2پژوهش عملیاتی

به نام خداوند دانا

R. BehmaneshKhorasgan branch

Operation Research (2)

Optimization

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Optimization

Maximize MinimizeConstraint

ری�زی 1 برنام�ه ب�ا آش�نایی -خطی و مدلسازی

ترس���یمی 2 ح���ل روش -)هندسی(

- روش حل سیمپلکس اولیه3

و 4 نق��ل و حم��ل مس��اله -روشهای حل آن

فهرست مطالب

- مس�اله ش�بکه و روش�های ح�ل 5آن

- نظری�ه ب�ازی ه�ا و روش�های 6حل آن

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

آشنایی با برنامه ریزی خطی و مدلسازی

فصل اول

برنامه ریزی خطی

برنامه ریزی غیر خطی

( در تابع ، Xبکارگیری متغیر درجه یک )معادالت و نامعادالت

, X0.5بکارگیری متغیر درجه غیر یک ) X2 در توابع )

سه بخش مساله برنامه ریزی خطی

تابع هدف

مساله برنامه ریزی ریاضی

محدودیتها

عالمت متغیرها

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nnxcxcxcz ...max(min) 2211

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.

.

...

2211

11212111

unsignedxorxorx jjj 00

مفهوم پارامترهای مساله برنامه ریزی خطی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nnxcxcxcz ...max(min) 2211

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.

.

...

2211

11212111

m محدودی

ت)اندیس

i)

n متغیر تصمیم (j)اندیس

mمتغیر اساسی متغیرهای غیر اساسی= متغیرهای اساسی - کلیه

متغیرها )تصمیم +مصنوعی+کمکی(

متغیر اساسی : دارای مقدار غیر صفر

متغیر غیر اساسی : دارای مقدار صفر

نمایش دیگری از برنامه ریزی خطی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nnxcxcxcz ...max(min) 2211

mnmm

ij

n

aaa

a

aaa

nm...

.

.............

...

21

11211

m

i

b

b

b

m

.

1

1

n

j

x

x

x

n

.

1

1

][]][[ ij bxA

دسته بندی مفاهیم پارامترها در برنامه ریزی خطی از سه منظر

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

نماد ریاضی

واژه مدلی

واژه مفهومی

1تولید محصوالت فعالیتتوصیف2و

x1, x2 (xj) متغیرتصمیم

مقدار تولید شده از هر محصول

Max(min)Zکل سود )هزینه( تابع هدفناشی از تولید

c1 , c2 (cj) ضرایب متغیرها درهدف

سود )هزینه( ناشی از تولید هر واحد محصول

biاعداد سمت

راستمیزان منابع مانند مواد

اولیه، تجهیزات

aijمقدار منابع مصرف شده برای ضرایب فنی

تولید هر واحد محصول

واژه های کاربردی در برنامه ریزی ریاضی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

مجموعه جواب

مجموعه جواب موجه

مجموعه جواب بهینه

Max Z = 6x1-2x2s.t.

x1+x2 <=3x1 , x2>=0

معادله حدی

منطقه موجه

جواب گوشه

متغیر اساسی

مفروضات برنامه ریزی خطی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

: اس�تقالل متغیره�ای تص�میم از هم�دیگر و تناس�بتناس�ب آهن�گ تغی�یر ت�ابع ه�دف ب�ا تغی�یرات متغ�یر و ب�ا متناس�ب مح�دودیت ه�ر منب�ع مص�رف همچ�نین

مقدار متغیرx1

2 + 3 + x2 <= 10 Min z =x10.5 - 2x2 + 8

: در مح�دودیتها و ت�ابع ه�دف ، رابط�ه جم�ع پ�ذیری و ب�وده ج�بری جم�ع بف�رم متغیره�ا بین ریاض�ی

رابطه متقابل بین متغیرهای تصمیم وجود ندارد.

x12 - x2x3 = 10 Max z =x1x2 - 3x3

مق�ادیر بخش�پذیری فق�ط تص�میم متغیره�ای :پیوس�ته را اختی�ار می کن�د و لزوم�ا ع�دد ص�حیح نمی

باشد.

ث�ابت و غیراحتم�الی aij ، bi، cj: مق�ادیر معین ب�ودن می باشند.

Max Z =

کارگاه تولیدکننده در و پنجره

محاسبه تعداد در و پنجره در یک دوره زمانی جهت حداکثر سود

130X1 + 90X2

<= 1800s.t.

Xj >= 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

مدلسازی برنامه ریزی خطی

50X1 + 20X2

<= 100010X1 + 30X2

<= 80040X1 + 20X2

درپنجمنابرهع

شیشچوبه

نفرساعت 50

20

1800

1030

1000

4020

800

13090

سودX1

X2

روش حل ترسیمی )هندسی(

فصل دوم

رسم معادالت حدی براساس

دو نقطهیافتن منطقه موجه هر محدودیت براساس مبدا

تعیین منطقه موجه مشترک

عدم وجود جواب بهینه

الگوریتم هندسی

یافتن دو نقطه برای هر محدودیت

وجود اشتراک

- محدود )نقطه، 1پاره خط، سطح(

- نامحدود2شناسایی نقاط گوشه )متغیر اساسی موجه(

رسم بردار گرادیان

تعیین تابع سود یا زیان براساس نقاط بهینه

OK

جایگذاری در تابع هدف و تعیین بهینه بر اساس

مقایسه

حرکت خط عمود بردار در جهت بردار و تعیین بهینه براساس عبور از منطقه

موجه

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

مثال هندسی نقاط گوشه

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Max Z = 6x1+3x2s.t.

x1+x2 <=42x1-x2<=5x1>=2x1 , x2>=0

منطقه موجه

x1+x2 =4

x1=2B

B(2,2)

A(2,0) D(2.5,0)

C(3,1)

x1+x2 =4

2x1-x2=5C

Z(A)=6(2)+3(0)=12Z(B)=6(2)+3(2)=18

Z(C)=6(3)+3(1)=21

Z(D)=6(2.5)+3(0)=15

نقطه بهینه

(0,4)(4,0)(0,-5)(2.5,0)

مثال هندسی بردار گرادیان

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Max Z = 6x1+3x2s.t.

x1+x2 <=42x1-x2<=5x1>=2x1 , x2>=0

C(3,1) نقطه C=(6,3)بهینه

مثال هندسی نقاط گوشه و بردار گرادیان

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Max Z = 6x1+3x2s.t.(1) x1+x2 <=4(2) 2x1-x2<=5(3) x1>=2

x1 , x2>=0Opt(3,1)

(1)

(2)

(3)

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

تضاد در محدودیتها و عدم وجود فصل مشترک

عدم جواب موجه و بهینه

Max Z = 4x1+x2s.t.

x1+x2 <=32x1-x2<=3x1>=4x1 , x2>=0

عدم وجود منطقه موجه

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

منطقه موجه نامحدود

جواب بهینه نامحدود

Max Z = 6x1+2x2s.t.

2x1-x2<=2x1<=4x1 , x2>=0

C=(6,2)

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

منطقه موجه نامحدود

جواب بهینه محدود

Min Z = 3x1-2x2s.t.

2x1+x2>=230x1+2x2>=250x2<=120x1 , x2>=0

-C=(-3,2)

A(55,120)

Z(A)=3(55)-2(120)= -75

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

جواب بهینه چندگانه

A(0,20)

Z(A)=10(0)+20(20)= 400

Max Z = 10x1+20x2s.t.

10x1+6x2<=2505x1+10x2<=200x1 , x2>=0

Z(B)=10(130/7)+20(75/7)= 400 بهینه ABپاره خط

چندگانه

)7

75,

7

130(B

تابع هدف موازی یکی از محدودیتهای دربرگیرنده جواب بهینه است

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

نقطه تباهیده در فضا

نقطه ای که از تقاطع بیش از دو خط ایجاد شود.

ارائه حاالت خاص در روش هندسی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

جواب تبهگن

A(0,2)

Max Z = 3x1+9x2s.t.

x1+4x2<=8x1+2x2<=4x1 , x2>=0

هرگ�اه ی�ک نقط�ه گوش�ه از تق�اطع ایج�اد ح�دی معادل�ه دو از بیش

شود.

دائم : نقطه بهینه بر روی تبهگن واقع شده

موقت : نقطه تبهگن ، بهینه نمی باشد.

Z(A)=3(0)+9(2)= 18

طبقه بندی برنامه ریزی خطی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

جوابهای ممکن برای برنامه ریزی خطی

بدون جواب موجه

درای جواب موجه

جواب بهینه محدود

جواب بهینه نا محدود

جواب بهینه چندگانه

جواب بهینه منحصر بفرد

طبقه بندی محدودیتها برنامه ریزی خطی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

نحوه واقع شدن جواب بهینه بر

محدودیت ها

تاثیر محدودیتها در منطقه موجه

موثر

زائد

الزام آور

غیرالزام آور

Max Z = 4x1+10x2s.t.

10x1+6x2<=2405x1+10x2<=200x1<=40x1 , x2>=0

روش حل سیمپلکس اولیه

فصل سوم

روش سیمپلکس

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

فزونی تعداد معادالت مستقل بر متغیرها

دستگاه معادالت خطی

برابری تعداد معادالت مستقل و متغیرها

فزونی تعداد متغیرها بر معادالت مستقل

منحصربفردعدم وجودبی

نهایت: ج�داول مت�والی ک�ه ب�ا روش ح�ذفی گ�وس – ج�ردن، سیمپلکس اولی�ه

از ی�ک نقظ�ه گوش�ه موج�ه آغ�از ک�رده و در ه�ر تک�رار ب�ا حف�ظ ش�رط موجه بودن به سمت گوشه بهینه حرکت می کند.

س��مت ع��دد از کم��تر مح��دودیتها (Ax<=bراست باشند )

شرایط استاندارد

مساله برای روش

سیمپلکس

(Maxتابع هدف بیشینه باشد )

(xj>=0کلیه متغیرها نامنفی باشند )

روش سیمپلکس

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

تش�کیل ب�رای مس�اله س�ازی آم�اده جدول سیمپلکس

- ت�ابع ه�دف ب�ه معادل�ه ع�دد س�مت 1راست تبدیل شود.

nnxcxcxcz ...max 2211

11212111 ... bxaxaxa nn

0...max 2211 nnxcxcxcz

11212111 ... bxaxaxa nn

- مح�دودیتهای نامعادل�ه ب�ه معادل�ه 2تبدیل گردد.

11212111 ... bxaxaxa nn -S1

11212111 ... bxaxaxa nn +S1

تشکیل جدول سیمپلکس و مراحل محاسبه

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

در 1 متغیره��ا ض��رایب انتق��ال -جدول ابتدایی

تض�مین 2 : ورودی متغ�یر تع�یین -بهینه سازی

حف�ظ 3 : خ�روجی متغ�یر تع�یین -شرط موجه بودن

ب�روز رس�انی ض�رایب و مق�ادیر 4 -متغیرها

ش�دن 5 منفی ن�ا : توق�ف ش�رط -همه ضرایب سطر هدف

کلیه متغیرهای مستقل

ضرایب تابع هدف

ضرایب فنی

ت مس

د دا

عا

تس

را

ی ها

رغی

متی

سسا

ا

jcmin

0|min ijij

i aa

b

سطر لوال * )عدد لوال / ضریب سطر در ستون لوال( - سطر جدیدسطر قدیم =

0jcif

مثالی از سیمپلکس اولیه

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Max Z = 4x1+x2s.t.

x1+x2 <=32x1-x2<=3x1 , x2>=0

x1 x2 s1 s2

max

z

R.H.S

-4 -1 0 0 0

s1

s2 0

01

1

1 1

2 -1

3

3

z

s1

x1

3

1.5

0 1/21 -1/2 3/2

1 -1/20 3/2 3/2

0 20 -3 61

2

-1/2

z

x2

x1 1/3 1/31 0 2

2/3 -1/30 1 1

2 10 0 9

2

1/3

Max Z - 4x1- x2 =0

x1+x2 +S1=3

2x1-x2+S2=3

x1 , x2 , S1 , S2 >=0

Z*=9(x1=2 , x2=1)*

-(-4)2

S2<0S1=0

S2>0S1=0

(0 , 0 , 3 , 3)`(3/2 , 0 ,3/2 , 0)`(2 , 1 , 0 , 0)`

شرایط غیر استاندارد : مساله کمینه سازی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

تش�کیل ب�رای مس�اله س�ازی آم�اده جدول سیمپلکس

بیش�ینه 1 ب�ه کمین�ه ه�دف ت�ابع -تبدیل شود.

nnxcxcxcz ...min 2211 nnxcxcxcz ...max 2211

شرایط غیر استاندارد : متغیر مصنوعی

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

تش�کیل ب�رای مس�اله س�ازی آم�اده جدول سیمپلکس

11212111 ... bxaxaxa nn

11212111 ... bxaxaxa nn

- مح�دودیتهای نامعادل�ه ب�ه معادل�ه 2تب�دیل گ�ردد و متغ�یر مص�نوعی جهت اف�زوده س�یمپلکس س�ازی موج�ه

گردد.

11212111 ... bxaxaxa nn -S1

11212111 ... bxaxaxa nn +R1

+R1

nnxcxcxcz ...max 2211 )...(...max 12211 mnn RRMxcxcxcz

Mمثالی از

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Min Z = 20x1+15x2s.t. -3x1+2x2 <=3 2x1+x2>=5 x1+x2>=3 x1 , x2>=0

Max Z =20x1+15x2-(MR1+MR2) =0

-3x1+2x2 +S1=3

2x1+x2-S2+R1=5

x1 ,x2 ,S1 ,S2 ,R1 ,S3 ,R2>=0

x1+x2-S3+R2=3R1=5

R2=3

Mمثالی از

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x1 x2 s1 s2 R1 R2

max

-z

R.H.S

20 15 0 0 0

s1

R1 0

01

-1

-3 2

2 1

3

5

-z -50-M/2

3M/2-10

3/2

-z -55

M-10

-7Max(- Z) +20x1+15x2+MR1+MR2 =0

-3x1+2x2 +S1=3

2x1+x2-S2+R1=5`

x1 ,x2 ,S1 ,S2 ,R1 ,R2>=0`

Z*=55(x1=2 , x2=1)*

M

0

1

M

0

0

R2 0 01 1 30 1

s1

x1 0

-3/21

-1/2

0 7/2

1 1/2

21/2

5/2

0

0

R2 0 1/20 1/2 1/21

s1

x1 0

-51

-1

0 0

1 0

7

2

-7

-1

x2 0 10 1 12

0 5-M/2 0 10-M/2 3M/2-10 0

0 0 0 5 M-5 M-10

3/2

1/2

-1/2

5

1

-1

-1/2

-1

x1+x2+R2=3

Min Z = 20x1+15x2s.t. -3x1+2x2 <=3 2x1+x2>=5 x1+x2=3 x1 , x2>=0

-3M -2M M 0 0 -8M

شرایط غیر استاندارد : متغیرتصمیم آزاد در عالمت

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

تش�کیل ب�رای مس�اله س�ازی آم�اده جدول سیمپلکس

0jx

- بک�ارگیری تغی�یر متغ�یر : تفکی�ک 3یک متغیر آزاد به دو متغیر نامنفی

unsignedxorxorx jjj 00

unsignedx j 0,| jjjjj xxxxx

0| jjj xxx

شرایط غیر استاندارد : متغیرتصمیم آزاد در عالمت

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

R.H.S S2 S1 X"2 X'2 X"1 X'1 Max0 0 0 1 -1 4 -4 Z4 0 1 -4 4 -1 1 S16 1 0 2 -2 -1 1 S2

16 0 4 -15 15 0 0 Z4 0 1 -4 4 -1 1 X'12 1 -1 6 -6 0 0 S2

21 5/2 3/2 0 0 0 0 Z16/3 2/3 1/3 0 0 -1 1 X'11/3 1/6 -1/6 1 -1 0 0 X"2

Max Z = 4x1+x2s.t.

x1+4x2 <=4x1-2x2<=6

0,,,,, 212211 ssxxxx

622

444

..

44

22211

12211

2211

sxxxx

sxxxx

ts

xxxxzMax

222

111

xxx

xxx

X1 = 16/3-0 = 16/3X2 = 0-1/3 = -1/3Z*=21