第六章 代数结构概念及性质第六章 代数结构概念及性质6.1 代数结构的定义与例6.1 代数结构的定义与例6.2 代数结构的基本性质6.2 代数结构的基本性质6.3 同态与同构6.3 同态与同构6.4 同余关系6.4 同余关系6.5 商代数6.5 商代数6.6 积代数6.6 积代数

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6.1 6.1 代数结构的定义与例代数结构的定义与例在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么是在正式给出代数结构的定义之前，先来说明什么是

在一个集合上的运算，因为运算这个概念是代数结构中在一个集合上的运算，因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的基本概念。不可缺少的基本概念。

定义定义 6.1.16.1.1 设设 SS 是个非空集合且函数 是个非空集合且函数 或或 ff::SSnn →→SS ，则称，则称 ff 为一个为一个 nn 元运算。元运算。其中其中 nn 是自然数，称为运算的元数或阶。当是自然数，称为运算的元数或阶。当 nn=1=1 时，称时，称ff 为一元运算，当为一元运算，当 nn=2=2 时，称时，称 ff 为二元运算，等等。为二元运算，等等。

注意，注意， nn 元运算是个闭运算，因为经运算元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了 nn

元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为用，称它为 SS 中的特异元或常数。中的特异元或常数。

运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。不满足封闭性。

在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用’、运算，将用’、或或 ˉ̄ 等符号表示一元运算符；用等符号表示一元运算符；用、、、⊙、○、、⊙、○、、、、∩、∪等表示二元运算符，一元、∩、∪等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如 xx 、、、、 xx’’ ；；而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如：而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如： ++xyxy ，，xx++yy ，， xyxy++ 。。

有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。

定义定义 6.1.26.1.2 设设 SS 是个非空集合且是个非空集合且 ffii 是是 SS 上的上的 nnii 元运元运算，其中算，其中 ii=1=1 ，， 22 ，…，，…， mm 。由。由 SS 及及 ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffmm 组组成的结构，称为代数结构，记作成的结构，称为代数结构，记作 <<SS ，， ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffmm>> 。。

此外，集合此外，集合 SS 的基数即的基数即 ||SS|| 定义代数结构的基数。定义代数结构的基数。如果如果 SS 是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。则便说是无穷代数结构。有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：是否同类型之说，请看下面定义：

定义定义 6.1.36.1.3 设两个代数结构设两个代数结构 <<SS ，， ff11 ，， ff22 ，…，，…，ffmm>> 和和 <<TT ，， gg11 ，， gg22 ，…，，…， ggmm>> ，如果，如果 ffii 和和 ggii(1≤(1≤ii≤≤mm))具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。具有相同的元数，则称这两个代数结构是同类型的。

可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是可见，判定两个代数结构是否同类型，主要是对其运算进行考察。对其运算进行考察。此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念。

定义定义 6.1.46.1.4 设设 <<SS ，， ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffmm>> 是一代数结是一代数结构且非空集构且非空集 TTSS 在运算在运算 ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffmm 作用下是封闭作用下是封闭的，且的，且 TT 含有与含有与 SS 中相同的特异元，则称中相同的特异元，则称 <<TT ，， ff11 ，， ff22 ，，…，…， ffmm>> 为代数结构为代数结构 <<SS ，， ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffmm>> 的子代数。的子代数。记为记为 <<TT ，， ff11 ，…，… >><<SS ，， ff11 ，…，… >> 。。

在结束本节时，声明记号在结束本节时，声明记号 <<SS,,ff11,,ff22,···,,···,ffmm>> 即为一代即为一代数结构，除特别指明外，运算符数结构，除特别指明外，运算符 ff11,,ff22,···,,···,ffmm 均为二元运算。均为二元运算。根据需要对根据需要对 SS 及及 ff11,,ff22,···,,···,ffmm 可置不同的集合符和运算符。可置不同的集合符和运算符。

6.2 6.2 代数结构的基本性质代数结构的基本性质所谓代数结构的性质即是结构中任何运算所谓代数结构的性质即是结构中任何运算

所具有的性质。所具有的性质。1.1. 结合律结合律

给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> ，则运算“⊙”满足结合律，则运算“⊙”满足结合律或“⊙”是可结合的，即或“⊙”是可结合的，即 ((xx)()(yy)()(zz)()(xx ，， yy ，，zz∈∈SS→(→(xx⊙⊙yy)⊙)⊙zz==xx (⊙(⊙ yy⊙⊙zz)))) 。。

2.2. 交换律交换律给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> ，则运算“⊙”满足交换律或，则运算“⊙”满足交换律或

“⊙”是可交换的，即“⊙”是可交换的，即 ( ( xx)( )( yy)()(xx ，， yy∈∈SS→→xx⊙⊙yy==yy⊙⊙xx)) 。。

可见，如果一代数结构中的运算⊙是可结合和可可见，如果一代数结构中的运算⊙是可结合和可交换的，那么，在计算交换的，那么，在计算 aa11⊙⊙aa22 ···⊙ ⊙···⊙ ⊙aa00==aamm 。称。称 aamm 为为 aa

的的 mm 次幂，次幂， mm 称称 aa 的指数。下面给出的指数。下面给出 aamm 的归纳定义：的归纳定义：

设有设有 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 aaSS ，对于，对于 mmII++ ，其中，其中 II++ 表示表示正整数集合，可有：正整数集合，可有：(1) (1) aa11==aa(2)(2)aamm+1+1==aamm⊙⊙aa由此利用归纳法不难证明指数定律：由此利用归纳法不难证明指数定律：(1)(1)aamm⊙⊙aann==aamm++nn

(2)((2)(aamm))nn==aamnmn

这里，这里， mm,,nnII++ 。。类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律。

3.3. 分配律分配律一个代数结构若具有两个运算时，则分配律一个代数结构若具有两个运算时，则分配律

可建立这两个运算之间的某种联系。可建立这两个运算之间的某种联系。给定给定 <<SS ，⊙，○，⊙，○ >> ，则运算⊙对于○满足，则运算⊙对于○满足

左分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即左分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即 ((xx))((yy)()(zz)()(xx ，， yy ，， zz∈∈SS→→xx (⊙(⊙ yy○○zz))=())=(yy⊙⊙xx)○()○(xx⊙⊙zz)))) 。。

运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可右分配的，即右分配的，即 ((xx)()(yy)()(zz)()(xx ，， yy ，， zz∈∈SS→(→(yy○○zz))⊙⊙xx=(=(yy⊙⊙xx)○()○(zz⊙⊙xx))))

类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律，若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律，

则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可定义○对于⊙满足分配律。定义○对于⊙满足分配律。

由定义不难证明下面定理：由定义不难证明下面定理：定理定理 6.2.16.2.1 给定给定 <<SS ，⊙，○，⊙，○ >> 且⊙是可交且⊙是可交

换的。如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙换的。如果⊙对于○满足左或右分配律，则⊙对于○满足分配律。对于○满足分配律。

例例 6.2.3 6.2.3 给定给定 <<BB, ,○>⊙, ,○>⊙ ，其中，其中 BB={0,1}={0,1} 。。

表表 6.2.16.2.1 分别定义了运算⊙和○，问运算⊙对于分别定义了运算⊙和○，问运算⊙对于

○是可分配的吗？○对于⊙呢？○是可分配的吗？○对于⊙呢？

形如表形如表 6.2.16.2.1 的表常常被称为运算表或复合表，的表常常被称为运算表或复合表，它由运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素它由运算符、行表头元素、列表头元素及复合元素四部分组成。当集合四部分组成。当集合 SS 的基数很小，特别限于几个的基数很小，特别限于几个时，代数结构中运算常常用这种表给出。其优点简时，代数结构中运算常常用这种表给出。其优点简明直观，一目了然。明直观，一目了然。

解 可以验证⊙对于○是可分配的，但○对于解 可以验证⊙对于○是可分配的，但○对于⊙并非如此。因为⊙并非如此。因为

1○(0 1)⊙1○(0 1)⊙ (1○0) (1○1)⊙(1○0) (1○1)⊙

4.4.吸收律吸收律给定给定 <<SS ，⊙，○，⊙，○ >> ，则，则⊙⊙ 对于○满足左吸收律对于○满足左吸收律 :=(:=(xx)()(yy)()(xx ，， yy∈∈SS

→→xx (⊙(⊙ xx○○yy)=)=xx))

⊙⊙ 对于○满足右吸收律对于○满足右吸收律 :=(:=(xx)()(yy)()(xx ，， yy∈∈SS

→(→(xx○○yy)⊙)⊙xx==xx))

若⊙对于若⊙对于 cc 既满足左吸收律又满足右吸收既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。律，则称⊙对于○满足吸收律或可吸收的。

○○ 对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。地定义。

若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可若⊙对于○是可吸收的且○对于⊙也是可吸收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时满吸收的，则⊙和○是互为吸收的或⊙和○同时满足吸收律。足吸收律。

5.5. 等幂律与等幂元等幂律与等幂元给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> ，则，则“⊙”“⊙” 是等幂的或“⊙”满足等幂律是等幂的或“⊙”满足等幂律 :=( :=( xx)()(xx∈∈SS→→xx⊙⊙xx==xx))给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 xx∈∈SS ，则，则xx 是关于“⊙”的等幂元是关于“⊙”的等幂元 :=:=xx⊙⊙xx==xx于是，不难证明下面定理：于是，不难证明下面定理：定理定理 6.2.26.2.2 若若 xx 是是 <<SS ，⊙，⊙ >> 中关于⊙的等幂元，中关于⊙的等幂元，对于任意正整数对于任意正整数 nn ，则，则 xxnn==xx 。。

6. 6. 幺元或单位元幺元或单位元给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 eell ，， eerr ，， ee∈∈SS ，则，则eell 为关于⊙的左幺元为关于⊙的左幺元 :=( :=( xx)()(xx∈∈SS→→eell⊙⊙xx==xx))

eerr 为关于⊙的右幺元为关于⊙的右幺元 :=( :=( xx)()(xx∈∈SS→→xx⊙⊙eerr==xx))

若若 ee 既为⊙的左幺元又为⊙的右幺元，称既为⊙的左幺元又为⊙的右幺元，称 ee 为为关于⊙的幺元。亦可定义如下：关于⊙的幺元。亦可定义如下：ee 为关于⊙的幺元为关于⊙的幺元 :=( :=( xx)()(xx∈∈SS→→ee⊙⊙xx==xx⊙⊙ee==xx)) 。。

定理定理 6.2.36.2.3 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 eell

和和 eerr 分别关于⊙的左、右幺元，则分别关于⊙的左、右幺元，则 eell

==eerr==ee 且幺元且幺元 ee唯一。唯一。

7.7. 零元零元给定给定 <<SS ，○，○ >> 及及 θθll ，， θθrr ，， θθ∈∈SS ，则，则θθll 为关于○的左零元为关于○的左零元 ::

=( =( xx)()(xx∈∈SS→→θθll○○xx==θθll))

θθrr 为关于○的右零元为关于○的右零元 ::

=( =( xx)()(xx∈∈SS→→xx○○θθrr==θθrr))

θθ 为关于○的零元为关于○的零元 ::=( =( xx)()(xx∈∈SS→→θθ○○xx==xx○○θθ==θθ))

定理定理 6.2.46.2.4 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 θθll 和和 θθrr 分别为分别为关于⊙的左零元和右零元，则关于⊙的左零元和右零元，则 θθll==θθrr==θθ 且零元且零元 θθ

是唯一的。是唯一的。定理定理 6.2.56.2.5 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 ||SS||＞＞ 11 。如果。如果

θθ ，， ee∈∈SS ，其中，其中 θθ 和和 ee 分别为关于⊙的零元和幺分别为关于⊙的零元和幺元，则元，则 θθ≠≠ee 。。

88．逆元．逆元给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且幺元且幺元 ee ，， xx∈∈SS ，则，则xx 为关于⊙的左逆元为关于⊙的左逆元 :=(:=(yy)()(yy∈∈SS∧∧xx⊙⊙yy==ee))

xx 为关于⊙的右逆元为关于⊙的右逆元 :=(:=(yy)()(yy∈∈SS∧∧yy⊙⊙xx==ee))

xx 为关于⊙可逆的为关于⊙可逆的 :=(:=(yy)()(yy∈∈SS∧∧yy⊙⊙xx==xx⊙⊙yy

==ee))

给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及幺元及幺元 ee ；； xx ，， yy∈∈SS ，则，则yy 为为 xx 的左逆元的左逆元 :=:=yy⊙⊙xx==ee

yy 为为 xx 的右逆元的右逆元 :=:=xx⊙⊙yy==ee

yy 为为 xx 的逆元的逆元 :=:=yy⊙⊙xx==xx⊙⊙yy==ee

显然，若显然，若 yy 是是 xx 的逆元，则的逆元，则 xx也是也是 yy 的逆元，的逆元，因此称因此称 xx 与与 yy互为逆元。通常互为逆元。通常 xx 的逆元表为的逆元表为 xx-1-1 。。

一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元该元素的右逆元。而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素的左或而没有右逆元，反之亦然。甚至一个元素的左或右逆元还可以不是唯一的。右逆元还可以不是唯一的。

定理定理 6.2.66.2.6 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及幺元及幺元 ee∈∈SS 。如。如果⊙是可结合的并且一个元素果⊙是可结合的并且一个元素 xx 的左逆元的左逆元 xxll

-1-1 和和右逆元右逆元 xxrr

-1-1 存在，则存在，则 xxll-1-1==xxrr

-1-1 。。定理定理 6.2.76.2.7 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及幺元及幺元 ee∈∈SS 。如。如

果⊙是可结合的并且果⊙是可结合的并且 xx 的逆元的逆元 xx-1-1 存在，则存在，则 xx-1-1 是是唯一的。唯一的。

9.9. 可约律与可约元可约律与可约元给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且零元且零元 θθ∈∈SS ，则，则⊙⊙ 满足左可约律或是左可约的满足左可约律或是左可约的 :=( :=( xx)( )( yy)( )( zz))

((((xx ，， yy ，， zz∈∈SS∧∧xx≠≠θθ∧∧xx⊙⊙yy==xx⊙⊙zz)→)→yy==zz)) ，并称，并称 xx 是是关于⊙的左可约元。关于⊙的左可约元。

⊙⊙ 满足右可约律或是右可约的满足右可约律或是右可约的 :=( :=( xx)( )( yy)( )( zz))((((xx ，， yy ，， zz∈∈SS∧∧xx≠≠θθ∧∧yy⊙⊙xx==zz⊙⊙xx)→)→yy==zz)) ，并称，并称 xx 是是关于⊙的右可约元。关于⊙的右可约元。

若⊙既满足左可约律又满足右可约律或⊙既若⊙既满足左可约律又满足右可约律或⊙既是左可约又是右可约的，则称⊙满足可约律或⊙是左可约又是右可约的，则称⊙满足可约律或⊙是可约的。是可约的。

若若 xx 既是关于⊙的左可约元又是关于⊙的右既是关于⊙的左可约元又是关于⊙的右可约元，则称可约元，则称 xx 是关于⊙的可约元。可约律与可是关于⊙的可约元。可约律与可约元也可形式地定义如下：约元也可形式地定义如下：

⊙⊙ 满足可约律满足可约律 ::=( =( xx)( )( yy)( )( zz)()(xx ，， yy ，， zz∈∈SS∧∧xx≠≠θθ

∧∧((((xx⊙⊙yy==xx⊙⊙zz∧∧yy⊙⊙xx==zz⊙⊙xx)→)→yy==zz))))给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且零元且零元 θθ ，， xx∈∈SS 。。xx 是关于⊙的可约元是关于⊙的可约元 ::=( =( yy)( )( zz)()(yy ，， zz∈∈SS∧∧xx≠≠θθ ((∧((∧ xx⊙⊙yy))==xx⊙⊙zz∧∧yy⊙⊙xx==zz⊙⊙xx)→)→yy==zz)))) 。。

定理定理 6.2.86.2.8 给定给定 <<SS ，○，○ >> 且○是可结合的，且○是可结合的，如果如果 xx 是关于○可逆的且是关于○可逆的且 xx≠≠θθ ，则，则 xx 也是关于○也是关于○的可约元。的可约元。证明证明 设任意 设任意 yy,,zzSS 且有且有 xx○○yy==xx○○zz 或或 yy○○xx==zz○○xx 。。因为○是可结合的及因为○是可结合的及 xx 是关于○可逆的，则有是关于○可逆的，则有xx-1-1○(○(xx○○yy)=()=(xx-1-1○○xx)○)○yy==ee○○yy==yy

==xx-1-1○(○(xx○○zz)=()=(xx-1-1○○xx)○)○zz

==ee○○zz==zz

故得故得 xx○○yy==xx○○zzyy==zz ，同样可证得，同样可证得 yy○○xx==zz○○xx

yy==zz ，故，故 xx 是关于○的可约元。是关于○的可约元。最后，作一补充说明，用运算表定义一代最后，作一补充说明，用运算表定义一代

数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种性质。为确定起见，假定各种性质。为确定起见，假定 <<SS ，○，○ >> 及及 xx ，，yy ，， θθ ，， ee∈∈SS 。。

(1)(1) 运算○具有封闭性，当且仅当表中的每运算○具有封闭性，当且仅当表中的每个元素都属于个元素都属于 SS 。。

(2)(2) 运算○满足交换律，当且仅当表关于主运算○满足交换律，当且仅当表关于主对角线是对称的。对角线是对称的。

(3)(3) 运算○是等幂的，当且仅当表的主对角运算○是等幂的，当且仅当表的主对角线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。

(4)(4) 元素元素 xx 是关于○的左零元，当且仅当是关于○的左零元，当且仅当 xx

所对应的行中的每个元素都与所对应的行中的每个元素都与 xx 相同；元素相同；元素 yy

是关于○的右零元，当且仅当是关于○的右零元，当且仅当 yy 所对应的列中所对应的列中的每个元素都与的每个元素都与 yy 相同；元素相同；元素 θθ 是关于○的零是关于○的零元，当且仅当元，当且仅当 θθ 所对应的行和列中的每个元素所对应的行和列中的每个元素都与都与 θθ 相同。相同。

(5)(5) 元素元素 xx 为关于○的左幺元，当且仅当为关于○的左幺元，当且仅当 xx

所对应的行中元素依次与行表头元素相同；元所对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素素 yy 为关于○的右幺元，当且仅当为关于○的右幺元，当且仅当 yy 所对应的列所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素中元素依次与列表头元素相同；元素 ee 是关于是关于○的幺元，当且仅当○的幺元，当且仅当 ee 所对应的行和列中元素所对应的行和列中元素分别依次地行表头元素和列表头元素相同。分别依次地行表头元素和列表头元素相同。

(6)(6)xx 为关于○的左逆元，当且仅当位于为关于○的左逆元，当且仅当位于 xx 所在所在行的元素中至少存在一个幺元，行的元素中至少存在一个幺元， yy 为关于○的右逆为关于○的右逆元，当且仅当位于元，当且仅当位于 yy 所在列的元素中至少存在一个所在列的元素中至少存在一个幺元；幺元； xx 与与 yy互为逆元，当且仅当位于互为逆元，当且仅当位于 xx 所在行和所在行和 yy

所在列的元素以及所在列的元素以及 yy 所在行和所在行和 xx 所在列的元素都是所在列的元素都是幺元。幺元。

6.3 6.3 同态与同构同态与同构本节将阐明两个重要概念——同态与同构。本节将阐明两个重要概念——同态与同构。

在以后各节中，它们会经常被使用到。在以后各节中，它们会经常被使用到。

定义定义 6.3.16.3.1 设设 <<XX ，⊙，⊙ >> 与与 <<YY ，○，○ >> 是同类型的。是同类型的。称称 <<XX ，⊙，⊙ >> 同态于同态于 <<YY ，○，○ >> 或或 <<YY ，○，○ >> 为为 <<XX ，⊙，⊙>> 的同态象，记为的同态象，记为 <<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >> ，其定义如下：，其定义如下：

<<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >:=(>:=(ff)()(ff∈∈YYXX (∧(∧ xx11))

((xx22)()(xx11 ，， xx22∈∈XX→→ff((xx11⊙⊙xx22)=)=ff((xx11)○)○ff((xx22))))))

同时，称同时，称 ff 为从为从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的同态映的同态映射。射。可以看出，同态映射可以看出，同态映射 ff 不必是唯一的。不必是唯一的。

两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适两个同类型的代数结构间的同态定义不仅适用于具有一个二元运算的代数结构，也可以推广用于具有一个二元运算的代数结构，也可以推广到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构。到具有多个二元运算的任何两个同类型代数结构。例如，对于具有两个二元运算的两个同类型代数例如，对于具有两个二元运算的两个同类型代数结构结构 <<XX, ,○>⊙, ,○>⊙ 和和 <<YY,,,,>> 的同态定义如下：的同态定义如下：<<XX, ,○>⊙, ,○>⊙ <<YY,,,,>:=(>:=(ff)()(ffYYXX((xx11))

((xx22)()(xx11,,xx22XX((ff((xx11⊙⊙xx22)=)=ff((xx11))ff((xx22))ff((xx11○○xx22))

==ff((xx11))ff((xx22))))))

定理定理 6.3.16.3.1 如果如果 <<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >> 且且 ff

为其同态映射，则为其同态映射，则 <<RR((ff)) ，○，○ >><<YY ，○，○ >> 。。由于函数由于函数 ffYYXX 的不同性质，将给出不同种的不同性质，将给出不同种

类的同态定义。类的同态定义。

定义定义 6.3.26.3.2 设设 <<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >> 且且 ff 为其为其同态映射。同态映射。

((ii)) 如果如果 ff 为满射，则称为满射，则称 ff 是从是从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，，○○ >> 的满同态映射。的满同态映射。

((iiii)) 如果如果 ff 为单射为单射 (( 或一对一映射或一对一映射 )) ，则称，则称 ff 为为从从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的单一同态映射。的单一同态映射。

((iiiiii)) 如果如果 ff 为双射为双射 (( 或一一对应或一一对应 )) ，则称，则称 ff 为为从从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的同构映射。记为的同构映射。记为 <<XX,,

>⊙>⊙ <<XX, ○>, ○> 。。显然，若显然，若 ff 是从是从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的同的同

构映射，则构映射，则 ff 为从为从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的满同的满同态映射及单一同态映射，反之亦然。态映射及单一同态映射，反之亦然。

例例 6.3.46.3.4 给定给定 <<II,+>,+> ，其中，其中 II 为整数集合，为整数集合， ++ 为一为一般加法。作函数般加法。作函数 ffIIII::ff((xx)=)=kxkx ，其中，其中 xx,,kkII

则当则当 kk00 时，时， ff 为为 <<II,+>,+> 到到 <<II,+>,+> 的单一同态映的单一同态映射。当射。当 kk=-1=-1 或或 kk=1=1 时，时， ff 为从为从 <<II,+>,+> 到到 <<II,+>,+> 的同构的同构映射。映射。综上可以看出，同态映射具有一个特性，即“保综上可以看出，同态映射具有一个特性，即“保持运算”。对于满同态映射来说，它能够保持运算的持运算”。对于满同态映射来说，它能够保持运算的更多性质，为此，给出如下定理：更多性质，为此，给出如下定理：

定理定理 6.3.26.3.2 给定给定 <<XX ，⊙，○，⊙，○ >><<YY ，，，， >>

且且 ff 为其满同态映射，则为其满同态映射，则((aa)) 如果⊙和○满足结合律，则如果⊙和○满足结合律，则和和也满足结也满足结

合律。合律。((bb)) 如果⊙和○满足交换律，则如果⊙和○满足交换律，则和和也满足交也满足交

换律。换律。

((cc)) 如果⊙对于○或○对于⊙满足分配律，则如果⊙对于○或○对于⊙满足分配律，则对对于于或或对于对于也相应满足分配律。也相应满足分配律。

((dd)) 如果⊙对于○或○对于⊙满足吸收律，则如果⊙对于○或○对于⊙满足吸收律，则对对于于或或对于对于也满足吸收律。也满足吸收律。

((ee)) 如果⊙和○满足等幂律，则如果⊙和○满足等幂律，则和和也满足等幂也满足等幂律。律。

((ff)) 如果如果 ee11 和和 ee22 分别是关于⊙和○的幺元，则分别是关于⊙和○的幺元，则 ff((ee11))和和 ff((ee22)) 分别为关于分别为关于和和的幺元。的幺元。

((gg)) 如果如果 θθ11 和和 θθ22 分别是关于⊙和○的零元，则分别是关于⊙和○的零元，则 ff

((θθ11)) 和和 ff((θθ22)) 分别为关于分别为关于和和的零元。的零元。((hh)) 如果对每个如果对每个 xx∈∈XX 均存在关于⊙的逆元均存在关于⊙的逆元 xx-1-1 ，，

则对每个则对每个 ff((xx)∈)∈YY也均存在关于也均存在关于的逆元的逆元 ff((xx-1-1)) ；如；如果对每个果对每个 zz∈∈XX 均存在关于○的逆元均存在关于○的逆元 zz-1-1 ，则对每个，则对每个 ff

((zz)∈)∈YY也均存在关于也均存在关于的逆元的逆元 ff((zz-1-1)) 。。

定理定理 6.3.26.3.2告诉我们，对于满同态映射来说，代数告诉我们，对于满同态映射来说，代数系统的许多性质都能保持，如结合律、交换律、分配系统的许多性质都能保持，如结合律、交换律、分配律、等幂律、幺元、零元、逆元等，但这种保持性质律、等幂律、幺元、零元、逆元等，但这种保持性质是单向的，即如果是单向的，即如果 <<XX ，⊙，⊙ >> 满同态于满同态于 <<YY ，○，○ >> ，则，则<<XX ，⊙，⊙ >> 所具有的性质，所具有的性质， <<YY ，○，○ >> 均具有。但反之均具有。但反之不然，即不然，即 <<YY ，○，○ >> 所具有的某些性质，所具有的某些性质， <<XX ，⊙，⊙ >> 不不一定具有。不尽要问，在怎样条件下，一定具有。不尽要问，在怎样条件下， <<YY ，○，○ >> 所具所具有的性质有的性质 <<XX ，⊙，⊙ >>都完全具有呢都完全具有呢 ?? 为了回答这个问题，为了回答这个问题，需要引出两个代数结构同构的概念。需要引出两个代数结构同构的概念。

定义定义 6.3.36.3.3 设设 <<XX ，⊙，⊙ >> 与与 <<YY ，○，○ >> 是同是同类型的。称类型的。称 <<XX ，⊙，⊙ >> 同构于同构于 <<YY ，○，○ >> ，记为，记为 <<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >> ，其定义如下：，其定义如下：

<<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >:=(>:=(ff)()(ff 为从为从 <<XX ，⊙，⊙>>到到 <<YY ，○，○ >> 的同构映射或更详细地定义为：的同构映射或更详细地定义为：

<<XX ，⊙，⊙ >><<YY ，○，○ >:=(>:=(ff)()(ff∈∈YYXX∧∧ff 为双射为双射∧∧ ff 为从为从 <<XX ，⊙，⊙ >>到到 <<YY ，○，○ >> 的同态映射的同态映射 ))

由定义可知，同构的条件比同态强，关键是同构由定义可知，同构的条件比同态强，关键是同构映射是双射，即一一对应。而同态映射不一定要求是映射是双射，即一一对应。而同态映射不一定要求是双射。正因为如此，同构不再仅仅象满同态那样对保双射。正因为如此，同构不再仅仅象满同态那样对保持运算是单向的了，而对保持运算成为双向的。两个持运算是单向的了，而对保持运算成为双向的。两个同构的代数，表面上似乎很不相同，但在结构上实际同构的代数，表面上似乎很不相同，但在结构上实际是没有什么差别，只不过是集合中的元素名称和运算是没有什么差别，只不过是集合中的元素名称和运算的标识不同而已，而它们的所有发生“彼此相通”。的标识不同而已，而它们的所有发生“彼此相通”。

这样，当探索新的代数结构的性质时，如这样，当探索新的代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的各种性质了。对于同构的两个代数系统结构的各种性质了。对于同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的。因此，可以记不同外，其它一切都是相同的。因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统。根据这些特征来识别同构的代数系统。

同构是一个关系，而且可以证明它是个等同构是一个关系，而且可以证明它是个等价关系，对此有如下定理：价关系，对此有如下定理：

定理定理 6.3.36.3.3 代数系统间的同构关系是等价代数系统间的同构关系是等价关系。关系。

证明证明 显然 显然 <<SS ，⊙，⊙ >><<SS ，⊙，⊙ >> ，因为恒等映，因为恒等映射是同构映射。又若射是同构映射。又若 <<SS ，⊙，⊙ >><<TT, ○>, ○> 且且 ff 为其同为其同构映射，则构映射，则 ff-1-1 为从为从 <<TT, ○>, ○>到到 <<SS ，⊙，⊙ >> 的同构映射。的同构映射。因此，因此， <<TT, ○>, ○><<SS ，⊙，⊙ >> 。再令。再令 <<SS ，⊙，⊙ >><<TT, ○>, ○>及及 <<TT, ○>, ○><<RR ，， >> ，则，则 <<SS ，⊙，⊙ >><<RR ，， >> 。这。这里因为若里因为若 ff 为为 <<SS ，⊙，⊙ >>到到 <<TT, ○>, ○> 的同构映射，的同构映射， gg 为为<<TT, ○>, ○>到到 <<RR ，， >> 的同构映射，则的同构映射，则 gofgof 为从为从 <<SS ，⊙，⊙>>到到 <<RR ，， >> 的同构映射。可见同构关系满足自反的同构映射。可见同构关系满足自反性、对称性和传递性。因此，同构关系是等价关系。性、对称性和传递性。因此，同构关系是等价关系。

由于同构关系是等价关系，故令所有的代数由于同构关系是等价关系，故令所有的代数系统构成一个集合系统构成一个集合 SS ，于是可按同构关系将其分，于是可按同构关系将其分类，得到商集类，得到商集 SS// 。因为同构的代数系统具有相。因为同构的代数系统具有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究的总体同的性质，故实际上代数系统所需要研究的总体并不是并不是 SS 而是而是 SS// 。。

在同态与同构中有一个特例，即具有相同集在同态与同构中有一个特例，即具有相同集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是自同合的任两个代数系统的同态与同构，这便是自同态与自同构。态与自同构。

定义定义 6.3.46.3.4 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及及 ff∈∈SSSS 。。ff 为自同态映射为自同态映射 :=:=ff 为从为从 <<SS ，⊙，⊙ >>到到 <<SS ，⊙，⊙ >>

的同态映射。的同态映射。ff 为自同构映射为自同构映射 :=:=ff 为从为从 <<SS ，⊙，⊙ >>到到 <<SS ，⊙，⊙ >>

的同构映射。的同构映射。

6.4 6.4 同余关系同余关系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。主要内容如下：主要内容如下：定义定义 6.4.16.4.1 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 且且 EE 为为 SS 中的等中的等价关系。价关系。EE 有代换性质有代换性质 :=(:=(xx11)()(xx22)()(yy11)()(yy22)(()((xx11 ，， xx

22 ，， yy11 ，， yy22∈∈SS∧∧xExxEx22∧∧yy11EyEy22)→()→(xx11⊙⊙yy11))EE((xx22⊙⊙yy22)))) 。。EE 为为 <<SS ，⊙，⊙ >> 中的同余关系中的同余关系 :=:=EE 有代换性有代换性质。质。

与此同时，称同余关系与此同时，称同余关系 EE 的等价类为同余类。的等价类为同余类。由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的

等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。即在等价类。即在 xx11⊙⊙yy11 中，如果用集合中，如果用集合 SS 中的与中的与 xx11 等等价的任何其它元素价的任何其它元素 xx22 代换代换 xx11 ，并且用与，并且用与 yy11 等价的任等价的任何其它元素何其它元素 yy22 代换代换 yy11 ，则所求的结果，则所求的结果 xx22⊙⊙yy22 与与 xx11⊙⊙yy

11位于同一等价类之中。位于同一等价类之中。

亦即若〔亦即若〔 xx11〕〕 EE==〔〔 xx22〕〕 EE 并且〔并且〔 yy11〕〕 EE==

〔〔 yy22〕〕 EE ，则〔，则〔 xx11⊙⊙yy11〕〕 EE==〔〔 xx22⊙⊙yy22〕〕 EE 。此外，。此外，同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同余关系不存在。构存在同余关系；否则，同余关系不存在。

例例 6.4.16.4.1 给定给定 <<II,+,,+,>> ，其中，其中 II 是整数集合，是整数集合，++ 和和是一般加、乘法。假设是一般加、乘法。假设 II 中的关系中的关系 RR 定义如下：定义如下：

ii11RiRi22:=|:=|ii11|=||=|ii22|| ，其中，其中 ii11 、、 ii22II

试问，试问， RR 为该结构的同余关系吗？为该结构的同余关系吗？

解 显然，解 显然， RR 为为 II 中的等价关系。接着先考察中的等价关系。接着先考察 RR 对于对于++ 运算的代换性质：运算的代换性质：

若取若取 ii11,-,-ii11,,ii22II ，则有，则有 ||ii11|=|-|=|-ii11|| 和和 ||ii22|=||=|ii22|| ，于是，下式，于是，下式((ii11RR(-(-ii11))))((ii11RiRi22))((ii11++ii22))RR(-(-ii11++ii22))

不真。这是因为前件为真，后件为假。故不真。这是因为前件为真，后件为假。故 RR 对于对于 ++

运算不具有代换性质。运算不具有代换性质。

至此可以说，至此可以说， RR 不是该结构的同余关系。但为不是该结构的同余关系。但为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来考察了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来考察RR 对于对于的代换性质。的代换性质。

令令 ii11,,ii22,,jj11,,jj22II 且且 ii11RiRi22 和和 jj11RjRj22 。于是，对任意。于是，对任意 ii11,,ii22,,

jj11,,jj22都有：都有：((ii11RiRi22)) 和和 ((jj11RjRj22))((ii11jj11))RR((ii22jj22))

因此，因此， EE 对于对于具有代换性质。具有代换性质。

可见，考察一个等价关系可见，考察一个等价关系 EE 对于有多个运算对于有多个运算的代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后的代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后问题，选择得好，马上就考察到了问题，选择得好，马上就考察到了 EE 对某个运算对某个运算是不具有代换性质，那么便可立刻断定是不具有代换性质，那么便可立刻断定 EE 不是该不是该结构的同余关系，否则验证应继续下去，直至遇结构的同余关系，否则验证应继续下去，直至遇到不具有代换性质的运算为止。如果对于所有运到不具有代换性质的运算为止。如果对于所有运算都有代换性质，则算都有代换性质，则 EE 为该结构的同余关系。为该结构的同余关系。

在例在例 6.4.16.4.1 中，首先发现中，首先发现 RR 对于对于 ++ 不具有代换不具有代换性质，那么可断定性质，那么可断定 RR 不是该结构的同余关系。如不是该结构的同余关系。如果你首先验证是果你首先验证是 RR 对于对于的代换性质，结果的代换性质，结果 RR 对对于于有代换性质，至此你只是有希望有代换性质，至此你只是有希望 EE 是同余关是同余关系，但还得继续工作，考察系，但还得继续工作，考察 RR 对于对于 ++ 的代换性质，的代换性质，由此结果才能判定由此结果才能判定 RR 是否为该结构的同余关系。是否为该结构的同余关系。

有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理：的关系了，请看下面定理：定理定理 6.4.16.4.1 设设 <<SS ，⊙，⊙ >> 与与 <<TT ，○，○ >> 是同类型的且是同类型的且 ff为其同态映射。对应于为其同态映射。对应于 ff ，定义关系，定义关系 EEff 如下：如下：xExEffyy:=:=ff((xx)=)=ff((yy)) ， 其中， 其中 xx ，， yy∈∈SS

则则 EEff 是是 <<SS ，⊙，⊙ >> 中的同余关系，并且称中的同余关系，并且称 EEff 为由同态为由同态映射映射 ff 所诱导的同余关系。所诱导的同余关系。 11

由于同态映射不唯一，根据定理由于同态映射不唯一，根据定理 6.4.16.4.1 ，可以推知同，可以推知同余关系也是不唯一。余关系也是不唯一。

6.5 6.5 商代数商代数定义定义 6.5.16.5.1 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及其上的同余关及其上的同余关

系系 EE ，且由，且由 EE 对对 SS 所产生同余类构成一个商集所产生同余类构成一个商集SS//EE 。若在。若在 SS//EE 中定义运算中定义运算如下：如下：

[[xx]]EE○[○[yy]]EE=[=[xx⊙⊙yy]]EE 其中其中 [[xx]]EE ，， [[yy]]EE∈∈SS//

EE

于是于是 <<SS//EE ，○，○ >> 构成了一个代数结构，则构成了一个代数结构，则称称 <<SS//EE ，○为代数结构，○为代数结构 <<SS ，⊙，⊙ >> 的商代数。的商代数。

可以看出，给定一个代数结构，利可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构即商代数，两者有何联系，下面定数结构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点理指明这一点。。

定理定理 6.5.16.5.1 给定给定 <<SS ，⊙，⊙ >> 及其上的商代数及其上的商代数 <<SS//EE ，○，○ >> ，则，则 <<SS ，⊙，⊙ >><<SS//EE ，○，○ >> 。。

通常，称通常，称 ggEE 为从为从 SS 到到 SS//EE 上的正则映射，并上的正则映射，并且称且称 ggEE 为从为从 <<SS ，⊙，⊙ >> 到到 <<SS//EE ，○，○ >> 的与的与 EE 相关相关的自然同态映射，简称自然同态。的自然同态映射，简称自然同态。

此外，容易看出自然同态此外，容易看出自然同态 ggEE 是满同态映射，是满同态映射，根据定理根据定理 6.3.26.3.2 可知，代数结构可知，代数结构 <<SS ，⊙，⊙ >> 的各种的各种性质在其商代数性质在其商代数 <<SS//EE ，○，○ >> 中都被保持了下来。中都被保持了下来。

现在，可以利用自然同态及现在，可以利用自然同态及 EEff 给出一个有关给出一个有关同构的重要定理。同构的重要定理。

定理定理 6.5.26.5.2 设设 <<SS ，⊙，⊙ >><<TT ，○，○ >> 且且 ff 为其为其满同态映射，满同态映射， EEff 为为 ff 所诱导的同余关系，所诱导的同余关系， ggEfEf 是从是从<<SS ，⊙，⊙ >>到到 <<SS//EEff ，☆，☆ >> 的与的与 EEff 相关的自然同态，相关的自然同态，则则 <<SS//EEff ，☆，☆ >><<TT ，○，○ >> 。。

6.6 6.6 积代数积代数定义定义 6.6.16.6.1 设设 <<SS ，⊙，⊙ >> 与与 <<TT ，○，○ >> 是同类是同类型的，而型的，而 <<SS××TT ，， >> 成为新的代数结构，其中成为新的代数结构，其中 SS

××TT 是集合是集合 SS 和集合和集合 TT 的笛卡儿积，且的笛卡儿积，且定义如下：定义如下： <<ss11 ，， tt11>><<ss22 ，， tt22>=<>=<ss11⊙⊙ss22 ，， tt11○○tt22>> ，其，其中中 ss11 ，， ss22∈∈SS ，， tt11 ，， tt22∈∈TT 。。则称则称 <<SS××TT ，， >> 为代数结构为代数结构 <<SS ，⊙，⊙ >> 和和 <<

TT ，○，○ >> 的积代数，而代数结构的积代数，而代数结构 <<SS ，⊙，⊙ >> 和和 <<TT ，，○○ >> 称为称为 <<SS××TT ，○，○ >> 的因子代数。的因子代数。

类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型的代数结构。另外，重复地使用定义中的方法，也可的代数结构。另外，重复地使用定义中的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数。以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数。

可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子代数是同一类型的。而且还要注意到，在积代数的定代数是同一类型的。而且还要注意到，在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的运算。运算。