项目七项目七

动态数列动态数列 ——动态分析指标及动态趋势分析动态分析指标及动态趋势分析

《统计学》课件

教学目的与要求 通过本项目学习，要明确动态数列分析的意义、种类和编制原则；掌握动态数列水平指标、速度指标的计算方法以及长期趋势和季节变动的测定方法，并能运用这些方法对社会经济现象进行动态分析。

教学重点与难点 重点：动态数列分析指标的计算；平均速度的两种计算方法；季节变动分析。 难点：最小平方法；测定季节变动的趋势剔除。

本项目的

主要任务

动态数列速度分析指标动态数列速度分析指标

动态数列水平分析指标动态数列水平分析指标

动态趋势分析动态趋势分析

动态数列的意义和编制原则动态数列的意义和编制原则

任务一任务一

把握动态数列概念及种类 把握动态数列概念及种类

理解动态数列的编制原则 理解动态数列的编制原则

一、动态数列的概念一、动态数列的概念

动态动态数列数列

将研究对象某一统计指标在不同时间上的数值将研究对象某一统计指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的一种统计数列。按时间先后顺序排列所形成的一种统计数列。

我国“十一五”期间主要经济指标数列表我国“十一五”期间主要经济指标数列表 时 间 2006 2007 2008 2009 2010

国内生产总值（亿元）

216314

265810 314045

340507

397983

年末总人口（万人） 131448

132129 132802

133474

134100

经济发展速度（ % ） 112.7 114.2 109.6 109.1 110.3 城镇职工平均报酬

（元）20856 24721 28898 32244 36539

二、二、 动态数列的构成要素及种类动态数列的构成要素及种类

动态数列构成要素

及种类

时间（现象所属时间）（如年、季、月、周、日、五年等）

指标数值（表现形式）

绝对数动态数列

相对数动态数列

平均数动态数列

时期数列

时点数列

① 数列的编排形式：纵向或横向。具体采用哪一种要考虑排版和 视觉效果的需要，有的要延伸以增加计算栏。 ② 在同一数列中可同时有多个相互联系的指标，更利于分析对比。

注意

动态数列与次数分布数列的比较

数列名称数列名称 数列性质数列性质 基本作用基本作用 构成要素构成要素

动态数列动态数列 动态数列动态数列 反映现象发展反映现象发展 变化的动态变化的动态

①① 指标所属时间指标所属时间②② 指标数值指标数值

次数分布数列次数分布数列 静态数列静态数列 反映总体单位在各反映总体单位在各组次数分布情况组次数分布情况

①① 各组组别各组组别②② 各组权数各组权数 (( 次数或比次数或比重重 ))

三、动态数列在动态分析中的作用三、动态数列在动态分析中的作用

☆ 描述现象的发展过程； ★ 计算动态分析指标的依据；☆ 测定现象发展的趋势和规律★ 对现象未来进行预测；☆ 不同研究总体间的动态对比。

在动态数列基础上可计算一系列动态分析指标

动态数列水平分析指标

动态数列速度分析指标

发展水平

平均增长量

增长量平均发展水平

发展速度

增长速度平均发展速度

平均增长速度

动态平均指标

四、动态数列的编制原则四、动态数列的编制原则

编制动态数列应遵守的编制动态数列应遵守的基本原则基本原则：：可比性可比性。。表现在：表现在：

（一）（一）时间上要可比时间上要可比

（二）（二）总体范围要可比总体范围要可比

（三）（三）指标的经济内容要可比指标的经济内容要可比

（四）（四）计算方法、计算价格和计量单位上要可比计算方法、计算价格和计量单位上要可比

任务二任务二

理解水平分析指标的特点 理解水平分析指标的特点

掌握水平分析指标的计算 掌握水平分析指标的计算

一、发展水平一、发展水平 发展水平发展水平是指动态数列中的每个指标数值。是指动态数列中的每个指标数值。 发展水平是计算其它动态分析指标的基础。发展水平是计算其它动态分析指标的基础。 发展水平表现形式可以是绝对数、相对数或平均数。发展水平表现形式可以是绝对数、相对数或平均数。 若为绝对数时，发展水平用若为绝对数时，发展水平用 aa 表示。表示。 若为相对数或平均数时，发展水平用若为相对数或平均数时，发展水平用 cc 表示。表示。 最初水平 中间水平 末期水平最初水平 中间水平 末期水平 基期水平 报告期水平基期水平 报告期水平

二、平均发展水平二、平均发展水平

平均发展水平平均发展水平（（动态平均数或序时平均数动态平均数或序时平均数）） 各时间上发展水平的平均。反映现象在一段时间内的一般各时间上发展水平的平均。反映现象在一段时间内的一般

发展水平。静态平均数和动态平均数的计算原理相同。发展水平。静态平均数和动态平均数的计算原理相同。

指标性质指标性质 计算依据计算依据 平均对象平均对象

静态平均数静态平均数 次数分布数列次数分布数列 各单位标志值各单位标志值

动态平均数动态平均数 时间数列时间数列 各时间发展水平各时间发展水平

静态平均数和动态平均数的比较

平均发展水平的计算方法平均发展水平的计算方法

平均发展水平的计算首先要判断所掌握的时间数列的类型。

注 意

不同动态数列对应的平均发展水平的计算方法不同动态数列对应的平均发展水平的计算方法

绝对数动态数列计算平均发展水平

时期数列

时点数列

简单算术平均

连续时点数列

间断时点数列

逐日登记

分组资料

间隔相等

间隔不等

简单算术平均

加权算术平均

首尾折半法

分层加权平均

相对数或平均数数列计算平均发展水平 分子分母分别平均再相除

根据资料不同，平均发展水平有不同的根据资料不同，平均发展水平有不同的

计算方法：计算方法：

（一）根据绝对数动态数列计算（一）根据绝对数动态数列计算

1.1. 若为时期数列，若为时期数列，

采用简单算术平均法：采用简单算术平均法： n

aa

2.2. 若为时点数列，需要区分情况：若为时点数列，需要区分情况： 严格地说，时点数列都是间断的。为计算上的严格地说，时点数列都是间断的。为计算上的需要，统计上把只要知道时点指标每天的资料，就需要，统计上把只要知道时点指标每天的资料，就称为连续时点数列。这就可将时点数列分为连续时称为连续时点数列。这就可将时点数列分为连续时点数列和间断时点数列。 点数列和间断时点数列。

时点数列平均发展 水平的基本计算公式

总天数和时点指标每天的数值之

n

aa

（ 1 ）根据连续时点数列计算平均发展水平

① 逐日登记的连续时点数列，用简单算术平均法

n 为天数

② 分组情况下的连续时点数列，以数值持续的天数为权数 进行加权算术平均（式中 f 为天数）：

时 间 1日 -10日

11 日 -18日

19日 -25日

26日 -31日

人 数 100 120 118 126

例：某企业 3 月职工人数资料

f

af

fff

fafafaa

n

nn

...

...

21

2211

（ 2 ）根据间断时点数列计算平均发展水平 ① 间隔相等的间断时点数列，采用首尾折半法：

12

...2 12

1

n

aaa

a

a

nn

例如： 某企业职工人数资料

时 间 1月初 2月初 3月初 4月初 人 数 100 120 150 130

2

120100 a

2

150120a

2

130150 a

2 月份 平均人数

3 月份 平均人数

1 月份 平均人数

先分别计算各月平均数

312831

312

13015028

2150120

312

120100

a

303030

302

13015030

2150120

302

120100

32

130150

2

150120

2

120100

142

130150120

2100

第一季度平均人数

间隔相等的间断时点数列的另一种表示方法

时间上年 末

1 月末

2 月末

3 月末

4 月末

5月末

6月末

储蓄余额（亿元）

200 210 230 260 240 280

290

间隔相等的间断时点数列采用首尾折半法并不是时间数列的首数和尾数各取一半，而是计算所需要的首数和尾数各取一半。

注意

某银行储蓄余额资料

②间隔不等的间断时点数列，采用分层加权算术平均法：

121

11

232

121

...2

...22

n

nnn

fff

faa

faa

faa

a

（注意：式中 f一般为月数）

时间 1月初 5月初 8月初 12月末人数 100 160 200 180

305303304

3052

180200303

2

200160304

2

160100

a

某企业职工人数资料

534

52

1802003

2200160

42

160100

【实际应用】已知某企业职工人数资料如上图，若 2012年该企业总产值为 6000万元，要求计算该企业年劳动生产率。

人）（万元平均人数总产值劳动生产率 /7.35

168

6000

（二）根据相对数（或平均数）动态数列（二）根据相对数（或平均数）动态数列计算平均发展水平计算平均发展水平

导例： 某企业 2008-2012 年计划完成程度

年份 2008 2009 2010

2011

2012

计划完成程度 % 120 110 130 120 110

注意：要计算该企业 5 年平均计划完成程度，不能直接相加平均。由于资料不足，无法计算平均计划完成程度。

年份 2008 2009 2010 2011 2012

计划完成程度 % c 120 110 130 120 110实际完成数（万元） a 360 440 390 480 660计划任务数 （万元） b 300 400 300 400 600

【例】 某企业 2008-2012 年收入计划完成程度

平 均 计 划 完 成 程度 %

%5.116600400300400300

660480390440360

b

a

n

bn

a

★ 无论是相对数或是平均数都是绝对数相除计算的。每个时间计算相对数或平均数的分母（基数）不同，因此各时间上的相对数或平均数不能直接相加进行平均。应采用分子分母分别计算平均数，再相除计算。即： b

ac

【【例例 】 】 某商店第一季度商品流转情况某商店第一季度商品流转情况

月 份 1 2 3 4商品销售额（万元） a月初商品库存额（万元） b商品流转次数（次） c （相对数）

1500 400

3

1200 600

2

1800 6003.3

1600 500

—

第一季度 平均每月 流转次数

)(73.2550

1500

1425006006002400

3180012001500

次

b

ac

三、增长量 增长量 = 报告期水平—基期水平 增长量反映报告期比基期增加或减少的绝对量。根

据绝对数数列计算。其值可以大于、等于或小于 0。根据基期的不同，可分为：

1 nn aa

0aan

逐期增长量 = 报告期水平—前期水平=

累计增长量 = 报告期水平—固定基期水平=

逐期增长量和累计增长量

3a0a 1a 2a 1na na

★ 累计增长量等于逐期增长量之和

★ 某期累计增长量减前期的累计增长量等于 该期的逐期增长量

★年距增长量 = 报告年某期水平—上年同期水平

逐期增长量和累计增长量之间的关系

01231201 )(...)()()( aaaaaaaaaa nnn

1010 )()( nnnn aaaaaa

四、平均增长量 平均增长量：是某一现象各逐期增长量的序时平 均数，反映现象在较长一段时期内 增减变化的一般水平。又叫递增量。

n

累计增长量逐期增长量项数逐期增长量之和

平均增长量

【教学资料】河南 1954 年总耕地面积 9062千公顷，到 2006 年耕地面积减少至 8080千公顷，平均每年减少 18.9 千公顷，人均耕地也由1954 年的 0.2公顷减少到 2006 年的 0.08公顷，也低于全国人均耕地面积 0.1 公顷的平均水平。。

任务三任务三

理解速度分析指标的特点理解速度分析指标的特点

掌握速度分析指标的计算 掌握速度分析指标的计算

一、发展速度

0a

an固定基期水平报告期水平

）定基发展速度（总速度

1

n

n

a

a

前一期水平报告期水平

环比发展速度

发展速度：说明现象发展变动的相对程度。其值可 大于、等于或小于 1 。基本公式为：

%基期水平报告期水平

发展速度按对比的基期不同

012

3

1

2

0

1 ...a

a

a

a

a

a

a

a

a

a n

n

n 10

1

0

n

nnn

a

a

a

a

a

a

环比发展速度和定基发展速度的关系

%上年同期数值报告年某期数值

年距发展速度

年距发展速度的计算方法

二、增长速度增长速度反映现象增长变化的相对程度。计算公式：

%基期水平增长量

1%

发展速度基期水平

基期水平报告期水平

1%

环比发展速度前期水平

前期水平报告期水平

1%

定基发展速度固定期水平

固定期水平报告期水平

环比增长速度

定基增长速度

012

3

1

2

0

1 ...a

a

a

a

a

a

a

a

a

a n

n

n

注意：增长速度也分环比和定基增长速度。二者无直接换算关系，但可据增长速度与发展速度的关系间接推算。

年距增长速度 = 年距发展速度 -1

1)1(...)1()1()1(012

3

1

2

0

1 a

a

a

a

a

a

a

a

a

a n

n

n

例如：若 2009 年、 2010 年、 2011 年的环比增长速度分别为 8%、 10%、 12% ，则 2011 年的定基增长速度为：

（ 1+8% ）（ 1+10% ）（ 1+12%） -1

三、平均速度（平均发展速度和平均增长速度）

注意：平均速度是对各期环比速度的平均。 平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，说明现象在较长时期内平均每期比上期发展变动的相对程度。

平均增长速度是各期环比增长速度的序时平均数，说明现象在较长时期内平均每期比上期增减变动的相对程度。

平均增长速度 =平均发展速度 -1

资料：不同国家经济增长率指标的比较

国家或地区 1993 年 -2006 年年均经济增长率（ % ）

世界中国美国日本德国印度

3.59.83.31.31.36.9

据有关资料计算我国 79-08 年均增长 9.8% ，同期世界增速 3% 。

平均发展速度的计算（ 1 ） —几何平均法（水平法）

对于按水平法制定 计划的指标，需要 关注的是按平均发 展速度发展能否达 到最末水平？计算 平均发展速度就应 该采用几何平均法。 公式：

n

nn

n

n

n

nn

R

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

xxxxX

0

12

3

1

2

0

1

321

...

...

解决开高次方问题的办法 《水平法平均速度对表》摘录

平均增长速度 %

最末水平为最初水平的 %1年 2年 3年 4年 5 年

…16.816.917.017.117.2…

…116.80116.90117.00117.10117.20…

…136.42136.66136.89137.12137.36…

…159.34159.76160.16160.57160.99…

…186.11186.76187.39188.03188.68…

…217.38218.32219.25220.18221.13…查对表虽然快但不方便找到，此处演示计算器开 n 次方的操作

几何平均法（水平法）应用实例 ★ 1979 年我国人均 GDP250 美元，当时提出的奋

斗目标是：到本世纪末（ 1999 年）人均 GDP 达到1000 美元。求其间应保持多高的经济发展速度？

%2.1074250

1000 2020

0

nn

a

ax

%2.107420 n Rx

★ 党的十七大提出，到 2020年人均 GDP比 2000年翻两番，那么该期间应保持多高的经济发展速度？

平均发展速度的计算（ 2 ） 方程法——累计法

x

20xa

0a 1a

方程法是根据现象的发展变化关系通过建立数学方程的形式计算平均发展速度。设平均发展速度为

2a 1na na3a

xa03

0xa1

0nxa nxa0

nXaXaXaXa 0

3

0

2

00 ...

0

32...

a

aXXXXn 程：求解平均发展速度的方

naaaa ......321

方程法平均发展速度算例 某市基建投资额某市基建投资额 20052005 年为年为 2020 亿元；亿元； 20062006至至 20102010 各年各年

为为 2424 、、 3030 、、 2626 、、 4040 、、 4141 亿元，共计亿元，共计 161161 。。 用累计法求该期间年均发展速度。用累计法求该期间年均发展速度。 建立方程式：

%805201615432 XXXXX

805%÷5=161%＞ 100% ，查递增部分。 805%最接近五年栏的 804.59% ，与 804.59%对 应的平均增长速度是 16.3% ，则平均发展速度为 116.3% 。

解决高次方程问题的办法解决高次方程问题的办法 累计法平均速度查对表（摘录）

平均增长速度％

各年发展水平总和为最初水平的％１年 ２年 ３年 ４年 ５年

16.116.216.316.4

116.10116.20116.30116.40

250.89251.22251.56251.89

407.38408.11408.87409.60

589.06590.42591.82593.17

799.99802.26804.59806.85

判断：查对表有递增表和递减表，若 大于 n

查递增表，否则查递减表。0a

a

几何法（水平法）和方程法（累计法）的比较

★ 考查重点不同。水平法侧重考查最末水平；累计法着重考查累计水平 (∑a).

★ 影响因素不同。水平法平均速度的高低只取决于最初水平和 最末水平；累计法平均速度高低则受到各 期发展水平的影响。

★ 适用对象不同。

【课堂讨论】“要求：根据以下资料，通过计算平均速度，比较甲乙两个地区 十一

”五 期间植树造林的成效。

甲乙两地区植树造林情况表 单位：万棵

地区 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年

2010年

甲乙

500500

0400

0600

0600

0700

1000500

分析：若按水平法计算，则 2006年— 2010年甲地区平均增长速度要远高于乙，由此判断合适吗？采用累计法才能反映实际情况。 6.5

500

2800

2500

1000

0

0

a

a

a

a

乙：

甲：

平均增长速度 平均增长速度是现象各期环比增长速度的序时平均数，也叫递增速度（为负，叫递减速度）。

它表明现象在一个较长时间内，平均每期增减变化的相对程度。

平均增长速度虽然是各期环比增长速度的序时平均数，但由于环比增长速度与定基增长速度之间没有直接换算关系，因而不能直接根据环比增长速度来计算，而要利用平均发展速度来推算。即

平均增长速度 = 平均发展速度 -1 （或 100% ）

计算和运用速度指标应注意的问题

合理选择基期：基期是基准点，合理确定对研究很重要。 总速度要和分段速度相结合：在较长时期内，现象变化的

各阶段有快有慢，应分段平均和总平均相结合。如：

年份 57—78 78—84 84—90 90—07

城镇农村

0.82.8

8.215

3.50.6

7.54.5

我国城乡居民实际收入平均增速对比表

2012 年全年农村居民人均纯收入 6977 元，实际增长 11.4% 。城镇居民人均可支配收入 21810 元，比上年实际增长 8.4% ；农首次高城。

速度指标要和绝对量相结合

100%1

基期水平增长百分点增长量

的绝对值增长

训练 1 ： 若 2007 年 -2011年的产值分别为 200亿元、 240亿元、 280亿元、 320亿元和 360亿元。 判断哪年的环比增长速度快？

训练 2. 某商场销售额变化图。该商场销售额环比增幅最大的是（ ）。

A4 月 B5 月 C4 月和 5 月 D7

月 （公务员考试题）

训练 3. 根据 04-11 年收入增幅，请作判断

收入增长幅度%

年份0 04 05 06 07 08 09 10 11

收入最高的年份是： A07 B10 C09和 10 D09

年份 2006 2007 2008

2009 2011 2012

销售量（万吨） 100

逐期增长量（万吨） — 10

累计增长量（万吨） — 20

环比发展速度（%） — 105

定基发展速度（%） — 150

环比增长速度（%） — 10

训练 4 ：根据指标之间的计算关系填空。并计算期间的平均发展速度和平均增长速度

任务四任务四

理解动态趋势的影响因素 理解动态趋势的影响因素

掌握动态趋势的分析方法 掌握动态趋势的分析方法

一、现象变动的影响因素 现象各期发展水平的变化是由许多错综复杂的因素共同作用

的结果，分析现象发展变化的趋势，需要了解现象变动的各种影响因素。虽然影响现象变动的因素很多，但可大体归纳为：

影响

因素

偶然的影响因素——无规则变动

周期性影响因素 —— 季节变动（周期一年或以下） ——循环变动（周期长且不固定）

基本影响因素（决定性因素） —— 决定现象的长期趋势

指现象在较长期表现出来的发展总趋势。基本因素决定总趋势， 对各期起普遍长期决定性作用，使现象沿着一方向变动，如随 着经济发展，居民收入呈上升趋势；恩格尔系数呈下降趋势等。

季节变动是现象受季节影响而发生变动。其特点是在一年或更 短的时间内随时序更换，现象呈周期性重复变化。原因既有自 然因素，也有人为因素，如节假日及风俗习惯等。

现象变动周期在一年以上的变动，循环变动周期和波幅很不规 则，如商业循环，经济循环，周期可以是 2-3 年也有 10 年 8 年。

指除以上因素外由于意外的偶然因素引起的随机变动。只起局 部临时和非决定性影响。作用的大小方向不定。该变动是无法 预知的，不易把握，发生作用是随机的。

季节变动

长期趋势

循环变动

不规则变动

二、长期趋势分析 长期趋势是指现象在较长时期内持续发展变

化的趋向和态势。 测定和把握长期趋势，可以帮助我们预测未

来不同时间可能达到的水平。 根据现象所呈现的趋势，外推预测（趋势外推预测法）

☆长期趋势分析的方法 修匀法：该法是用一定的方法对原数列修匀，使修匀后的

数列排除季节变动、循环变动和无规则变动等因素影响，显示出现象变动的基本趋势。其基本思想是淡化个别时间偶然因素（非决定性影响因素）的影响作用，以更多正常情况来淡化非正常因素对现象趋势破坏的影响作用。现象的发展变化虽然有决定因素起决定作用，但偶然因素的影响也在破坏着这种趋势，改变着其本来方向。去伪存真，排除假象而做出正确判断。

修匀法包括时距扩大法、序时平均法、移动平均法三种。 数学模型法（包括线性模型和非线性模型）

长期趋势分析的方法之修匀法

（ 1 ）时距扩大法 个别时间偶然因素的出现干扰和影响了对现象趋势

的判断，必须淡化其影响作用，从而使现象的趋势更清楚地表现出来。时距扩大法是对数列资料进行修匀，测定长期趋势最原始和最简便的方法，把较小的时间跨度转化为较大的时间跨度，其作用在于能消除现象在短时间内所受到的偶然因素的影响，以显示出现象变动的长期趋势。

如果数列水平波动有一定的周期，扩大的时距应与周期相同，若看不出来明显的周期，那么就要逐步扩大时距，直到趋势的方向变得足够清晰为止。

（ 2 ）序时平均法：（略）

某商场 2012 年某商品销量动态资料 单位：百件

时 间第一季度 第二季度 第三季度 第四季度1月

2月

3月

4月

5月

6月 7月

8月

9月

10月

11月

12月

月销量 8 6 10 13 1112 13 1

216 17 16 19

季销量 24 36 41 52月平均 8 12 13.7 17.3 表中月收入资料不能明显地反映现象发展的趋势，若采用时距扩大法把时距扩大，即把月扩大为季，形成一个新的时间数列，则能非常明显地反映该地区居民收入的变动趋势。

修匀法之时距扩大法和序时平均法实例

某铁路局 2007-2012年货物周转量资料

分析：该铁路局的货物

周转量存在明显的以四个季度为周期的

有规律变动。要将原资料中以季为单位的货物周转

量合并成以年为单位的货物周转量，形成

一个扩大了时距的新时间数列

年份货物周转量（万吨公里）第一季度

第二季度

第三季度

第四季度

200720082009201020112012

616744936100012301322

400512656741874886

280360472502652663

320416576600870889

时距扩大后的 2007-2012 年货物周转量资料

年份 货物周转量（万吨公里） 季平均（万吨公里）

2007

2008

2009

2010

2011

2012

161620322640284336263760

406508660711907940

修匀法之移动平均法

移动平均法实质上是时距扩大法的改进，它是对原时间数列按一定的项数逐期递推移动平均的方法，计算出一系列扩大了时距的动态平均数（又叫移动平均数），若趋势还不明显，也可采取逐步扩大时距的办法，直到所求的移动平均数能把总趋势表现出来。

移动平均形成新的派生数列把受某些偶然因素影响所出现的波动修匀了，即淡化了个别时间偶然因素的影响，使整个数列的总趋势更加明显。

某地区 1995-2012 年基本建设投资额动态资料年份 投资额

（万元） 三项移动 五项移动

199519961997199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012

261284306325314319374476352410427495471528611601621668

—284305315320336390401412396444464498536580611630—

——

298310328362367386408432431468504556538571——

移动平均法需注意的问题★奇数项一次移动。偶数项二次移动平均。

★ 移动项数的确定。一般奇数项移动。若社会经济现象的变动有一定的周期，则周期的长短决定移动的项数。

★ 移动平均的项数越多，对原时间数列数值修匀的强度就越大，就愈能反映出社会经济现象的长期发展趋势，但对趋势变化的反应能力就愈差，移动平均数的项目就越少。

★ 一般可以利用移动平均法观察社会经济现象发展变化的长期趋势，但不能就此直接利用长期趋势来进行预测。若要进行预测，还需对修匀后的新时间数列作进一步的加工处理。

长期趋势分析方法之数学模型法 数学模型法就是通过建立数学方程来反映现象随时间变化而变化的变动关系。

数学模型中参数确定最常用的方法是： 最小平方法。基本要求：

最小值 2)( cyy

在掌握时间数列资料的情况下，首先绘制散点图，对趋 势做出基本判断，判断其大致符合数学中的哪种形态。 由于社会经济现象受很多因素影响，不可能完全符合数 学上的某种标准形态，因此只能大致判断。

数学模型法之直线趋势方程的建立

xbnay

bxayc 直线趋势方程

2xbxaxy

最小值 22 )()( bxayyy c据最小平方法可得

要使该函数有最小值，需要对 a、 b 分别求偏导，并使偏导数等于零。经整理可得到以下方程组：

0a

0b

求 a、 b 后代入直线模型。 x 为时间序号。

1991-2002 年我国登记在册吸毒人数资料

年份 吸毒人数（万人） 时序号

199119921993199419951996199719981999200020012002

14.825.030.838.052.053.054.059.668.186.090.0

100.0

123456789

101112

14.850.092.4

152.0260.0318.0378.0476.8612.9860.0990.0

1200.0

149

162536496481

100121144

15.923.230.537.745.052.359.666.974.181.488.796.0

合计 671.3 78 5404.9 650 671.3

2x cyxyxy

根据资料，建立以下方程组： 671.3=12a+78b a= 8.6

5404.9=78a+650b b=7.3

万人）年登记吸毒人数：预测

直线趋势方程为：

(5.176233.76.8

2013

3.76.8

2013

y

xyc

判断趋势形态类型的方法 趋势方程建立之前，必须首先判断应该建立哪种形态的趋势方程。

依据数学方程 的数值特征

选择趋势方程的方法

绘制散点图

主要趋势模型的数值特征及判断标准

bxay

2cxbxay

xaby

ab 2ab 3ab 4ab 5ab

三种数学模型的特点及判断标准 时 间 x 1 2 3 4 5直线方程 原数列水平 a+b a+2b a+3b a+4b a+5b

一次差 — b b b b二次曲线 方程

原数列水平 a+b+c a+2b+4c a+3b+9c a+4b+16c a+5b+25c

一次差 — b+3c b+5c b+7c b+9c二次差 — — 2c 2c 2c

指数曲线方程 原数列水平环比发展 速度

—b b b b

上表反映了时间 x 分别为 1、 2、 3、 4、 5…… 时， y 所对应的水平。可以看出三种形态数学模型各自的基本特征，表中反映的是三种标准的数学模型。这为我们根据资料判断趋势线类型提供了判断依据和参考标准。

x

c

aby

x

y

cbx

a

c

2

bxa

y c

0 x

y★ ★ 若现象逐期增长量（一若现象逐期增长量（一次差）大体相同次差）大体相同 , , 即为直线即为直线趋势趋势 ,, 应配合直线趋势方程应配合直线趋势方程。。

★ ★ 若现象逐期增长量的增若现象逐期增长量的增长量（二级增长量、二次长量（二级增长量、二次差）大体相同，即为二次曲差）大体相同，即为二次曲线，线，应配合抛物线趋势方程。应配合抛物线趋势方程。

★ ★ 若现象环比速度大体相若现象环比速度大体相同，即为指数曲线，应配合同，即为指数曲线，应配合指数曲线趋势方程。指数曲线趋势方程。

趋势方程类型及其判断标准

二次曲线趋势方程的建立

2cxbxayc 二次曲线趋势方程

4322

32

2

xcxbxayx

xcxbaxxy

xcxbnay 求解参数a、 b、 c 的方程组：

指数曲线趋势方程的建立

由于指数曲线在对数图纸上表现为一条直线，故可先将指数曲线方程转化为对数直线方程 lgyc=lga+xlgb ，再用最小平均法求出 lga 、 lgb 。求解方程组为：

∑lgy=nlga+lgbΣx ∑xlgy=lgaΣx+lgb∑x 然后求反对数即可得出 a 、 b 。 设Z=lgy c=lga d=lgb 则 lgy=lga+xlgb ，转化为直线型Z=c+dx

xc aby 指数曲线方程

2

三 .季节变动分析

季节变动是指某些现象受季节更替的影响而发生的以年为周期的周期性波动。

季节变动分析的意义：有许多现象由于受自然条件和社会条件的影响，在一个年度内出现季节性变化，比较典型的是农业生产以及时令商品的生产和销售，存在旺季淡季。农业生产的季节性会影响农产品加工，农产品的流通和运输。气候变化，人们的社会生活习惯及国家的某些制度规定都会使得一些部门的生产经营活动带有明显的季节性。研究探索季节变动的作用（ 1 ）认识和掌握现象季节变动的规律性（ 2 ）开展短期预测、制定短期计划提供 依据（ 3 ）克服季节变动的不良影响，更好地组织生产、安排生活。

季节变动分析的方法 测定季节变动、进行季节变动分析常用的方法是计算季节比率（又称季节指数）。

%100数全年总的月（季）平均

某月（季）的数值季节比率

%100总的月（季）的平均数某月（季）的平均数

各月（或季）的季节比率围绕 100%而上下波动。大于 100%说明现象受季节的影响而使其数值增加；小于 100%说明现象受季节的影响而使其数值减少；等于 100%说明现象不受季节变动的影响。习惯上，常常把季节比率大于 1 的季节称为旺季，而把季节比率小于 1 的季节称为淡季。

根据多年资料计算季节比率的步骤

计算历年总的月（季）的平均数

计算历年同月（季）发展水平相加求历年同 月（季）的平均数；

将同月（季）平均数分别与总的月（季）平均数相除得各月（季）的 季节比率

某地区 2008-2012年空调销售量资料 单位：万台

年份 一季度 二季度 三季度 四季度 合计 季平均数20082009201020112012

4650605766

6370788998

889199110126

5157636070

248268300316360

6267757990

合计 279 398 514 301 1492 373

同季平均 55.8 79.6 102.8 60.2 298.4 74.6季节比率

%74.8 106.7 137.8 80.7 400 100

由上表计算可以看出，各季季节比率差距很大，说明空调的销售量明显地受季节因素影响，存在着很强的季节变动特征。即第二、第三季度为销售旺季，第一、第四季度为销售淡季。

某地区 2008-2012 年空调销售量季节比率图

季节变动和长期趋势的结合

有些现象既存在季节变动的影响，也存在长期趋势，要对未来进行预测，就要将二者结合。季节变动分析和长期趋势分析相结合，可以对未来年份各月（季）发展水平作出预测。

计算公式： 某月（季）的预测值 = 该月（季）的季节比率

×预测年的月（季）平均数

长期趋势与季节变动结合的具体步骤

1. 先根据长期趋势求出预测年的预测值；

2.求出预测年月（或季）平均水平；

3. 将所预测年各月（或季）的平均水平与各

（或季）的季节比率相乘，就得到了考虑季

节变动在内的预测年各月（季）的预测水平。

需要注意的问题 季节变动目前已不局限于研究以年为周期的变动，日、月、季内有一定规律性的周期性变动也都称为季节变动。季节分析方法可推广到周期为一年以下所有的周期性变动现象的研究。

季节变动与一定的历史条件相联系，随着科学技术的不断发展，具体的条件会发生一些变化，这样，季节变动也随之改变甚至失去作用。

《时间数列分析》知识结构图

时间数列分析

水平分析指标

速度分析指标

动态趋势分析

意义和编制原则发展水平 增长量

平均发展水平平均增长量

长期趋势分析季节变动分析

发展速度 增长速度平均发展速度平均增长速度