеві резонатори) або поверхнями поділу діелектриків з різними проникностями (діелектричні резонатори). Металеві об’ємні резонатори не мають втрат на випромінювання у зовнішній простір. Об’ємний резонатор – частина простору, яка обмежена з усіх боків поверхнями поділу середовищ або частково геометричними поверхнями в просторі, за якими поле резонатора різко загасає.

Поширеними і найпростішими для аналізу є резонатори, виготовлені з відрізків хвилеводів, ліній, які закорочені з двох боків, або з відрізків діелектричних хвилеводів. За формою такі резонатори є прямокутними або циліндричними. Резонатори спеціальної форми (сферичні, тороїдальні) мають інколи зосереджені елементи настройки. Наприклад, тороїдальний резонатор настроюють ємністю між круглими дисками. Відкриті резонатори (плоскі) або резонатори з профільними дзеркалами мають поле, яке зосереджене біля вісі резонатора, а поле коливань не проникає за деяку циліндричну поверхню, що охоплює цю вісь у вільному просторі.

Енергію електромагнітного поля вводять і виводять з об’єму резонатора за допомогою хвилеводів або ліній, використовуючи елемент зв’язку лінії (хвилеводу) і резонатора у вигляді отвору, витка чи штиря (вібратора). Прохідний резонатор має два елементи зв’язку: з боку живлення і з боку навантаження. Непрохідний резонатор має лише один елемент зв’язку з лінією живлення. Резонатор з елементами зв’язку стає навантаженим за рахунок впливу зв’язків з генератором і навантаженням. Навантаженим вважають також резонатор, заповнений діелектриком із втратами. Найпростішим для аналізу є ненавантажений резонатор, який характеризують власними параметрами.

12.1 Порожнисті об'ємні резонатори

Розглянемо хвилевід прямокутного перерізу, по якому поширюється, наприклад, хвиля типу . Помістимо з одного торця хвилеводу короткозамкнену стінку (рис.12.1). У відповідності з граничними умовами падаюча хвиля відіб’ється від цієї стінки, і при цьому по нормалі до стінки вздовж осі встановиться режим стоячих хвиль. На стінці утвориться вузол напруженості електричного поля. Такі вузли будуть періодично повторюватись в будь-якій точці вздовж осі . В точку помістимо ще одну короткозамкнену стінку, виділивши цілу кількість стоячих півхвиль. Позначимо символом = 0, 1, 2,... порядковий номер вузла вздовж осі х, при цьому d - відстань від початку координат до цього вузла. Оскільки граничні умови не порушуються, то при відсутності теплових втрат в стінках

10H

z

d z dl

191

всередині утвореного об'єму виникнуть незагасаючі коливання типу або , які існують в режимі резонансу. Якщо ж другу стінку встановити на відстані z < d, то виконання граничних умов буде автоматичним, але амплітуда результуючого коливання не досягне можливого максимуму, тому коливання не буде резонансним.

mnlH mnlE

Рисунок 12.1 Прямокутний об’ємний резонатор

Отриману систему називають прямокутним об'ємним резонатором з поперечними розмірами а, b і d. Очевидно, можна зменшити довжину хвилі збудженого коливання таким чином, що в резонаторі вздовж розміру d буде вміщуватись дві, три і більше цілих півхвиль. Отже, такий резонатор характеризуєть дискретною множиною резонансних довжин хвиль. Їх називають власними довжинами хвиль резонатора 0λ , а відповідні їм частоти 0f - власними частотами.

Встановимо функціональну залежність власних довжин хвиль резонатора від його геометричних розмірів і порядку коливань, які збуджуються. Для цього спочатку знайдемо значення фазового зсуву ϕΔ між падаючою і відбитою хвилями в будь-якій точці осі в залежності від номера вузла:

z

2 (2 1l l ) ,ϕ π π πΔ = + = + (12.1-1)

де l - порядковий номер вузла вздовж осі z; а в залежності від розміру d:

2 ,хвdϕ β πΔ = + (12.1-2)

де хвβ - коефіцієнт фази хвилі у хвилеводі. У співвідношеннях (12.1-1) і (12.1-2) додатковим фазовим зсувом π враховується зміна

напряму поширення падаючої хвилі при відбитті від першої короткозамкненої стінки. Оскільки ліві частини у виразах (12.1-1) і (12.1-2) рівні між собою, то рівні і їхні праві частини. Звідси:

хвld

β π= . (12.1-3)

При 0λ λ= коефіцієнт хвβ дорівнює значенню, яке визначає вираз ( )10.2 24− . Тоді:

2

0

2 2( ) ( )ld

2π ππλ λ

= − . (12.1-4)

192

Підставляючи у формулу (12.1-4) значення крλ , яке визначає вираз (10.2-3), отримаємо:

0 2 2

2

m n la b d

λ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. (12.1-5)

Таким чином, у прямокутному об'ємному резонаторі із заданими поперечними

розмірами можуть збуджуватись коливання різних порядків на відповідних довжинах хвиль . Власні частоти такого резонатора визначають рівністю: 0λ

2 2

00

1 ,2

c m nfa b dλ εμ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2l (12.1-6)

деε і μ - абсолютні діелектрична та магнітна проникності заповнення порожнини резонатора.

Структура поля хвиль або може бути визначена при заданому значенні за відомим типом хвилі ( або ) в хвилеводі. Методика побудови структури поля в резонаторі така ж, як і у випадку з хвилеводом, але є деяка відмінність, що полягає в необхідності врахування граничних умов на всіх стінках резонатора.

mnlH mnlE l

mnH mnE

На відміну від хвильового процесу в хвилеводі коливальний процес у резонаторі характеризують фазовим зсувом 90° між поперечними складовими векторів H і E в будь-якій точці об'єму. Тому при зображенні структури поля в об'ємному резонаторі доцільно: - зобразити в прямокутному або круглому хвилеводі структуру поля або ; mnH mnE - на зображеній структурі лінії вектора E зсунути відносно ліній вектора H на відстань

4хвλ вздовж напрямку поширення;

- позначити вздовж осі z задану кількість l цілих півхвиль. Основною характеристикою об'ємного резонатора є його навантажена добротність , нQяка визначається відношенням накопиченої енергії W , що пропорційна його об'єму V abd=

2

8myE

W abdε

= , (12.1-7)

до енергії втрат . Остання складається з енергії, яка розсіюється на стінках резонатора у вWвигляді тепла , і енергії , втраченої в зовнішніх колах зв'язку, тобто в навантаженні: 0W зовнW

0вW W Wзовн= + . (12.1-8)

Тому добротність навантаженого резонатора:

2нв

WQW

π= . (12.1-9)

Дослідимо величину, обернену добротності, - загасання. За визначенням:

193

01 1 1 .2 2

зовн

н

W WQ W Wπ π

= + (12.1-10)

Перший доданок характеризує власну добротність резонатора, не зв'язаного із

зовнішніми колами:

00

2 WQW

π= . (12.1-11)

Другий доданок визначає зовнішню добротність резонатора, яка характеризує втрати

енергії в колах навантаження:

2зовнзовн

WQW

π= . (12.1-12)

Зв'язок трьох видів добротності очевидний:

0

1 1 1 .н зQ Q Q= +

овн

(12.1-13)

При зменшенні добротність навантаженого резонатора знижується. Власна

добротність об'ємних резонаторів може досягати значень . Внаслідок зв'язку із зовнішніми колами добротність навантаженого резонатора нижче на порядок і більше.

зовнQ нQ310 10− 4

нQ 0QІз співвідношення (12.1-7) випливає, що накопичена в резонаторі енергія пропорційна

його об'єму з деяким коефіцієнтом пропорційності : 1k

1W k V= . (12.1-14)

Втрати енергії в стінках резонатора визначають поверхневим ефектом, і вони залежать від площі стінок з коефіцієнтом пропорційності : S 2k

0 2W k S= . (12.1-15)

Тому власна добротність резонатора (12.1-11) може бути описана рівністю:

0VQ kS

= , (12.1-16)

де 1

2

kk k= .

Таким чином, при одному й тому ж об'ємі V власна добротність тим більша, чим менша площа стінок, які обмежують об'єм V. Наприклад, найменшим значенням відношення площі поверхні до об'єму характеризують сферу. При інших рівних умовах найбільшу добротність буде мати резонатор сферичної форми.

0Q

194

12.2 Коаксіальні об'ємні резонатори Припустимо, що двопровідна лінія передачі довжиною навантажена з боку входу і

виходу на комплексні опори і (рис.12.2). l

1Z 2Z

Рисунок 12.2 Структура двопровідної лінії передачі

Нехай 11 1

jZ Z e ϕ= , а 22 2

jZ Z e ϕ= . Тоді умову резонансу в лінії можна записати у вигляді:

1 22 2l ,nϕ β ϕ π+ + = (12.2-1)

де 0

2πβ λ= , 1, 2...n =

Розглянемо перший частковий випадок, коли 1 2, 0ϕ π ϕ= = . Умова 1ϕ π= може бути технічно реалізована при закорочуванні входу двопровідної лінії, а умова 2 0ϕ = - при розімкнутому виході. Для випадку, який розглядається, рівність (12.2-1) перетворимо до вигляду:

0

4 2l nλ

1.= − (12.2-2)

Розв'язок рівності (12.2-2) відносно резонансної довжини хвилі 0λ дає формулу:

04 ,

2 1l

nλ =

− (12.2-3)

яка визначає значення 0λ в коаксіальній лінії довжиною l .

Якщо рівність (12.2-2) записати відносно l , то отримуємо вираз:

02 1 ,

4nl λ−

= (12.2-4)

який визначає геометричну довжину лінії, резонуючої на довжині хвилі 0λ . При 1n = ,

0min 4

l λ= , таку лінію називають чвертьхвильовим коаксіальним резонатором. Резонатор

реалізують на основі коаксіальної лінії передачі відповідної довжини, закороченої з одного торця (рис. 12.3).

195

Рисунок 12.3 Реалізація чвертьхвильового коаксіального резонатора

В такому резонаторі може збуджуватись коливання типу Т із структурою поля,

методика визначення якої аналогічна розглянутим раніше випадкам. Недоліком чвертьхвильового коаксіального резонатора є відносно низька добротність, зумовлена втратами на випромінювання з боку відкритого виходу лінії. Це випромінювання можна зменшити, збільшивши довжину зовнішнього провідника. При цьому продовження зовнішнього провідника утворює круглий хвилевід, в якому хвиля типу Т не поширюється.

Розглянемо другий частковий випадок, при якому 1 2ϕ ϕ π= = . Очевидно, що технічно його можна реалізувати, закоротивши коаксіальну лінію передачі з обох боків. Із виразу (12.2-1) знаходимо:

02 ;

1l

nλ =

− (12.2-5)

0( 1) .2

nl λ−= (12.2-6)

При мінімальна довжина лінії становить 2n = 0min 2

l λ= , таку систему називають

півхвильвовим коаксіальним резонатором (рис. 12.4).

Рисунок 12.4 Реалізація півхвильового коаксіального резонатора

Оскільки у нього обидва торці замкнені і випромінювання через них не відбувається, то

він має більш високу добротність, ніж чвертьхвильовий резонатор. Виконавши одну із стінок

196

у вигляді торцевого плунжера, можна забезпечити плавне регулювання 0λ . Аналогічно можна отримати резонансні системи на базі симетричних смужкових ліній передачі. 12.3 Квазістаціонарні об'ємні резонатори

В техніці НВЧ крім розглянутих багаточастотних об'ємних резонаторів застосовують одночастотні – квазістаціонарні резонатори. В основу їх конструкції покладено паралельний коливальний контур. Резонансну частоту контура визначають формулою Томпсона

01

2f

LCπ= .

Для переходу в діапазон НВЧ необхідно зменшити значення L і C . Зменшення ємності забезпечують скороченням площі обкладок конденсатора і збільшенням відстані між Sними. При досягненні технічно можливої межі для подальшого збільшення 0f слід зменшити індуктивність L , з'єднавши витки котушки не послідовно, а паралельно. В результаті еволюції контуру із зосередженими параметрами L і отримаємо контури з розподіленими Cпараметрами. Ці контури є основою однокамерних і багатокамерних резонаторів. Один з варіантів конструкції однокамерного квазістаціонарного резонатора зображено на рис. 12.5.

Рисунок 12.5 Однокамерний квазістаціонарний резонатор

Його резонансну частоту визначають формулою Томпсона, де:

ln2

AL ha

μπ

= ; (12.3-1)

4 lnSC hd d

ε ε= +h

. (12.3-2)

Однокамерні резонатори використовують у вимірювальних приладах і генераторах

діапазону НВЧ, які містять в собі клістрони. При реалізації більш потужних генераторів для збільшення значення накопиченої

енергії необхідно застосовувати багатокамерні резонатори, які використовують, наприклад, в магнетронах. Фрагмент багатокамерного резонатора зображено на рисунку 12.6.

197

Рисунок 12.6 Багатокамерний квазістаціонарний резонатор

Кількість камер для забезпечення нерозривності структури поля повинна бути парною.

У вузькому плоскопаралельному проміжку шириною d зосереджено електричне поле, камери зв'язані між собою магнітним полем. Резонансна частота всієї системи дорівнює резонансній частоті окремої камери, яку визначають формулою Томпсона. Зображений багатокамерний резонатор використовують як анодний блок магнетрона. В його порожнині розміщують циліндричний катодний блок. В проміжку між блоками обертається потік електронів. Ємність резонатора визначають ємністю щілинного зазору:

щhC ld

ε= (12.3-3)

та ємністю зазору між анодом і катодом:

2 lnакh DC

dε .π

= (12.3-4)

Індуктивність щілини визначають співвіношенням:

,2щ

ldLh D

μ=+

(12.3-5)

індуктивність окремої резонансної камери:

2

.2(2 )к

DLh Dπμ=+

(12.3-6)

Добротність багатокамерного резонатора за інших рівних умов вища від

однокамерного. Магнетрони, які виготовлені на основі багатокамерних резонаторів, застосовують як генератори НВЧ потужністю порядку 103 кВт, наприклад, в системах радіолокації, телерадіометрії.

198

12.4 Інші пристрої тракту НВЧ 12.4.1 Елементи ліній передачі Навантаження. Навантаження призначені для створення в лінії передачі (ЛП) режиму

рухомої хвилі (модуль коефіцієнта відбиття |Г|= 0 – узгоджені навантаження) і режиму змішаних хвиль (|Г| ≠0 – розузгоджені навантаження).

Навантаження застосовують як самостійні функціональні пристрої, наприклад, як міру хвильового опору, комплексного коефіцієнта відбиття, модуля коефіцієнта відбиття і як складові елементи інших функціональних пристроїв - направлених відгалужувачів, вимірювальних мостів, суматорів потужності, фільтрів і т.п.

Основним електричним параметром, що характеризує властивості навантаження, є коефіцієнт відбиття Г на вході. У технічних вимогах на узгоджені навантаження вказується максимально допустиме значення модуля коефіцієнта відбиття |Г|max у робочому діапазоні частот. У вимогах на розузгодженні навантаження задається номінальне значення модуля коефіцієнта відбиття |Г|0=0,5 і допустиме відхилення модуля коефіцієнта відбиття від номінального значення ∆|Г|=0,5 в робочому діапазоні частот. Окрім вказаних параметрів додатково задається допустимий рівень потужності розсіювання, габаритні розміри і маса. Для характеристики властивостей навантаження разом з коефіцієнтом відбиття використовується коефіцієнт стоячої хвилі:

Γ−Γ+

=11

стUK . (12.4-1)

Пристрої навантажень можна розділити на три основні типи: об'ємні, поверхневі і комбіновані (рис. 12.7, а, б, в).

Рисунок 12.7 Коаксіальні навантаження: а - поверхневе; б - об'ємне; в – комбіноване

В об'ємних навантаженнях поглинання потужності електромагнітної хвилі відбувається

в магнітодіелектричному заповненні ЛП. Їх переваги: висока якість узгодження і стабільність параметрів на високих частотах, відносно високий рівень розсіювання потужності, відсутність в їх конструкціях комплектуючих виробів; недоліки: збільшені габарити і маса, обмеженість робочого діапазону з боку низьких частот.

В поверхневих навантаженнях поглинання потужності електромагнітної хвилі відбувається в тонкому поверхневому шарі НВЧ-резистора, який є діелектричним стрижнем з нанесеним шаром високоомного резистивного матеріалу. Переваги: незначні габарити і маса, відсутність обмежень робочого діапазону з боку низьких частот; недоліки: мала потужність розсіювання, складність досягнення доброго узгодження на високих частотах.

199

Комбіновані навантаження є каскадним з’єднанням ЛП з поверхневим і об'ємним поглинанням та поєднують в собі переваги об'ємних і поверхневих навантажень. Це дозволяє розширити робочий діапазон частот як у бік НЧ, так і у бік ВЧ, збільшити потужність розсіювання, підвищити повторюваність параметрів навантажень, особливо на частотах вище за 30 ГГц. Розширити робочий діапазон частот дозволяють навантаження на основі багатоступінчатої структури.

Атенюатори. Це пристрої для зменшення потужності у тракті НВЧ. Існує два типи атенюаторів: поглинаючий та граничний. Принцип дії поглинаючого атенюатора базується на перетворенні електромагнітної хвилі у теплову енергію шляхом введення діелектричних пластин, покритих поглинаючим матеріалом, у відрізок хвилеводу (рис. 12.8).

Рисунок 12.8 Поглинаючий атенюатор

В граничному атенюаторі загасання відбувається за логарифмічним законом шляхом введення в граничний хвилевід двох вібраторів, один з яких під’єднаний до генератора електромагнітних коливань, а інший є приймальним (рис. 12.9). Оскільки хвилевід є граничним, то напруженість електромагнітного поля в перерізі, де розташований приймальний вібратор, визначається виразом:

, (12.4-2) lвих eЕE ⋅−= α

0

тому загасання, яке вносить атенюатор, буде дорівнювати:

lelEELвих

⋅=⋅⋅== αα 68,8lg20lg10 2

20 , дБ (12.4-3)

де Е0 – напруженість поля на вході атенюатора; α – постійна поширення у граничному хвилеводі.

Рисунок 12.9 Схема граничного атенюатора

200

Трійники. Трійниками називають триплечові пристрої, в яких зчленовуються три лінії

передачі. В залежності від того, в якій площині знаходяться розгалуження – в площині вектора E чи в площині вектора H , вони поділяються на відповідні трійники.

На рис. 12.10, а зображено Y-трійник, якому властива центральна симетрія. Отже, кожне плече такого трійника має однакові електричні властивості. Оскільки з'єднання ліній передач виконане в площині Н, то еквівалентна схема (рис.12.10, б) — це паралельне з'єднання трьох ліній з хвилями типу Т. Але на відміну від хвилеводного трійника кути між плечима із симетричних двопровідних ліній майже не впливають на властивості зчленування.

Рисунок 12.10 Н-трійники

Однією з важливих характеристик будь-яких багатополюсників є матриця розсіювання.

Матриця розсіювання багатополюсника пов’язує між собою нормовані напруги відбитих і падаючих хвиль та має наступний вигляд:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

NNNN

N

N

SSS

SSSSSS

S

...............

...

...

21

22221

11211

, (12.4-4)

де N – кількість плечей багатополюсника. Елемент матриці є коефіцієнтом відбиття від і-го плеча при падінні на нього хвилі за умови узгодження навантажень всіх інших плечей. Елементи матриці

iiS

)( jiSij ≠ - це коефіцієнти передачі хвилі нормованої напруги з плеча j в плече і. Матриця розсіювання використовується при розв’язанні задач з узгодження пристроїв НВЧ, розрахунку похибок, що обумовлені відбиттям, тощо.

Стрілками на рис. 12.10, а і 12.10, б позначено напрямки вектора напруженості електричного поля. Із симетрії пристрою випливає рівність всіх коефіцієнтів відбиття

332211 SSS ===Γ і всіх коефіцієнтів передачі

201

32211312 ... SSSSs ===== . Матриця розсіювання пристрою набуває вигляду

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΓΓ

Γ=

ssssss

S .

Навантаженням будь-якого плеча є паралельне з'єднання двох інших плечей, тобто опір навантаження дорівнює 2 де - хвильовий опір ліній. Можна показати, що для даного /WZ , WZпристрою Г = -1/3, . Отже, матриця розсіювання хвилеводного Y-трійника в площині 3/2=sН, а також паралельного з'єднання ліній з хвилею типу Т має вигляд:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

122212221

31S . (12.4-5)

Якщо підвести хвилю до плеча 1, то

94;

94;

91 *

3131*2121

*1111 === SSSSSS ,

де знаком «*» позначені спряжені елементи, розміщені у тому самому рядку з іншого стовпця. Отже, частина хвилі з потужністю, що дорівнює 1/9 потужності падаючої хвилі, відбиватиметься, а в плечах 2 і 3 потужності хвиль будуть однаковими і такими, що дорівнюють 4/9 потужності падаючої хвилі.

На рис. 12.10, в зображено Н-трійник з узгодженим плечем 1. Для узгодження цього плеча передбачено узгоджувальну діафрагму шириною біля чверті довжини хвилі у хвилеводі, що розташована в площині симетрії з'єднання. Хвиля, яка відбивається від передньої кромки діафрагми, знаходиться у протифазі до хвилі, що відбивається від плеча 1, завдяки чому можна досягти компенсації відбитих хвиль у плечі 1.

Матриця розсіювання Н-трійника з узгодженим плечем має наступний вигляд:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

112112220

21S . (12.4-6)

З цієї матриці видно, що потужність, яка надходить в плече 1 (при і 02 =u 03 =u ), ділиться на дві рівні частини в плечах 2 і 3. Крім того, напруженості електричного поля знаходяться у фазі (рис. 12.10, г). Якщо в плечі 2 і 3 подати синфазні хвилі однакових амплітуд , то вся потужність зосередиться в плечі 1, а в плечах 2 і 3 відбитих хвиль не 32 uu =буде.

Матриця розсіювання дає можливість розглянути інші випадки. Схеми трійників, з'єднання хвилеводів в яких проводиться в площині Е, зображено на рис.12.11. Основні властивості Е-трійника (рис.12.11, а) полягають в тому, що потужність, яка подається в плече 1, розподіляється при рівних навантаженнях плечей 2 і 3 на дві однакові частини. При цьому на однакових відстанях від площини симетрії напруженості електричних полів у плечах 2 і З знаходяться у протифазі, а магнітних полів — у фазі. Еквівалентною схемою такого пристрою є послідовне з'єднання двопровідних ліній передачі (рис.12.11, б). Повної електричної симетрії трійник набуває при виконанні його в Y-подібній формі (рис.12.11, в).

Для Y-трійника навантаження кожного плеча дорівнює , а матриця розсіювання Y-wZ2трійника в Е-площині має такий вигляд:

202

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

122212221

31S . (12.4-7)

Рисунок 12.11 Е-трійники

Як видно з матриці розсіювання, потужність хвилі, підведеної до плеча 1, частково

відбивається назад у лінію передачі на рівні 1/9 від усієї потужності. У плечах 2 і 3 потужності хвиль, що пройшли через з'єднання, будуть однаковими та дорівнюватимуть 4/9 від потужності хвилі в плечі 1. Напруженості електричного поля в плечах 2 і 3 в площинах відліку фаз знаходитимуться у протифазі.

На рис.12.11, г зображено Е-трійник з внутрішньо узгодженим плечем 1. Для узгодження плеча на широкій стінці хвилеводного з'єднання в площині симетрії встановлено клин. Матриця розсіювання складається так само, як і для Н-трійника, і має вигляд:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

112112

220

21S . (12.4-8)

Трійники виконують також на лініях передачі з хвилею типу Т. Конструктивно — це

паралельні Т-подібні або Y-подібні з'єднання однакових ліній передачі. На частотах, нижчих від 4 ГГц, розміри таких пристроїв менші від довжини хвилі. Геометрична симетрія в цьому випадку мало впливає на симетрію електричну.

Мостові схеми. Мостом називаються восьмиполюсники, які мають такі характеристики:

1. при збудженні одного з чотирьох плечей енергія в одне плече не надходить; 2. енергія, яка надходить в кожне з двох інших плечей, однакова і дорівнює половині

енергії, яка подається на вхід моста. В техніці НВЧ мостові з’єднання використовуються як елементи фільтрів, детекторів та

модуляторів, антенних перемикачів, а також у якості дільників потужності та ін.

203

Існує багато пристроїв на мостових схемах, наприклад, Т–подібні, кільцеві, квадратні мости, мости на зв’язаних лініях тощо. Як приклад більш докладно розглянемо кільцевий міст.

Кільцевий міст можна побудувати на хвилеводах, двопровідних лініях передачі, коаксіальних, смужкових лініях і т. ін. Конструкція кільцевого моста — це замкнена на себе лінія передачі довжиною 1,5Λ0, в якій через три інтервали в 0,25Λ0 приєднуються чотири плеча. На рис.12.12 зображено схему кільцевого моста, виконаного на коаксіальній лінії передачі. Приєднаємо до плеча 1 генератор, який збуджує електромагнітну хвилю з довжиною Λ0. Від плеча 1 поширюються дві хвилі: за годинниковою стрілкою і проти руху годинникової стрілки. Оскільки довжина шляху до плеча 3 однієї хвилі буде більшою від довжини шляху іншої до того самого плеча на Λ0/2, то в перерізі с плеча 3 ці хвилі будуть у протифазі, тобто тут утворюється вузол напруги. Отже, хвиля в плече 3 не проходить, і плечі 1 та 3 будуть розв'язаними (S13 =S31 =0). Це дає змогу в перерізі с закоротити лінію передачі, в результаті чого виникають дві короткозамкнені лінії: від плечей 2 і 4 до плеча 3. Вхідний опір цих ліній у перерізах b і d наближається до нескінченності, тому лінії між точками dc і bc не впливатимуть на процеси в мості.

Рисунок 12.12 Кільцевий міст

Що стосується плечей 2 і 4, то їх навантаження за допомогою відрізків bа і da кільцевого

моста довжиною 3/4Λ0 та Λ0/4 приєднуються до плеча 1 у перерізі а. Якщо плечі 2 і 4 узгоджені, то навантаження плечей дорівнює хвильовому опору ZW. У перерізі а вхідні опори лінії bа і da визначаються як

W

WКa Z

ZZ2

=

де ZWК — хвильовий опір кільцевої лінії. Оскільки вони з'єднуються паралельно, то навантаження плеча 1 дорівнює

W

WК

ZZZ⋅

=2

2

Для повного узгодження плеча 1 потрібно, щоб задовольнялась умова Z=ZW, де ZW — хвильовий опір ліній, що приєднуються до плечей кільцевого моста. Звідси випливає вимога до хвильового опору кільцевої лінії:

WWK ZZ 2= При цьому матриця розсіювання кільцевого моста має наступний вигляд:

204

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

−=

0101101001011010

2iS . (12.4-9)

При виконанні кільцевих мостів на хвилеводах принципова схема залишається незмінною, отже, кожне плече являє собою трійник. При паралельному з'єднанні еквівалентних ліній передачі це буде Н-трійник, при послідовному — Е-трійник.

Основними недоліками кільцевого моста є його вузькосмуговість і значні габарити. Узгодження, розв'язка плечей, поділ потужності погіршуються при зміщенні робочої довжини хвилі від розрахункового значення.

Відгалужувачі. Направленні відгалужувачі створюються на основі взаємних восьмиполюсників таким чином, що здійснюють передачу потужності з одного плеча пристрою в два інших. Четверте плече при цьому залишається незбудженим. Розглянемо восьмиполюсник, що має горизонтальну і вертикальну площини симетрії.

Оскільки його плечі фізично ідентичні, а сам пристрій взаємний, справедливі наступні співвідношення:

.,,,

32234114

42243113

43342112

44332211

dSSSScSSSSbSSSSaSSSS

================

(12.4-10)

Таким чином, матриця розсіювання симетричного взаємного восьмиполюсника містить чотири незалежні елементи:

.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

abcdbadccdabdcba

S (12.4-11)

Якщо багатополюсник узгоджувати з боку одного з плечей, тобто за рахунок введення в конструкцію додаткових елементів, що не порушують симетрію пристрою, добитися рівності нулю коефіцієнта відбиття в одному з плечей (при під’єднанні до інших узгоджених навантажень), то він виявиться узгодженим з боку решти плечей. В цьому випадку а = 0. Вважатимемо, що при збудженні з боку плеча 1 частина енергії надходити в плече 2. Тоді для того, щоб прилад слугував направленим відгалужувачем, енергія не повинна надходити в плече 3 або в плече 4. У першому випадку с = 0 (співнаправлений відгалужувач, рис. 12.13, а), в другому випадку d=0 (протинаправлений відгалужувач, рис. 12.13, б). Матриці розсіювання цих пристроїв мають наступний вигляд:

,

0000

0000

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

bdbd

dbdb

S спів .

000000

00

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

bcbccb

cb

Sпрот (12.4-12)

205

Рисунок 12.13 Схеми співнаправленого (а) і протинаправленного (б) відгалужувачів

Направлене відгалужування потужності у хвилеводних пристроях дуже часто

здійснюється за допомогою отворів зв’язку, які знаходяться у спільній стінці двох хвилеводів.

На рис. 12.14, а та б наведені направлені відгалужувачі з одним круглим отвором на спільній широкій стінці хвилеводів, а на рис. 12.14, в – направлений відгалужувач, в якому два відрізки хвилеводу об’єднані спільною вузькою стінкою. Зв’язок між цими відрізками створюється за допомогою двох отворів, які вирізано посередині вузької стінки на деякій відстані один від одного.

Рисунок 12.14 Відгалужувачі з круглим отвором на спільній широкій стінці хвилеводів (а), на схрещених хвилеводах (б), з спільною вузькою стінкою (в)

12.4.2 Феритові пристрої НВЧ

Феритові пристрої НВЧ – це пристрої, в яких використовуються феритові елементи у порожнині хвилеводу.

Вентилі. Вентилем називають двоплечові пристрої, які пропускають електромагнітні хвилі в одному напрямку без поглинання, а в зворотному напрямку потужність хвилі поглинається практично повністю, тобто вентиль пропускає хвилю в один бік і повністю виключає можливість її проходження в інший. Матриця розсіювання ідеального вентиля має наступний вигляд:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

0100ϕieS . (12.4-13)

Реальний вентиль характеризується:

206

- вношуваними втратами 21lg20 SA −= ;

- загасанням 12lg20 SL −= ; - коефіцієнтом стоячої хвилі в плечах 1 і 2; - робочою смугою частот, в якій зміни параметрів знаходяться в межах допусків. Існують вентилі двох типів: резонансні та зі зміщенням поля. У резонансних вентилях використовується явище феромагнітного резонансу.

Правополяризована хвиля при напруженості постійного магнітного поля Н0, що дорівнює резонансному значенню (Н0=Нр), інтенсивно поглинається у феритовому середовищі. Обираючи довжину фериту у хвилеводі та напруженість магнітного поля, можна досягти повного поглинання потужності у фериті. Вентилі, в яких використовується поздовжнє відносно вектора 0H поширення хвилі, створюються на хвилеводах круглого перерізу (рис.12.15).

Рисунок 12.15 Резонансний вентиль

Лінійно-поляризована хвиля надходить в плече 1 з прямокутного хвилеводу. За

допомогою поляризатора 1 лінійно-поляризована хвиля, що поширюється в прямому напрямку від плеча 1 до плеча 2, перетворюється на хвилю з лівою коловою поляризацією. Вона проходить через відрізок хвилеводу з феритовим стержнем, не зазнаючи поглинання. Поляризатор 2 відновлює лінійну поляризацію, і хвиля через плече 2 переходить у прямокутний хвилевід. Хвиля, що поширюється у зворотному напрямку від плеча 2 до плеча 1, також після поляризатора 2 набуває колової поляризації, але з правим обертанням. Тому вона поглинається феритом і не проходить в плече 1.

Недоліками резонансних вентилів є порівняно вузька смуга робочих частот (15 — 20%) при загасаннях L = 15...20 дБ і вношуваних втратах A = 0,5...1 дБ. Крім того, такі вентилі вимагають сильних полів підмагнічування.

Поперечний переріз вентиля зі зміщенням поля зображений на рис.12.16. При обраному напрямку вектора 0H падаюча хвиля матиме правий напрям обертання, а

відбита хвиля — лівий. Якщо встановити таку напруженість поля Н0, щоб магнітна проникність фериту для правополяризованої хвилі μ+ була менше нуля, то падаюча хвиля витіснятиметься з фериту. Для відбитої хвилі ферит буде діелектриком зі значними магнітною та діелектричною проникностями. Тому поле відбитої хвилі концентруватиметься у фериті. Отже, напруженість падаючої хвилі на поверхні фериту буде мала, а напруженість відбитої хвилі — велика.

207

Рисунок 12.16 Вентиль зі зміщенням поля

Для отримання вентильного ефекту на поверхню фериту, обернену до площини симетрії

хвилеводу, наноситься плівка з поглинаючого матеріалу. В цій плівці виникає сильне поглинання потужності відбитої хвилі. Втрати падаючої хвилі в поглиначі будуть малі, оскільки напруженість падаючої хвилі на поверхні фериту наближається до нуля. Вентилі зі зміщенням поля мають ширину робочої смуги близько 20 — 25% при робочому загасанні L = 18...20 дБ і вношуваних втратах А = 0,3...0,8 дБ. Вони вимагають меншої напруженості магнітного поля Н0, ніж резонансні вентилі, тому знижується маса і габарити постійного магніту. Розсіювана потужність в цих вентилях через гірші умови охолодження плівки менша, ніж у резонансних вентилях, тому вони розраховуються на невисокі рівні потужностей.

Циркулятори. Циркулятором називають багатополюсний феритовий пристрій, в якому потік електромагнітної енергії спрямовується в певному напрямку з одного плеча в інше — суміжне. Матриця розсіювання ідеального триполюсного циркулятора має вигляд:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010001100

S . (12.4-14)

Символічні позначення триплечового і чотиплечового циркуляторів приведені на рис.12.17. Згідно з наведеною матрицею і символічним зображенням триплечового циркулятора при надходженні хвилі до плеча 1 вона проходить в плече 2. З плеча 2 хвиля проходить тільки в плече 3, з плеча 3 — у плече 1. У зворотному напрямку електромагнітна енергія не проходить. Але якщо змінити напрям постійного магнітного поля, то проходження хвиль відбуватиметься за такою схемою: . 1231 →→→

Основними параметрами реального циркулятора є: - вношуване загасання 21lg20 SA −= ;

- розв’язка між каналами 12lg20 SL −= ; - коефіцієнт стоячої хвилі; - робоча смуга частот . fΔ

208

Рисунок 12.17 Символічні позначення триплечового і чотиплечового циркуляторів

Рисунок 12.18 Триплечовий Y-циркулятор

Розглянемо досить поширений циркулятор, в якому використовується симетричний Y-

трійник у площині Н (рис.12.18). Такий пристрій називають Y-циркулятором. У центрі розгалуження розміщується феритовий диск 4. Для узгодження плечей

циркулятора на диск одягається діелектричний циліндр 5. Магнітне поле створюється за допомогою постійних магнітів або електромагнітів і спрямовується вздовж осі диска 4.

Електромагнітну хвилю, що надходить, наприклад, в плече 1, можна показати у вигляді двох хвиль, що обходять ферит з двох боків. Вони мають протилежні напрямки обертання вектора магнітного поля біля диска 4, а тому вплив фериту на них різний. Якщо довжина хвилі, що обходить ферит зліва, буде вдвічі менша, ніж довжина хвилі, що обходить ферит справа, то в плечі 2 ці хвилі підсумовуватимуться у фазі, а в плечі 3 — у протифазі. Отже, в плечі 3 буде вузол напруженості поля, і хвиля в плече 3 не надходитиме, а в плечі 2 буде пучність напруженості поля, і електромагнітна енергія з плеча 1 переходитиме в плече 2. Хвиля, що обходить ферит зліва, завдяки його впливу, має сповільнену швидкість, оскільки напрям обертання вектора H збігається з напрямком процесії вектора намагніченості. Хвиля, що обходить ферит справа, поширюється в ізотропному середовищі всередині хвилеводу, а тому її фазова швидкість перевищує фазову швидкість з лівого боку. Отже, вибираючи розміри фериту і напруженість постійного магнітного поля можемо забезпечити необхідні співвідношення між фазовими швидкостями і довжинами цих хвиль.

Конструкція такого циркулятора досить проста, він має малі габарити і масу. Вношуване загасання незначне: А = 0,2...0,5 дБ, розв'язка сягає L = 20...25 дБ, робоча смуга частот становить 20 — 50% при коефіцієнті стоячої хвилі 1,1 — 1,3.

Недоліком циркулятора є складність охолодження фериту, що не дає можливості будувати Y-циркулятори на значні потужності.

Фазообертачі. Принцип дії фазообертачів базується на залежності фазової швидкості хвилі, що поширюється в лінії передач, частково заповненої намагніченим феритом, від напряму поширення і напруженості домагнічуючого поля.

209

Фазообертачі з феритами можуть бути взаємними і невзаємними. Найпростіший взаємний фазообертач з поздовжньо-намагніченим феритом, розміщеним на осі прямокутного хвилеводу, зображений на рис.12.19.

Напруженість постійного магнітного поля обирається так, щоб режим роботи фериту відповідав наступним умовам:

- Н0<<Hp; - ±± ′= μμ ; - −+ ′<′< μμ0 ,

де ±μ - комплексна магнітна проникність для право- та лівополяризованих хвиль;

±′μ - дійсна частина комплексної магнітної проникності для право- та лівополяризованих хвиль.

При виконанні цих умов хвилі з протилежними напрямками обертання вектора H поширюються практично без втрат, але з різними фазовими швидкостями ( +− ′>′ μμ ). Для усунення ефекту Фарадея висота вузької стінки береться настільки малою, щоб в робочому діапазоні частот у хвилеводі не могла поширюватися хвиля з вектором E , паралельним широкій стінці. Коефіцієнт фази хвилі, а також і фазовий зсув залежатимуть від напруженості постійного магнітного поля Н0. Втрати потужності в такому фазообертачі не перевищують 1 дБ.

Рисунок 12.19 Взаємний фазообертач

Робоча смуга частот сягає декількох відсотків від середньої частоти, яка може

знаходитися в діапазоні 8 — 70 ГГц. При відносно невеликих рівнях керуючого магнітного поля фазовий зсув можна встановлювати в межах від 0° до 360°.

Ідеальний невзаємний фазообертач є чотириполюсником без втрат, яки пропускає електромагнітні хвилі в обидва боки з різними фазовими зсувами. Його матриця розсіювання має два незалежних елементи

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−

00

2

1

ϕ

ϕ

i

i

ee

S . (12.4-15)

Основними параметрами фазообертача є: - невзаємним фазовий зсув 21 ϕϕϕ −=Δ ; - вношувані втрати А= 10lg(Pвх/Pвих); - коефіцієнтом стоячої хвилі вхідного плеча; - робоча смуга частот , в якій зміни параметрів не перевищують допустимих меж. fΔНевзаємні фазообертачі будуються на відрізках порожнистих хвилеводів, коаксіальних

ліній та смужкових ліній передачі. При використанні прямокутного хвилеводу поперечно намагнічена феритова пластинка розміщується паралельно вузькій стінці хвилеводу.

Невзаємний фазовий зсув визначається не тільки напруженістю постійного магнітного поля Н0, але й положенням фериту в прямокутному хвилеводі. Схема такого фазообертача зображена на рис.12.20, а. Структура змінного магнітного поля для деякого моменту часу

210

наведена на рис.12.20, б. Вектор Н0 направлений паралельно осі у в бік від'ємних значень. Вважаючи, що структура поля у хвилеводі така сама, як і без фериту, для хвилі Н10 запишемо:

,cos

,sin2

zimz

zimx

eaxHH

eaxaHiH

β

β

π

π

∓

∓

=

Λ±=

(12.4-16)

де — комплексна амплітуда напруженості магнітного поля; mH

Λ=

πβ 2 — коефіцієнт фази хвилі;

Λ — довжина хвилі у хвилеводі; а — розмір широкої стінки хвилеводу; верхні знаки відносяться до хвиль, що поширюються в бік додатних значень z, нижні — в бік від'ємних значень z.

Складові вектора напруженості магнітного поля зсунуті за фазою на кут 2π

± і взаємно

перпендикулярні, тобто магнітне поле має обертову поляризацію в площині Н (площині рисунка).

Рисунок 12.20 Невзаємний фазообертач

Колова поляризація спостерігається в такому поздовжньому перерізі хвилеводу, для

якого Hx = Нz. Розкриваючи значення Нх і Нz з наведених вище виразів, знаходимо відстань від вузької стінки до площини такого перерізу:

aarctgad

2Λ

=π

.

Оскільки вектор H обертається в бік складової, яка запізнюється за фазою, то з виразів (12.4-16) випливає, що вектор H при х<а/2 і поширенні хвилі в бік додатних значень z обертається в напрямку від складової Нх до складової Нz (Нх випереджає Нz за фазою на кут π/2). На рис.12.20 наведено складові вектора H хвилі, що поширюється в бік від'ємних значень у. Для спостерігача, який дивиться в бік від'ємних значень у (на рис.12.20, а вздовж вектора 0H ), в місці розміщення фериту вектор H обертатиметься проти годинникової стрілки, що відповідає лівій (від'ємній) коловій поляризації. Фазова швидкість поширення визначається магнітною проникністю μ-. При поширенні хвилі в напрямку додатних значень z складова Нх змінить напрямок на протилежний, у зв'язку з чим напрямок обертання вектора H зміниться і поляризація стане правосторонньою.

Фазова швидкість поширення хвилі з правим напрямком обертання вектора H відрізняється від фазової швидкості хвилі з лівим напрямком обертання. Це обумовлено тим, що правий напрямок обертання збігається з напрямком прецесії вектора намагніченості

211

фериту, і хвиля правого обертання дуже взаємодіє з феритом. Хвиля лівого напрямку обертання не зазнає значного впливу фериту, та її фазова швидкість менша від фазової швидкості хвилі з правим обертанням за умови, що напруженість постійного магнітного поля істотно менша від значення, яке призводить до феромагнітного резонансу. Отже, фазовий зсув буде необоротним: відрізнятиметься при прямому і зворотному поширенні електромагнітної хвилі. Напруженість постійного магнітного поля Н0 у фазообертачі вибирається меншою від резонансного значення, щоб у робочій смузі частот уявні складові магнітної проникності були малі, що забезпечувало б малі втрати потужності хвиль. Значення фазового зсуву змінюється за допомогою напруженості постійного магнітного поля. 12.4 Висновки

1. Основним видом коливальних або резонансних систем в діапазоні НВЧ є пристрої, які називають об'ємними резонаторами. Як правило, це системи з розподіленими параметрами, основою яких є конкретний вид ліній передачі.

2. Порожнисті об’ємні резонатори – це резонатори, побудовані на основі хвилеводних систем.

3. Основною характеристикою об'ємного резонатора є добротність навантаженого резонатора, яка визначається відношенням накопиченої енергії W до енергії втрат

:

нQ

вW

2нв

WQW

π= .

4. Коаксіальну лінію передач при 1n = та мінімальній довжині лінії =minl 0

4λ

називають чвертьхвильовим коаксіальним резонатором.

5. Коаксіальну лінію передач при 2n = та мінімальній довжині лінії =minl 0

2λ

називають півхвильвовим коаксіальним резонатором. 6. В основу конструкції квазістаціонарних об’ємних резонаторів покладено

паралельний коливальний контур. 7. Існують однокамерні та багатокамерні квазістаціонарні об’ємні резонатори, які

використовують у вимірювальних приладах, генераторах НВЧ, які містять в собі клістрони, в системах радіолокації, телерадіометрії, тощо.

8. Існують також інші пристрої НВЧ, що будуються на відрізках ліній передач, хвилеводах різної форми тощо. Це, зокрема, навантаження, трійники, атенюатори, мости і т. ін. Основною складовою частиною таких пристроїв, як циркулятори, вентилі, фазообертачі, є феритові елементи, розташовані в порожнині хвилеводу.

212

Додаток A

Деякі співвідношення корисні для вивчення курсу «Технічна електродинаміка»

Довідкова інформація.

Деякі формули векторного аналізу Градієнт скалярної величини

grad i j kx y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

Дивергенція векторної величини

yx zAA Adiv A

x y z∂∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Ротор вектора

y yx xz z

x y z

i j kA AA AA Arot A i j k

x y z y z z x x yF F F

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= = − + − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞− ⎟

⎠

В циліндричній та сферичній системах координат

Градієнт 1 2

1 2 31 2

1 1 11 1 33

1x x xgradh x h x h x

ϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂

Дивергенція 2 3 1 1 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 ( ) ( ) ( )x xdiv A h h A h h A h h Ah h h x x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

Ротор 1 2

2 3 1 3 1 2

1 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1x x x 3

3

x x x

h h h h h h

ro t Ax x x

h F h F h F

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ ⋅

де h1, h2, h3 – коефіцієнти Ляме

Коефіцієнти Ляме для трьох систем координат

Система координат

Декартова Циліндрична Сферична

Координати x1 x ρ r x2 y φ θ x3 z z φ

Коефіцієнти Ляме h1 1 1 1 h2 1 ρ r h3 1 1 r · sin θ

213

Деякі важливі векторні тотжності

Якщо 0=Ldiv , то існує такий вектор M , що LMrot =

BrotAArotBBAdiv −=× )( 0)( ≡Arotdiv

AAdivgradArotrot Δ−= )()(

Основні співвідношення електростатики та магнітного поля постійного струму

( )ρq DE,

ϕ

[ ]BvqEqF ×+=

)(JI BH ,

A rεεε 0= 9

01 10 ,

36Фм

επ

−= ⋅

а Cи rσ σ σ= 75,7 10 ,CиСмм

σ = ⋅

Закон Ома в диференціальній формі:

прJ Eσ=

0μμμ r=

70 4 10 , Гн

мμ π −= ⋅

rrqqF 1

4 221

πε= r

MMM r

qqF 14 2

21

πμ=

1 23 1

4 rq qF

rπε= , rr

ldIHd 12 ×=

qFE =

M

M

qFH =

ED ε= HB μ=

∫ Σ=⋅s

qsdD 0==⋅∫s

мqsdB

ρ=Ddiv

0== мBdiv ρ

∫ = 0ldE ∫ Σ= IldH

0=Erot JHrot = ϕgradE −=

∫ += CldEϕ ArotH

μ1

=

∫ ∫=⋅S V

dVDdivSdD ∫ ∫ ⋅=⋅l S

SdHrotldH

ερϕ −=∇ 2

JA μ−=∇ 2

14

dVrρϕ

πε= ∫ Adl

rIdV

rJA 1

44⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫ πμ

πμ

Граничні умови 21 ττ EE = lJHH =− 21 ττ

214

snn DD ρ=− 21 21 nn BB = Граничні умови, якщо одне з середовищ – ідеальний провідник

Е1τ = 0 Е1n ≠ 0

Н1τ ≠ 0 Н1n = 0

Енергія

∫ ∫=⋅

=V V

E dVEdVDEW22

2ε ∫ ∫=⋅

=V V

H dVHdVBHW22

2μ

2

2CUWE = 2

2LIWH =

UqC =

IL ψ=

Рівняння Максвелла

Форма

Рівняння

Диференційна форма Інтегральна форма

1. Закон повного струму або коловий закон Ампера

( ) ( ) ( )пр зм сторrotH J t J t J t= + +

( )( ) ( ) ( )сторE trotH t E t J t

tσ ε ∂= + +

∂

)()()( tItItIldH сторзмпр

l

++=∫

SdtJSdttE

SdtEldtH

S Sстор

S

)()(

)()(

∫ ∫

∫ ∫

+∂

∂+

+=

ε

σ

2. Закон Фарадея

ttH

ttBtErot

∂∂

−=

=∂

∂−=

)(

)()(

μ

( )( )

( ) ( )l

S S

dФ tE t dldt

B t dS H t dS

t tμ

= − =

∂ ∂= − = −

∂ ∂

∫

∫ ∫

3. Закон Гаусса –Остроградського

( ) ( ) ( )divD t div E t tε ρ= = ∫ =S

tqSdtD )()(

4. Закон неперервності силових ліній магнітного поля

0)( =tBdiv

( ) 0мS

B t dS q= =∫ ,

5. Перше матеріальне рівняння

)()( tEtD ε=

6. Друге матеріальне рівняння

)()( tHtB μ=

215

Рівняння Максвелла в комплексній формі

Рівняння Максвелла Диференціальна форма Інтегральна форма

перше •••

+= mmm EjHHrot ωεσ , або

•••

+=×∇ mmm EjEH ωεσ

змпр mmm IIldH•••

∫ += ,

SdISdIldH змmпрmm ∫∫ ∫•••

+=

друге ••

−= mm BjErot ω , ••

−= mm HjErot ωμ , або

••

−=×∇ mm HjE ωε

m

l

m ФjldE ω−=∫•

,

∫ ∫••

−=l

mm SdBjldE ω

∫ ∫••

−=l

mm sdHjldE ωμ

третє mmEdivDdiv ρε ==

••

, або

mmD••

=⋅∇ ρ

∫••

=S

mm qSdD ,

εm

S

mq

SdE•

•

=∫

четверте 0=

•

mBdiv , або

0=⋅∇•

mB

∫ =•

0SdBm

п‘яте mm ED

••

= ε

шосте mm HB

••

= μ

Вектор Пойнтинга

HEП ×=

∫= sdПP

216

Величини, які характеризують процес поширення електромагнітних хвиль в різних середовищах

Параметр Середовище

Символ Назва Напівпровідне (діелектрик з втратами) Діелектричне Провідне

α Коефіцієнт загасання

2

1 12εμ σω

ωε

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 0

2ωμσ

β Коефіцієнт фази ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ 11

2

2

ωεσεμω

λπ2

2ωμσ

wZ Модуль

хвильового імпедансу

22 βα

ωμ

+

εμ

2ωμ

φ Фаза

хвильового імпедансу β

αarctg 0 4π

X

Дійсна частина

хвильового імпедансу

2 2

βωμα β+

εμ

2ωμ

Y

Дійсна частина

хвильового імпедансу

22 βααωμ+

0 2ωμ

v

Швидкість поширення фронта хвилі

βω

εμ1

μσω2

λ Довжина хвилі β

π2 fυ

ωμσπ 22

217

Основні співвідношення для хвиль в хвилеводах прямокутної форми

Критична довжина хвилі ( для хвилі або ) mnH mnE 2 2

2кр

m na b

λ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Групова швидкість 21 ( )гркр

V с λλ= ⋅ −

Фазова швидкість 21 ( )

ф

кр

cVλλ

=−

Характеристичний опір для хвилі Н - типу 2

( )1-( / )

wch mn

кр

ZZ Hλ λ

=

Характеристичний опір для хвилі Е - типу

2( ) 1-( / )ch mn w крZ E Z λ λ=

Середня потужність, що передається по хвилеводу Для хвилі Нm0 або H0n 2

2 1 .4ср m

W кр

abP EZ

λλ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Для хвилі Н11 222

1 18

mcp

w кр

E bP abZ a

λλ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Для хвилі Е11 22

1.8

кр крmcp

w

EP abZ

λ λλ λ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Основні співвідношення для елементраних випромінювачів

Ближня зона r<< rкр.; дальня зона r>> rкр.=λ/2π, rкр.=λ/2π.

В ближній зоні . 0.серП = В дальній зоні

wZ με

= ; 1Er

= ; 1Hr

= .

В ближній зоні електричного вібратора 1

WZj rϖε

= ; 3

1Er

= ; 2

1Hr

= ; 0

0

120wZ μ πε

> = Ω

В ближній зоні магнітного вібратора

WZ j rϖμε= ; 2

1Er

= ; 3

1Hr

= ; 0

0

120wZ μ πε

< = Ω

218

Фізичні константи

e = (1,6021892 ± 0,000 004 6) × 10-19 Кл Заряд електрона m = (9,109534 ± 0,000 047) × 10-31 кг Маса електрона

Діелектрична проникність вільного простору

Десяткові префікси до назв одиниць

ε0 = (8.854 187818 ± 0,000 000 071) × 10-12 Ф/м

Магнітна проникність вільного простору

μ0 = 4π × 10-7 Гн/м

Швидкість світла с = (2,997 924 574 ± 0,000 000 011) × 108 м/с

Е екса 1018 с санті 10-2

П пета 1015 м міллі 10-3

Т тера 1012 мк мікро 10-6

Г гіга 109 н нано 10-9

М мега 106 п піко 10-12

к кіло 103 ф фемто 10-15

г гекто 102

а атто 10-18

-1д деци 10

219

Додаток Б

Деякі завдання для самостійної роботи з курсу “Технічна електродинаміка”

1) Привести та опанувати таблицю розподілу радіохвиль за діапазонами,

частотою, довжиною хвилі та орієнтовною областю використання.

2) Показати на осі частот розміщення смуг частот першого та 23-ого каналів

телевізійного сигналу.

3) Перевірити одиницю виміру векторного магнітного потенціалу . A

4) З’ясувати значення частот деяких українських каналів телебачення.

Мінімальна кількість каналів – 10.

5) З’ясувати параметри нелінійного середовища, стохастичні процеси як

характеристики, необхідні для опису електричного поля.

6) Скласти та записати стислу історичну довідку щодо розвитку

електромагнетизму та його практичного застосування.

7) Сформулювати висновки до розділу 1. Електродинаміка – основа

професіоналізму фахівця електрозв’язку.

8) Перевірити одиницю виміру напруженості електричного поля ( ),FEq

=′ B

м .

9) Перевірити формулу для рівняння Пуассона за одиницями виміру.

10) Опанувати граничні умови для потенціалу електростатичного поля.

11) Енергія електростатичного поля та поняття електричної ємності.

12) Сформулювати висновки до розділу 2. Електростатика.

13) Перевірити одиницю виміру мq , Вб.

14) Виконати необхідні операції для отримання закону повного струму в

диференціальній формі в площинах XY та YZ. Навести закон повного струму

в узагальненому вигляді.

15) Довести тотожність 2rot rotM grad divd c M M= −∇ , яка використовується для

виведення рівняння Пуасcона.

16) Опанувати граничні умови магнітостатики.

220

17) Енергія магнітного поля, поняття індуктивності.

18) Сформулювати висновки до розділу 3. Магнітне поле постійного струму.

19) Навести фізичний зміст другого рівняння Максвелла.

20) Скласти повну систему рівнянь Максвелла в комплексній формі у вигляді

таблиці.

21) Обґрунтуйте принцип переставної двоїстості.

22) Проаналізуйте класифікацію середовищ за провідністю.

23) Опанувати лапласіан у сферичній, декартовій, циліндричних системах.

24) Сформулювати висновки до розділу 4. Основні рівняння електродинаміки.

25) Отримайте теорему Пойтинга у диференціальній формі та поясніть її сутність.

26) Проаналізуйте теорему Пойтинга для гармонічних процесів.

27) Довести тотожність . ( )KrotM MrotK div M K− = ×

28) Лема Лоренца у диференціальній та інтегральній формах. Пояснити фізичний

зміст леми.

29) Сформулювати висновки до розділу 5. Енергія електромагнітного поля.

30) Довести хвильове рівняння (рівняння Гельмгольца для магнітної складової) 2

2 HHt

εμ μσ∂∇ − =

∂Ht

∂∂ , яке характеризує хвильовий процес.

31) Опанувати поляризацію плоских ЕМХ.

32) Вивести коефіцієнт фази β та коефіцієнт згасання α, з яких складається

коефіцієнт поширення.

33) Сформулювати висновки до розділу 6. Поширення ЕМХ у різних

середовищах.

34) Записати складові елементарного електричного випромінювача в сферичній

системі координат.

35) Проміжна зона. Навести стадії формування електромагнітного поля.

36) Записати , mrH mH θ для електричного струму магнітного випромінювача.

37) Проаналізуйте явище поверхневого ефекту.

38) Навести модель елемента Гюйгенса, пояснити фізичний зміст.

39) Сформулювати висновки до розділу 7. Основи випромінювання ЕМХ.

221

40) Записати коефіцієнти R•

⊥ , R•

, T•

, T•

⊥ на границі розділу двох середовищ.

41) Пояснити сутність випадку, коли вектор напруженості електричного

поля розташований в площині падіння. E

42) Паралельна та перпендикулярна поляризація.

43) Утворення не відбиваючого середовища.

44) Опанувати граничні умови Леонтовича Щукина.

45) Сформулювати висновки до розділу 8. Хвильові явища на границі розділу

двох середовищ.

46) Наведіть формули та поясніть сутність фазової та групової швидкості.

47) Проаналізуйте структуру ЕМП над ідеально провідною поверхнею.

48) Сформулювати висновки до розділу 9. Поширення ЕМХ над ідеальною

провідною поверхнею.

49) Хвилеводи з прямокутним перерізом.

50) Хвилеводи з круглим перерізом.

51) Сформулювати висновки до розділу 10. Електромагнітні хвилі.

52) Проаналізувати основні параметри провідних ліній передач. Скласти

таблицю.

53) Сформулювати та опанувати методи вирішення задач лінії передач.

54) Навести модель лінії передачі електромагнітної енергії.

55) Сформулювати висновки до розділу 11. Лінії передачі.

56) Вивести формулу навантаженої добротності об’ємного резонатора. нQ

57) Опанувати коаксіальні об’ємні резонатори.

58) Замалювати схему однокамерного та багатокамерного квазістаціонарного

резонатора.

59) Навести та пояснити сутність формул для обчислення індуктивності щілини

та окремої резонансної камери.

60) Сформулювати висновки до розділу 12. Резонансні системи та елементи в

діапазоні надвисоких частот.

222

ЛІТЕРАТУРА

1. Князь А.И. Электродинамика информационных систем. - М.: Связь, 1994. - 392с. 2. Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио,

1971. - 520 с. 3. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. - М.: Связь, 1971. -

478с. 4. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: В.Ш., 1992.-

416с. 5. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика. – М.:

Радио и связь, 2000. - 536с. 6. Захарія Й.А. Основи електродинаміки і поширення радіохвиль. – К.: ІСДО, 1996.-

314с. 7. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Горячая линия –

Телеком, 2004.-558с. 8. Черенков В.С., Драганов В.М., Соломко О.В. Електродинаміка інформаційних

систем: Навч. Посібник. – Одеса: УДАЗ, 1995. - 94с. 9. Іванов В.О., Габрусенко Є.І. Електродинаміка та магнітостатика: тексти лекцій – К.:

НАУ, 2000. – 44с. 10. Іванов В.О., Габрусенко Є.І. Змінні електромагнітні поля та хвилі: тексти лекцій.-

К.: НАУ, 2000. – 40с. 11. Іванов В.О., Габрусенко Є.І. .Лінії передач та резонансні системи в діапазоні НВЧ –

К.: КМУЦА, 1999, - 48с. 12. Электродинамика и распространение радиоволн: Методические указания и

контрольные задания / Сост. В.А. Иванов – К.: КМУГА, 1998. – 36с. 13. Слободян Л.Р., Шеховцов В.І. Електромагнітні поля електротехнологічних

установок. – К.: Либідь, 1994. – 176с. 14. Сборник задач по курсу “Электродинамика и распространение радиоволн” под. ред.

С.И. Баскакова – М.: В.Ш., 1981.- 208с. 15. Hayt W.H. Engineering electromagnetics. – NY, Paris, Tokyo…, McGrawHill Book

Company. 1986. – 527p. 16. Bhag Singh Guru, Hüseyin R. Hiziroğlu Electromagnetic Field Theory Fundamentals. -

PWS Publishing Company. 2002. – 600. 17. Радіотехніка: Енциклопедичний навчальний довідник: Навч. посібник / За ред.

Ю.Л. Мазора, Є.А. Мачуського, В.І. Правди. – К.: Вища шк., 1999. – 838с. 18. Ільницький Л.Я., Савченко О.Я., Сібрук Л.В. Антени та пристрої

надвисоких частот: Підручник для ВНЗ / За ред. Л.Я. Ільницького. - К.: Укртелеком, 2003. - 496 с.

223