zur berechnung endlicher euklidischer defekte in quadratischen räumen

Zur Berechnung endlicher euklidischer Defekte in quadratischen

Rliulnen

PAUL HAFNER (Zfirich)

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Einleitung

Als zentraler Begriff fiir die Theorie quadratischer R~iume erweist sich in [4] der euklidische Defekt. Die vorliegende Arbeit schliesst sich an Satz IV.1. von [4] an: wir ftihren einen Teil der dort angedeuteten Erweiterungsm6glichkeiten des Iso- morphiesatzes durch (Satz 5). Damit erhalten wir eine Klassifikation von R/tumen endlichen Defekts fiber speziellen K/Srpern (Korollar 5). Diese Resultate erlauben dann die Berechnung endlicher Defekte von R~iumen fiber beliebigen KSrpern (Satz 7). Schliesslich beweisen wir in leichter Verallgemeinerung von Satz 5 einen Iso- morphiesatz ffir Unterr/iume endlicher Codimension in euklidischen R/iumen fiber speziellen K6rpern (Satz 9).

Herrn Professor Dr. H. Gross danke ich fiir viele anregende Diskussionen.

I. Bezeiclmungen und Resultate

Wir betrachten Vektorr/iume fiber einem kommutativen K6rper k, chark~2. Unter einem quadratischen Raum fiber k verstehen wir ein Paar (E, r wobei E ein k-Vektorraum und q~ eine symmetrische Bilinearform ~ : E x E~k ist. Die Bezeich- nungen unserer Arbeit sind die allgemein gebr~iuchlichen (man siehe z.B. Gross [4]). Ist U ein Unterraum, so bezeichnen wir Ur~ U• U als das Radikal von U. Ein Teilraum V eines quadratischen Raumes E heisst dicht (in E), falls VZ• ist; Wc E heisst (orthogonal) abgeschlossen, falls Wl• W gilt. Halbeinfache R~iume (E, q~), die eine beztiglich q~ orthogonale Basis besitzen, werden euklidische R/iume genannt. Der euklidische Defekt d(E) eines halbeinfachen Raumes E ist das Minimum yon dimE/F, wo F s/imtliche euklidischen Unterrgume von E durchl/iuft. Folgende S/itze werden wir immer wieder benfitzen:

1. R~tume abzghlbarer Dimension besitzen eine Orthogonalbasis. 2. ([4], Satz III.2.) Ist (E, ~) halbeinfach und F eine euklidische Hyperebene in

E, so sind folgende Aussagen/iquivalent: (i) F besitzt eine Orthogonalbasis ( f , ) ,~ und ein algebraisches Komplement l in

E derart, dass q~ (f,, l )~ 0 ist fiir fiberabz~ihlbar viele �9 eL (ii) Ffir jede Orthogonalbasis (f,),~i von F u n d jedes Komplement l v o n F gilt

q~(f,, l):~0 ffir iiberabz~ihlbar viele TEL (iii) d(E) ~ O.

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Wir werden in Satz 1 sehen, dass card {z [ q, (fi, l )~ 0} eine Invariante yon Fist. 3. ([4], Satz III.4.) Sei (F, 4)) halbeinfach und von endlichem Defekt. Ist V ein

euklidischer Teilraum der Codimension d(F), so ist VX=(O). 4. ([4], Satz III. 12.) E = @tEl sei die (/iussere) orthogonale Summe einer hSchstens

abz/ihlbaren Familie von R/iumen (E i, cbi) vom Defekt 1. Es ist d(E)= card L 5. ([4], Korollar III.1.) (E, ~) sei euklidisch; F sei ein Teilraum mit dim [El(F+

+F• ~< N; o und F besitze eine ftir �9 orthogonale Basis. Jeder Teilraum V von E, der F+F J- umfasst, besitzt eine ftir q~ orthogonale Basis; V ist also euklidisch genau dann, wenn V halbeinfach ist.

6. Sehr ntitzlich ist folgender Satz yon E. Ogg: (E, q~) sei euklidisch. Jeder orthogonal abgeschlossene Teilraum F c E l~isst ebenfalls eine ftir (b orthogonale Basis zu.

7. ([5], Satz 7.13.) (E, ~) sei halbeinfach und yon abz/ihlbarer Dimension, Vein halbeinfacher Unterraum mit der Orthogonalbasis (vg)~ N. V ist genau dann dicht, wenn es zu jedem xr V eine unendliche Menge l x c N gibt, sodass ~(x, vl)#O fiir alle iel~,.

Besonders einfache Verh/iltnisse findet man bei unendlich dimensionalen R/iumen dann vor, wenn der Grundk6rper k folgende Eigenschaft besitzt:

chark#2 , und es gibt eine nur von k abh/ingige natiirliche Zahl n mit der (S) Eigenschaft, dass jede quadratische Form in n + 1 Variabeln tiber k die Null

nicht trivial darstellt. Wir werden der Ktirze halber von S-KSrpern sprechen. Halbeinfache R~iume von abz/ihlbar unendlieher Dimension tiber S-KSrpern besitzen immer eine orthonor- mierte Basis. Dies ist gleichbedeutend damit, dass ein solcher Raum orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen ist (s. [6]); es gibt also ,,viele" isotrope Vektoren in diesen R/iumen.

8. ([1], Satz 1) Ober S-K6rpern gilt der folgende Isomorphiesatz: Seien (E, r (/?, T) halbeinfach und von abz/ihlbarer Dimension; sind Vc E, 17c E dichte Unter- r/iume gleicher Codimension, so gibt es eine orthogonale Abbildung q):E---,E, die V in 17 tiberffihrt. Ist die Codimension von V endlich, so gibt es sogar zu jeder Iso- metric ~p': G~(7 (G, (7 beliebige isometrische Komplemente von V bzw. I 7) eine Fort- setzung q):E~E mit dieser Eigenschaft.

9. Allgemeiner gilt ftir S-KSrper der folgende Satz: ([2], Scholion): E sei ein- halbeinfacher Raum abz/ihlbarer Dimension tiber einem S-KSrper, V, 17 isometrische Unterr/iume, ftir die folgende Bedingungen erftillt sind:

(c)

(i) V ~-~ 17~, (ii) dim [(rad V)•177 V] = dim [(rad V)•177 17], (iii) dim [rad(V• V) •177 =dim [rad (17• 17)•177 (iv) dim [ V • J-/(V + rad (V• = dim [ ~_t • + rad ( 171))], (v) dim [(rad ( V• • + VZ• = dim [(rad ( V•177 V• + 17•177

Zur Berechnung endlicher euklidischer Defekte 137

Dann gibt es eine Isometrie q~:E~E, die V in 12 fiberftihrt. Dieser Satz 1/isst sich tibertragen auf den Fall, dass E euklidisch und von beliebiger

fiberabz/ihlbarer Dimension ist, sofern man ffir die Teilrfiume V, 17 mit den Eigen- schaften (C) h6chstens abz/ihlbar unendliche Dimension beibehfilt. Dem Beweis schicken wir folgendes Lemma voraus:

LEMMA. B = A O C sei ein Unterraum eines euklidischen Raumes E und A sei orthogonal abgesehlossen. Dann gilt

dim (A~/B • = dim B/A.

K O R O L L A R 1. Unter den Voraussetzungen des Lemmas gilt

dim (B•177 <~ dim B/A.

K O R O L L A R 2. Fiir Unterrdume B yon euklidischen Rdumen gilt

dim B •177 = dim B.

Beweis des Lemmas. B • C• da wir in einem euklidischen Raum E sind, gilt cod im~C• also A•177 mit dimD~<dimC. Damit haben wir das Teilresultat: ist A c B c E und E euklidisch, so gilt

dim (A~/B • <~ dim B/A.

Auf A • und B • treffen diese Voraussetzungen aber auch zu; also

dim (B•177 •177 <~ dim(A• • <~ dim B/A.

E

W •177

V + r a d ( V •

V+(rad V) " i

V

(rad V) l

( V + V• l i

V •177 + V l

V+ V •

V l

rad(V •

(rad V) •

, (o)

138 PAUL H ~ R

Setzt man nun voraus, A sei orthogonal abgeschlossen, so sieht man

dim (A• i) = dim (B/A).

Nun betrachten wir den Verband von V (erzeugt von V unter den Operationen _i_, n und + in E; vgl. [2]) (s. Diagramm auf Seite 137).

Nach Korollar 1 (V l + V i i und V • anstelle von B bzw. A) ist dim [(rad V•177 / (V• V•177 V• V~<No. Ausserdem gilt codimE(rad V• das bedeutet, dass ein Komplement Y yon V • + V "• in E h6chstens abz~thlbare Dimen- sion hat. Wir zerlegen: E = V•177 V'@ Y, wo V' ein Komplement von rad V • in V • ist. V~ sei ein abz~ihlbar dimensionaler Unterraum von V'. Dann ist dim ( V • ~ @ V~ @ Y) = =No. Das gleiche tut man mit I7: es wird dim(171~O V~G t ' )=No, und wir finden einen halbeinfachen, abz~ihlbar dimensionalen Unterraum U von E m i t

(j) E = U@ U' , (j j) V • + V~ + Y+ 17•177 + 174 + F c U.

In U kann man den Satz fiir abz~hlbar dimensionale R~iume anwenden, und wegen (j) liefert das auch einen orthogonalen Automorphismus von E.

II. Riiume mit dichten euklidischen Unterrfiumen endlicher Codimension

1. Vorbereitungen (E, ~) sei ein halbeinfacher Raum vom Defekt 1, F eine euklidische Hyperebene,

E = F O k (e), B = (f~)~ ~ eine Orthogonalbasis von F. Wir definieren:

DEFINITION 1.

S(B) = {A[ ~ ( L , e) # 0},

T (n) = {f*l ~ ( f - e) = 0}.

SATZ 1. cardS(B) ist eine Invariante yon F, also unabhiingig yon der Wahl der Ortho- gonalbasis B und der Wahl des Komplementes e.

Beweis. Aufgrund von 1.2. ist jedenfalls card S(B)> No. Beim 0bergang zu einem andern Komplement e' = ~ 2~f~ +/~e ergeben sich daher keine .~nderungen. Sei B '= = ( f ' ) , ~ l eine andere Orthogonalbasis von F u n d

L =

Die Matrizen (~,~) und (P-u) sind beide zeilenfinit. Nun ist ~,(f',L)=~..IILtl =/~..[If'll, und wegen IILI[ # 0 ~ IIf;ll sieht man, dass

der 0bergang yon B zu B' durch eine zeilen- und spaltenfinite Matrix vermittelt wird.

Zur Berechnung endlicher euklidischer Defekte 1 39

Das ergibt die Absch~itzung

card S(B') <<. No card S(B) = card S(B) ,

und die Argumentation • symmetrisch in B und B'. Also

card S (B) = card S (B').

Eine analoge Invariante l~isst sich auch fiir den Fall d(E)=0 und F • (0) deft- nieren. Wir behaupten n~imlich, dass dann c a r d S ( B ) = N o. Dies folgt aus 1.7. und dem fotgenden

LEMMA. Sei d imE>No, F e E eine euklidische Hyperebene mit F• E = = F~) k (e). Dann gibt es eine orthogonale Zerlegung F= F 1 �9 • F2 mit dim F 1 = No und F~=F 2. Ist d ( E ) = l , so gilt dabei stets F21=F1; • d ( E ) = 0 , so hat man F ~ c F 1 0 Ok (e) und es gibt eine Zerlegung mit F2 ~ = F 1 Ok (e).

Beweis. 1) d ( E ) = 1; (f~)~t sei eine Orthogonalbasis von F. Nach 1.2. gibt es 11 c 12 c / , ca rd 12 > card I 1 = No, mit ~b (f~, e) # 0 f[ir z e 12. Nun setzt man F1 = k (f~),~ t l,

F2=k(f,)~ d - t , . Ist eine Zerlegung F=FI@F 2 mit d i m F l = N 0 und F~=F2 gegeben, so erh/ilt

man eine Orthogonalbasis von F als Vereinigung einer Orthogonalbasis yon F 1 und einer yon F2. Aufgrund von 1.2. folgt nun, dass F2 l = F 1.

2) d ( E ) = 0 ; (f~)~i sei eine Orthogonalbasis yon F. Die Menge 13 aller z mit q~ ( f , e )# 0 • h6chstens abz/ihlbar. Wir bezeichnen mit 14 eine abz/ihlbare Teilmenge von/ , welche 13 enth~tlt. Nun setzen wir Fa =k ( f~ )~ , , , F2=k(fr),Et_14. Dann ergibt sich

F~ = F~- n Fz + F~- n (F 1 (9 k(e)),

F2 z = F 10)k(e) ,

und dies letztere • genau dann Null, wenn Fi L n {F 1 +k(e)} -- (0). Wir fassen zusammen: D E F I N I T I O N 2. F sei eine euklidische Hyperebene yon (E, ~), F • = (0), B eine

Orthogonalbasis von F. Die Invariante

cardS(B) = card {f, l f , eB, ~ ( f , , x} v ~ O, E = F G k(x)}

werden wir mit S(F, E) bezeichnen. Es ist S(F, E ) = No genau dann wenn E euklidisch, S(F, E ) > No genau dann wenn

d (E)= 1 ist. Wie wir sehen werden, bestimmt S(F, E) die ,,Lage" yon F in E bis auf einen metrischen Automorphismus yon E eindeutig, wenn wir uns auf S-KSrper beszhr~nken.

140 PAUL HAFNER

Verhalten yon cardT(B) 1) Ist S(F, E ) < d i m E , so ist natiirlich cardT(B)=d imE fiir alle Orthogonal-

basen von F. 2) Sei also S(F, E ) - d i m E ; B sei eine feste Orthogonalbasis von F. Wir werden

zeigen, dass man zu jeder unendlichen Kardinalzahl a mit card T(B)~< ct~< d i m e eine Orthogonalbasis B' mit card T(B' )= a angeben kann.

Beweis. Sei B = S ( B ) w T ( B ) , S(B)=(f~)eEl, , T (B)=( f e )~h , card l l=dimE, 4~ ( f , e) = 1 fiJr z e 11 ; ferner sei j ' = 11, cardj ' = a. Wir bilden Mengen 99~ von Paaren (z, z ')~j ' x j ' mit z-Cz', (z, z ' )n (p , # ' ) = 0 ftir je zwei Paare aus einer Menge 9~R, und [lf~[[ +tlf,,[[ #0 . Nach dem Lemma von Zorn gibt es eine maximale solche Menge 9J/o und man verifiziert, dass ffir flJto gilt:

card {C j. (prl ~ll/o w pr/~lJ/o)} ~< 2.

Setzen wir j = p q 921/0 w pr2~l~o, so ist also card j = ct und wir haben eine Bijektion ~:pra~[l~lo~pr29J/o verm6ge z ~z' , wenn (z, z ' )e 92110. Die Paare (fe, f,(~)) spannen Ebenen E e ( z e ph 9J/o) auf. Nun bezeichnen wir

B l a -

B 2 ---=

B 3 ----

{ A - f~.) ] z e P r l ~ l o } ,

{he I h~ l (fe - f~te)), h~eE~, z~pr , ~lJlo},

Dann ist B' = T(B) w B 1 w B 2 k.) B 3 wieder eine Orthogonalbasis von F u n d

T(B) u B, c T(B ' ) c T(B) w B 1 w B2, B3 n T(B' ) = O.

Hieraus folgt die Behauptung. cardT(B) lfisst sich aber nicht nur willkfirlich vergr6ssern sondern auch verklei-

nern. Wir zeigen hier nur die Konstruktion einer Basis B' mit T (B ' )=0 ; das allgemeine Prinzip wird dadurch vNlig klar. B sei eine Orthogonalbasis, S ( B ) = (f~)~ h, T(B) = (ee)e~,~, j c Ix, card j = card I2, e :j~I2 eine Bijektion. Wir definieren

B1 = {L [ ~ e 6 , *r B2 = {L + flee~.) ] z e j } ,

{ "L" } Ba = Ie fie [le~(oll e~(O ] r e j ,

wobei fl, so gewfihlt wird, dass f lee0 und Ilfd + ~ Ile~(,[I # 0 ist. So ein fie findet man aber ftir jedes z, ausser wenn der Ktirper k nur 3 Elemente hat. Ist aber k=F3, dann k6nnen wir B orthonormiert voraussetzen und fie= 1 nehmen. Nun ist B1 uBz~B3 = B' eine Orthogonalbasis von F mit card T(B') = O.


2. Der Fall codim~F= 1 SATZ 2. E, E seien halbeinfache Rgiume gleicher iiberabzdhlbarer Dimension iiber

einem S-K6rper ; F c E, F c E seien euklidische Hyperebenen mit F • (0), F• (0) und S(F, E)=S(I v, E); dann gibt es eine orthogonale Abbildung q~:E~E mit r ~o(e)=Y, wobei E=F@k(e), E=F@k(~) und Ilell--II~ll.

Beweis. 1)Sei S(F,E)=dimE. Wir k6nnen also eine Orthogonalbasis B= = (f~)~, von F so wahlen, dass T(B)= 0 wird. Jede Partition I = U I, mit card 1, = N0 gibt Anlass zu einer Zerlegung F = | F, mit F, = k (f~)~ ~ t~ und dim F, = No. Dabei ist F~c~ {F,@k(e)}=(O). In gleicher Weise bilde man F,=F mit der entsprechenden Eigenschaft. Nun kann man nach 1.8. Isometrien q~,:F~Gk (e)~F,@k (~) finden mit q~,(F,)=F, und r Diese ~o, setzt man zusammen zu r

2) Ist S(F, E ) < d i m E und B eine Orthogonalbasis von F, so gibt es eine Zer- legung

•

E = {F' | k(e)} �9 F", (1)

wobei F ' von S(B) erzeugt wird, F" von T(B). Ebenso: 1

E = {F'@ k | (2)

Auf die ersten Summanden der orthogonalen Summe in (1) und (2) treffen die Voraussetzungen von 1) zu. F" und F" sind von gleicher unendlicher Dimension und orthonormiert (S-K6rper!), also isometrisch.

Es ergibt sich sogleich das folgende

KOROLLAR 1. Zwei halbeinfache Riiume E, E fiber einem S-KSrper mit d(E) <~ 1, d(E)<~ 1 sind isometrisch genau dann, wenn es eukh'dische Hyperebenen VcE, P'cE gibt mit V• (0), V• S(V, E ) = S ( I 7, E) und d imE=dimE.

Definiert man ftir R/iume E m i t d(E)<. 1 eine Invariante m(E) als minS(V, E), wo V alle euklidischen Hyperebenen durchl/iuft, so sagt das Korollar offenbar, dass solche R/iume E durch d imE und m (E) bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt sind.

Als Ergfinzung zu Satz 2 kann man noch zu gegebenen Paaren S(F, E)<<. dimE Standardr/iume angeben. Sei card 11 = S(F, E), 12 = 0 wenn S(F, E) = dimE, card 12 = = d i m e sonst. F werde aufgespannt von einer orthonormierten Basis (f~),~tl~x~, E=FOk(e), wobei q~(f~, e)= 1 fiir z~Ii, ~ ( f , e )=0 ftir "rEI 2 und Ilefl =~ (beliebig).

DEFINITION 3. Den soeben definierten Raum E bezeichnen wir als ,,~-normierten Standardraum zu den Invarianten cod imF= 1, S(F, E), dimE".

3. Der Fall c o d i m r F = n < oo

DEFINITION 4. Sei E halbeinfach, F ein euklidischer Unterraum von E m i t

142 PAUL HAFNER

F • = (0), u~F. Wir ffihren folgende Bezeichnungen ein:

S (F, u): = S ( t , F G k (u)) m (F): = min S (F, u) uCF

m (F) und M(F) sind offensichtlich Invarianten von F.

M (F): = max S (F, u) uCF

SATZ 3. E und F seien wie in der Definition 4, ferner sei c o d i m E F = n . Dann gibt es hgchstens n verschiedene Werte fiir S(F, u).

Beweis. A n g e n o m m e n es gabe ul ..... U,+lCF mit S(F, ul)<S(F, u 2 ) < . . . < <S(F, u,+1). Dann ist

u,+, = f + ~ ,~iu, ( f eF). i = 1

Hieraus folgt der Widerspruch S(F, u,+a)<S(F, u,+l). Diese h6chstens n Werte ordnen wir der Gr6sse nach und bezeichnen sie mit m(F)=m 1 (F)<mz(F)<.. . < <m,(F)=M(F) (r<~n). Man iiberlegt sich auch sofort, dass in jedem algebraischen K o m p l e m e n t von F Vektoren x~ liegen mit S(F, x,)=mi (F) ffir alle i<~r.

D E F I N I T I O N 5. E und F seien wie in Satz 3.

K,(F): = {x I x E, xCF, S(F, x) <~ mi(F)}

61 (F): = n - cod imEE 1 i - - 1

6 i ( F ) : = n - c o d i m E E l - ~ 6v V = I

Dabei verstehen wir unter E~ die lineare Hi.ille von Fw K~ (F). Dieser Aufwand an Definitionen erlaubt uns eine gewisse Normal is ierung eines

Komplemen t s yon F: unter einer normalisierten Basis eines algebraischen Komple- ments G von F in E verstehen wir eine Basis xa . . . . . x~l,. . . , x~l+~ . . . . . . x . von G mit X 1 . . . . . x~,eKx(F),xo,+x,... ,x6,+~2eK2(F)-Kl(F) etc. Man verifiziert nun ohne Miihe, dass S(F, x)>>.mi(r) fiir aUe xeF~)k(x~,+...+6,_~+ x ..... x,), x(EF.

Beispiel. Sei F=k(f , ) , wo z alle Elemente (d.h. alle kleineren Ordnungszahlen) der Ordnungszahl oJ~ durchl/iuft, v~> 1 fest, ( f . ) eine or thonormier te Basis, E=F@ ek(x, y),

( f , , x ) = ~ ( f , , y ) = l fiir z />eo 0

r (f~, x) = 0 fiir z e tn o

tp (f~, y) = 1 ffir -c e co o

D a n n ist S(F, x )=S(F,y)=dimE. {x,y} ist aber keine normalisierte Basis eines Komplementes von F, denn m (F)=S(F, x - y ) = N o ; { x - y , y} ist eine normalisierte B a s i s .


SATZ 4. Seien E, E halbeinfache Rdume iiber einem S-K6rper, dim E = dim/~ 1> No, FeE, F e E euklidische dichte Unterriiume gleicher Codimension n, m ( F ) = M ( F ) = m(F)=M(F) . Dann gibt es eine orthogonale Abbildung ~o:E--*ff~ mit q~(F)=P'. Oabei kann man ein beliebiges Komplement yon F in ein dazu isometrisches Komplement yon F i~berfiihren.

Beweis. Aufgrund inzwischen bekannter Argumente (s. den Beweis zu Satz 2) k6nnen wir uns auf den Fall dimE=m(F) beschr~inken; fiir d i m E = N o steht der Satz bei Gross [1], also setzen wir m(F)=dimE>No voraus. Der Beweis verl~iuft dann w6rtlich wie bei Gross [4], Satz IV.1. Sei (f,)~Ex eine Orthogonalbasis von F, x I .. . . . x , Basis eines Komplementes yon F in E. Wir werden zeigen, dass es eine Partition 1 = U I , gibt mit

(i) card I~ = No, (ii) F~ n {F, Ok(x , ..... x,)} =(0) , F,=k(f ,)~E,.

Ftir n = 1 steht das im Beweis von Satz 2. Sei die Behauptung also richtig ffir c o d i m F = = n - 1 ; d.h. es gibt eine Part i t ion ( I , ) yon I mit den Eigenschaften

(i)' cardI~ = No, (iX)' P ~ n {F~@k(xl, ..., x,,_~)} =(0) , F ~ = k ( f , ) , ~ , .

Als Indices der Part i t ion ( / , ) nehmen wir alle Ordnungszahlen des Abschnittes [[0, ~1[, eine Anfangszahl (also c a r d ~ = m ( F ) ) . Die zu konstruierende Parti t ion (I~) indi-

zieren wir ebenfalls mit Ordnungszahlen aus besagtem Abschnitt . Wir setzen

O. = F~ ~ {to �9 k(x, . . . . . x,)};

wegen (ii)' gilt also d i m D ~ < 1. Falls D o = (0), definieren wir Io = Io; andernfalls ist D o = k (x), und es gibt immer

noch m (F) Vektorenf~ ausserhalb von Fo, welche auf x nicht senkrecht stehen. Einer davon liege in Iu; dann definieren wir I o = I o u Iz. Nun sei/~ schon erkl~irt (als Vereini- gung yon h6chstens 2 Elementen der Part i t ion ([,)) fiir alle t < x. Dabei sei v* die gr6sste Zahl mit

i ~ c U I , f i i ra l le v < v * ~ < ~ . I < K

1st v * = a , so sind wir fertig. Ist v * < a , so ist ca rdU~<~I ,<-~2cardU~<, , I~ .<No cardv* < m . Ist D~,= (0), so setzen wir I~ =/~,. Andernfalls ist D~,=k(y), und es gibt unter den f , r @,<~F , immer noch m(F), welche nicht senkrecht auf y stehen. Eines davon sei in I , ; dann setzen wir I ,=I~,uI, . Diese rekursive Definition beendigt den Schluss von n - 1 auf n. U m hieraus schliesslich Satz 4 zu folgern, wendet man analog wie im Beweis von Satz 2 den , ,Wittschen Satz" im abziihlbaren Falle (1.8.) au f die R~iume F,~k(x~ ..... x,) an, wobei man die Isometr ie auf k(x~ ..... x,) fest vorschreiben kann.

144 PAUL HAFNER

D E F I N I T I O N 6. Unter dem (~1 ..... a,)-normierten Standardraum S zu den In- varianten cod imF=n , m ( F ) = M ( F ) , d imS verstehen wir die orthogonale Summe S=@7=1S i, wo S, ffir i<n ein ~,-normierter Standardraum zu den Invarianten c o d i m F ' = 1, S(F' , E ) = m (F), d i m E = m (F ) i s t und S, ein a,-normierter Standard- raum zu den Invarianten codim F' = 1, S (F', E) = m (F), dim E = dim S.

K O R O L L A R 2. Jeder halbeinfache Raum E fiber einem S-K6rper, der einen euklidischen dichten Teilraum Fmi t m (F)= M ( F ) und von endlicher Codimension n enthdlt, ist zu jedem (~q .... , ~,)-normierten Standardraum zu den lnvarianten n, m, dimE isometrisch. Umgekehrt gibt es zu jedem Tripel (n, m, d) mit den Restriktionen n < No ~< <~m <. d einen halbeinfachen Raum S, der einen dichten euklidischen Unterraum F der Codimension n enthdlt rnit m (F) = M ( F ) = m.

Beweis. Klar.

SATZ 5. Seien E, E halbeinfache Rdume fiber einem S-K6rper, d i m E = d i m E , F e E , F c E euklidische Unterrdume gleicher endlicher Codimension n, F l = ( 0 ) , F • = (0), m 1 (F)= m 1 (F),. . . , mr(F ) = mr(F), 61 (F) = 61 (F),. . . , 6,(F) = fir(F), ( ~ 6, = n). Dann gibt es einen orthogonalen Isomorphismus qg: E ~ E mit q~(F)=F. Man kann fiberdies r auf einem Komplement G yon F so vorschreiben, dass eine normalisierte Basis yon G in eine normalisierte Basis eines isometrischen Komplementes G yon F iibergeht.

Beweis. Wieder beschr/inken wir uns auf den Fall dimE=mr(F) . Der Beweis erfolgt durch Induktion nach r. Ftir r-- 1 haben wir Satz 4. Um den Gedankengang klar werden zu lassen, beweisen wir auf der Grundlage von Satz 4 unseren Satz zun/ichst nur fiir r = 2 . In F haben wir eine Orthogonalbasis (f~)~t, k(Xl ..... x6:, Yl,.. . , Yo2) sei ein Komplement von r mit S(F, x,) . . . . . S(F, x<)= ml, S(F, Yl) . . . . . S(F, yj~) = m 2 (F), ferner seien die y, paarweise orthogonal (o.B.d.A.). Wir werden zeigen, dass F=FI~])XF2, wobei F 1 = ~• mit

(i) dimF1 = m 1 (F), also d imFz=m2(F ), (ii) F2 l k (x l ..... xo,),

(iii) dimFlv = No, (iv) F~v n { F l ~ k ( x 1 ..... x~, Yl ..... Y~2)} = (0).

Bezeichnen wir mit F; zun~ichst den Raum, der yon allenf~ aufgespannt wird, die auf einem der Vektoren xl, ..., x61 nicht senkrecht stehen, mit F~ den von den rest- lichen f~ aufgespannten Raum. Dann haben wir (i) und (ii) und verm6ge Satz 4 (an- gewandt auf F[@k (xl . . . . . x6~)) eine Zerlegung F; = @l F;v mit

(iii)' d imF;~= No, Ovy . . . . .


F~@k(y~,..., Y6~) k6nnen wir uns als Standardraum ~]~ { V ~ k ( y , ) } vorstellen (zu den lnvarianten 62, m2, m2), wobei V~=k(v~)~j und (v~) die in der Definition der Standardr/iume auftretende or thonormier te Basis ist. Schliesslich wollen wir an-

t / t nehmen, die Zerlegung F~= �9 FI~ sei mit v~[F0, ~[~, ~ die Anfangszahl mit c a rd~= = m l ( F ) , indiziert; j sei ebenfalls ein Anfangsabschnitt der Ordinalzahlen. Setzen wir nun

62

F1 = F; 0 @ k (vi,), ~ to, ~'1' i = l

di2 F~ = @ k(v~)~>,, ,

i = l

F,, = F;~ 0 k(v, . . . . . . v6~,~),

so verifiziert man (i), (ii), (iii) und (iv). Der Rest des Beweises fiJr r = 2 scheint nun klar: Er ist ein einfaches Zusammenspiel des Wittschen Satzes im abzfihlbaren Fall (ffir die F l ~ k ( x ~ . . . . . Y6~)) mit Satz 4 (fiJr F2Gk(ya ..... Y6~)).

Der allgemeine Schluss yon r - 1 auf r erfordert lediglich mehr Schreibarbeit. Man behauptet zun/ichst: es gibt eine Zerlegung F = FI@• O• und Zerlegungen F~ = ~ • Fi~ mit folgenden Eigenschaften:

(i) dimF~=m,(F), (ii) F2| ..., x,h),

F ~ @ . . . @ F r - L k ( x ~ . . . . . x~ . . . . . . x6~+~),

FrA-k(Xl,..., X61 +,~2 +...+6~_ 1), (iii) dimF~ = ~o, (iv) F ~ n {F,~(~k(x6,+,..+6,_,+,, ..., x.)} =(0).

Beim Induktionsschritt zum Beweis dieser Behauptungen hat man nichts anderes zu tun als das, was im vorigen Spezialfall durchgespielt wurde. Der Beweis des Satzes vollzieht sich dann ganz genau gleich.

D E F I N I T I O N 7. Unter dem (~1,.-., ~,)-normierten Standardraum zu den Inva- rianten c o d i m r = n , ml (F) ..... mr(F), 61 ( r ) .... ,6r (r ) , d i m E (Z 6i =n) verstehen wir die orthogonale Summe S = �9 7= ~ Si, wobei S~ fiir i< r e in (cr +... + 6,-1 + 1 .... c~61 +... + ~,)- normierter Standardraum zu den Invarianten c o d i m F ' = 6 i, m ( F ' ) = M ( F ' ) = m , ( r ) , dimS~=m i i s t und S r e i n (~61+...+6r-1+1,..., ~.)-normierter Standardraum zu den Invarianten codim F ' = 6 , m (F ' ) = M(F ' ) = mr (F), dim Sr = dim S. Es sei

• 2. 3_

{V1 @ k(e,)} (~ {V2 @ k(e2)} @ . . . . . . �9 {V, �9 k(e,)} ~1 II~r

ein solcher Standardraum, VI@ • V2(~ • . . .(9" V.=F. Dann sind die m i u n d 61 aus der

146 PAULHAFNER

Definition des Standardraumes genau die zu F geh6rigen Invarianten; ist n~imlich x = ~ 2~e i und ;t~ = 0 ftir i> io, 2~ o r 0, so gilt S (F, x ) = S(F, e~o ). Aufgrund von 1.4. hat ein solcher Standardraum den Defekt n, falls ml > No, andernfalls den Defekt n - 6 a.

K O R O L L A R 3. Sei dimE~>No, F c E ein diehter euklidischer Unterraum der Codimension n.

(i) d(E)=n r ( F ) > No, (ii) d ( E ) = n - p c ~ m ( F ) = N o und fi l ( r )=p .

Beweis. Aufgrund yon Satz 5 ist E zu einem Standardraum aus Definition 7 isometrisch. Also folgt die Behauptung aus obiger Bemerkung.

K O R O L L A R 4. Sei E halbeinfaeh, dimE~> No, F e E ein euklidiseher Unterraum der Codimension n (also d(E) <<. n). Folgende Aussagen sind iiquivalent:

(i) F • = (0) und Fis t maximaler euklidiseher Unterraum yon E, (ii) d(E)=n.

Beweis. (ii)=~(i) ist klar aufgrund yon 1.3. Sei also (i) erftillt und d(E)<n. Dann kann man nach Satz 5 den Raum E auf einen Standardraum abbilden, wobei man F auf den ausgezeichneten Unterraum @ • V~ abbildet. Dieses Bild yon Fis t aber genau dann maximal euklidisch, wenn der Defekt des betreffenden Standardraumes n 1st. Widersprueh.

Wohl die bedeutendste Konsequenz aus Satz 5 ist die folgende Klassifikation der R/iume von endlichem Defekt fiber einem S-K6rper.

K O R O L L A R 5. Jeder Raum yon endlichem Defekt fiber einem S-K6rper ist iso- metriseh zu einem der Standardriiume aus Definition 7. Insbesondere ist jeder Raum E mit d (E)=n eine orthogonale Summe yon Raumen des Defekts 1.

Beweis. Ist E halbeinfach und d(E)=n, so enth~ilt E einen dichten euklidischen Unterraum F der Codimension n. Also bestimme man m s (F), 6~ (F) und bilde auf den entsprechenden Standardraum ab.

4. Anwendung auf Riiume iiber beliebigen K6rpern

SATZ 6. V sei ein dichter Unterraum der Codimension n < oo des k-Raumes ( E, ~), dimE~>No, V', E', 4' die entsprechenden Objekte nach Erweiterung des Skalarbe- reiches zu k ' ~ k. Dann gilt,

m,(V) = m,(V')[ 6,(V) 6,(V') J (1 ~ i ~ r)

Beweis. Durch Induktion nach r.


SATZ 7. F sei ein dichter euklidischer Unterraum der endlichen Codimension n in einem (halbeinfachen) k-Raum E (k beliebig, chark~ 2). Dann gilt:

(i) a ( E ) = n o m ( V ) > N o (ii) d ( E ) = n - p , : ~ m ( V ) = N o und 61(V)= p

(iii) V ist maximaler euklidischer Unterraum yon E genau dann wenn n = d(E).

Beweis. (i) ist klar, (iii) folgt aus (ii). Um (ii) zu beweisen, bezeichnen wir mit 17,/~ die Rfiume k@a V, [CakE, wobei / [~k der algebraische Abschluss von k sei (also ein S-K6rper). Ist also d (E)= n - p , so ist

d ( f f , ) = n - p - q < < . n - p und 6 1 ( 1 7 " ) = n - p - q = 6 1 ( V ) ,

aufgrund yon Satz 6 und Korollar 3; w~ihlen wir eine Orthogonalbasis (v,) in V, so gibt es demnach linear unabh/ingige Vektoren xl ..... x._p_q r V, die je auf genau ab- z/ihlbar vielen v~ nicht senkrecht stehen. Das liefert eine orthogonale Zerlegung

3.

v k ( , q . . . . . = v , �9 k ( x , . . . . , x . _ , _ , ) )

mit dim V2 = No. In 1,'2 | k (x~,..., x,_ v_ ~) k6nnen wir eine Orthogonalbasis einfiihren und sehen somit, dass d ( E ) < ~ n - p - q , woraus folgt: q=O.

KOROLLAR. Endlicher Defekt ist invariant gegeniiber Erweiterungen des Grund- ki~rpers:

a ( e ) = d ( ~ ' ~ e ) falls d(E)<oo.

Die Aussage des Korollars ist falsch ftir iiberabz~ihlbare Defekte, wie das Beispiel in [4] vor Satz III. 14. zeigt, in dem ein iiberabziihlbarer Defekt durch KOrpererweite- rung zu 1 wird. Das Interesse konzentriert sich daher auf R~iume E mit dichten euklidischen Unterr/iumen V von abz~ihlbarer Codimension; denn in diesem Falle versagen die Methoden sowohl des Beispiels in [4] wie auch unserer Arbeit. Wir stossen damit in den Bereich eines Problems, welches schon in [4] VIII.3. formuliert ist: gilt die Implikation , ,d(E')=O=~d(E)=O", wenn E' aus E durch Erweitern des Grundk6rpers entsteht?

III. Unterriiume endlicher Codimension in euklidischen Riiumen iiber S-Kiirpem

1. Resultate yon Gross [4] Durch eine explizite Konstruktion (und unabhiingig vom Grundkfrper) zeigt

man, dass jeder Raum F von endlichem Defekt stets in einen euklidischen Raum E eingebettet werden kann, in dem F • (0), V • totalisotrop und dim V" = d ( F ) ist (V ein maximaler euklidischer Unterraum kleinster Codimension in F), ferner E = F + V'. Beschrgnken wir uns auf S-K6rper, dann i s t der Beweis besonders einfach: wir

148 PAUL HAFNER

k6nnen uns in Anbetracht der Ergebnisse des vorigen Abschnitts damit begniigen, die Konst rukt ion f• Jr einen 0-normierten Standardraum zu den Invarianten codim V= 1 und S(V, F ) = dim F zu zeigen. Man setze

E = F G k (x), F = k (v,) �9 k (y), �9 (v,, v,) = 6,,, q~ (v~, y) = 1.

Nun definiert man eine Fortsetzung von ~ auf E • E durch

(v~, x) = 0, �9 (x, x) = 0, �9 (x, y) = 1.

Dann sieht man, dass (v~- x ) u (x + y ) u ( x - y ) eine Orthogonalbasis von E bildet und dass E halbeinfach • Einbettungen yon R~iumen mit beliebigen endlichem Defekt erh~ilt man als orthogonale Summen der hier beschriebenen (vgl. Korollar 3). R~iume F von endlichem Defekt k6nnen nur so in euklidische R~iume E eingebettet werden, dass codimeF>~d(F) ist. Bettet man so ein, dass codimEF=d(F), so ist immer V ~ totalisotrop und E = F 0 ) V • ([4], Korollar III.4.).

2. Einige Hilfsbetrachtungen SATZ 8. Sei E euklidisch, F ~ E ein dichter Unterraum endlicher Codimension,

V c F ein maximaler euklidischer Teilraum, cod• V< ~ . Dann gilt

dim V • = dim rad V • = d (F).

Beweis. a) Sei F = VOG, E= VOGG v z G x . F l = V • n G z = (0); da codimnG z =

= dim G = d(F), • dies nur m6glich, wenn dim V • <~ d(F). b) F G V z • euklidisch, denn es enth~ilt V ~ V l und • halbeinfach (1.5.); daher

• dim V • >1 d(F). c) Den Rest beweist die Bemerkung am Schluss yon 1. Nun • also unter den

Voraussetzungen yon Satz 8: E = V G G ~ V • mit F= VOG, V • totalisotrop, d i m G = d i m V j-. Wir sehen sofort, dass X durch V " c V •177 ersetzt werden kann: es muss ja codim~ V j-~- = dim V • gelten, aber wie man sieht • bereits

cod• + v~ { V•177 V• = dim G = dim V •

Ist der Grundk/Srper ein S-Kt~rper, so kann man dariiberhinaus V"~ V •177 totalisotrop

und senkrecht auf G w~ihlen. V• {V@ V"}~ • V z hat eine Orthogonalbasis (was man mit Hilfe eines Satzes

yon Ogg (I.6.) oder aufgrund der Inklusion V ~ V • V •177 einsieht), also • V@ V" euklidisch und V • dicht in V ~ V". Jeder Vektor aus V" steht also auf genau b~o Vektoren einer Orthogonalbasis yon V nicht senkrecht.

Die bisherigen 1[Iberlegungen zeigen nebenbei, wie eine Einbettung F c E be- schaffen • wenn F halbeinfach und von endlichem Defekt d(F), E euklidisch und codimEF endlich • es sei F •177 = F ~ r a d F • @ F", F • = r a d F • O F ' , V ~ F ein euklidischer Teilraum mit cod• V=d(F); F • • abgeschlossen, besitzt also nach Ogg


eine Orthogonalbasis; demnach ist Foo = F ~ F " euktidisch. Dann haben wir folgende Zerlegung fiir E:

.1_

E = (Foo 0) F ' ) @ Z,

wobei F@{V~nFoo}cFoo euklidisch ist (nach 1.5.). Aus Satz 8 folgt nun d i m { V ' n F o o ) = d ( F ) . Insbesondere sieht man, dasses schon einen euklidischen Unterraum F o von E gibt (n/imlich F | { V • n Foo)), in dem F minimale Codimension hat (namlich d(F)).

3. Ein Isomorphiesatz

SATZ 9. E, E seien euklidische R(iume gleicher iiberabzdhlbarer Dimension iiber einem S-K6rper. F e E , F c F~ seien Unterrgiume mit

(i) codimEF=codimeF< 0% (ii) F ~ F (Isometrie),

(iii) F • ~-F l (Isometrie), (iv) radF • = radF.

Dann gibt es eine Isometrie ~o : E E, die F in F iiberfiihrt. Bemerkung. Voraussetzung (iv) kann man in speziellen F/illen (z.B. F halbeinfach,

F • totalisotrop, F@F • orthogonal abgeschlossen) fallen lassen; man muss dann noch Gleichheit gewisser Invarianten yon F u n d F fordern. Der allgemeine Fall mit radF l ~ radF bereitet erhebliche Schwierigkeiten.

Beweis. a) Zun~ichst betrachten wir den Kaplansky-Verband, der zu F (bzw. F) geh6rt:

F 11 F + F •

F F l

l r adF

(o)

Man beachte, dass F J- und F j-, also auch radF und radF endlich-dimensional sind (wegen (i)). Es gibt eine Witt-Zerlegung

.L

E --- (rad F ~) X) ~) Eo, (*)

wobei r adFOX eine orthogonale Summe von dim radF hyperbolischen Ebenen ist;

150 PAUL HAFNER

Eo enth~ilt ein Komplement Fo von r adF in F sowie ein Komplement F1 von radF in F • Dasselbe gilt fiir g (mit Querstrichen). Auf die halbeinfachen R/iume Fo, F o (statt F, F), F 1, F1 (statt F • F z) und E o, E' o (statt E, E) treffen wieder die Voraus- setzungen unseres Satzes zu. Die Zerlegung (*) zeigt nun, dass es geniigt, den Satz unter der Voraussetzung

(iv)' tad F • = rad F = (0) zu beweisen.

b) Wir setzen also F • und damit auch F halbeinfach voraus. Der Kaplansky- Verband sieht dann so aus:

E=F•177

F I "LF ~ F • ~ Ft

(o)

Sofort ergibt sich eine weitere Reduktion des Problems: hat man den Satz ftir dichtes F bewiesen, so ist man fertig; denn dann hat man eine orthogonale Abbildung ~p' :F• l• welche F in F iiberftihrt. Die gesuchte Abbildung tp :E~ /~ erh/ilt man also durch Zusammensetzen von ~o' und einer Isometrie ~:F• •

c) Nun beweisen wir den Satz fiir dichtes F. Die Betrachtungen am Schluss von 2. erlauben uns eine Zerlegung

E = V ~ G ~ V •

mit F= V@ G, V~ c V li, V~@ G totalisotrop, V maximal euklidiseh. Analog zerlegen wir

E = 1 2 ~ G @ 1 7 i E ) g ",

wobei wir fiir 17 das Bild von V bei einer Isometrie ~:F~F nehmen (dann stimmen die Invarianten ms (V), ms (17), 6i (V), 6 i (17), berechnet in V~ G bzw. 17@ d iiberein). V~)G~ V" und 17@(7t~ t7" sind halbeinfache R[iume, in denen V bzw. 17 dicht liegt. Zu der Liste von Invarianten ms(V ), fit(V), m~(17), %(17), berechnet in V@G bzw. 17Od tritt nur noch

too(v) = mo(17) = und ,%(V) = ao(17) = dim V" = dim 17"

hinzu, wie ebenfalls die Betrachtungen unter 2. zeigen. Es ist also m6glich, eine normalisierte Basis von G ~ V" und d~)17" so zu w/ihlen, dass darin eine Basis von V ~ bzw. 17" enthalten ist (weil S(V, x)=m(V)=No ist fiir alle Vektoren xeV'). Man kann also eine Isometrie tp': V~)G~ V"~ IT~)G~ 17" finden mit tp' (V) = 17, tp '(G)= d,


q~' (V") = 17". G O V ~" und G O 17-~- sind isometrisch, weil sie halbei~afach und von maximalem Index sind. Also kann man cp' I G zu einer Isometrie q~":GO VI--*GO 171 fortsetzen. Nun setze man

~p [v+v"+o = ~' , ~olvi = qJ"lv-~.

Eine spezielle Situation von Satz 9 ist die, dass F I = (0) ist. Sie tritt insbesondere dann auf, wenn c o d i m e F = d ( F ) ; denn (mit den oben gebrauchten Bezeichnungen) V 1 ist dann nach [4], Korollar 111.4. totalisotrop und wenn E halbeinfach ist, muss also F I = V l n G 1 = (0) sein. Satz 9 sagt also unter dieser Voraussetzung, dass es im

wesentlichen nur eine Einbettung eines Raumes F yon endlichem Defekt in einen eukl id ischenRaum E gibt, bei welcher c o d i m r F = d(F). Dies gilt jedoch unabh~tngig vom Grundk/Srper k, wie folgender Satz zeigt.

SATZ 10. E, E seien euklidische Riiume gleicher iiberabzdhlbarer Dimension; F : E, F c ff~ seien halbeinfache Unterrdume mit

(i) F ~ F , (ii) codimr F = codimr F = d(F) = d (F) < oo.

Dann gibt es eine Isometrie cp : E--.E, die F in F iiberfiihrt. Beweis. Sei F = VOG, Ve in euklidischer Unterraum der Codimension d(F) . Auf-

grund von (i) hat man dann F = 170 G, wobei die entsprechenden R/iume isometrisch sind. Ferner ist E = V O G O V r, •= 170G017• V • sowie 17• sind beide halbeinfach und von maximalem Index d(F) , also isometrisch. Man kann nun die Iso- metrie G ~ G (Restriktion der durch (i) garantierten Isometrie) zu einer Isometrie GO VJ-..-,,GO t 7• so fortsetzen, dass V l in 17" tibergeht.

LITERATUR

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Eingegangcn den 30. Mai 1969

zur berechnung endlicher euklidischer defekte in quadratischen räumen

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