Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

22
ΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος © 2006 Nicolas Tsapatsoulis Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος

Upload: rafal

Post on 06-Jan-2016

43 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος. Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου.  Εισαγωγή  Είδη Μαθηματικών Μοντέλων  Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις  Συναρτήσεις Μεταφοράς  Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών. Βιβλιογραφία Ενότητας. - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος

Page 2: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3.1 – 3.8

◊ Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 3

◊ DiStefano [1995]: Chapters 3 & 6

◊ Tewari [2005]: Chapter 2: Sections 2.1 - 2.2, 2.6-2.7

Βιβλιογραφία Ενότητας

Page 3: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

◊ Με τον όρο περιγραφή ενός Σ.Α.Ε εννοούμε, γενικά, μια μαθηματική σχέση που συνδέει φυσικές ποσότητες και στοιχεία ενός συστήματος.

◊ Η μαθηματική αυτή σχέση συνθέτει το μαθηματικό μοντέλο ή πρότυπο του συστήματος

◊ Μαθηματικό μοντέλο ενός συστήματος είναι μια μαθηματική έκφραση που συσχετίζει την είσοδο, το σύστημα και την έξοδο με τέτοιο τρόπο ώστε να μας δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού της εξόδου του συστήματος κάτω από οποιαδήποτε διέγερση

◊ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν είναι μια οποιαδήποτε σχέση αλλά εκείνη η σχέση που μας δίνει τη δυνατότητα ανάλυσης του συστήματος, δηλαδή του προσδιορισμού της απόκρισης του για οποιαδήποτε διέγερση

◊ Ο προσδιορισμός του μαθηματικού μοντέλου μπορεί να αφορά τη(ν):◊ Κατάστρωση των εξισώσεων του συστήματος, δηλαδή με γνωστό το σύστημα

(φυσικά στοιχεία που το απαρτίζουν) χρησιμοποιούμε τις επιμέρους μοντελοποιήσεις των στοιχείων για τη δημιουργία του συνολικού μοντέλου του συστήματος.

◊ Παράδειγμα: Ένα ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό κύκλωμα

◊ Αναγνώριση συστήματος, δηλαδή το σύστημα είναι άγνωστο (μαύρο κουτί) ή αποτελείται από πολλά φυσικά στοιχεία ώστε να καταστρωθούν οι εξισώσεις περιγραφής του (π.χ το σύστημα αεροσκάφος)

Εισαγωγή

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 4: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Αναγνώριση συστήματος

◊ Το επόμενο σχήμα περιγράφει μια συνηθισμένη διάταξη που χρησιμοποιείται για την αναγνώριση συστημάτων και τη δημιουργία προσομοιωτών (simulators)

◊ Τόσο το σύστημα όσο και το μαθηματικό μοντέλο διεγείρονται από την ίδια διέγερση u(t) και σχηματίζεται η διαφορά e(t) των δύο αποκρίσεων y1(t) και y2(t)

◊ Το μαθηματικό μοντέλο τροποποιείται διαρκώς μέχρι η ποσότητα

να ελαχιστοποιηθεί

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

1

0

)(2t

t

dtteJ

Page 5: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

◊ Έχουν προταθεί διάφορα είδη μαθηματικών μοντέλων για την περιγραφή Σ.Α.Ε. Κάθε είδος έχει τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του. Τα τέσσερα πιο δημοφιλή είναι:

◊ Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις (Ο.Δ.Ε)◊ Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος (γραμμικό ή μη, χρονικά

αναλλοίωτο ή μη κλπ.)

◊ Δυσκολία ανάλυσης λόγω της δυσκολίας επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων

◊ Συναρτήσεις μεταφοράς◊ Εφαρμόζεται σε ΓΧΑ συστήματα χωρίς αρχικές συνθήκες.

◊ Ευκολία ανάλυσης (αλγεβρικές εξισώσεις) -Κλασική μεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε

◊ Πόλοι-μηδενικά◊ Εφαρμόζεται σε ΓΧΑ συστήματα

◊ Κατάλληλη μεθοδολογία για απλοποίηση μαθηματικών μοντέλων συστημάτων

◊ Κλασική μεθοδολογία ανάλυσης Σ.Α.Ε

◊ Εξισώσεις κατάστασης◊ Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος

◊ Δυνατότητα περιγραφής Σ.Α.Ε πολλών εισόδων – πολλών εξόδων

◊ Ευκολία προγραμματισμού σε Η/Υ – Σύγχρονη μεθοδολογία ανάλυσης

Είδη Μαθηματικών Μοντέλων

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 6: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

◊ Οι ολοκληρωδιαφορικές (Ο.Δ.Ε) είναι γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους (η/και διαφορικά) και ολοκληρώματα:

◊ Δυνατότητα περιγραφής κάθε είδους συστήματος (γραμμικό ή μη, χρονικά αναλλοίωτο ή μη κλπ.)

◊ Οι γραμμικές εξισώσεις καταστρώνονται με τη βοήθεια κάποιων φυσικών νόμων (π.χ Νόμοι Kirchoff για ηλεκτρικά κυκλώματα, νόμος δυνάμεων D’Alambert για μηχανικά συστήματα κλπ)

◊ Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις έχουν τη μορφή:

m

jj

j

j

n

iii

dt

tudb

dt

tyda

i

00

)()(

Page 7: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα

◊ Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε:

◊ Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff και τα απλά μοντέλα

◊ για τον αντιστάτη,

VR(t)=iR(t)*R

◊ πηνίο,

◊ πυκνωτή

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

)()(1)(

0

tvRidiCdt

tdiL

t

dt

tdiLtV L

L)(

)(

t

CC diC

tV0

)(1

)(

Page 8: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα (II)

◊ Να καταστρωθούν οι Ο.Δ.Ε για ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος:

◊ Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους.

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

)()(1

)(1

)(0

2

0

111 tvdiC

diC

tiRtt

0)(1)(

)()(1

0

22

22

0

1 tt

diCdt

tidLtiRdi

C

Page 9: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Συναρτήσεις Μεταφοράς Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

◊ Η συνάρτηση μεταφοράς Η(s) είναι μια μαθηματική σχέση στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας. Ισχύει για Γ.Χ.Α με μηδενικές αρχικές συνθήκες.

◊ Η συνάρτηση μεταφοράς ενός Γ.Χ.Α ορίζεται ως λόγος του μετασχηματισμού Laplace της εξόδου y(t) προς τον μετασχηματισμό Laplace της εισόδου u(t).

◊ Η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη γενική μορφή του λόγου δύο πολυωνύμων

◊ Ισοδύναμη περιγραφή με τη συνάρτηση μεταφοράς παρέχει η κρουστική απόκριση h(t) μόνο που η περιγραφή μέσω της κρουστικής απόκρισης είναι στο πεδίο του χρόνου

◊ H κρουστική απόκριση ενός Γ.Χ.Α με μηδενικές αρχικές συνθήκες είναι η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος είναι η κρουστική συνάρτηση δ(t).

◊ Ισχύει

)(

)(

)(

)()(

sU

sY

tuL

tyLsH

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sa

sbsH

nn

n

mm

mm

)()( 1 sHLth

Page 10: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα

◊ Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε:

◊ Η κατάστρωση της εξίσωσης προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff και τα απλά μοντέλα

◊ για τον αντιστάτη,

VR(t)=iR(t)*R

◊ πηνίο,

◊ πυκνωτή

)()(1)(

0

tvRidiCdt

tdiL

t

dt

tdiLtV L

L)(

)(

t

CC diC

tV0

)(1

)(

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 11: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα (II)

◊ Να ευρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς για ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος (έξοδος το ρεύμα στο πηνίο):

◊ Η κατάστρωση των εξισώσεων προέκυψε από εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους χρησιμοποιώντας τα μοντέλα στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας.

)()(1

)(1

)( 2111 sVsICs

sIsC

sIR 0)(1

)()()(1

22221 sICs

sLsIsIRsIsC

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

21212

1

2

)(

1

)(

)()(

RRsLCRRLCsRsV

sIsH

Page 12: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

◊ Όπως έχει ήδη αναφερθεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s) ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή του λόγου δύο πολυωνύμων

◊ Οι ρίζες του -pi πολυωνύμου a(s) ονομάζονται πόλοι του συστήματος και

οι ρίζες του -zi πολυωνύμου b(s) ονομάζονται μηδενικά του συστήματος.

Η θέση των πόλων του συστήματος μας δίνουν πολύ σημαντικές πληροφορίες για το σύστημα (π.χ για την ευστάθεια του)

◊ Εκφράζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς με τη μορφή γινομένου πόλων μηδενικών μπορούμε να έχουμε εικόνα αλληλο-εξουδετέρωσης πόλων μηδενικών.

◊ Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να προσεγγίσουμε το σύστημα με ένα μαθηματικό μοντέλο μικρότερης τάξης

Πόλοι - Μηδενικά Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasas

bsbsbsb

sa

sbsH

nn

n

mm

mm

n

ii

m

ii

nn

n

mm

mm

ps

zs

Kasasas

bsbsbsbsH

1

01

011

1

011

1

)(

)(

...

...)(

Page 13: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα

◊ Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την συνάρτηση μεταφοράς (έξοδος θεωρείται η τάση στα άκρα του πυκνωτή):

◊ Αν οι τιμές των στοιχείων είναι: R=10Ω, C=100nF, L=10mH, να βρεθεί το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος στη μορφή πόλων μηδενικών.

◊ ΑΠ.

1

1

)(

)()(

2

RCsLCssV

sVsH C

)1225.35.0(10)1225.35.0(10

10

11010

1

)(

)()(

44

9

529 jsjssssV

sVsH C

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 14: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα (συν.)

◊ Η απόκριση συχνότητας του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

101

102

103

104

105

106

-200

-150

-100

-50

0

Frequency (rad/s)

Pha

se (

de

gre

es)

101

102

103

104

105

106

10-3

10-2

10-1

100

101

Frequency (rad/s)

Mag

nitu

de

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 15: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα (συν.)

◊ Η βηματική απόκριση του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 16: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα (συν.)

◊ Η κρουστική απόκριση του προηγούμενου κυκλώματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10-3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

4 Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

Page 17: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Εξισώσεις Κατάστασης Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

◊ Οι εξισώσεις κατάστασης είναι μια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια μεγάλη γκάμα συστημάτων όπως γραμμικά, μη γραμμικά, χρονικά αναλλοίωτα ή μη, με ή χωρίς αρχικές συνθήκες

◊ Κατάσταση ονομάζουμε ένα σύνολο εσωτερικών μεταβλητών του συστήματος η παρακολούθηση των οποίων στον χρόνο μας δίνει περιγράφει το σύστημα.

◊ Ορισμός:

◊ Οι μεταβλητές κατάστασης x1(t), x2(t), …, xn(t) ενός συστήματος ορίζονται ως ένας

(ελάχιστος) αριθμός μεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουμε τις τιμές τους για

οποιαδήποτε χρονική στιγμή t0, τη συνάρτηση εισόδου που εφαρμόζεται στο

σύστημα για t≥ t0, και το μαθηματικό νόμο που συνδέει την είσοδο, τις

μεταβλητές κατάστασης και το σύστημα, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός

της κατάστασης του συστήματος για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t≥ t0.

Page 18: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Εξισώσεις Κατάστασης(ΙΙ)

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

◊ Έστω το σύστημα πολλών εισόδων – πολλών εξόδων του σχήματος. Μπορούμε να εκφράσουμε τις m εισόδους, p εξόδους και n μεταβλητές κατάστασης ως διανύσματα:

◊ Οι εξισώσεις κατάστασης ενός συστήματος είναι ένα σύστημα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που συνδέει το διάνυσμα εισόδου u(t) με το διάνυσμα κατάστασης x(t) και έχει τη μορφή:

όπου f είναι μια στήλη με n στοιχεία. Η συνάρτηση f είναι γενικά μια πεπλεγμένη μη γραμμική συνάρτηση των x(t) και u(t)

◊ Το διάνυσμα εξόδου y(t) συνδέεται με τα διανύσματα εισόδου u(t) και κατάστασης x(t) με την εξίσωση εξόδου:

)(

)(

)(

)( 2

1

tu

tu

tu

t

m

u

)(

)(

)(

)(2

1

ty

ty

ty

t

p

y

)(

)(

)(

)( 2

1

tx

tx

tx

t

n

x

)(),()( ttt uxfx

)(),()( ttt uxgy

Page 19: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Εξισώσεις Κατάστασης(ΙΙΙ)

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

όπου g είναι μια στήλη με p στοιχεία. Η συνάρτηση g είναι γενικά μια πεπλεγμένη μη γραμμική συνάρτηση των x(t) και u(t)

◊ Οι αρχικές συνθήκες των εξισώσεων κατάστασης είναι οι τιμές του διανύσματος κατάστασης x(t) για t=t0 (t0 ισούται συνήθως με 0) και

συμβολίζονται ως εξής:

◊ Οι εξισώσεις κατάστασης, η εξίσωση εισόδου και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν την περιγραφή ενός δυναμικού συστήματος στο χώρο κατάστασης:

)(

)(

)(

)(

0

02

01

00

tx

tx

tx

t

n

xx

)(),()( ttt uxfx

)(),()( ttt uxgy

00 )( xx t

Page 20: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με εξισώσεις κατάστασης

◊ Αν ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν την ειδική μορφή:

◊ Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις nxn και ονομάζεται πίνακας του συστήματος, ο πίνακας Β έχει διαστάσεις nxm και ονομάζεται πίνακας εισόδου, ο πίνακας C έχει διαστάσεις pxn και ονομάζεται πίνακας εξόδου, ο πίνακας D έχει διαστάσεις pxm και ονομάζεται απευθείας πίνακας.

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

)()()( ttt BuAxx

)()()( ttt DuCxy

00 )( xx t

nn

n

n

nn a

a

a

a

a

a

a

a

a

:

...

:

...

...

:2

1

2

22

12

1

21

11

A

nm

m

m

nn b

b

b

b

b

b

b

b

b

:

...

:

...

...

:2

1

2

22

12

1

21

11

B

pn

n

n

pp c

c

c

c

c

c

c

c

c

:

...

:

...

...

:2

1

2

22

12

1

21

11

C

pm

m

m

pp d

d

d

d

d

d

d

d

d

:

...

:

...

...

:2

1

2

22

12

1

21

11

D

Page 21: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Περιγραφή γραμμικών συστημάτων χρονικά μεταβαλλόμενων

◊ Αν ένα γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις κατάστασης παίρνουν τη μορφή:

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

)()()()()( ttttt uBxAx

)()()()()( ttttt uDxCy

00 )( xx t

Page 22: Περιγραφή Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

ΚΕΣ 01: Αυτόματος ΈλεγχοςΚΕΣ 01: Αυτόματος Έλεγχος

© 2006 Nicolas Tsapatsoulis

Παράδειγμα

◊ Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος περιγράφεται από την Ο.Δ.Ε (έξοδος η τάση στα άκρα της αντίστασης):

◊ Θεωρώντας ως μεταβλητές κατάστασης

◊ το ρεύμα στο πηνίο,

x1(t)=iL(t)

◊ τo φορτίο του πυκνωτή

◊ τότε ισχύει

)()(1)(

0

tvRidiCdt

tdiL

t

t

C ditx0

2 )()(

Εισαγωγή Είδη Μαθηματικών Μοντέλων Ολοκληρωδιαφορικές Εξισώσεις Συναρτήσεις Μεταφοράς Πόλοι-Μηδενικά Εξισώσεις Κατάστασης Αλλαγή Περιγραφών

)()()()( 12 txtititx LC

)()()(1

)( 121 tvtRxtxC

txL

)(

0

1

)(

)(

0

1

1)(

)(

2

1

2

1

tvL

tx

txLCL

R

tx

tx

)(

)(

0)(

2

1

tx

tx

Rty

0

0

2

1

)0(

)0(

)0(

)0(

)0(

CV

i

CV

i

x

x

c

L

x