základy matematiky a matematika 1 pracovní listy k...

Základy matematiky a Matematika 1

pracovní listy k výuce

Ivona TomeckováKMDg FS VŠB-TU Ostrava

aktualizace 21. ríjna 2020

Základy matematiky a Matematika 1 - pracovní listy k výuce I.Tomeckové Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS VŠB-TU Ostrava

Ry1 - Císelné obory

Jde o specifické množiny císel. To je sice dosti zjednodušenévysvetlení, ale pro naše úcely bude dostacující.

Prehled znacení

Rozlišujeme císelné obory pro císla

prirozená N = {1, 2, 3, 4, . . .}(z angl. natural numbers, positive integers)

nezáporná N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .},

celá Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}(z nem. zahlen),

racionální Q =ZN

={ z

n : z ∈ Z, n ∈N}

,

(z it. quoziente),

iracionální napr. π = 3, 141 592 653 . . . Ludolfovo císlo,e = 2, 718 281 828 . . . Eulerovo císlo,√2 = 1, 414 213 562 . . .

(císla mající nekonecný neperiodický rozvoj),

reálná R = Q∪ iracionální císla,(z angl. real),

komplexní C = {a + bi : a, b ∈ R, i je komplexní jednotka},dle definice platí, že i2 = −1, tedynapr.

√−4 =

√4 · (−1) =

√4 ·√−1 = 2i

(z angl. complex).

Další množina císel

V mnoha vzorcích a tvrzeních se z duvodu jednoduššího zápisu za-vádí

rozšírená reálná osa R∗ nebo R = R∪ {−∞,+∞},

kde +∞ a −∞ jsou tzv. plus nekonecno a mínus nekonecno. S„nekonecny“ budeme pracovat v kurzu Matematika 1 v rámci in-finitezimálního poctu (limity).

Podmnožiny císelného oboru R - tzv. intervaly

Pro a, b ∈ R, standardne a < b, je znacení a definice intervalu

uzavreného 〈a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},

uzavreného zleva 〈a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

uzavreného zprava (a, b〉 = {x ∈ R : a < x ≤ b},

otevreného (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

Operace s intervaly

Pro A, B ⊂ R oznacíme

prunik A ∩ B = {x ∈ R : x ∈ A a zároven x ∈ B},

sjednocení A ∪ B = {x ∈ R : x ∈ A nebo x ∈ B},

rozdíl A\B = {x ∈ R : x ∈ A a zároven x /∈ B},

doplnek AC = {x ∈ R : x /∈ A}.


Ry2 - Algebraické výrazy

Reálný výraz je zápis složený z reálných císel, promenných, amatematických operací, prípadne závorek.

Definicní obor reálného výrazu je množina takových císel x ∈ R,pro která má daný výraz smysl v oboru reálných císel, tedy

• jmenovatel zlomku je 6= 0,

• pod sudou odmocninou je výraz ≥ 0.

Pripomenme výpoctové standardy, které lze pri zjednodušovánívýrazu použít. Je to

A. práce s mocninami pro vhodná a, r, s, pro která mají následujícívýrazy smysl∗, platí

ar · as = ar+s , (2.1)

ar · a−s =ar

as = ar−s = ar : as , (2.2)

(ar)s = ar · s , (2.3)

ars =

s√

ar =(

s√

a)r , (2.4)

a0 = 1 ∀a 6= 0 , (2.5)

∗ To je ale kulantne napsáno, že? Je tím receno, že následující výrazy nemajíspolecné požadavky na císla a, r, s. Pri rozhodování, jaká by ta císla mela být, jezapotrebí vzít v úvahu jak pravidlo o sudé odmocnine nezáporného císla, viz def.obor realného výrazu, tak fakt, že pri mocnení záporného základu musí být jasné,zda je mocnina sudá ci lichá (to kvuli znaménku výsledku). Jelikož cílem tohotokurzu je shrnutí stredoškolského uciva a ne puntickárská precizace probrané látky,pomechávám ono tvrzení o smyslu výrazu.

B. úprava a operace se zlomky pro vhodná a, b, c, d, pro která majínásledující výrazy smysl, platí

ab± c

d=

ad± cbbd

, (2.6)ab· c

d=

acbd

, (2.7)( ab

)−1=

ba

, (2.8)

C. mocniny dvojclenu a rozklady pro A, B ∈ R, platí

(A± B)2 = A2 ± 2AB + B2 , (2.9)

(A± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 , (2.10)

A2 − B2 = (A− B) (A + B) , (2.11)

A3 ± B3 = (A± B) (A2 ∓ AB + B2) . (2.12)

Malé objasnení zápisu vzorcu: Pokud se ve vzorci objevujeznaménko ± nebo ∓, pak jde vlasne o zkrácený zápis dvou témerstejných vzorecku, které se liší pouze znaménkem. Platí pravidlo, žebud’to cteme horní znaménka nebo dolní. Pokud se u nejakého clenuvzorce ve znaménku shodují, je prirozene uvedeno jen to jedno. Tedynapr. v (2.9) jsou uvedeny dva vzorce a to

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 a (A− B)2 = A2 − 2AB + B2

a napr. ve (2.12) jsou schovány vzorce

A3 + B3 =

= (A + B) (A2 − AB + B2)a

A3 − B3 =

= (A− B) (A2 + AB + B2) .


Ry3 - Algebraické výrazy – príklady

Zjednodušte následující výrazy a uved’te podmínky,za jakých mají v reálném oboru smysl (tzv.definicní obor výrazu).

• V1 =

(a +

1b

)−2(b · 1

a

)−3 (ab− 1

ab

)2(a− 1

b

)−3

[V1 = a

ab−1 , a 6= 0 6= b, ab 6= ±1]

• V2 =a− b

a2 + ab− 2

a+

1a + b

[V2 = −3b

a(a+b) , a 6= 0, a 6= −b]

• V3 =

√x 3√

x2 4√

x3

12√

x11

[V3 = x, x ∈ 〈0, ∞)

]

• V4 =

(3

√x√

xx−2 :

√x−3√x

x2

)−1

·

√x−3√x

3√

x2

[V4 = x−5, x > 0

]

• V5 =a2 + a− 2a4 − 3a3

((a + 2)2 − a2

4a2 − 4− 3

a2 − a

)[V5 = a+2

a4 , a 6∈ {−1, 0, 1, 3}]

• V6 =2x2 − 2x + 2

x2 − 25:

x3 + 1x2 − 4x− 5

[V6 = 2

x+5 , x 6∈ {−5,−1, 5}]

• V7 =

(√x− 1√

x

)·(√

x + 1√x− 1

+ 4√

x−√

x− 1√x + 1

)[V7 = 4x, x ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞)

]


Ry4 - Reálná funkce jedné promenné

Definice 4.1: Reálnou funkcí jedné reálné promenné rozumíme zo-brazení, které prvkum z jedné podmnožiny reálných císel jednoz-nacne priradí prvek z druhé podmnožiny R.První množina se nazývá definicní obor dané funkce a znací se D adruhá oborem hodnot a znací se H.

Pojmenujeme-li si funkci z definice písmenem f , pak lze význampredchozího ve zkratce zapsat

f : D f 7→ H f︸︷︷︸f je zobrazením z D f do H f

:︸︷︷︸takové, že

∀x ∈ Df ∃! y ∈ Hf︸︷︷︸libovolnému x z Df priradí jediné y z Hf .

V prubehu studia se potkáte se tremi zpusoby zadání funkce a tos funkcí zadanou

• explicitne, tj. y = f (x), napr. y =

= f (x)︷︸︸︷x2 + 1 (to bude asi nejcastejší

zpusob zadání funkcního predpisu),

• implicitne∗, tj. 0 = F(x, y), napr. 0 =

=F(x,y)︷︸︸︷x2 + y2 − 4 (využívá se pri

potrebe analyticky popsat urcitý typ krivek; uvedený príkladpopisuje kružnici se stredem v pocátku souradnic a polomeremdva),

• parametricky∗, tj.

{x = ϕ(t) ,y = ψ(t) ,

t ∈ T ⊆ R,

napr. popíšeme zde horní polovinu kružnice z príkladu v pred-

chozí odrážce

{x = 2 cos(t) ,y = 2 sin(t) ,

t ∈ 〈0, π) .

Ruzné zpusoby zadání uvádím nejen proto, aby jste fukcní predpisvubec poznali, ale i proto, že napríklad pri derivacích, kterými

se budeme zabývat v rámci kurzu Matematika 1, se bude s každýmtypem zadání funkce pracovat trochu jinak.

Definice 4.2: Grafem funkce z definice rozumíme množinu boduv rovine R2. Pro funkci pojmenovanou f grafem oznacíme{

[x, y] ∈ R2︸︷︷︸množina takových bodu

o dvou reálných složkách

:︸︷︷︸že

x ∈ Df︸︷︷︸první složka

je z Df

∧︸︷︷︸a zároven

y = f (x)︸︷︷︸druhá složka je jejím

obrazem pri zobrazení f

}.

∗ Pokud bych mela být puntickárská, pak toto vlastne není funkce. Podíve-jte se na graf kružnice z príkladu a rovnou uvidíte, že je zde porušena základnídefinice 4.1. K jednomu x existují témer vždy dve y. Shrnme to tak, že problematikazobrazení daných implicitne je ponekud širší a do tohoto kurzu se urcite nevleze.Oznacení „funkce daná implictitne“ se ale objevuje v celé rade literatury, tak to zdenechejme s vedomým lehkého významového posumu.


Ry5 - Strucný prehled elementárních funkcí – první blok

Toto je opravdu strucný prehled. Podrobnosti najdete napríklad veskriptech.

[A] Mocninné funkce

f (x) = xn, n ∈ Z, n 6= 0

• n = 1 . . . identita, tj. lineární zobrazení f (x) = x (grafem jeprímka s jednotkovou smernicí)

Df = R, Hf = R

• n > 1

�� n sudé . . . napr. f (x) = x2 (grafem je konvexní parabola)Df = R, Hf = 〈0;+∞)

�� n liché . . . napr. f (x) = x3 (grafem je kubická krivka)Df = R, Hf = R

• n < 0

�� n sudé . . . napr. f (x) = x−2 (grafem je hyperbola)Df = R\{0}, Hf = (0;+∞)

�� n liché . . . napr. f (x) = x−1 (grafem je hyperbola)Df = R\{0}, Hf = R\{0}

Doplnte grafy.



f (x) = x1n ≡ n√

x , (funkce xn a x1n jsou vždy pro stejné n k sobe in-

verzní ∗)

• n > 0

�� n sudé . . . napr. f (x) = x12 ≡√

xDf = 〈0;+∞), Hf = 〈0;+∞)

�� n liché . . . napr. f (x) = x13 ≡ 3√

xDf = R, Hf = R

• n < 0

�� n sudé . . . napr. f (x) = x−12 ≡ 1√

xDf = (0;+∞), Hf = (0;+∞)

�� n liché . . . napr. f (x) = x−11 ≡ 1

x ,viz dríve uvedená funkce f (x) = x−1

∗ Vždyt’ je tady napsáno cosi o nejaké inverzi, ackoli jsem se zatím o nínezmínila! Tím jsem (vedome) porušila pravidlo psaní ucebních textu. Toto jsouale jen pracovní listy, které si nenárokují býti skriptem, a v tomto prehledu mám vúmyslu shrnout všechny informace. Pokud si tedy ze strední školy pojem inverzenevybavujete, zatím jej preskocte. Až projdete a pochopíte odpovídající kapitoluo inverzních funkcích (list 15), budou vám tyto poznámky jasné a nebudete si jemuset do prehledu vpisovat.

Doplnte grafy.



[B] Význacné funkce složené z mocninných funkcí

B.1 Polynom n-tého rádu. Pro ai ∈ R ∀i = 0, 1, 2, . . . n, an 6= 0f (x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0.

Napríklad:

• konstantní polynom (konstantní funkce) f (x) = a0pr. f (x) = −2 grafem je prímka ‖ Ox,

• lineární polynom (lineární funkce) f (x) = a1x + a0pr. f (x) = 3x − 2 grafem je prímka, jejíž sklon jetan(ϕ)(= y

x ) = 3 a posunutí je −2,

• kvadratický polynom (kvadratická funkce)f (x) = A︸︷︷︸

a2

x2 + B︸︷︷︸a1

x + C︸︷︷︸a0

grafem je parabola, jejíž poloha se pozná podle korenu,pripomínám vzorec výpoctu x1,2 = −B±

√D

2A pro diskriminantD = B2 − 4 · AC,

�� D > 0 dva reálné korenydva spolecné body s Ox (prusecíky),

�� D = 0 jeden dvojnásobný korenjeden spolecný bod s Ox (bod dotyku),

�� D < 0 komplexní koren a koren komplexne sdruženýžádný spolecný bod s Ox (graf neprotíná Ox),

• polynom kubický, kvadrický, kvintický . . .tj. polynom 3. rádu, 4.rádu, 5.rádu . . .

Doplnte grafy, chybející definicní obory, oboryhodnot a koreny (prusecíky s Ox).



B.2 Racionální funkce podíl dvou polynomu

f (x) =P(x)Q(x)

,

kde P(x) a Q(x) jsou polynomy libovolného rádu,

Df = R\{koreny Q} = R\{x ∈ R : Q(x) = 0},= {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.

• Napr. lineární lomená funkce

f (x) =a1x + a0

b1x + b0.

Pro porádek uved’me, že ai, bi ∈ R, bi 6= 0, a1b0 − a0b1 6= 0.Grafem je rovnoosá hyperbola, jejíž polohu vuci souradnémusystému lze poznat z tzv. stredového tvaru

f (x) =k

x− x0+ y0 ⇒ S = [x0; y0] ,

na který lze puvodní tvar f vždy upravit. Platí potom, že osyhyperboly jsou rovnobežné se souradnými osami, jejich stred jev bode S a vetve hyperboly pro

�� k > 0 jsou v I. a III. kvadrantu,

�� k < 0 jsou v II. a IV. kvadrantu.

Pro konkrétní zadání doplnte graf, definicní obor,obor hodnot a prusecíky se souradnými osami.


Ry9 - Delení polynomu polynomem

Vzpomente si na ctvrtou nebo pátou trídu základní školy, kde jste seucili delit dvoj a více ciferným císlem. Delení polynomu polynomemprobíhá stejne, jen je potreba prijmout fakt, že místo cifer jsou v de-lenci i deliteli algebraické výrazy. Ty ale nebudou nijak složité, pro-tože, jak už bylo avizováno, pujde o polynomy. To jsou funkce, kterése lehce derivují∗, lehce integrují∗, lehce se zakresluje jejich graf a takése lehce delí.Proved’te delení

1.4x3 + 8x2

2x2 =

2.(

4x3 + 8x2 + 7)

:(

2x2)=

3.6x7 − 19x4 − 3−3x3 + 5

=[−2x4 + 3x− 15x+3

−3x3+5

]

∗ Derivace a integrace jsou pojmy, které nekterí studenti znají už ze stredníškoly, ostatní nad tím jen udivene zakroutí hlavou a mohou se tešit, že nezbývá jimjen se tešit, že v prubehu prvního rocníku vše pochopí.

Proved’te delení a zakreslete graf funkce vcetneasymptot.

1.x− 1x + 1

=[1− 2

x+1 , S = [−1; 1], k = −2]

2.3x + 3x + 2

=[3− 3

x+2 , S = [−2; 3], k = −3]

3.−2x− 8

5x=

[− 2

5 −8

5x , S = [0;−25 ], k = −8

5

]

4.−x− 32x− 3

=[− 1

2 −92

2x−3 , S = [32 ;−1

2 ], k = −94

]


Ry10 - Strucný prehled elementárních funkcí – druhý blok

[C] Exponenciální funkce

Pro pevne zvolený základ a > 0 a pro promenný exponent x ∈ R jef (x) = ax

Prubeh grafu závisí na hodnote základu a exponenciální funkce,nebot’ pro

• a ∈ (0; 1) jde o funkci klesající na celém Df = R,

• a = 1 je grafem prímka ‖ Ox,

• a ∈ (1;+∞) jde o funkci rostoucí na celém Df = R.

Poznamenejme, že se jako základ casto vyskytuje dríve zmínené (ira-cionální) Eulerovo císlo e = 2, 718 281 828 459 . . ..

[D] Logaritmické funkce

Pro pevne zvolený základ a ∈ (0; 1)∪ (1;+∞) a promenný argumentx ∈ (0;+∞) je

f (x) = loga xPrubeh grafu opet závisí na hodnote základu, protože pro

• a ∈ (0; 1) funkce je klesající na celém Df = (0;+∞),

• a ∈ (1;+∞) funkce je rostoucí na celém Df = (0;+∞).

Funkce exponenciální a logaritmické o stejném základu, který oz-nacujeme jako a, jsou vzájemne k sobe inverzní.

Zjednodušení Pri oznacení logaritmu se v ceských zemích používátento zkrácený zápis.

Presný zápis Zjednodušený zápis Názevloge x ln x prirozený logaritmus,log10 x log x dekadický logaritmus.

Doplnte grafy a chybející definicní obory a oboryhodnot na levé pulce listu.



Nakreslete grafy následujících funkcí vcetneasymptot a prusecíku se souradnými osami.

g1(x) = 2x − 1[[0; 1]→ [0; 0], rostoucí, Py = [0; 0],

asymptota y = −1]

g2(x) = 3−2x[[0; 1] zustává, „zrychlene“ klesající,

Py = [0; 1], asymptota y = 0]

g3(x) =(

13

)x+2 [[0; 1]→ [−2; 1], klesající, Py = [0; 1

9 ],

asymptota y = 0]

g4(x) = e10x−1[[0; 1]→ [ 1

10 ; 1], „zrychlene“ rostoucí,

Py = [0; 1e ], asymptota y = 0

]

g5(x) = (2, 5)3x + 1[[0; 1]→ [0; 2], „zrychlene“ rostoucí,

Py = [0; 2], asymptota y = 1]

Nakreslete grafy následujících funkcí vcetneasymptot. Prusecíky se souradnými osami urcete ažna h2 a h4 dobrovolne (povinne budou až po probránílogaritmických rovnic).

h1(x) = log 13(x) + 2

[[1; 0]→ [1; 2], klesající, Px = [9; 0],

asymptota x = 0]

h2(x) = ln(x + 2)[[1; 0]→ [−1; 0], rostoucí, Px = [−1; 0]

asymptota x = −2]

h3(x) = log 110(x− 1) + 3

[[1; 0]→ [2; 3], klesající, Px = [1 001; 0]

asymptota x = 1]

h4(x) = log(2x− 4)[[1; 0]→ [5

2 ; 0], „zrychlene“ rostoucí,

Px = [52 ; 0], asymptota x = 2

]



[E] Goniometrické funkce

Jsou to ctyri periodické funkce. To znamená, že se jejich funkcníhodnoty po jistém úseku opakují. Nejmenší takový úsek budemenazývat perioda. Délka periody goniometrických funkcí je násobkem(iracionálního) Ludolfova císla π = 3, 141 592 653 589 . . .. Patrí semfunkce

sinus f (x) = sin x, Df = R, Hf = 〈−1; 1〉,s periodou p = 2π,nulové body (koreny) x = kπ, k ∈ Z

kosinus f (x) = cos x, Df = R, Hf = 〈−1; 1〉,s periodou p = 2π,nulové body (koreny) x = (2k + 1)︸︷︷︸

liché násobky

π2 , k ∈ Z

tangens f (x) = tan x, Df = ∪k∈Z

(−π2 + kπ; π

2 + kπ), Hf = R,

s periodou p = π, rostoucí na Dfbody nespojitosti x = (2k + 1)︸︷︷︸

liché násobky

π2 , k ∈ Z

kotangens f (x) = cot x, Df = ∪k∈Z

(kπ; (k + 1)π), Hf = R,

s periodou p = π, klesající na Dfbody nespojitosti x = kπ, k ∈ Z

Toto by byly všechny elementární funkce spadající do stredoškol-ského uciva. Do toho vysokoškolského patrí napríklad funkce cyk-lometrické, kterým se budeme venovat na liste 16. Nejdríve totižbudeme potrebovat nejaké informace o inverzích (viz list 15).



Nakreslete grafy následujících funkcí vcetnekorenu a prípadných asymptot.

ϕ1(x) = 2 sin(x)

ϕ2(x) = cos(3x + π)

ϕ3(x) = cot(x− π

4)

ϕ4(x) = tan(x +π

4)

ϕ . . . je malé písmeno recké abecedy, které je na lince umísteno podobne jakoq, tedy krucánek nad carou a nožicka pod carou. Cte se „fí“. Jde o reckou verzipísmene f a proto se casto používá k oznacení funkcí.

Pripravte se na písemku.Nakreslete grafy následujících funkcí vcetnekorenu, prusecíku se souradnými osami a prípadnýchasymptot.

σ11(x) = log 12(x + 1)− 2 σ12(x) =

∣∣∣ log 12(x + 1)− 2

∣∣∣

σ21(x) =2x + 1x + 1

σ22(x) =∣∣∣∣2x + 1

x + 1

∣∣∣∣

σ31(x) = sin(2x)− 1 σ32(x) =∣∣∣ sin(2x)− 1

∣∣∣

σ41(x) = 4√

2x + 3− e σ42(x) =∣∣∣ 4√

2x + 3− e∣∣∣

σ . . . je malé písmeno recké abecedy, které je na lince umísteno podobne jako o, tedycelé leží na cáre. Cte se „sigma“. Jde o reckou verzi písmene s. V mechanice jímnapríklad budete oznacovat tenzor napetí, což je dusledkem anglického oznacení„stress“.


Ry14 - Vlastnosti funkcí

Shrneme si základní vlastnosti, které lze u funkcí pozorovat. V praxitotiž castokrát nepotrebujeme znát celkový prubeh funkce do nej-menších detailu, ale stací mít overenu jednu nebo dve vlastnosti, aby-chom mohli toto zobrazení v nejaké úvaze nebo postupu použít.

A. Omezenost

• Funkce f je omezená (též ohranicená), jestliže

∃C, D ∈ R , ∀x ∈ Df : C ≤ f (x) ≤ D .

�� Funkce f je omezená zdola, jestliže

∃C ∈ R , ∀x ∈ Df : C ≤ f (x) .

�� Funkce f je omezená shora, jestliže

∃D ∈ R , ∀x ∈ Df : f (x) ≤ D .

B. Monotónnost

• ryzí monotónnost

�� Funkce f je rostoucí (nebo také ryze rostoucí), jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) < f (x2) .

�� Funkce f je klesající (nebo také ryze klesající), jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) > f (x2) .

• monotónnost

�� Funkce f je neklesající, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) ≤ f (x2) .

�� Funkce f je nerostoucí, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2 : f (x1) ≥ f (x2) .

C. Parita

• Funkce f je sudá, jestliže

∀x ∈ Df : f (x) = f (−x) .

• Funkce f je lichá, jestliže

∀x ∈ Df : − f (x) = f (−x) .

• Funkce nemá žádnou paritu, jestliže není ani sudá ani lichá.

D. Periodicnost

• Funkce f je periodická s periodou p, jestliže

∃p ∈ R , p > 0 , ∀x ∈ Df : x + p ∈ Df ∧ f (x) = f (x + p) .

E. Prostota

• Funkce f je prostá, jestliže

∀x1, x2 ∈ Df , x1 6= x2 : f (x1) 6= f (x2) .

Poslední uvedená vlastnost je duležitá k tomu, abychom vubec mohliuvažovat inverzi k nejaké funkci. Co je to inverzní funkce a k cemu jedobrá najdete na dalším listu.


Ry15 - Inverzní funkce

Definice 15.3: Ke každé prosté funkci, oznacme ji f , definujemefunkci inverzní, oznacenou f−1 tak, že

f(

f−1(x))

= x a x = f−1 ( f (x)) . (15.2)

Poznámka 1 (o definicním oboru inverzní funkce) V príkladech simužete povšinout, že pro prostou funkci platí

Df−1 = Hf a Hf−1 = Df .

Poznámka 2 (o duležitosti vlastnosti prostoty) Kdybychom in-verzi funkce, která není prostá, hledali graficky∗, pak by byla výsled-kem krivka, která nemuže být grafem funkce (srovnejte s definicí naliste 4).

Poznámka 3 (co když funkce není prostá) Pokud funkce neníprostá a potrebujeme pracovat s inverzí, pak si z jejího definicníhooboru vybereme takový podinterval, kde je vlastnost prostotysplnena. Tento interval bude oborem hodnot budoucí inverznífunkce. Príkladem tohoto postupu budou na príštím liste funkce cyk-lometrické.

Upozornení: Znak f−1 je jen symbolem a v drtivé vetšine prípadu

platí f−1(x) 6= 1f (x)

!

∗ Ke krivce grafu, zakreslené do souradného systému, nalezneme graf inverznífunkce tak, že puvodní krivku preklopíme soumerne s osou I. a III. kvadrantu.Osou I. a III. kvadrantu rozumíme graf funkce f (x) = x.

Príklad: K funkci g(x) = 2x3 naleznete Dg, predpisg−1 a Dg−1. Zkoušku proved’te overením platnostirovností ve (13.2).

Rešené príklady na hledání predpisu inverzní funkce jsou uve-deny až za kapitolou o rovnicích a nerovnicích na listech 24 a 25.Ponechávám je na vašem samostudiu a prípadne jako téma do indi-viduálních konzultací.


Ry16 - Strucný prehled elementárních funkcí – tretí a posední blok

[F] Cyklometrické funkce

Jsou to funkce inverzní ke goniometrickým. Nicméne z listu 15víme, že nutne potrebujeme, aby ty goniometrické byly prosté, což jev prímém rozporu s jejich periodicností. V poznámce 3 na tomtéž listemáme ale návod, jak se v takovýchto prípadech postupuje. U každéfunkce si urcíme tu cást definicního oboru, kde je prostá, a vucitomuto intervalu definujeme príslušnou cyklometrickou funkci. Kekaždé goniometrické funkci tedy budeme mít jednu inverzní, tj. opetctyri funkce:

arkus sinus f (x) = arcsin x, Df = 〈−1 ; 1〉, Hf =⟨−π

2;

π

2

⟩,

funkce je omezená, rostoucí, lichá, neperiodická a prostá (vizlist císlo 14),

arkus kosinus f (x) = arccos x, Df = 〈−1 ; 1〉, Hf = 〈0 ; π〉,funkce je omezená, klesající, nemá žádnou paritu, neperiodickáa prostá,

arkus tangens f (x) = arctan x, Df = R, Hf =⟨−π

2;

π

2

⟩,

funkce je omezená, rostoucí, lichá, neperiodická a prostá,

arkus kotangens f (x) = arccot x, Df = R, Hf = 〈0 ; π〉.funkce je omezená, klesající, bez parity, neperiodická a prostá.

Doplnte grafy vcetne korenu.


Ry17 - Urcování vlastností funkcí - parita

Urcete paritu funkcí.

ψ1(x) =sin(x)− x cos(x)

x2 L

ψ2(x) = sinx− 1

xNP

ψ3(x) = arctan(x) + x3 L

ψ4(x) = cos(x3 − x) + 2x− 1 NP

ψ5(x) =2x − 12x + 1

L

ψ6(x) = lnx− 6x + 6

L

ψ7(x) =x2 + cos(x)− 2

x4 + 3S

ψ . . . je malé písmeno recké abecedy, které je na lince umísteno podobne jako q,tedy klicka je nad linkou a nožicka smeruje dolu pod cáru. Cte se „psí“. Jde oreckou verzi písmene p.


Ry18 - Urcování definicních oboru funkcí - jednodušší príklady

Pripomenme, že definicní obor reálné funkce jedné promenné jemnožina D ⊆ R. Pokud máme k dispozici graf funkce, pak je to cástreálné osy Ox, nad kterými je krivka grafu zakreslena.

Shrnme ty funkce, jejichž definicní obor je menší než R. Budou tozároven pravidla pro urcování definicních oboru funkcí pro prí-pad, kdy budeme znát jen analytický predpis a ne graf. Pro každousoucást složité funkce musí platit, že výraz

• ve jmenovateli zlomku je 6= 0,

• pod sudou odmocninou je ≥ 0,

• v argumentu logaritmu je > 0,

• v argumentu tangens je 6= (2k + 1)π2 , ∀k ∈ Z

(tedy odlišnost od lichých násobku císla π2 ),

• v argumentu kotangens je 6= kπ, ∀k ∈ Z

(tedy odlišnost od celocíselných násobku císla π)

• v argumentu arkus sinu je z intervalu 〈−1 ; 1〉,

• v argumentu arkus kosinu je z intervalu 〈−1 ; 1〉.

V prípade, že je predpis funkce složen z vícero výrazu, jejichždefinicní obor je jakkoli omezený, pak definicní obor celé funkce musízohlednovat každé z techto omezení. Jinými slovy je potreba naléztprunik všech dílcích definicních oboru.

Ukažme si jednodušší príklady na hledání definicních oboru funkcí.Až si v následující kapitole na listech 19 až 22 shrneme poznatkyo rešení rovnic a nerovnic, budeme je moci použít pri práci sesložitejšími funkcemi na liste 23. Pokud je Vám vše o rovnicích anerovnicích známo, bez ostychu na tento list preskocte.

Urcete definicní obory zadaných funkcí.

h1(x) = 4√

2− x[

Dh1 = (−∞; 2〉]

h2(x) = 4√

2− 3x− 6√

x + 2[

Dh2 = 〈−2; 23〉]

h3(x) =√

xx− 1

[Dh3 = 〈0; 1) ∪ (1;+∞)

]

h4(x) = 10x+1[

Dh4 = R]

h5(x) = 2 + ln(x + e)[

Dh5 = (−e;+∞)]

h6(x) =34+ 3√

x− π[

Dh6 = R]

h7(x) =π

6+ arctan(2x + 1)

[Dh7 = R

]

h8(x) = tan(1

2 x + π)− 2

[Dh8 = {x ∈ R : x 6= (2k− 1)π, k ∈ Z}

]


Ry19 - Rovnice a nerovnice

[A] Lineární rovnice a nerovnice

Jsou to ty nejjednodušší príklady, kde se neznámá vyskytuje pouzev první (a nulté) mocnine. Takové úlohy jste rešili už na základníškole. A protože príklady táhnou ...

Príklad Najdete všechna reálná rešení:

(a) 4x− 1 = 3 [x = 1] ,

(b)3a2− 2− a

10=

5 + a4

+45

[a = 53 ] ,

(c) 2(2y + 3)− 10 < 6(y− 2) [y ∈ (4, ∞)] .

[B] Kvadratická rovnice a nerovnice

Neznámá se vyskytuje v druhé mocnine (prípadne i v první a nulté).Postup rešení spocívá v úprave na tvar

Ax2 + Bx + C = 0

prípadne místo rovnítka s nejakým znakem nerovnosti >, <,≥,≤, 6=.Pri rešení je duležité znát koreny kvadratické funkce na levé strane

x1,2 =−B±

√D

2Apro diskriminant D = B2 − 4AC.

O tom, jaké ty koreny budou, rozhoduje znaménko D, což bylo roze-bráno na liste 7.

Príklad Najdete všechna rešení:

(a) x2 + 2x− 3 = 0 [2 reálná rešení x1 = 1, x2 = −3] ,

(b) x2 + 2x− 3 > 0 [x ∈ (−∞ ; −3) ∪ (1 ; ∞) ,nekonecne mnoho rešení ] .



[C] Rovnice ci nerovnice s levou stranou ve tvarusoucinu nebo podílu

Pokud po prípadné úprave zadání dostaneme na levé strane soucinzávorek, nebo podíl s neznámou ve jmenovateli, vždy porovnávámes nulou.

Príklad Najdete rešení:

(a)3− 2x2x− 5

< 0 [x ∈ (−∞ ; 32) ∪ (5

2 ; ∞)] ,

(b)3x− 73− 2x

≥ 2 [x ∈ (32 ; 13

7 〉] ,

(c)3x− 73− 2x

= 0 [x = 73 ] ,

(d) (3x− 7)(3− 2x) = 0 [x1 = 73 , x2 = 3

2 ] .

[D] Iracionální rovnice

Rovnice, kde se neznámá vyskytuje pod odmocninou. Rešení probíhávhodnou úpravou a následným umocnením. Posledním krokem alemužeme nechtíc rozšírít množinu rešení. Proto vždy provádíme zk-oušku dosazením do puvodního zadání.


(a) 3 +√

x− 1 = x [x = 5] ,

(b)√

x + 5 +√

x− 2 = 7 [x = 11] .



Další dva typy rovnic se prolínají. To znamená, že charakteristicképrvky jednoho typu se mohou v prubehu rešení objevit u druhéhotypu. Jde o exponenciální a logaritmické rovnice a vlastne by se všemohlo vlézt pod jeden spolecný nadpis. Zde je to uvedeno zvlášt’,protože to je prehlednejší.

[E] Exponenciální rovnice

Neznámá se objevuje v exponentu (mocnine) nejakého reálného císla.Nekdy je potreba na konci obe strany rovnice „zlogaritmovat“.Duvodem je fakt, že logaritmické a exponenciální funkce jsou vzá-jemne inverzní.


(a) 2x − 3 · 2x+1 + 5 · 2x+2 = 240 [x = 4] ,

(b) 32x + 3 · 3x − 4 = 0 [x = 0] ,

(c) 4x + 3x+3 = 4x+3 − 3x+2 [x = log 43

47 =

ln 47

ln 43] .

[F] Logaritmické rovnice

Nezapomenme, že výsledkem logaritmu je hodnota mocniny u pre-dem zvoleného základu:

logax = y ⇔ ay = x .

Shrnme pravidla, která z toho vyplývají:

loga(x · y) = loga x + loga y , (21.1)loga

xy = loga x− loga y , (21.2)

loga xy = y · loga x , (21.3)loga ay = y , loga a = 1 , loga 1 = 0 . (21.4)


(a) log2 x = 4 ,

(b) log x + 3 log x2 + 5 log x3 = 11 [x =√

10] ,

(c) log22 x + 2 log2 x− 3 = 0 [x1 = 1

8 , x2 = 2] .



[G] Goniometrické rovnice a nerovnice

Nejdríve shrneme nekolik standardních vzorecku. Stacit budou jen tynejznámejší.

tan(A) =sin(A)

cos(A),

cot(A) =cos(A)

sin(A),

tan(A) · cot(A) = 1 ,

sin2(A) + cos2(A) = 1 ,sin(2A) = 2 · sin(A) · cos(A) ,

cos(2A) = cos2(A)− sin2(A) .

Pri samotném rešení úloh se vyplatí perfektní znalost goniomet-rických funkcí, tedy jejich grafu a funkcních hodnot ve význacnýchbodech.

Príklady Najdete rešení:

(a) sin x = 0, 5 [x1 = 16 π + 2kπ , x2 = 5

6 π + 2kπ , k ∈ Z ] ,

(b) sin x > 0, 5 [x ∈⋃

k∈Z

(16 π + 2kπ ; 5

6 π + 2kπ) ] ,

(c) 2 sin2 x− sin x− 1 = 0 [x1 = 12 π + 2kπ , x2 = 7

6 π + 2kπ

x3 = 116 π + 2kπ , k ∈ Z ] ,

(d) cos 2x + cos x + 1 = 0 [x1 = 12 π + kπ , x2 = 2

3 π + 2kπ

x3 = 43 π + 2kπ , k ∈ Z ] .


Ry23 - Urcování definicních oboru funkcí - složitejší príklady

Na liste 18 jsou shrnuty všechny elementární funkce, jejichž definicníobor netvorí všechna reálná císla. Na stejném liste jsem také avizo-vala, že práve tady najdete složitejší funkcní predpisy, ke kterýmbudeme hledat definicní obor. Zde jsou.

Urcete definicní obor ke každému funkcnímupredpisu.

α(x) = arcsinx− 1

x

[Dα = 〈1

2 ;+∞)]

β(x) = arccos(x + 3)3

9

[Dβ = 〈−6; 0〉

]

γ(x) = tan(

x− π

4

) [Dγ =

{x ∈ R : x 6= 3

4 π + kπ, k ∈ Z}]

δ(x) = log3x− 6

x+ arcsin

x + 16

[Dδ = 〈−7; 0)

]

ε(x) = arctanx + 2x + 3

[Dε = R\{−3}

]

ω(x) = tan2x− π

6

[Dω =

{x ∈ R : x 6= (3k + 2)π, k ∈ Z

} ]

ζ(x) =√

1− 2 sin(2x)[

Dζ =⋃

k∈Z

〈 512 π + kπ ; 13

12 π + kπ〉]

ξ(x) = ln(

sin(

x +π

4)) [

Dξ =⋃

k∈Z

(− π

4 + 2kπ ; 34 π + 2kπ

)]

Príklad špatne definované funkce:

ρ(x) = log3

(log3

(sin(x)

)) [Dρ = ∅

]

...a príklad pro odvážné:

χ(x) = log3

(log0,5

(sin(x)

))[Dχ =

⋃k∈Z

(2kπ ; π

2 + 2kπ)∪(

π2 + 2kπ ; π + 2kπ

) ]

ω . . . je malé písmeno recké abecedy, které je na lince umísteno podobne jako a,tedy leží na lince Cte se „omega“.χ . . . je písmeno recké abecedy, které se píše ve vetší cásti nad linkou a kousek pod.Cte se „chí“.Jak pojmenovat další zde uvedená recká písmena je možno nalézt na liste 34.


Ry24 - Hledání inverzní funkce

Ukažme si, jak nalézt predpis inverzní funkce analyticky. Co všechnoz predchozího budeme potrebovat? Krome informací o tom, covlastne inverzní funkce je, cemuž jsme se venovali na liste 15, použi-jeme znalosti o rešení rovnic a nerovnic shrnuté na listech 19 až 22.Témer urcite v príhladech ocekávejte i otázku na definicní obor, vizlisty 18 a 23.K rešení príkladu se zadáním typu „najdete predpis inverzní funkce“je nezbytne nutné znát dvojice funkcí vzájemne k sobe inverzních.Tuto informaci lze vycíst z prehledu elementárních funkcí na listech5 až 12 a 16. Shrnme si, že inverzní jsou k sobe:

•mocnina a odmocnina stejného rádu n xn n√

x,(pozor na definicní obor!)

• exponenciála a logaritmus o stejném základe a ax loga x,10x log x ,ex ln x,

• goniometrické a cyklometrické funkce sin x arcsin x,(pozor na definicní obor!) cos x arccos x,

tan x arctan x,cot x arccot x.

Pri hledání predpisu inverzní funkce si musíme pohlídat, že nazacátku máme co do cinení s prostou funkcí. Pokud funkce neníprostá (napr. ryze monotónní), pak je zapotrebí nalézt nejakou cástdefinicního oboru, kde daná funkce prostá je. V príkladech tuto cástdefinicního oboru budeme znacit D a príslušný obor hodnotH.

Rešené príkladyNajdete predpis funkce inverzní k funkci

[a] f (x) = 10x+1 .

1. Zapíšeme zadání funkcního predpisu do tvaruf : y = 10x+1.

2. Zameníme znaky x a y, tedy x = 10y+1.

3. Postupnými úpravami pripravené rovnice neznámou y vyjádrí-me:

x = 10y+1 | log( ) aplikujeme inverzní| funkci - logaritmus ,

log(x) = log(

10y+1)| inverzní funkce se vyruší ,

log(x) = y + 1 | − 1 ,log(x)− 1 = y .

4. Záver: f−1(x) = log(x)− 1.

Funkce f je na celém definicním oboru ryze rostoucí (nakreslete sijejí graf) a tedy prostá. Proto položíme D = Df = R a H = H f =(0 ; +∞).

[b] g(x) = 2 sin(2x− π) .

1. Zapíšeme zadání funkcního predpisu do tvarug : y = 2 sin(2x− π).

2. Zameníme znaky x a y, tedy x = 2 sin(2y− π).


x = 2 sin(2y− π) | · 12

osamostatníme| funkci sinus ,


Ry25 - Hledání inverzní funkce

x2= sin(2y− π) | arcsin( ) aplikujeme in-

| verzní funkci| arkus sinus ,

arcsin(x

2

)= arcsin (sin(2y− π)) | inverzní funkce

| se vyruší ,

arcsin(x

2

)= 2y− π |+ π ,

arcsin(x

2

)+ π = 2y | · 1

2,

12

arcsin(x

2

)+

π

2= y .

4. Záver: g−1(x) = 12 arcsin

( x2

)+ π

2 .

Funkce g je periodická. Tedy urcite není prostá na celém definicnímoboru. Využijeme znalosti ze základu matematiky (transfornacegrafu elementárních funkcí) a vybereme jeden interval, kde je gprostá D = 〈1

4 π ; 34 π〉 ⊂ Dg aH = 〈−2 ; 2〉.

[c] h(x) = ln√

ex + 1 .

1. Zapíšeme zadání funkcního predpisu do tvaruh : y = ln

√ex + 1.

2. Zameníme znaky x a y, tedy x = ln√

ey + 1.


x = ln√

ey + 1 |e( ) aplikujeme in-| verzní funkci| tj. exponenciální ,

ex = eln√

ey+1 | inverzní funkce napravo| se vyruší ,

ex =√

ey + 1 |( )2 opet aplikujeme| inverzní funkci| tentokrát mocninu ,

e2x =(√

ey + 1)2| inverzní funkce napravo| se vyruší ,

e2x = ey + 1 | − 1

e2x − 1 = ey | ln( ) naposledy aplikujeme| inverzní funkci| tj. logaritmus ,

ln(

e2x − 1)= ln (ey) | inverzní funkce napravo

| se vyruší ,

ln(

e2x − 1)= y .

4. Záver: h−1(x) = ln(e2x − 1

).

V predpisu funkce h je výraz pod odmocninou kladný pro všechnax ∈ R (stací si nacrtnout graf). Odmocnina z kladného císla je kladnáa tedy výraz v argumentu prirozeného logaritmu je pro libovolnéx ∈ R kladné císlo, což plne odpovídá definicnímu oboru logaritmu.Navíc logaritmus je funkce prostá. Tedy záver je, že D = Dh = R aH = Hh = (0 ; +∞).


Ry26 - Infinitezimální pocet

Pod tento nadpis zahrneme jak pojem limita funkce tak vlastnost spo-jitosti funkce.

Óda na limitu. Porozumení pojmu limity je zásadním krokemk pochopení prevážné cásti matematiky, se kterou se v prubehu stu-dia setkáte. Proto doporucuji venovat se tomuto tématu s náležitoupeclivostí.

Limita funkce

Nejdríve si pojmenujeme množinu reálných bodu, které jsou blízkéjednomu predem zvolenému prvku z R, pro jehož oznacení použi-jeme písmeno A nebo písmeno c.

Definice 26.4:Pro ε ∈ R, ε > 0 a pro A ∈ R interval (A− ε ; A + ε) nazvemeε–okolím bodu A a zkrácene jej oznacíme Uε(A).Pro δ ∈ R, δ > 0 a pro cßR nazveme množinu (c− δ ; c) ∪ (c ; c + δ)redukovaným δ–okolím bodu c a zkrácene oznacíme Pδ(c).

Až ted’ si mužeme zadefinovat onen pred chvílí opevovaný pojemlimity.

Definice 26.5:Rekneme, že funkce f má v bode c limitu A, jestliže

∀Uε(A)︸︷︷︸k libovolnémuε–okolí císla A

∃Pδ(c)︸︷︷︸existuje nejaké

redukovanéδ–okolí bodu c

(presneji Pδ(c) ⊂ Df )

∀x ∈ Pδ(c) ∩ Df︸︷︷︸tak, že pro

libovolný prvekz Pδ(c), který zároven

patrí do Df ,

:︸︷︷︸platí, že

f (x) ∈ Uε(A).︸︷︷︸jeho funkcní

hodnota padnedo ε–okolí bodu A, kterébylo zvoleno na zacátku.

Poznámka: V predchozí definici má duležitý význam poradí. Pokudbudeme vysvetlovat pojem limity na grafu funkce, pak nejdríve li-bovolne zvolíme ε–okolí bodu A na ose y a potom následne k nemu

vybereme takové Pδ(c), aby se funkcní hodnoty bodu z Pδ(c)„vlezly“ do Uε(A). Podrobneji si ukážeme na prednášce.

Pokud se rozhodneme zavést pojem limity i v hranicních bodechdefinicního oboru, budeme potrebovat i tzv. jednostranná okolí bodu.Tyto body nemusí nezbytne být jen reálná císla, ale mužeme uvažovatlibovolný prvek z tzv. rozšírené reálné osy R∗ = 〈−∞ ; +∞〉.

Definice 26.6:Pro δ ∈ R, δ > 0 interval

• (c ; c + δ) nazveme pravostranným redukovaným δ–okolímbodu c ∈ R∗ a zkrácene oznacíme P+

δ (c),

• (c − δ ; c) nazveme levostranným redukovaným δ–okolímbodu c ∈ R∗ a zkrácene oznacíme P−δ (c).

V definici limity na vedlejší pulce listu mužeme použít i jednostrannáokolí a to vlastních bodu (z R) i nevlastních bodu (−∞ nebo +∞)definovat jednostrannou limitu, která muže být jak vlastní (z R) taknevlastní (−∞ nebo +∞). Podrobnejší informace najdete ve skriptech,která vám doporucuji na svých webových stránkách.

Spojitost funkce

Jednoduše receno: spojitou funkci poznáme tak, že jsme schopni za-kreslit její graf jedinou carou, aniž zvedneme tužku z papíru. Kmatematickému vyjádrení použijeme práve nabytou znalost limit.

Definice 26.7: Funkci f nazveme spojitou v bode c, který patrí do je-jího definicního oboru, jestliže lim

x→cf (x) = f (c) .

Funkci nazveme spojitou na množine M ⊆ Df , jestliže je spojitáv každém bode množiny M.


Ry27 - Infinitezimální pocet - výpocet limit

Protože v infinitezimálním poctu zacínáme pracovat se symboly +∞a −∞, shrnme si, jak se s nimi pracuje a co lze usoudit o výsledkuaritmetických operací, ve kterých se vyskytují. Ocekávat lze bud’tohodnotu z R∗ nebo tak zvaný neurcitý výraz.

•Aritmetické oprace s nevlastními hodnotami. Pro libovolné císloc ∈ R, c > 0, platí

+∞ + ∞ = ∞ , (+∞) · (+∞) = +∞ , c · (+∞) = +∞ ,−∞−∞ = −∞ , (±∞) · (∓∞) = −∞ , −c · (+∞) = −∞ ,+∞± c = +∞ , (−∞) · (−∞) = +∞ , c · (−∞) = −∞ ,−∞± c = −∞ , −c · (−∞) = +∞ .

• Pri výpoctu limit také platí, že

1+∞

= 0 + (nula zprava) ,1

0+= +∞ ,

1−∞

= 0− (nula zleva) ,1

0− = −∞ .

(Podrobneji si vysvetlíme na prednášce.)

• Neurcité výrazy (znak +∞ je zapsán bez znaménka, tj. ∞)

0 ·∞ ,∞∞

, ∞−∞ , 1∞ , 0∞ , ∞0 ,cokoli

0.

Obecný postup pri výpoctu limit

Hledáme limitu

A = limx→c

f (x).

1. Zkusmo do predpisu funkce f dosadíme za x hodnotu c.

2. Vyjde-li

(a) hodnota, která se nenachází v prehledu neurcitých výrazu,pak limita A je rovna vypoctené hodnote f (c). Pokudnavíc je f (c) ∈ R, pak je funkce f v bode c spojitá;

(b) neurcitý výraz, pak je potreba rešit pomocí nauceného pos-tupu pro daný typ limity.

Typy limit a jejich rešení

Ješte než pristoupím k výctu typu limit a obecnému návodu, jak pri je-jich rešení postupovat, uvedu (hypertextové) odkazy na jednu sbírkupríkladu.

[1. ] Príklady k procvicení najdete ve sbírce príkladu

[2. ] Svuj postup si zkontrolujte spuštením ozvuceného videa prís-lušného rešeného príkladu (posunte se asi do jedné tretinystránky; odkazem pro spuštení videa je slovo limita u každéhopríkladu).

Ted’ už mužeme s oním výctem klidne zacít. Jednotlivé typy limit bu-dou ocíslovány, ale to je jen kvuli prehlednosti a k rešení samotnýchpríkladu to podstatné nebude.

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/3.pdf

http://mdg.vsb.cz/portal/m1/fun.php


Ry28 - Infinitezimální pocet - typy limit

Typ I Po dosazení za x dostaneme

limx→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)lim

x→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)lim

x→±∞

polynompolynom

(=

∞∞

)Rešení:1. zpusob krok 1) Vybrat nejvetší mocninu ze jmenovatele a podelit jí

citatele i jmenovatele,krok 2) využít znalosti grafu funkcí x−1, x−2, . . .

2. zpusob Použít l’Hospitalovo pravidlo tj. derivace zvlášt’ citatelea zvlášt’ jmenovatele. (Zrejme bude zapotrebí pou-žít jej vícekrát za sebou.)

Procvicení: sbírka príkladu (kapitola 3.2) príklad 10 a 11.

Typ II Pro císlo c ∈ Rc ∈ Rc ∈ R dostaneme nekterý z neurcitých výrazu

limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c

(rozdíl odmocnin)(rozdíl odmocnin)

(=

00

)limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c


(=

00

)limx→c

polynompolynom

(=

00

)limx→c


(=

00

)Tedy c je korenem citatele i jmenovatele.

Rešení:krok 1) Vytknout z citatele i jmenovatele korenového

cinitele (x− c) a pokrátit jím.krok 2a) Pokud se ve zlomku vyskytují jen polynomy, pak vydelit

korenovým cinitelem (x− c) napríklad pomocí Hornero-va schématu.

Procvicení: sbírka príkladu (kapitola 3, cást 2) príklad 3.

krok 2b) Pokud se ve zlomku vyskytují odmocniny, pak roznásobitpodle nekterého ze vzorcu

(A− B) · (A + B) = A2 − B2 ,

(A− B) · (A2 + A · B + B2) = A3 − B3 ,

(A + B) · (A2 − A · B + B2) = A3 + B3 .

Procvicení: sbírka príkladu (kapitola 3.2) príklad 4.

Typ III Pro císlo c ∈ Rc ∈ Rc ∈ R dostaneme neurcitý výraz

limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)limx→c

polynompolynom

(=

cokoli0

)Tedy c je korenem jmenovatele.

Rešení:Pokud je c 6= 0, zavést substituci y = x− c. Dále upravit tak, abybylo možné rozhodnout o limite zprava a limite zleva na základeznalosti grafu funkcí 1

x a 1x2 .


Typ IV Po dosazení dostaneme

limx→±∞

(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo(=

00

)lim

x→±∞(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo

(=

00

)lim

x→±∞(rozdíl odmocnin) (= ∞−∞) nebo

(=

00

)Rešení:

Roznásobit podle nekterého ze vzorcu uvedených u Typu II.

Procvicení: sbírka príkladu (kapitola 3.2) príklad 12 pro ∞−∞ apríklad 4 pro 0

0 .


Ry29 - Infinitezimální pocet - typy limit

Typ V Po dosazení c ∈ R dostaneme

limx→c

(goniometrické funkce)(=

00

)nebo

(∞∞

)limx→c


00

)nebo

(∞∞

)limx→c


00

)nebo

(∞∞

)Rešení:1. zpusob krok 1) Zapsat tan a cot s pomocí funkcí sin a cos,

krok 2) pokud c 6= 0, pak substituce y = x− c,krok 3) použít vzorec

limA→0

sin(A)

A= 1 .

2. zpusob Použít l’Hospitalovo pravidlo, tj. derivace zvlášt’ citatelea zvlášt’ jmenovatele.

Procvicení: sbírka príkladu (kapitola 3.2) príklad 6.Zadání v príkladu 7 jsou na typ II(b) a V dohromady.Zadání v príkladu 8 jsou na typ II(a) a V dohromady.

Typ VI Po dosazení c ∈ R∗ za x dostaneme

limx→c

. . . (= 1∞)limx→c

. . . (= 1∞)limx→c

. . . (= 1∞)

Rešení:Najít vhodnou substituci tak, aby bylo možné použít nekterý zevzorcu

limy→∞

(1 +

1y

)y= e nebo lim

y→0

(1 + y

) 1y= e .



Ry30 - Infinitezimální pocet - použití limit

Jak už z toho, co jste slyšeli na prednášce, mužete ocekávat, výpoctylimit nám pomohou analyzovat chování funkce, vcetne jejího grafu,v okolí hranicních bodu definicního oboru. Mám tím na mysli jakvnejší hranici, tak body nespojitosti. Stežejní charakteristikou tohotochování je tzv. asymptota, což je pomocná prímka, k níž se graf ana-lyzované funkce stále více a více približuje.

I. Urcení vertikálních a horizontálních asymptotNapríklad

limx→π+

cot(x) = +∞a

limx→π−

cot(x) = −∞

tj. asymptotou je prímka kolmá k ose x,procházející bodem nespojitosti x = π.

Ríkáme jí vertikální asymptota.

Nebo jiný príklad

limx→−∞

(ex + 1) = 1} tj. asymptotou je prímka rovnobežná s osou x,

procházející bodem [0, 1]. Jde o horizontálníasymptotu, což navíc bude speciální prípad

asymptot z bodu II.

Výpoctem limit tedy najdeme místa vertikálních asymptot v bodechnespojitosti a prípadne horizontálních asymptot v +∞ nebo −∞.

Vyvstává otázka, co když onou asymptotou bude prímka, která nenírovnobežná ani s jednou ze souradných os.

II. Urcení asymptot svírajících s osou x úhel z intervalu 〈0 ; π2 )

Hledejme císla a a b tak, aby prímkap : y = ax + b .

byla asymptotou funkce f v nekterém z nevlastních bodu +∞ nebo−∞.

• Hledáme-li asymptotu pro x → +∞ , pak a a b vypocteme jako

a = limx→+∞

f (x)x

, (30.5)

b = limx→+∞

( f (x)− ax)︸︷︷︸za a dosazujeme

hodnotuvypoctenou ve (30.5)

. (30.6)

• Analogicky lze urcit asymptotu pro x → −∞

a = limx→−∞

f (x)x

, (30.7)

b = limx→−∞

( f (x)− ax)︸︷︷︸za a dosazujeme

hodnotuvypoctenou ve (30.7)

. (30.8)

Pozor! Pokud limita a nebo b vyjde nevlastní, graf v danémnekonecnu asymptotu nemá.Poznamenejme, že prípad, kdy vyjde a = 0 a b ∈ R, odpovídá hori-zontální asymptote a lze ji vypocítat prímo jako lim f (x), viz I.

Príklad: Charakterizujte chování funkcních hodnotfunkce f (x) = x + arctan x

2 v krajních bodech definicní-ho oboru.Shrnutí výsledku rešení: Df = (−∞ ; +∞),

limx→+∞

f (x) = +∞ , limx→−∞

f (x) = −∞ ,

a1 = limx→+∞

f (x)x

= 1 , a2 = limx→−∞

f (x)x

= 1 ,

b1 = limx→+∞

( f (x)− ax) =π

2, b2 = lim

x→−∞( f (x)− ax) = −π

2,

p1 : y = x +π

2, p2 : y = x− π

2.


Ry31 - Diferenciální pocet jako soucást infinitezimálního poctu

V rámci analýzy reálných funkcí jedné reálné promenné, kteráje soucástí kurzu matematiky 1, budeme funkcím prirazovat jinéfunkce. Ty odvodíme z tech prvních podle pevne daných pravidel.Jestliže budeme pracovat s funkcí pojmenovanou f , pak onuodvozenou funkci pojmenujeme f ′ a budeme jí ríkat derivace (tj.odvozenina). Pod nadpis diferenciální pocet spadá vše, co se derivacítýká.

Derivace funkce

Motivacní príklady si uvedeme na prednášce, nebo si je projdete vliterature. Spolecná úvaha vyústí v následující definici.

Definice 31.8: (Derivace funkce v bode) Necht’ je reálná funkce fdefinovaná na nejakém okolí Uδ(x0).Pokud existuje vlastní (tj. konecná) limita

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h, (31.2)

rekneme, že funkce f má v bode x0 vlastní derivaci a výslednouhodnotu oznacíme f ′(x0) .

Poznámka Uvedomme si, že derivace funkce v bode je reálné císlo, tj.hodnota limity (31.2).Další definice Ve skriptech najdete další pojmy a následne tvrzení,která se k nim vztahují. Shrnme si, že

• pokud vychází hodnota limity (31.2) nevlastní, pak mluvíme onevlastní derivaci funkce f v bode x0, a

• pokud limita (31.2) neexistuje, mohou existovat alespon prís-lušné jednostranné limity pro h → 0+ a h → 0−. Potom sepoužívají pojmy derivace funkce f v bode x0 zprava f ′+(x0) a

derivace funkce f v bode x0 zleva f ′−(x0) .

Poznámka (o lokálnosti derivace) Derivaci jsme definovali pomocílimit. Jde tedy o lokální pojem stejne jako všechno ostatní, co je nebobude pres limity definováno. Uvedomme si, že „limitní chování“ jechování na nejakém „dostatecne malém“ okolí - v malé lokalite.

Definice 31.9: (Derivace funkce na množine) Pokud existuje vlastníderivace funkce f v každém bode množiny M ⊆ Df , pak ríkáme, žefunkce f má derivaci na množine M.Funkci, jejíž funkcní hodnoty jsou práve ony hodnoty derivacíodpovídající jednotlivým x ∈ M, znacíme f ′ = f ′(x) .

Zdurazneme, že derivace funkce na množine M je funkce (srovne-jte s definicí 31.2 derivace v bode). Tedy každému x0 z množiny Mpriradíme hodnotu f ′(x0). A tuto funkci znacíme f ′ : M 7→ R.

Pokud bychom tedy podle (31.2) peclive vyhodnotili každou limitupro každou elementární funkci, pak dostaneme následující vzorce proderivaci elementárních funkcí.

(konst)′ = 0 konst je zkratka libovolné reálné konstanty,

(xn)′ = n · xn−1 x ∈ R, n ∈N,

(xα)′ = α · xα−1 x ∈ (0;+∞), α ∈ R,

(ex)′ = ex x ∈ R,

(ax)′ = ax · ln a x ∈ R, a ∈ (0;+∞),

(ln x)′ =1x

x ∈ (0;+∞),

(loga x)′ =1

x ln ax ∈ (0;+∞), a ∈ (0; 1) ∪ (1;+∞),


Ry32 - Diferenciální pocet - výpocet derivací

(sin x)′ = cos x x ∈ R,

(cos x)′ = − sin x x ∈ R,

(tan x)′ =1

cos2 xx ∈

⋃k∈N

(−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

),

(cot x)′ =−1

sin2 xx ∈

⋃k∈N

(kπ; π + kπ),

(arcsin x)′ =1√

1− x2x ∈ (−1; 1),

(arccos x)′ =−1√1− x2

x ∈ (−1; 1),

(arctan x)′ =1

1 + x2 x ∈ R,

(arccot x)′ =−1

1 + x2 x ∈ R.

Navíc lze odvodit i tato pravidla derivování, kdy pro dané funkceu = u(x), v = v(x) a F = F (y) platí, že

násobek funkce kostantou (konst · u)′ = konst · u′ ,soucet/rozdíl funkcí (u± v)′ = u′ ± v′ ,

složená funkce(F(v(x)

))′= F ′

(v)· v′ ,

soucin funkcí (u · v)′ = u′ · v + u · v′ ,

podíl funkcí(u

v

)′=

u′ · v− u · v′(v)2 ,

funkce umocnená na funkci (uv)′ = uv ·(

v′ · ln(u) + v · u′

u

).

Definice 32.10: (Derivace vyšších rádu) Mejme funkci f , která má namnožine M derivaci f ′. Jestliže funkce f ′ má v bode x0 ∈ M vlastnínebo nevlastní derivaci, ríkáme, že funkce f má v x0 druhou derivacia její hodnotou oznacíme f ′′(x0) , tj.

f ′′(x0) = limh→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h.

Analogicky jako v prípade první derivace na množine lze také defi-novat druhou derivaci na množine f ′′ : M 7→ R.

A podobne mužeme dále definovat• derivaci tretího rádu f ′′′ : M 7→ R, obcas se zapisuje f (3),• derivaci ctvrtého rádu f ′ν : M 7→ R, obcas se zapisuje f (4),• . . . atd.

Derivace a jejich rešení

Opet si uved’me (hypertextové) odkazy na sbírku príkladu a ukázkyrešení.

[1. ] Príklady k procvicení najdete ve sbírce príkladu

[2. ] Svuj postup si zkontrolujte spuštením ozvuceného videa príslušnéhorešeného príkladu (zacátek asi v jedné ctvrtine stránky).

http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Sbirka_uloh/pdf/4.pdf

http://mdg.vsb.cz/portal/m1/dp.php



Vypoctete derivace následujících funkcí azopakujte si písmena recké abecedy.

α(x) = x5 alfa

β(x) = x5 + x3 +1x2 +

53− π beta

γ(x) = −5x5 − 0, 5 · x3 + 21x2 + 3

√x− 5, 2

14√

x− 2π2 +

√e gama

δ(x) = log2(x) delta

ε(x) = log2(x) + sin(x) + cos(x) +(

23

)xepsilon

ζ(x) = −3 log2(x) +52

sin(x)− π

6· cos(x) + 2e ·

(23

)xzéta

η(x) =12

arctan(x)− 2π · arccos(x)− 2ex éta

ϑ(x) = (2x + 1)2 théta

κ(x) =1

2x + 1− e

2kapa

λ(x) = 3√

x2 − 1− 2 ·√

5− x lambda

µ(x) =3π

2sin(x2 + 4)− 2, 5 · tan(

√x + 1)− 21−x3

mí

ν(x) = sin(x) ·√

x ný

ξ(x) = x2 · sin2(x) xí

$(x) = (x2 − 2x)2 · sin(x +π

2) ró

σ(x) =2x + 2x2 − 1

sigma

τ(x) =32x−5

ln xtau



Funkce umocnená na funkci(

u(x))v(x)

Pro výpocet derivace je zapotrebí si uvedomit dva fakty.

• Pripomenme si derivaci exponenciální funkce. Pokud jakozáklad zvolíme Eulerovu konstantu e ≈ 2, 72, pak (ex)′ = ex.Výhoda volby tohoto základu, jestliže máme derivovat, je tedyocividná. Pro exponencální funkci složenou s nejakou dalšífunkcí ϕ (obcas ji na cviceních nazývám transformací) platí, žederivace (

eϕ(x))′

= eϕ(x)︸︷︷︸derivace vnejší

funkce e( )

· ϕ′(x)︸︷︷︸derivace vnitrní

funkce ϕ

.

• Libovolnou funkci typu f (x) =(

u(x))v(x)

lze ekvivalentnezapsat jako

f (x) = ev(x)·ln(

u(x))

tedy jako exponenciální funkci o základu e.

Spojením techto dvou informací dojdeme k možnostem derivace

funkcí typu(

u(x))v(x)

.

Derivujte.

f1(x) = x2x[

f ′1(x) = 2x2x(ln(x) + 1)]

f2(x) = (x2 − 4)cos(x)[f ′2(x) = (x2 − 4)cos(x)

(− sin(x) ln(x2 − 4) + cos(x) 2x

x2−4

)]

Funkce daná parametricky Jak vypadá zobrazení dané paramet-ricky je ukázáno napríklad na liste 4, nebo se s tímto zpusobemzadání potkáme v analytické geometrii, pri zadávání prímek a rovin.Vyjádríme-li tedy nejaký útvar v rovine tak, že pro parametr t je{

x = ϕ(t)y = ψ(t)

pak analytický predpis 1. a 2. derivace vypocteme podle vzorcu

y′ =ψ•(t)ϕ•(t)

a y′′ =ψ••(t)ϕ•(t)− ψ•(t)ϕ••(t)(

ϕ•(t))3

Derivujte funkci danou parametricky

{x = 2 + 4 cos(t)y = 3 + 4 sin(t)

a urcete hodnotu její derivace v bode t0 = π4 .


Ry35 - Diferenciální pocet - použití derivací

Podrobnejší informace hledejte ve skriptech.

1. Diferenciál funkce v okolí bodu. Známe-li hodnotu funkce a její derivace v bode x0,pak hodnotu funkce v bode x0 + h „blízkém“ bodu x0, tj. h je malinké císlo, lzepribližne spocítat takto

f (x0 + h) ≈ f (x0) + f ′(x0) · h .

2. Tayloruv polynom. Hodnoty funkce f lze na okolí bodu x0 približne nahradit hodno-tami jejího Taylorova polynomu Tn rádu n rozvinutého kolem bodu x0.Pro Tayloruv polynom pro funkci f rádu n v okolí bodu x0 platí, že

Tn(x) = f (x0) +11!

f ′(x0) · (x− x0) +12!

f ′′(x0) · (x− x0)2 + · · ·+ 1

n!f (n)(x0) · (x− x0)

n .

Pozn. 1) Nahrazení funkce jejím Taylorovým polynomem funguje jen pro hodnoty xblízké bodu x0!

2) Maclaurinuv polynom = Tayloruv polynom pro x0 = 0.

3. l’Hospitalovo pravidlo.

limx→c

f (x)g(x)

(= 0

0 nebo cokoli∞

)l’H= lim

x→cf ′(x)g′(x) = · · · .

POZOR! Nederivuje se podle pravidel derivování podílu, ale derivuje se citatel ajmenovatel zvlášt’.

4. Tecna a normála. Ke grafu funkce f v daném bode x0 ∈ Df sestavíme rovnici

tecny v bode dotyku [x0, f (x0)] tak, že (y− y0) = f ′(x0) · (x− x0) ,

normály v bode [x0, f (x0)] tak, že (y− y0) =−1

f ′(x0)· (x− x0) .

Pomocí diferenciálu urcetepribližnou hodnotu

arctan 0, 97 ≈

√1, 05 ≈


Ry36 - Diferenciální pocet - použití derivací

Urcete rovnici tecny ke grafu funkce g(x) = x3 + 2x vbode x0 = 1.

Urcete rovnici tecny ke grafu funkce ψ(x) = ln(x)která je rovnobežná s prímkou p : y = x + 5.

V okolí bodu x0 = 1 rozvinte Tayloruv polynom 4.rádu

funkce α(x) =1√x.

základy matematiky a matematika 1 pracovní listy k...

Documents