Zur Konstruktion von Tragheitsformen als Koeffizienten algebraischer Gleichungen.*)

Von HEINZ ORSINOER in Berlin.

(Eingegangen am 5. 2. 1961.)

Einlei tung. Die Resultante von n vollstiindigen Formen y in ebenso vielen Unbestimm-

ten x niit unbestimmten Koeffizienten kann nach PERILON’) definiert werden als hochster Koeffizient der geeignet normierten irreduziblen Gleichungen, denen die Unbestimmten x uber dem Korper der Formen genugen. I n Ver- allgemeinerung dieser Definition kann man versuchen, auch ein Resultanten- system von mehr als n Formen in n Unbestiminten aus Koeffizienten gewisser Gleichungen fur die Unbestimmten aufzubauen.

I m Hinblick auf dieses wunschenswerte Ziel wird in der vorliegenden Arbeit unter Benutzung des entsprechenden Ergebnisses von H. L. SCHBIID~) fur n Formen zuniichst der Grad des Korpers der x uber dem Korper der y unter- sucht. Dieser Grad ergibt sich bei Charakteristik Null (Satz 1) und jedenfalls unter gewissen Bedingungen auch bei Primzahlcharakteristik (Siitze 2 a und 2 b) als groBter gemeinsamer Teilef der Formengrade und ist auch der Grad jedes einzelnen x.

A19 Folgerung ergibt sich ein Satz von’Perron uber den minimalen Homo- genitatsgrad einer algebraischen Relation zwischen n + 1 Formen (Satz 3, fur Primzahlcharakteristik Satz 4).

Sodann wird ein Satz (Satz5) bewiesen, der insbesondere besagt, daB die hochsten Koeffizienten der irreduziblen Gleichungen fur die x uber dem Koiper der y, wieder bei geeigneter Normierung, ihrerseits als Polynome in den y auf- gefaBt, lauter Triigheitsformen zu Koeffizienten haben (Korollar) ; auf iihnlichem Wege erweisen sich auch die Koeffizienten jeder normierten alpebraischen Re- lation zwischen den y als Tragheitsformen (Satz 6).

Bei der Durchrechnung von Beispielen zu den penannten Siitzen ergab sich fur den Fall von n = 2 Unbestimmten und beliebig vielen Formen eine einfache Methode zur Aufstellung eines Resultantensystems, die durch Satz 7 beschrieben wird und vom T70rangehenden unabhiingig ist.

*) Dim. Univ. Berlin 1950; Referenten: Prof. Dr. HERXA” LUDWIG SCEMID, Prof.

l) 0. PEFLBON, Algebra I. 3. Aufl., Berlin 1951, 0 4-7. *) H. L. SCEMID, Zur algebraiechen Theorie der Formen. I, Math. Ann., Berlin l%O, 1-9

Dr. ERHARD SCHMIDT.

(1947).

356 Omsinger, Triigheitsformen als Koeffizienten algebraischer Gleichungen.

1. Grad der Erweiterung K ( x ) / K ( y ) . Es sei k ein Korper, n eine natiirliche Zahl, uiid x,, x2, . . . , xa seien Un-

bestimmte. r sei eine weitere natiirliche Zahl und y,, y2, . . . , y7 seien voll- standige Formen in den x rnit unbestimmten Koeffizienten a und positiven Graden g,, g2 , . . . , g,:

(1) ye(xl, . . . , X,J = 2 a$), ..., 'Jn 2:' r p . - z,y" ( e = 1 , . . . , r ) ,

uobei die Summation also uber alle nichtnegativen ganzen Zahlen y l , . . . , y n mit y, + - . - + j,, =ge zu erstrecken ist. K = k ( a ) entstehe aus k durch Ad- junktion der unbestimmten Koeffizienten a und etwaiger weiterer, ebenfalls mit a bezeichneter Unbestimmten, und es sei K ( y ) = K(y,, y2, . . . , y,) und K (x) = K (xl, z2, . . . , 2,). Zur Untersuchung der Korpererweiterung K ( x ) / K (y) benotigen wir zwei Hilfssatze, von denen der erste eine leichte Modifikation eines bekannten Sattes uber algebraische Abhangigkeit von Polynomen 3,

darstellt.

Hilfssatz 1. Die rationalen Funktionen f, , . . . , f 8 in den Unbestimmten a,, . . . , a , und x,, . . . , x, mit Koeffizienten am k seien algebraisch abhangig bezuglich K = k ( a ) , und bei einer Spezialisierung mehrerer oder aller a zu Elementen aus k versckwinde keiner ihrer Nenner. Dann sind auch die spezialisierten ratio- nalen Funktionen f f , . . . , f,* algebraisch abhangig bezuglich K .

Beweis. Nach T'oraussetzung besteht eine Relation

F(a,, . . . , am; 11, . . . , f 8 ) = 0

F(a, , . . . , a,; zl, . . . , zs) +.O mit

fur unbestinimte z,, . . . z,; wir konnen F als ein bezuglich k irreduzibles Polynom seiner Argumente annehmen. Ersetzen wir nun z. B. a, durch ein Element a: E k derart, daB keiner der Nenner von f,, . . . , f , verschwindet, so er- lialten wir spezialisierte rationale Funktionen r:,, . . . , frl, fur die die Relation

B(a?, a2, . . . , a,; i:,, . . . , i 2 = 0

F(a:, a2, . . . , a,; zl, . . . ,z ,) $. 0 , besteht. Wegen der Irreduzibilitat von F ist fur unbestinimte z wieder

die spezialisierten Funktionen sind also ebenfalls algebraisch abhiingig beziig- lich K . Durch mehrnialige Wiederholung dieses Schlusses erhalten wir die Behauptung.

Hilfssatz 2. Es seien f,, . . . , f, rationale Funktionen in den Unbestimmten a,, . . . , a, und xl, . . . , xa mit Koeffizienten awr k , welche bei einer Speziali- aierung mehrerer oder aller a zu Elementen auuD k in f : , . . . , f r ubergehen, ohne dap einer ihrer Nenner verschwindet. Weiter sei K = k(a ) und f, uber K ( f , , . . . , fa-,) algebraisch vom Grade j. Sind dann f : , . . . , f : - l bezuglich K algebraisch unabhingig, 80 ist f: uber K ( f : , . . . , I:-,) algebraisch von einem Gade j* 5 j.

a) Siehe z. B. B. L. VAN DER WAERDEN, Moderne Algebra 11. 2. Aufl., Berlin 1940, s. 12, Hilfwtz.

Orsinger, Triigheitsformen a h Koeffizienten algebraischer Gleichungen. 357

Beweis . Wegen Hilfssatz 1 sind mit f : , . . . , auch f,, . . . , Is-, und ebenso die nach einmaliger Spezialisierung a, = a: E k entstehen- den I:,, . . . , f:-l,l beziiglich K algebraisch unabhangig. Das Polynom P(a, , . . . , a,; f l , . . . , f,) aus dem Beweis von Hilfssatz 1 hat daher in f , den Grad j , das Polynom F(a:, a 2 , . . . ,a,; &, . , . , f:,) also in f:, hochstens den Grad j , und es ist fur unbestimmtes z,

f:, ist somit iiber K(fY,, . . . , algebraisch von einem Grade j: 5 j . Durch mehrmalige Wiederholung der Ubeilegung erhalten wir wieder die Behauptung.

Wir betrachten nun die oben beschriebene Erweiterung K ( x ) / K ( y ) ; dabei sind drei Falle zu unterscheiden, je nachdem die Anzahl r der Forrnen kleiner, gleich oder groBer ist als die Anzahl n der Unbestimmten z:

a ) Es sei r < n . Die y sind iiber K algebraisch unabhangig; denn aus einer algehraischen Abhiingigkeit der y wiirde hei der Spezinlisieruug y/e* = z,Be ( e = 1 , . . . , r ) iiacli Hilfssakz 1 eine algebraisclie Abliangigkeit von q, . . . , z, uber K folgen. Also erlialten wir:

Ist r < n , so ist die Erweiterung K ( x ) / K ( y ) transzendent vom Grade n - r .

b) l m Falle r = n liefert dieselbe SchluBweise \vie im Falle r < n , dsB der Transzendenzgrnd ron K ( x ) / K ( y ) Null, die Erweiterung also algebraisch ist. H. L. Sclimid4) hat gezeigt, daB sie den Grad g1 g2 - - gn besitzt. Nadi Perron 5 ) genugt jedes x beziiglicli K [ y ] einer irreduziblen Gleicliung vom Grade g1 g2 - . - gTt mit von den y unabliangigem liochstem Koeffizienten. Zusanimen er- gibt dies :

Ist r = n , so ist die Erweiterung K ( x ) / K ( y ) algebraisch vom Grade g, g? . . g,, . Alle x sind primitive Elemente und ganz beziiglich K [ y ] .

c) Fur den &'dl r > n beweisen wir folgenden

4) H. L. SCHMID, a. a. 0. 2, (S. 355), S. 6. 6 ) 0. PERRON, a. a. 0. l) (S. 355), S. 217f. Dort ist dieser Sachverhalt in inhomogener

Form beschrieben: nach Perron genugen (in unserer Bezeichnungsweise) fur jedes v (1 5 v 5 n) die n vollstandigen Polynome

yi(xl, . . . , G - 1 , % + I , . . . , 2") = Y(JX,, . . . , X v - 1 , 1, % + I , . . . , 2,) (e= 1, . . . , n) einer in K[y'] irreduziblen Gleichung vom Gewicht gl * * - g. mit von Null verschiedenem konstantem Glied. Ersetzt man die inhomogenen Unbestimmten zl, . . . , x"-~, x,+~, . . . , x,, durch die homogenen l,. . . , __ - und multipliziert die Gleichung mit z~.'.%, so erhalt man wegen

X xv-1 2,+1 5"

xv x . ' xv x v

Xv-1 X"+l

x v XI. x,ge y; (2,. . . , -, ~ ,..', ") xv = ye(z1.. . ., xn)

eine beziiglich K[y] irreduzible Gleichung fur 2, vom Grade g1 . - - g,, mit von den y unab- hangigem hochstem Koeffizienten. - Die Perronschen uberlegungen gelten bei beliebiger Charakteristik des Korpers k.

358 Orsinger, Wgheitaformen ah Koeffizienbn algebraiacher Gleichungen.

Satz 1. Ist r > n und hut k die Charakteristik Null, so ist die Emeiterung K (x)/K (y) aZgebraksch v m Grade d = (gl, gl , . . . , 9,) . Alle x sind primitive Elemente, ganz beziiglich K[y] und genugen reinen Gkichungen 6).

Reweis. DaR die Erweiterung algebraisch ist und alle x primitive Elemente und ganz beziiglich K[y] sind, ergibt sich sofort au8 b), da R(y) Oberkorper von K(yl, . . . , y,) ist

Es sei nuri

(2) Po(Y) 2'. + Pl(Y) xi-' + - * * + Pi(Y) = 0 (Po, . . * 9 Pi EKryI) die irreduzible Gleichung fur ein x, (1 I v 12) iiber R(y) ; wir konnen ihre linke Seite ale gewichtshomogen in den x voraussetzen, da wir sie sonst in gewichtehomogene Summanden ' zerlegen konnten, von denen jeder fur sich verschwindet. Da die Gewichte der p Vielfache von d sind, ist auch i ein Viel. faches von d. Somit gilt jedenfalls

(3) [ K (5) : K (Y)1 r d . Die bisherigen Uberlegungen gelten bei beliebiger Charakteristik von k,

Wir zeigen weiter, daB bei Charakteristik Null

ist. Dazu sei go = (gn+l, , . . , gr); go IiiRt sich in der Form

go = On+, gn+l + - - + a, gr (a,,, , . . . , a, ganze rationale Zahlen) darstellen. Das Element

sei iiber K(yl, . . . , y,) vom Grade i . Um j' abzuschatzen, erweitern wir k und R durch Adjunktion von n neuen Unbestimmten a:, . . . , a:: zu k* und K* und spezialisieren die Koeffizienten a so, daR die y in

Y = * y,". EK(y)

y: = e, . . . , y:: = 22, = (a:xl + - - + a:z,)h+l, . . . , y: = (a: x1 + - - - + a ~ z , ) "

iibergehen, Y geht dabei in Y* = (a:., + * * * + u:X,)Q*

iiber, ohne daR sein Nenner verschwindet. Nach Hilfssatz 2 (mit k* statt k) geniigt Y* uber K*(y:, . . . , y:) einer algebraischen Gleichung von einem Grade

(5) j* I j ; diese kann, da die x und infolgedessen auch Y* ganz algebraisch beziiglich K*[yr,. . . , $1 sind, in der Gestalt

a) Da diese Gleichungen gewichtshomogen in den x und y sind (vgl. den folgenden Beweis) und im allgemeinen d < min gp ist, so kann der hochsteKoeffizient imallgemeinen

nicht mehr wie im Fdle r = n von den y unebhhgig sein. Diea liegt deran, daB K[y] im allgemeinen in K(y) nicht mehr ganz-abgeschlossen ist.

Q=l, . . . ,r

Orsinger, Triigheitaformen ah Koeffizienten algebrakcher Gleichungen. 359

Es sei jetzt (7)

9 9 9

und ( eine primitive g-te Einheitswurzel, alm p , C K , . , . ~ cz primitive go-, gl-, , . . , 9,-te Einheitsyurzeln; wir adjungieren 5 an k*. Setzen wir fur die x nacheinander die g1 - - - gn Wertsysteme

(8) xl = 50' (g: modg,) , . . . , x,, = (g: modg,,)

ein, wo die g: unabhiingig voneinander die vollen Restsysteme modg, durch- laufen, SO nehmen &, . . . , y', jedesmal den Wert 1 und also die q(y: , . . . , y:) jedesmal dieselben speziellen Werte q(1 , . . . , 1) an, wiihrend Y*, wie wir gleich

zeigen wollen, 7 verschiedene Werte annimmt. 1st namlich fur zwei der Systeme (8)

0 0: - g;

91. * ' Bn

M) ist

Schreiben wir die Briiche in den letzten Xongruenzen in reduziert,er Form, so haben alle denselben Nenner. Dieser Nenner muB wegen (go, gl, . . . , gn) = d ein Teiler von d sein. lnsbesondere mu13 also der erste Bruch einen der d Werte

d' - ( d r = o , i , . . . , a - 1 )

haben. Damit ergibt sich

d' d' g? = gi + g1 mod gl, . . . , g: = g; + 7 gn mod gn (d' = 0. . . . , d - 1).

Wahlen wir g: , . . . , gk fest, so sind zu jedem d' die Expolienten 9:' mod gl , . . . , gc modg,, eindeutig bestimmt. Y* nimmt daher fur die Wertsysteme (8) hochstens

je d-ma1 denselben Wert, also in der Tat mindestens 7 verschiedene. Werte an. Die Gleichung (6) mit den speziellen Koeffizienten q ( 1 , . . . , 1) hat

also mindestens ~ gl'i*gn verschiedene Wurzeln, SO daB fur ihren Grad

91"'91

9 i * * ' 9 n d j* 2 ~

360 Orsinger, Triigheitsformen ah Koeffizienten algebrakcher Gleichungen.

gilt. Der Grad j van Y iiber K(yl, . . . , yn) kaiin jetzt wegen (5 ) ebenfalls durch

abgeschktzt werden, womit die Gradbeziehung (4) bewiesen ist.

(10)

Aus der nach b) geltenden Gradbeziehung

[ K ( 4 : K ( y , > * * . * Yn)l = 91 * * - gn eIgiht sich nun, daB in (3) und (4) das Gleichheitszeichen gilt. Der Grad der Gleichung (2) fur 5, ist also i = d , und dn sie gewichtshomogen ist, hat sie die Form

Po (y) + p d (Y) = 0 (Po P d K [ y l ) 9

womit alles gezeigt ist. Der vorsteheride Beweis niacht wesentlich Gebrauch von den Eigenschaften

der go g1 -. - gn-ten Eiriheitswurzeln und versagt aus diesem Grunde im all- gemeinen, wenn k die Charakteristik p > 0 ha.t und p in einer der Zahlen go, gl, . . . , gn aufgeht. Dagegen sieht nian o lne weiteres, daB er giiltig bleibt, wenn go, gl, . . . , gn prim zu p sind, nnd mittels einer leichten Modifikation zeigen wir sogar:

Satz 2a. Xatz 1 gilt auch, wenn k die Charakteristik p > 0 hat und wenigstens n der Gradmhlen gl, . . . , gr prim zu p sind.

Beweis. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit seien gl, . . . , gn zu p prim, und es sei go genau durch die Potenz pa (a 2 0) teilbar. An Stelle von (7) setzen wir hier

g =-g,. - * gn,

und es sei wieder [ eine primitive g-te Einheitswurzel. DaB Y* fur die Wert-

systeme (8) 7 verschiedene Werte annimmt, ergibt sich nun so: Da die go-ten Einheitswurzeln mit den *-ten zusammenfallen, folgt aus (9)

9 0

(7') Pa

91 * . . 9-

Pa

(gi ganz rational, o 5 gi 5 7 90 - I ) ,

also

d. 11. 9P" I 9 It 9 It I -90 = ~ ( g , - g:) = - * - 3 -(gn 9n - gn) mod g, 90

und daraus wie im Falle der Charakteristik Kull a' d'

g;'= g: + d g l modg,, . . . , = g; + T g n modg, (df = 0 , . . . , d - 1 ) .

Die ubrigen Schliisse bleiben die gleichen.

Orsinger, Triigheitsformen als Koeffizienten algebrakcher Gleichungen. 361

Auf andere Weise erhalten wir noch:

Satz 2 b. Satz 1 gilt auch, wenn k die Charakteristik p . > 0 hut und bei geeigneter Numerierung der Gradadden (gl, ga, . . . , 9,) = (gn+l, gn+z , . . . , 9,) ist.

Satz 1 gilt demnach bei Primzahlcharakteristik insbesondere dann, wenn alle Gradzahlen einander gleich oder Potenzen einer festen Primzahl (z. B. der Charakteristik) sind. Allgemeiner gilt er auch, wenn sich die Gradzahlen aus hochstens r - n verschiedenen Primzahlen p l , . . . , p h zusammensetzen; dies folgt aus Satz 2b , indem man als g,+l eine Gradzahl wiihlt, in der pl zu einer moglichst kleinen Potenz aiifgeht, als gn+2 eine der ubrigen Gradzahlen, in der pa zu einer moglichst kleinen Potenz aufgeht usw. bis gn+h, und die ubrigen Gradzahlen beliebig numeriert .

Beweis von Satz 2b. Nach Voraussetzung ist d = (gn+l, . . . , 9,); d liiBt sich in der Form

d = G,+lg,+l + - . + G,g, (an+,, . . . , G, ganze rationale Zahlen)

darstellen. Das Element

sei uber K(yl, . . . , y,) vom Grade i. Spezialisieren wir die a so, daB Y,,+I, . . . Y, in

YE+, = xp+1 , . . . , y: = xp ubergehen, so geht Y in

Y* = xf

uber, ohne daB sein Nenner verschwindet, wiihrend yl, . . . , yn von der Spe- zialisierung unberuhrt bleiben. Nach Hilfssatz 2 ist uber K(yl, . . . , y,) algebraisch von eineni Grade j* 5 i. Da z1 nach b) primitives Element der Erweiterung K(z)/K(y,, . . . , y,) vom Grade

=

[ K ( ~ ) : K ( Y ~ , * * * y Y J I = g 1 . * * g n

ist, muB dj * 2 g1 - - . g,, also i 2 sein, d.h.

Da wie beim Beweis von Satz 1

[ K ( z ) : K(y)lZ d

ist, muB wieder in den letzten beiden Gradbeziehungen das Gleichheitszeichen gelten.

Die Slitze 2a und 2 b sichern die Gultigkeit von Satz 1 bei Primzahlcharak- teristik in sehr allgemeinen Fiillen. Es ist zu verniuten, daI3 Satz 1 auch bei Primzahlcharakteristik ausnahmslos gilt.

Zusammen mit b) ermoglichen die bewiesenen Siitze (bei Primzahlcharak- teristik unter den angegebenen Bedingungen fur die Grade der y) die Bestimmung aller Grade in dem Korpergraphen, der aus K (x) und allen Korpern aufgebaut ist, welche aus K durch Adjunktion von wenigstens n Formen y entstehen.

Math. Nachr. 1051, Bd. 5, El. 6. 25

362 Orsinger, Tragheitaformen ah Koeffizienten algebraischer Gleichungen.

2. Ein Satz von Perron.

Zwischen n + 1 Formen der betrachtet,en Art besbehen algebraische Re- lationen der Gestalt

c Rvl ,..., .n+l(a)~,D1*.-~ '~ = 0 (RYI ,..., , . , , ~ k [ a l ) ; *I UI + * * . t L+I = h

(11)

wir wollen unsere bisherigen Satze benutzen, um das minimale Gewicht h einer solchen Relation zu bestimmen. Hat der Grundkorper k: die Charakteristik Null, so folgt unter Berucksichtigung von h) aus Satz 1, angewandt fur r = n + 1 , daB ye uber K(y,, . . . , ~ ~ - 1 , . . . , Y ~ + ~ ) einer irreduziblen Gleichung vom Grade g"*'gn'l genugt (e = 1 , . . . , n + 1); da y,,. . . , ye-1, ye+l,. . . , yn+l algebraisch unabhangig sind, ist dies auch der minimale Grad von (11) in ye. Da ferner nach b) alle x bezuglich K[g , , . . . , yn] ganz algebraisch sind, gilt

84 (gi 9 * . * 3 Bn+d

0, . . .8,

dasselbe auch (U1. '."0$¶+1) von yn+l; wir konnen also (11) so normieren, daB yn+l mit einem Koeffizienten aus K auftritt. Das minimale h ist daher Damit haben wir folgenden

Satz 37. Ist die Churakteristik des Grundkorpers Null, so besteht zwischen n + 1 vollstandigen Formen yl, . . . , yn/n+l in n Unbestimmten mit unbestimm.ten Koeffi- zienten und positiven Qraden g , , . . . , gn+l eine algelraische Relation vom Gewicht

' * * gn+l ( S l , . . .tBn+1) *

gl"*gn+l und keine vow kleinerem; ihr Chad in ye ist. (S i t . . ., g n + 1 )

81 * * ' Sn+l Se (s, 9 - - * ) ~ n + d

@ = 1 , . . . , n + 1 ) .

Hat der Grundkorper die ChaTakteristik p > 0, SO folgt mit denselben Schlussen aus den Siitzen 2a und 2 b

Satz 4. Satz 3 gilt auch, wenn der Grundkcrpr die Charakteristik p > 0 hat und a. hochsten8 eine der Gradzcrhkn durch p teilbar ist oder b. eine der Gradzahlen in allen iibrigen aufgeht.

Bemerkung. Aus den Siitzen 3 und 4 ergibt sioh zusammen mit b) um- gekehrt,sofort die Gradaussage der Siitze 1, 2a rind 2b fur den Pall r = n + 1 . Die allgemeine Gradaussage von Satz 1 fiir r 2 n + 1 kann man daraus durc!i vollstiindige Induktion nach r in folgender Weise erhalten. Wir nehmen an, sie sei fur je r - 1 Formen y bereits bewiesen, also

@ = 1 , . . . , r ) .

7) Dieser Satz wurde auch von PERRON gefunden; eine diesbezuglichehbeit son Perron wird demnitchst erwheinen (nach brieflicherMitteilung an Prof. H. L. SOEMID).

Zusatz bei der Korrektur. Diem Arbeit istinzwischenerschienen: 0. FERRON, Ober die Abhlngigkeit von Polynomen. S.-B. Bayer. Akad. Wiss., math.-naturw. Kl. 1950, 117-130.

Orsinger, Triigheitsformen ah Koeffizienten algebrakcher Gleicbungen. 363

Nun ist [K(z) : K(y)] = [ K ( s ) : K(y,, . . . , y,)] Teiler aller Grade (12), also auch ihres groBten gemeinsamen Teilers d = (q l , . . . , qr) :

CK(4 : K(Y)l I d .

Andererseits ist nach (3) [ K ( x ) : K(y)] 2 d , somit [K(z) : K ( y ) ] = d . ghnlich erhiilt man aus Satz 4a die allgerneine Gradaussage von Satz 2a, dagegen nicht aus Satz 4 b diejenige von Satz 2b.

3. Algebraische Relationen und Trikgheitsformen. Es sei zunachst r beliebig. Eine Form T(a) in den a mit Koeffizienten aus k

heiBt bekanntlich Tr*heitsfomz8) des von den Pormen y in k[a; x] erzeug- ten Ideals ( yl) . . . , y,) ) wenn es einen Index a und einen Exponenten T= gibt mit

(13) TxZ ' s O(y,, . . . , y,.). Dann gilt (13) mit einem Exponenten z sogar fur alle 2:

(14)

Die Gesamtheit der Triigheitsformen eines Ideals bildet in k [a] ein Primideal S. Bei einer Spezialisierung a = a* E K der Unbestimmten a mogen die y in y*,

das Ideal (yl, . . . . q,) C k[a; 23 in (y:, . . . , y:) C k[a*; 23, T in T* und das Primideal 2 C k [a] in das Ideal 2* C k [a*] iibergehen. Das Ideal (y: ) . . . . y:) besitzt dann und nur dann eine nichttriviale Nullstelle

Tx: G O(y,, . . . , y,) ( V = 1 , . . . , n).

( " I , . . . , Xn) = (61). . . , tn) =k ( 0 , . . . , O )

in einern Erweiterungskorper von K , wenn 2* = (0) ist. Mit anderen Worten: Bei einer Spezialisierung a = a* E K besitzen die Gleichungen

y: = 0 , y; = 0, . . . , y: = 0

(XI, * . . , Xn) = ( [ I , . . . 7 tn ) * ( 0 , . . . 3 0)

dann und niir dann eine nichttriviale gemeinsame Losung

in eiriem Erweiterungskorper van K , wenn bei dieser Spezialisierung alle Trag- heitsformen verschwinden. Die angegebene Bedingung ist bereits erfiillt, wenn alle Elemente einer Basis des Ideals 2 der Triigheitsformen oder auch nur eines zu ?S gehorigen Primarideals verschwinden. Eine solche Basis oder ein System von Tragheitsformen, das eine solche Basis umfaBt, heiBt ein Resultantensystem der Formen y .

Wie im 1. Abschnitt betrachten wir drei Falle, wobei wir unter a) und b) wieder bekannte Tatsachen zusammenstellen :

a) Im Falle r < n , in welchem die Erweiterung K ( z ) / K ( y ) transzendent ist, gibt es keine nichtverschwindende Tragheitsform : 2 = (0). Die Gleichungen y: = - . = y,* = 0 sind also stets nichttrivial losbar.

) Fur die hier angefiihrten Eigenschaften der Triigheitsformen vgl. VAN DER W~~CRDEN, a. a. 0.8) (S. 356), 5 81, 82. Der Begriff wurde von HURWITZ eingefiihrt; 8. A. HURWITZ, vber die TriLgheitsformen eines algebraischen Moduls. Ann. Mat. pura appl., Bologna, IV. S. t o , 113-151 (1913). Dort findet man auch weitere Eigenschaften.

26*

364 Orsinger, Tragheitsformen ah Koeffizienten algebraischer Gleichungen.

b) 1st r = n , so bilden die Tragheitsformen ein Hauptideal ( R ) + (0). R ist in k[a] irreduzibel, bis 'auf einen willkurlichen, von Null verschiedenen Faktor aus k eindeutig bestimmt und von den Koeffizienten jedes y wirklich abhiingig ; R stellt ein Resultantensystem dar. Der willkiirliche Faktor kann so gewahlt werden, daB bei der Spezialisierung

y: = xy, y; = xp,. . . , y,: = 23 R* = 1 wird; dann heiBt R die Resultante von yl, . . . , yn. R liiBt sich auch anders charakterisieren als hochster Koeffizient der irreduziblen Gleichungen

(16) R (a) x? *.'h + Rr ' (a ; y) $ "'&-' + - . . + RK). . . u~ (a ; y) = 0 ( Y = 1 , . . . , n)

fur die x uber K(y), wenn diese so normiert werden, daB alle Koeffizienten Polynome aus k [a; y] ohne gemeinsamen Teiler sind und bei der Spezialisierung (15) R* = 1 wirdn). Jede der Gleichungen (16) erzeugt die Erweiterung

n , so ist S kein Hauptideal mehr, denn es enthalt z. B. die Re. sultanten R von yl, . . . , y,, und S von ya, . . . , Y,,+~ mit (R, S) = 1 und ist offenbar verschieden vom Einheitsideal. Ein Resultantensystem kann in diesem Falle durch sukzessive Kroneckersche Elimination aufgestellt werdenlO) ; dieses enthalt allerdings im allgemeinen iiberflussige Triigheitsformen. Auf Grund der Verhiiltnisse in a) und b) kann man versuchen, die Triigheitsformen eines in dieser Hinsicht optimalen Resultantensystems als Koeffizienten gewisser algebraischer Relationen zwischen den x und y , insbesondere der erzeugenden Gleichungen

K(X)/K(Y) *

c) 1st r

p:P'(a; Ye,, * * - 5 y,)x! + &"(a; Ye,, - . * 9 YJ = o (d = (gel, * - ,geJ; ~ t ) , pZ'Ek[a; yel, * * * YeJ; Y = 1, * * ' 4 P I f )

fur die Erweiterungen K(x)/K(ye, , . . . , ye,) (n < 8 I r ) zu charakterisieren, deren hochste Koeffizienten im allgemeinen noch von den y abhiingen"). In dieser Richtung wollen wir einen Satz beweisen, der u. a. sichert, daB siimt- liche Koeffizienten der pt"(u; ye,, . . . , ye,), als Polynome in den y aufgefaot. Triigheitsformen sind, wenn die Gleichungen ( 2 9 gewichtshomogen in den a geschrieben werdenla).

Es sei n eine Permutation der x, die xl, . . . , xn in X;, . . . , x," iiberfuhre. Wir definieren eine Anwendung von z auf die a durch

y1(a"; x") = y,(a; x), ya(an; x*) = y,(a; x), . . . , Y?@"; ."I = Y,@; 2);

etwaige weitere Unbestimmte a , die nicht als Koeffizienten der y auftreten, bleiben ungeandert; n ist dann auch eine Permutation der a . 1st {(a; X) ein

0 ) F'ERRON, a. a. 0.1) (8. 355), S. 221 f. u. 226, Satz 123 (dort wider in inhomogener Schreibweise). . DaD die h6chsten Koeffizienten aller Gleichungen (16) ubereinstimmen, folgt aus der Hauptidealeigenschaft von P.

lo) VAN DER WAERDEN, a. a. 0. a) (S. 356), 8 77, 78, 80. u, Vgl. O) (S. 358). 1s) Diese Voraussetzung bezweckt nur, da0 die betrachteten Koeffizienten uberhaupt

Formen in den a werden; sie bedeutet keine Einschriinkung, denn wir konnen die l i e n Seiten der Gleichungen in Summanden zerlegen, die gewichtshomogen in den a sind und vondenen jeder fiir sich verschwindet.

Orsinger, Triigheitsformen ah Koeffizienten algebrabcher Gleichungen. 365

Polynom in den a und x, so setzen wir

/(a"; x") = /"(a; 2). Es 1st also

und jede Relation y: = y1, Y; = y2,. * * 9 Y: = YT,

F ( a ; x ; y) = 0

hat, da die a und x Unbestimmte sind, z also ein Automorphismus von k ( a ; x)/k ist, die Relation

F(a"; x"; y) = 0

zur Folge. Wir bezeichnen die samtlichen Permutationen von xl, . . . , x,, mit zl, . . . , n n ! und schreiben wie iiblich

f"P f"v = f*P+"#, (f*P)"V = f"P*V.

Es gilt nun zunachst :

Hilfssatz 3. Es sei r 2 n und t (a) eine Form in den a . Ist d a m Sl z " v t v = i = t"' t"' . . t"' Triigheitsform, so ist auch t selbst Triigheitsform.

Bew eis. Wegen der Primidealeigenschaft von S ist mindestens ein Faktor t". Tragheitsform, also

t*vx; = 0 (yl , , . . , yr).

t " v " ~ ~ x ; J T ~ = t x s 1 r - ( I - ) = 0 (Yr, - Durch Anwendung des inversen Automorphismus 2,' folgt hieraus

* , Y A ,

d . h. t ist Triigheitsform. Mit Hilfssatz 3 beweisen wir :

Satz 5. Es sei r 5 n . I n jeder in den a gewichtshmnogenen Relation1s)

(17)

wo p und q Polynome ihrer Argumente sind und der &ad von q in den x kleiner als i ist , s ind alle Korffizienten von p , als Polynom in den y aufgefapt, Tragheits- formen.

p ( a ; y1.t + p(a; X I , . . . , xn; y) = o (i >_ 11 ,

Beweis (durch vollstandige Induktion nach n). Fur n = 1 sei

a(l)Pl . . . a(r)Cr yy . . . y? p ( a ; y ) = c CP ,...., p , ; v I , . . . , v , g, Vr C,. . . . * I+ ; VI. ...* v,

- a( l )Pl+vl . . . u t r ~ P r + v r x v : " ~ l + ' ~ ' + * r v t - c CP, *.... K ; VI ,.... v, I1 Pr P I , . . . . P I ; V I . . . . * v r und i- 1

&)PI . . . a'"4 $1 . . . y:' q ( a ; X l ; Y ) = c c d l ; P I , . . . . k + ; v I , . . . , v, g, 9, 1=0 C, ,..., p r ; v ,,... . v ,

i -1

r = O P , , . . . , I + ; v I , . . . . vt

a(l)@~+vl . , . a~r)lc,+?,x~+v~vl+ . . * t v r v r =c c % P I , . . . , P , ; v l ...., v , g , 9, 1 2

la) Die Voraussetzung der Gewichtshomogenitiit bedeutet nach 12) keine Einschrhkung.

366 Or singer, Tragheitsformen als Koeffizienten algebrakcher Gleichungen.

wobei die c und d Formen in den a sind, die Eicht von u:, . . . , u:) abhiingen. Aus (17) folgt durch Vergleich der Koeffizienten von - . - u? x:lgl+...+nrgr+i

i-1

co ,..., 0;nl ,..., n,=-C C di;nl--yx ,..., n r - v , ; v ,...., v , ; r = O v,g,+ * .. +V&+l

=n,gl+ ... +nrg,+i

dieSummationsvorschriftverlangthierbei(nl-vY1)gl+ - . a + (nr- i),)gr = ~-- i (0; da aber die d lauter nichtnegative Indizes haben, ist die Summe leer. Bei den nichtverschwindenden c ist also wenigstens ein Index ,up positiv, und daher ist jedes Glied von p ( a ; y) durch ein u z teilbar. Wegen

a ‘ e ) Z p Be = y e ( e = 1 , )

ist jedes a::, also auch jeder Koeffizient veil p , als Polynom in den y aufgefaBt, Tragheitsform.

Es sei jetzt n > 1 und der Satz fur weniger als n Unbestimmte z schon bewiesen. t (a) sei einKoeffizient von p als Polynom in den y. Nach Hilfssatz 3 ge- niigt es, zu zeigen, daB

z nI

(18) T ( a ) = t v = l n ’ (4 Triigheitsform ist. Dies ist der Fall, wenn T fur alle Nullstellen a =a* von 2 in jedem Erweiterungskorper von k verschwindet, denn dann liegt nach dem Hilbertschen Nullstellensatz eine Potenz von T in 2, also wegen der Primideal- eigenschaft von S auch T selbst. Zu jeder Nullstelle a* von 2 existiert nun wenigstens eine nichttriviale Losung

(19) ( 2 1 , . . . , Zn) = (t1, . . . , t n ) * (0, . . . 2 0)

y;=o,y;=o, . . . , y:=o der Gleichungen

in einem Erweiterungskorper von k. 1st etwa + 0 , so wahlen wir die Losung (19) innerhalb ihres Losungsstrahles so aus, daB 61 = 1 wird. Es sei ,u ein beliebiger von 2 verschiedener Index der Reihe 1 , . . . , n. Wir setzen

(20) xp = tp 21.

Dadurch werden die y vollstgndige Formen g in den n - 1 Unbestimmten Z1, . . . , xp-l, x p + l , . . . , 2,:

y,(x1,. . . , 3 - 1 , q!+l, * . . 7 2s)

wobei die hifiere Summe alle nichtnegativen ganzen Zahlen yl, . . . , y p p 1 , y p + l , . . . , yn mit y1 + . . - + + yp+ l + - - - + y n = ge durchlauft. Die

neuen Koeffizienten sind Linearfornlen aus &[a] = k([ , ) [a] ; wenn wir fur sie die

Orsinger, Triigheitsformen ah Koeffizienten algebraischer Gleichungen. 367

Bezeichnungen y1

einfuhren, auBerdeni

ace) - b(e) fiir yp > 0 ( e = 1 , . . . , r ) Y,, .... Y" - Y , , . . . . Y ,

setzen und ebenso die etwaigen weiteren Unbestimmten a jetzt mit b bezeichnes, so werden unigekehrt die a Linearformen aus E[b] , d. h. jede Form aus k [a] wird eine Form a m % [ b ] . Da die Anzalil der GroBen b gleicli derjenigen der Un- best.imniten a ist, konneli wir die b wieder als Unbestimnite bezuglich a.uf- fassen, so da,b die g vollstandige Formen niit unbestinimten Koeffizienten werden. Bei der Spezialisierung der a zu a* nelimen die b spezielle Werte b* an; gehen dabei die y in y* uber, so ist offenbar

(513 . . . >.xp-I! xp+i, . . . , xn) = (61, . . . 3 F p - 1 , t p + 1 * * . . 7 tn)

y : = o , y ; = o , . . . , y: = o . eine genieinsame Losung der Gleicliungen

Es sei nun z* eine beliebige Permutation von xl, . . . , x,, die x, in xA uber- fiihrt. Wir wenden den Automorpliisnius n* mif die Relation (17) an:

p(a"'; y)x$, + q(a"'; xy*, . . . , xf'; y) = 0 ,

und nehmen ansclilieBend die Substitution (20) vor, uobei wir gleich die a durch die b ausdriiclren :

p ( b ; Y ) x f + q ( b ; xl,. . . . x ~ - ~ , xp+,?. . . xn;ij) = 0 . Der in p ( 6 ; Q) auftretende Koeffizient

(21) - t (b ) = t(a"') = t"'(a)

ist nacli Induktionsannahme Traglieitsforin des Ideals (gl, . . . , gr) in k [ b ; xl, . . . , x~,-], xP+ ] , . . . , x,], d. 11. es gilt mit einem Exponenten t -

-

t(b)x', '- O ( i j , , . . . .y,).

Spezialisieren u i r liierin die b zu b* und setzen fur die x die 5 ein, so erlialten wir

oder wegen [?, = 1

- t ( b * ) t ; = 0

Nacli (21) ergibt sich nun

- t (6*) = 0 .

t" ' (U*) = 0

T ( U * ) = 0 . und weiter nach (18)

T verschwindet also fur jede Nullstelle von 2, was zu zeigen war. Aus Satz 5 ergibt sich unmittelbar das angekundigte

Korollar. Die hochsten Koeffizienten p$) (a ; y e , , . . . , ye,) der gewichtshmogen in den a geschriebenen erzeugenden Gleichungen (2") fur die E'rweiterungen

368 Orsinger, Triigheitsformen als Koeffizienten algebrakcher Gleichungen.

K (x)/K (ye , , . . . , y , ) (n < a 5 r ) haben, ihrerseite als Polynome in den y auf- gefapt, lauter Trtigheitsfarmen zu Koeffizienten.

Fast ebenso wie Satz 5 erhalten wir noch fiir die Relationen zwischen den y allein :

Satz 6. E8 sei r > n . In jeder in den a gewichkhonwgenen Relation1')

(22) 9 ( a ; Y) = 0 ,

wo p ein Polynom seiner Argumente iet, ednd alk Koeffizienten von p , als Polynm in den y aufgefapt, Triigheihformen.

Insbevondere sind ale0 die Koeffizienten der nach dem Perronschen Satz (Satz 3 bzw. 41 zwischen n + 1 Formen bestehenden, gewichtshomogen in den a

geschriebenen Relation vom Gewicht in den x samtlich Tragheits- formen.

* * *

(h s * . * 9 S"+J

Beweis von Satz 6 . Fur n = 1 sei wie beim Beweis von Satz 5

Y;', &)PI . . . a(Wr yy . . . P(a; Y) = c CP I , . . . , & ; Y I , . . . , v, 8, Or

PI *...&;'i*...,Vr

wobei die c von a?], . . . , a:) nicht abhangen. Aue (22) folgt hier sofort

CO,. . . ,o; nI,. . . .nr = 0; der ubrige Beweis verliiuft wie bei Satz 5 , nur die Anwendung von z* unterbleibt.

4. Ein Resultantensystem fur beliebig viele Formen in 2 Unbestiimten. Dieser Abschnitt ist von den vorhergehenden unabhangig. Es mien r 2 2

vollsttindige Formen in xl , xa mit unbestimniten Koeffizienten a gegeben, die wir jetzt kiirzer 80 bezeichnen:

(1')

verschwindenden 2G-reihigen Deteminanten &r 2G-8pa2tigen Yatrix

y Q ( z l , 52) = aNe@ + uelg@xa + - - + U , , ~ Q (e = 1, . . . , r ) .

Sat2 7. I8t G dae .Maximum der Gde der Fonnen (I/), 80 bilden die nicht-

a10 , a11 Y - - * Y alll

. . . . . a,, Y a,, , - 9 all,

l') Die Vmaueeetzung der Gewichhhomogenitiit bedeutet wider keine Einachriinkung ; vgl. ' 8 ) (S. 364).

Owinger, Trilgheitsformen als Koeffizienten algebrakcher Gleichungen. 369

wo d ie leeren Stellen durch Nullen zu besetzen sind, ein Resultantensystem fur diese Formen.

Beweis. Die angegebene Matrix kann als Koeffizientenmatrix des inhomo- genen linearen Gleichungssysteins

x 2 0 - g r - i 1 y1 = a,,x:Q-' + a,lx~Q-2x, + - - - + a 191 2Q-g1-1 1 x2 g* 3

a x2f3-2 1 x,y1= lo x,+ - - +algl$Q-or-2xf+', x2Q-g1-2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2Q - 9, - 1 Y1=

. +a-91-1 y , =

x2Q-9a-l YY =

alox:I xiQ-gl-l + - . - + algr #+', ZQ-l+ a,, x:'3-2 x2 + - - + aZg, xZfG-gr--l x2 g* 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a,, xpxiQ-gs-l + . . + a2gr xiQ-l,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $Q-g*-'yr = a,,,ofQ-' + a,, XYQ-zx., + ... + a xzQ-gr-1 XY gr 9 w, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a 5 8 2Q-gr--1+ ... + a xZQ-1 Y? = rO 1 " h w, f xiQ - or- 1

fur die 2 6 Unbekannten x;'-', gQ-'x2, . . . , xiG-' aufgefaBt werden. Durch Auflosen von je 2 6 der Gleichungen mittels der Cramerschen Regel folgt fur die Determinanten R,

gQ-lR, = O(y,, . . . , yr ) ;

die Determinanten sind also Tragheitsformen. Wir zeigen nun, daB die R, ein Resultantensystem der Formen y bilden,

indem wir aus ihrem Verschwinden fur spezielle a =a* aus einem Korper die Existenz einer nichttrivialen gemeinsamen Nullstelle (x,, x2) = (11, t2) der Forlnen

$ ( X l , X p ) = U ~ O X f Q + U z l Xfe- ' X , + ... + U;lbe Xje (@ = 1 , ... , r)

folgern. Dazu bilden wir aus den y durch Multiplikation eines jeden ye mit x?-@ und x:-Q ein System von 2r Formen

9, r= x y 9 1 y1 = bl, xf + b1, x7-l X g + * * * + 610 x!, Q Z = ~ ~ - ~ ~ y ~ = b , ~ ~ ~ + b ~ ~ x ~ - ~ x ~ + ~ ~ ~ + b,Qx!, 9 3 = x ~ - " Y , = bjo X: + bJ1 Xy-' X Y + * * - + b,, X , Q ,

Q,,= ~ f - ' r y , = b,,,oxf'+b2,,,x~-'~, + - * * + be,,Qxr Q

. . . . . . . . . . . . . . .

des gleichen Grades 6, wobei also

~ 1 b 1 0 + * * . + ~ ? ~ b ~ ~ , O , . . . 9 ~ l b 1 ~ + * * * + U ? r b , r , c

. . . . . . . . . . . . . . . . ~ , l b i n + * * . + ~ , r b , , , O . . . . . u 1 b l G + . * . + ~ , r b , G '

9r ?r

eo = c 2 ue, uet * * * ueo ve, - * * v e ...... eo= l a , , . ..,a G- -1

Setzen wir fur die b wieder die a bzw. 0 ein, so sehen wir, daI3 die Determinanten in der Summe aus den Zeilen unserer 2G-spaltigen Matrix aufgebaut, also, scweit sie nicht verscliwinden, bis auf das Vorzeichen unsere Determinanten R, sind. Verschwinden latztere fur a = a*, so verschwindet R(u , v) identisch in den U , V ;

dann haben die g* und daher auch die y* eine nichttriviale gemeinsairle Null- stelle, was zu zeigen war.

16) VAN DER WAERDEN, a. a. 0. s, (S. 356), 77.