确定性动态系统常规控制综合与设计

确定性动态系统常规控制综合与设计

系统综合与设计初步

之现代控制理论感性认识 ---- 理性思考

电气工程学院自动化专业信号与控制课群教学团队

控制系统综合与设计过程分析对象特点

指标是否达到N

Y系统选型

软件设计调试

提出性能指标

系统综合

系统仿真

硬件设计调试

联机调试运行

指标是否达到

系统设计完成Y

N

对象是什么？目标是什么？有没有方法？如何尽快验证？需要什么样的物质基础达到目标？如何具体实现？如何发现问题并解决问题？如何投运？技术文档与说明文档建立了吗？

控制系统综合与设计过程

本章内容综合与设计的基本概念连续时间线性时不变反馈控制系统的结构特性离散时间线性时不变反馈控制系统的结构特性线性时不变系统的极点配置问题提法与指标确定

线性时不变系统状态反馈极点配置的存在性与算法线性定常系统从输出到状态矢量导数反馈极点配置线性时不变系统状态反馈与从输出到状态矢量导数反馈

复合极点配置线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法

线性时不变系统反馈镇定问题与求解线性时不变系统解耦控制

基于观测器的线性时不变系统状态反馈控制

1 综合与设计的基本概念反馈反馈问题的提法

性能指标的类型与提法

综合问题与设计问题的解决思路

1.1 问题的提法 -- 反馈控制的结构0

( ) ( ) ( ), (0) , 0

( ) ( ) ( )

t t tt

t t t

x Ax Bu

x xy Cx Du

0

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), (0) , 0

( ) ( ) ( )

k T k T kk

k k k

x G x H u

x xy Cx Du

控制研究的基本问题性能指标是什么控制输入是什么

反馈控制的基本结构输出反馈控制状态反馈控制

综合与设计问题提法综合问题设计问题

受控对象反馈控制器

性能指标

状态或输出反馈

控制输出指导

根据实际情况

u Kx v

u Fy v

思考：为什么可以施加外部作用？

1.2 性能指标的类型与提法 -1系统的性能指标

静态指标 ---- 稳态误差动态指标

非优化型性能指标镇定极点配置问题或特征结构配置解耦控制跟踪

优化型性能指标误差范数积分时间误差范数积积分二次型积分泛函

系统性能要求：“稳”“快”“准” “少”“鲁棒”

s

0ISE ( )

tt dt e

s

0ITSE ( )

tt t dt e

0( ( )) ( )T TJ dt

u x Qx u Ru

r( ) ( )t t t ��y y

Re 0, Λ

expected ,Λ P

, 1,2, ,i iu y i p

1.3 综合与设计问题解决思路可综合条件 ---- 可解性

综合算法 ---- 方法

可设计条件 ---- 可实现性

实现 ---- 实体途径

2 连续时间线性时不变反馈控制系统的结构特性状态反馈与其闭环系统分析状态反馈系统的时域形式状态反馈系统的复频域形式

( 静态 ) 输出反馈与其闭环系统分析静态输出反馈系统的时域形式静态输出反馈系统的复频域形式

从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析动态补偿从时域角度讨论动态补偿的形式从复频域角度讨论动态补偿系统的结构与稳定性

0

( ) ( ) ( ), (0) , 0

( ) ( ) ( )

t t tt

t t t

x Ax Bu

x xy Cx Du

1

0 ( ) [ ]s s W C A B DI

2.1 状态反馈与其闭环系统分析 -1

状态反馈系统的时域形式

B 1/s+

vC

A

D

K

+ u

+ y

u Kx v

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

x Ax Bu

y Cx Du

( )

x (A BK)x Bv

y C DK x Dv

k ( ) , A ΒΚ ,B C

1K ( ) [ ( )]s s W C A BK BI

D 0

状态反馈为系统结构的完全反馈，自由度大，实现的功能强

状态反馈并未改变系统的阶数为任意改变特征值提供了途径状态反馈不改变系统惯性性质状态反馈保持能控性状态反馈并不保持能观性

状态反馈有时难于实施 , 需要观测器辅助


状态反馈系统的复频域形式1( ) ( ) ( ), ( )s s s sG N D D 列既约

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

s s s

s s s

D ξ u

y N ξ

1hcD

1hc lcD D

cB

cA

lcN( )p ξ( )pS ξu y+

+

+c nC I

MFD 控制器形实现

状态向量

hc lc

lc

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s s s

s s

D D S D

N N

1c c c c c( ) ( ) ( ) ( )s s s s C A B A B Ψ SI I I

1hcD

1hc lcD D

( )su

K

( )sylcN1( ) ( )s sS

( ( )s sS )ξ+

+

( ) ( )s sξ( )sv

1( )sD( )su

( )sKΨ

( )sy+

( )sξ( )sv ( )sN

1( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]

( ) ( ) ( )

s s s s s

s s s

ξ D v KΨ ξ

y N ξ

1( ) ( )[ ( ) ( )] ( )s s s s s y N D KΨ v

1 1K hc lc K( ) ( )[ ( ) ( + ( )] ( ) ( )s s s s s s G N D S D K) N D

可能非右互质

不能保证闭环系统完全能观，但能控性是保持的。

强能观性的条件一般状态反馈配置 n 个极点不

会影响原传递函数阵的零点，但传递函数阵的各元分子多项式可能受状态反馈影响

@

@


例：讨论 MIMO 反馈系统的能观性与传递函数阵的变化 ( 板书 )

1 0 0 1 01 0 2

0 2 0 , 0 1 ,2 1 0

0 0 3 1 1

A B C

2.2( 静态 ) 输出反馈与其闭环系统分析 -1

静态输出反馈系统的时域形式

u Fy v

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

x Ax Bu

y Cx Du

1 1

1 1

[ ( ) ] ( )

[ ( ) ] ( )

x A B FD FC x B DF v

y C D FD FC x D DF v

I I

I I

f , , A BFC B C

1F ( ) [ ( )]s s W C A BFC BI

D 0

输出反馈是系统结构信息的不完全反馈

输出反馈不改变系统阶数可能并不能任意改变特征值输出反馈不改变系统惯性性质输出反馈保持能控性输出反馈不保持能观性输出反馈实施较易增强反馈能力 , 有时需要引入

动态补偿

B 1/s+

vC

A

D

F

+ u

+ y

2.2( 静态 ) 输出反馈与其闭环系统分析 -2

静态输出反馈系统的复频域形式

W1(s)

W2

u y

－

y1u1

u2y2

前向通道传递函数是真的或严真的，且系统可这两个传递函数完全表征

1 2 2 1det( ( ) ) det( ( )) 0s s

s s I IW W W W

12 2 1 21 1 2( ), ( )s s S W W S W W 1 2 1 2, u u y y y u

F 1

F 1

( )

( )

s

s

S W

S W

对于结构特性有结论：完全能控完全能控完全能观完全能观

12 21

F F

F F

BIBO

BIBO

S S

S S

S S

对于动态输出反馈的系统，若满足完全能控，完全能观，则有系统渐近稳定系统为稳定

若不满足该条件，则有系统渐近稳定系统为稳定

2.3 从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析

从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析

u Ly

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t t

t t t

x Ax Bu

y Cx Du

[ ] [ ]

x A LC x LD B u

y Cx Du

l , , A LC B C

1L ( ) [ ( )]s s W C A LC BI

D 0

不改变系统阶数特征值可自由配置不改变系统惯性性质不改变系统的能观测性和能观

测子空间可能改变系统的能控制性和能

控子空间由于是接入系统内部。而通常

系统是不提供这种接入u

B 1/s+

vC

A

D

L

+ u

+ y

+

2.4 连续时间系统的动态补偿 -1 从时域角度讨论动态补偿的形式

带动态补偿的闭环系统的阶数是动态补偿器阶数与受控系统阶数之和。

串联结构的典型例子是串联校正，可以采用超前、滞后或二者的复合。

并联结构典型的例子是状态观器器的状态反馈、局部反馈等。

W1(s) W2(s)v y

－W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y2

2.4 连续时间系统的动态补偿 -2 续前：以动态补偿的并联结构为例说明

W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y2

z Fz Hy Lv

u Nz My v

X AX Bv

y CX

x Ax Bu

y Cx Du

X AX BU

Y CX

U KY Gv

xX

z

A BMC BN BA B C C

HC F L0 ，，

, , , ,p

p p

B CA M NA B C G K

H FL

0 0 I0

0 I 0 I0 0

动态补偿输出反馈静态输出反馈

2.4 连续时间系统的动态补偿 -3 从复频域角度讨论动态补偿系统的结构特

性与稳定性W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y2

前向通道传递函数是真的或严真的，且系统可这两个传递函数完全表征

1 2 2 1det( ( ) ( )) det( ( ) ( )) 0s s

s s s s W W W WI I

12 2 1 21 1 2( ) ( ), ( ) ( )s s s s S W W S W W 1 2 1 2, u u y y y u

1 1R R L L( ) ( ) ( ) ( ) ( ),i i i i is s s s s W N D N D 不可简约

F 12 2 1

F 21 1 2

( ) ( )

( ) ( )

s s

s s

S S W W

S S W W

对于结构特性有结论：完全能控完全能控完全能观完全能观

F F BIBOS S对于直接增益输出反馈的系统，系统渐近稳定系统为稳定

2.4 连续时间系统的动态补偿 -4 续前：有理分式矩阵表征情形的渐进稳定条件

F F FF F{ , , , }S A B C D

1 1 11 1{ , , , }S A B C D

2 2 22 2{ , , , }S A B C D

W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y2

1 1 1( ) det( )s s AI

2 2 2( ) det( )s s AI

2 1 1 2, u y y u u y

1F F 1 2 1 2 1 2

31 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( ) det( ) det( )det( )det[ ( ) ( )]det[ ]

( ) ( )det[ ( ) ( )] ( ) ( )det[ ( ) ( )] 0

s s s s s s

s s s s s s s s

A I A I A I W W I D D

I W W I W W

I

13 1 2det( ) I D D

1 11 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2

F 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2

11 1 2 1 2 1

F 12 1 2 1

1F 1 2 1 1 2

1F 1 2 1

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

A B D D D C B C B D D D D CA

B D D C A B D D D C

B B D D D DB

B D D D

C D D C D C

D D D D

I I

I I

I

I

I

I

根具有负实部

2.4 连续时间系统的动态补偿 -5 续前：以不可简约MFD 和 MFD 表征情形的渐进稳定条件 W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y21

1 L1 L1( ) ( ) ( ),s s sW D N 不可简约

12 R2 R2( ) ( ) ( ),s s sW N D 不可简约

1F 1 2 1

1 1 1 1L1 L1 R2 R2 L1 L1

1R2 L1 R 2 L1 R2 L1

( ) [ ( ) ( )] ( )

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )

( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

s s s s

s s s s s s

s s s s s s

W W W W

D N N D D N

D D D N N N

I

I

L1 R2 L1 R2det[ ( ) ( ) ( ) ( )] 0s s s s D D N N 根具有负实部

11 R1 R1( ) ( ) ( ),s s sW N D 不可简约

-12 L2 L2( ) ( ) ( ),s s sW D N 不可简约

1F 1 2 1

1 -1 1 1R1 R1 L2 L2 R1 R1

1R1 L2 R1 L2 R1 L2

( ) [ ( ) ( )] ( )

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )

( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

s s s s

s s s s s s

s s s s s s

W W W W

N D D N N D

D D D N N N

I

I

L2 R1 L2 R1det[ ( ) ( ) ( ) ( )] 0s s s s D D N N

由于反馈连接的两子系统的完全能控和能观并不能保证，所以SF渐近稳定条件为 BIBO 稳定的充分条件

2.4 连续时间系统的动态补偿 -5 例： W1(s)

W2(s)

u y

－

y1u1

u2y2

1 2

2

1 1 11

1 3 1( ) , ( )1 1 1 1

1 3 21

s s ss s

s s ss

W W

(1) 该输出反馈系统是否完全能控？(2) 该输出反馈系统是否完全能观？(3) 该输出反馈系统是否为 BIBO 稳定？(4) 该输出反馈系统是否为渐近稳定？

3 离散时间线性时不变反馈控制系统的结构特性 ( 类比连续情况 )

状态反馈与其闭环系统分析

( 静态 ) 输出反馈与其闭环系统分析

从输出到下一个状态的反馈与其闭环系统分析

离散时间系统的动态补偿

4 线性时不变系统的极点配置问题提法与指标确定

问题的提法

时域指标与频域指标

连续域时域指标与频域指标和极点间的关系

离散域极点与连续域极点间的关系

4.1 问题的提法 x Ax Bu ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )k T k T k x G x H u

u Kx v ( ) ( ) ( )k k k u Kx v

x (A BK)x Bv ( 1) ( ) ( ) ( )k k k x G HK x Hv

( ) ( 1,2, )i i i n A + BK ( ) ( 1,2, )i iz z i n G HK

极点配置问题究其实质上应用反馈技术实现零极点的重新分配，以获得期望的性能。

x A BFC x Bv ( +1) ( ) ( )k k k x G HFC x Hv

x A LC x Bu ( 1) ( ) ( )k k k x G LC x Hu

状态反馈

输出反馈

从输出到下一个状态的反馈

( ) ( 1,2, )i i i n A + BFC

( ) ( 1,2, )i i i n A + LC

( ) ( 1,2, )i iz z i n G + HFC

( ) ( 1,2, )i iz z i n G + LC

4.2 时域指标与频域指标 -1 时域指标

频域指标

y(t)

)(5.0 y

)(95.0 y

ess

td0tr

tpts

)(05.1 y超调量

td: 延迟时间tr: 上升时间tp: 峰值时间

%100)(

)()y(t%

p

y

y

ts: 调节时间t

1)( y

μ=B1 :B2

振荡次数：N=ts /Td=穿越稳定值次数的一半

lim[ ( ) ( )] lim ( )ss t te r t y t e t

1.0

0.707

Mr

M

ω r ω b

4.2 时域指标与频域指标 -2 连续域时域指标与频域指标和极点间的关系

2

0 2 2( )

2n

n n

W ss s

21 100%e 2

sn

ln(0.02 1 )t

2

r 2n

π arctan( 1 )

1t

p 2

n 1t

r 2

1(0 0.707)

2 1M

2

r n 1 2

2 2 4b n 1 2 2 4 4

二阶

高阶

期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来，但只有少数几个极点 (主导极点 ) 对系统的响应起主导作用，最靠近虚轴的极点 (主首极点 )对系统的影响起首要作用。主首极点在整体上决定系统响应的类型和走向。

4.2 时域指标与频域指标 -3 对于一个 n 阶 LTI 线性受控系统，综合满足性

能要求的 n 个期望闭环极点的步骤：分析系统的可综合性。根据工程指标，考虑在误差向量的快速性和干扰、

测量噪声的灵敏性之间折衷，构造主导极点对。选取其余 n-2 个期望闭环极点，其原则是远离主导

极点实部 5~10倍。同时也要兼顾系统零点分布的情况，注意状态反馈并不改变原系统的零点，但可以制造零极点对消。

选择适用的综合算法对系统进行综合。通过仿真验证各项工程指标。

4.2 时域指标与频域指标 -4 离散域极点与连续域极点间的关系

d,sTz e s j

1

18˚=Tω d

0

jω z

σ zζ=1

36˚

54˚

72˚90˚

108˚

126˚

144˚

162˚

180˚ 0˚

0.11

Tσ=0

0.22

0.36

0.51

0.69

0.92

1.20

1.61

2.30

0.10.2

0.3

ζ=0

0.40.5

0.60.7

0.80.9

s r17%, 2.34s(2%), 1.7s, 0.5st t T 例 : 确定离散闭环控制系统的极点取

值范围

21 100% 17% 0.5e

2

sn

ln(0.02 1 )2.34s

0.5 1.37 0.683

t

T

2

r 2n

d

arctan( 1 )1.7s

1

0.5 1.3 0.653

t

T

1

0.653=Tω d

0

jω z

σ z

37.4˚

90˚

180˚ 0˚Tσ=0. 683

ζ=0

ζ=0.5

5 线性时不变系统状态反馈极点配置的存在性与算法

单输入连续时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法

多输入连续时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法

离散时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法

5.1单输入连续时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法 -1

存在性：其全部 n 个特征值可任意配置的充分必要条件是系统完全能控。

u x Ax b *( )i i A bk

必要性反证法：不能控，则可按能控性进行分解。依此分解，状态反馈系统的系统矩阵可转化成上三解块矩阵，一部分不受反馈影响：

c cc 1( ) ( ), ( ) A bk A b k AΛ Λ Λ

充分性构造法：通过非奇异变换将原系统转换成能控标准 I 型

11 1 0

1

( ) ( )n

n ni n

i

f s s s a s a s a

1

1 1 01

( ) ( )n

n ni n

i

f s s s a s a s a

k ( ) , A bk ,b C

1 1cI cI cI

0 1 2 1

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

,

0 0 0 1 0

1n na a a a

A T AT b T b

* * *

0 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

na a a

A bk

* * * -1cI 0 1 1 0 0 1 1 1 1 cIn n nk k k a a a a a a k kT k kT


Bass-Gura 算法判定能控性计算原系统系统矩阵的特征多项式

计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式

计算计算

计算

* * *0 1 1 0 0 1 1 1 1n n nk k k a a a a a a k

11 2 -1

cI cI

2 3

1 2 1

1 0 0 0

1 0 0

( , , , , )

1 0

1

nn n

n

a

a a

a a a

T A b A b Ab b T

-1cIk kT

11 1 0( ) det n n

nf s s s a s a s a AI

11 1 0

1

( ) ( )n

n ni n

i

f s s s a s a s a


Ackermann’s Formula 算法判定能控性计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式

计算计算

直接比较计算法判定能控性计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式计算由求解该方程组中的待定系数

11 1 0

1

( ) ( )n

n ni n

i

s s s a s a s a

11 1 0( ) n n

na a a A A A A I

1c0 0 0 1 ( ) k Q A

*k ( ) ( )s s A bkI

*k( ) ( )s s


例：计算状态反馈增益向量并分析

0 1 0 0

0 0 1 0

1 5 6 1

1 1 1

u

y

x x

x

期望极点： s = -2±j4 和 s = -10

说明状态反馈控制对性能指标好坏两个方面的影响

199 55 8 k

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time(sec)

Am

plit

ude

Step Response

Original systemState feedback systemState feedback and integeral-series system

A=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6];b=[0 0 1]';c=[1 1 1];d=0;p=eig(A);% 原系统的特征值sys=ss(A,b,c,d);% 原系统pb=[-2+4j -2-4j -10]';% 状态反馈系统的期望特征值[k,pr,m]=place(A,b,pb)% 这里求 k 是基于 A-bk 的，所以得到的是正数Ab=A-b*k;bb=b;cb=c;db=d;sysb=ss(Ab,bb,cb,db);% 状态反馈系统inttf=tf([1],[0.007 0]);% 串联积分环节sysbb=feedback(inttf*sysb,1,-1)% 状态反馈加上积分后的系统% [Y,T]=step(sys,'k-',sysb,'k-.',sysbb,'k--'),[Y1,T1]=step(sys,0:0.1:18)[Y2,T2]=step(sysb,0:0.1:18)[Y3,T3]=step(sysbb,0:0.1:18)plot(T1,Y1,'k-','LineWidth', 2.0),hold onplot(T2,Y2,'k-.','LineWidth', 2.0),hold onplot(T3,Y3,'k--','LineWidth', 2.0)axis([0 18,-0.1 1.1])legend('Original system','State feedback system','State feedback and integeral-series system'),legend('boxon')title('Step Response','fontsize',16,'fontname','Times New Roman')xlabel('Time','fontsize',16,'fontname','Times New Roman'); ylabel('Amplitude','fontsize',16,'fontname','Times New Roman'); set(gca,'LineWidth', 2.0,'fontsize',12 );

5.2 多输入连续时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法 -1

存在性：其全部 n 个特征值可任意配置的充分必要条件是系统完全能控。

x Ax Bu *( )i i A BK

必要性反证法：不能控，则可按能控性进行分解。依此分解，状态反馈系统的系统矩阵可转化成上三解块矩阵，一部分不受反馈影响：

c cc 1( ) ( ), ( ) A BK A B K AΛ Λ Λ

充分性并矢 (单位秩 ) 法：首先使系统矩阵循环化；然后利用循环系统的能控性质，实际上是将多输入变成单输入，简化问题。

11 1 0

1

( ) ( )n

n ni n

i

s s s a s a s a

1

1 1 01

( ) ( )n

n ni n

i

s s s a s a s a

k ( ) , A BK ,B C

( ) ,select is cyclic matrix A,B u K x u K A A BK��

( ) , Select to make , be observable , is a singlesystem A,B u Kx v K ρk ρ A Bρ b Bρ A b��

or K ρk K ρk最终的状态反馈状态反馈阵 K 不唯一性和秩非 1 性


基于循环矩阵的构造性算法 ( 并矢 (单位秩 )法 ) 判定能控性判定系统矩阵的循环性选择 ρ使能控对极点配置，计算状态反馈向量 k 计算最终的反馈阵

另一个可操作性的方法判定能控性计算计算 K ，对选取的 H满足

or A A BK A

, , A b b Bρ

,A b

or K ρk K ρk

11 1 0

1

( ) ( )n

n ni n

i

s s s a s a s a

1

* * *0 1 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

n

A BK H H


疋田构造性算法 ----针对互异特征根的情况

1* * * * *( ) 0i i i i i

A BK v v A BKvI I*

i iξ Kv

* 1( )i i V I A B

*i i iv V ξ

1 1* * *

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2n n n n n

K ξ ξ ξ v v v ξ ξ ξ V ξ V ξ V ξ

* * *1 2 1 2n nξ ξ ξ K v v v


例： MI 系统极点配置0.5 1 1 0 0 0

1 0 1 1 0 , (0) 0 , [0, )

1 1 0 0 1 0

0 2 0

2 0 2

t

x x u x

y x

5.3 离散时间 LTI 系统极点配置的存在性与算法

存在性与算法与连续情况完全类似不完全状态反馈例子

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )k T k T k x G x H u

0 1 0( 1) ( ) ( )

1 2 1k k k

x x u

0 1 1 0( 1) ( ) ( )

1 2 0 1k k k

x x u

对于 SI 系统，不仅闭环系统的特征值不能用不完全状态的反馈任意配置

对于 MI 系统，在满足p×(n-n1)≥n 时，还是可以配置的

6 线性时不变系统从输出到状态矢量导数反馈极点配置

通过从输出到状态矢量导数反馈实现极点配置的充分必要条件是系统完全能观。

考量其对偶系统，可见其极点配置方法与状态反馈极点配置方法类似。

x Ax Bu

y Cx( ) ( 1,2, )i i i n A + LC

7 线性时不变系统状态反馈与从输出到状态矢量导数反馈复合极点配置

可任意配置条件另一种表达：采用状态反馈加输出至状态导

数的输出反馈配置系统极点的充分必要条件是该系统经输出至状态导数的反馈配置极点后的系统的不能控部分均具有指定位置的极点，且系统经状态反馈后的系统不能观部分也具有指定位置的极点。

B 1/s+

vC

A

L

K

+

u + y+ , , A LC BK B C

1 2 5 7 1 3 6 8orn n n n n n n n n n

n1维能控又能观测、 n2 维能控但不能观测、 n3维不能控但能观测、 n4维既不能控又不能观测的子系统， n= n1+ n2 + n3+ n4 。 n5 为n3+n4维不能控子系统中具有指定位置的极点数 ( 可以保留，一般是稳定的 )； n6 为 n2+n4维不能观子系统中具有指定位置 ( 可以保留，一般是稳定的 ) 的极点数。 n7 为不能观测部分优先采用状态反馈后具有指定位置的极点数； n8 为不能控部分优先采用从从输出到状态矢量导数反馈后具有指定位置的极点数。

8 线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法 -1

静态输出反馈 ( 以连续系统为例 )

引例：输出反馈不能任意配置闭环极点

x Ax Bu

y Cx

( ) ( 1,2, )i i i n A + BFC

采用静态输出反馈可能不能任意配置静态输出反馈闭环系统的极点。

0 1 0, 1 0

0 0 1u y

x x x

u fy

0 1, 1 0

0y

f

x x x

2( )s s k k

闭环系统极点只可能在坐标轴上变化，不能任意配置

输出反馈的能力多大？它能任意改变多少闭环系统极点？


静态输出反馈极点配置的几个充分条件若和，系统可控且可观，则

采用输出反馈至少可对数目为个极点进行任意接近式配置。

在系统矩阵特征值是互异的情况下，存在输出反馈在保持原系统或个极点情况下，几乎总可对数目为

个极点进行任意配置。采用输出反馈几乎总可对数目为的闭环极点进行“任意接近”式配置，即使其可任意接近给定的期望极点位置。

x Ax Bu

y Cx

( )i i A + BFC

rank( ) pB rank( ) qC

max( , )q p

max( , ) 1q p min( , ) 1q p

min( , 1) max( , ) 1n p q p q min( , 1) min( , ) 1n p q q p 或

min( , 1)n p q

证明上述结论正确性的原则：将多输入变成单输入，简化问题。


例：使用“几乎”的正确性 ---- 例外0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0,

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

x x u y x

11 12

21 22

f f

f f

u Fy y

11 12

21 22

0 1 0 0

0 0 1 0 0 0,

0 0 0 1 0 0 1 0

0 0

f f

f f

x x y x

min( , 1) 3n p q

4 211 22 11 22 12 21( ) ( ) ( )s s f f s f f f f 只有 2 有极点可以任意配

置


算法 ( 并矢法 ) 先研判受控系统的输入矩阵与输出矩阵是否满秩，系统是否可控且可观。若满秩且可控、可观，计算可任意接近式配置极点的个数，并给出期望极点 Λ* ，进行下一步。

判断受控系统的系统矩阵是否为循环的。若非循环，则进行循环化。这一步引入输出反馈阵设为 F0 。下面的步骤针对 q≥p 。

计算和的奇偶性。按结论 (3) 求 F1 和 F2 。计算最终的输出反馈矩阵 F= F0+F1+F2

min( , 1)n p q

min( , 1)n p q max( , )p q


例：输出反馈系统的极点配置0 1 0 1 0

1 0 00 0 1 , 1 0 ,

0 1 00 0 0 1 1

A B C * { 1 2 5} Λ , ,


一种特殊情况下的输出反馈极点配置(0) 1 (0) (0)

1 1 0

(1) 1 (1) (1)1 1 0

0 11 1 0

( 1) 1 ( 1) ( 1)1 1 0

1( )

nn

nn

n nn

n n n nn

b s b s b

b s b s bs

s a s a s a

b s b s b

W

0deg ( )s nW1

1 1 0( ) n nns s a s a s a

0 ( ) A,B,C

1( ) ( )s s s s A BfC A BfC A A BfCI I I I I

det( ) det( ) I ΜΝ I ΝΜ* 1

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s s s A BfC A I fC A B A I fW fWI I I I I

f , , A BfC B C

* * 1 * *1 1 0( ) n n

ns s a s a s a

(0) 1 (0) (0)1 1 0

* 1 * *(1) 1 (1) (1)0 1 1 1 1 01 1 0

1 11 1 0 1 1 0

( 1) 1 ( 1) ( 1)1 1 0

1

nn

n nnm nn

n n n nn n

n n n nn

b s b s b

f f f s a s a s ab s b s b

s a s a s a s a s a s a

b s b s b

T =Bf a


例：利用输出反馈综合下面系统的控制器2

0

2

2

( 1)( 1)( 2)

( )( 1)( 2)( 1)

2 4

( 1)( 1)( 2)

s s

s s s

ss

s s s

s s

s s s

W

0 1 0 0

0 0 1 0

2 1 2 1

1 1 2

0 1 0

1 1 4

u

x x

y x

* { 1 1 2} Λ , ,


动态输出反馈极点配置问题的存在性存在性之一：若能控制且能观，则几乎总存在 max(0,n-q-p+1)

阶动态补偿器，使得系统的特征值在该补偿器作用下闭环系统的极点可以任意配置。对于 SISO 系统，此条件是充要的。需要注意的是，动态补偿器的阶

数等于 n-1 是任意配置极点要求，但在处理具体问题时，如果并不要求“任意”配置极点，则所选择的补偿器的阶数可进一步降低。

这种闭环系统的零点，在串联连接情况下，是受控系统零点与动态补偿零点的总和；在反馈连接情况下，则是受控系统零点与动态补偿器极点的总和。

存在性之二：存在 min(μ,ν) 阶动态补偿器使该系统的闭环系统极点可以任意配置。

“最小阶动态补偿”问题仍未解决


PID 动态输出反馈 PD

PID

PD : u v Py Qy

r0PID : ( )

tdt u Py R y y Qy

PD 动态输出反馈可以将闭环极点配置在复平面期望的位置，以满足瞬态响应要求。

要在稳态时准确跟踪参考输入，且可以克服终值为常数任意扰动对系统的影响，则需引入积分项。

9 线性时不变系统反馈镇定问题与求解

问题的提法 ( 以连续情况不例 )

状态反馈可镇定问题

输出反馈可镇定问题

状态反馈可镇定条件与算法

输出反馈可镇定条件

x Ax Bu

y Cx

Re ( ) 0, 1,2, ,i i n A BK

Re ( ) 0, 1,2, ,i i n A BFC

9.2 状态反馈可镇定条件与算法 -1

系统可镇定系统是可稳的代数等价的时不变线性系统具有等同的可

稳性可镇定性分两种情况

可控极点可任意配置状态反馈实现镇定不可控按能控性进行分解

( , )A B

x Ax Bu

y Cx

Re ( ) 0, 1,2, ,i i n A BK

c c( ) ( ) ( ) A A AΛ Λ Λ

状态反馈可镇定的充要条件是该系统不控部分渐近稳定。

9.2 状态反馈可镇定条件与算法 -2

状态反馈镇定系统的算法当可控时的镇定律设计

状态反馈极点配置前面已解决一种基于 Gram 能控性矩阵的设计方法

当不可控时的镇定律设计利用能控性分解基于 Riccati代数方程实现系统的镇定

T1 Tc 1 0[0, ] e e

t t tt dt A AW BB

Tc 1[0, ]tu B W x

x Ax Bu

y Cx

T1cc

AABBW状态反馈闭环系统的系统方程

可以证明其稳定

9.3 输出反馈可镇定条件

系统的输出可镇定性取决于极点是否可以通过输出反馈配置到左半平面考虑到对于能控且能观的系统并不能通过输出

反馈任意配置极点，所以有可能不能保证能控且能观系统一定能用输出反馈镇定。

输出反馈可镇定条件是能控能观部分是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的。

例：分析输出反馈是否可以奏效

x Ax Bu

y Cx

Re ( ) 0, 1,2, ,i i n A BFC

0 1 0 01 0 0

0 0 1 1 ,0 0 1

1 0 0 0

u y

x x x

10 线性时不变系统解耦控制解耦问题的背景与提法

被控变量与调节变量间正确匹配

输入输出动态解耦与算法

输入输出静态解耦与算法

10.1 解耦问题的背景与提法 -1 什么是耦合？

耦合的影响：改善系统性能困难各变量的耦合程度表征 ----相对增益

相对增益矩阵的求法

PC

u2

u1

PT FT

FC

一个控制量的变化同时引起几个被控制量变化。

C

C

k

k

ji uij

ji y

y u

y u

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

Λ

T1 Λ M M

11 1

C1k

p

i

j u q p q qp

k ky

uk k

M

y Mu

10.1 解耦问题的背景与提法 -2 例：求其相对增益

12 2112 21

11 22 12 21

k k

k k k k

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

y k u k u

y k u k u

11 C 11 2222 11

1 11 22 12 211 C

k

k

u

y

y u k k

k k k ky u

1y1u

2y2u

11k

21k

12k

22k

2

111

1 Cu

yk

u

2

1 11 22 12 21

1 22Cy

y k k k k

u k

11 C 11 22

111 11 22 12 211 C

k

k

u

y

y u k k

k k k ky u

1 2

1 11 12

2 21 22

u u

y

y

10.1 解耦问题的背景与提法 -3 相对增益说明

相对增益阵列中，每行和每列的元素之和为 1 在相对增益阵列中所有元素为正时，称之为正

耦合。在相对增益阵中只要有一元素为负，称之为负耦合

相对增益反映了耦合特性，并为为“变量配对”提供依据

Briistol 阵列没有考虑动态项的影响，因此按此作出的结论带有一定的局限性

10.1 解耦问题的背景与提法 -4 解耦问题的提法

解耦就是消除或减小系统之间的相互耦合，使各系统成为独立的互不相关或弱相关的控制回路

如何最大限度地减少耦合程度？选择变量配对、调整控制器参数和减少控制回路

在什么情况下必须进行解耦设计 ? 存在耦合 , 不解耦将影响控制效果时

又如何设计？时域角度 ---- 基于状态空间方法频域角度 ---- 基于传递函数方法

0, 0 , 0t

x Ax Bu x x

y Cx

动态解耦器解耦器

静态解耦器

10.1 解耦问题的背景与提法 -5 动态解耦的提法

基于状态空间的方法

在基于传递函数的方法

x Ax Bu

y Cx

u Kx Lv

( )

x A BK x BLv

y Cx

F11

F221F F

F

( )

( )( ) ( ) , ( ) 0

( )

ii

pp

w s

w ss s w s

w s

W C A BK BLI

F( ) ( ) ( ), 1,2, ,i ii iy s w s v s i p 一种基于时间补偿的解耦方法

通过串联传递函数补偿实现指定的对角元非零解耦

10.1 解耦问题的背景与提法 -6 静态解耦的提法

只要求输入和输出在系统的输出响应到达稳态之后是解耦的

这种静态解耦只适用于参考输入是阶跃信号

F11

F22F F

0

F

(0)

(0)lim ( ) , (0) 0

(0)

iis

pp

w

ws w

w

W

T1 2( ) 1( ) 1( ) 1( )pt t t t v

1 F11 1

F0

F

(0)1

lim lim ( )

(0)s s

p pp p

w

s ss

w

y W 一种基于幅值补偿的解耦方法

10.2被控变量与调节变量间正确匹配

例：关联程度分析与输入输出匹配

混合器

FC

FT

AT

AC

QB

QA

QO

u1

u2

混合器

FC

FT

AT

AC

QA

QB

QO

u1

u2

O A B A O,Q Q Q C Q Q

B B

A A B

A A O

( ) 1

Q Q

Q Q QC C

Q Q Q

O O

A O

A A

1

oQ Q

Q QC

Q Q Q

11

1

1 0.251

BA o

ooA

C CQQ Q

CC

QQQ

A B

O

0.25 0.75

0.75 0.25

Q Q

C

Q

匹配是不合理 !

10.3 输入输出动态解耦与算法 -1

基于传递函数阵的分析解耦法 ---- 频域法前馈补偿解耦法对角阵解耦法串联补偿反馈解耦法

基于状态反馈的解耦法 ---- 时域法传递函数阵的两个特征量 ---- 结构特性指数和

结构特性向量动态解耦的条件动态解耦的算法

基于输出的模式控制解耦法 ---- 时域法


基于传递函数阵 ---- 前馈补偿解耦法

c1( )g s1r

c2 ( )g s2r

2cu

1cu

d21( )w s

d12 ( )w s

1y

2y

1up11( )w s

2u

p21( )w s

p12 ( )w s

p22 ( )w s

d11( )w s

d22 ( )w s

p ( )sWd ( )sW

c ( )sG

p21 d11 c1 p22 d21 c1

p12 d22 c2 p11 d12 c2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

w s w s u s w s w s u s

w s w s u s w s w s u s

d11 d22( ) ( ) 1w s w s d21 p21 p22

d12 p12 p11

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

w s w s w s

w s w s w s


基于传递函数阵 ---- 对角阵解耦法c1( )g s1r

c2 ( )g s2r

2cu

1cu

d21( )w s

d12 ( )w s

1y

2y

1up11( )w s

2u

p21( )w s

p12 ( )w s

p22 ( )w s

d11( )w s

d22 ( )w s

p ( )sWd ( )sW

c ( )sG

p11 p12 p11d11 d12

d21 d22p21 p22 p22

( ) ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 0 ( )

w s w s w sw s w s

w s w sw s w s w s

1p11 p12 p11d11 d12

d21 d22 p21 p22 p22

( ) ( ) ( ) 0( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )

w s w s w sw s w s

w s w s w s w s w s


基于传递函数阵 ----串联补偿反馈解耦法

例：复频域解耦

p ( )sWc ( )sW( )sR ( )sY

H

( )sU( )sE

1( ) ( ) ( )s s s

Φ W H WI p c( ) ( ) ( )s s sW W W

1( ) ( ) ( )s s s

W Φ HΦI 11 1c p p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s

W W W W Φ HΦI

p

2.6 1.60

(2.7 1)(0.3 1) (2.7 1)(0.2 1)

1 1( ) 0

3.8 1 4.5 12.74 2.6 0.87

0.2 1 0.18 1 0.25 1

s s s s

ss s

s s s

W


结构特性指数和结构特性向量

结构特性指数

结构特性向量

闭环系统特征量

开环系统与闭环系统传递函数阵的特征量间的关系

1 2( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , )i i i iqs s w s w s w s W w A B C D

1 2min{ , , , } 1, 1,2,i i i iqd i q

1lim ( ), 1,2,idi i

ss s i q

E w

, 0,1, , 1,

1 , 0,1, , 1

ki i

i ki

kd

n k n

c A B c A B

c A B

0 0

0

idi iE c A B

, , 1,2, ,i i i id d i q E E L

( ) , 0,1, , 1, ( )

1 ( ) , 0,1, , 1

ki i

i ki

kd

n k n

c A BK BL c A BK BL

c A BK BL

0 0

0

( ) , 1,2, ,id

i i i q E c A BK BL

10.3 输入输出动态解耦与算法 -6 基于状态反馈 ---- 动态解耦的条件

基于两个特征量的状态反馈解耦充要条件是 E 非奇异

说明 : 能否采用状态反馈和输入变换实现解耦由两个特征量唯一

决定。为了保证解耦后的系统能正常运行并有良好的动态性能，

要求受控系统是能控的，或至少是可镇定的。解耦后的每个 SISO 系统的传递函数是一个积分链，还需

要进一步设计闭环控制器。

( )

x A BK x BLv

y Cx

1

2

q

E

EE

E

, 0,1, , 1,

1 , 0,1, , 1

ki i

i ki

kd

n k n

c A B c A B

c A B

0 0

0

idi iE c A B


基于状态反馈 ---- 动态解耦的算法判定是否可进行动态解耦。若能，则继续计算变换对将其变成积分型解耦系统

判定积分型解耦系统的能观性导出解耦规范型

对 SISO 系统的极点配置，并进行坐标变换综合两次状态反馈，并计及坐标变换，得

1 1( , ), , L K L E K E F

x Ax Bv

y Cx

x Ax Bu

y Cx

1 1

1

c1 cl 1 c1 c

, ,q q

qq q

A bc

A B CA bc

A A A b b

00

00

x Tx1 T 1 T T T 1

o o o o c c c c( ) , ( ) T Q Q Q Q T Q Q Q Q

1ˆ K KT

1 1 1 1 1 1ˆ , K E F E K E F E KT L E


例：求取输入 - 输出解动态解耦控制律0 1 0 0 0 0

3 0 0 2 1 0 1 0 0 0,

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 2 0 0 1 0

x x u y x


基于输出的模式控制解耦法条件：

完全能控系统变量维数相同输入矩阵和输出矩阵满秩

x Ax Bu

y Cx

-1A PΛP1 2( , , , ), ,n i j i j

u Fy

( ) x A BFC x

1F B PK-1C P

-1 -1( ) x P P AP K P x-1 -1 -1( ) P x P AP K P x

( ) y Λ K y

10.4 输入输出静态解耦与算法 -1

静态解耦提出的出发点系统的模型都不可能十分精确

输入输出静态解耦的充要条件系统可镇定

输出静态解耦的算法判断系统的可镇定性以及秩条件是否成立。若满足，进行下一步。

确定镇定状态反馈阵 K使 A+BK 的特征值均在左半平面。

按各 SISO 线性系统的静态增益要求取取变换阵

( )

x A BK x BLv

y Cx

x Ax Bu

y Cx

rank n q

0

A B

C

D

11( ) L C A BK B D

10.4 输入输出静态解耦与算法 -2

例：求取输入 - 输出解静态解耦控制律0 1 0 0 0

1 0 00 0 1 , 0 1 ,

0 0 10 0 1 1 0

A B C

11 基于观测器的线性时不变系统状态反馈控制

龙伯格 (Luenberger) 的状态观测器，使状态反馈成为一种可实现的控制律

状态重构与观测相关概念状态观测器的存在性全维状态观测器设计降维状态观测器设计基于观测器实现状态反馈 ---- 一种动态输出反馈

11.1 状态重构与观测相关概念 -1

直观的想法 ----开环观测器

实际应用中存在三个基本问题：对不稳定情况，初态存在偏差问题对于稳定情况，收敛速度问题干扰和系统参数变化问题

x Ax Bu

y Cx

ˆ ˆ

ˆ ˆ

x Ax Bu

y Cx

B C

A

x yu

B

A

xC

y

0x

0x

在系统参数确定且无干扰的情况下，只有当观测器的初态与系统初态完全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态 !


渐近意义上的观测器

将输入和输出同时作为观测器的输入系统必须完全能观，或其不能观子系统是渐近

稳定的观测器应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望不要太宽

结构上应尽量简单，以利于物理实现

ˆlim limt t

x x

B C

A

x yu

0x

状态观测器

x

0x

0


线性状态观测器分类从功能角度，可把观测器分为

状态观测器函数观测器

从结构角度，可把观测器分为全维观测器降维观测器

B C

A

x yu

0x

状态观测器

x

0x

0

/w

11.2 状态观测器的存在性 -1 系统完全能观情况下，其状态矢量可

由输出和输入进行重构

x Ax Bu

y Cx

2

( 1) ( 2) ( 3) 2 1n n n n n

y Cx

y CBu CAx

y CBu CABu CA x

y CBu CABu CA Bu CA x

1

2o

( 1) ( 2) ( 3) 2 1n n n n nn

y Cz

y CBu CAzz x Q x

z y CBu CABu CA Bu CA orank nQ

T 1 To o o( )x Q Q Q z

B C

A

x yu

0x

xT 1 To o o( )Q Q Q

0

Z

满眼尽是微分，噪声乘虚而入！

11.2 状态观测器的存在性 -2 系统不完全能观情况下，存在观测器的充

要条件是不能观子系统为渐近稳定 o 11 1

1o 21 22 2

, , ,

00

x A Bx A B C C

x A A B

ˆ ˆ ˆ ˆ x Ax Bu L y Cx A LC x Bu LCx

11 1 1 o oo o

21 2 1 o o 22 o oo o

ˆˆˆ

ˆ ˆˆ

A L C x xx xx x x

A L C x x A x xx x

合适地选择 L1使其稳定

22 11 1 122o o o o 21 2 1 o o0

ˆ ˆ ˆe (0) (0) e e (0) (0)t t tt d A A L CAx x x x A L C x x

22 is stableA o oˆlimt

0x x

11.2 状态观测器的存在性 -3 观测器结构图

ˆ ˆ ˆ ˆ x Ax Bu L y Cx A LC x Bu LCx

B C

A

x yu

B

A

xC

y

0x

0x

L

xB C

A

x yu

B

A

xC

y

0x

0x

L

x

11.3 全维状态观测器设计全维观测器综合步骤

例：设计全维状态观测器，极点 -10 ， -10

ˆ ˆ x A LC x Bu LCx

1 0 1

0 0 1

2 1

x x u

y x

11.4降维状态观测器设计输出直接或间接地包含了相关状态信息为降低观测器的维数提供了途径

构造降维观测器的步骤

例：设计降维状态观测器，极点为 -3 ， -4

4 4 4 1

11 12 12 1

13 14 13 0

1, 1, 1

x = x + u

y = x

B C

A

x yu

1 2B LB

11 21A LA

w

0x

0w

L

12 22A LA

1x

Px

11.5 基于观测器实现状态反馈 -1

以全维为例说明基于观测器实现状态反馈B C

A

x yu

B

A LC

x

0x

0x

L

K

v

ˆˆ

ˆ

0

x A BK x B

vLC A LC BK x Bx

xy C

x

ˆ ˆ

ˆ

x Ax Bu

y Cx

x A LC x Bu Ly

u Kx v


基于观测器的状态反馈系统的特性阶数为原系统的阶数与观测器阶数之和特征值集合可以分离设计传递函数矩阵不能再保证能控性与直接状态反馈在时间趋于无穷时是等效性基于观测器的状态反馈系统的鲁棒性会变坏观测器的特征值取状态反馈负实部的 2~3倍与带补偿器输出反馈系统的等价性

Λ Λ ΛA A BK A LC

1LK K(s s s I - ( ))G C A BK B G


例：设计基于状态观测器的状态反馈系统

0 0 1

1 6 0

0 1

u

y

x x

x

状态反馈将闭环系统极点配置为全维及降维观测的极点为 -10

4 j6


续上例 --- 数值计算结果

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

y

t/s

y1

y2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-20

-15

-10

-5

0

5

u

t/s

u1

u2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 1

t/s

x1

x11

x12

0 2 4 6 8 10-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

y

t/s

y1

y2

小结本章给你印像最深的是什么？

确定性线性系统的综合理论比较完备镇定 ---- 通过极点配置实验解耦观测器跟踪

自己小结一下本章的知识

That all

Thank you!

确定性动态系统 常规控制综合与设计

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