методичка 10 клас194.44.192.20/pages/library/metod_dist_matem_10_cl.pdf ·...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ЛЬВІВСЬКОЇ

ОБЛДЕРЖАДМІНІСТРАЦІЇ ЛЬВІВСЬКА ОБЛАСНА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК

Методичні рекомендації для учнів очно-дистанційної школи

Львівської обласної Малої академії наук

секція математики

10 клас

Львів – 2010

2

Рекомендовано до друку Президією ОМАН

Протокол № 2 від 07.09.2010 Автори:

Селіверстова Л. В. – керівник гуртка математики обласної МАН Юрчишин А. С. – асистент Львівського національного університету імені Івана Франка

Методичні рекомендації для учнів очно-дистанційної школи Львівської обласної Малої

академії наук. Секція математики. 10 клас. – Львів, 2010. – 68 с. Рецензент: Притула Я. Г. – професор Львівського національного університету імені Івана

Франка

3

ЗМІСТ

Пояснювальна записка.................................................................................................................4

Навчально-тематичний план .......................................................................................................6

Програма з математики................................................................................................................8

Рекомендована література .........................................................................................................11

Орієнтовна тематика реферативних робіт ................................................................................13

Вимоги до написання учнівської реферативної роботи з математики ....................................15

Плани до лекцій .........................................................................................................................17

Дистанційне навчання. Теоретичний матеріал для самостійного опрацювання.....................33

4

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Дистанційне навчання – це форма відкритого навчання з використанням комп’ютерних та телекомунікаційних технологій, які ефективно спрямовують самостійну роботу учнів на досягнення високого результату в учбовому процесі за допомогою розміщених в інформаційній мережі всіх необхідних для навчання матеріалів. Це дозволяє виконувати навчання на відстані від безпосереднього контакту між викладачем і учнем.

Завдання дистанційного навчання полягають у тому, щоб: ● створити умови для оновлення змісту та методів навчання з обдарованими школярами області; ● індивідуалізувати та суттєво інтенсифікувати навчальний процес; ● розвивати навички самостійного аналізу; ● сприяти розвитку творчого та науково-аналітичного мислення; ● формувати вміння і навички науково-дослідницької діяльності.

Мета очно-дистанційного курсу – поглибити знання та удосконалити вміння учнів з проблемних питань з різних розділів математики; підготувати учнів до зовнішнього незалежного оцінювання, олімпіад, конкурсів, турнірів, вступу до вищого навчального закладу; ознайомити з новими формами контролю знань; розвинути нестандартне мислення; сприяти глибшому засвоєнню учнями навчального матеріалу із застосуванням методики дистанційного навчання.

Після вивчення дистанційного курсу учні мають знати:

♦ основні означення, формули, теореми та їх практичне застосування; ♦ основні математичні методи розв’язання задач за цим курсом та їх практичне застосу-

вання; ♦ доведення важливих теорем, які знаходяться в основі математичних методів, що вивча-

ються; уміти:

♦ користуватися сучасною комп’ютерною технікою та пакетами програм для математи-ків;

♦ застосовувати основні математичні методи у дослідженні та розв’язанні задач; ♦ формулювати та перевіряти гіпотези, асоціативно мислити;

♦ на основі засвоєного матеріалу курсу давати відповіді на завдання для самоконтролю та тестові завдання.

Навчальні плани і програми з математики розроблені на основі шкільної програми з урахуванням тих розділів алгебри та геометрії, задачі та завдання з котрих включені до зовнішнього незалежного оцінювання. Деякі теми, яким мало часу виділяється в програмі середньої школи, висвітлюються глибше та ширше.

Термін навчання становить два роки. До структурних елементів дворічного дистанційного навчання входять шість очних

сесій, п’ять міжсесійних періодів та завдання на літо. Програми очних сесій розраховані на здібних учнів сільських шкіл, котрі вміють

самостійно працювати як над прослуханим матеріалом, так і з рекомендованою літературою. Навчання учнів під час очних сесій передбачає курс лекцій та практичних занять.

До складу дистанційного навчання, яке проводиться у міжсесійні періоди, входять: – виконання контрольних робіт на закріплення матеріалу, прочитаного на очних сесіях; – самостійне опрацювання учнями теоретичного матеріалу за визначеними темами; – виконання контрольних робіт за темами, винесеними на самостійне опрацювання.

Виконання контрольних робіт обмежене у часі. Кожна тема для самостійного опрацювання складається з:

■ методичних рекомендацій з вивчення курсу; ■ теоретичного матеріалу;

5

■ практикуму для вироблення умінь і навичок застосування теоретичних знань із прикладами виконання завдань і аналізом найчастіше вживаних помилок; ■ довідкового матеріалу, глосарію; ■ завдань для самоконтролю.

Підтримку та супровід навчального процесу за дистанційною формою здійснює тьютор (куратор) навчальної групи (секції), котрий також здійснює аналіз стану виконання учнями дистанційних контрольних робіт із занесенням результатів у журнал.

Для того, щоб навчальний процес дистанційного навчання був ефективним, необхідна систематична робота як учня, так і тьютора. З цією метою проводяться консультації в on-line режимі за допомогою ICQ, а також консультації на форумах та з допомогою електронної пошти.

Бувають випадки, коли учень зовсім не має або має дуже обмежений доступ до мережі Інтернет. Тоді спілкування з тьютором організовується у вигляді очних консультацій, а виконання контрольних робіт можливе у комп’ютерному класі обласної МАН.

Перевірка знань учнів проводиться засобами системи дистанційного навчання у вигляді: – контрольних робіт на закріплення матеріалу, прочитаного на очних сесіях; – контрольних робіт за темами, винесеними на самостійне вивчення; – підсумкових контрольних робіт. Графік проведення контрольних робіт учні отримують разом з іншими необхідними

матеріалами (книгами, CD з матеріалами до дистанційного курсу, методичними рекомендаціями тощо) після першої очної сесії. Якість виконання контрольних робіт через Інтернет перевіряється під час очних сесій.

У разі виникнення будь-яких запитань щодо запропонованого дистанційного курсу, учні можуть звернутися за індивідуальними консультаціями до викладача-тьютора.

Саме впровадження дистанційної форми навчання паралельно з очними сесіями дає можливість сільським школярам отримати доступ до широкої маси інформації: навчальної, методичної, практичної літератури, конспектів лекцій та можливість спілкування з науковцями в оn-line режимі. Обов’язковими вимогами до учнів, які здійснюють навчання за дистанційною формою є:

– наявність у них постійного доступу до Інтернету; – вміння користуватися сучасними інформаційними та комунікаційними технологіями. Досвід показує, що дистанційне навчання в системі очно-дистанційної школи обласної

МАН сприяє збільшенню ефективності навчання і робить сам процес цікавим та цілісним.

6

НАВЧАЛЬНО–ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН

ОСІННЯ СЕСІЯ (жовтень – листопад)

№ з/п Назва теми Кількість

годин 1. Елементи теорії чисел 4 2. Метод математичної індукції 4 3. Послідовності, прогресії 4 4. Елементи теорії многочленів. Дійсні корені 4 5. Квадратична функція, квадратне рівняння 4 6. Геометрія кола 4 7. Ознайомлення з методикою дистанційного навчання 2 Разом 26

ЗИМОВА СЕСІЯ (січень)


годин 1. Комплексні числа 4 2. Дробово-раціональні нерівності. Метод змійки 2 3. Лінійні системи рівнянь 2 4. Вектори на площині і в просторі 4 5. ГМТ. Задачі на побудову 4 6. Ознайомлення з роботою математичного пакету Maple 2 7. Тригонометрія 4 8. Контрольна робота 2 Разом 24

ЛІТНЯ СЕСІЯ (червень)


годин 1. Тригонометричні рівняння 4 2. Задачі на перетворення площини 4 3. Нерівності та способи їх доведення 4 4. Геометрія мас 4 5. Границя числової послідовності 4 6. Многочленні рівняння. Комплексні корені 4 7. Стереометрія 4 8. Підсумкова контрольна робота 2 Разом 30

7

НАВЧАЛЬНИЙ ПЛАН З ДИСТАНЦІЙНОГО НАВЧАННЯ

№ з/п Місяць Назва роботи Терміни виконання

Контрольна робота № 1 з 01.11 до 15.11 Контрольна робота № 2 з 16.11 до 30.11 1. Листопад Індивідуальні консультації протягом місяця Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 1) з 01.12

Контрольна робота № 3 з 20.12 до 30.12 2. Грудень

Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 4 з 20.01 до 30.01 3. Січень Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 5 з 05.02 до 15.02 Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 2) з 16.02 4. Лютий

Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 6 з 01.03 до 15.03 Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 3) з 16.03 5. Березень

Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 7 з 01.04 до 15.04 Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 4) з 16.04 6. Квітень

Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 8 з 01.05 до 15.05 Підсумкова контрольна робота № 9 з 16.05 до 30.05 7. Травень Індивідуальні консультації протягом місяця

8

ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИ


Елементи теорії чисел

Натуральні числа, цілі числа Подільність чисел. Прості числа і складені числа. Найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне. Ділення з остачею. Алгоритм Евкліда. Порівняння чисел за модулем. Ознаки подільності. Найпростіші рівняння в цілих числах.

Метод математичної індукції Поняття дедукції та індукції. Теорема індукції. Метод математичної індукції та його

застосування до доведення тотожностей, нерівностей подільності. Застосування індукції в геометрії та до різних задач.

Послідовності, прогресії Поняття числової послідовності, способи її задання формулою загального члена та

рекурентним чином. Арифметична та геометрична прогресії, їх властивості. Арифметико-геометрична прогресія. Формули суми для прогресій. Сума нескінченної геометричної прогресії.

Елементи теорії многочленів. Дійсні корені Поняття многочлена. Корінь многочлена. Розклад на множники. Подільність

многочленів, ділення многочленів з остачею. Алгоритм Евкліда. Теорема Безу. Схема Горнера. Многочлени з раціональними та цілими коефіцієнтами, раціональні корені. Теорема Вієта.

Квадратична функція, квадратне рівняння Корені квадратного рівняння. Теорема Вієта. Елементарні перетворення графіків

функцій. Квадратична функція, її властивості, графік. Залежність від коефіцієнтів квадратичної функції як від параметрів. Шаблон параболи. Квадратні рівняння з параметрами, графічні методи. Рівняння, які зводяться до квадратних.

Геометрія кола Поняття вписаного кута, його зв'зок з центральним кутом і кутовою величиною дуги.

Кут між двома хордами. Кут між двома січними до кола, їх зв’язок з дугами кола. Кут між дотичною і хордою. Задачі. Зв'язок між відрізками, на які ділить хорди точка перетину. Зв'язок між відрізками січних до кола, які виходять з одної точки, і з довжиною дотичної. Радикальна вісь. Радикальний центр, властивсоті. Задачі.

Ознайомлення з методикою дистанційного навчання Вхід в систему дистанційного навчання Львівської обласної МАН. Правила запису

числових відповідей. Форуми. Електронна пошта.

ДИСТАНЦІЙНЕ НАВЧАННЯ

І. Контрольна робота № 1 на закріплення матеріалу, прочитаного на осінній сесії. ІІ. Контрольна робота № 2 на закріплення матеріалу, прочитаного на осінній сесії. ІІІ. Тема № 1 для самостійного опрацювання ”Многочленні та дробово-раціональні рівняння, що зводяться до квадратних”. IV. Контрольна робота № 3 за темою № 1, винесеною на самостійне вивчення. V. Індивідуальні консультації.

9


Комплексні числа

Поняття комплексного числа. Геометрична та алебраїчна інтерпретації. Основні дії над комплексними числами. Модуль та аргумент комплесного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. Розв'язування квадратного рівняння над полем комплексних чисел.

Дробово-раціональні нерівності. Метод змійки Поняття дробово-раціональної нерівності. Зведення виразів у нерівності до одного

дробу. Метод змійки. Запис розв’язку, ізольовані точки. Розв’язування задач.

.Лінійні системи рівнянь Метод додавання, метод виключення змінної. Метод Крамера. Рівняння прямої на

площині. Лінійні системи з параметрами.

Вектори на площині і в просторі Поняття вектора. Дії над векторами: сума, різниця, множення на скаляр, скалярний

добуток, їх властивості. Використання векторів до розв'язування задач на кшталт поділу відрізка у заданому відношенні та інших. Координати вектора. Координатний метод.

ГМТ. Задачі на побудову Метод двох геометричних місць точок. Найпростіші базові ГМТ. Вимоги до

обґрунтування задач на побудову. Метод подібності. Метод споріднених фігур.

Ознайомлення з роботою математичного пакету Maplе Ознайомлення з комп'ютером. Робота з навчальною програмою у комп'ютерному класі

мех.-мат. факультету ЛДУ.

Тригонометрія Введення тригонометричних функцій кутового аргументу. Основні тригонометричні

тотожності. Значення тригонометричних функцій для деяких кутів. Формули зведення. Формули суми аргументів. Вивід інших тригонометричних тотожностей. Контрольна робота за темою, винесеною на дистанційне навчання.


І. Контрольна робота № 4 на закріплення матеріалу, прочитаного на зимовій сесії. ІІ. Контрольна робота № 5 на закріплення матеріалу, прочитаного на зимовій сесії. ІІІ. Тема № 2 для самостійного опрацювання ”Доведення тригонометричних тотожностей”. IV. Контрольна робота № 6 за темою № 2, винесеною на самостійне вивчення. V. Тема № 3 для самостійного опрацювання ”Текстові задачі”. VI. Контрольна робота № 7 за темою № 3, винесеною на самостійне вивчення. VII. Тема № 4 для самостійного опрацювання ”Логарифмічні та показникові тотожності”. VIII. Контрольна робота № 8 за темою № 4, винесеною на самостійне вивчення. IX. Підсумкова контрольна робота № 9 за рік. Х. Індивідуальні консультації.

10


Тригонометричні рівняння

Обернені тригонометричні функції. Розв’язання елементарних тригонометричних рівнянь за допомогою одиничного кола та графіка функції. Основні типи тригонометричних рівнянь. Рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.

Задачі на перетворення площини

Відображення площини на себе. Тотожнє перетворення. Паралельне перенесення. Осьова симетрія. Цетральна симетрія. Поворот. Поняття про рух площини. Гомотетія. Перетвореня подібності. Комбінація перетворень. Перетворення подібності як комбінація гомотетії і руху. Задачі на геометричні перетворення площини.

Нерівності та способи їх доведення

Основні властивості нерівностей. Методи доведення нерівностей: за означенням; посилення нерівності; метод ланцюжка; метод математичної індукції; зведення до відомих простіших нерівностей. Середні арифметичне, гармонічне, геометричне, квадратичне. Нерівності між середніми. Циклічні нерівності. Задачі з нерівностями.

Геометрія мас Означення центра мас. Математичне обгрунтування методу: теореми про радіус-вектор

центра мас, центр мас двох точкових мас, групування мас. Геометричні задачі, які розв'язуються методом центра мас: доведення, що кілька прямих перетинаються в одній точці; знаходження пропорцій, у яких відрізки діляться точкою перетину. Метод від'ємних мас.

Границя числової послідовності Означення границі числової послідовності та її властивості. Основні теореми про

границю числових послідовностей. Необхідна умова збіжності. Монотонна числова послідовність. Теорема Вейєрштрасса. Методи знаходження границь.

Многочленні рівняння. Комплексні корені Комплексні корені многочленів. Кратні корені. Основна теорема алгебри. Розв'язування

многочленних рівнянь над полем комплексних чисел. Формули Кардано. Метод Феррарі для рівнянь третього та четвертого степеня.

Взаємне розташування прямих і площин в просторі Ознаки паралельності прямих, площин, прямої і площини. Перпендикулярність прямих,

прямої і площини, площин. Теорема про три перпендикуляри. Відстань між мимобіжними прямими. Підсумкова контрольна робота за рік.

11

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Алексєєв В. М. Елементарна математика. Розв’язування задач. – К.: Вища школа, 1984. – 351 с. 2. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 160 с. (Б-чка "Квант"). 3. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад – М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – (Б-ка мат. кружка; вып. 18). – 288 с. 4. Коваленко В. Г., Кривошеєв В. Я., Лемберський Л. Я. Алгебра: Експерим. навч. посібник для 8 кл. шк. з поглибл. вивченням математики і спеціаліз. шк. фізико-мат. профілю. – К.: Освіта, 1995. – 303 с. 5. Ковтонюк М. М., Ясінський В. А., Ковтонюк Г. М. Алгебра та початки аналізу. 10 клас. – Х.: Вид. група ”Основа”, 2005. – 224 с. – (Б-ка журн. ”Математика в школах України”; Вип. 7(31)). 6. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. – М.: Просвещение, 1991. – 348 с. 7. Математика: Зб. тест. завдань для підготов до зовніш. незалеж. оцінювання / Ю. О. Захарій-ченко, О. В. Школьний. – К.: Ґенеза, 2008. – 104 с.: іл. 8. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебра: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики. – Х.: Гімназія, 2008. – 368 с. 9. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Геометрія: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики. – Х.: Гімназія, 2008. – 240 с. 10. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Алгебраический тренажер. – К.: А.С.К., 1997. – 320 с. 11. Новосад В. П., Селіверстов Р. Г. Посібник з математики для вступників до ЛРІДУ НАДУ при Президентові України. – 4-те вид., перероб. і допов. – Львів: ЛРІДУ НАДУ, 2006. – 152 с. 12. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. – М.: МГУ, 1991. – 144 с. 13. Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. серед. шк. – К.: Освіта, 1994. – 224 с. 14. Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. серед. шк. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1995. – 128 с. 15. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч. І. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 272 с. 16. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч.ІІ. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 288 с. 17. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 272 с. 18. Сборник задач по математике для поступащих во вузы: учеб. пособие В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави. 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк. 1992. – 528 с.: ил. 19. Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник. – Харків: Торсінг плюс, 2008. – 368 с. 20. Титаренко О. М. 5770 задач з математики. 2-ге вид., випр. – Харків: Торсінг плюс, 2004. – 336 с. 21. Ушаков Р. П. Про подільність чисел і многочленів // Математика в школах України. – 2004. – № 4 (52). 22. Шунда Н. М. Розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей. – Вінниця, 2003. – 376 с. 23. Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 10-11 кл. серед. шк. – К.: Зодіак-ЕКО, 1995. – 608 с. 24. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 11 кл. шк. та кл. з поглибл. вивченням математики. – К.: Освіта, 1994. – 304 с.

12

25. Ясінський В. А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування. – Вінниця, 1998. – 268 с.

13

ОРІЄНТОВНА ТЕМАТИКА РЕФЕРАТИВНИХ РОБІТ

1. Опуклі функції та їх застосування у класичних нерівностях. 2. Застосування теореми Безу і Вієта та їх узагальнення. 3. Оцінка доходів від цінних паперів. 4. Коло дев’яти точок. 5. Теорія ігор. Матричні та позиційні ігри. 6. Представлення тригонометричних функцій степеневими рядами. 7. Теорія Рамсея: дещо про симетричність розфарбувань відрізків. 8. Теорія лишків. 9. Застосування геометрії мас в інших науках. 10. Булеві структури. 11. Лінйне програмування. 12. Елементи комбінаторики. Біном Ньютона. 13. Метод математичної індукції 14. Задачі на екстремум. 15. Геометричне місце точок. 16. Арістотелева силогістика з точки зору формальної логіки. 17. Мінімальні та максимальні властивості геометричних фігур. 18. Інверсія. 19. Комбінаторна геометрія. 20. Нерівності і геометрія. 21. Метод Монте-Карло. 22. Застосування комплексних чисел до розв’зування геометричних завдань. 23. Екстремальні мініатюри для трикутників. 24. Визначники другого і третього порядків. 25. Вектори та їх застосування. 26. Елементи сферичної геометрії. 27. Основи страхової статистики.. 28. Симетричні підмножини при розфарбуванні скінченних фігур на площині. 29. Теорія графів. Задача Рамсея. 30. Диференціальні рівняння першого порядку. 31. Центральне і паралельне проектування. 32. Інтеграл та його застосування. 33. Векторний розв’язок афінних задач. 34. Метод траєкторій в задачах комбінаторики. 35. Введення в математичну логіку. Логічні парадокси. 36. Дослідження функцій на максимум та мінімум за допомогою другої похідної. 37. Вивчення топологічних властивостей фігур. 38. Випуклі фігури. Теорема Хеллі. Її застосування. 39. Симетричні ланцюгові дроби.Дробово-лінійні відображення. 40. Деякі питання визначеного та невизначеного інтеграла. 41. Вектори в просторі , властивості та застосування. 42. Компактно орієнтовані і неорієнтовані поверхні. 43. Розв’язування кубічних рівнянь. 44. Стратегія азартних ігор із застосуванням теорії ймовірностей. 45. Рівняння з параметрами. 46. Деякі застосування теорії чисел. 47. Комплексні числа, застосування, властивості. 48. Геометрія в просторі. 49. Максимальні і мінімальні властивості геометричних фігур. 50. Розв’язування рівнянь методом нерухомої точки. 51. Ланцюгові дроби та календарні системи.

14

52. Метод координат . Чотиривимірний простір. 53. Опуклі фігури сталої ширини. 54. Елементи математичної логіки і теорема Генделя про неповноту. 55. Теорія Галуа. 56. Ейлерові характеристики топологічних фігур. 57. Рівняння, що містять функції взяття цілої та дробової частини числа. 58. Використання чисел Фібоначі. 59. Опуклі функції і застосування їх в класичних нерівностях. 60. Геометрія мас, властивості, застосування в задачах. 61. Застосування диференціальних рівнянь до природничих та економічних задач. 62. Задачі комбінаторної геометрії. 63. Функціональні рівняння. 64. Нерівність Коші і задачі на екстремум. 65. Модель ринку цінних паперів з дискретним часом. 66. Математичні більярди.

15

ВИМОГИ ДО НАПИСАННЯ УЧНІВСЬКОЇ РЕФЕРАТИВНОЇ РОБОТИ З МАТЕМАТИКИ

Залежно від кількості реферативних джерел визначають такі види рефератів: монографічні (написані на основі одного джерела) та оглядові (створені на основі декількох вихідних текстів, об’єднаних спільною темою та подібними проблемами дослідження). Причому слід зазначити, що кількість першоджерел, які лежать в основі написання реферату учнями 9-х та 10-х класів має бути різною. Для учнів 9-х класів досить проаналізувати 3-5 джерел, а для учнів 10-х класів – 5-8 наукових праць. За видом інформації та способом її викладу реферати поділяються на: а) інформативні або реферати-конспекти, що досить повно викладають усні основні положення, докази й висновки вихідного тексту; б) індикативні або реферати-резюме, які перелічують лише основні положення та висновки за ними без викладу доказів. Манівський реферат має бути повним, інформативним, тобто належати до першого різновиду рефератів. Реферат як жанр наукової літератури має такі ознаки: – семантична адекватність до першоджерела; – об’єктивність передачі змісту першоджерела (реферат не повинен відбивати суб’єктивних поглядів референта та його оцінки висвітлюваної інформації); – авторизованість у передачі інформації. Наприклад: Автор звертає увагу на .............. Автор зазначає той факт ............ Автор доходить висновку ............. – постійна, стійка структура (вступ, основна частина, висновки). Реферат має таку структуру: титульний аркуш, зміст, вступ, основна частина, висновки та перелік використаної (реферованої) літератури.

Структура реферату Опорні поняття Мовні кліше

Вступ Тема реферативної робо-ти; мета; завдання; постановка проблеми

1. Книгу (монографію) присвячено темі, проблемі, питанню......... 2. У книзі ........... розглядаються (що?), йдеться (про що?), дано оцінку, аналіз (чого?), точку зору (на що?) тощо

Основна частина

Частини; розділи; параграфи

1. Як відомо, ... 2. З огляду на це, зазначимо ... 3. При цьому слід зазначити ... 4. Таким чином ... 5. Автор зазначає / стверджує ... 6. На думку автора, ...

Висновки Висновки, узагальнення 1. Автор дійшов висновку про те ........ 2. На закінчення можна сказати ........ 3. Узагальнюючи сказане .......

У вступі, як правило, слід назвати тему реферативної роботи, дати стислу характеристику першоджерел (що вони собою являють – дослідження, монографію, підручник, критичний огляд); розкрити мету й завдання автора (авторів) реферованого тексту; виділити проблему або коло проблем, розглянутих автором.

16

В основній частині необхідно стисло, але повно передати зміст вихідних текстів. Матеріал необхідно викласти за розділами, кожен з яких розкриває свою проблему або різні аспекти однієї проблеми. Вказати шляхи й методи її вирішення, а також досягнуті результати (успіхи). Обов’язково зазначити наявність різних поглядів на проблему. Матеріали основної частини слід поділити в змістові блоки (частини, параграфи, абзаци). Кожен окремий блок треба назвати. Висновки мають бути чіткими, стислими і випливати зі змісту основної частини. Обсяг реферату не повинен перевищувати 20 друкованих аркушів (тобто не повинен перевищувати обсягу звичайного учнівського зошита з 12 аркушів). Реферат має бути витриманий у науковому стилі.

17

ПЛАНИ ДО ЛЕКЦІЙ


Тема № 1: ”Елементи теорії чисел” План до теми: 1. Числові множини.

1.1. Перевід раціональних чисел в десяткові дроби і навпаки. 1.2. Перевід нескінченного періодичного десяткового дробу у звичайний.

2. Подільність чисел. 3. Прості та складені числа. 4. Ділення з остачею. 5. Найбільший спільний дільник. Алгоритм Евкліда. 6. Найменше спільне кратне. 7. Порівняння чисел за модулем (конгруенції). 8. Ознаки подільності.

8.1. Ознаки подільності на 2, 5, 10. 8.2. Ознаки подільності на nnn 10,5,2 . 8.3. Ознаки подільності на 3, 9. 8.4. Ознака подільності на 11. 8.5. Ознаки подільності на 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001.

9. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: натуральні числа; цілі числа; раціональні числа; дійсні числа; ірраціональні

числа; звичайні дроби; скінченні десяткові дроби; нескінченні періодичні десяткові дроби; правильні дроби; неправильні дроби; скоротні дроби; нескоротні дроби; подільність; дільник; прості числа; складені числа; ділення з остачею; неповна частка; остача; прості множники; найбільший спільний дільник; найменше спільне кратне; алгоритм Евкліда; конгруенції; запис числа гранями; ознаки подільності.

Учні повинні: знати – означення натуральних чисел; – означення цілих чисел; – означення раціональних чисел; – означення дійсних чисел; – означення ірраціональних чисел; – означення правильного дробу; – означення неправильного дробу; – означення скоротного дробу; – означення нескоротного дробу; – означення простих та складених чисел; – теорему про ділення з остачею; – теорему про розклад числа на прості множники; – способи знаходження НСД; – способи знаходження НСК; – алгоритм Евкліда; – означення конгруенції; – властивості порівнянь (конгруенцій);

18

– ознаки подільності. уміти – розпізнавати натуральні, цілі, раціональні, дійсні та ірраціональні числа; – розпізнавати правильні та неправильні дроби; – розпізнавати скоротні та нескоротні дроби; – розпізнавати прості та складені числа; – застосовувати теорему про ділення з остачею; – застосовувати теорему про розклад числа на прості множники; – знаходити НСД; – знаходити НСК; – застосовувати алгоритм Евкліда; – застосовувати властивості порівнянь (конгруенцій); – застосовувати ознаки подільності; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема № 2: ”Метод математичної індукції” План до теми: 1. Поняття дедукції та індукції. 2. Метод математичної індукції. 3. Застосування методу математичної індукції.

3.1. Доведення тотожностей. 3.2. Доведення нерівностей. 3.3. Подільність чисел.

4. Математична індукція в геометрії. 5. Завдання для самостійної роботи. 6. Розділ для відпочинку. Ключові слова: часткові твердження; загальні твердження; дедукція; індукція; неповна індукція,

принцип математичної індукції; метод математичної індукції; гіпотеза. Учні повинні: знати – означення часткового твердження; – означення загального твердження; – означення дедукції; – означення індукції; – означення неповної індукції; – принцип математичної індукції; – метод математичної індукції. уміти – розпізнавати часткові та загальні твердження; – застосовувати принцип математичної індукції; – застосовувати метод математичної індукції до: – доведення тотожностей; – доведення нерівностей; – подільності чисел; – застосовувати метод математичної індукції в геометрії; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач.

19

Тема № 3: ”Послідовності, прогресії” План до теми: 1. Логічна символіка. 2. Числова послідовність та способи її задання. 3. Обмежені і необмежені послідовності. 4. Прогресії, їх властивості.

4.1. Арифметична прогресія. 4.2. Геометрична прогресія. 4.3. Арифметико-геометрична прогресія.

5. Формули суми для прогресій. 6. Сума нескінченної геометричної прогресії. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: знак загальності; квантор існування; імплікація; еквівалентність; диз’юнкція;

кон’юкція; числова послідовність; член послідовності; послідовність обмежена зверху; послідовність обмежена знизу; обмежена послідовність; необмежена послідовність; прогресія; знаменник; арифметична прогресія; геометрична прогресія; арифметико-геометрична прогресія; нескінченно спадна геометрична прогресія; формула n - го члена; формула суми.

Учні повинні: знати – логічну символіку; – означення числової послідовності; – означення обмеженої послідовності; – означення необмеженої послідовності; – означення арифметичної прогресії; – означення геометричної прогресії; – означення нескінченно спадної геометричної прогресії; – формулу n - го члена арифметичної прогресії; – формулу n - го члена геометричної прогресії; – формулу суми перших n членів арифметичної прогресії; – формулу суми перших n членів геометричної прогресії. уміти – записувати означення за допомогою логічної символіки; – розпізнавати арифметичну прогресію серед інших послідовностей; – розпізнавати геометричну прогресію серед інших послідовностей; – знаходити будь-який член послідовності за формулою n - го члена; – знаходити суму перших n членів арифметичної прогресії; – знаходити суму перших n членів геометричної прогресії; – розв’язувати задачі на арифметичну прогресію; – розв’язувати задачі на геометричну прогресію. Тема № 4: ”Елементи теорії многочленів. Дійсні корені” План до теми: 1. Поняття многочлена. 2. Корінь многочлена. 3. Розклад многочлена на множники. 4. Подільність многочленів.

20

4.1. Ділення многочленів з остачею. 4.2. Алгоритм Евкліда. 4.3. Теорема Безу. 4.4. Схема Горнера.

5. Раціональні корені многочлена. 5.1. Кратність коренів і число коренів многочлена. 5.2. Теорема Вієта. 5.3. Многочлени з цілими коефіцієнтами.

6. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: одночлен; многочлен; степінь многочлена; нульовий многочлен; старший

коефіцієнт; вільний член; канонічний вигляд многочлена; корінь многочлена; тотожно рівні многочлени; розклад многочлена на множники; біном; трикутник Паскаля; виділення повного квадрата; подільність многочленів; дільник многочлена; ділення з остачею; неповна частка; алгоритм Евкліда; спільний дільник; НСД многочленів; теорема Безу; схема Горнера; кратність кореня; теорема Вієта; многочлен з цілими коефіцієнтами; раціональні корені.

Учні повинні: знати – означення одночлена, многочлена; – означення многочлена n -го степеня; – означення нульового многочлена; – означення старшого коефіцієнта та вільного члена многочлена; – означення канонічного вигляду многочлена; – означення кореня многочлена; – означення тотожно рівних многочленів; – теорему про рівність многочленів; – основні методи розкладання многочлена на множники; – теорему про ділення націло многочленів; – властивості подільності многочленів; – теорему про ділення многочленів з остачею; – алгоритм Евкліда для знаходження НСД многочленів; – теорему Безу та наслідок з неї; – означення кратного кореня; – теорему Вієта для многочленів; – теорему про знаходження раціональних коренів многочлена. уміти – розпізнавати одночлени та многочлени серед виразів; – встановлювати степінь многочлена; – зводити многочлен до канонічного вигляду; – знаходити корені многочлена; – застосовувати теорему про рівність многочленів до розв’язування задач; – розкладати многочлен на множники різними способами; – виконувати ділення многочлена на многочлен; – застосовувати властивості подільності многочленів; – виконувати ділення многочлена на многочлен з остачею; – знаходити НСД многочленів за допомогою алгоритму Евкліда; – знаходити остачу від ділення многочлена на двочлен за допомогою теореми Безу; – ділити многочлени за допомогою схеми Горнера; – знаходити кратність кореня; – застосовувати теорему Вієта для многочленів для розв’язування задач; – знаходити раціональні корені многочлена.

21

Тема № 5: ”Квадратична функція, квадратне рівняння” План до теми: 1. Корені квадратного рівняння. 2. Теорема Вієта. 3. Елементарні перетворення графіків функцій. 4. Квадратична функція, її властивості, графік. 5. Залежність від коефіцієнтів квадратичної функції як від параметрів. 6. Шаблон параболи. 7. Квадратні рівняння з параметрами, графічні методи. 8. Рівняння, які зводяться до квадратних. 9. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: квадратне рівняння; корінь рівняння; дискримінант; неповне квадратне

рівняння; зведене квадратне рівняння; теорема Вієта; квадратична функція; область визначення функції; область значень функції; графік функції; парабола; вершина параболи; квадратний тричлен; параметр.

Учні повинні: знати – означення квадратного рівняння; – формулу дискримінанта; – формули коренів квадратного рівняння; – залежність між значенням дискримінанта та кількістю коренів квадратного рівняння; – теорему Вієта; – обернену теорему Вієта; – означення функції; – основні способи задання функції; – означення квадратного тричлена; – формулу розкладання квадратного тричлена на лінійні множники; – означення квадратичної функції; – основні властивості квадратичної функції; – формулу для обчислення абсциси вершини параболи; – алгоритм побудови графіка квадратичної функції. уміти – розпізнавати квадратні рівняння серед інших рівнянь; – розв’язувати неповні квадратні рівняння; – застосовувати пряму та обернену теореми Вієта до розв’язування квадратних рівнянь; – знаходити область визначення і область значень функції; – виконувати елементарні перетворення графіків функцій; – знаходити корені квадратного тричлена; – розкладати квадратний тричлен на лінійні множники; – будувати графік квадратичної функції; – знаходити за графіком квадратичної функції нулі функції, проміжки знакосталості, проміжки зростання і спадання функції; – розв’язувати квадратні рівняння з параметрами; – розв’язувати рівняння, які зводяться до квадратних; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач.

22

Тема № 6: ”Геометрія кола” План до теми: 1. Поняття вписаного кута, його зв’язок з центральним кутом і кутовою величиною дуги. 2. Кут між двома хордами. 3. Кут між двома січними до кола, їх зв’язок з дугами кола. 4. Кут між дотичною і хордою. 5. Зв’язок між відрізками, на які ділить хорди точка перетину. 6. Зв’язок між відрізками січних до кола, які виходять з одної точки, і з довжиною дотичної. 7. Радикальна вісь. 8. Радикальний центр, властивості. 9. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: вписаний кут; центральний кут; кутова величина дуги; хорда; січна до кола; дуга

кола; дотична до кола; радикальна вісь; радикальний центр. Учні повинні: знати – означення вписаного кута; – означення центрального кута; – означення дуги кола; – означення хорди; – означення січної; – означення дотичної; – означення радикальної осі; – означення радикального центру. уміти – знаходити кут між двома хордами; – знаходити кут між двома січними до кола; – знаходити кут між дотичною і хордою; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема № 7: ”Ознайомлення з методикою дистанційного навчання” План до теми: 1. Вхід в систему дистанційного навчання Львівської обласної МАН; 2. Правила запису числових відповідей; 3. Форуми; 4. Електронна пошта.


Тема 1: ”Комплексні числа” План до теми: 1. Поняття комплексного числа. 2. Геометрична та алгебраїчна інтерпретації. 3. Основні дії над комплексними числами. 4. Модуль та аргумент комплексного числа. 5. Тригонометрична форма комплексного числа.

23

6. Розв’язування квадратного рівняння над полем комплексних чисел. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: комплексне число; уявна одиниця; дійсна частина; коефіцієнт при уявній

частині; спряжені комплексні числа; протилежні комплексні числа; сума комплексних чисел; різниця комплексних чисел; добуток комплексних чисел; частка комплексних чисел; квадратне рівняння з від’ємним дискримінантом; геометрична інтерпретація; алгебраїчна форма запису; тригонометрична форма запису; модуль комплексного числа; аргумент комплексного числа; головне значення аргументу; формула Муавра.

Учні повинні: знати – означення уявної одиниці; – означення комплексного числа; – означення спряженого комплексного числа; – геометричну інтерпретацію комплексних чисел;; – означення алгебраїчної форми запису комплексного числа; – означення тригонометричної форми комплексного числа; – означення модуля комплексного числа; – означення аргументу комплексного числа; – означення головного значення аргументу; – формулу Муавра. уміти – розпізнавати комплексні числа; – виконувати дії над комплексними числами; – знаходити спряжені комплексні числа; – виконувати додавання та віднімання комплексних чисел у геометричній формі; – визначати головне значення аргументу; – подати комплексне число в тригонометричній формі; – знаходити модуль комплексного числа; – знаходити аргумент комплексного числа; – переходити від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної; – виконувати дії над комплексними числами, записаними у тригонометричній формі; – застосовувати формулу Муавра; – розв’язувати квадратні рівняння над полем комплексних чисел. Тема 2: ”Дробово-раціональні нерівності. Метод змійки” План до теми: 1. Поняття дробово-раціональної нерівності. 2. Зведення виразів у нерівності до одного дробу. 3. Метод змійки.

3.1. Запис розв’язку. 3.2. Ізольовані точки.

4. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: дробово-раціональні нерівності; розв’язок нерівності; метод змійки; запис

розв’язку; ізольовані точки.

24

Учні повинні: знати – означення нерівності; – означення дробово-раціональної нерівності; – означення розв’язку нерівності; – алгоритм методу змійки; – означення ізольованої точки. уміти – розпізнавати дробово-раціональні нерівності серед інших нерівностей; – розв’язувати дробово-раціональні нерівності; – зводити вирази у нерівності до одного дробу; – застосовувати метод змійки до розв’язування нерівностей. Тема 3: ”Лінійні системи рівнянь” План до теми: 1. Метод додавання. 2. Метод виключення змінної. 3. Метод Крамера. 4. Рівняння прямої на площині. 5. Лінійні системи рівнянь з параметрами. 6. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: лінійне рівняння з двома змінними; система двох лінійних рівнянь з двома

змінними; метод додавання; метод виключення змінної; визначник; метод Крамера; рівняння прямої; кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої; системи рівнянь з параметрами.

Учні повинні: знати – означення лінійного рівняння з двома змінними; – означення системи двох лінійних рівнянь з двома змінними; – алгоритм розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання; – алгоритм розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом виключення змінної; – алгоритм розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома змінними за допомогою методу Крамера; – означення кутового коефіцієнта; – рівняння прямої на площині. уміти – розпізнавати лінійні системи рівнянь з двома змінними серед інших систем рівнянь; – розв’язувати системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом виключення змінної; – розв’язувати системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання; – розв’язувати системи двох лінійних рівнянь з двома змінними за допомогою методу Крамера; – записувати рівняння прямої на площині; – розв’язувати лінійні системи рівнянь з параметрами.

25

Тема 4: ”Вектори на площині і в просторі” План до теми: 1. Поняття вектора. 2. Дії над векторами.

2.1. Сума (різниця) векторів. 2.2. Множення вектора на число. 2.3. Скалярний добуток двох векторів.

3. Властивості векторів. 4. Використання векторів до розв’язування задач. 5. Координати вектора. 6. Координатний метод. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: вектор; модуль вектора; напрям вектора; рівність векторів; протилежні вектори;

додавання (віднімання) векторів; правило трикутника; правило паралелограма; множення вектора на число; колінеарні вектори; кут між векторами; скалярний добуток векторів; координати вектора; координатний метод.

Учні повинні: знати – означення вектора; – означення модуля вектора; – означення колінеарного вектора; – означення скалярного добутку; – властивості векторів; – означення координат вектора; – правило трикутника для додавання векторів; – правило паралелограма для додавання векторів. уміти – знаходити координати вектора; – знаходити модуль вектора; – знаходити кут між векторами; – користуватися правилом трикутника для додавання векторів; – користуватися правилом паралелограма для додавання векторів – виконувати дії над векторами; – умову колінеарності векторів; – обчислювати скалярний добуток векторів; – застосовувати вектори до розв’язування задач. Тема 5: ”Геометричне місце точок. Задачі на побудову” План до теми: 1. Метод двох геометричних місць точок. 2. Найпростіші базові ГМТ. 3. Вимоги до обгрунтування задач на побудову. 4. Метод подібності. 5. Метод споріднених фігур. 6. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: геометричне місце точок; метод геометричних місць; задачі на побудову;

подібність фігур; споріднені фігури.

26

Учні повинні: знати – означення геометричного місця точок; – метод двох геометричних місць точок; – найпростіші базові ГМТ; – метод подібності; – метод споріднених фігур. уміти – застосовувати метод двох геометричних місць точок; – розв’язувати задачі на побудову; – застосовувати метод подібності; – застосовувати метод споріднених фігур; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема 6: ”Ознайомлення з роботою математичного пакету Maple” План до теми: 1. Ознайомлення з комп’ютером. 2. Робота з навчальною програмою у комп’ютерному класі механіко-математичного факультету ЛНУ ім І. Я. Франка. Тема 7: ”Тригонометрія” План до теми: 1. Введення тригонометричних функцій кутового аргументу. 2. Основні тригонометричні тотожності. 3. Значення тригонометричних функцій для деяких кутів. 4. Формули зведення. 5. Формули суми аргументів. 6. Вивід інших тригонометричних тотожностей. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: тригонометрична функція числового аргументу; тригонометричне коло; синус

кута; косинус кута; тангенс кута; котангенс кута; градусна міра кута; радіанна міра кута; основна тригонометрична тотожність; формули зведення; формули суми аргументів.

Учні повинні: знати – означення тригонометричного кола; – означення синуса кута; – означення косинуса кута; – означення тангенса кута; – означення котангенса кута; – зв’язок між радіанною і градусною мірами кута; – основні тригонометричні тотожності; – значення тригонометричних функцій для деяких значень аргументу; – формули зведення; – формули суми аргументів. уміти – переводити градусну міру в радіанну і навпаки;

27

– будувати графіки тригонометричних функцій числового аргументу; – доводити співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; – доводити основні тригонометричні тотожності; – застосовувати формули зведення; – застосовувати формули суми аргументів; – виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема 8: ”Контрольна робота” План до теми: 1. Контрольна робота за темою “Многочленні та дробово-раціональні рівняння, що зводяться до

квадратних”, винесеною на самостійне вивчення.


Тема 1: ”Тригонометричні рівняння” План до теми: 1. Обернені тригонометричні функції. 2. Розв’язання елементарних тригонометричних рівнянь за допомогою одиничного кола та гра-

фіка функції. 3. Основні типи тригонометричних рівнянь. 4. Рівняння, що містять обернені тригонометричні функції. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: обернені функції; обернені тригонометричні функції; арксинус; арккосинус;

арктангенс; арккотангенс; одиничне коло; графік оберненої тригонометричної функції; тригонометричне рівняння; елементарні тригонометричні рівняння; основні типи тригонометричних рівнянь.

Учні повинні: знати – означення оберненої функції; – означення оберненої тригонометричної функції; – означення арксинуса; – означення арккосинуса; – означення арктангенса; – означення арккотангенса; – означення тригонометричного рівняння; – основні типи тригонометричних рівнянь; – формули загального розв’язку елементарних тригонометричних рівнянь; – основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь. уміти – знаходити область визначення і область значень обернених тригонометричних функцій; – будувати графіки обернених тригонометричних функцій; – розпізнавати тригонометричні рівняння серед інших рівнянь; – розв’язувати елементарні тригонометричні рівняння за допомогою одиничного кола; – розв’язувати елементарні тригонометричні рівняння за допомогою графіка функції; – розв’язувати рівняння, що містять обернені тригонометричні функції; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач.

28

Тема 2: ”Задачі на перетворення площини” План до теми: 1. Відображення площини на себе. 2. Тотожнє перетворення. 3. Паралельне перенесення. 4. Осьова та центральна симетрії. 5. Поворот. 6. Поняття про рух площини. 7. Гомотетія. 8. Перетворення подібності. Комбінація перетворень. 9. Перетворення подібності як комбінація гомотетії і руху. 10. Задачі на геометричні перетворення площини. 11. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: подібність фігур; тотожнє перетворення; паралельне перенесення; осьова

симетрія; центральна симетрія; поворот; центр повороту; кут повороту; рух площини; гомотетія; центр гомотетії; коефіцієнт гомотетії; перетворення подібності; обернене перетворення; коефіцієнт подібності.

Учні повинні: знати – означення перетворення подібності; – властивості перетворення подібності; – означення тотожного перетворення; – означення руху; – означення паралельного перенесення; – властивість паралельного перенесення; – означення осьової та центральної симетрії; – властивості осьової та центральної симетрії; – означення повороту; – властивості переміщень; – означення гомотетії; – означення подібності фігур. уміти – застосовувати властивості перетворення подібності до розв’язування задач; – застосовувати властивості рухів до розв’язування задач; – будувати центр гомотетії; – знаходити коефіцієнт гомотетії; – будувати образи фігур; – знаходити коефіцієнт подібності; – розв’язувати задачі на геометричні перетворення площини. Тема 3: ”Нерівності та способи їх доведення” План до теми: 1. Основні властивості нерівностей. 2. Методи доведення нерівностей.

2.1. За означенням. 2.2. Посилення нерівності. 2.3. Метод ланцюжка. 2.4. Метод математичної індукції.

29

2.5. Зведення до відомих простіших нерівностей. 3. Середні арифметичне, гармонійне, геометричне, квадратичне. 4. Нерівності між середніми. 5. Циклічні нерівності. 6. Задачі з нерівностями. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: нерівність; властивості нерівностей; доведення нерівностей; методи доведення

нерівностей; посилення нерівності; метод ланцюжка; простіші нерівності; середнє арифметичне; середнє гармонічне; середнє геометричне; середнє квадратичне; циклічні нерівності.

Учні повинні: знати – означення нерівності; – властивості нерівностей; – способи доведення нерівностей; – означення середнього арифметичного; – означення середнього гармонічного; – означення середнього геометричного; – означення середнього квадратичного; – означення циклічної нерівності. уміти – застосовувати метод доведення нерівностей за означенням; – застосовувати метод посилення нерівності; – застосовувати метод математичної індукції до доведення нерівностей; – застосовувати метод ланцюжка; – обчислювати середні арифметичне, гармонічне, геометричне, квадратичне; – розв’язувати циклічні нерівності. Тема 4: ”Геометрія мас” План до теми: 1. Поняття центра мас. 2. Математичне обгрунтування методу.

2.1. Теорема про радіус-вектор центра мас. 2.2. Теорема про центр мас двох точкових мас. 2.3. Теорема про групування мас.

3. Геометричні задачі, які розв’язуються методом центра мас. 3.1. Доведення, що кілька прямих перетинаються в одній точці. 3.2. Знаходження пропорцій, у яких відрізки діляться точкою перетину.

4. Метод від’ємних мас. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: центр мас; радіус-вектор; центр мас двох точкових мас; групування мас; метод

центра мас; метод від’ємних мас. Учні повинні: знати – означення центра мас; – означення радіус-вектора; – теорему про радіус-вектор центра мас; – теорему про центр мас двох точкових мас;

30

– означення групування мас; – теорему про групування мас; – метод від’ємних мас. уміти – застосовувати теорему про радіус-вектор центра мас; – застосовувати теорему про центр мас двох точкових мас; – застосовувати теорему про групування мас; – розв’язувати геометричні задачі, які розв’язуються методом центра мас; – застосовувати метод від’ємних мас. Тема 5: ”Границя числової послідовності” План до теми: 1. Означення границі числової послідовності та її властивості. 2. Основні теореми про границю числових послідовностей. 3. Необхідна умова збіжності. 4. Монотонна числова послідовність. 5. Теорема Вейєрштрасса. 6. Методи знаходження границь. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: числова послідовність; способи задання числової послідовності; границя

числової послідовності; окіл точки; збіжна послідовність; розбіжна послідовність; нескінченно малі послідовності; обмежена послідовність; монотонна послідовність; зростаюча (неспадна) послідовність; спадна (незростаюча) послідовність; ознаки збіжності; методи обчислення границь; теорема Веєрштрасса.

Учні повинні: знати – означення числової послідовності; – означення границі числової послідовності; – означення збіжної послідовності; – властивості збіжних послідовностей; – означення розбіжної послідовності; – основні теореми про границю числових послідовностей; – необхідну умову збіжності; – означення нескінченно малої послідовності; – властивості нескінченно малих послідовностей; – означення монотонної числової послідовності; – теорему Веєрштрасса; – методи знаходження границь. уміти – наводити приклади числової послідовності; – наводити приклади нескінченно малих послідовностей; – застосовувати теореми про властивість нескінченно малих послідовностей до роз’язування задач; – застосовувати основні теореми про границю числових послідовностей до роз’язування задач; – застосовувати теорему Вейєрштрасса; – обчислювати границі числових послідовностей різними методами.

31

Тема 6: ”Многочленні рівняння. Комплексні корені” План до теми: 1. Комплексні корені многочленів. 2. Кратні корені. 3. Основна теорема алгебри. 4. Розв’язування многочленних рівнянь над полем комплексних чисел. 5. Формули Кардано. 6. Метод Феррарі для рівнянь третього та четвертого степеня. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: корінь рівняння; кратні корені; комплексні корені; комплексні корені

многочленів; многочленні рівняння над полем комплексних чисел; основна теорема алгебри; формули Кардано; метод Феррарі.

Учні повинні: знати – означення кореня рівняння; – означення кратності кореня; – означення комплексного кореня; – основну теорему алгебри; – формули Кардано; – метод Феррарі. уміти – знаходити комплексні корені многочленів; – застосовувати основну теорему алгебри; – розв’язувати многочленні рівняння над полем комплексних чисел; – застосовувати формули Кардано; – застосовувати метод Феррарі для рівнянь третього та четвертого степеня. Тема 7: ”Взаємне розташування прямих і площин в просторі” План до теми: 1. Ознаки паралельності.

1.1. Прямих. 1.2. Площин. 1.3. Прямої і площини.

2. Перпендикулярність. 2.1. Прямих. 2.2. Прямої і площини. 2.3. Площин.

3. Теорема про три перпендикуляри. 4. Відстань між мимобіжними прямими. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: розміщення двох прямих у просторі; ознаки паралельності прямих; розміщення

двох площин у просторі; ознаки паралельності площин; розміщення прямої і площини в просторі; ознаки паралельності прямої і площини; перпендикулярність двох прямих у просторі; ознаки перпендикулярності прямих; ознаки перпендикулярності площин; ознаки перпендикулярності прямої і площини; перпендикуляр і похила; теорема про три перпендикуляри; мимобіжні прямі.

32

Учні повинні: знати – означення паралельних прямих; – означення паралельних площин; – означення паралельних прямої і площини; – означення мимобіжних прямих; – властивості і ознаки паралельності прямих і площин; – означення перпендикулярних прямих; – означення перпендикулярних площин; – означення перпендикулярних прямої і площини; – властивості і ознаки перпендикулярності прямих і площин; – теорему про три перпендикуляри. уміти – застосовувати властивості паралельності прямих і площин до роз’язування задач; – застосовувати ознаки паралельності прямих і площин до роз’язування задач; – застосовувати властивості перпендикулярності прямих і площин до роз’язування задач; – застосовувати ознаки перпендикулярності прямих і площин до роз’язування задач; – застосовувати теорему про три перпендикуляри – обчислювати відстань між мимобіжними прямими. Тема 8: ”Контрольна робота” План до теми: 1. Підсумкова контрольна робота за рік.

33


ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Тема № 1: ”Многочленні та дробово-раціональні рівняння, що зводяться до квадратних” План до теми: 1. Основні означення. 2. Біквадратні та симетричні рівняння. 3. Зворотні рівняння. 4. Однорідні рівняння. 5. Інші типи рівнянь, що зводяться до квадратних. Ключові слова: рівняння з однією змінною; корені рівняння; раціональні рівняння; дробово-

раціональні рівняння; квадратні рівняння; дискримінант; біквадратні рівняння; теорема Вієта; симетричні рівняння; зворотні рівняння; кососиметричні рівняння; однорідні рівняння.

Учні повинні: знати – означення рівнянь, що зводяться до квадратних; – формули дискримінанта, коренів квадратного рівняння; – залежність між дискримінантом та кількістю коренів квадратного рівняння; – основні типи замін змінних у рівняннях. уміти – розпізнавати квадратні рівняння серед інших рівнянь; – розв’язувати квадратні рівняння за формулою коренів квадратного рівняння; – застосовувати пряму та обернену теореми Вієта; – розв’язувати раціональні та дробово-раціональні рівняння, що зводяться до квадратних

рівнянь; – розв’язувати інші типи рівнянь, що зводяться до квадратних.

Завдання для самоконтролю: 1. Розв’язати біквадратне рівняння 0103 24 xx Відповідь: 5 .

2. Розв’язати біквадратне рівняння 0164 x . Відповідь: 2 .

3. Розв’язати симетричне рівняння 0122 234 xxxx .

Відповідь:

253 .

4. Розв’язати зворотне рівняння 01516301615 234 xxxx .

Відповідь:

35;

53;1 .

34

5. Розв’язати рівняння 25

32

23

2

2

xxx

xxx .

Відповідь: 1;4 .


523

522

22

xx

xxx

x .

Відповідь: 5;1 .

7. Розв’язати зворотне рівняння 012164 234 xxxx . Відповідь: 11 x ; 32 x ; 24,3 x .


27112

2 xx

xx .

Відповідь: ;21 x 21

2 x ; 4

3374,3

x .

9. Розв’язати рівняння 1653 44 xx . Відповідь: 5;3 .


1582

2422

xxxx.

Відповідь: 01 x ; 2

6623,2

x ; 24 x .

35

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Многочленні та дробово-раціональні рівняння, що зводяться до квадратних

1. Основні означення

Означення. Рівнянням з однією змінною називається рівність виду xxf , де xf і x –

деякі задані функції. Величина x називається невідомою. Означення. Коренем рівняння називається таке значення невідомого x , підстановка якого в

обидві частини рівняння перетворює його на правильну числову рівність. Розв’язати рівняння – це значить знайти всі його корені або довести, що їх немає. У загальному випадку алгебраїчне рівняння має вигляд

011

10

nnnn axaxaxa 0, 0 aNn ,

де naaa ,,, 10 – відомі дійсні числа. Залежно від значення n алгебраїчні рівняння поділяють на:

– лінійні ( 1n ), – квадратні ( 2n ), – рівняння вищих степенів ( n > 3). Означення. Рівняння xxf називається раціональним, якщо xf і x – многочлени.

При цьому, якщо xf і x – цілі вирази, то рівняння називається цілим раціональним; якщо ж хоча б один з виразів xf і x є дробовим, то рівняння називається дробово-раціональним.

2. Біквадратні та симетричні рівняння

Серед алгебраїчних рівнянь 4-го порядку підлягають універсалізації біквадратні та

симетричні рівняння. Означення. Рівняння виду 024 cbxax , де 0a , називається біквадратним рівнянням.

Біквадратні рівняння зводяться до квадратних заміною tx 2 . Означення. Рівняння виду 0234 abxcxbxax , де 0a , називається симетричним

рівнянням четвертого степеня.

Симетричні рівняння зводяться до квадратних заміною tx

x 1 .

Приклад 1. Розв’язати рівняння 0910 24 xx . Розв’язання.

Це рівняння є біквадратним. Тому робимо заміну змінних tx 2 . Матимемо таке квадратне рівняння:

09102 tt . Обчислюємо дискримінант

6436100914102 D і знаходимо корені

1126410

1

t ; 9

126410

2

t .

Повертаємось до змінної x :

36

.3;3;1;1;9,1

43212

2

xxxx

xx

Відповідь: .3;3;1;1 4321 xxxx Приклад 2. Розв’язати рівняння 02112 234 xxxx . Розв’язання.

Це рівняння є симетричним. Після ділення обох частин даного рівняння на 2x і групування доданків з однаковими коефіцієнтами отримаємо:

011112 22

xx

xx .

Введемо нову змінну tx

x 1 . Одержимо квадратне рівняння:

01122 2 tt ,

розв’язки якого

.3

,25

t

t

Повертаємось до змінної x :

.2

53;2

53;21;2

0130252

31251

43212

2

xxxx

xxxx

xx

xx

Відповідь: .2

53;2

53;21;2 4321

xxxx

3. Зворотні рівняння

Означення. Рівняння четвертого степеня виду

0234 edxcxbxax (3.1) називається зворотним, якщо коефіцієнти рівняння, а, b, d, е зв'язані рівністю

bd , ae 2 ( —відмінне від нуля деяке число). Використовуючи цей зв'язок між коефіцієнтами, рівняння (3.1) можна записати у

вигляді: 02234 abxcxbxax (3.2)

Оскільки 0x не є коренем рівняння (3.1), то, розділивши почленно обидві частини рівняння (3.2) на 2x і, провівши відповідне групування членів лівої частини рівняння, отримаємо рівняння, еквівалентне рівнянню (3.2):

02

22

c

xxb

xxa .

Тепер заміною x

xy (враховуючи, що

222

22 y

xx ) останнє рівняння

зводиться до квадратного рівняння відносно у: 022 acbyay (3.3)

Розв’язавши рівняння (3.3), отримаємо, що розв’язок зворотного рівняння (3.2) зводиться до розв’язання двох квадратних рівнянь:

012 xyx та 02

2 xyx ,

37

де 1y і 2y – корені рівняння (3.3). Частковими випадками зворотного рівняння є

симетричне рівняння (при 1 ) 0234 abxcxbxax ; кососиметричне рівняння (при 1 ) 0234 abxcxbxax .

Заміною x

xy 1 для симетричного і

xxy 1 для кососиметричного рівнянь ці

рівняння зводяться до квадратних відносно змінної y . Приклад 3. Розв’язати рівняння 023332 234 xxxx . Розв’язання.

Дане рівняння є зворотним та кососиметричним рівнянням четвертого степеня ( 1 ). Оскільки 0x не є коренем цього рівняння, то, поділивши його на 2x , отримаємо:

023332 22

xxxx .

Провівши відповідне групування членів лівої частини рівняння, отримаємо:

031312 22

xx

xx .

Зробивши замінуx

xy 1 , отримаємо квадратне рівняння відносно y :

0132 2 yy .

Коренями цього рівняння є 11 y та 21

2 y .

Таким чином, початкове рівняння рівносильне сукупності рівнянь

4171

4171

251

251

211

11

4

3

2

1

x

x

x

x

xx

xx

Отже, ці чотири корені є розв’язком початкового рівняння.


171;4

171;2

51;2

514321

xxxx

4. Однорідні рівняння

Розглянемо рівняння виду

022 xcgxbfxaf , де xf та xg – многочлени степенів m і n відповідно, Nm , Nn .

Оскільки це рівняння є однорідним відносно многочленів xf і xg , то і називається воно однорідним.

Якщо йти стандартним шляхом, тобто виконати всі дії в лівій частині рівняння, то отримаємо многочлен степеня k , де 4k . Тому доцільніше застосувати такий нестандартний підхід: поділити обидві частини даного рівняння на xf 2 (або xg 2 ), зауваживши, що 0xf (або 0xg ).

38

Очевидно, що коренями даного рівняння є значення змінної x , для яких 0 xgxf . Якщо такі значення x існують, знайти їх, розв’язавши рівняння 0 xgxf .

Неважко пересвідчитися, що значення змінної, для яких тільки 0xf (або 0xg ), не є розв’язками рівняння. Отже, при діленні на xf 2 (або xg 2 ) коренів не втратимо.

Після ділення обох частин рівняння на xf 2 (або xg 2 ) матимемо рівняння

02

2

cxgxfb

xgxfa .

Ввівши нову змінну xgxft , отримаємо квадратне рівняння 02 cbtat .

Розв’язавши його і повернувшись до змінної x , одержимо рівняння, степінь якого дорівнюватиме степеню многочлена xf (або xg ). Тобто вихідне рівняння зміниться на рівносильне йому рівняння вдвічі меншого степеня. Приклад 4. Розв’язати рівняння 1131712 3222 xxxx . Розв’язання.

Запишемо рівняння у вигляді 011131712 2222 xxxxxx .

Нехай 12 xxxf , а 1 xxg . Перевіримо, чи має рівняння корені, за умови 0 xgxf . Для цього розв’яжемо

рівняння 112 xxx . Маємо: 022 x , отже, коренів немає. Поділимо обидві частини рівняння на xg 2 . Отримаємо:

071

1131

12222

xxx

xxx .

Введемо нову змінну 1

12

x

xxt . Матимемо квадратне рівняння

07132 2 tt ,


21

7

t

t.

Повернемося до змінної x :

.21,1

,2,4

0132086

21

11

71

1

2

2

2

2

x

xxx

xxxx

xxx

xxx

Відповідь: .21;1;2;4 4321 xxxx

5. Інші види рівнянь, що зводяться до квадратних

Рівняння виду Adxcxbxax , де dcba , cdab .

39

Після заміни 4

dcbaxy і розкривання дужок отримуємо біквадратне рівняння.

Рівняння виду Abxax 44 .

Використати заміну 2

baxy , яка зводить початкове рівняння до біквадратного.

Рівняння виду 2Axdxcxbxax , де cdab .

Перемноживши першу дужку на другу, а третю – на четверту, поділити на 2x . Потім

зробити заміну x

abxy .

Рівняння виду Ccxbax

Bxcxbax

Ax

22

11 , де 0ABC , 0ac

або

Acxbaxcxbax

cxbaxcxbax

42

32

22

12

, де 0ac .

Рівняння цього виду розв’язуються за допомогою заміни xcaxy .

Приклад 5. Розв’язати рівняння 244321 xxxx . Розв’язання.

Перемножимо двочлен у перших дужках на двочлен у четвертих, двочлен у других дужках на двочлен у третіх. Після чого одержимо:

244565 22 xxxx . Введемо нову змінну xxt 52 . Матимемо квадратне рівняння

2446 tt ,


.10

,0tt


.,5,0

10505

2

2

xx

xxxx

Відповідь: .5;0 21 xx

Приклад 6. Розв’язати рівняння 52

12432

2422

xxx

xxx .

Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді:

52

1225,1

1222

xxx

xxx .

Перевіримо, чи є 0x коренем рівняння. Оскільки 0 не є коренем рівняння, то поділимо чисельник і знаменник кожного дробу на x .

Одержимо:

40

521

1225,1

12

x

xx

x.

Введемо нову змінну х

xt 2 . Матимемо рівняння

51

125,1

12

tt,

яке зводиться до квадратного 0152 2 tt ,


.25

,3

t

t


.,2,1

0452023

252

32

2

2

xx

xxxx

хx

хx

Відповідь: .2;1 21 xx Приклад 7. Розв’язати рівняння 253 44 xx . Розв’язання.

Нехай 442

53

txxxt .

Підставивши цей вираз у рівняння, отримаємо 211 44 tt .

Розкривши дужки та звівши подібні доданки, матимемо неповне біквадратне рівняння 06 24 tt ,

розв’язок якого 0t . Повертаючись до змінної x , одержимо 4x .

Відповідь: .4x

41

Тема № 2: ”Доведення тригонометричних тотожностей” План до теми: 1. Основні тригонометричні тотожності. 2. Формули зведення. 3. Основні формули тригонометрії. 4. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення тригонометричних виразів. 5. Доведення тотожностей. Ключові слова: тригонометричне коло; синус кута; косинус кута; тангенс кута; котангенс кута;

тригонометричні тотожності; періодичність функції; формули зведення; основні формули тригонометрії; додавання (віднімання) аргументів; подвійний (потрійний) аргумент; половинний аргумент; тотожні перетворення.

Учні повинні: мати уявлення про – радіанні міри кутів і дуг; – тригонометричні функції числового аргументу xy sin , xy cos , tgxy , ctgxy . знати – означення числової функції, зростаючої і спадної, парної і непарної, періодичної функції; – найменший додатний період і властивості кожної з тригонометричних функцій; – радіанні міри кутів 0 , 30 , 45 , 60 , 90 , 180 , 360 ; – співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. уміти – доводити за означенням монотонність, парність, непарність вивчених раніше функцій; – переводити градусну міру в радіанну і навпаки; – будувати графіки тригонометричних функцій числового аргументу; – доводити співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; – доводити тригонометричні тотожності; – виконувати тотожні перетворення тригонометричних виразів.

Завдання для самоконтролю:

1. Обчислити .3

46

29cos6

113

8sin tgctgA

Відповідь: 3A .

2. Обчислити .60180sec180cos3180sin21 tgA

Відповідь: 132 A .

3. Знайти ,sin cos , ctg , якщо 31

tg , .270180

Відповідь: 101sin ;

103cos ; 3ctg .

4. Обчислити без допомоги калькулятора 9

4cos9

2cos9

cos A .

Відповідь: 81

A .

42

5. Спростити вираз

4sin

4cos2cos43 A .


6. Обчислити

tgtgA

, якщо sin32sin .


7. Довести тотожність .2cossin

1cossin 22

tgctg

8. Довести тотожність .0cossincossin 2244

9. Довести тотожність .sin

cos1cos1

sin

10. Довести тотожність .sin1cos2sin 22

22

ctg

43


Доведення тригонометричних тотожностей

1. Основні тригонометричні тотожності

Розглянемо коло з центром у початку координат і радіусом 1 (див. рис.1). Таке коло називається тригонометричним колом. Розглянемо точку А(1; 0) тригонометричного кола і повернемо відрізок ОА проти годинникової стрілки на кут , тобто точка А переміститься в точку F. Ординату точки F називають синусом кута і позначають sin , а абсцису точки F –

косинусом кута ( cos ). Функції тангенса, котангенса, секанса і косеканса визначаються

відповідно формулами

cossintg ,

sincosctg ,

cos1sec ,

sin1cosec . На рис.1 значенням

тригонометричних функцій кута відповідають довжини таких відрізків: FLsin , OLcos ,

ATtg , MKctg , OTsec , OKcosec . Нижче подано основні властивості тригонометричних функцій та основні тригонометричні тотожності.

Таблиця 1. Тригонометричні функції основних кутів: Кут Функція

000

6300

4450

3600

2900

sin 0 21

21

23 1

cos 1 23

21

21 0

tg 0 3

1 1 3

ctg 3 1 3

1 0

Періодичність функцій:

Період функцій sin і cos дорівнює 03602 , тобто ,2,1,0,cos2cos,sin2sin nnn

Період функцій tg і ctg дорівнює 0180 , тобто ,2,1,0,ctgctg,tgtg nnn

Основними тригонометричними тотожностями називаються наступні співвідношення: 2222 sin1cos;cos1sin1cossin ;

Рис. 1

y

x

1 M F T

K

A L O

44

cossintg ,

sincosctg 1ctgtg ;

cos

1sec ,

sin

1cosec ;

22

22

sin1ctg1;

cos1tg1 .

У формулах 22 sin1cos;cos1sin знаки ”+” або ”–” вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут . Так, якщо закінчується в I або II чверті, то беремо знак ”+”, а якщо в III або IV чверті, то знак ”–” у формулі 2cos1sin .

У формулі 2sin1cos для кутів, що закінчуються в I або IV чвертях, потрібно взяти знак ”+”, а якщо кути закінчуються в II або III чвертях, то знак ”–”.

2. Формули зведення Означення. Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення

тригонометричних функцій аргументів 2,

23,,

2 виражаються

через значення ctgtg ,,cos,sin . Таблиця 2. Формули зведення:

t Функція

2

2

23

2

3 2

sin t cos cos sin – sin – cos – cos – sin cos t sin – sin – cos – cos – sin sin cos tg t ctg – ctg – tg tg ctg –ctg – tg ctg t tg – tg – ctg ctg tg – tg –ctg

Для полегшення запам’ятовування формул зведення можна користуватися такими

правилами: 1) якщо у формулах містяться кути і 2 , то найменування функції не змінюється; якщо ж у

формулах містяться кути 2 і

23 , то найменування функції змінюється синус – на косинус,

тангенс – на котангенс і навпаки; 2) щоб визначити знак у правій частині формули (“+” або ”–”), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута ставлять такий знак, який має зведена функція кутів

2,

23,,

2.

Наприклад: sinsin ; sin2

3cos

.

Приклад 1. Звести до тригонометричної функції гострого кута:

а) 1944sin ; б) 18

389cos .

Розв’язання.

45

а) ;36sin36180sin144sin1445360sin1944sin

б)

1811cos

1811cos

1811102cos

181121cos

18389cos

.187cos

187cos

187cos

Відповідь: а) 36sin ; б) 187cos .

Приклад 2. Обчислити .135sin195sin105cos A Розв’язання.

;15sin1590cos105cos ;15sin15180sin195sin

;2245sin45180sin135sin .

22

2215sin15sin A


3. Основні формули тригонометрії

Вкажемо основні сім груп формул тригонометрії.

1. Формули додавання аргументів:

;sinsincoscoscos

;sincoscossinsin

atgtg1tgtgtg

mkn

2;

2;

2;

ctgctg

ctgctgctg

1 mkn ;; .

2. Формули подвійного і потрійного аргументів: ;cossin22sin ;sin211cos2sincos2cos 2222

2tg1

tg22tg

kn

2;

24;

;sin4sin33sin 3 cos3cos43cos 3 ;

2

3

3133

tgtgtgtg

.

3. Формули зниження степеня:

2

2cos1sin 2 ;

22cos1cos2

.

46

4. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму:

;coscos21coscos

;coscos21sinsin

sinsin21cossin .

5. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій в добуток:

;2

sin2

cos2sinsin

;2

cos2

sin2sinsin

;

2sin

2sin2coscos

;2

cos2

cos2coscos

coscossin

tgtg

n

2, ;

sinsinsin

ctgctg n, .

6. Формули половинного аргументу:

;2cos1

2sin

2cos1

2sin 2

;2cos1

2cos

2cos1

2cos2

cos1sin

2tg

n2 ;

sincos1

2tg

n ;

cos1cos1

2

tg ;

cos1sin

2 ctg n2 .

Знак перед радикалом залежить від того, в якій координатній чверті знаходиться кут 2 .

7. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс поло-винного аргументу:

21

22

sin2

tg

tg

;

21

21

cos2

2

tg

tg

n ;

21

22

2

tg

tgtg

kn 2;

2.

4. Розв’язування прикладів на тотожні перетворення

тригонометричних виразів

Приклад 3. Обчислити

629sin

322cos5 .


47

Використовуючи формули періодичності функцій, матимемо:

65sin

34cos5

654sin

346cos5

629sin

322cos5

.

Застосувавши формули зведення (табл. 2) та значення тригонометричних функцій основних кутів (табл. 1), одержимо:

521

215

6sin

3cos5

6sin

3cos5

65sin

34cos5

.

Відповідь: – 5.

Приклад 4. Обчислити ctg21 , якщо 2

,53sin .

Розв’язання. Застосувавши одну з основних тригонометричних тотожностей, отримаємо

1sin

1ctg 2

.

Оскільки функція ctg у другій чверті координатної площини від’ємна, то з двох значень потрібно вибрати від’ємне.

Отже,

28

3421

916211

925211

53121ctg21 2

.

Відповідь: – 28.

Приклад 5. Спростити вираз xxxxxx

13cos12cos11cos13sin12sin11sin

.

Розв’язання. Для першого і третього доданків у чисельнику та знаменнику застосуємо відповідні

формули перетворення суми в добуток:

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

12cos2

1113cos2

1113cos2

12sin2

1113cos2

1113sin2

13cos12cos11cos13sin12sin11sin

x

xx

xxxx

xxxxxx 12tg

12cos12sin

1cos212cos1cos212sin

12coscos12cos212sincos12sin2

.

Відповідь: x12tg .

Приклад 6. Знайти cos , tg , ctg , якщо 54sin , 18090 .

Розв’язання. 2sin1cos . Оскільки за умовою кут закінчується в II чверті, то 0cos і

перед радикалом потрібно взяти знак “–”. Звідси:

53

259

25161

541sin1cos

22

;

54

cossin

tg :

34

53

;

431

tg

ctg .

48

Відповідь: 53cos ;

34

tg ; 43

ctg .

Приклад 7. Обчислити без допомоги калькулятора 72cos36cosA . Розв’язання.

Помножимо і поділимо початковий вираз на 36sin2 . Тоді маємо:

36sin436180sin

36sin4144sin

36sin472cos72sin2

36sin272cos72sin

36sin272cos36cos36sin2A

41

36sin436sin

.

Відповідь: 4172cos36cos .

Приклад 8. Перетворити у добуток 6cos5cos4cos6sin5sin4sin

А .

Розв’язання. У чисельнику і знаменнику до суми перших і третіх доданків застосовуємо формули

перетворення суми тригонометричних функцій у добуток:

5

1cos25cos1cos25sin

5coscos5cos25sincos5sin2

6cos5cos4cos6sin5sin4sin tgА

.

Відповідь: 5tg .

5. Доведення тотожностей

При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи: 1) вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожніх перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності; 2) вираз, який стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду; 3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю. Приклад 9. Довести тотожність 3cos60cos60coscos4 . Розв’язання.

Перетворивши ліву частину початкової тотожності, маємо

6060cos6060coscos260cos60cos2cos260cos60coscos4

.3coscos3coscos

cos2cos2cos2cos21cos22cos120coscos2

Відповідь: тотожність доведена. Приклад 10. Довести тотожність .1cossin3cossin 2266 Розв’язання.

Оскільки 1cossin 22 , то для будь-якого k .11cossin 22 kk Тому для

доведення тотожності найкраще перетворити праву частину з урахуванням того, що .cossin1 322 При піднесенні до куба дістанемо:

49

.1cossin3cossin

cos1cossin3sincoscossincossin3sincoscossin3cossin3sin

coscossin3cossin3sincossin1

2266

622662222

6642246

3222222232322

Відповідь: тотожність доведено. Приклад 11. Довести тотожність .cossin31cossin2 4466 Розв’язання.

Перетворимо ліву частину початкової тотожності. Вираз 66 cossin зобразимо як суму кубів, а 1 запишемо у виді .cossin1 222 Тоді з урахуванням тотожності для суми кубів

222323266 cossincossin21cossin2

.cossin3cos3sin3coscossin2sincos2cossin2sin2

coscossin2sincoscossinsincossin2

44

4442244224

4224422422

Відповідь: тотожність доведено. Приклад 12. Довести тотожність .1898887...45...321 tgtgtgtgtgtgtg Розв’язання.

За формулами зведення маємо: ;119089 ctgtgtg ;229088 ctgtgtg ;...;339087 ctgtgtg 44449046 ctgtgtg .

Тоді вираз можна записати в такий спосіб:

.111...111454444...332211

123...444544...321

tgctgtgctgtgctgtgctgtgctgctgctgctgtgtgtgtgtg

При доведенні даної тотожності було змінено порядок множників і використано 44 рази тотожність 1 ctgtg , а також той факт, що 145 tg . Відповідь: тотожність доведено.

50

Тема № 3: ”Текстові задачі” План до теми: 1. Класифікація текстових задач. 2. Задачі на відсотки:

2.1. Прості задачі на відсотки. 2.2. Задачі на відсотковий приріст і обчислення ”складних відсотків”.

3. Задачі на рух. 4. Задачі на сумісну роботу і продуктивність праці. 5. Задачі на сплави, суміші та розчини. 6. Геометричні задачі. Ключові слова: система рівнянь; відсотки; “складні” відсотки; відсотковй приріст; пропорція;

відстань; швидкість; час руху; рівномірний рух; середня швидкість; сумісна робота; продуктивність праці; задачі на змішування; масова концентрація; об’ємна концентрація; відсотковий вміст.

Учні повинні: знати – означення відсотка, ”складного” відсотка; – основні методи розв’язування задач на відсотки; – основні методи розв’язування текстових задач. уміти – записувати відсотки у вигляді звичайного і десяткового дробів та будь-яке число у вигляді відсотка; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач.

Завдання для самоконтролю: 1. У бібліотеці є книжки англійською, французькою і німецькою мовами. Англійські книжки становлять 36% усіх книг іноземними мовами, французькі – 75% англійських, а інші 185 книжок – німецькі. Скільки книжок іноземними мовами у бібліотеці? Відповідь: 500 книжок. 2. Підприємство збільшувало обсяг продукції, що випускається, щорічно на одне й те саме число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що за два роки обсяг продукції, що випускається, зріс у два рази. Відповідь: %4,41 3. Із пунктів А і С до пункту В вирушили одночасно два вершники. Незважаючи на те, що С знаходиться від В на 20 км далі, ніж А від В, вершники прибули в В одночасно. Знайти відстань від С до В, якщо вершник, що вирушив із С, проїжджав кожен кілометр на 1 хв 15 с швидше, ніж вершник із пункту А. Відомо, що вершник, який вирушив з А, був у дорозі 5 год. Відповідь: 80 км. 4. Деяку відстань поїзд пройшов зі швидкістю 120 км/год. Після цього відстань, яка на 75 км більша, він пройшов зі швидкістю 150 км/год, а решту шляху, що на 135 км коротший пройденого, – зі швидкістю 96 км/год. Який весь шлях, якщо середня швидкість поїзда виявилася рівною 120 км/год. Відповідь: 415 км.

51

5. Тракторна бригада може виорати 65 ділянки землі за 4 год 15 хв. До обідньої перерви бригада

працювала 4,5 год, після чого залишилися невиораними ще 8 га. Яка площа ділянки? Відповідь: 68 га.

6. Насос може викачати з басейну 32 води за 7,5 хв. Пропрацювавши 0,15 год, насос зупинився.

Знайти місткість басейну, якщо після зупинки насоса в басейні ще залишилося 25 3м води. Відповідь: 125 3м . 7. Скільки кг води потрібно випарувати з 0,5 т целюлозної маси, що містить 85% води, щоб отримати масу зі вмістом 75% води? Відповідь: 200 кг. 8. Із молока, жирність якого становить 5%, виготовили сир жирністю 15,5%, при цьому залишилася сироватка жирністю 0,5%. Скільки сиру виходить з 1 т молока? Відповідь: 300 кг. 9. Сплав складається з олова, міді і цинку. Якщо від цього сплаву відокремити 20 г і сплавити їх з 2 г олова, то в знову отриманому сплаві маса міді буде дорівнювати масі олова. Якщо ж відокремити від початкового сплаву 30 г і додати 9 г цинку, то в цьому новому сплаві маса олова дорівнюватиме масі цинку. Визначити у відсотках склад початкового сплаву. Відповідь: олово 40%, мідь 50%, цинк 10%. 10. Як потрібно розрізати циферблат годинника на шість частин так, щоб в кожній частині сума чисел була однакова?

52


Текстові задачі

1. Класифікація текстових задач

У цій лекції розглянуто, на наш погляд, цікаві й повчальні задачі, для розв’язання яких не потрібно застосовувати громіздкі формули чи здійснювати складні математичні перетворення і обчислення. Проте, з іншого боку, для розв’язання цих задач не існує універсального методу, а потрібно проявити логічне мислення, просторову і часову уяву, винахідливість.

Умовно процес розв’язування таких задач можна розбити на чотири етапи: -невідомі величини позначаються буквами x, y; -на основі умови задачі складається рівняння або система рівнянь; -знаходять корені рівняння (системи); -серед усіх коренів вибирають ті, які не суперечать логіці задачі.

Серед текстових задач можна виокремити такі типи: 1. Задачі на відсотки. 2. Задачі на рух. 3. Задачі на сумісну роботу і продуктивність праці. 4. Задачі на сплави, суміші та розчини. 5. Геометричні задачі.

2. Задачі на відсотки

Серед десяткових дробів часто використовується дріб 0,01, який називається відсотком і позначається 1%. Відповідно дроби 0,05, 0,25 і т. п. позначаються 5%, 25%.

Задачі з використанням відсотків поділяються на прості задачі та задачі на відсотковий приріст і обчислення ”складних відсотків”.

2.1. Прості задачі на відсотки

Найпростіші задачі на відсотки поділяються на три типи: • знаходження відсотка від даного числа; • знаходження числа за його відсотком; • знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Під час розвязування цих типів задач користуються такими правилами:

Правило 1. %m від числа С дорівнює 100

mC .

Правило 2. Якщо %m від числа С дорівнює А, то число С дорівнює m

A 100 .

Правило 3. Відсоткове відношення чисел А і В дорівнює %100BA .

Універсальним способом розв’язування таких задач є складання пропорції a одиниць – x відсотків b одиниць – y відсотків

із подальшим використанням властивості bxay і знаходженням невідомої величини. Задача 1. Морська вода містить 5% солі. Скільки кг прісної води треба додати до 40 кг

морської, щоб вміст солі в суміші складав 2%?

53


В 40 кг морської води (згідно з правилом 1) міститься 2100

540

кг солі. Щоб 2 кг солі

складали 2% загальної ваги, остання повинна дорівнювати

10021002

кг (обчислено за правилом 2).

Отже, додати потрібно 6040100 кг прісної води. Відповідь: 60 кг. Задача 2. Кава при смаженні втрачає 12% своєї ваги. Скільки кг свіжої кави треба взяти, щоб

одержати 4,4 кг смаженої кави? Розв’язання.

Оскільки кава при смаженні втрачає 12% ваги, то після смаження залишається 88% кави. Складемо пропорцію:

4,4 кг – 88% х кг – 100%

Звідси 588

1004,4

x кг.

Відповідь: 5 кг. Задача 3. Женя схуд за весну на 20%, за літо поправився на 30%, за осінь схуд на 20%, а за зиму

знову поправився на 10%. Поправився чи схуд Женя за рік? Розв’язання.

Нехай на початку року вага Жені становила 100 одиниць. Тоді за весну він схуд на 202,0100 одиниць і став важити 80 одиниць.

Аналогічно обчислюємо, що за літо Женя поправився на 243,080 одиниці і важив в кінці літа 104 одиниці. Відповідно за осінь схуд на 8,202,0104 одиниць і став важити 83,2 одиниці, а за зиму поправився на 32,81,02,83 одиниці.

Отже, вага Жені в кінці року становила 91,52 одиниці. Порівнюючи її з вагою на початку року, робимо висновок, що Женя схуд. Відповідь: схуд.

2.2. Задачі на відсотковий приріст і обчислення ”складних відсотків”

Розв’язування таких задач базується на таких фактах.

1)Якщо деяка додатна величина спочатку дорівнювала 0A , а потім стала дорівнювати 1A , то вона змінилася на p %, що обчислюються за такою формулою:

%100%0

01

A

AAp .

Якщо величина збільшується, то 0p , а якщо зменшується, то 0p . Звідси

100101

pAA .

Ця формула дає змогу знайти 1A за відомими 0A і p . 2) Формула ”складних відсотків”. Якщо деяка додатна величина спочатку дорівнювала 0A , а потім n разів підряд змінювалася на p % (причому кожен наступний раз відсотковий приріст розглядався до попередньої величини, а не до 0A ), то кінцеву величину nA знайдемо за формулою

54

n

npAA

10010 .

3) Якщо деяка додатна величина спочатку дорівнювала 0A , а потім n разів змінювалася так: першого разу на %1p , другого – на %2p , , n -го разу на %np (причому кожного наступного разу відсотковий приріст розглядався до попередньої величини, а не до 0A ), то кінцеву величину nA знайдемо за формулою

1001...

1001

1001 21

0n

npppAA .

Задача 4. Ціну товару спочатку знизили на 20%. Нову ціну знизили ще на 15% і, нарешті, після

перерахування її знизили ще на 10%. На скільки відсотків усього знизили початкову ціну товару?

Розв’язання. Нехай спочатку товар коштував x грн. Після трьох знижень він коштував

xx 612,0100101

100151

100201

,

що становить

%2,61%100612,0

xx

від початкової вартості товару, тобто товар став дешевшим на 100% – 61,2% = 38,8%. Відповідь: на 38,8%.

Задача 5. Населення міста щорічно збільшується на 501 наявної кількості жителів. Через

скільки років населення потроїться? Розв’язання.

Нехай спочатку було x жителів, а умова задачі виконується через n років. Тоді

(враховуючи %2501 ), використовуючи формулу ”складних відсотків”, маємо

xxn

3100

21

, тобто 302,1 n .

Логарифмуючи обидві частини (наприклад, за основою 10), маємо

n lg1,02 = lg3; 5502,1lg3lg

n років.

Відповідь: 55 років. Задача 6. Початкова собівартість одиниці продукції дорівнювала 50 грн. Протягом першого

року виробництва вона підвищилася на деяке число відсотків, а протягом другого року знизилася (стосовно підвищеної собівартості) на таке саме число відсотків, внаслідок чого вона стала дорівнювати 48 грн. Визначити число відсотків підвищення і зниження собівартості одиниці продукції.

Розв’язання. Нехай шукане число відсотків дорівнює x %. Тоді, виходячи з умови задачі, маємо

48100

1100

150

xx ,

тобто

55

5048

1001 2

2

x ;

251

100

2

x ;

51

100

x ; %20x .

Відповідь: на 20%.

3. Задачі на рух

Текстові задачі на рух майже завжди містять такі величини: відстань, швидкість, час руху. Розв’язуючи задачі на рух, слід дотримуватись таких положень: 1. Рух вважається рівномірним, а пройдений шлях визначається за формулою

tS υ, де υ – швидкість, t – час.

2. Якщо тіло рухається за течією річки, то його швидкість складається із швидкості руху в стоячій воді 1 плюс швидкість течії річки 2 , тобто

21 , а якщо рух відбувається проти течії, то швидкість тіла дорівнює:

21 . 3. Повороти тіл, що рухаються, відбуваються без затрат часу і без зміни швидкості. 4. Зміна швидкості на різних відрізках шляху проходить миттєво.

Якщо між двома тілами, що рухаються зі швидкостями 1 і 2 , відстань дорівнює S, то при визначенні часу використовуємо такі вирази: 1) при русі назустріч один одному тіла зустрінуться через час

21

St ;

2) якщо тіло, що має швидкість 1 , доганяє тіло, що має швидкість 212 , то це відбудеться через час

21

St .

У задачах на рух в більшості випадків рухаються: два тіла назустріч одне одному; два тіла в одному напрямі; одне тіло за і проти течії річки; два тіла по колу.

Задачі, пов’язані із середньою швидкістю

Якщо тіло, що рухається, проходило першу ділянку завдовжки 1S зі швидкістю 1 , а другу ділянку завдовжки 2S – зі швидкістю 2 , то середню швидкість на всьому шляху

ср обчислимо за формулою

21

21

ttSS

ср

,

де 1

11

St – час проходження першої ділянки, а 2

22

St – другої.

Зауваження: (!) Поширеною помилкою є обчислення середньої швидкості за ”формулою”

221

ср .

56

Задача 7. Два мотоциклісти вирушили одночасно назустріч один одному з пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 600 км. За той час, що перший проходить 250 км, другий проходить 200 км. Знайти швидкості руху мотоциклістів, вважаючи їхній рух рівномірним, якщо перший мотоцикліст прибуває в В на 3 год раніше, ніж другий в А.

Розв’язання. Нехай x (км/год) – швидкість першого мотоцикліста, а y (км/год) – другого. Тоді за

умовою

yx200250

,

тобто yx 25,1 . На весь шлях перший витратив x

600 (год), а другий – y

600 (год).

За умовою

3600600

xy,

тобто

1200200

xy.

Підставляючи замість x значення y25,1 , отримаємо

40140125,1200200

yyyy

,

тоді 504025,1 x . Відповідь: 50 км/год і 40 км/год. Задача 8. Двоє приятелів у одному човні пройшли по річці вздовж берега і повернулися тим

самим шляхом через 5 год з моменту відплиття. Весь рейс становив 10 км. За їхніми підрахунками вийшло, що на кожні 2 км проти течії в середньому їм треба було стільки ж часу, скільки на кожні 3 км за течією. Знайти швидкість течії, час руху туди і час руху назад.

Розв’язання. Нехай x (км/год) – власна швидкість човна, а швидкість течії – y (км/год). Для того щоб

пройти 2 км проти течії, необхідно yx

2 (год), а на рух 3 км за течією необхідно yx

3 (год).

Тоді, виходячи з умови, маємо

yxyxyxyxyx

5332232

.

На 5 км за течією приятелі витратили yyx 6

55

(год), а на 5 км проти течії

yyx 455

(год). За умовою

1255

45

65

yyy

.

Час руху за течією становить 2

1256

5

год, а проти течії 3

1254

5

год.

Відповідь: 125 км/год; за течією – за 2 год, проти течії – за 3 год.

57

Задача 9. Навчальний літак летів зі швидкістю 220 км/год. Коли йому залишилося пролетіти на 385 км менше, ніж він пролетів, літак збільшив швидкість до 330 км/год. Середня швидкість на всьому шляху виявилася рівною 250 км/год. Яку відстань пролетів літак?

Розв’язання. Нехай перша частина шляху дорівнює x (км), тоді друга – ( x – 385) (км), а весь шлях –

(2 x – 385) (км). На першу частину було витрачено 220

x (год), а на другу – 330

385x (год). Тоді

8807705

38526625

330385

220

3852250

x

xx

xxx .

Отже, весь шлях становить 13753858802 км. Відповідь: 1375 км.

4. Задачі на сумісну роботу і продуктивність праці

Розглянемо задачі, пов’язані з конкретним обсягом роботи. Якщо А – деякий обсяг роботи, виконаний за час t , а N – продуктивність праці, тобто

робота, виконана за одиницю часу, то tNA

Задача 10. Якщо бачок з діркою в дні наповнити водою, то її вистачає 10 особам на 10 діб або 8

особам на 12 діб. На скільки діб вистачить води 4 особам? Розв’язання.

Введемо позначення: x – ємність бачка, y – кількість води, що витікає з бачка за 1 добу, z – кількість води, яку випиває 1 особа за 1 добу.

Складаємо на основі умови задачі систему рівнянь:

;12812,101010

zyxzyx

Віднявши від першого рівняння друге, матимемо zy 42 , а отже zy 2 , zx 120 . Якщо позначити через k шукану кількість діб, отримаємо kzkyx 4 .

Підставивши замість x та y їхні вирази, матимемо

.20;1206

;42120

kzkz

kzkzz.

Відповідь: на 20 діб. Задача 11. Перша бригада може обробити все поле за 12 днів. Другій бригаді для виконання тієї

самої роботи потрібно 75% цього часу. Після того як протягом 5 днів працювала тільки перша бригада, до неї приєдналася друга й обидві разом закінчили роботу. Скільки днів працювали бригади разом?


Перша бригада 121 частину поля обробляє за один день, а за 5 відпрацьованих

самостійно днів 125

1215 частин поля, після чого залишилося необроблено

127 частин поля.

58

Друга бригада самостійно може обробити поле за 91210075

(дн.), а значить за один день

обробляє 91 частину поля.

Працюючи разом, за один день бригади обробляють 367

91

121

частин поля. Значить

для оброблення 127 частин поля їм необхідно така кількість днів: 3

367:

127

.

Відповідь: 3 дні. Задача 12. Якщо дві труби відкрити одночасно, то басейн наповниться за 2 год 24 хв. Насправді

ж спочатку було відкрито тільки першу трубу протягом 41 часу, необхідного другій

трубі, щоб наповнити басейн, діючи окремо. Потім відкрили другу трубу, також

протягом 41 часу, необхідного першій, щоб одній наповнити басейн, після чого

виявилося, що залишилося наповнити 2411 повної місткості басейну. Скільки часу

необхідно для наповнення басейну кожною трубою окремо? Розв’язання.

Нехай першій трубі для самостійного наповнення басейну потрібно x (год), а другій –

y (год). Об’єм басейну позначимо V. Тоді продуктивність першої труби xV , а другої

yV . За

умовою

VyV

xV

60242 , тобто

12511

yx

.

Далі

2411

44VV

yVx

xVy

, тобто 6

13

yx

xy .

Отримали систему

;6

13

,12511

yx

xy

yx

розв’язавши яку, знаходимо, що ,41 x 61 y або 62 x , 42 y . Відповідь: 4 год і 6 год.

5. Задачі на сплави, суміші та розчини

Задачі на сплави, суміші та розчини інколи називають задачами на змішування. Нехай сплав чи суміш утворюються з кількох речовин (для прикладу з двох), котрі

мають маси 1M і 2M та об’єми 1V і 2V відповідно. Розглядаючи сплав чи суміш, будемо дотримуватися таких домовленостей: 1. Усі отримані сплави чи суміші однорідні. 2. При зливанні (сплавленні) вказаних вище речовин отримуємо речовину, маса якої

21 MMM , а об’єм 21 VVV .

59

Означення: Масовою концентрацією речовини в суміші (позначається буквою С) називається відношення маси цієї речовини до маси суміші, тобто

21

111 MM

MMMC

;

21

222 MM

MMMC

.

Аналогічно дається означення об’ємної концентрації, тобто

21

111 VV

VVVC

;

21

222 VV

VVVC

.

Зрозуміло, що 121 CC . Відсотковим вмістом речовини в даній суміші є величина %100 Cp , тобто

%10011 Cp , %10022 Cp . Можна розглядати як масовий, так і об’ємний відсотковий вміст.

Задача 13. Змішали 40% розчин кислоти з 20% розчином і отримали 400 г 25% розчину.

Скільки грамів 20% розчину було взято? Розв’язання.

Нехай x – кількість 40% розчину, y – кількість 20% розчину.

Складаємо систему рівнянь, перше з яких відображає збереження маси розчинів при змішуванні, а друге – збереження маси чистої кислоти, наявної в розчинах:

.300,100

1002,04,0,400

yx

yxyx

.

Відповідь: 300 гр. Задача 14. Сплав міді зі сріблом містить срібла на 1845 г більше, ніж міді. Якщо в нього додати

деяку кількість чистого срібла, що за масою дорівнює 31 маси чистого срібла, що

спочатку міститься в сплаві, то отримаємо новий сплав, який містить 83,5% срібла. Яка маса сплаву і який початковий відсотковий вміст у ньому срібла?

Розв’язання. Нехай початковий сплав містить x (г) срібла, тоді міді в ньому ( x – 1845) (г). Тому

загальна маса початкового сплаву (2 x – 1845) (г), а відсотковий вміст срібла в ньому

%10018452

xx .

Якщо до сплаву додати x31 (г) чистого срібла, то його в сплаві буде

xxx34

31

(г),

а загальна маса сплаву стане

18453

73118452

xxx (г).

За умовою

250518453

7835,034%5,83%100

18453

734

xxxx

x.

Тоді початкова маса сплаву 3165184525052 г,

а процентний вміст срібла в ньому

60

%2113179%100

31652505

.

Відповідь: 3165 г; %2113179 .

6. Геометричні задачі

Текстові задачі геометричного характеру вимагають розуміння понять та основних

формул планіметрії і стереометрії. Задача 15. Квадрат і рівносторонній трикутник заповнені однаковою кількістю однакових кіл

так, як показано на рис. 2.

Рис. 2 Скільки кругів дотикається до сторони квадрата, якщо до сторони трикутника

дотикається 8 кіл? Розв’язання.

Оскільки до сторони трикутника дотикається 8 кіл, то, як видно з рис. 2, загальна кількість кіл всередині трикутника дорівнює

3687654321 . За умовою задачі всередині квадрату розташовані теж 36 кіл, а тому до його сторони

дотикаються 636 кіл. Відповідь: 6.

61

Тема № 4: ”Логарифмічні та показникові тотожності” План до теми: 1. Показникова функція, її властивості. 2. Основні показникові тотожності. 3. Означення логарифма, його властивості. 4. Логарифмування та потенціювання. 5. Логарифмічна функція, її властивості. Ключові слова: показникова функція; властивості; область визначення; показникові тотожності;

логарифм; основа логарифма; логарифмічні тотожності; натуральний логарифм; десятковий логарифм; перехід до нової основи; логарифмування; потенціювання; логарифмічна функція.

Учні повинні: знати – означення показникової та логарифмічної функцій; – значення логарифма числа та логарифмічної функції; – основну логарифмічну тотожність; – властивості логарифмів. уміти – будувати ескізи графіків показникової функції; – будувати ескізи графіків логарифмічної функції; – “читати” за графіками властивості функцій; – спрощувати показникові та логарифмічні вирази; – доводити тотожності.

Завдання для самоконтролю:

1. Знайти область визначення функції xy1

5 . Відповідь: а) ;00;x .

2. Знайти область визначення функції 21

31 x

y

.

Відповідь: 1;1x .

3. Знайти область визначення функції 62log 3 xy . Відповідь: ;3x .

4. Обчислити 4log21 ;

Відповідь: –2.

5. Обчислити 33log3 .

Відповідь: 23 .

6. Спростити

aa

b

bb

a logloglog

. Відповідь: ablog .

62

7. Знайти 6log3 , якщо a2log3 . Відповідь: 1a .

8. Знайти 12log5 , якщо a2log5 , c3log5 . Відповідь: ca 2 .

9. Знайти x , якщо 2log23log3log311log 5555 x .


353

.

10. Обчислити 5log

21

161

.

Відповідь: 625.

63


Логарифмічні та показникові тотожності

1. Показникова функція, її властивості Означення. Функція, задана формулою виду xay , де 0a , 1a називається показниковою. Зауваження 1: Оскільки 11 x при Rx , то іноді показникову функцію визначають, не

виключаючи значення 1a . При такому визначенні показникової функції випадок 1a розглядається окремо.

Властивості функції xay при 1a : 1) область визначення функції – уся числова пряма, тобто RyD ; 2) область значень функції – проміжок ;0 , тобто RyE ; 3) функція не є ні парною, ні непарною, оскільки xx aa , xx aa ; 4) функція зростає на всій числовій прямій, 21

21xx aaxx ;

5) при 0x значення функції дорівнює 1, тобто 10 a ; 6) якщо 0x , то 1xa ; 7) якщо 0x , то 10 xa . Властивості функції xay при 10 a : 1) область визначення RyD ; 2) область значень RyE ; 3) функція не є ні парною, ні непарною; 4) функція спадає на всій числовій прямій, 21

21xx aaxx ;

5) при 0x значення функції дорівнює 1, тобто 10 a ; 6) якщо 0x , то 10 xa ; 7) якщо 0x , то 1xa . Зауваження 2: Якщо 1a , то 11 xxa . Таким чином, якщо не виключати значення 1a у

визначенні показникової функції, то можна стверджувати, що функція 11 xy є сталою і її графіком є пряма 1y .

Приклад 1. Знайти область визначення функції: а) 3

1

21

xy ; б) 162

2 xy .

Розв’язання. а) 303: xxyD . Звідси ;33;yD ;

б)

;44;

44

416016: 22 xxx

xxxyD .

Відповідь: а) ;33;x ; б) ;44;x .

2. Основні показникові тотожності

При будь-яких дійсних значеннях x і y справедливі рівності: yxyx aaa ;

64

yxy

x

aaa ;

xxx baab ;

x

xx

ba

ba

;

yxyx aa . Ці формули називаються властивостями степенів. Вони означають, що для функції xa ,

яка визначена на всій числовій прямій, залишаються правильними властивості функції xa , яка спочатку була визначена лише для раціональних x .

3. Означення логарифма, його властивості Означення. Логарифм додатного числа b за основою a (де 1,0 aa ) є показником степеня,

у який потрібно піднести число a , щоб отримати число b : bacb c

a log . Логарифм числа b за основою a , позначається символом balog .

Наприклад: 9log293 32 ;

161log4

161

21

21

4

.

З означення логарифма випливає, що ba ba log . Рівність ba ba log правильна для будь-яких 1,0 aa , 0b і називається основною логарифмічною тотожністю.

Для позначення десяткових і натуральних логарифмів прийняті спеціальні позначення: замість b10log пишуть blg , замість belog пишуть bln ( e – основа натурального логарифма,

7,2e ). Таким чином, bb lglog10 , bbe lnlog .

Властивості логарифмів: 1) ba ba log (основна логарифмічна тотожність); 2) 1log aa (логарифм основи дорівнює одиниці); 3) 01log a (логарифм одиниці дорівнює нулю); 4) формула для логарифма добутку, що дорівнює сумі логарифмів:

якщо b >0, 0c , то cbbc aaa logloglog ; якщо b <0, 0c , то cbbc aaa logloglog .

5) формула для логарифма частки, що дорівнює різниці логарифмів:

якщо b >0, 0c , то cbcb

aaa logloglog

;

якщо b <0, 0c , то cbcb

aaa logloglog

.

6) формула для логарифма степеня, що дорівнює добутку показника степеня на логарифм його основи:

якщо b >0, то bpb ap

a loglog ; якщо показник степеня є парним числом p2 , то bpb a

pa log2log 2 , 0\Rb .

7) формула переходу до нової основи логарифма:

65

якщо b >0, то abb

c

ca log

loglog ;

якщо cb то aa

bb

bb

ba log

1loglog

log

8) якщо основу логарифма і число, що стоїть під знаком логарифма, піднести до того самого степеня відмінного від нуля, то значення логарифма не зміниться, тобто p

aa bb ploglog .

9) ab cc ba loglog .

10) логарифм кореня: bn

b an

a log1log , b >0.

Зауваження: необхідно розрізняти логарифм суми і суму логарифмів. Сума логарифмів дорівнює логарифму добутку (властивість 4), а для логарифма суми cba log ніякої формули не існує.

Приклад 2. Обчислити а) 21log 2 ; б) 2log

21 ; в)

2431log3 ; г) 19log33 ; д) 6ln5e .


а) 121log 2 , тому що

212 1 ;

б) 212log

21 , тому що 2

21 2

1

;

в) 52431log3 , тому що

24313 5 ;

г) використавши основну логарифмічну тотожність, отримаємо 193 19log3 ; д) використавши основну логарифмічну тотожність, отримаємо

556ln6ln5 6ee 6366666 24 .

Відповідь: а) –1; б) 21

; в) –5; г) 19; д) 636 .

Приклад 3. Спростити а) 25lg5lg3

5

; б) 10log9log...5log4log3log 98432 . Розв’язання. а) Помітивши, що

200lg5

10lg5lg10lg5lg33

3

,

а також той факт, що

10log10log10log25lg1

52525 ,

отримаємо:

200lg200lg

200lg21200lg

21

200lg200lg10log200lg10log25lg5lg3

101010101055521

55

210200 . б) Позначивши початковий вираз через А, та перейшовши у всіх множниках до логарифмів за основою 10, отримаємо:

66

10log2lg

19lg

10lg8lg9lg...

4lg5lg

3lg4lg

2lg3lg

2A .

Відповідь: а) 210 ; б) 10log 2 . Приклад 4. Знайти а) 8log30 , якщо a3log30 , c5log30 ; б) 56lg , якщо a2lg , b7log 2 . Розв’язання.

а)

c

330log35log10log3

510log32log32log8log 3030303030

33030

cac 133log30log3 3030 ;

б) baaa 32lg7log310log7log2lg37lg2lg72lg56lg7256 2

2

2333 .

Відповідь: а) ca 13 ; б) baa 3 .

Приклад 5. Спростити 222loglog 22A . Розв’язання.

37log

8log7log87log2loglog222222222

2

22287

2287

47

43

23

A

Відповідь: 37log 2 .

4. Логарифмування і потенціювання

Якщо деякий вираз F складений з чисел або змінних за допомогою операцій множення, ділення, піднесення до степеня, то можна виразити Falog через логарифми вхідних в Falog чисел або змінних, використовуючи властивості логарифмів.

Таке перетворення називається логарифмуванням. Означення. Потенціювання – це перетворення, зворотне логарифмуванню. При потенціюванні

знаходять вираз за його логарифмом.

Приклад 6. Знайти x , якщо babax lglglg32lg .

Розв’язання. Маємо:

32

32

32

32

1lglglglglg32lg

ba

bababa

xba

ba

bababa

bax

3

21

ba

ba.


21

ba

ba.

67

5. Логарифмічна функція, її властивості

Означення. Функція xy alog ( ,0a 0a ) називається логарифмічною. Властивості функції xy alog при 1a : 1) область визначення функції – проміжок ;0 , тобто RyD ; 2) область значень функції – уся числова пряма, тобто RyE ; 3) функція не є ні парною, ні непарною; 4) функція зростає при 0x , тобто 2121 loglog xxxx aa ; 5) при 1x значення функції дорівнює 0, тобто 01log a ; 6) якщо 10 x , то 0log xa ; 7) якщо 1x , то 0log xa . Властивості функції xy alog при 10 a : 1) область визначення функції – проміжок ;0 , тобто RyD ; 2) область значень функції – уся числова пряма, тобто RyE ; 3) функція не є ні парною, ні непарною; 4) функція спадає при 0x , тобто 2121 loglog xxxx aa ; 5) при 1x значення функції дорівнює 0, тобто 01log a ; 6) якщо 10 x , то 0log xa ; 7) якщо 1x , то 0log xa .

Приклад 7. Знайти область визначення функцій: а) xy 41log31 ; б)

11log5 x

xy .

Розв’язання. а) Оскільки область визначення логарифмічної функції – множина додатних чисел, то

:yD

41;

41041 xxx ;

б) Оскільки область визначення логарифмічної функції – множина додатних чисел, то

:yD

;11;

11

011 x

xx

xx .

Відповідь: а)

41;x ; б) ;11;x .

68

ДЛЯ НОТАТОК

методичка 10 клас194.44.192.20/pages/library/metod_dist_matem_10_cl.pdf ·...

Documents