Кут між прямою і площиною
TRANSCRIPT
10 – 11 класи
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝟏𝑩 і
площиною 𝑩𝑪𝑪𝟏.
Задача 1.
Відповідь: 𝟒𝟓°
Задача 2.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑩𝟏 і
площиною 𝑨𝑩𝑪𝟏.
Відповідь: 𝟑𝟎°
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 3.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑩𝟏 і
площиною 𝑨𝑪𝑪𝟏.
Відповідь: 𝟑𝟎°
𝐷1
A
𝐶1
B
CD
𝐵1𝐴1
Задача 4.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑩𝑩𝟏 і
площиною 𝑨𝟏𝑩𝑪.
Відповідь: 𝟒𝟓°
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 5.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑫𝑫𝟏 і
площиною 𝑨𝟏𝑩𝑪𝟏.
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟐
𝟐.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 6.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝟏𝑩 і
площиною 𝑨𝑪𝑫𝟏.
Відповідь: 𝟎°.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 7.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑪𝟏 і
площиною 𝑩𝑩𝟏𝑫𝟏.
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟐.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
О
Задача 8.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝟏𝑪 і
площиною 𝑩𝑪𝑪𝟏.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟐
𝟐.
Задача 9.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑩𝟏 і
площиною 𝑩𝑪𝟏𝑫.
𝑨
𝑫
B
C
А𝟏
𝐷1 𝐶1
B1
Відповідь: 𝟎°.
Задача 10.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑩𝑫𝟏 і
площиною 𝑩𝑪𝑪𝟏.
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟐
𝟐.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 11.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝟏𝑫𝟏 і
площиною 𝑨𝑪𝑩𝟏.
Відповідь: arcsin𝟑
𝟑
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Розв’язок
Задача 12.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑩 і
площиною 𝑪𝑩𝟏𝑫𝟏.
Відповідь: arcsin𝟑
𝟑
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Розв’язок аналогічно
до розв’язку задачі №11
Задача 13.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑫𝑫𝟏
площиною 𝑨𝑪𝑩𝟏.
Відповідь: arcsin𝟑
𝟑
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Розв’язок аналогічно
до розв’язку задачі №11-12
Задача 14.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑪 і
площиною 𝑩𝑪𝑫𝟏.
Відповідь: 𝟑𝟎°.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
Задача 15.
В кубі 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏𝑫𝟏
знайти між
прямою 𝑨𝑨𝟏 і
площиною 𝑩𝑪𝟏𝑫.
Відповідь: 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟐
𝟐.
А𝟏
C
B
𝐷
𝐴
𝐷1 𝐶1
B1
H
O
Пояснення: ∠𝐶𝐶1𝐻- кут,
що потрібно знайти.
Даний кут можна знайти
з ∆𝑂𝐶𝐶1
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
Задача 16.
В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑩𝑩𝟏 і
площиною 𝑨𝑩𝟏𝑪𝟏.
H
𝑯𝟏
Розв’язок: проведемо AH⊥C1B1 і
HH1∥ BB1; ∠AHH1- шуканий.
𝐴𝐻1
𝐻𝐻1= tg ∠AHH1; tg ∠AHH1=
3
2⇒ ∠AHH1= arctg
3
2.
Відповідь: arctg3
2
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
Задача 17.
В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑨𝑨𝟏 і площиною
𝑨𝑩𝟏𝑪𝟏.
H
Розв’язок: проведём А1H⊥C1B1
и А1K⊥𝐴𝐻 ⇒ ∠А1AH - шуканий.
𝐴1𝐻
𝐴𝐴1= tg ∠AHH1; tg ∠ А1AH =
3
2⇒ ∠ А1AH =arctg
3
2.
Відповідь: arctg3
2
K
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
Задача 18.
В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑩𝑪 і площиною 𝑨𝑪𝑪𝟏.
Відповідь: 𝟔𝟎°
Задача 19.
В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑩𝑪𝟏 і площиною
𝑨𝑪𝑪𝟏.
Розв’язок: проведемо BH⊥AC,
тоді BH⊥(𝑨𝑪𝑪𝟏) ⇒ BH⊥HC1, отже ∠HC1B - шуканий.
𝐻𝐵
𝐵𝐶1= sin ∠HC1B; sin ∠HC1B =
3
2: 2 =
6
4⇒
∠HC1B = arcsin6
4.
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
H
Відповідь: arcsin6
4.
Задача 20. В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑨𝑪 і площиною
𝑨𝑩𝟏𝑪𝟏.
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
x
y
z
Розв’язок: розв’яжемо задачу
координатно-векторним методом.
Введемо прямокутну систему
координат xyz.
А(3
2; −
1
2; 0) С(0;0;0) С1(0;0;1) 𝐵1(
3
2;1
2; 1)
𝑝 = 𝐴𝐶 −3
2;1
2; 0 - координати направляючого вектора
прямої АС
Запишемо рівняння площини
A𝐶1𝐵1: ax+by+cz+d=0.
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
x
y
z
3
2𝑎 −
1
2𝑏 + 𝑑 = 0,
𝑐 + 𝑑 = 0,
3
2𝑎 +
1
2𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 0;
⇒
𝑛3
3; −1; 1 , тоді
sinα = −
1
2−
1
2+0
1
3+1+1∙
3
4+
1
4
= 1
7
3
= 21
7. α = arcsin
21
7.
Відповідь: arcsin21
7.
A B
C
𝑨𝟏
𝑪𝟏
𝑩𝟏
Задача 21. В правильній трикутній
призмі 𝑨𝑩𝑪𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏, всі ребра
якої рівні 1, знайти кут між
прямою 𝑪𝑪𝟏 і плошиною
𝑨𝑪𝑩𝟏.
Розв’язок координатно-векторним
методом аналогічно до
розв’язування задачі №20. (Розв’язати самостійно)
Відповідь: arcsin21
7или 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2 7
7или 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
3
2.
