第一章多元正态分布

23/4/19 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 1

第一章多元正态分布

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§1.1 多元分布的基本概念

§1.2 统计距离和马氏距离

§1.3 多元正态分布

§1.4 均值向量和协方差阵的估计

§1.5 常用分布及抽样分布



• 一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：

• 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；

• 对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。




多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元分布、多元分布、多元指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。

2χ



§1.1 多元分布的基本概念


§1.1.1 随机向量

§1.1.2 分布函数与密度函数

§1.1.3 多元变量的独立性

§1.1.4 随机向量的数字特征


§1.1.1 随机向量

表示对同一个体观测的个变量。若观测了个个体，则可得到如下表 1-1 的数据，称每一个个体的个变量为一个样品，而全体个样品形成一个样本。

p n

p n

假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测个指标（即变量），又进行了次观测得到的，把这个指标表示为常用向量

)',,,( 21 pXXX X

npXXX ,,, 21

pp



横看表 1-1 ，记，它表示第个样品的观测值。竖看表 1-1, 第列的元素

表示对第个变量的 n 次观测数值。下面为表 1-1jxj

)',,,( 21)( pxxx X n,2,1

,)',,,( 21 njjjj xxx X pj ,2,1

j

npx

…n

…2

…1

… 变量序号

11x

21x

1nx

12x

22x

2nx

px1

px2

npx


§1.1.1 随机向量


• 因此 , 样本资料矩阵可用矩阵语言表示为 :

/)(

/)2(

/)1(

21

21

22221

11211

),,,(

n

p

npnn

p

p

xxx

xxx

xxx

x

x

x

xxxX

定义 1.1 设为个随机变量，由它们组成的向量称为随机向量。

pXXX ,,, 21

)',,,( 21 pXXX X

p


§1.1.1 随机向量

若无特别说明，本书所称向量均指列向量


定义 1.2 设是一随机向量，它的多元分布函数是

)',,,( 21 pXXX X

1.1),,(),,,()( 1121 ppp xXxXPxxxFXF

式中，，并记成。 pp RxxxX ),,,( 21 FX ~


描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。


多元分布函数的有关性质此处从略。



(1.2) ,),()( 11

1

p

x x

p dttdttfFp

x

pR1)( )(

0)( )(

xx

xx

dfii

Rfi p


定义 1.3 ：设 = , 若存在一个非负的函数 , 使得

)(~ XFX ),,,( 21 pxxxF f

对一切成立，则称（或）有分布密度并称为连续型随机向量。f

pRx XFXX

一个维变量的函数能作为中某个随机向量的分布密度，当且仅当

pRfp


§1.1.3 多元变量的独立性


对一切成立。若为的联合分布函数，分别为和的分布函数，则与独立当且仅当（ 1.4 ）

(1.3) )()(),( yxXyYxX YPPP

定义 1.4 ：两个随机向量和称为是相互独立的，若

),( yxF

X Y

),( YX ),( YX)()( yHxG 和 X Y YX

)()(),( yHxGyxF

注意 : 在上述定义中，和的维数一般是不同的。YX

若有密度，用分别表示和的分布密度，则和独立当且仅当 (1.5)

),( YX ),( yxf )()( yhxg 和 XX

YY

)()(),( yhxgyxf



是一个维向量，称为均值向量 . p


)8.1()()()2(

7.1)()()1(

BXAEAXBE

XAEAXE

当为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：BA、

1 、随机向量的均值设有个分量。若存在，定义随机向量的均值为

X)',,,( 21 pXXX X iiXE )(

,,2,1 pi Xp

)(

PP

) 6.1

)(

)(( 2

1

2

1

μX

XE

XE

XE

E


(1.9) )(

)D(X ),( ),(

),( )( ),(

),( ),( )(

21

2212

1211

ij

PPP

P

P

XXCOVXXCOV

XXCOVXDXXCOV

XXCOVXXCOVXD


)())((),( / XXXXXXXΣ DEEECOV


2 、随机向量自协方差阵X

称它为维随机向量的协方差阵，简称为的协方差阵。称为的广义方差，它是协差阵的行列式之值。

p X X),cov( XX X




3 、随机向量 X 和 Y 的协差阵

设分别为维和维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个矩阵，其元素是，即

)',,,()',,,( 2121 pn YYYYXXX 和X n ppn

),cov( ji YX

)10.1(,,1;,,1,)),(cov(),cov( pjniYXYX ji

是不相关的。和，称若 YXYX 0),cov( 当 A 、 B 为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：

'

''

),cov(),cov(

)()(

BYXABYAX

AAAXADAXD




（ 3 ）设 X为维随机向量，期望和协方差存在记则

AμμAΣAXX' ')()( trE

n常数阵，为 nn,)(,)( AXDXE

对于任何随机向量来说，其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。

)',,,( 21 pXXX X


(1.11) ,,2,1,,)()(

),(

)()),((

pjiXDXD

XXCOVr

rXXcorr

ji

jiij

PPijji

R



4 、随机向量 X 的相关阵若随机向量的协差阵存在 , 且每个分量的方

差大于零，则 X 的相关阵定义为 :)',,,( 21 pXXX X

也称为分量与之间的（线性）相关系数。ijriX jX


在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换

1/ 2

1 2

/

( ) 1, , (1.12)

(var )

( , , , )

( ) 0 ( ) ( )

.

1

1

j jj

j

p

X E XX j p

X

X X X

E D corr

n

X

X X X R

R X X

于是

即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵

(1.13)



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随机向量数字特征的例子


例 1-1

• 例 1-1 焊接技术培训班有 10 名学生：基础焊接技术（ BWT ），焊接技术提高（ AWT ）和焊接车间实践（ PWW ）的成绩如表 1-1 所示（数据文件MV_ 焊接成绩 .BTW ）。


例 1-1

• 请注意：样本资料阵在形式上与在 MINITAB 软件中的工作表是完全一致的，工作表的第 i 行表示第 i 个样品，工作表的第 j 列表示对第 j个变量的观测值，变量名称常列在表头


样本均值向

量的计算


样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算


样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算

• 由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了协方差阵的下三角部分，所以整个样本协方差阵全部写出则应是：

• 如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵而不是三角阵，这个矩阵对角线上的 3 个数74.6222、 70.2222、 34.9 ，分别是基础焊接技术（ BWT ），焊接技术提高（ AWT ）和焊接车间实践（ PWW ）三门课成绩的样本方差。

• 样本离差阵等于样本协方差阵乘以 n−1 ，所以例 1-1 样本离差阵就是


样本相关阵 R计算：


样本相关阵 R计算：

由于样本相关阵是对称的，对角线上全是 1 ，会话区窗口结果中只显示了扣除对角线后的下三角部分，所以整个样本相关阵全部写出则应是：

如果采用存储功能，则存储的样本相关阵就是方阵而不是三角阵。




欧氏距离

马氏距离



欧氏距离

在多指标统计分析中 , 距离的概念十分重要 , 样品间的不少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离 , 或称直线距离 . 如几何平面上的点 p=(x1,x2) 到原点O=(0,0) 的欧氏距离 , 依勾股定理有

(1.14) )(),0( 2/122

21 xxpd



§1.2 统计距离和马氏距离但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单位有关。





例如，横轴代表重量（以 kg 为单位），纵轴代表长度（以 cm 为单位）。有四个点A 、 B、 C 、 D 见图 1.1 ，它们的坐标如图 1.1 所示

1X 2X




101110

125105

22

22

CD

AB这时

显然 AB比 CD 要长。

现在，如果用mm 作单位，单位保持不变，此时 A 坐标为（ 0 ， 50 ）， C 坐标为（ 0 ， 100 ），则

2X1X

100011100

26001050

22

22

CD

AB

结果 CD反而比 AB长！这显然是不够合理的。




因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。因此，采用“统计距离” 这个术语，以区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis ）于 1936年引入的距离，称为“马氏距离”。




下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。

设有两个一维正态总体。若有一个样品，其值在 A 处， A 点距离哪个总体近些呢？由图 1-2

),(:),(: 2222

2111 GG 和

图 1-2




由图 1-2 可看出 , 从绝对长度来看 ,A 点距左面总体 G1近些 ,即 A 点到比A 点到要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比较的是 A 点坐标与到值之差的绝对值），但从概率观点来看， A 点在右侧约 4 处， A 点在的左侧约 3 处，若以标准差的观点来衡量， A 点离比 A 点离要“近一些”。显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。

2

1 21

21 22 2 1

1



马氏距离设 X、 Y从均值向量为 μ ，协方差阵为∑的总体 G

中抽取的两个样品，定义 X、 Y两点之间的马氏距离为

(1.21) )()(),( 1/2 YXΣYXYX dm

X G

(1.22) )()(),( 1/2 μXΣμXX Gdm

的马氏距离为与总体定义




设表示一个点集，表示距离，它是到的函数，可以证明 , 马氏距离符合如下距离的四条基本公理 :

E d EE ),0[

；0),( yxd Eyx ,（ 1 ），

（ 2 ）当且仅当； 0),( yxd yx

（ 3 ） ),(),( xydyxd Eyx ,

（ 4 ） ),(),(),( yzdzxdyxd Ezyx ,,




多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止 , 多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的 , 多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。





§1.3.1 多元正态分布的定义

§1.3.2 多元正态分布的性质

§1.3.3 条件分布和独立性



(1.24) )(

)}()(2

1exp{

)2(

1),,( 1/

2/12/1

0Σ

μxΣμxΣ

ppxxf

|∑| 为协差阵∑的行列式。


定义 1.5 ：若元随机向量的概率密度函数为： p )',,,( 21 pXXX X

),(~ ΣμX pN

则称遵从元正态分布，也称 X 为元正态变量。记为

)',,,( 21 pXXX X p p


定理 1.1 将正态分布的参数 μ和∑赋于了明确的统计意义。有关这个定理的证明可参见文献 [3] 。

多元正态分布不止定义 1.5 一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献 [3] 。



定理 1.1 ：设则

),(~ pNX

)(,)( XDXE


§1.3.2 多元正态分布的性质

]1[2

1),(

)22

21(

2

122

21

21

)(2

1

21

xx

exxexxfxx


1 、如果正态随机向量的协方差阵∑是对角阵，则 X 的各分量是相互独立的随机变量。证明参见文献 [4]， p.33 。

)',,,( 21 pXXX X

容易验证，，但显然不是正态分布。1 2~ (0,1) , ~ (0,1)X N X N ),( 21 XX

2 、多元正态分布随机向量 X 的任何一个分量子集的分布（称为 X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。例如，设有分布密度'

21 ),( XXX


§ 1.3.2 多元正态分布的性质


bA

3 、多元正态向量的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设，而维随机向量，其中是阶的常数矩阵，是维的常向量。则维随机向量也是正态的，且。即遵从元正态分布，其均值向量为，协差阵为。

bAXZ 1m

),(~ 'AAbANZ m 'AA

)',,,( 21 pXXX X

),(~ pNX m )( ijaA

pm b m m Z

Z m

4 、若，则

若为定值，随着的变化其轨迹为一椭球面，是的密度函数的等值面 .若给定，则为到的马氏距离。

XX

,pX N

2 1 2 ( )d X X p

2d X2d X


§ 1.3.3 条件分布和独立性

(1.25)

, ,

2221

1211

)2(

)1(

)2(

)1(

ΣΣ

ΣΣΣ

μ

μμ

X

XX


我们希望求给定的条件分布，即的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。

qqqX 为为其中 11)1()1( ,1, )1()2( XX 时

)|( )2()1( XX

设 p≥2,将 X 、 μ 和 Σ 剖分如下：),(~ pNX


(1) (2)1 2 11 2

(1) 1 (2) (2)1 2 12 22

111 2 11 12 22 21

( | ) ~ ( , ),

( ) (1.26)

(1.27)

qN

X X μ Σ

μ μ Σ Σ X μ

Σ Σ Σ Σ Σ

其中

证明参见文献 [3] 。



定理 1.2 ：设， Σ>0 ，则 ),(~ pNX


t

s

r

)3(

)2(

)1(

X

X

X

X

t

s

r

)3(

)2(

)1(

μ

μ

μ

μ

t

s

r

333231

232221

131211

ΣΣΣ

ΣΣΣ

ΣΣΣ

Σ (1.28)



定理 1.3 ：设， Σ>0 ，将 X ， μ ， Σ 剖分如下：

),(~ pNX


则有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：)1(X

)(),|( 32)2(1

32231231)3()2()1(

μXΣΣμXXXE (1.29)

3211

322312311)3()2()1( ),|(

ΣΣΣΣXXXD (1.30)

其中 kjkkikijkij ΣΣΣΣΣ 1 3,2,1,, kji ，

2,1 )|( )3()(3 iE i

i XXμ

证明参见 [3]




服装标准例子


• 定理 1.2 和定理 1.3在 20世纪 70年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献 [3] 。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：

154.98 29.66

83.39 6.51 30.53

70.26 1.85 25.54 39.86

61.32 9.36 3.54 2.23 7.03

91.52 10.34 19.53 20.70 5.21

μ Σ

27.36

X1 ：身高， X2 ：胸围， X3 ：腰围， X4 ：上体长， X5 ：臀围，已知它们遵从 N5（ μ，Σ ），其中


(1) / (2) (3)1 2 3 4 5

1

2 5 15

3

4

5

5

( , , ) , ( ), ( ),

(1.26) (1.27)

154.98 10.34

83.39 19.53(27.36) ( 91.52)

70.26 20.70

61.32 5.21

154.98 0.38( 91.52)

83.39 0.71(

X X X X X

x

x xE X

x

x

X

X

X X X若取

则由公式和得

5

5

91.52)

70.26 0.76( 91.52)

61.32 0.19( 91.52)

X

X


1

2 5

3

4

29.66 6.51 1.85 9.36

6.51 30.53 25.54 3.54

1.85 25.54 39.86 2.23

9.36 3.54 2.23 7.03

10.34

19.53

20.70

5.2

X

X xD

X

X

1(27.36) (10.34,19.53,20.70,5.21)

1

25.76 -0.86 -5.97 7.39

-0.86 16.59 10.76 -0.18

-5.97 10.76 24.19 -1.72

7.39 -0.18 -1.72 6.04


• 再利用（ 1.30 ）式得 1 4

2

53

1

25.76 -0.86 -5.97

-0.86 16.59 10.76

-5.97 10.76 24.19

7.39

-0.18 (6.04) (7.39 ,-0.18,-1.72 )

-1.72

16.72 -0.64 -3.87

-0.64 16.58

X X

D X

XX

10.71

-3.87 10.71 23.71


• 这说明 , 若已知一个人的上体的长和臀围 , 则身高、胸围和腰围的条件方差比原来的方差大大缩小。

此时我们可看到

1 4 5 1

2 4 5 2

3 4 5 3

var( | , ) 16.72 29.66 var( )

var( | , ) 16.58 30.53 var( )

var( | , ) 23.71 39.86 var( )

X X X X

X X X X

X X X X


在定理 1.2 中，我们给出了对 X 、 μ 和 Σ 作形如 (1.25) 式剖分时条件协差阵的表达式及其与非条件协差阵的关系，令表示的元素，则可以定义偏相关系数的概念如下：

211Σpqij ,,1

211Σ

2/1,,1,,1

,,1,,1 )( pqjjpqii

pqijpqijr

定义 1.6 ：当给定时，与的偏相关系数为：)2(XiX jX




偏相关系数

以 x1 表示某种商品的销售量， x2 表示消费者人均可支配收入， x3 表示商品价格。

从经验上看，销售量 x1 与消费者人均可支配收入 x2

之间应该有正相关，简单相关系数 r12 应该是正的。但是如果你计算出的 r12 是个负数也不要感到惊讶，这是因为还有其它没有被固定的变量在发挥影响，例如商品价格 x3 在这期间大幅提高了。反映固定 x3

后 x1与 x2 相关程度的偏相关系数 r12 ； 3 会是个正数。



• 在上面制定服装标准的例子中，给定 X4和X5 的偏相关系数为：

12 45

0.6430.0386

16.717 16.582r

13 45

3.8730.195

16.717 23.707r

23 45

10.7070.540

16.582 23.707r


KKK

K

kk ΣΣ

ΣΣ

Σ

μ

μ

μ

X

X

X

, ,

1

111

)(

)1(

)(

)1(



定理 1.4 ：设将 X 、 μ 、 Σ 按同样方式剖分为

),(~ pNX

其中，

,,,1,:,1:,1: )()( kjSSSSX jjjjjj

jj

jiXX ijk 对一切相互独立当且仅当则 ,0,, )()1(

证明参见文献 [3]



上节已经给出了多元正态分布的定义和有关的性质 , 在实际问题中 ,通常可以假定被研究的对象是多元正态分布 ,但分布中的参数 μ 和 Σ 是未知的 , 一般的做法是通过样本来估计。




均值向量的估计

在一般情况下 , 如果样本资料阵为：

/)(

/)2(

/)1(

21

21

22221

11211

),,,(

n

P

npnn

p

p

xxx

xxx

xxx

X

X

X

XXXX




(1.31) 11

ˆ 2

1

1

21

11

)(1

p

ip

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

X

X

X

X

X

X

nX

n

Xμ

即均值向量 μ 的估计量 ,就是样本均值向量 .这可由极大似然法推导出来。推导过程参见文献 [3] 。


设样品相互独立 , 同遵从于 P 元正态分布 ,而且 ,Σ>0, 则总体参数均值 μ 的估计量是

)()2()1( ,, nXXX ),( pN pn


§1.4 均值向量和协方差阵的估计协方差阵的估计

总体参数协差阵 Σ 的极大似然估计是


')(

1)( )()(

11

XXXXn

Ln i

n

iip

n

ipip

n

i

n

i

pipii

n

i

pipi

n

ii

XX

XXXXXX

XXXXXX

n

1

2

1 122

222

1

111

211

)(

))(()(

))(()(

1




其中 L是离差阵，它是每一个样品（向量）与样本均值（向量）的离差积形成的 n 个阶对称阵的和。同一元相似，不是 Σ 的无偏估计，为了得到无偏估计我们常用样本协差阵作为总体协差阵的估计。

ˆpΣ

1ˆ1

Ln

Σ

pp


§1.5 常用分布及抽样分布多元统计研究的是多指标问题 , 为了了解总体的特征 ,通过对总体抽样得到代表总体的样本 ,但因为信息是分散在每个样本上的 ,就需要对样本进行加工 , 把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中 , 这个函数称为统计量 , 如前面介绍的样本均值向量、样本离差阵等都是统计量 . 统计量的分布称为抽样分布 .

XL

在数理统计中常用的抽样分布有分布、分布和分布 .在多元统计中 , 与之对应的分布分别为 Wishart分布、分布和 Wilks 分布 .

2 tF

2T



§1.5 常用分布及抽样分布

1.5.2 分布与分布t 2T

1.5.1 分布与 Wishart 分布2

1.5.3 中心分布与 Wilks 分布F



2 ( )n 分布有两个重要的性质 :

§1.5.1 分布与 Wishart 分布2

在数理统计中 , 若 ( ), 且相互独立 , 则所服从的分布为自由度为的分布 (chi squared

distribution), 记为 .

1,2, ,i n 2

1

n

ii

X n 2

2 ( )n

(0,1)iX N


1 、若 , 且相互独立 , 则1,2, ,i k

2 2

1 1

( )k k

i ii i

n

称为相互独立的具有可加性2

2 2 ( )i in


2. 设 ( ), 且相互独立 , 为个阶对称阵 , 且 ( 阶单位阵 ), 记 ,

则为相互独立的分布的充要条件为 .此时 , .

(0,1)iX N 1,2, ,i n ( 1,2, , )j m

m n1

m

j nj

A I

1 2, , , nX X X X

,j jQ X A X 1 2, , , mQ Q Q 2

1

rank( )m

jj

A n

rank( )j jn A

jA

2j jQ n

这个性质称为 Cochran 定理 , 在方差分析和回归分析中起着重要作用 .




( ) ( )1

n

W XX X X

(1.32)

定义 1.7 设相互独立 , 且 , 记 , 则随机矩阵：

( ) 1 2( , , , )pX X X X ( 1,2, , )n

( ) ( , )pX N (1) (2) ( )( , , , )nX X X X

所服从的分布称为自由度为的维非中心Wishart分布 , 记为 ,

n p( , , )pW W n Z

其中 , , , 称为非中心参数 ,当时称为中心 Wishart 分布 ,记为

, 0n p '1 2 1 2

1

, , , , , ,n

n n i ii

Z

0

( , )pW n




由Wishart 分布的定义知 , 当时 , 退化为 , 此时中心Wishart 分布就退化为 , 由此可以看出 , Wishart 分布实际上是分布在多维正态情形下的推广 .

1p 22 2 ( )n

2

下面不加证明的给出 Wishart 分布的 5 条重要性质 :

个随机样本 , 为样本均值 , 样本离差阵为维正态总体( ) 1 2( , , , , )pX X X X 1,2, , n p

,pN n X

( ) ( )1

( )( )n

L X X X X

1. 若是从中抽取的

, 则.

相互独立 .和(1) X L

1,p nX N ( 1, )pL W n (2) ,




( , )pW W n q pC

3. 若 , 为非奇异阵 , 则

( , )qCWC W n C C

, 为任一( , )pW W n a p 0a a 2 ( )a Wa

a a n

4. 若元常向量 ,满足

则



( , )i p iW W n 1,2, ,i k 2. 若且相互独立 , 则

1 1

,k k

i p ii i

W W n


特别的 , 设和分别为和的第个对角元 , 则： iiwii 1W 1 i

2 ( 1)ii

iiw n p

1

1

2 ( 1)a a

a W an p

5. 若 , 为任一元非零常向量 ,比值( , )pW W n a p




§1.5.2 分布与分布t 2T

在数理统计中 , 若 , , 且与相互独立 , 则称

服从自由度为的分布 , 又称为学生分布 (student

distribution), 记为 . 如果将平方 , 即 , 则 , 即分布的平方服从第一自由度为 1 第二自由度为的中心分布 .

F

(0,1)X N 2 ( )Y n X Y

Yn

XT n t

( )T t n T22 X

YT n 2 1,T F n

( )t n n



中心分布可化为中心分布 , 其关系为 :2T F

1 2 , ( , 1)n ppn T p n F p n p

显然 , 当时 , 有 .1p 2 (1, ) (1, )T n F n

定义 1.8 设 , , , , , 与相互独立 , 则称随机变量

( , )pW W n (0, )pX N c 0c n p 0 W X

2 1ncT X W X (1.33)

所服从的分布称为第一自由度为第二自由度为的中心分布 , 记为

p n2T 2 2 ( , )T T p n


§1.5.2 分布与分布t 2T


§1.5.3 中心分布与 Wilks 分布

F

在数理统计中 , 若 , , 且与相互独立 , 则称所服从的分布为第一自由度为第二自由度为的中心分布 .记为 . 分布本质上是从正态总体随机抽取的两个样本方差的比 .

2 ( )X m 2 ( )Y nXmYn

F m

n F F2( , )N

( , )F F m n



所服从的分布称为维数为 , 第一自由度为第二自由度为的 Wilks Λ 分布 , 记为

p 1n

2n1 2( , , )p n n

1

1 2

W

W W (1.34)

定义 1.9 设 , , , , 且与相互独立 , 则称随机变量2W

1n p1 1( , )pW W n 2 2( , )pW W n 0

1W



F




F

由于 Λ 分布在多元统计中的重要性 , 关于它的近似分布和精确分布不断有学者进行研究 ,当 p和中的一个比较小时 , Λ 分布可化为 F分布 ,表 1-2 列举了常见的情况 .

pnnnp 121 F),,(~ 的关系，与表 1-2

2n



§1.5.3 中心 F 分布与 Wilks 分布

当不属于表 1-2 情况时 , Bartlett 指出用分布来近似表示 , 即

近似服从 .

2,p n 2

2 11 2 1 22( ) ln ( , , )p nV n n p n n

22( )pn

Rao 后来又研究用 F分布来近似 , 即1

12

21 s

s

tspnR




F

2

2 22

2 22

2

11 2 2

4

5

24

p n

p n

p n

pn

t n n

s

近似服从 ,其中2( , 2 )F pn ts

不一定是整数 , 用与它最近的整数来作为 F分布的第二自由度 .

2ts




F

若 , 有 .该结论说明 , 在使用 Λ统计量时也可考虑的情形 , 有关 Λ 统计量的其他性质参见文献 [1].

2n p1 2 2 1 2( , , ) ( , , )p n n n p n n p

2n p

第一章 多元正态分布

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第一章多元正态分布