Функциональные ряды
TRANSCRIPT
Функциональные ряды
Манущева Алина, ФКН, 1 курс, группа 3.12010-2011 уч.г.
Содержание
Содержание..................................................................................................................2
1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов......3
1.1. Сходимость функциональной последовательности и ряда.........................3
а) Сходимость последовательности функций...................................................3
б) Сходимость функционального ряда..............................................................4
1.2. Равномерная сходимость функциональной последовательности................5
1.3. Геометрический смысл равномерной сходимости........................................5
1.4. Простейшие утверждения о равномерной сходимости................................6
1.5. Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях...............................................................................................7
1.6. Равномерная сходимость функциональных рядов........................................9
1.7. Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.......................................................................................................................10
2. Степенные ряды.....................................................................................................11
2.1. Область сходимости степенного ряда..........................................................11
2.2. Равномерная сходимость степенных рядов.................................................14
2.3. Основные свойства суммы степенных рядов..............................................15
3. Ряды Тейлора.........................................................................................................17
3.1. Введение..........................................................................................................17
3.2. Основные утверждения о рядах Тейлора.....................................................17
4. Разложение функций в степенные ряды............................................................18
1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
1.1. Сходимость функциональной последовательности и ряда
а) Сходимость последовательности функций. Определение 1. Функциональная последовательность – такая последовательность, членами которой являются функции.
Пусть функции f n ( x ) , n∈N , определенны на множестве Е и пусть x0∈ E. Если числовая последовательность f n ( x0 ) сходится, то говорят, что последовательность функций f n ( x ) сходится в точке х0.
Последовательность f n ( x ) , сходящуюся в каждой точке х∈ Е, называют сходящейся а множестве Е. Тогда на множестве Е определена функция f(x), значение которой в любой точке х∈ Е равно пределу последовательности f n ( x ) . Эту функция называют предельной функцией последовательности f n ( x ) на множестве Е и пишут
limn → ∞
f n(x)=f ( x ) , x∈ E ,(1)
илиf n ( x ) → f ( x ) , x∈ E
также
f n E→
f .
Запись (1) означает, что ∀ x∈ E∀ ε>0∃N=N ε ( x ) :∀n ≥ N →|f n ( x )−f ( x )|<ε.
Пример 1. Рассмотрим последовательность xn на отрезке [0,1]. Если 0 ≤ x < 1,
то limn→∞
xn = 0. Если x = 1, то
limn→∞
xn = 1. Следовательно,
xn →[ 0,1] f(x), где
f(x) = 0 , если x∈ [ 0,1[
1 , если x=1 .Графики функций y = xn для n = 1,2,3,4,5 и функции f(x), где x∈ [0,1],
приведены на рисунке 1.1.
3
y
1
10 x
n = 1 2 3 4 5
Рис. 1.1.
б) Сходимость функционального рядаОпределение 2. Множество всех значений x, при которых сходится
функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ), называется областью сходимости этого ряда.
Примеры 2. Дан функциональный ряд ∑n=1
∞ 1
xn.
При любом x ≠ 0 данный ряд является геометрической прогрессией,
знаменатель которой равен 1x . Следовательно, функциональный ряд
∑n=1
∞ 1
xn
сходится тогда и только тогда, когда |1x|<1
. Значит, область сходимости этого ряда (− ∞, −1)¿ (1, + ∞).
Пусть функции un ( x ) , n∈N , определены на множестве Е и пусть для каждого х ∈ Е существует конечный предел последовательности Sn( x), где
Sn ( x )=∑1
n
uk (x ). Тогда ряд
∑1
∞
un ( x )(2)
называют сходящимся на множестве Е.Если S(x) – предельная функция последовательности Sn( x) на множестве Е, т.е.
limn → ∞
Sn(x )=S ( x ) , x∈ E ,
то функцию S(x) называют суммой ряда (2) и пишут
∑1
∞
un(x)=S ( x ) , x∈E .
4
Пример 3. Если un ( x )=xn−1, E=(−1,1), то Sn ( x )=1−xn
1−x, S ( x )= 1
1−x.
1.2. Равномерная сходимость функциональной последовательности
Определение 3. Говорят, что Функциональная последовательность f n ( x ) сходится к функции f(x) на множестве E равномерно, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство
fn(x) − f(x) < ε.
Запись f n ( x ) ⇒V f(x) означает, что последовательность f n ( x ) сходится к
функции f(x) на множестве E равномерно.
Пример 4. Рассмотрим последовательность x
1+n2 x2 , где
x ∈( − ∞ , + ∞). Несложно убедиться, что эта последовательность сходится к функции f(x) = 0 на всей числовой прямой.
Для исследования на равномерную сходимость заметим, что (1− nx)2 ≥ 0. Отсюда 1 − 2 nx+ n2x2 ≥ 0. Тогда
| x |1+n2 x2
≤ 12 n , x ∈ (− ∞ , + ∞) , n ∈ N.
Так как limn→∞ 1
2n = 0, то для любого ε > 0 существует N = N(ε) такой, что
при всех n ≥ N выполняется неравенство1
2 n < ε. Тогда при всех n ≥ N одновременно для всех x∈ (−∞,+ ∞) получим
| x
1+n2 x2− 0 |
=
| x |1+n2 x2
≤ 12n < ε.
Значит, сходимость последовательности к функции f(x) = 0 на всей числовой прямой является равномерной, то есть
x
1+n2 x2 ⇒(−∞ ,+∞) f(x) = 0.
1.3. Геометрический смысл равномерной сходимости.
Предположим, что функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Для любого ε > 0 можно рассмотреть множество (см. рис. 7.3):
Qε ( f ) = M(x, y) ∈ R 2 a ≤ x ≤ b, f(x) − ε < y < f(x) + ε .
5
y
y = f(x) + ε
Qε ( f )
y = f(x) – ε
y = f(x)
0 ab x
Рис. 7.3
Последовательность f n ( x ) сходится к функции f(x) на отрезке [a, b] равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при n ≥ N график функции y = fn(x) целиком находится в множестве Qε ( f ).
1.4. Простейшие утверждения о равномерной сходимости
1. Если fn(x) ⇒E f(x), а множество W ⊂ E, то fn(x)
⇒W f(x).
2. Если fn(x) ⇒E f(x) и φn(x)
⇒E φ(x), а λ и μ − некоторые числа, то
последовательность
λ fn(x) + μ φn(x) ⇒E λ f(x) + μ φ(x).
3. Если последовательность fn(x)⇒E f(x), а функция φ(x) ограничена на
множестве E, то φ(x) fn(x) ⇒E φ(x) f(x).
4. Если fn(x) ⇒E1 f(x), fn(x)
⇒E2 f(x), то fn(x)
⇒E1∪E2 f(x).
5. Пусть для каждого n ∈ N существует число
dn = sup
E|f n ( x )− f ( x )|
.Последовательность fn(x) сходится к функции f(x) равномерно на
множестве E тогда и только тогда, когда limn→∞
dn = 0.
Доказательство необходимости. Если fn(x)⇒E f(x), то для любого ε > 0
существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x∈E выполняется
неравенство fn(x) − f(x)< ε2 . Тогда
dn = sup
E|f n ( x )− f ( x )|
≤ ε2 < ε.
6
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что
при всех n ≥ N выполняется неравенство dn < ε. Значит, limn→∞
dn = 0.
Доказательство достаточности. Если limn→∞
dn= 0, то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство
dn = sup
E fn(x) − f(x)< ε. Это означает, что при всех n ≥ N одновременно для
всех x∈V выполняется неравенство fn(x) − f(x)< ε. Значит, fn(x) ⇒E f(x).
1.5. Основные утверждения о равномерно сходящихся функциональных последовательностях
Теорема 1.5.1. Последовательность fn(x) сходится на множестве V равномерно тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) (зависящий только от ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x∈V выполняется неравенство
|fn(x) – fm(x)| < ε .
Доказательство необходимости. Если fn(x) ⇒V f(x), то для любого ε > 0
существует номер N = N(ε) такой, что при всех n≥N одновременно для всех x∈
V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| < ε2 . Тогда при всех m, n ≥ N и всех
x∈V получим
|fn(x) – fm(x)| = |fn(x) – f(x) + f(x) – fm(x) | ≤ |fn(x) – f(x)| + |fm(x) – f(x)| < ε2 +
ε2 = ε.
Доказательство достаточности. По условию, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всехx∈V выполняется неравенство
| fn(x) – fm(x)| < ε2 . (1.5.1)
Это означает, что при каждом x ∈V числовая последовательность fn(x)
является фундаментальной и, следовательно, она сходится. Положим limn→∞ fn(x)
= f(x), x∈V. Из неравенства (1.5.1) следует, что при m, n ≥ N и любом x ∈ V выполняется неравенство
fm(x) − ε2 < fn(x) < fm(x) +
ε2 (1.5.2)
В неравенстве (1.5.2) зафиксируем n ≥ N и перейдем к пределу при
m → +∞. Получим f (x) − ε2 ≤ fn(x) ≤ f (x) +
ε2 , где n ≥ N, x ∈ V. Значит,
|fn(x) – f (x)| < ε2 < ε, где n ≥ N, x ∈ V.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ V выполняется неравенство
|fn(x) – f (x)| < ε. Значит, fn(x) ⇒V f(x).
7
Пример 5. Рассмотрим последовательность fn(x), где
f n( x )=nx , 0≤x≤1n
1 ,1n<x≤1
.Покажем, что сходимость fn(x) на отрезке [0,1] не является
равномерной. Если последовательность fn(x) сходится на отрезке [0,1]
равномерно, то для ε=1
4 найдётся номер N такой, что при всех m, n ≥ N и всех x∈[ 0,1 ]выполняется неравенство
|fn(x) – fm(x)| ¿ 1
4 . (1.5.3)
Если m = 2n, где n ≥ N , а x =1
2n , то f n( x )=f n(
12n
)=n⋅ 12 n
=12 ,
f m( x )=f 2n (1
2 n)=2 n⋅ 1
2n=1.
Тогда | fn(x) – fm(x)| = |12 − 1| =
12 , что
противоречит неравенству (1.5.3).
Теорема 1.5.2. Если fn(x)⇒V f(x), а все функции fn(x), n∈N,
непрерывны на множестве V, то и функция f(x) непрерывна на множестве V. Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Так
как fn(x)⇒V f(x), то существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N и x ∈
V выполняется неравенство |fn(x) – f(x)| <ε3 . Рассмотрим произвольную точку x0
∈V. По условию, функция fN(x) непрерывна на множестве V, а, следовательно, и в точке x0. Это означает, что существует окрестность Sδ(x0) такая, что для
любого x∈Sδ ( x0 )∩V выполняется неравенство
|fN(x) – fN(x0)| ¿ ε
3 .
Тогда для любой точки x∈Sδ ( x0 )∩V получим|f (x) – f (x0)| = |f (x) – fN(x) + fN(x) – fN(x0) + fN(x0) − f (x0)| ≤ |f (x) – fN(x)| + | fN(x)
−fN(x0)| + | fN(x0) − f (x0)| < ε3 +
ε3 +
ε3 = ε.
Таким образом для любого ε > 0 существует окрестность Sδ(x0) такая, что для всех x∈ Sδ(x0)∩V выполняется неравенство
|f (x) – f (x0)| < ε. Значит, функция f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Пример 6.
1
1+xn [ 0,+∞[ f ( x )=1 , 0≤x <112
, x=1
0 , x>1 .
8
Все функции fn(x) =
1
1+ xn, n∈N, непрерывны на полуинтервале [0,+∞), а
функция f(x) имеет разрывы. Следовательно, сходимость на полуинтервале [0,+∞) не является равномерной.
Теорема 1.5.3. Если fn(x) ⇒V f(x), а все функции fn(x), n∈N,
непрерывны на отрезке [a,b], то ∫
a
b
f n ( x )dx →∫a
b
f ( x )dx.
Доказательство. Пусть ε > 0 − произвольное положительное число. Из равномерной сходимости следует, что существует номер N = N(ε) такой, что
при всех n ≥ N и x∈[a,b] выполняется неравенство |f n (x )−f ( x )|< ε
2(b−a ) . Тогда, при
всех n ≥ N получим
|∫a
b
f n (x )dx−∫a
b
f ( x )dx|≤|∫a
b
|f n( x )−f (x )|dx|¿ ε2(b−a) (b − a) =
ε2 < ε.
Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что
при всех n ≥ N выполняется неравенство |∫
a
b
f n (x )dx−∫a
b
f ( x )dx|<ε. Это означает, что
числовая последовательность ∫
a
b
f n ( x )dx является сходящейся и имеет предел
∫a
b
f ( x )dx, то есть
∫a
b
f n ( x )dx →∫a
b
f ( x )dx. Теорема доказана.
Пример 7. Функциональная последовательность 1
1+xn ⇒[ 0,
23
]1. Функции
fn(x) =
1
1+ xn, n∈N, непрерывны на отрезке [0 ,
23 ]. Значит,
∫0
23
dx
1+xn →∫0
23
1⋅dx =
23 .
1.6. Равномерная сходимость функциональных рядов
Определение 4. Функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится к функции S(x)
равномерно на множестве E, если последовательность его частичных сумм Sn(x) сходится равномерно к функции S(x) на множестве E, т.е.
Sn(x) ⇒E S (x) .
Пример 8. Областью сходимости функционального ряда ∑n=1
∞
(−1 )n−1 xn−1
является
интервал (−1, 1) , причём ∑n=1
∞
(−1 )n−1 xn−1
= 1
1+ x , x∈(−1,+1).
9
Докажем, что сходимость не является равномерной. Предположим, что
ряд ∑n=1
∞
(−1 )n−1 xn−1
сходится на интервале (−1,+1) равномерно. Тогда для ε =13
найдётся номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x∈(−1,+1) выполняется неравенство
|Sn(x) − S(x)| < 13 ,
где Sn(x) =
1+(−1)n+1 xn
1+x , S(x) = 1
1+ x . Значит, при n ≥ N и всех x∈(−1,+1)
выполняется неравенство
|x|n
1+ x< 1
3 . Зафиксируем в этом неравенстве n ≥ N и
перейдём к пределу при x→1−0. Получим 12≤1
3 . Полученное противоречие означает, что сходимость функционального ряда на интервале (−1,+1) не является равномерной.
1.7. Простейшие утверждения о равномерной сходимости функциональных рядов.
1. Функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится к функции S(x) равномерно на
множестве E тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство
|Sn(x) − S(x)| < ε .
2. Функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится на множестве E равномерно
тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство
|Sn(x) – Sm(x)| < ε.
3. Если функциональные ряды ∑n=1
∞
un ( x ) и
∑n=1
∞
vn( x ) сходятся на множестве E
равномерно, а λ и μ – некоторые числа, то и ряд ∑n=1
∞
(λun(x)+μvn(x)) сходится на этом множестве равномерно.
4. Если функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится на множестве E
равномерно, а функция φ(x) ограничена на этом множестве, то и ряд ∑n=1
∞
ϕ ( x )un ( x )
сходится на множестве E равномерно.
10
Теорема 1.7.1 (признак равномерной сходимости Вейерштрасса).
Функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится на множестве E равномерно и
абсолютно, если un(x)≤ an для всех x ∈ E и n ∈ N, а числовой ряд ∑n=1
∞
an
сходится.
Доказательство. Если числовой ряд ∑n=1
∞
anсходится, то сходится и
последовательность его частичных сумм Sn. Значит, последовательность Sn является фундаментальной. Тогда, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех
m, n ≥ N выполняется неравенство |Sn−Sm|<ε .Рассмотрим последовательность частичных сумм функционального ряда
∑n=1
∞
un ( x ). Если m > n ≥ N, то
|Sm(x) − Sn(x)| = |u1(x)+...+ un(x)+ un+1(x)+...+ um(x) − u1(x) −...− un(x)| == |un+1(x) + un+2(x) +...+ um(x)| ≤ | un+1(x)| + | un+2(x)| +...+ | um(x)| ≤≤ an+1 + an+2 +...+ am = Sm − Sn = |Sm − Sn| < ε.Аналогично, если n > m ≥ N , то |Sn(x) − Sm(x)| ≤ Sn − Sm = | Sn − Sm | < ε. Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что
при всех m, n ≥ N одновременно для всех x ∈ E выполняется неравенство |Sn(x) – Sm(x)| < ε.
По утверждению 2 функциональный ряд ∑n=1
∞
un ( x ) сходится на множестве
W равномерно. Теорема доказана.
Пример 9. Функциональный ряд ∑n=1
∞ sin( nx )n2
сходится равномерно и
абсолютно на всей числовой прямой, так как |sin (nx )
n2|≤ 1
n2 для всех x ∈ ]−∞, +∞[
и n ∈ N, а числовой ряд ∑n=1
∞ 1
n2 сходится.
2. Степенные ряды
2.1. Область сходимости степенного ряда
Функциональный ряд видаа0 + а1 (x − c) + а2 (x − c)2 + …+ аn (x − c)n + …
называется степенным рядом. Числа а0, а1, а2, …, аn , …
11
называются коэффициентами степенного ряда, а число c – центром степенного ряда.
Степенной ряд с центром в точке c можно записать кратко: ∑n=0
∞
an (x−c )n
.Если c = 0, то степенной ряд с центром в нуле имеет вид:
а0 + а1 x + а2 x2 + …+ аn xn + …, или ∑n=0
∞
an xn
.
Очевидно, что степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
всегда сходится при x = c. Если
степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится только при x = c, то он называется всюду расходящимся. Если же степенной ряд сходится на всей числовой прямой, то его называют всюду сходящимся.
Теорема 2.1.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
сходится при x = x 1 ≠ 0, то он сходится и притом абсолютно при всехx<x1.Если степенной
ряд∑n=0
∞
an xn
расходится при x = x2, то он расходится при всех x>x 2.
Доказательство. Предположим, что степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
сходится при x
= x1 ≠ 0. Это означает, что сходится числовой ряд ∑n=0
∞
an x1n
. В силу необходимого
признака сходимости числового ряда limn→∞
an x1n
= 0. Значит, существует число М > 0 такое, что
|an x1n|≤ M, n ∈ N.
Еслиx<x1,то
|an xn|=|an x1n( x
x1 )n
|=|an x1n|⋅| x
x1
|n
≤M⋅| xx1
|n
, n∈N.
Ряд ∑n=0
∞M⋅| x
x1
|n
сходится, так как является геометрической прогрессией со
знаменателем q =| x
x1
| < 1. Тогда ряд
∑n=0
∞
|an xn| сходится при всехx<x1, так
как имеет сходящуюся мажоранту ∑n=0
∞M⋅| x
x1
|n
. Следовательно, степенной ряд
∑n=0
∞
an xn
сходится абсолютно при всех x<x1.
12
Предположим, что степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
расходится при x = x2, но сходится при x = x3, где x3>x2(см. рис. 11.1). Из уже доказанного следует,
что степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
должен сходиться на интервале (−x3,x3), что противоречит условию, поскольку
x2 ∈ (−x3, x3).
сходимость
0
Рис. 2.1.
Следствие 1. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число R > 0 такое, что степенной ряд сходится абсолютно при всехx< R и расходится при всехx> R .
Доказательство. По условию существуют точки: x1 ≠ 0, в которой ряд сходится и x2, в которой ряд расходится. Если Ω − область сходимости
степенного ряда ∑n=0
∞
an xn
, то по теореме Абеля имеем (−x1, x1) ⊂ Ω и Ω ⊂ (−x2, x2) (см. рис. 11.2).
расходимость сходимость расходимость
0
Рис.2.2.
Так как числовое множество Ω ограничено сверху, то существует число R = Sup Ω. Очевидно, что R > 0.
Покажем, что степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
расходится при всех x> R и сходится абсолютно при всехx< R .
Если степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
сходится при x = y, где y> R, то по теореме Абеля (−y, y) ⊂ Ω. Тогда Sup Ω ≥ y> R. Противоречие. Следовательно, степенной ряд расходится при всехx> R.
13
Если же ряд ∑n=0
∞
an xn
расходится при x = z, гдеz< R, то Ω ⊂ ] −z, z[ . Тогда R = Sup Ω ≤ z< R. Из полученного
противоречия (R < R) следует, что степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
сходится при всехx< R, причем абсолютно.
Следствие 2. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
не является всюду сходящимся или всюду расходящимся, то существует число
R > 0 такое, что степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится абсолютно при всехx − c < R и расходится при всехx − c > R.
Доказательство. Положим z = x − c. Тогда степенной ряд примет вид:
∑n=0
∞
an zn
. По первому следствию, найдется число R > 0 такое, что степенной ряд
∑n=0
∞
an zn
сходится абсолютно при всехz< R и расходится при всех z> R.
Следовательно, степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится абсолютно при x − c < R и расходится при x − c > R.
Определение 5. Число R > 0 такое, что ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится абсолютно приx − c< R и расходится приx − c> R, называется радиусом сходимости этого ряда.
Интервал (c − R, c + R) называется интервалом сходимости степенного
ряда ∑n=0
∞
an (x−c )n
.Замечание. Будем считать, что радиус сходимости всюду сходящегося ряда равен + ∞, а всюду расходящегося 0.
Чтобы найти область сходимости Ω степенного ряда ∑n=0
∞
an (x−c )n
, необходимо вначале определить радиус сходимости этого ряда R. Если R = 0, то область сходимости ряда Ω = c.
Если R = +∞, то Ω = (− ∞, + ∞) . Если же 0 < R < + ∞, то интервал
сходимости ряда ]c−R,c+R[⊂Ω и степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
расходится при всехx − c> R. Для отыскания области сходимости Ω степенного ряда
14
достаточно выяснить сходится или расходится ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
при x = c − R и x = c + R.
Пример 10. Рассмотрим степенной ряд ∑n=0
∞ xn
n ! . Для отыскания радиуса сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламбера:
limn→∞
|cn+1
cn
|= limn→∞
| xn+1
(n+1 )!⋅n !
xn|= lim
n→∞(|x| 1n+1 )=|x|⋅lim
n→∞ ( 1n+1 )=0
.
Так как limn→∞
|cn+1
cn
| = 0 < 1 при любом x ∈ ]− ∞, + ∞[, то степенной ряд
сходится абсолютно на всей числовой прямой. Следовательно, R = +∞, Ω = (− ∞, + ∞) .
2.2. Равномерная сходимость степенных рядов
Лемма 1. Степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится равномерно и абсолютно на любом отрезке внутри интервала сходимости ]c−R, c+R[.
Доказательство. Предположим, что [a, b] ⊂ ]c − R , c + R [ , где R > 0. Тогда a − c < R и b − c < R . Положим
d = max a − c , b − c . Если x∈[a, b], то x − c ≤ d . Тогда
an·x − cn ≤ an·d n, n∈N. Степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится абсолютно при x = c + d, поскольку x − c = d < R. Это означает, что сходится числовой ряд
∑n=0
∞
|an|dn
. Тогда степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] по признаку Вейерштрасса.
Лемма 2. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an xn
сходится при x = R, то он сходится равномерно на отрезке [0, R].
Следствие. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится при x = c + R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке
[c, c + R]. Если степенной ряд∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится при x = c −R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке [c − R, c].
Теорема 2.2.1. Степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится равномерно на любом отрезке в его области сходимости.Ω = [c − R, c + R], рассматриваются аналогично.
15
Пример 11. Дан степенной ряд ∑n=1
∞(−1 )n−1 xn
n . Тогда limn→∞
|cn+1
cn
|= limn→∞
|xn+1|⋅n
(n+1)⋅|x|n=|x|
.Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при |x| < 1 и
расходится при |x| > 1. В точке x = 1 имеем числовой ряд ∑n=1
∞(−1 )n−1 1
n , который
сходится по теореме Лейбница. При x = − 1 получаем гармонический ряд ∑n=1
∞ 1n ,
который расходится. Значит, область сходимости данного степенного ряда Ω =
(−1, 1]. По теореме 12.1, степенной ряд ∑n=1
∞(−1 )n−1 xn
n сходится равномерно на любом отрезке [a, 1] ⊂ (−1, 1].
2.3. Основные свойства суммы степенных рядов
Теорема 2.3.1 (о непрерывности суммы степенного ряда). Если степенной ряд
∑n=0
∞
an (x−c )n
не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в области сходимости этого ряда.
Пример 12. Дан степенной ряд ∑n=0
∞(−1 )n x2 n+1
2n+1 . Область сходимости данного ряда Ω = [−1,1]. Значит,
∑n=0
∞(−1 )n x2 n+1
2n+1 = S(x), где x∈[−1,1].По теореме 13.1 функция S(x) непрерывна на отрезке [−1,1].
Теорема 2.3.2 (о почленном интегрировании степенного ряда). Пусть
степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
не является всюду расходящимся.
Если ∑n=0
∞
an (x−c )n
= S(x), x ∈ Ω, то
∑n=0
∞ an
n+1( x−c )n+1
= ∫c
x
S ( t )dt, x∈ Ω.
Пример 13. Степенной ряд ∑n=0
∞
(−1 )n x2n
является геометрической прогрессией со
знаменателем q = − x2. Следовательно, Ω = ]−1,1[. Тогда ∑n=0
∞
(−1 )n x2n
=
1
1+ x2,
где x∈]−1,1[. По теореме об интегрируемости суммы степенного ряда
∑n=0
∞(−1 )n x2 n+1
2n+1 = ∫0
x1
1+t2dt
= arctg x, где x∈]−1,1[ .
16
Однако степенной ряд ∑n=0
∞(−1 )n x2 n+1
2n+1 сходится на отрезке [−1,1], а его сумма S(x) непрерывна на этом отрезке. Следовательно,
∑n=0
∞(−1 )n x2 n+1
2n+1 = arctg x, где x∈[−1,1].В частности, при x = 1 получим
∑n=0
∞(−1 )n 1
2n+1 = arctg 1 = π4 .
Если дан степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
, то можно рассмотреть новый ряд
∑n=1
∞
nan( x−c )n−1
, полученный почленным дифференцированием исходного ряда.
Лемма 3. При почленном дифференцировании степенного ряда ∑n=0
∞
an xn
его радиус сходимости не изменяется.
Следствие. При почленном дифференцировании степенного ряда
∑n=0
∞
an (x−c )n
его радиус сходимости не изменяется.
Теорема 2.3.3. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
не является всюду расходящимся, то его можно почленно дифференцировать сколь угодно много раз внутри интервала сходимости.
3. Ряды Тейлора
3.1. Введение
Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0∈R, то имеет место формула Тейлора:
f(x) = f(x0) +
f ' ( x0 )1!
( x−x0 )+f ' ' ( x0)
2!( x−x0 )
2+. . .+f (n )( x0 )
n !( x−x0 )
n+α( x−x0 )n
,где α → 0 при x → x0.
Если же функция f(x) дифференцируема в точке x0 сколь угодно много раз, то можно составить ряд Тейлора для функции f(x):
∑n=0
∞ f (n)( x0 )n !
( x−x0 )n
.Замечание. Если x0 = 0, то степенной ряд
∑n=0
∞ f (n)(0)n !
xn
называется рядом Маклорена для функции f(x).
17
Пример 14. Рассмотрим функцию f(x) = sin x. Тогда
f (n)(x) = sin( x+ nπ
2) , n = 0,1,2, ...
Следовательно, если n − чётное число, то f (n)(0) = sin( nπ
2 ) = 0.
Если n = 2k – 1, k = 1,2,3, ..., то f (n)(0) = sin( n
π2
) = (−1)k−1.
Тогда ряд Маклорена для функции f(x) = sinx имеет вид:
x− x3
3 !+ x5
5 !−. ..+(−1)k−1 x2 k−1
(2 k−1)!+.. .
3.2. Основные утверждения о рядах Тейлора.
1º. Если степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
сходится к функции f (x) на интервале (c−R, c+R) , R > 0, то он является рядом Тейлора для функции f (x).
Доказательство. По условию,
∑n=0
∞
an (x−c )n
= f(x), x∈(c−R, c+R).Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала
сходимости сколь угодно много раз. Следовательно, имеем следующие равенства:
∑n=1
∞
nan( x−c )n−1
= f ′(x),
∑n=2
∞
n (n−1 )an( x−c )n−2
= f ″(x),
∑n=3
∞
n (n−1 )(n−2 )an (x−c )n−3
= f ′″(x),…………………………………………..
∑n=k
∞
n(n−1 ). . .(n−k+1)an ( x−c )n−k
= f (k)(x),…………………………………………………
Тогда при x = c получим соотношения:a0 = f(c), 1∙ a1 = f ′(c), 2∙1∙ a2 = f ″(c), 3∙2∙1∙ a3 = f ″′(c), ..., k(k − 1) ∙...∙2∙1∙ ak = f (k)(c), ...Отсюда
a0 = f(c), a1 = f ' (c )
1 ! , a2 = f ' ' (c )
2 ! , a3 =
f ' ' '(c )3 ! , ..., ak =
f (k )( c )k ! , ....
Это означает, что степенной ряд ∑n=0
∞
an (x−c )n
является рядом Тейлора для функции f (x).
18
2º. Ряд Тейлора для функции f (x) не обязан сходится к самой функции f (x).
3º. Предположим, что функция f (x) дифференцируема на интервале (x0−∆, x0+∆) сколь угодно много раз. Ряд Тейлора для функции f (x) сходится на интервале (x0−∆, x0+∆) к самой функции f (x) тогда и только тогда, когда
limn→∞
∫x 0
x
f (n+1)( t )( x−t )n
n!dt
= 0, x∈(x0−∆, x0+∆).Следствие. Пусть функция f (x) дифференцируема сколь угодно много
раз на интервале (x0−∆, x0+∆) , ∆ > 0. Если существует число М > 0 такое, что
|f (n )( x )|≤ M n для любого x ∈ (x0−∆, x0+∆), n∈N, то ряд Тейлора для функции f (x)
сходится к самой функции f (x) на интервале (x0−∆, x0+∆).
4. 111Глава формулы 1 Раздел 1Разложение функций в степенные ряды
Говорят, что функция f (x) разлагается в ряд по степеням (x − x0), если существует степенной ряд
∑n=0
∞
an (x−x0 )n
,который сходится к функции f (x) в некоторой окрестности точки x0, то
есть
f (x) = ∑n=0
∞
an (x−x0 )n
, x∈Sδ ( x0 ).Замечание. Если функция f (x) разлагается в ряд по степеням (x − x0), то этот ряд является рядом Тейлора для функции f (x) .
Теорема 4.1. Имеют место следующие равенства:
1) 1
1−x = ∑n=1
∞
xn−1
; x∈(−1 , 1) ;
2) e x = ∑
n=0
∞ xn
n ! , x∈(−∞, +∞) ;
3) sin x =∑n=1
∞(−1)n−1 x2 n−1
(2 n−1)! , x∈(−∞, +∞) ;
4) cos x =∑n=0
∞(−1 )n x2n
(2 n)! , x∈(−∞, +∞) ;
5) ln(1+x) =∑n=1
∞(−1 )n−1 xn
n , x∈(−1, 1) ;
6) arctg x = ∑n=1
∞(−1 )n−1 x2n−1
2n−1 , x∈[−1, 1] ;
19
7) (1+x )α = 1+ ∑
n=1
∞ α (α−1)( α−2). . .(α−n+1 )n!
xn
, x∈(−1, 1) .Доказательство. Докажем равенство 5). Известно, что
11+ t =
∑n=1
∞
(−1 )n−1 tn−1
; t∈(−1, 1) .Это равенство можно проинтегрировать почленно на отрезке [0, x], где x∈(−1, 1) :
∫0
xdt
1+t=∑
n=1
∞(−1)n−1∫
0
x
tn−1dt.
Тогда
ln (1+x )= ∑n=1
∞(−1)n−1 xn
n , x∈(−1, 1) .
Областью сходимости ряда ∑n=1
∞(−1 )n−1 xn
n является полуинтервал (−1, 1]. Следовательно,
∑n=1
∞(−1 )n−1 xn
n = S(x), x∈(−1, 1] ,причем функция S(x) непрерывна на полуинтервале (−1, 1]. Так как S(x) = ln(1 + x), x∈(−1, 1), то
ln (1+x )= ∑n=1
∞(−1)n−1 xn
n , x∈(−1, 1] .
Пример 15. Чтобы разложить функцию f (x) = e− x2
в ряд по степеням x, рассмотрим равенство
e t = ∑n=0
∞ tn
n ! , t∈(−∞, +∞) .Положим t = − x2. Тогда
e− x2
= ∑n=0
∞
(−1 )n x2 n
n! , x ∈(−∞, +∞) .
Пример 16. Рассмотрим функцию f (x) = ln
1+x1−x . Заметим, что
ln (1+x ) = x− x2
2+ x3
3+. ..+(−1 )n−1 xn
n+ .. . , x∈(−1,1 ]
;
ln (1−x ) = −x− x2
2− x3
3−.. .− xn
n−. .. , x∈[−1,1 )
.
Тогда при x∈(−1, 1) получим:
f (x) = ln
1+x1−x = ln (1+x ) − ln (1−x ) = =
2 x+ 2 x3
3+ 2 x5
5+.. .+2 x2 n−1
2 n−1+.. . , x∈(−1,1 )
.
20
Пример 17. Разложим функцию f (x) = ∫0
xsin t
tdt
по степеням x. Рассмотрим равенство
sin t =∑n=1
∞(−1)n−1 t2n−1
(2 n−1)! , t ∈ (−∞, +∞) .Если t ≠ 0, то
sin tt =
∑n=1
∞(−1 )n−1 t2n−2
(2 n−1 )! .
Следовательно, ∑n=1
∞(−1)n−1 t2n−2
(2 n−1)! = φ(t), t ∈ (−∞, +∞) , где
ϕ ( t )= 1, если t=0 ;sin t
t, если t≠0.
Тогда
f (x) = ∫0
xsin t
tdt
= ∫0
x
ϕ (t )dt=∑n=1
∞(−1 )n−1 x2 n−1
(2 n−1 )(2n−1)! , x ∈ (−∞, +∞) .Пример 18. Вычислим ln3 с точностью до 0,001. Заметим, что
ln3 =
ln ( 1+ 12
1−12
)и разложим функцию f (x) =
ln1+x1−x в ряд по степеням x.
Получим
ln1+x1−x =
∑n=1
∞ 22 n−1
x2 n−1
, x ∈ ]−1,1[
Тогда
ln3 = ∑n=1
∞ 1
(2n−1 )⋅22 n−2.
Следовательно,
ln3 ≈ ∑n=1
N1
(2 n−1 )⋅22 n−2
с точностью до 0,001, если RN +1 = ∑
n=N +1
∞ 1
(2n−1 )⋅22 n−2 < 0,001.
Остаток числового ряда RN +1 можно оценить сверху следующим образом:
RN +1 = ∑
n=N +1
∞ 1
(2n−1 )22n−2≤ 1
2 N+1 ∑n=N+1
∞ 1
22 n−2=
12 N+1
⋅
1
22 N
1−14
= 13(2 N+1)22 N−2
.
Следовательно, при N = 4 получим:
R5 ≤
1
3⋅9⋅26 =
127⋅64 < 0,001.
Тогда, с точностью до 0,00121
ln3 ≈ 1 +
13⋅4 +
15⋅16 +
17⋅64 = 1,098065
(точное значение: ln3 = 1,098612).
22