Использование модели Кейна для расчета...
DESCRIPTION
Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур. М.С.Жолудев научные руководители: д.ф.-м.н . В.Я.Алешкин д.ф.-м.н . В.И.Гавриленко. Содержание. Введение Описание однородных полупроводников kp- метод модель Кейна Учет неоднородностей плавное поле - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/1.jpg)
Использование модели Кейна для расчета
энергетического спектра полупроводниковых структур
М.С.Жолудев
научные руководители:д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин
д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко
![Page 2: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/2.jpg)
Содержание• Введение• Описание однородных полупроводников
– kp-метод– модель Кейна
• Учет неоднородностей– плавное поле– гетероструктуры
• Примеры расчетов
![Page 3: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Введение
![Page 4: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/4.jpg)
Введениегамильтониан электрона в кристалле:
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
R – вектор прямой решетки
![Page 5: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/5.jpg)
Теорема Блоха
1,, ),()( krr kkr
k ni
n ue
гамильтониан электрона в кристалле:
собственная функция:
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
R – вектор прямой решетки
медленнаяогибающая
быстро осциллирующаяпериодическая часть
![Page 6: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/6.jpg)
Теорема Блоха
)()(
)ˆ(ˆ
rRr
kp
uu
EuuH
гамильтониан электрона в кристалле:
собственная функция:
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
уравнение дляблоховских функций:
R – вектор прямой решетки
1,, ),()( krr kkr
k ni
n ue
![Page 7: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/7.jpg)
)()(
)ˆ(ˆ
rRr
kp
uu
EuuH ),(,),(
),(,),(
,,1
1
rr
kk
kk n
n
uu
EE
гамильтониан электрона в кристалле:
собственная функция:
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
уравнение дляблоховских функций: … и его решения:
Теорема Блоха
R – вектор прямой решетки
1,, ),()( krr kkr
k ni
n ue
![Page 8: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/8.jpg)
Теорема Блоха
)()(
)ˆ(ˆ
rRr
kp
uu
EuuH ),(,),(
),(,),(
,,1
1
rr
kk
kk n
n
uu
EE
гамильтониан электрона в кристалле:
собственная функция:
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
уравнение дляблоховских функций: … и его решения:
R – вектор прямой решетки
частично можем получитьиз эксперимента
1,, ),()( krr kkr
k ni
n ue
![Page 9: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/9.jpg)
Выводы
• Нельзя вычислить зонную структуру непосредственно решая уравнение Шредингера, т.к. периодический потенциал неизвестен
• Часть информации о зонной структуре можно получить из эксперимента, а остальное «достроить» с помощью приближенных методов
![Page 10: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/10.jpg)
2. kp-метод
![Page 11: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/11.jpg)
kp-гамильтониан
σkrσpr
rkpkp
kp
)(4
ˆ)(4
)(2
ˆ
2
ˆ)ˆ(ˆ
22
2
22
222
Vcm
Vcm
Vmmm
H
ee
eee
)()(
)ˆ(ˆ
rRr
kp
uu
EuuH
![Page 12: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/12.jpg)
kp-гамильтониан
)()(
)ˆ(ˆ
rRr
kp
uu
EuuH
![Page 13: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/13.jpg)
Базис блоховских функций
kk kkpk
p ,,
22
)(2
ˆ)ˆ(ˆ nnn
ee
uEumm
H
![Page 14: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/14.jpg)
Базис блоховских функций
)()( ,, rr kkr
k ci
c ue
kk kkpk
p ,,
22
)(2
ˆ)ˆ(ˆ nnn
ee
uEumm
H
![Page 15: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/15.jpg)
Базис блоховских функций
)()( ,, rr kkr
k ci
c ue
,2,1),(, nun rk
Базис для периодических функций:
kk kkpk
p ,,
22
)(2
ˆ)ˆ(ˆ nnn
ee
uEumm
H
По нему можно разложить любуюпериодическую функцию
![Page 16: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/16.jpg)
Базис Кона-Латтинжера
,2,1),(0, nun r
Базис для периодических функций:
0,0, )0()ˆ(ˆ nnn uEuH p
)()( ,, rr kkr
k ci
c ue
0k
По нему можно разложить любуюпериодическую функцию
– в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше
![Page 17: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/17.jpg)
Базис Кона-Латтинжера
,2,1),(0, nun r
Базис для периодических функций:
n
nnc uCu )()( 0,, rrk
По нему можно разложить любуюпериодическую функцию:
)()( ,, rr kkr
k ci
c ue
0,0, )0()ˆ(ˆ nnn uEuH p
0k – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше
![Page 18: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/18.jpg)
Базис Кона-Латтинжера
n
ni
nc ueC )()( 0,, rr krk
,2,1),(0, nun r
Базис для периодических функций:
Базис Кона-Латтинжера:
0,0, )0()ˆ(ˆ nnn uEuH p
0k – в точке с высокой симметрией знаем о функциях больше
![Page 19: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/19.jpg)
Теория возмущений
cn
ni
nci
c ueCue )()()( 0,)1(
0,, rrr krkrk
возмущение
возмущение
![Page 20: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/20.jpg)
Теория возмущений
)()( 0,)0(, rr krk c
ic ue
)0()()0( cc EE k
ecn nc
nc
c mEE
uuE
2)0()0(
ˆ)(
222
0,0,)1( kpkk
kk kkpk
p ,,
22
)(2
ˆ)ˆ(ˆ nnn
ee
uEumm
H
2-й порядок 1-й порядок
![Page 21: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/21.jpg)
Теория возмущений
)()( 0,)0(, rr krk c
ic ue
)0()()0( cc EE k
ecn nc
nc
c mEE
uuE
2)0()0(
ˆ)(
222
0,0,)1( kpkk
kk kkpk
p ,,
22
)(2
ˆ)ˆ(ˆ nnn
ee
uEumm
H
2-й порядок 1-й порядок
kmkk 12
2)0()( T
cc EE
или
зона проводимостивсегда получается параболической
![Page 22: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/22.jpg)
kp-метод
• Зависимость энергии от k рассматривается как возмущение, вызванное влиянием других зон
• Эта зависимость аппроксимируется некоторой функцией, параметры которой извлекают из экспериментальных результатов.
• Невырожденная зона всегда получается параболической
![Page 23: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/23.jpg)
3. Модель Кейна
Evan O. Kane,“Band structure of indium antimonide”,J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)
![Page 24: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/24.jpg)
Модель Кейна
cn
ni
nci
c ueCue )()()( 0,)1(
0,, rrr krkrk
возмущение
возмущение
![Page 25: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/25.jpg)
Модель Кейна
in
nni
iii
ic uCeuCe )()()( 0,
)1(0,
)0(, rrr krkrk
возмущение
возмущение
![Page 26: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/26.jpg)
Модель Кейна
in
nni
iii
ic uCeuCe )()()( 0,
)1(0,
)0(, rrr krkrk
возмущение
возмущение
cci ,
hhhhi ,
lhlhi ,
shshi ,
![Page 27: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/27.jpg)
Гамильтониан Кейна – матрица
8
1
C
C
ψ
)(
)(
8
1
r
r
u
u
u
ψukr Tie
ψuψukp TT EH )ˆ(ˆ
EH ˆУравнение Шредингера:
Векторная запись волновой функции:
где
ψψukpu EH T )ˆ(ˆ
![Page 28: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/28.jpg)
Гамильтониан Кейна
ee mmH
2
ˆ)ˆ(ˆ
22kpkp
em
pk ̂возмущение
em
pk ̂возмущение
![Page 29: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/29.jpg)
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
c
c
hh
lh
lhhhcc
cE
cE
vE
vE
энергияв Г-точке
![Page 30: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/30.jpg)
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
c
c
hh
lh
lhhhcc
энергияв Г-точке
взаимодействиебазисныхфункций
+
ec m
kE
2
22
ec m
kE
2
22
ev m
kE
2
22
ev m
kE
2
22
Pk2
1zPk
3
2
Pk6
1
Pk6
1
Pk2
1
zPk3
2
![Page 31: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/31.jpg)
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
c
c
hh
lh
lhhhcc
энергияв Г-точке
взаимодействиебазисныхфункций
+
e
c m
kE
2
22
e
c m
kE
2
22
e
v m
kE
2
22
e
v m
kE
2
22
Pk2
1zPk
3
2
Pk6
1
Pk6
1
Pk2
1
zPk3
2
+ возмущение
![Page 32: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/32.jpg)
Гамильтониан Кейнаc
c
c
c
hh lh sh
hh
lh
sh
lh hh
lh
hh
sh
sh
T Pk2
1
T
zPk3
2
Pk6
1zPk
3
2
Pk6
1
Pk2
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
zPk3
1
VU
VU
VU
VU
U
U
R
R
*S
*S
V2
V2
R2
R2 S2
1
*
2
1S
*
3
2S
S3
2
Pk2
1
zPk3
2
zPk3
2
V2
V2
Pk6
1
zPk3
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
Pk2
1
S
*R
*R S
S2
1
*2R S3
2
*
3
2S *2R
*
2
1S
Pk6
1
![Page 33: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/33.jpg)
Гамильтониан Кейнаc
c
c
c
hh lh sh
hh
lh
sh
lh hh
lh
hh
sh
sh
T Pk2
1
T
zPk3
2
Pk6
1zPk
3
2
Pk6
1
Pk2
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
zPk3
1
VU
VU
VU
VU
U
U
R
R
*S
*S
V2
V2
R2
R2 S2
1
*
2
1S
*
3
2S
S3
2
Pk2
1
zPk3
2
zPk3
2
V2
V2
Pk6
1
zPk3
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
Pk2
1
S
*R
*R S
S2
1
*2R S3
2
*
3
2S *2R
*
2
1S
Гамильтониан Кона-Латтинжера
Pk6
1
![Page 34: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/34.jpg)
Гамильтониан Кейнаc
c
c
c
hh lh sh
hh
lh
sh
lh hh
lh
hh
sh
sh
T Pk2
1
T
zPk3
2
Pk6
1zPk
3
2
Pk6
1
Pk2
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
zPk3
1
VU
VU
VU
VU
U
U
R
R
*S
*S
V2
V2
R2
R2 S2
1
*
2
1S
*
3
2S
S3
2
Pk2
1
zPk3
2
zPk3
2
V2
V2
Pk6
1
zPk3
1
Pk3
1
Pk3
1
zPk3
1
Pk2
1
S
*R
*R S
S2
1
*2R S3
2
*
3
2S *2R
*
2
1S
Pk6
1
Точный учет взаимодействиязоны проводимостии валентной зоны
![Page 35: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/35.jpg)
Модель Кейна• Явно учитывает несколько зон, которые имеют
разную энергию даже в нулевом приближении• Взаимодействие между этими зонами входит в
гамильтониан точно• Поправки к энергии, связанные с влиянием
далеких зон рассматриваются как возмущение• Модель учитывает непараболичность зоны
проводимости
![Page 36: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/36.jpg)
kp-методдля зоны проводимости модель Кейна
базис – одна функция базис – 8 функций
периодическая часть ψне зависит от k
периодическя часть ψзависит от k
непосредственного взаимодействия между базисными функциями
нет
непосредственное взаимодействие между базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение
зона проводимости параболическая
зона проводимости непараболическая
валентная зонане рассматривается
валентная зонаучитывается 3 зоны
![Page 37: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/37.jpg)
kp-методдля валентной зоны модель Кейна
базис – 4 или 6 функций базис – 8 функций
периодическая часть ψзависит от k
периодическя часть ψзависит от k
непосредственного взаимодействия между базисными функциями
нет
непосредственное взаимодействие между базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон учитывается как kp-возмущение
зона проводимостине рассматривается
зона проводимости непараболическая
валентная зонаучитывается 2 или 3 зоны
валентная зонаучитывается 3 зоны
![Page 38: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/38.jpg)
4. Неоднородные системы
![Page 39: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/39.jpg)
Плавный потенциал
)()(
)()(2
ˆ)ˆ(ˆ
2
rRr
rrp
p
VV
UVm
He
1
)(~
)(k
kr kr UeU i
Плавный потенциал можно разложитьпо плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна:
Кулоновский потенциал мелкой примесиявляется плавным вдали от центра
![Page 40: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/40.jpg)
Плавный потенциал
)(
)(
)(
8
1
r
r
rψ
8
1
C
C
ee ii krkrψ
1
)()(k
kr kr ii
i Ceогибающие – плавные функции:
J. M. Luttinger and W. Kohn,“Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”,Phys. Rev. 97, 869 (1955)
![Page 41: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/41.jpg)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным
![Page 42: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/42.jpg)
Кусочно-гладкое решениеМатериал A Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
2. Сшиваем решения на границах
правильно – сшивать полные волновые функции:
граничные условия:непрерывность полной волновой функции и ее производной
![Page 43: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/43.jpg)
Кусочно-гладкое решениеМатериал A Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
2. Сшиваем решения на границах
приходится сшивать огибающие
граничные условия – основная проблема
![Page 44: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/44.jpg)
Опорный кристалл
![Page 45: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/45.jpg)
Опорный кристалл
)()(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
00
022
02
0
rRr
σprrp
p
VV
Vcm
Vm
Hee
Опорный потенциал V0 является периодическим для всей структуры.Его блоховские функции – базис, по которому раскаладываетсяволновая функция электрона.
![Page 46: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/46.jpg)
Опорный кристалл
)()(
ˆ)(4
)(
ˆ)(4
)(2
ˆ)ˆ(ˆ
00
22
022
02
rRr
σprr
σprrp
p
VV
Vcm
V
Vcm
Vm
H
e
ee
возмущение
![Page 47: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/47.jpg)
Разложение волновой функции
)(
)(
08
01
r
r
u
u
u
Блоховские функции опорного потенциалаодинаковы для всей структуры
M. G. Burt,“The justification for applying the effective-massapproximation to microstructures”,J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)
![Page 48: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/48.jpg)
Разложение волновой функции
)(
)(
)(
8
1
r
r
rψ
1
)()(k
kr kr ii
i Ce
)(
)(
08
01
r
r
u
u
u
Блоховские функции опорного потенциалаодинаковы для всей структуры
Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала:
![Page 49: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/49.jpg)
Разложение волновой функции
)(
)(
)(
8
1
r
r
rψ
1
)()(k
kr kr ii
i Ce
)(
)(
08
01
r
r
u
u
u
Блоховские функции опорного потенциалаодинаковы для всей структуры
Волновая функция имеет тот же вид,что и в случае плавного потенциала:
Уравнение Шредингеразаписывается для всей структуры
![Page 50: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/50.jpg)
Полный гамильтониан
Вместо волнового вектора используетсядифференциальный оператор.
Он не коммутирует с эффективной массой, которая зависит от координат.
Граничные условия для огибающейсодержатся в гамильтониане.
![Page 51: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/51.jpg)
Полный гамильтониан
Явный вид гамильтониана неизвестен,поэтому используются простые модели:
2*
2
2 zkm
izm
i)(
1
2 *
2
12
),()()(2
2
zmizmizm
![Page 52: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/52.jpg)
Расчет для неоднородной системы
• В случае плавного потенциала достаточно перейти от алгебраический уравнений к дифференциальным заменой k на
• В гетероструктуре нет общего базиса блоховских функций
i
![Page 53: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/53.jpg)
Кусочно-гладкое решение• Можно решать уравнение отдельно для
каждого материала• Граничные условия неизвестны как и
блоховские функции• Граничные условия нужно выбирать исходя
из каких-нибудь дополнительных соображений
![Page 54: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/54.jpg)
Опорный кристалл• Можно выбрать опорный кристалл и
использовать его блоховские функции, рассматривая различия материалов как возмущение
• Гамильтониан описывает всю структуру и не нужно сшивать решения на границах
• Правильный гамильтониан неизвестен, и потому используются различные модели (эквивалентно выбору граничных условий)
![Page 55: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/55.jpg)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов, образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность, не является плавным
• Это существенно для узких ям высокого качества (например GaAs/AlAs)
![Page 56: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/56.jpg)
5. Примеры расчетов
![Page 57: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/57.jpg)
Уровни энергии в квантовой яме HgTe/CdTe
40 50 60 70 80 90 100 110 120-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Эне
ргия
при
k=
0, м
эВ
Ширина квантовой ямы, Å
1-я подзона зоны проводимости
1-я валентная подзона 2-я валентная подзона 3-я валентная подзона
![Page 58: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/58.jpg)
Зонная структура КЯ Hg0.86Cd0.14Te/Cd0.7Hg0.3Te
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
En
erg
y, m
eV
k, Angstrom-1
E(-3) E(-2) E(-1) E(0) E(1)
![Page 59: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/59.jpg)
Методы расчета зонной структуры квантовых ям
Кусочно-гладкое решение
Полный гамильтониан
трансфер-матрица
матрица рассеяния
разложение по полномуортонормированномубазису
![Page 60: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/60.jpg)
трансфер-матрица матрица рассеяния
связывает амплитуды огибающих на правой и левой
границе структуры
связывает амплитуды огибающих для решений,
распространяющихся внутрь структуры и наружу
используется умножение матриц используется умножение и обращение матриц
метод неустойчив метод устойчив
![Page 61: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/61.jpg)
Применение различных методов
дискретныйспектр
непрерывныйспектр
метод матрицы рассеяния
требует поиска нулей функции
позволяет найти решение с любой наперед заданной
энергией
разложение по полному базису
дает сразувсе уровни
всегда получается дискретный спектр
![Page 62: Использование модели Кейна для расчета энергетического спектра полупроводниковых структур](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081419/56813bc5550346895da4f096/html5/thumbnails/62.jpg)
Другие пути
• Разложение по большому числу зонбез kp-возмущения (гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8)
• Разложение по блоховским функциям нескольких точек Γ, X, L, …
• Учет поправок, связанных с резким потенциалом
• Расчеты из первых принципов – попытка подобрать вид периодического потенциала