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ANHÄNGE
Anhang 1: Ableitung der Gleichungen 16l und 18l in Kapitel
.IY
Durch Einsetzen der Werte von a und [3 aus den Gleichungen
(4) und (5) in Gleichung (1) Ct (ISt - [3e-d ' erhält man:
cued'-cved'-cuef'ev+cvef'eu
(eu-ev)ef'ed '
ed'-f'-ev ed'-f'-eu [( )cu - ( )cv ) e-d '.
eU-ev eU-ev
Definiert man den Term (ed'-f'-ev)/(eU-eV ) := w, so gilt:
- 400 -
Anhang 2: Ableitung der Gleichung (37) in Kapitel IV
In Gleichung (34) wird das folgende Glied umgeformt:
= (Term A) j (Term B)n-j,
mit Term A = wef'-d'eu und Term B (I-w)ef'-d'ev .
Es gilt dann:
1 - Term A = 1 - wef'-d'eu
mit w := (ed'-f'-ev)/(eU-eV )
[(-ed'-f'+eU)/(eU-eV )] ef'-d'ev (I-w)ef'-d'ev = Term B,
wobei I-w
wird.
(-ed'-f'+eU)/(eU-eV ), wie in Anhang 1 gezeigt
Definiert man nun Term A wef'-d'+u .- w', so gilt:
1 - Term A I-w' = Term B.
Für das erste Glied in Gleichung (34) ergibt sich schließ
lich:
(Term A)j . (Term B)n-j
w' j (l-w' ) n - j .
- 401 -
- 402 -
Anhang 3: Ableitung der Gleichungen (56) und (58) in Kapitel
Durch Einsetzen der Werte von a und ß aus den Gleichungen
(54) und (55) in Gleichung (51) Pt = ße-d ' - aSt erhält man:
Pt
pvef'eu_puef'ev_pved'+pued'
(eu-ev)ed'ef '
ef'eu-ed ' ef'ev-ed ' [ " )Pv - [ )pu (eu-ev)ed e f (eu-ev)ed'e f '
eU-ed'-f' eV-ed'-f' [ ( ) Pv - ( ) Pu) e-d '.
eU-ev eU-ev
Definiert man den Term (eU-ed'-f')/(eU-eV) := w, so gilt:
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Anhang 4: Ableitung der Relation (61) in Kapitel IV
Gilt u > d'-f' > V, so erhält man durch Anwendung der Expo
nentialfunktion:
e U > ed'-f' > e V .
Subtrahiert man e V , so ergibt sich:
Da e U, e V und infolgedessen eU-ev positiv sind, erhält man
nach Dividieren durch eU-ev :
1 > (ed'-f'-ev}/(eU-eV ) > O.
Subtrahiert man 1, so gilt:
o > -(eu-ed'-f'}/(eu-eV ) > -1.
Multipliziert man mit -1, so ergibt sich:
o < (eu-ed'-f'}/(eu-eV ) < 1.
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Anhang 5: Ableitung der Gleichung (86) in Kapitel IV
In Gleichung (83) wird das folgende Glied umgeformt:
[wef'-d'ev]i . [(I-w)ef'-d'eu]n-i
(Term A)i . (Term B)n-i.
Es gilt dann:
1 - Term A = 1 - wef'-d'ev
= 1 - [(eu-ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'ev ,
mit w := (eu-ed'-f')/(eu-eV )
= [(-ev+ed'-f')/(eu-eV )] ef'-d'eu (I-w)ef'-d'eu = Term B,
wobei I-w
wird.
(-ev+ed'-f')/(eu-eV ), wie in Anhang 3 gezeigt
Definiert man nun Term A wef'-d'+v .- w', so gilt:
1 - Term A I-w' = Term B.
Für das erste Glied in Gleichung (83) ergibt sich schließ
lich:
- 405 -
(Term A)i . (Term B)n-i
- 406 -
Anhang 6: Ableitung der Gleichung (116) in Kapitel IV
Gleichung (106) ist die Formel der Lognormalverteilung des
Kassakurses der Basiswährung für ein kurzes Zeitintervall &1):
In(St+~t/St) = möt + ~(~t)z.
Durch Anwendung der Exponentialfunktion folgt nach der Um
formung:
Aus der Exponentialentwicklung erhält man2 ) :
~ [möt+~(~t)zJk 1: -------
k=O k!
Ist ~t sehr klein bzw. mAt+~(~t)z « 1, so lassen sich die
Glieder von möt+~(~t)z mit Ordnungen größer als zwei ver
nachlässigen:
Für den Erwartungswert von St+~t gilt nun wegen konstantem
St:
1) In Anlehnung an R.A. Jarrow und A. Rudd, a.a.O., S. 88-90.
2) Aus der Exponentialreihe von e X ergibt sich:
eX = ~ xkjk! = 1 + x + x 2 j2! + x 3 j3! + ..... k=O
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Daraus entsteht durch Ausmultiplizieren und Umformungen:
+ maAtV (llt) z] .
Vernachlässigt man die Glieder mit höheren Ordnungen von At,
so ergibt sich wegen E[l] = 1, E[z] = 0, Var[z] = 1 und
E [z2] = 1 3):
Für (m+a2 /2)At « 1 gilt 4 ):
Daraus folgt:
Da der Ausdruck auf der rechten Seite unabhängig von der Zu
fallsvariable z ist, erhält man:
Hier tritt noch einmal die risikoneutrale Modellwelt zutage,
da bei allen Finanztiteln für ein Zeitintervall der risiko
lose Heimwährungszinssatz d' verlangt wird5 ). Ist der Fi
nanztitel die Basiswährung einer Option, so ergibt sich:
3) Var[z] = E[ (z-E[z]) 2] = E[z2_2zE[z]+E2 [z]] = E[z2] - 2E[z]E[z] + E2[z] = ·E[z2] - 2E2[z] + E2[z] = E[z2] - E2[z] = E[z2] = 1, wobei E[z] = Mittelwert = 0 (Standardnorma1verteilung) gilt. Bei den Formelableitungen gilt folgendes: E[a+bz+cz 2 ] = E[a] + E[bz] + E[cz 2 ] = a + E[b]E[z] + E[c]E[z2] a + bE[z] + cE[z2], mit a, b, c = konstant.
4) Für lxi « 1 gilt e X = 1+x. Siehe hierzu Fußnote 2) .
5) Siehe risikoneutrale Welt auf S. 182 und S. 214 in Kapitel IV.
- 408 -
Daraus folgt angenähert:
Gemäß Gleichung (100) gilt mit d
rungszinssatz:
(100) d' = d~/n dAt.
Man erhält dann:
Schließlich ergibt sich:
Nach der Umformung gilt:
(116) m = d-a2 /2.
kontinuierlicher Heimwäh-
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Anhang 7: Computerprograrrqne fÜr die Binomialmodelle zur Be
rechnung der Werte yon Deyisenoptionen
Die Computerprogramme werden mit der Sprache Fortran77 ge
schrieben. Um die Berechnungen zu ermöglichen bzw. zu er
leichtern, werden in den Programmen gewisse analytische Aus
drÜcke der Modelle durch ihre IdentitAtsgleichungen ersetzt:
Der Ausdruck xk(l-x)n-k, wobei x = w,w' und k die Form ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x) gebracht 6 ).
n
i,j, wird in
FÜr den Ausdruck (k)' wobei k i,j, wird die folgende Iden-
titAt benutzt7 ) :
n n-l n-2 n-k+2 n-k+l (-) (-) (-) .... (--) (--). k k-l k-2 2 1
Das Symbol df wird in den Programmen weder als das Differen
tial von f noch als d·f, sondern wie folgt definiert:
df .- (d-f)t/n d' -f' .
6) Setzt man A = xk(l-x)n-k, so erhält man: ln(A) = ln[xk(l-x)n-k]
= ln(xk)+ln[(l-x)n-k] = k·ln(x)+(n-k)ln(l-x).
Gemäß der Definition des Logarithmus gilt: A = eln(A). Daraus folgt: xk(l_x)n-k = ek.ln(x)+(n-k)ln(l-x).
n!
(n-k) !k! n(n-l) (n-2)···· (n-k+2) (n-k+l). (n-k) (n-k-l) (n-k-2)··· ·3·2·1
[(n-k) (n-k-1) (n-k-2)··· ·3.2.1]· [k(k-1) (k-2)··. ·3·2·1] n(n-1) (n-2)···· (n-k+2) (n-k+1)
k(k-1) (k-2)··· ·3.2·1 Von k bis 1 sind k Glieder vorhanden. Von n bis n-k+l sind ebenfalls n(n-k+1)+1 = k Glieder vorhanden. Daraus ergibt sich: n n n-1 n-2 n-k+2 n-k+l
(k) (k) (k-l) (k-2)···· (-2-) (-1-)'
- 410 -
Zur Berechnung der Werte yon europäischen und amerikanischen
Deyisencalls
DVSCAL PROGRAMS IN FORTRAN 77 C
01900 02000
C====67=PARAMETERS VIA COMMON BLOCK================================02100 C 02200
COMMON 1 PARM1 1 S, 0, F, SIGMA, TAU, X 02300 COMMON 1 PARM2 ION, DF, U, V, W 02400 COMMON 1 ZTINT 1 NZTINT 02500
C 02600 C====67=DEFINITIONS================================================02700 C 02800
NZTINT 200 02900 C 03000
ON REAL (NZTINT) 03100 0 9.0/100.0 03200 F 9.0/100.0 03300 SIGMA 10.0/100.0 03400 TAU 270.0/360.0 03500 S 0.5 03600 X 0.5 03700
C 03800 C====67=DERlVED PARAMETERS=========================================03900 C
DF U V W
C
(D-F)*TAU/DN (D-SIGMA**2/2.0) * (TAU/DN) + SIGMA*SQRT(TAU/DN) (D-SIGMA**2/2.0) * (TAU/DN) - SIGMA*SQRT(TAU/DN) ( EXP(DF) - EXP(V) )/( EXP(U) - EXP(V) )
04000 04100 04200 04300 04400 04500
C====67=MAIN=======================================================04600 C 04700
C
CALL FILL( U,V ) CALL AMCALL( AMC CALL EUCALL( EUC
04800 04900 05000 05100
C====67=OUTPUT=====================================================05200 C 05300
WRITE(*,200) AMC, EUC 05400 C 05500 C====67=FORMAT=====================================================05600 C 05700
200 FORMAT ( lH , 5X, 'AMC = " 1F8.4, 5X, 'EUC = " 1F8.4 ) 05800 C 05900 C====67=STOP/END===================================================06000 C 06100
STOP END
06200 06300
C 06400 C====67============================================================06500 C 06600 C BERECHNUNG DES WERTS EINES EUROPAEISCHEN DEVISENCALL 06700 C 06800 C====67============================================================06900
C
- 411 -
SUBROUTINE EUCALL( RESULT ) COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W
WSTR W*EXP(-DF+U) JA INT( ( LOG(X/S) - DN*V )/(U-V) ) + 1 RESULT S*EXP(-F*TAU)*CUMBIN(JA,INT(DN),WSTR)
& - X*EXP(-D*TAU)*CUMBIN(JA,INT(DN),W) RETURN END
07000 07100 07200 07300 07400 07500 07600 07700 07800 07900
C 08000 C====67============================================================08100 C 08200
10
FUNCTION CUMBIN( J, N, WK CUMBIN = 0.0 DO 10 INDEX = J, N, 1
CUMBIN = CUMBIN + PASCAL(INDEX,N)*WTERM(INDEX,N,WK) CONTINUE
RETURN
08300 08400 08500 08600 08700 08800
END 08900 C 09000 C====67============================================================09100 C
FUNCTION WTERM( J, N, WK ) WTERM = EXP( REAL(J)*LOG(WK) + REAL(N-J)*LOG(I.0-WK) )
RETURN END
09200 09300 09400 09500 09600
C 09700 C====67============================================================09800 C
10
FUNCTION PASCAL ( J, N IF( J .EQ. N ) THEN
PASCAL = 1.0 ELSE
IF( J .EQ. 0 ) THEN PASCAL 1.0
ELSE PASCAL 1.0 DO 10 INDEX = 0, J-l, 1
PASCAL = PASCAL*REAL(N-INDEX)/REAL(J-INDEX) CONTINUE
ENDIF ENDIF
RETURN END
09900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200 11300 11400
C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENCALL 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C 12100
SUBROUTINE AMCALL( RESULT 12200 PARAMETER ( MAXI = 500 ) 12300 COMMON / ZTINT / NZTINT 12400 COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X 12500 COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W 12600
20 10
- 412 -
COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1
DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2
1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1
UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*UP + (l-W)*DOWN )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN
G( NX1, NY2) ALIVE ELSE
G( NX1, NY2 ENDIF
DEAD
CONTINUE CONTINUE RESULT = G(l,l)
RETURN END
12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900
C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400
C====67============================================================15500 C
SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI
NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1
DO 20 JNDEX = I, NZTPKT-(INDEX-1), DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL ( JNDEX-1 ) AUBWT = S*EXP( DJ*U + DI*V ) - X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN
G( INDEX, JNDEX) 0.0 ELSE
G( INDEX, JNDEX ENDIF
AUBWT
20 CONTINUE 10 CONTINUE
RETURN END
15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300
1 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600
- 413 -
Zur Berechnung der Werte yon europäischen und amerikanischen
Deyisenputs
DVSPUT PROGRAMS IN FORTRAN 77 C
01900 02000
C====67=PARAMETERS VIA COMMON BLOCK================================02100 C 02200
C
COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W COMMON / ZTINT / NZTINT
02300 02400 02500 02600
C====67=DEFINITIONS================================================02700 C 02800
C
C
NZTINT
DN D F SIGMA TAU S X
200 02900 03000
REAL (NZTINT) 03100 9.0/100.0 03200 9.0/100.0 03300
10.0/100.0 03400 270.0/360.0 03500
0.5 03600 0.5 03700
03800 C====67=DERIVED PARAMETERS=========================================03900 C 04000
C
DF U V W
(D-F) *TAU/DN (D-SIGMA**2/2.0}*(TAU/DN) + SIGMA*SQRT(TAU/DN} (D-SIGMA**2/2.0)* (TAU/DN) - SIGMA*SQRT(TAU/DN} ( EXP(U) - EXP(DF} )/( EXP(U} - EXP(V} }
04100 04200 04300 04400 04500
C====67=MAIN PROGRAM===============================================04600 C 04700
C
CALL FILL( U,V } CALL AMPUT( AMP } CALL EUPUT( EUP }
04800 04900 05000 05100
C====67=OUTPUT=====================================================05200 C 05300
WRITE(*,200} AMP, EUP 05400 C 05500 C====67=FORMAT=====================================================05600 C 05700
200 FORMAT ( 1H , 5X, 'AMP = " 1F8.4, 5X, 'EUP = " 1F8.4 } 05800 C 05900 C====67=STOP/END===================================================06000 C 06100
STOP 06200 END 06300
C 06400 C====67============================================================06500 C C BERECHNUNG DES WERTS EINES EUROPAEISCHEN DEVISENPUT
06600 06700
C 06800 C====67============================================================06900
C
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SUBROUTINE EUPUT( RESULT ) COMMON / PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / PARM2 / DN, DF, U, V, W
WSTR IA RESULT
&
RETURN END
W*EXP(-DF+V) INT( ( -LOG(X/S) + DN*U )/(U-V) ) + 1 -S*EXP(-F*TAU)*CUMBIN(IA,INT(DN),WSTR) + X*EXP(-D*TAU)*CUMBIN(IA,INT(DN),W)
07000 07100 07200 07300 07400 07500 07600 07700 07800 07900
C 08000 C====67============================================================08100 C 08200
10
FUNCTION CUMBIN( I, N, WK CUMBIN = 0.0 DO 10 INDEX = I, N, 1
CUMBIN = CUMBIN + PASCAL (INOEX,N) *WTERM(INOEX,N,WK) CONTINUE
RETURN END
08300 08400 08500 08600 08700 08800 08900
C 09000 C====67============================================================09100 C
FUNCTION WTERM( I, N, WK ) WTERM = EXP( REAL(I)*LOG(WK) + REAL(N-I)*LOG(I.0-WK) )
RETURN END
09200 09300 09400 09500 09600
C 09700 C====67============================================================09800 C
10
FUNCTION PASCAL ( I, N IF( I .EQ. N ) THEN
PASCAL = 1.0 ELSE
IF( I .EQ. 0 PASCAL
ELSE 1.0
PASCAL 1.0
THEN
DO 10 INDEX = 0, I-I, 1 PASCAL = PASCAL*REAL(N-INDEX)/REAL(I-INOEX)
CONTINUE ENDIF
ENDIF
09900 10000 10100 10200 10300 10400 10500 10600 10700 10800 10900 11000 11100 11200
RETURN 113 0 0 END 11400
C 11500 C====67============================================================11600 C 11700 C BERECHNUNG DES WERTS EINES AMERIKANISCHEN DEVISENPUT 11800 C 11900 C====67============================================================12000 C
SUBROUTINE AMPUT( RESULT PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON COMMON
PARMI / S, D, F, SIGMA, TAU, X PARM2 / ON, DF, U, V, W
12100 12200 12300 12400 12500 12600
20 10
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COMMON / MATRI / G( 1:MAXI, l:MAXI ) DSTR = D*TAU/REAL(NZTINT) NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 JNDEX = NZTPKT, 2, -1
DO 20 INDEX = 0, JNDEX-2, 1 NX1 NY1 NX2 NY2
1 + INDEX JNDEX - INDEX NX1 + 1 NYl - 1
UP G( l+INDEX, JNDEX-INDEX ) DOWN G( 1+ (INDEX+1), JNDEX-(INDEX+1) ALIVE (W*DOWN + (1-W)*UP )*EXP(-DSTR) DEAD G( NX1, NY2 ) IF( ALIVE .GE. DEAD ) THEN
G( NX1, NY2) ALIVE ELSE
G( NX1, NY2 ENDIF
DEAD
CONTINUE CONTINUE RESULT = G(1,l)
RETURN END
12700 12800 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 13700 13800 13900 14000 14100 14200 14300 14400 14500 14600 14700 14800 14900
C 15000 C====67============================================================15100 C 15200 C BESETZUNG DER MATRIX G MIT DEN AUSUEBUNGSWERTEN 15300 C 15400 c====67============================================================15500 C
20 10
SUBROUTINE FILL( U, V ) PARAMETER ( MAXI = 500 ) COMMON / ZTINT / NZTINT COMMON / PARM1 / S, D, F, SIGMA, TAU, X COMMON / MATRI / G( l:MAXI, l:MAXI
NZTPKT = NZTINT+1 DO 10 INDEX = I, NZTPKT, 1
DO 20 JNDEX = 1, NZTPKT-(INDEX-1), 1 DI REAL ( INDEX-1 ) DJ = REAL( JNDEX-1 ) AUBWT = -S*EXP( DJ*U + DI*V ) + X IF( AUBWT .LE. 0.0 ) THEN
G( INDEX, JNDEX) 0.0 ELSE
G( INDEX, JNDEX AUBWT ENDIF
CONTINUE CONTINUE
RETURN END
15600 15700 15800 15900 16000 16100 16200 16300 16400 16500 16600 16700 16800 16900 17000 17100 17200 17300 17400 17500 17600
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