Данилов Н.Н.

«Роль и место математического моделирования в

прикладных исследованиях»

Слайд 1

• Методология прикладных исследований;• Математическое моделирование как

средство научного познания;• Схема и примеры математического

моделирования.

Математическая модельСлайд 2

Суть – упрощенная схема (макет) реального

объекта, системы, процесса;

Элементы – буквенные символы и математические соотношения (функции, формулы, неравенства и др.);

Форма – строгая математическая задача

Исходная задача (ИЗ)

Математическая модель ИЗ

Математические методы

Предназначение и роль математических моделей

• Возможность применения строгих, точных и универсальных математических методов;

• Возможность использования статистических, экспертных, нормативных данных и новых информационных и вычислительных технологий;

• Исключение необходимости проведения дорогостоящих экспериментов на исследуемом объекте;

• Возможность многократного экспериментирования на модели без дополнительных капиталовложений;

• Получение наилучших вариантов решения проблемы (исходной задачи).

Слайд 3

Схема применения математических моделей в прикладных исследованиях

Э т а п ы

Формулировка результатов (теоремы, алгоритмы,

программы)

С о д е р ж а н и е

Постановка задачи (на обычном языке)

Математическая модель исследуемой проблемы

Исследование математической модели

Изучение предметной области

Построение модели, адекватной к исходной задаче

Применение математических методов анализа

Интерпретация полученных результатов на языке

исходной задачи

Выработка рекомендаций и их использование на практике

Слайд 4

Исходя из цен товаров и своего бюджета приобрести те виды и то количество товаров, чтобы от их потребления получить максимальную пользу.

Обозначения: max),...,,( 21 nxxxx – набор товаров; ),...,,( 21 npppp – вектор цен; k – доход потребления; u

– функция полезности. Модель:

max),...,,( 21 nxxxu при условиях

kxpxpxp nn ...2211 , 0,...,01 nxx .

Решение: ),...,( 1 nxxx - спрос потребителя

Математическая модель задачи потребителя

Слайд 5

Математическая модель задачи фирмы на максимизацию прибыли

Слайд 6

Исходя из запасов ресурсов их цен и цен товаров, произвести такое их количество, чтобы получить максимальную прибыль.

m

jjjk xwpyxxyP

11 max),...,;(

при условиях

.,...,1 , );,...,,( 21 mjvxxxxfy jjk

Решение: ),...,( 1

kxxfy – предложение фирмы.

Математическая модель задачи фирмы на минимизацию затрат

Слайд 7

Произвести фиксированный (плановый) объем выпуска с минимальными затратами.

m

jjjn xwxxC

11 min),...,(

при условиях

.0,...,0 ;),...,,( 121 kn xxyxxxf

Решение: ),...,( 1 kxxx – спрос на ресурсы.

Задача инвестора: Формирование оптимального инвестиционного портфеля

Доступные виды финансовых активов:• Депозиты банков (денежные вклады);• Паевые инвестиционные фонды;• Ценные бумаги(акции, облигации крупных компаний);• Драгметаллы;• Валюта;• Недвижимость (в том числе жилье).

Учитываемые характеристики финансовых активов:• Доходность;• Ликвидность;• Управляемость;• Возвратность (периодичность, процент);• Уровень риска;• Уровень инфляции.

Слайд 8

),...,,( 21 k – вектор долей k финансовых активов (инвест. портфель);

),...,,( 21 l – вектор, характеризующий состояние (параметры) рынка;

),,...,,( 21ik

iii mi ,...,1 , – допустимые варианты структуры инвестиционного портфеля; ),,...,,( 21

jl

jjj nj ,...,1 , – допустимые состояния инвестиционного рынка;

ija – прибыль инвестора в ситуации ),( ji .

Обозначения к задаче инвестора

Слайд 9

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

m

n

...

............

...

...

...

...

21

22221

112112

1

21

Решение ЗИ: оптимальный портфель инвестора

),...,( 1

ik

ii и оптимальная (в смысле минимакса) прибыль ji

a .

Слайд 10

Модель задачи инвестора в форме игры с природой:

k

i

k

jjiij

1 1min

при ограничениях

n,1,...,j ,0 ,1 ,1

j1

k

jj

k

jji b

где ij - ковариация, j - ожидаемая прибыль от

единицы финансового актива вида j , b - уровень доходности портфеля.

Модель задачи инвестора в форме задачи нелинейного программирования

(модель Марковица)

Слайд 11

Концепция устойчивого развития как новая модель развития цивилизации

Основные этапы развития:• Стокгольмская конференция по окружающей

среде (1972) – принятие 26 принципов об окружающей среде;

• Доклад Международной комиссии по окружающей среде «Наше общее будущее» (1987) – необходимость «устойчивого развития» человеческого общества;

• Конференция ООН по окружающей среде и развитию (1992) – концепция устойчивого развития;

• Создание комиссии ООН по устойчивому развитию (1993);

• «Концепция перехода РФ к устойчивому развитию» (Указ Президента РФ, 1996).

Слайд 12

Основные принципы устойчивого развития(Из стокгольмской декларации (1972))

Принцип 1. Человек имеет основное право на свободу, равенство и благоприятные условия жизни в окруж. среде, качество кот. позволяет вести достойную и процвет. жизнь, и несет главную ответственность за охрану и улучшение окруж. среды на благо нынешнего и будущих поколений. В связи с этим политика поощрения или увековечения апартеида, расовой сегрегации, дискриминации, колониального и др. форм угнетения и иностранного господства осуждается и должна быть прекращена;

Принцип 2. Природ. Ресурсы Земли, включая воздух, землю, флору и фауну, и особенно репрезентативные образцы естественных экосистем, должны быть сохранены на благо нынешнего и будущих поколений путем тщательного планирования и управления по мере необх-ти;

Принцип 3. Способ-ть Земли производить жизненно важные восполняемые ресурсы должна поддерживаться, а там, где это практически желательно и осуществимо, восстанавливаться и улучшаться;

Принцип 4. Человек несет особую ответственность за сохранение и разумное управл. продуктами живой природы и ее среды, кот. в наст. время наход-ся под серьезной угрозой в связи с рядом неблагопр. факторов. Поэтому в планир. эконом. развития важное место должно уделяться сохранению природы, включая живую природу;

Принцип 5. Невосполн. ресурсы Земли должны разрабат-ся т.о., чтобы обеспечивалась защита от истощения этих ресурсов в будущем и чтобы выгоды от их разработки получало все человечество.

Слайд 13

Требование к математической модели:

1) учет трех секторов региона – социального, экономического, экологического – и взаимосвязанного их развития;

2) наличие в модели параметров управления развитием региона на долгосрочном интервале времени;

3) учет многоцелевого характера развития региона; 4) формализация основных принципов и факторов устойчивого

развития региона; 5) наличие параметров, определяющих необходимые и

достаточные предпосылки для перехода на «рельсы» устойчивого развития (условие применимости модели).

Цель: Разработка общего методологического подхода к иссле-дованию вопросов у.р. с применением матем. моделирования как метода научного познания.

Модель устойчивого развития экономического региона

Слайд 14

],0[ T - плановый период;

)(tI - выпуск продукции в год t ;

)(tPi - диапазоны возрастов;

(t)B ),( 11 tBc L - придельный и желаемый фертильности;

AW - ст-ть ввода в эксплуатацию гектара земли;

XI - доли с/х инвестиций;

ZM - скорость деградации плодородия почвы;

WT - время регенерации плодородия почвы;

LAZ - скорость генерации загрязнения;

ZZZ TcT 0 - характерное время абсорбции загрязнения;

,LiD 4,...,1i - смертность в различных диапазонах

возрастов;

Система обозначенийСлайд 15

21 , uu - доли инвестиций в промышл. и пр-во услуг;

1T - фиксированное время износа основных фондов

промышл. предприятий;

ST - время износа фондов сервисных предприятий;

3u - доля инвестиций в производство пищи;

4u - доля инвестиций на восстановление почвы,

разрушенной эрозией;

constqE - стоимость восстановления одного гектара

земли;

5u - доля инвестиций на восстановление ресурсов;

6u - доля инвестиций на борьбу с загрязнениями;

constqR - стоимость восстановления единицы ресурса;

constqZ - стоимость очистки единицы загрязнения;

Система обозначений (продолжение)Слайд 16

constqR - максим. кол-во средств, выделяемых на

контроль за рождаемостью;

1LD - вероятность смерти индивидуума в первом диапазоне

возрастов;

]1,0[1 PP

Uq

- множитель эффект. контроля над рожд.;

Yc - показатель плодородия целинной земли;

)(tj - минимально возможная доля продукта для сектора.

Система обозначений (продолжение)

Слайд 17

),()(1

1)1()( 111 tutIT

txtxI

(1)

),()(1

1)1()( 222 tutIT

txtxS

(2)

,)()(

)1()( 333

A

X

WItutI

txtx (3)

,)()(

)1)(1()( 444

EqtItu

txtx (4)

,)()(

)1)(1()( 555

RqtutI

txtx (5)

,)()(1

1)1()( 6066

ZIA

Z qtutI

ZT

txtx

(6)

Математическая модель экон-го регионаСлайд 18

,)()()()(

)(302

)(151

1)1()( 21722

177

tBtBtu

qtI

tBtp

DtxtxP

L (7)

W

YZ

W Tc

MT

tyty

1

1)1()( , (8)

)1)(1()( tata UU , (9)

)1()1()1()1()( 43 txtxtatata U , (10)

30)1(

201

1)1()( 2333

tp

Dtptp L , (11)

),()()(4

27 tptxtp

ii

(12)

Математическая модель экон-го региона (продолжение)

Слайд 19

1)(7

1

C

jj Gtu , (13)

)()( ttu jj , 7,...,1j , (14)

0)( tx j , 7,6,4,3j , 0)()1( 55 txtx , 1,...,0 Tt . (15)

.max)()(

min,)(1)(

min,)(

1

23

1

7

12

161

T

t

T

tC

jj

T

t

tptx

F

GtutIF

txF

(16)

Математическая модель экон-го региона (продолжение)

Слайд 20

7,...,1 ,)0( 0 jxx jj ,

0)0( UU aa , ,)0( 0aa ,)0( 0yy (17)

4,3,2 ,)0( 0 ipp ii .

7,...,1 ,)( jxTx Tjj . (18)

Математическая модель экон-го региона (продолжение)

Слайд 21

(1) – (7) – уравнения движения,

(8) – (12) – вспомогательные соотношения,

(13) – (15) – ограничения на фазовые переменные и управляющие

параметры,

(16) – функционалы, характеризующие качество достижения цели

управления,

(17) – состояние системы в начальный момент времени,

(18) – планируемое конечное состояние системы,

),...,( 71 xxx - вектор фазового состояния,

),...,( 71 uuu - управляющие параметры.

Элементы модели (1)-(18) у. р. регионаСлайд 21