МЕТОДИ ЗА ЯКОСТЕН АНАЛИЗ

При извършване на якостни пресмятания на една метална

конструкция външните натоварвания, механичните свойства на

материала и геометричните размери могат да се разглеждат като

детерминирани по стойност. Тогава изчисленията се правят по така

нар. детерминирани методи. Създават се и по съвременни методи

за изчисляване на конструкциите - вероятности, които разглеждат

механичните свойства и геометричните размери като случайни в

рамките на установени допуски , а външните натоварвания като

случаен процес.

По перспективни са вероятностите методи , но за тяхното

масово внедряване все още няма достатъчно натрупан

систематичен материал относно характеристиките на случайните

величини и процеси. Поради това детерминираните методи

намират широко приложение. От тях за анализ на носещи

метални конструкции най-голямо приложение намират силовият

метод, метода на еластичните премествания, енергетичните

методи. теорията на еластичността и методът на крайните

елементи. Те позволяват да се извърши изследване и решаване на

статично неопределими линейно-еластични системи, каквито в

повечето случаи са носещите метални конструкции. Тъй като при

тези системи нормалните усилия в елементите не са известни

поради зависимостта им от деформационното състояние на

системата, което от своя страна зависи от силите, то най-често се

използва итерационното решение. В първо приближение силите на

елементите се определят по методите на класическата

статика.

Пресмятат се аргументите на коректурните функции и

се определят коефициентите на каноничните уравнения.

Изчисляват се неизвестните величини и се определят

съответните вътрешни усилия във второ приближение. Ако

новите стойности на нормалните усилия се различават малко от

първоначално определените, то резултатите се приемат за

достатъчно точни и изчисленията се прекратяват.

Ако обаче разликата е голяма, то тогава аргументите на

коректурните функции се изчисляват с нови сили и цялата

процедура се повтаря. Така се продължава, докато разликата

между силите, получени при два последователни

изчислителни цикъла е достатъчно малка.

3.1. Силов метод.

Основният принцип на метода може да се формулира по следния

начин:

-посредством отстраняване на връзки, действителната механична

система се привежда в основна, статически определима ,

напрегнатото състояние на която може да се определи. След това

по принципа на суперпозицията се формулират необходимите и

достатъчни условия, чрез изпълнението на които се отстранява

разликата между състоянието на основните и допълнителни теми.

При метода могат да се използват различни основни системи, като

достатъчно условие е те да бъдат геометрически неизменяеми.

Деформационните условия, съставени чрез супер позиция на

обобщените премествания в еквивалентната система под

действието на външния товар и статично неопределимите величини

изискват обобщени премествания i , съответстващи на

статично неопределимите величини i

X , да бъдат равни на нула,

т.е. да бъде изпълнено условието:

0ipiji

(1.1)

Тъй като ij

могат да бъдат представени като произведение на

статично неопределимата величина i

X , обобщеното преместване

ijот единичния товар, съществуващ на

iX , то системата от

деформационни условия има следния вид, като уравнението се

нарича канонично:

0...ni0ipΔj.XijδiΔ (1.2)

Участвуващите каноничните уравнения обобщени премествания ij

и ij

се определят с интегралите на Максуел-Мор. За целта първо

се намират вътрешните усилия в статично определима основна

система, подложена последователно под действието на външния

товар и на единичните товари, съответстващи на статично

неопределимите. След това коефициентите на системата канонични

уравнения се намират от израза:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

. .ik jk ik jk ik jk ik jkk k

k k k yk

ik jk ik jk

zk xk

kijk ik

N N Q y Q y Q z Q z M y M yKy Kz

GF GF EJ

M z M z M x M x

EJ GJ

dx

Свободните членове се намират аналогично, като се

комбинират вътрешните усилия, породени от действието, веднъж

на единичния товар и втори път от външното натоварване:

0 0 0 0

0 0

. .

k

p p p pik k ik k ik k ik k

k kEF k k yk

p pik k ik k

zk xk

kijk ik

N N Q y Q y Q z Q z M y M yKy Kz

GF GF EJ

M z M z M x M x

EJ GJ

dx

3.2. Метод на еластичните премествания.

Този метод може да се обобщи на същата основа, както и силовият

метод Кинематично не определимите величини се подбират по

същия начин и като се положат всички неизвестни равни па нула, се

получава основната система. По точи начин се въвеждат мислено

допълнителни връзки на действителната система и тя се

преобразува в основна. След това се формират необходимите и

достатъчни условия за отстраняване на разликите в действието на

основната и действителната система, които имат следния вид:

11 1 12 2 19 9

21 1 22 2 29 9

91 1 92 2 99 9

... 0

... 0

... 0

r Z r Z r Z

r Z r Z r Z

r Z r Z r Z

(1.5)

Тривиалното решение на тази система няма практическо значение.

Нетривиалното решение, когато поне едно от неизвестните е

различно от нула има практическо значение, защото съответства на

безлично равновесие. То е възможно, когато е изпълнено

условието:

(1.6)

Това е уравнението на устойчивостта, от което се определя

критичния товар.

3.2.1 Енергетични методи.

Потенциалната енергия на деформациите за едно идеално

еластично, линейно, деформируемо, еднородно и изотропно тяло се

дава с израза:

1

2x x y y z z xy xy zy zy zx zx

v

U dV (1.7)

Напреженията x , y , z , xy , yz , zx и деформациите x , y , z , xy ,

yz , zx

във формула ( 1.7), които са функции на координатите х, у,z на

произволна точка М от тялото, съответстват на крайните

стойности на външните сили.

11 12 19

21 22 29

91 92 19

...

...

...

r r r

r r r

r r r

Координатите на точка М, както и обемът V в (1.7) са отнесени към

изходното недеформирано състояние на тялото. За външните сили

се предполага, че се използва статично, като се изменят по

произволен закон, но запазват постоянно направление.

Във важния за практиката случай, когато деформируемото тяло се

състои от n на брой прави греди с дължина 1, потенциалната

енергия на деформациите има вида:

12 22 2 2 2

102 2 2 2 2 2

lnyi zi yii zi zi ti zi

xi i i ti yi ti

k Q MN k Q M MU d

EA GA GA GI EI EI (1.8)

Тук iN , yiQ , ziQ , tiM , yiM , ziM са функции на разрезните усилия от

дадено натоварване за 1-тия гредови участък: iEA , iGA , tiGI , yiEI

, ziEI

-съответни коравини на опън (натиск), срязване, усукване и огъване

за 1-тия участък, които най-общо са променливи. Бездименсионните

коефициенти

2

2 2

i

ziiyi i

Azi i

S yAk dA

I h y и

2

2 2

i

yiizi i

Ayi i

S yAk dA

I b y (1.9)

отчитат неравномерното разпределение на тангенциалните

напрежения по височина (широчина) на сечението. За кръгово

напречно сечение: 1,11yi zik k

За правоъгълно сечение: 1,2yi zik k . За тънко

пръстеновидно сечение: 2yi zik k . За нормално двойно Т-сечение:

yik и zik се изменят от 2 (за високи профили) до 2,4 (за ниски

профили).

От (1.8) се получават следните изрази за потенциалната енергия на

деформациите за някои частни видове натоварвания:

А) чист опън (натиск)

1 2

10

1

2

lni

i i

NU dx

EA

За ставно-прътови конструкции от (1.10) имаме:

2

1 2

ni i

i i

S lU

EA (1.11)

където iS =const е прътово усилие в 1-тия прът.

Б) Чисто огъване около оста у

12

10

1

2

lnyi

i yi

MU dx

EI (1.12)

В) чисто усукване

1 2

10

1

2

lnti

i ti

MU dx

GI (1.13)

Г ) специално огъване около оста у, съчетано с нормална

(осова) и срязваща сила:

122 2

10

1

2

lnyii zi zi

i i i yi

MN k QU dx

EA GA EI (1.14)

От основните енергетични теореми ще разгледаме само теоремата

на Кастиляно и свързаната с нея теорема на Менабреа. В

съпротивление на материалите теоремата па Кастиляно се

използва за определяне на проектни премествания и проектни

завъртания на точки от деформираното тяло.

Проектното преместване j на точка С от тяло, в което е приложена

сила j j jF F e

, е аналитична проекция па вектора преместване jD

,

върху ос jp построена върху директрисата па силата jF

cosj j j j jD e D

(1.15)

Проектното завъртане j на точка С от тялото, в която е

приложена

съсредоточена двоица с момент j j jM M e

се определя от

cosj j

Където е пълно завъртане;

- ъгъл, сключен между вектора jM

и оста на завъртане jp

Алгебричните мерки jF , на силите jF

. определят

еднозначно напреженията и деформациите в точките на

деформируемото тяло, както и самите сили jF

. Следователно

потенциалната енергия на деформациите е функция на тези

величини

1 2. ,... ,... ,j LU U F F F F (1.17)

Теорема на Кастиляно. Частната производна на потенциалната

енергия на деформациите спрямо една от алгебричните мерки jF , е

равна на

проектираното преместване j , на приложната точка на силата jF

.

jj

U

F

В тази формула jF , освен като алгебрична мярка на сила може да

се схваща и като алгебрична мярка на момента на съсредоточена

двоица. Тогава j , ще представлява проектно завъртане j .

Като изразим разрезните усилия в (1.8) във функция на

алгебричните мерки jF и приложим теоремата на Кастиляно,

получаваме обобщена формула за проектираното преместване

j ,дължащо се на произволно външно натоварване:

1

10

lnyi yi yil yi yili il zi zi zil i til zi zil

ji i i i ti yi zi

k Q Q M MN N k Q Q M M M Mdx

EA GA GA GI EI EI

(1.19)

Величините ilN , yilQ , zilQ , tilM , yilM , zilM са функции на разрезните

усилия за 1-та греда, получени от една единствена външна сила

1jF Ф приложена в точка, чието преместване търсим.

"Единичните" разрезни усилия ilN , yilQ , zilQ , tilM , yilM , zilM са

линейни функции в отделните греди или участъци от тях,

което значително улеснява пресмятането на интегралите (1.18),

наречени интеграли на Максуел-Мор. При извода на (1.18), се

използват съотношенията:

iil

NN

Ф,

yiyil

QQ

Ф, zi

zil

QQ

Ф, ti

til

MM

Ф,

yiyil

MM

Ф, zi

zil

MM

Ф

(1.20)

Теорема на Менабреа. В една статически неопределима

система потенциалната енергия на деформациите U, разглеждана

като функция на хиперстатичните неизвестни iX ,, достига минимум

за истинските стойности на тези неизвести:

0( 1,2,3,..., )i

Ui m

X

C Теоремата на Менабреа, макар и тромаво, могат да се решават

външно и вътрешно m -пъти статически неопределими системи.

Уравненията на статиката заедно с допълнителните уравнения

(1.20) са достатъчни, за да се намерят всички компоненти на

опорните реакции.

3.2.2. Основни уравнения в теория на еластичността.

Напрегнато състояние.

Напрегнатото състояние в околността на точка се определя от

тензора на напреженията. Съставящите на вектора пълно

напрежение спрямо координатната система х, у, z, се определя от

зависимости:

. . . ,nx x yx zxp

. . . ,ny xy y zyp (1.22)

. . . ,nz xz xz zp

В теория на еластичността се доказва, че в състояние на статично

равновесие на еластично тяло за произволна точка от него са в

сила следните зависимости:

0 0xy yzx

xqx y z

,

0 0xy y zy

yqx y z

,

0 0yzxz z

zqx y z

където 0 0 0

0 x y zq q q q

е интензивността на разпределение на

обемните сили в точката (сили на теглото, магнитни сили или

инерционни сили и др.)

Премествания и деформации.

Ако произволна точка от тялото преди натоварването му има

координати х у, z, след натоварването тя ще има координати х + u, у

+ v, z + w, където u, v, w са съставящите на вектора пълно

преместване на точката.

За околността на точката по три взаимно перпендикулярни

направления съществуват три линейни и три ъглови деформации,

които се задават с тензора на деформациите по следния начин:

1

2

1 1

2 2

1

2

12

12

x yx

xy y zy

yz z

zx

xz

(1.24)

Връзката между деформациите и преместванията в линейната

област съгласно теорията на еластичността е

x

u

x; xy

u

y x,

yy

; yz

w

z y, (1.25)

z

w

z; xz

w u

x z,

Връзката между напреженията и деформациите се определя от

обобщения закон на ХУК:

1

x x y zE

xyxy

G

1

y y x zE

yzyz

G (1.26)

1

z z x yE

xyzx

G

В матрична форма той може да се запише така:

{ } .{ }C (1.27)

или

(1.28)

Където:

11 22 33

(1 )

(1 )(1 2 )

EC C C ;

12 21 31 31 23 32(1 )(1 2 )

EC C C C C C ;

44 55 662(1 )

EC C C G ;

Гранични условия.

Повърхнината на еластично тяло 8 се разделя на две части:

q чS S S

Където qS е частта от повърхнината, върху която е приложена

самоуравновесяваща се система от сили с q

; чS -частта от

повърхнината, където са зададени преместванията на точките *u ,*V ,

*W .

В най-общия случай интензивността на натоварване q

, в която и да

е точка К от повърхнината qS може да- се разложи по направление

на осите на неподвижната координатна система хуz, т.е.

x y zq q q q

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0.

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

C C C

C C C

C C C

C

C

C

В граничния преход от повърхнината към вътрешността на тялото в

точка К има равенство между съставящите на q и съставящите nxp ,

nyp , nzp на

вектора пълно напрежение np за точка К, т.е.

x nxq p

; y nyq p

; z nzq p

(1.29)

Ако тук се заместят зависимости (1.29), се получава

x x xy zxq ,

y xy y zyq , (1.30)

z xz yz zq ,

Тези зависимости определят граничните условия в

напрежения за повърхнината qS ,

Нека в произволна точка М от повърхнината uS са известни

преместванията *u , *v , *w . В граничен преход от повърхнината uS

към вътрешността на тялото в точка М те са равни на

преместванията u, V и W на околността на точка М, т.е.

*u u ; *v v ; *w w (1.31)

3.2.3. Принцип на възможните премествания.

Условията за равновесие, използвани в метода на

преместванията, могат дa се представят в най-различна форма.

Разглежда се принципът па възможните премествания.

Нека преместванията u, V и W са непрекъснати и диференцируеми

функции на х, у и z за всички точки от разглежданото тяло, които

според зависимости (1.31) се съгласуват със зададените

премествания върху повърхнината uS .

Потенциалната енергия на деформациите за околността на точката

на тялото е:

1

2x x y y z z xy xy yz yz zx zxdU dV

За цялото тяло потенциалната енергия на деформациите е

1

2x x y y z z xy xy yz yz zx zx

V

U dV (1.32)

Ако на преместванията и, V и W се зададат възможни премествания

u , V , w на тях ще съответствуват възможни нараствания на

деформациите:

x,

y,

z, xy , yz , zx

В резултат нарастването на потенциалната енергия 811 е

x x y y z z xy xy yz yz zx zxU dV , (1.33)

Тук липсва множител 1

2 понеже при нарастването на

деформациите (например на ) се приема, че напреженията

не променят стойностите си.

При задаване на възможни премествания , външните

сили върху повърхнината qS ще извършат работа:

q

x y z

S

A u v w dS

Ако се приеме, че липсват обемни сили, нарастването на

работата на външните сили A трябва да е равно на нарастването

на потенциалната енергия U . т.е.

0U A

След заместване на (1.33) и (1.34) се получава

x x y y z z xy xy yz yz zx zx

V

dV

0

q

x y z

S

q u q v q w dS (1.35)

Тези зависимости изразяват принципа на възможните

премествания, според който нарастването на потенциалната

енергия е равно на работата на външните сили. извършена при

безкрайно малки премествания (възможни премествания).

Записани в матрична форма, те имат вида:

{ }.[ ].{ } { }.{ }v

C dV U q dS

3.3. Метод на крайните елементи.

3.3.1. Общи сведения.

Оразмеряването на машиностроителни елементи със сложна

форма е съпроводено с решаване на сложни системи от

диференциални уравнения, които не винаги имат точно едно

решение. За повечето корпусни елементи и масивни тела няма

точно или приблизително решение с класическите методи за

оразмеряване. За тази цел са разработени числени методи.

Съвременното развитие на електронноизчислителната техника

позволява да се моделира процесът на деформиране на сложни по

форма машиностроителни елементи и конструкции, изработени от

разнородни материали. В резултат се определят напреженията и

деформациите в опасните сечения, което дава възможност да се

направи якостна и деформационна проверка.

В инженерната практика от числените методи най-широко

приложение е намерил методът на крайните елементи. МКЕ може

да се представи като разделяне на тялото или конструкцията на

краен брой части (фиг.3.1), наречени крайни елементи, описване на

поведението на всеки отделен елемент с опростени средства и след

това отново свързване на елементите в точки, наречени възли. Като

резултат на този процес се получава система от алгебрични

уравнения, които в задачата за анализ на напреженията

представляват уравнения за статично равновесие на възлите.

фиг.3.1

В зависимост от геометрията и използваните хипотези за

изграждане

на модела областта на разделяне може да бъде линия (ос на греда

или прът), равнина (например средна повърхност на плоча)

или тримерно пространство(масивно тяло). В резултат на това

крайните елементи могат да бъдат:

• линейни (едномерни);

• равнинни (двумерни):

• пространствени (обемни);

В трите случая на крайни елементи се разделя област,

определена спрямо неподвижна координата система. Обобщено тя

се нарича област на разделяне.

В областта на разделяне контурите на крайните елементи

образуват мрежа. Пресечните точки на линиите в тази мрежа

образуват възли, които са определени с координатите си спрямо

неподвижната координатна система. Възелът принадлежи на

крайните елементи, които го заграждат. За индексация на

преместване, напрежение, сила или друг параметър на възела се

използва долен индекс, означаващ номера на възела, и горен

индекс в скоби, означаващ номера на крайния елемент.

При решаване на задачи за определяне на деформациите и

напреженията по МКЕ за неизвестни могат да се приемат

обобщените премествания във възлите или възникващите в тях

сили. Първият случаи се нарича метод на преместванията, вторият -

силов метод. Съществува вариант, наречен смесен метод, при

който за неизвестни в част от възлите се приемат обобщените

премествания, а в останалите възли възникващите сили.

3.3.2. Основни положения.

3.3.2.1. Дискретизация.

Видът на крайните елементи се избира предварително в

зависимост решаваната задача. При дискретизация на дадена

област в различните

Подобласти може да се използват различни по форма и големина

крайни елементи. като се спазва условието те да изпълват

непрекъснато цялата област на разделяне и възловите точки на

съседните крайни елементи да съвпадат.

Едномерните крайни елементи могат да бъдат прави или

криви линии, в зависимост от брои на възлите по дължината на

елемента.

Най-често използваните двумерни крайни елементи са

триъгълни или четириъгълни, страните на които също могат да

бъдат прави или криви линии в зависимост от броя на възлите

върху тях. За да се отразят кривините в стените се въвеждат

допълнителни възли, равностойни на възлите, получени при

пресичането на стените Двумерните крайни елементи се използват

при решаване на двумерно напрегнато или двумерно

деформационно състояние, а така също за анализ на тела с

ососиметрични форма и натоварване.

За пространствени крайни елементи най-често се използва

тетраедър или паралелепипед, стените на които също така могат да

бъдат с прави или с криви повърхнини, в зависимост от броя на

възли по стени.

От дискретизацията зависи качеството на получените резултати,

като с намаляване размерите на крайните елементи (което означава

увеличаване на броя им в дадена област) точността се повишава,

но се увеличава и броя на уравненията за решаване, което изисква

повече изчислително време. Формата на крайните елементи също

влияе на точността.

При разделяне на областта на крайни елементи е желателно да се

спазва следната последователност:

• областта се разделя на достатъчно големи подобласти,

границите между които минават там, където се изменят свойствата

на материала, геометрията, приложените товари или други

параметри.

•всяка подобласт се разделя на крайни елементи,

разположени на слоеве, като се започва с елементи в слой,

разположен по граничния

контур, а след това на вътрешни слоеве. В една област могат да се

използват както крайни елементи с различна форма, така и крайни

елементи от един и същ тип, но с различни размери. Така например

в местата, където се очаква концентрация на напреженията,

размерите им се намаляват (мрежата се сгъстява), в резултат на

което се отчитат по-точно максималните стойности.

3.3.2.2. Апроксимиране на преместванията вътре в крайният

елемент.

Премеcтванията на точки от краен елемент се определят чрез

премествания на възлите. За целта се подбира система от функции,

наречени апроксимиращи функции, с които се апроксимират

преместванията вътре в елемента ,чрез приетите възлови

премествания на крайния елемент. Изборът на тези функции е

важен етап в МКЕ, като от него зависи точността на решението.

Всъщност дискретизацията е не само просто разделяне на тялото

на крайни елементи, а и избор на апроксимиращите функции.

Апроксимиращите функции обикновено са полиноми. При по висока

степен на полинома се получава по-точно решение, но се увеличава

обема на изчислителната работа.

3.3.2.3. Определяне на възловите сили.

За опростяване на работата в МКЕ се работи само с възлови

товари (съсредоточени товари във възлите на елемента).

Еквивалентните възлови товари се определят от условието за

еквивалентност на работата, произведена от възловите товари по

възможните възлови премествания и работата на действителните

товари по възможните премествания на приложните им точки.

Като възлови товари се трансформират всички повърхностни и

обемни товари, а за да не се трансформират и

средоточените товари техните приложни точки се избират за

възли на мрежата от крайни елементи. Възловите товари формират

така наречения вектор на възловите товари.

3.3.2.4. Съставяне на уравненията за равновесие на краен

елемент. Въз основа на принципа на възможните

премествания или чрез

минимизиране на пълната потенциална енергия за даден краен

елемент могат да се запишат уравнения за връзка между възловите

премествания и възловите сили, като броя на уравненията е равен

на произведението на броя на възлите и броя на степените на

свобода във възел. Това произведение определя и степените на

свобода на крайния елемент. Уравненията се записват в матричен

вид и дават връзка между възловите сили и възловите

премествания чрез така наречената матрица на коравина на

крайния елемент. Матрицата на коравина на крайния елемент е

напълно определена с избора на функция за апроксимиране на

преместванията в крайния елемент и на материални характеристики

за него. Като неизвестни в съставените уравнения остават

възловите премествания.

3.3.2.5. Асемблиране на системата.

Получените уравнения за отделните крайни елементи не могат

да бъдат решавани самостоятелно за определяне на възловите

премествания. Въз основа на условията за равновесие на възлите е

необходимо да се извърши асемблиране на системата уравнения.

Полученият запис в матричен вид съдържа така наречената

глобална матрица на коравина и свързва възловите премествания с

възловите товари на цялата конструкция

3.3.2.6. Определяне на възловите премествания.

Определят се след решаване на асемблираната система

уравнения.

3.3.2.7. Определяне на деформациите и напреженията в краен

елемент. С помощта на апроксимиращите чрез

определените възлови

премествания се определят и преместванията вътре в крайния

елемент. Деформациите и напреженията в крайния елемент се

определят като се използва зависимостите между преместванията и

деформациите (зависимости на Коши) и зависимостите между

деформациите и напреженията (закон на Хук).

3.3.3. Принцип на възможните премествания.

Под система в механиката се разбира съвкупност от

физическа конструкция и приложените на нея товари (така

наречените статични гранични условия). Конфигурацията на една

система се определя от положението на всички частички от

конструкцията. На фиг.3.2 е показана система изходна

конфигурация 1K , и деформираната 2K

фиг.3.2

Една система се нарича консервативна, ако работата, както на

външните товари, така и на вътрешните сили не зависи от пътя D. В

една

еластична система работата на външните товари е равна на

потенциалната енергия, натрупана в системата.

Възможната конфигурация след деформирането на системата

е тази, която удовлетворява вътрешната непрекъснатост и

кинематичните

гранични условия. Например от показаната на фиг.3.3 възможни са

конфигурации са 1 и 2, а 3 очевидно не удовлетворява изискванията

за възможна конфигурация.

фиг.3.3

3.3.4. Деформационна работа на външните сили.

Деформационната работа извършена от силата F при

деформиране на еластично тяло от действието на система

самоуравновесяващи се сили

1 iF F (фиг.3,4a) e:

1

2i i iW F (3.1)

Където i е проектираното преместване на приложената точка на

силата от

всички действащи на тялото товари.

фиг.3.4

Деформационната работа извършена от всички сили е:

1

1 1{ } { }

2 2

nT

i iW F F (3.2)

Където: 1 2{ } [ . .......... ]Tnv v v е транспонираната на преместванията, а

1

2{ }

...

n

F

FF

F

е матрица стълб на силите.

Ако на тялото действат обемни сили :

{ }

x

v y

z

R

R R

R

и разпределени по повърхността A повърхностни сили

{ }

x

y

z

p

p p

p

,където xR , yR , zR , xp , yp , zp са компонентите на обемните

сили и интензивността на повърхностно разпределените

сили. за деформационната работа може да се запише:

1{ } { } { } { }

2

T Tv

v A

W u R dV u p dA (3.3)

където { } [ , , ]Tu u v w е транспонирана матрица на

преместванията на произволна точка от тялото.

При безкрайно малко нарастване на силата i iF F

(фиг.3.4б) нарастването на деформационната работа е:

1.

2i i i i iW F v F v (3.4)

където iv е нарастването на проектираното преместване на

силата от

изменението на силата.

3.3.5. Потенциална енергия на деформациите.

Специфичната потенциална енергия, натрупана в тялото,

при неговото деформиране е:

0

1 1...... ..... { } { }

2 2

Tx x y y xy xy

dUu

dV (3.5)

където: { } [ ]Tx x y z xy yz zx е транспонираната матрица на

деформациите,

a { }

x

y

z

xy

yz

zx

е матрица стълб на напреженията.

Съгласно (3.5) потенциалната енергия

в даден обем може да се определи от израза:

1 1{ } { }

2 2

T

V

U dV (3.6)

3.3.6. Принцип на стационарност на пълната потенциална

енергия а консервативна система има потенциална енергия, която

зависи от нейната моментна конфигурация, но не и от пътя. по който

се е стигнало до тази конфигурация . Под пълна потенциална

енергия на деформациите се разбира израза:

П U (3.7),

Където е така наречения, потенциал на силите, който

е енергията необходима за връщане на силите в изходно

положение на приложните им

точки . Така за системата сили от фиг.3.4 потенциала на силите се

определя от израза:

{ } { }Tv F (3.8)

За вариацията на потенциала на силите се получава:

{ } { }Tv F (3.9)

На базата на пълната потенциална енергия е формулиран

принципа

за стационарност на пълната потенциална енергия. Съгласно този

принцип

от всички възможни конфигурации на една консервативна система

за тази.

която удовлетворява условията за равновесие пълната

потенциална

енергия е стационарна по отношение на малки възможни

премествания, т.е.

0П U (3.10)

За една система с много степени на свобода. каквато е

дискретизираната на малки части система в МКЕ. пълната

потенциална енергия ще бъде функция на възможните

премествания на възлите в 1 2........ nП П

Тогава съгласно принципа за стационарност на пълната

потенциална енергия може да се запише:

1 21 2

........ 0nn

П П ПdП d d d (3.11)

Ако се допусне, че само 1dD е различно от нула, то следва, че

1

0П

Така може да се стигне до системата уравнения

1

0П

, 2

0П

, ……………, 0.............,i

П 1,2,3.....i n или

{0}П

(3.12)

По горната система уравнения се решава по отношение

стойностите на преместванията, които определят статичното

равновесие на системата.

Пълната потенциална енергия на еластично тяло, натоварено

с консервативни товари, действащи по обема V и по повърхността А

на

тялото се определят от формулата:

0 0

1. { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } { }

2

{ } { } { } { } { } { }

T T T

V

T T TV

V A

П E E dV

u R dV u p dA d p

(3.13)

В (3.13) 0{ } И 0{ }са векторите на началните деформации и

напрежения, като 0 0 0{ } [ ] { } { } { }E , { }VR и { }p са

векторите на интензивността на обемно и повърхностно

разпределени сили и { }p е вектор на възлови товари.

3.3.7. Премествания, деформации и напрежения в краен

елемент. Функции на формата.

фиг.3.5

Възловите премествания на един краен елемент (фиг.3.5) могат да

се представят ,чрез матрицата:

1

2

3{ }

....

i

d

d

d d

d

(3.14)

като елементите 1d , 2d , 3d ..... id са подматрици. като например:

1

1 1

1

{ }

u

d v

w

, (3.15)

Където 1u е възловото преместване на възел 1 по направление на

оста X по избраната координатна система, 1v - преместването по ос

y и така нататък.

Произволна точка вътре в елемента (фиг.3.5) има

премествания по осите x, y и z които могат да се представят чрез

матрицата:

1

1

( , , )

{ } ( , , )

( , , )

u x y z

u v x y z

w x y z

(3.16)

Преместванията на тази произволна точка могат да се

апроксимират с функции, представляващи полиноми и тогава може

да се запише:

{ } [ ]{ }u Ф a (3.17)

където [ ]Ф е правоъгълна матрица, чиито елементи са функции на

координатите x, y и z на точката и техните степени, а { }a е матрица

стълб на полиномните коефициенти.

Възловите премествания могат да се определят на базата на

(3.17) като се използват координатите на възлите, а именно

{ } [ ]{ }d C a (3.18)

където [C] има елементи, определени чрез координатите на

възлите.

От (3.18) следва:

1{ } [ ] { }a C d (3.19)

и като се замести в (3.17) се получава

1{ } [ ][ ] { } [ ]{ }u Ф C d N d (3.20)

Матрицата 1{ } [ ][ ]u Ф C се състои от елементи, функции на

координатите на точката и координатите на възлите. Нарича се

матрица на функциите на формат. В обшия случай [ ]N е

правоъгълна матрица, като броя па редовете е равен на броя на

компонентите на { }u ,а броя на стълбовете е равен на броя на

компонентите на { }d и се представя във вида:

1 2[ ] [ , ,....... ,.....]iN N N N 1,2,....i n (3.21)

където nе броя на степените на свобода във възлите.

Деформациите вътре в елемента се определят чрез

преместванията по уравненията на Коши:

{ } [ ]{ }D u (3.22)

където [ ]D е диференциалната матрица.

Като се има в предвид (3.20) може да се запише:

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }D N d B d (3.23)

където [ ] [ ][ ]B D N e правоъгълна матрица с брои редове равен на

компонентите на { }и стълбове равен на компонентите на { }d От

(3.23) може за матрицата [ ]B да се запише:

1 2[ ] [ , ,........, .......]iB B B B 1,2,.....i n (3.24)

където:

0 0

0 0

0 0[ ] [ ][ ]

0

0

0

i

i

i

i ii i

i i

i i

Nx

Ny

Nz

B D NN N

y x

N Ny z

N Nz x

(3.25)

Напреженията на крайният елемент се определят по закона на Хук:

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }E E B d (3.26)

3.3.8. Матрица на коравина на краен елемент

3.3.8.1. Формиране на матрицата на коравина на базата на

принципа на възможните преместваня.

Ако се разгледа равновесието на краен елемент, външни сили за

него

са силите от напреженията по границите с другите крайни

елементи,

обемни и повърхностни сили, ако крайният елемент е на

повърхността на

тялото.

При произволно безкрайно малко нарастване на възловите

премествания 1 2{ } [ . .........]Td d d нарастване получават и

преместванията на всички точки от елемента.

{ } [ ]{ }u N d (3.27)

Работата на външните товари за преместванията { }u e eW а

изменението на потенциалната енергия е eU . Съгласно принципа

на възможните премествания e eW U

Всички външни товари се заменят с възлови сили

1

1 2{ }

...

r

r r .

като 1r е

възловата сила във възел 1 2r -във възел 2 и така нататък.

Тьй като външните товари се заменят с възлови въз основа на

еквивалентност на деформационните работи, то:

{ } [ ]{ } [ ][ ][ ]D u D N d (3.28)

Или

{ } [ ]{ }B d (3.29)

Тогава, като се има в предвид (3.26) може да се запише:

{ } { } { } [ ][ ][ ] .{ }T Te

e V

U dV B E B dV d (3.30)

където

{ } [ ] [ ][ ] { } { } [ ]{ }T T Te

V

U d B E B dV d d k d (3.31)

Изразът

[ ] [ ][ ] [ ]T

V

B E B dV k (2.32)

представлява квадратна матрица с брой на редове и стълбове

равен на броя на възловите параметри в крайния елемент, за която

се получава:

[ ]{ } { }k d r (2.33)

Това е връзката между възловите сили и възловите премествания.

Матрицата [ ]k се нарича матрица на коравина на крайния елемент.

При извесна геометрия на крайния елемент и зададени материални

характеристики, матрицата [ ]k е напълно определена с избора на

апроксимиращи функции за преместванията вътре в елемента.

3.3.8.2. Свойства на матрицата на коравина.

Матрицата на коравина на крайните елементи [ ]k и общата

матрица на коравина на системата [ ]K имат следните свойства:

• При линейно - еластично поведение на матерната,

матриците са симетрични:

• Всички елементи от главния диагонал на [ ]k И [ ]K са

положителни величини;

• Глобалната матрица на коравина е спнгулярна (особена),

ако тялото (конструкцията) е с неправилно наложени връзки

или изобщо не е подпряно. В такива случаи не може да се

получи решение. Връзките трябва да са достатъчни, за да

предотвратят всички възможни премествания на тялото като

твърдо недеформируемо тяло или премествания, които не

предизвикват деформации на тялото (конструкцията).

3.3.9. Формиране на вектора на товарите.

Ако на краен елемент действат обемни (например сили на тежестта

инерционни сили) повърхностно разпределени сили по стените или

невъзлови съсредоточени сили, изменението на деформационната

работа при възможни премествания { }u на точки на тялото, ще

бъде:

{ } { } { } { }T TV

V A

W u R dV u P (2.34)

Като се има в предвид 1{ } [ ][ ] { } [ ]{ }u Ф C d N d и ,че

{ } { } [ ]T T Tu d N (2.35)

може да се запише:

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }T T T TV

V V

W d N R dV N p dA N p (2.36)

При трансформиране на невъзловите товари във възлови,

деформационната работа може да се определи от зависимостта:

{ } { }TW d r (2.37)

където { }r е вектор на възловите товари. Ако за трансформирането

се приеме деформационна еквивалентност|, то след преравняване

на (2.36) и (2.37) се получава:

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }T T TV

V V

r N R dV N p dA N p (2.38)

За да не се извършва трансформиране на съсредоточени товари,

при изграждането на мрежата от крайни елементи приложените

точки на товарите се приемат за възли.

На фиг.3.6 и 3.7 са показани примери за трансформиране на товари,

съответно за прътови и гредови конструкции.

Фиг.3.6

При трансформиране на разпределения товар на фиг.3.7 в

възлите се получава момент.

3.3.10. Асемблиране на общата матрица на коравина на

системата Статичните условия за равновесие на възлите могат да

бъдат записани само след като зависимостите в [k]{d} {r} (2.33 )

бъдат трансформирани от локална координатна система в глобална

такава. След прилагане на статичните условия за равновесие се

получава обща система уравнения, която може да се запише в

матричен вид както следва:

[k]{ } {R}, (2.39)

където {R} е вектор на възловите товари, съдържаш всички възли

на системата, { } ( е вектор на възловите параметри на цялата

система и [K]е общата матрица на коравина на системата.

Общата матрица на коравина на системата е квадратна

симетрична матрица с брой на редове и стълбове равен на броя на

възлите:

11 12 1n

21 22 2n

K K ... K

[K] K K ... K

... ... ... ...

(2.40)

На фиг.3.8 е показан пример за асемблиране на двумерна област.

Елементите са триъгълни, тривъзлови с по две степени на свобода

във възел.

фиг.3.8

От условията за равновесие на възлите може да се запише:

За възел 1: 1x,1 x,1F F , 1

y,1F 0

За възел 2: 1 2 3x,2 x,2 x,2F F F 0

1 2 3y,2 y,2 y,2 y,2F F F F

За възел 3: 1 2x,3 x,3 x,3F F F

1 2y,3 y,3 y,3F F F

За възел 4: 2 3x,4 x,4 x,4F F F

2 3y,4 y,4F F 0

За възел 5: 3x,5 x,5F F

3y,5F 0

За крайните елементи може да се запише:

Елемент 1:

Елемент 2:

2 2 2 2ii ij im 2 2

2 2 2 2ji jj jm 4 4

22 2 23 3mi mj mm

k k k d F

k k k d F

d Fk k k

Елемент 3:

3 3 3 4ii ij im 2 2

3 3 3 3ji jj jm 5 5

33 3 34 4mi mj mm

k k k d F

k k k d F

d Fk k k

Индексът горе е за номера на елемента. Елементите на всички

матрици са подматрици с два елемента за компонентите по осите x

и y.

1 1 1 1ii ij im 1 1

1 1 1 1ji jj jm 2 2

11 1 13 3mi mj mm

k k k d F

k k k d F

d Fk k k