二千十三年五月あたらし

い数理最適化

出版記念セミナー

主催近代科学社オクトーバースカイ

共催構造計画研究所http://www.logopt.com/book/gurobi.htm

まずは自己紹介久保幹雄

東京海洋大学サプライ・チェイン最適化工学

フェイスブック：http://www.facebook.com/mikio.kubo.737ホームページ：http://www.logopt.com/mikiokubo/

アジェンダ13:00-13:50 「あたらしい数理最適化」概説

16:00-16:50 数理最適化の応用例 と実験的解析

「あたらしい数理最適化」概説

1. この本のどこが新しいのか2. 数理最適化の基本の基本3. 定式化のコツ

前半

あたらしい数理最適化って本が出たらしいけど

何があたらしいの？

あたらしいこと 0数理最適化 (Mathematical Optimization)

Since 2010

昔は．．．数理計画 (Mathematical Programming)Up to 2010 its name was "Mathematical Programming Society

みんなの投票で改名！（最適化に 1 票！）

Dantzig (1947) Programming in linear structure

Koopmans (1948)Linear Programming

Dorfman (1949) Mathematical Programming

あたらしいこと　１

他のテキストとは違って解法の中身より使いこなすためのテク

ピボット選択有限収束の証明改訂単体法

などは一切なし

双対性分枝限定法列生成分枝カット法そして二次錘最適化まで！

きちんと解説

あたらしいこと　２

Python 言語ですぐ解ける

原案： Python と Gurobiでぐんぐん解ける！（小山社長）

Python とは

When he began implementing Python, Guido van Rossum was also reading the published scripts from “Monty Python’s Flying Circus”, a BBC comedy series from the 1970s. Van Rossum thought he needed a name that was short, unique, and slightly mysterious, so he decided to call the language Python.

http://xkcd.com/353/

MIT の講義の表紙

import すれば何でもできる！

import gurobipy # 数理最適化import scop # 制約最適化import optseq # スケジューリング

import antigravity ( 空を飛ぶ ?)

あたらしいこと　３色々なソルバーを紹介

数理最適化 Gurobi制約最適化 SOCPスケジューリング OptSeq

Zonghao Gu, Edward Rothberg ， Robert Bixby

Gurobi とは

Gurobi とは

Zonghao GuEdward RothbergRobert Bixby

混合整数 線形，凸二次，二次錘最適化において（たぶん）最速（ MIP ソルバーの限界を見極めたい！）

これでダメなら，他でもダメ

なぜ Gurobi ? （他にもたくさんあるじゃない）

マルチコア対応長時間まわしても壊れない（安定性抜群）Python からの呼び出しが“容易”（他のソルバーは，呼び出し“可”レベル）

会議中でも実装可能！

なぜ Gurobi ?

SCOP とは野々部先生，茨木先生作

Tabu Search に基づく制約最適化ソルバー

Gurobi でダメな問題でも大丈夫（でも最適性の保証はなし！）

野々部先生 茨木先生

SCOP & OptSeq

時間割作成看護婦スケジューリングの国際コンペで好成績！

後で , 野々部先生が詳しくお話してくれると 思います

Shift Master （構造計画研究所様）でも採用！

OptSeq とは野々部先生，茨木先生作

Tabu Search に基づく汎用」スケジューリング最適化ソルバー

Gurobi でダメな問題でも大丈夫モデル化の工夫で実 務問題の多くをカバー

SCOP, OptSeq ともにPython インターフェイスあり！（しかも Python のソース開示！）

上手なメタヒューリスティクス => 汎用なのに高性能！

あたらしいこと　 4

色々な実用的＋代表的な問題例で比較

後半の講演でお話しします．

二次錘最適化(second order cone optimization )後で ,村松先生が詳しくお 話してくれると思います

あたらしいこと　 5

数理最適化とは？

お金を儲けたいん だよね－

でも，色々としがらみがあって ね－．

数理最適化とは？

maximize 　お金

subject to しがらみ

目的関 数

制約条件

数理最適化とは？

maximize f(x)subject to g(x) 0≧ x ∈ X

線形最適化とは？max. cxs.t. Ax≦b x は実数

単体法内点法

目的関 数

解法

基本はデフォルト（双対単体法）で単体法が遅いときには， 内点法！

使い分け

どこまで解ける？　 -- GUROBI-5.5.0 内点法

非ゼロ要素数

秒

 http://plato.asu.edu/bench.html (Mittelmann による実験 )

rail4284 4284行1092610列12372358 非ゼロ

L1_d10_4080477行420366列2062656 非ゼロ

整数最適化とは？max. cxs.t. Ax≦b x は整数

目的関数

解法：分枝限定法＝基本は線形最適化

分枝操作

目的関数

整数解実行可能解下界

上界

コツ　１整数最適化に対しては，良い定式化良い定式化 をしよ う！

上界と下界のギャップが小さい定式化

そのためには大きな数 M を用いた実数 変数 ≦M ・整数 変数はなるべく避ける！

コツ　 2

解が対称性をもつ場合には注意！

対称性とは？グラフ彩色問題

「点」に色を塗る！枝の両端点は別色．

対称性とは？グラフ彩色問題の解（の１つ）

「点」に色を塗る！枝の両端点は別色．

対称性とは？

赤，青，黄を交換しても 同じ解！

分枝限定法の基本

点１は黄色に塗る

点１は黄色に塗らない

X1,黄色 = 0.5 緩和問題

X1,黄色 = 1 X1,黄色 = 0

分枝しても限定できない！

　

点１は黄色に塗らない

分枝しても限定できない！

　

点１は青色に塗らない

やっと限定操作

　

点１は黄色に塗らない

点１は赤色に塗らない

解決法：対称性を除去

例：赤使用 ≧ 青使用 ≧ 黄使用

無 記名の「色」に 優先順序を付加

でも，あまり 効かない（実験は 後ほど）

対称性の例２ビンパッキング問題

色々なアイテムを「同じ大きさ」の箱（ビン）に詰める！箱の数を最小に！（ ＝すきまを最小に！）

対称性の例２

最適解（の１ つ）

箱の番号を変えても同じ解！

分枝限定法を使うと．．．

アイテム１は箱１に入れる

アイテム１は箱１に入れない

X1,箱１ = 0.5 緩和問題

X1,箱１ = 1 X1,箱１ = 0

分枝しても限定できない！アイテム１箱１

アイテム１は箱１に入れない

アイテム１

アイテム１

アイテム１は箱２に入れない

解決法：パターンの列挙

アイテムをちょうど１つ含むように（たくさんの） パターンから選択

・・・・

コツ　 3

（パターン）変数の数が非常に多い => 列生成法

列生成法

c

A

行列 A が超横長 必要な「列」だけ生成！

min. cxs.t. Ax=b

コツ　 4制約の数が 非常に多い=>切除平面法もしくは分枝カット法

切除平面法

A行列 A が超縦長 必要な「行」だけ生成！

min. cxs.t. Ax=b

b

切除平面（カット）

分枝カット法

A b

分枝する度にカットを追加！

例：巡回セールスマン問題

すべての点をちょうど 1回通過する最 短巡回路

巡回セールスマン問題の最適解

すべての点をちょうど 1回通過する最 短巡回路

定式化点に接続する枝の本数 ＝２ for all 点（次数制約）

定式化点に接続する枝の本数 ＝２ for all 点（次数制約）

足りない制約を 付加枝の本数 ＜点の数 for all 点の部分集合（部分巡回路除去制約）

この中の枝の本数 2 本以下！

コツ　 5

特殊順序集合Special Ordered Set を使いこなそ う！

SOS Type 1変数の うちの高々１つが正

特殊な分枝操作で高速化A>0 or B>0 or C>0 => 変数 A,B,C は SOS と宣言

SOS Type 2連続する高々 2つの変数が 正

[0 0 0 0.5 0.4 0 0] => OK[0.5 0 0 0 0 0.4 0] => NG[0 0 1 0 0 0 0] => OK

区分的線形関数の 宣言で使用

線分の表現

区分的線形関 数の表 現

は SOS Type 2

コツ　 6

最大 値を最小化する目的関数には 注意！

線形最適化での常套手段min. max. f(x,y)

x y

線形最適化での常套手段min. max. f(x,y)

x y

=z と置いて

線形最適化での常套手段min. max. f(x,y)

x y

=z と置いて

min. z s.t. f(x,y)≦z

（混合）整数最適化では，これをやると終わらない！

問題に応じた工夫（二分 探索）もしくは他の 手法を用いる！

謝辞

Acknowledgement

近代科学社　　小山社長，大塚様

オクトーバースカイ　　　　　　　　　和多田社長，中村様

主催

構造計画研究所　斉藤 様 池水 様

共催　＆　会場提供

野々部先生 茨木先生

SCOP & OptSeq

ジョアン（ジョン）・ペドロ・ペドロソ先生「ジョア」ではないらしい

All Python Codes

Experimental Analysis

村松先生＠電通大

Another Co-Author Abdur Rais@Porto

樋口（ペドロソ）真美さん綺麗な表紙をありがと う！

ご来場の皆様

懇親会もあります！