第六章 金属电子论
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第六章 金属电子论. 自由电子模型. —— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用. 特鲁特 — 洛伦兹金属电子论. —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程. —— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律,对电子进行统计计算 , 得到金属的 直流电导 、金属电子的 弛豫时间 、 平均自由程 和 热容. 经典电子论的成就. 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等. 经典电子论的困难. 按照经典能量均分定理, N 个电子的能量. 对热容量的贡献. 大多数金属. 量子力学对金属中电子的处理. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第六章 金属电子论
特鲁特 — 洛伦兹金属电子论
—— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用
—— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律,对电子进行统计计算 , 得到金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和热容
—— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程
自由电子模型
按照经典能量均分定理, N 个电子的能量
经典电子论的成就
2/3 BNk
解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等
经典电子论的困难
大多数金属
量子力学对金属中电子的处理
—— 索末菲在自由电子模型基础上,提出电子在离子产生的平均势场中运动,电子气体服从费密 — 狄拉克分布—— 计算了电子的热容,解决了经典理论的困难
01.0/ ClassicalV
alExperimentV CC
对热容量的贡献
2/3 TNkB
§6.1 费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似,每一个电子的运动近似看 作是独立的,具有一系列确定的本征态—— 一般金属只涉及导带中的电子,所有电子占据的状态都 在一个能带内1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计
—— 热平衡下时,能量为E 的本征态被电子占据的几率 1
1)(
Tk
EE
B
F
e
Ef
物理意义:能量为 E 的本征态上电子的数目 —— 平均占有数
i
iEfN )(
—— 费米分布函数
电子的总数 —— 对所有的本征态求和
费米能量或化学势 —— 体积不变时,系统增加一个电子所需的自由能
( ) 1/ 2Ff E
0)( Ef
1)( Ef
1
1)(
Tk
EE
B
F
e
Ef
费米分布函数
电子填充能量 几率
1
1)(
Tk
EE
B
F
e
Ef
费米分布函数
( ) 1f E
( ) 0f E
3) 在较低温度时,分布函数在 处发生很大变化
能量变化范围
( ) 1 ( ) 0F Ff E E f E E
—— 温度上升,能量变化范围变宽
任何温度下,该能量范围约为
1
1)(
Tk
EE
B
F
e
Ef
费米分布函数
k 空间的费米面
的费米面内所有状态均被电子占有
费米能量降低,一部分电子被激发到费密面外附近
0
)()( dEENEfN
金属中总的电子数
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
2/12/3)2(4)( Eh
mVEN
之间状态数
之间的电子数
2. 的确定
3/222
0 )3(2
nm
EF
金属中总的电子数
自由电子的费密能级
自由电子的能态密度
费米能级
2
12
3
22
2
2E
mVEN
2
3
22
2
2
mV
C
结论:在绝对零度下,电子仍具有相当大的平均能量
—— 电子满足泡利不相容原理,每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
0
5
3FKin EE
电子的平均能量 —— 平均动能
总的电子数
引入函数
—— 能量 E 以下的量子态总数
应用分部积分
电子的费密能量
能态密度
因为
dEE
fEQN )()(
0
分布函数
dEE
fEQN )()(
0
dEE
fEQN )()(
—— 的偶函数
—— 只在 附近有显著的值,具有函数特点
dEE
fEQN )()(
—— 保留到二次项
—— 将 在 附近按泰勒级数展开
第一项
dEE
fEEEQEQN FFF )()()(''
2
1)( 2
第二项 是 的偶函数
dEE
fEEEQEQN FFF )()()(''
2
1)( 2
引入积分变数
)1)(1(
)(''2
)()(
22
ee
dEQ
TkEQN F
BF
对于一般温度
将 按泰勒级数在 附近展开,只保留到第二项
令
22
))((''6
)( TkEQEQN BFF
将 Q’’(EF) 按泰勒级数展开,只保留
22
0 )()'
''(
60 Tk
Q
QEE BEFF
F
0
20 2
0{1 [ ln '( )] ( ) }
6 FF F BE
F
dE E Q E k T
E dE
因为
0
20 2
0{1 [ ln ( )] ( ) }
6 FF F BE
F
dE E N E k T
E dE
0
20 2
0{1 [ ln '( )] ( ) }
6 FF F BE
F
dE E Q E k T
E dE
对于近自由电子
])(12
1[ 20
20
F
BFF E
TkEE
—— 温度升高
费密能级下降
—— 温度升高 费密能级下降
0FF EE
3. 电子热容量
金属中电子总能量
0
)()( dEEENEfU
引入函数
—— E 以下的量子态被电子填满时的总能量
应用分布积分
与 比较
应用费密能量的结果
金属中电子总能量
202
000 ))((''6
))((')( TkEQEEEQEQN BFFFFF
202
000 ))((''6
))((')( TkEREEERERU BFFFFF
202
000 ))((''6
))((')( TkEREEERERU BFFFFF
因为
—— T = 0K 时电子总能量
BBFV kTkENC )])((3[ 0
2
202
0 ))((6
)( TkENERU BFF
—— 热激发能
—— 热激发电子的数目
—— 每个电子获得的能量
总的激发能
电子热容量
近自由电子模型下电子热容量
能态密度函数
从 得到
的能态密度
热容量
2
30010
~ 11 ~ 10
T KeV
eV
近自由电子模型下电子热容量
2
0 0( )
2B
V BF
k TC N k
E
—— 金属中大多数电子的能量远远低于费密能量,由于受
到泡利原理的限制不能参与热激发
—— 只有在附近约 ~kBT 范围内电子参与热激发,对金属
的
热容量有贡献
TC
bTCC
ElectronV
PhononVMetal
V
3
—— 一般温度下,晶格振动的热容量比电子的热容量大得多
低温范围下
—— 不能忽略电子的热容量
—— 在温度较高下,晶格振动的热容量是主要的
—— 热容量基本是一个常数
研究金属热容量的意义
BBFV kTkENC )])((3[ 0
2
—— 许多金属的基本性质取决于能量在 EF 附近的电子,
电子的热容量与 成正比
—— 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息
过渡元素 —— Mn 、 Fe 、 Co 和 Ni 具有较高的电子热容量
—— d壳层电子填充不满 d 态 (5重简并 )形成晶 体时相互重叠较小
— 附近有较大的能态密度0~ ( )V FC N E
—— d 能带具有特别大的 能态密度
—— 产生较窄能带, 5 个能 带发生一定的重叠
重费密子系统
1975年发现化合物 CeAl3 低温下电子比热系数
0~ ( )FN E
0( )FN E m
按照近自由电子近似模型
—— 电子比热系数越大,相应的电子的有效质量越大
—— 材料称为重费密子系统
目前发现的八种材料中均含有 f 态电子,具有 f 态电子的材料,其原子间距
—— 可能有一个电子相互之间的作用很小,与之对应的能带 较窄,因而具有较大的能态密度