1.1. Algebra polinomaU proslom smo poglavlju izucavali kvadratnu funkciju ili polinom drugog stupnja: P(x) = ax + bx + c.2

Odakle potjece ime polinom) Gornja je funkcija sastavljena od triju pribrojnika koje nazivamo monomima. To su clanovi ax , zatim fa i c . Za prvi kazemo daje drugog stupnja, monom bx prvogje stupnja, dokje monom c stupnja 0 . Njihovim zbrajanjem dobivamo polinom drugog stupnja. N a isti nacin mozemo zamisliti monome bilo kojeg stupnja. Tako je, na primjer, monom stupnja k oblika a x . Zbrajanjem ovakvih monoma, za razne vrijednosti potencije k, dobivamo polinom.k k

Definicija polinoma

Polinom stupnja n je funkcija P : R R definirana s > P(x) = a x + a _\x ~n n n n n x

+ ... + a\x + a ,0 n 0

(1) a nan

gdje su oq, a\,..., a realni brojevi, a ^ 0 . Brojeve a ,..., zivamo koeficijentima polinoma. Koeficijent a nazivamo koeficijeiitor . koeficijent a ibodnim koeflci jento .

Za ovaj polinom kazemo da je m s realnim koeficijentima. A k o su koeficijenti cijeli brojevi, onda govorimo o polinomu s cjelobrojnim koeficijentima. Zapis (1) nazivamo kanonski oblik polinoma.

Stupanj polinoma je najveca potencija nepoznanice x u kanonskom obliku polinoma. Tako je, na primjer, polinom P(x) = 2x - I3x + 6 stupnja 4 , a polinom4

Q(x) = 10 + 3 x - 2 V8 2

stupnja 3. Pisemo: s t P = 4 , st(x) = x 3.4 3 3 2 4 2

1 0 . Dokazi da je polinom P(x) = (x - 2 ) + (x 1 ) 1 djeljiv polinomom Q(x) = x 3x + 2.5 0 2

11. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) = x + 2 x " - 3x + 2x + 5 polinomom Q(x) =x +x-211 0 0 3 2

12.

Odredi a i b uz uvjet da je polinom P(x) = x 3x +3x +ax+fr djeljiv polinomom Q{x) = x - 3x + 4.4 3 2 2

Odredi a, b R tako da polinom P{x) = x + 2x ax + b pri dijeljenju s Q\{x) = x 2 daje ostatak 2, a pri dijeljenju Qi{x) = x + 1 ostatak 3.3 2 s

13.

4.

Odredi koeficijente a i b polinoma P(x) = 2x x + ax + b tako da taj polinom bude djeljiv polinomom Q(x) = x x + 1.5 2 2

Polinom P pri dijeljenju s x 1 daje ostatak 2, a pri dijeljenju s x 2 ostatak 1. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom (x-l)(x-2)? Ako polinomi / i g pri dijeljenju polinomom h imaju ostatke x 1, odnosno x + x + 1, koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma f + g i / g polinomom hi2 4 2

14.

5.

Odredi koeficijente a i b polinoma ~P(x) = 2x x +ax + b tako da polinom bude djeljiv polinomom Q(x) = x x + 1.5 3 2

6.

Odredi ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) = x" + x"~ + ... + x + 1 polinomom Q{x) = x - 1.l

15. Odredi koeficijente a, b i c polinoma P(x) = 2x + ax + bx + c ako je P djeljiv polinomom x + 2, a ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom x l je x 2.2

7.

Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) = x" + x"~ + ... + x + 1 polinomom Q(x) = x + 1 ?l

E JEDNADZBE

1.3. Nultocke i faktorizacija polinomaZa svaku vrijednost broja x mozemo lako izracunati vrijednost polinoma P(x). Obratni je problem znatno slozeniji. Tako, na primjer, ako je P(x) = 2x I3x + 6, pronalazenje vrijednosti broja x za koje je P(x) = 2 upucuje na jednadzbu:4

2 x - 13x + 6 = 2, koju opcenito ne znamo rijesiti. Sredivanjem dobivamo ekvivalentnu jednadzbu 2x - 13x + 4 = 0. Ovakva se jednadzba zove algebarska jednadzba. Kazemo jos da je ona algebarska jednadzba cetvrtog stupnja.A

4

Broj x\ za koji vrijedi P(x\) = 0 naziva se nuHnt > polinoma P. A k o je P(x) = a x" + . . . + a\x + a , onda se jednadzba P(x) = 0 :n 0

a x + a -\x ~n n

n

n

l

+ ... + ci\x + ao = 0 algebarske

naziva n -tog stupnja. jednadzbe su nultocke pripadnog polinoma.

Naucili smo rjesavati algebarske jednadzbe drugog stupnja. A k o je P(x) = ax + bx + c polinom drugog stupnja, onda je pripadna jednadzba oblika ax + bx + c = 0.1 2

To je kvadratnajednadzba, cija rjesenja mozemo izraziti eksplicitnom formulom. Znamo takoder daje rjesenje kvadratne jednadzbe nultocka pripadnog polinoma. A k o s xi i x oznacimo rjesenja kvadratne jednadzbe, onda se polinom moze napisati u obliku P(x) = a(x x\)(x xt).2

Svojstva polinoma drugog stupnja

1) Svaka kvadratnajednadzba ax + bx + c = 0 ima dva rjesenja x i xx 2 2

(koja mogu biti jednaka).

2) Rjesenja kvadratne jednadzbe nultocke su pripadnog polinoma drugog stupnja P(x) = ax + bx + c.

12

,

3) Polinom P moze se faktorizirati, na ovaj nacin: P(x) = a(x X]

)(x

x-i).

4) Nultocke polinoma mogu se izracunati i z koeficijenata polinoma P koristenjem cetiriju osnovnih algebarskih operacija i operacije korjenovanja.

Koja od ovih svojstava ostaju nepromijenjena promatramo l i polinome veceg stupnja?

Primjer 1.

Promotrimo polinom P(x) =2(x-2)(xl)(x + 3). On je napisan u faktoriziranom obliku. Mozemo li na osnovi tog zapisa odrediti njegove nultocke? Ako je T(x) = 0, tj.2(JC

2)(JC

1)(JC

+

3) = 0,

onda barem jedan od faktora mora biti jednak nuli, te je x = 2 i l i x = 1 i l i x = 3. Dakle, iz faktorizacije mozemo odrediti nultocke polinoma .1

Primjer 2.

Promotrimo polinom Q(x) = x - Ix + 6. Mozemo l i odrediti njegove nultocke? One su rjesenja pripadne jednadzbe treceg stupnja x - Ix + 6 = 0. Postoji l i formula za rjesenja ove jednadzbe nalik onoj za rjesenja kvadratne jednadzbe? Odgovor je na ovo pitanje potvrdan; formule postoje. Medutim, one su toliko slozene da ih u prakticnom racunu ne koristimo. Pogledom na polinom ustanovit cemo daje jedna njegova nultocka broj x\ = 1, jer vrijedi: Q(l) = 1 7 - 1 + 6 = 0 . Druge dvije nultocke, xi = 2 i X 3 = 3, nisu toliko ocite. A l i sad mozemo provjeriti da vrijedi 1 i polinoma Q{x) = x a mozemo napisati na ovaj nacin: P(x) = Pi(x)(x - a) +R(x). Ovdje je R polinom stupnja manjeg od st Q = 1, dakle, polinom nultog stupnja. Zato je polinom R konstanta: P(x) = Pi(x)(x - a) + r. Vrijednost broja r mozemo odrediti uvrstavajuci u ovu jednakost x = a: P(a) = Pi(a)(a Dakle, r = P(a), pa mozemo napisati:Dijeljenje polinomom prvog stupnja

- a) + r = r.

Za svaki polinom P stupnja n > 1 i svaki broj a polinom P(x)P(a) djeljiv je s x a ; to jest, postoji polinom P , stupnja n 1 takav da je P{x) - P{a) = {x a)P,{x). Ovu relaciju jos mozemo napisati ovako: P(x) = (x - a)Pi(x) + P(a). Ostatak pri dijeljenju polinoma P s x a jednak je vrijednosti polinoma P(a).

Sto se dogada izaberemo l i za a = x\ nultocku polinoma P ? Onda vrijedi P ( a ) = P(x\) = 0 i ovarelacijapostaje: P{x) =Svojstvo nultocke polinoma

(x-xi)P (x).1

A k o je x\ nultocka polinoma P , onda je polinom djeljiv s x JCI .

Ima li polinom P uvijek nultocku? Trazimo li je u skupu realnih brojeva, odgovor je negativan. Polinom P(x) = x + 3 nema realnih nultocaka. Medutim, brojevi iy/3 i njegove su kompleksne nultocke.2

Slicna ce se situacija zbiti s po volji odabranim polinomom P . Vrijedi sljedeci vazan stavak.

14

NULTOCKE I FAKTORIZACIJA POLINOMA

Osnovni stavak algebre

Svaki polinom P stupnja n > 1 imabaremjednu nultocku x\ u skupu kompleksnih brojeva.

Matematicari su odavno osjecali istinitost ovog teorema. Osnovni je razlog za promatranje skupa kompleksnih brojeva upravo potreba da se pronade skup brojeva u kojem se moze dobiti rjesenje svake algebarske jednadzbe. Strogi dokaz ove tvrdnje dao je medutim tek Gauss koncem 18. stoljeca . Dokaz nije elementaran i koristi tehnike koje su sastavni dio visokoskolske matematike.1

Izvedimo vaznu posljedicu ovog stavka. Neka je P po volji odabran polinom stupnja n. Po osnovnom stavku algebre, on ima baremjednu nultocku. Neka je to broj x\. Onda mozemo napisati: P(x) = {x-xi)Pi(x),

gdje je Pi polinom stupnja n - 1. Primijenimo sad osnovni stavak algebre na polinom P i . Postoji barem jedna njegova nultocka x , pa vrijedi:2

Pi(*) =2

(x-x )P (x)2 2

za neki polinom P stupnja n 2 . Time smo dobili: P(x) = (x - )(xXl

-

x )P (x),2 2

pa je broj x ocito i nultocka polinoma P .2

Nastavljajuci ovaj postupak, dobit cemo na koncu: P(x) = (x -xi)(x -x )---(x-x )P (x),2 n n

gdje je P(x) polinom stupnja 0 , dakle, konstanta: P(x) = a. Time smo dobili: P(x) = a(x x\)(x x ) (x x ).2 n

Pomnozimo l i izraze s desne strane ove jednakosti, dobit cemo polinom stupnja n s vodecim koeficijentom a: P(x) =axn

+ ...n

Zato je konstanta a upravo vodeci koeficijent a polinoma P . Napisimo i zapamtimo dobiveni rezultat.Gauss je taj dokaz nacinio 1799. g., u dobi od 22 god. Kasnije je dao jos tri razlicita dokaza iste tvrdnje, 1815., 1816. i 1849. g. Prvi nepotpun dokaz osnovnog stavka algebre dao je francuski matematicar, filozof i enciklopedist D'Alembert, 1746. g.1

15

POLINOMI I ALGEBARSKE JEDNADZBE

Svaki polinom stupnja n ^ 1 ima tocno n nultocaka X\..., x kojih neke mogu biti jednake). Polinom mozemo faktorizirati na nacin:n

P{x) = a (x x\)(xn

Xi)

(x x ).n

Nultocke su opcenito kompleksni brojevi.

Primjer 3.1

Odredimo nultocke polinoma P(x) = x 1. Pronaci nultocke isto je sto i faktorizirati polinom. U ovom je primjeru to jednostavnije: x - 1 = (x - l)(x + l) = (xDvije su nultocke realne, x\^ 3 = / , X4 1.4 2 2

4

l)(x + \)(x - i)(x + i).2

1 i x

= - 1 , a dvije kompleksne,

Zadatak 2. Zadatak 3.

Odredi nultocke polinoma P(x) Odredi nultocke polinoma P(x) 2.

Polinom stupnja n ima najvise n nultocaka. A k o neki polinom ima n + 1 nultocku, a stupanj mu nije veci od n, onda je to nul-polinom: svi su njegovi koeficijenti jednaki nuli i za svaki x njegovaje vrijednost jednaka nuli.

Primjer 4,

Pokazimo, ne sredujuci izraze, da vrijedi (x+ I)4

-%x(x

2

l) =

(*:

Promotrimo polinom P(x) = (x+ l)4

- &x(x + 1) - (x 2

l) .4

Njegov stupanj nije veci od 4. Racunajuci mu vrijednosti u cjelobrojnim tockama lako vidimo da vrijedi P(0) = P(l) = P(2) = P{-\) = P(-2) = 0 . Dakle, on se ponistava u pet razlicitih tocaka pa je zato nul-polinom. To znaci da u (*) vrijedi jednakost za svaki realni x.

Zakljucak u ovom primjeru mozemo iskazati i opcenitije: neka je P polinom stupnja n, a Q polinom stupnja m , n > m. A k o se P i Q podudaraju u n + 1 tocki, onda su oni identicki jednaki. Naime, njihovaje razlika P{x) Q{x) polinom stupnja ne veceg od n koji ima n +1 nultocku, pa to mora biti nul-polinom.

16

I Kratnost nultockePojasnimo situaciju u kojoj neke od nultocaka mogu biti jednake. A k o je x\ nultocka polinoma P , onda je on djeljiv s Q(x) = x x\, pa vrijedi: P(x) = (x-x )P {x).x x

Tu je polinom P i stupnja n 1. I on moze imati istu nultocku! U torn se slucaju moze napisati: ' P(x) = (x-x ) P (x).2 l 2

Isti postupak mozemo nastaviti dokle je god x\ nultocka dobivenih polinoma. N a koncu ce biti: P(x) = (x- ) P (x),k Xi k

ali xi vise nece biti nultocka polinoma P ; dakle, vrijedit ce P (x ) je u vezi sljedeca definicija.k k x

^ 0 . S tim

Kratnost nultocke

Kazemo daje x nultocka kratnosti k polinoma P ako se on moze napisati u obliku P(x) = (x- ) Q(x),x k Xl

pricemuje Q polinom sa svojstvom Q{x\) i=- 0 .

Primjer 5.

Odredimo kratnost nultocke x\ = 1 za polinom P(x) 2x3

+

4x-2.

Broj X\ = 1 zaista je nultocka polinoma jer je P ( l ) = 0 . Zatoje P djeljiv s x - 1. Kvocijent mozemo dobiti dijeleci te polinome, ali i pokusavsi faktorizirati polinom P jer mu znamo faktor:P(JC)=

x - 2x - x + 4x - 24 3

4

3

2

= x -x = (x-

- (x - x ) - 2{x - x) + 2{x 3 2

3

2

2

1)

l)(x -x

-2x + 2).3 2 Y

Dakle, P(x) = (x- l)Pi(x), gdjeje P {x) =x -x -2x + 2. Vidimo daje x\ = 1 nultocka i ovog polinoma, jer je P j ( l ) = 0 . Polinom P\ takoder je djeljiv s x 1, pa se moze faktorizirati: P {x) =xx 3

-x

2

- 2x + 2 = x (x - 1) - 2(x - 1) (x-l)(x -2).2

2

= Dobivamo

P(x) = (x2 2

\) {x

2

2

- 2).2

Dakle, P(x) = (x - l) P (x), pri cemu je P ( l ) = - 2 ^ 0 . Iz ovog oblika citamo kratnosti nultocke: x\ = 1 je nultocka kratnosti 2.

Zadatak 4.

Kolika je Icratnost nultocke x = 1 za polinom P(x) = x - 6x + 8x - 3 ?

4

2

POLINOMI I ALGEBARSKE JEDNADZBE

ZdddCI 1.3.1. Napisi kanonski oblik polinoma najmanjeg stupnja sa zadanim nultockama:1) x\ = 2, x = 1, X 3 = 5; 2) x\ = 2 , x i, XT, = i; 3) x\ =, X2 = 1 + i , Xi = 1 i;2 2

6. 7. 8.

Odredi kratnost nultocke x\ = 2 za polinom p(x) = x - 4x + 5x - 4x + 4 = 0.4 3 2

Kolika je kratnost nultocke x i = 2 polinoma P(x) = x + 2x - 7x - 20x - 12 ?4 3 2

4)

x i = 1 - \ / 2 , x = 1 + \ / 2 , x = 1.2 3

Odredi nultocke polinoma P :1)

P(x) = (x - l)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5);2 2 2 2

2.

Odredi polinom najnizeg moguceg stupnja ako su dani brojevi njegove nultocke:1)

2) P(x) = (2x + l)(3x + l)(4x + 1); 3) P(x) = (x - 2x + l ) ( x + 2 x + l ) ;4)

x\ = 0, x = 1,2 2

X3

= 1;3

P(x) = (x - l ) ( x - 4)(x - 9).5 4 3

2

2

2

2) x\ = - 1 , x = - - , x = 3; 3) * i = ^ , x = - i , x , = 2 3 4

9. ; 10

Rastavi u faktorepolinom P(x) = x x 2x + 2x + x 1. Odredi kratnost njegovih nultocaka.2

4)

xi = x = 2,2 2

X3 =

x\ = 2;3 4

Rastavljanjem polinoma u umnozak rijesi sljedecejednadzbe: 1) x + 3 x - x - 3 = 0; 2) 4x - x4 4 3 2 3 2

5) x i = i , x = -i, 6) x i = 1 2i, X4 . 2 + i . 3.X2

x = 10, x = ^ ; = 1 + 2i,X3

= 2 i,

+ 4 x - 1 =0;2 3

3) x + 2x - 2x + 8 = 0; 4) x + 2 x - 2 x - 1 = 0 ; 5) x + 3x + 3x + 1 = 0 ; 6) x - 1 2 x - 16 = 0. 11. 12. Provjeri da je broj x\ = 1 i rjesenje jednadzbe x 5x + 8x 6 = 0 te nadi i ostala dva rjesenja.3 2 6 2 6 4 2

3

Ako je broj xj jedna nultocka polinoma P , odredi ostale njegove nultocke:1)

x i = - 1 , P(x) = x

3

- 3x - 2; -7x-6;3 2

2) x, = - 2 , P(x) = x 3) x i = i4)

3

P(x) = 2x - 3x + 3x - 1;5 4 3 2

x i = 1, P(x) = x - x - 3x + 3x - 4x + 4. 13.

Broj X] = 1 + i\/3 jedno je rjesenje jednadzbe 6x - 1 l x + 20x + 8x - 8 = 0. Provjeri to i potom rijesi jednadzbu.4 3 2

4.

Jedna je nultocka polinoma zadana. Odredi ostale nultocke i faktoriziraj polinom:1)

P(x) = x - x - 4x - 6, x, = 3;3 2

3

2

Broj 2 + 2i jedno je rjesenje jednadzbe x + 4x + 7x 4x 8 = 0. Provjeri pa potom i rijesi jednadzbu.4 3 2

2) P(x) = x - 5x + 17x - 13, x, = 1; 3) P(x) = 2x 2x x 6, x\ = 2;4)3 2

14.

Odredi koeficijent a tako da dana jednadzba ima cjelobrojno rjesenje: 1) x + ax + 4x - 1 = 0; 2) x + ax - 3x + 2 = 0; 3) x - 6x + ax - 6 = 0.3 2 3 2 3 2

P(x) = x

3

-x

2

+ 4 x - 12, Xi = 2.

5.

Provjeri daje x = - 1 trostruka nultocka polinoma P(x) = x + 2x 2x 1.4 3

HORNEROV ALGORITAM I PRIMJENE

1.4. Hornerov algoritam i primjeneRacunanje polinoma jednostavan je posao jer su pritom potrebne samo operacije mnozenja i zbrajanja (oduzimanja). Medntim, trebamo l i racunati vrijednost polinoma u velikom broju tocaka, korisno je upoznati jednostavan algoritam za takvo racunanje.

I Hornerov algoritam

Primjer 1,

Neka je P(x) = Ax + 3x 2x+l.2

3

2

Napisimo polinom u obliku

P(x) = {4x + 3x - 2)x + 1 = ((4* + 3)x - 2)x + 1. Za zadani x e R racunamo od unutarnje zagrade prema vanjskoj. N a primjer, za x = 2 racun na racunalu izgleda ovako: 4 x 2 + 3 x 2 2 x 2 + 1 = (41)

Dakle, P{2) = 4 1 . Vidimo da smo vrijednost polinoma izracunali uz minimalan broj operacija, pri cemu smo koristili samo mnozenje i zbrajanje (oduzimanje), a nismo niti jednom racunali potencije nepoznanice x. Isti se ovaj racun moze napisati u obliku tablice: 4 4 3 11 -2 20 1 41

2

Postupak njezinog racunanja napisat cemo detaljno:

4 2 4 4 4 4 4 4 4 4

3

-2

1

U prvom retku napisani su koeficijenti polinoma, a u drugom vrijednost varijable x. Prepisemo vrijednost vodeceg koeficijenta. Pomnozimo vrijednost varijable x elementom drugog retka i dodamo sljedeci broj iz prvog retka: . 2 - 4 + 3 = 11. Nastavimo na isti nacin: 2- 11 - 2 = 20. 2 - 2 0 + 1 = 4 1 . Dobili smo konacnu tablicu, P(2) = 41.

3

-2

1

2

2

3 11 3 11 3 11

-2

1

2

-2 20 -2 20

1

2

1 41

Opcenito, za polinom -tog stupnja tablica racunanja vrijednosti polinoma u tocki x a izgleda ovako:

a

a b

a -\ b-\n

fl_2

a

x

b-2

a bo0

Ovdje su brojevi b , b -\...,n n

b\, bo dobiveni na sljedeci nacin:

bn @,ni b-i = ba + a-i, b -2 = b- an X

+ a_2, (1)

b\ = biu 4- a i , bo = b\a + a .0

Rijecima: broj u drugom retku dobiva se tako da se prethodni broj u torn retku pomnozi s a i pribroji mu se broj iz prvog retka, desno iznad njega. Ovakav nacin racunanja vrijednosti polinoma naziva se Hornerov' algoritam.

Zadatak 1.

Izracunaj Hornerovim algoritmom vrijedost polinoma P(x) = x 3x + x + 2x 2x + 3 za x = 2 i x = 3.2

5

4

3

I Dijeljenje polinomom prvog stupnja Hornerovim algoritmomHornerov algoritam ima jos jedno vazno svojstvo. Izaberimo polinom iz proslog primjera i podijelimo ga s x 2:

(Ax Ax

3

3

+3x -Sx2

2

- 2x + 1)2

:

(x - 2) = Ax + 1 Ix + 20

2

\\x -2x lLc - 2 2 x2

+1

20x + 1 20* - 4 0 41

Vidimo da su brojevi 4 , 11, 20 u Hornerovoj shemi upravo koeficijenti u kvocijentu pri dijeljenju ovih polinoma, a broj 41 je ostatak dijeljenja! Ax + 3x - 2x + 13 2

= Ax + 1 \x + 20

A

2

2

n

n

41 x-2

William George Horner (1786.-1837.), engleski matematicar.

HORNEROV ALGORITAM I PRIMJENE

1.4

Dijeljenje polinomom prvog stupnja

Pri dijeljenju polinoma P(x) = a x" + ... + a\x + a polinomom Q(x) = x a : P(x) = (x - a)P\{x) + r.n 0

Tada se koeficijenti parcijalnog kvocijenta citaju iz Hornerovog algoritma: Pi{x) = bx"~ + ... + b x + b2 l u

a za ostatak r vrijedi r b .0

Pokazimo da vrijedi: ax" + a_ix n - l + a x + a = (b x" +b_ x"x Q n t 1 1

+ ... +b )(x - a) + b .t 0

U istinitost ovih formula uvjeravamo se mnozeci polinome s desne strane: a x" + a -ix""n n 1

+ ... + a\x + a = b x + b _\x"~ + ... + b\x0 n n

n

x

- b ax ~n

n

l

- b -iax ~n

n

2

... + b\a +

Izjednacivanjem koeficijenata uz istovjetne potencije citamo: b = a, a _\ = b ^\ b a,n n n n n

a\ = b\0 0

b2(x,

a = b - b\a, a to su upravo relacije (1).

Primjer 2.Podijelimo Hornerovim algoritmom P(x) = 5x 6x 28x 2 polinomom Q(x) = x + 2.3 2

Napravimo Hornerov algoritam za ove polinome i broj a = 2: -2 Zato je P(x) = (x + 2)(5x - 16x4-4) - 10.2

5 5

-6 -16

-28 4

-2 -10

Zadatak 2. Hornerovim algoritmom podijeli polinome P(x) = x + x 3x + 2 i Q(x) =3 2

x-2.

POLINOMI I ALGEBARSKE JEDNADZBE

I Rastavljanje polinoma po potencijama od xNakon dijeljenja s x a rezultat dijeljenja ima oblik: P(x) = {b x ~n n l

a

+ ... + b x + bi)(x - a) + b = Pi(x)(x - a) + b .2 0 0

(2)

Sto ce se dogoditi ako i polinom P\ podijelimo s x a ? To je polinom stupnja n 1, pa ce djelomicni kvocijent imati stupanj n 2: Pi(x) = (c x ~n n 2

+ ... + ax + c )(x -a)2 2

+ ci= P (x)(x - a ) + c i .2

Uvrstimo l i ovu vrijednost u (2), dobit cemo: P(x) = P (x)(x - a) +c (x-a)2 l 2

+ b.0

Nastavljanjem istog postupka polinomom P u sljedecem koraku dobivamo: P{x) = P (x)(x - a) +di(x3 3 3

a) + c (x - a) + b .x 0

2

N a koncu postupka dobit cemo ovakav prikaz polinoma P: a) + ci(x - a) Kazemo da smo polinom P rastavili po potencijama od x a.x

P(x) = fi(x - a ) " + . . . + ei(x - a) + d (x

*

Cjelokupni rastav polinoma po potencijama od x a moze se napraviti jednim prosirenim Hornerovim postupkom. Nakon prvog retka algoritam nastavljamo drugim retkom, zatim trecim itd. Posljednji brojevi u svakom retku trazeni su koeficijenti prikaza.

Rastavimo polinom P(x) = Ax + 3x - 2x + 1 po potencijama od x - 2. Napisimo prosirenu Hornerovu shemu. Brojevi u kvadraticima koeficijenti su zavrsnog prikaza. 4 2 4 4 4 4 Rezultat pisemo u obliku: P(x) = 4(x - 2) + 27{x - 2) + 5S(x - 2) + 41.3 2

3

2

3 11 19 27

-2 20 58 41

1

Zadatak 3.

Hornerovim algoritmom razvij polinom P(x) = x - 2x\x - Ax + 5 po potencijama od x 2.

A

2

HORNEROV ALGORITAM I PRIMJENE

Zadaci 1.4.1. Izracunaj Hornerovim algoritmom vrijednosti polinoma P(x) za vrijednosti argumenta 2, 2 i 4:1)

5.

P(x) = x - 3x + 2 ;5 3 2

4

2) P(x) = x -x + 2; 3) P(x) = x - 3x + 2x - 1;

4) P{x) =x + 3x-2.3

Provjeri koristeci se Hornerovim algoritmom da je: 1) broj 2 trostruki korijen polinoma P(;t)=x -5x -r-7x -2x -l-4x-8; 2) broj 2 cetverostruki korijen polinoma P(x) = x + 7x + 16x + 8x - 16x - 16; 3) broj 1 trostruki korijen polinoma P(x) = x + x - 3x - 5x - 2 .5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2

2.

Izracunaj Hornerovim algoritmom vrijednost polinoma P za dani broj xo akoje: 1) P(x) = 2x - 3x + x - 11, x = - 1 ;0 3 2

6.

Hornerovim algoritmom raz vij polinom P po potencijama od x a akoje:1)

p( ) = x - 3x - 1; a = 2;x 3 2 3

2

2) P(x) = x + 2x - x + 5x - 7, x = - 3 ;0

4

3

2

2) P(x) = 2x - 3x + x - 2; a = 1; 3) P(x) = x + x - 2 ; a = - 1 ; 4) P(x) = x + x + x + l ; a = l .4 3

3) P(x) = x - 4x + 6x - 8x + 10, x = 2 .0

5

3

2

3.

Koristeci se Hornerovim algoritmom odredi kvocijent i ostatak pri dijeljenju polinoma P polinomom Q akoje:1)

7.

Koristeci se Hornerovim algoritmom dani polinom P prikazi u obliku polinoma Q(x xo) ako je 1) P(x) = x - 3x + 4 ; x = 1;0 3 2

P(x) = x - 3x + 2x +x + 5, Q(x) = x - 3 ;5 4 3

4

3

2

2) P(x) = x - x + 30,