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第五章 极限定理

一、大数定律

二二二二二二二二

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大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。

• 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一 系列定律都称为大数定律。• 论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一 分布的定理称为中心极限定理。

本章概述

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§5.1 大数定律一 、切比雪夫不等式

(ε 是任一正数 )2

( ){| ( ) | }

D XP X E X

1. 对于任何具有有限方差的随机变量 X ，都有

)|(|

)(}|)({|XEx

dxxfXEXP

.)(

2XD

则

证明： ( 以连续型随机变量为例 ) 设 X 的概率密度为 f(x)，

)|(|2

2

)()]([

XEx

dxxfXEx

dxxfXEx )()]([

1 22

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dxxf

XEx)(

)]([2

2

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① 切比雪夫不等式等价形式

2

( ){| ( ) | } 1 .

D XP X E X

例 1 ．估计{| ( ) | 3 ( ) }X E X D X 事件发生的概率．

{ | ( ) | 3 ( ) }P X E X D X 解 :

⒈ 证明大数定律；⒉ 估计事件的概率 .

2

( ){| ( ) | } .

D XP X E X

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一 、切比雪夫不等式

② 切比雪夫不等式的作用

2

( ) 1.

9(3 ( ) )

D X

D X

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例 2 ．若在每次试验中， A 发生的概率为 0.5 ，进行 1000 次独立试验，估计 A 发生 400 ～ 600 次之间的概率 .解：因 X ～ B(1000 , 0.5) ， E(X)=500 ， D(X)=250

,所以 P{ 400 < X < 600 } = P{ | X-500 | < 100 }.

2 2

( ) 250 391 1 .

100 40

D X

P{ | X-500 | < 100 }

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21( )

{| ( ) | } ,D X

P X E X

由 得

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解 : 令 X 表示在夜晚同时开着的灯数目 , 则 X 服从二项分布 ,

其中 n=10000 , p=0.7 .

易知 E(X)=np=7000, D(X)=npq =2100 ，由切比雪夫不等式可得 {6800 7200} {| 7000 | 200}P X P X

2

21001 0.95

200 ．

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例 3. 设电站供电网有 10000 盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为 0.7, 假定灯的开、关是相互立的 , 使用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在 6800 到 7200 盏之间的概率 .

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,0;,,2,1,)( CniCXD i

limn

,)(11

11

n

kk

n

kk XEn

Xn

或，对于任意 ε>0 ，当 n 充分大时，不等式

定理 1 ( 切比雪夫大数定律 ) 如果 X1,X2,…,Xn,… 是相互独立的随机变量序列，每一个 Xi 都有数学期望 E(Xi) 和有限的方差D(Xi), 且方差有公共的上界，即

则对于任意 ε>0 ，有

依概率 1 成立 .

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二 、大数定律

1.1 1

1 1( )

n n

k kk k

X E Xn n

P

意即，随机变量的算术平均值将比较紧密地聚集在它的数学期望附近 .

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2 21 1

1 1 1( ) ( ) ,

n n

k kk k

cD X D X ncn n n n

1 1

1 1( ) ( ) ,

n n

i ii i

E X E Xn n

2 21 1 1

1 1 1 11 {| ( ) | } 1 ( ) 1 .

n n n

k k kk k k

cP X E X D Xn n n n

1 1

1 1lim {| ( ) | } 1.

n n

k knk k

P X E Xn n

证 :

又因 由切比雪夫不等式可得

所以， 切比雪夫大数定律表明 , 相互独立的随机变量的算术平均值,

与其数学期望的差 , 在 n 充分大时以概率 1 是一个无穷小量.

这意味着在 n 充分大时，地聚集在它的数学期望附近 .

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因为 X1,X2,…,Xn 相互独立，所以

随机变量的算术平均值将比较紧密

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1

1lim 1.

n

kn

k

P Xn

说明：① 在不变的条件下 , 重复测量 n 次所得到的 n 个观察值 ,

x1,x2, …, xn, 可看作服从同一分布的 n 个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn 的试验值 .

② n 充分大时， x1,x2, …, xn 的算术平均值与真值的误差依概率 1 任意小 .

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推论 设随机变量 X1,X2,…,Xn,… 独立同分布，且有E(Xk) = ， D(Xk) =2 ， k =1,2,…

则当 n→∞ 时，对任意 ε>0 ，有

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lim 1.A

n

nP p

n

证明 : 直接可由推论得出 ( 略 ).

这就是以频率定义概率的合理性依据 .

定理 2 ( 贝努里大数定律 ) 设 n 重贝努里试验中事件 A 发生nA

次 , 每次试验事件 A 发生的概率 p ，则对任意 ε>0 , 有

定义 (依概率收敛 )设 1 2, , , ,nY Y Y 是一个互相独立的

随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意正数 ，有 lim {| - | } 1 ,nnP Y a

1 2, , , ,nY Y Y 则称序列 依概率 (或依概率 1)收敛于 a .

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观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大 . 则这种量一般都服从或近似服从正态分布 .

自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见 .

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现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 .

当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？

在什么条件下极限分布会是正态的呢？

§5.2 中心极限定理

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由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究 n 个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量

1 1

1

( )

( )

n n

k kk k

n n

kk

X E XZ

D X

的分布函数的极限 .

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§5.2 中心极限定理

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的分布函数的极限 .

可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布 .

考虑

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1 1

1

( )

( )

n n

k kk k

n n

kk

X E XZ

D X

在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理 .

我们只讨论几种简单情形 .

下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维—林德伯格（ Levy－ Lindberg ）定理 .

§5.2 中心极限定理

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定理 3（独立同分布中心极限定理） 设随机变量 X1 ， X2 ，…， Xn ，…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差：

的分布函数 Fn(x)满足：对任意的 x ，有

n

nXY

n

kk

n

1

E(Xk) =μ ， D(Xk) =σ2 ， k = 1,2,…

则随机变量

( )x

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2

1 21

2lim ( ) lim .

n

tk xk

nn n

X nF x P x e dt

n

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说明

（ 3 ）不论 Xi 具有怎样的分布，只要满足条件，当 n很

大时，其和 就近似地服从正态分布。1

n

kk

X

（ 4 ）一般地 ， X1 ， X2 ，…， Xn 不同分布，有李普雅诺夫（ Liapunov ）中心极限定理阐述。

（ 1 ） 当 n很大时，

1 (0,1)~

n

k adk

n

X nY N

n

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2

1

( , )~n ad

kk

X N n n （ 2 ） 当 n很大时

，

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例 1 ．设随机变量 X1,X2,…,X20 相互独立，都服从 U(0,1) 均

匀分布 , 令 Y20 = X1+X2+…+X20 ，求 P{Y20≤9.1}.解：

P{Y20≤9.1}

依题意知 , X1,X2,…,X20 相互独立 , 且 E(Xi)=1/2,

20 10 9 1 10

5 3 5 3

.

/ /

YP

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D(Xi)=1/12 ， i=1,2,…,20 ，n=20 较大，由同分布中心极限定理得

= P{Y20－ 10≤9.1－ 10}

20 100 7

5 3.

/

YP

.2420.0)7.0(

220

1

( , )~n ad

kk

Y X N n n

(9.1)F 9.1 10

( )5 / 3

.2420.0)7.0(

P{Y20≤9.1}

1 1(20 ,20 )

2 12N

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2

21

lim .(1 ) 2

tx

n

n

npP x e dt

np p

1

,n

n ii

X

( ) , ( ) , 1, 2, , , 1 .k kE X p D X pq k n q p 其中

由独立同分布中心极限定理可得

lim .(1 )n

n

npP x

np p

证 : 由于服从二项分布的随机变量和 n 可看作 n 个相互独立的都服从参数为 p 的 (0-1) 分布的随机变量 X1,X2,…,Xn 之和，即

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定理 4 (棣莫佛 -拉普拉斯中心极限定理 ) 设随机变量 n

服从参数为 n , p 的二项分布 (n=1,2,…, 0<p<1), 则对于任意实数 x 恒有

1lim

n

kk

n

X nP x

n

2

21

2

tx

e dt

即若 n ～ B(n,p), 则 [n－ E(n)]/

～ N(0,1) !

( )nD 即若 n ～ B(n,p), 则

n ～ N(np,np

q) !

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2

21

lim .(1 ) 2

tx

n

n

npP x e dt

np p

由独立同分布中心极限定理可得

说明 : 1. 服从二项分布的随机变量 n 可看作 n 个相互独立的都服从参数为 p 的 (0-1) 分布的随机变量 X1,X2,…,Xn 之和 .

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定理 4 (棣莫佛 -拉普拉斯中心极限定理 ) 设随机变量 n

服从参数为 n , p 的二项分布 (n=1,2,…, 0<p<1), 则对于任意实数 x 恒有

2. 定理 4 的实质是 : 当较大时 , 服从于二项分布的随机变量近似服从正态分布 .

3. 定理 4 的作用是 : 二项分布的第二种近似计算方法: 用正态分布进行 .

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例 2 ．一批种子 , 其中良种占 1/6, 在其中任选 6000粒 ,

试问在这些种子中 , 良种所占的比例与 1/6 之差的绝对值小于 1%

的概率是多少？

解：设 X 表示取 6000粒种子中的良种粒数 , 则X~B(6000, 1/6), np=6000×(1/6)=1000, npq=6000×(1/6)×(5/6).

10.01

6000 6

XP

(1060) (940)F F

(2.078) ( 2.078) 0.96 .

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所求概率为 1000 60 1000 60P X

1 11060 6000 940 6000

6 61 5 1 5

6000 60006 6 6 6

n=6000 较大，由同分布中心极限定理得 X~N(np, npq)

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解 : 设应抽查 n 件产品 , 其中次品数为 Y ，则

所求概率为 P{10≤Y≤n} 或 P{10≤Y}. ( 因为 P{Y≤n}=1)

10 - 0.1 - 0.1 - 0.1{10 }

0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9

n Y n n nP Y n P

n n n

10 - 0.1(3 ) - ( )

0.3

nn

n 10 - 0.1

1- ( ),0.3

n

n

10 - 0.11- ( ) 0.9,

0.3

n

n 要使

10 - 0.11.29,

0.3

n

n 只须 得 147,n

即至少要抽查 147 件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到 0.9 ．下页

Y~B(n, 0.1), E(Y) = 0.1×n, D(Y) = 0.1×0.9×n,

例 3. 在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于 10

个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为 10﹪，问至少应抽查多少个产品检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到 0.9 ？

由德莫佛 -拉普拉斯中心极限定理得 X~N(np, npq)

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解 : 设应购置 n 只 , 其中一级品数为 X ，则

由德莫佛 -拉普拉斯中心极限定理得 X~N(0.7n, 0.21n)

查表得 计算得 170,n

即购置 170只，才能… … ( 略 ).

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X~B(n, 0.7), E(X) = 0.7n, D(X) = 0.21n ,

例 4. 设某集成电路出厂时一级品率为 0.7，若装配一台仪器需要 100只这样的一级品集成电路，问购置多少只才能以 99.9%

的概率保证装该仪器够用 (不能因一级品不够而影响工作 ) ？

0.7 100 0.7100

0.21 0.21

X n nP X P

n n

100 0.71 ( ) 0.999 ,

0.21

n

n

100 0.73.01 ,

0.21

n

n

所求概率为 P{100≤X≤n} 或 P{100≤X}.

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例 5. 某出租车公司有 500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为 0.006 ，参加保险的的士每年交 800元的保险费．若出事故，保险公司最多赔偿 50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不小于 200000元的概率．解：设 X 表示 500 辆的士中出事故的车辆数，则 X ～ B(500,0.006)

其中 np=3, npq=2.982,保险公司一年赚钱不小于 200000元的事件为{500×800≥ 500×800-50000X ≥ 200000 }, 即事件 {0≤X≤4}

0 3 3 4 30 4

2.982 2.982 2.982

XP X P

可见，保险公司在一年里赚钱不小于 200000元的概率为 0.7781.

1 30.579 1.737

2.982 2.982

0.7190 0.9591 1 0.7781

下页

由德莫佛 -拉普拉斯中心极限定理得 X~N(3, 2.982)

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作业： 106页 1, 2, 3, 6, 7

要求：请认真研读教材 P102-105 内容 .

结束