Αναλογική Εξομοίωση Συστημάτων

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι

καθ. ∆ηµήτριος Καλλιγερόπουλος

Α να λογ ι κ ή Ε ξο µ ο ί ω σ η Συ σ τ η µ ά των

Αναλογική Σχεδίαση Συστηµάτων • Σελίδα 2

Ηλεκτρονική Σελιδοποίηση, σχεδιασµός κυκλωµάτων και γραφηµάτων:Αναστάσιος Οικονοµίδης, µηχανικός Αυτοµατισµού Τ.Ε.

Στην πληκτρολόγηση των κειµένων βοήθησαν οι σπουδαστές του Τµήµατος Αυτοµατισµού του Τ.Ε.Ι. Πειραιά:

Αντωνίου Μαρία, Χρήστος Κασταµονίτης, Ελένη Κοντογιώργου, ∆ήµητρα Τσάµη.

Στο σχεδιασµό των κυκλωµάτων βοήθησε ο σπουδαστής του Τµήµατος Αυτο-µατισµού Γρηγόρης Τασούλας.

Η παρούσα έκδοση έγινε µε βάση το βιβλίο του καθηγητή του Τµήµατος Αυτο-µατισµού ∆ηµήτρη Καλλιγερόπουλου “Ο Αναλογικός Υπολογιστής” και χειρόγρα-φες σηµειώσεις του ιδίου.

Η σελιδοποίηση έγινε µε το πρόγραµµα Adobe InDesign 2.0 CE, η σχεδίαση των κυκλωµάτων και των γραφηµάτων µε το Adobe Illustrator 10 CE, οι µαθηµατικοί τύποι µε το Appleworks 5.0.4 σε υπολογιστή imac DV Special Edition Graphite.

Το βιβλίο διατίθεται σε ηλεκτρονική µορφή PDF στον ιστοτόπο: http://www.auto.teipir.gr/saelab1

http://www.auto.teipir.gr/saelab1


Πρόλογος

Η έκδοση των σηµειώσεων αυτών µε τίτλο «Αναλογική Εξοµοίω-

ση Συστηµάτων» απευθύνεται στους σπουδαστές του Εργαστηρίου

Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Ι, που µε προσωπική προσπάθεια

συγκροτήσαµε στο Τµήµα Αυτοµατισµού του Τ.Ε.Ι. Πειραιά. Ανάµεσα

στους τόσους ψηφιακούς υπολογιστές, ο Αναλογικός Υπολογιστής

προβάλλει σαν ένας παλιός καλός φίλος που µας εισάγει στην έν-

νοια της αναλογικής εξοµοίωσης συστηµάτων. Συστηµάτων αναλο-

γικών, σαν αυτά που υπάρχουν στη φύση, και τα οποία θα κληθούµε

αργότερα να ελέγξουµε.

Θερµά ευχαριστώ όσους µέχρι τώρα, σπουδαστές και εργαστη-

ριακούς συνεργάτες, βοήθησαν στην διαµόρφωση του Εργαστηρίου

και στην κατασκευή του εξοπλισµού του.

Ιδιαίτερα ευχαριστώ τους συνεργάτες µου:

Βασίλη Νικολή, Οδυσσέα Γλέζο, Τάνια Βασιλειάδου και Τάσο Οικο-

νοµίδη για την ακούραστη προσπάθεια τους χρόνια τώρα.

Το Τάσο Οικονοµίδη ευχαριστώ από καρδιάς για την επιµέλεια των

σηµειώσεων αυτών.

Πειραιάς 23 Μαρτίου 2002

O καθηγητής

∆. Καλλιγερόπουλος

Θεωρητικό Βοήθηµα • Σελίδα 3


Περιεχόµενα

Πρόλογος ............................................................................................................................ 3

Περιεχόµενα ...................................................................................................................... 5

Μέρος 1ο Θεωρητικό Βοήθηµα ...................................................................... 9

Εισαγωγή ........................................................................................................................... 11

Κεφάλαιο 1 Κατασκευή Θεµελιακών Αναλογικών Βαθµίδων ......... 15

1.1 Η αδυναµία των ηλεκτρικών ανάλογων.............................. 16

1.2 Ο τελεστικός ενισχυτής ............................................................. 19

1.3 Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής................................ 21

1.4 Ο αναστροφέας...............................................................................27

1.4.1 Ο ιδανικός αναστροφέας ...........................................................27

1.4.2 Πραγµατικός αναστροφέας ..................................................... 29

1.4.3 Πραγµατικός αναστροφέας µε αντίσταση εξόδου...... 31

1.5 Κυκλώµατα διαφορικού ενισχυτή ......................................... 33

1.5.1 Κύκλωµα µη αναστροφής ......................................................... 34

1.5.2 Ακολουθητής τάσης ..................................................................... 34

1.5.3 Κύκλωµα διαφοράς....................................................................... 35

1.6 Ο αθροιστής ..................................................................................... 36

1.6.1 Αθροιστής µε πεπερασµένη ενίσχυση............................... 37

1.7 Ο ολοκληρωτής .............................................................................. 38

1.7.1 Ολοκληρωτής µε πεπερασµένη ενίσχυση ....................... 40

1.7.2 Οι καταστάσεις λειτουργίας ενός ολοκληρωτή ........... 41

1.8 Ο ολοκληρωτής - αθροιστής .................................................. 45

1.9 Ο διαφοριστής ................................................................................ 46

1.10 Πραγµατικά κυκλώµατα ολοκλήρωσης-διαφόρισης ... 48

1.11 Γενικό κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή................................. 49

Κεφάλαιο 2 Η αναλογική εξοµοίωση συστηµάτων ................................52

2.1 Τα µη δυναµικά γραµµικά αναλογικά στοιχεία ............. 53

2.1.1 Το ποτενσιόµετρο.......................................................................... 53

2.1.2 Ο αναστροφέας...............................................................................55

2.1.3 Ο αθροιστής...................................................................................... 56

2.1.4 Εξοµοίωση αλγεβρικών σχέσεων ...........................................57

2.2 Τα δυναµικά αναλογικά στοιχεία .......................................... 60



2.2.1 Ο ολοκληρωτής .............................................................................. 60

2.2.2 Ο ολοκληρωτής - αθροιστής .................................................. 62

2.2.3 Ο διαφοριστής ................................................................................. 63

2.2.4 ∆υναµικά αναλογικά διαγράµµατα ...................................... 64

2.3 Εξοµοίωση γραµµικών διαφορικών εξισώσεων ............. 65

2.3.1 Εξοµοίωση συστήµατος πρώτης τάξης ............................ 66

2.3.2 Εξοµοίωση συστήµατος δεύτερης τάξης..........................72

2.3.3 Εξοµοίωση γραµµικών συστηµάτων n-οστής τάξης .. 79

2.3.4 Εξοµοίωση της εσωτερικής κατάστασης

γραµµικών συστηµάτων ..............................................................82

Μέρος 2 Εργαστηριακές Ασκήσεις ........................................................ 87

Εισαγωγή ................................................................................................................. 89

Πρώτη Ενότητα ............................................................................................................. 91

Εργαστηριακή άσκηση 1

Ποτενσιόµετρο - Τελεστικός Ενισχυτής ...................................................... 92

1.1 Κύκλωµα διαιρέτη τάσης .......................................................... 94

1.2 Κύκλωµα ποτενσιοµέτρου ........................................................ 96

1.3 Ο τελεστικός ενισχυτής ............................................................. 98

1.4 Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής............................. 100

1.5 Ανοιχτά κυκλώµατα τελεστικου ενισχυτή ......................102

1.6 Αναλογικό στοιχείο - Ποτενσιόµετρο .............................. 104


Αναστροφέας - Αθροιστής ................................................................................. 106

2.1 Κύκλωµα αναστροφής .............................................................. 108

2.2 Κύκλωµα µη αναστροφής ........................................................ 110

2.3 Κύκλωµα διαφοράς.......................................................................112

2.4 Κύκλωµα άθροισης ...................................................................... 114

2.5 Αναλογικά στοιχεία Αναστροφέας Αθροιστής............. 116

2.6 Απλά αναλογικά διαγράµµατα .............................................. 118


Ολοκληρωτής ...............................................................................................................120

3.1 Κύκλωµα ολοκλήρωσης............................................................. 122

3.2 Κύκλωµα διαφόρισης .................................................................. 124

3.3 Αναλογικό στοιχείο Ολοκληρωτής ..................................... 126


3.4 ∆ιπλή ολοκλήρωση ...................................................................... 128

3.5 Τοποθέτηση αρχικών συνθηκών .......................................... 130

∆εύτερη Ενότητα ....................................................................................................... 133


Σύστηµα Πρώτης Τάξης .........................................................................................134

4.1 Αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης ................................136

4.2 Ασταθές αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης ...........138

4.3 Φυσικό αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης .............. 140

4.4 Κύκλωµα RC .................................................................................... 142


Σύστηµα ∆εύτερης Τάξης .....................................................................................144

5.1 Αναλογικό διάγραµµα δεύτερης τάξης ............................146

5.2 Φυσικό αναλογικό διάγραµµα δεύτερης τάξης ...........148

5.3 Χρονική απόκριση δεύτερης τάξης ....................................150

5.4 Χαρακτηριστικά χρονικής απόκρισης

δεύτερης τάξης ............................................................................. 152

Τρίτη Ενότητα .............................................................................................................. 155


Αναλογικοί Ελεγκτές .............................................................................................. 156

6.1 ∆ιαιρέτης τάσης - στοιχείο Ρ ............................................... 158

6.2 Στοιχείο Lead - Στοιχείο PD ................................................. 160

6.3 Στοιχείο Lag - Στοιχείο PI....................................................... 162

6.4 Στοιχείο Lead Lag - Στοιχείο PID .......................................164

6.5 Αναλογικό διάγραµµα PD .........................................................166


Έλεγχος Αναλογίας Ρ .............................................................................................168

7.1 Έλεγχος αναλογίας συστήµατος πρώτης τάξης ........170

7.2 Έλεγχος αναλογίας συστήµατος δεύτερης τάξης..... 172


Έλεγχος PID ................................................................................................................ 174

8.1 Έλεγχος PID συστήµατος πρώτης τάξης........................ 176

8.2 Έλεγχος PID συστήµατος δεύτερης τάξης .................... 178

Μέρος 3 Παράρτηµα ....................................................................................... 179

Αναλογική εξοµοίωση µε χρήση ψηφιακού υπολογιστή ............................ 180


Αναλογική Σχεδίαση Συστηµάτων • Σελίδα 8 Θεωρητικό Βοήθηµα • Σελίδα 9

Μέρος 1ο

Θεωρητικό Βοήθηµα


Εισαγωγή

Από την αρχαιότητα υπήρχε το τεχνολογικό όραµα να κατασκευά-

σει ο άνθρωπος µηχανισµούς όµοιους µε τα πραγµατικά, φυσικά συ-

στήµατα «καθ’ περ τς ληθείας» κατά τον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό.

Τέτοιοι µηχανισµοί, που λειτουργούσαν µε µηχανικό τρόπο και οι

κινήσεις τους αναπαριστούσαν την λειτουργία φυσικών συστηµά-

των, είχαν κατασκευαστεί από πολύ παλιά - ήταν π.χ. τα Αυτόµατα

του Ήρωνα, η µηχανή των Αντικυθήρων, οι µηχανισµοί του Λεονάρ-

ντο στην Αναγέννηση. Αυτούς τους µηχανισµούς θα τους ονοµάζαµε

σήµερα µηχανικούς αναλογικούς υπολογιστές.

Το βασικό πρόβληµα που έχει να λύσει ένας αναλογικός υπολο-

γιστής, είναι λοιπόν η κατασκευή ενός προτύπου, ενός οµοιώµατος,

ενός ανάλογου συστήµατος, που να έχει την ίδια συµπεριφορά µε

το πραγµατικό φυσικό σύστηµα που εξετάζουµε. Το πρόβληµα αυτό

το ονοµάζουµε εξοµοίωση (simulation).

Σχήµα 1: Το πρόβληµα της εξοµοίωσης

Η εξοµοίωση ενός συστήµατος δεν είναι µονοσήµαντη. Υπάρχουν

πολλά οµοιώµατα που µε τον ένα ή τον άλλο τρόπο αναπαριστούν

την λειτουργία του φυσικού συστήµατος. Μία πρώτη παραστατική

περιγραφή ενός φυσικού συστήµατος είναι ένα γραφικό οµοίωµα,

π.χ. ένα διάγραµµα βαθµίδων ή ένα διάγραµµα ροής.


Μελετώντας τους νόµους του φαινοµένου που εξετάζουµε, είναι

δυνατόν να διατυπώσουµε τις σχέσεις που το χαρακτηρίζουν, να

βρούµε δηλαδή ένα µαθηµατικό οµοίωµα του φυσικού συστήµατος,

π.χ. µία διαφορική εξίσωση ή µία συνάρτηση µεταφοράς στο επίπε-

δο της µιγαδικής µεταβλητής s.

Φυσικό σύστηµα:

Μαθηµατικό οµοίωµα:

ty

ty

... a ty

a y(t) b u(t) ... b tu

G(s)s a s ... a s a

b s ... bU(s)Y(s)ή

f: n

n

n 1

n 1

1 0 0 m m

m

nn 1

n 11 0

mm

0

22

22

22

22

+ + + + = + +

=+ + + +

+ +=

-

-

--

Σχήµα 2: Μαθηµατική εξοµοίωση

Τα φυσικά συστήµατα είναι συνήθως αναλογικά συστήµατα. Τα

µεγέθη τους δηλαδή είναι συνεχή φυσικά µεγέθη, που περιγράφο-

νται µε συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου t και οι σχέσεις που τα

συνδέουν περιγράφονται µε διαφορικές εξισώσεις στο επίπεδο του

χρόνου. Ένα τέτοιο µαθηµατικό πρότυπο ονοµάζεται αναλογικό µα-

θηµατικό οµοίωµα.

Εάν όµως θεωρήσουµε ότι ο χρόνος t µπορεί να πάρει µόνο δι-

ακεκριµένες τιµές: tk ! (t0, t1, t2, ... tk, ...) και µετατρέψουµε όλα τα

συνεχή φυσικά µεγέθη u(t), y(t) σε διακεκριµένες συναρτήσεις uk,

yk, τότε το µαθηµατικό πρότυπο του συστήµατος στο επίπεδο του

διακεκριµένου χρόνου θα είναι µία εξίσωση διαφορών:


fk: yk+n+an-1yk+n-1+...+a’1y1+a’0y0=b’0u0+...+b’muk+m

Ένα τέτοιο µαθηµατικό πρότυπο ονοµάζεται διακεκριµένο ή ψηφι-

ακό µαθηµατικό οµοίωµα.

Σχήµα 3: Ψηφιακή εξοµοίωση

Τα µαθηµατικά πρότυπα, αναλογικά είτε ψηφιακά, είναι ιδεατά οµοι-

ώµατα του φυσικού συστήµατος που περιγράφουν. Ο στόχος είναι να

κατασκευαστούν πραγµατικά οµοιώµατα των φυσικών συστηµάτων και

ειδικότερα ηλεκτρονικά ανάλογα των φυσικών συστηµάτων.

Ένα τέτοιο ηλεκτρονικό οµοίωµα θα λέµε ότι θα είναι ανάλογο

του φυσικού συστήµατος, όταν περιγράφεται από την ίδια µαθηµα-

τική παράσταση, από την ίδια διαφορική εξίσωση. Η µαθηµατική πε-

ριγραφή λοιπόν γίνεται το µέσο για την σύγκριση των συστηµάτων

ανάµεσά τους. Το µαθηµατικό πρότυπο γίνεται το µέτρο της συµπε-


ριφοράς ενός φυσικού συστήµατος και του αναλόγου του.

Ο αναλογικός υπολογιστής επιτρέπει λοιπόν την σύνθεση ενός

τέτοιου αναλογικού ηλεκτρονικού οµοιώµατος, ανάλογου ενός φυσι-

κού συστήµατος µε δεδοµένο µαθηµατικό πρότυπο. Ενώ αντίστοιχα

ο ψηφιακός υπολογιστής επιτρέπει την σύνθεση ψηφιακών ηλεκτρο-

νικών οµοιωµάτων.

Και καθώς το µαθηµατικό πρότυπο αναλύεται σε ορισµένες βα-

σικές, θεµελιακές πράξεις, όπως ο πολλαπλασιασµός επί έναν

συντελεστή, η πρόσθεση, η αλλαγή προσήµου, η διαφόριση ή η

ολοκλήρωση, έτσι και το αναλογικό ηλεκτρονικό οµοίωµα µπορεί

να αναλυθεί και σε ορισµένες βασικές, θεµελιακές βαθµίδες, που

αποτελούν οµοιώµατα των θεµελιακών πράξεων που προαναφέραµε.

Αυτές τις θεµελιακές βαθµίδες θα εξετάσουµε στην συνέχεια.

Η αντιστοιχία ανάµεσα στο φυσικό σύστηµα, το µαθηµατικό πρότυπο

και το ηλεκτρονικό αναλογικό οµοίωµα, προϋποθέτει την αντιστοιχία

ανάµεσα στα φυσικά, τα µαθηµατικά και τα αναλογικά µεγέθη.

Σχήµα 4: Αναλογική εξοµοίωση


Κεφάλαιο 1

Κατασκευή Θεµελιακών Αναλογικών Βαθµίδων

Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε το κατασκευαστικό µέρος

αναλογικών ηλεκτρονικών βαθµίδων. Θα µελετήσουµε δηλαδή την

κατασκευή αναλογικών ηλεκτρονικών κυκλωµάτων µε συµπεριφορά

ανάλογη των θεµελιακών µαθηµατικών πράξεων, που συνθέτουν µια

διαφορική εξίσωση. Θα επιδιώξουµε την κατασκευή αναλογικών η-

λεκτρονικών βαθµίδων, που θα κάνουν πολλαπλασιασµό επί έναν

συντελεστή, αλλαγή προσήµου, πρόσθεση, ολοκλήρωση, έτσι ώστε

να είµαστε σε θέση να συνθέσουµε το αναλογικό οµοίωµα ενός συ-

στήµατος συνδέοντας τέτοιες επί µέρους αναλογικές βαθµίδες.


1.1 H αδυναµία των ηλεκτρικών ανάλογων

Μελετώντας τα ηλεκτρικά ανάλογα συστηµάτων, µπορούµε εύκο-

λα να βρούµε για κάθε σύστηµα ένα ηλεκτρικό κύκλωµα, αποτελού-

µενο από παθητικά στοιχεία R, L, C, που να έχει σαν µαθηµατικό ο-

µοίωµα µια ανάλογη γραµµική διαφορική εξίσωση. Τέτοια ηλεκτρικά

κυκλώµατα είναι οι αναλογικές βαθµίδες, οι βαθµίδες ολοκλήρωσης,

οι βαθµίδες διαφόρισης.

Σχήµα 5: Ηλεκτρικές Βαθµίδες

Αναρωτιώµαστε: Ένας συνδυασµός τέτοιων ηλεκτρικών βαθµίδων

δεν θα µπορούσε να αποτελέσει τη λύση για την σύνθεση του ηλε-

κτρικού ανάλογου ενός οποιουδήποτε γραµµικού συστήµατος;

Και όµως αυτό δεν γίνεται. Γιατί το πρόβληµα δεν είναι µόνον η

κατασκευή ηλεκτρικών βαθµίδων µε µια δεδοµένη σχέση, αλλά και η

διασφάλιση ότι οι βαθµίδες αυτές θα διατηρήσουν την αρχική τους

σχέση και όταν ακόµα συνδεθούν µε άλλες βαθµίδες, σε ένα ευρύ-

τερο ηλεκτρικό κύκλωµα.

Ας πάρουµε σαν παράδειγµα µιαν αναλογική βαθµίδα.

Οι σχέσεις που την χαρακτηρίζουν, όταν η βαθµίδα αυτή λειτουρ-

γεί εν κενώ, είναι:


Σχήµα 6: Αναλογική Βαθµίδα εν κενώ

Αν όµως συνδέσουµε την αναλογική βαθµίδα µε µίαν άλλη βαθµί-

δα, π.χ. µε ένα φορτίο, µε µίαν αντίσταση r, τότε η σχέση µεταφο-

ράς της θα αλλάξει.

Σχήµα 7: Αναλογική Βαθµίδα µε Φορτίο


Οπότε η σχέση εισόδου - εξόδου,

που την ονοµάζουµε και σχέση µε-

ταφοράς, είναι:

Oι σχέσεις τώρα είναι:

Και η σχέση µεταφοράς γίνεται:


Με την σύνδεση λοιπόν ενός φορτίου µετά από µιαν αναλογική

βαθµίδα, η συνάρτηση µεταφοράς της βαθµίδας αυτής αλλάζει.

Αλλάζει το ίδιο το µαθηµατικό πρότυπο που την χαρακτηρίζει. Και

αυτό συµβαίνει γιατί η βαθµίδα επηρεάζεται από το φορτίο, µε το

οποίο είναι συνδεδεµένη, γιατί το φορτίο επιδρά πάνω στην ανα-

λογική βαθµίδα µε τη σειρά του, µέσω της έντασης i, γιατί οι δύο

βαθµίδες συνδέονται ανάµεσά τους και µε ανάδραση. Αυτό φαίνεται

καθαρά στο παρακάτω διάγραµµα βαθµίδων:

Σχήµα 8: ∆ιάγραµµα βαθµίδων Αναλογικής Βαθµίδας µε Φορτίο

Ας έχουµε λοιπόν υπόψη µας αυτή την στοιχειώδη αναλογική βαθ-

µίδα, που επιτρέπει τον πολλαπλασιασµό ενός µεγέθους επί έναν

σταθερό συντελεστή, και που µπορεί να κατασκευαστεί µε έναν

απλό διαιρέτη τάσης ή ένα ποτενσιόµετρο.

Σχήµα 9: ∆ιαιρέτης τάσης Ποτενσιόµετρο (Voltage Divider) (Potensiometer)

H σχέση του ποτενσιοµέτρου είναι:

Η σχέση αυτή του ποτενσιοµέτρου παραµένει αναλοίωτη, µόνον

όταν το ποτενσιόµετρο συνδεθεί µε βαθµίδα που εµποδίζει τη διέ-

λευση ρεύµατος.

u2 = αu

1 , 0 ≤ α ≤ 1


1.2 O Tελεστικός Ενισχυτής

Για να φτιάξουµε µιαν ηλεκτρική βαθµίδα, που η συνάρτηση µε-

ταφοράς της να µην επηρεάζεται από το φορτίο είτε από άλλες

βαθµίδες µε τις οποίες συνδέεται, για να εµποδίσουµε δηλαδή την

ανάδραση του φορτίου, χρειαζόµαστε ένα νέο στοιχείο. Ένα στοι-

χείο, που να κάνει την ανάδραση i σχεδόν µηδενική και να αποσυν-

δέει την µια βαθµίδα από την επανεπίδραση της άλλης.

Τέτοιο στοιχείο είναι ο τελεστικός ενισχυτής (operational

amplifier), που η εφεύρεσή του άνοιξε τον δρόµο για την κατασκευή

των ηλεκτρονικών αναλογικών υπολογιστών.

Ο τελεστικός ενισχυτής σαν αυτόνοµη ηλεκτρονική βαθµίδα πρέ-

πει να εµποδίζει την διέλευση ρεύµατος, περιορίζοντας έτσι στο ε-

λάχιστο την αλληλεπίδραση των βαθµίδων ανάµεσά τους, και πρέπει

ταυτόχρονα να ενισχύει σηµαντικά την τάση εισόδου.

Ειδικότερα οι απαιτήσεις που θέτουµε για έναν ιδανικό τελεστικό

ενισχυτή είναι οι εξής:

• Πρώτον, πρέπει να έχει σχεδόν άπειρη αντίσταση εισόδου R0,

έτσι ώστε η ένταση εισόδου του να είναι πρακτικά µηδέν:

R0 " 3 άρα i0 b 0

• ∆εύτερον, πρέπει να έχει πολύ µεγάλη ενίσχυση Α, έτσι ώστε η

τάση εισόδου u0 να είναι πρακτικά αµελητέα σε σχέση µε την

τάση εξόδου u:

A " 3 άρα u0 b 0

• Τρίτον, σαν συνέπεια της δεύτερης ιδιότητας, απαιτείται η τάση

εξόδου u να υπόκειται σε έναν περιορισµό, η απόλυτη τιµή της

δηλαδή να µην ξεπερνά ένα ανώτατο όριο Ε0, που ονοµάζουµε

τάση κόρου:

;u; ≤ Ε0



Σχήµα 10: Ιδανικός Τελεστικός Ενισχυτής

Ένας τέτοιος ιδανικός τελεστικός ενισχυτής συµβολίζεται µε ένα

δίπολο, όπως στο σχήµα. Οι τάσεις εισόδου - εξόδου θεωρούνται ως

προς την γη. Η είσοδος του ενισχυτή, µε δυναµικό περίπου ίσο µε το

µηδέν, θεωρείται κατά προσέγγιση σαν υποθετική γη (virtual earth).

Ο τελεστικός αυτός ενισχυτής, σε διάκριση µε τα κλειστά κυκλώ-

µατα τελεστικών ενισχυτών, που θα εξετάσουµε στη συνέχεια, ονο-

µάζεται ανοιχτός τελεστικός ενισχυτής (open loop op-amp).

Ο ανοιχτός αυτός τελεστικός ενισχυτής από µόνος του δεν απο-

τελεί µιαν αυτόνοµη αναλογική βαθµίδα του αναλογικού υπολογιστή.

Αποτελεί όµως την βάση για την κατασκευή των βασικών αναλογι-

κών βαθµίδων, που συγκροτούνται αποκλειστικά από τελεστικούς

ενισχυτές και παθητικά στοιχεία.

≅

→∞

→∞

≅

σχέσεις:

i0 ≅ 0

u0 ≅ 0

u ≤ Ε0


1.3 O πραγµατικός Tελεστικός Ενισχυτής

Πριν προχωρήσουµε στην σύνθεση των αναλογικών βαθµίδων, θα

εξετάσουµε εδώ τα χαρακτηριστικά ενός πραγµατικού τελεστικού

ενισχυτή.

Ένας πραγµατικός ενισχυτής έχει πεπερασµένη και όχι άπειρη

αντίσταση εισόδου R0 και ανίσχυση Α. ∆εν είναι όµως µόνο αυτό.

Το πραγµατικό κύκλωµα ενός τελεστικού ενισχυτή είναι ένα τετρά-

πολο (ή ορθότερα ένα πεντάπολο µε τρεις πόλους εισόδου και δύο

πόλους εξόδου).

Σχήµα 11: Πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής

Οι συµβολισµοί είναι οι εξής:

u+ : θετική ή µη αναστρέφουσα τάση εισόδου (non inverting input).

u- : αρνητική ή αναστρέφουσα τάση εισόδου (inverting input).

u0 = u+ - u- : διαφορική τάση εισόδου (differential input).

u : τάση εξόδου (output).

Με 0 συµβολίζουµε την ουδέτερη τάση ή την γείωση (neutral).

Με Ε0 συµβολίζουµε την τάση τροφοδότησης (power-supply), µε

την οποία τροφοδοτούµε συµµετρικά τον τελεστικό ενισχυτή.

Η τάση τροφοδότησης Ε0 καθορίζει κατά προσέγγιση και την τά-

ση κόρου του ενισχυτή, το ανώτατο όριο της εξόδου u. (Στην πραγ-

µατικότητα η τάση κόρου είναι κατά τι µικρότερη της τάσης µε την

οποία τροφοδοτούµε τον τελεστικό ενισχυτή).



Ας εξετάσουµε τώρα τις σχέσεις, που χαρακτηρίζουν έναν πραγ-

µατικό ενισχυτή. Και πρώτα απ’ όλα την σχέση ενίσχυσης:

Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής ενισχύει µε µια πεπερασµέ-

νη και όχι άπειρη ενίσχυση Α την διαφορική τάση εισόδου u0, δη-

λαδή την διαφορά της µη αναστρέφουσας και της αναστρέφουσας

τάσεως εισόδου u+ και u-.

Η ενίσχυση αυτή είναι συνήθως της τάξης Α = 106.

Μια τέτοια µεγάλη ενίσχυση µπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται

από ένα κλειστό σύστηµα ελέγχου µε θετική ανάδραση.

Σχήµα 12: Θετική ανάδραση

Τότε θα ισχύει: u a------- = A = --------- u0 1-ab

και το Α θα παίρνει τόσο πιο µεγάλες τιµές όσο το γινόµενο ab

πλησιάζει περισσότερο την µονάδα: ab , 1.

Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής διαθέτει λοιπόν µέσα στα

όρια του κόρου µία γραµµική σχέση: u = Au0

και έξω από τα όρια του κόρου υπόκειται στον περιορισµό:

;u; ≤ Ε0.

u = Au0 = A (u+ - u-)


Η γραφική παράσταση της σχέσης ενίσχυσης ενός πραγµατικού

τελεστικού ενισχυτή είναι:

Σχήµα 13: Όρια λειτουργίας τελεστικού ενισχυτή

Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής µπορεί να θεωρηθεί ως τε-

τράπολο στις εξής τρεις περιπτώσεις:

α) Εάν γειωθεί η αρνητική

είσοδος, τότε ο ενισχυτής

λέγεται µη αναστρέφων

(non inverting op-amp) και

έχει σχέση:

u = Au0

Σχήµα 14: Μη αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής

β) Εάν γειωθεί η θετική

είσοδος, τότε ο ενισχυ-

τής λέγεται αναστρέφων

(inver-ting op-amp) και έχει

σχέση:

u = -Au0

Σχήµα 15: Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής



γ) Εάν χρησιµοποιηθούν

ανεξάρτητα οι δύο είσοδοι

u+ και u- τότε ο ενισχυτής ο-

νοµάζεται διαφορικός (differe-

ntial op-amp) και έχει σχέση:

u = A(u+ - u-)

Για A " 3 θα έχουµε

u+ , u- ,

θα υπάρχει δηλαδή υποθετική σύνδεση (virtual connection) µεταξύ των δύο

εισόδων u+ και u- .

Ας µελετήσουµε τώρα τις εσωτερικές σχέσεις ενός πραγµατικού

τελεστικού ενισχυτή. Θεωρώντας τον τελεστικό ενισχυτή σε µια α-

πο τις τρείς παραπάνω λειτουργίες του ώς τετράπολο. Μπορούµε

να µετρήσουµε ή να υπολογίσουµε κατά Thevenin τις ισοδύναµες

αντιστάσεις εισόδου και εξόδου του κυκλώµατός του.

Ετσι το ισοδύναµο κύκλωµα ενός πραγµατικού τελεστικού ενισχυ-

τή θα είναι της µορφής:

Σχήµα 17: Ισοδύναµο κύκλωµα ενός πραγµατικού τελεστικού ενισχυτή

Το ισοδύναµο αυτό κύκλωµα αποτελείται από έναν βρόχο εισόδου

που περιλαµβάνει µία αντίσταση εισόδου της τάξης:

Rεισ. = 108 Ω

και από έναν βρόχο εξόδου, που περιλαµβάνει µία ισοδύναµη α-

ντίσταση εξόδου της τάξης:

Rεξ. = 100 Ω

Σχήµα 16: ∆ιαφορικός τελεστικός ενισχυτής


και µία ισοδύναµη πηγή τάσης Au0, η οποία ονοµάζεται εξαρτηµένη

πηγή τάσης, γιατί η τιµή της εξαρτάται από την τάση εισόδου u0 .

Συνήθως η αντίσταση εξόδου παραλείπεται: Rεξ. , 0, η δε αντί-

σταση εισόδου ονοµάζεται και εσωτερική αντίσταση του τελεστικού

ενισχυτή: Rεισ. = R0.

Έτσι η σχεση εισόδου του τελεστικού ενισχυτή είναι:

u0 = R0i0

Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής αποτελεί λοιπόν σηµαντική

προσέγγιση του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή, που εξετάσαµε στο

προηγούµενο εδάφιο. Με δεδοµένα τα χαρακτηριστικά του µεγέθη,

την συνδεσµολογία του και τις σχέσεις που χαρακτηρίζουν έναν

τελεστικό ενισχυτή, είναι τώρα δυνατή η επίλυση ηλεκτρονικών κυ-

κλωµάτων, που τον περιλαµβάνουν.

Ένας αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής π.χ. µε γειωµένη την θε-

τική είσοδο, έχει δεδοµένο ισοδύναµο κύκλωµα και χαρακτηρίζεται

απο τις σχέσεις:

Αναστρέφων τελεστικός ενισχυτής.

Σχήµα 18: Ισοδύναµο κύκλωµα αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή.


u0 = R0

i0

u = -Au0

;u; ≤ Ε0


Με δεδοµένα τα χαρακτηριστικά µεγέθη:

Α = 106, R0 = 108 Ω, Ε = 10 V

θα έχουµε τάση εισόδου της τάξης:

u0 = 10 $ 10-6 V = 10 µV

και ένταση εισόδου της τάξης:

i0 = 10 $ 10-6 $ 10-8 A = 0.1 pA

Με βάση τον τελεστικό ενισχυτή µπορούµε τώρα να προχωρήσου-

µε στην κατασκευή των βασικών αναλογικών βαθµίδων.


1.4 O αναστροφέας

Πρώτη από αυτές τις βασικές αναλογικές βαθµίδες είναι το κύκλω-

µα ενός τελεστικού ενισχυτή αναστροφής ή αναστροφέας (inverter).

Θα εξετάσουµε συγκριτικά τρεις διαφορετικές περιπτώσεις του

κυκλώµατος αναστροφής: πρώτον, µε έναν ιδανικό τελεστικό ενι-

σχυτή, δεύτερον, µε έναν πραγµατικό τελεστικό ενισχυτή πεπερα-

σµένης εσωτερικής αντίστασης και ενίσχυσης και τρίτον, µε έναν

πραγµατικό τελεστικό ενισχυτή µε δεδοµένη επιπρόσθετα την αντί-

σταση εξόδου του.

1.4.1 Ιδανικός αναστροφέας

Σχήµα 19: Ιδανικός αναστροφέας

Το κύκλωµα του πραγµατικού αναστροφέα περιέχει έναν τελεστικό

ενισχυτή µε αντίσταση R1 στην είσοδο και αντίσταση R1 στην ανά-

δραση. Ο ιδανικός αναστροφέας περιέχει έναν ιδανικό ενισχυτή µε:

Α " 3, R0 " 3 οπότε u0 , 0 , i0 , 0

Έτσι οι σχέσεις του κυκλώµατος θα είναι:

u1 - u0 = R1i1 ή u1 , R1i1

u0 - u2 = R2i2 ή u2 , -R2i2

i1 = i0 + i2 ή i1 , i2



Άρα η σχέση µεταφοράς του ιδανικού αναστροφέα είναι:

Η σχέση αυτή είναι ανεξάρτητη από το φορτίο ή την βαθµίδα που

ακολουθεί τον αναστροφέα.

Όταν R1 = R2 τότε η βαθµίδα απλώς αλλάζει πρόσηµο:

Η χαρακτηριστική καµπύλη ενός αναστροφέα είναι ευθεία κλίσης:

Σχήµα 19α: Χαρακτηριστική καµπύλη αναστροφέα

Ένας τε-

τραγων ικός

παλµός στην

είσοδο ενός

αναστροφέα,

θα εµφανί-

ζεται στην

έξοδο αντε-

στραµένος.

Σχήµα 19β: Χρονική απόκριση ενός αναστροφέα

u2 R2------- = ---------u1 R1

u2 = -u1

R2-------- R1


1.4.2 Πραγµατικός αναστροφέας

Ας εξετάσουµε το κύκλωµα αναστροφής, µε έναν αναστρέφοντα

πραγµατικό τελεστικό ενισχυτή πεπερασµένης ενίσχυσης Α και α-

ντίστασης εισόδου R0.

Σχήµα 20: Πραγµατικός αναστροφέας

Οι σχέσεις του κυκλώµατος είναι:

u2 = -Au0 , ;u; ≤ Ε0

ή

οπότε: και επειδή

Έτσι η σχέση µεταφοράς του πραγµατικού αναστροφέα είναι:



και φυσικά για Α " 3, R0 " 3 έχουµε την σχέση του ιδανικού α-

ναστροφέα:

Το ισοδύναµο κύκλωµα του πραγµατικού αναστροφέα είναι:

Σχήµα 21: Ισοδύναµο κύκλωµα ενός πραγµατικού αναστροφέα

Και αυτό το πραγµατικό κύκλωµα αναστροφής έχει µια σχέση

εισόδου - εξόδου ανεξάρτητη από το πιθανό φορτίο r ή την οποια-

δήποτε βαθµίδα ακολουθεί τον τελεστικό ενισχυτή.

Για δεδοµένες τιµές: Α = 106, R0 = 108Ω, R1 = R2 = 106Ω

η σχέση του ιδανικού αναστροφέα είναι:

ενώ του πραγµατικού:

µια διαφορά δηλαδή της τάξης του 2.01$10-6.


1.4.3 Πραγµατικός αναστροφέας µε αντίσταση εξόδου

Εάν θέλουµε να µελετήσουµε την µικρή έστω επίδραση ενός ε-

ξωτερικού φορτίου r πάνω σε ένα πραγµατικό κύκλωµα τελεστικού

ενισχυτή και ειδικότερα σε ένα πραγµατικό κύκλωµα αναστροφής,

τότε θα πρέπει να συνυπολογίσουµε όχι µόνο την αντίσταση εισό-

δου αλλά και την αντίσταση εξόδου του τελεστικού ενισχυτή.

Έστω λοιπόν, ένας τελεστικός ενισχυτής µε αντίσταση εξόδου

Rεξ. = r0 , αντίσταση εισόδου R0 και ενίσχυση Α, συνδεδεµένος στο

κύκλωµα ενός πραγµατικού αναστροφέα.

Το ισοδύναµο κύκλωµα στην περίπτωση αυτή θα είναι:

Σχήµα 22: Ισοδύναµο κύκλωµα πραγµατικού αναστροφέα µε αντίσταση εξόδου r0

Επιλύοντας το κύκλωµα αυτό µε την µέθοδο τάσεων κόµβων, θα

έχουµε τις σχέσεις:

ή



οπότε:

ή

και:

Έτσι η σχέση µεταφοράς ενός πραγµατικού αναστροφέα µε αντί-

σταση εξόδου r0 είναι:

Για r0 " 0, η σχέση αυτή µετασχηµατίζεται στην προηγούµενη σχέση µεταφοράς του πραγµατικού αναστροφέα χωρίς αντίσταση εξόδου. Όπως βλέπουµε, η σχέση αυτή περιέχει την επίδραση του φορτίου r. Η επίδραση αυτή µηδενίζεται όταν είναι αµελητέα η α-ντίσταση εξόδου, όταν δηλαδή r0 " 0.

Τώρα για δεδοµένες τιµές:Α = 106, R0 = 108Ω, R1 = R2 = 106Ω, r0 = 100Ωκαι r = 1kΩ η σχέση γίνεται:

µια διαφορά δηλαδή της τάξης του 2,2 $ 10-6.Συγκριτικά µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ένα φορτίο r = 1Ω θα

έδινε την σχέση:

µια διαφορά δηλαδή της τάξης του 2.03 $ 10-4.


1.5 Κυκλώµατα διαφορικού ενισχυτή

Θα εξετάσουµε τώρα ορισµένα κυκλώµατα του πραγµατικού τελε-

στικού ενισχυτή µε αντιστάσεις, χρησιµοποιώντας και τις δύο εισό-

δους του τελεστικού ενισχυτή, κυκλώµατα δηλαδή διαφορικού ενι-

σχυτή. Θεωρούµε άπειρη αντίσταση εισόδου και άπειρη ενίσχυση.

Ας σηµειώσουµε αρχικά ότι το κύκλωµα του αναστροφέα µπορεί

να γίνει είτε µε αναστρέφοντα είτε µε µη αναστρέφοντα τελεστικό

ενισχυτή.

Σχήµα 23: α) β)

Και στις δύο περιπτώσεις η σχέση µεταφοράς είναι:

Αυτό που αλλάζει είναι το πρόσηµο της ενίσχυσης του ανοιχτού

τελεστικού ενισχυτή, όχι όµως το πρόσηµο της σχέσης εισόδου -

εξόδου του αναστροφέα.

Στην πράξη χρησιµοποιούµε συνήθως κύκλωµα αναστροφής µε

αναστρέφοντα τελεστικό ενισχυτή (γειώνουµε δηλαδή την θετική

είσοδο u+).

Εάν θέλουµε να µην έχουµε αναστροφή του προσήµου, τότε πρέπει

να χρησιµοποιήσουµε άλλο κύκλωµα, το κύκλωµα µη αναστροφής.



1.5.1 Κύκλωµα µη αναστροφής

Ισχύει: u- - u+ = i0R0

Εφόσον R0 " 3 θα είναι i0 , 0

, i1 , i2 .

Ισχύει ακόµα: u2 = A(u+ - u-) .

Εφόσον Α " 3 θα είναι:

u+ - u- , 0

άρα u1 = u+ , u-Σχήµα 24: Κύκλωµα µη αναστροφής

Έτσι οι σχέσεις θα είναι:

0 - u1 = i1R1

u1 - u2 = i2R2

οπότε:

και η σχέση µεταφοράς θα είναι:

1.5.2 Ακολουθητής τάσης

Από τη σχέση: u2 = Α(u+ - u-)

για Α " 3 προκύπτει:

u+ , u- .

Αλλά: u1 = u+ , u2 = u-

άρα η σχέση µεταφοράς είναι:

Σχήµα 25: Ακολουθητής τάσης


1.5.3 Κύκλωµα διαφοράς

Από την σχέση:

u+ - u- = i0R0

για R0 " 3 προκύπτει

i0 , 0

Και από την σχέση:

u = A(u+ - u-)

για A " 3 προκύπτει

u+ , u-

Οι σχέσεις είναι:

u1-u- = R1i1 , u--u = R2i1

u2-u+ = R3i2 , u+-0 = R4i2

οπότε: ή και

ή και

άρα:

και η σχέση µεταφοράς γίνεται:

Για :

και ακόµα για R1 = R2 έχουµε:


≅

≅

Σχήµα 26: Κύκλωµα διαφοράς


1.6 Ο Αθροιστής

Ένα κύκλωµα αναστροφέα µε περισσότερες από µία εισόδους γί-

νεται κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή άθροισης ή αθροιστής (summer).

Σχήµα 27: Κύκλωµα άθροισης

άρα:

Εάν R = R1 = R2 = ... = Rn τότε u = - (u1 + u2 + ... + un)

Το κύκλωµα αυτό πραγµατοποιεί δηλαδή την µαθηµατική πράξη

της άθροισης.

≅

Εφόσον R0 " 3 , i0 , 0

και εφόσον Α " 3 , u0 , 0

Οι σχέσεις: u1u1 - 0 = i1R1 ή i1 = R1

u2u2 - 0 = i2R2 ή i2 = R2

unun - 0 = inRn ή in = Rn

u0 - u = iR ή i =- R

και i1 + i2 + ... + in = i


1.6.1 Αθροιστής µε πεπερασµένη ενίσχυση

Εάν θεωρήσουµε πεπερασµένη την ενίσχυση Α τότε οι σχέσεις

του αθροιστή γίνονται: u u = - Au0 ή u0 =- A

u1-u0u1 - u0 = i1R1 ή i1 = R1 u2-u0u2 - u0 = i2R2 ή i2 = R2 un-u0un - u0 = inRn ή in = Rn u0-uu0 - u = iR ή i = R

i1 + i2 + ... + in = i

άρα η σχέση µεταφοράς γίνεται:

Για Α " 3 οδηγούµαστε στην προηγούµενη σχέση του ιδανικού

αθροιστή.


1.7 Ο Ολοκληρωτής

Ένας τελεστικός ενισχυτής συνδεδεµένος στην είσοδο µε αντί-

σταση και στην ανάδραση µε ένα πυκνωτή είναι ένα κύκλωµα ολο-

κλήρωσης ή ένας ολοκληρωτής (integrator).

Στην περίπτωση του ιδα-

νικού τελεστικού ενισχυτή,

θα έχουµε:

R0 " 3 οπότε i0 , 0, i1 , i2

και Α " 3 οπότε u0 , 0

Άρα οι σχέσεις θα είναι:

u1 - 0 = i1 R

Και η σχέση µεταφοράς του ολοκληρωτή γίνεται:

Ή αλλιώς µε τη µορφή διαφορικής εξίσωσης:

Και σαν συνάρτηση µεταφοράς στο επίπεδο s:

Σχήµα 28: Κύκλωµα ολοκλήρωσης


Η σταθερά Τ=RC ονοµάζεται σταθερά χρόνου (time constant) και

χαρακτηρίζει την ταχύτητα ολοκλήρωσης.

Για σταθερή είσοδο u1=E, η σταθερά χρόνου Τ εκφράζει τον χρόνο

που χρειάζεται η έξοδος του ολοκληρωτή για να φτάσει κατ’ από-

λυτη τιµή την τιµή της εισόδου Ε.

Σχήµα 29: Σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης

Τετραγωνικός παλµός στην είσοδο του ολοκληρωτή παράγει τρι-

γωνικό παλµό στην έξοδο.

Σχήµα 30: Χρονική απόκριση ολοκληρωτή


1.7.1 Ολοκληρωτής µε πεπερασµένη ενίσχυση

Στην περίπτωση πεπερασµένης ενίσχυσης Α, οι σχέσεις του ολο-

κληρωτή θα γίνουν:

και


Η κλίση στο ση-

µείο t=0 είναι:

Έτσι µέσα στα

όρια του κόρου

±Ε0, η χρονική α-

πόκριση προσεγ-

γίζει σηµαντικά

την ευθεία ενός

ολοκληρωτή µε

σταθερά χρόνου

Τ=RC.

1.7.2 Οι καταστάσεις λειτουργίας ενός ολοκληρωτή

Ο ολοκληρωτής είναι το πρώτο αναλογικό στοιχείο από αυτά

που εξετάσαµε, που εξοµοιώνει όχι ανεξάρτητες από το χρόνο αλ-

γεβρικές σχέσεις, όπως κάναµε µέχρι τώρα, αλλά την σχέση της

ολοκλήρωσης ως προς το χρόνο t, µια σχέση που εξαρτάται από τη

χρονική στιγµή που αρχίζει η ολοκλήρωση, από την αρχική συνθήκη,

από τη διάρκεια της ολοκλήρωσης. Η εξοµοίωση λοιπόν της σχέσης

της ολοκλήρωσης απαιτεί την µελέτη των διαφορετικών καταστά-

σεων λειτουργίας (modes) ενός ολοκληρωτή. Αυτές οι καταστάσεις

λειτουργίας είναι:

• Λειτουργία (Operate-OP)

• Τοποθέτηση αρχικών συνθηκών (Initial Conditions-IC)

• Πάγωµα της εξόδου (Hold-H).

Σχήµα 31: Καµπύλη πραγµατικής ολοκλήρωσης


Κάθε µία από αυτές τις καταστάσεις λειτουργίας απαιτεί και από

ένα διαφορετικό κύκλωµα του ολοκληρωτή.

α) Λειτουργία -ΟΡ

Ο ολοκληρωτής ολο-

κληρώνει. Η έξοδος y(t)

µεταβάλλεται χρονικά και

σύµφωνα µε τη σχέση:

β) Τοποθέτηση αρχικών

συνθηκών -ΙC

Με το κύκλωµα του

σχήµατος ο πυκνωτής

φορτίζεται µε τάση y0, τι-

µή την οποία διατηρεί και

η έξοδος του ενισχυτή:

y(t) = y0

γ) Πάγωµα της εξόδου -Η

Με το κύκλωµα του

σχήµατος ο πυκνωτής

παραµένει φορτισµένος

στην τάση y(t0), που είχε

τη χρονική στιγµή t = t0

όπου άνοιξε ο διακόπτης.

Άρα και η έξοδος διατη-

ρεί την τιµή αυτή:

y(t) = y(t0).

Σχήµα 32: Καταστάσεις λειτουργίας ενός

ολοκληρωτή


Οι τρεις αυτές καταστάσεις λειτουργίας ενός ολοκληρωτή είναι

δυνατόν να συντεθούν σε ένα κύκλωµα µε δύο εναλλακτικούς δια-

κόπτες, δ1 και δ2.

Οι διακόπτες αυτοί µπορεί να είναι ηλεκτρονικοί, και να ρυθµίζο-

νται από ένα προηγούµενο λογικό κύκλωµα.

Οι θέσεις των διακοπτών καθορίζουν και τις καταστάσεις λει-

τουργίας του ολοκληρωτή, όπως φαίνεται στον σχετικό πίνακα.

Σχήµα 33: Κύκλωµα ολοκλήρωσης µε τις καταστάσεις λειτουργίας του

Η γενική σχέση µεταφοράς ενός ολοκληρωτή µε αρχική συνθήκη

είναι:


Η επαναληπτική λειτουργία (repetitive mode) του ολοκληρωτή, η

ρύθµιση δηλαδή της εναλλαγής των καταστάσεων λειτουργίας ΙC,

OP και Η σε ορισµένα χρονικά διαστήµατα ΤΙC, TOP και ΤΗ, µέσα από

ένα προηγούµενο λογικό κύκλωµα, θα προκαλέσει µια επαναλαµβα-

νόµενη αλληλουχία των καταστάσεων λειτουργίας στην έξοδο του

ολοκληρωτή.

Σχήµα 34: Επαναληπτική λειτουργία ενός ολοκληρωτή.


1.8 Ο ολοκληρωτής – αθροιστής

Ένα κύκλωµα ολοκληρωτή µε περισσότερους από δύο εισόδους

αντιστάσεων, ολοκληρώνει το άθροισµα των εισόδων του ή αλλιώς

προσθέτει τα ολοκληρώµατα των επιµέρους εισόδων του.

Θεωρώντας R0 " 3 και

Α"3 οι σχέσεις θα είναι:

Σχήµα 35: Ολοκληρωτής – αθροιστής

Οπότε προκύπτει η σχέση µεταφοράς:

Όταν: R1C=...=RnC=1


1.9 Ο διαφοριστής

Ένα κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή µε πυκνωτή στην είσοδο και α-

ντίσταση στην ανάδραση, είναι ένα κύκλωµα διαφόρισης ή ένας δια-

φοριστής (differentiator) και εξοµοιώνει την σχέση της παραγώγισης.

Για R0 " 3 και Α " 3

οι σχέσεις γίνονται:

Σχήµα 36: Κύκλωµα διαφόρισης

Οπότε η σχέση µεταφοράς του διαφοριστή είναι:

και η συνάρτηση µεταφοράς:

Και εδώ η σταθερά: T=RC ονοµάζεται σταθερά χρόνου διαφόρι-

σης.


Οι χρονικές αποκρίσεις ενός διαφοριστή για τετραγωνικό ή τρι-

γωνικό παλµό στην είσοδο, παρουσιάζονται στο σχήµα.

Σχήµα 37: Χρονικές αποκρίσεις ενός διαφοριστή

Για πεπερασµένο Α οι σχέσεις γίνονται:

και η συνάρτηση µεταφοράς:


1.10 Πραγµατικά κυκλώµατα ολοκλήρωσης – διαφόρισης

Θα αναφέρουµε στην συνέχεια ορισµένα πραγµατικά κυκλώµατα,

που προσεγγίζουν τις σχέσεις ολοκλήρωσης, διαφόρισης ή διαφό-

ρισης-ολοκλήρωσης.

(α) Κύκλωµα πραγµα-

τικής ολοκλήρωσης ή

κύκλωµα καθυστέρησης

φάσης, Lag circuit.

(β) Κύκλωµα πραγµατι-

κής διαφόρισης ή κύκλω-

µα προπορείας φάσης,

Lead circuit.

(γ) Κύκλωµα πραγµατι-

κής διαφόρισης-ολοκλή-

ρωσης ή κύκλωµα προ-

πορείας-καθυστέρησης

φάσης, Lead-Lag circuit.

Σχήµα 38: Πραγµατικά κυκλώµατα ολοκλήρωσης, διαφόρισης


1.11 Γενικό κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή

Μετασχηµατίζοντας κατά Laplace τις σχέσεις που χαρακτηρίζουν

το κύκλωµα ενός τελεστικού ενισχυτή (ενός ιδανικού τελεστικού

ενισχυτή µε άπειρη αντίσταση εισόδου και άπειρη ενίσχυση), κατα-

λήγουµε σε ένα ισοδύναµο κύκλωµα που περιλαµβάνει ισοδύναµες

µιγαδικές αντιστάσεις.

Οι σχέσεις στο επίπεδο

της µιγαδικής µεταβλητής s

θα είναι:

U1 - 0 = Z1 I1

0 - U2 = Z2 I2Σχήµα 39: Γενικό Κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή

Άρα η συνάρτηση µεταφοράς του γενικού αυτού κυκλώµατος τε-

λεστικού ενισχυτή είναι:

Έτσι, επιλέγοντας τις σύνθετες αντιστάσεις Ζ1(s), Z2(s), µπορού-

µε, µε το γενικό αυτό κύκλωµα, να εξοµοιώσουµε ένα σύστηµα δε-

δοµένης συνάρτησης µεταφοράς G(s).

Σαν παράδειγµα µπορούµε να υπολογίσουµε τις συναρτήσεις µε-

ταφοράς των προηγούµενων πραγµατικών κυκλωµάτων ολοκλήρω-

σης- διαφόρισης.

≅

≅


α) Κύκλωµα πραγµατικής ολοκλήρωσης (Lag):

ενώ του απλού κυκλώµατος ολοκλήρωσης είναι:

β) Κύκλωµα πραγµατικής διαφόρισης (Lead):

ενώ του απλού κυκλώµατος διαφόρισης είναι: G(s) = - R2Cs

γ) Κύκλωµα πραγµατικής διαφόρισης- ολοκλήρωσης (Lead- Lag):

Σαν παράδειγµα ακόµα µπορούµε να θεωρήσουµε ένα κύκλωµα

τελεστικού ενισχυτή ανάλογο ενός συστήµατος δεύτερης τάξης,

δηλαδή µε συνάρτηση µεταφοράς της µορφής:


Οι σχέσεις

στο επίπεδο s

είναι:

Σχήµα 40: Εξοµοίωση συστήµατος δεύτερης τάξης.

Απαλείφοντας τα εσωτερικά µεγέθη προκύπτει:


Κεφάλαιο 2

H αναλογική εξοµοίωση συστηµάτων

Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε το πρόβληµα της εξοµοί-

ωσης από την κατασκευαστική του σκοπιά. Μελετήσαµε δηλαδή την

κατασκευή αναλογικών βαθµίδων µε συµπεριφορά ανάλογη των θε-

µελιακών µαθηµατικών σχέσεων που περιέχονται σε µια διαφορική

εξίσωση.

Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουµε δεδοµένες τις βασικές αυτές

αναλογικές µονάδες που συνθέτουν έναν αναλογικό υπολογιστή και

θα εξετάσουµε το πρόβληµα της εξοµοίωσης ενός φυσικού συστή-

µατος από τη σκοπιά του ίδιου του προβλήµατος.

Θα εξετάσουµε δηλαδή την εφαρµογή , την χρήση, την λειτουργία

ενός αναλογικού υπολογιστή, για την επίλυση προβληµάτων εξοµοί-

ωσης. Θα µελετήσουµε το αναλογικό οµοίωµα, το αναλογικό πρό-

γραµµα, το αναλογικό διάγραµµα που αντιστοιχεί σε ένα δεδοµένο

φυσικό σύστηµα ή σε µια δεδοµένη µαθηµατική σχέση και θα σχηµα-

τίσουµε τέτοια αναλογικά διαγράµµατα συνθέτοντας τα επιµέρους

αναλογικά στοιχεία.


2.1 Τα µη δυναµικά γραµµικά αναλογικά στοιχεία

Οι γραµµικές µαθηµατικές σχέσεις, όπως πολλαπλασιασµός ενός

µεγέθους επί έναν σταθερό αριθµό, αλλαγή πρόσηµου µεγεθών, ά-

θροιση µεγεθών, µπορούν να εξοµοιωθούν αντίστοιχα από τα βασι-

κά µη δυναµικά γραµµικά αναλογικά στοιχεία, που είναι:

• το ποτενσιόµετρο

• ο αναστροφέας

• ο αθροιστής.

2.1.1 Το ποτενσιόµετρο

Το ποτενσιόµετρο (potentiometer, POT) εξοµοιώνει την µαθηµα-

τική σχέση του πολλαπλασιασµού ενός µεγέθους x(t) µε έναν στα-

θερό συντελεστή α.

Ο συντελεστής αυτός είναι υποχρεωτικά θετικός και µικρότερος

της µονάδας.

Σχήµα 41: Το αναλογικό στοιχείο: ποτενσιόµετρο


Πρέπει να τονίσουµε, ότι το ποτενσιόµετρο διατηρεί σταθερό τον

συντελεστή α µόνο όταν δεν συνδέεται εν σειρά µε άλλο φορτίο,

όταν δηλαδή λειτουργεί εν κενώ ή όταν συνδέεται µε κύκλωµα τε-

λεστικού ενισχυτή, που έχει θεωρητικά άπειρη αντίσταση εισόδου.

Εάν δεν γειώσουµε το τρίτο άκρο του ποτενσιόµετρου, τότε θα

έχουµε την λειτουργία ενός διαιρέτη τάσης (voltage divider).

Οι σχέσεις είναι:

u1 - u2 = iR

y = iαR

άρα y = α (u1 - u2) .

Σχήµα 42: ∆ιαιρέτης τάσης

Ο διαιρέτης τάσης σχηµατίζει δηλαδή την διαφορά των δύο ει-

σόδων και είναι δυνατόν να λειτουργήσει ως συγκριτής.

Ας σηµειώσουµε εδώ, ότι την εξοµοίωση ενός σταθερού αριθµού

και ειδικότερα του σταθερού αριθµού 1, την πραγµατοποιούµε µε

την σταθερή τάση αναφοράς (reference voltage)

E = 10.00 V

την οποία ονοµάζουµε και αναλογική µονάδα (analog unit).


2.1.2 Ο αναστροφέας

Ο αναστροφέας (inverter, INV) εξοµοιώνει την µαθηµατική σχέση

της αλλαγής προσήµου ενός µεγέθους ή και του πολλαπλασιασµού

του επί έναν σταθερό συντελεστή 10.

Σχήµα 43: Το αναλογικό στοιχείο: αναστροφέας


2.1.3 Ο αθροιστής

Ο αθροιστής (summer ή adder, SUM) εξοµοιώνει την µαθηµατική

σχέση της άθροισης µεγεθών.

Σαν κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή όµως, υποχρεωτικά αλλάζει και

το πρόσηµο.

Σχήµα 44: Το αναλογικό στοιχείο: αθροιστής


2.1.4 Εξοµοίωση αλγεβρικών σχέσεων

Συνδέοντας τα µη δυναµικά αναλογικά στοιχεία ανάµεσά τους,

είναι δυνατό να εξοµοιώσουµε τώρα στον αναλογικό υπολογιστή

απλές αλγεβρικές µαθηµατικές σχέσεις.

1. Η σταθερά: y(t) = α

εξοµοιώνεται στον αναλογικό υπολογιστή µε τη σχέση

y(t) = αE ,

όπου Ε η τάση αναφοράς, που θεωρείται ως αναλογική µονάδα και

είναι συνήθως

+10V και –10V .

Έτσι όλα τα µεγέθη του αναλογικού διαγράµµατος µπορούν να

θεωρηθούν σαν αδιάστατα µεγέθη, µε σχετική τιµή:

Μπορούµε να θεωρήσουµε δηλαδή, ότι στα αναλογικά διαγράµ-

µατα έχουµε κλιµάκωση εύρους των µεγεθών, ως προς την τάση

αναφοράς Ε.

Σχήµα 45: Εξοµοίωση σταθεράς

2. Σταθερός συντελεστής α: y = αx

y(t) = αx(t)

Σχήµα 46: Εξοµοίωση σταθερού συντελεστή


3. Γραµµική σχέση: y = αx + b

Σχήµα 47: Εξοµοίωση γραµµικής

σχέσης

4. ∆ιαφορά: y = x1 - x2

y(t) = x1(t) - x2(t)

Σχήµα 48: Εξοµοίωση διαφοράς

5. Γραµµικό σύστηµα: α11x1+α12x2=b1

5. Γραµµικό σύστηµα: α21x1+α22x2=b2

Σχήµα 49: Εξοµοίωση γραµµικού συστήµατος


6. Ανάδραση

Σχήµα 50α Σχήµα 50β

Ας σηµειώσουµε εδώ τις εξής παρατηρήσεις:

• Όλα τα στοιχεία, που περιέχουν ενισχυτές και συµβολίζονται µε

τρίγωνο, κάνουν αναστροφή προσήµου και υπόκεινται στην ανισό-

τητα κόρου: ;y(t); ≤ Ε0.

• Τα ποτεντσιόµετρα πρέπει υποχρεωτικά να ακολουθούνται από

αναλογικό στοιχείο µε ενισχυτή. Η σύνδεση δύο ποτεντσιοµέτρων

εν σειρά δεν επιτρέπεται.

• Τα ποτεντσιόµετρα έχουν συντελεστή πάντα µικρότερο της µο-

νάδας. Έτσι πολλαπλασιασµός επί έναν συντελεστή µεγαλύτερο

της µονάδας προϋποθέτει υποχρεωτικά χρήση στοιχείου µε ενι-

σχυτή και είσοδο µε ενίσχυση 10.

• Αναλογικά διαγράµµατα για την εξοµοίωση γραµµικών συστηµά-

των ή γενικότερα διαγράµµατα που περιέχουν θετική ανάδραση

παρουσιάζουν προβλήµατα ευστάθειας.


2.2 Τα δυναµικά αναλογικά στοιχεία

Για την εξοµοίωση της δυναµικής συµπεριφοράς φυσικών συστη-

µάτων, της συµπεριφοράς δηλαδή εκείνης που εξαρτάται από τον

χρόνο και που εκφράζεται µαθηµατικά µε µια διαφορική εξίσωση,

χρησιµοποιούµε τα δυναµικά αναλογικά στοιχεία που είναι:

• Ο ολοκληρωτής και ο ολοκληρωτής – αθροιστής.

Στην ενότητα αυτή µπορούµε να εντάξουµε και τον διαφοριστή.

2.2.1 Ο ολοκληρωτής

Ο ολοκληρωτής (integrator, INT) εξοµοιώνει την µαθηµατική σχέση

της ολοκλήρωσης ενός µεγέθους ως προς τον χρόνο t.

Σταθερά χρόνου T=RC

(α) κύκλωµα (β) σύµβολο (γ) σχέση

Σχήµα 51: Ο Ολοκληρωτής

Ο ολοκληρωτής, σαν κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή, αλλάζει υπο-

χρεωτικά το πρόσηµο της εισόδου.

Η σταθερά χρόνου T=RC ενός ολοκληρωτή επιλέγεται µε διακόπτη

ή ρυθµίζεται από τον κεντρικό έλεγχο και χαρακτηρίζει την ταχύτητα

της ολοκλήρωσης. Έτσι το µέγεθος του χρόνου t που εµφανίζεται

στην σχέση της ολοκλήρωσης µπορεί να θεωρηθεί µε την σχετική

∫


του τιµή: t/T ως προς την σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης Τ :

Στον ολοκληρωτή έχουµε δηλαδή κλιµάκωση χρόνου ως προς την

σταθερά χρόνου Τ.

Η αρχική συνθήκη ολοκλήρωσης τοποθετείται στην σχετική είσο-

δο του ολοκληρωτή και µεταβάλλει την σχέση ολοκλήρωσης.

(α) κύκλωµα (β) σχέσεις

Σχήµα 52: Ολοκληρωτής µε αρχική συνθήκη

Ο ολοκληρωτής, σαν δυναµικό στοιχείο ενός αναλογικού υπολογι-

στή, έχει τρεις καταστάσεις λειτουργίας:

• Την τοποθέτηση αρχικών συνθηκών (IC)

• Την λειτουργία (OP)

• Και το πάγωµα της εξόδου (H).

Οι καταστάσεις αυτές είναι δυνατόν να εναλλάσσονται επαναλη-

πτικά (repetitive), ρυθµιζόµενες από τον κεντρικό έλεγχο καταστά-

σεων (master mode control) του αναλογικού υπολογιστή. Οι καταστά-

σεις αυτές χαρακτηρίζονται από τις σχέσεις:


2.2.2. Ο ολοκληρωτής – αθροιστής

Ο ολοκληρωτής – αθροιστής αθροίζει και ολοκληρώνει τις εισό-

δους του.

Σχήµα 53: Ο Ολοκληρωτής - αθροιστής

Ο ολοκληρωτής αθροιστής, όπως και ο ολοκληρωτής αλλάζει το

πρόσηµο της εισόδου, θεωρούµε ότι πραγµατοποιεί κλιµάκωση χρό-

νου ως προς τη βασική σταθερά χρόνου του και διαθέτει τις τρεις

καταστάσεις λειτουργίας του.


2.2.3 Ο διαφοριστής

Ο διαφοριστής (differentiator, DIF) εξοµοιώνει την µαθηµατική σχέ-

ση της παραγώγισης ενός µεγέθους ως προς τον χρόνο t.

Σταθερά χρόνου διαφόρισης: T=RC

(α) κύκλωµα (β) σύµβολο (γ) σχέση

Σχήµα 54: Ο διαφοριστής

Ο διαφοριστής αλλάζει το πρόσηµο της εισόδου, χαρακτηρίζεται

από την σταθερά χρόνου διαφόρισης Τ, αλλά δεν έχει διαφορετικές

καταστάσεις λειτουργίας. Είναι φυσικό, ότι ο διαφοριστής είναι ε-

ξαιρετικά ευαίσθητος σε εισόδους υψηλών συχνοτήτων.


2.2.4 ∆υναµικά αναλογικά διαγράµµατα

Με τα δυναµικά αναλογικά στοιχεία, είναι δυνατό να σχηµατίσου-

µε τώρα στοιχειώδη δυναµικά αναλογικά διαγράµµατα και να εξο-

µοιώσουµε την δυναµική συµπεριφορά απλών συστηµάτων.

Σχήµα 55: ∆υναµικά αναλογικά διαγράµµατα


2.3 Εξοµοίωση γραµµικών διαφορικών εξισώσεων

Ο στόχος της εξοµοίωσης είναι, όπως είπαµε, η εξοµοίωση δυ-

ναµικών φυσικών συστηµάτων, που περιγράφονται µαθηµατικά µε

µια διαφορική εξίσωση.

Στην ενότητα αυτή θα αναζητήσουµε την αναλογική εξοµοίωση,

το αναλογικό πρόγραµµα, το αναλογικό διάγραµµα όπως λέγεται,

ενός γραµµικού φυσικού συστήµατος, που περιγράφεται µε µία

γραµµική διαφορική εξίσωση ή µε µία γραµµική συνάρτηση µεταφο-

ράς G(s) στο επίπεδο της µιγαδικής µεταβλητής s.

Σχήµα 56: Εξοµοίωση διαφορικής εξίσωσης


2.3.1 Εξοµοίωση συστήµατος πρώτης τάξης

Έστω ένα φυσικό σύστηµα µε µαθηµατική παράσταση µία συνάρ-

τηση µεταφοράς:

ή µία διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της µορφής:

Τα βήµατα που ακολουθούµε για το σχεδιασµό του αναλογικού

διαγράµµατος είναι τα ακόλουθα:

1. Εφ’οσον το σύστηµα είναι πρώτης τάξης, το αναλογικό διάγραµµα

θα διαθέτει έναν ολοκληρωτή.

Σχήµα 57

Θεωρώντας ότι η έξοδος του φυσικού συστήµατος y(t) είναι και

η έξοδος του ολοκληρωτή, θα πρέπει στην είσοδο του ολοκληρωτή

να σχηµατίζεται το µέγεθος:

όπου Τ η σταθερά ρόνου του ολοκληρωτή.

(Eάν π.χ. Τ=1 ms τότε η εξοµοίωση θα γίνει µε κλίµακα χρόνου 1ms).


2. Εφόσον η µαθηµατική παράσταση του συστήµατος είναι η διαφο-

ρική εξίσωση, θα πρέπει επιλύοντας την ως προς την παράγωγο:

3. Η σχέση αυτή µας επιτρέπει να σχηµατίσουµε µε ποτενσιόµετρα

τους όρους: +αy(t) και -bu(t) και έτσι να συνθέσουµε την είσοδο του

ολοκληρωτή:

διαµορφώνοντας το πλήρες αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 58: Αναλογικό διάγραµµα συστήµατος πρώτης τάξης

Πρέπει να σηµειώσουµε εδώ, ότι παίρνοντας υπόψη µας και την

σταθερά του χρόνου ολοκλήρωσης Τ, το αναλογικό διάγραµµα απο-

τελεί εξοµοίωση της διαφορικής εξίσωσης:


Μία άλλη, περισσότερο φυσική περιγραφή ενός συστήµατος πρώ-

της τάξης είναι της µορφής :

Το αναλογικό διάγραµµα στην περίπτωση αυτή θα είναι :

Σχήµα 59: Φυσικό διάγραµµα συστήµατος πρώτης τάξης

Η χρονική απόκριση του συστήµατος αυτού για σταθερή είσοδο:


Σχήµα 60: Χρονική απόκριση συστήµατος πρώτης τάξης

Η φυσική σταθερά χρόνου Τn ενός συστήµατος πρώτης τάξης

βρίσκεται γραφικά, όταν είναι δεδοµένη η καµπύλη της χρονικής

απόκρισης, υπολογίζοντας την κλίση της εφαπτόµενης στην αρχή

αυτής της καµπύλης :

Η σταθερά χρόνου Τn χαρακτηρίζει λοιπόν, την ταχύτητα της µε-

ταβατικής απόκρισης, ενώ η ενίσχυση Α καθορίζει την µόνιµη τιµή

της εξόδου και το µόνιµο σφάλµα του συστήµατος.

Μία αρχική συνθήκη y0 τέλος, χαρακτηρίζει το σηµείο εκκίνησης

της χρονικής απόκρισης.


Ένα ελεύθερο φυσικό σύστηµα, που λειτουργεί µόνο κάτω από

την επίδραση της αρχικής του συνθήκης: y(0) = y0

και µε µηδενική είσοδο: u(t) = 0

θα χαρακτηρίζεται από την µαθηµατική σχέση:

έχει αντίστοιχο αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 61: Αναλογικό διάγραµµα ελεύθερου συστήµατος

Η χρονική απόκριση θα είναι:

Σχήµα 62: Ελεύθερη χρονική απόκριση


Ένα ασταθές φυσικό σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει αρνη-

τική φυσική σταθερά χρόνου και χαρακτηρίζεται από µία µαθηµατι-

κή παράσταση της µορφής:

και αντίστοιχο αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 63: Ασταθή συστήµατα πρώτης τάξης

Η χρονική απόκριση ενός ασταθούς συστήµατος πρώτης τάξης

για σταθερή είσοδο: u(t) = U

θα είναι:

Σχήµα 64: Χρονική απόκριση ασταθούς συστήµατος


2.3.2 Εξοµοίωση συστήµατος δεύτερης τάξης

Έστω, ένα φυσικό σύστηµα µε µαθηµατική παράσταση µία συ-

νάρτηση µεταφοράς:

ή µία διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης:

Τα βήµατα για τον σχεδιασµό του αναλογικού διαγράµµατος είναι:

1. Εφόσον το σύστηµα είναι δεύτερης τάξης, το αναλογικό διάγραµ-

µα θα διαθέτει δύο ολοκληρωτές. Τους τοποθετούµε εν σειρά και

θεωρούµε την έξοδο του τελευταίου ως έξοδο του φυσικού συστή-

µατος y(t).

Η είσοδός του θα είναι τότε:

και η είσοδος του πρώτου:

Σχήµα 65α

2. Επιλύοντας την διαφορική εξίσωση ως προς την µεγαλύτερή της

παράγωγο, θα έχουµε την σχέση:


3. Συνθέτουµε τέλος το πλήρες αναλογικό διάγραµµα, έτσι ώστε να

πληρούται η παραπάνω σχέση.

Σχήµα 65β: Αναλογικό διάγραµµα συστήµατος δεύτερης τάξης

Ας σηµειώσουµε εδώ τις εξής παρατηρήσεις:

• Συνυπολογίζοντας την σταθερά χρόνου Τ των ολοκληρωτών, το

παραπάνω αναλογικό διάγραµµα αποτελεί εξοµοίωση της διαφο-

ρικής εξίσωσης:

• Οι αρχικές συνθήκες: y(0) = y0 και

τοποθετούνται στις αντίστοιχες εισόδους των ολοκληρωτών.

• Για σταθερή είσοδο: u(t)=U το σύστηµα θα έχει τρεις διαφορετικές χρο-

νικές αποκρίσεις, ανάλογα µε την τιµή της ∆ιακρίνουσας: ∆ = α12 - 4α0,

του χαρακτηριστικού πολυωνύµου: s2 + α1s + α0 = 0:

α) εκθετική συµπεριφορά για ∆ > 0

β) οριακή απόκριση για ∆ = 0

γ) φθίνουσα ταλάντωση για ∆ < 0


Η φυσική ερµηνεία της συµπεριφοράς ενός συστήµατος δεύτερης

τάξης, οδηγεί σε µία νέα διατύπωση της διαφορικής εξίσωσης, στην

µορφή:

όπου: ωn : η ιδιοσυχνότητα ή φυσική συχνότητα του συστήµατος

ζ : ο συντελεστής απόσβεσης

Α : η ενίσχυση.

Η αντιστοιχία των συντελεστών των δύο µαθηµατικών παραστά-

σεων είναι:

Το σχετικό αναλογικό διάγραµµα είναι:

Σχήµα 66: Φυσικό αναλογικό διάγραµµα συστήµατος δεύτερης τάξης


Η χρονική απόκριση ενός φυσικού συστήµατος δεύτερης τάξης

δηλαδή η λύση της διαφορικής εξίσωσης για σταθερή είσοδο: u(t) =

U, εξαρτάται από τα ίδια τα χαρακτηριστικά του συστήµατος:

α) Ο συντελεστής απόσβεσης ζ χαρακτηρίζει την συµπεριφορά

του συστήµατος: εκθετική, οριακή ή ταλαντούµενη.

β) Η φυσική συχνότητα ωn χαρακτηρίζει την ταχύτητα του συστή-

µατος.

γ) Η ενίσχυση Α καθορίζει την τελική τιµή της εξόδου του.

Συγκεκριµένα η χρονική απόκριση εξαρτάται από τις ρίζες του χα-

ρακτηριστικού πολυωνύµου:

και είναι :

α) για ζ > 1 , ρίζες πραγµατικές, εκθετική συµπεριφορά:

β) για ζ = 1 , ρίζα διπλή , οριακή απόκριση

γ) για ζ < 1, ρίζες µιγαδικές, συµπεριφορά φθίνουσας ταλάντωσης


Σχήµα 67: Χρονική απόκριση συστήµατος δεύτερης τάξης


Ένα ελεύθερο σύστηµα δεύτερης τάξης µε αρχική συνθήκη θέσης:

και µηδενική είσοδο: u(t) = 0

θα έχει µαθηµατική σχέση:

αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 68: Αναλογικό διάγραµµα ελεύθερου συστήµατος δεύτερης τάξης

και χρονική απόκριση:


Σχήµα 69: Χρονική απόκριση συστήµατος δεύτερης τάξης

Ένα ασταθές σύστηµα δεύτερης τάξης, µπορούµε να θεωρήσουµε

ότι έχει:

αρνητικό συντελεστή απόσβεσης ζ,

µαθηµατική σχέση:

αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 70: Αναλογικό διάγραµµα ασταθούς συστήµατος δεύτερης τάξης


και χρονική απόκριση:

Σχήµα 71: Χρονική απόκριση ασταθούς συστήµατος δεύτερης τάξης

2.3.3. Εξοµοίωση γραµµικών συστηµάτων n-οστής τάξης

Με την µέθοδο που αναλύσαµε στις δύο προηγούµενες ενότητες,

για την εξοµοίωση συστηµάτων πρώτης και δεύτερης τάξης, µπορού-

µε να βρούµε το αναλογικό διάγραµµα και ενός συστήµατος n-οστής

τάξης, µε συνάρτηση µεταφοράς της µορφής:


Σχήµα 72: Αναλογικό διάγραµµα συστήµατος n-οστής τάξης

Παράδειγµα:Εξοµοίωση γραµµικού συστήµατος τρίτης τάξης µε

έλεγχο Αναλογίας - Ολοκλήρωσης - ∆ιαφόρισης (PID).

Έστω το κλειστό σύστηµα ελέγχου:

Σχήµα 73: Κλειστό σύστηµα ελέγχου

Το αντίστοιχο αναλογικό διάγραµµα είναι:


Σχήµα 74: Αναλογικό διάγραµµα ελέγχου P I D γραµµικού συστήµατος τρίτης τάξης

Για δεδοµένες τιµές των συντελεστών:

Α = 1 Ρ = 0.1

ωn = 0.5 I = 0.0

K = 0.5 D = 0.4 x 10

Η χρονική απόκριση του συστήµατος είναι της µορφής:

Σχήµα 75: Χρονική απόκριση γραµµικού συστήµατος τρίτης τάξης µε έλεγχο PID


2.3.4 Εξοµοίωση της εσωτερικής κατάστασης γραµµικών συστη-

µάτων

Τα συστήµατα που εξετάσαµε µέχρι τώρα, είχαν συνάρτηση µε-

ταφοράς µε σταθερό αριθµητή. Η διαφορική τους εξίσωση δηλαδή,

δεν περιείχε µεταβολές της εισόδου u(t).

Ένα γενικό σύστηµα όµως µε συνάρτηση µεταφοράς:

µπορεί να περιγραφεί µαθηµατικά από ένα σύστηµα εξισώσεων

εσωτερικής κατάστασης που επιτρέπουν τον σχεδιασµό του αντί-

στοιχου αναλογικού διαγράµµατος.

Οι εξισώσεις αυτές είναι n πρωτοβάθµιες διαφορικές εξισώσεις,

n µεταβλητών εσωτερικής κατάστασης x1(t), x2(t), ... xn(t) του συστή-

µατος και µπορεί να έχουν την πρώτη ή την δεύτερη κανονική τους

µορφή.


Πρώτη κανονική µορφή :

Σχήµα 76: Αναλογικό διάγραµµα πρώτης κανονικής µορφής


∆εύτερη κανονική µορφή :

Σχήµα 77: Αναλογικό διάγραµµα δεύτερης κανονικής µορφής


Παράδειγµα: Ένα σύστηµα δεύτερης τάξης µε συνάρτηση µεταφοράς:

θα έχει αναλογικό διάγραµµα πρώτης κανονικής µορφής:

και αναλογικό διάγραµµα δεύτερης κανονικής µορφής :

Σχήµα 78: Αναλογικό διάγραµµα

πρώτης κανονικής µορφής

Σχήµα 79: Αναλογικό διάγραµµα δεύτερης κανονικής µορφής


Ας σηµειώσουµε εδώ, ότι συστήµατα µε συνάρτηση µεταφοράς,

που διαθέτει στον αριθµητή της ίση ή και µεγαλύτερη δύναµη του

s απ’ότι στον παρανοµαστή, είναι δυνατόν να αναχθούν στην προ-

ηγούµενη µέθοδο εξοµοίωσης, εφόσον µετά την διαίρεση αριθµητή

και παρανοµαστή θα προκύψει ένα ακέραιο µέρος της συνάρτησης

µεταφοράς, το οποίο εύκολα µπορεί να εξοµοιωθεί.

Παράδειγµα:

Ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:

θα έχει αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 80: Αναλογικό διάγραµµα

Αναλογική Σχεδίαση Συστηµάτων • Σελίδα 86 Εργαστηριακές Ασκήσεις • Σελίδα 87

Μέρος 2ο

Εργαστηριακές Ασκήσεις


Εισαγωγή

Οι Εργαστηριακές Ασκήσεις που ακολουθούν αποσκοπούν στην

εξοικείωση των σπουδαστών µε τον αναλογικό υπολογιστή και την

αναλογική εξοµοίωση συστηµάτων.

Η Πρώτη Ενότητα των εργαστηριακών ασκήσεων αφορά τα α-

ναλογικά στοιχεία του ποτενσιοµέτρου, του αναστροφέα και του

ολοκληρωτή.

Η ∆εύτερη Ενότητα αφορά την αναλογική εξοµοίωση απλών

γραµµικών συστηµάτων πρώτης και δεύτερης τάξης.

Η Τρίτη Ενότητα αφορά την αναλογική εξοµοίωση συστηµάτων

ελέγχου, όπως απλών αναλογικών ελεγκτών, κλειστών συστηµάτων

ελέγχου αναλογίας και κλειστών συστηµάτων ελέγχου PID.

Η συνεπής διεξαγωγή των εργαστηριακών ασκήσεων και η συγ-

γραφή µιας επιτυχηµένης τεχνικής έκθεσης για κάθε µία απ’ αυτές

ολοκληρώνει την πρακτική άσκηση των σπουδαστών στο Εργαστή-

ριο Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου Ι.


ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Αναλογικά Στοιχεία

1. Ποτενσιόµετρο - Τελεστικός Ενισχυτής

2. Αναστροφέας - Αθροιστής

3. Ολοκληρωτής


ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1

«ΠΟΤΕΝΣΙΟΜΕΤΡΟΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ»

1.1 Κύκλωµα ∆ιαιρέτη Τάσης

1.2 Κύκλωµα Ποτενσιοµέτρου

1.3 Ο Τελεστικός Ενισχυτής

1.4 Ο πραγµατικός Τελεστικός Ενισυτής

1.5 Ανοιχτά Κυκλώµατα Τελεστικού Ενισχυτή

1.6 Αναλογικό Στοιχείο: Ποτενσιόµετρο


ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΕΞΕΤΕ ΣΤΗΝΑΣΚΗΣΗ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ

Η αρχή είναι το ήµιση του παντός. Για να είναι λοιπόν η αρχή της

πρακτικής σας άσκησης στο εργαστήριο επιτυχηµένη φροντίστε να

έχετε έρθει σε αυτό προετοιµασµένοι. Πριν ξεκινήσετε θα πρέπει να

έχετε διαβάσει καλά το θεωρητικό βοήθηµα και να έχετε ετοιµάσει

τυχόν απορίες.

Η πρώτη άσκηση απαιτεί καλή γνώση των ιδιοτήτων τόσο των πα-

θητικών κυκλωµάτων (διαιρέτης τάσης, ποτενσιόµετρο) όσο και των

ενεργητικών (τελεστικός ενισχυτής).

Θυµηθείτε ότι όσο καλύτερα έχετε προετοιµαστεί τόσο πιο απο-

τελεσµατικά θα µπορέσουν οι εργαστηριακοί συνεργάτες να σας

βοηθήσουν και να λύσουν τις απορίες σας.

Εργαστηριακές Ασκήσεις • Σελίδα 93

Αναλογική Εξοµοίωση Συστηµάτων • Σελίδα 94

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

Εργαστηριακή Άσκηση 1

ΠΟΤΕΝΣΙΟΜΕΤΡΟ - ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ

1.1 Κύκλωµα διαιρέτη τάσης

Σχήµα 81: ∆ιαιρέτης τάσης χωρίς φορτίο

Η σχέση µεταφοράς ενός διαιρέτη τάσης εν κενώ (χωρίς φορ-

τίο) είναι:

Σχήµα 82: ∆ιαιρέτης τάσης µε φορτίο

Η σχέση µεταφοράς του διαιρέτη τάσης µε φορτίο είναι:

Ένα απλό ωµικό φορτίο r επηρεάζει λοιπόν τη σχέση µεταφο-

ράς του διαιρέτη τάσης.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΠΟΤΕΝΣΙΟΜΕΤΡΟ - ΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ

1.1 Κύκλωµα διαιρέτη τάσης

Σχήµα 83

Συνδέστε το κύκλωµα ενός διαιρέτη τάσης.

Επιλέξτε τάση εισόδου u1 = 10V µέσω ενός τροφοδοτικού.

Αναγνώστε στο ψηφιακό βολτόµετρο την τάση u2 στις εξής πε-

ριπτώσεις:

α) R1 = 100kΩ , R2 = 100kΩ , r = 3 (εν κενώ)

β) R1 = 1ΜΩ , R2 = 100kΩ , r = 3 (εν κενώ)

γ) R1 = 100kΩ , R2 = 100kΩ , r = 100kΩ

δ) R1 = 100kΩ , R2 = 100kΩ , r = 10kΩ

Υπολογίστε σε κάθε περίπτωση την σχέση µεταφοράς

και

συγκρίνετε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων µε τις θεωρητικές τι-

µές.

∆ιατυπώστε τις παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας.


ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.2 Κύκλωµα ποτενσιοµέτρου

Σχήµα 84

Η σχέση µεταφοράς ενός ποτενσιοµέτρου εν κενώ (χωρίς φορ-

τίο) είναι:

Η σχέση µεταφοράς ενός ποτενσιοµέτρου συνδεδεµένου µε

φορτίο r είναι:

Το ποτενσιόµετρο έχει σταθερή σχέση µεταφοράς

όταν δεν

συνδέεται εν σειρά µε άλλο φορτίο ή όταν συνδέεται εν σειρά µε

κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.2 Κύκλωµα ποτενσιοµέτρου

Σχήµα 85

1.2.1 Εξετάστε αρχικά την λειτουργία ενός ποτενσιοµέτρου εν κε-

νώ (χωρίς φορτίο).

Επιλέξτε τάση εισόδου u1 = 10V µέσω ενός τροφοδοτικού.

Παρατηρείστε την τάση εισόδου u2 στο ψηφιακό βολτόµετρο.

Μεταβάλλετε τον συντελεστή ποτενσιοµέτρου α1 ώστε να έ-

χετε στην έξοδο διαδοχικά:

u2 = 10V , 8V , 5V , 2V , 0V

Σχεδιάστε την καµπύλη u2 = f(α1).

1.2.2 Συνδέστε στα άκρα του πρώτου ποτενσιοµέτρου ένα δεύτερο

ποτενσιόµετρο ως φορτίο.

Επιλέξτε: u1 = 10V , α1 = 0.5 .

∆ώστε διαδοχικά στον συντελεστή α2 του δευτέρου ποτενσι-

οµέτρου τις τιµές:

α2 = 0.0 , 0.2 , 0.5 , 0.8 , 1.0

και παρατηρείστε την τάση u2 στο ψηφιακό βολτόµετρο.

Σχεδιάστε την καµπύλη u2 = f(α2).

Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων µε τις θεωρη-

τικές τιµές.

∆ιατυπώστε τις παρατηρήσεις και/ή τα συµπεράσµατά σας.




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.3 Ο τελεστικός ενισχυτής (op amp)

Ο τελεστικός ενισχυτής αποτελεί µία πύλη, που εµποδίζει τη

διέλευση ρεύµατος, ενισχύει σηµαντικά το σήµα εισόδου και περιο-

ρίζει την αλληλεπίδραση των βαθµίδων.

Σχήµα 86

Ο τελεστικός ενισχυτής χαρακτηρίζεται από τις σχέσεις:

O ιδανικός τελεστικός ενισχυτής έχει: Α → ∞, R0 → ∞ οπότε:

Ένας πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής έχει συνήθως τιµές:

Α = 104 ÷ 109

R0 = 106Ω ÷ 109Ω

Ε0 = 10V ÷ 18V

Α: Ενίσχυση

R0: Eσωτερική Αντίσταση

Ε0: Τάση Κόρου


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.3 Ο τελεστικός ενισχυτής (op amp)

Θεωρείστε ότι διαθέτετε τελεστικούς ενισχυτές µε χαρακτηρι-

στικές τιµές:

Ενίσχυση: Α = 104 ÷ 109

Eσωτερική Αντίσταση: R0 = 106Ω

Τάση Κόρου: Ε0 = 10V

Υπολογίστε τα όρια της τάσης εισόδου u0 και της έντασης ει-

σόδου i0.

Σηµείωση: Το ερώτηµα αυτό είναι µόνο υπολογιστικό.




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.4 Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής

Το ανοιχτό κύκλωµα ενός πραγµατικού τελεστικού ενισχυτή εί-

ναι ένα πεντάπολο.

Σχήµα 87

Σχέσεις:

Xαρακτηριστική καµπύλη:

Σχήµα 88

u+ : Θετική τάση εισόδου

u- : Αρνητική τάση εισόδου

u0=u+-u- : ∆ιαφορική τάση εισόδου

Ε+ : Θετική τάση κόρου

Ε- : Αρνητική τάση κόρου


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.4 Ο πραγµατικός τελεστικός ενισχυτής

Για τις οριακές τιµές της προηγούµενης παραγράφου σχεδιά-

στε τις χαρακτηριστικές καµπύλες:

u = f(u0).

Σηµείωση: Το ερώτηµα αυτό είναι µόνο υπολογιστικό.




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.5 Ανοιχτά κυκλώµατα τελεστικού ενισχυτή

Με τη γείωση της θετικής ή της αρνητικής τάσης εισόδου το

ανοιχτό κύκλωµα ενός πραγµατικού τελεστικού ενισχυτή λειτουργεί

ως τετράπολο.

1.5.1 Κύκλωµα µή αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή

Σχήµα 89

Το κύκλωµα αυτό µε γειωµένη την αρνητική είσοδο, δεν χρη-

σιµοποιείται στην πράξη.

1.5.2 Κύκλωµα αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή

Σχήµα 90

Ισοδύναµο κύκλωµα:

Σχήµα 91

Σχέσεις : u- = 0

u0 = u+ = u1

u2 = Α u0 = Α u1

Σχέσεις : u+ = 0

u0 = -u- = -u1

u2 = Α u0 = -Α u1

u1 = R0 I0

u2 = -A u1


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.5 Ανοιχτά κυκλώµατα τελεστικού ενισχυτή

1.5.1 Κύκλωµα µή αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή

Γειώστε την αρνητική είσοδο ενός

τελεστικού ενισχυτή.

Χρησιµοποιείστε µία µικρή θετική

και αρνητική τάση εισόδου u1 (µέσω

ενός ποτενσιοµέτρου) και αναγνώ-

στε στο ψηφιακό βολτόµετρο τις τι-

µές της θετικής και της αρνητικής τάσης κόρου Ε+, Ε-. Θεωρώντας

ενίσχυση Α=104, σχεδιάστε την χαρακτηριστική καµπύλη: u2 = f(u1).

1.5.2 Κύκλωµα αναστρέφοντος τελεστικού ενισχυτή

Γειώστε τη θετική είσοδο.

Αναγνώστε επίσης για µικρές τάσεις

εισόδου u1 τις τιµές των τάσεων κό-

ρου Ε+, Ε-.

Σχεδιάστε την σχετική χαρακτηρι-

στική καµπύλη u2 = f(u1) για ενίσχυση Α = 104.

∆ιατυπώστε τις παρατηρήσεις και/ή τα συµπεράσµατά σας

και για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις.



Σχήµα 93

Σχήµα 92


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.6 Αναλογικό στοιχείο : Ποτενσιόµετρο (pot)

Το ποτενσιόµετρο είναι ένα αναλογικό στοιχείο πολλαπλασια-

σµού µιας τάσης u µε έναν σταθερό συντελεστή α, όπου 0 ≤ α ≤ 1.

·

Σχήµα 94

Το ποτενσιόµετρο διατηρεί σταθερή την σχέση µεταφοράς y/

u=α όταν συνδέεται εν σειρά µε κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή.

Απλά Κυκλώµατα τελεστικού ενισχυτή

Αναστροφέας:

Σχέση : u2 = -u1

Σχήµα 95

Ακολουθητής:

Σχέση : u2 = u1

Σχήµα 96


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

1.6 Αναλογικό στοιχείο : Ποτενσιόµετρο (pot)

Το ποτενσιόµετρο είναι ένα αναλογικό στοιχείο πολλαπλασια-

σµού µιας τάσης u µε έναν σταθερό συντελεστή α, όπου 0 ≤ α ≤ 1.

Σχήµα 97

Συνδέστε µεταξύ δύο ποτενσιοµέτρων µε συντελεστές α1, α2

έναν ακολουθητή τάσης ως κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή.

Επιλέξτε: u1 = 10V και α1 = 0.5

α) Γειώστε την έξοδο y = 0.

Επαναλάβατε τις µετρήσεις της παραγράφου 1.2.2.

∆ηλαδή για: α2 = 0.1 , 0.2 , 0.5 , 0.8 . 0.9 (όχι 1.0), παρα-

τηρείστε την τάση u2 και σχεδιάστε την καµπύλη u2 = f(α2).

β) Αφήστε ελεύθερη την έξοδο y.

Για: α2 = 0.0 , 0.2 , 0.5 , 0.8 , 1.0 µετρείστε στο ψηφιακό

βολτόµετρο την τάση εξόδου y και συγκρίνετέ την µε τις θεω-

ρητικές τιµές α1 α2.

Σχεδιάστε την καµπύλη y = f(α2).

Σηµειώστε τις παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας συγκρί-

νωντας τα αποτελέσµατα µε αυτά της παραγράφου 1.2.2.





«ΑΝΑΣΤΡΟΦΕΑΣ - ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ»

2.1 Κύκλωµα Αναστροφής

2.2 Κύκλωµα µη Αναστροφής

2.3 Κύκλωµα ∆ιαφοράς

2.4 Κύκλωµα Άθροισης

2.5 Αναλογικά Στοιχεία: Αναστροφέας - Αθροιστής

2.6 Απλά Αναλογικά ∆ιαγράµµατα



Βεβαιωθείτε ότι έχετε καταλάβει τον τρόπο λειτουργίας του τε-

λεστικού ενισχυτή. Μην διστάσετε να ρωτήσετε τους εργαστηρια-

κούς συνεργάτες για οποιαδήποτε απορία έχετε σχετικά µε αυτόν.

Στην άσκηση 2 θα χρησιµοποιήσετε για πρώτη φορά σε αυτό το

εργαστήριο τον παλµογράφο. Αν θεωρείτε ότι δεν έχετε εξοικειω-

θεί µέχρι τώρα από προηγούµενα εργαστήρια που έχετε κάνει, µε

το όργανο αυτό, συµβουλευτείτε τους εργαστηριακούς συνεργάτες.

Πριν ξεκινήσετε την διαδικασία εκτέλεσης της άσκησης ζητήστε

πληροφορίες σχετικά µε τις διάφορες λειτουργίες που µπορούν να

εκτελέσουν οι παλµογράφοι που διαθέτει το εργαστήριό µας καθώς

και τα για τα τεχνικά χαρακτηριστικά αυτών.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΑΝΑΣΤΡΟΦΕΑΣ - ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ

2.1 Κύκλωµα αναστροφής

≅

≅

Σχήµα 98: Αναστροφέας

2.1.1 Ο ιδανικός αναστροφέας έχει Α"3, R0"3 και σχέση µεταφο-

ράς:

2.1.2 Η σχέση µεταφοράς ενός πραγµατικού αναστροφέα είναι:

για R1 = R2 : u2 = -u1

για 10R1 = R2 : u2 = -10u1


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΑΝΑΣΤΡΟΦΕΑΣ - ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ

2.1 Κύκλωµα αναστροφής

Συνδέστε το κύκλωµα

αναστροφής

Σχήµα 99

2.1.1 Επιλέξτε τάση εισόδου u1 = 10V από το τροφοδοτικό (κάντε

χρήση ποτενσιοµέτρου για ρύθµιση).

Μετρείστε την τάση εξόδου u2 για:

α) R1 = 1ΜΩ , R2 = 1ΜΩ

β) R1 = 1ΜΩ , R2 = 100kΩ

γ) R1 = 10kΩ , R2 = 100kΩ

Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε τις θεωρητικές τιµές του

ιδανικού αναστροφέα και αναφέρετε τις παρατηρήσεις σας.

2.1.2 Για R1 = 1MΩ, R2 = 100kΩ, επιλέξτε διαδοχικά τάση εισόδου:

u1 = 10V , 8V , 6V , 4V , 2V

Μετρείστε την τάση εξόδου u2 και σχεδιάστε την καµπύλη:

u2 = f(u1).

Θεωρώντας την εσωτερική αντίσταση R0 = 1ΜΩ υπολογίστε για

τα ζεύγη µετρήσεων u1, u2 την ενίσχυση Α του τελεστικού ενι-

σχυτή. Για Α = 103 σχεδιάστε την θεωρητική καµπύλη u2 = f(u1).


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

2.2 Κύκλωµα µη αναστροφής

Σχήµα 100: Κύκλωµα µη αναστροφής

2.2.1 Η σχέση µεταφοράς ενός κυκλώµατος µη αναστροφής είναι:

2.2.2 Ο ακολουθητής τάσης για R2 = 0 ή R1 = 3 έχει σχέση µετα-

φοράς:



ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



2.2 Κύκλωµα µη αναστροφής

Σχήµα 100: Κύκλωµα µη αναστροφής

2.2.1 Συνδέστε το κύκλωµα µη αναστροφής. Επιλέξτε τάση εισό-

δου u1 = 5V από το τροφοδοτικό (κάντε χρήση ποτενσιοµέ-

τρου για ρύθµιση) και µετρείστε την τάση εξόδου u2 για:

α) R1 = 1ΜΩ , R2 = 1ΜΩ

β) R1 = 1ΜΩ , R2 = 100kΩ

γ) R1 = 10kΩ , R2 = 100kΩ

Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε τις θεωρητικές τιµές και

αναφέρετε τις παρατηρήσεις σας.


2.2.2 Συνδέστε το κύκλωµα του ακολουθητή τάσης. Επιλέξτε δια-

δοχικά τάση εισόδου: u1 = 2.5V , 5V , 10V

και µετρείστε την τάση εξόδου u2.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

2.3 Κύκλωµα διαφοράς


Η σχέση µεταφοράς ενός κυκλώµατος διαφοράς είναι:

και για R1 = R2, R3 = R4 :


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



2.3 Κύκλωµα διαφοράς


Συνδέστε το κύκλωµα διαφοράς.

Επιλέξτε τάση εισόδου u2 = 10V και u1 = 5V από το τροφοδοτι-

κό (κάντε χρήση δύο ποτενσιοµέτρων για ρύθµιση των τάσε-

ων) και µετρείστε την τάση εξόδου u στις εξής περιπτώσεις:

α) R1 = 1ΜΩ , R2 = 1ΜΩ , R3 = 1ΜΩ , R4 = 100kΩ

β) R1 = 1ΜΩ , R2 = 100kΩ , R3 = 1ΜΩ , R4 = 100kΩ

γ) R1 = 1MΩ , R2 = 1MΩ , R3 = 100kΩ , R4 = 100kΩ




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

2.4 Κύκλωµα άθροισης


Η σχέση µεταφοράς ενός αθροιστή είναι:

και για R1 = R2 = ... = Rn = R :


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



2.4 Κύκλωµα άθροισης


Συνδέστε το παραπάνω κύκλωµα άθροισης.

Επιλέξτε: u1 = 2V , u2 = 3V και u3 = 5V από το τροφοδοτικό

(κάντε χρήση τριών ποτενσιοµέτρων για ρύθµιση των τάσεων)

και µετρείστε την τάση εξόδου u στις εξής περιπτώσεις:

α) R1 = 1ΜΩ , R2 = 1ΜΩ , R3 = 1ΜΩ , R = 1ΜΩ

β) R1 = 1ΜΩ , R2 = 1ΜΩ , R3 = 1ΜΩ , R = 100kΩ

γ) R1 = 100kΩ , R2 = 100kΩ , R3 = 1ΜΩ , R = 100kΩ




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

2.5 Αναλογικά στοιχεία : Αναστροφέας - Αθροιστής

2.5.1 Αναστροφέας (inv):

Σύµβολο:

Σχήµα 105: Aναστροφέας

2.5.2 Αθροιστής (sum):

Σύµβολο:

Σχήµα 106: Aθροιστής


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



2.5.1 Αναστροφέας:

Εξετάστε τη λειτουργία ενός απλού

αναστροφέα

Σχήµα 107

Χρησιµοποιώντας παλµογεννήτρια, επιλέξτε ως τάση εισόδου

u τετραγωνικό παλµό συχνότητας 50Hz και εύρους ±5V, συµ-

µετρικό ως προς το 0 (µηδέν). Επαληθεύστε τα µεγέθη του

στον παλµογράφο.

Παρατηρείστε ταυτόχρονα στον παλµογράφο την έξοδο y

του αναστροφέα. Σχεδιάστε τις κυµατοµορφές.

2.5.2 Αθροιστής:

Επιλέξτε:

u1 : Τετραγωνικό παλµό συχνότητας 50Hz

και εύρους ±5V.

u2 : Ηµιτονοειδή παλµό συχνότητας 100Hz


u3 : Σταθερή τάση 0.2V.

Σχήµα 108

Παρατηρείστε στον παλµογράφο την έξοδο y.

Σχεδιάστε τις κυµατοµορφές εισόδων - εξόδου.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

2.6 Απλά αναλογικά διαγράµµατα

2.6.1 Αναλογικό διάγραµµα διαφοράς:

Σχήµα 109

2.6.2 Επίλυση γραµµικού συστήµατος:

Σχήµα 110


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



2.6 Απλά αναλογικά διαγράµµατα

2.6.1 Αναλογικό διάγραµµα διαφοράς:

Συνδέστε το διάγραµµα δι-

αφοράς και µετρείστε την

τάση y.

Συγκρίνετε µε την θεωρη-

τική τιµή και σηµειώστε τις

παρατηρήσεις σας.

Σχήµα 111

2.6.2 Επίλυση γραµµικού συστήµατος:

Επαληθεύστε την επίληση

του γραµµικού συστήµατος:

x1 + 0.5 x2 = 1

0.2 x1 + x2 = 1

Συγκρίνετε τις µετρήσεις

µε τις θεωρητικές τιµές και

σηµειώστε τις παρατηρήσεις

σας.

Σχήµα 112



«ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ»

3.1 Κύκλωµα Ολοκλήρωσης

3.2 Κύκλωµα ∆ιαφόρισης

3.3 Αναλογικό στοιχείο - Ολοκληρωτής

3.4 ∆ιπλή Ολοκλήρωση

3.5 Τοποθέτηση αρχικών συνθηκών



Στην άσκηση αυτή θα πρέπει να γνωρίζετε τις ιδιότητες των α-

πλών κυκλωµάτων RC.

Προετοιµαστείτε κατάλληλα πριν από την εκτέλεση της άσκησης

σχετικά µε τη συµπεριφορά των πυκνωτών όταν φορτίζονται µε

σταθερή ή µεταβαλλόµενη τάση:


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ

3.1 Κύκλωµα ολοκλήρωσης

Σχήµα 113: Ολοκληρωτής

Η σχέση µεταφοράς του κυκλώµατος ολοκλήρωσης είναι:

όπου

Τ: η σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης, που χαρακτηρίζει την

ταχύτητα ολοκλήρωσης.

Σχήµα 114: Χρονική απόκριση ολοκληρωτή


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΗΣ

3.1 Κύκλωµα ολοκλήρωσης

Σχήµα 113: Ολοκληρωτής

Συνδέστε το παραπάνω κύκλωµα ολοκλήρωσης. Επιλέξτε ως

τάση εισόδου u (από την παλµογεννήτρια) τετραγωνικό παλµό συ-

χνότητας 50Ηz και εύρους ±5V, συµµετρικό ως προς το 0. Μετρεί-

στε στον παλµογράφο την περίοδο T0 του τετραγωνικού παλµού και

συγκρίνετέ την µε την θεωρητική τιµή.

Παρατηρείστε στον παλµογράφο την τάση εξόδου u2 για

C=1nF και R=1MΩ , 100kΩ και 10kΩ.

Σχεδιάστε τις κυµατοµορφές εισόδου - εξόδου του κυκλώµα-

τος για την κάθε περίπτωση.

Υπολογίστε γραφικά σε κάθε περίπτωση τη σταθερά χρόνου

ολοκλήρωσης Τ.

Συγκρίνετε µε τις θεωρητικές τιµές και αναφέρετε τις παρα-

τηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

3.2 Κύκλωµα διαφόρισης


Η σχέση µεταφοράς του κυκλώµατος διαφόρισης είναι:

όπου

Τ: η σταθερά χρόνου διαφόρισης.

Εάν u1 = αt τότε u2 = -Τα Εάν u1 = U τότε u2 = -Tδ(t)

Σχήµα 116: Χρονικές αποκρίσεις διαφοριστή


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

3.2 Κύκλωµα διαφόρισης


3.2.1 Επιλέξτε τάση εισόδου u1 τετραγωνικό παλµό συχνότητας

50Hz, εύρους ±5V συµµετρικό. Επιλέξτε: C=1nF , R=100kΩ.

Παρατηρείστε στον παλµογράφο, σχεδιάστε και σχολιάστε

(αναφέροντας τις παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας)

την κυµατοµορφή της τάσης εξόδου u2.

3.2.2 Επιλέξτε τάση εισόδου u1 τριγωνικό παλµό επίσης συχνότη-

τας 50Hz και εύρους ±5V συµµετρικό. Παρατηρείστε στον

παλµογράφο, σχεδιάστε και σχολιάστε (αναφέροντας τις πα-

ρατηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας) την κυµατοµορφή της

τάσης εξόδου u2.

3.2.3 Συνδέστε εν σειρά έναν ολοκληρωτή µε έναν διαφοριστή. Επι-

λέξτε τάση εισόδου u1 έναν τετραγωνικό παλµό. Επιλέξτε ίσες

σταθερές χρόνου Τ1 = Τ2. Παρατηρείστε στον παλµογράφο,

σχεδιάστε και σχολιάστε (αναφέροντας τις παρατηρήσεις και

τα συµπεράσµατά σας) την κυµατοµορφή της τάσης εξόδου

u2.




ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

3.3 Αναλογικό στοιχείο - Ολοκληρωτής (int)

3.3.1 Σύµβολο:

σχέση:

Σχήµα 118

Τ: σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης.

Σχήµα 119

3.3.2 Ολοκληρωτής - αθροιστής

Σχήµα 120

σχέση:


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



3.3 Αναλογικό στοιχείο - Ολοκληρωτής (int)

Εξετάστε τη λειτουργία

ενός απλού ολοκληρωτή

Σχήµα 121

Συνδέστε εν σειρά ένα ποτενσιόµετρο συντελεστή α µε έναν

ολοκληρωτή σταθεράς χρόνου Τ.

Παρατηρείστε και σχεδιάστε την έξοδο του ολοκληρωτή y

στις εξής περιπτώσεις:

α) Χρησιµοποιείστε σαν είσοδο u τετραγωνικό παλµό συχνότη-

τας 50Ηz και εύρους ±U συµµετρικό ως προς το 0. Επιλέξτε

εύρος U της εισόδου και σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης Τ

ώστε η έξοδος του ολοκληρωτή να µην φθάνει στον κόρο.

Για α = 1 , 0.5 , 0.2 µετρείστε το εύρος Υ της ολοκλήρωσης

και συγκρίνετε µε τις θεωρητικές τιµές.

Μεταβάλλετε στη συνέχεια το εύρος U και τη σταθερά χρό-

νου Τ ώστε η ολοκλήρωση να φθάνει στον κόρο. Σχεδιάστε

τις κυµατοµορφές.

β) Επαναλάβατε τις προηγούµενες µετρήσεις εφαρµόζοντας

σαν είσοδο u τριγωνικό παλµό συχνότητας 50Ηz.

γ) Εξετάστε θεωρητικά πως θα πρέπει να είναι οι κυµατοµορ-

φές στην περίπτωση τετραγωνικού παλµού στην είσοδο όταν

η ολοκλήρωση δεν αρχίζει από την αρχή της περιόδου t=0,

αλλά την χρονική στιγµή t=T0/4 ή t=T0/2 .


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

3.4 ∆ιπλή ολοκλήρωση

Σχήµα 122

Σχήµα 123


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



3.4 ∆ιπλή ολοκλήρωση

Σχήµα 124

Συνδέστε εν σειρά δύο ολοκληρωτές και επιλέξτε τις σταθε-

ρές χρόνου ολοκλήρωσης Τ1, Τ2.

Χρησιµοποιείστε σαν τάση εισόδου u1 τετραγωνικό παλµό

συχνότητας 50Ηz και εύρους ±5V συµµετρικό ως προς το 0.

Επιλέξτε την τιµή του ποτενσιοµέτρου α ώστε η έξοδος του

πρώτου ολοκληρωτή y1 να µην φθάνει στον κόρο.

Μεταθέστε µε το ποτενσιόµετρο β τον τετραγωνικό παλµό

εισόδου u1 έτσι ώστε, η ολική τάση εισόδου:

u = αu1 - βΕ ολοκληρωµένη, να παράγει στην έξοδο y1 του

πρώτου ολοκληρωτή συµµετρική ως προς το 0 κυµατοµορ-

φή.

Παρατηρείστε στον παλµογράφο την έξοδο του δεύτερου

ολοκληρωτή y2.

Σχεδιάστε τις κυµατοµορφές.

Συγκρίνετε τα εύρη µε τις θεωρητικές τιµές.

Εξηγείστε θεωρητικά γιατί είναι αναγκαία η προσθήκη του

ποτενσιοµέτρου β και η διόρθωση της τάσης εισόδου u1.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

3.5 Τοποθέτηση αρχικών συνθηκών (IC)

Σύµβολο ενός ολοκληρωτή µε τοποθέτηση αρχικών συνθηκών:

σχέση:

Σχήµα 125

Κύκλωµα:

Σχήµα 126

Σχήµα 127


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



3.5 Τοποθέτηση αρχικών συνθηκών (IC)

Σχήµα 128

Εφόσον ο αναλογικός υπολογιστής σας έχει τη δυνατότητα το-

ποθέτησης αρχικών συνθηκών (IC) είτε µε εξωτερικό διακόπτη

είτε µε επαναληπτική λειτουργία (rep. mode), εξετάστε εργα-

στηριακά τη λειτουργία τοποθέτησης αρχικών συνθηκών.

Ποιά είναι θεωρητικά η επίδραση της αρχικής συνθήκης στην

χρονική απόκριση ενός ολοκληρωτή;


∆ΕΥΤΕΡΗ ΕΝΟΤΗΤΑΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Αναλογική Εξοµοίωση Συστηµάτων

4. Σύστηµα Πρώτης Τάξης

5. Σύστηµα ∆εύτερης Τάξης



«ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ»

4.1 Αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης

4.2 Ασταθές αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης

4.3 Φυσικό αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης

4.4 Κύκλωµα RC



Οι τρεις πρώτες ασκήσεις αποτελούν και την πρώτη ενότητα α-

σκήσεων του Εργαστηρίου.

Σε αυτές µάθαµε για τα διάφορα “εργαλεία” που χρησιµοποιούµε.

Τις δυνατότητες και τις ιδιότητές τους.

Στην άσκηση 4 µπαίνουµε στην δεύτερη ενότητα όπου χρησιµο-

ποιούµε αυτά τα εργαλεία για να υλοποιήσουµε απλά συστήµατα τα

οποία περιγράφονται µε διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού.

Θα µπορέσουµε έτσι να εξοµοιώσουµε την λειτουργία τους και να

µελετήσουµε την συµπεριφορά τους.

Πριν ξεκινήσετε αυτή την άσκηση λοιπόν βεβαιωθείτε ότι έχετε

κατανοήσει όσα µελετήθηκαν µέχρι τώρα (τελεστικός ενισχυτής, α-

ναστροφέας, ολοκληρωτής κλπ) και επαναλάβετε όσα ήδη πρέπει να

γνωρίζετε σχετικά µε τις διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθµού.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ


Ένα φυσικό σύστηµα α’ τάξης:

Σχήµα 129

Έχει διαφορική εξίσωση:

και αναλογικό διάγραµµα:

Σχήµα 130

Η φυσική σταθερά χρόνου

του συστήµατος Τn = 1/α

βρίσκεται γραφικά µε την

µέθοδο της εφαπτοµένης

όπως δείχνει το σχήµα 131.

Σχήµα 131

Για u(t) = U: σταθερή, η χρονική

απόκριση είναι:

γιά y0 = 0


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ


b′ = bT

λα′ = αΤ

Σχήµα 132: Σύστηµα πρώτης τάξης

Συνδέστε στον αναλογικό υπολογιστή το αναλογικό διάγραµ-

µα ενός συστήµατος πρώτης τάξης (σχήµα 132).

Χρησιµοποιείστε σαν είσοδο u τετραγωνικό παλµό συχνότη-

τας 50Ηz και εύρους ±5V.

Για τις παρακάτω τιµές των ποτενσιοµέτρων:

α) α′ = 0.5 , b′ = 1

β) α′ = 1 , b′ = 1

γ) α′ = 1 , b′ = 0.5

Εξετάστε την έξοδο y στον παλµογράφο.

Μεταβάλλετε την σταθερά χρόνου Τ, τον συντελεστή εισόδου

λ και την συχνότητα του παλµού εισόδου u εξασφαλίζοντας

πλήρη παράσταση της µεταβατικής χρονικής απόκρισης του

συστήµατος µέσα σε µία ηµιπερίοδο του τετραγωνικού παλ-

µού εισόδου. Μετρείστε το εύρος της χρονικής απόκρισης y

και την σταθερά χρόνου Τn µε την µέθοδο της εφαπτοµένης.

Συγκρίνετε µε τις θεωρητικές τιµές και διατυπώστε τα συµπε-

ράσµατά σας.

′

′


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Ένα ασταθές φυσικό σύστηµα α’ τάξης:



Σχήµα 133

Για u(t) = U: σταθερή, η χρονική απόκριση είναι:

Σχήµα 134


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




′

′

Σχήµα 135: Ασταθές σύστηµα πρώτης τάξης

Συνδέστε στον αναλογικό υπολογιστή το αναλογικό διάγραµ-

µα ενός ασταθούς συστήµατος πρώτης τάξης (σχήµα 135).

Χρησιµοποιείστε σαν είσοδο u τετραγωνικό παλµό κατάλλη-

λου εύρους και συχνότητας.

Επιλέξτε τους κατάλληλους συντελεστές του αναλογικού

διαγράµµατος ώστε να δείτε και να µετρήσετε στον παλµο-

γράφο την ασταθή έξοδο y του συστήµατος.

Σηµειώστε τις παρατηρήσεις και τα συµπεράσµατά σας.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Η φυσική µορφή της διαφορικής εξίσωσης ενός συστήµατος

πρώτης τάξης είναι:

όπου:

Τn = 1/α : η φυσική σταθερά χρόνου του συστήµατος

ωn = 1/Tn = α : η φυσική συχνότητα του συστήµατος

Α = b/α : η ενίσχυση.

Η φυσική µορφή του αναλογικού διαγράµµατος είναι:

Σχήµα 136

Για u(t) = U: σταθερή, η χρονική απόκριση είναι:

Σχήµα 137


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Σχήµα 138: Φυσικό αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης

Συνδέστε το παραπάνω φυσικό αναλογικό διάγραµµα πρώτης

τάξης. Εφαρµόστε σαν είσοδο u τετραγωνικό παλµό συχνό-

τητας 50Ηz και εύρους ±5V.

4.3.1 Επιλέξτε σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης Τ=1msec και

ΡΟΤ2=Α=1. Για τρεις (3) διαφορετικές τιµές του ΡΟΤ1=Τ/Τn πα-

ρατηρείστε, µετρείστε και σχεδιάστε την χρονική απόκριση

y(t). Υπολογίστε τις αντίστοιχες φυσικές συχνότητες ωn του

συστήµατος. Επιβεβαιώστε τις µετρήσεις µε την µέθοδο της

εφαπτοµένης. Μετρείστε το εύρος της χρονικής απόκρισης

και συγκρίνετε τις µετρήσεις µε τις θεωρητικές τιµές.

4.3.2 Επιλέξτε σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης Τ=1msec και

ΡΟΤ1=Τ/Τn=0.5. Για τρεις (3) διαφορετικές τιµές του

ΡΟΤ2=Α παρατηρείστε, µετρείστε και σχεδιάστε την χρο-

νική απόκριση y(t) . Συγκρίνετε µε τις θεωρητικές τιµές.

4.3.3 Αλλάξτε στην περίπτωση ΡΟΤ1=0.5 και ΡΟΤ2=1 τις τιµές της

σταθεράς χρόνου ολοκλήρωσης Τ (0.1, 1 και 10msec) και εξε-

τάστε την συµπεριφορά της εξόδου. ∆ιατυπώστε τα συµπε-

ράσµατά σας.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Σχήµα 139

Ένα ηλεκτρικό κύκλωµα RC είναι ένα φυσικό σύστηµα πρώτης

τάξης µε διαφορική εξίσωση:

Φυσική σταθερά χρόνου : Τn = RC

Ενίσχυση : Α = 1


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




′

′

Σχήµα 139: Κύκλωµα RC Σχήµα 132: Σύστηµα πρώτης τάξης

4.4.1 Συγκρίνετε θεωρητικά ένα πραγµατικό ηλεκτρικό κύκλωµα

RC µε ένα απλό αναλογικό διάγραµµα πρώτης τάξης.

Εάν το κύκλωµα RC έχει C=1nF, ποιά πρέπει να είναι κάθε

φορά η τιµή της αντίστασης R ώστε το κύκλωµα RC να είναι

ανάλογο του απλού αναλογικού διαγράµµατος µε χαρακτηρι-

στικές τιµές:

α) α′ = 0.5 , b′ = 0.5 , λ = 1

β) α′ = 1 , b′ = 1 , λ = 1

γ) α′ = 0.1 , b′ = 1 , λ = 10

4.4.2 Προσπαθήστε να επιβεβαιώσετε εργαστηριακά τα παραπάνω

θεωρητικά συµπεράσµατα.

Συνδέστε ένα πραγµατικό ηλεκτρικό κύκλωµα RC και το α-

νάλογο αναλογικό διάγραµµα και συγκρίνετε τις χρονικές

αποκρίσεις. ∆ιατυπώστε τα συµπεράσµατά σας.



«ΣΥΣΤΗΜΑ ∆ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ»

5.1 Αναλογικό διάγραµµα δεύτερης τάξης

5.2 Φυσικό αναλογικό διάγραµµα δεύτερης τάξης

5.3 Χρονική απόκριση δεύτερης τάξης

5.4 Χαρακτηριστικά χρονικής απόκρισης δεύτερης τάξης

5.5 Κύκλωµα RLC


ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΕΞΕΤΕ ΣΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ

Η άσκηση αυτή µπορούµε να πούµε ότι είναι η συνέχεια της προ-

ηγούµενης. Εδώ θα µελετήσουµε τη συµπεριφορά των συστηµάτων

που περιγράφονται µε διαφορικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού.

Πριν την ξεκινήσετε καλό θα είναι να έχετε µελετήσει σχετικά µε

τις εξισώσεις αυτές αλλά και να έχετε καλή γνώση των κυκλωµάτων

RLC (κυκλώµατα που παράγουν ταλαντώσεις). Θα σας βοηθήσει αυ-

τό στην ευκολότερη εξαγωγή των συµπερασµάτων που προκύπτουν

κατά την εκτέλεση της άσκησης.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΣΥΣΤΗΜΑ ∆ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ


Ένα φυσικό σύστηµα δεύτερης τάξης



Σχήµα 140

Για u(t) = U: σταθερή, το

σύστηµα έχει τρεις δυνα-

τές χρονικές αποκρίσεις:

α) Εκθετική συµπεριφορά:

για α12 > 4α0

β) Οριακή απόκριση:

για α12 = 4α0

γ) Φθίνουσα ταλάντωση:

για α12 < 4α0

Σχήµα 141


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΣΥΣΤΗΜΑ ∆ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ


α1′ = α1T

α0′ = α0Τ2

b′ = bT2

Σχήµα 142: Σύστηµα δεύτερης τάξης

Συνδέστε το αναλογικό διάγραµµα ενός συστήµατος δεύτε-

ρης τάξης (σχήµα 142). Χρησιµοποιείστε σαν είσοδο u τετρα-

γωνικό παλµό συχνότητας 50Ηz και εύρους ±5V.

5.1.1 Μεταβάλλετε τις τιµές των ποτενσιοµέτρων ΡΟΤ1, ΡΟΤ2,

ΡΟΤ3. Παρατηρείστε και σχολιάστε την επίδραση που έχει

κάθε ένας από τους συντελεστές αυτούς στην χρονική από-

κριση y(t). Πραγµατοποιείστε τουλάχιστον δύο (2) µετρήσεις

ανά περίπτωση.

5.1.2 Για δεδοµένα: ΡΟΤ3=b′=1, ΡΟΤ2=α0′=1 βρείτε πειραµατικά την

τιµή του ποτενσιοµέτρου ΡΟΤ1=α1′ έτσι ώστε να έχουµε ορι-

ακή απόκριση του συστήµατος. Συγκρίνατε µε την θεωρητική

τιµή.

5.1.3 Επιλέξτε τις τιµές των ποτενσιοµέτρων έτσι ώστε να πάρετε

στον παλµογράφο τρεις (3) χρονικές αποκρίσεις µε εκθετική συ-

µπεριφορά και τρεις (3) µε µορφή φθίνουσας ταλάντωσης. Επιβε-

βαιώστε τις αντίστοιχες θεωρητικές σχέσεις µεταξύ α1 και α0.

′

′

′


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Η φυσική µορφή της διαφορικής εξίσωσης ενός συστήµατος

δεύτερης τάξης είναι:

όπου:

ωn = : η φυσική συχνότητα του συστήµατος

ζ =

: ο συντελεστής απόσβεσης του συστήµατος

Α =

: η ενίσχυση του συστήµατος.

Η φυσική µορφή του αναλογικού διαγράµµατος είναι:

Σχήµα 143


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Σχήµα 144: Φυσικό αναλογικό διάγραµµα δεύτερης τάξης

Συνδέστε το παραπάνω φυσικό αναλογικό διάγραµµα δεύτε-

ρης τάξης. Εφαρµόστε στην είσοδο τετραγωνικό παλµό συ-

χνότητας 50Hz και εύρους ±5V.

5.2.1 Mεταβάλλετε τις τιµές των ποτενσιοµέτρων ΡΟΤ1, ΡΟΤ2,

ΡΟΤ3, ΡOT4. Παρατηρείστε στον παλµογράφο και σχολιάστε

την επίδραση των συντελεστών αυτών στις χρονικές αποκρί-

σεις y(t). ∆ώστε την φυσική ερµηνεία του συντελεστή από-

σβεσης ζ, της φυσικής συχνότητας ωn και της ενίσχυσης Α

του συστήµατος.

5.2.2 Αφαιρέστε τον αναστροφέα INV και εξετάστε έτσι για αρ-

νητικό συντελεστή απόσβεσης ζ την χρονική απόκριση του

ασταθούς συστήµατος δεύτερης τάξης. Επιλέξτε τους κα-

τάλληλους συντελεστές έτσι ώστε να παρατηρήσετε τόσο

εκθετική όσο και ταλαντευόµενη ασταθή χρονική απόκριση.

Σηµειώστε τις παρατηρήσεις σας.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Ένα σύστηµα δεύτερης τάξης έχει τις παρακάτω βηµατικές

αποκρίσειςγια u(t)=U: σταθερή, και για διάφορες τιµές του

συντελεστή απόσβεσης ζ:

α) ζ>1 : Εκθετική Απόκριση

β) ζ=1 : Οριακή Απόκριση

γ) ζ<1 : Φθίνουσα Ταλάντωση

Σχήµα 145


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Σχήµα 146

Επιλέγοντας: ΡΟΤ4=Α=1, ΡΟΤ1=ΡΟΤ2=ωnΤ=1 εξετάστε στο πα-

ραπάνω φυσικό αναλογικό διάγραµµα, αναλυτικά την χρονική

απόκριση του συστήµατος δεύτερης τάξης.

Επιλέξτε τις κατάλληλες τιµές για τους συντελεστές του

ποτενσιοµέτρου ΡΟΤ3 και του αναστροφέα INV και παρατη-

ρείστε, σχεδιάστε και σχολιάστε τις χρονικές αποκρίσεις y

του συστήµατος για:

ζ = 0.0 - 0.1 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 - 1.0 - 2.0

Μετρείστε τις µέγιστες τιµές ym της χρονικής απόκρισης.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Σχήµα 147

α) Υπερύψωση:

β) Χρόνος Αποκατάστασης:

γ) Μόνιµο Σφάλµα:

5.5 Kύκλωµα RLC:

Σχήµα 148

∆ιαφορική εξίσωση:

∞

∞

±


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Με βάση τα στοιχεία και τις µετρήσεις της χρονικής απόκρι-

σης συστήµατος δεύτερης τάξης που συλλέξατε στην προη-

γούµενη παράγραφο 5.3:

1. Υπολογίστε θεωρητικά τα χαρακτηριστικά του συστήµατος:

α) Υπερύψωση: u

β) Χρόνο Αποκατάστασης: Τs

γ) Μόνιµο Σφάλµα: e3

για τις δεδοµένες τιµές Α, ωn και ζ.

2. Συγκρίνετε τα θεωρητικά αυτά χαρακτηριστικά µε τα χαρα-

κτηριστικά που προκύπτουν από τις σχετικές µετρήσεις: ym,

y3, Ts, e3.

5.5 Κύκλωµα RLC

Έστω ένα πραγµατικό ηλεκτρικό κύκλωµα RLC µε C=1mF και

L=10H.

Υπολογίστε για το σύστηµα αυτό τους συντελεστές Α, ωn και ζ.

Για ποιές τιµές της αντίστασης R διαθέτει το σύστηµα αυ-

τό τις τιµές του συντελεστή απόσβεσης ζ που αναφέρονται

στην παράγραφο 5.3;


ΤΡΙΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Αναλογική ΕξοµοίωσηΣυστηµάτων Ελέγχου

6. Αναλογικοί Ελεγκτές

7. Έλεγχος Αναλογίας Ρ

8. Έλεγχος PID




«ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ»

6.1 ∆ιαιρέτης Τάσης - Στοιχείο Ρ

6.2 Στοιχείο Lead - Στοιχείο PD

6.3 Στοιχείο Lag - Στοιχείο PI

6.4 Στοιχείο Lead-Lag - Στοιχείο PID

6.5 Αναλογικό ∆ιάγραµµα PID



Με την άσκηση αυτή µπαίνουµε στην τρίτη και τελευταία ενότητα

των εργαστηριακών ασκήσεων.

Στην πρώτη ενότητα µελετήσαµε τις ιδιότητες των στοιχείων

εκείνων που µας επιτρέπουν να εξοµοιώσουµε τη λειτουργία των

συστηµάτων, στη δεύτερη προχωρήσαµε στην εξοµοίωση αυτή µε-

λετώντας τα χαρακτηριστικά αλλά και διαπιστώνοντας παράλληλα

τις αδυναµίες των συστηµάτων πρώτης και δεύτερης τάξης.

Σε αυτή την ενότητα τώρα θα προσπαθήσουµε να ελέγξουµε τα

συστήµατα. Για το σκοπό αυτό εισάγουµε µία νέα έννοια, αυτή των

ελεγκτών. ∆ιατάξεις δηλαδή οι οποίες λειτουργούν πριν από τα συ-

στήµατα επιτρέποντας τον έλεγχο των χαρακτηριστικών τους. Θα

µελετήσουµε λοιπόν πρώτα ξεχωριστά τα διάφορα είδη των ελε-

γκτών ώστε να διαπιστώσουµε και τις δικές τους ιδιότητες.

Τονίζεται ιδιαίτερα ότι στα τέσσερα από τα πέντε ερωτήµατα της

άσκησης αυτό που απαιτείται είναι, εκτός από την χρονική απόκρι-

ση, η µελέτη των διαφορών µεταξύ των οµοειδών κυκλωµάτων των

ελεγκτών.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ

6.1 ∆ιαιρέτης Τάσης - Στοιχείο αναλογίας Ρ

∆ιακρίνουµε τα στοιχεία ελέγχου σε παθητικά µε αντιστά-

σεις και χωρητικότητες και ενεργητικά µε τελεστικούς ενι-

σχυτές.∆ιαιρέτης Τάσης

Σχήµα 149

Για u=1, R1=R2, α=0.5 τότε

y=0.5

Σχήµα 150

Στοιχείο Ρ

Σχήµα 151

Για u=1, R1=R2, Α=1 τότε

-y=1

Σχήµα 152


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ

6.1 ∆ιαιρέτης Τάσης - Στοιχείο αναλογίας Ρ

6.1.1 ∆ιαιρέτης Τάσης

Συνδέστε το κύκλωµα του διαιρέτη τάσης χρησιµοποιώντας:

R1=1ΜΩ και R2=1ΜΩ.

Εφαρµόστε είσοδο u τετραγωνικό παλµό συχνότητας 50Ηz


Παρατηρείστε στον παλµογράφο, µετρείστε και σχεδιάστε

την χρονική απόκριση.

6.1.2 Στοιχείο αναλογίας Ρ

Συνδέστε το αναλογικό κύκλωµα αναλογίας, γνωστό ως κύ-

κλωµα αναστροφής.

Για τις ίδιες τιµές των αντιστάσεων R1=1ΜΩ και R2=1ΜΩ και

για είσοδο u τετραγωνικό παλµό επίσης συχνότητας 50Ηz και

εύρους ±5V, παρατηρείστε στον παλµογράφο, µετρείστε και

σχεδιάστε την χρονική απόκριση.

Συγκρίνατε τη συµπεριφορά των δύο στοιχείων, ιδίως σε

ότι αφορά το εύρος και την πολικότητα.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

6.2 Στοιχείο προπορείας φάσης Lead -

Στοιχείο αναλογίας διαφόρισης ΡD

Στοιχείο Lead

Σχήµα 153

Για u=1, Τ=1, α=0.5 τότε

y=0.5+0.5e-2t

Σχήµα 154

Στοιχείο ΡD

Σχήµα 155

Για u=1, T=1, Α=1 τότε

-y=1+δ

Σχήµα 156


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



6.2 Στοιχείο Lead - Στοιχείο ΡD

6.2.1 Στοιχείο προπορείας φάσης Lead

Συνδέστε το κύκλωµα προπορείας φάσης Lead.

Χρησιµοποιείστε: R1=1ΜΩ , R2=1ΜΩ , C=1nF.





Επαναλάβατε τις µετρήσεις για C=10nF.

6.2.2 Στοιχείο αναλογίας διαφόρισης ΡD

Συνδέστε το αναλογικό κύκλωµα αναλογίας διαφόρισης PD.

Χρησιµοποιείστε τις ίδιες τιµές R1 , R2 , C και την ίδια είσοδο

u.


τις χρονικές αποκρίσεις.

Συγκρίνατε τη συµπεριφορά των δύο στοιχείων.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

6.3 Στοιχείο καθυστέρησης φάσης Lag -

Στοιχείο αναλογίας ολοκλήρωσης ΡΙ

Στοιχείο Lag

Σχήµα 157

Για u=1, Τ=1, α=0.5 τότε

y=1-0.5e-0.5t

Σχήµα 158

Στοιχείο ΡI

Σχήµα 159

Για u=1, T=1, Α=1 τότε

-y=1+t

Σχήµα 160


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



6.3 Στοιχείο Lag - Στοιχείο ΡI

6.3.1 Στοιχείο καθυστέρησης φάσης Lag

Συνδέστε το κύκλωµα καθυστέρησης φάσης Lag.

Χρησιµοποιείστε: R1=1ΜΩ , R2=1ΜΩ , C=1nF.





Επαναλάβατε τις µετρήσεις για C=10nF.

6.3.2 Στοιχείο αναλογίας ολοκλήρωσης ΡΙ

Συνδέστε το αναλογικό κύκλωµα αναλογίας διαφόρισης PΙ.

Χρησιµοποιείστε τις ίδιες τιµές R1 , R2 , C και την ίδια είσοδο

u.





ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

6.4 Στοιχείο προπορείας - καθυστέρησης φάσης Lead - Lag -

Στοιχείο αναλογίας ολοκλήρωσης διαφόρισης ΡΙD

Στοιχείο Lead-Lag

Σχήµα 161

Για u=1, Τ1=Τ2=Τ12=1, α=0.38

Σχήµα 162

Στοιχείο ΡID

Σχήµα 163

TI=2, TD=0.5, Α=2

Σχήµα 164


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



6.4 Στοιχείο Lead - Lag - Στοιχείο ΡID

6.4.1 Στοιχείο προπορείας καθυστέρησης φάσης Lead - Lag

Συνδέστε το κύκλωµα προπορείας καθυστέρησης φάσης

Lead-Lag. Χρησιµοποιείστε: R1=1ΜΩ , R2=1ΜΩ , C1=1nF , C2=1nF.





Επαναλάβατε τις µετρήσεις για τα ζεύγη:

C1=10nF , C2=1nF

C1=1nF , C2=10nF

C1=10nF , C2=10nF

6.4.2 Στοιχείο αναλογίας ολοκλήρωσης διαφόρισης ΡΙD

Συνδέστε το αναλογικό κύκλωµα αναλογίας ολοκλήρωσης δι-

αφόρισης PΙD. Χρησιµοποιείστε τις ίδιες τιµές R1 , R2 , C1, C2

και την ίδια είσοδο u.





ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

6.5 Αναλογικό διάγραµµα ΡID

Σχήµα 165

Συνάρτηση µεταφοράς:

όπου:

TINT: σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης

TDIF: σταθερά χρόνου διαφόρισης

Χρονική απόκριση:

Σχήµα 166


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ



6.5 Αναλογικό διάγραµµα ΡID

Συνδέστε το αναλογικό διάγραµµα PΙD, χρησιµοποιώντας ως

διαφοριστή DIF ένα αναλογικό κύκλωµα διαφόρισης.

Επιλέξτε σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης: ΤΙΝΤ=1msec

και σταθερά χρόνου διαφόρισης: ΤDIF=RC=1msec

µε R=1ΜΩ , C=1nF.




την χρονική απόκριση για διάφορες τιµές των συντελεστών

αP, αΙ, αD.

Μελετήστε την επίδραση των συντελεστών αυτών στην χρο-

νική απόκριση.



«ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Ρ»

7.1 Έλεγχος αναλογίας συστήµατος πρώτης τάξης

7.2 Έλεγχος αναλογίας συστήµατος δεύτερης τάξης



Στην προηγούµενη άσκηση εξετάσαµε τους ελεγκτές, τον κάθε

ένα ξεχωριστά.

Σε αυτήν που ακολουθεί θα χρησιµοποιήσουµε έναν από αυτούς

και συγκεκριµένα τον ελεγκτή αναλογίας Ρ (proportional). Πιο συγκε-

κριµένα θα δούµε την επίδραση που έχει στα συστήµατα πρώτης

και δεύτερης τάξης σε λειτουργία ανοικτού συστήµατος αυτοµάτου

ελέγχου (χωρίς ανάδραση) και σε λειτουργία κλειστού συστήµατος

(µε ανάδραση).

Πριν λοιπόν ξεκινήσετε την άσκηση που ακολουθεί επαναλάβετε

τα όσα είδαµε στις ασκήσεις 4 και 5 σχετικά µε τα χαρακτηριστικά

των συστηµάτων πρώτης και δεύτερης τάξης. Μετά την εκτέλεση

της άσκησης 7 θα πρέπει να διαπιστώσετε και να διατυπώσετε τι

αλλάζει σε αυτά από την επίδραση του ελεγκτή αλλά και την ύπαρ-

ξη της ανάδρασης.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Ρ


Σχήµα 167

Ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς:

Έχει βηµατική απόκριση για: u=1, y=A(1-e-t/T).

Το αντίστοιχο κλειστό σύστηµα µε ελεγκτή αναλογίας C(s)=K

έχει για u=1, βηµατική χρονική απόκριση:

y=A0(1-e-t/T0) όπου

Σχήµα 168


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Ρ


Σχήµα 169

Συνδέστε το αναλογικό διάγραµµα ελέγχου ενός συστήµατος

πρώτης τάξης µε:

και ελεγκτή αναλογίας: C(s) = K = αΚλ.

Χρησιµοποιώντας ως είσοδο τετραγωνικό παλµό συχνότητας

50Ηz και εύρους ±5V εξετάστε την χρονική απόκριση:

α) Του ανοιχτού συστήµατος.

β) Του κλειστού συστήµατος για Κ=1 (αΚ=1 , λ=1)

γ) Του κλειστού συστήµατος για Κ=10 (αΚ=1 , λ=10).

Μετρείστε το εύρος και τη σταθερά χρόνου των χρονικών

αποκρίσεων και συγκρίνετε µε τις θεωρητικές τιµές.

Επισηµάνετε τις διαφορές σε σχέση µε τις µετρήσεις που

είχατε πραγµατοποιήσει στην § 4.1.

Κ=αΚλ


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


Σχήµα 167

Σύστηµα:

Ελεγκτής: C(s)=K

Βηµατική χρονική απόκριση:

Σχήµα 170


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Σχήµα 171

Συνδέστε το αναλογικό διάγραµµα ελέγχου ενός συστήµατος

δεύτερης τάξης µε:

και ελεγκτή αναλογίας: C(s) = K = αΚλ.

Χρησιµοποιώντας ως είσοδο τετραγωνικό παλµό συχνότητας

50Ηz και εύρους ±5V εξετάστε την χρονική απόκριση:

α) Του ανοιχτού συστήµατος.

β) Του κλειστού συστήµατος για Κ=1 (αΚ=1 , λ=1)

γ) Του κλειστού συστήµατος για Κ=10 (αΚ=1 , λ=10).

Εξετάστε την επίδραση του συντελεστή Κ στην µόνιµη τιµή

y3, την µέγιστη τιµή ym και την συχνότητα ω της χρονικής

απόκρισης.

Επισηµάνετε τις διαφορές σε σχέση µε τις µετρήσεις που

είχατε πραγµατοποιήσει στην § 5.1.



«ΕΛΕΓΧΟΣ ΡID»

8.1 Έλεγχος συστήµατος πρώτης τάξης

8.2 Έλεγχος συστήµατος δεύτερης τάξης



Η όγδοη και τελευταία άσκηση αποτελεί την κατάληξη των όσων

µελετήσαµε µέχρι τώρα στο Εργαστήριο.

Θα επιχειρήσουµε χρησιµοποιώντας διάφορους τύπους ελεγκτών

να ελέγξουµε τα συστήµατα πρώτης και δεύτερης τάξης, σε ότι α-

φορά τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά που αυτά έχουν.

Τονίζεται ότι όπως και στην έβδοµη άσκηση θα πρέπει να γίνει η

σύγκριση των συστηµάτων µε και χωρίς έλεγχο αλλά και τις διαφο-

ρές που παρουσιάζουν οι ελεγκτές µεταξύ τους.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


ΕΛΕΓΧΟΣ ΡID


Σχήµα 172

8.1.1 Έλεγχος Lead-PD

8.1.2 Έλεγχος Lag-PI

8.1.3 Έλεγχος Lead-Lag-PID

Σχήµα 173


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




ΕΛΕΓΧΟΣ ΡID


Σχήµα 174

Εφαρµόστε είσοδο r τετραγωνικό παλµό 50Ηz, ±5V. Συνδέστε

το αναλογικό διάγραµµα κλειστού συστήµατος ελέγχου µε

συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος πρώτης τάξης:

G(s)=1/(1+s). Επιλέξτε διαδοχικά:

8.1.1 Ελεγκτή Lead (α=0.5 , Τ=1 , Τ=10)

Ελεγκτή PD (A=1 , Α=10 , T=1)

8.1.2 Ελεγκτή Lag (α=0.5 , Τ=1 , Τ=10)

Ελεγκτή PI (A=1 , Α=10 , T=1)

8.1.3 Ελεγκτή Lead-Lag (α=0.38 , Τ1=1 , Τ2=1 , Τ12=1)

Ελεγκτή PID (A=1 , Α=10 , ΤI=1 , ΤD=1)

Εξετάστε την χρονική απόκριση y.


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ


8.2.1 Έλεγχος Lead-PD

8.2.2 Έλεγχος Lag-PI

8.2.3 Έλεγχος Lead-Lag-PID

Σχήµα 175


ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ




Συνδέστε το αναλογικό διάγραµµα κλειστού συστήµατος, µε

συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος δεύτερης τά-

ξης:

και επαναλάβατε τα ζητούµενα της προηγούµενης παραγρά-

φου 8.1 επιλέγοντας διαδοχικά:

8.2.1 Ελεγκτή Lead - PD

8.2.2 Ελεγκτή Lag - PI

8.2.3 Ελεγκτή Lead-Lag - PID.

Αναλογική Σχεδίαση Συστηµάτων • Σελίδα 180 Παράρτηµα • Σελίδα 181

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Αναλογική Εξοµοίωση ΣυστηµάτωνΜε Χρήση Ψηφιακού Ηλεκτρονικού Υπολογιστή


1. Γενικά H ανάγκη για την όσο το δυνατόν πιο αποτελεσµατική υλοποίη-

ση ολοκληρωµένων κυκλωµάτων, οδήγησε στον υπολογισµό και την

παραγωγή αλγορίθµων εξοµοίωσης της συµπεριφοράς των αναλογι-

κών στοιχείων. Με τον τρόπο αυτό η δοκιµή της λειτουργίας ενός

ολοκληρωµένου κυκλώµατος έγινε δυνατή πριν αυτό µπει στην δια-

δικασία της µαζικής παραγωγής, µειώνοντας έτσι το κόστος και αυ-

ξάνοντας την αποτελεσµατικότητα. Οι αλγόριθµοι αυτοί ενσωµατώ-

θηκαν σε διάφορα εµπορικά προγράµµατα ψηφιακού ηλεκτρονικού

υπολογιστή που πραγµατοποιούν την εξοµοίωση της συµπεριφοράς

ηλεκτρικών-ηλεκτρονικών στοιχείων και κυκλοφορούν ήδη από τα

µέσα της δεκαετίας του ‘80. Σχεδόν από την αρχή της χρήσης τέ-

τοιων προγραµµάτων φάνηκε η µεγάλη τους αξία στην εκπαίδευση,

καθώς ήταν πλέον δυνατή η εικονική µεταφορά ενός ολόκληρου

εργαστηρίου στον οικιακό υπολογιστή των εκπαιδευτικών αλλά και

των εκπαιδευόµενων και η επανάληψη των πειραµάτων σε όσες επα-

ναλήψεις ήταν επιθυµητό.

Aκόµα έδινε την δυνατότητα πραγµατοποίησης πειραµάτων κάνο-

ντας εικονική χρήση στοιχείων που δεν ήταν διαθέσιµα στο εργα-

στήριο.

2. Πλεονεκτήµατα Εκτός των προαναφεροµένων, τα πλεονεκτήµατα που δίνει η χρή-

ση τέτοιων προγραµµάτων είναι πάρα πολλά. Έτσι µπορεί να γίνει

η απεικόνιση των αποτελεσµάτων σε µορφή αρχείων τύπου bitmap

ή ASCII και στη συνέχεια να χρησιµοποιηθεί για την ένθεσή τους

σε τεχνικές εκθέσεις. Ακόµα σε συνδυασµό µε σύστηµα συλλογής

δεδοµένων µπορεί να γίνει σύγκριση των αποτελεσµάτων του πραγ-

µατικού κυκλώµατος µε αυτό της ψηφιακής εξοµοίωσης. Γενικά µπο-

ρούν τα προγράµµατα αυτά να “απελευθερώσουν” τον µελετητή από


οποιονδήποτε σχεδιαστικό περιορισµό και να µπορέσει έτσι να δει

πως θα συµπεριφερόντουσαν στοιχεία που στην πραγµατικότητα

δεν υπάρχουν, ή που είναι πάρα πολύ δύσκολο και δαπανηρό να κα-

τασκευαστούν.

3. Μειονεκτήµατα Με βάση τα προηγούµενα θα µπορούσε κάποιος να υποστηρίξει

πως πλέον η ανάγκη του πραγµατικού εργαστηρίου παύει να υπάρ-

χει. Με τη χρήση του διαδικτύου δεν είναι αναγκαία καν η φυσική

παρουσία των φοιτητών σε ένα εργαστήριο, αφού θα µπορούν απλά

να µελετούν τα κυκλώµατα στον προσωπικό τους υπολογιστή και

να επικοινωνούν ψηφιακά µε τον καθηγητή τους για παρατηρήσεις,

απορίες και καθοδήγηση. Όµως αν και αυτό εν µέρει είναι αλήθεια,

στη πράξη δεν µπορεί να αντικατασταθεί σε καµµία περίπτωση το

πραγµατικό εργαστήριο και ο λόγος είναι απλός. Κανένας αλγόριθ-

µος δεν γίνεται να προβλέψει και να προσεγγίσει τις τυχαίες συνθή-

κες που µπορεί να υπάρξουν σε έναν πραγµατικό χώρο, όπως αυτός

του εργαστηρίου. Ο τυχαίος θόρυβος των πραγµατικών διατάξεων

προσεγγίζεται από “ψευδοτυχαίους” αριθµούς στον ψηφιακό υπολο-

γιστή. Ακόµα βλάβες και δυσλειτουργίες που µπορεί να συµβούν από

λάθος συνδεσµολογία, υπερτάσεις του δικτύου παροχής ηλεκτρικής

ενέργειας, παλαιότητα των εξαρτηµάτων, κακές κολλήσεις και άλ-

λες, είναι σχεδόν πρακτικά αδύνατο να εξοµοιωθούν από οποιοδή-

ποτε πρόγραµµα. Τέτοιου είδους όµως δυσλειτουργίες συµβαίνουν

πολύ συχνά και ιδιαίτερα στις πρακτικές (εµπορικές-βιοµηχανικές)

εφαρµογές των διατάξεων στις οποίες ασκούνται οι φοιτητές, άρα

η πραγµατική εµπειρία µπορεί να αποκτηθεί µόνο από τη φυσική

χρήση. Χωρίς να χάνει τη σπουδαιότητά του, το ψηφιακό πρόγραµµα

εξοµοίωσης είναι ένα “δυνατό βοηθητικό εργαλείο” η χρησιµότητα

του οποίου µπορεί να αποδειχθεί µόνο αφού δοκιµαστούν στην πρά-


ξη τα αποτελέσµατα που εξάγει.

4. Παράδειγµα Κάνοντας χρήση του προγράµµατος LTspice/SwitcherCAD III της

εταιρίας Linear Technology, µία έκδοση του οποίου διατίθεται ελεύ-

θερα (freeware) από το διαδίκτυο στην ιστοσελίδα της εταιρίας

www.linear.com θα πραγµατοποιήσουµε την εξοµοίωση της λειτουρ-

γίας ενός ολοκληρωτή. Θα χρησιµοποιήσουµε το µοντέλο που αντι-

στοιχεί στο ολοκληρωµένο κύκλωµα τελεστικού ενισχυτή LT1001 µε

τάση κόρου ±14 Volt. Αντίσταση 1MΩ µε ανοχή 5% και κατανάλωση 1

Watt, πυκνωτή 1 nF µε ανώτερη τάση φόρτισης στα 16 Volt και αντί-

σταση σειράς 0.007 Ω και θα εισάγουµε ως τάση εισόδου τετραγω-

νικό παλµό 50 Hz ±5 Volt από πηγή µε αντίσταση σειράς 50Ω.

Στις προδιαγραφές της εξοµοίωσης θα θέσουµε ως όρο πως δεν

υπάρχουν αρχικές συνθήκες, δηλαδή πως οι χωρητικότητες είναι

πλήρως αφόρτιστες κατά την εκκίνηση λειτουργίας του κυκλώµατος

και χρόνο εκτέλεσης της εξοµοίωσης ίσο µε 40 msec.

Το κύκλωµα θα είναι το εξής:

Σχήµα 176: Κύκλωµα Ολοκληρωτή

Το κύκλωµα αυτό θα µας δώσει την χρονική απόκριση που φαίνε-

http://www.linear.com


ται στο παρακάτω σχήµα 177:

Σχήµα 177: Χρονική Απόκριση Ολοκληρωτή

Συγκρίνοντας µε τα θεωρητικά δεδοµένα για την αναµενόµενη

συµπεριφορά του ολοκληρωτή (βλ. σελίδα 122) παρατηρούµε πως

το αποτέλεσµα που µας έδωσε το ψηφιακό πρόγραµµα συµφωνεί

µε αυτά. Στην πρώτη ηµιπερίοδο έχουµε διαφορετική συµπεριφορά

από ότι στις επόµενες κι αυτό διότι όπως είπαµε ο πυκνωτής ξεκινά

πλήρως αφόρτιστος.

Αναλογική Εξομοίωση Συστημάτων

Documents