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8/10/2019 Zienkiewicz_BasicFormulation.pdf

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A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s

( E n g l i s h E d i t i o n , Vo l . 3 , N o . 4 , A u g . 1 9 82 )P u b l i s h e d b y g U S T P r e s s ,

W u h a n , C h i n a

B A S I C F O R M U L A T I O N O F S T A T I C A N D

D Y N A M I C B E H A V I O U R S O F S O I L A N D O T H E R P O R O U S M E D I A

O C Z i e n k i e w i c z

( D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g ,

U n i v e r s i t y o f W a l e s . S w a n s e a . U . K.

( R e c e i v e d N o v e m b e r i 0, 1 9 8 1)

A B S T R A C T

T h i s p a p e r t r e a t s t h e s oi l a n d r o c k o r c o n c r e t e a s a t w o - p h a s e

m e d i u m c o m p o s e d o f a s o l i d s k e l e t o n a n d an i n t e r s t i t i a l f l u i d. U n -

d e r t h e u n s a t u r a t e d c o n d i t i o n o f i n t e r s t i t i a l f l u id , t h e t h i r d

p h a s e i s t a k e n i n t o c o n s i d e r a t i o n . I n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t he

c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n , d y n a m i c a n d k i n e m a t i c r e l a t i o n s , a n d a l s o v a-

r i o u s a p p r o x i m a t i o n s w i t h t h e i r l i m i t s o f v a l i d i t y , i n c l u d i n g t h o se

o f m o s t p r a c t i c a l e n g i n e e r i n g s i t u a t i o n s s u ch a s t h e c o n s o l i d a t i o n

p r o b l e m a n d th e u n d r a i n e d b e h a v i ou r . T h e f i n i t e e l e m e n t d i s c r e t i -

z a t i o n a n d t h e t i m e d e p e n d e n t s o l u t i o n o f v a r i o u s c l a s s e s o f s o i lp r o b l e m a r e a l s o d i s c u s s e d .

N O T A T I O N W e s h a l l u s e t h r o u g h o u t a ' v e c t o r i a l '

e n c e i n s u b s e q u e n t f i n i t e e l e m e n t m a n i p u l a t i o n s .

c r e m e n t s a r e w r i t t e n a s

(dz)r=[de,.de, ,de, .d~,, .d~,, ,dY,,]

(d ) r=[da , ,dGy,d~, ,dr, , ,dr, , ,dr, , ]

a n d t h e e q u i v a l e n t o f K r o n e k e r d e l t a is

mr=[1 l l O O O]

S y m b o l s o c c u r r i n g a r e d e f i n e d i n t e x t .

t e n s o r n o t a t i o n f o r c o n v e n i -

T h u s s t r a i n a n d s t r e s s i n -

n t r o d u c t i o n

T h e s o i l o r i n d e e d a n y o t h e r p o r o u s m e d i u m s u c h a s r o c k o r c o n c r e t e s h a l l

b e c o n s i d e r e d a s a t w o - p h a s e m e d i u m c o m p o s e d o f a s o l i d s k e l e t o n a n d a n i n -

t e r s t i t i a l f l u i d . ( F i g . l ) . W e s h a l l b e t h u s c o n c e r n e d w i t h t h e s a t u r a t e d m a -

t e r i a l a s c e r t a i n l y o c c u r s i n f o u n d a t i o n s o f o f f s h o r e s t r u c t u r e s , d a m s , e t c .

U n d e r u n s a t u r a t e d c o n d i t i o n s a t h i r d p h a s e e n t e r s t h e c o n s i d e r a t i o n s a n d a d d i -

t i o n a l c o m p l e x i t y r e s u l t s i n t h e t r e a t m e n t o f w h i c h d r a s t i c a s s u m p t i o n s h a v e t o

b e a d d i t i o n a l l y i n t r o d u c e d .

* C o m m u n i c a t e d b y C h i e n W e i - z an g .


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4 58 O C Z i e n k i e w i c z

I n t h e t r e a t m e n t o f t h e p r o b l e m w e

s h a l l c o n s i d e r i n t u r n

( i) C o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s ,

(2) D y n a m i c a n d k i n e m a t i c r e l a t i o n s ,

i n t e r m s o f w h i c h t h e p r o b l e m c a n b e f o r -

m u l a t e d .

T h i s w i l l b e f o l l o w e d b y a n i n t r o -

d u c t i o n o f

(3) V a r i o u s a p p r o x i m a t i o n s a n d d i s -

c u s s i o n o f t h e i r l i m i t s o f v a l i d i t y . H e r e

w e s h a l l p r o p o s e a f o r m u l a t i o n w h i c h e m -

b r a c e s m o s t p r a c t i c a l e n g i n e e r i n g s i t u a -

t i o n s a n d c o n s i d e r s u c h s p e c i a l s i t u a -

p o r e f l u i d

( p r e s s u r e p )

0 7 . 1

a2

0 1 5 f l

F i g 1 T o t a l s t r e s s o a n d p o r e

t i o n s a s t h e c o n s o l i d a t i o n p r o b l e m ( w h e r e p r e s s u r e p i n a n e l e m e n to f a p o r o u s m a t e r i a l

d y n a m i c t e r m s a r e n o r m a l l y o m i t t e d ) a n d

t h e u n d r a i n e d b e h a v i o u r w h i c h r e p r e s e n t s a c o n v e n i e n t l i m i t i n g c a s e .

I n P a r t I I o f t h e s e n o t e s w e s h a l l c o n s i d e r t h e f i n i t e e l e m e n t d i s c r e t i z a -

t i o n a n d t i m e d e p e n d e n t s o l u t i o n o f v a r i o u s c l a s s e s o f s o i l p r o b l e m s .

P a r t I

i . G e n era l F o r m o f C o n s t i t u t i v e R e l a t i o n s f o r P o r o u s Tw o -P h a s e M e dia

I t i s c o n v e n i e n t i n s u c h m a t e r i a l s t o s e p a r a t e t h e t o t a l s t r e s s t e n s o r

i n t o t h e e f f e c t i v e s t r e s s @ a n d a h y d r o s t a t i c c o m p o n e n t P e q u a l t o p o r e

p r e s s u r e

o = o - - m p 1 )

( t e n s i o n + v e c o n v e n t i o n m a i n t a i n e d f o r c a s e o f a d a p t a t i o n t o s t a n d a r d p r o g r a m s ) .

I f t h e d i s p l a c e m e n t s o f t h e s o l i d s k e l e t o n a r e u , t h e s t r a i n i n c r e m e n t s

d ~ a r e g i v e n a s

d c = L d u ( 2 )

w h e r e L i s t h e l i n e a r , s m a l l s t r a i n o p e r a t o r .

A u n i f o r m i n c r e a s e i n p o r e p r e s s u r e d p ( w i t h d 0 = 0 ) c a n o n l y r e s u l t i n

a u n i f o r m c o m p r e s s i o n o f t h e m a t r i x o f t h e s o l i d , g i v i n g a v o l u m e t r i c s t r a i n

c h a n g e .

w h e r e K

s t r a i n

d C o , = - - d p / K .

i s t h e b u l k m o d u l u s o f t h e m a t r i x o f t h e s o l i d .

3 )

T h i s g i v e s a u n i f o r m

d ~ P = - - m d p / 3 K , 4 )


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B a s i c F o r m u l a t i o n o f S o i l a n d O t h e r P o ro u s M e d i a 5 9

A l t h o u g h t h i s s t r a i n i s n e g l i g i b l e ( as c o m p a r e d w i t h t o t a l s t r a i n ) f o r s o i l s

i t i s o f i m p o r t a n c e i n r o c k - l i k e m a t e r i a l s a n d w i l l b e r e t a i n e d .

T h e r e m a i n i n g p a r t o f d c i s r e s p o n s i b l e f o r c h a n g e s o f t h e e f f e c t i v e s t r e s s .

I n t h e p r e s e n c e o f I N I T I A L S T R A I N c h a n g e s d ~ - - s u c h a s m a y b e c a u s e d b y t h e r ma l

e f f e c t s , c r e e p , e t c . , w e c a n w r i t e

d ~ ' = D d ~ - - d c ~ 5 )

w h e r e D i s a t a n g e n t m a t r i x ( d e p e n d e n t o n s t r a i n / s t r e s s a n d h i s t o r y i n a g e n e r a l

n o n l i n e a r c a s e ) .

U s i n g ( 1 ) , ( 4 ) a n d (5) w e c a n w r i t e q u i t e g e n e r a l l y

o = D d E - - d e ~ - a m d p + d ~ R 6w h e r e

a m = m - - D m ) / 3 K , )

H o w e v e r , a s m r m = 3

a nd m T D m / q = f r = t h e b u l k m o d u l u s o f t h e s o l i d s k e l e t o n f o r a n i s o t r o p i c m a -

t e r i a l , w e h a v e a f t e r p r e m u l t i p l y i n g b y m T

a = l - - K r / K . 7 )

I t i s c l e a r t h a t t h e a i s a l w a y s l e s s t h a n I . F u r t h e r m o r e i t m u s t a l w a y s

b e g r e a t e r t h a n , , t h e p o r o s i t y , a n d c a n o n l y a p p r o a c h z e r o w h e n K F ~ K f o r

z e r o p o r o s i t y .

T y p i c a l v a l u e s f o r m o s t s o i l s a r e s o c l o s e t o u n i t y t h a t n o d i s t i n c t i o n

f o r t h i s c a n b e m e a s u r e d . F o r a r o c k o r c o n c r e t e a c a n d r o p t o 0 . 5 o r l es s a n d

t h i s h a s a p r o f o u n d e f f e c t o n t h e b e h a v i o u r .

I t m u s t h o w e v e r b e r e m e m b e r e d t h a t t h e f a i l u r e o f a l l po r o u s m a t e r i a l s i s

g o v e r n e d b y t h e e f f e c t i v e s t r e s s o' i n w h i c h ~ d o e s n o t i n t e r v e n e a n d in g e n e r a l

D = D ( a' ) 9

T h e l a s t t e r m o f e q . ( 6) i s n e g l i g i b l e f o r s m a l l d i s p l a c e m e n t a n d i f [[~[I~IIDII.

T h i s t e r m a c c o u n t s f o r r o t a t i o n o f th e s t r e s s w i t h o u t s t r a i n i n g a n d i s t h u s a

f u n c t i o n o f ff a n d d u . I n l a r g e d i s p l a c e m e n t a n d s t r a i n a n a l y s i s t h e i n c l u s i o n

o f t h i s t e r m i s of i m p o r t a n c e .

T o c o m p l e t e t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s i t i s n e c e s s a r y t o d e t e r m i n e t h e

c h a n g e o f t h e f l u i d v o l u m e s t o r e d p e r u n i t v o l u m e o f t h e s o l i d s k e l e t o n d O.

T h i s c h a n g e i n s t o r a g e i s d u e t o f o ur c a u s es :

(a) c h a n g e d u e t o t o t a l s t r a i n w i t h m a t r i x a s s u m e d i n c o m p r e s s i b l e m T d r ,

(b) c h a n g e d u e t o c o m p r e s s i o n o f t h e m a t r i x b y d p . I f n i s t h e p o r o s i t y ,

t h i s i s s i m p l y

1 --n) dp /K .(c) c h a n g e d u e t o c o m p r e s s i o n o f t h e f l u i d w i t h a b u l k m o d u l u s K t ndp/Kt

(d) c h a n g e d u e t o c o m p r e s s i o n o f s o l i d g r a i n s r e l a t e d t o c h a n g e o f e f f e e -


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t i v e s t r e s s d q ' . A s s u m i n g t h e a v e r a g e c h a n g e o f m e a n e f f e c t i v e s t r e s s , i . e .

[ m T d r i s r e p r e s e n t a t i v e o f t h e m a t r i x s t r e s s . T h i s c o m p o n e n t i s

_ 1 m r d a , / K

o r u s i n g 1 ) a n d ( 6 )

- -- ~ .m r [ D ( d c - - d r ~ +1 - - a ) m d p ] / K o

A d d i t i o n o f a l l t he c o m p o n e n t s , u s e o f r e l a t i o n (7) a n d s om e m a n i p u l a t i o n

y i e l d s N ~

+ ~ d p + (mCDdr176 (3_/l ', ) 8 )O = a m r d s

w h e r e

1 n + 1__-_ _ ( t - a ) t

T h e b a s i c e q u a t i o n (6) a n d (8) d e t e r m i n e t h e c h a n g e s o f t o t a l s t r e s s a n d

s t o r e d f l u i d v o l u m e w h e n c h a n g e s o f z a n d p a r e i m p o s e d .

I m m e d i a t e l y w e c a n o b t a i n t h e b e h a v i o u r o f t h e m a t e r i a l w h e n U N D R A I N E D

C O N D I T I O N S a r e s p e c i f i e d . N o w d O = O a n d f r o m e q s . ( 8) a n d ( 6) ( n e g l e c t i n g d c c)

dp----- - Qa mr de (1 O)

d o = Ddr - - a m d p= D + a 2 m Q m r ) d * = D d e 1 1)

n w h i c h D = D + a ~ m Q m 7 g i v e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n D R A I N E D A N D U N D R A I N E D T A N -

G E N T M AT R I C E S w h i c h i s u n i q u e . I t i s o f i n t e r e s t t o c o n s i d e r t h e c h a n g e o f

p o r e p r e s s u r e a s a f r a c t i o n o f t h e m a i n s t r e s s - - o 1 7 1 o / 3 d u e t o a u n i t v o l u m e -

t r i c s t r a i n d ~ = m / 3 N o w

3 d p Qao 7 mB = - - mTdo = mr ~0 +a~m Q,n c ) m /3 -

3 Q a a3 K r + 3 a 2 Q = K r / Q + a 1 2 )

I t i s i m m e d i a t e l y o b s e r v e d t h a t i n s o i l s w h e r e / ~ ,> > K r , B - ~ I I , b u t t h i sa

i s n o t t h e c a s e i n r o c k - l i k e m a t e r i a l s .

B i s t h e w E l l - k n o w n s o i l p a r a m e t e r w h o s e v a l u e s r a n g e f r o m 0 . 3 t o 0 . 5 fo r

c o n c r e t e s t o i f o r s a n d s a n d c l a y s . ( vi z. W i l l i a m a n d W h i t m a n , p p . 3 9 5 f ) .

2 ynamic and Kinem at ic Re la t io ns

T h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n (6) o r ( 8) a n d t h e s t r a i n r a t e / d i s p l a c e m e n t r a t e

N o t e : E q u a t i o n s (6) a n d (8) h a v e b e e n o r i g i n a l l y d e r i v e d b y B i o t i n a d i f f e r e n t

m a n n e r a n d t h e a u t h o r i s g r a t e f u l t o Dr . B r u c e S i m o n o f U n i v e r s i t y o f A r i z o n a ,

~ c s o n , f o r p o i n t i n g o u t t h i s i d e n t i t y o f t h e t w o f or m s . E q s . (7) a n d (9) g i v e a

p h y s i c a l l y m e a n i n g f u l i n t e r p r e t a t i o n o f B i o t s p a r a m e t e r s a n d Q i s i n t e r m s o f

m i c r o s t r u c t u r e .


5/12

B a s i c F o r m u l a t i o n o f S o i l a nd O t h e r P o ro u s M e dia 4 6

r e l a t i o n (2 ) h e r e t o b e s u p p l e m e n t e d b y a d d i t i o n e q u a t i o n b e f o r e a s o l u t i o n c a n

b e a t t e m p t e d .

B e f o r e d o i n g s o i t i s n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e a n d a d d i t i o n a l v a r i a b l e w

w h i c h i s t h e D I S P L A C E M E N T O F T H E P O R E F L U I D R E L A T I V E T O T H E S O I L S K E L E T O N . T h i s

i s m e a s u r e d i n t e r m s o f t o t a l q u a n t i t y o f f l u i d d i s p l a c e d d i v i d e d b y t he C R O S S

a r e a . T h u s t h e a c t u a l m e a n d i s p l a c e m e n t i n t h e p o r e s i s w n , w h e r e , i s t h e

p o r o s i t y .

T h e f o r c e o f t h e a d d i t i o n a l r e l a t i o n i s t h a t o f o v e r a l l e q u i l i b r i u m o f a

u n i t s o i l s k e l e t o n + f l u i d v o l u m e . T h i s r e l a t i o n i s e x p l i c i t l y :

i n x d i r e c t i o n a G~ ~ a r ~ ,+ a r, ,

e t c . f o r o t h e r d i r e c t i o n s , o r s i m p l y

LTo + pg = p U + pW (14 )

w h e r e s i s t h e s a m e o p e r a t o r a s t h a t d e f i n i n g s t r a i n r a t e i n e q . ( 2) . I n t h e

a b o v e e q u a t i o n s

P = d e n s i t y o f t h e t o t a l f l u i d / s o l i d m i x t u r e

p 1 = d e n s i t y o f f l u i d

g = v e c t o r o f g r a v i t y a c c e l e r a t i o n c o m p o n e n t s

N o t e t h a t i n t h e l a s t t e r m p o r o s i t y d o e s n o t e n t e r a s t h e m a s s o f f l u i d i s

e q u a l t o p n a n d t h e a c c e l e r a t i o n r e l a t i v e t o s o l i d i s W / ,

T h e s e c o n d e q u a t i o n i s t h a t o f E Q U I L I B R I U M O F F L U I D P H A S E A L O N E . H e r e t h e

m a i n D R I V I N G f o r c e i s t h e p r e s s u r e g r a d i e n t a n d t h e m a i n r e s i s t i n g ( v i sc o us )

f o r c e i s p r o p o r t i o n a l t o v e l o c i t y o f f l u i d ( D A R C Y r e l a t i o n s h i p ) . I n a d d i t i o n

a c c e l e r a t i o n f o r c e s o c c u r . T h u s w e h a v e

- -V p + p , g = P,~ + P ~ / + (P tg / .['rW 1 5 )

I n t h e a b o v e e q u a t i o n K i s t h e w e l l - k n o w n p e r m e a b i l i t y c o e f f i c i e n t { fo r

a n i s o t r o p i c m e d i a w e h a v e a p e r m e a b i l i t y m a t r i x K a n d u s e K -I i n p l a c e o f ~ ) .

T h e n o t a t i o n V i s

0 8 8 ) r 1 6 )V = a x a y . ' 8 z

T h e f i n a l r e l a t i o n s h i p i s a k i n e m a t i c o n e r e l a t i n g t h e f l u i d i n f l o w t o

t h e s t o r a g e 6 9 H e n c e s i m p l y

V T ~ + ~ = 0 . 1 7 )

w h e r e V T w ~ d i v w

3 Summ ary o f E s s e n t i a l E q u a t i o n s3 .1 F u l l u / w f o r m u l a t i o n

T h e f u l l s o i l p r o b l e m i s n o w p o s e d b y e q s . ( 2 ) , ( 6 ) , ( 8 ) , ( 1 4 ) , ( 1 5) a n d ( 17 ).

T h e y a r e s u m m a r i z e d b e l o w


6/12


d* tdu ( a )hdo=O ds ( b ) |dO= a r n r d t+ ~ - d p + m D d r ,~ c ) [LTo + p g = p i ~ + p W (d)[_Tp+pfg=ptfj+pte/n+ ptg/K)w e ) JVr~ ,+6=o f )z

18)

T h e s e s u p p l e m e n t e d b y b o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n s u ch a s

u = Q o n F , p r e s c r i b e d d i s p l a c e m e n t s )

t = t o n F , p r e s c r i b e d t r a c t i o n s )

K O p / @ , ) = Q o n F 0 p r e s c r i b e d f lo w )

p = ~ o n F p p r e s c r i b e d p r e s su r e )

w h i c h c a n b e s o l v e d i n c r e m e n t a l l y f o r m o s t p r o b l e m s .

O f t h e s e s i x e q u a t i o n s f o r t h o s e s i x v a r i a b l e s u, w , ~, o , p , a n d 0 t h e

f i r s t t w o a r e P R I M A R Y a n d s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d i n t e r m s o f u a n d w w i t h

a l l o t h e r v a r i a b l e s e l i m i n a t e d w i t h o u t d i f f e r e n t i a t i o n . T h i s fu l l f o r m u l a t i o n

o f a d y n a m i c c a s e w i l l l e a d t o a l a r ge f i n i t e e l e m e n t s y s t e m a s w i l l b e s e e n

l a t e r .

W e s h a l l n o w c o n s i d e r p o s s i b l e a p p r o x i m a t i o n s .

3 .2 D i s p l a c e m e n t - p r e s s u r e u /p ) f o r m u l a t i o n Z i e n k i e w i c z )

I f t h e m o t i o n o f f l u i d w ) i s r e l a t i v e l y s m a l l , t e r m s i n v o l v i n g W c a n b e

o m i t t e d . N o w W c a n b e e a s i l y e l i m i n a t e d f r o m 1 8 e ) an d f) g i v i n g t h e s y s t e m

d r ( a )da=D dr ~ (b ) [dO=amTdr dp+mrDdzO/ 3K,)(c) / (19)

t r o + p g = p O (d)_ V T K V p + V T K p q g - - V T p f K U + O = O e )w h e r e u a n d P a r e p r i m a r y v a r i a b l e s a n d ~ = K p ~ g ) .

3 .3 S l o w q u a s i - s t a t i c c o n s o l i d a t i o n p h e n o m e n a - - o / p f o r m

I f th e m o t i o n i s so s l o w t h a t a l l d y n a m i c f o r c e t e r m s c a n be n e g l e c t e d

i . e. , 0 t e r m s o m i t t e d ) i n e q s . 1 9 ) , i t w i l l g i v e t h e w e l l - k n o w n c o u p l e d c o n -

s o l i d a t i o n e q u a t i o n f r e q u e n t l y s o l v e d b y t h e n u m e r i c a l m e t h o d . T h i s p a r t i c u l a r

c a s e i s E M B E D D E D i n t h e f u l l d y n a m i c f o r m o f e q s . 1 9 ) a n d a s t h e g e n e r a l s o l u -

t i o n o f 1 9 ) i s n o m o r e d i f f i c u l t t h a n t h e s o l u t i o n o f t h e q u a s i - s t a t i c c a s e w e

s h a l l n o t d i s c u s s i t s e p a r a t e l y . I t i s d e s i r a b l e t h a t t h e d y n a m i c p r o g r a m s

c a p a b l e o f s o l v i n g 1 9 ) s h o u l d m a k e i t e a s y t o c o n t i n u e t h e s o l u t i o n i n t h e

s l o w q u a s i - s t a t i c d o m a in . T h i s e n a b l e s t h e p r o b l e m o f e a r t h q u a k e a n d p o s t -

e a r t h q u a k e r e a c t i o n t o b e d e a l t w i t h s i m u l t a n e o u s l y .


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Basic Form ula t ion of Soi l and Other Porous Media 463

3 . 4 U n d r a i n e d b e h a v i o u r

I f t h e p e r m e a b i l i t y K t e n d s t o b e z e r o , n o m o t i o n s o f t h e f l u i d r e l a t i v e

t o t h e s o l i d s k e l e t o n ca n o c c u r a n d t h u s w = w = W = 0

F r o m e q . ( 18 f) w e f i n d t h a t 8 = 0 o r d S O a t a l l t i m e s .

E q o ( 1 8 e ) i s i d e n t i c a l l y s a t i s f a c t o r y a n d eq . ( 18 c) a l l o w s a r e l a t i o n b e -

t w e e n d e a n d d p t o b e e s t a b l i s h e d ( vi z. e q. ( i0 )) . T h e s y s t e m b e c o m e s

d r }d o = O d e - - [ l - a m Q m r ) 3 K. ) ] d , ~ 2 0)

LT o p g = p aT h i s i s i d e n t i c a l ( e x c e p t f or th e i n i t i a l s t r a i n t e rm ) w i t h t h e d y n a m i c

e q u a t i o n s g o v e r n i n g t h e b e h a v i o u r o f a s i n g l e p h a s e m e d i u m . T h e p r i m a r y va r i -

a b l e i s n o w g a n d t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e i s s i m p l e r .

3 . 5 S t a t i c ( l i m i ti n g ) s o l u t i o n

U n d r a i n e d s t a t i c s o l u t i o n

I f t h e p e r m e a b i l i t y i s so s m a l l t h a t e q s . ( 2 0 ) a r e a p p l i c a b l e i n s o l u t i o n ,

t h e u n d r a i n e d s t a t i c s o l u t i o n i s s i m p l y o n e r e s u l t i n g f r o m s o l u t i o n o f eq s. ( 20 )

w i t h U = 0 , S u c h s o l u t i o n s a r e o f i m p o r t a n c e i n t h e i n i t i a l a n a l y s i s o f f o u nd a -

t i o n o n c l a y , e t c . B u t i t m u s t b e r e m e m b e r e d t h a t e v e n h e r e t h e s e r e p r e s e n t

b u t an i n t e r m e d i a t e e f f e c t b e f o r e c o n s o l i d a t i o n t r a n s i e n t s s e t in . W i t h t h e

u n d r a i n e d s o l u t i o n i t i s i m p o s s i b l e t o r e q u i r e t h a t p = 0 o n a n y b o u n d a r i e s ~

e . g . , a s a p h y s i c a l c o n d i t i o n i s a l w a y s p r e s e n t w e s i m p l y n e g l e c t a b o u n d a r y

l a y e r e f f e c t .

D r a i n e d s t a t i c s o l u t i o n

W i t h d a m p i n g i n h e r e n t i n t h e f u l l d y n a m i c e q s. ( 1 8 ) o r t h e i r a p p r o x i m a t i o n s

( 19 ) w e s h a l l e x p e c t a n a s y m p t o t i c s t a t e t o be r e a c h e d a t s om e L A B G E T I M E w h e n

~ = U = 0

W =

b u t U ~ 0 a n d W ~ 0 an d ~ = ~ = 8 = 0 .

T h e e q. ( 19 e) i s n o w d e c o u p l e d g i v i n g t h e u s u a l s t e a d y D a r c y f l o w e q u a t i o n

_ V r ~ V p + ~ /~ p ,g = 0 2Z)

a n d t h i s c a n b e s o l v e d f o r P . T h e s o l i d p h a s e e q u a t i o n i s

L~o +p g = 22)r

n d O = ID dr176T h e s e a r e a g a i n s i n g l e p h a s e s t a t i c e q u a t i o n s w i t h a m p p l a y i n g t h e r ol e

o f a n i n i t i a l s t r e s s .3 . 6 L i m i t s o f v a l i d i t y o f v a r i o u s a s s u m p t i o n

T o d e t e r m i n e t h e l i m i t s o f v a l i d i t y o f t h e v a r i o u s a s s u m p t i o n s , t h e Gu l l

d y n a m i c e q s ( 1 8 ) w e r e l i n e a r i z e d a n d s o l ve d a n a l y t i c a l l y f o r a o n e - d i m e n s i o n a l


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p r o b l e m o f a n e l a s t i c l a y e r s u b j e c t t o a p e r i o d i c f o r c e a p p l i e d t o t h e s u r f a c e

( F i g . 2 ) . T h e p r e s s u r e c o n d i t i o n o n t h e s u r f a c e i s t h a t o f f u l l d r a i n a g e ( Z i e n -

k i e w i c z a n d B e t t e s s , 1 9 8 0 ) . f i n a l w a t e r l e v e l

o r _ i gi n a l w a t e r l e v e l [

," .. : ... .. ., .. -~ .L 9 --i--.,;9 . ' . . . . 9 - / ' . .- - | _ _

i :

AL = ~ ,

Fig. 2 .

- - - -

p

: . . 9 : ~ - , , . .9 " , . . : . ; ,

- . " 9 " . , . . " :

/ < ~ . // . ~ . \/ / .< k , // ~ / / .~ . / / ,~ . / / ~ / / . 6 \ / / /a s s u m e d r i g i d b a s e

P e r v i o u s l a y e r s u b j e c t e d t o a r e s e r v o i r l e ve l c ha n ge .

I t i s f o u n d t h a t t h e m a i n p a r a m e t e r s a f f e c t i n g t h e p r o b l e m c a n b e p u t i n t o

t w o n o n - d i m e n s i o n a l g r o u p s

R V ~ ~ 2L ~=1-- (g~)wL ~ , ~2= V~

K = K / p ~ 9 ) i s t h e k i n e m a t i c p e r m e a b i l i t y

~ = 2 x / T i s t h e f r e q u e n c y

V ~ = i s t h e s p e e d o f s o u n d i n s a t u r a t e d m a t e r i a l

= s p e e d o f s o u n d i n w a t e r=m/p

I n t r o d u c i n g a p e r i o d T = 2 L / V ~ a n d t a k i n g = 3- ,

2 ~ T 2 '

F o r a c o n s t a n t v a l u e o f n = 3 ' t h e r e s u l t s s h o w t h a t a r e a s o n a b l e a p p r o -

x i m a t i o n ( e x c l u d i n g s u r f a c e b o u n d a r y l a y e r s ) c a n b e o b t a i n e d b y t h e v a r i o u s a p -

p r o x i m a t i o n s i n t h e m a n n e r s h o w n i n F i g . 3 .

Z o n e I B = Z = C S l o w p h e n o m e n a ( a n d ~ c a n b e n e g l e c t e d )

Z o n e I Z B = Z ~ M o d e r a t e s p e e d ( ~ c a n b e n e g l e c t e d )

Z o n e Z l Z B Z ~ C F a s t p h e n o m e n a ( ~ c a n n o t b e n e g l e c t e d ) o n l y f u l l B i o t

e q u a t i o n v a l i d

T h i s r e s u l t o b t a i n e d f o r a s i m p l e c a s e o f s i n g l e l a y e r c a n b e u s e d t o e s -

t i m a t e t h e t y p e o f a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e d f o r a n a l y s i s o f a c t u a l s i t u a t i o n s i f

w h e r e


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466 O C Zienkiewicz

P a r t

4 nt roduc t ion

I n P a r t I w e h a v e p r e s e n t e d t h e v a r i o u s f o r m s o f f u l l d y n a m i c , c o u p l e d

s o i l - f l u i d e q u a t i o n s a n d f o u n d t h a t t h e a p p r o x i m a t e f o r m o f e q s. ( 1 9 ) ( r e p e a t e d

b e l o w ) i s s u f f i c i e n t t o d e s c r i b e a l l b u t t h e v e r y h i g h f r e q u e n c y p h e n o m e n a . We

s h a l l s h o w h o w t h i s s y s t e m c a n b e d i s c r e t i z e d ~ n s p a c e a n d s o l v e d f o r t r a n s i e n t

p r o S l e m s i n t h e t i m e d o m a i n .

5 Finite Element Discretization of Fluid Dynamic and Static Soil/Fluid

Equation

I n t he f o r m o f e q u a t i o n g i v e n b e l o w w e

( a ) e l i m i n a t e de a n d d8 a n d(b) s e p a r a t e t h e d e t e r m i n a t i o n o f s t r e s s c h a n g e s i n t o t h a t of e f f e c t i v e

a n d t o t a l s t r e s s e s . T h i s is c o n v e n i e n t a s i n v a r i a b l y t h e n o n l i n e a r i t y o f D

d e p e n d s o n e f f e c t i v e s t r e s s .

T h u s w e h a v eLro + pg =p(J a)d o ' = D ( L d u - - d e ~ ' b) }d o = d o / - - m d p c) 23)-V rK V p+VTF--ptg -V T p / t l +amrLf i

+ ~/i+ mrD~o)/3K,= d)

w h e r e R i s a m a t r i x s u i t a b l y d e f i n i n g t h e r a t e o f r o t a t i o n i n t e r m s o f d i s -

p l a c e m e n t s .

T o d i s c r e t i z e t h e a b ov e s y s t e m w e t a ke s u i t a b l e s h a pe f u n c t i o n s e x p r e s s i o n

u N o p N ~ 2 4 )a n d f o r m u s i n g G a l e r k i n w e i g h t i n g . D e t a i l s ca n b e f o u n d e l s e w h e r e ( Z i e n k i e-

w i c z 1 9 6 3 , 7 1 , 7 7 ) .

T h e f i r s t e q u a t i o n ( 23 a) y i e l d s t h e s t a n d a rd e q u i l i b r i u m e q u a t i o n

I B T a d D M ~ f= O25a)

I B r f f d ~ + M ~ - Q ~ + f = 0w h e r e

a n d

B = L N i s t h e s t r a i n m a t r i x

M = I N r p N d 9 i s t h e m a s s m a t r i x

Q = I~3aBTmNdQ

f= I~N'p ,dE2I F N T { d FT h e a u x i l i a r y e qs . ( 2 3 b / c ) a r e s i m p l y w r i t t e n i n a d i s c r e t i z e d f o r m a s

d O = D( B d Q- - d r + ( RN) d d ~ 2 5 5 )


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B a s i c F o r m u l a t i o n o f S o i l a nd O t h e r P o ro u s M e d i a 6 7

N o t e t h a t d a = d 6 r + ( I - - a ) m d p a n d i t c a n b e e v a l u a t e d i f j u s t i f i e d ,

F i n a l l y , t h e c o u p l e d s e e p a g e e q u a t i o n ( 23 d) b e c o m e s

w h e r e

H = t~ V N )T K V N )d ~

M= g N~yT PIRN)dQa n d q i n v o l v e s t h e i n i t i a l s t r a i n t er m .

I n g e n e r a l t h e s y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q s. ( 25 ) is h i g h l y n o n -

l i n e a r a s

(I) D d e p e n d s o n 0' a n d p r e v i o u s s t r a i n h i s t o r y .

(2) T h e p r o b l e m ( a nd e l e m e n t ) d o m a i n ~ a n d S , a r e c u r r e n t , i . e. t h e y a r e

c h a n g i n g w i t h t i m e as d e f o r m a t i o n p r o c e e d s .

(3) M a t r i c e s B a n d ( R N ) d e p e n d o n c u r r e n t g e o m e t r y .

a n d f i n a l l y ,

(4) T h e p e r m e a b i l i t y m a t r i x H c a n be c h a n g e d i f K i s d e p e n d e n t o n d e f o r -

m a t i o n a s i t o f t e n i s.

I n s t e p - b y - s t e p s o l u t i o n a l l s u ch n o n l i n e a r i t i e s c a n b e a c c o m m o d a t e d w i t h -

o u t u n d u e c o m p l i c a t i o n .

I f t h e p r o b l e m i s t r a n s i e n t , e q s . ( 25 ) w i l l p r o v i d e s o l u t i o n o f b o t h d y n a -

m i c a n d s t a t i c c o n s o l i d a t i o n b e h a v i o u r s .

U n d r a i n e d b e h a v i o u r c an b e o b t a i n e d b y n o t i n g t h a t n ~ 0 , H ~ 0 a n d ~ 0

t h u s p e r m i t t i n g d e t e r m i n a t i o n o f p i n t e r m s o f d u T h e e q u a t i o n s a r e v a l i d

f o r s t e a d y s t a t i c d r a i n e d b e h a v i o u r a n d u n c o u p l e d t h en .

I t i s o f i n t e r e s t t o w r i t e d o w n t h e l i n e a r f o r m o f e q s . ( 2 5) . N o w t h e a u x i -

l i a r y s t r e s s i n c r e m e n t e q u a t i o n c a n be i n t e g r a t e d a n d t he s y s t e m c a n b e w r i t t e n

a s

2 6 )

w h e r e f a n d q i n c o r p o r a t e a n y i n i t i a l s t r e s s e f f e c t s . We n o t e t h a t t h e a b o v e e q u a -

t i o n s y s t e m i s n o n - s y m m e t r i c a n d i s n o t c o n v e n i e n t l y t r e a t e d b y c o m b i n e d s o l u -

t i o n m e t h o d s .

6. Time Stepping Staggered ProceduresA s w e h a v e j u s t no t e d , e v e n t h e l i n e a r c o u p l e d s y s t e m i s n o t c o n v e n i e n t l y

s t r u c t u r e d f o r a d i r e c t s i m u l t a n e o u s s o l u t io n . H e n c e s t a g g e r e d s o l u t i o n p r o c e s s

( v iz . , P a r k a n d F e l i p p a , 1 9 80 ) i s c o n v e n t i o n a l l y u s e d .


12/12

4 6 8 0 . C . Z i e n k i e w i c z

I n s u c h S T A G G E R E D S O L U T I O N S w e us e a s t a n d a r d t i m e s t e p p i n g a l g o r i t h m f o r

s o l v i n g t h e f i r s t e q u a t i o n s y s t e m ( e q . ( 2 5 a/ b ) ) , t r e a t i n g t h e p o r e p r e s s u r e s y s -

t e m a s k n o w n a n d t h u s p u t t i n g i n e f f e c t s a s th e k n o w n f o r c e , i . e . ,

l~ r a d ~ + M U + 7 = O 2 7 ~ )d o = D ( B d u - -d ~ ~ + R N a

b ec om e s a s t r a i g h t f o r w a r d s t a n d a r d d y n a m i c e q u a t i o n o f s e c o n d o r d e r i f

f = f Q p 275)i s t a k e n a s k n o w n . T h i s c a n b e s o l v e d f o r a t i m e s t e p u s i n g . .N e w m a r k o r s i m i l i a r

p r o c e d u r e s .

O n c e t h e c o m p u t a t i o n o f i n c r e m e n t s A u is a c c o m p l i s h e d , s o l u t i o n f o r t h e

r s y s t e m o f

H~+S~+~=0 27c)c a n b e f o u n d w i t h q n o w k n o w n a n d q i s g i v e n a s

q:q QT~_~ 27d)I n t h e e x a m p l e s o f d y n a m i c a n a l y s i s o f d a m s a n d o t h e r s t r u c t u r e s , w e h a v e

e x t e n s i v e l y u s e d E X P L I C I T ( c e n t r al d i f f e r e n c e ) p r o c e d u r e s f o r s o l v i n g ( 27 a) a n d

I M P L I C I T ( b a c k w a r d d i f f e r e n c e ) p r o c e d u r e s f o r ( 2 7d ).

C l e a r l y o t h e r p r o c e d u r e s c a n b e u s e d a n d it i s i m p o r t a n t t o d e r i v e s c h e m e s

i n w h i c h t h e t i m e s t e p c a n be v a r i e d b y s e v e r a l o r d e r s o f m a g n i t u d e i f r a p i d

( e a r t h q u ak e ) p h e n o m e n a g o t h r o u g h a s l o w c o n s o l i d a t i o n p h a s e .

R E F E R E N C E S

( I) B l o t , M . A . , T h e o r y o f t h r e e - d i m e n s i o n a l c o ns o l id a t io n s , J . A p p l . P h y s . ,1 2 , . 1 5 5 - 1 6 4 , ( 1 9 4 1 ) .

( 2 ) B i o t , M . A . , M e c h a n i c s o f d e f o r m a t i o n a n d a c o u s t i c p r o p a g a t i o n i n p o r o u sm e d i a , J . A p p l . P h y s . 3 3 , 1 4 8 3 - 9 8 , ( 1 9 6 0 ) .

(3) M a d s e n , O . S . , W a v e i n d u c e d p o r e p r e s s u r e a n d e f f e c t i v e s t r e s s e s i n a

p o r o u s b e d. G e o t e c h n i q u e , 2 8, 3 7 7 - 3 9 3 .(4) P a r k , K . C . a n d F e l i p p a , C . A . , P a r t i t i o n e d t r a n s i e n t a n a l y s i s p r o c e d u r e s

f o r c o u p l e d f i e l d ~ - o b l e m s - - a c c u r a c y a n a l y s i s . ( t o b e p u b l i s h e d ) .(5) T e r z h a g i , K ., E r @ b c u m e c h a n i k , F r a n z D e u t i c k e , V i e n n a , ( 1 9 2 5 ) .(6) Wi l l i a m , T, a n d W h i t m a n , R . V. , S o i l M e c h a n i c s , J o h n W i l e y , ( ] 9 6 9 ) .(7) Z i e n k i e w i c z , O . C . , T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d . , T h i r d E d i t i o n , M c G r a w - H i l l ,

( 1 9 7 7 ) .(8) Z i e n k i e w i c z , O . C . , H u m p h e s o n , C . a n d L e w i s , R . W. , A u n i f i e d a p p r o a c h t o

s o i l m e c h a n i c s p r o b l e m s , C h a p t e r 4 o f F i n i t e E l e m e n t s i n G e o m e c h a n i c s ,1 5 1 - 7 8 , e d . G . G u d e h u s , J . Wi l e y , ( 1 9 7 7 ) .

(9) Z i e n k i e w i c z , O . C . a n d B e t t e s s , P. , S o i l a n d o t h e r p o r o u s m a t e r i a l u n d e rt r a n s i e n t , d y n a m i c c o n d i t i o n , g e n e r a l f o r m u l a t i o n a n d v a l i d i t y o f v a r i o u s

s i m p l i f i e d a s s u m p t i o n s , i n S o i l s u n d e r C y c l i c a n d T r a n s i e n t L o a d i n g ,e d s. G . N . P a n a d e , a n d O . C . Z i e n k i e w i c z , J o h n W i l e y ( t o b e p u b l i s h e d ) .

( 1 0) Z i e n k i e w i c z , O . C . , L e u n g , K . H . , H i n t o n , E. a n d C h a n g , C . T. , E a r t h d a ma n a l y s i s f o r e a r t hq u a k e s . P r o c e e d i n g s o f C o n f e r e n c e o n D e s i g n o f D a m st o R e s i s t E a r t h q u a k e s . , I n s t. Ci v . E ng . L o n d o n , O c t . , i - 2 , ( 1 9 8 0 ) .

zienkiewicz_basicformulation.pdf

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