zeros de funções. métodos iterativos - zeros i. método da bissecção ok ii. método da...
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Zeros de Funções
Métodos Iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção OKII. Método da Posição Falsa OKIII. Método do Ponto Fixo IV. Método de Newton-RaphsonV. Método da Secante
Método do Ponto Fixo (MPF) Seja contínua em , intervalo este
contendo uma raiz da equação .
O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação
=>Processo Recursivo
)(xf ],[ ba0)( xf
)(xx 0x }{ kx
)(1 kk xx
Método do ponto fixo (MPF) Exemplo1. Considere a equação
Possíveis funções de iterações
062 xx
1
6)(
16
)(
6)(
6)(
4
3
2
21
xx
xx
xx
xx
Método do ponto fixo (MPF) Forma geral das funções de iteração:
com a condição .
Exemplo:
)()()( xfxAxx
0)( A
)6(6)(
606
22
)(
22
xxxxx
xxxxx
Método do ponto fixo (MPF) As raízes da equação são e . Consideremos e
a função de iteração . Tomando
, temos
062 xx
31 22 22 2
1 6)( xx 5.10 x
)(1 kk xx
003906.59)0625.8(6)(
0625.8)75.3(6)(
75.3)5.1(6)(
223
212
201
xx
xx
xx
não está convergindo para }{ kx 22
Método do ponto fixo (MPF)
x0
x1x2
y=6-x2
Método do ponto fixo (MPF) Consideremos agora a função de
iteração com
xx 6)(2 5.10 x
)(1 kk xx
00048.299809.16)(
99809.100763.26)(
00763.296944.16)(
96944.112132.26)(
12132.25.16)(
45
34
23
12
01
xx
xx
xx
xx
xx
está convergindo para }{ kx 22
Método do ponto fixo (MPF)
x0
x1
x2 x1x0
Método do ponto fixo (MPF)
Teorema: Seja uma raiz da equação , isolada
num intervalo I centrado em . E seja uma função de iteração de .
Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii) ,
então converge para .
0)( xf )(x
)(x)(xIxMx ,1|)(|
Ix 0
}{ kx
0)( xf
Método do ponto fixo (MPF) Demonstração do teorema MPF: 1ª parte: se , então .
Se , então: . Do Teorema do Valor Médio, se é
contínua e diferenciável, então:
Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em .
)(x
Ix 0
0)(f
kIxk ,
kk xx 1
,1 kkkkk xcxcx
IxIxcxx kkkkk 11 Se.1pois
Método do ponto fixo (MPF)
Demonstração do teorema MPF: 2ª parte:Provar que .
Obs: Como , então .
kk
xLim
01 xMx
02
12 xMxMx
01 xMxMx kkk
10 M
kk
xLim
Estudo da Convergência do MPF
Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração
A- e contínuas.
B- . Não existe intervalo
em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.
062 xx2
21 6)( xx
21 6)( xx xx 2)(1
2
1
2
11)(1
xx
2
Estudo da Convergência do MPF
Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração
A- e contínuas se . Em torno de condição satisfeita.
B- No intervalo em torno de a condição do
teorema MPF é satisfeita.
062 xx2
xx 6)(2
6x 2xx 6)(2 1
2 62)(
xx
75.51621)(1
2
xxx
2
Método do ponto fixo (MPF) Critérios de Parada do MPF
Critério 1:
Critério2:
111 kkkk xxxx
kxf
Método do ponto fixo (MPF) Exemplo do critério de parada do MPF Seja a função com equação
equivalente , e .
393 xxxf 3/19/3 xx 5.0com1,0 0 x
4105
Iteração x f(x)
1 0.3472 -0.8314X10-
1
2 0.3380 -0.3253X10-
2
3 0.3376 -0.1240X10-
3
Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergênciaSeja uma seqüência que converge para e seja
o erro na iteração . Se existir um númeroe uma constante , tais que
Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.
CLimp
k
k
k
1
kx kk x
k 1p
0C
p C
Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergência do MPF
Vimos que no MPF
para que haja convergência.
Obs1: O MPF converge linearmente.Obs2: A convergência é mais rápida quanto
menos for o valor de .
11
k
kk
k
kcLim
x
xLim
Método Newton-Raphson (MNR)
Vimos que no MPF, para que haja convergência,1: e2: a convergência é mais rápida quanto menos
for o valor de .
O MNR é MPF com convergência acelerada.
Consiste em escolher tal que .
1
0
Método Newton-Raphson (MNR)
Temos para o Método de Newton-Raphson
)(
)(
)(
1)( Logo,
)(
1)()()(10 Queremos
)()(1)()()()(1
)()()()(1)()(
xf
xfxx
xfxA
fAfA
fAfAfA
xfxAxfxAxxfxAxx
Método Newton-Raphson (MNR)
Exemplo do Método de Newton-Raphson.Seja a função com . Seja . Do MNR devemos escolher a funçãoequivalente
Obtemos
A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF
62 xxxf 2
5.10 x
12
6)(
2
x
xxxx
0625.2)5.1(1 x5.10 x
0008.2)0625.2(2 x
0000.2)0008.2(3 x
Método Newton-Raphson (MNR)
Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de . Suponha que , então existe um intervalo
contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva
,
convergirá para a raiz.
x)(),(),( xfxfxf
0)( xf
Ix 0
kx
I0)( f
II
)(
)(1
k
kkk xf
xfxx
Método Newton-Raphson (MNR)
Ordem de convergência do MNR
Suponha que o MNR gere uma seqüência queconverge para . A ordem de convergência do MNR
équadrática.
Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de , faz a convergência do MNR ser quadrática.
kx
0
Método da SecanteNo método de Newton há a necessidade decalcular e o seu valor numérico a cadaIteração. Esta é uma desvantagem do MNR.
O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim
Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.
1
11
1
11
kk
kkkk
kk
kk
kkk xfxf
xfxxfx
xx
xfxf
xfxx
xf
Método da Secante
Exemplo do Método da SecanteSeja a função com . Seja e . Do Método da Secante
obtemosa seqüência
62 xxxf 2
5.10 x
7.11 x5.10 x
0335.2
25.241.1
25.27.141.15.1
01
01102
xfxf
xfxxfxx
7.11 x
9977.1
41.11798.0
41.10357.21798.07.1
12
12213
xfxf
xfxxfxx
0000.2
23
23324
xfxf
xfxxfxx
Método da Secante
Ordem de Convergência do Método da Secante
Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é
p=1.618 ...
Comparação dos Métodos
O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações.
Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração.
O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.
Comparação dos Métodos
No caso geral, não há método melhor!!!!!
Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for
muito elaborado, o MNR é indicado, caso
contrário o MS é aconselhável.
ExercíciosResolver os seguintes exercícios do
capítulo 2
2, 5, 10, 16, 19