L/O/G/O

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна

Учитель: Стаханова Полина Александровна. 

Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.

Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.

Методы исследования:• 1.Изучение теории по вспомогательной окружности

 • 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к

применению вспомогательной окружности

 • 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и

решением задач

• 4. Выполнение практической части.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений.

 

Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.

Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:

Первый признак:

 Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Второй признак:

Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

Третий признак:

 

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a + b = c + d.

Углы, связанные с окружностью. Углы, связанные с окружностью.

Угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла.

2

Угол с вершиной вне круга равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.

2

Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.

2

Отрезки, связанные с окружностью.Отрезки, связанные с окружностью.

Радиус перпендикулярен хорде тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.

O

Равные хорды стягивают равные дуги.

CDAB

O

A B

C

D

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

O

A C

D

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

dcba

a

bc

d

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

BDBCAB 2

AB

C

D

Задача№4:

 Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.

Первый случай:

 Если угол В - тупой1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.

2. BD- диаметр

3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).

4.∆MON-равносторонний

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности.Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности.

Задача№1:

Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.

Задача№2:

  В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.

АМ

a

b

В

С

1.Вокруг АВМС можно описать окружность;

3.АМ -диаметр

sin2

ВСR

cos222 abbaBC

sin2

cos222 abbaR

sin

cos*22

22 abbaRAM

Задача№3:Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания

перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.

Задача№3:Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания

перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.

Задача№4:

 Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.

Первый случай:

 Если угол В - тупой1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.

2. BD- диаметр

3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).

4.∆MON-равносторонний

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Второй случай:

Если угол В – тупой.Второй случай:

Если угол В – тупой.

Задача№5:

 Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

1. вокруг ABCD можно описать окружность.

2. AD- диаметр; R=13

3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность.

HD= 26-18=8.

СН= =12

S тр. = =216

Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы):

Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.

R= =

Задача№8(вспомогательная):

Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?

Задача№6: 

ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.

Задача№11(задача Брахмагупта):

 Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.

 

 Задача № 9:

 В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN.

А

В С

DN

M

А

В С

DN

MНМ1

N1

L/O/G/O

“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.

И.Ф. Шарыгин

“ Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”.

И.Ф. Шарыгин

www.themegallery.com