zaman serİsİ sÜreÇlerİ durağan ve durağan olmayankisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/ekonometri...

ZAMAN SERİSİ SÜREÇLERİ Durağan ve Durağan Olmayan

Zaman Serileri

1

Zaman Serileri Analizi Zaman Serisi Modelleri Veri Üretme Süreci(DGP) Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Süreçler

Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri

Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Rassal Yürüyüş Süreci Kayan Rassal Yürüyüş Süreci Zaman Trendleri Genelleştirme Entegre Seriler

2

Zaman Serileri Analizi Zaman Serisi Nedir?

Bir dönemden diğerine değişkenlerin değerlerinin ardışık bir şekilde gözlendiği sayısal büyüklüklerdir.

Özelliği ve yapısı ile bizzat kendisi geleceğin tahmininde kullanılan bir bilgi kaynağı olduğu gibi, aynı zamanda bir yöntem olmaktadır.

Neden- sonuç bağlantısı olmaktan çok, serinin ileriye doğru güvenilir bir uzantısının bulunmasıdır.

3

Zaman Serileri Analizi

Zaman serisi analizinin özet olarak iki amacı:

Tek değişkenli zaman serileri analizi=Tek bir seri

Çok değişkenli zaman serileri analizi=İki veya daha fazla seri

Öncelleştirme, geciktirme, geri besleme ilişkileri

Zaman serisi modeli, X ile Y arasındaki fonksiyonel ilişki ile değil, Yt ile Yt-(1,2,…t) arasındaki ilişkiyle ilgilenir.

4

Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi

Trend

Konjonktür

Mevsim etkileri

Düzensiz hareketler

5


Zaman Serileri Analizi Trend, zamana göre gözlemlenen bir

değişkenin uzun dönemde gösterdiği artış veya azalışa denir.

Trend, iki şekilde ifade edilebilir: Doğrusal Trend ve Doğrusal Olmayan Trend

6

0

10

1999 2001 2003 2005 2007 2009

Doğrusal Trend

0

10

1999 2001 2003 2005 2007 2009

Doğrusal Olmayan Trend

Zaman Serileri Analizi Konjonktürel (Devrevi) Hareketler, 2-10 yıl veya daha

uzun bir dönemde serinin seyrinde oluşan değişmelerdir ya da zaman serisindeki dalgalanmalar bir yıldan daha uzun dönemi kapsar şekilde seyir izliyorsa bu gidişat konjonktür unsuru olarak adlandırılır.

7

0

8

1998 2000 2002 2004 2006 2008

Konjonktür Etkisi Taşıyan Bir Seri


Mevsim etkileri, 1 yıl içinde tamamlanan ve veride yıl bazında tekrarlanan değişmelerin seyri olarak ifade edilir.

Konjonktürel hareketin özel bir hali olarak düşünülebilir.

8

Zaman Serileri Analizi Düzensiz(rassal) hareketler, zaman serisindeki düzensiz

değişmelerdir ve diğer bileşenlerden hiçbiri bu değişmelerin nedeni olarak gösterilemez.

Düzensiz(rassal) hareketlerin tanımlanabilir bir seyirleri yoktur.

Serideki yanıltıcı hareketlerdir.

Serinin diğer bileşenleri hesaplandığında geride kalan büyüklüklerdir.

9

0

15

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Düzensiz Değişmeler Sergileyen Seri

Zaman Serileri Analizi Zaman serisi Yt, trend, konjonktürel hareketler,

mevsimsel hareketler ve düzensiz hareketlerin bir fonksiyonu olarak düşünülebilir.

Zaman Serisi=f(Trend, Konjonktürel Hareketler, Mevsimsel Hareketler, Düzensiz Hareketler)

Yt=f(Tt,Ct,St,It)

It yerine bir stokastik değişken et tanımlanırsa;

Zaman serisi=İzlenen seyir+hata

Yt=f(Tt,Ct,St,et )

10

Zaman Serileri Analizi Geleneksel Zaman Serisi Ayrışım Yöntemi

Toplamsal Ayrıştırma Yöntemi

Yt=f(Tt,Ct,St,It)

Yt= Tt+Ct+St+It

Çarpımsal Ayrıştırma Yöntemi

Yt=f(Tt,Ct,St,It)

Yt=TtCtStIt

Geleneksel zaman serisi ayrışım yönteminde, özellikle zaman serilerinin trend, konjonktürel ve mevsimsel hareketlerin etkisi altında kaldığı versayılır ve ayrıştırma işlemi bu üç bileşenin It veya et ile tanımlanan düzensiz hareketlerin pür rassal süreç(temiz dizi) sağlanana kadar devam edilir.

11

Zaman Serileri Analizi Zaman serileri analizi, yalnızca serilerdeki trend,

konjonktür ve mevsimsel etkileri arındırma amacını gütmez.

Serilerin gelecekte alabilecekleri muhtemel değerleri önraporlamak ve serilerin temsil ettiği sistemi kontrol etmek gibi farklı amaçları da vardır.

Zaman serisi verilerinin durağan olduğu varsayılır. Eğer bir zaman serisinin ortalaması, varyansı ve

kovaryansı zaman boyunca sabit kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir.

12


E(Xt) = sabit (tüm t’ ler için)

Var(Xt) = sabit (tüm t’ ler için)

Cov(Xt, Xt+k)= sabit (tüm t’ ler için tüm k≠0 için)

13


Sahte regresyon, modelde yer alan trende sahip değişkenlerin birbirleriyle tamamen ilişkisiz olsalar dahi, R2 (belirlilik katsayısı) için yüksek değerler tahmin edildiğinde ortaya çıkar.

DW< R2 ise ‘sahte regresyon vardır’ denilebilir.

14

Zaman Serisi Modelleri Zaman unsuru, modellemede yeni bir boyut

olarak sunulur. Dinamik ekonometride modeller için kullanılan istatistiksel form, zaman serisi analizlerinde ele alınan modellerde kullanılır.

Yt=βXt+et Statik model Eğer Xt değişkeninde bir değişme olursa Yt

anında değişime cevap verir. Ancak Xt de bir değişme söz konusu değilse, Yt de de herhangi bir değişme olmayacaktır. Dolayısıyla sistem dengede kalacaktır.

15

Yt=β1Xt+β2Xt-1+ et Dinamik model Xt bir birim artarsa, Yt nin beklenen değeri

β1 in birim değerine bağlı olarak anında artacak, fakat β1+β2 nin tam değişimi yalnızca bütünüyle bir zaman dönemi geçtikten sonra hissedilir.

Yt=αYt-1 +β1Xt+ et Dinamik Model

16

Zaman Serisi Modelleri

Zaman Serisi Modelleri

Ekonomik zaman serilerinde, durağan dışılılığın nedeni, genellikle trend, konjonktürel ve mevsimsel hareketlerin etkilediği ileri sürülür.

Durağan dışılılığın bir başka nedeni de stokastik trend olabilir.

Yt=Yt-1+et t=1,2,…,T Rassal Yürüyüş modeli

Rassal yürüyüş modelinde, bütün t zamanlarındaki Y değerlerinin beklenen değeri yani ortalaması birbirine eşittir. Dolayısıyla sürecin ortalaması da sabittir.

17

Zaman Serisi Modelleri Yt=φYt-1+et Birinci dereceden otoregresif

bir zaman serisi modeli

│φ│<1 koşulunu sağlayan bir modelin durağan olduğu kabul edilir.

│φ│>1 ise zaman serisi patlayan bir seridir.

Yt nin bağımlılığını onun geçmiş değerlerine dayanarak açıklamanın alternatif bir yolu bir hareketli ortalama modeli yardımıyla oluşturulabilir:

Yt=et+θet-1 Hareketli Ortalama Süreci (MA(1))

18

Veri Üretme Süreci Zaman serileri analizinin amacı seriyi oluşturan

herhangi bir süreç (yani anakütle) modelini tanımlamak için bu sürecin gerçekleşmelerini (yani örneklemini) kullanmaktır.

Yt=φYt-1+et , │φ│<1

Bu modelin veri üretme süreci, p sayıda gecikme uzunluğunda

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+ et dir.

Ya da Yt=et+θ1et-1 │θ│<1 için

q uzunluğunda veri üretme süreci

Yt= et+ θ1et-1+…+ θqet-q dir.

19

Stokastik Süreçler Zaman serileri için olasılık modellerinin diğer bir tanımı

stokastik süreçlerdir..

Literatürde stokastik süreç, hem reel fiziksel süreç hem de onun matematiksel bir modeli olarak algılanır.

Rassal süreç kavramı ile stokastik süreç kavramı eşanlamdadır.

Bir stokastik süreçte her gözlem yani serideki her değer Y1,Y2,…,Yt bir olasılık dağılımından rassal olarak çekildiğinden rassal bir değişkendir ve gözlemlerin belirli bir olasılık dağılımına göre oluştuğu varsayılır.

Zaman serisi analizlerinin temel amacı gözlenen seride içerilen bilgiden yararlanarak stokastik sürecin özellikleri veya temel öğeleri hakkında çıkarımlarda bulunmaktır.

20

Stokastik Süreçler Kolmogorov, çalışmasıyla belirli düzenli koşulları sağlayan

stokastik süreçlerin sonlu boyutlu dağılım ile tanımlanabileceğini göstermiştir.

Stokastik süreci tasvir etmenin bir yolu, t1,…, tn herhangi bir seti için Yt1,…,Ytn birleşik olasılık dağılımını tanımlamaktır.

Süreci tasvir etmenin bir başka yolu da sürecin momentlerini oluşturmaktır.

Ortalama=µt=E(Yt) Varyans=σ2=Var(Yt) Otokovaryans=gt1,t2=cov(Yt1, Yt2)

Yt nin dağılımı normal bir dağılım takip ederse, bu dağılımı

Gaussian Süreç olarak adlandırılabilir.

21

Durağan Stokastik Süreçler

Bir zaman serisinin eğer ortalamasında sistematik bir değişme yoksa (trend yapmıyorsa), eğer varyansında sistematik bir değişme yoksa ve eğer düzenli periyodik değişmeler ortaya çıkarmıyorsa, seri durağandır denir.

Durağan bir süreçte stokastik sürecin özellikleri zaman boyunca değişmemektedir.

22

Durağan Stokastik Süreçler Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri Veri noktaları seti Y1,…,Yt birleşik olasılık dağılım

fonksiyonu P(Y1,…,Yt )’ in özel bir sonucunu gösterir. Benzer bir şekilde, gelecek bir gözlem Yt+1 in

koşullu olasılık dağılım fonksiyonu P(Yt +1│Y1,…,Yt) tarafından ya da başka bir ifadeyle

geçmiş gözlemler Y1,…,Yt veri iken Yt+1 için bir olasılık dağılımı tarafından elde edildiği düşünülebilir. Eğer Yt serisi durağan ise P(Yt,…,Yt+k)=P(Yt+m,…,Yt+k+m) P(Yt)= P(Yt+m) olacaktır.

23


Durağan Stokastik Sürecin Özellikleri

Eğer Yt serisi durağan ise

Serinin ortalaması=µY=E(Yt)

Serinin varyansı=σ2=Var(Yt)=E[(Yt- µY)2]

herhangi bir k gecikmesi için kovaryans

gk =cov(Yt, Yt+k)= E[(Yt- µY)( Yt+k- µY)] dir.

24


Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık

Bir stokastik sürece karşı gelen zaman serileri eğer,

Ortalama µY=E(Yt) bütün t’ler için sabitse

Varyansı σ2=Var(Yt) bütün t’ler için sabitse

Kovaryans gk =cov(Yt, Yt+k) bütün t’ler için sabit ve k≠0 ise zayıf durağan(kovaryans durağan) olarak adlandırılır. Nedeni ortalama, varyans ve kovaryansın t’ye bağlı olmamasıdır.

25


Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık Yt rassal değişkeninin, zayıf durağanlık özelliklerinin

yanı sıra dağılımın zaman içinde değişmemesi özelliğine sahip olması halinde güçlü durağanlık söz konusudur.

Stokastik bir süreç veya karşılığı olan zaman serisi, eğer n sayıda gözlemin Yt1,…,Ytn herhangi bir setinin bileşik dağılımı k sayıda gecikmesi ele alındığında bütün n ve k için Yt1+k,…,Ytn+k in bileşik dağılımının aynısı ise kesin durağan olduğu söylenir.

Kesin durağanlık bütün n sayıda değer için elde edilebilir.

26


Zayıf, Güçlü ve Kesin Durağanlık

gk =cov(Yt, Yt+k) t ve t+k dönemleri için serilerin otokovaryans fonksiyonu

k=0 için g0 =cov(Yt, Yt)= σ2

ρ(k)=gk/ g0 otokorelasyon fonksiyonu yada k gecikmede otokorelasyon katsayısı

Özet olarak kesin durağan bir seri için Yt nin dağılımı t’den bağımsızdır.

27

Durağan Stokastik Süreçler Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi

Kesikli rassal süreç olan Yt , bağımsız özdeş dağılan rassal değişkenlerin bir dizisini içeriyorsa pür rassal süreç olarak kabul edilir.

Literatürde temiz dizi, white noise, beyaz gürültü, kuru gürültü gibi kavramlar pür rassal süreçle aynı anlama gelmektedir.

Bu sürecin rassal değişkenleri sabit bir ortalamaya ve sabit bir varyansa sahiptir.

Ortalama E(et)=0 bütün t’ ler için

Varyans Var(et)=σ2 bütün t’ ler için

Kovaryansı Cov(et, et+k)=0 bütün t’ ler için, k≠0

28

Durağan Stokastik Süreçler Pür Rassal Süreç: Temiz Dizi

Otokorelasyon fonksiyonu;

ρ(k)=1 (k=0 ise)

ρ(k)=0 (k≠0 ise)

Otokovaryans fonksiyonu ise;

gk=Cov(Yt,Yt+k)=0 k≠0 için

et~IID (0, σ2) ikinci derece veya kovaryans durağan

et~NID (0, σ2) kesin durağan veya

Gaussian Temiz-dizi

29

Durağan Stokastik Süreçler Diğer Durağan Stokastik Süreç Modelleri Otoregresif Süreçler: Ortalaması sıfır ve varyansı σ2

olan pür rassal sürecin { et} kesikli olduğu varsayılsın. Dolayısıyla { Yt} süreci Yt=µ+φ1 Yt-1+ φ2 Yt-2+…+ φp Yt-p+et p’ inci dereceden bir otoregresif süreç veya AR(p)

olarak adlandırılır. Σφi<1 ise seri durağandır.

Hareketli Ortalama Süreci:Ortalaması sıfır ve varyansı σ2 olan pür rassal sürecin { et} kesikli olduğu varsayılsın.Dolayısıyla { Yt} süreci

Yt=δ+et+θ1et-1+…+θqet-q q’ uncu dereceden bir hareketli ortalama

süreç veya MA(q) olarak adlandırılır. Σθi<1 ise seri durağandır.

30


Diğer Durağan Stokastik Süreçler Otoregresif Hareketli Ortalama Süreci: AR(p) ve MA(q)

modellerinin bir arada ele alındığı karma modeldir. Yine { et} ortalaması sıfır ve varyansı σ2 olan pür rassal süreçtir.

Yt=δ+ φ1 Yt-1+…+ φp Yt-p+et +θ1et-1+…+θqet-q bu tür modeller ARMA(p,q) veya karma modeller olarak

adlandırılır.

31

Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Bir zaman serisi, durağan zaman serisi

özelliklerinden bir yada birden fazla özelliğini sağlamıyorsa, bu seriyi temsil eden stokastik süreç durağan dışı olarak adlandırılır.

Bu tür serilerin durağan hale dönüştürülmesi için trend veya mevsim etkisinden arındırılması gerekir.

Box-Jenkins metodu

Basit bir durağan dışı zaman serisi modeli:

Yt=µt+ et 32

Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Eğer bira yada daha fazla sayıda fark alınarak seri

durağan hale dönüştürülüyorsa , böyle bir durağan dışı seri homojen olarak ifade edilebilir.

Serinin fark alma sayısı aynı zamanda homojenlik derecesini tanımlar.

ΔYt= Yt- Yt-1 1. derece homojen durağan dışı

Δ2Yt= Δ(Yt- Yt-1) 2. derece homojen durağan dışı

33

Durağan Olmayan Stokastik Süreçler

Rassal Yürüyüş Süreci

Hisse senedi gibi finansal verilerin zaman içerisindeki davranışlarını iyi bir şekilde yansıtan süreç, rassal yürüyüş süreci olarak adlandırılır. Örneğin

t günündeki (t-1) günündeki rassal

hisse senedi = hisse senedi + hata

fiyatları fiyatları

Birinci derece durağan dışı sürecin basit rassal yürüyüş süreci:

Yt= Yt-1+et

34


Rassal Yürüyüş Süreci

Yt= Yt-1+et

Yt- Yt-1=et

Δ Yt= et

bu ilk farkı alınan yeni değişken durağandır. Çünkü et ‘nin zamandan bağımsız olduğu varsayıldığından Δ Yt=et ‘ninde durağan olduğu kabul edilir.

Ayrıca rassal yürüyüş sürecinin diğer önemli bir özelliği ise uzun dönemli bir belleğe sahiptir.

35


Kayan Rassal Yürüyüş Süreci

Kayan rassal yürüyüş, büyüklüğü sıfırdan farklı olan bir kesme terimi içeren basit bir yürüyüş sürecidir.

Yt= δ+Yt-1+et δ≠0

Δ Yt= Yt- Yt-1=δ+et

Ortalaması E(Yt)=µt+δt

Varyansı E(Yt2)=tσ2 dir.

36


Zaman Trendleri Tek bir yönde hareket eden durağan dışı bir serinin

eğilimi zaman trendi olarak adlandırılır. Yt=α+βt+φYt-1+ et (α≠0) modeli için et~IID (0, σ2) , t bir zaman trendi φ≠0,β=0 için Yt=α+Yt-1+et (α≠0) stokastik trend Φ=0,β≠0 için Yt=α+βt+et (α≠0) deterministik trend Φ=1,β≠0 için Yt=α+βt+Yt-1+et (α≠0) birleşik stokastik ve

deterministik trend

37

Durağan Olmayan Stokastik Süreçler Genelleştirme En basit durağan dışı süreç: Yt= Yt-1+et Bu sürecin özel bir hali: Yt=φYt-1+ et Bu özel süreç aslında birinci derece otoregresif

(AR(1)) süreçtir. Eğer -1<φ<1 ise AR(1) durağan, eğer φ<-1 ve φ>1

ise AR(1) durağan dışıdır. Yt= φ1 Yt-1+ φ2 Yt-2+…+ φp Yt-p+et AR(p) AR(p) nin özel bir denklemi olan 1-φ1L1-φ2L2-…-φpLp=0 polinomunun kökleri

mutlak değerce birimden büyükse durağan, diğer durumlarda durağan dışıdır.

38


Entegre Seriler

Durağan dışı bir seri, durağanlık öncesi d kere ardı ardına farkı alınabiliyorsa orijinal seri Yt, d inci dereceden entegre seridir ve I(d) ile gösterilir.

I(1)=ΔYt=Yt-Yt-1 birinci derece entegre seridir.

I(0) ile yapılacak tanımlama durağan bir seriyi temsil edecektir.

Yt~I(d) şeklinde gösterilebilir.

Eğer bir seri, ne kadar farkı alınırsa alınsın hala durağan hale getirilemiyorsa seriye entegre olmayan seri denir.

39

E-views : Zaman Serileri Veri Üretme Süreçleri

• Temiz dizi yaratma süreci

– File / New / Workfile ile dosya yaratılır.

• Undated or irregular

• 1-100

– Komut satırı : “series e=@rnorm” veya “series e=nrnd”

– View / Graph /Line

– View / Descriptive Statistics / Histogram and Stats

40

• AR(1) Modeli Veri Üretme Süreci

– File / New / Workfile ile dosya yaratılır.

• Undated or irregular

• 1-100

– “series e=nrnd”

– “series y=0”

– “Sample 1 100” değiştir “Sample 2 100”

– “series y=0.9*y(-1)+e

– View / Graph / Line

41

zaman serİsİ sÜreÇlerİ durağan ve durağan olmayankisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/ekonometri...

Documents