CHAPTER 02

向 量大 綱 表格圖片

2-1 三角函數

2-2 純量與向量

2-3 向量的表示法

2-4 向量的加法

2-5 向量的減法

2-6 向量的分解

2-7 向量的相乘

CHAPTER 02

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圖2-1

圖 2-2

圖 2-3

圖 2-4

圖 2-5

圖 2-6

圖 2-7

圖 2-8

圖 2-9

圖 2-10

圖 2-11

圖 2-12

圖 2-13

圖 2-14

圖 2-15

圖 2-16

圖 2-17

圖 2-18

圖 2-19

圖 2-20

圖 2-21

圖 2-22

圖 2-23

圖 2-24

圖 2-25

圖 2-26

圖 2-27

圖 2-28

CHAPTER 02

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表2-1

P. 4

2-1 　三角函數

（一）有向角(1) 自正 x 軸以反時針方向測量半徑 與正 x 軸的

夾角時，其角度為正；反之，以順時針方向所測得的角度為負，例如 30° 與－ 330° 表示同一角度。

(2) 平面角有二種不同的單位，即度或弧度（亦稱弳），轉一圈相當於 360° 或 2π 弧度，因此

180° ＝ π

30° ＝ π ／ 6 ＝ 0.52 弧度

OA

P. 5

(3) 弧度 = 或　　 θ= (2-1)半經弧長

r

s

P. 6

( 二 ) 三角函數的定義(1) 在圖 2-2 中，當 A 點在第一象限時，就直角三角形 O

AB 而言，其三個銳角三角函數的定義如下：

正弦函數： sinθ= ( ) (2-2)

餘弦函數： cosθ= ( ) (2-3)

正切函數： tanθ= ( ) (2-4)

r

y

r

x

x

y

斜邊對邊

斜邊鄰邊

鄰邊對邊

P. 7

(2)θ 可推廣至任意其它角度，在圖 2-2 中，如果設半徑 r 等於 1 ，則半徑 在 y 軸上的投影（或分量） 就是正弦函數值，而在 x 軸上的投影 就是餘弦函數值

OA OC

OB

P. 8

(3) 表 2-1 是一些較常用角度之正弦和餘弦函數值。

P. 9

例題一 如圖 2-3 所示，直角三角形 ABC 的斜邊 為 5

公尺， θ 為 37º ，求 (a) 的長度為何？ (b) 的長度為何？

AB

AC BC

P. 10

解： (a) 由 (2-2) 式可得

sinθ ＝

對邊 = 斜邊 × sinθ

(1)

故　 =5 × sin37 º = 3 公尺(b) 由 (2-3) 式可得

cosθ ＝

鄰邊 = 斜邊 ×cosθ

(2)

故 　 =5 × cos37 º =4 公尺

AC

斜邊對邊

BC

斜邊鄰邊

P. 11

（三）反三角函數在圖 2-4 之直角三角形 ABC 中，如果已知其邊長，要計算銳角的角度，可以利用反三角函數，例如：

sinβ= 　 故　 β=sin － 1( )

cosβ= 　 故　 β=cos － 1( )

tanβ= 　 故　 β=tan － 1( )

c

b

c

b

c

a

c

a

a

b

a

b

P. 12

上面這些反函數符號 sin-1 、 cos-1 、 tan-1 ，亦可用 arc sin 、 arc cos 、 arc tan 來表示，反三角函數的答案，很容易由計算機求得。

P. 13

例題二如圖 2-4 之直角三角形中，已知兩股長 ＝ 5 公尺， ＝ 12 公尺，求角度 θ 為何？

解：由於 tanθ ＝ ，故 θ ＝ tan-1( ) ＝ 22.6°

AC

BC

12

5

12

5

P. 14

（四）三角函數的一些公式以下介紹本書中將使用的一些關於三角函數的公式：

(1)sin(90˚ － θ) ＝ cosθ (2-5)例如： sin30˚ ＝ sin(90˚ － 60 )˚ ＝ cos60˚ ＝ 0.5

(2)sin(180˚ － θ) ＝ sinθ (2-6)例如： sin150˚ ＝ sin(180˚ － 30 )˚ ＝ sin30˚ ＝ 0.

5(3)sin2θ ＝ 2sinθcosθ (2-7)

例如： sin120˚ ＝ sin(2×60 )˚ ＝ 2sin60 cos60˚ ˚＝ ／ 2

3

P. 15

(4) 正弦定律：在圖 2-5 之△ ABC 中，三邊長與三內角之關係式為

(2-8)

sin

c

sin

b

sin

a

P. 16

(5) 餘弦定律：在圖 2-5 之△ ABC 中，邊長與內角之關係式為

c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosγ

b2 ＝ c2 ＋ a2 － 2cacosβ

a2 ＝ b2 ＋ c2 － 2bccosα (2-9)

P. 17

(6) 當角 θ 很小，且以弧度為單位時， sinθ 、 tanθ

及 θ 三者的數值非常接近，即sinθ≈ tanθ≈θ (2-10)

例如：當 θ=5º=0.0872 弧度時， sin0.0872=0.0871 ， tan0.0872=0.0874 ， 這些誤差很小，故 sinθ≈θ ， tanθ≈θ 。

P. 18

2-2 　純量與向量

（一）有些物理量僅須描述其大小就能明確表示其特性稱為純量，如時間、質量、路徑、面積、速率、能量、功、電荷等皆為純量。

（二）有些物理量必須同時描述其大小和方向才能完整表現其特性的物理量稱為向量。例如位移、速度、加速度、力、力矩、動量等皆為向量。

P. 19

2-3 　向量的表示法

在一維之直線上運動的質點，只有兩個運動方向，其中一個方向若定義為正，另一個方向則為負，因此，可用正、負號來表示其方向性。 但對於一個在二維平面或三維空間運動的質點，常用箭號表示，以下介紹向量的表示法：

P. 20

（一）符號表示法(1) 向量通常有兩種表示方法，一種是在代表物理量的符

號上方加一橫向箭頭，比如 表示速度向量， 表示力向量。

(2) 另一種方法是用粗體字母來表示，如 v 、 F 。手寫時，以前者表示較方便。

(3) 如果只論及向量的大小，一般直接以物理量的符號來表示，如 v 、 F ，或是對該向量加上絕對值符號，

如 | | 、 | | 或 |v| 、 |F| 。

v

F

v

F

P. 21

（二）圖示法(1) 以箭號來表示向量，其箭頭的指向表示向量的方向，

其長度代表向量的大小。(2) 如圖 2-6 所示，以線段 1 公分代表 10 公里，則 3 公

分表示 30 公里，方向朝東。

P. 22

（三）單位向量(1) 單位向量是指大小等於 1 ，並指向某一特定方向的向量，

例如向量 可寫為 ＝ A

(2-11)

上式中 表示平行於 的單位向量，其大小 |

|=1 。(2) 習慣上，在字母上方加帽號 ^ 表示單位向量， 加箭號 則表示一般向量。

A

A

n n

nA

P. 23

(3) 在三維的坐標系中，分別以 、 、 來表示朝向 x 、y 、 z 軸之正方向的單位向量，如圖 2-8 所示。

i j k

P. 24

2-4 　向量的加法二個向量 與 相加，其向量和 可寫為

＋ ＝ (2-12)（一）三角形法

(1) 在圖 2-9(a) 中，有兩力同時作用於一物體 O ，向量平移時不能改變其大小和方向。如圖 2-10 ，先畫出向量 ，再畫向量 ，使 的箭尾接於 的箭頭，然後由 的箭尾畫一直線至 的箭頭，所形成的向量即為向量和 。

A

B

R

R

A

B

A

A

A

B

B

B

R

P. 25

P. 26

(2) 一般而言兩向量之和的大小不等於兩向量大小之 和（何種情況除外？），其關係式為

| | ＋ | | | ≧ ＋ | (2-13)(3) 將向量平移，使兩向量箭尾相接，其間較小的

夾角，即稱為兩向量的夾角，如圖 2-9 中之 θ ，而非指 α 。

A

A

B

B

P. 27

(4) 以下我們討論 與 在特殊夾角時， 其向量和 的特性：

(a) 若 與 同方向時：即夾角為 0° 時，由圖 2-11 可知，其向量和的大小直接等於兩向量大小之和，即 R ＝ A ＋ B ，而向量和的方向與其分量同方向。

A

B

R

A

B

P. 28

(b) 若 與 反方向時：即夾角為 180º 時，由圖 2-12

可知，其向量和的大小等於兩向量大小之差， 即 R ＝ |A － B| ，而向量和的方向與其分量長度較

大者同方向。(c) 若 與 互相垂直：即夾角為 90˚ 時，由圖 2-13

及畢氏定理可知，其向量和的大小為 R ＝ ，向量和 與 的夾角為 tan-1(B ／ A) 。

A

B

A

B

R

A

22 BA

P. 29

（二）平行四邊形法(1) 在圖 2-14(a) 中，使兩向量的箭尾相接，再以此

兩向量為鄰邊作出平行四邊形，然後自兩向量箭尾相接處畫至另一對角所得的對角線向量，即為兩向量之和。

(2) 向量的加法遵守交換律，即

＋ ＝ ＋ (2-14)

A

A

B

B

P. 30

P. 31

（三）多邊形法(1) 如圖 2-15(a) 所示，求三個或更多向量之合向量

時，可將各向量平移，使其箭頭箭尾連續相接，然後自第一個向量的箭尾畫至最後一個向量的箭頭，所形成的新向量即為各向量的合向量，如圖 2-15(b) 所示。

(2) 向量的加法遵守結合律，即 ( ＋ ) ＋ ＝ ＋ ( ＋ ) (2-1

5)

A

A

B

B

C

C

P. 32

P. 33

2-5 　向量的減法

（一）兩向量 與 相減可寫為

＝ － ＝ ＋( － ) (2-16)

（二）求 － 之差的簡便方法，為將兩者之箭尾相接後，自 之箭頭畫一向量至 之箭頭，所形成的新向量即代表兩向量之差。

AA

BB

A

A

A

B

B

B

D

P. 34

（三）兩向量相加或相減時，若用平行四邊形法來圖解，則其中一對角線代表兩者之和 ＋ ，如圖 2-

17 之實線向量所示；另一對角線代表兩者 之差 － ，如圖 2-17 之虛線向量所示。A

A

B

B

P. 35

例題三在圖 2-17 中，若 與 兩向量的大小分別為 10 與 6 ，兩向量之夾角為 60° ，試求 (a) ＋ 的大小為何？(b) － 的大小為何？解：

(a) 在△ OMQ 中，利用餘弦定律可得 | + |= = =14

(b) 在△ OPM 中，利用餘弦定律可得 | + |= = =8.7

A

A

A

B

B

B

A

A

B

B

120cos6102610 22OQ

PM 60cos6102610 22

P. 36

2-6 　向量的分解（一）二維平面之向量的分解

(1) 平行四邊形法(a) 一般最常用的是將一向量分解為互相垂直的兩分

量，如圖 2-18(b) 所示，將向量 的箭尾置於直角坐標系的原點 O 上，再自 的箭頭分別作 x 軸與 y 軸的垂直線，所得之 Ax 與 Ay 即分別為向量 在 x軸與 y 軸上之分量的大小。若 θ 為向量 與正 x軸的夾角，則

Ax=A cosθ (2-18)

Ay=A sinθ (2-19)

A A

A A

P. 37

P. 38

(b) 用分量來表示原來的向量時， 可寫為 (2-20) 例如圖 2-18(b) 中之 箭頭處的坐標若為 (3 ， 4) ，

則 ＝ (c) 反過來，利用分量可求得原始向量 的大小及方向，

在圖 2-18(b) 中，由畢氏定理可得 (2-21)

tanθ= 或 θ=tan-1 (2-22)

A

jθAiθAjAiAAA=A yxyxˆsinˆcosˆˆ

A

ji ˆ4ˆ3 A

A

22yx AAA

x

y

A

A

x

y

A

A

P. 39

(2) 三角形法以原始向量 為斜邊，畫出一個直角三角形，則所得之兩股即為其兩個互相垂直的分量，如圖 2-19 所示，得 ＝

A

A

yx AA

P. 40

（二）三維空間之向量的分解(1) 在三維空間中，以原始向量 為體對角線， x 軸、

y 軸和 z 軸為邊，畫出一個長方體，所得之長 (Ax) 、寬 (Ay) 和高 (Az) 分別為原始向量 平行於三個坐標軸的三個分量。

A

A

P. 41

(2) 原始向量 可表示為 ＝ (2-25) 例如，在圖 2-20(a) 中之 箭頭處的坐標 若為 (3, 4, 5) ，則

A

A

kAjAiA zyxˆˆˆ

A

k5j4i3A ˆˆˆ

P. 42

(3) 在圖 2-20 (a) 中，由畢氏定理可得 的大小為 A2 ＝ A1

2 ＋ A22 (2-26)

由圖 (b) 可得 A1

2 ＝ Ax2 ＋ Ay

2 ， A22 ＝ Az

2 (2-27)

因此，在三維空間中 的大小與其分量的關係式為

A ＝ (2-28)

A

A

222zyx AAA

P. 43

（三）用分量法求向量的和與差若有 與 兩向量，分別以單位向量表示如下： ＝ ＝

則此兩向量的和與差可分別寫為

A

B

BA

kAjAiA zyxˆˆˆ

kBjBiB zyxˆˆˆ

kBAjBAiBABA zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

kBAjBAiBABA zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

P. 44

例題四 已知二向量， , ，求 (a)

+ = ？ (b)| + |= ？ (c)A+B= ？ (d) － = ？解

k-jiA ˆ2ˆ2ˆ

k-iB ˆ4ˆ3

A

A

A

B

B

B

P. 45

例題五在圖 2-21(a) 中，有四個力作用在同一物體上，其力圖如圖 (b) 所示，單位為牛頓，試求其合力的　 (a)

大小為何？　 (b) 方向為何？

P. 46

P. 47

解(a) 先將每個力分解

故合力為

由畢氏定理得合力的大小為 R ＝ ＝ 28.2 牛頓22 2.57.27

P. 48

(b) 合力與正 x 軸的夾角 θ 為

tanθ= =0.19

故 θ=tan － 1 0.19=10.8º

合力的向量如圖 2-21(c) 所示。

7.27

2.5

P. 49

2-7 　向量的相乘（一）純量與向量相乘

(1) 純量 m 與一向量 相乘，即 m ，其乘積仍然為一向量，此新向量的大小為原向量大小的 |m| 倍。若 m 為正，則新向量與原向量的方向相同；若 m 為負，則新向量與原向量的方向相反。

(2) 圖解法不難證明下列二式成立 m ＋ n ＝ (m ＋ n) (2-33)

m( ＋ ) ＝ m ＋ m (2-34)

A

A

A

A

A

A

A

B

B

P. 50

P. 51

（二）純量積向量與向量相乘可分成兩種形式，其乘積為一純量者稱為純量積，其乘積為一向量者稱為向量積。

(1) 純量積的定義(a) =ABcosθ (2-35)

純量積 讀作「 dot 」，由於所用記號的形式，純量積亦稱為點乘積。

BA

BA

A

B

P. 52

(b) 上式可改寫為 (A cosθ)B 或 A(B cosθ) ，因此，純量積可視為 在 方向上的分量（或投影） 與 之大小的乘積，如圖 2-23(a)所示；或視為 在 方向上的分量與 之大小的乘積，如圖 2-23(b) 所示。

A

A

A

B

B B

P. 53

(2) 純量積的一些性質(a) (2-36)(b) (2-37)

(c) (2-38) 得 (2-39) (d) 若二向量皆非零向量 <=> (2-40)

ABBA

CABACBA

)(

20cos AAAAA

AAA

0BA

BA

P. 54

(3) 單位向量的純量積(a) (2-41)(b) (2-42)

(4) 分量法求純量積 (2-43)

上式展開的 9 項中，有 6 項為零，整理可得 (2-4

4)

10cos11ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

090cos11ˆˆˆˆˆˆ ikkjji

)kBjBi(B)kAjAi(ABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

zzyyxx BABABABA

P. 55

例題六 設有二向量， ， ，試求　 (a) 為何？　 (b) 與 的夾角為何？解

(a)

(b) ， 由 (2-35) 式可得

，故

kjiA ˆ2ˆˆ2

kjiB ˆ3ˆ6ˆ2

BA

A

B

432)6(122 BA

3212 222 A 73)6(2 222 B

21

4

73

4cos

AB

BA

79)21

4(cos 1

P. 56

（三）向量積(1) 向量積的定義

(a) 向量積 × 讀作「 cross 」，由於所用記號的關係，向量積又稱為又乘積。

(b) 如圖 2-24 所示，向量積 × 的方向定義為垂直於 與 所形成的平面，且依右手定則來決定它的方向，以右手的四個手指並攏，並自第一個向量 循較小的夾角轉向第二個向量 ，則豎起之大拇指所指的方向，即為向量積 的方向。

A

A

B

B

A

A

A

B

B B

C

P. 57

(c) 與 之向量積的大小，可視為以 與 為邊所作之平行四邊形的面積。

A��������������

A

A

B

B

P. 58

(2) 向量積的一些性質(a)(b)(c)(d) 若二個向量皆非零向量

P. 59

(3) 單位向量的向量積(a)(b)

0ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

ijkji ˆˆˆˆˆ

jkikj ˆˆˆˆˆ

kijik ˆˆˆˆˆ

P. 60

(c) 在圖 2-26 中，若依順時針方向相乘，則取正號，例如

若依反時針方向相乘，則取負號，例如

P. 61

(4) 分量法求向量積(a) 上式展開有 9 項，其中 3 項為 0 ，經整理可得

(b) 比較簡易的計算方法，是將 與 之分量按順序排列五行，則後四行之交叉相乘積的差，即分別 為 、 、 的分量，如圖 2-27 所示。

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆ)(ˆ)(ˆ)(

A

B

i j k

P. 62

例題七如圖 2-28 所示，在 xy 平面上有 、 二個向量， 向量的大小為 10 ，其方向與正 x 軸夾 50° ， 向量的大小為 5 ，其方向與正 x 軸夾 110˚ ，試求(a) ‧ 為何？　 (b) × 為何？

A

A

A

A

B B

BB

P. 63

解(a) 與 的夾角為

θ ＝ 110° － 50˚ ＝ 60°所以兩者之純量積為

(b) 與 之向量積的大小為

依右手定則，此向量積的方向指向正 z 軸方向，所以

A

A

B

B

2560cos510cos ABBA

32560sin510|| BA

kBA ˆ325

P. 64

例題八 求 與 的向量積為何？解 2 1 2 2 1

2 － 6 3 2 － 6

kjiA ˆ2ˆˆ2

kjiB ˆ3ˆ6ˆ2

kjiBA ˆ]21)6(2[ˆ)3222(ˆ)]6(31[

kji ˆ14ˆ2ˆ15