zadatak 061 (anita, gimnazija) - fizika - halapadva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedni...

1

Zadatak 061 (Anita, gimnazija)

Zadane su točke A(2, 1) i B(26, 10). Na dužini AB zadana je točka C tako da je

: 1 : 2.AC CB = Koje su koordinate točke C?

Rješenje 061

Ponovimo!

( ) ( ) ( ) ( )Neka su A , i B , dvije točke ravnine. Tada vrijedi: .1 11 2 22 12

AB x x i yx x y jy y→ → →

= − ⋅ + − ⋅

Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im

odgovarajuće koordinate jednake, tj. i .a b a bx x y y= =

Ako je ,a i b j c i d j→ → → →

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ onda je a = c i b = d.

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kažemo da točka C dijeli dužinu AB u omjeru λ, λ ≠ 0, ako vrijedi

.AC CBλ→ →

= ⋅

Ako su A(x1, y1) i B(x2, y2) dvije različite točke ravnine i { }\ 0, 1Rλ ∈ − , tada točka C koja dijeli

dužinu AB u omjeru λ ima koordinate

.1 2 1 2,1 1

x x y yC

λ λ

λ λ

+ ⋅ + ⋅

+ +

1.inačica

U našem primjeru točka C dijeli dužinu AB u omjeru 1

1 : 2 ili2

pa vrijedi

1.

2AC CB→ →

= ⋅

Odredimo vektore i .AC CB→ →

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

, 2, 11 1

,1 2 1

,2 2

AC x x i y

A x y A

C x y C

y

x y

j→ → →

= − ⋅ + − ⋅=

⇒ ⇒=

( ) ( )2 1AC x i y j→ → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, ,1 1

, 26, 102

1 2 12

2CB x x i y y j

C x y C x y

B x y B

=⇒

→ → →= − ⋅ + ⇒

=− ⋅

( ) ( )26 10 .CB x i y j→ → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅

Iz uvjeta

1

2AC CB→ →

= ⋅

dobije se

2

( ) ( )

( ) ( )

2 1

26 1

1

02

AC x i y j

CB x i y j

AC CB

→ → →= − ⋅ + − ⋅

⇒ ⇒→ → →

= − ⋅ + −

→ →=

⋅

⋅

( ) ( ) ( ) ( )1

2 1 26 102

x i y j x i y j→ → → →

⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 1 26 10jednakost

vek2 a2 torx i y j x i y j

→ → → →⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ ⇒

( )

( )

( )

( )

1 12 26 2 26

2 4 26/ 2

/ 2

2 2

1 1 2 2 101 10 1 10

2 2

x x x xx x

y yy y y y

− = ⋅ − − = ⋅ −⋅ − = −

⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ − = −

− = ⋅ − − = ⋅ −

⋅

⋅

2 26 4 3 30 3 30 10.

2 10 2 3

/ : 3

/12 :3 12 43

x x x x x

y y y y y

⋅ + = + ⋅ = ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ + = + ⋅ = ⋅ = =

Koordinate točke C su

( ) ( ), 10, 4 .C x y C=

2.inačica

Budući da točka C dijeli dužinu AB u omjeru 1

1 : 2 ili2

, računamo njezine koordinate.

( ) ( ) ( ) ( ), 2, 1 , , 26, 101 1 2 2

A x y A B x y B= =

10.5

2λ = =

( ),C x y

1 2

1

x xx

λ

λ

+ ⋅=

+

2 0.5 26

1 0.5x

+ ⋅=

+

2 13

1.5x

+=

15

1.5x =

10x =

1 2

1

y yy

λ

λ

+ ⋅=

+

1 0.5 10

1 0.5y

+ ⋅=

+

1 5

1.5y

+=

6

1.5y =

4y =

( )10, 4C

3.inačica

Vektor AB→

podijelimo na 1 + 2 = 3 dijela i zbog

: 1 : 2AC CB =

vrijedi

1.

3AC AB→ →

= ⋅

3

Odredimo vektore i .AC AB→ →

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2

, 2, 11 1

,1 2 1

,2 2

AC x x i y

A x y A

C x y C

y

x y

j→ → →

= − ⋅ + − ⋅=

⇒ ⇒=

( ) ( )2 1AC x i y j→ → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 2, 11 1

, 26, 12 1

21

02

2AB x x i y y j

A x y A

B x y B

=⇒

→ → →= − ⋅ + ⇒

=− ⋅

( ) ( )26 2 10 1 24 9 .AB i j AB i j→ → → → → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

Iz uvjeta

1

3AC AB→ →

= ⋅

dobije se

( ) ( )( ) ( )

2 1 12

11 24 9

3324 9

AC AAC x i y j

x i y j i j

A j

B

B i

→ →→ → →

→ → → →= − ⋅ + − ⋅⇒ ⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

→ → →= ⋅

= ⋅

+ ⋅

( ) ( )jednakost

vektora

2 8 8 2 102 1 8 3 .

1 3 3 1 4

x x xx i y j i j

y y y

→ → → → − = = + =⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− = = + =


( ) ( ), 10, 4 .C x y C=

4.inačica

Vektor AB→

podijelimo na 1 + 2 = 3 dijela i zbog

: 1 : 2AC CB =

vrijedi

2.

3CB AB→ →

= ⋅

Odredimo vektore i .CB AB→ →

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, ,1 1

, 26, 102

1 2 12

2CB x x i y y j

C x y C x y

B x y B

=⇒

→ → →= − ⋅ + ⇒

=− ⋅

( ) ( )26 10AC x i y j→ → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 2, 11 1

, 26, 12 1

21

02

2AB x x i y y j

A x y A

B x y B

=⇒

→ → →= − ⋅ + ⇒

=− ⋅

( ) ( )26 2 10 1 24 9 .AB i j AB i j→ → → → → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

Iz uvjeta

2

3CB AB→ →

= ⋅

dobije se

4

( ) ( )( ) ( )

26 10 226 10 24 9

32

2

34 9

CB ACB x i y j

x i y j i j

AB i

B

j

→ → →→ → → →= − ⋅ + − ⋅

⇒ ⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒→ → →

=

⋅

⋅ +

→ →

⋅

=

( ) ( )jednakost

vekt

26 1626 10 16 6

6ora 10

xx i y j i j

y

→ → → → − =⇒ − ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒

− =

( )

( )

1016 26 10 10.

6 10 4 44

/ 1

/ 1

xx x x

y y yy

− = −− = − − = − =⇒ ⇒

⋅ −

⋅⇒ ⇒

− = − − − − −= =− =


( ) ( ), 10, 4 .C x y C=

Vježba 061

Zadane su točke A(4, 2) i B(10, 20). Na dužini AB zadana je točka C tako da je

: 1 : 2.AC CB = Koje su koordinate točke C?

Rezultat: C(6, 8).

Zadatak 062 (Zvonimir, veleučilište)

Odredi parametar λ tako da vektori 3 4 3 i 2 2a i j k b i j kλ→ → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ budu

međusobno okomiti.

Rješenje 062

Ponovimo!

Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

pomoću njihovih komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom

sustavu) glasi:

.a b a b a b a bz zx x y y

→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�

Dva su vektora a→

i b→

okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:

5

0.a b a b a b a bx x y y z z

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Budući da vektori trebaju biti međusobno okomiti, skalarni produkt vektora mora biti jednak nuli.

0 3 4 3 2 02 0 a b a b a bz za b i j k i j yk x x yλ→ → → → → → → → = ⇒ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅= ⇒ + ⋅ + ⋅ ⇒

=

� �

( ) ( )3 4 2 3 2 0 3 8 6 0 3 8 6 3 14λ λ λ λ⇒ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒

/: 314

3 14 .3

λ λ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 062

Odredi parametar λ tako da vektori 2 4 3 i 2 2a i j k b i j kλ→ → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ budu

međusobno okomiti.

Rezultat: 7.λ =


Dokaži vektorski kosinusov poučak.

Rješenje 063

Ponovimo!

Vektor AB→

je usmjerena dužina AB kod koje razlikujemo početnu točku ili hvatište A i završnu točku

ili kraj B.

Zbroj dvaju vektora iOA a OB b→ → → →

= = s istim početkom O je vektor =OC c→ →

takav da je dužina OC

dijagonala paralelograma OACB.

OC = OA + OB , c = a + b

cb

a

C

O A

B

Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedničko hvatište O. Razlici odgovara vektor kome je

početak u završetku drugog vektora, a završetak u završetku prvog vektora.

a

b c

c = b - ac = a - b

cb

aO O

Duljina (iznos, norma) vektora a OA→ →

= je udaljenost između njegove početne i završne točke, a

označava se:

, .a AB→ →

Skalarni produkt vektora ia b→ →

je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:

6

co ,sa b a b ϕ→ → → →

= ⋅ ⋅�

gdje je φ kut između vektora ia b→ →

i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π. Vrijedi:

2

cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �

, .a b b a a b c a b a c→ → → → → → → → → → →

= + = +

� � � � �

Vektore stranica trokuta orijentiramo kao na slici i prikažemo vektor c→

pomoću vektora i .a b→ →

γγγγ

c = a - b

cb

aO

Skalarnim kvadriranjem vektorske jednadžbe dobijemo:

2/c a b c a b c c a b a b→ → → → → → → → → → → →

= − ⇒ = − ⇒ = − − ⇒

� �

2c c a a a b a b b b c c a a a b b b→ → → → → → → → → → → → → → → → → →

⇒ = − − + ⇒ = − ⋅ + ⇒� � � � � � � � �

2 2 2 2 2 2

2 cos 2 cos .c a a b b c a b a bγ γ→ → → → → → → → → →

⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 063

Dokaži vektorski Talesov poučak: obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.

Rezultat: Dokaz analogan.


Dokaži vektorski Pitagorin poučak.

Rješenje 064

Ponovimo!

Vektor AB→

je usmjerena dužina AB kod koje razlikujemo početnu točku ili hvatište A i završnu točku

ili kraj B.

Zbroj dvaju vektora iOA a OB b→ → → →

= = s istim početkom O je vektor =OC c→ →

takav da je dužina OC

dijagonala paralelograma OACB.

7

OC = OA + OB , c = a + b

cb

a

C

O A

B

Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedničko hvatište O. Razlici odgovara vektor kome je

početak u završetku drugog vektora, a završetak u završetku prvog vektora.

a

b c

c = b - ac = a - b

cb

aO O

Duljina (iznos, norma) vektora a OA→ →

= je udaljenost između njegove početne i završne točke, a

označava se:

, .a AB→ →

Skalarni produkt vektora ia b→ →

je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:

co ,sa b a b ϕ→ → → →

= ⋅ ⋅�

gdje je φ kut između vektora ia b→ →

i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π.

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b→ → → →

⊥ ⇒ =�

Vrijedi:

2

cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �

, .a b b a a b c a b a c→ → → → → → → → → → →

= + = +

� � � � �

Vektore stranica pravokutnog trokuta orijentiramo kao na slici i prikažemo zbroj vektora i .a b→ →

a + b = - c

c

b

a

8

Vektori ia b→ →

su međusobno okomiti pa vrijedi:

0.a b→ →

=�

Skalarnim kvadriranjem vektorske jednadžbe dobijemo:

2/a b c a b c a b a b c c→ → → → → → → → → → → →

+ = − ⇒ + = − ⇒ + + = − − ⇒

� �

0 0a a a b a b b b c c a a b b c c→ → → → → → → → → → → → → → → →

⇒ + + + = ⇒ + + + = ⇒� � � � � � � �

2 2 2

.a b c→ → →

⇒ + =

Vježba 064

Dokaži vektorski Talesov poučak: obodni kut nad promjerom kružnice je pravi.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 065 (Pax, gimnazija)

Ako je vektor a i y j z k→ → → →

= + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →

= − ⋅ +

2 ,c i j k→ → → →

= − + + ⋅ izračunaj koordinate y i z.

Rješenje 065 Ponovimo!

Skalarni umnožak vektora

a a i a j a kzx y

b b i b j b kzx y

→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅

→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅

u Kartezijevu koordinatnom sustavu jednak je zbroju umnožaka odgovarajućih koordinata vektora.

.a b a b a b a bz zx x y y

→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b a b a bx x y y z z

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Budući da je vektor a i y j z k→ → → →

= + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →

= − ⋅ +

2 ,c i j k→ → → →

= − + + ⋅ skalarni produkti ia b a c→ → → →� � moraju biti jednaki nuli. Vrijedi:

•

1 , ,

2

1 , ,

0

2 1

a i y j z k

a a y a zx y z

b i j k

b b bx y

a b a b a bx x y y

z

z z

→ → → →= + ⋅ + ⋅

= = =⇒ ⇒

→ → → →= − ⋅ +

= = − =

⋅ + ⋅ + ⋅ =

( )1 1 2 1 0 1 2 0 2 1y z y z y z⇒ ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⇒ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ + = − ⇒

9

( )/ 12 1 2 1.y z y z⋅⇒ − ⋅ + = −− ⇒ ⋅ − =

•

1 , ,

2

1 , 1 , 2

0

a i y j z k

a a y a zx y z

c i

a c a c a cx x y y z z

j k

c c cx y z

→ → → →= + ⋅ + ⋅

= = =⇒ ⇒

→ → → →= − + + ⋅

= −

⋅ + ⋅ + ⋅ =

= =

( )1 1 1 2 0 1 2 0 2 1.y z y z y z⇒ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⇒ − + + ⋅ = ⇒ + ⋅ =

Iz sustava jednadžbi izračunamo y i z.

metoda suprotnih / 2

koeficijenata

2 1 2 1 4 2 2

2 1 2 1 2 1

y z y z y z

y z y z y z

⋅ − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

+ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

⋅

= +

35 3 /3 .55 :

5y y y⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Računamo z.

2 13 3

2 1 2 1 3 10 5 10 5 335 5

5

/ 5

y z

z z z zy

+ ⋅ =

⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ = ⇒ − ⇒⋅ ⋅ ==

2 110 2 10 2 / : 10 .

1

2

100 5z z z z z⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Vježba 065

Ako je vektor 1

5a x i y j k→ → → →

= ⋅ + ⋅ + ⋅ okomit na vektore 2 ib i j k→ → → →

= − ⋅ +

2 ,c i j k→ → → →

= − + + ⋅ izračunaj koordinate y i z.

Rezultat: 3

1, .5

x y= =

Zadatak 066 (Paula, Nora, srednja škola ☺☺☺☺)

Odredi jedinični vektor istog smjera i iste orijentacije kao i vektor ,AB→

ako je A(3, 1),

B(– 1, – 2).

Rješenje 066

Ponovimo!

.a b a b

n n n

−= −

Neka su A(x1, y1), B(x2, y2) dvije točke ravnine. Tada vrijedi:

• vektor AB→

( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →

= − ⋅ + − ⋅

• duljina vektora AB→

( ) ( )2

1.

2

2 2 1AB x x y y→

= − + −

Jedinični vektor e→

vektora AB→

računa se po formuli

10

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 1.

2 2

2 1 2 1

x x i y y jABe e

AB x x y y

→ →→− ⋅ + − ⋅→ →

= ⇒ =→− + −

Jedinični vektor iznosi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

, 3, 11 1

, 1, 22 2

A x y A x x i y y je

x x y yB x y B

→ →− ⋅

=

⇒ ⇒ = − −

+ − ⋅→=

− + −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3 2 1 4 3 4 3

2 2 2 2 16 91 3 2 1 4 3

i j i j i je e e

→ → → → → →→ → →− − ⋅ + − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+

− − + − − − + −

4 3 4 3 4 3.

5 5 525

i j i je e e i j

→ → → →→ → → → →− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ − ⋅

Vježba 066

Odredi jedinični vektor istog smjera i iste orijentacije kao i vektor ,AB→

ako je A(4, 2),

B(0, – 1).

Rezultat: 4 3

.5 5

e i j→ → →

= − ⋅ − ⋅


Odredi 3 i 3 2 ,a b a b→ → → →

− ⋅ ⋅ − ⋅ ako je 3 i 2 5 .a i j b i j→ → → → → →

= − ⋅ = ⋅ − ⋅

Rješenje 067

Ponovimo!

Duljina vektora definira2 2

se= .a a i a j a a ax y x y

→ → → →⋅ + ⋅ = +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Računamo 3 .a b→ →

− ⋅

3 3 3 2 5 3 6 153

2 5

a b i j i j i j i ja i j

b i j

→ → → → → → → → → →− ⋅ = = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = −

→ → →= − ⋅

→ → →= ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ + ⋅ =

( )2 2

5 12 5 12 25 144 169 13.i j→ →

= − ⋅ + ⋅ = − + = + = =

Računamo 3 2 .a b→ →

⋅ − ⋅

3 2 33

3 2

2

5

5

2a b i j ia i j

b i j

j→ → → → → →

⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

→ → →= − ⋅

→ → →= ⋅ − ⋅

11

( )2 2

3 9 4 10 1 1 1 1 1 1 2.i j i j i j i j→ → → → → → → →

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + = − ⋅ + ⋅ = − + = + =

Vježba 067

Odredi 3 i 2 3 ,b a b a→ → → →

⋅ − ⋅ − ⋅ ako je 3 i 2 5 .a i j b i j→ → → → → →

= − ⋅ = ⋅ − ⋅

Rezultat: 13 i 2.


Zadani su vektori 3 , 2 , 7 .a i j b i j c i j→ → → → → → → → →

= ⋅ − = − ⋅ = − + ⋅ Vektor v a b c→ → → →

= + +

prikaži kao linearnu kombinaciju vektora i .a b→ →

Rješenje 068

Ponovimo!

Neka su a→

i b→

vektori i α, β realni brojevi. Vektor c→

= α · a→

+ β · b→

nazivamo linearnom

kombinacijom vektora a→

i b→

s koeficijentima α i β.

Ako su a→

= ax i→

+ ay j→

, b→

= bx i→

+ by j→

dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im

odgovarajuće koordinate jednake, tj. ax = bx i ay = by.


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Odredimo vektor .v→

3

3

2 2

7

7v a b c v

a i j

b i j

c i j

i j i j i j

→ → → → → → → → → → → = + + ⇒ ⇒ = ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ ⇒

→ → →= ⋅ −

→ → →= − ⋅

→ → →= −

+ ⋅

3 2 7 3 4 .i iv i j j j v i j→ → → → → → → →

⇒ = ⋅ − − ⋅ + ⋅→ →

⇒ ⋅ + ⋅− =+

Prikažimo vektor v→

kao linearnu kombinaciju vektora i .a b→ →

3 4 3 2

3 4

3

2

v i j

a i j

b i

v a b i j i j i

j

jα β α β

→ → → → → → → → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⇒

→ → →= ⋅ + ⋅

→ → →= ⋅ −

→ → →= − ⋅

3 4 3 2i j i j i jα α α β β→ → → → → →

⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )3 4 3 2jednakost

vektorai j i jα β α β

→ → → → ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

metoda suprotnih / 2

koeficijen

3 3 3 3 3 3

4 2 2 4 2 4ata

α β α β α β

α β α β α β

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − − ⋅ − − ⋅ = − − ⋅ =

⋅

6 2 65 10 5 10 2./ 5

2:

4

α βα α α

α β

⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

− − ⋅ =

12

Računamo β.

3 33 2 3 6 3 3 6 3.

2

α ββ β β β

α

⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

=

Sada je:

2 , 32 3 .v a b

v a b

α β

α β

= = − → → →⇒ = ⋅ − ⋅→ → →

= ⋅ + ⋅

Vježba 068

Zadani su vektori 3 , 2 .a i j b i j→ → → → → →

= ⋅ − = − ⋅ Vektor 8 6v i j→ → →

= ⋅ − ⋅ prikaži kao linearnu

kombinaciju vektora i .a b→ →

Rezultat: 2 2 .v a b→ → →

= ⋅ + ⋅

Zadatak 069 (Tihomir, gimnazija)

Odredi parametar n tako da iznosi (duljine) vektora ( )2 1 in

a e i n j n k→ → → →

= ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅

( ) ( )1 2b n i n j→ → →

= + ⋅ + − ⋅ budu jednaki.

Rješenje 069

Ponovimo!

2 2 2=Duljina vektora definira se .a a i a j a k a a a az zx y x y

→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +

Parametar

Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.

Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka

funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.

Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.

Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.

Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.

0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =

( ) ( ) ( ) ( )2 2

,2

,2

2, .mn n n n n m

a a a b a b a a a b a a b b⋅

= ⋅ = ⋅ = + = + ⋅ ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0

2 1, , .f x g x

a b a a b b a a a f x g x− = − ⋅ ⋅ + = = ⇒ =

( )

( ) ( )

2 , , 12 1

1 ,2

21

, 0

na e a n a nzx

na e i n j n k

b n i n j

y

b n b n bzx y

→ → → → = ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⇒ ⇒→ → → =

= ⋅ = = −

= ++ ⋅ + − ⋅

= − =

( ) ( )

( ) ( )

2 222 1

2 2 21 2 0

uvjet

a b

na e n n

b n n

→ = ⋅ + + −

⇒ ⇒ ⇒ → = + + − +

→ →=

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22

2 1 1 2n

e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22

2 1 1 2 2/n

e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒

13

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 22

2 1 1 2n

e n n n n

⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22

2 1 1 2n

e n n n n⇒ ⋅ + + − = + + − ⇒

2 2 2 2 24 2 1 2 1 4 4

ne n n n n n n n

⋅⇒ ⋅ + + − ⋅ + = + ⋅ + + − ⋅ + ⇒

2 2 2 21 1

24 2 2 4 4

ne n nn n n nn

⋅⇒ ⋅ − ⋅ =+ + + + −+⋅ ⋅ ++ ⇒

2 2 24 2 2 4 4 4 4 4 42 2 4

n n ne n n nn ne en

⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒ ⋅ = +− ⋅ ⋅ − ⇒⋅ ⋅ = ⇒

2 2 2 04 4 1 2 0/: 4 0.

n n ne e e e n n

⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 069

Odredi parametar n tako da iznosi vektora ( )2 1 in

a e i n j n k→ → → →

= ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅

( ) ( )1 2b n i n k→ → →

= + ⋅ + − ⋅ budu jednaki.

Rezultat: n = 0.

Zadatak 070 (Toni, gimnazija)

Zadani su vektori 5 8 3 i 12 9 4 .a i j k b i j k→ → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ Koliki je iznos (modul)

vektora 2 .c a b→ → →

= ⋅ −

Rješenje 070

Ponovimo!


→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

5 8 3

12 9 4

2ca i j k

b

a b

i j k

→ → → → = ⋅ + ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ → → → → = ⋅ − ⋅ + ⋅

→ →⋅ −

→=

2 5 8 3 12 9 4c i j k i j k→ → → → → → →

⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒

10 16 6 12 9 4 2 25 2 .c i j k i j k c i j k→ → → → → → → → → → →

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅ + ⋅

Računamo iznos (modul) vektora .c→

( )

2 , 25 , 222 25 2 2 2

2 25 22 2 22 , 25 , 2

c c czx yc i j k

cc c c cc c c zx yzx y

= − = = → → → → → = − ⋅ + ⋅ + ⋅→⇒ ⇒ = − + + ⇒

= + += − = =

4 625 4 633 25.16.c c c→ → →

⇒ = + + ⇒ = ⇒ =

Vježba 070

Zadani su vektori 5 8 3 i 12 9 4 .a i j k b i j k→ → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ Koliki je iznos (modul)

vektora .c a b→ → →

= +

14

Rezultat: 18.41.

Zadatak 071 (Vox, gimnazija)

U vektorima 2 3 i 6 2a i j k b i j kβ α→ → → → → → → →

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ odredite α i β tako da

vektori ia b→ →

budu kolinearni.

Rješenje 071

Ponovimo!

1, .

a c b d nn

b d a c= ⇒ = =

Za dva vektora dana sa svojim koordinatama

= i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

kažemo da su kolinearni ako je

.aa ayx z

b b bzx y= =


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Za dvije promjenjive međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su proporcionalne s koeficijentom

razmjernosti k, k ≠ 0, ako je

ili .y

k y k xx

= = ⋅

Da bi vektori ia b→ →

bili kolinearni njihove koordinate moraju biti proporcionalne.

2 3 2

2 3 62 3

36 26 2

2

3

6

66

3

2

a i j k

b i j k

β α αβ

β βαα

− − → → → → = = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ −− ⇒ = = ⇒ ⇒ ⇒ → → → → − = == ⋅ − ⋅ + ⋅

−

− −

( )/2 1 2 2

42 2 1 2 12

/ 2

.1 1 11

2 2 2 22 2

α ααα

β β ββ

− − − − − − = = = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − = −− = ==

⋅ −

⋅

Vježba 071

U vektorima 2 4 i 8 2a i j k b i j kβ α→ → → → → → → →

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ odredite α i β tako da

vektori ia b→ →

budu kolinearni.

Rezultat: 4, 1.α β= = −

Zadatak 072 (Vjekoslav, gimnazija)

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor ( ) ( ), 3, 1 , 1, 2 .AB A B→

− −

Rješenje 072

Ponovimo!

15

.a b a b

n n n

−= −

Vektor AB→

s početkom u točki A(x1, y1) i završetkom u točki B(x2, y2) ima prikaz

( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →

= − ⋅ + − ⋅

Duljina vektora ( ) ( )2 1 2 1AB x x i y y j→ → →

= − ⋅ + − ⋅ je

( ) ( )2

1.

2

2 2 1AB x x y y→

= − + −

Za vektor a→

kažemo da je jedinični vektor ili ort ako je njegova duljina

.1a→

=

Podijelimo li bilo koji vektor a→

(različit od nulvektora) njegovom duljinom dobit ćemo jedinični

vektor ili .0

a e→ →

.a

e

a

→→

= →

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 3, 11 1

,

2 1 2 1

2 2

21,

12

2 22 1

x x i y y jABe e

AB x x y y

A x y A

B x y B

= ⇒ ⇒ ⇒

= − −

→ →→− ⋅ + − ⋅→ →

=

− + −

= →

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3 2 1 4 3 4 3

2 2 2 2 16 91 3 2 1 4 3

i j i j i je e e

→ → → → → →→ → →− − ⋅ + − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒+

− − + − − − + −

4 3 4 3 4 3.

5 5 525

i j i je e e i j

→ → → →→ → → → →− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ − ⋅

0

j

i

e

AB

B

Ay

x

D

A

B

C

16

Vježba 072

Odredi jedinični vektor istog smjera i orijentacije kao i vektor ( ) ( ), 1, 2 , 3, 1 .AB A B→

− −

Rezultat: 4 3

.5 5

e i j→ → →

= ⋅ + ⋅

Zadatak 073 (Dario, tehnička škola)

Iznos vektora pomaka je 810 m. Sa pozitivnim smjerom x – osi zatvara kut od 18°. Odrediti

skalarne komponente vektora pomaka te dobiveni rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.

. 710 , 360 . 550 , 570 . 580 , 660A x m y m B x m y m C x m y m= = = = = =

. 250 , 700 . 770 , 250D x m y m E x m y m= = = =

Rješenje 073

Ponovimo!

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine

hipotenuze.

Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine

hipotenuze.

y

x

rr

αααα

x

yy

x

18°°°°C U

Uočimo pravokutan trokut čija je hipotenuza r, a katete su x i y, skalarne komponente vektora pomaka.

Pomoću funkcija kosinus i sinus dobijemo:

cos cos coscos

sinsin

/810

sin sin18

/

x x x

x rr r r

y y y y r

r r r

rr m

r

α α αα

αα

αα α

= = == ⋅

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒= ⋅

= =

=

⋅=

⋅

=

�

810 cos18 770.36 770.

250.3

najbliži

ci0 2je 50810 si lin1 o8 br j

x m x m x m

y m y my m

= ⋅ = =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= == ⋅

�

�

Odgovor je pod E.

Vježba 073

Iznos vektora pomaka je 810 m. Sa pozitivnim smjerom y – osi zatvara kut od 72°. Odrediti

skalarne komponente vektora pomaka te dobiveni rezultat zaokružite na najbliži cijeli broj.

. 710 , 360 . 550 , 570 . 580 , 660A x m y m B x m y m C x m y m= = = = = =

. 250 , 700 . 770 , 250D x m y m E x m y m= = = =

Rezultat: E.

17

Zadatak 074 (Filip, tehnička škola)

Vektori iv a i b j w c i d j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ okomiti su ako i samo ako je:

. 1 . . 1 . 0a c a b

A B a c b d C D a d b cb d c d

⋅⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

⋅

Rješenje 074

Ponovimo!

.a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ pomoću njihovih

komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom sustavu) glasi:

.a b a b a bx x y y

→ →= ⋅ + ⋅�

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b a bx x y y

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =

Budući da vektori trebaju biti međusobno okomiti, skalarni produkt vektora mora biti jednak nuli.

0 0v a i b

v w a c b d aj

w c i d

c b

j

d

→ → →= ⋅ + ⋅

→ → →= ⋅

→ → = ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ + ⋅

�

1/ 1 1.

a c a ca c b d

b d bb d d

⋅⋅⇒ ⋅ = − ⋅ ⇒ = − ⇒ ⋅ = −

⋅⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 074

Vektori iv a i b j w c i d j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ okomiti su ako i samo ako je:

. 1 . . 1 . 0a c a b

A B a c b d C D a d b cb d c d

⋅⋅ = − ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ⋅ =

⋅

Rezultat: A.

Zadatak 075 (Mirela, srednja škola)

Vektori 3 4 i 9a i j b x i j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ međusobno su okomiti. Koliko je puta duljina

vektora b→

veća od duljine vektora a→

?

. . 2 . . 31.5 2.25A B puta C D putaputa puta

Rješenje 075

Ponovimo!

Formula za skalarni produkt vektora = i =a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ pomoću njihovih

komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom sustavu) glasi:

.a b a b a bx x y y

→ →= ⋅ + ⋅�

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b a bx x y y

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =

Kako izračunati koliko je puta broj b veći od broja a?

18

?b

a=



→ → → →⋅ + ⋅ = +


jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Odredimo komponente vektora i .a b→ →

3 , 4=3 4.

, 9= 9

a aa i j x y

b x bx yb x i j

→ → →= = −⋅ − ⋅

⇒→ → → = =

⋅ + ⋅

Budući da su vektori međusobno okomiti, vrijedi:

( )0 0 3 4 9 0 3 36 0a b a b a b x xx x y y

→ →= ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒�

3 36 3 36 23 .: 1/x x x⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vektor b→

glasi

=12 9 .b i j→ → →

⋅ + ⋅

Gledamo omjer:

( )

122 2 2 2

12 9 14, 9 4 81 225 153.

52 2 22 9 16 253

15

3 , 44

5

b bx y

a ax

b b bx y

a aa x yy

→

+ + += = = = = = = = → +

= =

= = − + + −

Odgovor je pod D.

Vježba 075

Vektori 3 4 i 9a i j b x i j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ međusobno su okomiti. Koliko je puta duljina

vektora b→

veća od duljine vektora a→

?

. . 2 . . 31.5 2.25A B puta C D putaputa puta

Rezultat: D.

Zadatak 076 (Ana, gimnazija)

Odredite vektor b→

ako je kolinearan s vektorom 2a i j→ → →

= − ⋅ + , a 3 5.b→

= ⋅

Rješenje 076

Ponovimo!

( ) ( ),2

1, .

nn n na b a b a a n⋅ = ⋅ = =



→ → → →⋅ + ⋅ = +

Za dva vektora dana sa svojim koordinatama

19

= i =a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

kažemo da su kolinearni ako postoji skalar k (realan broj) takav da vrijedi:

• =a k b→ →

⋅

• .aa yx k

b bx y= =

Za realan broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

,1

, 0

2

.x a

a b a b x a ax a

= − ⋅ = ⋅ = > ⇒

=

1.inačica

Vektor b→

kolinearan je s vektorom a→

, a to znači da je

= ,b k a→ →

⋅

pri čemu je k realan broj različit od nule. I nadalje, zahtjeva se

( )2 2

3 5 25

13

2

b

a i

b k a b k a k

j

→ → → →

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − + ⇒

→= ⋅

→ → →= − ⋅ +

3 5 4 1 3 5 5 3 5 5 3/: 5k k k k⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒

31

3 .3

2

kk

k

= − ⇒ = ⇒

=

Odatle slijedi da postoje dva vektora.

3 26 31

1.

6 33 2 22

b i jb i j

b i jb i j

→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⇒ → → →→ → → = − ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ +

2.inačica

Neka je b x i y j→ → →

= ⋅ + ⋅ i 3 5.b→

= ⋅ Tada je

2 2

2 2 2 23 5 3 2/5

3 5

b x y

x y x y

b

→ = +

⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒→

= ⋅

( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

3 5 3 5 9 5 45.x y x y x y x y

⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⋅ ⇒ + =

Vektori b→

i a→

kolinearni su pa vrijedi:

20

( )/ 2 222 .

21

xxk

kb x i y j x k

y kya i j y kk

⋅ −

→ → → = == ⋅ + ⋅ = − ⋅ − −⇒ ⇒ ⇒ → → → = = − ⋅ + ==

Riješimo jednadžbu po varijabli k.

( )22 2 2 2 2 2

45 2 45 4 452

5 45x y k k kx k

y kk k

+ = ⇒ ⇒ − ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = ⇒

= ⋅

=

−

32 2 2 1

5 45 9 9 9 .1,2 3

2

/: 5 /k

k k k kk

= − ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒

=

Odatle slijedi da postoje dva vektora.

3 26 31

1.

6 33 2 22

b i jb i j

b i jb i j

→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⇒ → → →→ → → = − ⋅ + ⋅= ⋅ − ⋅ +

Vježba 076

Nema vježbe, odmorite se!

Rezultat: �

Zadatak 077 (Ana, građevinska škola)

U točki A(2, 1, – 1) djeluje sila r→

iznosa 7.r→

= Ako imamo dvije komponente sile rx = 2,

ry = – 3 i rz > 0, odredite krajnju točku B vektora r→

te bar jedan kut koji vektor r AB→ →

= zatvara s

koordinatnim osima. Koliko ima takvih kutova?

Rješenje 077

Ponovimo!

( ) .2

a a=


→ → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ = + +

Ako su dane točke A(x1, y1, z1) i B(x2, y2, z2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2.

1AB x x i y y j z z k→ → → →

= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

Ako su ,a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i

samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake, tj. , , . .a b a b a bz zx x y y= = =

Kutovi koje vektor a a i a j a kzx y

→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ zatvara s koordinatnim osima x, y i z glase:

,1 1

cos cos cos cosa aa a y yx x

a a a a

α α β β− −

= ⇒ = = ⇒ =→ → → →

21

1c s .o cos

a az z

a a

γ γ−

= ⇒ =→ →

Najprije nađemo treću koordinatu (komponentu) vektora r→

, ako su zadane prve dvije i modul.

2

3= = 2 3 .r r i r j r k r i j r kz zx y

rx

ry

→ → → → → → → → =

=

⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅

−

Iz uvjeta 7r→

= slijedi:

( )22 2 2

= 2 3 2 3 77 4 9r i j r k r rz r rz z

→→ → → → → ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒ = + − + ⇒ ⇒ = + +

= ⇒

22 2 2 2 2

7 13 13 7 13 7 13 72/r r r rz z z z

⇒ = + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒

2 2 2 213 49 49 13 36 36 6/ 3r r r r rz z z z z⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒

uvjet66.

06 r

rzr

zz

rz

= − ⇒ ⇒ ⇒ = >=

Vektor glasi:

= 2 3 6 .r i j k→ → → →

⋅ − ⋅ + ⋅

Odredimo vektor AB→

.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 2

, , 2, 1, 11 1 1

, , , ,2 2 2

1 2 1

A x y z A

B x y zAB x x i y y j z z k

B x y z

= −⇒

→ → → →= − ⋅ + − ⋅ + − ⇒

=⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 1 .AB x i y j z k AB x i y j z k→ → → → → → → →

⇒ = − ⋅ + − ⋅ + − − ⋅ ⇒ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅

Budući da je vektor r→

zadan točkama A i B, možemo napisati:

( ) ( ) ( )jednakost

vekto= 2 3 6 2 1 1

rar AB i j k x i y j z k

→ → → → → → → → ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ ⇒ ⇒

2 2 2 2 2 2 4

3 1 1 3 3 1 2 .

6 1 1 6 6 1 5

x x x x

y y y y

z z z z

= − − = = + =

⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ = − = + + = = − =

Točka B ima koordinate:

( ) ( ), , 4, 2, 5 .B x y z B= −

Kut koji vektor r AB→ →

= zatvara s koordinatnom osi x iznosi:

21 1cos cos

2

7cos 73 23'5 ''.

7

r rx x

r r

rx

rα α α α

=

→=

− −= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ =→ →

�

Postoje tri kuta:

• α – kut koji vektor zatvara s osi x

• β – kut koji vektor zatvara s osi y

22

• γ – kut koji vektor zatvara s osi z.

Za njih vrijedi: 2 2 2

cos cos cos 1.α β γ+ + =

O

aγγγγ

ββββαααα

z

y

x

Vježba 077

U točki A(2, 1, – 1) djeluje sila r→

iznosa 7.r→

= Ako imamo dvije komponente sile rx = 2,

rz = 6 i ry < 0, odredite krajnju točku B vektora r→

.

Rezultat: ( )4, 2, 5 .B −

Zadatak 078 (Sara, srednja škola)

Odredite α tako da kut između vektora ip q→ →

bude 2

π ako je , ,p m n q m nα

→ → → → → →= + = ⋅ −

2, 1, , .3

m n m nπ→ → → →

= = ∠ =

Rješenje 078

Ponovimo!

11cos, , 0 cos

2 3 2, .

n m n ma a a a a

π π+= ⋅ = = =

Skalarni produkt vektora i :a b→ →

co ,sa b a b α→ → → →

= ⋅ ⋅�

2 2

cos0 1 , .a a a a a a a b b a→ → → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ = ⋅ = =� � �

Okomitost vektora:

0.a b a b→ → → →

⊥ ⇒ =�


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Množenje zagrada

( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅


23

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Kut između vektora ip q→ →

mora biti .2

π To znači da su međusobno okomiti pa je njihov

skalarni umnožak (produkt) jednak nuli.

0 0p m n

q m n

p q m n m n

α

α

→ → → → → → = ⇒ ⇒ + ⋅ − = ⇒

→ → →= +

→ → →= ⋅ −

� �

2 2

0 0m m m n n m n n m m n m n nα α α α→ → → → → → → → → → → → → →

⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒ ⋅ − + ⋅ − = ⇒� � � � � �

( )2 2 2 2

0 1 0m m n m n n m m n nα α α α→ → → → → → → → → →

⇒ ⋅ + ⋅ − − = ⇒ ⋅ + − ⋅ − = ⇒� � �

( )2 2

1 cos

2 ,

3

0

1

,

,m m n m n

n

n

m

m nπ

α α

→ → → → → → ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ − = ⇒

→ →= =

→ → ∠

⇒ =

( ) ( )12 2

2 1 2 1 cos 1 0 4 1 2 1 1 03 2

πα α α α⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒

( )1

4 1 1 1 0 422

1 1 0 5 2 0α α α α α⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = ⇒ ⋅ + − − = ⇒ ⋅ − = ⇒

25 2 /2 .55 :

5α α α⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 078

Odredite α tako da kut između vektora ip q→ →

bude 2

π ako je , ,p m n q m nα

→ → → → → →= + = ⋅ −

4, 1, , .3

m n m nπ→ → → →

= = ∠ =

Rezultat: 1

.6

α =

Zadatak 079 (Sara, srednja škola)

Nađite vektor c→

koji je kolinearan s vektorom a b→ →

+ ako je 5, 18,a b c b→ → → →

= =� �

2.b→

=

Rješenje 079

Ponovimo!

Skalarni produkt vektora i :a b→ →

co ,sa b a b α→ → → →

= ⋅ ⋅�

2 2

cos0 1 .a a a a a a→ → → → → →

= ⋅ ⋅ = ⋅ =�

.a b c a b a c→ → → → → → →

+ = + � � �

Kolinearnost vektora

Za dva vektora ia b→ →

kažemo da su kolinearni ako postoji neki realni broj λ tako da vrijedi

24

.b aλ→ →

= ⋅


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Budući da je vektor c→

kolinearan s vektorom ,a b→ →

+ mora vrijediti

, .c a b Rλ λ→ → →

= ⋅ + ∈

Dalje slijedi:

skalarno množimo/

s vektoromb

bc a b c a bλ λ

→ → → → → → = ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒

→

→�

c b a b b c b a b b bλ λ→ → → → → → → → → → →

⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒

� � � � �

( ) ( )

18

5

22

18 5

2

2 18 5 4

c b

a b

b

c b a b bλ λ λ

→ → → → → ⇒ = ⋅ + ⇒ ⇒

→ →

= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒

=

→ →=

→=

�

� � �

18 9 9 18 9 18 /: 2.9λ λ λ λ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vektor c→

glasi:

2 2 2 .c a b c a b→ → → → → →

= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅

Vježba 079

Nađite vektor c→

koji je kolinearan s vektorom a b→ →

+ ako je 5, 27,a b c b→ → → →

= =� �

2.b→

=

Rezultat: 3 3 .c a b→ → →

= ⋅ + ⋅

Zadatak 080 (Marijana, maturantica)

Duljina vektora r→

koji je rezultat zbrajanja vektora ia b→ →

približno je:

x / cm

y / cm

2 3

1

3

2

1

r

b

a

. 7 . 10 . 5 . 2 . 12A cm B cm C cm D cm E cm

Rješenje 080

25

Ponovimo!

Ako točka T ima koordinate (x, y) tada radijus – vektor OT→

ima prikaz

.r OT x i y j→ → → →

= = ⋅ + ⋅

Za vektore ia a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ vrijedi

( ) ( ) .a b a b i a b jx x y y

→ → → →+ = + ⋅ + + ⋅

Ako vektor a→

ima prikaz

,a a i a jx y

→ → →= ⋅ + ⋅

tada je duljina vektora a→

jednaka

2.

2a a ax y

→= +

O

B(5, 2)

A(-7, 5)

x / cm

y / cm

2 3

1

3

2

1

r

b

a

Sa slike vidi se:

• Točka A ima koordinate (– 7, 5) pa radijus – vektor a OA→ →

= ima prikaz

7 5 .a i j→ → →

= − ⋅ + ⋅

• Točka B ima koordinate (5, 2) pa radijus – vektor b OB→ →

= ima prikaz

5 2 .b i j→ → →

= ⋅ + ⋅

Vektor r→

je rezultat zbrajanja vektora ia b→ →

pa vrijedi:

7 5 5 2 2 7 .r a b r i j i j r i j→ → → → → → → → → → →

= + ⇒ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅

Duljina vektora r→

iznosi:

( )2 2

2 7 4 49 53 7.28 7 .r r r r cm r cm→ → → → →

= − + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈

Odgovor je pod A.

Vježba 080

Nema pitanja!

Rezultat: …

zadatak 061 (anita, gimnazija) - fizika - halapadva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedni...

Documents