ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме
TRANSCRIPT
![Page 1: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/1.jpg)
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме: «Как решить квадратные
уравнения ?»Работу выполнили
Учащиеся 8 «э» классаМОУ «СОШ №2»
![Page 2: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/2.jpg)
Рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений;
Показать на конкретных примерах использование каждого метода;
Показать «плюсы» и «минусы» каждого из методов;
Выбрать наиболее рациональный метод решения квадратных уравнений;
Цель работы:
![Page 3: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/3.jpg)
У.У. Сойер
Человеку , изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и туже задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
![Page 4: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/4.jpg)
Дадим определение квадратному уравнению:
ax 2+bx+c=0 полное квадратное уравнение
x 2
+px+q=0 приведенное квадратное уравнение
Какими могут быть
квадратные уравнения?
Теперь рассмотрим способы решения квадратных
уравнений. Выберем самый удобный и эффективный
![Page 5: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/5.jpg)
Чтобы решить уравненье,Корни его отыскать,
Нужно немного терпенья,
Ручку, перо и тетрадь.
х2 + 10
х -
24=0
5х2+3х-8=0
Возьмем два квадратных уравнения , да и решим их разными способами!
2
1
![Page 6: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/6.jpg)
Метод разложения на множители
Решим уравнение : х2 + 10х - 24=0.
Разложим на множители левую часть: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х -2х
– 24 = = х(х + 12) - 2(х + 12)=
=(х + 12)(х - 2) = 0.
х + 12=0 или х - 2=0 х= -12 х= 2
Ответ: х1= -12, х2 = 2.
Решим уравнение : 5х2 + 3х - 8=0.
Разделим обе части уравнения на 5,
получим приведенное квадратное уравнение
х2 + 0,6х – 1,6=0 Разложим на множители левую часть: х2 + 0,6х – 1,6 = х2 + 1,6х -х
– 1,6 = = х(х + 1,6) -(х + 1,6)=
=(х + 1,6)(х - 1) = 0.
х + 1,6=0 или х - 1=0 х= -1,6 х= 1
Ответ: х1= -12, х2 = 1
1
2
Данный метод применим к обоим уравнения, но второе уравнение
решается труднее. Способ длинный , трудоемкий
![Page 7: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/7.jpg)
Метод выделения полного квадрата
Вспомним формулу - квадрат суммы или разности:
(а±с)2= а2±2ас+с2
Решим уравнение : х2 + 10х - 24=0
х2 + 10х – 24 = =х 2 + 2х5 + 5 2 - 5 2 –
24= = ( х+5) 2 - 25- 24= =(х+5) 2 - 49 =0 (х+5) 2 -49=0 (х+5) 2 =49
х+5= 7 или х+5= - 7
х=2 х= -12 Ответ: х 1=2, х 2 =-
12.
12
Решим уравнение : 5х2 + 3х - 8=0
х2 + 0,6х – 1,6 = =х 2 + 2х0,3 + 0,3 2 -
0,3 2 – 1,6= = ( х+0,3) 2 - 0,09-
1,6= =(х+0,3) 2 – 1,69 =0
(х+0,3) 2 -1,69=0 (х+0,3) 2 =1,69
х+0,3= 1,3 или х+0,3= - 1,3
х=1 х= -1,6 Ответ: х 1=1, х 2 = -
1,6.Данный метод применим к
обоим уравнения, но длинный , трудоемкий .
![Page 8: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/8.jpg)
Графический метод Уравнение x 2+bx+c=0 ,
запишем в виде:x 2 = - bx – c
Построим графики функций:у= x 2 и у= - bx – cпрямаяпарабола
Какая взаимосвязь между корнями квадратного уравнения и взаимном
расположении прямой и параболы?
![Page 9: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/9.jpg)
Нет корней
• Графики не пересекаются
Один
корень
• Одна точка пересечения
Два корня
• Две точки пересеченияАбсциссы точек пересечения
параболы и прямой –являются корнями квадратного
уравнения
![Page 10: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/10.jpg)
??? А второй корень ???
Сделаем еще один рисунок
этого графика
Корень
нашелся!
х2 + 10х - 24=0Построим графики
функций:у= х2 и у= -10х + 24
5х2 + 3х - 8=0Построим графики
функций:у= х2 и у= - 06х +
1,6
х=1 и х≈-1,7
х=2 и х≈-12
1 2
Данный метод не дает точного решения
![Page 11: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/11.jpg)
ax 2 + bx + c = 0 Дискриминант квадратного
уравнения:
D = b2-4ac
Решение квадратных уравнений по формулам
D < 0Нет
решений
D = 0
a
bx
2
D>0
a
Dbx2
,21
![Page 12: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/12.jpg)
х2 + 10х - 24=0
а=1 b=10 c=-24
D=100-4•(-24) •1=196>0уравнение имеет два корня
x 1=-12 и х 2=2
2
1410
2
19610
x
5х2 + 3х - 8=0а=5 b=3 c= -
8D=9-4•(-8) •5=169>0
уравнение имеет два корня
x 1=-1,6 и х 2=1
10
133
52
1693
x
12
При использовании данного метода уравнения решаются
быстро и легко.
![Page 13: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/13.jpg)
Теорема ВиетаПриведенное квадратное уравнение:
х2+px+q=0Если х 1 и х 2
корни уравнения, то
х 1 + х 2 = - pх 1 ∙ х 2 = q
Общее квадратное уравнение:
ах2+bx+c=0Если х 1 и х 2
корни уравнения, то
х 1 + х 2 = -
х 1 ∙ х 2 =
a
b
a
c
![Page 14: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/14.jpg)
х2 + 10х - 24=0p=10 и
q=-24х 1 + х 2= - 10
х 1 ∙ х 2= - 24
х 1 = -12 и х
2= 2
12
5х2 + 3х - 8=0х2 + 0,6х – 1,6=0
p=0,6 и q=-1,6х 1 + х 2= - 0,6
х 1 ∙ х 2= - 1,6
х 1 = -1,6 и х 2= 1
Данный метод быстрый, но подобрать корни не всегда легко.
![Page 15: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/15.jpg)
ax 2 + bx + c = 0
По сумме коэффициентов квадратного уравнения
.,1
,0 Ĺńëč
21 a
cxxňî
cba
.,1
,0 Ĺńëč
21 a
cxxňî
cba
ěîćĺěíĺđĺřčňüňŕę
őő
ńďîńîáîěäŕííűě
óđŕâíĺíčĺíŕřĺëč
đĺřŕĺňń˙ďđîâĺđčě
0)24(101
0)24(101
02410
:
,
2
.5
8,1:
.5
8,1
,0835 ..
,0835
21
21
2
xxÎňâĺň
xxňî
ęň
xx
ďđčěĺđ
äđóăîéďîńěîňđčě
Данный метод не всегда можно использовать. Но если он применим , уравнение решается легко и быстро.
![Page 16: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/16.jpg)
Вывод: Мы рассмотрели пять способов решения квадратных уравнений из которых два
не приемлемы для решения первого уравнения. Это графический способ и по
сумме коэффициентов. Зато второе уравнение легко решается способом по
сумме коэффициентов.Самые эффективными способами
оказались: способ решения по формулам и теорема Виета .
Мы научились выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений
и знания каждого из рассмотренных методов нам обязательно пригодятся.
![Page 17: ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА по теме](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022020217/546665d3b4af9f6a7b8b482c/html5/thumbnails/17.jpg)
выделение полного квадрата
метод разложения на множители
решение по формулам
теорема Виета
по сумме коэффициентов
графический метод
Способы решения квадратных уравнений
Мы провели опрос учащихся 8 классов : «Какой метод
решения квадратных уравнений самый удобный? »