工程结构数值建模与分析方法

工程结构数值建模工程结构数值建模与分析方法与分析方法

谢剑

Don't use a structural analysis program unless you fully understand

the theory and approximations used within the program.

—— Edward L.Wilson

关于课程关于课程

天津大学土木工程系副教授天津市建筑结构专业委员会副主任国家一级注册结构工程师

通讯地址：天津市南开区卫津路 92 号天津大学土木工程系邮政编码： 300072联系电话： 13602011035Email: [email protected] [email protected]

谢剑博士

工程结构数值建模与分析方法

课程介绍

采用工程结构数值分析方法可以解决工程中比较复杂的结构计算问题。通过对该课程的学习，使学生了解目前几种常用的数值分析方法，重点应掌握有限单元法的基本原理及其方法。

内容摘要

课程介绍

．数值分析方法基础．杆系结构有限单元法．弹性力学问题有限单元法．薄板弯曲问题有限元法．等参数单元．动力及非线性问题有限单元法

主要参考书目课程介绍

王勖成、邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社

江见鲸、陆新征、叶列平，混凝土结构有限元分析，清华大学出版社

朱伯芳，有限单元法原理与应用，水利水电出版社

罗定安，工程结构数值分析方法与程序设计，天津大学出版社

龙志飞、岑松，有限元法新论，水利水电出版社

为什么要学？为什么要学？

重要性

科学计算是继理论科学、实验科学之后，人类认识与征服自然的第三种科学方法。

重要性

Don’t create a computer model until the loading,

material properties and boundary conditions are

clearly defined.

The idea that an expert-system computer

program, with artificial intelligence, will replace a

creative human is an insult to all structural

engineers.

重要性

Computer are not, and will never be the source

of solutions to engineering problems.

Although computers can be incredibly valuable

tools when used by real structural engineers, they

are more dangerous than weapons of mass

destruction when used by those who cannot

create solutions to problems in the absence of

computers.

重要性

程序是工程师的鸦片、烟民手中的烟，请慎用。

做程序的主人，而不是沦为程序的奴隶。

深入掌握力学的基本理论，了解软件编制背景和假设，才能把好的程序变成好的工具；否则，笃信程序，不认真分析电算结果，只能慢慢丧失判断力。

重要性

好的软件可以充当结构工程师的左膀右臂，拓展工程师的视野，劣质的软件只会给工程师积累错误的经验，加速把工程师变成阶下囚的进程，会引发结构工程师失眠、梦中惊醒等症状。

只会用傻瓜软件的人能叫结构工程师吗？跟刚毕业的初中生有什么区别？很少看到哪位专业摄影师拿着傻瓜相机去采风去创作，同样，专业的结构工程师也不屑用傻瓜式的结构软件。

学什么？学什么？

分析方法

举例说明：韩信点兵的问题

韩信点兵问题

实际问题

韩信带领近千名武士进行操练，排阵时若 3 人一列，则余 2 人；若 5 人一列，则余 3 人；若 7 人一列，则余 2人。

求：最多有多少名武士？

设武士数为 X ，则 X在数学上应符合下列条件：

数学模型

1. X=3N1+2 ， N1 为整数。 2. X=5N2+3 ， N2 为整数。 3. X=7N3+2 ， N3 为整数。 4. X≤1000 ，且 X 为最大值。

直接求解，困难！

求解方法

借助电子计算机快速计算的功能， Easy！

But ， HOW ？

程序设计 ...

令 X取从 1 到 1000 的所有数值，则符合条件的最大 X即为所求。

程序设计

编程工具的选择

Fortran VB Delphi

令 X取从 1 到 1000 的所有数值，则符合条件的最大 X即为所求。

算法优化

令 X取从 1000 到 1 的所有数值，则符合条件的第一个 X即为所求。加速循环

起源 : 50 年代飞机结构矩阵分析 Argyris, Turner, Clough 60 年代弹性力学平面问题 , 目前已涉及众多领域

实质 : 对力学模型进行近似数值计算的方法将无限自由度问题变成有限自由度问题

分析过程 : 结构离散化 , 确定位移模式 , 单元特性分析整体分析 , 解方程 , 输出计算结果 , 其他处理

杆系结构

学习方法 : 与矩阵位移法对比了解基本原理 , 各种方法的共性与实质通过自编程序进一步熟悉原理

连续体

应用状况 : 标准通用软件 SAP2000,ANSYS, 各种专用程序

有限元法绪论

有限元分析的流程

图

有限元法的基本架构

有限元法是将所探讨的工程系统转化为一个有限元系统，该有限元系统由结点及单元组成，以取代原有的工程系统；有限元系统可以转化成一个数学模式，并根据该数学模式，进而得到该有限元系统的解答，并通过结点和单元表现出来。

梁

模

型

平面应力模型

有限元分析过程

实际问题实体模型有限元模型

简化处理单元划分

分析结果单元分析 +整体分析

工程结构的分类（按构件的几何特征）

杆件结构薄壁结构实体结构

板

壳

杆件结构：长度远大于横截面尺寸（宽和高）；

薄壁结构（平－板、曲－壳）：两方向的尺寸（长和宽）远大于另一方向的尺寸（高）；

实体结构：三方向的尺寸具有同阶大小。

P

1 2 3

4

直接刚度法解杆系平面结构

局部坐标系中的单元刚度矩阵

概述

整体坐标系中斜杆的单元刚度矩阵

结构的结点荷载列阵

整体刚度矩阵

支承约束条件

本章教学要求

通过本章内容的学习，重点了解有限元分析的思路和方法，并能应用于实际工作。

有限元法求解问题的思路或方法——变复杂为简单，变未知为已知。

概述概述

概述—分析方法

概述—分析方法

离散化单元分析整体分析

整体分析的任务是保证结构从离散状态恢复原状所必需的。

单元分析的任务就是要建立单元结点处力学参数之间的关系。

离散化是指对连续结构进行剖分。

局部坐标与整体坐标

单元分析整体分析

在单元分析时，采用局部坐标（ X轴与杆件轴线重合，系统方向遵循右手法则）。

在整体分析时，采用整体坐标（坐标轴可以任意选取，系统方向遵循右手法则）。

局部坐标系

整体坐标系

直杆单元刚度矩阵直杆单元刚度矩阵

局部坐标系中的单元刚度矩阵轴力杆单元刚度矩阵

211 uul

AES

212 uul

AES

2

1

2

1

11

11

u

u

l

AE

S

S)()()( iii uKS

局部坐标系中的单元刚度矩阵轴力杆单元刚度矩阵

0000

0101

0000

0101

)(

l

AEK i

4

3

2

1

)(

u

u

u

u

u i

4

3

2

1

)(

S

S

S

S

S i


000000

000000

001001

000000

000000

001001

)(

l

AEK i

6

5

4

3

2

1

)(

u

u

u

u

u

u

u i

6

5

4

3

2

1

)(

S

S

S

S

S

S

S i

局部坐标系中的单元刚度矩阵平面梁单元刚度矩阵

4

3

2

1

)(

u

u

u

u

u i

4

3

2

1

)(

S

S

S

S

S i

忽略轴向力和轴向变形，只考虑剪切与弯曲变形。

)()()( iii uKS


1 2

1端的单位位移

2121

6M

l

EIM

2131

12Q

l

EIQ

1端的单位转角

211 24

Ml

EIM

2121

6Q

l

EIQ －


423322131

612612u

l

EIu

l

EIu

l

EIu

l

EIS

4322122

2646u

l

EIu

l

EIu

l

EIu

l

EIS

423322133

612612u

l

EIu

l

EIu

l

EIu

l

EIS

4322124

4626u

l

EIu

l

EIu

l

EIu

l

EIS


l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

K i

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

)(


l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

K i

460

260

6120

6120

000000

260

460

6120

6120

000000

22

2323

22

2323

)(

局部坐标系中的单元刚度矩阵平面刚架单元刚度矩阵在小变形的线性系统下，认为轴向变形与弯曲变形之间相互独立、互不影响。

)()()( iii uKS


l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EAl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EA

K i

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

)(


单元刚度矩阵是对称矩阵；单元刚度矩阵是奇异矩阵；

刚度元素 Kij 的物理意义是，当单元仅在第 j个方向上有一个单位位移时，在第 i个方向上产生的杆端力的大小。

斜杆单元刚度矩阵斜杆单元刚度矩阵

整体坐标系中的单元刚度矩阵

在整体分析时，各单元需要统一的坐标系——整体坐标系。

局部坐标系下单元刚度矩阵

整体坐标系下单元刚度矩阵

坐标变换

杆端位移杆端力

杆端位移杆端力

坐标变换

坐标变换

坐标变换

66

545

544

33

212

211

cossin

sincos

cossin

sincos

SS

SSS

SSS

SS

SSS

SSS

)()()( iiT

i SS

坐标变换

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

)(

iT

坐标变换

引入符号 cosxC sinyC

100

0

0

xy

yx

CC

CC

坐标变换

100000

0000

0000

000100

0000

0000

)(

xy

yx

xy

yx

iT

CC

CC

CC

CC

0

0

坐标变换)()()( ii

Ti SS

)()()( iiT

i uu

)()()( iii uKS )()()()()( ii

Tiii

T uKS

)()()(1)()( iiT

iiT

iuKS

坐标变换

)()()(1)()( iiT

iiT

iuKS

)()()()()( iiT

iTiT

iuKS

)()()()( iT

iTiT

iKK

TiT

iT

)(1)(

轴力单元刚度矩阵

)()()()( iT

iTiT

iKK


100000

0000

0000

000100

0000

0000

)(

xy

yx

xy

yx

iT

CC

CC

CC

CC


000000

000000

001001

000000

000000

001001

)(

l

AEK i


000000

00

00

000000

00

00

22

22

22

22

)(

yyxyyx

yxxyxx

yyxyyx

yxxyxx

i

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

l

AEK

用于求解平面桁架结构

平面梁单元刚度矩阵

l

EIC

l

EIC

l

EI

l

EIC

l

EIC

l

EI

Cl

EIC

l

EICC

l

EIC

l

EIC

l

EICC

l

EI

Cl

EICC

l

EIC

l

EIC

l

EICC

l

EIC

l

EIl

EIC

l

EIC

l

EI

l

EIC

l

EIC

l

EI

Cl

EIC

l

EICC

l

EIC

l

EIC

l

EICC

l

EI

Cl

EICC

l

EIC

l

EIC

l

EICC

l

EIC

l

EI

K

xyxy

xxyxxxyx

yyxyyyxy

xyxy

xxyxxxyx

yyxyyyxx

i

466266

6121261212

6121261212

266466

6121261212

6121261212

2222

22

3322

33

232

3232

3

2222

22

3322

33

232

3232

3

)(

平面刚架单元刚度矩阵

教参 4 公式（ 1-21）

KKKJ

JKJJiJK

i

KK

KKKK

)()(

结点荷载列阵结点荷载列阵

结点荷载列阵

直接结点荷载

非结点荷载等效结点荷载+

综合结点荷载

DP

EP

CP

结点荷载列阵

结点荷载列阵

直接结点荷载

非结点荷载等效结点荷载+

综合结点荷载

DP

EP

CP

求直接结点荷载列阵 DP

将直接施加在各结点上的荷载按三个方向分解，并按结点序号排列成列阵的形式即可。

kD

kD

kD

kD

P

P

P

P

3

13

23

求直接结点荷载列阵 DP

,,,, 321 DDDD PPPP

NDNDND PPP 31323 ,,

,,,, 31323 kDkDkD PPP

求等效结点荷载列阵

各单元固端力累加

)(6

)3(6

)2(6

)1(6

)(5

)3(5

)2(5

)1(5

)(4

)3(4

)2(4

)1(4

)(3

)3(3

)2(3

)1(3

)(2

)3(2

)2(2

)1(2

)(1

)3(1

)2(1

)1(1

Mgggg

Mgggg

Mgggg

Mgggg

Mgggg

Mgggg

g

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

S

EP

)()()( ig

TiT

ig SS

求等效结点荷载列阵 EP

)()()()( ig

TiT

ig

iE SSP

)(

)(

i

KE

i

JE

P

P

)(

6

5

4

3

2

1)(

100000

0000

0000

000100

0000

0000i

g

g

g

g

g

gi

xy

yx

xy

yx

S

S

S

S

S

S

CC

CC

CC

CC


)(

6

54

54

3

21

21

)(

3

13

23

3

13

23

i

g

gxgy

gygx

g

gxgy

gygx

i

KE

KE

KE

JE

JE

JE

S

SCSC

SCSC

S

SCSC

SCSC

P

P

P

P

P

P


JJE

JJE

JJE

Ji

i

JEJE

P

P

P

PP

3

13

23

KKE

KKE

KKE

Ki

i

KEKE

P

P

P

PP

3

13

23

求综合结点荷载列阵 CP

EDC PPP

结构的荷载列阵[例 ] 考虑右图所示平面刚架，求其综合结点荷载列阵[ 解 ] 将结构离散为3个单元、 4个结点

(1) (2)

(3)

结构的荷载列阵1 、直接结点荷载列阵

TD pP 00000000000 1

(1) (2)

(3)

结构的荷载列阵2 、局部坐标下单元固端力

T

g

qlqlqlql

PlPPlP

S

1220

1220

0000008

2

20

8

2

20

22

(1)号单元

(2)号单元

(3)号单元

结构的荷载列阵3 、非结点荷载对等效结点荷载的贡献

)(

6

54

54

3

21

21

)(

3

13

23

3

13

23

i

g

gxgy

gygx

g

gxgy

gygx

i

KE

KE

KE

JE

JE

JE

S

SCSC

SCSC

S

SCSC

SCSC

P

P

P

P

P

P

结构的荷载列阵

（ 1）号单元

8

2

20

8

2

20

PlPPlP

Tgggggg SSSSSS

)1(654321

(1) (2)

(3)

结构的荷载列阵（ 1）号单元

22

101

)1(

23

PPP EJE

22

102

)1(

13

PPP EJE

8

23

)1(

3

PlPP EJE

22

107

)1(

23

PPP EKE

22

108

)1(

13

PPP EKE

8

29

)1(

3

PlPP EKE


（ 2）号单元

Tgggggg SSSSSS

)2(654321

000000

(1) (2)

(3)


（ 3）号单元

1220

1220

22 qlqlqlql

Tgggggg SSSSSS

)3(654321

(1) (2)

(3)

结构的荷载列阵（ 3）号单元

07

)3(

23 EJE PP

28

)3(

13

qlPP EJE

12

2

9

)3(

3

qlPP EJE 010

)3(

23 EKE PP

211

)3(

13

qlPP EKE

12

2

12

)3(

3

qlPP EKE

结构的荷载列阵等效结点荷载列阵

22

)1(

11

PPP EE

22

)1(

22

PPP EE

8

2)1(

33

PlPP EE

0654 EEE PPP

22

)3(

7

)1(

77

PPPP EEE

222

)3(

8

)1(

88

qlPPPP EEE

128

2 2)3(

9

)1(

99

qlPlPPP EEE

0)3(

1010 EE PP

2

)3(

1111

qlPP EE

12

2)3(

1212

qlPP EE

结构的荷载列阵综合结点荷载列阵

EDC PPP

整体刚度矩阵整体刚度矩阵

整体刚度矩阵

)()()( iiiuKS

整体刚度矩阵)()()( i

K

J

i

KKKJ

JKJJ

i

K

J

u

u

KK

KK

S

S

)()()()()( iK

iJK

iJ

iJJ

iJ uKuKS

)()()()()( jM

jJM

jJ

jJJ

jJ uKuKS

)()()()()( kN

kJN

kJ

kJJ

kJ uKuKS

整体刚度矩阵

变形协调条件

静力平衡条件

)()()( kJ

jJ

iJJ uuuU

)()()( kJ

jJ

iJJ SSSP

整体刚度矩阵

)()()( kJ

jJ

iJJ SSSP

N

kJNM

jJMK

iJK

J

kJJ

jJJ

iJJJ

UKUKUK

UKKKP

J

JJK

)(iJS )( j

JS )(kJS

变形协调条件

整体刚度矩阵

M

N

K

J

kJM

jJN

iJK

JJJ

M

N

K

J

U

U

U

U

U

U

U

KKKK

P

P

P

P

P

P

P

3

2

1

3

2

1

UKP

整体刚度矩阵

整体刚度的形成，可以按结点分析逐行得到。在实际应用中，也可以将总刚看成是各个单刚贡献组集的结果。因此，在组集的时候，可以按单元先后顺序，先生成单元刚阵，再将单元刚阵中各元素叠加到总刚相应的行、列中，而这个行列号是根据单元杆端编号计算出来的。

对号入座法

半带宽存储

半带宽存储

结点半带宽计算公式

1 相邻结点码最大差值与点 md m

半带宽存储

合理的编码原则是使每结点码与周围结点码尽可能接近。

整体刚度矩阵

整体刚度矩阵为一个奇异矩阵，不能求出唯一解。必须要引入其他条件，进一步改造整体刚度矩阵。

支承约束条件

支承约束条件支承约束条件

支承约束条件的引入

KUP 1）若给定支座处位移为 0 ，可将 K阵中对应的行和列进行修改：对角线元素为 1 ，其余均为 0 ； P 列阵相应元素改为 0 。

2）若给定支座处位移非零，可将 K阵中相应的对角线元素乘一个大数，其余行列元素不动； P 列阵相应元素也乘该大数。


UKP

R

r

U

UU

自由结点位移

约束结点位移P

P

P

R

r

PPR

P

cr

r

RRRr

rRrr

KK

KKK


RrRrrrr UKUKP

R

r

RRRr

rRrr

cr

r

U

U

KK

KK

PR

P

RRRrRrcr UKUKPR

若支座无沉陷

0RU

rrrr UKP

rRrcr UKPR

非奇异矩阵

rrrr PKU 1

自由结点位移

支座反力


若无荷载作用，已知

0rP 0crP

RrRrrr UKUK 0

RRRrRr UKUKR

RrRrrr UKKU 1

RU


示例

1m 1m

1mp=40kN

q=24kN/m

m=45kN·m

空间杆系结构

y

z

X

Y

Z

坐标系统

x

xy

zi

j·

·

对于梁单元， y 轴和z 轴分别为横截面上的两个惯性主轴。

一维铰接杆单元，横截面积为 A ，长度为 l ，弹性模量为 E ，轴向分布载荷为 px 。单元有 2 个结点 i ， j ，单元坐标为一维坐标轴 x 。

· ·i j x

l

LINK

px

ujui

1 、一维杆单元

单元结点位移向量

j

ie

u

u

1 、一维杆单元

单元结点位移向量

j

ie

u

u

11

11][

l

EAk e

单元结点力向量

j

ie

F

FF}{

2 、平面桁架杆单元（ 2D LINK1 ）

1

2

3

4

i j x

y

l

局部坐标单元位移向量

4

3

2

1

e

1

2

3

4

i j x

y

看成局部坐标下的拉压杆

2 、平面桁架杆单元（ 2D LINK1 ）

0000

0101

0000

0101

][l

EAk e

单元刚度矩阵

i j x

y

lz

3 、空间杆单元（ 3D LINK8 ）

局部坐标单元位移向量

1

2

4

5

3

6

Te654321

3 、空间杆单元（ 3D LINK8 ）

对于等截面铰接杆单元，

000000

000000

001001

000000

000000

001001

][l

EAk e

4 、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元

i j x

y

i j x

y

1

2

3

4

lF1

F2

F3

F4

l

局部坐标下单元位移向量

TjjiiTe vv 4321

4 、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元

适合于连续梁分析

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

k

zz

zz

zz

zz

zz

zz

zz

zz

e

46

612

26

612

26

612

46

612

][

2

23

2

23

2

23

2

23

•整体坐标与局部坐标方向一致

5 、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（平面刚架， BEAM3)

i j x

y

i j x

y

2

3

5

6

l1 4

F2

F3

F5

F6

lF1 F4

局部坐标单元位移和单元力

TjjjiiiTe vuvu 654321

5 、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元（平面刚架， BEAM3)

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EAl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EA

k

zzzz

zzzz

zzzz

zzzz

e

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

][

22

2323

22

2323

6 、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元（面外弯剪扭梁单元）

i j

l x

y

z

1

2

4

5

3 6

F1

F2

F4

F5

F3 F6

i j

l x

y

z

1 2 3 4 5 6 F1 F2 F3 F4 F5 F6

xi yi wi xj yj wj Mxi Myi Qzi Mxj Myj Qzj

此类单元适用于受面外荷载的平面框架。


i j

l x

y

z

1

2

4

5

3 6

F1

F2

F4

F5

F3 F6

i j

l x

y

z

如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形，弯曲和扭转之间是相互独立的。


另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即

xi xjxiM GJ

l

式中： GJ 为截面扭转刚度。

6 、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 ( 面外弯剪扭梁单元）

3232

22

3232

22

1260

1260

640

620

0000

1260

1260

620

640

0000

][

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GJ

l

GJl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GJ

l

GJ

k

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

e

7 、空间梁单元（ BEAM4 ）

空间梁单元，每个节点有 6 个自由度，单元自由度为 12 。下图给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号。单元力的正向及其编号与单元位移相同。

i j

l x

y

z

uixi

vi

yi

wi

zi

vj

yj

wj

zj

ujxj

i j

l x

y

z

142

5

3

6

8

11

9

12

7 10

综合前述结果，得空间梁单元局部坐标单元刚度矩阵。

43

21

kk

kkk e

l

EI

l

EIl

EI

l

EIl

GJl

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EA

k

zz

yy

yy

zz

4000

60

04

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

][

2

2

23

23

1

zyxzyx wvu

l

EI

l

EIl

EI

l

EIl

GJl

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EA

k

zz

yy

yy

zz

2000

60

02

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

][

2

2

23

23

2

l

EI

l

EIl

EI

l

EIl

GJl

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EA

k

zz

yy

yy

zz

2000

60

02

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

][

2

2

23

23

3

l

EI

l

EIl

EI

l

EIl

GJl

EI

l

EIl

EI

l

EIl

EA

k

zz

yy

yy

zz

4000

60

04

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

][

2

2

23

23

4

课后作业题 1

图示阶梯形直杆，各段长度均为 l，横截面积分别为 3A、 2A、 A，材料重度为 γ，弹性模量 E。求结点位移和各段杆中内力。

课后作业题 2

某变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为 2l，固支端的截面尺寸为 b×1.6h，铰支端的截面尺寸为 b×h。梁上作用均布载荷 p0 。求梁端的约束反力。

弹性力学平面问题的有限单元法

弹性力学平面问题基本方程式

平面问题的两种类型

弹性力学平面问题的有限单元法

平面问题有限元法公式与推导

平面问题的整体分析

其他单元形式和插值函数

本章教学要求

通过本章内容的学习，重点掌握单元的构建方法、分析方法和各自的属性特点，学会各种单元的比较和选择，并能在实际工作中得以应用。

平面问题的两种类型平面问题的两种类型


一、平面应力问题

几何特点：均匀薄片，厚度很小；

受力特点：表面力平行于薄片平面，且不沿厚度变化体积力平行于薄片平面，且不沿厚度变化


一、平面应力问题

应力特点：0|

2

t

zz

0|2

t

zzx

0|2

t

zzy

未知量：

x y xy


二、平面应变问题

几何特点：无限长的柱形体或棱柱体

受力特点：表面力垂直于纵轴线并不沿柱形体长度变化体积力垂直于纵轴线并不沿柱形体长度变化


二、平面应变问题

应变特点：

0z

0 zyzx

yxz

0 zyzx 物理方程

基本方程式基本方程式

平面问题的基本方程式1 、几何方程（位移与应变关系式）

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

伸长为正、直角变小为正

v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

平面问题的基本方程式2 、物理方程（应力与应变关系式）

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

1

1

1

zxzx

yzyz

xyxy

G

G

G

1

1

1

12

EG

平面应力问题的物理方程

xyxyxy

xyy

yxx

EG

E

E

121

1

1

0z 0 zyzx

xyxy

xyy

yxx

E

E

E

12

1

1

2

2

xy

E

2

1

1 2

平面问题的基本方程式

平面应力问题的物理方程平面问题的基本方程式

xy

y

x

xy

y

xE

2

100

01

01

1 2

D

弹性矩阵 D

D

平面应变问题的物理方程平面问题的基本方程式

yxz

xyxyxy

xyy

yxx

EE

E

E

2

2

2

1

112

12

1

1

1

1

xyxy

xyy

yxx

E

E

E

'

'12

''

1

''

1

平面应变问题的物理方程平面问题的基本方程式

'D

21

100

011

01

1

11

1' 2

2

E

D

平衡方程式（应力与体积力关系）

平衡方程式与边界条件

yxxy

yxy

yxx

Yyx

Xyx

0

0

由内部微分体：

边界条件（应力与表面力关系）

平衡方程式与边界条件

sincos

sincos

yxy

yxx

Y

X

由边界微分体：

变形连续体平衡的必要与充分条件是：对于任意微小的虚位移，外力所做的总虚功，等于变形体所接受的总虚变形功。

虚功方程式

外力虚功 =虚变形功

虚功方程式

AC

tdxdyYvXutdsvYuX ****

1

A xyxyyyxx tdxdy***

=

状态 1：实际状态状态 2：虚拟状态

虚功方程式

A xyxyyyxx

n

iii tdxdyP ***

1

*

PT* A

Ttdxdy *

=

平面问题的有限元法平面问题的有限元法

平面问题的有限单元法





平面问题的有限单元法离散化：将连续结构离散成若干个基本单元；单元形状可以是三角形、矩形或多边形；认为单元之间只在结点处相互连接；在位移为零处的结点设置链杆，并把这些链杆看成是结构的支座。

三角形剖分

利用调整三角形边长的大小，能够对任意形状的边界和曲线形状的边界作更精确的描述。


注意事项：

2 、单元大小：根据精度要求及计算机的容量、速度来确定，不同的部分可以采用不同大小的网格。

3 、单元形状：三角形的三个边长不能相差太大，常采用等腰直角三角形或等边三角形。

1 、结点之间只传递位移，故结点为铰结点。


任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单任一三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不能是其相邻三角形单元边的内点。元的顶点，而不能是其相邻三角形单元边的内点。

使每个三角形单元的三个边长之间不要悬殊太大；否使每个三角形单元的三个边长之间不要悬殊太大；否则，在计算中会出现过大的误差。则，在计算中会出现过大的误差。

应尽可能使网络具有某种规则形式，使每个内结点为应尽可能使网络具有某种规则形式，使每个内结点为六个三角形的共同顶点，并且六个内角大小不要相差太悬六个三角形的共同顶点，并且六个内角大小不要相差太悬殊。殊。


单元分析：研究每个单元内力与变形参数的关系，导出结点力与结点位移的关系，即单元刚度矩阵。

)()()( iii uKS

平面问题的有限单元法整体分析：按连续条件和平衡条件拼装单元，得出整体刚度矩阵，建立结构刚度方程；考虑边界约束条件对整体刚度矩阵进行修正，求解方程组确定位移未知数。

公式与推导公式与推导

平面问题有限元法公式与推导单元分析

结点位移

i

ii v

u

结点力

i

ii V

UF

3

2

1

F

F

F

F e e

3

2

1eK

物理方程

平面问题有限元法公式与推导单元分析

结点位移

用插值方法求内部各点位移

应变应力结点力

位移函数

几何方程

平衡方程

位移函数概念

位移函数也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。

一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优势之一。

平面问题有限元法公式与推导单元位移函数

结点位移内部各点位移插值函数

插值函数一般采用多项式的形式n

n xxxxu 12

321)( 2

652

4321),( yxyxyxyxu

单元位移函数yxyxu 321),(

yxyxv 654),(

6

5

4

3

2

1

1000

0001

),(

),(),(

yx

yx

yxv

yxuyx

yxfyx ,),(

单元位移函数yxyxu 321),(

333213

232212

131211

yxu

yxu

yxu

A

A11

A

A22

A

A33

单元位移函数

3322111 auauauA

1

2 3

3322112 bububuA

3322113 cucucuA

23321 yxyxa

321 yyb

231 xxc 2A

单元位移函数

3322111 2

1uauaua

3322112 2

1ububub

3322113 2

1ucucuc

单元位移函数eA

321

321

321

321

321

321

000

000

000

000

000

000

2

1

ccc

bbb

aaa

ccc

bbb

aaa

A

单元位移函数

eA

yxfyx ,),(

eAyxfyx ,),(

yxN ,

单元位移函数

yxNyxNyxN

yxNyxNyxNyxN

,0,0,0

0,0,0,,

321

321

ycxbayxN 1111 2

1,

ycxbayxN 2222 2

1,

ycxbayxN 3333 2

1,

单元位移函数

3

3

2

2

1

1

321

321

,0,0,0

0,0,0,

),(

,

v

u

v

u

v

u

yxNyxNyxN

yxNyxNyxN

yxv

yxu

),(, 1 yxNyxu

),(, 1 yxNyxv N(x , y) 为位移的形态函数

当 u1=1 ，其他结点位移皆为零时，

当 v1=1 ，其他结点位移皆为零时，

单元位移函数

Ni(xj , yj) =δij =

在单元中任一点，各插值函数之和应为 1

N1 + N2 + N3 = 1

插值函数为线性，单元内部位移由结点位移唯一确定，可保证相邻单元在公共边界上位移的连续性

1 i=j

0 i≠j

单元位移函数

单元位移函数的收敛性——当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。

证明过程：教参 4 ， P70

单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

单元应变函数

v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

3

3

2

2

1

1

321

321

,0,0,0

0,0,0,

),(

,

v

u

v

u

v

u

yxNyxNyxN

yxNyxNyxN

yxv

yxu

332211

332211

332211

332211

2

12

12

1

vbvbvb

ucucuc

vcvcvc

ububub

单元应变函数

332211

332211

332211

332211

2

12

12

1

vbvbvb

ucucuc

vcvcvc

ububub

e

xy

y

x

bcbcbc

ccc

bbb

332211

321

321

000

000

2

1 eB

几何矩阵

单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

单元应力函数

D平面应力问题

'D平面应变问题

2

100

01

01

1 2

E

D

单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

由应力求结点力

由虚功方程代替平衡方程

tdxdyFTeeT **

eB **

eB

TeTTB**

tdxdyBF TeTeeT **

tdxdyBF Te

tBF Te

dxdy

单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

位移函数 eyxNyx ,),(

应变函数 eB 应力函数 D虚功方程 tBF Te 结点位移求应力

ee SDBD 结点位移求结点力

tDBBtDBtBF eTTTe

tDBBtDBtBF eTTTe

单元刚度矩阵

eee KF

DBtBK Te

StBK Te

ee

KKK

KKK

KKK

F

F

F

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

平面问题的整体分析平面问题的整体分析

整体分析

建立整体刚度矩阵引入支承条件

解方程求位移求应力

建立整体刚度矩阵由单元刚度矩阵对号入座形成

包括作用在非结点处的表面力与体积力所产生的等效结点荷载。等效原则采用与静力所作的虚功相同的原则。

荷载列阵的建立

EDC PPP

EP

1）任意点上的集中荷载


PPTe

E

eT *0

*

eyxNyx ,,

eyxN *00

*0 ,

PyxNP TeE ),( 00

2）体积力


将作用在微分体积上的合力作为集中力，然后进行积分。

3）表面力将作用在微分体积上的合力作为集中力，然后进行积分。

均质等厚单元的自重

均布侧压

x

y

o

2

1

3

α

q

131 2yyq

tP x

311 2xxq

tP y

x 方向均布载荷

x

y

o

2

1

3q

l

x 方向集中力

x 方向三角形分布载荷

支承条件的引入

KUP 1）若给定支座处位移为 0 ，可将 K阵中对应的行和列进行修改：对角线元素为 1 ，其余均为 0 ； P 列阵相应元素改为 0 。

2）若给定支座处位移非零，可将 K阵中相应的对角线元素乘一个大数，其余行列元素不动； P 列阵相应元素也乘该大数。

支承条件的引入

UKP ''

'' 1PKU

其他单元形式和插值函数其他单元形式和插值函数

弹性问题单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

选取位移函数应考虑的问题（ 1 ）位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。三结点三角形单元中有 u 和 v ，与此相应，有 2 个位移函数；

（ 3 ）位移函数中待定常数个数待定常数个数应等于单元结点自由度总数，以便用单元结点位移确定位移函数中的待定常数。三结点三角形单元有 6 个结点自由度，两个位移函数中共包含 6 个待定常数。

（ 2 ）位移函数是坐标的函数平面单元的坐标系为： x 、 y；

（ 4 ）位移函数中必须包含单元的刚体位移。（ 5 ）位移函数中必须包含单元的常应变。（ 6 ）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。

条件（ 4 ）、（ 5 ）构成单元的完备性准则。条件（ 6 ）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三结点常应变单元满足以上必要与充分条件。

（ 7 ）位移函数的形式一般选为完全多项式。为实现（ 4 ）—（ 6 ）的要求，根据 Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元结点自由度数。

432234

3223

22

1

yxyyxy　 xx

yxyy　 xx

y　 xyx

yx　

　　

关于形态函数关于形态函数

有限单元法中，当单元形状和相应的形态函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态函数的作用十分重要。

形态函数

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

形态函数形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数，它应满足下列条件：

在结点 i ， Ni =1 ；在其他结点， Ni＝ 0

能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续性

应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可满足常应变条件

应满足下列等式： ΣNi = 1 ，以便用它定义的单元位移能反映刚体移动

四结点矩形单元

四结点矩形单元• 位移函数（双线性位移模式）

xyyxu 4321

xyyxv 8765

在边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元上公共结点上有共同的结点位移值，因此保证了两个相邻单元在公共边界上位移的连续性。

• 位移连续性

单元位移函数

eA

yxfyx ,),(

eAyxfyx ,),(

yxN ,

双线性单元

4

1

),(),(i

ii uyxNyxu

4

1

),(),(i

ii vyxNyxv

)1)(1(4

1),(1 b

y

a

xyxN

形态函数的特点同前

四结点矩形单元• 单元应变

yxx

v

y

u

xy

v

yx

u

xy

y

x

8463

87

42

eB

四结点矩形单元• 单元应力

的主项沿 y 方向线性变化，它的次要项沿 x 方向线性变化；

x

的主项沿 x 方向线性变化，它的次要项沿 y 方向线性变化；

y

xy 沿 x 及 y 都成线性变化。

应力分量不是常量

ee SDB

四结点矩形单元• 单元缺陷

一个方向为常量，另一个方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。

不能很好地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的直线边界。

六结点三角形单元

六结点三角形单元• 位移函数

• 位移连续性

265

24321 yxyxyxu

21211

210987 yxyxyxv

单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公共结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。

六结点三角形单元• 单元应变

yx

yxy

v

yxx

u

xy

y

x

11610583

12119

542

22

2

2

D• 单元应力

六结点三角形单元

这种单元的应变在两个坐标方向上都呈线性变化，应力也呈线性变化。因此，单元精度较三结点三角形单元高。

十结点三角形单元

十结点三角形单元• 位移函数

• 位移连续性

265

24321 yxyxyxu

310

29

28

37 yxyyxx

单元边界上位移按三次曲线分布，公共边上四个结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。

• 单元应变

22019

218161513 322 yxyxyxy

D• 单元应力


298

27542 232 yxyxyxx


这种单元为三次单元，位移模式是完全的三次多项式，单元的应变和应力是二次函数。因此，单元精度较六结点三角形单元高。

空间问题有限元空间问题有限元

常应变四面体单元

常应变四面体单元• 位移函数

zyxu 4321

zyxv 8765

zyxw 1211109

常应变四面体单元• 单元应变

e

zx

yz

xy

z

y

x

B

z

u

x

wy

w

z

vx

v

y

uz

wy

vx

u

104

118

63

12

7

2

几何矩阵 B 由结点坐标决定，因此，单元中应变分量都是常量。

常应变四面体单元• 单元应力

ee SDB

弹性矩阵 D 由材料特性决定，因此，单元中应力分量都是常量。

常应变四面体单元• 单元刚度矩阵

DBVBVDBBK T

V

Tee

d

44434241

34333231

24232221

14131211

KKKKKKKKKKKKKKKK

K e

1 (2, 2)

2 (6, 3)

3 (5, 6)q1

q2

要求：写出上图所示三角形单元的形态函数及结点荷载向量

x

y

各种单元的比较与选择各种单元的比较与选择（平面单元）（平面单元）

单元的选择与计算精度、计算时间及准备工作等有关。

各种单元的比较与选择

按位移法（最小势能原理）求出的位移近似解，其值将小于精确解，这种位移解称为下限解。

按位移法求解时，必须先假定单元位移函数。这些位移函数是连续的，却是近似的。从物体中取出的一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数以后，只有以结点位移表示的有限个自由度。位移函数对单元的变形能力有所限制，使单元的刚度增加了，物体的整体刚度也随之增加了，因此计算的位移近似解将小于精确解。


310030.4

310806.3

310152.1

各种单元的比较与选择B A

B’ A’


以上计算成果表明：对于以弯曲为主的单薄结构，如土基中的混凝土防渗墙、隧洞衬砌等等，不宜采用等应变三角形单元，因为这类构件比较薄，在厚度方向要布置 5排以上的单元比较困难，而单元在 4排以下时，计算误差比较大，最好采用 8 结点的等参数单元或高次三角形单元。

同时，对于拱坝等空间结构，不要采用常应变四面体单元，最好采用 20 结点等参数单元，或高次四面体单元。

各种单元的比较与选择为了达到同样的精度，高次单元的数目可以减少，自由度总数随之减少。因此，信息准备的工作量较少，求解方程组的机器时间也较少。

除了每个结点有 6 个参数的单元外，高次单元的带宽较大，对于同样的自由度，需要较大的存储容量。高次单元最重要的缺点是单元刚度矩阵比较复杂，在形成刚度矩阵时要消耗较多的机器时间，尤其是等参数单元，其刚度矩阵必须通过数值积分才能算出，形成刚度矩阵所需机器时间更多。

但在多数情况下，这些缺点能为自由度的减少所弥补。

各种单元的比较与选择各种单元的比较与选择（空间单元）（空间单元）

各种单元的比较与选择六面体单元，形状规则，难以适应工程结构的复杂外形，

目前应用很少。

四面体 12 自由度单元，由于其刚度矩阵简单，也能适应复杂的几何外形；单元内部应变是常量，必须采用大量的密集的单元，才能取得较好的应力效果。

四面体 48 自由度单元，单元应变是二次函数，计算精度较高；它适应复杂几何形状的能力优于六面体单元，但不如等参数曲面单元。

等参数单元既有较高的计算精度，又能适应复杂的几何形状，应用日渐广泛。

各种单元的比较与选择等参数单元 I60 对于两种结构的计算精度都很高；

等参数单元 I24 对于悬臂梁的计算精度还算满意，对于薄板的计算精度就比较差；

由 5 个或 6 个常应变单元组合的单元 5T12 和 6T12 ，对两种结构的计算精度都很差；

由 5 个线性应变单元组合的单元 5T30 的计算精度是比较好的，但它的表面是平面，无法贴合结构的复杂外形；

等参数单元的刚度矩阵是各向同性，而 5T30 的单元刚度矩阵却在三个方向略有差别。


长悬臂梁

I60

I24

(m, n) 网格型式等参数单元I60 计算效果好。


深悬臂梁

等参数单元I24 计算效果好。

I60

(m, n) 网格型式

I24


对于空间问题， 20 结点等参数单元可以很好地反映板弯曲作用，在厚度方向只要取一层单元就可以计算弯曲作用比较显著的结构。

对于内部剪应力较显著的大体积结构， 8 结点等参数单元可能更为有效。

当存在应力集中现象时，四面体单元因可采用密集的网格以适应急剧变化的应力场，仍是值得考虑的一种形式。

当结构非常单薄时，采用空间单元计算，可能出现病态方程，对于这类结构，最好采用薄板或薄壳单元计算。

关于形态函数关于形态函数

有限单元法中，当单元形状和相应的形态函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态函数的作用十分重要。

形态函数

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

形态函数形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数，它应满足下列条件：

在结点 i ， Ni =1 ；在其他结点， Ni＝ 0

能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续性

应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可满足常应变条件

应满足下列等式： ΣNi = 1 ，以便用它定义的单元位移能反映刚体移动

单元形态与单元布置单元形态与单元布置

单元形状对应变的影响结点 3 的雅克比矩阵行列式为：

2ctg2

aJ 02

ctg180 ，o

此时雅克比矩阵无法求逆，无法求出结点 3 处的应变。在它附近的应变，即使可以求出，计算误差也是很大的。因此，各单元的顶角不能接近 180o ，一般应尽量保持在 90o

左右。

棱边结点间距对应变的影响

如果同一条边上的结点间距相差过大，对计算结果会产生影响。例如，当二次等参数单元的棱边中点从正常位置移到 ¼边长处时，在角点 1处的应变将趋于无穷大。

因此，边中点应布置在中间 1/3 区间内，尽量靠近边中点。

等参单元的加密在结构内的应力是不均匀的，在应力梯度小的区域，单元可以稀一些；在应力梯度大的区域，应该密集一些。

应力计算结果的处理应力计算结果的处理

应力近似解的性质

应变近似解和应力近似解在精确解上下振荡，并在某些点上，近似解正好等于精确解。

等参元的最佳应力点

在等参元中，高斯积分点上的应变或应力近似解比其他部位具有较高的精度，这些积分点称为最佳应力点。

应力平均

取相邻单元的应力平均值

算术平均值面积加权平均值

取围绕结点各单元应力的平均值

总体应力磨平

构造一个改进的应力解，此改进解在全域上是连续的，改进解与有限元计算的应力解应满足加权最小二乘的原则

单元应力磨平

为减少改进应力结果的工作量，可以采用单元应力的局部磨平。

采用单元应力局部磨平的方法，对于同一结点，由不同相邻单元求得的应力改进值通常是不相同的。可把相关单元求得的改进结点值再取平均作为最后结点的应力值。

子结构分析子结构分析

子结构分析

在分析大型复杂结构时，由于单元数量多，方程组往往十分庞大，以至超出了计算机的存储容量。

这时可以把原结构分为几个区域，每一个区域称为一个子结构，这些子结构在它们的公共边界上互相连结起来。

先分析子结构，通过静力凝聚消去子结构的内部自由度，然后进行整体分析。这时只要考虑结构约束边界及相邻子结构公共边界上的自由度，问题的规模比原结构当然要小得多了。

子结构分析

子结构分析

i

b

i

b

iiib

bibb

PP

KKKK

bibiiii KPK 1

**bbb PK

iiibibb

ibiibibbb

PKKPP

KKKKK

1*

1*

子结构分析

杆件与块体的连接杆件与块体的连接

杆件与块体的连接

在用有限单元法计算实际工程结构时，经常会遇到不同结构构件的连接问题，如杆件结构与块体结构的连接问题。

如何将杆件单元与块体单元连接起来？


方法一：杆件部分与块体部分都采用块体单元由于杆件中应力梯度较大，必须采用比较密集的计算网格，将大大增加计算量。

方法二：杆件部分采用杆件单元，块体部分采用块体单元由于杆件单元的结点自由度除了线应变外，还有角应变，而块体单元的结点自由度只有线位移，所以在杆件与块体之间的接触面上，存在着两种单元的自由度匹配问题，需要采用连接单元。


连接单元 ijm

在 j 点，刚臂与块体固结；在 m 点，刚臂与块体之间用滚轮连接

因此，刚臂不承受轴力，只承受弯矩和剪力，以保证杆件与块体在接触处角变形的连续。


在杆件单元 ij 的下面连接 2 支刚臂，刚臂 jm正交插入块体，用以保证角变位Φyj 、Φzj的连续；刚臂 njp ，平行于块体表面，用以保证扭转角变位Φxj的连续。

1 、板壳结构：平板、壳体

平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。

8

1~

5

1

100

1~

80

1

b

h

壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然：对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。

考虑横向剪切影响的平板弯曲单元• 在薄板单元中，构造协调单元的困难在于单元

间要求斜率的连续性。如果放弃薄板理论的直法线假设，考虑横向剪切的影响，有可能绕过这一困难。假设：中面法线变形后仍为直线，但绕 x 、 y 轴转动了 θx、 θy.。

x

w

y

wyx

,

上述假定基于汉盖理论。根据该假定，则板内任意一点的位移分量具有如下形式：

),( yxwwzvzu xy

•增加自由度：扭率或曲率•增加边中结点或限制。

• 代入几何方程，应变矩阵：

yx

xy

xxyy

yx

xy

zx

yz

xy

y

x

w

w

z

z

z

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

u

y

ux

u

,

,

,,

,

,

)(}{

应力矩阵}]{[}{

D

zx

yz

xy

y

x

2

100

01

01

1][

21

E

E

弹性矩阵

2

10

02

1

1][

22

E

E

2

1

0

0][

E

ED

• 平板的变形由中面挠度 w 和法线绕 x 、 y 轴的转角 θx、 θy.确定。每个结点取它们作为自由度，采用 8结点平板单元。

• 中面上任意点的挠度和转角可以表示为：

yi

xi

i

ii

i

i w

N

zN

zN

w

v

u

8

1 00

00

00

8

1

8

1

8

1 iyiiy

ixiix

iii NNwNw

由此可得位移模式 ),( yxwwzvzu xy

• 应变分量

i2B

zBBi

BB

i

e

iii

1

8

1

][

}]{[}]{[

ixi

iyii

yixi

yi

xi

i NN

NNB

NN

N

N

B0

0][

0

00

00

][,

,2

,,

,

,

1

• 应力分量 eSD }]{[][}{

22

11821 ]][[][][][

i

iii BE

BzEBDSSSSS 而

• 内力计算

)(

)(

)(

)(

)(

8

1,4

2/

2/

8

1,4

2/

2/

,

8

1,3

2/

2/

,2

8

1,1

2/

2/

,1

8

1,2

2/

2/

yiii

ixi

h

h zxx

xiii

iyi

h

h yzy

yiyii

xixi

h

h xyxy

yixii

xiyi

h

h yy

yixii

xiyi

h

h xx

NwNDzdzQ

NwNDzdzQ

NNDzdzM

NDNDzdzM

NDNDzdzM

)1(2)1(24)1(12 42

3

3122

3

1

EhD

EhDDD

EhD式中

• 单元刚度矩阵

1

1

1

1

222111

3

][][

][][12

]][[][][

ddJHdxdyH

dxdyBEBhBEBh

dxdydzBDBk

jT

ijT

i

jV

Tiij

jiyjyixjxi

xjyiyjxi

ixjyjxixjyi

jixjxiyjyi

iyjjxi

jyixjxiyjyi

NNDNNDNNDH

NNDNNDH

NNDHNNDNNDH

NNDNNDNNDH

NNDHNNDH

NNDHNNNNDH

4,,3,,133

,,3,,232

,431,,3,,223

4,,3,,122

,421,413

,412,,,,411 )(

•等效结点荷载：设单元表面作用有均布荷载 q(x,y) ，等效结点荷载为

)8,2,1(),(1

1

1

1

iddJNyxqF iei

例：承受均布荷载 q 的方板，四边简支。 4X4网格，挠度？

h/L 有限元厚板薄板0.01 0.0443

80.04439

0.04437

0.1 0.04628

0.04632

0.04437

0.2 0.05202

0.05217

0.04437

0.3 0.06160

0.06192

0.04437

0.4 0.07500

0.07557

0.04437

四边简支板

平面壳体单元• 平面壳体单元的应力状态是由平面应力和弯曲应

力单元的叠加，因此，构造壳体平面单元时，只需要将前面的两种单元简单叠加组合即可。值得注意的时，壳体平面单元用于分析壳体结构时，需要对单元刚度矩阵、等效结点荷载和结点位移等进行坐标变换。

• 结点位移： 5 个位移，即 {ui,vi,wi,θxi, θyi}, 前两个对应为平面应力问题，后三个对应平板弯曲问题。对应结点力为

yixiwiviui MMFFF

• 在局部坐标中，节点位移不含 θz ，但为了将局部坐标下的刚度矩阵转换到整体坐标系，须将 θz加入节点位移中。即：

][ ziyixiiiii wvu

平板壳体单元刚度矩阵的子块矩阵

000000

000

000

0000

0000

rsK

PrsK

BrsK

考虑横向剪切影响的壳体单元• 采用平面单元模拟曲面结构，不够理想，而采

用曲面单元效果更好，单元数量也会相应减少。• 采用薄板理论的直法线假设使得中面转动依赖

于中面位移，给位移模式的构造带来困难。如果考虑横向剪切变形的影响，就可以认为中面转动是独立变量而不在依赖于位移的一阶导数。因此，只需要单元边界上的位移函数的连续性就可以，从而避开了要求一阶导数的连续性。

• 实际中常用八结点 40 自由度四边形单元来考虑剪切变形对壳体单元的影响。该类单元适合于薄壳和厚壳。

1 、单元几何形状的确定 8 结点壳单元，象类似空间等参单元一样，引入一个自然坐标系 oξηζ 。命 ξη 为壳体中面上的曲线坐标； ξ=1 对应顶面， ξ=-1 对应底面。在单元中面上选 8 个结点，过各结点 i(i=1,2…8) 作中面的法线，交顶面和底面的点称为结点 i 的对点。其坐标记为：

底顶底顶 i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

2

1

显然，结点 i 处中面法线方向可以用下列单位矢量确定

底顶 i

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

z

y

x

z

y

x

hn

m

l

V1

3

3

3

3

•单元类任意一点的坐标可以通过形函数 Ni(ξ,η) 的插值表示：

ii

i

i

i

ii V

h

z

y

x

N

z

y

x

3

8

1 2),(

222底顶底顶底顶 iiiiiii zzyyxxh

这样，利用 8 对点的整体坐标，按上式就可近似地确定单元的形状。

2 、位移模式

• 假定中面法线 V3i 变形后仍为直线，但是不再是变形后的中面法线，有绕 V1i 和 V2i 的转角 βi、 αi 。则单元内任意点的位移可以表示为

i

ii

i

i

i

i

w

v

u

N

w

v

u

][),(

][2

][ 21

3231

2221

1211

iii

ii

ii

ii

i VVh

式中

• 写成标准形式

][][

][}{

}]{[8

1

8

2

1

iii

iiiiii

ii

INN

wvu

NiN

w

v

u

式中：

应变计算

8

1

}]{[}{i

ii

zx

yz

xy

z

y

x

B

x

w

z

u

z

v

y

w

x

v

y

uz

w

y

ux

u

应力计算（单元坐标）

1

1

1

1

1

1][][][ dddJpNF V

Ti

ei

8

1

}]{[}]{[}{i

eii

ee SS

单元刚度矩阵（单元坐标）

1

1

1

1

1

1]][[][][ dddJBDBk j

Tiij

等效结点荷载

体力

面力 dsqNF Ti

ei }{][][

等参数单元

线性单元与双线性单元

二维平面等参数单元

三维空间等参数单元

线性单元与双线性单元线性单元与双线性单元

线性单元

yxyxu 321),(

yxyxv 654),(

ycxbayxN iiii

2

1,

形态函数是坐标的线性函数，称为线性单元，单元内各点的应力与应变均为常数。

线性单元

3

1

),(),(i

ii uyxNyxu

形态函数的特点：

3

1

),(),(i

ii vyxNyxv

1 、在结点 i处为 1 ，其余结点处为 0 ；2 、与位移函数具有同样的类型；

3 、 1),(3

1

i

i yxN

双线性单元

xyyxyxu 4321),(

xyyxyxv 8765),(

双线性单元

4

1

),(),(i

ii uyxNyxu

4

1

),(),(i

ii vyxNyxv

)1)(1(4

1),(1 b

y

a

xyxN

形态函数的特点同前

双线性单元

ii

ii

ii

ii

xy

y

x

vx

Nu

y

N

vy

N

ux

N

x

v

y

uy

vx

u

eB 应变几何矩阵

双线性单元

ee SDB 应力

应力矩阵

双线性单元

几何矩阵与应力矩阵都是坐标的函数，所以应变和应力也是坐标的函数。

双线性单元无量纲化

a

x

b

y

4

1

),(),(i

ii uNu

4

1

),(),(i

ii vNv

)1)(1(4

1),(1 N

双线性单元

)1)(1(4

1),(1 N

)1)(1(4

1),(2 N

)1)(1(4

1),(3 N

)1)(1(4

1),(4 N

)1)(1(4

1),( iiiN

二维平面等参数单元二维平面等参数单元

二维平面等参数单元将不规则四边形变为局部坐标系下的正方形，在局部坐标系中选择完备、连续的位移函数，进而求得应变、应力和单元刚度矩阵，再根据坐标变化求得在原坐标系中的对应数值。


4

1

),(),(i

ii uNu

4

1

),(),(i

ii vNv

4

1

),(i

ii xNx

4

1

),(i

ii yNy


坐标变换存在且唯一


4

1

),(),(i

ii uNu

4

1

),(),(i

ii vNv

4

1

),(i

iiN

4

1

),(i

iiN

位移函数

二维平面等参数单元坐标变换函数

4

1

),(i

ii xNx

4

1

),(i

ii yNy

二维平面等参数单元应变公式

yx, ),( yx

y

y

x

x

y

y

x

x

y

xJ

二维平面等参数单元应变公式

eBv

u

xy

y

x

0

0

二维平面等参数单元应力公式

ee SDBD

二维平面等参数单元单元刚度矩阵

eee KF

DBtdABDBdVBK TTe

DBtBK Te

ddJdA

二维平面等参数单元高斯积分

n

iii fHdfI

1

1

1

n

i

n

ijiji fHHjddf

1 1

1

1

1

1,,

二维平面等参数单元荷载列阵

eE

eD

e PPP

eEN

eEV

eEC

eE PPPP


建立结点平衡方程，求出结点位移。

由局部坐标求整体坐标，容易

由整体坐标求局部坐标，困难

因此，在计算单元中的应力时，只能设定一组局部坐标算出相应的整体坐标，从而得知是单元中哪一点的应力。

二维平面等参数单元八结点曲边四边形

2821 u

8

1

,i

ii uNu

1, iiiN

0, jjiN

二维平面等参数单元形态函数的确定

1,1

1 111

111,

N


8

1

,i

ii xNx

8

1

,i

ii yNy

8

1

,i

ii uNu

二维平面等参数单元单元形状

形态函数为双二次函数

局部坐标系整体坐标系

直线边界二次抛物线正方形曲边四边形

结点结点

二维平面等参数单元单元形状


平面问题的单元选择

三角形线性单元应力应变为常数

四结点等参数单元由直线段来代替曲线

八结点等参数单元精度高，曲边界


单元不能太歪斜内部结点靠近中央


应力在相邻单元的公共边上是不连续的，当求结点应力时，应利用周围单元上的应力值求平均来得到。

三维空间等参数单元三维空间等参数单元

三维等参数单元（ 8 结点）

821 u

8

1

,,i

ii uNu

1,, iiiiN

0,, jjjiN

形态函数的确定教参 4 ， P167


8

1

,,i

ii xNx

8

1

,,i

ii yNy

8

1

,,i

ii zNz


单元形状

局部坐标系整体坐标系

直线棱边直线棱边侧面双曲抛物面

结点结点


三维平面等参数单元单元刚度矩阵

dddJDBBK Te

插值函数的形式

形态函数的确定


薄板弯曲问题的有限元法

横向荷载作用

薄板弯曲问题的有限元法基本假设（小挠度）1 、薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；

2 、薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板弹性曲面的法线；

3 、薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没有平行于中平面的位移；

4 、挤压应力引起的形变可以略去不计。

离散化

各单元之间只在结点处连接；单元的形状，一般采用三角形、矩形或多边形。


单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程


结点位移

三个位移分量：

挠度、绕 X轴的转角、绕 Y轴的转角

ii

ii x

w

y

ww ||

结点力

三个结点力分量：

竖向力、绕 X轴的力偶、绕 Y轴的力偶

yixiii TTW ||

单元分析薄板弯曲问题的有限元法

eee KF

单元刚度矩阵，为一 12×12 的方阵。

单元分析

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程


位移函数薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；

0

zz

w

yxww ,

位移函数薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板弹性曲面的法线；

0 yzxz

0

z

u

x

w 0

z

v

y

w

位移函数

x

w

z

u

y

w

z

v

yxfx

wzu ,1

yxfy

wzv ,2

薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没有平行于中平面的位移；

0|| 00 zz vu

x

wzu

y

wzv

),( yxww

位移函数

31221),( xyxyxw

yxf ,

y

yxf

y

wx

,

x

yxf

x

wy

,

位移函数

Ae

eA 1

eAyxfyxfyxw 1,,),(

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程


几何方程

yx

wz

y

u

x

vy

wz

y

vx

wz

x

u

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

z

xy

y

x

弯扭变形列阵

几何方程

212

211985

2

1210962

2

118742

2

3322

6622

6262

yxyxyx

w

xyyxx

w

xyyxx

w

aB

eA 1e

aAB 1 eB

几何矩阵

物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程


物理方程

挤压应力引起的形变可以略去不计

xyxyxy

xyy

yxx

EG

E

E

121

1

1

xyxy

xyy

yxx

E

E

E

12

1

1

2

2

xy

E

2

1

1 2

物理方程

xy

y

x

xy

y

xE

2

100

01

01

1 2

DzD


物理方程

结点位移



位移函数

几何方程

平衡方程

内力与应力的关系

2

2

h

h xx dzzM

2

2

h

h xyxy dzzM


yx

wy

wx

w

Eh

M

M

M

M

xy

y

x

2

2

2

2

2

2

3

22

100

01

01

112

Dh

M12

3


Dh

M12

3

fD

弹性矩阵

zMh

Dz3

12

Mhh

zs 2

2

6|

表面应力列阵


fDM

eB

eef SBDM

S 为内力转换矩阵，大小为 3×12

内力与应力的关系由 B 和 S 可知，单元内任一点的变形和内力都是坐标的函数。

eef SBDM

将结点坐标代入上式，

eee SM

Se 大小为 12×12

虚功方程

dxdydzFTT **

zMdxdydzh

zFTT

3** 12

dxdydzzh

MFh

h

TT

2

2

23

** 12

虚功方程

dxdyMFTT

**

dxdyMBF TeTeeT

**

dxdyMBF Te

单元刚度矩阵

dxdyMBF Te

ef BDM

ef

Te dxdyBDBF

dxdyBDBK fTe

荷载的处理

当薄板承受一般荷载作用时，可将每一种荷载分解为两个荷载，分别处理，求应力叠加。

对于非结点的横向荷载，利用虚功原理转化为等效结点荷载。

工程结构数值建模 与分析方法

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工程结构数值建模与分析方法