คํานํา · pdf file2.3 การวัดพื้นที่ 23...

คานา

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดรบมอบหมายจากกระทรวงศกษาธการใหพฒนาหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ของกลมสาระ การเรยนรคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร รวมทงสาระการออกแบบและเทคโนโลย และสาระเทคโนโลยสารสนเทศในกลมสาระการเรยนรการงานอาชพและเทคโนโลย ตลอดจน จดทาสอการเรยนรตามหลกสตรดงกลาว

คมอครเลมนเปนสวนหนงของสอการเรยนรตามหลกสตรของกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ใชประกอบการเรยนการสอนควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 เพอใหครผสอนใชเปนแนวทางในการจดการเรยนรคณตศาสตรใหผเรยนบรรลมาตรฐานการเรยนรทกาหนดไว

ในการจดทาคมอครเลมน สสวท. ไดรบความรวมมออยางดยงจากคณาจารย ผทรงคณวฒ นกวชาการและครผสอน จากหลายหนวยงานทงภาครฐและเอกชน สสวท. จงขอขอบคณทกทานไว ณ ทน และหวงเปนอยางยงวาคมอครเลมนจะเปนประโยชนสาหรบครผสอนคณตศาสตรใหสามารถนาไปใชหรอปรบใชใหเหมาะสมกบศกยภาพของผเรยน

หากมขอเสนอแนะใดทจะทาใหคมอครเลมนสมบรณยงขนโปรดแจง สสวท. ทราบดวย จกขอบคณยง

(นายพศาล สรอยธหรา) ผอานวยการ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คาชแจง

สาขาคณตศาสตรมธยมศกษา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดรบมอบหมายจากกระทรวงศกษาธการใหพฒนาหลกสตรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชวงชนท 3 (มธยมศกษาปท 1–3) ชวงชนท 4 (มธยมศกษาปท 4–6) ในหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 นอกจากนนยงไดพฒนาสอการเรยนการสอนคณตศาสตรเพอใชประกอบหลกสตรของชวงชนท 3 และ 4 อกดวย

หนงสอเรยนและคมอครสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตรของชวงชนท 3 จะมดวยกนทงหมดอยางละ 6 เลม ไดแก หนงสอเรยนและคมอครสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 3 และเลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 ตามลาดบ ทงนสถานศกษาสามารถนาไปปรบใชใหเหมาะสมกบหลกสตรของแตละสถานศกษา

คมอครคณตศาสตรเลมนจดทาขนเพอใชประกอบการเรยนการสอนควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 ใชเวลาในการเรยนการสอน 3 ชวโมงตอสปดาหตอภาค สวนหนาของเลมประกอบดวยคาชแจงการใชคมอคร ในการใชคมอครขอใหอานคาชแจงการใชคมอครดงกลาวกอนทจะศกษารายละเอยดในแตละบท ในแตละบทของคมอครประกอบดวย คานาประจาบท ผลการเรยนรทคาดหวงรายป แนวทางการจดการเรยนร จดประสงค (ประจาหวขอ) ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน กจกรรมเสนอแนะ คาตอบของกจกรรมหรอแบบฝกหด

คณะผจดทาหวงวาคมอครเลมนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนคณตศาสตร อยางไรกดหากทานผใชคมอครเลมนมขอเสนอแนะประการใด โปรดแจงใหสาขาคณตศาสตรมธยมศกษา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยทราบ เพอปรบปรงเอกสารใหสมบรณยงขน ตอไป

(นางสาวจารวรรณ แสงทอง) หวหนาสาขาคณตศาสตรมธยมศกษา

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

สารบญ หนา

คานาคาชแจงคาชแจงการใชคมอคร กกาหนดเวลาสอนโดยประมาณ งบทท 1 อตราสวน และรอยละ 1

ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1แนวทางในการจดการเรยนร 2

1.1 อตราสวน 2จดประสงค 2ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 2

1.2 อตราสวนทเทากน 2จดประสงค 2ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 2

1.3 อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน 3 จดประสงค 3 เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 3 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 3

1.4 สดสวน 5จดประสงค 5ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 5

1.5 รอยละ 5จดประสงค 5เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 5ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 5

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 7กจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ 16

บทท 2 การวด 19ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 19

แนวทางในการจดการเรยนร 20 2.1 ความเปนมาของการวด 20

จดประสงค 20ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 20

2.2 การวดความยาว 21จดประสงค 21เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 21ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 21

2.3 การวดพนท 23 จดประสงค 23

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 232.4 การวดปรมาตรและนาหนก 24 จดประสงค 24

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 24ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 24

2.5 การวดเวลา 25 จดประสงค 25

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 25คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 26

แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ 38บทท 3 แผนภมรปวงกลม 41 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 41 แนวทางในการจดการเรยนร 42 3.1 การอานแผนภมรปวงกลม 42


3.2 การเขยนแผนภมรปวงกลม 43จดประสงค 43ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 43

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 44บทท 4 การแปลงทางเรขาคณต 50 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 50 แนวทางในการจดการเรยนร 51 4.1 การเลอนขนาน 51

จดประสงค 51 เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 51

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 514.2 การสะทอน 53


4.3 การหมน 55จดประสงค 55ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 55

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 57 แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ 69บทท 5 ความเทากนทกประการ 73 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 73 แนวทางในการจดการเรยนร 74 5.1 ความเทากนทกประการของรปเรขาคณต 74


5.2 ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม 76จดประสงค 76ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 76

5.3 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน 77จดประสงค 77ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 77

5.4 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม 80จดประสงค 80ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 80

5.5 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน 81จดประสงค 81ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 81

5.6 การนาไปใช 81จดประสงค 81

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 81ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 81

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 82 กจกรรมเสนอแนะและคาตอบ 103คณะกรรมการจดทาสอการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน 106

คาชแจงการใชคมอคร

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยไดพจารณาเหนวา เพอใหการจดการเรยนการสอนคณตศาสตรไดอยางมประสทธภาพและบรรลมาตรฐานการเรยนรทกาหนดไวในหลกสตรครบถวนทงสามดาน ไดแก ดานความร ดานทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร และดานคณธรรมจรยธรรมและคานยม จงไดจดทาคมอครซงเสนอแนะแนวการจดกจกรรมการเรยนการสอนไวโดยละเอยดเพอใชควบคกบหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 ดงนนครตองศกษาคมอครใหเขาใจถองแท ควรทดลองปฏบตกจกรรมเพอใหเกดความพรอมในการสอนกอนเขาสอนทกบทเรยน และดาเนนกจกรรมตามทเสนอแนะไว ครอาจปรบเปลยนกจกรรมและวธจดกจกรรมการเรยนการสอนไดตามความเหมาะสมโดยคานงถงศกยภาพของนกเรยนเปนสาคญ

คมอครของแตละบทประกอบดวยหวขอตอไปน 1. ชอบทและหวขอเรองประจาบท ระบจานวนชวโมงทใชในการเรยนการสอนของแตละบทและแตละหวขอไวโดยประมาณ ครอาจยดหยนไดตามทเหนสมควร 2. คานาประจาบท บอกสาระสาคญของบทเรยนทวไป สงทควรปฏบตและสงทควรยา

3. ผลการเรยนรทคาดหวงรายป ในแตละบทเรยนจะระบผลการเรยนรทคาดหวงรายปตามทปรากฏอยในหนงสอคมอการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ครตองคานงถงเสมอวาจะตองจดกจกรรมการเรยนรใหนกเรยนเกดผลการเรยนรตามทกาหนด เพอการวดและประเมนผลหลงจบการเรยนการสอน ผลการเรยนรทผานการประเมนนจะทาใหผเรยนบรรลผลตามมาตรฐานการเรยนรชวงชนท 3 ดวย

4. แนวทางในการจดการเรยนร ในแตละหวขอยอยของแตละบทไดใหรายละเอยดของหวขอตอไปน

1) จดประสงค ระบไวเพอใหครคานงถงเสมอวาจะตองจดกจกรรมการเรยนการสอนใหนกเรยนมความรและมความสามารถตรงตามจดประสงคทวางไว ซงจะตองเกดขนระหวางเรยนหรอดาเนนกจกรรม ครตองประเมนผลใหตรงตามจดประสงคและใชวธการประเมนผลทหลากหลายเพอใหบรรลถงผลการเรยนรทคาดหวงรายป

การประเมนผลทหลากหลายอาจเปนการสงเกต การตอบคาถาม การทาแบบฝกหด การทากจกรรม หรอการทดสอบยอย จดประสงคใดทครเหนวานกเรยนสวนใหญยงไมผาน ในชวโมงตอไปครควรนาบทเรยนนนมาสอนซอมเสรมใหม

ข

2) เอกสารแนะนาการจดกจกรรม ในบางหวขอไดระบรายการกจกรรมเสนอแนะหรอใบประกอบกจกรรมไวดงรายละเอยดในขอ 6

3) ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน เปนสวนสาคญของคมอครครควรศกษาและทาความเขาใจควบคกบหนงสอเรยน เพอเตรยมจดกจกรรมการเรยนการสอนใหสอดคลองกบจดประสงคและเหมาะสมกบความสามารถของนกเรยน

5. คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาถามทกคาถามในกจกรรมและแบบฝกหดทกขอมคาตอบใหและบางขอมเฉลยแนวคดไวใหเพอเปนแนวทางในการหาคาตอบ บางขอมหลายคาตอบแตใหไวเปนตวอยางอยางนอยหนงคาตอบ ทงนเพราะกจกรรมหรอแบบฝกหดทใหนกเรยนทาไดสอดแทรกปญหาทเปดโอกาสใหนกเรยนไดสบเสาะ สงเกต รวบรวมขอมล วเคราะห สรางขอความคาดการณและพสจนงาย ๆ การเฉลยคาตอบหรอการใหเหตผลประกอบคาตอบไดคานงถงพนฐานความรและวฒภาวะของนกเรยนเปนหลก การใหเหตผลหรอคาอธบายของนกเรยนอาจแตกตางจากทเฉลยไว ในการตรวจแบบฝกหดครควรพจารณาอยางรอบคอบ ยอมรบคาตอบทเหนวามความถกตองและเปนไปได ถงแมวาจะไมเหมอนกบคาตอบทเฉลยไว ปญหาทมลกษณะเปนปญหาชวนคด มคาตอบอยในสวนนดวย 6. กจกรรมเสนอแนะ บางบทเรยนไดเสนอแนะกจกรรมทพฒนาทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรเพอใหครเลอกใช ในแตละกจกรรมครอาจปรบเปลยนใหเหมาะสมกบเวลาและความสามารถของนกเรยน

กอนดาเนนกจกรรม ครควรสนทนากบนกเรยนดวยบรรยากาศทเปนกนเอง เพอใหเกดความเขาใจและมองเหนแงมมตาง ๆ ของกจกรรมทจะทา ไมควรดวนอธบายหรอชนาแนวคด ขณะทากจกรรมครตองสงเสรมใหนกเรยนไดมโอกาสแสดงความคดเหนทหลากหลาย ตลอดจนฝกฝนใหนกเรยนรจก วเคราะหปญหา ตดสนใจและหาขอสรป ทงนในบางกจกรรมไดแสดงคาตอบไวในวงเลบสแดง

7. แบบฝกหดเพมเตม ในบางบทเรยนไดเตรยมแบบฝกหดเพมเตมไวใหครเลอกหรอปรบใชใหเหมาะสมกบนกเรยนของตนเองและในบางขอไดแสดงคาตอบไวในวงเลบดวยเชนกน

ค

คาแนะนาการใชหนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร

หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร ประกอบดวย1. เนอหาสาระ ในการนาเสนอเนอหาสาระของแตละบทเรยน ไดคานงถงการเชอมโยงความรใหม

กบความรพนฐานเดมของนกเรยน โดยพยายามใชตวอยางจากชวตจรงและความรจากศาสตรอนประกอบการอธบายเพอใหไดขอสรปเปนความรใหมตอไป

2. ตวอยาง มไวเสรมความเขาใจในเนอหาสาระและการนาไปใช3. แบบฝกหดทายหวขอ แบบฝกหดทนาเสนอไวมหลายลกษณะ คอฝกทกษะการคดคานวณ แก โจทยปญหา ฝกวเคราะห ใหเหตผล และฝกหาขอสรปเพอนาไปสการสรางขอความคาดการณ4. ปญหาชวนคดหรอเรองนาร เปนโจทยปญหาหรอสถานการณกระตนใหนกเรยนไดใชความรท เรยนมาเพอแกปญหาหรอหาขอสรปใหม

เพอใหเกดประสทธภาพสงสดในการใชหนงสอเรยน ครควรปฏบตดงน1. ศกษาเนอหาสาระและวธนาเสนอควบคกบกจกรรมของแตละเรองทเสนอแนะไวในคมอคร ให

เขาใจอยางถองแท2. ทาแบบฝกหดทายหวขอและแสวงหาวธการทเหมาะสมทสดในการหาคาตอบ โดยเฉพาะอยางยง

ขอทมวธคดหรอคาตอบทหลากหลาย3. วางแผนการจดการเรยนรตลอดภาคเรยนใหครอบคลมทกเนอหาสาระและเหมาะสมกบเวลา4. ในการสอนเนอหาสาระแตละเรองไมควรดวนบอกนกเรยนทนท ควรใชวธการสอนผานกจกรรม

หรออภปรายโตตอบ เพอใหนกเรยนสรปความคดรวบยอดดวยตนเองเทาทจะสามารถทาได5. สรางสถานการณหรอโจทยทสอดคลองกบเนอหาสาระในบทเรยนเพมเตมจากสงทอยใกลตวหรอ

ภมปญญาทองถน เพอใหนกเรยนมความเขาใจในเนอหาสาระมากขนและสามารถเชอมโยงความรตาง ๆ เปนแนวทางในการประยกตตอไป

กาหนดเวลาสอนโดยประมาณ

หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1

ชน มธยมศกษาปท 2

บทท เรอง จานวนชวโมง1

2

3

4

5

อตราสวน และรอยละ

การวด

แผนภมรปวงกลม

การแปลงทางเรขาคณต

ความเทากนทกประการ

18

10

6

12

14

รวม 60

บทท 1อตราสวน และรอยละ (18 ชวโมง)

1.1 อตราสวน (2 ชวโมง)1.2 อตราสวนทเทากน (2 ชวโมง)1.3 อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน (3 ชวโมง)1.4 สดสวน (5 ชวโมง)1.5 รอยละ (6 ชวโมง)

อตราสวนเปนเรองทนกเรยนเรมเรยนเปนครงแรก ในบทนจะกลาวถงอตราสวนของจานวนสองจานวนและอตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน ซงแตละจานวนในอตราสวนเปนจานวนบวก เราอาจ

เขยนอตราสวน a : b ในรป ba เพอชวยในการคานวณเกยวกบอตราสวนทเทากนไดสะดวกขน แตเราไม

สามารถใชอตราสวนไดเชนเดยวกบเศษสวนในทกเรอง กลาวคออาจนาจานวนทเปนบวกมาคณหรอมาหาร

a และ b แลวไดอตราสวนทเทากบ ba เชน b

a = c bc a

×× = c b

c a÷÷ แตไมสามารถนาอตราสวนสอง

อตราสวนมาบวก ลบ คณและหาร หรอเปรยบเทยบกน เชนเดยวกบในเรองของเศษสวนทงนเพราะอตราสวนไมใชจานวน สาหรบเรองสดสวนเสนอไวเพอใหเหนประโยชนของอตราสวนในการแกปญหาทางคณตศาสตรอกวธหนง แทนการใชบญญตไตรยางคทนกเรยนคยเคยมากอน นกเรยนเคยเรยนรอยละในรปของเศษสวนมาแลว ในชนนจะนารอยละมาเขยนในรปอตราสวนทมจานวนหลงเปน 100 โดยมงฝกใหนกเรยนแกโจทยปญหาเกยวกบรอยละในรปสดสวน

ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละในสถานการณตาง ๆ รวมทงแกปญหา เกยวกบความนาจะเปนได

2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได

2

แนวทางในการจดการเรยนร

1.1 อตราสวน (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถเขยนอตราสวนแทนการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทกาหนดใหได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครนาสนทนาเกยวกบการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณในสถานการณตาง ๆ ตามหนงสอเรยน และอาจใหนกเรยนยกตวอยางในชวตประจาวนเพมเตมทงในหนวยเดยวกนและตางหนวยกน

2. สาหรบการเขยนสญลกษณแทนอตราสวนของปรมาณ a ตอปรมาณ b ในรป ba นน ครควร

ชใหนกเรยนเหนวาในทนเปนการอาศยรปของเศษสวน มาใชเพอความสะดวกในการคานวณตอไป 3. ครอาจใหนกเรยนตดขอความทเกยวกบอตราสวนในหนงสอพมพ วารสารอน ๆ หรอตามประกาศโฆษณาสนคา เพอนาขอความเหลานนมาตดบนปายนเทศดวยการนาเสนอในรปแบบตาง ๆ 4. สาหรบกจกรรม “เรองของคนอยากรวย” นาเสนอไวเพอใหนกเรยนเหนวาจานวนสลากทถกรางวลแตละรางวลเทยบกบจานวนสลากทงหมดในแตละชด สามารถเขยนในรปอตราสวนได และเมอเปรยบเทยบจานวนสลากทถกรางวลกบจานวนสลากทไมถกรางวลในแตละชด จะเหนวาจานวนสลากทไมถกรางวลมจานวนมากกวาจานวนสลากทถกรางวลมากมายหลายเทา ซงทาใหเกดความรสกเกยวกบความนาจะเปนทจะถกรางวลโดยใชอตราสวนเปนสอ การสอดแทรกเรองนเพอใหนกเรยนนาไปถายทอดใหผอนทราบวาไมควรมวเมาในการซอสลากรางวล เพราะอตราสวนทแสดงความนาจะเปนในการถกรางวลชใหเหนถงโอกาสในการถกรางวลทมนอยมาก ครควรใหนกเรยนรวมกนอภปราย เพอชใหเหนวาการทคนเราจะรารวยไดนน ปกตแลวจะตองทามาหากนโดยสจรต ดวยความขยนหมนเพยร อดออมและมศลธรรม

1.2 อตราสวนทเทากน (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. หาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดใหได2. ตรวจสอบวาอตราสวนทกาหนดให เปนอตราสวนทเทากนหรอไม

3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทไดขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครควรเนนใหนกเรยนเขาใจวาการเขยนแทนอตราสวน a : b ในรปเศษสวนคอ b

a นนเปนการ

3

อาศยรปของเศษสวน ทงนเพอสะดวกในการคดคานวณในเรองอตราสวน ควรอาน ba วา a ตอ b

อตราสวน ba ทจะไดพบตอไปจะไมมอตราสวนท a = 0 หรอ b = 0 หรอทง a และ b เทากบ 0

2. นกเรยนเคยแกโจทยปญหาโดยวธการใชบญญตไตรยางคในระดบประถมศกษามาแลว ในหวขอน นกเรยนจะไดแกโจทยปญหาโดยใชอตราสวนทเทากนดวยการใชหลกการคณหรอหลกการหารดงตวอยางท 4 หนา 8 ในหนงสอเรยน 3. ครควรสนทนากบนกเรยนเกยวกบวธการตรวจสอบการเทากนของอตราสวนโดยใชผลคณไขวเพอชใหเหนวาวธการตรวจสอบดงกลาว เปรยบไดกบการพจารณาจานวนแรกของแตละอตราสวนทกาหนดเมอไดทาใหจานวนหลงของอตราสวนเทากนนนเอง 4. แบบฝกหด 1.2 ขอ 6 มไวเพอเชอมโยงความรเรองอตราสวนกบชวตจรงซงเปนความสมพนธของปรมาณตาง ๆ มากกวาสองปรมาณ สาหรบขอ 2) และขอ 3) ครควรเนนใหนกเรยนใชความรสกเชงจานวนมาชวยในการหาคาตอบ ไมจาเปนตองหาคาตอบโดยใชอตราสวนทเทากนทละค 5. แบบฝกหด 1.2 ขอ 8 มไวเพอนาความรเกยวกบอตราสวนไปแกปญหาเกยวกบความนาจะเปนครควรนาคาตอบของนกเรยนมารวมกนอภปรายในชน และชนาใหนกเรยนเหนวธคดคาตอบทเปนไปไดดงแสดงไวเปนตวอยางในคาตอบแบบฝกหด 6. สาหรบกจกรรม “นาคด” เพอแสดงใหเหนวาการทพลอยนาราคาไข 2 ฟอง 5 บาทกบ 3 ฟอง7 บาท มารวมกนเปนราคาไข 5 ฟอง 12 บาท จะไมไดเงนทงหมดเทากบแบบแยกกนขาย และถาตองการขายใหไดเงนเทาเดม จะตองขายไขในราคา 60 ฟอง 145 บาท หรอ 12 ฟอง ตอ 29 บาท ซงไมเทากบ5 ฟอง ตอ 12 บาท

1.3 อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. เขยนอตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน แทนการเปรยบเทยบปรมาณหลายปรมาณท กาหนดใหได 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม กจกรรมเสนอแนะ 1.3

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. เมอครนาสนทนาเกยวกบเรองสวนผสมของสงขยา ครอาจแนะนาวาการเปรยบเทยบปรมาณในทนตองเขยนหนวยกากบไวดวย แทนทจะเขยนอตราสวนของจานวนไขเปดเปนฟอง ตอปรมาณนาตาล

4

มะพราวเปนถวยตวง ตอปรมาณนากะทเปนถวยตวง เปน 3 : 43 : 13 เราอาจเขยนวา “อตราสวนของ

จานวนไขเปด ตอปรมาณนาตาลมะพราว ตอปรมาณนากะท เปน 3 ฟอง : 43 ถวยตวง : 1 ถวยตวง”

ครควรเนนใหนกเรยนระมดระวงตาแหนงของปรมาณในอตราสวนวาตองเปนลาดบเดยวกบลาดบของสงทเปรยบเทยบ เชน อตราสวนขางตน ตองเปนดงแผนภาพตอไปน

อตราสวนของจานวนไขเปดเปนฟองตอปรมาณนาตาลมะพราวเปนถวยตอปรมาณนากะทเปนถวย เปน 3 : 43 : 1

2. แบบฝกหด 1.3 ขอ 8 ในหนงสอเรยน อาจนามาอภปรายรวมกนในชนเรยน เพอใหนกเรยนไดรวมกนแสดงความคดเหนทครควรชนาใหเหนถงการพจารณาเงอนไขของคาตอบ ซงตองพจารณาโอกาสทแพนอยทสดโดยไมพจารณาเงอนไขอน ๆ ทนอกเหนอจากสงทกาหนดใหและคาถามในโจทย

หลงจากทาแบบฝกหดแลว ครอาจสนทนาใหความรเพมเตมอยางไมเปนทางการเกยวกบความนาจะเปน และการเขยนแสดงความนาจะเปนในรปอตราสวน โดยยกตวอยางจากในชวตจรงทนกเรยนคนเคยประกอบดวย 3. กจกรรม “ชวยคดหนอย” เสนอไวเพอใหนกเรยนเหนประโยชนทสามารถนาความรเรองอตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวนไปใชแกปญหาทซบซอนบางปญหาได 4. ถามเวลาพอครอาจใชกจกรรมเสนอแนะ 1.3 ใหนกเรยนทาเพมเตม ซงครอาจแนะนาใหนกเรยนนาสตรขนมชนทเสนอไว มาลองทาใหคนรอบขางไดรบประทานกได

1.4 สดสวน (5 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. หาจานวนทแทนดวยตวแปรในสดสวนทกาหนดให2. แกโจทยปญหาสดสวนได

3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ครควรยาใหนกเรยนระวงวธอานสดสวนโดยใหอานในรปอตราสวน ไมอานในรปเศษสวน

ครควรเนนวาสดสวนประกอบดวยจานวน 4 จานวน ในกรณทเขยนสดสวนในรป a : b = c : d อาจเรยกจานวน a, b, c และ d วาจานวนทหนง จานวนทสอง จานวนทสามและจานวนทสของสดสวนตามลาดบ

5

ครควรเนนวา ในการเขยนสดสวนจากโจทยปญหาทกาหนดใหนน ลาดบของจานวนในแตละอตราสวนมความสาคญ จากตวอยางปาทพยชงกาแฟ ลาดบของจานวนจะตองอยในรปปรมาณกาแฟบดเปนชอนโตะ ตอ ปรมาณนาเปนถวย 2. ในการหาคาของตวแปรในสดสวนโดยใชหลกการผลคณไขวเทากนนน ไดเขยนขนตอนแสดงผลคณไขวทเทากนไว เพอเปนการเขยนความสมพนธของจานวนในสดสวนใหอยในรปของสมการ แลวจงหาคาของตวแปร ในการเขยนแสดงวธทาถานกเรยนไมไดเขยนแสดงขนตอนน ครไมควรถอวาผด 3. กรอบความรเรอง “สดสวนในชวตจรง” เสนอไวเพอใหเหนการใชคาวาสดสวนในชวตจรงทแตกตางไปจากสดสวนในทางคณตศาสตร ครอาจใหนกเรยนยกตวอยางเพมเตม เชนการกลาววา นางแบบคนนมรปรางไดสดสวน 4. กจกรรม “อตราสวนเดยวกนหรอไม” เปนกจกรรมเพอแสดงใหเหนวาอตราสวนของพนทและอตราสวนของความยาวของรปยอและรปขยายของรปทกาหนดให ไมเปนอตราสวนเดยวกน 5. สาหรบกจกรรม “รไวใชวา” เจตนาเพอเปนการเชอมโยงความรเรองสดสวนกบสมนไพรและใหนกเรยนมเจตคตทดตอสมนไพร ครอาจใหนกเรยนศกษาคนควาเพมเตมเกยวกบสมนไพรชนดอน ๆ

1.5 รอยละ (6 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. เขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละได 2. เขยนรอยละใหอยในรปอตราสวนได

3. แกโจทยปญหาเกยวกบรอยละได 4. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคาตอบทได


ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ในระดบประถมศกษา นกเรยนไดเรยนความหมายของรอยละหรอเปอรเซนต ในรปเศษสวน

ทมตวสวนเปน 100 เชน 42% หมายถง 10042 หรอเขยนในรปทศนยมไดเปน 0.42 สาหรบในบทนเราจะ

เรยนเปอรเซนตในรปอตราสวนทมจานวนหลงเปน 100 2. ครควรฝกใหนกเรยนเขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละ และเขยนรอยละใหอยในรปอตราสวนไดอยางคลองแคลว เพอจะนาไปใชในการแกโจทยปญหาเกยวกบรอยละโดยใชสดสวน 3. กจกรรม “ยงทาไดหรอไม” มเจตนาเพอใหนกเรยนไดทบทวนการทาโจทยเกยวกบรอยละตามความรเดม ทอาจทาโดยเทยบบญญตไตรยางคหรอเขยนรอยละใหเปนรปเศษสวนกได

6

4. สาหรบตวอยางท 6 ครควรชใหนกเรยนสงเกตวาในการคดดอกเบยแตละเดอน จะคานวณหาดอกเบยสาหรบเงนตน 1 บาทตอ 1 เดอนมากอน เพอความสะดวกในการนาไปใชคดหาดอกเบยในแตละเดอนทเงนตนลดลงเดอนละ 1,000 บาท ครอาจชแนะใหนกเรยนสงเกตแบบรปของดอกเบยทลดลงเดอนละ 5 บาท ซงอาจเปนวธหนงทชวยใหหาคาตอบโดยวธลดได 5. สาหรบแบบฝกหด 1.5 ข ขอ 14 ครควรชใหนกเรยนเหนวายอดเงนผอนชาระรายเดอน คานวณจากคาสนคาทเหลอจากหกเงนดาวนแลว โดยไมไดคดดอกเบยจากยอดเงนคงคางจายในแตละเดอน จงทาใหดอกเบยทจายจรงสงกวา 4% ทตงไว ซงการคดดอกเบยเงนผอนแตกตางจากการคดดอกเบยผอนชาระเงนกของธนาคาร ครควรใหนกเรยนรวมกนอภปรายวา ควรซอสนคาเงนผอนหรอไม อยางไร ทงนครอาจชแนะวาหากไมจาเปนกไมควรซอสนคาเงนผอนโดยเฉพาะสนคาฟมเฟอย 6. กจกรรม “ความคดเหนของฉน” เปนกจกรรมทตองการใหเหนการนาความรเกยวกบรอยละไปใชในชวตจรง ฝกใหนกเรยนมความรสกเชงจานวนเกยวกบรอยละ สวนใหญของคาถามไมไดมงใหนกเรยนตองคดคานวณจรง แตใหใชความรสกเชงจานวนประกอบเหตผลทสมเหตสมผลชวยในการตดสนใจและใหคาตอบ การใหเหตผลของนกเรยนอาจแตกตางกน ครควรพจารณาเหตผลและยดหยนคาตอบตามความเหมาะสม สาหรบในบางขอ เชน ขอ 10 ขอ 11 และขอ 12 ครอาจใหนกเรยนคานวณจรงเพอชวยในการตดสนใจ สาหรบขอ 12 ครควรชใหนกเรยนเหนวา การคดภาษมลคาเพมจะคดกอนลดราคา หรอคดหลงลดราคา จะไดผลขนสดทายเทากน

7. การคดภาษเงนไดในชนน เนนการนารอยละมาคานวณภาษเงนไดจากเงนไดสทธทกาหนดใหโดยดจากตารางสาหรบคานวณภาษเปนหลก ครอาจนาแบบยนเสยภาษเงนได ภ.ง.ด. 91 พรอมคาชแจงมาแสดงใหนกเรยนเหนรายละเอยดตาง ๆ มากกวาทอธบายไวอยางยอในหนงสอเรยน โดยไมตองคานวณรายละเอยดตามแบบ ภ.ง.ด. 91 ในทกขนตอน 8. กรอบความร “อตราสวนทอง” เจตนาเพอใหความรเรองอตราสวนทองแกนกเรยนและใหเหนถงความงดงามของคณตศาสตรทแฝงอยในธรรมชาต ตลอดจนผลงานสรางสรรคตาง ๆ ซงนอกจากทระบไวในหนงสอเรยนแลว ยงมปรากฏในบตรประชาชน บตรเงนดวน (A.T.M.) ซองจดหมายและกรอบรปเปนตน ครอาจมกจกรรมใหนกเรยนสารวจตรวจสอบ หาอตราสวนทองตามทปรากฏอยรอบตวนกเรยนกได 9. กจกรรม “อยางไรจงเรยกวาอวน” เปนกจกรรมทแสดงใหเหนถงประโยชนของการใชอตราสวนในชวตจรง ครอาจชแนะใหนกเรยนนาความรทไดไปใชตรวจสอบและใหคาแนะนาแกสมาชกในครอบครวของตนเองกได

7

10. ครอาจใชกจกรรมเสนอแนะ 1.5 เพอใหนกเรยนไดนาความรเกยวกบรอยละหรอเปอรเซนตไปใชในชวตจรง หลงจากนกเรยนทากจกรรมนแลว ครอาจใหนกเรยนนาผลทไดมาอภปรายรวมกน เพอใหไดขอคดในการตดสนใจซอสนคาบางชนดทกาหนดให

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรมคาตอบแบบฝกหด 1.1

1.1) อตราสวนของจานวนครตอจานวนนกเรยน เปน 2 : 55

2) อตราสวนของจานวนคอมพวเตอรเปนเครองตอจานวนนกเรยนเปนคน เปน 1 : 3 3) อตราสวนจานวนกรรไกรเปนอนตอจานวนนกเรยนเปนคน เปน 3 : 10 4) อตราสวนของนาหนกทองเปนบาทตอราคาเปนบาท เปน 1 : 7,150 5) อตราสวนของระยะทางเปนกโลเมตรตอเวลาเปนชวโมง เปน 180 : 3 6) อตราสวนของจานวนครงของการเตนของหวใจตอเวลาเปนนาท เปน 72 : 1 7) มาตราสวนทใชเขยนแผนท เปน 1 เซนตเมตร : 50 กโลเมตร หรอ 1 : 5,000,000 8) มาตราสวนทใชเขยนแผนผง เปน 1 เซนตเมตร : 0.2 มลลเมตร2. 1,000 : 9,0003.

1) 9 : 16 2) 9 : 25

4. ไทยชนะ และอตราสวนของจานวนเซตทชนะตอจานวนเซตทแพ เปน 2 : 15. รสบวย เพราะ ในขวดโหลมจานวนลกอมรสบวยถง 4 สวนในจานวนลกอมทงหมด 7 สวน ในขณะทมลกอมรสมะนาวเพยง 3 สวนในจานวนลกอมทงหมด 7 สวน

คาตอบกจกรรม “เรองของคนอยากรวย”

1. เพราะ ในจานวนสลากทงหมด 1,000,000 ฉบบ มจานวนสลากทถกรางวลเลขทาย 2 ตว มากกวาจานวนสลากทถกรางวลเลขทาย 3 ตว2. เพราะ ในจานวนสลากทงหมด มจานวนสลากทไมถกรางวลมากกวาจานวนสลากทถกรางวล มากมายหลายเทา

8

คาตอบกจกรรม “ลองหาด”

3 : 2แนวคด

เนองจาก AD = BC จะเหนวามการแบง AD เปน 3 สวนทยาวเทา ๆ กน

และมการแบง BC เปน 2 สวนทยาวเทา ๆ กนแสดงวา 3 เทาของความกวางของรปสเหลยมผนผารปเลก เทากบ

2 เทาของความยาวของรปสเหลยมผนผารปเลก

คาตอบแบบฝกหด 1.2

1.1) 350 : 4, 175 : 2 และ 1,400 : 162) 2 : 40, 3 : 60 และ 4 : 80

3) 0.1 : 3.969, 10 : 396.9 และ 100 : 3,969

2.

1) 86 , 12

9 , 1612 2) 10

4 , 156 , 20

8

3) 2216 , 33

24 , 4432 4) 36

18 , 2412 , 18

9

5) 812 , 4

6 , 23 6) 84

96 , 4248 , 28

32

3.

1) 63 , 8

4

2) 32 , 9

6

3) 4 : 154. 1) เทากน 2) ไมเทากน

3) เทากน 4) ไมเทากน5) ไมเทากน 6) เทากน

9

7) เทากน 8) ไมเทากน 9) เทากน 10) ไมเทากน

5. ไมเทากน เพราะ อตราสวนของจานวนเปนแผนตอราคาเปนบาท ของทงสองรานไมเทากน (ราคาตอหนวยไมเทากน)6. 1) (1) 4 : 8 (2) 8 : 10

(3) 4 : 41 (4) 4

1 : 10

2) นามะนาว 2 ชอนโตะ นาตาล 4 ชอนโตะ

เกลอปน 81 ชอนโตะ

นาสก 5 ชอนโตะ

3) นามะนาว 8 ชอนโตะ นาตาล 16 ชอนโตะ

เกลอปน 21 ชอนโตะ

นาสก 20 ชอนโตะ7. ประมาณ 3,250 กโลเมตร8. โรงเรยนนมตศกษา พจารณาจากเหตผลไดหลายแบบ ตวอยางการใหเหตผล ทาอตราสวนของจานวนนกเรยนทรบไดตอจานวนทมาสมครของโรงเรยนทงสอง ใหม จานวนหลงของอตราสวนเทากนดงน อตราสวนจานวนนกเรยนทรบไดตอจานวนนกเรยนทมาสมครของโรงเรยนนมตศกษาเปน

320120 = 8

3 = 29 829 3

×× = 232

87

อตราสวนจานวนนกเรยนทรบไดตอจานวนนกเรยนทมาสมครของโรงเรยนกาวหนาวทยา เปน

14545 = 29

9 = 8 298 9×× = 232

72

10

ดงนนโรงเรยนนมตศกษารบนกเรยนไดมากกวาโรงเรยนกาวหนาวทยา เมอเทยบกบ นกเรยนทมาสมคร 232 คน เทากน นนคอ ถานกเรยนเลอกมาสมครทโรงเรยนนมตศกษา นกเรยนจะมโอกาสเขาเรยนได มากกวา

คาตอบกจกรรม “นาคด”

1) ไมเทากน เพราะ แบบแยกกนขายไดเงน 145 บาท และแบบรวมกนขายไดเงน 144 บาท2) พลอยควรขายไข 60 ฟอง ตอ 145 บาท หรอ 12 ฟอง ตอ 29 บาท


1.1) 3 : 4 2) 5 : 4

3) 3 : 5 4) 4 : 3 : 5 5) 3 : 122.

1) 4 : 2 : 3 2) 2 : 3 : 1 3) 4 : 2 : 3 : 1 4) 2 : 10

3.1)

(1) 8 : 6 : 7(2) 8 : 7(3) 7 : 8 : 6

2) นารอาย 24 ป บปผาอาย 21 ป

4. 1) จะตองใชพมเสน 50 กรม และการบร 50 กรม 2) เมนทอล 1,000 กรม พมเสน 250 กรม การบร 250 กรม5. 40o

11

6. 1)

(1) 8 : 24 (2) 8 : 56 (3) 8 : 24 2) มฟอสฟอรสและโพแทสเซยม อยางละ 9 กโลกรม 3) มสวนผสมทงหมด 21 กโลกรม7. ไดขนมสเหลองมากทสด ขนมสมวงนอยทสด เพราะขนมบวลอยสเหลองมจานวนมากทสดถง 5 สวน ในขนมทงหมด 10 สวน ในขณะทขนมบวลอยสมวงมจานวนนอยทสดเพยง 2 สวน ในขนมทงหมด 10 สวน8. ควรเลอกทม B ไปแขง เพราะ ตามสถตทม B แพ 4 ครง ในการแขงขนทงหมด 9 ครง ในขณะททม A แพ 5 ครง ในการแขงขนทงหมด 10 ครง

คาตอบกจกรรม “ชวยคดหนอย”

เนองจาก อตราสวนของสวนแบงของลกชายตอสวนแบงของภรรยา เปน 2 : 1 หรอ 4 : 2 อตราสวนของสวนแบงของภรรยาตอสวนแบงของลกสาว เปน 2 : 1ดงนน อตราสวนของสวนแบงของลกชายตอสวนแบงของภรรยาตอสวนแบงของลกสาวเปน 4 : 2 : 1นนคอ สมบตทงหมดควรแบงเปน 7 สวน โดยใหลกชาย 4 สวน ภรรยา 2 สวน และ ลกสาว 1 สวน


1. 1) 16 2) 6 3) 9.6 4) 30 5) 84 6) 6

7) 7 8) 516

9) 6.4 10) 3

11) 5 12) 91

12

2. 30o และ 45o

3. 33 เซนตเมตร 4. 553 ชนไดรบของแถม 158 ชน 5. 900 กโลเมตร 6. 695 กโลเมตร 7. 117,000 กโลเมตร 8. 6 ชวโมง 30 นาท 9. มไนโตรเจนหนก 100 กโลกรม ฟอสฟอรสหนก 200 กโลกรม โพแทสเซยมหนก 100 กโลกรม สวนผสมอน ๆ หนก 600 กโลกรม10. ไขมนประมาณ 38 กรม โปรตนประมาณ 21 กรม11. 300 คน12. 82 เมตร 403.44 ตารางเมตร

คาตอบกจกรรม “อตราสวนเดยวกนหรอไม”1. 1) 3 เซนตเมตร

2) 8 เซนตเมตร 3) 4 : 1 4) ไมเปน 5) 2 ตารางเซนตเมตร

2. 1) r2 ยาว 6 เซนตเมตร 2) 1 : 9 3) ไมเปน 4) 45π ตารางเซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “รไวใชวา”

เนอมะขามปอม 20 กรม คารโบไฮเดรต 8.22 กรม และโปรตน 0.1 กรม

13

คาตอบกจกรรม “ยงทาไดหรอไม”

1. 80 คน2. 12 กโลกรม3. 75%4. รอยละ 905. 12,000 บาท6. 1,120 ขวด

คาตอบแบบฝกหด 1.5 ก1. 1) รอยละ 62.5 2) 175% 3) 6.3% 4) รอยละ 187.5 5) 45% 6) รอยละ 120

2. 1) 18 : 100

2) 95 : 100 3) 250 : 100

4) 3133 : 100

5) 0.14 : 100 หรอ 14 : 10,000

3. 1) 0.048 2) 0.082 3) 0.20 4) 4% 5) 2.8% 6) 30% 7) 2

14

8) 50 9) 20 10) 6

คาตอบแบบฝกหด 1.5 ข 1. 8,000 บาท 2. ประมาณ 14.4 กโลกรม 3. 400 คน 4. ประมาณ 712 หมบาน 5. วระชยควรซอโทรทศนจากรานยงเจรญ 6. กาไรรอยละ 43.38 7. 370,000 บาท 8. 36 ขอ 9. 72%10. 24 คะแนน11. ประมาณ 10 ชวโมง 24 นาท12. ประมาณ 120.01 บาท13. ประมาณ 8,153.98 บาท14. 1,620 บาท

คาตอบกจกรรม “ความคดเหนของฉน”

ตวอยางคาตอบ 1. เปนไปได ถาคะแนนทกลาวหมายถงคะแนนทคดเปนรอยละ หรอเมอคะแนนเตมของ ทงสองวชา เทากน 2. เปนไปได ถาคะแนนเตมของวชาภาษาไทยเปน 70 คะแนน และคะแนนเตมของวชา คณตศาสตรเปน 80 คะแนน 3. เปนไปไมได เพราะ กาไร 12% คดจากราคาทน ในขณะทขาดทน 12% คดจากราคาขาย ซงในทนราคาทนไมเทากบราคาขาย 4. เปนไปได ถาทงสองคนมเงนเดอนเทากน

15

5. เปนไปไมได เพราะ 5% ของการขนเงนเดอนครงแรก ไมเทากบ 5% ของการขนเงนเดอน ครงทสอง 6. เปนไปไมได เพราะ กาไร 20% คดจากราคาทน ในขณะทลดราคา 20% คดจากราคาขาย ซงในทนราคาทนไมเทากบราคาขาย 7. เปนไปไมได เพราะ กาไร 30% คดจากราคาทน ในขณะทลดราคา 20% คดจากราคาขาย ดงนน เงนกาไร 30% ลบดวยเงนลดราคา 20% จงไมใชกาไร 10% 8. เปนไปได ถานารรบเสอมาเยบมากกวาทรตนารบมาเปนจานวนมากพอ 9. เปนไปได เมอกาไรรวม 20% คดจากตนทนรวม และกาไร 20% ของแตละคนคดจาก ตนทนของแตละคน10. เปนไปไมได เพราะ รปสเหลยมจตรสเดมมพนท 400 ตารางเซนตเมตร เมอเพมความยาว ของดาน ดานละ 10% รปสเหลยมจตรสใหมมพนท 484 ตารางเซนตเมตร ดงนนมพนท เพมขน 84 ตารางเซนตเมตร ซงไมเทากบ 20% ของ 400 ตารางเซนตเมตร11. เปนไปไมได ดวยเหตผลทานองเดยวกบขอ 10 ขางตน12. เปนไปไมได เพราะ ทงราน ก และราน ข ขายสนคาในราคาเดยวกนตามแนวคดดงน

ราคาของสนคาราน ก เปน

×× 200 100

107 100

90

ในขณะทราคาของสนคาราน ข เปน

×× 200 100

90 100

107

คาตอบแบบฝกหด 1.5 ค

1. 406 บาท2. 5,425 บาท3. รบเงนทชาระภาษไวเกนคน 2,772 บาท4. จะตองชาระภาษเพมอก 237 บาท5. กฤษดาไมตองชาระภาษเพมเตม และไมไดรบคนเงนภาษทชาระไวเกน

16

กจกรรมเสนอแนะและคาตอบ

17

กจกรรมเสนอแนะ 1.3

กจกรรมนเสนอไวเพอใหนกเรยนฝกการเขยนอตราสวน และสามารถนาความรเรองอตราสวนไปใชในชวตจรงได

ขนมชน ถอวาเปนขนมสรมงคลอกชนดหนงของไทย คาวา “ชน” เชอกนวา หมายถง การเลอนชน เลอนตาแหนง และนยมทาเปนชน ๆ 9 ชน สวนผสมของขนมชนมดงน แปงทาวยายมอม 1 ถวยตวง แปงขาวเจา 2

1 ถวยตวง แปงมน 1 ถวยตวง นาลอยดอกมะล 1 ถวยตวง นาตาลทราย 2 ถวยตวง นากะท 3 ถวยตวง สใสขนม หรอสธรรมชาต เชน นาใบเตย

มขนตอนการทางาย ๆ โดยใชสวนผสมทเปนแปงนวดกบกะทใหเขากน ใสนาเชอมผสมสใหแตกตางกน แลวตกสวนผสมหยอดทละชน นงชนละประมาณ 7 – 8 นาท กจะไดขนมออกมามสสวยงามนารบประทาน ใหนกเรยนใชสตรการทาขนมชนขางตน ตอบคาถามตอไปน1. เขยนอตราสวนของสวนผสมตาง ๆ โดยปรมาตรตอไปน 1) อตราสวนของแปงทาวยายมอม ตอแปงขาวเจา ตอแปงมน [1 : 2

1 : 1] 2) อตราสวนของนาลอยดอกมะล ตอนาตาลทราย ตอนากะท [1 : 2 : 3] 3) อตราสวนของแปงทงสามชนด ตอนาตาลทราย ตอนากะท [ 2

12 : 2 : 3]

4) อตราสวนของแปงทาวยายมอม ตอแปงขาวเจา ตอแปงมน ตอนาลอยดอกมะล ตอนาตาลทราย ตอนากะท [1 : 2

1 : 1 : 1 : 2 : 3]

2. ถาใชแปงทาวยายมอม 311 ถวยตวง ตองใชสวนผสมอน ๆ อยางละเทาไร

[แปงขาวเจา 32 ถวย แปงมน 3

11 ถวย นาลอยดอกมะล 311 ถวย นาตาลทราย 3

22 ถวย นากะท 4 ถวย]

18


กจกรรมนมไวเพอฝกทกษะและนาความรในเรองรอยละไปใชในชวตประจาวน

ใหนกเรยนสารวจราคาสนคาของรานคาตาง ๆ จากใบโฆษณาสนคาหรอหนงสอพมพ แลวนาขอมลมาเขยนลงในตารางดงน

ชอรานคา รายการสนคา ราคาปกต ราคาลด เปอรเซนตทลดราคา

1. 1.2.3.4

2. 1.2.3.4

บทท 2การวด (10 ชวโมง)

2.1 ความเปนมาของการวด (1 ชวโมง)2.2 การวดความยาว (2 ชวโมง)2.3 การวดพนท (4 ชวโมง)2.4 การวดปรมาตรและนาหนก (2 ชวโมง)2.5 การวดเวลา (1 ชวโมง)

นกเรยนไดรจกการวดความยาว พนท ปรมาตร นาหนกและเวลามาแลว การนาเสนอเนอหาดงกลาวในบทน ตองการใหนกเรยนเหนววฒนาการของการวดอยางคราว ๆ รวธการเปลยนหนวยการวดในระบบเดยวกนและตางระบบกน คอ ระบบเมตรก ระบบองกฤษ และหนวยการวดในมาตราไทยทยงมใชกนอย เนอหาสวนใหญทเสนอไวในบทนจะเปนเรองความยาวและพนท ซงเปนพนฐานทสาคญในการเรยนรการวดอน ๆ สาหรบเรองปรมาตรนน ในบทนจะยงไมเนนมากนก เพราะนกเรยนจะไดเรยนอกในชนตอไป นอกจากนนยงมสาระทมงเนนใหใชการประมาณและการคาดคะเนขนาดของสงตาง ๆ ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครควรเปดโอกาสใหนกเรยนไดปฏบตจรงและไดทากจกรรมทงภายในและภายนอกหองเรยน เพอเปนการสงเสรมใหนกเรยนไดฝกการวด การคาดคะเนดวยการใชสงทนกเรยนคนเคยหรอรมากอนเปนตวเปรยบเทยบ มสถานการณตาง ๆ ทเกยวของกบชวตประจาวน ใหนกเรยนไดฝกสงเกตสงแวดลอมรอบตว ไดใชการประมาณเกยวกบการวด รวมทงใหมการศกษาคนควาและจดบนทกเพอหาขอสรปรวมกนในชนเรยน ในการใหกจกรรมหรอแบบฝกหดเพมเตมเกยวกบการเปลยนหนวยตางระบบหรอตางมาตราทนกเรยนไมคนเคย ครควรกาหนดหนวยทเทยบใหดวย

ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. เปรยบเทยบหนวยการวด ในระบบเดยวกนและตางระบบได

2. เลอกใชหนวยการวดไดอยางเหมาะสม3. ใชความรเกยวกบการวด แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได4. คาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด และนาหนกของสงทกาหนดใหไดอยางใกลเคยง และสามารถ อธบายวธการทใชคาดคะเนได5. ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดในสถานการณตาง ๆ ได

20


2.1 ความเปนมาของการวด (1 ชวโมง)จดประสงค เพอใหนกเรยนตระหนกวาคาทไดจากการวดนนเปนคาประมาณ และเขาใจแนวคดเกยวกบ การคาดคะเน ครไมควรใชหวขอนในการประเมนผลปลายภาค

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครนาสนทนาเกยวกบววฒนาการของการวดตามหวขอ 2.1 อาจใหนกเรยนยกตวอยางการสอความหมายในทองถนเกยวกบระยะทาง เวลา และปรมาณอน ๆ เพมเตมจากหนงสอเรยน ทงนอาจเพมเตมความรเกยวกบหนวยการวดความยาวตามมาตราไทยโบราณ ทนกเรยนเคยไดยนหรอไดอานจากวรรณกรรมตาง ๆ เชน นวหนง เทากบ 8 เมลดขาว เมลดขาวหนง เทากบ 8 ตวเหา ตวเหาหนง เทากบ 8 ไขเหา ไขเหาหนง เทากบ 8 ธล ธลหนง เทากบ 8 อณ อณหนง เทากบ 8 ปรมาณ นอกจากน ครอาจเพมเตมหนวยการวดความยาวทชางฝมอตาง ๆ ยงนยมใชกนอยในปจจบนเชน 1 กระเบยด เทากบ 1 ใน 4 ของนว

1 หน เทากบ 1.5 ใน 16 ของนว 2. ครชใหนกเรยนเหนวา การใชสวนตาง ๆ ของรางกาย เชน นว คบ ศอกและวาแบบโบราณนน ไมใชหนวยการวดมาตรฐาน ครอาจใหนกเรยนทากจกรรมวดความกวาง ความยาวของสงตาง ๆ เชนโตะครหรอความกวางของหอง โดยใชคบ ศอก หรอวาของแตละคน ตามขอตกลงของการวดระยะในหนงสอเรยน แลวบนทกผลทไดบนกระดานเพออภปรายสรปวาขอตกลงเกยวกบหนวยการวดตามมาตราไทย ททาสบตอกนมาโดยใชสวนตาง ๆ ของรางกายเหลาน ใชเปนการประมาณความยาวเพอสอสารใหเขาใจไดใกลเคยงกนอยางหยาบ ๆ ครอาจใหนกเรยนหาวา 1 นว 1 คบ 1 ศอก และ 1 วา ของตนยาวประมาณกเซนตเมตรหรอกนว (ระบบองกฤษ) เพอจะไดนาความยาวนไปเปนตวเทยบขนาด สาหรบการคาดคะเนความยาวในสถานการณตาง ๆ

21

3. ครอาจจดกจกรรมใหนกเรยนใชเครองมอวดความยาวเชนไมบรรทดอนเดยวกน วดความยาวของสงของสงเดยวกน เชน วดความยาวของดนสอแทงสน ๆ แลวใหบอกผลทไดของแตละคน นกเรยนอาจบอกคาตอบไมตรงกน เชน ประมาณ 9.2 เซนตเมตร 9.25 เซนตเมตร หรอ 9.3 เซนตเมตร เปนตน

การทนกเรยนแตละคนไดคาตอบไมเทากนนน อาจเปนเพราะเครองมอมหนวยการวดทไมละเอยดพอ ใชหนวยการวดไมเหมาะสม หรอมความคลาดเคลอนจากการอาน คาทวดไดจงเปนคาทตางคนตางประมาณวาใกลเคยงกบความเปนจรง จากกจกรรมน ครควรใหนกเรยนรวมกนอภปรายจนไดขอสรปวาคาตาง ๆ ทไดจากการวดทกครง เปนคาประมาณ 4. สาหรบภาพการตนทายหนงสอเรยนหนา 60 มไวเพอใหนกเรยนเหนประโยชนของการนาความรเรองการคาดคะเนไปใชในชวตประจาวน ครควรแนะนาใหนกเรยนสงเกตและจาความยาวของระยะใดระยะหนงไว เพอใชเทยบกบระยะอน ๆ ทตองการคาดคะเน เชน สงเกตและจาความยาว 1 กาวของตนเองวายาวประมาณเทาใด

5. สาหรบกจกรรม “เคยคดบางไหม” เจตนาเพอใหนกเรยนตระหนกวาเรองการวดและการคาดคะเนเปนเรองใกลตว ครอาจใหนกเรยนทาเปนการบาน แลวคดเลอกผลงานบางชนตดปายนเทศไว

2.2 การวดความยาว (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. เปรยบเทยบหนวยการวดความยาว ในระบบเดยวกนและตางระบบได2. เลอกใชหนวยการวดความยาวไดอยางเหมาะสม3. คาดคะเน ความยาวของสงทกาหนดใหไดอยางใกลเคยง และสามารถอธบายวธการทใช

คาดคะเนได4. ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดความยาวในสถานการณตางๆได

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม แบบฝกหดเพมเตม 2.2

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครควรทบทวนหนวยการวดความยาวในระบบเมตรกทนกเรยนเคยเรยนมาแลว กอนแนะนาหนวยการวดความยาวในระบบองกฤษ

2 3 4 5 6 7 8 9 10 111

22

การเปลยนหนวยการวดความยาวระหวางระบบเมตรกและระบบองกฤษเปนความรใหม ครจงควรใหเวลาฝกในเรองนเปนพเศษ สาหรบการเทยบหนวยการวดความยาวระหวางระบบหรอมาตราทตางกน ครควรแนะใหนกเรยนจดจามาตราการเทยบทสะดวกแกการจาและใชกนแพรหลาย เชน 1 หลาเทากบ 90 เซนตเมตร และ 2 เมตร เทากบ 1 วา หลงจากนกเรยนไดฝกทกษะในเรองการเปลยนหนวยการวดความยาวตาง ๆ ตามบทเรยนและอาจฝกเพมเตมจากแบบฝกหดเพมเตม 2.2 แลว ครควรชใหนกเรยนสงเกตและสรปไดวา ในการเปลยนหนวยในระบบหรอมาตราเดยวกนจากหนวยยอยเปนหนวยใหญจะตองใชการหาร และจากหนวยใหญเปนหนวยยอยตองใชการคณ 2. สาหรบกจกรรม “วดสงรอบตว” เสนอไวเพอใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง ฝกการอานคาทไดจากการวดโดยใชสายวดหรอตลบเมตร ซงในเครองมอวดนจะมหนวยการวดทเปนเซนตเมตรและเมตรอยดวยกน คาตอบทไดจากการวดของนกเรยนในกจกรรมนอาจไมเทากน ครควรนาผลทไดจากการปฏบตของนกเรยนมาอภปรายรวมกนในชนเรยน เพอยนยนแนวคดทวาคาทไดจากการวดเปนคาโดยประมาณ 3. สาหรบกจกรรม “เลอกหนวยการวดทเหมาะสม” เสนอไวเพอฝกทกษะการเลอกใชหนวยการวดทเหมาะสมกบสถานการณ กจกรรมขอ 1 และขอ 2 อาจใหนกเรยนทาเปนการบานได สาหรบกจกรรมขอ 3 ควรทาในชวโมงเรยน เนองจากการวดทกาหนดไวแตละขอตองใชหลกการวดตามแนวของชาง ครอาจใหนกเรยนไปสารวจซกถามขอมลจากทองถน แลวนามาอภปรายรวมกนในชนเรยน เชนการวดรอบนวนางเพอทาแหวน อาจใชเสนดายวงรอบนวพรอมดงขนลงผานขอนว เพอตรวจสอบวาขนาดของวงแหวนพอดหรอไม การวดเทาเพอตดรองเทา ชางตดรองเทาวดโดยใหวางเทาทละขางบนกระดาษแลวใชดนสอเขยนรอยรอบเทา จากนนใชสายวดวดสวนกวางและสวนสงของหลงเทาไปพรอมกนดงรป

4. สาหรบกจกรรม “คาดคะเนความยาว” ขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 ควรทาในชนเรยน สวนขอ4 อาจใหนกเรยนทาเปนการบาน

23

2.3 การวดพนท (4 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. เปรยบเทยบหนวยการวดพนท ในระบบเดยวกนและตางระบบได2. เลอกใชหนวยการวดพนท ไดอยางเหมาะสม3. คาดคะเนพนท ทกาหนดใหไดอยางใกลเคยง และสามารถอธบายวธการทใชคาดคะเนได4. ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดพนท ในสถานการณตางๆได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. นกเรยนเคยเรยนเรองพนทและรจกใชหนวยการวดพนทมาบางแลว หวขอนจงเปนการทบทวนและตองการใหนกเรยนเหนความสมพนธระหวางพนทของรปสเหลยมมมฉาก รปสามเหลยม รปสเหลยมดานขนาน รปสเหลยมคางหมและรปสเหลยมใด ๆ โดยเนนการเปรยบเทยบหนวยการวดพนทในระบบเดยวกนและตางระบบกน สาหรบหนวยการวดพนททสาคญในหนา 71 และ 72 ของหนงสอเรยนนนนกเรยนควรจะจาสตรการเทยบหนวยทใชบอย ๆ เพอประโยชนในชวตประจาวนและเปนพนฐานในการคดคานวณเรองอน ๆ ตอไป 2. ในการทาแบบฝกหดเกยวกบการเปลยนหนวยการวดพนทจากหนวยหนงเปนอกหนวยหนงนนครควรใหนกเรยนสงเกตการเปลยนหนวยการวดความยาวของแตละดาน เพอไมใหนกเรยนเกดความสบสนระหวางการเปลยนหนวยการวดความยาวและการเปลยนหนวยการวดพนท 3. กจกรรม “เรอนหอของเจาเงาะ” ควรใหทาเปนการบาน อาจแนะนาใหนกเรยนหาคาตอบโดยการเขยนแผนผงอยางคราว ๆ เพอชวยในการจนตนาการใหถกตองและเหมาะสม ทงนควรยาใหนกเรยนตรวจสอบคาตอบของตนเองเมอทาเสรจแลววา ทตอบไปทงหมดนนเปนคาตอบทเปนไปไดหรอไม พรอมชใหนกเรยนเหนความสาคญของการตรวจสอบคาตอบ 4. สาหรบกจกรรม “พนทกบความยาวของดาน” เสนอไวเพอทบทวนสตรการหาพนทของรปสเหลยมมมฉาก รปสามเหลยม รปสเหลยมดานขนาน และรปสเหลยมคางหมใหนกเรยนเขาใจชดเจนกอนนาไปใชคานวณเกยวกบพนททซบซอนตอไป 5. ตวอยางท 1 หนา 81 – 82 ในหนงสอเรยนเปนตวอยางการหาพนทของรปหลายเหลยม ไดแสดงใหเหนวาการหาพนทของรปหลายเหลยมอาจทาไดหลายวธ 6. สาหรบกจกรรม “ใครใหญกวา” เจตนาใหนกเรยนใชการคาดคะเนหาคาตอบ ครควรใหนกเรยนรวมกนอภปรายถงแนวคดในการหาคาตอบ สาหรบขอ 3 ครอาจแนะใหนกเรยนเขยนกรอบสเหลยมมมฉากลอมรอบใบไม แลวตดสวนทไมใชใบไมมาเปรยบเทยบกน นกเรยนอาจมวธคดเปนอยางอน เชน ลอกรปใบไมลงบนกระดาษตารางหนงหนวยและนบจานวนตารางเปรยบเทยบกน

24

2.4 การวดปรมาตรและนาหนก (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. เปรยบเทยบหนวยการวดปรมาตรและนาหนก ในระบบเดยวกนและตางระบบได2. เลอกใชหนวยการวดปรมาตรและนาหนก ไดอยางเหมาะสม3. คาดคะเนปรมาตรและนาหนกของสงทกาหนดให ไดอยางใกลเคยง และสามารถอธบาย วธการทใชคาดคะเนได4. ใชการคาดคะเนเกยวกบการวดปรมาตรและนาหนกในสถานการณตาง ๆ ได


ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ในกจกรรมนาเขาสการวดปรมาตรและนาหนก ครอาจใชสออนทดแทนมวนสาลและแทงแกว

เชน แทงโฟมและกอนอฐ ถานกเรยนมความพรอม ครอาจใหความรเพมเตมเกยวกบความสมพนธของปรมาตร นาหนกและความหนาแนนทเปนไปตามสตร D = V

M

เมอ D แทนความหนาแนน M แทนมวลซงวดเปนนาหนก V แทนปรมาตร 2. สาหรบกจกรรม “คะเนไดเทาไร” เปนกจกรรมทควรจดในชนเรยน เพอใหนกเรยนฝกการนาเสนอขอคดเหนของตนเอง คาตอบของนกเรยนอาจไมตรงกบตวอยางคาตอบในคมอคร หากเหตผลของนกเรยนสมเหตสมผล นาสนใจ และมโอกาสเปนไปได ครควรชมเชยเพอสนบสนนใหนกเรยนกลาแสดงความคดเหนและฝกทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตรดานการใหเหตผลในชวตประจาวน 3. สาหรบกจกรรม “หองครวของรจนา” นอกจากฝกการเลอกใชหนวยการวดทเหมาะสมแลวยงเปนกจกรรมทใหนกเรยนไดเรยนรขนาดมาตรฐานของสงของทใชภายในบาน ครอาจใหนกเรยนทาเปนการบานเพอฝกการเปนคนชางสงเกตของนกเรยน และใหเคยชนกบปรมาณทวดไดในบานตนเอง เพอจะไดนาความรนไปเปนตวเทยบในเรองอน ๆ ตอไป คาตอบทไดอาจไมตรงกบตวอยางคาตอบ ครตองพจารณาเปนกรณ ๆ ไปตามความเหมาะสม 4. สาหรบกจกรรม “วดเกลอ” เสนอไวเพอใหนกเรยนเหนคณคาของภมปญญาชาวบานในทางคณตศาสตร ซงเปนความรทบอกตอ ๆ กนมา การแสดงวาสตรดงกลาวเปนจรง ครอาจใหนกเรยนชวยกนคานวณ เพราะมหลายขนตอน

5. ครอาจใชแบบฝกหดเพมเตม 2.4 เพอเสรมทกษะในการเปลยนหนวยนาหนก

25

2.5 การวดเวลา (1 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ

1. เปรยบเทยบหนวยการวดเวลาได2. คาดคะเนเวลา ทกาหนดใหไดอยางใกลเคยง และสามารถอธบายวธการทใชคาดคะเนได3. ใชการคาดคะเนเกยวกบเวลาในสถานการณตาง ๆ ได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. สาหรบกจกรรม “1 ป ไมไดม 365 วน” มจดประสงคใหนกเรยนไดอานและเชอมโยงความร

ทางดาราศาสตรกบทางคณตศาสตรในการคานวณหาปอธกสรทน ครควรถอโอกาสชใหเหนความจาเปนทนกดาราศาสตรจะตองรคณตศาสตรมาตงแตโบราณ เมอจบกจกรรมน ครและนกเรยนควรสรปรวมกนไดวา 1 ปม 365 วน หรอ 366 วน 2. สาหรบกจกรรม “เวลากบชวตประจาวน” คาถามขอ 5 และขอ 6 มไวเพอใหนกเรยนเหนความแตกตางของการนบเวลาเปนวนกบการนบเวลาเปน ปเดอนและวน กลาวคอถานบเวลาเปนวน จะตองนบจานวนวนในแตละเดอนอยางละเอยดวา ในชวงเวลาทกลาวถงนนแตละเดอนมกวน ถานบเวลาเปนปเดอนและวน จะตองนบปชนป เดอนชนเดอนและจานวนวนทเหลอ 3. สาหรบกจกรรม “ทคดไวใชหรอยง” เปนกจกรรมทควรทาในชนเรยน และใหมการอภปรายหาขอสรปรวมกน ครควรแนะใหนกเรยนฝกสงเกตเวลาทใชจรงในการทากจกรรมประจาวนแตละวน เพอจะไดนาความรทไดไปใชในการนดหมายและเปนคนตรงตอเวลา 4. สาหรบความร “นาโนเทคโนโลย” เปนความรเพมเตมสาหรบนกเรยน ครอาจใหนกเรยนศกษาเพมเตมจากหนงสอเกยวกบนาโนเทคโนโลย และเวบไซตตาง ๆ

26

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม

คาตอบกจกรรม “เคยคดบางไหม”

นกเรยนอาจตอบไดหลายรปแบบและมรายละเอยดตางกน รปแบบหนงของคาตอบอาจเปนดงน

เรมตงแตตนนอนตอนเชาประมาณเวลา 6.00 น. ชงนาหนกของตวเองไดประมาณ45 กโลกรม อาบนา แตงตวและรบประทานอาหารเชาเพอไปโรงเรยนใหทนภายในเวลาประมาณ

211 ชวโมง แลวดมนมสดเพอสขภาพ 1 กลอง ขนาด 250 มลลลตร ไหวคณพอคณแมกอนออกจากบาน และรบเงนคาอาหารกลางวน 30 บาท แลวจงออกจากบานไปโรงเรยน ซงอยหางจากบานเปนระยะทางประมาณ 2 กโลเมตร สะพายกระเปาหนกประมาณ 2 กโลกรม ใชเวลาในการเดนประมาณ 30 นาท เรมเขาแถวเคารพธงชาตเวลา 08.00 น. เขาเรยนชวโมงแรกเวลาประมาณ8.30 น. ถงเวลา 11.30 น. รบประทานอาหารกลางวนเปนเวลา 1 ชวโมงทโรงอาหารทอยหางจากอาคารเรยนประมาณ 100 เมตร แลวเรมเรยนตอจนโรงเรยนเลกเวลา 15.45 น. ชวยกนทาความสะอาดหองเรยนทมเนอทประมาณ 80 ตารางเมตร ใชเวลาประมาณ 10 นาท ลงเลนฟตบอลกบเพอน ๆ ทสนามหนาโรงเรยนซงมเนอทประมาณ 1 ไร จงเดนกลบบานใชเวลาประมาณ 21 ชวโมง พอกลบมาถงบานรบชวยงานคณพอคอรดนาแปลงผก 3 แปลงดวยนา 3 ถงหรอกวาดขยะใบไมหนาบาน ผลดกนกบนอง ถาไดรดนาตนไมจะเสรจเรว ถากวาดขยะจะเสรจชา เพราะจะตองกวาดขยะทงสนามหนาบานซงกวางประมาณ 3 เมตรยาวประมาณ 7 เมตร

27

คาตอบกจกรรม “วดสงรอบตว”

ตวอยางคาตอบ

ผลทวดไดสงทจะวด เมตร เซนตเมตร มลลเมตร

ตวอยางความกวางของหนาตาง 0.8 80 -

ความกวางของระเบยงหนาหอง 1.5 150 -

ความหนาของหนงสอเรยนคณตศาสตร - 0.7 7

ความยาวของดนสอ - 18.5 185

ความสงของโตะนกเรยน 0.8 80 -

ความยาวของเสนผานศนยกลางของไสดนสอ - 0.2 2

ความยาวของกระดานดา 3 300 -

ความยาวของแปรงลบกระดาน - 15 150

คาตอบกจกรรม “เลอกหนวยการวดทเหมาะสม”

1. สมปองเปนเศรษฐ อยบานตก 5 ชน สงประมาณ 20 เมตร เขาตองการบรจาคโทรทศนขนาด 20 นว จานวน 2 เครอง ใหโรงเรยนประถมศกษาแหงหนงในจงหวดนครนายก วนทสมปองเดนทาง ไปจงหวดนครนายก สมปองขบรถออกจากบานไปโดยใชอตราเรวเฉลย 80 กโลเมตร ตอ ชวโมง เมอถงรงสต สมปองรสกหวจงหยดพกเพอรบประทานกวยเตยวเรอ เมอจอดรถรมถนนแลว ตองเดน ผานสะพานขามคลองยาว 10 เมตร ทรานกวยเตยวคนแนนมาก เจาของรานตองจดทนงเสรมเปน มานงเลก ๆ ใหสมปองนงมานงนสงเพยง 30 เซนตเมตร เมอสมปองรบประทานเสรจแลว ตองเดนทางตอไปอกเปนเวลาประมาณ 1 ชวโมง 15 นาท จงจะถงโรงเรยน หลงจากทสมปองบรจาค โทรทศนแลว ครใหญไดมอบพรมเชดเทาฝมอของนกเรยน ขนาด 1.5 ฟต × 2 ฟต ใหสมปองเปนท ระลกพรอมคาขอบคณ2. ตวอยางคาตอบ 1) ควรใชหนวยเปน หลา และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนง หรอ

ควรใชหนวยเปน เมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง

28

2) ควรใชหนวยเปน เซนตเมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนง หรอ ควรใชหนวยเปน เมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง

3) ควรใชหนวยเปน เมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง4) ควรใชหนวยเปน นว และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง หรอ

ควรใชหนวยเปน เซนตเมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนง5) ควรใชหนวยเปน เซนตเมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนง หรอ ควรใชหนวยเปน เมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง6) ควรใชหนวยเปน กโลเมตร และวดใหละเอยดถงทศนยมตาแหนงทสอง หรอ

ควรใชหนวยเปน เมตร และวดใหละเอยดเปนจานวนเตมหนวย

3. ตวอยางคาตอบ 1) วดรอบเอวโดยใชหนวยเปนนว และใหมความละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนงเชน 22.5 นว หรอวดโดยใชหนวยเปนเซนตเมตร และวดเปนจานวนเตมหนวย เชน 58 เซนตเมตร 2) วดบาโดยใชหนวยเปนนว และใหมความละเอยดถงทศนยมตาแหนงทหนง เชน 16.5 นว หรอวดโดยใชหนวยเปนเซนตเมตร และวดเปนจานวนเตมหนวย เชน 42 เซนตเมตร 3) วดความยาวรอบนวโดยใชหนวยเปนมลลเมตร และวดใหละเอยดเปนจานวนเตมหนวย 4) วดความกวางและความยาวโดยใชหนวยเปนเซนตเมตร และวดใหละเอยดเปนจานวนเตม หนวย

คาตอบกจกรรม “คาดคะเนความยาว”

1. 1) คาดคะเนความสงของสะพานลอย เทยบกบความสงของรถบรรทก 2) คาดคะเนความกวางของรถ เทยบกบระยะหางระหวางรถสองคนทจอดอยสองขางทาง 3) คาดคะเนความกวางของประต เทยบกบความกวางและความยาวของตเสอผา 4) คาดคะเนความกวางของคนา เทยบกบระยะทางทสามารถกระโดดได 5) คาดคะเนความสงทกาหนดไว เทยบกบความสามารถในการกระโดดสง 6) คาดคะเนความกวาง ความยาว และความสงของของขวญ เทยบกบความกวาง ความยาว และความสงของกลองทจะใสของขวญ

29

2. ตวอยางคาตอบ 1) คาดคะเนได เชนธระบอกเพอนวาเมอเชาเดนออกกาลงกายเปนระยะทางประมาณ 5 กโลเมตร

2) คาดคะเนไมได เพราะถาขาโตะยาวไมเทากนจะทาใหโตะเอยง3) คาดคะเนได โดยเทยบกบความสงของตนเอง4) คาดคะเนได เพราะชางตดเสอมประสบการณในการประมาณขนาดของผา เทยบกบขนาด ของเสอ5) คาดคะเนไมได เพราะถาใชการคาดคะเนความกวาง และความยาวของบานหนาตางทซอมา อาจไมพอดกบกรอบบานหนาตาง6) คาดคะเนไมได เพราะเปนเรองทเกยวของกบผลประโยชนและกฎหมาย

3. คาตอบอาจแตกตางกนตามสถานการณ วธการคาดคะเนอาจเปนดงตวอยางตอไปน 1) คาดคะเนความสงของคร เทยบกบความสงของนกเรยน

2) คาดคะเนความสงของเพอน เทยบกบความสงของนกเรยน3) คาดคะเนความกวางและความยาวของหองเรยน เทยบกบความยาวททราบ เชน ความยาว

1 เมตร หรอความยาว 1 กาวเทา4) คาดคะความสงของประตหองเรยน เทยบกบความสงของนกเรยน5) คาดคะเนระยะทางจากประตโรงเรยนถงโรงอาหาร เทยบกบระยะทางทคนเคย เชน ระยะหาง ระหวางเสาไฟฟา (ประมาณ 200 เมตร)6) คาดคะเนความยาวรอบอาคารเรยน เทยบกบความยาวททราบ เชน เทยบกบความยาวและ ความกวางของหองเรยน

4. ตวอยางคาตอบ

ความยาว ชอสงของ 5 มลลเมตร ความยาวงของเสนผานศนยกลางของดนสอ15 เซนตเมตร ความยาวของกลองดนสอ 3 เมตร ความกวางของหอง 1 เมตร ความยาวของกางเกง75 เซนตเมตร ความกวางของบานหนาตาง

30


1.1) 500 เซนตเมตร2) 1,200 เมตร3) 20 วา4) 2.5 กโลเมตร5) 177.8 เซนตเมตร

2.1) สดาสงกวาดวงใจ เพราะสดาสง 182.88 เซนตเมตร แตดวงใจสง 175 เซนตเมตร2) เรอบดยาวกวาเรอพาย เพราะเรอบดยาว 6 เมตร แตเรอพายยาว 5 เมตร3) ไมยาว 5 ฟต 7 นว คดเปนประมาณ 170.18 เซนตเมตร จะยาวกวาไมยาว 170 เซนตเมตร4) ระยะทางจากกรงเทพฯ ถงเกาะชางประมาณ 205 ไมล คดเปนประมาณ 329.9065 กโลเมตร

ไกลกวาระยะทางจากกรงเทพฯ ถงจงหวดนครราชสมา3. ประมาณ 1,600 เมตร4. 1 กโลเมตร5. 104 เมตร6. ปาชลจะมผาไหมพอสาหรบตดสท

คาตอบกจกรรม “ทราบหรอไม”

จงหวดทมพนทมากทสดและนอยทสดมพนทตางกน 17,202 ตารางกโลเมตร

คาตอบกจกรรม “พนทในมาตราเดยวกน”

1. 1) 5,000,000 ตารางเมตร 2) 80 ตารางกโลเมตร

3) 70,000 ตารางเซนตเมตร 4) 1.2 ตารางเมตร 5) 4,800 ตารางวา 6) 144 งาน

31

7) 2,200 ตารางวา 8) 4 ไร 2 งาน 50 ตารางวา 9) 2 ไร 2 งาน 24 ตารางวา10) 5 ตารางฟต 5 ตารางนว11) 1,920 เอเคอร12) 20 ตารางไมล

2. ทดนของปานมเนอทมากกวา3. บรเวณสนามหญามเนอทมากกวา

คาตอบกจกรรม “พนทตางมาตรา”

1. 1) ประมาณ 1.8 ตารางเมตร 2) ประมาณ 10,000 ตารางหลา

3) ประมาณ 20,234.3 ตารางเมตร 4) ประมาณ 20.72 ตารางกโลเมตร 5) 3 ตารางกโลเมตร 6) 3.5 ไร

2. 2,500 ตารางเมตร3. 6,900 ตารางเมตร4. ประมาณ 1,973 ไร 1 งาน 60 ตารางวา

คาตอบกจกรรม “เรอนหอของเจาเงาะ”

ตวอยางคาตอบเงาะอานหนงสอบานสวย ซงมขนาดเลมกวาง 25 เซนตเมตร ยาว 30 เซนตเมตร หนา 8 มลลเมตร

พบขอความประกาศขายทดนของบรษทจดสรรทดน ซงมเนอทจดสรรอยประมาณ 54 ไร และไดตดแบงเปนแปลง ขนาดแปลงละ 100 – 150 ตารางวา เงาะกาลงตองการทดน ขนาดสาหรบสรางเรอนหอพอด จงตดตอไปทบรษทและตกลงซอทดนขนาด 150 ตารางวา หนงแปลง

ตอมาอก 1 เดอนเงาะวาจางชางรบเหมาสรางบานและวางแผนแบงบรเวณทดนสาหรบสรางสงตาง ๆ ดงน • แบงทาสวนหยอมหนาบาน ขนาดกวาง 10 เมตร ยาว 10 เมตร • บรเวณตวบานขนาดกวาง 10 เมตร ยาว 15 เมตร

32

• ลานจอดรถ ขนาดกวาง 6 เมตร ยาว 8 เมตร • ชางรบเหมา คานวณขนาดของบานประต และหนาตางโดยใชหนวยความยาว เปน เซนตเมตร และในการตดตงบานประต หนาตางเขากบวงกบ ชางไมตองวดความยาว ใหละเอยดเปนหนวย มลลเมตร • ชางทาสคานวณพนทของฝาหองและเพดานทตองทาสเปนหนวย ตารางเมตร • ชางปกระเบองคานวณพนททตองปพน เปนหนวย ตารางเมตร และเตรยมซอกระเบอง ทมขนาด 20 × 20 เซนตเมตร สาหรบปพนชนลางของบาน จานวน 80 กลอง กลองละ 25 แผน ซงกระเบอง 1 กลองสามารถปพนไดประมาณ 1 ตารางเมตร

คาตอบกจกรรม “พนทกบความยาวของดาน”

1) AD BC 21 ××

2) AB × DE3) ×× ST 21 (PQ + SR)4) EG DF 21 ××

5) BD AC 21 ××

6) ××PR 21 (SY + QX)

คาตอบแบบฝกหด 2.3 ก

1.1) 8 ตารางเซนตเมตร2) 71.5 ตารางเซนตเมตร3) 15 ตารางเซนตเมตร4) 10 ตารางเซนตเมตร5) 1,207 ตารางเซนตเมตร6) 21 ตารางเมตร

2. 640 ตารางเซนตเมตร3. 32 เซนตเมตร4. 198 ตารางเซนตเมตร5. พนทของรปสามเหลยมเปน 3

2 ของพนทของรปสเหลยมดานขนาน

33

6.1) พนทของ ∆ AMP เทากบ 6 ตารางหนวย2) พนทของ ∆ BAM เทากบ 9 ตารางหนวย3) พนทของ ∆ QMD เทากบ 6 ตารางหนวย4) พนทของ ∆ MCD เทากบ 9 ตารางหนวย

7. พนทของ PQRS เทากบ 21 ของพนทของ ABCD

8. 1) 108 ตารางเซนตเมตร 2) 9 เซนตเมตร 3) 12 เซนตเมตร 9. 1,062 ตารางเมตร

แนวคด พนทของ ABCD = (พนทของ ABFE + พนทของ BCGF ) – (พนทของ ∆ ADE + พนทของ ∆ DCG ) ขอสงเกต ED = DF = 6 เมตร10. BE = 10 เมตร และ DF = 20 เมตร11. 338 ตารางเซนตเมตร12. 16 : 25

คาตอบแบบฝกหด 2.3 ข

1. 16.25 ไร 2. 37.5 วา 3. 236 เมตร 4. 430.5 ตารางวา 5. 137.025 ตารางฟต 6. 12.25 ตารางฟต

34

คาตอบกจกรรม “ใครใหญกวา”

1. 1) เตา แตว ตอย และตง 2) วธท 1 ลอกลายแลววางทบ วธท 2 เปรยบเทยบความยาวของฐาน และความสงของแตละรป2. นาจะพอ คาดคะเนจากความกวางและความยาวของโครงวาว กบความกวางและความยาวของกระดาษ ตรวจสอบโดยลากเสนเชอมปลายของโครงวาวใหเปนรปสเหลยมรปวาว แลวลอกลายนาไปทาบบน กระดาษดงรป

3. ใบยาวนาจะมพนทมากกวาใบสน คาดคะเนโดยเขยนรปสเหลยมผนผาลอมรอบใบไมทงสอง เมอพจารณาจะเหนวาใบยาวมความยาวเปนสองเทาของความยาวของใบสน และใบสนมความกวาง เปนสองเทาของความกวางของใบยาว พนทของรปสเหลยมผนผาทงสองรปจงมพนทพอ ๆ กน แตพนทสวนเกนของใบไมใบยาว นอยกวาพนทสวนเกนของใบไมใบสน

คาตอบกจกรรม “คะเนไดเทาไร”

ตวอยางคาตอบ1. เหมาะสม เพราะเศษของขดเพยงเลกนอย รวมกน 17 ผล นาจะประมาณ 3 ขด2. ไมเหมาะสม เพราะเงน 200 บาท ซอดนได 10 ถง ซงใชบรรจกระถางในอตราเดม ไดเพยง

70 ใบ จงขาดดนทใชบรรจอก 3 ใบ3. เหมาะสม เพราะถงท 2 และถงท 4 หนกกวาถงท 1 และถงท 34. เหมาะสม เพราะถามะมวงผลใหญ 3 ผล หนก 1 กโลกรม มะมวงทมขนาดยอมกวาเลกนอย 2 ผล นาจะมนาหนกประมาณ 0.5 กโลกรม5. เหมาะสม พจารณาจากทราย 1 ถง หนกเปน 2.6 เทา ของนา 1 ถง ดงนนทราย 0.5 ถง จะหนกเปน 1.3 เทา ของนา 1 ถง จะเหนวาถงทรายหนกกวา

25 ซม.15 ซม.

10 ซม.

30 ซม.

12 ซม.

20 ซม.

35

คาตอบกจกรรม “หองครวของรจนา”

ตวอยางคาตอบหองครวของรจนากวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร มพนท 6 ตารางเมตร ในครวมถงพลาสตก

1 ใบสาหรบใสขาวสารไดประมาณ 15 กโลกรม มหมอหงขาวสาหรบ 6 คนรบประทานซงมความจ1.5 ลตร กระตกนารอนมความจ 2.5 ลตร มถงแกสขนาดบรรจ 15 กโลกรม ถงใสนาสาหรบบรโภคขนาด 50 ลตร มนามนพช 1 ขวดซงมปรมาตรสทธ 1 ลตร นาปลา 1 ขวด ซงมปรมาตรสทธ 750 ลกบาศกเซนตเมตร เกลอปน 1 ขวด ซงมปรมาตรสทธ 80 มลลกรม มนาตาลทราย 1 ถงซงมนาหนกสทธ 1 กโลกรม มตเยนขนาดความจ 8.5 ควบกฟต ภายในตเยนมของอยมากมาย เชนมนมกลองขนาด 220 ลกบาศกเซนตเมตร อย 3 กลอง มนาดมอยในเหยอกพลาสตก ซงมความจประมาณ 1 ลตร อย 2 เหยอก มไขไก 10 ฟอง มเนอไกอยประมาณ 0.5 กโลกรม มฟกเขยว1 ผลหนกประมาณ 1 กโลกรม แตงโมครงผลหนกประมาณ 2

11 กโลกรมนอกจากนในหองครวยงม ซอสปรงรส 1 ขวด ปรมาตรสทธ 450 ลกบาศกเซนตเมตร และ

นายาลางจาน 1 ขวด ปรมาตรสทธ 500 ลกบาศกเซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “วดเกลอ”ตวอยางคาตอบ

ปรมาตรของกองเกลอทรงสเหลยมมมฉากเทากบ กวาง 1 วา × ยาว 1 วา × สง 1 ศอกเนองจาก 4 ศอก เทากบ 1 วาดงนนปรมาตรของกองเกลอน เทากบ 1 วา × 1 วา × 4

1 วา= 2 เมตร × 2 เมตร × 0.5 เมตร

= 200 เซนตเมตร × 200 เซนตเมตร × 50 เซนตเมตร = 2,000,000 ลกบาศกเซนตเมตร

จะไดวาเกลอกองนมปรมาตร 2,000,000 ลกบาศกเซนตเมตรจาก 1 เกวยน เทากบ 100 ถง และ 1 ถง เทากบ 20 ลตรดงนน 1 เกวยน = 100 ถง × 20 ลตร

= 2,000 ลตรจาก 1 ลตร เทากบ 1,000 ลกบาศกเซนตเมตรดงนน 1 เกวยน = 2,000 ลตร ×1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

= 2,000,000 ลกบาศกเซนตเมตรนนคอ กองเกลอทรงสเหลยมมมฉาก ขนาดกวาง 1 วา ยาว 1 วา สง 1 ศอก

มปรมาตรเทากบ 1 เกวยน สตรการหาปรมาตรดงกลาวจงเปนจรง

36


1.1) ยาหยอดตาขวดหนงบรรจไว 15 ลกบาศกเซนตเมตร คดเปน 15 มลลลตร2) ขาวสาร 4

11 กระสอบ คดเปน 125 กโลกรม3) มาลผสมพรกเกลอสาหรบจมมะมวง โดยใชนาตาล 2 ชอนโตะ เกลอ 2 ชอนชา พรกปน 1 ชอนโตะ คดเปนของผสม 55 ลกบาศกเซนตเมตร4) นาดมบรรจขวดขนาด 750 มลลลตร ตองซอ 6 ขวดจงจะไดนาอยางนอย 1 แกลลอน (กาหนดให 1 แกลลอน เทากบ 4.5 ลตร)

5) นาตาลทราย 1 ถวยตวง เมอนามาบรรจเปนซอง ขนาดซองละ 2 ชอนชา จะไดอยางมาก 24 ซอง2. ประมาณ 5 วน3. ประมาณ 1.25 บาท4. แบงไดอยางมากทสด 10 แกว แตละแกวมนามะเขอเทศประมาณ 6.76 ออนช5. 95 วน6. ได เพราะนาหนกรวมกนยงไมเกน 1,150 กโลกรม

คาตอบกจกรรม “1 ปไมไดม 365 วน”

1. เปนปอธกสรทน 2. ไมเปนปอธกสรทน3. ไมเปนปอธกสรทน 4. เปนปอธกสรทน5. ไมเปนปอธกสรทน 6. ไมเปนปอธกสรทน7. เปนปอธกสรทน 8. เปนปอธกสรทน

คาตอบกจกรรม “เวลากบชวตประจาวน”

1. พ.ศ. 2325 ตรงกบ ค.ศ. 17822. วนท 23 กรกฎาคม เวลาประมาณ 7.30 น.3. 296 ชวโมง คาแรง 8,880 บาท4. เวลา 09.25 น.5. 93 วน6. 2 ป 3 เดอน 1 วน

37

คาตอบกจกรรม “นบถงเวลาน”

นกเรยนบนทกเวลา ณ ขณะนตรงกน แตอาจคานวณอายไดแตกตางกน ตามวนเดอนปและเวลาเกดของนกเรยน

กจกรรม “ทคดไวใชหรอยง”

ตวอยางคาตอบ1. ไมเหมาะสม เพราะถาเอกตองใชเวลาในการชวยแมมากกวา 3 ชวโมงเลกนอยแมเพยง 10 นาท เอกกจะอาบนาแตงตวเพอไปงานไมทนในเวลา 5 นาท หรอนกเรยนอาจตอบวา เหมาะสม เพราะเทยบกบตนเองทใชเวลาในการอาบนาแตงตวไมเกน 5 นาท2. เหมาะสม เพราะจตราใชเวลาเดนทาง 35 นาท3. เหมาะสม เพราะครงแรกแมคาใชเวลาเจยวไข 5 นาท เนองจากสาลเปนลกคาคนแรก กระทะทใช เจยวไขยงไมรอน จงตองใชเวลานาน แตสดาสงไขเจยวตอจากสาลในขณะทกระทะคงยงรอนอย4. ไมเหมาะสม เพราะ ยาสฟน 1 หลอด ใชไดไมถง 2 เดอน ดงนนยาสฟน 3 หลอดจงใชได ไมถง 6 เดอน5. เหมาะสม เพราะการเดนทางจากโรงเรยนถงบานนนผานตลาดอยแลว และปกตปใชเวลาใน การเดนทางเพยง 50 นาท จงมเวลาประมาณ 10 นาทในการแวะซอของใหแม6. ไมเหมาะสม เพราะวาตนใชเวลาในการขบรถ 3 ชวโมง 25 นาท แตตอใชเวลาในการขบรถ 3 ชวโมง 15 นาท

คาตอบกจกรรม “คด”

ชายคนนมอายประมาณ 41.47 ป บนดาวพธ

38

แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ

39

แบบฝกหดเพมเตม 2.2

จงเปลยนหนวยความยาว เตมลงในชองวางใหเปนไปตามหนวยทกาหนด 1. 5 เซนตเมตร = [50] มลลเมตร 2. 17 เซนตเมตร = [170] มลลเมตร 3. 3.2 เซนตเมตร = [32] มลลเมตร 4. 25.6 เซนตเมตร = [256] มลลเมตร 5. 5,000 มลลเมตร = [500] เซนตเมตร 6. 23 เมตร = [2300] เซนตเมตร 7. 2,000 เมตร = [2] กโลเมตร 8. 2.35 เมตร = [235] เซนตเมตร 9. 1.2 กโลเมตร = [1200] เมตร10. 630 มลลเมตร = [0.63] เมตร

40


จงเปลยนหนวยนาหนก เตมลงในชองวางใหเปนไปตามหนวยทกาหนด 1. 4.56 กรม = [0.00456] กโลกรม 2. 48 กรม = [0.048] กโลกรม 3. 948 มลลกรม = [0.000948] กโลกรม 4. 4.9 มลลกรม = [0.0049] กรม 5. 5,862 กรม = [5.862] กโลกรม 6. 8.754 มลลกรม = [0.008754] กรม 7. 67 กรม = [67,000] มลลกรม 8. 73 กโลกรม = [73,000] กรม 9. 9.7 กรม = [9,700] มลลกรม10. 0.14 กรม = [140] มลลกรม11. 3.4 กโลกรม = [3,400] กรม12. 740 กโลกรม = [740,000] กรม13. 8 กโลกรม = [8,000] กรม14. 62 กรม = [62,000] มลลกรม15. 752 มลลกรม = [0.752] กรม

.

บทท 3แผนภมรปวงกลม (6 ชวโมง)

3.1 การอานแผนภมรปวงกลม (3 ชวโมง)3.2 การเขยนแผนภมรปวงกลม (3 ชวโมง)

เรอง แผนภมรปวงกลมในบทน ไดขยายความรเกยวกบการนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลมซงนกเรยนเคยเรยนมาแลวในระดบประถมศกษา ไดเพมเตมการอานแผนภมรปวงกลมทเปนรปสามมตซงนกเรยนมกจะพบในสอสงพมพตาง ๆ เพอใหนกเรยนไดคนเคยกบการอานขอมลในลกษณะนซงจะพบเหนบอยขน สาหรบการเขยนแผนภมรปวงกลมเปนความรใหมทนกเรยนจะไดเชอมโยงความรกบเรองการประมาณคาและรอยละ ขอมลสวนใหญทนาเสนอไวเปนขอมลจรง ซงมกจะเปนจานวนทอาจยงยากในการคานวณ ครอาจใหนกเรยนใชเครองคดเลขชวยในการคานวณได

ผลการเรยนรทคาดหวงรายปอานและนาเสนอขอมลโดยใชแผนภมรปวงกลมได

42


3.1 การอานแผนภมรปวงกลม (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถอานขอมลจากแผนภมรปวงกลมได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. เพอใหนกเรยนเหนวาในชวตประจาวนมการนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลมอยทวไป

ครอาจมอบหมายใหนกเรยนไปหาขอมลจากหนงสอพมพ วารสารหรอรายงานผลงานของหนวยงานตาง ๆเปนตน มานาเสนอดวยแผนภมรปวงกลม แลวรวมกนอภปรายผลทไดจากการนาเสนอขอมลเหลานน 2. ในกจกรรมการเรยนการสอน นอกจากครจะเนนการอานขอมลเพอตอบคาถามทใหไวแลวครควรฝกใหนกเรยนใชประสบการณของตวเองมาวเคราะหขอมลเพมเตมดวย เพอใชขอมลเหลานนใหเปนประโยชนมากทสด 3. แบบฝกหด 3.1 ขอ 4 เปนคาถามปลายเปดใหนกเรยนเขยนบรรยายถงความสมพนธของขอมลตาง ๆ จากแผนภมรปวงกลมทกาหนดให ครควรเปดโอกาสใหนกเรยนไดตอบอยางอสระ เพอสงเสรมใหนกเรยนมความคดรเรมสรางสรรค นอกจากจะอานขอมลเปนรอยละของจานวนนกทองเทยวของแตละประเทศทกาหนดใหแลว อาจใหนกเรยนไดแสดงความคดเหนและไดคดวเคราะห โดยครนาสนทนาและใชคาถามดงตวอยางตอไปน (1) นกเรยนคดวา นกทองเทยวจากประเทศอน ๆ ตามทปรากฏในแผนภมรปวงกลม มประเทศใดบาง (ใหระบมา 3 ประเทศ) (2) นกเรยนคดวา นาจะมเหตผลใดทรอยละของนกทองเทยวจากประเทศมาเลเซย มากกวานกทองเทยวจากประเทศตาง ๆ ทระบไวในแผนภมรปวงกลม (3) นกเรยนคดวาในชวง 6 เดอนหลงของป พ.ศ. 2546 นาจะมนกทองเทยวเขามาเทยว ในประเทศไทยมากขนหรอนอยลง เพราะเหตใด

(4) ถาจะรณรงคใหนกทองเทยวตางชาตเขามาประเทศไทยมากขน ควรจะเรมทประเทศใด กอน เพราะเหตใด

43

3.2 การเขยนแผนภมรปวงกลม (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถเขยนแผนภมรปวงกลมได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ในการคานวณขนาดของมมทจดศนยกลางเพอแบงพนทในวงกลมออกเปนสวน ๆ คาทไดอาจ

ไมลงตว ครอาจใหนกเรยนใชคาประมาณของมม โดยปดเศษใหเปนจานวนเตมเพอสะดวกในการแบงมมและควรเนนใหนกเรยนตรวจสอบความถกตอง โดยหาผลรวมของขนาดของมมทงหมด ซงตองเทากบ360 องศา และในกรณทมการนาเสนอขอมลในรปรอยละของปรมาณขอมลทงหมด กควรใหนกเรยนตรวจสอบผลรวมของรอยละของขอมลทงหมดใหเทากบ 100% เสมอ ในกรณทคานวณผลรวมของขนาดของมมทจดศนยกลาง แลวไมเทากบ 360 องศาพอดหรอคานวณรอยละของขอมลแลวไมได 100% พอด ครควรชแนะใหนกเรยนสามารถเลอกปรบปรมาณขอมลใหเหมาะสม ครอาจแนะนาใหพจารณาปดเศษของปรมาณทเปนทศนยมหนงตาแหนง เชน 0.5 หรอทศนยมสองตาแหนง เชน 0.05 ใหปดเศษปรมาณหนงขนและปดเศษอกปรมาณหนงทงเพอใหไดผลรวมของขอมลเปน 360 องศา หรอ 100% พอด การคานวณขอมลตาง ๆ เพอนามาเขยนแผนภมรปวงกลม ครอาจอนโลมใหนกเรยนใชเครองคดเลขได ไดตามความจาเปน

2. การใหนกเรยนเกบรวบรวมขอมลเกยวกบรายจายในครอบครวของนกเรยนเอง แลวนาขอมลทไดมาเสนอดวยแผนภมรปวงกลมในแบบฝกหด 3.2 ขอ 5 นน นอกจากจะเปนการฝกใหนกเรยนสามารถใชแผนภมรปวงกลมไดแลว ยงเปนการเชอมโยงความรกบการปลกฝงใหนกเรยนมจตสานกรบผดชอบตอครอบครวและตอสงแวดลอม ครอาจใหนกเรยนเกบรวบรวมขอมลเกยวกบทรพยากรธรรมชาตในชมชนของนกเรยน การทาลายสงแวดลอมในชมชน การทงขยะมลฝอย การประกอบอาชพของคนในชมชน แลวนาขอมลทไดมาเสนอดวยแผนภมรปวงกลม นกเรยนอาจใชโปรแกรมคอมพวเตอรชวยในการเขยนแผนภมรปวงกลมกได

3. ครอาจใหนกเรยนทากจกรรมเพมเตมโดยการใหนกเรยนคนควาขอมลขาวสารตาง ๆ จากสอสงพมพ แลวนาเสนอดวยแผนภมรปวงกลม อาจใหนกเรยนใชโปรแกรมคอมพวเตอรชวยในการสรางแผนภมรปวงกลม และครควรนาผลงานของนกเรยนทได มาตงคาถามใหนกเรยนไดคดวเคราะหในลกษณะการนาไปใช ใหเกดประโยชนในชวตประจาวนของนกเรยนหรอผทเกยวของ 4. ครควรนานกเรยนอภปรายถงจดเดนและจดดอยของการนาเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลมเพอใหไดขอสรป ดงน จดเดน 1) เหนการเปรยบเทยบระหวางขอมลไดชดเจน งายตอการอานขอมลอยางคราว ๆ 2) สามารถนาเสนอขอมลใหมสสน สวยงาม นาสนใจ

44

จดดอย 1) ขอมลทนาเสนอสวนใหญมกเปนคาประมาณ บางครงไมสามารถใหรายละเอยดท ตองการได 2) ไมเหมาะทจะใชกบขอมลทมปรมาณนอย

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรมคาตอบกจกรรม “ชวยกนตอบ”

กจกรรมท 11. สหรฐอเมรกามลคา 735.9 ลานเหรยญสหรฐฯ2. ประมาณ 1,107.3 ลานเหรยญสหรฐฯ คดเปนเงนบาทไดประมาณ 44,292 ลานบาท3. ประมาณ 2,657.5 ลานเหรยญสหรฐฯ4. ตวอยางการอภปราย : ประเทศไทยสงออกสงทอไปยงประเทศสหรฐอเมรกามากทสด ประมาณมลคา มากกวาสองเทาของมลคาทสงออกไปยงอก 4 ประเทศทเหลอ และเมอเปรยบเทยบกบประเทศญปน ทประเทศไทยสงออกมมลคาเปนอนดบทสอง จะพบวา มลคาทสงออกไปยงประเทศสหรฐอเมรกามาก ถง 5 เทาโดยประมาณของมลคาทสงออกไปยงประเทศญปน

กจกรรมท 21. 2.28 %2. ประมาณ 9.972 พนลานเหรยญสหรฐ หรอประมาณ 9,972 ลานเหรยญสหรฐฯ3. ประมาณ 14.537 พนลานเหรยญสหรฐ หรอประมาณ 14,537 ลานเหรยญสหรฐฯ4. ตวอยางการอภปราย : เมอเปรยบเทยบมลคาการสงออกอาหารของประเทศไทยกบของประเทศตาง ๆ ทปรากฏในแผนภมรปวงกลม จะพบวาประเทศไทยสงออกนอยทสด แตเมอเปรยบเทยบกบประเทศ จน ซงมประชากรและพนทมากกวาประเทศไทยหลายเทา จะพบวามลคาการสงออกอาหารของ ประเทศไทยสงถง 2 ใน 3 ของมลคาการสงออกอาหารของประเทศจน


1. 1) ออกซเจน ประมาณรอยละ 65 ของธาตทงหมด

2) ไนโตรเจน ประมาณรอยละ 3 ของธาตทงหมด3) ประมาณรอยละ 47 ของธาตทงหมด4) ประมาณหกเทา5) เปนสเทา

45

2.1) ประมาณอยางนอย 163 กรม2) ประมาณ 2

1 เทา

3) ประมาณ 21 เทา

4) เนอสตวและผกใบเขยว

3.1) สนคาอตสาหกรรม2) สนคาเกษตร สนคาแรและเชอเพลงและสนคาอน ๆ3) ประมาณ 14%4) ประมาณรอยละ 9.95) ประมาณ 9,598.68 ลานเหรยญสหรฐฯ และประมาณ 43,194.06 ลานเหรยญสหรฐฯ

4. ตวอยางคาตอบ 1) มจานวนนกทองเทยวจากประเทศมาเลเซยเขามาประเทศไทยมากทสดประมาณ 481,161 คน 2) จานวนนกทองเทยวจากประเทศญปนเขามาประเทศไทยมจานวนใกลเคยงกบจานวน นกทองเทยวจากประเทศมาเลเซย และมากกวาจานวนนกทองเทยวจากสหราชอาณาจกร 3) จานวนนกทองเทยวจากประเทศจนและประเทศเกาหลมจานวนใกลเคยงกน และนอยกวา จานวนนกทองเทยวจากสหราชอาณาจกร

ตวอยางคาตอบจากคาถามทเสนอแนะไว ในขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอนหวขอ 3.1ขอ 3 (1) สหรฐอเมรกา เยอรมนและออสเตรเลย (2) ประเทศมาเลเซยอยตดกบชายแดนของภาคใตของประเทศไทยและประชาชนมฐานะ ความเปนอยคอนขางด จงมโอกาสในการทองเทยวมากกวาประชาชนของประเทศ พมา ลาว หรอกมพชา ซงมเขตตดตอกบประเทศไทยเชนกน (3) มแนวโนมวา นาจะมนกทองเทยวเขามาทองเทยวในประเทศไทยมากขน เพราะชวง ปลายป ประเทศไทยมเทศกาลงานลอยกระทง ประกอบกบประเทศในแถบยโรปและ สหรฐอเมรกามอากาศหนาวเยน จงมนกทองเทยวเดนทางมาพกผอนในแถบเอเซย อาคเนย ซงมอากาศทอบอนกวา เชนประเทศไทย

46

(4) นาจะเรมทประเทศจน เพราะประเทศจนมประชากรมากกวาประเทศอน ๆ มาก อย ไมไกลจากประเทศไทย คาใชจายในการเดนทางมาประเทศไทยไมมากเกนไป ประกอบกบประเทศไทยมประชากรเชอชาตจนอยมากเชนกน ซงมสวนทาให การตดตอสอสารกนไดงาย


1.

ชนดของขนม รอยละของนกเรยนทชอบซอ ขนาดของมมทจดศนยกลาง(องศา)

ขนมกรบกรอบ 51.5 51.5 × 3.6 ≈ 185ไอศกรม 34.3 34.3 × 3.6 ≈ 124ผลตภณฑจากนม 14.2 14.2 × 3.6 ≈ 51

รวม 100 360

แผนภมแสดงรอยละของนกเรยนโรงเรยนคณตวทยาทชอบซอขนมสามอนดบแรก

ทมา :ขอมลจากการสารวจนกเรยนโรงเรยนคณตวทยา

ขนมกรบกรอบ 51.5 %

ไอศกรมหวานเยน 34.3 %

ผลตภณฑจากนม 14.2 %

47

2.

สาเหต รอยละของการตาย ขนาดของมมทจดศนยกลาง(องศา)

1. เอดส 36.95 36.95 × 3.6 ≈ 1332. อบตเหต 9.55 9.55 × 3.6 ≈ 343. มะเรง 12.15 12.15 × 3.6 ≈ 444. หลอดเลอด 5.05 5.05 × 3.6 ≈ 185. ฆาตวตาย 4.55 4.55 × 3.6 ≈ 17*

6. อน ๆ 31.75 31.75 × 3.6 ≈ 114รวม 100 360

* มการปดเศษทงหลายรายการทาใหผลรวมของขนาดของมมทจดศนยกลางไมเทากบ 360 องศา จงปดรายการทหาขนเปน 17

แผนภมแสดงรอยละของสาเหตการตายของบคคลอาย 25 - 44 ป เมอป พ.ศ. 2546

ทมา : สถาบนวจยระบบสาธารณสข กระทรวงสาธารณสข

เอดส36.95 %

อบตเหต9.55 %

อน ๆ36.95 %

มะเรง12.15 %

ฆาตวตาย 4.55 %

หลอดเลอด 5.05 %

48

3.

โครงการ จานวนคนทเลอก คดเปนรอยละ ขนาดของมมทจดศนยกลาง(องศา)

ขยายประปาหมบาน 5282000528 × 100 = 26.4 26.4 × 3.6 ≈ 95

สรางศนยดแลเดกเลก 1662000166 × 100 = 8.3 8.3 × 3.6 ≈ 30

สรางแหลงนาเพอการเกษตร

3122000312 × 100 = 15.6 15.6 × 3.6 ≈ 56

ขยายถนนในหมบาน 3502000350 × 100 = 17.5 17.5 × 3.6 = 63

ขยายไฟฟาสาธารณะหมบาน

6442000644 × 100 = 32.2 32.2 × 3.6 ≈ 116

รวม 2,000 360 360

แผนภมแสดงความคดเหนตอโครงการพฒนาหมบานของประชากรในหมบานจนทรผาจานวน 2,000 คน

ทมา : ผลจากการสารวจของคณะกรรมการหมบาน

ขยายประปาหมบาน 26.4% (528 คน)

ขยายไฟฟาสาธารณะ32.2% (644 คน)

ขยายถนน17.5% (350 คน) สรางแหลงนาฯ

15.6% (312 คน)

สรางศนยดแลเดกเลก8.3% (166 คน)

49

4.

ประเทศ / กลมประเทศ มลคา(ลานบาท) คดเปนรอยละ ขนาดของมมทจดศนยกลาง

(องศา)1.เอเซย 19,371.30

6096719371 × 100 ≈ 31.8 31.8 × 3.6 ≈ 115

2.สหรฐอเมรกา 34,866.006096734866 × 100 ≈ 57.2 57.2 × 3.6 ≈ 206

3. สหภาพยโรป 866.0060967866 × 100 ≈ 1.4 1.4 × 3.6 ≈ 5

4. ออสเตรเลย 1,572.2060967201572. × 100 ≈ 2.6 2.6 × 3.6 ≈ 9

5. อนๆ 4,291.5060967504291. × 100 ≈ 7 7 × 3.6 ≈ 25

รวม 60,967.00 100 360

แผนภมแสดงมลคาการสงออกกงของไทย เดอนมกราคม – ตลาคม พ.ศ. 2546 (ลานบาท)

ทมา : กรมศลกากร

เอเชย31.8% (19371.30 ลานบาท)

สหรฐอเมรกา57.4% (34866.00 ลานบาท)

สหภาพยโรป1.4% (866.00 ลานบาท)

อนๆ7% (4291.50 ลานบาท)

ออสเตรเลย2.6% (1572.20 ลานบาท)

บทท 4การแปลงทางเรขาคณต (12 ชวโมง)

4.1 การเลอนขนาน (4 ชวโมง) 4.2 การสะทอน (4 ชวโมง) 4.3 การหมน (4 ชวโมง)

สาระสาคญของบทนตองการใหนกเรยนมความคดรวบยอดเกยวกบการแปลงทางเรขาคณตบนระนาบสามแบบ คอ การเลอนขนาน การสะทอนและการหมน ภาพทไดจากการแปลงเหลานมรปรางเหมอนกนและขนาดเทากนกบรปตนแบบ กจกรรมทเสนอไวมงเนนการคดวเคราะห และเชอมโยงความรเกยวกบการแปลงทางเรขาคณตในคณตศาสตรกบชวตจรงและงานศลปะ กจกรรมเหลานครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง เพอพฒนาความรสกเชงปรภมและความคดรเรมสรางสรรค ในการทาแบบฝกหดทเกยวกบการหาภาพทไดจากการแปลงทางเรขาคณต ไมจาเปนตองใหนกเรยนเขยนอธบายวธทาทกขอ แตนกเรยนจะตองหาภาพไดโดยแสดงรองรอยไวตามความเหมาะสม ทงสามารถรวมกนอภปรายและใหเหตผลเกยวกบการหาภาพทไดจากการแปลงทางเรขาคณตเหลานนได การแปลงทางเรขาคณตแตละแบบในบทน สวนใหญจะกลาวถงการแปลงบนระนาบในระบบพกดฉาก ซงนกเรยนจะหาภาพและพกดของจดทไดจากการแปลงไดโดยงาย ในการใหนกเรยนวเคราะหวา การแปลงทางเรขาคณตทกาหนดให จะเปนแบบใดแบบหนงในสามแบบทเรยนมานน ครตองกาหนดรปตนแบบและภาพทไดจากการแปลงซงสามารถกาหนดจดอยางนอยสามจดบนรปตนแบบทไมอยบนแนวเสนตรงเดยวกนและภาพของจดเหลานได

ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. วเคราะหและอธบายความสมพนธระหวางรปตนแบบและภาพทไดจากการเลอนขนาน การสะทอนและการหมนได 2. นาสมบตเกยวกบการเลอนขนาน การสะทอน และการหมนไปใชได 3. บอกพกดของรปเรขาคณตทไดจากการเลอนขนาน การสะทอน และการหมนบนระนาบ ในระบบพกดฉากได

51


การแปลงทางเรขาคณต เมอกลาวถงการแปลงทางเรขาคณต จะหมายถงการจบคแบบหนงตอหนงอยางทวถงระหวางจดทสมนยกนบนระนาบซงเปนจดบนรปตนแบบกบจดบนภาพทไดจากการแปลงนน

โดยทวไปเมอกลาวถงการแปลง ภาพทไดจากการแปลงอาจมรปรางและขนาดแตกตางกนไปจากรปตนแบบ เชน รปตนแบบกบภาพทไดจากการยอหรอขยาย สาหรบบทนจะกลาวถงเฉพาะการแปลงทางเรขาคณตสามแบบ ไดแก การเลอนขนาน การสะทอนและการหมน การแปลงเหลานจะมสมบตวารปตนแบบและภาพทไดจากการแปลงมรปรางเหมอนกนและขนาดเทากน

4.1 การเลอนขนาน (4 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบตของการเลอนขนานบนระนาบได 2. หาภาพทไดจากการเลอนขนานรปตนแบบได 3. หาเวกเตอรของการเลอนขนานเมอกาหนดรปตนแบบและภาพทไดจากการเลอนขนานได 4. บอกพกดของภาพทไดจากการเลอนขนานของรปตนแบบทกาหนดใหได 5. เมอกาหนดรปเรขาคณตสองรปทแสดงการแปลงทางเรขาคณตให สามารถบอกไดวารปคใด แสดงการเลอนขนาน 6. ใชความรเกยวกบการเลอนขนานแกปญหาได


ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ครอาจนาเขาสบทเรยนดวยการสนทนาเกยวกบสงตาง ๆ ในชวตจรงทแสดงการเลอนขนาน เชน

การปดเปดประตบานเลอน การเขนรถยนตทจอดอย การดงลนชก เพอเชอมโยงการเลอนในชวตจรงกบการเลอนขนานในทางคณตศาสตร ตามทกลาวไวในหนงสอเรยน 2. การใชเวกเตอรและสญลกษณของเวกเตอรในการบอกทศทางและระยะทางของการเลอนขนานในหวขอน มเจตนาเพยงเพอบอกเงอนไขของการเลอนขนานรปตนแบบเทานน ครไมควรใหความรเกยวกบเวกเตอรแกนกเรยน เกนกวาทกลาวไวในหนงสอเรยน

3. สาหรบกจกรรม “สารวจการเลอนขนาน” ครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบต เพอหาความสมพนธและสรปเปนสมบตของการเลอนขนาน อาจแนะนาใหนกเรยนใชวงเวยนในการตรวจสอบความยาวของสวนของเสนตรง ซงจะสะดวกกวาการใชไมบรรทด ขอสรปทนกเรยนพบคอ

52

AB // BA ′′ และ AB = A′B′ BC // CB ′′ และ BC = B′C′ AC // CA ′′ และ AC = A′C′

เราสามารถใหเหตผลไดวาขอสรปดงกลาวเปนจรงโดยใชสมบตทางเรขาคณตทกลาววา“สวนของเสนตรงทปดหวทายของสวนของเสนตรงทยาวเทากนและขนานกน จะยาวเทากนและขนานกน”ซงการใหเหตผลนครไมจาเปนตองแสดงการพสจนใหนกเรยนด ในการตรวจสอบเพอหาขอสรปวา ภาพทไดจากการเลอนขนานมรปรางและขนาดไมเปลยนแปลงไปจากรปตนแบบโดยใชกระดาษลอกลายนน สงสาคญทครตองเนนกบนกเรยนคอ สามารถเลอนรปมาทบกนไดสนทโดยไมมการพลกรป และระหวางการเลอนจะไมสนใจเสนทางของการเลอนทอาจไมเปนแนวเสนตรงกได

4. ครใหนกเรยนสงเกตเกยวกบการหาภาพของรปหลายเหลยมทไดจากการเลอนขนาน โดยใชแผนโปรงใสลอกรปตนแบบ แลวเลอนแผนใสดวยเวกเตอรทกาหนดให เพอใหนกเรยนเหนวา ในการเลอนขนานทก ๆ จดบนรปตนแบบจะเคลอนไปบนระนาบพรอม ๆ กนดวยเวกเตอรเดยวกน และใหคาแนะนาวา ถานกเรยนตองการหาภาพทไดจากการเลอนขนาน ควรหาเฉพาะจดซงเปนภาพของจดยอดมมของรปตนแบบ กเพยงพอทจะเขยนภาพทไดจากการเลอนขนานรปตนแบบได

5. ในการหาภาพทไดจากการเลอนขนาน เมอกาหนดรปตนแบบและเวกเตอรบนระนาบในระบบพกดฉาก ครควรใหนกเรยนไดฝกวเคราะหเวกเตอรทโจทยกาหนดมาให โดยดททศทางและระยะทางตามแกน X และแกน Y วธนจะชวยใหนกเรยนหาภาพของจดทไดจากการเลอนขนานไดงาย ครอาจใชแบบฝกหดเพมเตม 4.1 เพอใหนกเรยนมพนฐานในการเลอนขนานตามแกน X หรอแกน Y กอนแลวจงใหเวกเตอรในลกษณะเปนเสนเฉยง และในเรองนเมอกาหนดเวกเตอรเปนเสนเฉยง จะกาหนดเวกเตอรใหอยในแนวของเสนทแยงมมของตารางบนระนาบในระบบพกดฉากเทานน 6. สาหรบตวอยางท 5 ครควรทาความเขาใจกบนกเรยนใหสามารถวเคราะหและใหเหตผลไดวา รปเรขาคณตสองรปทกาหนดให ถามความสมพนธกนในลกษณะของการเลอนขนาน ควรพจารณาอยางไรซงนกเรยนควรพจารณาไดวา ถาเปนการเลอนขนานจะตองหาเวกเตอรของการเลอนขนานไดครควรใหนกเรยนทากจกรรม “ภาพจากการเลอนขนาน” และอาจใหนกเรยนชวยกนอภปรายบอกเหตผลแทนการเขยน 7. ตวอยางและแบบฝกหดเกยวกบการคานวณหาพนทโดยประมาณของรปเรขาคณต เปนสาระทตองการใหนกเรยนไดเหนการนาสมบตของการแปลงทางเรขาคณต มาชวยในการแกโจทยปญหาทกาหนดใหมมมองหรอแนวคดในการคานวณหาพนทของนกเรยนแตละคนอาจไมเหมอนกน ครควรใหโอกาสนกเรยนไดคดอยางอสระ และเสนอแนวคดนนกบเพอน ๆ ดวย

53

8. เพอใหนกเรยนไดพฒนาความคดรเรมสรางสรรค ครควรหาตวอยางงานทใชความรเรองการเลอนขนานมาใหนกเรยนด อาจเปนงานทผลตจากทองถนของนกเรยน เชน ลายผา ลวดลายตามฝาผนง ลวดลายเหลกดดของหนาตางหรอประต นอกจากนครควรใหนกเรยนออกแบบลวดลายทใชการเลอนขนานและใหเสนอผลงานดวย

4.2 การสะทอน (4 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบตของการสะทอนบนระนาบได 2. หาภาพทไดจากการสะทอนรปตนแบบได 3. หาเสนสะทอนของการสะทอนเมอกาหนดรปตนแบบและภาพทไดจากการสะทอนได 4. บอกพกดของภาพทไดจากการสะทอนของรปตนแบบทกาหนดใหได 5. เมอกาหนดรปเรขาคณตสองรปทแสดงการแปลงทางเรขาคณตให สามารถบอกไดวารปคใด แสดงการสะทอน 6. ใชความรเกยวกบการสะทอนแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน1. ครอาจนาเขาสบทเรยนดวยการสนทนาและใหนกเรยนอภปรายเกยวกบภาพหรอเงาของวตถท

เกดจากการสะทอนในนา เปรยบเทยบรปรางและขนาดของเงากบของจรงวาเปนอยางไรบาง ซงนกเรยนอาจบอกไดวาตามหลกของวทยาศาสตร รปรางและขนาดของเงาอาจแตกตางจากของจรง เนองจากผวนาอาจไมราบเรยบและไมใสเหมอนกระจกเงา

2. สาหรบกจกรรม “เงาในกระจก” มเจตนาเพอใหนกเรยนไดเหนความสมพนธระหวางรปตนแบบ เสนสะทอนและภาพทไดจากการสะทอนในชวตจรง ซงจะชวยใหนกเรยนมความเขาใจเกยวกบการสะทอนทกลาวถงในคณตศาสตรมากขน

3. กจกรรม “สารวจการสะทอน” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนหาขอสรปวาสมบตของการสะทอนแตกตางจากสมบตของการเลอนขนานอยางไรบาง นกเรยนจะตองเหนความแตกตางไดอยางชดเจนวา เมอนารปตนแบบทบภาพทไดจากการสะทอนจะตองมการพลกรปตนแบบ จงจะทาใหรปทงสองทบกนไดสนท

4. ในสาระทเกยวกบรปสมมาตรบนเสนและแกนสมมาตรซงนกเรยนเคยรจกมาแลว ครอาจทบทวนโดยใหนกเรยนอธบายถงลกษณะของรปสมมาตรบนเสน แกนสมมาตรและจานวนแกนสมมาตรของรปเรขาคณตแบบตาง ๆ พรอมทงยกตวอยางรปสมมาตรบนเสนทอยใกลตวในธรรมชาต กอนทจะชวยกนสรปวา รปสมมาตรบนเสนเปนรปทไดจากการสะทอนโดยมแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน

54

5. การหาภาพทไดจากการสะทอนของรปหลายเหลยม กสามารถทาไดในทานองเดยวกนกบการหาภาพทไดจากการเลอนขนาน กลาวคอ หาเฉพาะจดทเปนภาพของจดยอดมมของรปตนแบบ กเปนการเพยงพอทจะเขยนภาพทไดจากการสะทอนของรปตนแบบได

6. ในการหาเสนสะทอนของการสะทอน ครอาจใหนกเรยนชวยกนวเคราะหและอธบายการสรางเสนสะทอนวาจะทาอยางไรไดบาง ครอาจแนะนาใหนกเรยนวเคราะหยอนกลบจากความหมายของการสะทอน ซงนกเรยนอาจตอบไดวา ถาใหเปนไปตามความหมายของการสะทอนจะตองหาเสนแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดทสมนยกน และถานกเรยนใชวงเวยนและสนตรงชวยในการหาเสนสะทอน กจะสะดวกกวา แตถานกเรยนใชเฉพาะไมบรรทด กอาจแนะนาใหใชวธการแบงครงสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดทสมนยกนสองค เสนตรงทผานจดกงกลางสองจดนจะเปนเสนสะทอน ซงสามารถอธบายไดโดยใชสมบตของเสนขนาน ครไมจาเปนตองอธบายหรอแสดงเหตผลประกอบ

7. ในบทนจะกาหนดเสนสะทอนบนระนาบในระบบพกดฉาก ใหเปนเสนตรงซงอาจเปนแกน Xหรอแกน Y เสนตรงทขนานกบแกน X หรอขนานกบแกน Y กอน สวนการกาหนดเปนเสนเฉยงนนจะกาหนดใหเปนเสนทแยงมมของตารางบนระนาบ และจะกาหนดรปตนแบบและภาพทไดเปนรปเรขาคณตทนกเรยนสามารถบอกพกดทมสมาชกเปนจานวนเตมได

8. ในการสอนใหนกเรยนรจกพจารณาวา รปเรขาคณตทกาหนดใหมความสมพนธกนในลกษณะของการสะทอนหรอไม อยางไรนน ครควรแนะนาใหพจารณาวา ถาเปนการสะทอนจะตองหาเสนสะทอนไดและควรใหนกเรยนทากจกรรม “ภาพจากการสะทอน” ซงอาจใหนกเรยนชวยกนอภปรายบอกเหตผล

9. สาหรบการนาความรเกยวกบการสะทอนไปใชในการหาพนทโดยประมาณของรปเรขาคณตทกาหนดให ครควรถามแนวคดในการแกปญหาของนกเรยนดวยวา นกเรยนใชการสะทอนมาแกปญหาอยางไร และอาจใหนกเรยนนาเสนอแนวคดของตนหนาชนเรยน เพราะแนวคดของนกเรยนอาจแตกตางกน

10. กจกรรม “ศลปะกบการสะทอน” เจตนาเพอฝกทกษะการนาสมบตการเลอนขนานและการสะทอนมาชวยในการออกแบบ นกเรยนจะไดพฒนาความคดรเรมสรางสรรคและความรสกเชงปรภมดวย

11. ครอาจสนทนากบนกเรยนเกยวกบการนาความรเรองการสะทอน มาใชประโยชนในงานบางอยาง เชน ทากลองสลบลาย ครอาจทากลองสลบลายไวเปนสอการเรยนการสอนและเปนตวอยางใหนกเรยนไดเหนลวดลายทไดจากการสะทอน อาจใหนกเรยนไดลองทากลองสลบลายอยางงาย ๆ โดยใชไมบรรทดพลาสตกแทนกระจก

55

4.3 การหมน (4 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกความหมายและสมบตของการหมนบนระนาบได 2. หาภาพทไดจากการหมนรปตนแบบได 3. หาจดหมน ขนาดของมมทเกดจากการหมน บอกทศทางการหมนเมอกาหนดรปตนแบบและ ภาพทไดจากการหมนได 4. บอกพกดของภาพทไดจากการหมนของรปตนแบบทกาหนดใหได 5. เมอกาหนดรปเรขาคณตสองรปทแสดงการแปลงทางเรขาคณตให สามารถบอกไดวารปคใด แสดงการหมน 6. ใชความรเกยวกบการหมนแกปญหาได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครอาจนาเขาสบทเรยนดวยการสนทนาเกยวกบสงตาง ๆ ในชวตจรงทแสดงการหมน โดยใหนกเรยนชวยกนยกตวอยาง กอนใหความหมายของการหมนรปเรขาคณตบนระนาบ การหมนในหวขอนจะไมกลาวถงการหมนทมขนาดของมมเทากบ 0 องศา และ 360 องศา

2. สาหรบกจกรรม “สารวจการหมน” ควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตเพอหาความสมพนธของรปตนแบบกบภาพทไดจากการหมน ขอสรปทไดจากการสารวจการหมนมสวนทเหมอนกบการเลอนขนานคอสามารถเลอนรปตนแบบทบภาพทไดจากการหมนไดสนทโดยไมตองมการพลกรป แตดานทสมนยกนของรปตนแบบและภาพไมจาเปนตองขนานกน ทงนเพอจะไดใชขอสงเกตนในการพจารณาวาการแปลงทางเรขาคณตทโจทยกาหนดใหเปนการแปลงแบบใด

กอนใหนกเรยนทากจกรรมน ครอาจใชแผนโปรงใสลอกรปตนแบบ และแสดงการหมนรปบนแผนใสทจดหมน P ดวยขนาดของมมและทศทางการหมนตามทกาหนด เพอใหนกเรยนสงเกตไดวาทก ๆ จดบนรปตนแบบจะเคลอนไปบนระนาบ และจดคทสมนยกนบนรปตนแบบและบนภาพทไดจากการหมน จะอยหางจากจดหมนเปนระยะทเทากนเปนค ๆ

3. ในการหาภาพทไดจากการหมนเมอกาหนดจดหมน ขนาดของมมทใชในการหมนและทศทางการหมนให ครควรใหนกเรยนชวยกนวเคราะหวธทาวา จะตองทาอะไรกอน มขนตอนอะไรบาง และควรใชอปกรณใดมาชวยในการหาภาพ เชน การหาขนาดของมมกอาจใชวงเวยนหรอโพรแทรกเตอร เมอนกเรยนหาภาพทไดจากการหมนไดแลว จงใชคาถามเพอใหไดขอสรปวา จดทสมนยกนจะอยบนวงกลมเดยวกน และวงกลมแตละวงทผานจดคทสมนยกนแตละค ไมจาเปนตองมรศมยาวเทากน แตตองมจดหมนจดเดยวกนซงเปนจดศนยกลางของวงกลมทกวง ครควรใชคาถามตอวา ถาตองการหาภาพทไดจากการหมนรปตนแบบ วธททาไดงายควรสรางอะไรกอน นกเรยนควรตอบไดตามขนตอนทใหไวในตวอยางท 1

56

4. ในการวเคราะหหาจดหมนเมอโจทยกาหนดรปตนแบบและภาพทไดจากการหมนให ครอาจใหนกเรยนชวยกนวเคราะหและหาวธทากอน ถานกเรยนทาไมไดครจงคอยชแนะใหสรางเสนตรงสองเสนแตละเสนแบงครงและตงฉากกบสวนของเสนตรงทเชอมระหวางจดทสมนยกน ซงจะไดจดตดของเสนตรงทงสองนนเปนจดหมน ดงตวอยางขางลางนทมจด R เปนจดหมน

ครควรแนะนาใหนกเรยนตรวจสอบวา ถาใชจด R เปนจดศนยกลางรศมยาวเทากบ RB เขยนสวนโคงของวงกลมแลวจะไดจด B′ อยบนวงกลมหรอไม การกระทานเพอใหนกเรยนไดแนวคดวา ถารปเรขาคณตสองรปทกาหนดใหเกดจากการหมนของรปใดรปหนง เมอไดจดตดเชนจด R แลว ควรตรวจสอบระยะหางระหวางจดตดนนกบจดทสมนยคอน ๆ อกวาแตละคยาวเทากนหรอไม เพอยนยนวาจด R นนเปนจดหมน

5. สาหรบการหมนทกาหนดรปตนแบบบนระนาบในระบบพกดฉาก จะกลาวเฉพาะการหมนทกาหนดใหจดกาเนด (0, 0) เปนจดหมน ขนาดของมมทใชในการหมนเปน 90o, 180o และ 270o และจดยอดมมของรปตนแบบมพกดทสมาชกของพกดเปนจานวนเตม ทงนเพอใหนกเรยนสามารถหาพกดของภาพทไดจากการหมนทสมาชกของพกดเปนจานวนเตมดวย

6. สาหรบตวอยางท 3 ซงเปนโจทยวเคราะหวา รปเรขาคณตสองรปทกาหนดใหคใดแสดงการแปลงทางเรขาคณตในลกษณะของการหมน ครควรใหนกเรยนบอกแนวคดวา จะมขอพจารณาอะไรบาง นกเรยนควรวเคราะหกอนวา เมอไมใชเปนการแสดงการสะทอนและไมใชเปนการแสดงการเลอนขนานแลวจงพจารณาวาเปนการหมนหรอไม ถาแสดงการหมนจะตองหาจดหมนได การหาจดหมนใชวธตามขนตอนทกลาวไวในขอ 4 ขางตน

7. กรอบความร “สมมาตรการหมน” ใหไวเพอใหนกเรยนเหนวาการแปลงทางเรขาคณตทเปนการหมน บางรปมลกษณะพเศษทสามารถมองเหนชดเจนวา ภาพทไดทกรปเหมอนรปตนแบบไมกลบ

C′A′

B′ A

BC

P

RY Q

X

F

E

57

ทศทางใหดสบสนเหมอนการหมนอน ๆ ทงนเพราะขนาดของมมทใชในการหมนเปนขนาดทหาร 360ไดลงตวจงทาใหการหมนทครบรอบแลว ไดภาพทบกบรปตนแบบสนทพอด

8. สาหรบ “ศลปะกบการหมน” ครอาจใหนกเรยนเลอกทากจกรรมใดกจกรรมหนงกไดตามใจชอบ และควรใหเสนอผลงานพรอมเหตผลประกอบ เพอใหนกเรยนแตละคนไดเหนความคดสรางสรรคของเพอน ๆ

9. สาหรบแบบฝกหด 4.3 ขอ 7 และขอ 8 ควรใหนกเรยนทาเปนการบาน เพราะเปนงานทตองใชความคดสรางสรรค นกเรยนอาจใชการแปลงทางเรขาคณตแบบใดแบบหนงหรอหลาย ๆ แบบมาออกลวดลาย

10. สาหรบกจกรรม “หาไดหรอไม” ครอาจนามาใหนกเรยนชวยกนวเคราะหเพอหาคาตอบในชนเรยนกได ทงนเพราะการหาพนทโดยประมาณของรปทกาหนดใหนกเรยนแตละคนอาจใชความรจากการแปลงทางเรขาคณตตางกน

11. สาหรบกรอบความร “กลองสลบลาย” นอกจากใหนกเรยนประดษฐกลองสลบลายแลว ครควรใหนกเรยนสงเกตภาพทเหนภายในกลอง วาเปนภาพทเหมอนกน 6 ภาพ เพราะเมอนากระจกเงามาวางทามมกนขนาด 60o จะเกดภาพรวมทงรปตนแบบเปนจานวน 6 ภาพซง 6 ไดมาจาก 360 ÷ 60

12. กจกรรม “การสะทอนแบบเลอน” เสนอไวเพอใหเปนความรวาการแปลงทางเรขาคณตบนระนาบทรปตนแบบและภาพทไดจากการแปลงมรปรางเหมอนกนและขนาดเทากน นอกจากจะมแบบการเลอนขนาน การสะทอนและการหมนแลว ยงมการสะทอนแบบเลอนอกหนงแบบและ ครอาจแนะนาวาการแปลงทางเรขาคณตบนระนาบททาใหภาพทไดจากการแปลงมรปรางเหมอนกนและขนาดเทากนกบรปตนแบบ จะตองเปนแบบใดแบบหนงในสแบบนเทานน ครไมตองนาความรเรองการสะทอนแบบเลอนไปวดผล

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรมคาตอบกจกรรม “สารวจการเลอนขนาน”

1. ใช2. จาเปน3. ใช4. ทบกนไดสนท

58

คาตอบกจกรรม “ภาพจากการเลอนขนาน”

1. ไมเปน เพราะ AA ′ , BB ′ และ CC ′ ยาวไมเทากน2. ไมเปน เพราะ ม AA ′ และ CC ′ ไมขนานกน3. เปน เพราะ PP ′ , QQ ′ , RR ′ และ SS ′ ขนานกนและยาวเทากน4. ไมเปน เพราะ AA ′ , BB ′ , CC ′ และ DD ′ ยาวไมเทากน5. เปน เพราะ PP ′ , QQ ′ , RR ′ และ SS ′ ขนานกนและยาวเทากน


1.

จากรป QP ′′ เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน PQ ดวย MN

2.

จากรป ∆ P′Q′R′ เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ∆ PQRดวย MN

3. 1) A′(4, 5) B′(2, 3) C′(3, 1) D′(5, 2)2) E′ เปนจดกงกลาง BA ′′ และมพกดเปน (3, 4)

M

N

P

QR

Q′

P′

R′

Q

PM

N

Q′

P′

Q

59

5.

จากรปจะได AA′ เปนเวกเตอรของการเลอนขนาน AB

6. A′(-8, 3)7. B′(0, -4) และ C′(-1, 0)8. ประมาณ 15 ตารางเซนตเมตร9. ประมาณ 12 ตารางเซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “บอกหนอยซ”

1. (3, 1) และ (3, -11)2.

เวกเตอรของการเลอนขนานคอ AA′

คาตอบกจกรรม “เงาในกระจก”

7.1) จด A และจด A′ อยหางจากเสนตรงทเปนรอยพบเทากน2) จด B และจด B′ อยหางจากเสนตรงทเปนรอยพบเทากน จด C และจด C′ อยหางจากเสนตรงทเปนรอยพบเทากน3) ตงฉาก4) ทบไมสนท แตเมอลองพลก ∆ ABC แลวนาไปทบ ∆ A′B′C′ จะทบไดสนท

0 2 4 6-2

Y

X

4

A′(-3, 2)

B′(0, 5)

A (2, 2)

B (5, 5)

2

3

5

(x + 3, y – 5)

(x , y )A

A′

60

คาตอบกจกรรม “ทาไดหรอไม”

1. จงชวยกนรกษาสงแวดลอมเพอใหสงคมไทยนาอย2.

คาตอบกจกรรม “สารวจการสะทอน”

1. ขนานกน แตยาวไมเทากน2. PQ และ QP ′′ ไมขนานกน QR และ RQ ′′ ไมขนานกน PR และ RP ′′ ขนานกน3. ไมจาเปนตองขนานกน4. ใช5. ทบไมสนท แตเมอลองพลก ∆ PQR แลวนาไปทบ ∆ P′Q′R′ จะทบไดสนท

คาตอบกจกรรม “ภาพจากการสะทอน”

1.1) ไมเปน เพราะสามารถเลอนรป ก ทบรป ข ไดสนทโดยไมตองพลกรป2) เปน เพราะ (1) สามารถพลกรป ข แลวเลอนมาทบรป ก ไดสนท (2) สามารถหาเสนสะทอนได3) ไมเปน เพราะรป ก และรป ข ไมเปนรปทเทากนทกประการ4) เปน เพราะ (1) สามารถพลกรป ข ทบรป ก ไดสนท (2) สามารถหาเสนสะทอนได5) ไมเปน เพราะไมสามารถหาเสนสะทอนได6) ไมเปน เพราะสามารถเลอนรป ก ทบรป ข ไดสนทโดยไมตองพลกรป

61


1.1)

จากรปจะได XY เปนเสนสะทอน

2)


3)


X

Y

X

Y

Y

X

62

2.

จากรปจะได A′B′C′D′เปนภาพทไดจากการสะทอน

ABCD และมพกดเปนA′(-2, -4), B′(4, -4),C′(2, -2) และ D′(2, 0)

3.1)

จากรปจะไดรป A′B′C′D′E′เปนภาพทไดจากการสะทอนรป ABCDE และมพกดดงนA′(3, 2), B′(1, 4), C′(0, 0),

D′(2, 1) และ E′(3, -2)

2)

จากรปจะได ∆ A′B′C′เปนภาพทไดจากการสะทอน∆ ABC และมพกดดงนA′(-3, 3), B′(1, 4) และC′(2, 1)

2D

0C′

A′ B′

D′ 4 6 8 10 X

-2

-4

-2-4-6

2

4

6Y

C

BA

X2 4 6-2-4

2

4Y

-2

AB

CD

E0

D′

B′

C′

E′

l

8

A′

l

A

BC

2 4 6 X

Y42

-2-4-6-2

-4

0

A′B′

C′

63

3)

จากรปจะไดรป P′Q′R′เปนภาพทไดจากการสะทอนรป PQR และมพกดดงนP′(3, 0), Q′(-3, 4) และR′(4, 5)

4. ประมาณ 42 ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “สารวจการหมน”

1. ไมใช2. ไมจาเปน3. ใช4. ทบไดสนท

คาตอบกจกรรม “สมมาตรการหมน”

รปซายมอ เกดจากการหมนรปสามเหลยมทวนเขมนาฬกา หรอตามเขมนาฬกา รอบจดศนยกลางของวงกลมดวยมมทมขนาด 60o ตอเนองกนไปจนครบรอบ

รปขวามอ เกดจากการหมนรปสามเหลยมทวนเขมนาฬกา หรอตามเขมนาฬกา รอบจดศนยกลางดวยมมทมขนาด 120o ตอเนองกนไปจนครบรอบ


1.1) A′(-3, -4) 2) B′(3, 2)3) C′(4, 1) 4) D′(-4, 3)

l

0 2 4 6-2-4-6

2

4

6

-2

X

YP

RQ

P′

R′Q′

64

2.1)

จากรปจะไดรป ข เปนภาพทไดจากการหมนรป ก รอบจด P ทวนเขมนาฬกา 45 องศา

2)

จากรปจะไดรป ข เปนภาพทไดจากการหมนรป ก รอบจด P ตามเขมนาฬกา 90 องศา

3)จากรปจะไดรป ข เปนภาพทไดจากการหมนรป ก รอบจด P ตามเขมนาฬกา 180 องศา

4)จากรปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพทไดจากการหมน ∆ ABC ทวนเขมนาฬกา 60 องศา

ก

ข

P

กPข

ก

ขP

A′

B′

C′

B

A

C

P

65

3.1)

จากรปจะไดจด R เปนจดหมน

2)

จากรปจะไดจด P เปนจดหมน

3)

จากรปจะไดจด O เปนจดหมน

4)

จากรปจะไดจด Q เปนจดหมน

ก

R

ข

P

ก

ข

O

ข

ก

ข

Q ก

66

4.

จากรปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพทไดจากการหมน ∆ ABC และมพกดดงนA′(3, 3), B′(4, 6) และ C′(8, 4)

5.

จากรปจะได ∆ OA′B′ เปนภาพทไดจากการหมน ∆ OAB และพกดจด A′และ B′ เปน (-1, 4) และ (-4, 4)ตามลาดบ

6. ประมาณ 56.25 ตารางเซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “แปลงแบบใด”

1. เปนภาพทไดจากการหมน2. เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน3. เปนภาพทไดจากการสะทอน4. เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน5. เปนภาพทไดจากการสะทอน6. เปนภาพทไดจากการหมน

2 4 6 8 X

Y

2

4

6

-2-4-2

-4

-6

-8

AB

C

C′

B′

A′

0

O 2 4 6-2-4-6

2

4

A

BA′B′

X

Y

67

คาตอบกจกรรม “แปลงอยางไร”

คาตอบอาจตอบไดแตกตางกนตวอยางคาตอบ

1. รป B เกดจากการเลอนขนานรป A มาทางขวา 6 หนวย2. รป C เกดจากการสะทอนรป B ดวยเสนสะทอน ซงขนานและอยหางจากแกน Y มาทางขวา 2 หนวย3. รป A เกดจากการเลอนขนานรป D มาทางซาย 1 หนวย แลวหมนรป D รอบจดหมน (-9, 2) ทวนเขมนาฬกา ดวยมมทมขนาด 90 องศา4. รป E เกดจากการเลอนขนานรป B ลงมา 2 หนวย แลวหมนรป B รอบจดหมน (-2, -1) ตามเขม นาฬกา ดวยมมทมขนาด 90 องศา5. รป C เกดจากการเลอนขนานรป E ขนไป 6 หนวย แลวใชการหมนทวนเขมนาฬกา ดวยมมทมขนาด 90 องศา จากนนเลอนขนานรป E ขนไปอก 4 หนวย6. รป D เกดจากการเลอนขนานรป E มาทางซาย 7 หนวย แลวใชการสะทอนรป E ดวยเสนสะทอนท เปนแกน X

คาตอบกจกรรม “หาไดหรอไม”

1. ประมาณ 12 ตารางหนวย2. ประมาณ 2.25 ตารางหนวย3. ประมาณ 7

88 ตารางหนวย 4. ประมาณ 1.54 ตารางหนวย5. ประมาณ 36 – 9π ตารางหนวย6. ประมาณ 8 ตารางหนวย7. ประมาณ 12 ตารางหนวย

68

คาตอบกจกรรม “การสะทอนแบบไกลด”

ไดผลการแปลงเชนเดยวกน เพราะภาพทไดจากการแปลงสดทายมลกษณะเปนอยางเดยวกน ดงรป

Q P

A″ B″

C″

A′ B′

C′

A B

CX Y

69

แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ

70


กจกรรมนตองการใหนกเรยนเกดความคดรวบยอดเกยวกบการเลอนจดบนระนาบในระบบพกดฉาก ดวยเวกเตอรทขนานกบแกน X หรอขนานกบแกน Y และฝกทกษะการหาพกดของจดทไดจากการเลอนขนาน

1. กาหนด AB เปนเวกเตอรของการเลอนขนาน PQ จงหาพกดของจด P′ และ Q′ ซงเปนภาพทได จากการเลอนขนาน PQ พรอมทงบอกพกดของจด P′ และจด Q′

2. กาหนด AB เปนเวกเตอรของการเลอนขนาน ∆ PQR จงหา ∆ P′Q′R′ ซงเปนภาพทไดจากการ เลอนขนาน ∆ PQR พรอมทงบอกพกดของจด P′, Q′ และ R′

2 4

2

0-2

-2-4

B

AQP

Y

X

X2 4 6 8-2-4-6-8

Y

0

P

Q R

B A

2

4

6

-2

-4

-6

71

3. กาหนด ST เปนเวกเตอรของการเลอนขนาน ∆ ABC จงหา ∆ A′B′C′ ซงเปนภาพทไดจากการ เลอนขนาน ∆ ABC พรอมทงบอกพกดของจด A′, B′ และ C′

คาตอบแบบฝกหดเพมเตม 4.1

1.

จากรปจะได พกดของจด P′ และจด Q′ เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน PQ และมพกดดงน P′(-4, 1) และQ′(-2, 1)

-4 -2-8 42 6 8-6 0-2

-4

-6

2

4

6

X

Y

S T

C

A

B

2 4

2

0-2

-2-4

B

AQP

Y

XP′(-4, 1)

Q′(-2, 1)

72

2.

จากรปจะได ∆ P′Q′R′ เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ∆ PQR และมพกดดงน P′(-4, 6), Q′(-8, 2) และ R′(0, 2)

3.

จากรปจะได ∆ A′B′C′ เปนภาพทไดจากการเลอนขนาน ∆ ABC และมพกดดงน A′(4, -4), B′(8, -6) และ C′(10, -2)

-4 -2-8 42 6 8-6 0-2

-4

-6

2

4

6

X

Y

S T

C

A

B

10C′(10, -2)

A′(4, -4)

B′(8, -6)

X2 4 6 8-2-4-6-8

Y

0

P

Q R

B A

P′(-4, 6)

R′(0, 2)Q′(-8, 2) 2

4

6

-2

-4

-6

บทท 5ความเทากนทกประการ (14 ชวโมง)

5.1 ความเทากนทกประการของรปเรขาคณต (2 ชวโมง) 5.2 ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม (1 ชวโมง) 5.3 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน (3 ชวโมง)

5.4 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม (3 ชวโมง)5.5 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชวโมง)

5.6 การนาไปใช (3 ชวโมง)

เนอหาสาระทนาเสนอในบทน ตองการใหนกเรยนเขาใจและสามารถใชบทนยามและสมบตตาง ๆเกยวกบความเทากนทกประการในการใหเหตผลเบองตนทางเรขาคณต โดยเสนอในลกษณะเชอมโยงกบความรเรองการแปลงทางเรขาคณตทนกเรยนไดเรยนแลว ในเรองความเทากนทกประการของรปสามเหลยมมจดประสงคใหนกเรยนสามารถบอกไดวามเงอนไขอยางไร รปสามเหลยมสองรปจงจะเทากนทกประการในขนแรกจะใชวธลอกรปไปทบกน เพอใหนกเรยนมความเขาใจวาการทรปสามเหลยมสองรปจะเทากนทกประการไดนน รปสามเหลยมทงสองรปจะตองทบกนสนท ในขนตอไปจงจะกลาวถงเงอนไขทจะบอกใหทราบวารปสามเหลยมสองรปเทากนทกประการหรอไม โดยไมตองอาศยการลอกรปหรอนารปไปทบกนแตจะอาศยความสมพนธตามเงอนไขทกาหนดของดานและมมของรปสามเหลยมสองรปในการพจารณา

การใชสญลกษณแสดงความสมพนธของรปสามเหลยมสองรปทจะนาไปสรปเปนความเทากนทกประการ จะตองเปนไปตามเงอนไขของความสมพนธของรปสามเหลยมสองรปนน จะเขยนสลบตาแหนงกนไมได เชน รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน เขยนแทนดวย ด.ม.ด. จะเขยนเปน ด.ด.ม. ไมได เพราะไมเปนไปตามขอตกลง

การนาเสนอเนอหาในบทนยงมตวอยางใหนกเรยนเหนความเชอมโยงของบทเรยนกบชวตจรง เพอนาสาระความรไปอธบายและแกปญหาได

ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 1. ระบดานและมมคทมขนาดเทากนของรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ 2. ระบไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน เทากนทกประการ 3. ระบไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม เทากนทกประการ 4. ระบไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากนทกประการ 5. ใชสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมในการใหเหตผลได

74


5.1 ความเทากนทกประการของรปเรขาคณต (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกเงอนไขททาใหรปเรขาคณตสองรปเทากนทกประการได 2. บอกสมบตของความเทากนทกประการได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครทบทวนเรองการแปลงทางเรขาคณตเกยวกบการสะทอน การเลอนขนาน และการหมน ซงเปนตวอยางของการเคลอนทรปเรขาคณตบนระนาบ โดยทระยะหางระหวางจดสองจดใด ๆ ของรปนนไมเปลยนแปลง เพอนาเขาสบทนยามของความเทากนทกประการของรปเรขาคณตบนระนาบ ซงกลาววา“รปเรขาคณตสองรปเทากนทกประการ กตอเมอ เคลอนทรปหนงใหทบอกรปหนงไดสนท” การนาบทนยามนไปใชตรวจสอบความเทากนทกประการของรปเรขาคณต จงอาจทาไดโดยใชกระดาษลอกลายลอกรปหนงแลวนาไปทบอกรปหนง 2. เพอเสรมสรางความเขาใจเกยวกบความเทากนทกประการของรปเรขาคณต ครอาจใชตวอยางทมอยในชวตจรง เชน รปทไดจากการถายเอกสาร รปเรขาคณตสองรปในแตละขางของแกนสมมาตรของรปสมมาตรบนเสน ซงสามารถตรวจสอบความเทากนทกประการไดโดยการพบรปตามแนวแกนสมมาตรไดดงรป

3. สมบตของความเทากนทกประการของสวนของเสนตรงและความเทากนทกประการของมมเปนพนฐานทสาคญของการศกษาเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม ในเรองสมบตของความเทากนทกประการของสวนของเสนตรง ครควรยาใหนกเรยนเหนวา“ถาสวนของเสนตรงสองเสนเทากนทกประการ แลวสวนของเสนตรงทงสองเสนนนยาวเทากน และถาสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากน แลวสวนของเสนตรงทงสองเสนนนเทากนทกประการ” ในการนาสมบตนไปใช จงไดวา AB ≅ CD และ AB = CD สามารถใชแทนกนได สาหรบในเรองสมบตของ

75

ความเทากนทกประการของมม ครควรยาใหนกเรยนเหนวา “ถามมสองมมเทากนทกประการ แลวมมทงสองมมนนมขนาดเทากน และ ถามมสองมมมขนาดเทากน แลวมมทงสองมมนนเทากนทกประการ”และครควรชแจงขอตกลงเกยวกบการใชสญลกษณแทนความเทากนของขนาดของมมวา ตอไปนจะใช ∧A =

∧B แทน )Am(

∧ = )Bm(

∧

4. กจกรรม “สมบตอน ๆ ของความเทากนทกประการ” เปนการแสดงใหเหนวาความเทากนทกประการเปนความสมพนธสมมล (eguivalence relation) กลาวคอมสมบตสะทอน สมบตสมมาตรและสมบตถายทอด ซงเปนพนฐานสาคญทนาไปใชในการพสจนทางเรขาคณตเกยวกบความเทากนทกประการ

5. หลงจากทนกเรยนไดศกษาตวอยางหนา 205 – 206 และทาแบบฝกหด 5.1 แลว นกเรยนจะไดแนวคดวา “รปเรขาคณตสองรปเทากนทกประการ กตอเมอรปเรขาคณตทงสองรปนน มรปรางเหมอนกน(same shape) และมขนาดเทากน (same size)” ความรความเขาใจในเรองน นกเรยนสามารถนาไปใชตรวจสอบความเทากนทกประการของรปสามเหลยมและรปหลายเหลยมอน ๆ โดยการพจารณาจากรปรางและขนาดของรป 6. ครอาจจดกจกรรมเพมเตมทเปนการนาความรเกยวกบความเทากนทกประการมาใช เชนการสรางรปใหเทากนทกประการโดยเขยนรปทตองการบนกระดาษแผนหนงเพอเปนแบบ แลวนากระดาษแผนนนไปวางซอนบนกระดาษอกแผนหนง เมอตดกระดาษตามแบบทเขยนไว จะไดรปสองรปทเทากนทกประการ

76

5.2 ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม (1 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกไดวารปสามเหลยมสองรปเทากนทกประการ กตอเมอ ดานคทสมนยกนและมมคทสมนย กนของรปสามเหลยมทงสองรปนน มขนาดเทากนเปนค ๆ 2. บอกดานคทยาวเทากนและมมคทมขนาดเทากนของรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ ได

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครอาจเรมตนบทเรยนโดยทบทวนบทนยามของความเทากนทกประการของรปเรขาคณต เพอนามาใชสารวจ คนหา สมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยม จากการลงมอปฏบตโดยใชกระดาษลอกลายลอกรปสามเหลยมรปหนงไปทบรปสามเหลยมอกรปหนง จากสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยม ครควรเชอมโยงใหนกเรยนเหนวาการตรวจสอบความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรป ในเบองตนนเราตองตรวจสอบความเทากนถง 6 ค ไดแก การตรวจสอบวาดานคทสมนยกน 3 ค แตละคยาวเทากนหรอไม และมมคทสมนยกน 3 ค แตละคมขนาดเทากนหรอไม ครอาจหาตวอยางเพมเตม โดยกาหนดรปสามเหลยมทเทากนทกประการใหสองรป แลวใหนกเรยนคะเนดวยสายตาเพอหาดานคทสมนยกน และมมคทสมนยกน เพอนาเขาสการทาแบบฝกหด 5.2ขอ 1 เชน

จากรปมดานคทสมนยกนยาวเทากนและมมคทสมนยกนมขนาดเทากน ดงน AB = CD, BD = DB, DA = BC

DBA∧

= BDC∧

, ADB∧

= CBD∧

และ BAD∧

= DCB∧

2. ครยาเกยวกบการเขยนสญลกษณแสดงรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการ ซงนยมเขยนตวอกษรเรยงตามลาดบของมมคทสมนยกนและดานคทสมนยกน เพอใหนกเรยนเกดความเคยชนในการเขยนและการนาไปใช เชน

A B

CD

77

ในทนควรเขยน ∆ ABC ≅ ∆ DEF หรออยางใดอยางหนงคอ ∆ BCA ≅ ∆ EFD และ∆ CAB ≅ ∆ FDE 3. ในการทาแบบฝกหดขอ 2 หนา 210 อาจแนะใหนกเรยนเขยนดานคทสมนยกนยาวเทากนและมมคทสมนยกนมขนาดเทากน โดยไมตองเขยนรปกอน เพอเปนการฝกการนกภาพในจนตนาการ ถาทาไมไดจงใหเขยนรป เชน เมอกาหนดให

∆ EAT ≅ ∆ FAT

จะได ∆ EAT ≅ ∆ FAT ดานคทสมนยกน คอ EA = FA, AT = AT และ TE = TF

และมมคทสมนยกนคอ TAE∧

= TAF∧

, ETA∧

= FTA∧

และ AET∧

= AFT∧

ซงสามารถเขยนแสดงตวอยางของรปสามเหลยมสองรปทเทากนทกประการไดดงน

4. กจกรรม “ความเทากนทกประการของรปหลายเหลยม” เปนการขยายฐานความรจากความเทากนทกประการของรปสามเหลยมไปสรปหลายเหลยมอน ๆ

5.3 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน เทากนทกประการ 2. นาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน ไปใชอางองในการพสจน

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครควรยาใหนกเรยนเหนวาการตรวจสอบความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรปตองตรวจสอบการเทากนของความยาวของดานทสมนยกน 3 ค และการเทากนของขนาดของมมคทสมนย

A B

C

D E

F

E F

A

T

78

กนอก 3 ค และแนะนาวาในบทเรยนตอไปนเราสามารถตรวจสอบการเทากนของความยาวของดานหรอขนาดของมมเพยง 3 ค ตามเงอนไขทกาหนด กเปนการเพยงพอทจะสรปวารปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการ

ครแนะนารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – มม – ดาน โดยใชกจกรรม “สารวจดาน – มม – ดาน” ใหนกเรยนสารวจวารปสามเหลยมสองรปเทากนทกประการหรอไม จากการลงมอปฏบตโดยใชวธลอกรปไปทบกนเพอเชอมโยงสกรณทวไปทวา “รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบดาน – มม – ดาน จะเทากนทกประการ” ครควรยาวา “รปสามเหลยมทงสองรปดงกลาวน มดานยาวเทากนสองค และมมทมขนาดเทากนนนตองเปนมมทอยในระหวางดานคทยาวเทากน จงจะเปนเงอนไขทเพยงพอทจะสรปวารปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการ” ครใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางรปสามเหลยมสองรปทมดานยาวเทากนสองค และมมทมขนาดเทากนไมเปนมมทอยในระหวางดานคทยาวเทากน เชน

จากรป เหนไดชดวา ∆ ABC และ ∆ DEF ไมเทากนทกประการ2. ในหวขอนนกเรยนจะฝกการใหเหตผลแบบนรนยดวยการพสจนอยางเปนแบบแผน โดยไม

เนนการใชตาราง จากโจทยปญหาการพสจนครอาจแนะนาใหดาเนนการดงน 1) นกเรยนอานและทาความเขาใจโจทยปญหา ดวยการพจารณาวาโจทยกาหนดอะไรใหบางและโจทยตองการใหพสจนอะไรโดยนามาเขยนแสดงใน “กาหนดให” และ “ตองการพสจนวา” ตามลาดบ 2) ในการพสจน ครอาจใชคาถามใหนกเรยนวเคราะหยอนกลบจาก “ตองการพสจนวา”ผนวกกบ “บทนยาม/สมบต” เพอหาเหตผลเชอมโยงยอนกลบส “กาหนดให” การตอบคาถามของนกเรยนจะทาใหไดแนวทางในการเขยนแสดงการพสจน ซงนกเรยนจะตองพจารณาวา มขอมลใดบางจากทระบใน“กาหนดให” ทนามาใชไดผนวกกบ “บทนยาม/สมบต” ทนกเรยนเคยศกษามาแลว นามาเขยนอธบายเชอมโยงสขอสรปตามทระบไวใน “ตองการพสจนวา” ขอแนะนาดงกลาวขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดงน

F

D EA B

C

79

การวเคราะหยอนกลบ การเขยนแสดงการพสจน

ตวอยาง จากแบบฝกหด 5.3 ขอ 6 ขอมลจากโจทยนามาเขยน “กาหนดให” และ “ตองการพสจนวา”ไดดงน กาหนดให BC = AD และ CBA∧ = DAB∧

ตองการพสจนวา AC = BD และ CAB∧ = DBA∧

ในการวเคราะหยอนกลบ ครใชการถามตอบจาก “ตองการพสจนวา” ไปส “กาหนดให” และสมบตของรป ไดดงแผนภาพตอไปน

A B

DC

กาหนดให

วเคราะห “เหต” ททาใหเกด “ผล”

บทนยาม/สมบตขอสรปตามทระบในตองการพสจนวา กาหนดให

อธบาย ใหเหตผล

บทนยาม/สมบต

ขอสรปตามทระบในตองการพสจนวา

BC = ADCBA

∧

= DAB∧

และ AB เปนดานรวม

กาหนดให กาหนดให

∆ ABC ≅ ∆ BAD

AC = BDCAB

∧

= DBA∧ ตองการพสจนวา

80

จากแผนภาพขางตน เขยนแสดงการพสจนจาก “กาหนดให” ไปส “ตองการพสจนวา” ไดดงนพสจน พจารณา ∆ ABC และ ∆ BAD BC = AD (กาหนดให) CBA∧ = DAB∧ (กาหนดให) AB = BA ( AB เปนดานรวม) ดงนน ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ม.ด.) จะได AC = BD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) และ CAB∧ = DBA∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน)

3. ครควรฝกใหนกเรยนใชการวเคราะหยอนกลบในการพสจนทางเรขาคณต ซงสวนใหญจะทาใหนกเรยนสามารถพสจนไดดวยตนเอง การฝกดงกลาวในระยะแรก ครควรใชการถามตอบเพอเปนแนวทางกอน หลงจากนนจงใหนกเรยนวเคราะหดวยตนเอง

5.4 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม เทากนทกประการ 2. นาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม ไปใชอางองในการพสจน

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครแนะนารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม และใหนกเรยนสารวจวา รปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการหรอไม โดยใชกจกรรม “สารวจมม – ดาน – มม” กจกรรมนจะทาใหนกเรยนคนเคยกบรปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ม.ด.ม. และเชอมโยงสสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมทวา “รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบ มม – ดาน – มม จะเทากนทกประการ” ซงเปนอกเงอนไขหนงในการตรวจสอบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม ทพจารณาจากความเทากนของขนาดของมมสองค และความยาวของดานซงเปนแขนรวมของมมทงสองเทานน

81

5.5 รปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกไดวารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากนทกประการ 2. นาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางองในการพสจน

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครแนะนารปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน และใหนกเรยนสารวจวารปสามเหลยมสองรปนนเทากนทกประการหรอไม โดยใชกจกรรม “สารวจดาน – ดาน – ดาน” เพอใหนกเรยนคนเคยกบรปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ด.ด.ด. และเชอมโยงสสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมทวา “รปสามเหลยมสองรปทมความสมพนธกนแบบ ดาน – ดาน – ดาน จะเทากนทกประการ” ซงเปนอกเงอนไขหนงในการตรวจสอบความเทากนทกประการของรปสามเหลยมโดยพจารณาจากความยาวทเทากนของดานสามคเทานน โดยไมตองพจารณาจากขนาดของมม

5.6 การนาไปใช (3 ชวโมง)จดประสงค นกเรยนสามารถ 1. บอกสมบตของรปสามเหลยมหนาจวได 2. นาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมสองรปทสมพนธกนแบบใดแบบ หนงคอ ดาน – มม – ดาน มม – ดาน – มม และดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางองในการ พสจนและแกปญหาได


ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ในการจดกจกรรมเกยวกบรปสามเหลยมหนาจว ครควรยกตวอยางรปสามเหลยมหนาจวทอยในสงแวดลอมรอบตว เพอนาเขาสบทนยามของรปสามเหลยมหนาจวบนระนาบ ทกลาววา“รปสามเหลยมหนาจว คอ รปสามเหลยมทมดานสองดานยาวเทากน” 2. สาหรบกจกรรม “สารวจรปสามเหลยมหนาจว” มเจตนาใหนกเรยนสารวจและคนหาสมบตของรปสามเหลยมหนาจวดวยตนเอง โดยใชคาถามเปนกรอบในการกระตนใหนกเรยนคนหาคาตอบ และนาสมบตของความเทากนทกประการมาใชในการอธบายใหเหตผล นอกจากนครควรแนะนาใหนกเรยนแยกแยะระหวางบทนยามกบสมบตของรปสามเหลยมหนาจว เชน “มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวม

82

ขนาดเทากน” เปนสมบตไมใชบทนยาม แตอยางไรกตามนกเรยนสามารถนาทงบทนยามและสมบตของรปสามเหลยมหนาจวไปใชอางองในการพสจนได 3. ในตวอยางท 2 ของหวขอนไดแสดงการนาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมไปใชในการพสจนการสรางพนฐานบางขอทางเรขาคณตทนกเรยนเคยเรยนมาแลว เพอเปนการยนยนวาผลจากการสรางนนเปนจรง รปแบบการเขยนแสดงคาตอบของโจทยปญหาเกยวกบการสรางในชนนจะประกอบดวย รปทสราง กาหนดให ตองการสราง วธสราง ตองการพสจนวา และ พสจน สาหรบการพสจน ขอมลทนามาใชอางเหตผลในโจทยปญหาเกยวกบการสรางมความแตกตางจากโจทยปญหาการพสจนทวไป กลาวคอ สามารถนากาหนดให บทนยาม/สมบต และ ขนตอนในวธสรางมาเชอมโยงเปนเหตผล เพอนาไปสขอสรปตามทตองการ 4. เพอใหนกเรยนเหนความเชอมโยงของเนอหาสาระเรองความเทากนทกประการกบชวตจรง ครอาจใหนกเรยนทากจกรรมเสนอแนะ 5.6 เพมเตม

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรมคาตอบกจกรรม “สมบตอน ๆ ของความเทากนทกประการ”

1. เทากนทกประการ2. เทากนทกประการ3. เทากนทกประการ

คาตอบกจกรรม “ทาอยางไร”

83

80o

30o

A

70o

B C

D80o

30o70o

E F


1. เปนจรง เพราะ ความเทากนทกประการ มสมบตถายทอด2. เปนจรง เพราะ ความเทากนทกประการ มสมบตสมมาตร3. เปนจรง เพราะ รปสเหลยมจตรสสองรปนน มรปรางเหมอนกน มดานยาวเทากน วางทบกนได สนท จงเปนรปสเหลยมจตรสทเทากนทกประการ4. ไมเปนจรง เพราะ รปสเหลยมผนผาสองรปทมพนทเทากนอาจมความกวางและความยาวไมเทากน จงไมจาเปนตองเปนรปทเทากนทกประการดงตวอยาง ABCD และ PQRS

5. ไมเปนจรง เพราะ รปสามเหลยมสองรปทมขนาดของมมเทากนสามค ไมจาเปนตองมความยาว ของดานเทากน ดงตวอยาง ∆ ABC และ ∆ DEF

6. เปนจรง เพราะ รปสามเหลยมดานเทาสองรปนน มรปรางเหมอนกน มดานยาวเทากน วางทบกนไดสนท จงเปนรปสามเหลยมทเทากนทกประการ7. เปนจรง เพราะ รปหกเหลยมดานเทามมเทาสองรปนน มรปรางเหมอนกน มดานยาวเทากนกบ รศมของวงกลมเดยวกน วางทบกนไดสนท จงเปนรปหกเหลยมทเทากน ทกประการ8. ไมเปนจรง เพราะ รปสเหลยมสองรปทมดานยาวเทากนทงสดานอาจเปนรปสเหลยมจตรสและเปน รปสเหลยมขนมเปยกปน ซงมขนาดของมมไมเทากน จงไมจาเปนตองเปน รปสเหลยมทเทากนทกประการ

20 ตารางหนวย 4

5P Q

RS

20 ตารางหนวย 210A B

CD

84

คาตอบแบบฝกหด 5.21. 1) AB กบ XY

∧

A กบ ∧

X BC กบ YZ และ

∧

B กบ ∧

Y AC กบ XZ

∧

C กบ ∧

Z

2) PQ กบ PS RQP∧

กบ RSP∧

PR กบ PR และ RPQ∧

กบ RPS∧

QR กบ SR QRP

∧

กบ SRP∧

3) MP กบ NP OMP∧

กบ ONP∧

PO กบ PO และ MOP∧

กบ NOP∧

MO กบ NO OPM

∧

กบ OPN∧

4) XO กบ YO OXA∧

กบ OYB∧

AO กบ BO และ AOX∧

กบ BOY∧

AX กบ BY OAX∧

กบ OBY∧

2.1) AB = ED CAB

∧

= FED∧

BC = DF และ CBA

∧

= FDE∧

AC = EF BCA

∧

= DFE∧

2) TO = GU PTO∧

= NGU∧

OP = UN และ POT

∧

= NUG∧

TP = GN OPT

∧

= UNG∧

3) BI = BO GBI∧

= YBO∧

IG = OY และ GIB

∧

= YOB∧

BG = BY IGB

∧

= OYB∧

85

4) CA = RA TCA∧

= TRA∧

AT = AT และ TAC

∧

= TAR∧

TC = TR ATC

∧

= ATR∧

คาตอบกจกรรม “ความเทากนทกประการของรปหลายเหลยม”

AC กบ RS ∧

A กบ ∧

R CK กบ SE

∧

C กบ ∧

S KB กบ EH และ

∧

K กบ ∧

E BL กบ HO

∧

B กบ ∧

H LA กบ OR

∧

L กบ ∧

O

คาตอบกจกรรม “สารวจ ดาน – มม – ดาน”

รปสามเหลยมสองรปทกาหนดใหในแตละขอเทากนทกประการ

คาตอบและแนวการพสจนแบบฝกหด 5.3

1. เทากนทกประการ เพราะ ∆ WSN และ ∆ ENS มความสมพนธแบบ ด.ม.ด.

2.

เนองจาก PS = RS (กาหนดให) QPS

∧

= QRS∧

(กาหนดให) PQ = RQ (กาหนดให) ดงนน ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.)

N E

SW

S Q

P

R

86

3.

เนองจาก AC = DO (กาหนดให) BCA

∧

= EOD∧

(กาหนดให)BC = EO (กาหนดให)

ดงนน ∆ ACB ≅ ∆ DOE (ด.ม.ด.)

4.

เนองจาก NK = LM (ดานของรปสเหลยมจตรสยาวเทากน) LKN

∧

= NML∧

(มมภายในแตละมมของรปสเหลยมจตรส มขนาด 90o)

KL = MN (ดานของรปสเหลยมจตรสยาวเทากน)ดงนน ∆ NKL ≅ ∆ LMN (ด.ม.ด.)

5.

เนองจาก AD = BC (ดานของรปสเหลยมจตรสยาวเทากน) DAM

∧

= CBM∧

(มมภายในแตละมมของรปสเหลยมจตรส มขนาด 90o)

AM = BM (กาหนดใหจด M เปนจดกงกลางของ AB )จะได ∆ ADM ≅ ∆ BCM (ด.ม.ด.)

A

D

EO

CB

K L

MN

A M B

CD

87

ดงนน DM = CM (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

และ MDA ∧ = MCB ∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน)

6. ดรายละเอยดหนา 80 – 81

7.

เนองจาก AP = CP (กาหนดให BD แบงครง AC ทจด P) BPA

∧

= DPC∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม มขนาดเทากน)

BP = DP (กาหนดให AC แบงครง BD ทจด P)จะได ∆ ABP ≅ ∆ CDP (ด.ม.ด.)

ดงนน AB = CD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

และ PBA∧

= PDC∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน) ในทานองเดยวกนจะพสจนไดวา AD = CB และ PAD

∧

= PCB∧

8. 12 เซนตเมตร จากกาหนดใหจะพสจนไดวา ∆ AIP ≅ ∆ ARL (ด.ม.ด.) จะได AP = AL เนองจาก AP = 12 เซนตเมตร ดงนน AL = 12 เซนตเมตร

A B

CD

P

A

P R I L

88

คาตอบกจกรรม “สารวจ มม – ดาน – มม”

รปสามเหลยมสองรปทกาหนดใหในแตละขอ เทากนทกประการ


1. เทากนทกประการ เพราะ ∆ ABC และ ∆ DEF มความสมพนธแบบ ม.ด.ม.

2.

เนองจาก TRA∧

= CIP∧

(กาหนดให) RT = IC (กาหนดให)

RTA∧

= ICP∧

(กาหนดให) ดงนน ∆ ART ≅ ∆ PIC (ม.ด.ม.)

3.

เนองจาก OAB∧

= OCD∧

(กาหนดให) AO = CO (กาหนดให)

BOA∧

= DOC∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม มขนาดเทากน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COD (ม.ด.ม.) ดงนน BO = DO (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

A

C

B

E

F

D

IAPR

T C

OA

B D

C

89

4.

เนองจาก EDA∧

= SKA∧

(กาหนดให) AD = AK (กาหนดให)

EAD∧

= SAK∧

(กาหนดให) จะได ∆ ADE ≅ ∆ AKS (ม.ด.ม.) ดงนน AE = AS (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

5.

เนองจาก TQP∧ = SRP

∧

(กาหนดให) PQ = PR (กาหนดให)

TPQ∧

= SPR∧

( TPQ∧

เปนมมรวม) ดงนน ∆ PQT ≅ ∆ PRS (ม.ด.ม.)

6.

เนองจาก BDA∧ = ACB

∧

(กาหนดให) DB = CA (กาหนดให)

DBA∧

= CAB∧

(กาหนดให)

D E S K

A

P

S T

RQ

D C

BA

90

A B

E

CFD

50o

50o

30 ซม.

30 ซม.

จะได ∆ ADB ≅ ∆ BCA (ม.ด.ม.)

ดงนน BAD∧

= ABC∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน)

7.

เนองจาก FAD∧ = EAB

∧

(กาหนดให) AD = AB (ดานของรปสเหลยมจตรสยาวเทากน)

FDA∧

= EBA∧

(มมภายในแตละมมของรปสเหลยมจตรส มขนาด 90 องศา) จะได ∆ ADF ≅ ∆ ABE (ม.ด.ม.) ดงนน AF = AE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

8. ความคดของรานคาถกตอง

เมอให ∆ ABO และ ∆ DCO แทนรปใบพด แตละขางและจด O เปนจดหมนของใบพด

OBA∧

= OCD∧

= 50o (กาหนดให) BO = CO = 30 ซม. (กาหนดให)

BOA∧

= COD∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม มขนาดเทากน) ดงนน ∆ ABO ≅ ∆ DCO (ม.ด.ม.) นนคอ แบบใบพดสองขางมขนาดเทากน

BO

AC

D

91

คาตอบกจกรรม “สารวจ ดาน – ดาน – ดาน”

รปสามเหลยมสองรปในแตละขอเทากนทกประการ

แนวการพสจนแบบฝกหด 5.5

1.

เนองจาก AB = CD (กาหนดให) DA = BC (กาหนดให)

BD = DB ( BD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ด.ด.ด)ดงนน BD แบงรปสเหลยม ABCD ออกเปนรปสามเหลยมสองรปทเทากน

ทกประการ

2.

เนองจาก AC = BD (กาหนดให) BC = AD (กาหนดให)

AB = BA ( AB เปนดานรวม)จะได ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ด.ด)

ดงนน BCA∧

= ADB∧


D

CB

A

C

A B

D

92

3.

เนองจาก AB = AC (กาหนดให) BD = CD (กาหนดให)

AD = AD ( AD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD = ∆ ACD (ด.ด.ด)

ดงนน DAB∧

= DAC∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน) นนคอ AD แบงครง CAB

∧

4.

เนองจาก CT = MN (กาหนดให) AT = AN (กาหนดให)

AC = AM (กาหนดให)จะได ∆ ACT ≅ ∆ AMN (ด.ด.ด)

ดงนน TAC∧

= NAM∧


A

D

B C

C

T

A

N

M

93

5.

เนองจาก PS = QR (กาหนดให) PR = QS (กาหนดให)

SR = RS (SR เปนดานรวม)จะได ∆ PSR ≅ ∆ QRS (ด.ด.ด)

ดงนน RSP ∧ = SRQ ∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน) เนองจาก RSP ∧ = 100o (กาหนดให) ดงนน SRQ ∧ = 100o (สมบตถายทอด)

คาตอบกจกรรม “สารวจรปสามเหลยมหนาจว”

กจกรรมท 11. เทากนทกประการ เพราะ มความสมพนธแบบ ด.ม.ด.2. เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน3. เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน4. เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน5. เทากน 6. 180o เพราะ BDA

∧

+ CDA∧

= CDB∧

ทเปนมมตรงมขนาด 180 o

7. BDA∧

= 90o เพราะ เนองจาก BDA

∧

= CDA∧

จะได B)D2(A∧

= BDA∧

+ CDA∧

= 180 o (สมบตของการเทากน)

ดงนน BDA∧

= 2180 = 90 o

8. AD ตงฉากกบ BC เพราะ BDA∧

มขนาด 90 o

Q

S R

P

94

กจกรรมท 21. ∆ ABD ≅ ∆ ACD เพราะ มความสมพนธแบบ ด.ด.ด.2. เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน3. AD ตงฉากกบ BC เพราะ ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว และ AD แบงครง CAB

∧

ทเปนมมยอด จงมผลเปนไปตามขอ 8 ของกจกรรมท 1


1. 13, 13 เซนตเมตร หรอ 10, 16 เซนตเมตร แนวคด กรณท 1 ถาใหฐานของรปสามเหลยมหนาจวยาว 10 เซนตเมตร จะไดความยาวของดานประกอบมมยอดแตละดานเปน 13 เซนตเมตร

กรณท 2 ถาใหดานประกอบมมยอดของรปสามเหลยมหนาจวยาวดานละ 10 เซนตเมตร จะไดความยาวของฐานเปน 16 เซนตเมตร

2. 64, 64 องศา หรอ 52, 76 องศา แนวคด กรณท 1 ถาใหมมยอดของรปสามเหลยมหนาจวมขนาด 52 องศา

จะไดมมทฐานมขนาดมมละ 252 180 − = 64oA

52o

B C

A

B C10 ซม.

B C10 ซม.

A

95

กรณท 2 ถาใหมมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวมขนาดมมละ 52 องศา จะไดขนาดของมมยอดเปน 180 – 2(52) = 180 – 104 = 76o

3. ม 3 รป แนวคด เนองจาก มสมบตประการหนงของรปสามเหลยมกลาววา “ผลบวกของความยาวของดานสองดาน ของรปสามเหลยมยาวกวาดานทสาม” ดงนน ความยาวของดานทงสามของรปสามเหลยมหนาจวทมความยาวรอบรป 16 หนวย จงมได ดงน

ความยาวของดานประกอบมมยอด(หนวย)

ความยาวของฐาน(หนวย)

765

765

246

4.

1) เทากน เนองจาก AC = AD (กาหนดให) จะได ∆ ACD เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานยาวเทากนสองดาน) ดงนน DCA

∧

= CDA∧

(มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจว มขนาดเทากน) DCA

∧

= BCF∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกนแลว มมตรงขามม และ CDA

∧

= EDG∧

ขนาดเทากน) นนคอ BCF

∧

= EDG∧

(สมบตถายทอด)

B E

A

C DF G

A

52o52o

B C

96

2) เทากน เนองจาก ACB∧

+ DCA∧

= ADE∧

+ CDA∧

= 180o (แตละคเปนมมตรง มขนาด 180 องศา) และ DCA

∧

= CDA∧

(มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวมขนาดเทากน)

ดงนน ACB∧

= ADE∧

(สมบตของการเทากน)

5.

เนองจาก AB = AC (ดานของรปสามเหลยมดานเทายาวเทากน) จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว ดงนน CBA

∧

= BCA∧

(มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวมขนาดเทากน) ในทานองเดยวกนจะได CAB

∧

= BCA∧

ดงนน CBA∧

= CAB∧

= BCA∧

(สมบตของการเทากน) นนคอ มมภายในแตละมมของรปสามเหลยมดานเทามขนาดเทากน

6.

เนองจาก DBA∧

= DBC∧

(กาหนดให) BD = BD ( BD เปนดานรวม)

BDA∧

= BDC∧

= 90o (กาหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ CBD (ม.ด.ม.) ดงนน AB = CB (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

นนคอ ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (บทนยามของรปสามเหลยมหนาจว)

A

B C

C

D

A

B

97

7.

1) เนองจาก AB = AC (กาหนดให) DBA

∧

= ECA∧

(กาหนดให) DB = EC (กาหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ ACE (ด.ม.ด.) ดงนน AD = AE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะยาวเทากน)

2) เนองจาก DB = EC (กาหนดให) จะได DB + BC = EC + CB (สมบตของการเทากน)

ดงนน DC = EB เนองจาก AC = AB (กาหนดให) AD = AE (ผลทไดจากขอ 1)) จะได ∆ ACD ≅ ∆ ABE (ด.ด.ด.)

8.

เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว และ CE เปนเสนแบงครง BCA

∧

ทเปนมมยอด (กาหนดให) ดงนน CE แบงครงและตงฉากกบฐาน AB (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว) จะได AE = BE และ CEA

∧

= CEB∧

= 90o

เนองจาก DE = DE ( DE เปนดานรวม) จะได ∆ ADE ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.)

D

A

CB E

A BE

C

D

98

A

CB D

E

P

RQ M

N

ดงนน EDA∧

= EDB∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) และ AD = BD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) นนคอ ∆ ADB เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานยาวเทากนสองดาน)

9. กาหนดให CBA∧

มขนาดพอสมควร ดงรป

แนวการสราง RQP∧

ใหมขนาดเทากบขนาดของ CBA∧

1. ลาก QR 2. ใชจด B เปนจดศนยกลาง รศมพอสมควร เขยนสวนโคงตด BC และ BA ทจด D และ จด E ตามลาดบ 3. ใชจด Q เปนจดศนยกลาง รศม BD เขยนสวนโคงตด QR ทจด M 4. ใชจด M เปนจดศนยกลาง รศม DE เขยนสวนโคงตดสวนโคงในขอ 3 ทจด N 5. ลาก QP ผานจด N จะได RQP

∧

มขนาดเทากบขนาดของ CBA∧

99

แนวการพสจนวา RQP∧

= CBA∧

ลาก MN และ DE QM = BD (รศมของวงกลมเดยวกน ยาวเทากน)

QN = BE (รศมของวงกลมเดยวกน ยาวเทากน)MN = DE (รศมของวงกลมเดยวกน ยาวเทากน)

จะได ∆ MQN ≅ ∆ DBE (ด.ด.ด.)

ดงนน NQM∧

= EBD∧

หรอ RQP

∧

= CBA∧


10. กาหนดให AB ยาวพอสมควร ดงรป

แนวการสราง CD ใหแบงครง AB ทจด O 1. ใชจด A และจด B เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตดกนทจด C และจด D 2. ลาก CD ตด AB ทจด O จะได CD แบงครง AB ทจด O

แนวการพสจนวา CD แบงครง AB ทจด O

A B

D

C

A BO

100

ลาก AC , BC , AD และ BD เนองจาก AC = BC (รศมของวงกลมเดยวกน ยาวเทากน)

AD = BD (รศมของวงกลมเดยวกน ยาวเทากน)CD = CD ( CD เปนดานรวม)

จะได ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ด.ด.) ดงนน OCA

∧

= OCB∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน) CO = CO ( CO เปนดานรวม) และมอยแลววา AC = BC จะได ∆ AOC ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) ดงนน AO = BO (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) ดงนน CD แบงครง AB ทจด O

11. ABCD เปนรปสเหลยมรปวาว ตามแนวการพสจน ดงน

เนองจาก AO = AO ( AO เปนดานรวม)

DOA∧

= BOA∧

= 90o (กาหนดให) DO = BO (กาหนดให) จะได ∆ ADO ≅ ∆ ABO (ด.ม.ด.) ดงนน AD = AB (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) ในทานองเดยวกนจะพสจนไดวา CD = CB ดงนน ABCD เปนรปสเหลยมรปวาว

A

BD

C

O

101

11. สายลวดทงสองเสนยาวเทากน และมมทสายลวด ทงสองเสนทากบพนดนมขนาดเทากน ตามแนว การพสจนจากแบบจาลองดงน สราง ∆ QPR โดยม QS แทนเสาไฟฟาซงตงฉาก กบ PR

เนองจาก PS = RS (กาหนดให)

QSP∧

= QSR∧

= 90o (กาหนดให) QS = QS ( QS เปนดานรวม) จะได ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.) ดงนน PQ = RQ (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

และ SPQ∧

= SRQ∧

(มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะมขนาดเทากน) นนคอ สายลวดทงสองเสนยาวเทากน และมมทสายลวดทงสองเสนทากบพนดนมขนาด เทากน

คาตอบกจกรรม “ทราบหรอไม”

ชางสารวจใชความสมพนธแบบ ม.ด.ม.

P R

Q

S

P R

Q

S

102

คาตอบกจกรรม “โครงสรางของรปสามเหลยมและรปสเหลยม”

ตวอยางคาตอบ ปฏทนตงโตะ โครงสรางเสาไฟฟาแรงสง โครงสรางสะพานขามแมนา โตะรองรดผา ฯลฯ

103

กจกรรมเสนอแนะและคาตอบ

104


กจกรรมนมจดประสงคใหนกเรยนสามารถนาสมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยมไปใชแกปญหาและอธบายเหตการณในชวตประจาวน

ปญหาท 1 ซอมผนงหอง รมผนงหองแหงหนงเวาแหวงหลดหายไปเปน รปสามเหลยม ดงรป ถาวดความยาวของดานสองดานของชองรปสามเหลยม และมมในระหวางดานสองดานน จะไดขอมลทเพยงพอสาหรบ นาไปใชเพอตดแผนไมรปสามเหลยมทเทากนทกประการกบชอง

รปสามเหลยมไดหรอไม

ปญหาท 2 สรางโครงหลงคา ชางกอสรางสรางแบบของโครงหลงคาชดหนงไว แลวสรางโครงหลงคาชดอน ๆ ดวยการวดความยาวของทอเหลก สามชนและตาแหนงบนทอทจะนาทอเหลกมาประกอบกนเปน โครงรปสามเหลยมเทานน โดยไมวดขนาดของมมเลย โครงหลง คาทสรางไดแตละชดเทากนทกประการกบแบบของโครงหลงคา หรอไม เพราะเหตใด

ปญหาท 3 หาความกวางของสระนา มสระนาอยกลางทงนา ใหนกเรยนนาเสนอแนวคด ในการหาความกวางของสระนา (ตามแนวเสนประ) โดยใช สมบตของความเทากนทกประการของรปสามเหลยม

105

คาตอบกจกรรมเสนอแนะ 5.6

ปญหาท 1 ซอมผนงหอง แผนไมรปสามเหลยมทตดไดกบรปสามเหลยมบนผนงหองทเวาแหวง เทากนทกประการ ดวยสมบต ด.ม.ด.

ปญหาท 2 สรางโครงหลงคา โครงหลงคารปสามเหลยมเทากนทกประการดวยสมบต ด.ด.ด.

ปญหาท 3 หาความกวางของสระนา (ขนาดของ AB )ตวอยางคาตอบ

1. ลาก AC ยาวพอสมควร ให O เปนจดกงกลางของ AC2. ลาก BO ตอ BO ถง D ให BO = OD3. ลาก CD จะได AB = CD ซงสามารถหาความยาว CD ไดจากการวดโดยตรง การแสดงวา AB = CD ทาไดโดยพจารณา ∆ ABO และ ∆ CDO ซงม AO = CO,

BOA ∧ = DOC∧ และ BO = DO จากการสราง ดงนน ∆ ABO ≅ ∆ CDO (ด.ม.ด.) ผลทตามมาคอAB = CD เพราะเปนดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ ตวอยางคาตอบทนาเสนอนใชเพยงเครองมอวดระยะทางโดยไมตองใชเครองมอวดขนาดของมมนกเรยนอาจนาเสนอคาตอบอยางอน เชน ใชสมบตของรปสามเหลยมทสมพนธกนแบบ ม.ด.ม. โดยกาหนดให OBA∧ = ODC∧ และ BO = OD กเพยงพอตอการพสจนวา ∆ ABO ≅ ∆ CDO

A

B

O

D

C

คณะกรรมการจดทาสอการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน

นางปยรตน จาตรนตบตร สถาบนราชภฏสวนดสตนางสาวลดดาวลย เพญสภา มหาวทยาลยธรรมศาสตรนายปรชา เนาวเยนผล มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราชนางสาวสาคร บญดาว มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราชนายสมนก บญพาไสว มหาวทยาลยเทคโนโลยมหานครนางจรรยา ภอดม โรงเรยนดอนเมองจาตรจนดานางยพน พพธกล สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางจารน สตะบตร สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนายสมพล เลกสกล สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางอารยา สวรรณคา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางเจรญศร จนไพบลย สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวจนทรเพญ ชมคช สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวจารวรรณ แสงทอง สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวปานทอง กลนาถศร สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางชลพร สภธระ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางชมยพร ตงตน สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาวรจนา รตนานคม สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลยนางสาววนด ตระสหกล สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

คณะบรรณาธการนางยพน พพธกล นางปยรตน จาตรนตบตรนางจารน สตะบตร นางสาวจารวรรณ แสงทองนายสมพล เลกสกล นางชลพร สภธระ

ผจดพมพตนฉบบนางสาวเสาวนย ประมลทรพยนางสาวระภพรรณ โคกแกว

คํานํา · pdf file2.3 การวัดพื้นที่ 23...

Documents