zadaci otvorenog tipa nova kultura zadataka u...
TRANSCRIPT
ZADACI OTVORENOG TIPA
nova kultura zadataka u nastavi matematike
- predavanje i radionica -
MODERNI MATEMATIČKI KURIKULUM
RJEŠAVANJEPROBLEMSKIH
ZADATAKA
STAVOVIMETAKOGNICIJA
PRO
CESI
KONCEPTI
VJEŠTINE
DEDUKTIVNIINDUKTIVNI
ZAKLJUČIVANJEHEURISTIKE
PROMICANJE UČENIČKOGVLASTITOG MIŠLJENJA
I VIŠIH MISAONIH SPOSOBNOSTIUVAŽAVANJE
INTERESSAMOPOUZDANJE
PROCJENJIVANJEMISAONA MATEMATIKA
ALGORITMIKOMUNIKACIJA
NUMERIČKI, GEOMETRIJSKI, ALGEBARSKI, ANALITIČKI, STATISTIČKI
3
MODERNI MATEMATIČKI KURIKULUM (2)
Ključni pojmovi u modernoj nastavi matematike:
• nastavni oblici u kojima nastavnik više ne igra dominantnu ulogu i gdje se sposobnosti učenika mogu bolje razvijati
• nastavnik kao menadžer nastave• orijentiranost učenicima• samostalnost učenika• eksperimentalni i istraživački rad učenika• primjena novih medija• nova kultura zadataka itd.
4
BITNI ELEMENTI ZA NOVU KULTURU NASTAVE
5
UNAPREĐENJE NASTAVE
Bitan element unapređenja nastave je nova kultura matematičkih zadataka.
6
TRADICIONALNA NASTAVARješavanje zadataka:
• postavljanje velikog broja zadataka s poznatim postupkom rješavanja i s jednim ispravnim rješenjem
• naglasak se stavlja na rutinske tehnike i osnovne algoritamske vještine
• rijetko se prakticira interpretacija rješenja
7
MODERNA NASTAVANova kultura matematičkih zadataka:
• prakticira modeliranje realnih problema
• traži različite metode rješavanja zadataka
• svrhovito koristi računala za računanje, predočavanje, kontrolu, eksperimentiranje, istraživanje, otkrivanje, stvaranje pretpostavki
• prakticira predstavljanje načina rada i komuniciranje
• prakticira interpretiranje
• poziva na širenje jednostranog pogleda na postavljeni problem
8
ZADACI OTVORENOG TIPA
Jedan od načina unapređivanja kulture matematičkih zadataka su i tzv. ZADACI OTVORENOG TIPA.
PROBLEM (ZADATAK) OTVORENOG TIPA je zadatak koji ima više korektnih rješenja i/ili više načina rješavanja, a
za kojeg postupak rješavanja nije unaprijed poznat.
Suprotnost: ZADACI ZATVORENOG TIPA, s poznatim postupkom rješavanja i samo jednim valjanim rješenjem.
9
ZADACI OTVORENOG TIPA (2)• Naglasak je na procesu rješavanja problema i diskusiji,
a ne toliko na samom rezultatu.
• Učenici trebaju samostalno odabrati metodu i riječimaobjasniti:
– kako pristupiti rješavanju zadatka
– kada primijeniti pojedini pristup
– svaki korak u postupku rješavanja zadatka
– matematičke razloge za odabir pojedinog koraka u rješavanju zadatka
– zašto se dobije pojedino rješenje.
10
DVIJE VRSTE ZADATAKA OTVORENOG TIPA
Problemi (zadaci) koji imaju jedno rješenje ali više mogućih pristupa rješavanju.
Metoda rješavanja nije zadana (učenici ju odabiru samostalno).
PROBLEM
RJEŠENJE
11
DVIJE VRSTE ZADATAKA OTVORENOG TIPA (2)
Problemi (zadaci) koji imaju više različitih (korektnih) rješenja.
Više razina na kojima se zadatak može riješiti (učenici različitih matematičkih sposobnosti).
12
NASTAVA SA ZADACIMA OTVORENOG TIPA
13
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA
Primjer 1. OŠ (zadatak zatvorenog tipa)Izračunajte umnožak 0.41. 0.2.
Primjer 2. OŠ (zadatak otvorenog tipa) Pronađite bar tri točna računa i ispišite ih.
14
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (2)
Primjer 3. SŠ (zadatak zatvorenog tipa)Izračunajte umnožak (2 + i)(3 - 2i).
Primjer 4. SŠ (zadatak otvorenog tipa) Pronađite bar tri točna računa i ispišite ih.
15
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (3)
Primjer 5. OŠ (zadatak otvorenog tipa)Sastavite tekstualni zadatak koji odgovara sljedećem izrazu:
30 € - (3*1.50 € + 12 €)
Primjer 6. OŠ (zadatak zatvorenog tipa)Koliki postotak nazočnih je stigao autom?
Primjer 7. OŠ (zadatak otvorenog tipa)Nađite primjere objekata iz svog okruženja koji čine 20% cjeline.
16
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (4)
Primjer 8. SŠ (zadatak otvorenog tipa) (AKTIVNOST)Napiši jednadžbu kružnice koja sadrži točke (-4,-3) i (6,1). Nacrtaj tu kružnicu i objasni zašto njena jednadžba zadovoljava traženi uvjet.
Primjer 9. (zadatak zatvorenog tipa)Odredi sljedeća tri člana niza:
1, 4, 7, 10, 13, __, __, __
Primjer 10. (zadatak otvorenog tipa)Pogledaj sljedeći niz:
1, 4, 7, 10, 13, ...Je li broj 100 član tog niza? Obrazloži!
17
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (5)
Primjer 11. (zadatak otvorenog tipa) (AKTIVNOST)Podijelite vrt pravokutnog oblika tako da na njegovih 50% možemo uzgajati rajčicu, na 25% grah, na 15% ciklu, a na 10% zelenu salatu. Označite odgovarajuće dijelove vrta.
Primjer 12. (zadatak otvorenog tipa) (AKTIVNOST)Kvadrat podijeli na četiri dijela jednakih površina.
18
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (6)
Nekoliko mogućih rješenja za Primjer 11.
19
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (7)
20
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (8)
Neka rješenja za Primjer 12.
21
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (9)
Daljnja strategija: VARIJACIJA PROBLEMA
Po mogućnosti, svaku riječ i/ili znak (pojam, svojstvo) koji sejavlja u zadatku redom smisleno promijeniti i pokušati riješiti novi zadatak.
Moguće varijacije:
1. Kvadrat podijeli na četiri kvadrata.
Strategija: promijenjen uvjet
2. Kvadrat podijeli na n2 kvadrata, n = 3, 4…
Strategija: analogija, generalizacija
22
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (10)
3. Kvadrat podijeli na po volji odabran broj kvadrata.
Strategija: generalizacija
7 13 8 6
23
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (11)
4. Pravokutnik podijeli na četiri kvadrata.
Strategija: promjena uvjeta – generalizacija
Rješenje postoji samo u specijalnim slučajevima. Npr.
24
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (12)
5. Kvadrat podijeli na četiri sukladna pravokutnika.
Strategija: zamjena uvjeta – generalizacija
Rješenje je očito.
6. Podijeli krug na četiri kruga.
Strategija: analogija.
Rješenje ne postoji.
Uočimo: ovakvih zadataka nema u udžbenicima, ali su važni u misaonom procesu.
25
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (13)
7. Podijeli krug na četiri kvadrata.
Strategija: učiniti prethodni zadatak smislenim.
Rješenje opet ne postoji.
8. Krug podijeli na četiri sukladna dijela.
26
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (14)
9. Što bolje prekrij krug sukladnim krugovima.
27
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (15)
Primjer 13. (zadatak zatvorenog tipa)Grafički u koordinatnom sustavu prikaži nejednadžbuy < 2x – 1 i pomoću toga odredi koji su od uređenih parova (0,0), (2,-5), (-2,17), (-3,123), (2,-2), (-5,12), (-5,-50), (2,3) njena rješenja. To isto provjeri i algebarskim putem.
Primjer 14. (zadatak otvorenog tipa)Koji su od uređenih parova (0,0), (2,-5), (-2,17), (-3,123), (2,-2), (-5,12), (-5,-50), (2,3) rješenja nejednadžbe
y < 2x - 1?Objasni postupak i svoje razmišljanje!
28
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (16)
29
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (17)
Primjer 15. OŠ(zadatak zatvorenog tipa)
Izračunaj opseg šesterokuta na slici. Primjer 16. OŠ
(zadatak otvorenog tipa)Nacrtaj šesterokut kojem je opseg 18 cm.
3
33
3
3 3
30
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (18)
Primjer 17. OŠ(zadatak otvorenog tipa)
Možeš li upotrijebiti Pitagorin poučak za izračunavanje duljine treće stranice trokuta na slici? Zašto da ili zašto ne?
3
4
31
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (19)
Primjer 18. (zadatak otvorenog tipa) (AKTIVNOST)Sastavite matematički zadatak kojem odgovara ova slika.
32
NEKOLIKO JEDNOSTAVNIH PRIMJERA (20)
Primjer 19.(AKTIVNOST)
ZAGONETNI GRAFIKON
Napišite priču koja opisuje podatke prikazane ovim grafikonom.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
IZN
OS
DANI
33
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?!
Nekoliko heuristika:
1. Kreiranje situacija ili primjera koji zadovoljavaju dane uvjete.
2. Rješavanje problema u kojem nedostaju podaci ili sadrži neke skrivene pretpostavke.
Ovakva pitanja zahtijevaju poznavanje i artikuliranje karakteristika koncepata koji stoje u pozadini zadanog problema.
Učenici moraju upotrijebiti svoje postojeće znanje o konceptu i primijeniti ga pri kreiranju primjera.
34
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (2)
Primjer 1. OŠ (AKTIVNOST)Navedi primjer pravokutnika i trokuta koji imaju istu površinu. Objasni kako si odabrao/la tražene likove i zašto su oni jednakih površina.
Primjer 2. OŠ (AKTIVNOST)Nacrtaj pravokutnik kojem je opseg veći od 19 cm a manji od 20 cm. Objasni kako znaš da je njegov opseg između 19 i 20 cm.
35
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (3)
Primjer 3. (AKTIVNOST)Kreiraj skup podataka sa sljedećim svojstvima:
- skup sadrži 7 podataka; - raspon podataka je 10 jedinica;- aritmetička sredina je veća od medijana.
Pokaži da kreirani skup podataka ima tražena svojstva.
Primjer 4.Navedi primjer događaja vjerojatnosti 0. Objasni kako znaš da je vjerojatnost tog događaja jednaka 0.
36
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (4)
Primjer 5. OŠFormuliraj zadatak riječima koji odgovara postavljenom računu (aritmetičke sredine):
81 + 93 + 78 = 252
252 : 3 = 84Primjer 6. OŠ
Nacrtaj trokut kojem je dani pravac os simetrije.
37
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (5)
Primjer 7. (zadatak zatvorenog tipa)Polarni medvjed je 10 puta teži od Maje koja ima 50 kg. Kolika je masa polarnog medvjeda?
Primjer 8. (zadatak otvorenog tipa)
Polarni medvjed ima masu 500 kg. Koliko srednjoškolaca treba okupiti da zajedno imaju istu masu?
Primjer 9.
Na stolu i u maloj košari nalaze se jabuke. Ukoliko ukupno ima 50 jabuka, koliko ih je na stolu, a koliko u košari?
38
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (6)
4. Objašnjavanje pogreške u konceptu ili postupku.
Primjer 1. OŠ (zadatak zatvorenog tipa)Koji od sljedećih prirodnih brojeva su prosti?
7, 57, 67, 117
Primjer 2. OŠ (zadatak otvorenog tipa)Ana misli da su brojevi 57 i 67 prosti zato što oba završavaju znamenkom 7, što je prost broj. Iva misli da Ana nije u pravu. Tko je u pravu i zašto?
39
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (7)
Primjer 3. SŠ (zadatak zatvorenog tipa)Usporedi tg x i sin x za
Primjer 4. SŠ (zadatak otvorenog tipa)Ana je izračunala tg x i sin x za određeni kut x i tvrdi da je tg x < sin x. Iva tvrdi da je to nemoguće. Tko je u pravu i zašto?
π π π π π π= − −
3 5, ,0, , , ,4 8 8 4 8 8
x
40
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (8)
Graf funkcije f(x) = tg x – sin x
41
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (9)
Primjer 5. SŠ (zadatak otvorenog tipa)Ana tvrdi da 3 nije nultočka polinoma
p(x) = 2x4+ax3+3x2-5x+10Iva tvrdi da 3 može biti nultočka polinoma p , ovisno o vrijednosti a. Tko je u pravu i zašto?
Primjer 6. OŠ, SŠ (zadatak zatvorenog tipa)Ana je radeći tokom ljetnih praznika zaradila 1000 €. Taj je iznos oročila u banci uz godišnju kamatnu stopu od 4%. Koliko će Ana imati novca nakon dvije godine?
42
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (10)
Primjer 7. OŠ, SŠ (zadatak otvorenog tipa)Ana je radeći tokom ljetnih praznika zaradila 1000 €. Taj novac želi na dvije godine oročiti u banci. Za to ima dvije ponude:(a) “Plus – štednja”: u prvoj godini 3%, a u drugoj 5% godišnje kamate.(b) “Extra – štednja”: u prvoj i u drugoj godini godišnje kamate od 4%.Ana misli da su obje ponude jednako dobre. Što ti misliš o tome? Obrazloži svoj odgovor!
Rješenje:“Plus-štednja” (1000 . 1.03) . 1.05 = 1030 . 1.05 = 1081.50 €“Extra-štednja” (1000 . 1.04) . 1.04 = 1040 . 1.04 = 1081.60 €Očito, druga je ponuda povoljnija od prve.
43
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (11)
Daljnja strategija: VARIRANJE PROBLEMA
1. Kvalitativna i kvantitativna usporedba ponuda. Račun u (a) je jasniji, ali složeniji. Račun u (b) je jednostavniji, ali nije odmah vidljivo koji se faktor na što odnosi.
Uočimo: razlika je 0.10 €. Nije li Ana ipak u pravu? ☺2. Što ako Ana nakon prve godine podigne kamate?
Strategija: promjena uvjeta!Ponuda (a): 1000 . 0.03 + 1000 . 0.05 = 30 + 50 = 80 €Ponuda (b): 1000 . 0.04 + 1000 . 0.04 = 40 + 40 = 80 €
44
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (12)
3. Što ako su kamate za prvu godinu 5%, a za drugu 3%?Strategija: opet promjena uvjeta (analogija)!(1000 . 1.05) . 1.03 = (1000 . 1.03) . 1.05 = 1081.50 €Uočimo: nije poboljšanje u odnosu na (a) iako tako izgleda!
4. Može li banka poboljšati svoju ponudu ako u prvoj godini daje 2%, a u drugoj 6% kamata?Strategija: neznatna promjena uvjeta (analogija)!(1000 . 1.02) . 1.06 = 1081.20 € < 1081.50 €Uočimo: pogoršanje u odnosu na (a)!
45
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (13)
5. Postoji li unosnija razdioba kamata od 4% + 4% = 8%?Strategija: generalizacija!
1000 . (1.04 – x) . (1.04 + x) = 1000 . (1.042 – x2) < 1000 . 1.042 = 1081.60 €, za sve x ≠ 0
6. Kako bismo zadatak analogno postavili za oročenjena 3 godine?Strategija: promjena uvjeta (analogija)!Npr. 2% + 5% + 5% = 12% u odnosu na 4% + 4% + 4%Postavljanje ovakvog pitanja i odgovor na njega pokazuje da su učenici razumjeli pozadinu i smisao problema!
Uvod u modeliranje!!!
46
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (14)
5. Rješavanje zadatka (problema) ili interpretacija/objašnjavanje rješenja na više različitih načina.
Primjer 1. OŠ, SŠOdredi dva prirodna broja x takva da je moguće konstruirati trokut sa stranicama duljina 2, i x. Objasni zašto tvoje vrijednosti x omogućavaju konstrukciju trokuta.
Primjer 2. OŠ, SŠNavedi dvije transformacije ravnine koje će kvadrat ABCD preslikati u samog sebe.
8
47
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (15)
Primjer 3. SŠDani su pravci a1 ... x + 1 = 0 i a2 … y = 0.5x + 2. U sliku ucrtajte grafove funkcija kojima su ovi pravci asimptote.
48
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (16)
Jedan način: eksperimentiranje grafičkim kalkulatoromProbamo s f(x) = 1/x .
49
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (17)
Sada s f(x) = 1/x +1.
50
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (18)
Dalje probamo s f(x) = 1/(x +1).
51
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (19)
Evo ga: f(x) = 1/(x +1) + (0.5x+2).
52
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (20)
Ali to nije sve: g(x) = 2/(x +1) + (0.5x+2).
53
KAKO KREIRATI ZADATKE OTVORENOG TIPA?! (21)
Evo ih još, cijela familija: f(x) = a/(x +1) + (0.5x+2).
54
VAŽNO!
Učenička rješenja i odgovori na zadatke otvorenog tipa daju nam uvid o tome što učenici misle i znaju o matematici:– uvid u stil učenja
– uvid u “rupe” u razumijevanju matematičkih koncepata
– uvid u jezik kojim se služe u obrazlaganju svojih matematičkih ideja
– uvid u način interpretacije matematičkih situacija.Rješavanje problema otvorenog tipa kao nastavna strategija stvara interes učenika u razredu i stimulira kreativne matematičke aktivnosti putem individualnog ili suradničkog rada.
55
NEKOLIKO PREDNOSTI OVAKVOG PRISTUPA
• Potiču se različiti oblici učeničkog matematičkog mišljenja.
• Učenici aktivnije sudjeluju u nastavi i češće izražavaju svoje ideje.
• Učenici imaju više prilika za široku upotrebu i povezivanje svog matematičkog znanja, vještina i sposobnosti.
• Svaki učenik na problem može odgovoriti na neki vlastiti način, samostalnim izborom metode.
• Takva nastava učenicima može osigurati iskustvo samostalnog zaključivanja.
• Učenici stječu bogato iskustvo u imanju osjećaja zadovoljstva (matematičkog) otkrivanja i u dobivanju potvrde rezultata od svojih kolega.
56
JOŠ NEKOLIKO PRIMJERA I METODIČKIH NAPOMENA
57
TIPIČNI SAT RJEŠAVANJA PROBLEMA OTVORENOG TIPA
58
GRUPIRANJE PRAVOKUTNIKA(AKTIVNOST)
U novoj pošiljci u dućan su stigli okviri pravokutnog oblika sljedećih dimenzija (širina u inčima x visina u inčima):
6 x 10, 8 x 12, 4 x 6, 4 x 8, 3 x 5, 5 x 10, 2 x 3, 9 x 15, 3 x 6, 6 x 9, 1 x 2, 12 x 20.
• Podijelite okvire u tri grupe, tako da se u svakoj od njih nalaze okviri sličnog oblika.
• Objasnite kako znate da su okviri u svakoj grupi slični.• U pravokutnu mrežu ucrtajte dimenzije svakog okvira kao točke
s koordinatama (x,y) = (širina, visina). Spojite crtom sve točke koje odgovaraju okvirima iz iste grupe. Što uočavate?
• Nađite dimenzije još nekog novog okvira koji bi pripadao pojedinoj grupi. Objasnite svoju metodu.
59
GRUPIRANJE PRAVOKUTNIKA (2)
Koncepti:
učenici će opisati, definirati, dati primjere i primijeniti u situaciji iz realnog svijeta i matematičkoj situaciji pojmove:
– razmjer (jednakost omjera)
– sukladnost, simetrija, sličnost
– pravokutni koordinatni sustav u ravnini
Vještine: učenici će modelirati jednakosti i nejednakosti računski, grafički (graf, tablica) i apstraktno (jednadžba)
60
GRUPIRANJE PRAVOKUTNIKA (3)
GRUPA A GRUPA B GRUPA C
6 x 10 8 x 12 4 x 8
3 x 5 4 x 6 5 x 10
9 x 15 2 x 3 3 x 6
12 x 20 6 x 9 1 x 2
61
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
širina
visin
a GRUPA A
GRUPA B
GRUPA C
62
PROBLEM POSUDE S VODOM
(AKTIVNOST)
Staklena posuda oblika kvadra dijelom je napunjena vodom. Stavi li se na stol i nagne, ali tako da jedan brid osnovke ostane nepomičan, površina vode sa stranama kvadra zatvara različita geometrijska tijela, čiji se oblik i veličina mijenjaju ovisno o nagibu posude. Pokušajte otkriti što više invarijanti tih geometrijskih tijela (tj. relacija koje se promjenom nagiba posude neće promijeniti).
63
PROBLEM POSUDE S VODOM (2)
64
PROBLEM POSUDE S VODOM (3)
• Za ovaj bi zadatak otvorenog tipa učenicima trebalo pripremiti materijale za eksperimentiranje(odgovarajuće posude s vodom za svaku grupu).
• Provedba ovakvih zadataka ponekad je skupa i dugotrajna ☺
65
PROBLEM POSUDE S VODOM (4)
Moguća zapažanja:
• Nastalo tijelo uvijek je prizma (trostrana ili četverostrana).
• Njegov najdulji brid iznosit će najviše 15 cm.
• Zbroj duljina bridova nastale prizme je konstantan.
• a + b je konstantno.
66
PROBLEM POSUDE S VODOM (5)
Moguća zapažanja:
• Oblik baza nastale prizme mijenja se od pravokutnika, preko općeg trapeza do trokuta.
• Oblik površine vode se ne mijenja (pravokutnik).
• Površina površine vode (pravokutnika) se mijenja.
67
PROBLEM POSUDE S VODOM (6)
Moguća zapažanja:
• Površina površine vode naginjanjem se povećava.
• Ukupna površina bočnih strana nastalog poliedra se ne mijenja.
• Volumen vode se ne mijenja.
68
PUZZLE S UZORCIMA(AKTIVNOST)
Jednakostranični trokut prekrijte danim plavim i zelenim elementima. Kreirajte što više različitih uzoraka.
69
PUZZLE S UZORCIMA (2)
• Učenike je potrebno pustiti da u grupama samostalno pronalaze različite uzorke (“konfiguracije”) i zapisuju ih redom kojim ih otkrivaju.
• Nakon toga, uspoređuju se različita rješenja svake grupe i njihov broj.
70
PUZZLE S UZORCIMA (3)• Sljedeći korak je usmjeriti
učenike da grupiraju (po nekom svom “razumnom” kriteriju) pronađena rješenja prema sličnosti.
• Koji je bio kriterij grupiranja?
• Koliko je različitih grupa rješenja?
• Što sada možemo reći o broju različitih rješenja postavljenog problema?
71
PUZZLE S UZORCIMA (4)
72
PUZZLE S UZORCIMA (5)
Cilj ovog zadatka bio je omogućiti učenicima da timsko – suradničkim radom sami otkriju vezu između uzoraka različitih orijentacija i položaja.
73
PUZZLE S UZORCIMA (6)• Ovaj zadatak omogućava
usvajanje novog geometrijskog koncepta, tj. prijelaz s geometrijske razine 0 na razinu 1 eksperimentiranjem, uspoređivanjem i sortiranjem uzoraka.
• Razina 0 – djeca misle da se promjenom orijentacije mijenja i oblik zbog drukčijeg pogleda na njega.
• Razina 1 – djeca uspostavljaju veze i uočavaju karakteristike oblika bez obzira na njegovu orijentaciju i položaj.
74
JOŠ JEDAN PUZZLE - JAJE
75
JAJE PUZZLE (2)
76
IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA?
Imaju li Japanci dovoljno šuma? Razmislite o ovom pitanju uz pomoć dane tablice i poredajte države obzirom na količinu šuma.
UKUPNA POVRŠINA U km2
POVRŠINA POD ŠUMOM U km2 STANOVNIŠTVO
JAPAN 372313 247282 119259000
SAD 9372614 2651880 233700000
FRANCUSKA 547026 145940 54346000
77
IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (2)
GLAVNA NASTAVNIKOVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
N: Japan je poznat kao zeleno otočje, što znači da je bogat šumom. Što mislite, je li ta tvrdnja točna usporedimo li podatke o pošumljenim površinama u Japanu, SAD i Francuskoj?!
U: Japan nema najviše šuma od ove tri zemlje!
U: Budući da je Japan mala zemlja, skoro bi cijeli mogao biti pod šumama!
Učenici trebaju uočiti da samo podaci o pošumljenim površinama nisu dovoljni za razumijevanje problema.
78
IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (3)
GLAVNA NASTAVNIKOVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
N: Imaju li Japanci dovoljno šuma? Usporedite podatke o dane tri zemlje i poredajte ih prema (dovoljnoj) količini šuma.
Učenicima treba dati sve podatke o navedenim državama, i to u obliku tablice.
Učenici postavljeni problem trebaju rješavati samostalno, svatko za sebe!
79
IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (4)
GLAVNA NASTAVNIKOVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
Uspoređujemo učenička rješenja i u njima otkrivamo ideje koje stoje iza njihovog načina razmišljanja.
U1: Poredak je: Japan (najbolji), SAD, Francuska. Udio pošumljene u ukupnoj površini iznosi: Japan 66%, SAD 28% i Francuska 27%.
U2: Poredak je: SAD (najbolji), Francuska, Japan. Pošumljena površina po stanovniku iznosi: SAD 12000 m2, Francuska 2800 m2, Japan 2100 m2.
U3: ....
80
IMAJU LI JAPANCI DOVOLJNO ŠUMA? (5)
GLAVNA NASTAVNIKOVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
Važno je da svi učenici razumiju proces dolaska do rješenja i razloge zašto su se u diskusiji pojavila različita rješenja.
N: Usustavljuje sve ideje za rješavanje ovog problema koje su predložili učenici.
DZ: Svaki učenik neka napiše kratki esej o tome što je naučio na ovom satu.
81
POKVARENI KALKULATOR
Bez upotrebe tipke s brojem 5, pomoću kalkulatora izračunajte 18 x 25.
82
POKVARENI KALKULATOR (2)
GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
N: Izračunajmo 18 x 25 pomoću kalkulatora.
U: 18 x 25 = 450
Trebamo se uvjeriti da je svaki učenik na svom kalkulatoru izračunao 18 x 25.
N: Kako bismo to učinili bez da upotrijebimo (pokvarenu) tipku s brojem 5?
N: Neka svatko sam pokuša riješiti ovaj problem.
83
POKVARENI KALKULATOR (3)
GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
Učenici trebaju shvatiti da, osim x, mogu koristiti i druge tipke,uključujući +, -, /.
Ukoliko je potrebno, učitelj pomaže učenicima. Nakon završenog rada uspoređuju se dobivena rješenja i kroz
diskusiju artikuliraju ideje koje iza njih stoje.
N: Pogledajmo nekoliko rješenja i ideja koje su dovele do njih.
84
POKVARENI KALKULATOR (4)
GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
U1: 18 + 18 + 18 + ... + 18 = 450
U2: 18 x 24 + 18 = 450
U3: 18 x 26 – 18 = 450
U4: 18 x 19 + 18 x 6 = 450
U5: 18 x 100 : 4 = 450
U6: ...
85
POKVARENI KALKULATOR (5)
GLAVNA UČITELJEVA PITANJA I UČENIČKI ODGOVORI
Nastavnik daje zaključak svim prezentiranim idejama.
N: Izračunajte 18 x 25 bez tipke s brojem 2.
DZ: Svaki učenik neka napiše kratki esej o tome što je naučio na ovom satu.
86
OTPLATA ZAJMA
(AKTIVNOST)
Za kupovinu novog automobila Aleksandra je podigla zajam od 12000 €. Otplaćivat će ga u jednakim obrocima od 500 €, uz mjesečnu kamatu od 1.5% na neotplaćeni dio duga. Za koliko će mjeseci zajam biti otplaćen?
87
OTPLATA ZAJMA (2)
Jedna nova ideja:
Rješenje dobijemo jednočlanom rekurzijom.
Oznaka:Dn = preostali dug nakon n mjeseciD0 = 12000Dn+1 = Dn
.1.015 – 500, n = 0, 1, 2...
88
OTPLATA ZAJMA (3)Generalizacija:
Oznaka:
Dn = preostali dug nakon n mjeseci
D0 = podignuti zajamk = kamatnjak r = mjesečni obrok
Dn+1 = (1+k)Dn – r, n = 0, 1, 2...
89
TARIFNI MODELI
Telekomunikacijska tvrtka odlučila je na uzorku od 1000 korisnika isprobati svoja dva nova tarifna modela –TARIFA A i TARIFA B. Slobodnim izborom 400 korisnika izabralo je TARIFU A, a njih 600 TARIFU B. Korisnici su tarifni model mogli slobodno promijeniti svaki tjedan. Pokazalo se da svaki tjedan 20% korisnika mijenja TARIFU A u TARIFU B, a njih 30% TARIFU B u TARIFU A. Koji će se tarifni model pokazati uspješnijim?
90
TARIFNI MODELI (2)
I opet nova ideja:
Problem rješavamo sustavom od dvije jednočlane rekurzije.
Oznake:An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednuBn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu
A1 = 400, B1 = 600
An+1 = 0.8 An + 0.3 Bn
Bn+1 = 0.2 An + 0.7 Bn
91
TARIFNI MODELI (3)
Generalizacija:
Oznake:An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednu
Bn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu
pAB = prijelaz iz TARIFE A u TARIFU B
pBA = prijelaz iz TARIFE B u TARIFU A
A1, B1 su zadani
An+1 = (1 - pAB)An + pBA Bn
Bn+1 = pABAn + (1 – pBA)Bn