라플라스 변환. 라플라스 변환... · 2009-09-30 · e-learning calculus 라플라스...
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e-Learning Calculus
라플라스 변환
라플라스 변환은 푸리에 변환과 더불어 가장 유명한 적분 변환 중의 하나이다.
미분방정식을 계산할 때, 고전적인 방법으로는 어려운 지수함수나 초월함수, 비주기함수나
불연속 함수도 라플라스 변환으로 간단히 표현할 수 있다. 미분방정식을 라플라스 변환하
여 대수방정식으로 바꾼 후, 대수방정식의 해를 구하고, 구한 해가 주어진 미분방정식의
해가 되도록 대수방정식의 해를 라플라스 역변환 한다. 이때는 이미 만들어진 변환표를 이
용하기도 한다. 이번 시간에는 라플라스 변환, 라플라스 역변환의 간단한 문제를 풀어보고
변환표를 살펴보도록 한다.
e-Learning Calculus
라플라스 변환
시간함수 를 ≤ ≺∞에서 정의된 함수라 할 때,
에 감쇠정수 를 곱한 함수 를
시간 에 대해 적분한 함수
ℒ[]=
∞
1) 라플라스 변환
(1) 라플라스 변환
◉ 라플라스 변환
※ 라플라스 변환이란 미분방정식을 쉽게 풀기 위하여 라플라스가 고안한 방법이다.
주어진 원함수에 을 곱해서 적분한 것을 라플라스 변환이라고 한다.
예제 ℒ(1)을 구하여라.
풀이 이므로 ℒ(1)=
∞
・
∞
◉ 라플라스 변환표
=
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(3) 다지기
◎ 다음 문제를 풀어보자.
(1~2) 다음 빈 칸에 들어갈 알맞은 말을 골라라.
1 라플라스 변환 공식
ℒ[]=
∞
□ ① ② ③ ④
2 ℒ[′]□ ① ② ③ ④
3 다음 함수의 라플라스 변환을 구하여라.
□□
2) 라플라스 역변환
(1) 라플라스 역변환
◉ 라플라스 역변환
e-Learning Calculus
예제
의 역변환을 구하여라.
풀이 라플라스 변환표를 참고한다.
ℒ[ ]=
이므로 ℒ [
]=
∴ ℒ [
]=
예제
의 역변환을 구하여라.
풀이 부분분수로 분해 후, 라플라스 변환표를 참고한다.
라 하고 를 구하자.
이 때, 이므로 (아래식)-(윗식)을 하면
즉,
ℒ[ ]=
이므로 ℒ [
]=
∴ ℒ []=
(2) 미분방정식의 풀이
◉ 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식을 풀어보자.
예제 다음의 초기치 문제를 푸시오.
″ ′ ′
풀이 주어진 방정식에 라플라스 변환을 취하면
ℒ(″)+4ℒ(′)+3ℒ()=0
그런데, ℒ″ ℒ()- ′ ℒ ℒ′ ℒ( ℒ 대입하면, (ℒ )+4(ℒ )+3ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ()=
부분분수로 나누면
e-Learning Calculus
ℒ()=
∴ ℒ [ℒ()]=
(3) 다지기
◎ 다음 문제를 풀어보자.
1 다음 빈 칸에 알맞은 말을 써 넣어라.
2 다음 미분방정식을 라플라스 변환을 이용하여 풀 때, 빈 칸에 들어갈 알맞은 식은?
′
ℒ [ℒ()]=□
① 3sin3t ② 2sin2t ③ 3cos3t ④ 2cos2t
e-Learning Calculus
1 라플라스 변환은 어떻게 정의 되는가?
① ∞
∞
②
∞
③ ∞
∞
2 의 라플라스 변환은 어느 것인가?
①
②
③
④
3 의 라플라스 변환은 어느 것인가?
①
②
③
④
4 의 라플라스 변환을 구하여라. (단, 초기값은 이다.)
□ □ □
e-Learning Calculus
1) 라플라스 변환
1 ℒ[]=
∞
2 ℒ[′] 3 ℒ[]=
∞
2) 라플라스 역변환
1
2 주어진 방정식에 라플라스 변환을 취하면
ℒ(″)+9ℒ()=0
그런데, ℒ″ ℒ()- ′ ℒ 대입하면, (ℒ )+9ℒ ℒ9ℒ
다지기 정답 p.6
1 ③
2 ①
3
다지기 정답 p.8
1 라플라스, 역변환
2 ③