zbirka reˇsenih izpitnih nalog iz matematike za biologe2 nekaj besed o zbirki priˇcujoˇca zbirka...

Zbirka resenih izpitnih nalog iz Matematike za

biologe

Karin Cvetko Vah

Univerza v Ljubljani

Ljubljana, 2009

2

Nekaj besed o zbirki

Pricujoca zbirka je nastajala v letih 2004 – 2008, ko sem kot asistentkavodila vaje iz predmeta Matematika za Biologe na Biotehniski fakulteti, inzdruzuje izpitne naloge iz tega obdobja. Vecina nalog je resenih, marsikjeso podani tudi napotki za resevanje. Zbirka je namenjena studentom 1.letnika Biologije na Biotehniski fakulteti Univerze v Ljubljani, kot pomoc pripripravah na izpit iz prakticnega dela snovi predmeta Matematika za Biologe.

To ni klasicna zbirka nalog, saj ne nudi sistematicnega stopnjevanja za-htevnosti od najpreprostejsih nalog preko malenkost tezjih do zahtevnih zanajboljse studente. Za sproten studij se naprej priporocam kaksno od stan-dardiziranih zbirk vaj iz Matematike 1 za univerzitetni studij narovoslovnihznanosti, kakor tudi Zbirko vaj, ki sva jo pripravila v soavtorstvu s prof. dr.Milanom Hladnikom, in je prosto dostopna na spletnem naslovuhttp://www.fmf.uni-lj.si/ hladnik/Bio/Prej/vaje.pdf.

Pricujoca zbirka pa predstavlja pomembno dopolnitev Zbirke vaj, sajstudentom poleg dodatnih nalog za samostojno delo nudi tudi konkretnopredstavo o zahtevnosti nalog, ki jih lahko pricakujejo na izpitu.

V Ljubljani, junija 2009 Karin Cvetko Vah

3

1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE10. december 2004

1. Dani sta preslikavi f : R → R × R in g : R × R → R, podani spredpisoma

f(x) = (x, 2x) in g(x, y) = y

za poljubna x, y ∈ R.

(a) Doloci obe zalogi vrednosti in pokazi, da je preslikava f injektivna,g pa surjektivna.

(b) Izracunaj kompozituma f ◦ g in g ◦ f in ugotovi, kaksne lastnostiimata preslikavi f ◦ g in g ◦ f . Ce je katera od njiju bijektivna,poisci njen inverz.

2. Iz kupa 52 kart izberemo 5 kart.

(a) Na koliko nacinov lahko to storimo?

(b) Kaksna je verjetnost, da so med izbranimi kartami natanko trijekralji?

3. Poisci matriko X, ki zadosca enacbi AX + B = I, kjer je

A =

1 1 10 1 00 0 1

.

in

B =

1 2 13 0 00 0 4

.

.

4. Dana je matrika

A =

3 2 21 4 1−2 −4 −1

.

Izracunaj njene lastne vrednosti in lastne vektorje. Ali se da A diago-nalizirati?

4

RESITVE

1. a) Zf = {(x, y); y = 2x}, Zg = R. Funkcija f je injektivna, saj iz(x, 2x) = (x′, 2x′) sledi x = x′; ni pa surjektivna, saj denimo urejenipar (1, 3) ni slika nobenega x-a. Preslikava g je surjektivna, ker je njenazaloga vrednosti enaka kodomeni (poljuben y ∈ je slika urejenega para(1, y)). g ni injektivna, ker je g(1, 2) = g(2, 2) = 2.

b) (f ◦ g)(x, y) = (y, 2y): preslikava je injektivna, ni surjektivna. (g ◦f)(x) = 2x: bijektivna preslikava z inverzom (g ◦ f)−1(x) = x

2.

2. a)

(

525

)

= 2598960. b)

43

482

525

=0.0017. c) 1 −

485

525

=0.34.

3.

X = A−1(I − B) =

3 −3 2−3 1 00 0 −3

.

4.

D =

1 0 00 2 00 0 3

, S =

−1 −2 00 1 −11 0 1

.

5

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE25. marec 2005

1. Za katera stevila x je vrsta∞

∑

n=1

2n|x − 1|nn

konvergentna?

2. Izracunaj limiti:

(a)

limx→0

(1

x− 1

ex − 1),

(b)

limx→1

arctg(x−1x

)

x − 1.

3. Doloci realno stevilo a tako, da bo funkcija

f =

{

4x4+x2 ; x ≥ 0

a; x < 0

zvezna in narisi graf te zvezne funkcije (izracunaj asimptote, ekstremein prevoje).

4. Stozcu z visino v = 2m in polmerom osnovne ploskve R = 1m vcrtajvalj z najvecjo prostornino.

RESITVE

1. Vrsta konvergira na intervalu (12, 3

2).

2. a) 12. b) 1.

3. a = f(0) = 0; asimptota: limn→∞ f(x) = 0, lokalni maksimum v tocki(2, 1), prevoj v tocki (12, 12

37).

4. Valj ima polmer osnovne ploskve r = 23m in visino x = 2

3m.

6

3. kolokvij iz matematike za biologe, 20. maja 2005

1. Funkcijo

y =1

3 − x

razvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke x = 1.

Kje je vrsta konvergentna?

Koliko je f (2005)(1)?

2. Izracunaj:

(a)∫

exdx√4 − e2x

,

(b)∫ π

0

sin xdx

2 cos2 x + sin2 x.

3. Dana je funkcija dveh spremenljivk

f(x, y) = x2 + y2 − 4x − 2y + 5.

(a) Doloci njene lokalne ekstreme in jih klasificiraj.

(b) Doloci vezane ekstreme pri pogoju x2 + y2 = 5.

4. Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

y′ − 2xy = x.

Napravi preizkus.

RESITVE

7

1.a)∞

∑

n=0

(x − 1)n

2n+1.

b) Vrsta je konvergentna na intervalu (−1, 3).

c) f (2005)(1) = 2005!22006 .

2. a) arcsin( ex

2) + C.

b) π2.

3. a) V tocki T(2,1) je lokalni minimum, zmin = 0.

b) T1(2, 1), T2(−2,−1).

4. y = Cex2 − 12.

8

PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE, 31. 5. 2005

1. Dana je matrika

A =

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

.

Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A. Ali se da diago-nalizirati?

2. Dana je funkcija

y =x + 1

x − 1.

Narisi njen graf in izracunaj ploscino pod krivuljo na intervalu[

32, 4

]

.

3. Dana je funkcija

z (x, y) = eyϕ

(

yex2

2y2

)

.

kjer je ϕ neka funkcija ene spremenljivke. Izracunaj parcialna odvoda∂z∂x

in ∂z∂y

ter pokazi, da funkcija z zadosca enacbi:

(

x2 − y2) ∂z

∂x+ xy

∂z

∂y= xyz.


y′′ − 2y′ + y = 4e−t.

(Nasvet: posebno resitev poisci z nastavkom y = Ae−t.)

RESITVE

9

1. Lastna vrednost je −1, matrika ima samo en linearno neodvisen lastnivektor (−1,−1, 1). Zato se ne da diagonalizirati. (Za diagonalizacijo birabili bi 3 linearno neodvisne lastne vektorje.)2. p = 5

2+ ln 6 ≈ 6, 08.

3.

∂z

∂x= eyϕ′(ye

x2

2y2 )xex2

2y2 ,∂z

∂y= eyϕ(ye

x2

2y2 ) + eyϕ′(yex2

2y2 )ex2

2y2 (1 − x2).

Direkten racun pokaze, da parcialna odvoda ustrezata dani enacbi.4. y = (c1t + c2)e

t + e−t.

10

IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE, 23. 6. 2005

1. Dana je matrika

A =

2 3 + x 43 4 5

1 + x 2 + x 3 + x

.

Poisci vse x-e, ki zadoscajo enacbi

det A = 0.

2. Izracunaj limiti

(a)

limx→0

x − arctgx

x3,

(b)lim

n→∞(√

n2 + n −√

n2 − n).

3. Doloci in klasificiraj lokalne ekstreme funkcije

f(x, y) = ex

2 (x + y2).

4. Poisci tisto posebno resitev diferencialne enacbe

y′ =y

x− 1,

ki zadosca pogoju y(e) = 0.

RESITVE

1. det A = 2x2 − 4x; x1 = 0, x2 = 2.2. a) 1

3. b) 1.

3. ∂f

∂x= e

x

2 (1 + x2

+ y2

2), ∂f

∂y= 2ye

x

2 . V tocki (−2, 0) doseze funkcija lokalni

minimum −2e.

4. y = (− ln x + 1)x.

11

IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE25. AVGUST 2005

1. Resi matricno enacbo XA = B, kjer je

A =

1 0 −22 1 −43 −1 −5

in

B =

−1 1 30 2 7−5 3 8

.

Napravi preizkus.

2. Zaporedje je podano rekurzivno z a1 = 12

in formulo an+1 = 12(an + 1).

Poisci formulo za splosni clen zaporedja in izracunaj limn→∞ an.

3. Dana je krivulja r = 2 (1 − cos ϕ), kjer je ϕ ∈ [0, 2π]. Narisi njen grafin izracunaj ploscino in obseg lika, ki ga oklepa.

4. Poisci splosno resitev enacbe

y′′ − y = sin(2t).

RESITVE

1.

X =

−8 2 1−39 9 7−1 1 −2

.

2. an = 1 − 12n , limn→∞ an = 1.

3. ”Obrnjenasrcnica. Ploscina: 12

∫ β

αr2dφ = 6π. Obseg:

∫ β

α

√r2 + r′2dφ =

16.4. y = c1e

t + c2e−t − 1

5sin(2t).

12

IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE15. SEPTEMBER 2005

1. Dana je matrika

A =

3 0 02 −2 −53 −1 2

.

Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A. Ali se da diago-nalizirati?


(a)

limx→0

sin(4x)√x + 1 − 1

(b)

limx→0

1 − cos x2

x sin x

3. Funkcijoy = e2x − sin x

razvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke 0 do potence x6. Koliko je koefi-cient pri x6?

4. Poisci splosno resitev enacbe

y′′ − 7y′ + 6y = tet.

Nasvet: posebno resitev poisci z nastavkom: y = (At2 + Bt)et.

RESITVE

1. Lastne vrednosti: 3,−3. Lastna vektorja: (0, 5, 1), (0,−1, 1). Matrika sene da diagonalizirati, ker nima treh neodvisnih lastnih vektorjev.2. a) 8. b) 1

8.

3. 1 + x + 2x2 + 32x3 + 2

3x4 + 31

120x5 + 4

45x6 + ..., a6 = 4

45.

4. y = c1et + c2e

6t − ( 110

t2 + 125

t)et.

13


1. Dana je mnozica A = {n ∈ N|n ≤ 20}. Na mnozici A imamo podanorelacijo R s predpisom: mRn natanko tedaj, kadar obstaja tako stevilok ∈ Z, da velja m − n = 4k.

(a) Pokazi, da je R ekvivalencna relacija,

(b) Doloci ekvivalencne razrede, na katere R razbije mnozico A.

(c) Kateri elementi n mnozice A imajo lastnost nR6?

2. Strelca streljata v tarco. Prvi jo zadene z verjetnostjo 34, drugi pa z

verjetnostjo 58. Vsak dvakrat ustreli proti tarci, ki je le enkrat zadeta.

Kaksna je verjetnost, da jo je zadel prvi strelec?

3. Doloci realno stevilo a, tako da bo naslednji sistem resljiv in resi sistem:

x − y + z = 32x + y − 2z = 1−x − 5y + 7z = a.

4. Dana je matrika

A =

−11 −8 012 9 024 18 −1

.


RESITVE

1. (a) Refleksivnost: za vsak n velja n − n = 4 · 0. Zato velja nRn za vsakn ∈ A.

Simetricnost: denimo, da za neka m, n ∈ A velja mRn. Torej obstajatako celo stevilo k, da je m − n = 4k. Potem je pa n − m = 4(−k) in zatonRm.

14

Tranzitivnost: denimo, da za neke m, n, o ∈ A velja mRn in nRo. Torejobstajata taki celi stevili k in l, da velja m−n = 4k in n−o = 4l. Sestejemoti dve enacbi in dobimo m − o = 4(k + l). Torej velja tudi mRo.(b) V nekem ekvivalencnem razredu lezijo natanko vsi elementi mnozice A,ki so med seboj v relaciji. Ekvivalencni razredi so torej: [1] = {1, 5, 9, 13, 17},[2] = {2, 6, 10, 14, 18}, [3] = {3, 7, 11, 15, 19}, [4] = {4, 8, 12, 16, 20}.(c) 2, 6, 10, 14, 18. (To so ravno vsi elementi, ki lezijo v istem ekvivalencnemrazredu kot 6.)2. Oznacimo s C dogodek, da je cilj enkrat zadet in z Z1 dogodek, da prvistrelec v dveh poskusih enkrat zadene cilj. Iscemo torej verjetnost P (Z1|C).Racunamo lahko po formuli za pogojno verjetnost

P (Z1|C) =P (Z1 ∩ C)

P (C).

Dogodek C se lahko zgodi na stiri mozne nacine: prvi ga lahko zadene vprvem ali drugem poskusu ali pa ga zadene drugi v prvem ali drugem poskusu.Zato je

P (C) = 23

4

1

4

(

3

8

)2

+ 25

8

3

8

(

1

4

)2

=84

16 · 64

Podobno je

P (Z1 ∩ C) = 23

4

1

4

(

3

8

)2

=54

16 · 64

Torej je

P (Z1|C) =P (Z1 ∩ C)

P (C)=

54

84=

9

14.

3. a = 7; resitev sistema:

xyy

=

4/3−5/3

0

+ t

1/34/31

.

4.

D =

−3 0 00 −1 00 0 1

, S =

−1 0 −21 0 33 1 3

.

15



(a) limx→2

√4x + 2 −

√6x − 2

√x −

√2

(b) limx→1

x ln x − x + 1

(x − 1) lnx

2. Ali sta vrsti konvergentni?

(a)∞

∑

n=1

2n

n2

(b)∞

∑

n=1

(n!)2

(2n)!

3. Dan je kvadratni list papirja s stranico a = 1m. V vsakem vogaluizrezemo kvadrat enake velikosti. Nato sestavimo skatlo brez pokrova.Kaksna mora biti stranica izrezanih kvadratov, da bo prostornina skatlenajvecja?

4. Dana je funkcija

y =ln x

x.

Doloci definicijsko obmocje, zalogo vrednosti, nicle, vodoravne in navpicneasimptote, ekstreme, intervale narascanja in padanja ter prevoje. Cimbolj natancno narisi graf.

RESITVE

16

1. (a) − 2√5, (b) 1

2.

2. (a) Ne, saj cleni vrste ne grejo proti 0. Lahko tudi kvocientni ali korenskikriterij.

(b) Kvocientni kriterij:

an = 1·2·...·n·1·2·...·n1·2·...·n·(n+1)·(n+2)·...·2n

= 1·2·...·n(n+1)·(n+2)·...·2n

inan+1

an

= 1·2·...·n·(n+1)·(n+1)·(n+2)·...·2n

(n+2)·(n+3)·...·2n·(2n+1)·(2n+2)·1·2·...·n

= (n+1)2

(2n+1)(2n+2).

Zato

limn→∞

an+1

an

= limn→∞

(n + 1)2

(2n + 1)(2n + 2)=

1

4< 1.

Vrsta je konvergentna.3. Oznacimo z x dolzino kvadrata, ki ga izrezemo. Skatla ima za osnovnoploskev kvadrat s stranico 1 − 2x in visino x. Njena prostornina je torej

V = (http : //www.atemi− klub.si/1 − 2x)2x = 4x3 − 4x2 + x.

Da bo prostornina najvecja, mora biti V ′ = 0, torej 12x2 − 8x + 1 = 0.Dobimo x1 = 1

2in x2 = 1

6. Resitev x1 ni dobra, saj bi nam dala skatla s

prostornino V = 0. Najvecjo prostornino torej dobimo pri x = 16.

4. Df = (0,∞), Zf = (−∞, 1e), nicla pri x = 1. Navpicna asimptota: x = 0.

Vodoravna asimptota: y = 0. V tocki T (e, 1e) doseze funkcija maksimum, na

intervalu (0, e) narasca, na intervalu (e,∞) pa pada. Prevoj: pri x = e3

2 .

1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

17

3. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE18. maj 2006

1. Funkcijo

f(x) =5

6 + x − x2

razvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke 0.

2. Izracunaj ploscino lika med parabolo y = −x2+2x in premico y = x−2.

3. Doloci najvecjo in najmanjso vrednost funkcije

f(x, y) = x2 − 2x + y2 − 2y

na trikotniku z oglisci A(0, 0), B(2, 0) in C(0, 2).


y′ +y

1 + x= 3(1 + x).

RESITVE

1. Ulomek najprej razstavimo na parcialne ulomke:

f(x) =1

3 − x+

1

x + 2.

Razvijemo vsak clen posebej:

1

3 − x=

1

3(1 − x3)

=

∞∑

n=0

xn

3n+1

in1

2 + x=

1

2(1 − (−x3))

=

∞∑

n=0

(−1)nxn

2n+1

Na koncu sestejemo in dobimo:

f(x) =

∞∑

n=0

(1

3n+1+

(−1)n

2n+1)xn

18

2. Najprej izracunamo presecisci: x = −1 in x = 2. Ploscino racunamopo formuli:

p =

∫ 2

−1

(−x2 + 2x − x + 2)dx =

∫ 2

−1

(−x2 + x + 2)dx =9

2.

3. V notranjosti izracunamo oba parcialna odvoda in dobimo kandidate zaekstreme kot skupne nicle obeh odvodov. Edini kandidat v notranjostije T1(1, 1). Vrednost funkcije v tej tocki je f(1, 1) = −2. Na premicix = 0 imamo f(y) = y2−2y in stacionarno tocko T2(0, 1); f(0, 1) = −1.Na premici y = 0 imamo f(x) = x2 − 2x in stacionarno tocko T3(1, 0);f(1, 0) = −1. Tretja stranica trikotnika lezi na premici y = 2 − x.Edina stacionarna tocka na tej premici je tocka T1. Vrednost funkcijev ogliscih: f(0, 0) = f(0, 2) = f(2, 0) = 0. Kandidati za ekstremeso torej vsa tri oglisca in tocke T1, T2, T3. Najvecjo vrednost dosezefunkcija v ogliscih, najmanjso pa v tocki T1.

4. Resitev homogene enacbe je yH = C1+x

. Posebno resitev lahko uganemo:yP = 1 + x2. Splosna resitev je torej

y = yH + yP =C

1 + x+ (1 + x)2.

Ce ne uganemo posebne resitve, delamo variacijo konstante.

19

PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE1. junij 2006

1. V posodi so listki, ostevilceni od 1 do 50. Na slepo potegnemo en listek.Koliksna je verjetnost, da bo stevilo na listku

(a) deljivo s 6

(b) vecje od 5 in manjse od 32?

2. Resi enacbo AX + BX = AB − I, kjer je

A =

1 0 31 1 00 0 1

in B =

0 1 00 1 00 0 0

.

3. Dana je funkcijaf(x) = xe−x.

Doloci njeno definicijsko obmocje, zalogo vrednosti, ekstreme, obmocjanarascanja in padanja ter prevoje. Cimbolj natancno narisi graf.


y′′ − 2y′ + y = cos x.

20


1. Resi sistem linearnih enacb:

x − 3y − 5z + 2u = −11−x + 2y + 4z + u = 8

x + 4y − z = −242x − 5y − 3z − u = 13

2. S pomocjo kvocientnega oz. korenskega kriterija ugotovi, ali sta nasled-nji vrsti konvergentni:

(a)∞∑

n=1

3n

n5 ,

(b)∞∑

n=1

n(ln n)n .

3. Poisci enacbo tangente in normale na krivuljo

y =8

4 + x2

pri x = 2.

4. Poisci tisto resitev diferencialne enacbe

√1 − x2y′ +

√

1 − y2 = 0,

ki zadosca pogoju y(−√

22

) = 1.

RESITVE

1. x = 1, y = −5, z = 5 in u = −1.

2. a) limn→∞

an+1

an

= 3; vrsta divergira. b) limn→∞

n√

an = 0; vrsta konvergira.

21

3. (b) y′ = −16x(4+x2)2

, y′(2) = −12

= kT in kN = 2. Enacba tangente na

krivuljo skozi tocko T (2, 1) je y = −x2+2, enacba normale pa y = 2x−3.

(c) Ploscina je

∫ ∞

−∞

9

4 + x2dx = 2

∫ ∞

0

9

4 + x2dx = 16 arctg t|∞0 = 8π.

4. Enacba ima locljive spremenljivke. Splosna resitev je y = sin(− arcsin x+C). Pogoj nam da C = π

4in posebna resitev je yP = sin(− arcsin x +

π4) =

√2

2(√

1 − x2 − x).

22

PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE24. avgust 2006

1. Dana je matrika

A =

1 2 3−4 0 2−2 4 8

.

Doloci njene lastne vrednosti in lastne vektorje. Ali je matrika A diag-onalizabilna?

2. Med vsemi pravokotnimi trikotniki s hipotenuzo c = 1dm doloci tistega,ki ima najvecjo ploscino. (Izracunaj dolzini katet.)

3. Izracunaj∫ ∞

0

dx

x2 + 5x + 6


xy′ − 2y = x3 lnx,

ki gre skozi tocko T (1, 3).

RESITVE

1. Lastne vrednosti: 0, 2, 7. Ustrezni lastni vektorji: [2,−7, 4]T , [1,−1, 1]T , [1, 0, 2]T .

2. Dobimo enakokraki trikotnik s katetama a = b =√

22

.

3. ln 32.

4. yP = (x(ln x − 1) + 4)x2.

23


1. Na parih naravnih stevil je podana relacija R s predpisom

(m, n)R(p, r) ⇔ m + n = p + r.

(a) Kateri urejeni pari so v relaciji s parom (3, 4)?

(b) Ali je R ekvivalencna relacija?

2. Iz kraja A v kraj B peljeta dve cesti, iz kraja B v kraj C pa tri. Direk-tne poti od A do C ni. Vsaka od cest je prehodna z verjetnostjo p = 1

3

(in prehodnost vsake od cest je neodvisna od prehodnosti ostalih).

(a) Izracunaj verjetnost, da ni prehodne poti iz kraja A v kraj B.

(b) Izracunaj verjetnost, da ni prehodne poti iz kraja A v kraj C.

(c) Vemo, da iz kraja A v kraj C ni prehodne poti. Kaksna je verjet-nost, da kljub temu lahko pridemo iz kraja A v kraj B?

(Nasvet: narisi skico.)

3. Poisci matriko X, ki zadorsca enacbi

AXB−1 = I,

kjer je

A =

1 1 10 1 01 0 0

in B =

2 1 00 1 −22 1 3

.

4. Dana je matrika

A =

−1 11 −10 4 0−3 13 −3

.


24

RESITVE

1. Dva urejena para sta v relaciji natanko tedaj, ko imata enako vsotokomponent. (a) [(3, 4)] = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, (b) ja.2. (a) 4

9, (b) 148

243, (c) 10

37.

3.

X = A−1B =

2 1 30 1 −20 −1 −1

.

Pri tem je

det A = −1 in A−1 =

0 0 10 1 01 −1 −1

.

4. Matriko lahko diagonaliziramo. Pri tem je

D =

−4 0 00 4 00 0 0

in S =

1 2 −10 1 03 1 1

.

25


1. S pomocjo kvocientnega kriterija ugotovi, ali je katera od naslednjihvrst konvergentna:

(a)∞∑

n=1

3n

n3

(b)∞∑

n=1

n!nn


(a) limx→2

sin(x−2)x2−4

,

(b) limx→1

x ln x−x+1(x−1) ln x

.

3. Dana je funkcija

f(x) =ex

x − 1.

Doloci njeno definicijsko obmocje, nicle, ekstreme ter narisi graf.

4. Pravokotnik je vrisan v del ravnine med abscisno osjo in parabolo y =1 − x2. Kaksne naj bodo dolzine njegovih stranic, da bo imel

(a) najvecjo ploscino?

(b) najvecji obseg?

RESITVE

1. a) an+1

an

= 3( nn+1

)3 → 3 > 1, vrsta divergira; b) an+1

an

= ( nn+1

)n → 1e

< 1,vrsta konvergira.

2. a) 14; b) 1

2.

26

3. Df = R\{1}, nicel ni, pol pri x = −1, lokalni minimum v T (2, e2),limx→∞

f(x) = ∞ in limx→−∞

f(x) = 0.

4. a) Stranici pravokotnika sta a = 2√

33

, b = 23, ploscina pa p = 2

√3

9;

b) pravokotnik z najvecjim obsegom ne obstaja; najvecji obseg bi imelizrojeni pravokotnik s stranicama a = 2, b = 0, o = 4.

27

3. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE24. maj 2007

1. Dani sta krivulji

y = −1

4x2 + x + 3 in y =

1

2x2 − 2x + 3.

Narisi grafa obeh krivulj (lahko na isti sliki) in izracunaj ploscino lika,ki ga oklepata.

2. Funkcijo

f(x) =4 − 3x

x2 − 3x + 2

razvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke x = 0.

3. Dana je funkcija dveh spremenljivk

f(x, y) = x2 + xy + y2 + x + y.

(a) Poisci in klasificiraj lokalne ektreme funkcije f(x, y).

(b) Doloci najvecjo in najmanjso vrednost funkcije f(x, y) na premicix + y + 1 = 0.

4. Poisci tisto posebno resitev diferencialne enacbe

y′ + xy = x,

ki zadosca pogoju y(0) = 0.

RESITVE

1. Presecisci parabol sta tocki T1(0, 3) in T2(4, 3). Ploscina lika, ki gaoklepata, pa je

p =∫ 4

0(−1

4x2 + x + 3) − (1

2x2 − 2x + 3)dx = 8.

28

2. Funkcijo f(x) razstavimo na parcialne ulomke

f(x) = − 1

x − 1− 2

x − 2

in vsak ulomek posebej razvijemo v vrsto. Dobimo

f(x) =

∞∑

n=0

xn +

∞∑

n=0

(x

2)n =

∞∑

n=0

(1 +1

2n)xn.

3. Dobimo naslednje kandidate za ektreme: a) V tocki T1(−13,−1

3) je

lokalni minimum. (A = 2, ∆ = 3, vrednost funkcije v T1 je f(−13,−1

3) =

−13.) b) Funkcija doseze najmanjso vrednost (−1

4) v tocki T2(−1

2,−1

2).

4. Splosna resitev homogene enacbe y′ + xy je yH = Ce−x

2

2 . Metodavariacije konstante nam da splosno resitev nehomogene enacbe y =

De−x

2

2 + 1. Upostevanje zacetnega pogoja nam da D = −1 in dobimo

posebno resitev enacbe yP = 1 − e−x

2

2 .

29


1. Poisci vse resitve sistema enacb.

w + x − y − z = 0w − x + y − z = 10w + x − 3y + z = −14w − x − y + z = −4

2. Dana je funkcija

f(x) =x2 + 1

x2 + 2x + 1.

Doloci njeno definicjsko obmocje, nicle, asimptote, presecisca z asimp-toto, ekstreme in prevoje ter cimbolj natancno narisi graf.

3. Zapisi razvoj funkcije f(x) = cos x razvij v Taylorjevo vrsto okrog tockex = π

4do potence (x − π

4)4.


y′ +2y

x= x3,


RESITVE

1.

wxyz

=

5270

+ z

1111

.

2. Df = R\{−1}, nicel ni, vodoravna asimptota: y = 1, presecisce zasimptoto: T1(0, 1). V tocki T2(1, 1/2) je lokalni minimum, v tockiT3(2, 5/9) pa prevoj.

30

-6 -4 -2 2 4

-4

-2

2

4

3. Uvedemo u = x− π4, uporabimo adicijski izrek in uporabimo razvoj za

funkcijo cos u okrog tocke u = 0. Dobimo:

cos x =

√2

2(1 − (x − π

4) − (x − π

4)2

2!+

(x − π4)3

3!+

(x − π4)4

4!+ ...).

Lahko razvijamo tudi po definicji.

4. Splosna resitev homogene enacbe je

yH =C

x2,

splosna resitev nehomogene enacbe pa

y =D

x2+

1

6x4.

Zacetni pogoj nam da D = 5/6 in iskana resitev je

y =5

6x2+

1

6x4.

31


1. Dana je matrika

A =

[

2 −5−1 3

]

.

Poisci taksni matriki X in Y , da bo veljalo

AX = A−1 in AY = AT .

2. Dana je funkcija

f(x) =ex

x.

Doloci njeno definicjsko obmocje, nicle, ekstreme, vodoravne in navpicneasimptote ter cimbolj natancno narisi graf.

3. Izracunaj ploscino lika, ki ga oklepajo parabola y = x2 in njeni tangentiv tockah x = ±2.


y′′ − 2y′ − 3y = −4ex.

RESITVE

1.

X = (A−1)2 =

[

14 255 9

]

in Y = A−1AT =

[

−19 12−8 5

]

.

2. Df = R\{0}, nicel ni, lokalni minimum v tocki T (1, e). Imamo limx→0+

f(x) =

∞, limx→0−

f(x) = −∞, limx→∞

f(x) = ∞ in limx→−∞

f(x) = 0.

32

3. Tangenta v tocki T1(2, 4) ima enacbo y = 4x − 4, tangenta v tockiT2(−2, 4) pa y = −4x − 4. Obe tangenti se sekata v tocki T3(0,−4).

Ploscina dobljenega lika je

p = 2

∫ 2

0

(x2 − (4x − 4))dx =16

3.

4. Diferencialni enacbi pripada karakteristicni polinom λ2 − 2λ − 3 =0, katerega resitvi sta λ1 = 3 in λ2 = −1. Zato je splosna resitevhomogene enacbe

yH = C1e3x + C2e

−x.

Posebno resitev nehomogene enacbe poiscemo z nastavkom yP = Aex,vstavimo v enacbo in dobimo A = 1, yP = ex. Splosna resitev neho-mogene enacbe je zato

y = yH + yP = C1e3x + C2e

−x + ex.

33


1. Poisci vse lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

.

Ali se da matrika A diagonalizirati?

2. (a) limn→∞

(√

n2 + n −√

n2 − n),

(b) limx→∞

2e−x+e−2x

e−x−e−2x .

3. Kateri pravokotnik, vcrtan cetrtini kroga s polmerom 1, je ploscinskonajvecji? Kaksen del cetrtine kroga pokrije ta pravokotnik?


xy′ − y = x2,


RESITVE

1. Matrika ima tri razlicne lastne vrednosti: 3,−2, 1 in se da diagonal-izirati.

S =

1 −1 −12 1 41 1 1

.

2. a) 1, b) 2.

34

3. Ploscina pravokotnika je

p = xy = x√

1 − x2.

Za ekstremalno funkcijo lahko vzamemo

f(x) = p(x)2 = x2 − x4.

Odvajamo f(x) in izracunamo niclo odvoda. Ugotovimo, da ima iskani

pravokotnik stranici x = y =√

22

, njegova ploscina pa je 12. Pravokotnik

tako pokrije 2π

kroga.

4. Splosna resitev diferencialne enacbe je y = Cx + x2, iskana posebnaresitev pa je y = x2 − x.

35

PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE13. september 2007


A =

1 0 −22 1 −43 −1 −5

in B =

−1 1 30 2 7−5 3 8

.

Napravi preizkus.

2. Dana je funkcija

f(x) =x2 + 1

x2 + 2x + 1.

Doloci njeno definicjsko obmocje, nicle, asimptote, presecisca z asimp-toto, ekstreme in prevoje ter cimbolj natancno narisi graf.

3. Izracunaj ploscino lika med parabolo y = −x2+2x in premico y = x−2.


y′′ − y = cos(3x).

36

1. DELNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE27. november 2007

1. Dane so mnozice A = {n ∈ N |n ≤ 7000}, B = {n ∈ N |n sodo stevilo}in C = {n ∈ N |n deljiv s 7}.

(a) Doloci mnozico A ∩ (B ∪ C). Koliko elementov ima?

(b) Naj bo funkcija f : B → C podana s predpisom f(n) = 7n. Alije funkcija f injektivna? Kaj pa surjektivna?

2. V skatli je 10 zarnic. Od teh je 5 pokvarjenih. Na slepo izberemo 6zarnic. Koliksna je verjetnost, da so med njimi natanko 3 pokvarjene?

3. Naj bo

A =

1 1 00 −1 00 1 1

in B =

1 2 00 1 −12 0 1

Doloci matriko X, ki zadosca enacbi XA − B = I.

4. Ugotovi, za kaksen parameter a je sistem

2x + 2y + 3z = 8x + z = 3x + 4y + 3z = a.

resljiv in ga resi.


(a) limn→∞

(√

n2 − n −√

n2 + 1),

(b) limn→∞

3n+2n7−2n+1

n2+3n+1 .

RESITVE

37

1. a) A∩(B∪C) = {n ∈ N |n ≤ 7000, n deljiv vsaj z enim izmed stevil 2, 7}in ima 3500 + 1000− 500 = 4000 elementov. b) Funkcija je injektivna,ni pa surjektivna, saj 7 ∈ C ni slika nobenega elementa mnozice B.

2.(

53

) (

53

)

(

106

) =10

21.

3.

X = (I + B)A−1 =

2 0 00 −3 −12 4 2

.

4. Dobimo a = 7 in resitev je

xyz

=

310

+ z

−1−1

2

1

Resitev lahko podamo tudi z uporabo parametra y oziroma x.

5. a) −12, b) 1

3.

38

IZPIT (naloge 1–5) / 2. DELNI IZPIT (naloge 3–7)27. november 2007

1. Iz liste desetih kandidatov moramo izbrati komisijo, ki ima predsednika,podpredsednika in se tri clane. Na koliko nacinov lahko to storimo?


A =

1 0 −22 1 −43 −1 −5

in B =

−1 1 30 2 7−5 3 8

.

3. Dana je funkcija

y =1

x2 − x − 1.

Doloci nicle pole, asimptote in ekstreme ter narisi graf.

4. Na skupni sliki narisi grafa krivulj y = 2−2x2 in y = x−1 ter izracunajploscino lika, ki ga oklepata.


y′′ − 2y′ − 3y = e2x.


(a) limx→1

1−√

2−x√3+x−2

,

(b) limx→0

2−x2−2 cos xx4 .

7. Doloci in klasificiraj lokalne ekstreme funkcije

f(x, y) = x2 − xy + y2 + 9x − 6y + 2.

39


1. Dana je matrika

A =

1 2 3−4 0 2−2 4 8

.

Doloci njene lastne vrednosti in lastne vektorje.

2. Med vsemi pravokotnimi trikotniki s hipotenuzo c = 1 dm doloci tis-tega, ki ima najvecjo ploscino. (Izracunaj dolzini katet.)

3. Izracunaj∫ 1

0

dx

x2 + 5x + 6


xy′ − 2y = x3 ln x,


40

PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE2. julij 2008

1. Dana je matrika

A =

1 2 3−4 0 2−2 4 8

.

Doloci njene lastne vrednosti in lastne vektorje.

2. Med vsemi pravokotnimi trikotniki s hipotenuzo c = 1 dm doloci tis-tega, ki ima najvecjo ploscino. (Izracunaj dolzini katet.)

3. Izracunaj∫ 1

0

dx

x2 + 5x + 6


xy′ − 2y = x3 lnx,


41


1. Resi enacbo:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 2 31 2 − x2 2 32 3 1 52 3 1 9 − x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

2. Dana je funkcija

y =2x2 − x3

x2 + 1.

Doloci njene nicle, pole, asimptote in ekstreme ter cimbolj natancnonarisi graf.

3. Izracunaj integrala:

(a)∫

(x + 3)dx

x2 + 6x − 5,

(b)∫

xe−x2

dx.


y′′ − 4y = 4x2 − 6,

ki zadosca pogojema y(0) = 0 in y′(0) = 0.

(Nasvet: Najprej resi homogeno enacbo, nato pa z nastavkom y = ax2+bx + c poisci se posebno resitev nehomogene enacbe.)

zbirka reˇsenih izpitnih nalog iz matematike za biologe2 nekaj besed o zbirki priˇcujoˇca zbirka...

Documents