1 · web view1. esdeveniments 13

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

1. Esdeveniments 13Un dia qualsevol surts de casa al matí i agafes l’autobús. Duus monedes de diferents valors a la butxaca i en treus una a l’atzar per pagar el bitllet. Segons la moneda que treguis n’hi haurà prou o no per a pagar-lo. Quan vegis quina moneda és ho sabràs. Aquesta situació, com moltes d’altres que podríem trobar en el dia a dia, la podem considerar un experiment en què hi ha diversos resultats o esdeveniments possibles. En aquesta unitat estudiarem quines són les regles que determinen els resultats en aquests experiments. Començarem definint alguns termes.

Experiment aleatori

En el cas de treure una moneda de la butxaca a l’atzar, i en d’altres semblants en què cal dur a terme l’experiència per a saber-ne el resultat, parlem d’experiment aleatori.Vegem-ne altres exemples:

Exemple 1 Tirar un dau i observar el nombre que surt.

Exemple 2 Agafar una carta d’una baralla espanyola i observar quina carta surt.

Exemple 3 Jugar a la ruleta i observar el nombre on cau la bola.

Espai mostral

Quan llancem una moneda enlaire pot ser que surti cara o creu. Aquests són els resultats possibles (esdeveniments elementals) de l’experiment aleatori i constitueixen el que s’anomena espai mostral. L’espai mostral se simbolitza amb la lletra E. En aquest cas E = {cara, creu}.

Els espais mostrals dels experiments aleatoris descrits en els exemples de l’apartat anterior són els següents:

Exemple 1 E = {1,2,3,4,5,6} Exemple 2 E = {totes les cartes}

Exemple 3 E = {0,1,2,3,...................,36}

Esdeveniment

En el llançament d’un dau hi ha sis possibles resultats (E = {1,2,3,4,5,6}). Dins d’aquest espai mostral podem fer diferents subconjunts, per exemple:

A = {1} B = {3,4} C = {1,2,3,5}

Se’n poden fer molts d’altres. Cada un és un esdeveniment. Un

esdeveniment és qualsevol subconjunt de l’espai mostral.

Ara definirem alguns tipus d’esdeveniments amb un exemple que en clarifiqui la definició. Tots els exemples fan referència a l’experiment aleatori de tirar un dau i observar quin nombre surt. Com ja hem dit, en aquest experiment aleatori E = {1,2,3,4,5,6}.

Esdeveniment elementalÉs format per un sol element de l’espai mostral.

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

14 Exemple A = que surti el número 1 A = {1}

Esdeveniment compostÉs format per l’agrupació de dos o més esdeveniments elementals de l’espai mostral.

Exemple B = que surti un nombre imparell B = {1,3,5}

Esdeveniment segurÉs format per tot l’espai mostral. Sempre succeeix.

Exemple D = que surti un nombre de l’1 al 6 D = {1,2,3,4,5,6}

Esdeveniment impossibleNo és dins de l’espai mostral.

Exemple F = que surti el 8 F = Ø

Esdeveniments compatiblesQuan llancem un dau pot ser que el nombre que surti sigui imparell i primer alhora. Els esdeveniments imparell i primer són compatibles, atès que els nombres 1, 3 i 5 són imparells i primers:

Imparell A = {1,3,5}

Primer B = {1,2,3,5}

Diem que dos o més experiments són compatibles quan es poden produir alhora en fer un experiment aleatori.

Esdeveniments incompatiblesQuan llancem el dau, no pot ser que el nombre que surti sigui parell i imparell alhora. Diem que els esdeveniments parell (A = {2,4,6}) i imparell (B = {1,3,5}) són incompatibles.

Diem que dos esdeveniments són incompatibles quan no es poden produir alhora en fer un experiment aleatori.

Esdeveniment contrariSi considerem l’esdeveniment «que surti el cinc» (A = {5}), l’esdeveniment contrari és que no surti el cinc (A = {1,2,3,4,6}).

Així, doncs, l’esdeveniment contrari és el format per tots els elements de l’espai mostral que no formen part de l’esdeveniment en consideració. L’esdeveniment contrari se simbolitza per la mateixa lletra que l’esdeveniment en consideració amb un guió a sobre (A).

• Activitats d'aprenentatge 1, 2 i 3

n

n fa cara fr cara

1 1 1 = 11

2 2 2 = 12

3 3 3 = 13

4 3 3 = 0,754

n fa cara fr cara

30 12 12 = 0,430

100 55 55 = 0,55100

n fa cara fr cara

10.000 4.970 4.970 = 0,49710.000

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

2. Probabilitat d’un esdeveniment 15Si llances una moneda enlaire, tant pot sortir cara com creu. Intuïtivament podem dir que els esdeveniments cara i creu tenen la mateixa probabilitat. Però, com és defineix i com s’expressa matemàticament aquesta probabilitat?

Lleis dels grans nombres

Amb la finalitat d’arribar al concepte de probabilitat, introduirem les lleis dels grans nombres. Prendrem com a exemple l’experiment aleatori de llançar una moneda enlaire i observar si surt cara o creu. Aquest experiment l’arribarem a repetir fins a deu mil cops.

Primera llei dels grans nombresAbans de començar l’experiment, recordem que:

n = nombre d’experiments efectuats

fa= freqüència absoluta de l’esdeveniment, és el nombre de vegades que es produeix un determinat esdeveniment.

fr = fa fr = freqüència relativa de l’esdeveniment, és el resultat de dividir fa entre n. Ens indica la relació entre el nombre de vegades que es produeix un esdeveniment i el nombred’experiments efectuats.

En l’experiment aleatori de llançar una moneda enlaire, si calculem la fa i la fr de l’esdeveniment cara, ens podem trobar que en els primers llançaments la fr oscil·li molt. Si comencessin sortint tres cares i després una creu, tindríem:

Però després de trenta llançaments, el nombre de cares i creus s’haurà anat equili-brant.

Podríem obtenir aquests resultats:

Un cop fets100 llançaments, l’equilibri serà més gran.

Un cop fets els 10.000 llançaments, podríem obtenir:

Si repetim cada dia aquesta mateixa experiència, veurem que la fr després dels 10.000 llançaments serà sempre al voltant de 0,5. La probabilitat és aquest nombre cap al qual tendeix la freqüència relativa d’un esdeveniment quan el nombre d’experiments aleatoris és molt gran.

Podem dir que la probabilitat de l’esdeveniment cara és 0,5:

p(cara) = 0,5

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

16 Això coincideix amb la idea intuïtiva que la meitat de vegades sortirà cara i l’altra meitat creu.

Segona llei dels grans nombresEn el llançament d’una moneda enlaire esperem que la meitat de cops surti cara. Malgrat que la tendència és aquesta, sempre hi ha una diferència entre el que esperem (fa esperada) i el que realment succeeix (fa observada). A més, el valor absolut d’aquesta diferència tendeix a augmentar quan augmenta elnombre de llançaments (n):

n Fa observada

fa esperada

fa obs-fa esp

2 2 1 1

4 3 2 1

30 12 15 3

100 55 50 5

10.000 4,970 5.000 30

Així, doncs, en augmentar n, la fr tendeix a un nombre (la probabilitat) i la diferència entre les fa observada i esperada tendeix a créixer.

• Activitats d'aprenentatge 4, 5 i 6

Regla de Laplace

Quan llancem una moneda enlaire, tant pot sortir cara com creu, els dos resultats possibles (cara i creu) tenen la mateixa probabilitat. Si estudiem l’esdeveniment cara, podem dir que dels dos resultats possibles (cara i creu) n’hi ha un que és favorable al fet que es produeixi l’esdeveniment (cara).

En aquest cas podem calcular la probabilitat a partir de la fórmula:

p = Nomb re Ca sos Favo rabl esNombre Casos Possibles

En l’exemple de la moneda, la probabilitat que surti cara és:

p(cara) = 12 = 0,5

Quan els esdeveniments elementals de l’espai mostral tenen la mateixa probabilitat, la probabilitat d’un esdeveniment és el quocient entre els casos favorables a l’esdeveniment i els casos possibles. Aquesta és l’anomenada regla de Laplace.

A continuació veurem alguns exemples més de com s’utilitza. En alguns es parla de la baralla de cartes espanyoles i del joc de la ruleta. Farem uns aclariments per a qui no estigui familiaritzat amb aquests jocs:

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Baralla de cartes espanyoles 17Conté 48 cartes dividides en quatre grups anomenats plcollss: oros, bastos,copes i espases. Cada pal coll conté 12 cartes numerades de l’1 al 12. Les tres darreres (10, 11 i 12) s’anomenen figures perquè hi tenen representat un personatge. El 10 s’anomena sota, l’11 és el cavall i el 12 el rei.

Joc de la ruletaEn el joc de la ruleta una bola va a parar aleatòriament a un número del 0 al 36. El número 0 és de color blanc. Dels 36 restants, 18 són vermells i 18 són negres.

Experiment aleatori

Espai mostral

Esdeveniment d’estudi

Regla de Laplace

Tirar un dau E={1,2,3,4,5,6} A=número 6A={6}

p(A)= 1

=0,176

Tirar un dau E={1,2,3,4,5,6} A=nombre parell p(A)= 3

=0,56

Tirar un dau E={1,2,3,4,5,6} A=número menor que 7A={1,2,3,4,5,6}

p(A)= 6

=16

Agafar una carta de la baralla esp.

E={Totes les cartes} A= que surti una una figuraA={les 12 figures}

p(A) = 1 2

= 0,2548

Agafar una carta de la baralla esp.

E={Totes les cartes} A= que surti un 8A={8or,8bast,8cop,8esp)

p(A) = 4

= 0,0848

Jugar a la ruleta E={0,1,2,..........36} A= número 0A={0}

p(A) = 1

= 0,0337

Jugar a la ruleta E={0,1,2,...........36} A=nombre divisible per 5A={5,10,15,20,25,30,35}

p(A) = 7

= 0,1937

Jugar a la ruleta E={0,1,2,...........36} A=que surti un núm. menor que 40A={0,1,2,...........36}

p(A)= 37

= 137

Propietats de la probabilitat

Valor numèric de la probabilitat

La probabilitat d’un esdeveniment és sempre un nombre entre 0 i 1. Això és clar, ja que el nombre de casos favorables no pot sobrepassar mai el nombre de casos possibles i, per tant, el quocient entre nombre de casos favorables i nombre de casos possibles donarà sempre un valor numèric entre 0 i 1.

2

+ =

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

18 La probabilitat pot expressar-se també en forma de fracció, la qual cosa s’utilitza sovint quan el denominador és petit (1/2, 3/4, 7/10,...). Cal dir que la formafraccionària és especialment interessant quan el quocient entre numerador i divisor no és un nombre decimal exacte (2/3, 2/9,...). Ara bé, quan el denominador és un nombre gran, és preferible el valor numèric entre 0 i 1. Així, doncs, no parlarem d’una probabilitat de 254/391, sinó d’una probabilitat de0,65, ja que és molt més entenedor.

Encara hi ha una altra manera d’expressar la probabilitat: el tant per cent, que és la més popular d’expressar-la. Tanmateix, nosaltres no la utilitzarem, atès que generalment no és la manera en què les matemàtiques expressen la probabilitat.

Així, doncs, quan llancem una moneda enlaire, són expressions equivalents:

p(cara) = 0,5

p(cara) = 1

p(cara) = 50%

Suma de les probabilitats dels esdeveniments de l’espai mostralQuan llancem una moneda enlaire, l’espai mostral té dos esdeveniments elementals (E = {cara, creu}), cada un dels quals té una probabilitat de 0,5. Si sumem les probabilitats dels dos esdeveniments elementals:

p(cara) + p(creu) = 0,5 + 0,5 = 1

En un experiment aleatori, la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments elementals de l’espai mostral és sempre igual a 1.

Podem dir doncs que la probabilitat de l’esdeveniment segur (el format per tot l’espai mostral) és 1 i, complementàriament, la probabilitat de l’esdeveniment impossible és 0.

Probabilitat d’un esdeveniment compostEn l’experiment aleatori de tirar un dau la probabilitat que surti un nombre parell és igual a la suma de probabilitats que surti un 2, un 4 i un 6. Així, doncs:

p(Nombre Parell) = p(2) + p(4) + p(6) = 16 +

1 1 36 6 6 = 1

2 = 0,5

La probabilitat d’un esdeveniment compost és sempre igual a la suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals que el formen.

Fixem-nos que el resultat obtingut és el mateix que el que obtindríem aplicant la regla de Laplace:

p(NombreParell) = Nomb re Cas os Favo rabl es = 3Nombre Casos Possibles 6 = 12 = 0,5

Probabilitat de la unió de dos esdevenimentsEn el càlcul de la probabilitat de l’esdeveniment unió (el que obtenim de la unió de dos esdeveniments) distingim dos casos: la unió d’esdeveniments incompatibles i la unió d’esdeveniments compatibles.

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

En tots dos casos la notació matemàtica de la probabilitat de l’esdeveniment 19unió dels esdeveniments A i B és p(AUB).

El signe U significa unió i el podem transcriure per la lletra o. Per tant, l’expressió p(AUB) la podem llegir:

• probabilitat de A unió B, o sia probabilitat de la unió dels esdeveniments A i B

• probabilitat de A o B, o sia probabilitat que l’esdeveniment sigui A o B.

Esdeveniments incompatiblesSi fem l’experiment aleatori de tirar un dau i mirar quin nombre surt i considerem els esdeveniments A = {1,2,3} i B = {6}, la probabilitat de l’esdeveniment unióserà el resultat de sumar les probabilitats dels experiments A i B:

p(AUB) = p(A) + p(B) = 3 + 1 = 4

= 2

= 0,676 6 6 3

Fixa’t que A i B són incompatibles, és a dir, no es poden produir alhora.

Quan els esdeveniments són incompatibles, la probabilitat de la unió és igual a la suma de les probabilitats dels dos esdeveniments:

p(AUB) = p(A) + p(B)

Esdeveniments compatiblesFem ara l’experiment aleatori de tirar un dau i mirar quin nombre surt i considerem els esdeveniments A = {1, 3, 5} i B = {2, 3, 4, 5}. Aquí A i B són compatibles, ja que contenen esdeveniments elementals comuns: el 3 i el 5.

En aquest cas la probabilitat de l’esdeveniment unió serà:

p(AUB) = p(A) + p(B) – p(AB) = 3 + 4 – 26 6 6 = 5 = 0,836

El signe significa intersecció. L’expressió p(AB) la podem llegir: probabilitat de A intersecció B, o sia probabilitat del conjunt d’elements que pertanyen a Ai a B alhora. En aquest cas és la probabilitat del conjunt {3, 5}, la qual, aplicant-hi la regla de Laplace és 2

(p(AB) = 2

).6 6

Quan dos esdeveniments són compatibles, la probabilitat de la unió és igual a la suma de les probabilitats dels dos esdeveniments menys la probabilitat de la seva intersecció:

p(AUB) = p(A) + p(B) – p(AB)

Probabilitat de l’esdeveniment contrariSi fem l’experiment aleatori de tirar un dau i mirar quin nombre surt i considerem l’esdeveniment que surti un 6 (A= {6}), la probabilitat de l’esdeveniment contrarique no surti un 6 ( A = {1,2,3,4,5} serà 1 menys la probabilitat de A:

p(Ã) = 1 – 1 = 56 6 = 0,83

On A és l’esdeveniment contrari de A.

Efectivament, la probabilitat de l’esdeveniment que no surti un 6 és la probabilitat de l’esdeveniment que surti un 1, un 2, un 3, un 4 o un 5, que és de 5/6.

UN

ITA

T 1

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

20 La probabilitat d’un esdeveniment contrari d’un esdeveniment A és igual a 1 menys la probabilitat de l’esdeveniment A:

p(A) = 1 – p(A)

Complementàriament:

p(A) = 1 – p(A)

• Activitats d'aprenentatge 7, 8, 9 i 10

3. Experiments aleatoris compostosUn experiment aleatori compost és format per dos o més experiments aleatoris simples. Tirar un dau és un experiment aleatori simple. Tirar dos cops un dau és un experiment aleatori compost format per dos experiments aleatoris simples (tirar un dau).

Espai mostralSi tires un dau, ja saps que hi ha 6 resultats possibles que formen l’espai mostral (E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Si tires dos cops un dau, intuïtivament ja saps que hi ha molts més resultats possibles (un 1 i un 4, un 3 i un 5, dos cops el 6, etc.). Però, quants i quins resultats possibles hi ha en aquest experiment aleatori compost? Per a saber-ho cal obtenir l’espai mostral. Ara aprendrem a obtenir l’espai mostral en aquests experiments aleatoris compostos. Veurem dos mètodes: el diagrama d’arbre i les taules.

Diagrama d’arbreÉs un tipus de diagrama que recorda l’estructura d’un arbre, des del tronc principal fins a les darreres branques. Veurem el seu funcionament per mitjà de l’exemple de tirar dos cops un dau.

El resultat del primer llançament pot ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6, la qual cosa generarà sis branques alhora de fer el diagrama (una per a cada esdeveniment possible).

Si el resultat del primer llançament és un 1, en el segon llançament pot sortir una altra vegada un 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Això generarà sis branques més. Passarà el mateix si el resultat del primer llançament és un 2, 3, 4, 5 o 6.

El diagrama d’arbre quedarà així: com observes en la pàgina següent

L’espai mostral és el resultat d’anar seguint, d’esquerra a dreta, tots els itineraris possibles.

L’espai mostral és, doncs:

E={1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6,4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6}

Tirar dos daus alhora i considerar els resultats del dau 1 i del dau 2 seriaequivalent.

Vegem ara dos exemples més:

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Primer llançament segon llançament espai mostral 21

1 1-12 1-2

1 3 1-34 1-45 1-56 1-6

1 2-12 2-2

2 3 2-34 2-45 2-56 2-6

1 3-12 3-2

3 3 3-34 3-45 3-56 3-6

1 4-12 4-2

4 3 4-34 4-45 4-56 4-6

1 5-12 5-2

5 3 5-34 5-45 5-56 5-6

1 6-12 6-2

6 3 6-34 6-45 6-56 6-6

UN

ITA

T 1

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

22 Exemple 1

Considerem l’experiment aleatori compost extreure una bola d’una bossa on hiha dues boles blanques i una bola negra, mirar de quin color és, tornar-la a la bossa i extreure’n una altra.

El resultat de la primera extracció pot ser una bola blanca (B) o una bola negra (N), la qual cosa generarà dues branques a l’hora de fer el diagrama (una per a cada esdeveniment possible).

Si el resultat de la primera extracció és una bola blanca, en fer la segona extracció pot passar que surti de nou una bola blanca o una de negra. Això generarà dues branques més. Passarà el mateix si el resultat de la primera extracció és una bola negra.

El diagrama d’arbre quedarà així:

Utilitzem els símbols B i N per a bola blanca i bola negra respectivament.

Primera extracció segona extracció espai mostral

B B-B B

N B-N

B N-B N

N N-N

L’espai mostral és, doncs: E={B-B, B-N, N-B, N-N}

Exemple 2

Considerem l’experiment aleatori tirar llançar tres cops una moneda enlaire. El diagrama d’arbre és aquest:

Utilitzem els símbols c per cara i x per a creu.

Primer llançament segon llançament tercer llançament espai mostral

c c-c-cc

c x c-c-x

xc c-x-c

x c-x-x

cc x-c-c

x x-c-x x

c x-x-c x

x x-x-x

L’espai mostral és, doncs: E={c-c-c, c-c-x, c-x-c, c-x-x, x-c-c, x-c-x, x-x-c, x-x-x}

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Taules 23Ara veurem com es pot obtenir l’espai mostral a partir de taules. Per a fer-houtilitzarem de nou l’experiment aleatori compost tirar dos cops un dau.

Aquesta vegada els possibles resultats de cada llançament els posarem en unataula de doble entrada:

segon llançament

primer llançament

1 2 3 4 5 6

12

3

45

6

Ara només cal encreuar els possibles resultats de cada llançament per a obtenir l’espai mostral:

segon llançament

primer llançament

1 2 3 4 5 6

1 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6

2 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6

3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6

4 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6

5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6


E={1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-1, 2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-1, 3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6,

4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-

6} Vegem ara dos exemples més:

Exemple 1

Tornem a considerar l’experiment aleatori extreure una bola d’una bossa on hi ha dues boles blanques i una bola negra, mirar de quin color és, tornar-la a la bossa i extreure’n una altra.

Fem la taula:

UN

ITA

T 1

PRO

BA

BIL

ITA

T

segona extracció

primera extracció

B N

B B-B B-N

N N- N-N

tercer llançament

espai mostral primer i segon

llançament

c x

c-c c-c-c c-c-x

c-x c-x-c c-x-x

x-c x-c-c x-c-x

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

24L’espai mostral és, doncs: E={B-B, B-N, N-B, N-N}

Exemple 2

Considerem una altra vegada l’experiment aleatori tirar tres cops una moneda enlaire.

En aquest cas, com que són tres llançaments, haurem de fer dues taules.

La primera taula l’elaborarem de la manera que ja coneixem:

segon llançament

primer llançament

c x

c c-c c-x

x x-c x-x

La segona taula la confeccionarem a partir de l’espai mostral obtingut en la primera taula E = {c-c, c-x, x-c, x-x}, que fa referència als dos primers llançaments:


E={c-c-c, c-c-x, c-x-c, c-x-x, x-c-c, x-c-x, x-x-c, x-x-x}

Probabilitat d’esdeveniments independents en experiments aleatoris compostos

El càlcul de la probabilitat en aquests tipus d’esdeveniments ens serà especialment útil en la resolució de problemes de genètica (unitats 2 i 3).

Experiments elementals equiprobablesSi llancem dos cops una moneda, és igualment probable:

• que surtin dues cares

• que surtin dues creus

• que surti primer una cara i després una creu

• que surti primer una creu i després una cara

Tots els esdeveniments de l’espai mostral (E = {c-c, x-x, c-x, x-c}) tenen la mateixa probabilitat, es diu que són equiprobables.

En general, quan tots els esdeveniments de l’espai mostral són equiprobables, podem utilitzar dos mètodes per calcular la probabilitat: la regla de Laplace i la multiplicació de probabilitats.

=3

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Mètode 1: Regla de Laplace 25Podem utilitzar la regla de Laplace de manera similar a com ho fèiem pel càlculde la probabilitat en experiments aleatoris simples.

Quan llancem dos cops una moneda, la probabilitat que surtin dues cares és:

p(cara-cara) = Nomb re Cas os Favo rable s = 1

= 0,25Nombre Casos Possibles 4

Recorda que l’espai mostral d’aquest experiment és E = {c-c, x-x, c-x, x-c}

Mètode 2: Multiplicació de probabilitatsPodem obtenir també la probabilitat d’un determinat esdeveniment en un experiment aleatori compost, multiplicant les probabilitats dels esdeveniments en els experiments simples que el componen.

Prenent un altre cop l’experiment aleatori compost de llançar dos cops una moneda, tenim que la probabilitat que surtin dues cares és:

p(cara-cara) = p(cara) · p(cara) = 0,5 · 0,5 = 0,25

En general podem dir que: p(A-B) = p(A) · p(B)

Comprovem que, evidentment, tots dos mètodes ens porten al mateix resultat.

Experiments elementals no equiprobablesEn el cas que els esdeveniments elementals no siguin equiprobables, l’única manera d’obtenir la probabilitat d’un determinat esdeveniment en un experiment aleatori compost és multiplicar les probabilitats dels esdeveniments en els experiments simples que el componen, seguint la fórmula abans esmentada: p(A-B) = p(A) · p(B).

Exemple

Considerem de nou un altre cop l’experiment aleatori compost d’extreure una bola d’una bossa on hi ha dues boles blanques i una bola negra, mirar de quin color és, tornar-la a la bossa i extreure’n una altra.

Ara farem el diagrama d’arbre posant les probabilitats dels esdeveniments que el componen sobre les branques i, al costat, hi posarem les probabilitats detots els esdeveniments elementals.

diagrama d’arbre espai mostral probabilitatsprimera extracció segona extracció dels esdeveniments

23 B B-B p(B-B) =

B2 2 43 · 3 = 9

2 1 N B-N p(B-N) = 2 · 1

= 2

3 3

1 23 N

3

3 3 9

B N-B p(N-B) = 1

· 2 2

3 9

1 N N-N p(N-N) = 1

3 3 · 13 = 1

9

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

2

UN

ITA

T 1

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

26 Podem comprovar que la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments elementals, com sempre, és igual a 1:

4 + 2 + 29 9 9 + 1 =99 = 19

• Activitats d'aprenentatge 11, 12, 13, 14 i 15

Probabilitats d’esdeveniments dependents en experiments aleatoris compostos. La probabilitat condicionada

Si tenim una bossa amb tres boles, dues de blanques i una de negra, i realitzem l’experiment aleatori compost d’extreure una bola i, sense tornar-la a la bossa, extreure’n una segona bola, abans de la segona extracció només quedaran dues boles a la bossa, i això farà que les probabilitats en la segona extracció canviïn:

• Si en la primera extracció ha sortit una bola blanca, quedaran a la bossa una bola blanca i una de negra, de manera que la probabilitat que surti una bola blanca o bé negra en la segona extracció serà la mateixa: 0,5.

• Si en la primera extracció ha sortit una bola negra, les dues boles que resten a la bossa són blanques, per la qual cosa, en la segona extracció, segur que surt una bola blanca.

Així, doncs, en alguns experiments aleatoris compostos, les probabilitats dels esdeveniments en els experiments simples que el componen varien durant l’experiment. En aquests casos parlem d’esdeveniments dependents. Tanmateix, el mètode per calcular la probabilitat d’un determinat esdeveniment també l’obtindrem multiplicant les probabilitats dels esdeveniments en els experiments simples que el componen.

Ara fem el diagrama d’arbre posant les probabilitats dels esdeveniments que el componen sobre les branques i, al costat, hi posarem les probabilitats de totsels esdeveniments elementals.

diagrama d’arbre espai mostral probabilitatsprimera extracció segona extracció dels esdeveniments

1 2 1 2 12 B B-B p(B-B)= · = =

B3 2 6 3

1 N B-N p(B-N)= 2 · 1 = 2 = 13

2

13 N

1

3

B N-B p(N-B)= 13

2 6 3

· 1 = 13

PRO

BA

BIL

ITA

T9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Podem comprovar que la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments 27elementals, com sempre, és igual a 1:

1 + 1 + 1 = 13 3 3

La probabilitat condicionadaVeiem que les probabilitats dels esdeveniments en la segona extracció estan condicionades pel resultat de la primera extracció. Si considerem, per exemple, la probabilitat que surti una bola blanca en la segona extracció, hem de considerar dos casos:

1. La probabilitat d’extreure una bola blanca en la segona extracció si s’ha tret una bola blanca en la primera extracció és 1/2, ja que només queden dues boles, una de blanca i una de negra. Això ho podem escriure així:

p(B/B) = 122. La probabilitat d’extreure una bola blanca en la segona extracció si s’ha tret

una bola negra en la primera extracció és 1, ja que les dues boles que queden a la bossa són blanques. Això ho podem escriure així:

p(B/N) = 1

En general, si anomenem A al primer esdeveniment i B al segon esdeveniment, escrivim p(B/A) i llegim probabilitat que es produeixi l’esdeveniment B un cop s’ha produït l’esdeveniment A.

És molt important entendre, però, que en els esdeveniments independents, les probabilitats d’un determinat esdeveniment NO està mai condicionada per resultats previs. Així doncs, en el llançament d’una moneda enlaire, la probabilitat de treure cara després d’haver tret cinc vegades creu és 0,5 (1/2).

• Activitats d'aprenentatge 16, 17, 18 i 19

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

28 ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Activitat 1Si tinc una bossa amb 5 boles blanques i 5 boles negres i faig l’experiment aleatori d’extreure una bola de la bossa i mirar de quin color és, contesta:

1. Quin és l’espai mostral?

2. Quin és l’esdeveniment segur?

3. Esmenta dos esdeveniments impossibles.

4. Esmenta un esdeveniment elemental.

Activitat 2Tenim una bossa amb deu boles numerades de l’1 al 10, i realitzem l’experiment aleatori d’extreure una bola i mirar quin nombre té i considerem aquests esdeveniments:

A = nombre imparell

B = divisor de 6

C = nombre negatiu

D = nombre de l’1 al 10

F = nombre 3

G = nombre parell

Respon:

1. Quins d’aquests esdeveniments són segurs?

2. Quins d’aquests esdeveniments són impossibles?

3. Quins d’aquests esdeveniments són compostos?

4. Quins d’aquests esdeveniments són compatibles amb l’esdeveniment B?

5. Quin és l’esdeveniment contrari de l’esdeveniment G?

Activitat 3Fem l’experiment aleatori de tirar un dau i observar el nombre que surt.

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

aU

NIT

AT

1

1. Digues quin és l’espai mostral. 29

2. Esmenta un esdeveniment segur.


4. Esmenta un esdeveniment compost.

5. Esmenta un esdeveniment compatible amb l’esdeveniment A = sortir un nombre parell.

6. Esmenta un esdeveniment incompatible amb l’esdeveniment H = {4, 5, 6}.

7. Digues quin és l’esdeveniment contrari de l’esdeveniment A = que surti un nombre parell.

Activitat 4Repetim 10 vegades l’experiment aleatori llançar una moneda enlaire i mirar si surt cara o creu i obtenim aquests resultats:

cara, cara, cara, creu, cara, creu, creu, cara, cara, creu

Calcula les freqüències absolutes i relatives dels esdeveniments cara i creu.

Activitat 5Quin d’aquests dos fets és més excepcional?:

1. Tirar 12 vegades un dau i que surti 8 cops el sis.


Justifica la resposta.

Activitat 6Marca la resposta o les respostes correctes.

En augmentar el nombre d’experiments aleatoris:

▫ La fr d’un determinat experiment tendeix a augmentar.

▫ La fa d’un determinat esdeveniment tendeix a disminuir.

▫ La fr d’un determinat esdeveniment tendeix cap a la seva probabilitat.

▫ La diferència, en valor absolut, entre la fa observada i la fa esperada tendeix a disminuir.

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

30 Activitat 7

Entre quins valors numèrics s’expressa la probabilitat d’un esdeveniment?

Activitat 8Tenim una bossa amb 3 boles blaves, 5 boles vermelles i 2 boles negres i fem l’experiment aleatori d’extreure una bola. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti una bola negra

2. B = que surti una bola que no sigui blava

3. C = que surti una bola vermella o negra

4. D = que no surti una bola blanca

Activitat 9Tenim una bossa amb vuit boles numerades de l’1 al 8 i fem l’experiment aleatori extreure una bola i mirar quin nombre té. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti un nombre parell

2. B = que surti un nombre primer

3. C = que surti un nombre imparell o menor que 5

4. D =que surti un nombre menor que 3 o major que 6

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

aU

NIT

AT

1

5. F = que surti el número 1 31

Activitat 10A la gossera municipal hi ha 12 gossos i 18 gosses. Tots els gossos tenen el pelatge marró. La meitat de les gosses tenen el pelatge marró i l’altra meitat el tenen negre. Si agafem a l’atzar un gos o gossa, calcula la probabilitat dels següents esdeveniments:

1. A = que tingui el pelatge marró

2. B = que sigui un mascle

3. C = que no sigui un mascle

4. D = que sigui un mascle o que tingui el pelatge negre

5. F = que sigui una femella o que tingui el pelatge marró

Activitat 11Llancem 3 cops una moneda enlaire. Calcula l’espai mostral fent un diagrama d’arbre i calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

32 1. A = que surtin només dues cares

2. B = que surtin dues o més creus

3. C = que en el primer llançament surti cara, en el segon creu i en el tercer

cara

4. D = que surti alguna creu (una o més)

5. F = que en el tercer llançament surti creu

Activitat 12Si llancem un dau ddues vegadesos cops, calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que totes dues vegadesels dos cops surti el mateix nombre

2. B = que no surti el mateix nombre cap de les duesels dos vegades cops

3. C = que surtin dos nombres parells

4. D = que en tots dos llançaments surti un 3

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

aU

NIT

AT

1

5. F = que en el segon llançament surti un 4, si en el primer llançament ha 33sortit un 1

Activitat 13Si un jugador de futbol, quan llança un penal, un 80% de les vegades marca un gol; quina és la probabilitat que, en un partit, xuti i falli dos penals?

Activitat 14Tenim una bossa amb 2 boles grogues, 3 boles vermelles i 5 boles negres. Fem l’experiment aleatori compost d’extreure una bola de la bossa, mirar de quin color és, tornar-la a la bossa i fer una segona extracció.

1. Troba l’espai mostral per mitjà d’una taula.

2. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surtin dues boles vermelles

2. B = que no surti cap bola negra

3. C = que surti alguna bola negra (una o dues)

4. D = que només surtin boles vermelles o negres

5. F = que la segona bola sigui groga

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

34 Activitat 15

Fem l’experiment aleatori compost llançar una moneda i un dau enlaire. Calculales probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti cara i un nombre parell

2. B = que surti creu i el número 6

3. C = que surti cara i un nombre de l’1 al 5

4. D = que surti cara o creu i un nombre imparell

Activitat 16Tinc una bossa amb 3 boles blaves, 5 boles vermelles i 2 boles negres. Faig l’experiment aleatori compost d’extreure una bola de la bossa, mirar de quin color és i, sense retornar-la, extreure una segona bola. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surtin 2 boles negres

2. B = que no surti cap bola blava

3. C = que surti alguna bola vermella (una o més)

4. D = que surtin 2 boles vermelles

5. F = que la segona sigui blava si la primera també ho és

Activitat 17En Joan té seleccionades 10 emissores de ràdio, de les quals 3 són de música,5 de programació variada i 2 d’informació. Si la Maria, que no sap en quin canal hi ha cada emissora, prem a l’atzar el botó dún dels canals i després un altre, calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

9.

GEN

ÈTIC

AM

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

aU

NIT

AT

1

1. A = que tots dos canals siguin de música 35

2. B = que només un canal sigui informatiu

3. C = que un canal sigui de programació variada i l’altre de música (en

qualsevol ordre)

4. D = que el primer canal sigui de programació variada i el segon de música

5. F = que, com a mínim, un dels canals sigui de programació variada

Activitat 18Tenim una bossa amb 4 boles blanques, 3 boles vermelles i 3 boles negres. Fem l’experiment aleatori compost d’extreure una bola de la bossa i fer una segona extracció sense retornar la primera bola. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:



3. C = que només surtin boles vermelles o negres

4. D = que la segona bola sigui vermella si la primera era negra

5. F = que la segona bola sigui negra si la primera era negra

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

PRE

NE

NT

AT

GE

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

9.

GEN

ÈTIC

A

36 Activitat 19

Imagina que duus a la butxaca 6 monedes de 2 € i tres monedes d’1 €. Treusuna moneda a l’atzar i, sense retornar-la, en treus una altra. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que la segona moneda sigui d’1 € si la primera moneda també era d’1 €

2. B = que la segona moneda sigui d’1 € i si la primera moneda era de 2 €

3. C = que la segona moneda sigui de 2 € si la primera moneda també era de

2€

AC

TIV

ITA

TS

D’A

VA

LU

AC

IÓ9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Activitat 1ACTIVITATS D’AVALUACIÓ37

Tinc una bossa amb cinc boles numerades de l’1 al 5 i n’extrec una.

Considerant aquests esdeveniments:

A = que surti un nombre parell

B = que surti un nombre primer

C = que surti un nombre de dues xifres

D = que surti un nombre natural

F = que surti el número 1

G = que no surti el número 5

Respon:

1. Quins d’aquests esdeveniments són segurs?

2. Quins d’aquests esdeveniments són impossibles?

3. Quins d’aquests esdeveniments són compostos?

4. Quins d’aquests esdeveniments són compatibles amb l’esdeveniment B?

5. Quin és l’esdeveniment contrari de l’esdeveniment A?




▫ La fa d’un determinat esdeveniment tendeix a augmentar.

▫ La fa d’un determinat esdeveniment tendeix cap a la seva probabilitat.

▫ La diferència, en valor absolut, entre la fa observada i la fa esperada tendeix a augmentar.

Activitat 3Separem les figures d’una baralla espanyola (4 reis, 4 cavalls i 4 sotes) i agafem una carta a l’atzar. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti un cavall

2. B = que surti una figura

UN

ITA

T 1

AC

TIV

ITA

TS

D’A

VA

LU

AC

IÓ9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

38 3. C = que surti un rei o una carta de bastos

4. D = que surti una sota o un cavall

5. F = que surti el rei d’oros

Activitat 4Llancem quatre cops una moneda enlaire:

1. Construeix l’espai mostral fent un diagrama d’arbre.


1. A = que surtin tres cares

2. B = que només surtin dues cares

3. C = que el tercer llançament sigui creu

4. D = que surtin dues o més cares seguides

Activitat 5Si tirem tres cops un dau, calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti tres cops el 6

AC

TIV

ITA

TS

D’A

VA

LU

AC

IÓ9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

2. B = que surtin tres nombres parells 39

3. C = que totes tres vegades surti un nombre d’una xifra

4. D = que només surti un 5

Activitat 6Tenim una bossa amb 3 boles grogues, 2 boles vermelles i 2 boles negres. Extraiem una bola de la bossa i, sense retornar-la, n’extraiem una altra. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:


2. B = que no surti cap bola groga

3. C = que la primera bola sigui vermella

4. D = que la segona bola sigui groga si la primera també era groga

5. F = que la segona bola sigui negra si la primera també ho era

UN

ITA

T 1

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

40 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Activitat 1Si tinc una bossa amb 5 boles blanques i 5 boles negres i faig l’experiment aleatori d’extreure una bola de la bossa i mirar de quin color és, contesta:

1. Quin és l’espai mostral?

E = {blanc, negre}

2. Quin és l’esdeveniment segur?Si anomenem S a l’esdeveniment segur és:

S = que surti blanc o negre S = {blanc, negre}

3. Esmenta dos esdeveniments impossibles.

Per exemple:

A = que surti verd A = Ø

B = que surti groc B = Ø


Només n’hi ha dos:

C = que surti blanc C = {blanc}

D = que surti negre D = {negre}

Activitat 2Tenim una bossa amb deu boles numerades de l’1 al 10, realitzem l’experiment aleatori d’extreure una bola i mirar quin nombre té i considerem aquests esdeveniments:

A = nombre imparell

B = divisor de 6

C = nombre negatiu

D = nombre de l’1 al 10

F = nombre 3

G = nombre parell

Respon:

1. Quins d’aquests esdeveniments són segurs? L’esdeveniment D

2. Quins d’aquests esdeveniments són impossibles? L’esdeveniment C

3. Quins d’aquests esdeveniments són compostos?Els esdeveniments A, B, D i G, ja que contenen més d’un esdeveniment elemental:

A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {1, 2, 3, 6} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} G = {2, 4, 6, 8,

10}

4. Quins d’aquests esdeveniments són compatibles amb l’esdeveniment B?Els esdeveniments A, D, F i G són compatibles amb l’esdeveniment B, ja que tenen algun esdeveniment comú.

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

5. Quin és l’esdeveniment contrari de l’esdeveniment G? 41L’esdeveniment A

Activitat 3Fem l’experiment aleatori de tirar un dau i observar el nombre que surt.

1. Digues quin és l’espai mostral. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Esmenta un esdeveniment segur. N’hi ha molts, per exemple:

B = que surti un número inferior a 10 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. Esmenta un esdeveniment elemental.Qualsevol dels sis números d’un dau, per exemple:

C = que surti el número 3 C = {3}

4. Esmenta un esdeveniment compost.N’hi ha molts, per exemple:D= que surti un número menor que 3 D = {1, 2}

5. Esmenta un esdeveniment compatible amb l’esdeveniment A = que surti un nombre parell.N’hi ha molts, per exemple:L’esdeveniment F = que surti un número que 3(F = {4, 5, 6} és compatible amb l’esdeveniment A = que surti un nombre parell (A = {2, 4, 6}, ja que tenen dos esdeveniments elementals comuns: el 4 i el 6.

6. Esmenta un esdeveniment incompatible amb l’esdeveniment H = {4,5,6}. Per exemple G = que surti el número 1 G = {1}

7. Digues quin és l’esdeveniment contrari ade l’esdeveniment A = sortir un nombre parell.A = que surti un nombre imparell A = {1,3,5}

Activitat 4Repetim 10 vegades l’experiment aleatori llançar una moneda enlaire i mirar si surt cara o creu i obtenim aquests resultats:

cara, cara, cara, creu, cara, creu, creu, cara, cara, creu

Calcula les freqüències absolutes i relatives dels esdeveniments cara i creu. Farem una taula de freqüències:

esdeveniment fa fr

cara 6610 = 0,6

creu 4 4 = 0,410

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

42 Activitat 5

Quin d’aquests dos fets és més excepcional?:



Justifica la resposta.És més excepcional el segon fet, ja que, en augmentar el nombre d’experiments realitzats (n), la fr d’un esdeveniment tendeix a la seva probabilitat.

1La probabilitat que surti un 6, aplicant la regla de Laplace, és 6La fr dels casos primer i segon és la mateixa:

8

= 0,17

1r cas 1280

= 0,67

2n cas 120 = 0,67

En general esperarem que en el segon cas la fr s’aproximi més a la probabilitat

que no pas en el primer pas, atès el major nombre d’experiments realitzats.




▫ La fa d’un determinat esdeveniment tendeix a disminuir.

▫ La fr d’un determinat esdeveniment tendeix cap a la seva probabilitat.

▫ La diferència, en valor absolut, entre la fa observada i la fa esperada tendeix a disminuir.

Activitat 7Entre quins valors numèrics s’expressa la probabilitat d’un esdeveniment? La probabilitat d’un esdeveniment pren sempre valors entre 0 i 1.

Activitat 8Tenim una bossa amb 3 boles blaves, 5 boles vermelles i 2 boles negres i fem l’experiment aleatori d’extreure una bola. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti una bola negra

p(A) = 2

= 1

10 5 = 0,2

2. B = que surti una bola que no sigui blava

p(B) = 710 = 0,7

3. C = que surti una bola vermella o negra

p(C) = p(vermella) + p(negra) = 5 +102 = 7 = 0,710 10

= 2

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Evidentment p(B) = p(C), ja que el fet que no surti blava és el mateix que si 43sortís vermella o negre.

4. D = que no surti una bola blanca

p(D) = 1010 = 1 D és un esdeveniment segur. Conté tots els esdeveniments

elementals, ja que cap bola no és blanca.

Activitat 9Tenim una bossa amb vuit boles numerades de l’1 al 8 i fem l’experiment aleatori extreure una bola i mirar quin nombre té. Calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti un nombre parell

p(A) = 48 1

= 0,5 A = {2, 4, 6, 8}

2. B = que surti un nombre primer

p(B) = 5 = 0,625 B = {1, 2, 3, 5, 7}8

3. C = que surti un nombre imparell o menor que 5

G = que surti un nombre imparell G = {1, 3, 5, 7} H = que surti un nombre menor que 5 H = {1, 2, 3 ,4} G i H són esdeveniments compatibles i, per tant:p (C) = p(G) + p(H) - p(G H) GH = {1, 3}

p(C) = 48 + 4

- 2

= 6

8 8 8 = 3 = 0,7544. D = que surti un número menor que 3 o major que 6

Si considerem:

I = que surti un nombre menor que 3 I = {1, 2} J = que surti un nombre major que 6 J = {7, 8} I i J són esdeveniments incompatibles i, per tant:p(D) = p(I) + p(J)

p(D) = 2 + 2

= 4 = 1 = 0,58 8 8 2

5. F = que surti el número 1

1p(F) = 8 = 0,125 F = {1}

Activitat 10A la gossera municipal hi ha 12 gossos i 18 gosses. Tots els gossos tenen el pelatge marró. La meitat de les gosses tenen el pelatge marró i l’altra meitat el tenen negre. Si agafem a l’atzar un gos o gossa, calcula la probabilitat dels següents esdeveniments:

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

EU

NIT

AT

1M

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a9

. G

ENÈT

ICA

44 1. A = que tingui el pelatge marró

El nombre total de gossos o gosses amb pelatge marró és de 21 (12 mascles i 9famelles).

p(A) = 21 = 0,730

2. B = que sigui un mascle

p(B) = 12 = 0,430

3. C = que no sigui un mascle

p(C) = 18 = 0,630

4. D = que sigui un mascle o que tingui el pelatge negreSi considerem:

B = que sigui un mascleG = que tingui el pelatge negreB i G són esdeveniments incompatibles i, per tant:

p(D) = p(B) + p(G)

p(D) = 12 +

9 =

21= 0,730 30 30

5. F = que sigui una femella o que tingui el pelatge marróSi considerem:H = que sigui una femella

A = que tingui el pelatge marró

H i A són esdeveniments compatibles i, per tant:p(F) = p(H) + p(A) - p(HA)

p(F) = 18

+ 21 -

9=

3 0 = 130 30 30 30

Així, doncs, l’esdeveniment F és segur.

Activitat 11Llancem 3 cops una moneda enlaire. Calcula l’espai mostral fent un diagrama d’arbre i calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

Obtenció de l’espai mostral a partir d’un diagrama d’arbre:

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Utilitzem els símbols c per cara i x per a creu.

Primer llançament segon llançament tercer llançament espai mostral

45

c c c-c-c

c x c-c-x

xc c-x-c

x c-x-x

cc x-c-c

x x-c-x x

c x-x-c x

x x-x-x

L’espai mostral és, doncs: E = {c-c-c, c-c-x, c-x-c, c-x-x, x-c-c, x-c-x, x-x-c, x-x-x)

1. A = que surtin només dues cares

L’esdeveniment A conté tres esdeveniments elementals (A = {c-c-x, c-x-c, x-c-c}), amb aquestes probabilitats:

p(c-c-x) = p(c) x p(c) x p(x) = 1

· 1

· 1

= 1

2 2 2 2

p(c-x-c) = p(c) x p(x) x p(c) = 1

· 1

· 1

= 1

2 2 2 8

p(x-c-c) = p(x) x p(c) x p(c) = 1

· 1

· 1

= 1

2 2 2 8

Per tant:

p(A) = p(c-c-x) + p(c-x-c) + p(x-c-c) = 1 + 1 + 1 = 3 = 0,3758 8 8 8

2. B = que surtin dues o més creus

L’esdeveniment B conté quatre esdeveniments elementals (B = {c-x-x, x-c-x, x- x-c, x-x-x}). Tots quatre són equiprobables, amb una probabilitat d’ 1 . Per tant8

p(B) = 1 + 1 + 1 + 1

= 4

= 1

=0,58 8 8 8 8 2

3. C = que en el primer llançament surti cara, en el segon creu i en el tercer cara

L’esdeveniment C conté un sol esdeveniment elemental (C = {c-x-c}). Per tant:

p(C) = 1 =0,1258

4. D = que surti alguna creu (una o més)

L’esdeveniment D conté set esdeveniments elementals (D = {c-c-x, c-x-c, c-x-x, x-c-c, x-c-x, x-x-c, x-x-x}). Tots set són equiprobables, amb una probabilitat d’B1

. Per tant:8

p(D) = 1 + 1 + 1 +B1

+ 1

+ 1

+ 1 = 7 =0,8758 8 8 8 8 8 8 8

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E

·2

9.

GEN

ÈTIC

AU

NIT

AT

1M

atem

àtiq

ues,

Ciè

ncia

i T

ecno

logi

a

46 5. F = que en el tercer llançament surti creu

Com que són esdeveniments independents:

p(F) = 12 =0,5

Activitat 12Si llancem un dau dues vegades, calcula les probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que totes dues vegadesels dos cops surti el mateix nombre

L’esdeveniment A conté 6 esdeveniments elementals:

1-1 2-2 3-3 4-4 5-5 6-6

Són esdeveniments equiprobables, amb una probabilitat p = 136

Així, doncs: p(A) =B 1 · 6 = 6 =

1 = 0,17

36 36 6

2. B = que no surti el mateix nombre cap de les dues vegades

Com que els esdeveniments B i A són esdeveniments contraris:

p(B) = 1 - p(A)

p(B) = 1 - 16 = 5 = 0,836

3. C = que surtin dos nombres parells

Aplicant el mètode de multiplicació de probabilitats:

p(C) = p(parell) · p(parell) = 1 1 =2

14 = 0,25

4. D = que en tots dos llançaments surti un 3


p(D) = p(3) · p(3) = 16 · 16 = 136= 0,03

5. F = que en el segon llançament surti un 4, si en el primer llançament ha sortit un 1

Com que aquests dos esdeveniments simples són independents:

p(F) = 16 = 0,17

Activitat 13Si un jugador de futbol, quan llança un penal, un 80% de les vegades marca un gol; quina és la probabilitat que, en un partit, xuti i falli dos penals?

Si marca gol un 80% de les vegades, falla un 20%

20% = 20 100 = 0,2


P(Fallar - Fallar) = p(Fallar) · p(Fallar) = 0,2· 0,2 =

0,04

Si ho expressem en tant per cent, és un 4%

segona extracció

G V N

primera extracció

G G-G G-V G-N

V V-G V-V V-N

N N-G N-V N-N

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E9

. G

ENÈT

ICA

Mat

emàt

ique

s, C

iènc

ia i

Tec

nolo

gia

UN

ITA

T 1

Activitat 14 47Tenim una bossa amb 2 boles grogues, 3 boles vermelles i 5 boles negres. Feml’experiment aleatori compost d’extreure una bola de la bossa, mirar de quin color és, tornar-la a la bossa i fer una segona extracció.

1. Troba l’espai mostral per mitjà d’una taula.

L’espai mostral és, doncs: E = {G- G, G-V, G-N, V-G, V-V, V-N, N-G, N-V, N-N)




p(A) = p(V-V) = 3 · 310 10 = 9100

=0,09


El total de boles no negres és 5. Aplicant el mètode de multiplicació de probabilitats:p(B) = p(NoNegra - NoNegra) =

12 · 12 = 1 = 0,254

3. C = que surti alguna bola negra (una o dues)

Com que l’esdeveniment C és contrari de l’esdeveniment B:

p(C) = 1 - p(B) = 1 - 0,25 = 0,75

4. D = que només surtin boles vermelles o negres

L’esdeveniment D conté 4 esdeveniments elementals: V-V, V-N, N-V i N-N. Calculem-ne les probabilitats:

p(V-V) = 3103· 10 = 9

100

p(V-N) = 310

p(N-V) = 510

· 5 =10

· 3 =10

1510015

100

p(N-N) = 5 · 5 = 25

10 10

Així, doncs:

100

p(D) = p(V-V) + p(V-N) + p (N-V) + p(N-N)

p(D) = 9 + 15 + 15 + 25 = 64 = 0,64100 100 100 100 100

5. F = que la segona bola sigui groga

p(F) = 2 = 0,210

SOL

UC

ION

S A

CT

IVIT

AT

S D

’APR

EN

EN

TA

TG

E

2 · =

48 Activitat 15

Fem l’experiment aleatori compost llançar una moneda i un dau enlaire. Calculales probabilitats dels següents esdeveniments:

1. A = que surti cara i un nombre parell


p(A) = p(cara - parell) = p(cara) x p(parell) = 12 · 12 = 14 = 0,25

2. B = que surti creu i el número 6


p(B) = p(creu-6) = p(creu) · p(6) = 1 1 1

6 12 = 0,08

3. C = que surti cara i un nombre de l’1 al 5Aplicant el mètode de multiplicació de probabilitats:

1 5 5p(C) = p(cara -1 5) = p(cara) · p(15) = 2 · 6 = 12 = 0,42

4. D = que surti cara o creu i un nombre imparell


p(D) = p(cara,creu -imparell) = p(cara,creu) · p(imparell =1 · 12 = 12 = 0,5

1 · web view1. esdeveniments 13

Documents