บทที่ 1 พีชคณิตเวกเตอร์

20
¸ É 1 พีชคณตเวกเตอร์และระบบพกัด ªµ¤¦¼ o Á ¸ É ¥ª ´ Áª Á °¦r ¨ ³ ¦ ³ ¡· ´ º °ÁÈÁ ¦º É ° ¤º °Î µ ´ ĵ¦ «¹ ¬µª · µ¢· · r Ã¥Á ¡ µ³Â¤n Á®¨ È Å¢ ¢ µÄ ¸ Ê ³«¹ ¬µÁª Á °¦r ¡º Ê µÃ¥Á ¦· É ¤µ¡¸ · ÁªÁ °¦r การบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ การคูณเวกเตอร์ ผลคูณเป็นเวกเตอร์ และผลคูณเป็นสเกลาร์ การคูณของสามเวกเตอร์ การอ้างอิงปริมาณเวกเตอร์ ในระบบพิกัด ต่าง ๆ เช่น ระบบพิกัดฉาก พ กัดทรงกระบอก และพิกัดทรงกลม µ¦ Á ¨¸ É ¥ ¦ ³ ¡· ´ จาก ระบบ® ¹ ÉÅ เป็น°¸ ¦ ³® ¹ É 1.1 ปรมาณเวกเตอร์ และปรมาณสเกลาร์ ในทางฟิ สิกส์แบ่งปริมาณออกเป็น 2 ประเภท ได้แก่ สเกลาร์ และเวกเตอร์ ªµ¤®¤µ¥ ° ¦· ¤µ ´Ê ° ³° · µ¥Åo ´ ¸ Ê 1.1.1 สเกลาร์ (scalar) ®¤µ¥ ¹ ¦· ¤µ ¸ É Î µ® ¨´ ¬³ ° ¦· ¤µÅo °¥n µ สมบูรณ์เพียงบอกเฉพาะขนาดของปริมาณ เช่น มวล 20 กิโลกรัม, อุณหภูมิ 20 องศาเซลเซียส ´ ª°¥n µ °º ÉÇ ° ¦· ¤µ Á ¨ µ¦ r Án ¡¨´ µ °´ ¦ µÁ ¦È ªÁª¨ µ ²¨² ¦· ¤µ Á ¨ µ¦ r ¸ Ê ¥´ ¦ ª ¤Å ¹ ¦· ¤µ ¸ É ÁÈ¢ r ´ ° Î µÂ®n ¸ É Á ¦¸ ¥ ªn µ µ¤ Á ¨ µ¦ r (scalar field) และเลข จํานวนจริง ด้วย 1.1.2 เวกเตอร์ (vector) ®¤µ¥ ¹ ¦· ¤µ ¸ É Îµ® ¨´ ¬³ ° ¦· ¤µ ´Ê µÂ¨ ³ ทิศทางของปริมาณ จึงจะมีความหมายสมบูรณ์ เช่น แรง 20 นิวตัน ไปทางซ้าย ความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ไปทางทิศตะวันออก ตัวอย่างของปริมาณเวกเตอร์ เช่น การกระจัด ความเร็ว µ¤Å¢¢µ µ¤Â¤n Á®¨ È Â¦ ²¨² ¦· ¤µ ¸ Ê ¦ª¤ ¹ µ¤Áª Á °¦r (vector field) ¹ É ÁÈ ¢ r ´ ° Î µÂ®n ¸ É ° Î µÂ®n ´Ê µ ¨ ³ · «µ ¦· ¤µÁª Á °¦r µ¤µ¦ ¸ É ³ แสดงปริมาณได้โดยใช้การเขียนรูปลูกศร โดยความยาว ของเส้นตรง µ °ÁªÁ °¦r ¨ ³ ®´ ª¨¼ «¦ ¸ É ¨ µ¥Á o ¦ ³  · «µ °ÁªÁ °¦r เช่น ถ้า R เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่ง จาก P ไป Q จะเขียนเวกเตอร์ ได้ดัง¦¼ 1.1

Upload: gawewat-dechaapinun

Post on 19-Feb-2017

493 views

Category:

Business


6 download

TRANSCRIPT

����1

พชคณตเวกเตอรและระบบพกด

�ªµ¤¦ ¼oÁ�É¥ª ��Áª�Á�° ¦ r¨ ³�¦ ³��¡ ·����º° Á�È�Á�¦ ºÉ°�¤ º° ­ ε��Ä��µ¦ «¹�¬µª ·�µ¢ ·­ ·�­ r�

Ã�¥Á�¡ µ³Â¤nÁ®¨ È�Å¢ ¢ µ�Ä����Ê�³«¹�¬µÁª�Á�° ¦ r¡ ºÊ��µ��Ã�¥Á¦ ·É¤�µ��¡ ���·�Áª�Á�° ¦ r��

การบวก การลบเวกเตอร การคณเวกเตอรดวยสเกลาร การคณเวกเตอร ผลคณเปนเวกเตอร

และผลคณเปนสเกลาร การคณของสามเวกเตอร การอางองปรมาณเวกเตอร ในระบบพกดตาง ๆ เชน ระบบพกดฉาก พกดทรงกระบอก และพกดทรงกลม �µ¦ Á� É¥�¦ ³��¡ ·��จาก

ระบบ®�¹É�Å�เปน° �¦ ³��®�¹É�

1.1 ปรมาณเวกเตอร และปรมาณสเกลาร

ในทางฟสกสแบงปรมาณออกเปน 2 ประเภท ไดแก สเกลาร และเวกเตอร

�ªµ¤®¤µ¥�°��¦ ·¤µ��Ê�­ °���³°�·�µ¥Å�o���Ê1.1.1 สเกลาร (scalar) ®¤µ¥�¹���¦ ·¤µ��É�ε®���¬�³�°��¦ ·¤µ�Å�o° ¥nµ�

สมบรณเพยงบอกเฉพาะขนาดของปรมาณ เชน มวล 20 กโลกรม, อณหภม 20 องศาเซลเซยส �ª ° ¥nµ�° ºÉ��Ç��°��¦ ·¤µ��­ Á�µ¦ r�Á�n��¡ ¨ ��µ��° �¦ µÁ¦ Ȫ�Áª ¨ µ�² ¨ ² ��¦ ·¤µ�­ Á�µ¦ r�Ê¥�

¦ ª ¤Å��¹��¦ ·¤µ��ÉÁ�È�¢��r���°��ε®�n��ÉÁ¦ ¥�ª nµ�­ �µ¤­ Á�µ¦ r� (scalar field) และเลข

จานวนจรง ดวย1.1.2 เวกเตอร (vector) ®¤µ¥�¹���¦ ·¤µ��É�ε®���¬�³�°��¦ ·¤µ��Ê���µ�¨ ³

ทศทางของปรมาณ จงจะมความหมายสมบรณ เชน แรง 20 นวตน ไปทางซาย ความเรว 20เมตรตอวนาท ไปทางทศตะวนออก ตวอยางของปรมาณเวกเตอร เชน การกระจด ความเรว

­ �µ¤Å¢ ¢ µ��­ �µ¤Â¤nÁ®¨ È��¦��² ¨ ² ��¦ ·¤µ��ʦ ª ¤�¹�­ �µ¤Áª�Á�° ¦ r� (vector field) �¹É�Á�È�

¢��r���°��ε®�n��É�°��ε®�n��Ê���µ��¨ ³�·«�µ�

�¦ ·¤µ�Áª�Á�° ¦ r­ µ¤µ¦ ��É�³แสดงปรมาณไดโดยใชการเขยนรปลกศร โดยความยาว

ของเสนตรง Â����µ��°�Áª�Á�° ¦ r�¨ ³®ª ¨ ¼�«¦ �É�µ¥Á­ o��¦���³Â���·«�µ��°�Áª�Á�° ¦ r��เชน ถา R

เปนเวกเตอรบอกตาแหนง จาก P ไป Q จะเขยนเวกเตอร ไดดง¦ ¼��É1.1

2

P

Q

¦ ¼��É�1.1 ลกศรแทนเวกเตอรจาก P ไป Q

เวกเตอรใด ๆ อาจจะเขยนสญลกษณแดงสมการ

A

= aA ˆ =

�Á¤ºÉ°��A

= A เปนขนาดขอ

a เป�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥(un

��������� a =A

A

=

1.2 การบวกเวกเตอร

ให A

และ B�Á�È�Áª�Á�° ¦ r��ɤ

เวกเตอร ของ A

และ B�³®µÅ�oª ·�®�¹É��

ความยาวใหมอตราสวนเหมาะสมกบขนาด แ

A

แลว เขยน เวกเตอร B

โดยเอาหางเวกเตอรลพธจะลากจากหางของเวกเตอรแรก

ให C

เปนเวกเตอรลพธของเวกเตอร

C

= BA

R

สดงในเทอมของขนาด และทศทางได ตวอยาง

aA ˆ

(1.1)

งเวกเตอร A

it vector)�ɤ�·«�µ�Å��µ�Á�¥ª ���A

A

A

(1.2)

��µ��¨ ³�·«�µ�ตาม¦ ¼��É1.2 ก. การบวก

�º°�µ¦ Á�¥�¦ ¼��Á¦ ·É¤�µ�Á�¥��A

กาหนดสเกลละเขยนทศตา¤�É�ε®��Ä®o��Á¤ºÉ° Á�¥�Áª�Á�° ¦ r��

ของ B

มาตอเขา�É®ª ¨ ¼�«¦�°�Áª�Á�° ¦ r¦ ����( A

) Å��É®ª�°�Áวกเตอรสดทาย ( B

)

A

+ B

จะแสดงได ��¦ ¼��É�1.2 ข.

(1.3)

3

B

B

A

BAC

A

B

ก.

ข.

¦ ¼��É�1.2 การบวกเวกเตอร ก. เวกเตอร A

แล

การหาเวกเตอรลพธจากการเขยนรป อาจจะเขยน

เวกเตอร A¤µ�n° �É®ª ¨ ¼�«¦�°�Áª�Á�° ¦ r��B

ผลลพธ�

¦ ¼��É 1.2 ®¦ º° �nµª Å�oª nµ� �µ¦�ª�Áª�Á�° ¦(commutative law of addition)

BA

= AB

เวกเตอร A

และ B��Á�È��oµ��Ê�­ °��°�­ ÉÁ®¨ É¥

�Â¥�¤»¤�°��oµ��Ê�­ °�����¦ ¼��É1.2

ถาเวกเตอร 3 เวกเตอร A

B

และ C

นามาบวÁ�È�Å��µ¤���µ¦ Á� É¥�®¤¼n­ 宦 ��µ¦�ª��(associative

)( CBA

= BA

)(

1.3 การลบเวกเตอร

ถา B�Á�È�Áª�Á�° ¦ rÄ��Ç�����Ê�Áª�Á�° ¦ r� B

เทากบ B

แตมทศทางตรงกนขามกบ B

หรอกลาวไดว

การลบเวกเตอร ของ BA

จะหมายถง เวกหรอ [ )( BA

]��Áª�Á�° ¦ r ¡ �r�°��µ¦ ¨ �Áª�Á�° ¦ r�­ ��

C

= BA

= (A

A

ะ B

รปเวกเตอ

ÉÅ�o�³ เทาก

r�³¤­ ¤��

¤�oµ���

กกน ผลบlaw of ad

C

(ลบ B

)า B

เตอร A

��¦ ¼��É��1

)B

. BAC

ร B

กอน แลวเอาหาง

น แสดงไดดงเสนปะ ของ

·�µ¦ ­ ¨ ��É­ 宦 ��µ¦�ª��

(1.4)µ�����Ê��C

จะเปนเสน

วกของสามเวกเตอร จะdition)

(1.5)

�³Á�È�Áª�Á�° ¦ r�ɤ��µ�ะเปนนเสธของ B

บวก กบเวกเตอร B

.3

(1.6)

4

B

A

¦ ¼��É�1.3 การลบเวกเตอร C

1.4 การคณเวกเตอรดวยสเ

กาหนดให B

เปนผล

��¼��³Á�·��¹Ê�Å�o�3 กรณ

1. ถา 0m ขนาด

ทศทางเดยวกน 2. ถา 0k ขนาด

ทางตรงขาม3. ถา 0m �����Ê�

1.5 ผลคณเชงสเกลาร

ผลคณเชงสเกลาร (sและ B

จะเขยนเปน BA

�Ê�­ °�กบโคไซด (cosine) �เปนปรมาณสเกลาร

BA

จากสมการ (1.8)ขนานกน และถาผลคณของ

­ ��ª nµÁª�Á�° ¦ r�Ê�­ °��Ê��µ

B

C

BA

กลาร

คณของการคณเวกเ

B

= Am

ของเวกเตอร B

เท

ของเวกเตอร B

เท

�B

จะเปนเวกเตอรศ

calar product) หรอผ อานวา “ A

ดอต

°�¤»¤¦ ³®ª nµ�Áª�Á�°

= cosAB

จะไดผลคณของ A

สองเวกเตอรเปนศน

���

ตอร A

ดวยสเกลาร m จะเขยนสมการ ได

(1.7)

ากบ m เทาของขนาดเวกเตอร A

ากบ m เทาของขนาดเวกเตอร A

มทศ

นย

ลคณจด (dot product) ของ 2 เวกเตอร A

B

”���¹É�Á�nµ��ผลคณของขนาดของเวกเตอร

¦ r�Ê�­ °��­ ����¦ ¼��É1.4 และผลคณจะ

(1.8)

และ B

�³¤�nµ­ ¼�­ »�Á¤ ºÉ° Áª�Á�° ¦ r�Ê�­ °�ย แตขนาดของÁª�Á�° ¦ r�Ê�­ °�ŤnÁ�È�«¼�¥r

5

B

¦ ¼��É�1.4 แสดงการผลคณเช

­ ¤��·¡ ºÊ��µ��µ��¦1. BA

=

2. (BA

3. )( BAk

Á¤ ºÉ°�k เ

1.6 ผลคณเชงเวกเตอร

ผลคณเชงเวกเตอร

เวกเตอร A

และ B

จะเขยน�¹É�Á�·��µ���¼��°���µ��

Á¤ºÉ°�n Á�È�Áª�Á�° ¦

กบระนาบ ของ A

และ B

ไป B

ดงร��É�1.5 ก. �®¦ º° ®เวกเตอร A

���·Êª �µ�Â���·«

ให C

เปนผลคณเชง

ผลคณเชงเวกเตอร แ

Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�เขยนได

nC ˆ

Á¤ ºÉ°สมบตบางประการขอ

1. BA

=

2. (BA

3. BAk

)(

Á¤ ºÉ°�k เป

A

งส

³�B

C

=

ปน

(ve

เ°�

r®�

µÁ

เว

สด

เป

=

งผ

C

=

cosB

เกลาร

µ¦ �°���¼�Á�·�A

) = ABA

BAk

)( = A

ปรมาณสเกลาร

ctor product

ปน BA

อา­ °�Áª�Á�° ¦ r��

BA

= AB s

¹É�®�nª ¥�­ ���

อทศของ n จะ

�µ��µ¦ Ä�o�·Êª ¤ º°ª�Á�° ¦ r�B

��®ª�

กเตอรของสองเวC

= BA

งในเทอมของกา

)ˆ()ˆ( bBaA =

n = a b

ลคณเชงเวกเตอ

AB

) = BA

+ A

)( BAk

= A

ปรมาณสเกลาร

­ Á�µ¦ r

C

)( Bk

) หรอผลคณไขว (cross product) ของ 2

นวา “ A

ครอส B

” มนยามวาเปนเวกเตอรÅ��r�(sine) �°�¤»¤¦ ³®ª nµ�Áª�Á�° ¦ r�Ê�­ °���

nin (1.9)

·«�°���¼��°�Áª�Á�° ¦ r�Ê�­ °���¹É��³�Ê��µ�

หาไดจากกฎการหมนสกรเกลยวขวา จาก A

�ªµ����¦ ¼��É1.5 ข. Ã�¥Ä®o�·Êª �ÊÂ���·«�°�·Êª ¤ º°�³Â���·«�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥��n

กเตอร A

และ B

จะได (1.10)

รคณเวกเตอรของขนาด และทศทางในรป

ABba )ˆˆ(

(1.11)ร

C

)( Bk

ใด ๆ

6

ก. ข.¦ ¼��É�1.5 แสดงทศของผลคณเชงเวกเตอร ของ BAC

ก. กฎสกรขวา ข. กฎมอ

ขวา

ตวอยาง 1.1 ถา A

และ B

เปนเวกเตอรใด ๆ จงแสดงวา2

BA

= 222 )( BABA

วธทา จากผลคณเชงสเกลาร BA

= nAB ˆsin2

BA

= 222 sinBA

= )cos1( 222 BA

= 22222 cosBABA 2

BA

= 222 )( BABA

ตอบ

1.7 ผลคณของสามเวกเตอร

��¼��°�­ µ¤Áª�Á�° ¦ r���¼��³Á�È�Å�o�Ê��¦ ·¤µ�Áª�Á�° ¦ r¨ ³ ­ Á�µ¦ r

1.7.1 ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร

ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร (scalar triple product ) A

, B

และ

C�³Å�o�¨ ¡ �rÁ�È�­ Á�µ¦ r�Á¤ ºÉ°�µ¦�¼��Á�È�

)( BAC

= cossinABC (1.12)�µ¦�¼��°�­ µ¤Áª�Á�° ¦ r�Á¤ ºÉ° Å�o�¨ ¡ �rÁ�È�­ Á�µ¦ r���³Á�¥�Å�oในรปของกฎการสลบ

�É­ 宦 ��µ¦�¼��เปน

7

n

)( BAC

= )( CBA

= )( ACB

(1.13)

�oµÁª�Á�° ¦ r�Ê�­ µ¤Á�È��oµ��°��¦�­ ÉÁ®¨ É¥¤�oµ���µ����¦ ¼��É1.6 ผลเชงสเกลาร�°�­ µ¤Áª�Á�° ¦ r�³Á�È��¦ ·¤µ�¦�°�¦ ¼��¦�­ ÉÁ®¨ É¥¤�oµ���µ� และถาเวกเตอร A

, B

และ

C

อยในระนาบเดยวกน )( CBA

= 0

¦ ¼��É�1.6��­ ���¦ ·¤µ�¦ ¼��¦�­ ÉÁ®

1.7.2 ผลคณเชงเวกเตอ

ผลคณเชงเวกเตอรของสาB

และ C�³Å�o�¨ ¡ �rÁ�È�Áª�

Áª�Á�° ¦ r�°�­ µ¤Áª�Á�° ¦ r��³Å¤n¤

1.8 ระบบพกด

การบอกตาแหนงของปรม

�ªµ¤®¤µ¥Å�o�nµ¥�¹Ê� และสะดวก

¦ ³��¡ ·���É�¦ ³�°��oª ¥Â�� 3ทรงกระบอก และระบบพกดทรงก

C

¨ É¥

รขอ

มเวÁ�° ¦

­ ¤�A

าณ

ในก

Â�ลม

B

¤�oµ���µ��°��

งสามเวกเตอร

กเตอร (vector tr�Á¤ ºÉ°�µ¦�¼��Á�

�·�°��µ¦ Á� É¥�ACB ()(

เวกเตอร โดยใช

ารคานวณ®µ�¦

���Ê��µ��¹É�กน

A

3 เวกเตอร

riple product ) ของสามเวกเตอร A

,�� )( CBA

และผลคณเชง

®¤¼nของ การคณ (associative)CB

) (1.14)

ระบบพกดในการอางอง จะชวยใหเขาใจ

·¤µ��ÉÁ�É¥ª�o°��Ä�Á°�­ µ¦ �Ê�³�ลาวถง

และกน ในระบบพกดฉาก ระบบพกด

8

X

Z

),,( ZYXP

rk

i

j

O

z

x

1.8.1 ระบบพกดฉาก

ระบบพกดฉาก ประกอบดวยเสนตรง 3 Á­ o��Ê��µ��¹É���¨ ³ ���Á¦ ¥�ª nµÂ���(axis)

�³�n��°�Â���Ê�­ µ¤�oª ¥�­ � �¬�r�x , y , และ z ตามลาดบ จดตดของแกน เรยกวาจด

กาเนด (origin) �¨ ³��³Ä�oÁª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥� kji ˆ,ˆ,ˆ แสดงทศทางของเวกเตอรองคประกอบตามแนวแกน zyx ,, ตามลาดบ

¦ ¼��É��1.7 ภาพฉายของจดในระบบพกดฉาก

ถา ),,( ZYXP เปนจดอยในปรภมของระบบพกด¨ ���Â����Ê��3 แกน จะแสดงคาองคประกอบตามแนวแกน

เวกเตอรบอกตาแหนง r จากจดกาเนด o ไปยงจ

เวกเตอรองคประกอบ ไดเปน

r = kZjYiX ˆˆˆ

Á¤ ºÉ°�X , Y และ Z เปนคาสเกลารของภาพฉายข

ตามลาดบ ถา xA , yA และ zA เปนคาสเกลารของภาพฉายข

��¦ ¼��É�1.7 ���Ê�Áª�Á�° ¦ r�A

จะเขยนในรปของเวกเตอรอ

A

= kAjAiA zyxˆˆˆ

ทานองเดยวกน เวกเตอร B

จะเขยน ไดเปน

B

= kBjBiB zyxˆˆˆ

Y

ฉข

อง

อง

งค

y

าก คาของภาพฉายของจด P

องจด P ดง¦ ¼��É1.7

P จะแสดงไดในเทอมของ

(1.15)r ลงบนแกน x , y และ z

A

ลงบนแกน x , y และ z

ประกอบ ไดเปน

(1.16)

(1.17)

9

ให C

= BA

จะแสดงการบวกเวกเตอร เปน

C

= kBAjBAiBA zzyyxxˆ)(ˆ)(ˆ)(

C

= kCjCiC zyxˆˆˆ (1.18)

Á¤ ºÉ°�� xC = )( xx BA , yC = )( yy BA และ zC = )( zz BA

และ xC , yC และ zC เปนเวกเตอรองคประกอบของ C

ตามทศของเวกเ�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥��

kji ˆ,ˆ,ˆ ตามลาดบ แสดง ดง¦ ¼��É1.8

¦ ¼��É�1.8 การบวกเวกเตอรในระบบพกดฉาก

Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�µ¤Â���Ê�­ µ¤��³�Ê��µ��¹É���¨ ³ �����¼�Á�·�สเกลารของÁª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�³Å�o

1ˆˆ ii , 1ˆˆ jj , 1ˆˆ kk

และ ikkjji ˆˆˆˆˆˆ = 0ผลคณเชงเวกเตอร ของเวกเตอร®�¹É�®�nª ¥�Á�È�

kkjjii ˆˆˆˆˆˆ = 0

kji ˆˆˆ , ikj ˆˆˆ , jik ˆˆˆ

ผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร A

กบ B

แสดงในเทอมของเวกเตอรองคประกอบ ในระบบพกดฉาก เปน

BA

= zzyyxx BABABA (1.19)

จาก สมการ (1.19) จะหาขนาดของเวกเตอร A

ในเทอมของเวกเตอรองคประกอบ ไดเปน

AAA

= 222zyx AAA (1.20)

10

ตวอยาง 1.2 ให A

= kji ˆˆ2ˆ3 และ B

= kji ˆ2ˆ3ˆ จงหา

ก. C

= BA

32

ข. Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�°��Áª�Á�° ¦ r�C

ค. มมของเวกเตอร C

กระทากบแกน z

วธทา ก. C

= BA

32

A

2 = )ˆˆ2ˆ3(2 kji

B

3 = )ˆ2ˆ3ˆ(3 kji

C

= BA

32 = kji ˆ8ˆ13ˆ3

ข. Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�°��Áª�Á�° ¦ r�C

Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥

c =C

C

C

= 222 )8(133 = 6.15

c =6.15

ˆ8ˆ13ˆ3 kji = kji ˆ51.0ˆ85.0ˆ19.0

ค. มมของเวกเตอร C

กระทากบแกน z

z =

C

C z1cos =

6.15

8cos 1

z = 51.0cos 1

ตอบ

1.8.2 ระบบพกดทรงกระบอก

ให ),,( zyxP เปนจดในปรภม ระบบพกดฉาก สามารถจะบอกตาแหนง ของ P ได ในเทอมของ , และ z แสดง��¦ ¼��É��1.9 ให เปนภาพฉายของ

เวกเตอรบอกตาแหนง OP บนระนาบ xy , เปนมมจากแกน x ในทศทวนเขม

นาฬกา ถงระนาบ OTPM และ z เปนภาพฉายของ OP ลงบนแกน z ����Ê���nµ , และ z เปนคาพกดในระบบพกดทรงกระบอก ของจด ),,( zP แสดงดง¦ ¼��É

1.10 จะเปน

11

k

¦ ¼��É�1.9 แสดงภาพฉายของจด P ในระบบพกดทรงกระบอก

x = cos (1.21)

y = sin (1.22)คาพกดเชงผว ตามแนวรศม เปน

= 22 yx = คาคงตว (1.23)

คา เปนรศมของทรงกระบอก เทยบกบแกน z โดย z เปนแกนของทรงกร³�°������Ê����³¤�nµ�Ê�Â�n�0 ถง ( 0 )

คาพกดเชงผวในแนวระนาบ =

x

y1tan = คา���É

Á¤ ºÉ°� เปนมมระนาบรอบแกน z ดง¦ ¼��É1.10

z = �nµ���Éคาพกดเชงผว z จะขนานกบระนาบ xy ���¹Ê�Å��µ¤แนวแกน z �����Ê��ผวของ

¦ ³�µ��Ê��3 จะตดกนเปนมมฉาก ทาใหสรางแกน 3 Â���Ê��µ��¹É���Á�È�Â��� , และ

z ��¤Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥Â���oª ¥�� , และ k ���µ¤Â���Ê��3 ตามลาดบ คาของมม วดเทยบกบแกน x ในทศทางทวนเขมนาฬกา มคา อยระหวาง 0 ถง 2

12

= รศมทรงกระบอก

z = ระนาบตามแนวแกน z

= ระนาบของตามมม

y

z

x

¦ ¼��É�1.10 �·ª �Ê��3 �Ê��µ��¹Éงกนและกนในระบบพกดทรงกระบอก

ถา A

เปนเวกเตอรบอกตาแหนงในพกดทรงกระบอก จะแสดงคาของ A

ในรป

ของเวกเตอรองคประกอบ ไดเปน

A

= ˆA + ˆA + kAz

ˆ

Á¤ ºÉ°�� , และ k Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�µ¤Â���� , , z ตามลาดบ

ถาเวกเตอร A

= ˆA + ˆA + kAz

ˆ และ B

= ˆB + ˆB + kBz

ˆ

เปนเวกเตอรในระบบพกดทรงกระบอก

�¡ ���·��°�Áª�Á�° ¦ r�Êงสอง จะเขยนสมการไดเปน

BA

= ( A + B ) + A( + )B + kBA zzˆ)(

ผลคณเชงสเกลารของเว�Á�° ¦ r�Ê�­ °�BA

= zz BABABA

��¼�Á�·�­ Á�µ¦ r�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥ จะได

ˆˆ = 1 ˆˆ = 1 kk ˆˆ = 1

ˆˆ = 0 kˆ = 0 ˆ k = 0

และ ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอร ของ BA

BA

=

z

z

BBB

AAA

k

ˆˆˆ

��¼�Á�·�Áª�Á�° ¦ r�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥

0ˆˆ 0ˆˆ 0ˆˆ kk

13

y

kˆˆ ˆˆˆ k ˆˆˆ k

�µ¦ Á� É¥�¦ ¼��°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®นวย จากระบบพกดทรงกระบอกเปน ระบบพกดฉาก

จะหาÅ�o�µ�£µ¡ �µ¥�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥� และ ในระบบพกดทรงกระบอก ลงบน

Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�i และ j ��Ä�¦ ³��¡ ·���µ�����¦ ¼��É1.11 จะได

= ji ˆsinˆcos

= ji ˆcosˆsin

Á¤ ºÉ°� cosˆˆ i , sinˆˆ j , ˆ i = sin และ cosˆˆ j

¦ ¼��É�

��µ¦ Á� É¥�¦

จะหาไดในรปของเมต

�µ¦ Á� É¥�¦ ¼�

เวกเตอร A

บนแกน x , y , และ

ทานองเดยวกน ภาพฉ

และ ภาพฉายสเกลาร

cosi

cosj

sini

x

1.11 องคประ

¼�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�

รกซ เปน

k

�°�Áª�Á�° ¦

ในระบบพกดทz จะได ภาพ

A

ายสเกลารขอ

A

ของเวกเตอร

A

sinj

กอบของ

®�nª ¥�

ˆ

ˆ

ˆ

=

r

รงกระบฉายสเก

x = A

งเวกเต

y = A

A

ลงบน

z = kA ˆ

และ

µ�¦ ³��¡ ·��

00

cossin

sincos

อกจะแสดงใลารของเวก

i = cosA

อร A

ลงบน

j = sinA

แกน z เ

= zA

ตามทศของ i และ j

�µ�ไปเปนระบบพกดทรงกระบอก

k

j

i

ˆ

ˆ

ˆ

1

0

0

นระบบพกดฉาก ไดโดยภาพฉายลงเตอร A

ลงบนแกน x เปน

sinA

แกน y เปน

cosA

ปน

14

���Ê���µ¦ Á� É¥��µ�¦ ³���¦��¦ ³�°��Á�È�¦ ³��¡ ·���µ��สมการจะเขยนในรปเมตรกซ ได

เปน

z

y

x

A

A

A

=

zA

A

A

100

0cossin

0sincos

Ä��µ�������µ¦ Á� É¥��µ�¦ ³���¡ ·���µ��Á�È�¦ ³���¦��¦ ³�°��Ä�¦ ¼�Á¤�¦ ·��r���³Å�o

zA

A

A

=

z

y

x

A

A

A

100

0cossin

0sincos

ตวอยาง 1.3 ใหเวกเตอร A

= kk ˆ2sin5ˆ

2

จงหาคาของ A

ในระบบพกดฉาก

วธทา Ã�¥Ä�oÁ¤�¦ ·��r�Á� É¥�¦ ¼���³Å�o

2

kA , 0A และ 2sin5zA

จะได 2

cos

kAx ,

2

sin

kAy และ zA sincos10

โดยการแทนคา = 22 yx ,

x

cos และ sin =

y

Á¤ ºÉ° Á� É¥�Á�È�¦ ³��¡ ·���µ���³Å�o

A

= kyx

xyj

yx

kxi

yx

kx ˆ)(

10ˆ)(

ˆ)( 222/3222/322

ตอบ

1.8.3 ระบบพกดทรงกลม

ให P เปนจดในปรภมในระบบพกดทรงกลม จะบอกตาแหนงของ P ในเทอมของ

r , และ ��Á¤ºÉ°�r เปนขนาดของ เวกเตอรบอกตาแหนง OP มม เปนคามมของ

เวกเตอรบอกตาแหนง OP เทยบกบแกน z และ เปนมมระหวางแกน x กบระนาบ OMPN และภาพฉายของ r ลงบนระนาบ xy เปน OM = sinr �µ�¦ ¼��É�1.12 จะได

15

¦ ¼��É�1.12 แสดงภาพฉายของจดในระบบพกดทรงกลม

x = cossinr (1.24)

y = sinsinr (1.25)z = cosr (1.26)

จะได 222 zyxr (1.27)

=

r

z1cos (1.28)

=

x

y1tan (1.29)

มม เปนมมในระนาบจาก การหมนจาก x ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา รอบแกน

z ���Ê��nµ�°�� ��³¤�nµ�Ê�Â�n�0 ถง 2 มม จาก แกน z ถงแนวของเวกเตอรบอก

�ε®�n���³¤�nµÁ� É¥�Â���µ��0 ถง และ r เปนระยะจากจดกาเนดตามแนวรศม โดย

r0

เวกเตอรบอกตาแหนงเปน A

= rAr ˆ + ˆA +

ˆA Á¤ ºÉ°�r , , เปน

Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥ในทศทาง ตามแกน r , ,

ระบบแกนในพกดทรงกลมจะประกอบดวย r , และ �¨ ³ ¤Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥

�µ¤Â���Ê�­ µ¤��Á�È���r , และ ตามลาดบผลคณเช�­ Á�µ¦ r�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥���³Å�o

1ˆˆ rr 1ˆˆ 1ˆˆ

0ˆˆ r 0ˆˆ 0ˆˆ r

��¼�Á�·�Áª�Á�° ¦ r�°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥���³Å�o

ˆˆˆ r rˆˆ ˆˆˆ r

16

�µ¦ Á� É¥�¦ ¼��°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥

°��r�¦ ³�°��°�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥Ä�¡ ·���¦��¤Á�È��r , และ ��Á� É¥�Á�È�

i , j , และ k ในระบบพกดฉาก ตาม¦ ¼��É1.13 จะได

ir ˆˆ = cossin sinsinˆˆ jr cosˆˆ kr

coscosˆˆ i sincosˆˆ j sinˆˆ k

sinˆˆ i cosˆˆ j 0ˆˆ k

จะเขยนสมการในรปเมตรกซ ไดเปน

k

j

ir

ˆ

ˆ

ˆ

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

ˆ

ˆ

ˆ

�µ¦ Á� É¥�¦ ¼��°�Áª�Á�° ¦ rถาเวกเตอร A

ในระบบพกดทรงกลม เปน

A

= ˆˆˆ AArAr

องคประกอบของ A

ตามแกน x จากภาพฉายของ A

ลงบนแกน x จะได

iAAxˆ

= iAiAirAr

ˆˆˆˆˆˆ

= sincoscoscossin AAAr

ทานองเดยวกน ตามแนวแกน y และ z จะได

yA = cossincossinsin AAAr

zA = sincos AAr

¨ ³��µ¦ Á� É¥�¡ ·���µ�¡ ·���¦��¤Á�È�¡ ·���µ��Á�ยนในรปเมตรกซ จะเปน

A

A

A

A

A

A r

z

y

x

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

�ε�°�Á�¥ª ����µ¦ Á� É¥��µ�¡ ·���µ�Å�Á�È�¡ ·���¦��¤��³Å�o

A

A

A

A

A

A rr

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

17

ก. ข.

ค.

¦ ¼��É�1.13 ภาพฉายของ ก. r ข. และ ค. ����Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�� ji ˆ,ˆ และ k

ตวอยาง 1.4 เวกเตอร A

= kyxjyix ˆ25.0ˆ5.0ˆ3 222 �É�»�� )12,4,3(P ในระบบพกด

ฉาก จงหาคา A

ในระบบพกดทรงกลม

วธทา เวกเตอร A��É�»��� )12,4,3(P เปน kjiA ˆ36ˆ8ˆ9

และ = 1.533

4tan 1

= 6.2213

12cos 1

xcossin

ysinsin

ˆsin

r

kcos

sinx

coscosx

cosˆ

sincosy

cosˆ

zsin

18

แทนคา จะได

77.37rA , A = 95.2 และ A = 40.2

เวกเตอร A

ในระบบพกดทรงกลม

A

= ˆ40.2ˆ95.2ˆ77.37 r ���Éจด )1.53,6.22,13( P

ตอบ

1.9 บทสรป

ปรมาณแบงไดเปน 2 �¦ ³Á£���º°��¦ ·¤µ��ɤ�Ê���µ�¨ ³�·«�µ��Á¦ ¥�ª nµ�¦ ·¤µ�

Áª�Á�° ¦ r¨ ³��¦ ·¤µ��ɤÁ�¡ µ³��µ��Á¦ ¥�ª nµ�¦ ·¤µ�­ Á�µ¦ r�

ปรมาณเวกเตอร แสดงไดดวยขนาดคณกบÁª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�Ã�¥�ÉÁª�Á�° ¦ r®�¹É�หนวยจะ­ ���·«�µ��°�Áª�Á�° ¦ r�Ê��Ç��Á�n���aA ˆ

ปรมาณเวกเตอรเขยนรปแทนไดโดยเขยนเสนตรงแทนขนาดและหวลกศร แทนทศทาง

การบวกเวกเตอร ของ 2 เวกเตอรหรอมากกวา หาเวกเตอรลพธหาª ·�®�¹É���º°�เขยน

รปเวกเตอร และเวกเตอร BA

= AB

การลบเวกเตอร BA

= )( BA

เวกเตอร B

�Á�È�Áª�Á�° ¦ r�ɤ��µ�Á�nµ���B

แตมทศทางตรงกนขาม การคณเวกเตอรดวยสเกลาร AmB

����¼��³Á�È�Áª�Á�° ¦ r�ɤ��µ��Á�È��mA

จะมทศตามทศ A

มทศตรงขามกบ A

และ เปน 0 Á¤ ºÉ°� 0,0 mm และ 0m

ตามลาดบการคณเชงสเกลาร ของสองเวกเตอรไดผลลพธของการคณเปนสเกลาร

BA

= cosAB

�µ¦�¼�Á�·�Áª�Á�° ¦ r��°�­ °�Áª�Á�° ¦ r�Å�o�¨ ¡ �rÁ�È�Áª�Á�° ¦ r�Á¤ ºÉ°

BA

= nAB ˆsin

ระบบพกดฉาก บอกตาแหนงของเวกเตอร ดวย r = kZjYiX ˆˆˆ Á¤ ºÉ°�i , j และ

k �Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�µ¤Â���x , y , z ตามลาดบ

ระบบพกดทรงกระบอก บอกตาแหนงเวกเตอรดวย A

= kAAA zˆˆˆ

Á¤ ºÉ°�� , และ k Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�µ¤Â���� , , z ตามลาดบ

ระบบพกดทรงกลม บอกตาแหนงเวกเตอรดวย เปน A

= rAr ˆ + ˆA +

ˆA

Á¤ ºÉ°�r , , Á�È�Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�µ¤Â�� r , ,

�µ¦ Á� É¥�¦ ³��¡ ·���µ���¦��¦ ³�°��Á�È�¡ ·���µ��®µÄ�¦ ¼�Á¤�¦ ·��r�Å�o�

19

z

y

x

A

A

A

=

zA

A

A

100

0cossin

0sincos

�µ¦ Á� É¥�¦ ³��¡ ·���µ���¦��ลม เปนพกดฉาก หาในรปเมตรกซ ได

A

A

A

A

A

A r

z

y

x

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

1.10 คาถามทายบท

1. ให เวกเตอร A

= kji ˆˆ2ˆ4 และเวกเตอร B

= kji ˆ4ˆ4ˆ จงแสดงวาÁª�Á�° ¦ r�Ê�­ °��Ê��µ��¹É���¨ ³กน

2. กาหนดให เวกเตอร A

= ji 4ˆ2 และเวกเตอร B

= kj ˆ4ˆ6 จงหามมระหวางÁª�Á�° ¦ r�Ê�­ °���Á¤ºÉ°�

ก. ผลคณเชงเวกเตอร ( 9.41 )

ข. ผลคณเชงสเกลาร ( 9.41 )

3. กาหนดให kjA ˆ10ˆ4

และ jiB ˆ3ˆ2

จงหาภาพฉายของเวกเตอร A

ลงบน B

13/12( )4. ��®µÁª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�ɤ�·«�µ��»�� )2,5,2( ไปในทศทางของจด )3,5,14(

)ˆ13

5ˆ13

12ˆ( jir

5. จงแสดงวา )()( DCBA

= ))(())(( CBDADBCA

6. จงหาระยะหางระหวางจด ( 0,6

,2 ) และ )2,,1( �Á¤ºÉ°�»��É�ε®��Ä®o° ¥¼nÄ�¦ ³��¡ ·กด

ทรงกระบอก

)53.3(

7. จงหาระยะหางระหวางจด ( 0,4

,1 ) และ ),

4

3,1( �Á¤ºÉ°�»��É�ε®��Ä®o° ¥¼nÄ�¦ ³��¡ ·��

ทรงกระบอก

)2(

8. กาหนดให kjiA ˆ3ˆ2ˆ4

และ kjiB ˆˆ4ˆ3

จงหา ก. ขนาดของ BA

25 )1.31(

ข. Áª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥Ä��·«�µ��°�� ABA

/)25( )ˆ55.0ˆ06.0ˆ84.0( kji

20

ค. เวกเตอรองคประกอบของ A

ในทศทางขนานกบ B

)ˆ27.0ˆ08.1ˆ81.0( kji

ง. เวกเตอรองคประกอบของ A�Ä��·«�µ��Ê��µ�����B

)ˆ73.2ˆ08.3ˆ19.3( kji

9. กาหนดใหระนาบ 12234 zyx ����®µÁª�Á�° ¦ r®�¹É�®�nª ¥�É�Ê��µ���¡ ºÊ��·ª Ä��·«�µ��É¡ »n�° ° กจากจดกาเนด

[ 29/)ˆ2ˆ3ˆ4( kji ]

10. จงแปลง kyx

xjxiyA ˆˆˆ

22

2

จากเวกเตอรในระบบพกดฉากไปเปนเวกเตอร

ในระบบพกดทรงกระบอก

11. จงแปลงเวกเตอร ˆcossinˆtanˆ rrrrA

จากระบบพกดทรงกลมเปนพกดฉาก

12. จงแสดงคาของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

ก. A

= ˆcosˆsin

ข. H

= ˆ

1