симметрия в задачах с параметрами
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Симметрия в задачах с параметрамиСимметрия в задачах с параметрами
Васильева АнастасияВасильева Анастасия11класс.11класс.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждениеМуниципальное бюджетное образовательное учреждение« Октябрьская средняя общеобразовательная школа»« Октябрьская средняя общеобразовательная школа»
Мариинско-Посадского района Чувашской Республики. Мариинско-Посадского района Чувашской Республики.
Научный руководитель:Научный руководитель:Яковлева Галина Васильевна,Яковлева Галина Васильевна,
учитель математикиучитель математики МБОУ «Октябрьская СОШ» МБОУ «Октябрьская СОШ»
Мариинско-Посадского района Мариинско-Посадского районаЧувашской Республики.Чувашской Республики.
С.Октябрьское, 2012 г.С.Октябрьское, 2012 г.
Республиканский конкурс учебных и социальных проектов учащихся (кадетов) кадетских школ и кадетских классов
Каждый момент жизни требует от человека размышления, анализа возникших обстоятельств. Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей часто приводит к решению задач, зависящих от многих параметров. Не случайно, ежегодно задачи с параметрами включаются в задания ЕГЭ. Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных в математике. Трудности связаны с обилием формул и методов, используемых при их решении. Практически каждая задача решается своим особым способом, требует исследования и подбора наиболее подходящего метода. При решении задач с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра они имеют решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решенным. Как правило, немногие школьники могут справиться с ними. Прежде чем приступить к решению подобных задач, учащийся должен в совершенстве владеть общим курсом математики.
Исследовать 1)способы подбора путей решения задач с параметрами
2) целесообразность применения метода симметрии для решения.
1)Убедиться в возможности нахождения эффективных путей решения задач с параметрами.
2) Развить умение анализировать содержание заданий для нахождения подходящего способа их решения.
3)Овладеть техникой решения задач с параметрами , используя метод симметрии.
Задачи исследования
Симметрия.Подходы:1)наличие в условии требования найти единственное решение; 2)в задании видна четность функций, симметричность неизвестных.
Известно, если область определения функции f(x) симметрична относительно точки x=0 и f(−x) = f(x), то функция f(x)-чётная, Пусть при решении задачи функция f(x) оказалась чётной. Тогда если x0 является решением задачи, то и (−х0)— решение
задачи поскольку f(x0)=f(−x0).
Следовательно,1)необходимым условием единственности решения является, чтобы х=0 было
решением задачи, 2) достаточным условием, чтобы решений ,кроме x=0, больше не было.
Действия:Решая задачу, мы сначала будем:1) находить возможные значения параметров из
условия х=0,т. е. из необходимого условия единственности; 2) для найденных значений параметров будем проверять, что других решений (кроме x=0) нет, т. е. проверять достаточное условие единственности.
При решении уравнений вида f(x, y)=0, если выполняется симметрия f(x, y) =f(y, x), то наряду с решением (x0; y0) пара (y0; x0) тоже будет решением. Необходимым условием
единственности в этом случае является х=у
Задача .При каких значениях параметраЗадача .При каких значениях параметра а а уравнение уравнение имеет единственное решение?имеет единственное решение?
Решение. Относительно переменной х левая часть уравнения представляет четную функцию, единственным корнем может быть только х=0.Подставим х0=0 в уравнение, получим уравнение относительно а
При а=0 и при исходное уравнение примет вид и
соответственно и имеет единственный корень х=0
0cossin2 22 axax
01sin2 2 aa
1sin2
,001sin2
a
aaa
0a
1sin2а
Ответ. При
02 х 1sin4cossin1sin4 22 xx
1sin2а
ayx
axy
2
,22
2
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.
00 ; yx 00 ; хy
Решение. Пусть -решение системы неравенств, то ввиду симметрии тоже решение. Следовательно, необходимым условием единственности является х=у. Подставим в одно из неравенств 022 ахх
.
Полученное неравенство имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю: ,
aD 81 ,081 a ,8
1a
4
1
,4
1
2
2
yx
xy0
2
1
2
122
ух
2
1yx
,81a
Ответ. При -единственное решение ,81a
ЗАКЛЮЧЕНИЕВ результате проведенного исследования, я пришла к выводу, что, действительно: 1).Задачи с параметрами- по сути тест на проверку уровня математической культуры, на ее присутствие или отсутствие. 2).Решения задач требуют учета применимости выбранного метода к данной задаче в зависимости от свойств функций, формул, входящих в условие. 3).Решение каждой задачи с параметром- это особая исследовательская работа, в результате которой расширяется круг практического приложения знаний школьного курса математики. 4).Метод симметрии–один из многих оригинальных путей решения задач с параметрами различного уровня сложности
1.Пак Г.К. Задачи с параметрами. Серия : математика для абитуриента. Сам себе репетитор. Учеб.пособие, Владивосток. Изд. –во Дальневосточного университета, 2000,- 16с.
2.Козко А.Н., Чирский В.Г. Задачи с параметрами и другие сложные задачи. –М. МЦНМО, 2007,-296с.
3.Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения.-М.: ООО «Изд.-во Оникс» , : ООО «Изд.-во «Мир и образование», 2007.-416с.:-(Школьный курс математики)
4.Евсюк С.Л. Математика: Учебное пособие. –Мн.: Книжный дом, 2006.- 556с. (репетитор)
5.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Пособие для поступающих в вузы : учеб. пособие.-М. : Дрофа, 2010.-653с.
Литература