第 5 章平面问题有限元法

第第 55 章平面问题有限元法章平面问题有限元法


第一节弹性力学有关知识

第二节平面问题有限元法


第一节弹性力学有关知识第一节弹性力学有关知识

• 载荷 (load)

• 应力 (Stress)

• 应变 (Strain)

• 位移 (Displacement)

一、弹性力学中的物理量


load

Concentrated force

Surface force

Volume force

{Pv}={pvx pvy pvz}T

{Pc}={ pcx pcy pcz}T

{Ps}={ psx psy psz}T

外界作用在弹性体上的力，又称为外力

载荷载荷


StressNormal Stress:σx 、 σy 、 σz

Shear Stress :τxy 、 τyz 、 τzx

应力应力


{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T

66 个应力分量个应力分量


StrainNormal Strain:εx 、 εy 、 εz

Shear Strain : νxy 、 νyz 、 νzx

应变应变

d z

ydy

dz

yz

O

d x d x

d yd y

O y y

zz

x x


{ε}={εx εy εz νxy νyz νzx }T

6 个应变分量


Displacement

x axis: u

y axis: v

z axis: w

{d}={u v w}T

位移位移

变形 (deform,deformation)


{Pv}={pvx pvy pvz}T

{Pc}={ pcx pcy pcz}T

{Ps}={ psx psy psz}T

{σ}={σx σy σz τxy τyz τzx }T

{ε}={εx εy εz νxy νyz νzx }T

{d}={u v w}T


• 平衡方程

• 几何方程

• 物理方程

二、弹性力学的基本方程二、弹性力学的基本方程Relationship among load, stress, strain and displacement


11 、、平衡方程平衡方程

0

0

0

vzzyzxz

vyyzyxy

vxxzxyx

pzyx

pzyx

pzyx

应力 ~ 载荷


22 、几何方程、几何方程

w

v

u

xz

yz

xy

z

y

x

z

u

x

wy

w

z

vx

v

y

uz

wy

vx

u

zx

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

应变 ~ 位移


33 、物理方程、物理方程

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

G

G

G

E

E

E

1

1

1

)(1

)(1

)(1

应变 ~ 应力


x

y

z

xy

yz

zx

E( )( )( )

( )

( )

( )

11 1 2

11 1

0 0 0

11

10 0 0

1 11 0 0 0

0 0 01 221

0 0

0 0 0 01 221

0

0 0 0 0 01 221

x

y

z

xy

yz

zx

D


平衡方程： 3

几何方程： 6

物理方程： 6

15 15=

Stress ： 6

Strain ： 6

Disp. ： 3


基本未知量stresses 力法

Displacements 位移法

stress, displacements 混合法


definition of plane problem

3D3D Plane problemPlane problemsimplified

Plane stressPlane stress

Plane strainPlane strain

四、平面问题定义四、平面问题定义


平面应力问题平面应力问题

(1)一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；

(2) 载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布


z zx zy 0

zx zy 0

z x y 1

x y xy

x y xy


3D model plane

meshing

Much easier


位移载荷平衡方程

应变

应力

几何方程

物理方程

基本未知量

解题思路


Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem

第二节平面问题有限元法

平面应力问题的线性静力分析

Linear Static Analysis

static load

linear

stress, deformation


一、结构离散一、结构离散

Procedure of Static AnalysisProcedure of Static Analysis

meshing

Element (mesh) node

单元编号（ element label ）

节点编号（ node label ）


(ui, vi) (uj, vj) (um, vm)

x yi i, x yj j, x ym m,


• Element label

• Node label

• Node location

Disp. Components:

已知

未知

ii yx , x yj j, x ym m,

(ui, vi) 、 (uj, vj) 、 (um, v

m)


二、单元分析 (Element Analysis)

目的：形成单元位移、应变、应力表达式

形成每个单元的刚度矩阵


1 、位移函数 (displacement function)

位移插值函数真实位移分布近似位移分布


2

652

4321

265

24321

),(

),(

yxyxyxyxvv

yxyxyxyxuu

u x y

v x y

1 2 3

4 5 6


mmm

mmm

jjj

jjj

iii

iii

yxv

yxu

yxv

yxu

yxv

yxu

654

321

654

321

654

321


11

2

Ax y x y u x y xy u xy x y uj m m j i m i i m j i j j i m

21

2

Ay y u y y u y y uj m i m i j i j m

31

2

Ax x u x x u x x um j i i m j j i m

41

2

Ax y x y v x y xy v xy x y vj m m j i m i i m j i j j i m

51

2

Ay y v y y v y y vj m i m i j i j m

61

2

Ax x v x x v x x vm j i i m j j i m

第第 55 章平面问题有限元法章平面问题有限元法a x y x yi j m m j b y yi j m c x xi m j a x y xyj m i i m

b y yj m i c x xj i m

a xy x ym i j j i b y ym i j c x xm j i


1 2

3 4

5 6

12

12

12

12

12

12

Aa u a u a u

Ab u b u b u

Ac u c u c u

Aa v a v a v

Ab v b v b v

Ac v c v c v

i i j j m m i i j j m m



uA

a b x c y u a b x c y u a b x c y u

vA

a b x c y v a b x c y v a b x c y v

i i i i j j j j m m m m


12

12

u x y

v x y

1 2 3

4 5 6


NA

a b x c y

NA

a b x c y

NA

a b x c y

i i i i

j j j j

m m m m

121

21

2


uA

a b x c y u a b x c y u a b x c y u

vA

a b x c y v a b x c y v a b x c y v



12

12

u N u N u N u

v N v N v N v

i i j j m m

i i j j m m


u N u N u N u

v N v N v N v

i i j j m m

i i j j m m

e

m

m

j

j

i

i

mji

mjiqN

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

v

ud ＝

000

000


eqNv

ud ＝

单元内的位移插值表达式

分片插值

节点位移，单元内任一点的位移


mji

mji

NNN

NNNN

000

000

q u v u v u vei i j j m m

T

Ni 、 Nj 、 Nm

形函数矩阵

节点位移列阵

形函数


u N u N u N u

v N v N v N v

i i j j m m

i i j j m m

形函数物理意义

i j

m

1

Ni


Requirements for displacement function

(1) 常数项

(2) 线性项

(3) 位移连续性

(4) 几何各向同性

1 x y x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

收敛 (convergence)

位移函数应满足的条件

必要条件

充分条件


位移载荷平衡方程

应变

应力

几何方程

物理方程

基本未知量

解题思路


x

y

xy

i i j j m m

i i j j m m


x

y

y x

u

v

Abu bu b u

Acv cv c v

Acu cu c u bv bv b v

0

0

121212

2

6

3 5

12

0 0 0

0 0 0A

b b b

c c c

c b c b c b

u

v

u

v

u

v

B q

i j m

i j m

i i j j m m

i

i

j

j

m

m

e

2 、单元应变和应力 (element strain and stress)


BA

b b b

c c c

c b c b c b

B B B

i j m

i j m

i i j j m m

i j m

12

0 0 0

0 0 0

BA

b

c

c b

l

l

l

l l

12

0

0 (l=i ， j ， m)

应变矩阵应变矩阵 bi 、 bj 、 bm

ci 、 cj 、 cm

常数矩阵常数矩阵

与单元形状有关与单元形状有关


ee qSqBDD

S D B S S Si j m

S EA

b c

b c

c b

l

l l

l l

l l

21 12

12

2

应力矩阵应力矩阵


eqNd

eqB

eqS

eq d

基本未知量数量有限！


质点位移

d (x, y)

数量无穷多数量有限

微分方程代数方程

节点位移 eq


F F F F F F F F F Fei j m

Tix iy jx jy mx my

T

q u v u v u vei i j j m m

T

Txyyx

e

W uF vF u F vF u F v F q Fi ix i iy j jx j jy m mx m myeT e

3 、单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)


U V t x yT T

V

d d d

B q e

T eT Tq B

U q B t x y

q B t x y

eT T

eT T

d d

d d


F B t x ye T d d

UW

q F q B t x yeT e eT T d d


F B t x y B D B q tA k qe T T e e e d d

单元刚阵

k B D B tAe T• 单元材料

• 板的厚度

• 单元面积

• 单元形状常数矩阵


eee qkF

单元平衡方程


kk k kk k kk k k

eii ij im

ji jj jm

mi mj mm

srsrsrsr

srsrsrsr

sT

rrs

bbcccbbc

bccbccbb

AEt

tABDBk

21

21

21

21

14 2

22

mmmjmjimim

mjmjjjijij

mimjijiiii

qkqkqkF

qkqkqkF

qkqkqkF


单元刚阵的性质

k ke eT

(2) 奇异性 (singularity)

ke 0

(1) 对称性 (symmetry)


二、单元分析 (Element Analysis)

目的：形成单元位移、应变、应力表达式 ,

形成每个单元的刚度矩阵


Question?

Can you obtain {q}e by solving the e

quation above?

eee qkF

Why?

线性方程组


eee qkF

Purpose: 单元整体assemble

三、总刚集成global stiffness matrix of the structure

内力抵消

qKR

known

总刚矩阵


F k q k q k q k qi ii i ij j im m is se

(s=i， j， m)

F Rie

ei

kk k kk k kk k k

eii ij im

ji jj jm

mi mj mm

eee qkF

1 、总刚集成原理

i


k q Ris se

is i j me

, ,

i

n

is se

i

n

is i j me

k q R

1 1, ,

K q R

[K]

结构平衡方程单元平衡方程

[k ]e{q}e = {F}e


K ki

n

iss i j me

1 , ,

总刚矩阵(Global Stiffness Matrix)


K

k k kk k k k kk k k k k

k k kk k k k k

k k k

111

121

131

211

221 2 4

231 2

244

252 4

311

321 2

331 2 3

352 3

363

424

444

454

522 4

532 3

544

552 3 4

563

633

653

663

0 0 0

0

0

0 0 0

0

0 0 0


2 、总刚集成过程

（ 1 ）扩阶过程

000000

000000

000000

000

000

000

333231

232221

131211

1kkk

kkk

kk

k

k

000000

000

000000

000

000

000000

555352

353332

252322

2

kkk

kkk

kkk

k

（ 2 ）叠加过程

en

e

ekK1


3 、总刚矩阵的特点

• 对称性（ Symmetry ）

[K]T=[K]

• 稀疏性（ Sparse ）

• 带状性（ Band ）

• 奇异性（ singularity ）

|K|=0


四、载荷移置

[K]{q}={R}

Nodal force: Concentrated force at nodes

Concentrated force

Surface force

Volume force


1 、集中力的移置 P p pc cx cy

T

R R R R R R RPe

ix iy jx jy mx myT

c

d N qe e

d PeTc q ReT

Pe

c=

R N PPe T

cc


2 、面力的移置

3 、体力的移置


Question?Question?

Can you obtain {q} by solving the equ

ation above?

Why?

[K]{q}={R} 线性方程组


[K]{q}={R}

F

五、约束处理

消除结构的刚体运动，从而消除 [K] 的奇异性


k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k

11 12 15 16 17 18 19 110 111

21 22 25 26 27 28 29 210 211

111 112 115 116 117 118 119 1110 1111

0 0 0

0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

, ,

, ,

, , , , , , , , ,

q

q

q

q

q

q

R

R

R

1

2

3

4

11

12

1

2

11

0

0

0


k k k k k k k k k k

k k k k k k M k k k

k k k k k k k k k k

k k k k k k k k M k

k k k k k k k k k k

11 12 13 14 15 16 17 18 19 110

71 72 73 74 75 76 78 79 710

81 82 83 84 85 86 87 88 89 810

91 92 93 94 95 96 97 98 910

101 10 2 103 104 105 106 107 108 109 1010

,

,

,

,

, , , , , , , , , ,

q

q

q

q

q

R

M

R

M

R

1

7

8

9

10

1

8

10


k q k q k q k q k q k q Mq k q k q k q M71 1 72 2 73 3 74 4 75 5 76 6 7 78 8 79 9 710 10 ,

smallrelativeM

qkqkqkqkqkqkqkqkqkq 1010,7979878676575474373272171

7


RqK

q

Time consuming!

六、求解线性方程组


ee qNd

ee qB

ee qS

七、计算其它物理量


eq ed e e

• 位移法

• 节点位移

无穷数量的质点位移有限数量的节点位移


八、计算结果处理


1=(+)/2

2=(+++++)/6

1=(+)/2

2=(+)/2


九、结果显示、打印、分析


procedure of static analysisprocedure of static analysis

Discretion

Global stiffness matrix

Load Translation Results Process & Display

Calculate Other Quantities

Restrain Process

Solve EquationsElement analysis


Discretion

Patch interpolation Displacement function —— defined over a element

ee qNd points : Infinite nodes : finite

ee qB

ee qS

[K]{q}={R}

eee qkF

{q}e: basic unknowns

{q}

Equilibrium equations for each element

Equilibrium equation for whole structure

solve

Summary


Any Any Question?Question?


The End

第 5 章 平面问题有限元法

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