ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ

Περιοδική Επέκταση Σήματος Πεπερασμένης Χρονικής Διάρκειας.

Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier

0

Ν-1n

][~ nx

2Ν-1

Ν

. . .. . .

x[n]

0

Ν-1

0

Ν-1n

NnxNnxnx ][]mod[][~

][~ nx

][nx

2Ν-1

Ν

. . .. . .

Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier

Περιοδική Επέκταση Σήματος Πεπερασμένης Χρονικής Διάρκειας.

Περιοδικές Επεκτάσεις Σημάτων Πεπερασμένης Χρονικής Διάρκειας.

NnxNnxnx ][]mod[][~

Διακριτού Χρόνου Σειρές Fourier

N

nkjN

k

ekXN

nx21

0

][~1

][~

N

nkjN

n

enxkX21

0

][~][~

Εξίσωση Σύνθεσης:

Εξίσωση Ανάλυσης:

x3

x2

x1

x4

x0xM-1

h0h1 hM-1

hM-2

1

0

][]mod)[(][][][M

m

mxMmnhnxnhny

Κυκλική Συνέλιξη

x3

x2

x1

x4

x0xM-1

h1h2 h0

hM-1

1

0

][]mod)0[(]0[M

m

mxMmhy

1

0

][]mod)1[(]1[M

m

mxMmhy

Κυκλική Συνέλιξη

]1[]1[]2[]2[]1[]1[]0[]0[

][]mod)0[(]0[1

0

MxhxMhxMhxh

mxMmhyM

m

]1[]2[]2[]1[]1[]0[]0[]1[

][]mod)1[(]1[1

0

MxhxMhxhxh

mxMmhyM

m

]1[]0[]2[]3[]1[]2[]0[]1[

][]mod)1[(]1[1

0

MxhxMhxMhxMh

mxMmMhMyM

m

.

.

.

Κυκλική Συνέλιξη σε Μητρική Μορφή

1

1

0

0321

2101

1210

1

1

0

...

...

...

MMMM

M

MM

M x

x

x

hhhh

hhhh

hhhh

y

y

y

MMM xHy

ή ισοδύναμα

0321

2101

1210

...

...

...

hhhh

hhhh

hhhh

MMM

M

MM

M H

• Κυκλικό Μητρώο

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

0100

0000

10

0001

1000

MU

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

Μ στοιχεία

ΙΜ-1

• Το πιο Απλό Κυκλικό Μητρώο

2

1

0

1

1

2

1

0

0100

0000

10

0001

1000

M

M

M

MM

h

h

h

h

h

h

h

h

hU

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

tMM hhhh 1210 hΑν , τότε

2-η στήλη του Μητρώου MH

3

0

1

2

2

1

0

1

1

2

1

0

M

M

M

M

M

M

M

MMM

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

UUhU 22

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

3-η στήλη του Μητρώου MH

)1(

)2(

)1(

2

1

0

1

1

1

2

1

0

kM

kM

kM

kM

M

M

kM

M

kMM

kM

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

UUhU

(k+1) στήλη του Μητρώου MH

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

][

][12

1210

MMMMMMMM

MMMMMMMMMM

hUhUhUh

hUhUhUhUH

Άρα

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

Το μητρώο : MH

1. Έχει σαν ιδιο-διανύσματα τις στήλες του αντιστρόφου του μητρώου FΜxΜ του Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier και

2. ιδιοτιμές, τις τιμές του ΔΜF της κρουστικής απόκρισης h[n] , δηλαδή τον ΔΜF του διανύσματος

tMM hhhh 1210 h

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

M

Mj

M

Mj

M

Mj

M

Mj

M

j

M

j

MM

eee

eee

2)1(2)1(4)1(2

)1(242

...1

...1

1...111

F

MMMMMMM

IFF*

Κυκλική Συνέλιξη & Κυκλικά Μητρώα

και ότι

ή ισοδύναμα:*1 1

MMMM M FF

Θα πρέπει να θυμηθούμε τώρα ότι, αν

, τότε

(Ορθογωνιότητα)

lk

lkMlk

,0

,ff t*

][ 1210 MMM ffffF

Κυκλική Συνέλιξη στο Πεδίο της Συχνότητας

Παίρνοντας υπόψη μας τα παραπάνω έχουμε ότι:

MMM DFFH 1

ΑΡΑ!!!! MMMMMM xDFFxHy 1

όπου ])1[]1[]0[( MHHHdiag D

Κυκλική Συνέλιξη στο Πεδίο της Συχνότητας

ΑΡΑ!!!! MMMMMM xDFFxHy 1

tM

MMM

MXXX ]]1[]1[]0[[

X

XxF

])1[]1[]0[( MHHHdiag D

Κυκλική Συνέλιξη στο Πεδίο της Συχνότητας

tM MHHH ]]1[]1[]0[[ D

MMM hFD

tM

MMM

MXXX ]]1[]1[]0[[

X

XxF

ΑΡΑ!!!!

MMMMMMMM YFxDFFxHy 11

Κυκλική Συνέλιξη στο Πεδίο της Συχνότητας

]1[

]2[

]1[

]0[

]1[

]2[

]1[

]0[

]1[

]2[

]1[

]0[

MY

Y

Y

Y

MX

X

X

X

MH

H

H

H

MMMM

XDxDF

μιγαδικές προσθέσεις.

πραγματικές προσθέσεις.

MMM xHy

Υπολογισμός της Κυκλικής Συνέλιξης

• Υπολογισμός στο ΠΕΔΙΟ του ΧΡΟΝΟΥ:

Υπολογιστικό κόστος:

πραγματικοί πολλαπλασιασμοί

23)( MMc )1(3)( MMMac

• Υπολογισμός στο ΠΕΔΙΟ της ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ & επιστροφή

στο ΠΕΔΙΟ του ΧΡΟΝΟΥ: MMMMMM YFxDFFy 11

Υπολογιστικό κόστος:

μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί

2)( MMr )1()( MMMar

Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT)

• Αποδοτικές Υλοποιήσεις του ΔΜF.

Η Στρατηγική του Διαίρει και Βασίλευε

Π

Π1 Π2

Π11 Π12 Π21 Π22

Π111 Π112

• Αποδοτική Υλοποίηση του ΔΜF με Αποδεκατισμό στο Χρόνο

• Αποδοτική Υλοποίηση του ΔΜF με Αποδεκατισμό στή Συχνότητα

mM

n

M

nkj

MMkenxkX 2,1,...,2,1,0,][][1

0

2

Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT)

Υλοποίηση TΜF (FFT)

Υπολογιστικό Κόστος TΜF (FFT)

μιγαδικές προσθέσεις.

Υπολογιστικό κόστος ΔΜF Μήκους Μ συναρτήσει 2 ΔΜF μήκους Μ/2 :

μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί 12)1(2)( mcc mm

mcc mama 2)1(2)(

)(log2)( 2 MMmma mc

)(log2

2)( 21 M

Mmm m

c Συνολικό Υπολογιστικό κόστος:

Υπολογιστικό Κόστος TΜF (FFT)

x[n]

n

Γραμμική Συνέλιξη

1

0

][])[(][*][][M

m

mxmnhnxnhny

Γραμμική Συνέλιξη

Υποθέσεις:1. Το μήκος της κρουστικής απόκρισης του αιτιατού συστήματος είναι Μ.

2. Το σήμα που θέλουμε να επεξεργαστούμε με το σύστημα έχει μήκος Ν

δείγματα, με Ν>>Μ

]0[]0[]0[ xhy

Γραμμική Συνέλιξη

]2[]0[]1[]3[]0[]2[]2[ MxhxMhxMhMy

]1[]0[]0[]1[]1[ xhxhy .

.

.

1-η Μεταβατική Περίοδος:

Γραμμική Συνέλιξη

]1[]0[]1[]2[]0[]1[]1[ MxhxMhxMhMy

][]0[]2[]2[]1[]1[][ MxhxMhxMhMy ]1[]0[]3[]2[]2[]1[]1[ MxhxMhxMhMy

• .

• .

• .

]1[]0[]1[]2[][]1[]1[ NxhMNxMhMNxMhNy

Περίοδος Μόνιμης Κατάστασης:

Γραμμική Συνέλιξη

]1[]1[]2[ NxMhNMy

]1[]2[]2[]1[]3[ NxMhNxMhNMy

]1[]1[]2[]2[]1[]1[][ NxhMNxMhMNxMhNy .

.

.

2-η Μεταβατική Περίοδος:

N στήλες

Γραμμική Συνέλιξη

1-η Μεταβατική Περίοδος:

00

000

0000

0000

00000

0132

03

1

01

0

)1(1

hhhh

hh

h

hh

h

MM

M

NMT

01

01

01

01

)1(2

000

00

00

00

000

hh

hh

hh

hh

M

M

M

M

NMN

T

Περίοδος Μόνιμης Κατάστασης:N στήλες

Γραμμική Συνέλιξη

N στήλες

Γραμμική Συνέλιξη

2-η Μεταβατική Περίοδος:

1

2

31

21

1321

)1(3

00000

0000

0

000

00

M

M

MM

MM

MMM

NM

h

h

hh

hh

hhhh

T

N στήλες

Μ-1

Ν-Μ+1

Μ-1

Γραμμική Συνέλιξη

N(M )11T

NM(N )12T

N(M )13T

N+Μ-1 στήλες

Ν+Μ-1

Γραμμική Συνέλιξη-Συμπλήρωση (Πρόσθεση)

N(M )11T

NM(N )12T

N(M )13T

Μ-1

Μ-1

Αποδοτικός Υπολογισμός Γραμμικής Συνέλιξης

FFTL-Σημείων

FFTL-Σημείων

ΙFFTL-Σημείων

Nx

Mh 1MNh

Lx LX

MH

1MNy

Υπολογισμός της Γραμμικής Συνέλιξης

FFTL-Σημείων

ΙFFTL-Σημείων

Nx Lx LX

MH

1MNy

Μέθοδοι Υλοποίησης Γραμμικής Συνέλιξης

FC FC FC

1-η 2-η

1-η 2-η

2-η

Ν+Μ-1

Ν-Μ+1

Μ-1

Ν Μέθοδος Επικάλυψης & Άθροισης

N στήλες

Μ-1

Ν-Μ+1

Μ-1

Γραμμική Συνέλιξη-Διατήρηση

N(M )11T

NM(N )12T

N(M )13T

N στήλες

Μ-1

Ν-Μ+1

Γραμμική Συνέλιξη-Διατήρηση

TT 31

NM(N )12T

Μέθοδοι Υλοποίησης Γραμμικής Συνέλιξης

FC FC FC

Μ-1

Ν

Ν-Μ+1

Ν-Μ+1

Μέθοδος Επικάλυψης & Διατήρησης

Μ-1

Μ-1

Μ-1

ΝΝ Ν