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ElaboraciónDavid Ernesto Palomino Alva

Colaboración en la elaboraciónJenny Rios Poma

Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (coordinador)Carlos Alberto Calderón ArévaloDaniel Giovanni Proleón PatricioFernando Del Castillo OyarceLuis Alberto Díaz NunjaLuis Daniel Chumpitaz MalpartidaMarco Antonio Tello Mena Terry

Revisión pedagógicaPedro David Collanqui DíazRoger Justiniano Saavedra Salas

Corrección de estiloRaquel Socorro Tinoco Casallo

Diseño, diagramación e ilustracionesDiana Angélica Ganao Contreras

Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamos 2

Cuaderno de trabajo para el estudiante2do. Grado de Educación Secundaria

Ministerio de EducaciónCalle El Comercio N.o 193 - San BorjaLima 41 - PerúTeléfono: 615-5800www.minedu.gob.pe

Primera edición: 2012Tiraje: ejemplares

Impreso en el Perú / Printed in PeruEmpresa Editora El Comercio S.A.Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318 Chacra Ríos Sur, Lima 01

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N. 2012 - o

©Ministerio de EducaciónTodos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.

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Presentación

En muchas ocasiones, seguramente, te has preguntado para qué aprendes matemática, cómo te sirve en la vida diaria y en tu proyecto de vida como futuro ciudadano. Asimismo, es posible que hayas

considerado que la matemática es difícil de aprender, que tiene muchos contenidos y procesos, y que solo interesa que apliques la misma forma de solución a cierto tipo de problemas.

Aprender matemática es importante porque en la vida diaria estás siempre en contacto con situaciones que se relacionan con la matemática, y esta te permite un mejor entendimiento y desenvolvimiento en el mundo que te rodea.

El Cuaderno de trabajo Resolvamos 2 está compuesto por una serie de actividades, sobre situaciones cotidianas, cuyo desarrollo te permitirá comprender que la matemática es útil para la vida, que su aprendizaje es fascinante y que dinamiza tu forma de pensar.

Los problemas planteados en este cuaderno se presentan en orden creciente de dificultad y podrás resolverlos de manera individual, en pareja o en grupo. Con tu esfuerzo y dedicación, y el de tus compañeros, lograrás desarrollar estrategias y aplicarlas a otros contextos, despertando así tu ingenio matemático. Esta será también una ocasión para que tus padres te brinden apoyo y valoren tu aprendizaje.

Por todo ello, Resolvamos 2 ha sido elaborado pensando en ti, para que disfrutes aplicando la matemática a tu vida diaria. Esperamos que le “saques el jugo” a esta experiencia y te diviertas recorriendo el maravilloso mundo de la resolución de problemas.

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Antes de empezar a desarrollar las actividades:

Conoce tu Cuaderno de trabajo

Te recomendamos leer la sección titulada ¿Cómo resolver un problema?, en la que se proporcionan orientaciones y pasos a seguir para la resolución de un problema y se brindan ejemplos sobre cómo desarrollar las actividades que presenta este cuaderno.

Con el objeto de brindarte orientaciones para el uso adecuado de tu Cuaderno de trabajo, te presentamos este apartado en el que describimos los objetivos principales de este material, algunas recomendaciones para que obtengas el mayor provecho de él y la forma en que se encuentra organizado.

También encontrarás Organizadores visuales frecuentes, con diversas estrategias para organizar la información, las cuales te facilitarán la resolución de los problemas.


Estructura del Cuaderno de trabajo:

La Tarea 1 presenta una situación de la vida cotidiana y preguntas que te conducirán a la resolución del problema planteado.

Las Tareas 2 y 3 presentan situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y proponen una metodología de cuatro pasos, con preguntas y orientaciones para resolver

el problema.

La Tarea 4 presenta una situación problema en la que deberás poner en

práctica los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas

orientadoras que te ayudarán a tener éxito en su solución.

El cuaderno está compuesto por 28 actividades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que deberás desarrollar de manera personal o colectiva. A continuación, describimos la estructura de una actividad.


La sección ¿Qué aprendí? detalla los aprendizajes que has desarrollado al concluir la actividad y relaciona su importancia con las situaciones cotidianas.

La sección Autoevaluación plantea una pregunta referida a tu actuación en el desarrollo de la actividad. Te invitamos a marcar en ella el nivel que consideras haber alcanzado.

Trabajo individual. Trabajo en grupo de dos estudiantes.

Trabajo en grupo de tres a cuatro

estudiantes.

Antes de iniciar el desarrollo de cada tarea, observa el ícono que se encuentra en la parte superior derecha de la página; este símbolo indica si la actividad debe desarrollarse en forma individual, en pares o en grupos de 3 o 4 estudiantes.

Al final de tu cuaderno te proponemos Bibliografía y Enlaces web en los que encontrarás información y ejemplos sobre el arte de resolver problemas, diversos juegos, enigmas y acertijos que te divertirán y despertarán tu

curiosidad por investigar el mundo de la matemática.


1. ¿Cómo resolver un problema?

2. Organizadores visuales frecuentes

Actividad 1 Números en la realidad

Actividad 2 La cotidianidad de los cálculos

Actividad 3 Porcentaje y proporcionalidad

Actividad 4 Números que modelan el mundo

Actividad 5 Cantidades por todas partes

Actividad 6 No basta multiplicar y dividir

Actividad 7 Decisiones lógicas

Actividad 8 En el país de la lógica

Actividad 9 De variables y números

Actividad 10 Matematizando con ecuaciones

Actividad 11 Funciones que se ven

Actividad 12 Las funciones sí funcionan

Actividad 13 Interpretando la realidad

Actividad 14 Segmentos que cuentan historias

Actividad 15 Practicando con la geometría

Actividad 16 Problematizando con triángulos

Actividad 17 Aplicando áreas en la vida cotidiana

Actividad 18 La medición geométrica

Actividad 19 Circulemos por los círculos

Actividad 20 Reconociendo longitudes

Actividad 21 Mediciones adecuadas

Actividad 22 Mediciones para convivir mejor

Actividad 23 ¿De cuántas formas?

Actividad 24 Juega, aprende y combina

Actividad 25 El conteo matemático no usa dedos

Actividad 26 Datos en tablas para calcular

Actividad 27 El azar en sociedad

Actividad 28 ¿Es o no probable?

Bibliografía

Enlaces web

Índice

08

12

14

18

22

26

30

34

38

42

46

50

54

58

62

66

70

74

78

82

86

90

94

98

102

106

110

114

118

122

126

127


Resolvamos 28

1. ¿Cómo resolver un problema?Todos los días resuelves problemas en tu casa, en el colegio, en tus juegos... ; pero muchas veces lo haces tanteando o por intuición. En esos casos, no usas un método que te permita decidir, justificar o explicar el porqué de tu decisión.

La Matemática es mucho más que números, operaciones y fórmulas: es un método que te ayuda a razonar mejor, a resolver problemas y a tomar decisiones en muchas actividades de tu vida diaria. Esta ciencia te brinda un conjunto de valiosas herramientas que puedes usar, no solo en la solución de problemas matemáticos escolares, sino también en situaciones que enfrentas a diario.

En este cuaderno conocerás métodos para entender y enfrentar con éxito los problemas y te ejercitarás en la búsqueda de un método propio para resolverlos.

En la primera lección observarás cómo se resuelven algunos problemas utilizando un plan de cuatro fases. Estas son:

De hecho, antes de ponerte a hacer cálculos o a escribir ecuaciones, debes leer y releer el problema hasta comprenderlo. Para ello, intenta representarlo, tal vez con un gráfico que te ayude a entender de qué trata la historia.

Una buena forma es explicar a un compañero de qué trata el problema, quiénes son y qué hacen los personajes, qué es lo conocido y qué es lo desconocido. Debes tener muy claro qué es lo que te piden.

Luego de entender el problema, debes iniciar la búsqueda de las estrategias que te serán útiles para resolverlo: trazar un plan de acción, preguntarte si has visto un caso parecido antes o si conoces algún método que te ayude a solucionarlo, etc.

Encontrar la respuesta de un problema no significa haber terminado el trabajo: debes verificar que sea la correcta y que cumpla con todo lo solicitado. Asimismo, además de comprobar tu respuesta, debes reflexionar sobre lo que hiciste: de qué métodos te serviste, qué otros problemas puedes resolver con el método usado, hacer suposiciones, cambiar condiciones y datos.

Recuerda: cada vez que resuelves problemas, tu capacidad para solucionarlos mejora. Sé consciente de ello y esfuérzate.

Después de que hayas elegido qué hacer, aplica la estrategia. Debes asegurarte de que cada paso esté bien hecho; de esta forma, te acercarás cada vez más a la solución. Si finalmente no obtienes la respuesta, tendrás que cambiar de plan y volver a la fase anterior para elaborar otro.

Ejecuto mi plan y lo controlo paso a paso.

¿Me acerco a la solución?

Reviso mi solución y veo si el método usado me va a servir

en el futuro.

Sí.

No.

Busco estrategias y diseño un plan de solución.

Me familiarizo y comprendo.


Cuaderno de trabajo 9

Un ejemploVeamos, mediante un ejemplo, cómo aplicamos este método a la solución de un problema no muy bien definido.

Para construir un vitral ornamental, un vidriero necesita pedazos triangulares de vidrio. Él desea aprovechar una pieza rectangular defectuosa de ese material, que tiene diez burbujas de aire en su superficie. Sabe, además, que no hay tres burbujas alineadas entre sí y que ninguna burbuja se encuentra en los vértices del rectángulo ni sobre sus lados.Para evitar las burbujas de aire en su proyecto final, él decidió cortar los pedazos triangulares de un modo en el que los vértices coincidan con una burbuja de aire o con dos cantos del vidrio original.¿Cuántos pedazos triangulares pudo cortar?

1) ¿De qué trata el problema?

De un vidriero que va a construir un vitral ornamental para el que necesita piezas triangulares de vidrio. Él quiere aprovechar los defectos de una pieza de vidrio, que tiene 10 burbujas, para obtener de ahí los pedazos de triángulos.

2) ¿Qué forma tiene la pieza de vidrio?

Tiene forma rectangular.3) ¿Qué te solicita el problema?

Identificarelnúmerodepiezastriangularesquese pueden obtener, respetando las condiciones del problema.

1) ¿Es posible obtener la respuesta con 10 burbujas?

Es complejo el trabajo con diez burbujas, por lo que seríaconvenientehacerusodeunmenornúmerode ellas.

2) Entonces, ¿qué estrategias puedes seleccionar?

Se pueden reconocer dos estrategias: •Buscaruncasomássimplerelacionadoconel

problema. •Buscarunpatróndeformación.

4 triángulos 6 triángulos 8 triángulos

1) Ensaya el trazo de los triángulos en tres rectángulos, con una, dos y tres burbujas. ¿Cuántos triángulos se pueden formar?

2) ¿Puedes percibir algún patrón formado con el número de burbujas?

Sí, observo que al agregar una burbuja se transforma un triángulo en tres nuevos triángulos, es decir, se crean dos triángulos más.

3) A partir de esta situación, organiza los datos obtenidos en una tabla:

4) Considerando los resultados de la tabla, ¿cuál es el patrón de formación?

Elpatróndeformaciónes2n+2.5) ¿Cuántos pedazos triangulares pudo cortar el vidriero?

22pedazostriangulares.

Número de burbujas

1 2 3 4 ... n 10

Número de triángulos

4 6 8 10 ... 2n+2 22

1) Explica los procedimientos que empleaste para solucionar el problema.

Primero,realicérepresentacionesgráficas;luego,tracéformastriangulares;después,reconocíunaregularidad a partir de ensayar con una, dos y tres burbujas;organicélainformaciónenunatabladedatos,y,finalmente,reconocílaregularidad.

2) ¿Qué tipo de organizador te ayudó a ordenar los datos? Unesquematabulardondeexpreséelnúmerodeburbujasyelnúmerodetriángulos.


Resolvamos 210

Un ejemplo más

1) ¿Qué poseen los hermanos? Poseen ovejas2) ¿Qué te dicen acerca de Jorge y Alberto? Que juntos tienen 34 ovejas. 3) ¿Qué te dicen acerca de Alberto y Daniel? Que juntos tienen 45 ovejas.

a) Diagrama de Venn b) Diagrama de tiras c ) Gráfico cartesiano

1) Completa el siguiente gráfico según corresponda.

2) ¿Es posible utilizar este gráfico para saber cuántas ovejas tiene Daniel? Sí.

Muestra cómo: Lo que tiene Daniel es 66-34=32ovejas.

3) ¿Puedes utilizar diagramas análogos para averiguar lo que tienen los otros dos hermanos? Sí.

Muestra cómo hacerlo:

Jorgetiene66-45=21ovejas.

Alberto tiene 66-53 = 13 ovejas.

1) Es una situación en la que un todo se reparte entre tres personas. ¿Qué tipo de diagrama te conviene utilizar?

Los hermanos Jorge, Alberto y Daniel Culqui tienen, en total, 66 ovejas. Cada uno es dueño de una parte del rebaño. Cuando Jorge y Alberto llevan sus ovejas a pastar, conducen 34 ovejas; cuando son Alberto y Daniel los que salen, llevan 45 ovejas, y cuando son Jorge y Daniel, 53. ¿Cuántas ovejas posee cada uno?

1) ¿Cómo compruebas que tu respuesta es correcta? Lasumaes66ovejas(21+13+32=66).EntreJorgeyAlbertotienen21+13=34ovejas,entreAlbertoyDanieltienen32+13=45ovejasyentreJorgeyDanieltienen21+32=53ovejas.Estosdatos coinciden con los dados en el problema.

2) ¿Qué estrategia te sirvió para resolver el problema? Hacerundiagramadetirasquerepresentólarelaciónparte-todo.3) ¿Es necesario saber que tenían en total 66 ovejas? Si no lo es, muestra cómo se puede resolver este problema sin ese dato.

66 ovejas

66 ovejas

66 ovejas

34 ovejas

53 ovejas

45 ovejas

Jorge Alberto 34Alberto Daniel 45Jorge Daniel 53

Jorge Alberto Daniel

Jorge Alberto

Jorge Daniel Alberto

Jorge Daniel

Alberto Daniel Jorge

Alberto Daniel

4) ¿Qué te dicen acerca de Jorge y Daniel? Que juntos tienen 53 ovejas.5) ¿Qué debes averiguar? Cuántas ovejas tiene cada uno.

Noesnecesario,alverelgráficoseconcluyequesumandotodo(34+45+53=112)seobtieneeldobledelrebaño,puescadapastorsecuentadosveces.Entonces,loquetienenentotalserálamitadde112.Conestainformación,estamoscomoenelproblemainicialyaresuelto.



Para que resuelvas problemas... ¡no solo de Matemática!

• Lee el problema detenidamente.

• Familiarízate con él, piérdele el miedo.

• Identifica qué te piden, qué te dan.

• Expresa la situación con tus propias palabras.

• Pon en acción las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la etapa anterior. Una por una. En principio, no las mezcles.

• Si no avanzas, no te rindas fácilmente. Pero tampoco te detengas en una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, quizá haya otro camino.

• ¿Salió? ¿Estás seguro? Observa detenidamente tu solución.

• Busca semejanzas con otros problemas que ya sabes resolver.

• Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil, ponte ejemplos particulares o usa números más pequeños.

• Experimenta y busca regularidades, pautas, patrones.

• Haz un diagrama o un esquema para visualizar la situación.

• Organiza la información mediante una tabla, un diagrama de árbol, un diagrama de flujo, etc.

• Escoge una buena notación.

• Aprovecha la simetría si es posible.

• Imagina que el problema está resuelto.

• Ponte en el caso de que el problema no esté resuelto, ¿a dónde nos lleva esta afirmación?

• Empieza por el final.

• Piensa en métodos generales: usar un algoritmo, una tabla, un diagrama de flujo, una fórmula, pensar inductivamente, razonar lógicamente, plantear una ecuación, buscar casos críticos, etc.

• Examina, paso a paso, el camino que has seguido.

• Comprueba tu solución. ¿Es razonable? ¿Se ajusta al problema?

• ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O por qué no has llegado a la solución?

• Identifica qué te dio la clave o qué te confundió.

• Ahora mira, si se te ocurre hacerlo de un modo más simple.

• Cambia los datos, las condiciones o el contexto. Vuelve a resolver estas nuevas situaciones.

• Analiza si el método utilizado te puede servir en otras circunstancias.

• Reflexiona sobre tus emociones y tu proceso de razonamiento, al solucionar el problema, y extrae conclusiones que puedan servirte frente a otros problemas en el futuro.


Resolvamos 212

2. Organizadores visuales frecuentes

Diagramas de tirasSe utilizan mayormente cuando la cantidad que interviene en el problema varía en el tiempo o es dividida en partes que se relacionan entre sí.

Ejemplo: La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno?

Solución: Cantidad: Número total de entradas.

Elabora un diagrama de tiras.

Diagramas tabulares (tablas)Se emplean cuando se brinda información sobre características que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algún patrón o regla de formación.

Ejemplo: Dos amigos tienen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica tiene el doble de lápices que Felipe, quien tiene 5 tajadores más que lápices. Mónica tiene tantos tajadores como lápices tiene Felipe. Mónica tiene 18 útiles y no tiene borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores tiene cada uno?

Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores.

Diagramas analógicosSe suelen utilizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemática, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas.

Ejemplo: Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edificio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9 m de él?

Solución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.

Diagramas conjuntistasSe suele recurrir a estos cuando se trata de información acerca de dos o más grupos, cuyos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto. También cuando se deben realizar clasificaciones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.

Ejemplo: De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas?

Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj.

Lápices Borradores Tajadores TOTALMónica 2x 0 x 18Felipe x 8 x + 5TOTAL 8

Diagramas de flujoSe emplean cuando una cantidad varía a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación final de esta cantidad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemáticos, entre otras aplicaciones.

Ejemplo: Un número se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este número. Finalmente, se divide por 6 y se obtiene 8. ¿Cuál era el número?

Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número.

Aquí te presentamos algunos organizadores de información que se utilizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemáticos.

x2 -8 8

48

Invertir

U

÷ 6



Diagramas linealesSe usan cuando se cuenta con información acerca de una característica de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa característica.

Ejemplo: Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos alegre que Roberto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre?

Solución: Grupo: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás.

Característica: Alegría.

Diagramas cartesianosSon de gran utilidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables.

Ejemplo: El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias; después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias?

Solución: Cantidad: Organizaremos los datos en un gráfico cartesiano. Pares ordenados: (0;3) (8;20)

Diagramas de árbolSe suelen utilizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y multiplicación.

Ejemplo: Un productor de cumbia quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?

Roberto Alberto Alfredo Tomás +

Rosa

José

José

José

Raúl

Raúl

Raúl

Ana

Nancy


Resolvamos 214

Ejercitarse es buenoJavier Ariel desea competir en la bicicleteada de su barrio. Para ello, ha decidido entrenar diariamente. Sin embargo, manejar bicicleta no es algo sencillo. Para prevenir que el cansancio venza a las ganas de ejercitarse, piensa manejar el primer día una hora y durante los días sucesivos aumentará el tiempo de manejo diez minutos por cada día. Él trata de mantener una velocidad promedio constante de 6 m/s.

Completa la tabla mostrada para organizar el tiempo que Javier le dedica a su entrenamiento.

D L M M J V S1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30

1) ¿Cuánto tiempo entrenó el fin de semana?

2) Al término de una semana, ¿cuánto tiempo habrá entrenado?

3) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primer día y el segundo?

4) ¿Entre el quinto día y el tercero?

5) Si la rutina de Javier fue durante un mes, ¿cuál es la diferencia de tiempo que hay entre el primer viernes y el último viernes de entrenamiento?

6) Reflexiona y responde. Siempre es bueno alternar actividades; por ello, Javier decidió trotar durante la mitad del tiempo de recorrido en bicicleta.

¿Cuánto tiempo ha destinado Javier a trotar durante la primera semana?

7) ¿Se ha realizado correctamente el cálculo de los tiempos realizados por Javier? Justifica.

8) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre el 15 y 27 del referido mes?

Día Lunes 1 Martes 2 Miércoles 3 Jueves 4 Viernes 5 Sábado 6 Domingo 7Tiempo de entrenamiento (min)

Números en la realidad1



A Joel Mercado le encanta hacer las compras semanales para su casa. Desde los 11 años, es él quien decide dónde comprar los artículos. Es el orgullo de sus padres. Joel es una persona muy curiosa, lee todos los folletos de oferta, los pesos netos, analiza los recipientes, etc. Por eso, en los dos mercados de su localidad, ha indagado los precios de artículos que consume siempre, con lo que tiene una base objetiva para decidir en qué lugar puede comprar cada uno de ellos. Él ha creado una tabla con la diferencia de precios de los artículos que necesita.

¿En qué mercado es más barato en relación con los productos que compra? ¿Cuánto dinero se ahorrará?

Joel Mercado al mercado

1) Decir que el mercado 1 es más barato que el mercado 2 implica que el precio de un producto en el mercado 1 es menor que el precio del mismo producto en el mercado 2. Entonces, esta diferencia podemos representarla con signo negativo. De manera contraria, si el precio del mercado 1 es mayor que el precio del mercado 2, la diferencia es positiva. Con esta consideración desarrolla la estrategia propuesta, indicando la diferencia en céntimos de los productos que son más baratos o más caros en el mercado 1:

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.

2) ¿Crees que es útil organizar los datos con la estrategia empleada antes de hacer las compras?

4) ¿Será necesario separar lo barato de lo caro?

5) ¿Qué te piden averiguar?

1) ¿De quién te hablan en el problema?

2) ¿De qué forma ayuda Joel a sus padres?

3) ¿Qué implica decir: más barato o más caro?

3) Agrega tres productos más (ponles un precio aproximado, de acuerdo con tu experiencia), de tal manera que ambos mercados sean igual de convenientes.

4) Plantea otra estrategia que te permita resolver el problema.

1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema?

a) Tantear los precios de los productos.

Artículo En el mercado 1 es que en el mercado 2

Botella de aceite 60 céntimos más barato

Bolsa de galletas 72 céntimos más caro

Lechuga 9 céntimos más barato

Kilo de tomate 3 céntimos más caro

Kilo de arroz 23 céntimos más barato

Para conocer la diferencia, suma ambas cantidades y completa. El mercado más barato es: , ya que se ahorrarán céntimos.

b) Hacer una tabla con lo más caro y lo más barato.

c) Suponer valores de productos y compararlos.

Artículo En el mercado 1 es que en el mercado 2

Botella de aceite

Bolsa de galletas

Lechuga

Kilo de tomate

Kilo de arroz

Total


Resolvamos 216

¡Todos a la banda!


2) ¿Qué datos te dan?

1) ¿Los miembros de la banda son un número impar?

2) ¿Los miembros de la banda son un múltiplo de 3?

3) Al ir en filas de 2, ¿cuántas filas más habrá que si hubieran ido en filas de cuatro?

4) Completa el cuadro de la derecha e identifica: ¿cuál es el ordenamiento que cumple con la condición del problema?

5) ¿Cuántos miembros hay en la banda?

1) Sabemos que cada fila está conformada por 4 estudiantes. Según el problema, con los nuevos estudiantes hay dificultades para formar filas de 2, 3 y 4. ¿Qué estrategia te podría ayudar a resolver este problema?

a) Hacer una tabla y buscar datos que coincidan entre múltiplos de 2, 3 y 4.

b) Hacer dibujos que representen la distribución de las filas.

c) Buscar un patrón común entre ellos.

La banda de la IE Alfonso Ugarte de Tacna se prepara para el desfile escolar. En los últimos años, el maestro director de la banda ordena a los muchachos en filas de cuatro. La banda es tan conocida y ha ganado tantos concursos que la mayoría de estudiantes quiere pertenecer a ella. Por eso, el número de estudiantes ha aumentado este año.

El director se da cuenta de que esta vez no podrán marchar en filas de cuatro, ya que la última no se completa. Tampoco pueden hacerlo en filas de tres, ya que, al agruparlos de ese modo, hay tres filas más que cuando se les agrupa de cuatro en cuatro (sin considerar la que no está completa). Y si marcharan en filas de dos, la última tampoco se completaría; con el agregado de que habría ocho filas más que si marchasen en filas de cuatro.

¿Cuántos miembros componen la banda?

3) ¿En filas de cuántos estudiantes se disponen los integrantes? ¿Por qué no pueden agruparse de ese modo este año?

4) ¿Qué desea hacer el maestro director de la banda?

Estudiantes

En fila de 2 sobrando 1

En fila de 3En fila de 4 sobrando

1 o 3

1) ¿Qué estrategia te permitió resolver el problema? Descríbela.

2) ¿En qué situación has tenido dificultades y cómo las superaste?



La ganancia del día

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran números naturales, enteros, racionales y los he relacionado con las operaciones básicas. Ello me sirve para conocer el comportamiento de cantidades en situaciones cotidianas y, de este modo, tomar decisiones acertadas.

En una feria de productos hechos a mano, un artesano vende aretes y pulseras en material de alpaca. El par de aretes lo vende en S/.10 y las pulseras, a S/.30 cada una. También tiene una oferta especial: vende un juego de un par de aretes y una pulsera en S/.20.

Un sábado el artesano vendió 72 pulseras, algunas en juegos y otras sueltas, y 80 pares de aretes, algunos en los juegos y otros sueltos. Al revisar detalladamente las ventas del día, resultó que había vendido 52 juegos, que se habían pagado, según lo ofrecido, como oferta especial.

Por otro lado, el artesano compra cada paquete de 25 metros de material a S/.100. Si por cada arete invierte aproximadamente 20 cm y por una pulsera, 80 cm, ¿cuál es el porcentaje de ganancia respecto al costo del material invertido en las ventas de ese día?

1) ¿En qué consiste la oferta especial?

2) ¿Cuánto ahorra un comprador si adquiere un juego de la oferta especial?

3) Completen la siguiente tabla referida a los artículos vendidos:

4) En la tabla mostrada registren la información solicitada para definir la cantidad de material empleado en la elaboración de los artículos vendidos:

5) ¿Cuántos paquetes del material compró el artesano? ¿Cuánto gastó en total en el material?

6) Completen el cuadro para hallar la ganancia obtenida:

7) ¿Cuál es el porcentaje de ganancia respecto al costo del material invertido en las ventas de ese día?

Artículo Cantidad Precio (S/.) Ingreso (S/.)

Par de aretes

Pulsera

Juego de aretes y pulsera (en oferta)

Venta total del día

Total ventas(S/.)

Costo del material(S/.)

Ganancia(S/.)

Costo del material

Ganancia

Artículo Cantidad Cantidad de material empleado (m)

Par de aretes

Pulsera

Juego de aretes y pulsera (en oferta)

Total de material empleado

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan el problema:

“Oferta especial“

¿Cómo ha sido mi participación en el equipo?

Estuve sobresaliente. He participado de forma significativa.

Fue aceptable. Debo mejorar.

Autoevaluación


Resolvamos 218

Un paseo bien pensadoJenny y su familia están planeando una visita a sus tíos que viven en una población rural a 395 km de distancia. Para llegar a su destino, ellos tienen dos opciones.

Opción A: Viajar en la camioneta familiar que usa gasolina de 90 octanos. Este vehículo puede alcanzar una velocidad promedio de 70 km/h, su rendimiento (es decir, los kilómetros que puede recorrer por cada galón de gasolina consumido) es de 40 km/galón y el costo actual del galón de gasolina de 90 octanos es de S/.11,50.

Opción B: Viajar en un autobús de la empresa Star Tours. La velocidad promedio permitida es de 50 km/h y el pasaje cuesta S/.21,50 por persona.

1) Haz una estimación de cuántos litros necesita la camioneta para recorrer 100 km. (1 galón = 3,786 litros)

2) ¿Cuántos galones necesitará la camioneta para recorrer 400 km?

3) ¿Cuántos galones empleará la camioneta familiar para su recorrido?

4) ¿Cuánto costará el viaje si solo se traslada una persona en camioneta o en autobús?

5) ¿Y si van dos? ¿Hasta cuántas personas conviene más una opción que otra?

6) Haz una estimación del tiempo que se requiere para realizar el viaje en camioneta y en autobús.

7) Reflexiona y responde. ¿Qué factores deben tomarse en cuenta para elegir una opción?

8) ¿Cuál es la mejor opción si lo que quieren es llegar lo más rápido posible?

9) ¿Cuál es la opción más barata?

10) ¿Cuál es la mejor decisión si solo Jenny va con sus padres? ¿Y si van el padre, la madre y los dos hijos?

se

La cotidianidad de los cálculos2

PASAJES/. 21,50



El mejor alquiler

1) ¿Acerca de qué tienes que decidir?

2) Explica cómo es el pago en la opción a). Da un ejemplo de los tres primeros pagos.

1) Llena las tablas mostradas:

Opción A

Opción B

2) ¿Cuál de las opciones es la mejor?

1) Explica los procedimientos que empleaste para solucionar el problema.

2) ¿Qué tipo de organizador te ayudó a ordenar los datos?

3) Explica cómo es el pago en la opción b). Da un ejemplo de los tres primeros pagos.

4) A simple vista, ¿cuál de los dos sistemas te parece mejor?

1) Una tabla es una buena forma de organizar los datos para cada opción. Explica por qué esto es así.

2) ¿Qué información debe mostrar la tabla para tomar decisiones?

Un empresario desea alquilar los terrenos agrícolas del señor Pérez. Para ello, él ha propuesto dos sistemas de pago del alquiler.

a) USD 4000 por el primer año de alquiler y un aumento de USD 800 por cada año subsiguiente.

b) USD 2000 por los primeros seis meses y un aumento de USD 200 cada seis meses subsiguientes.

Ayuda al señor Pérez a decidir, ¿cuál crees que es la mejor opción? Explica por qué.

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 Año 7 Año 8 Año 9 Año 10

Alquiler USD

Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 Año 7 Año 8 Año 9 Año 10

Alquiler USD

3) ¿Qué opción le convendría al empresario? ¿Por qué?


Resolvamos 220

1) ¿Cuál es la relación entre el peso del bebé y el del perro?

Si esta tira representa el peso del bebé, pinta de color los bloques que representen el peso del perro:

2) Dibuja la tira que represente el peso de la señora López:

Juntos pero no revueltos

1) ¿Qué trata de hacer la señora López?

2) ¿En qué tipo de balanza se está pesando?

3) ¿Entre los tres, cuántos kilos pesan?

4) Dibuja la tira que represente a los tres:

5) ¿Cuál es el peso del perro?

1) ¿Qué estrategia fue útil para resolver este problema?

2) Resuelve el problema mediante ensayo y error (tanteando). Trata de utilizar el menor número de tanteos.

3) Redacta al menos dos problemas que tengan similares características al planteado.

3) ¿Cuántos son los que se están pesando?

4) ¿Qué tienes que averiguar?

1) ¿De qué característica común de los personajes se habla en la historia?

2) ¿Es posible relacionar a los personajes mediante esa característica?

3) ¿Qué estrategia vas a desarrollar?

La señora López está tratando de pesar a su bebé, a su perro y a ella en una balanza pública. No puede pesar al perro solo porque no quiere subir a la balanza, por lo que primero se pesa ella sola, luego pesa a su bebé, después pesa al perro y a su bebé. Finalmente, se pesan los tres juntos.

Si ella pesa 30 kg más que el peso combinado del perro y su bebé, el perro pesa 2/5 del peso del bebé y los tres juntos pesan 72 kg, ¿cuál es el peso de su perro?



Sistemas de préstamo de libros*La biblioteca de la IE Miguel Grau tiene un sistema simple de préstamo de libros: para el personal interno, el periodo de préstamo es de 28 días; para los estudiantes, el periodo de préstamo es de 7 días. El esquema que se presenta es un diagrama de flujo que muestra este sistema simple.

La biblioteca de la IE Julio C. Tello tiene un sistema de préstamo similar, aunque más complejo:

• Las publicaciones clasificadas como reservadas tienen un periodo de préstamo de 2 días.• El periodo de préstamo para los libros (no las revistas) que no estén en la lista reservada es

de 28 días para el personal interno y de 14 días para los estudiantes.• El periodo de préstamo de las revistas no incluidas en la lista reservada es, para todos, de 7 días.• Las personas con documentos que hayan sobrepasado la fecha de devolución no pueden

recibir ningún nuevo préstamo.

1) Si fueran estudiantes de la IE Julio C. Tello, no tienen ningún documento que sobrepase la fecha de devolución y quieren pedir prestado un libro que no está en la lista de los libros reservados, ¿durante cuánto tiempo pueden tomar prestado el libro?

2) Dibujen un diagrama de flujo para el sistema de préstamo bibliotecario de la IE Julio C. Tello, de modo que sirva para diseñar un sistema automatizado de comprobación para manejar el préstamo de libros y revistas en la biblioteca. El sistema de comprobación que diseñen deberá ser lo más eficiente posible (es decir, deberá tener el menor número posible de pasos de comprobación).

Tengan en cuenta que cada paso de comprobación debe tener solo dos resultados, que deben estar adecuadamente etiquetados (por ejemplo, Sí y No).

*Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 68.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades:

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades.

Inicio

¿El usuario forma parte del personal

interno?

El periodo de préstamo es de

28 dias.

El periodo de préstamo es de

7 dias.

No

Sí

¿He colaborado en las tareas del equipo? Realicé aportes muy relevantes.

He colaborado de forma significativa.

Mi colaboración fue aceptable.

Debo mejorar.

Autoevaluación

Inicio


Resolvamos 222

Rebajas sobre rebajas

Porcentaje y proporcionalidad

1) Si no es fin de semana, ¿la tienda ofrece algún descuento?

2) Si es lunes, ¿cuánto se pagará por un pantalón de casimir?

3) Si es fin de semana, ¿qué descuentos corresponde aplicar a la corbata gruesa?

4) Calcula, ¿cuánto se pagará por un pantalón de casimir, una camisa de algodón-poliéster entretejido y una corbata gruesa en un fin de semana?

5) Reflexiona y responde. El total a pagar por un producto que incluye el Impuesto General a las Ventas (IGV) es: el precio del producto más 19 % del precio. ¿Cuánto se estará pagando respecto al precio del producto? Presenta un ejemplo.

La tienda de ropa “El buen vestir”, durante cierto mes del año, ofrece cualquier prenda de su sección caballeros con el 20 % de descuento sobre el precio que marque la etiqueta. Pero si se trata de un día de fin de semana (sábado o domingo), las ofrece con un descuento adicional de 20 % sobre el precio ya rebajado.

PrendaPrecio de etiqueta

(S/.)Rebaja

(S/.) Rebaja sobre rebaja (S/.)

Valor final(S/.)

Camisa 60 12 20% de ( 60-12 )

Pantalón 150

Saco 300

Producto Precio del producto con IGV

(S/.)

Pantalón de casimir 200

Pantalón de cardif 160

Camisa de lino-algodón entretejido 120

Camisa de algodón-poliéster entretejido 80

Corbata gruesa 60

Corbata delgada 40

Terno 450

Saco 300

6) Se tiene S/.400 y se desea comprar una camisa, un pantalón y un saco cuyos precios de etiqueta son S/.60, S/.150 y S/.300, respectivamente. Si se hace la compra un fin de semana, ¿le alcanzará para pagar todo? Completa la tabla adjunta.

7) ¿Cuánto es el valor del IGV por las compras realizadas?

8) ¿Cuál es el descuento porcentual total los fines de semana?

3

Descuento20 % + 20 %



Trabajo colaborativo

1) ¿De quiénes te hablan en la historia?

2) ¿Cuánto tiempo le toma a cada uno hacer el trabajo?

1) ¿Cuál fue la estrategia que te sirvió para resolver este problema?

2) Elabora tres tiras. Si la tira representa el campo, grafica en cada una de ellas el aporte diario de cada trabajador.

3) ¿Cómo puedes usar las tiras para resolver el problema?

4) Explica en qué se parece este problema al siguiente: Un tanque de agua se vacía en 2 horas si se abre solo un grifo. ¿En cuánto tiempo se vaciará el tanque si se abren los dos grifos a la vez?

5) En el caso inicial, si el tercer trabajador, Miguel, deja el trabajo a los dos días, ¿cuánto demorarán los otros dos en terminar la cosecha?

3) Estima cuánto tiempo demorarán si hacen juntos el trabajo. ¿Será más o menos de 12 días?

4) ¿Qué debes averiguar?

1) ¿Por qué se dice que tienen diferente ritmo de trabajo?

2) Completa según corresponda:

Hay que calcular el aporte de cada trabajador y luego sumarlo para tener el aporte diario de los trabajadores.

1) ¿Qué parte del sembrío cosecha cada uno por separado en un día?

2) ¿Cuánto cosecharán juntos en un día?

3) Si el resultado representa una parte de todo el trabajo de un día, ¿cuántos días demorarán en cosechar el sembrío?

Julio y sus dos hermanos están planeando la cosecha del algodón que han sembrado en su pequeño campo. Por experiencias anteriores, ellos saben que cada uno tiene diferente ritmo de trabajo. Mientras que Julio demora 12 días en cosechar el sembrío, su hermano Andrés lo hace en 18 días y el tercero, Miguel, en 15 días. ¿Si cosechan juntos el sembrío, cuántos días demorarán?


Resolvamos 224

Costos de impresión

1) ¿Qué significa que una magnitud A sea directamente proporcional a otra B?

2) ¿Qué significa que una magnitud C sea inversamente proporcional a otra D?

1) Escribe la relación de proporcionalidad entre C y n

2) Escribe la relación de proporcionalidad entre C y t.

3) Escribe la relación de proporcionalidad conjunta entre C, n y t.

1) ¿Qué magnitudes intervienen en el problema?

2) ¿Qué tipo de relación hay que establecer entre las magnitudes?

3) También hay que definir las variables. Completa el nombre de las variables elegidas.

C: costo de ejemplar n: número de t: número de a imprimir (tiraje)

El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Imprimir 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuesta S/.6,00 por ejemplar.

¿Cuánto costará imprimir un ejemplar cuyo tiraje será de 2700 libros de 360 páginas?

4) A partir de la interrogante anterior, ¿cómo vas a usar el dato “Imprimir 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuesta S/.6 por ejemplar”?

5) ¿Cuánto costará imprimir 2700 libros de 360 páginas?


1) ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema?

2) Explica con palabras las relaciones de proporcionalidad entre la presión P (kg/cm2), la fuerza F (kg) y el área A (cm2), en esta fórmula:

A AF

F

P =



El juego de manejar bien

1) Teniendo en cuenta esta información, ¿cuáles serían las sanciones en las situaciones que se muestran en la tabla?

2) Solo en el primer fin de semana de entrada en vigor del permiso por puntos, se tramitaron 4895 infracciones graves o muy graves en carretera. De ellas, el 28,87 % fueron por exceder los límites a más de 40 km/h, sin suponer un exceso del 50 % del límite de velocidad. ¿Cuántos conductores fueron sancionados por este tipo de infracción?

3) De los 4895 primeros sancionados, el 88,3 % eran hombres. Está claro que, al menos en ese primer fin de semana, los hombres cometieron más infracciones. Sin embargo, en España, los conductores de sexo masculino suponen solo un 62 % del total. Si consideramos que el 100 % de conductores han sido sancionados, ¿cuántas de las personas que perdieron puntos ese primer fin de semana hubiera sido esperable que fueran hombres?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con porcentajes y proporcionalidad. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales, como repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.

Los accidentes de tránsito son un problema constante en nuestro país. Hay muchos conductores a quienes se les debería quitar la licencia de conducir, pues han acumulado un número considerable de papeletas. Sin embargo, las autoridades no cuantifican las faltas de los conductores y estos vuelven a infringir la norma. En otros países, se han elaborado sistemas para hacerlo. En España, el 1 de julio de 2006, entró en vigor el permiso de conducir por puntos. Este sistema se basa en que cada conductor parte con una serie de puntos (12 si es un conductor con más de 3 años de experiencia y 8 si tiene menos de 3 años de conducción o ya ha perdido todos los puntos alguna vez) y los va perdiendo cada vez que cometa una infracción.

Una de las faltas más usuales es el exceso de velocidad. Este es un resumen de los puntos que puede perder un conductor según el tipo de infracción.

Puntos Motivo de la sanción6 Superar en 50 % o más el límite de velocidad si eso supone superarlo al menos en 30 km/h.4 Exceder los límites en más de 40 km/h si ello no supone un exceso del 50 %.3 Exceder los límites en más de 30 km/h (pero no más de 40 km/h) si ello no supone un exceso del 50 %.2 Circular entre 20 km/h y 30 km/h por encima del límite.

Límite de velocidad (km/h)

Velocidad de conducción (km/h) Puntos a restar

90 120120 180100 14050 95

Límite de velocidad40 km/h

¿Considero que existieron oportunidades para que todos participemos?

Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objetivo.

Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.

En algunos momentos, todos participamos y en otros, no.

Se debieron generar espacios de participación.

Autoevaluación


Resolvamos 226

Tiempo de reacción*

1) Identifica a los ganadores de las medallas de oro, plata y bronce de esta carrera. En la tabla, llena el número de carril, el tiempo de reacción y el tiempo final de los medallistas.

2) Identifica a los que llegaron en el sexto, séptimo y octavo lugar en esta carrera. En la tabla, llena el número de carril, el tiempo de reacción y el tiempo final de estos corredores.

3) Completa, en la tabla inicial, la columna que indica “Aproximando tiempo final a cifra decimal”.

4) Reflexiona y responde. Luego de aproximar a una cifra decimal cada tiempo final, se reconoce que algunos tienen el mismo tiempo. Con estos datos, ¿cómo podrías , en el siguiente cuadro, plantear un orden de llegada?

Carril Tiempo de reacción en segundos (s)

Tiempo final en segundos (s)

Aproximando tiempo final a cifra decimal

1 0,147 10,092 0,136 9,993 0,197 9,874 0,180 No terminó la carrera5 0,210 10,176 0,216 10,047 0,174 10,088 0,193 10,13

Orden Carril Diferencia entre tiempo final y tiempo de reacción

1234567

Medalla Carril Tiempo de reacción en segundos (s)


OroPlata

Bronce

Lugar Carril Tiempo de reacción en segundos (s)


SextoSéptimoOctavo

Números que modelan el mundo4

En una carrera de alta velocidad, el tiempo de reacción es el intervalo de tiempo que transcurre entre el disparo de partida y el instante que el atleta abandona el bloque de salida. El tiempo final incluye tanto el tiempo de reacción como el tiempo de la carrera.

La siguiente tabla presenta el tiempo de reacción y el tiempo final de 8 corredores en una carrera de 100 metros planos.

*OCDE. Marcos teóricos de PISA 2003. Conocimientos y destrezas en Matemáticas, Lectura, Ciencias y Solución de problemas. Página 70.



De botes y rebotes

1) ¿Desde qué altura lanzan la bola?

2) Un estudiante señala que, en cada bote, la bola sube las 2/5 partes de 5,8 m. ¿Estás de acuerdo con esta afirmación? ¿Por qué?

Una pequeña bola de silicona es lanzada desde lo alto de un edificio de 5,8 m de altura. La bola cae en la acera y empieza a botar. En cada rebote, la bola alcanza solo las 2/5 partes de la altura anterior.

¿Cuánto habrá recorrido la bola hasta llegar al piso por cuarta vez?

1) Haz el diagrama propuesto para resolver la situación:

1) ¿Cuál fue la estrategia que más te sirvió para resolver este problema?

2) ¿Cuánto habrá recorrido la bola entre el primer y segundo rebote?

2) Calcula la altura en el primer rebote y colócala en el diagrama.

1) ¿Cómo se relaciona la altura inicial con la altura en el segundo bote?

2) ¿La relación anterior se mantiene para cada rebote?

3) ¿Qué significa que “En cada rebote, la bola alcanza solo las 2/5 partes de la altura anterior”?

4) ¿Qué te piden en el problema?

3) Es una situación que cambia con el tiempo, ¿cuál de los siguientes diagramas utilizarías para ver la relación entre los datos y la incógnita?

a) Un diagrama de flujo

b) Un diagrama de árbol

c) Un diagrama análogo a la situación

3) Realiza este cálculo y el registro para el segundo y tercer rebote.

4) ¿Cuándo termina el proceso de calcular y registrar en el diagrama para este problema? Explica por qué.

5) ¿Cuál es el recorrido de la bola según el problema? (Suma las longitudes recorridas por la bola, tanto en su ascenso como en su descenso).

3) ¿Es posible plantear una relación entre el número de rebotes y la altura que alcanza la bola? . Si es así, trata de hallarla.


Resolvamos 228

Uno gratis ya llegó

1) ¿Por qué a estas promociones se les llama “uno gratis”?

2) ¿Cuánto cuesta cada bebida?

3) ¿Cuánto cuesta cada jugo?

1) En la compra de bebidas, ¿cuántas debemos agrupar?

2) En la compra de cajas de jugo, ¿cuántas debemos agrupar?

1) Completa como corresponda:

Al comprar bebidas, solo pagas bebidas.

Al comprar cajas de jugo, solo pagas cajas de jugo.

2) Si llevas 12 bebidas, ¿cuántas pagarás?

3) Si llevas 10 cajas de jugo, ¿cuántas pagarás?

1) Revisa el proceso seguido. ¿Qué estrategia te fue más útil para resolver el problema?

2) ¿Es conveniente salir a comprar un número fijo de productos, antes de ver las ofertas? Explica.

Para incrementar las ventas de su negocio, Raúl Huapaya, dueño del minimercado La Yapa, cada día saca promociones del tipo “uno gratis”. La de hoy se muestra en el aviso.

Si cada bebida cuesta S/.5 y cada caja de jugo cuesta S/.3, ¿cuánto se gasta si se debe comprar solo una docena de bebidas y una docena de cajas de jugo?

4) ¿En qué consiste la oferta?

5) ¿Qué te solicita el problema?

4) Si llevas 8 cajas de jugo, ¿cuántas pagarás?

5) ¿Crees que es una buena estrategia ir a comprar dos veces: la primera, tres bebidas y la segunda, cuatro bebidas?

6) ¿Cómo aprovecharías al máximo la promoción?

3) ¿Cuánto se pagará por 12 bebidas?

4) ¿Cuánto se pagará por 12 cajas de jugo?

5) ¿Cuánto se pagará en total?

3) Si se aprovecha la promoción, ¿a cuánto sale realmente cada bebida?

4) ¿Cuánto es el ahorro porcentual por cada bebida?



El mejor empaqueJorge y Luis fabrican rompecabezas de la piedra de los doce ángulos. Ellos colocan las piezas en cajitas cúbicas de 1 pie de arista. Desde Lima, les han hecho un pedido de rompecabezas para varias tiendas del centro de la ciudad. Ellos deben decidir qué cajas comprar para hacer el envío a Lima. El proveedor solo ofrece cuatro tamaños de paquetes: small, medium, large y extra large.

¿Cómo deberían Jorge y Luis empaquetar 200 rompecabezas, de tal forma que les permita ahorrar costos?

Paquete Small Medium Large Extra largeCapacidad (pies cúbicos) 1 8 27 64Costo por caja S/. 0,10 S/. 0,25 S/. 0,50 S/. 1,75

Con tus compañeros, ayuden a Jorge y a Luis a encontrar la respuesta:

1) ¿Qué capacidad tiene la cajita del rompecabezas?

2) ¿Por qué creen que se prefieren estas medidas (pie, pie cúbico) a las que usamos en otras actividades cotidianas?

3) ¿Qué significa pie cúbico?

4) Desarrollen el procedimiento para hallar su respuesta.

5) ¿Cuántas cajas son usadas para empaquetar?

a) 12 cajas b) 10 cajas c) 16 cajas d) 8 cajas

6) ¿Cuál es el costo de las cajas que deberán ser utilizadas según el tamaño del paquete?

Small: Medium: Large: Extra large:

7) ¿Qué otros factores se deben tomar en cuenta al momento de ver el transporte y el costo?

8) ¿Cómo podrán Jorge y Luis empaquetar sus productos si consideran contar con un mayor número de cajas?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números racionales y sus operaciones. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales, como repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.

Otros factores:

• Al menos dos cajas extra large deben ser utilizadas.

• Las cajas restantes deben utilizarse al menos una vez.

• No más de cuatro cajas de un tamaño deben ser usadas.

¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?

Muy interesantes. Interesantes. Poco interesantes. Nada interesantes.

Autoevaluación


Resolvamos 230

Armando la fiestaLa empresa Óptimus, líder en la producción y comercialización de materiales de construcción, decide organizar una fiesta por sus 50 años de creación.

Debido al éxito en el mercado, el equipo directivo considera invitar a sus cuatro principales sucursales, ubicadas en Chiclayo, Huancayo, Tarapoto e Ica. Estas, a su vez, podrán invitar a otras sucursales provinciales de su región. Para ello, se ha previsto hacer extensiva la comunicación en 6 días.

Día Cantidad de invitados1 42 163456

1) Completa la tabla:

2) En el segundo día se habrá invitado a sucursales.

Cantidades por todas partes

3) Al término de 5 días, ¿cuántas sucursales conocerán sobre la fiesta?

4) ¿Cuántas sucursales conocerán ya sobre la fiesta al sexto día?

5) Reflexiona y responde, ¿cuál es el conocimiento matemático que te ha permitido dar solución a los problemas?

6) Si para la remisión de las invitaciones la empresa contrata al servicio postal “La tortuga”, cuyo costo por unidad es de S/.5, ¿cuál será el monto de la inversión de la empresa para el envío?

5

Sede central

Sucursal Chiclayo Sucursal Huancayo Sucursal Tarapoto Sucursal Ica



Matemática celular

1) ¿Qué información te da el texto?

2) ¿En cuántas partes se divide cada célula?

3) ¿Cuál es la característica de cada una de las células que se dividen?

Es bien conocido que la célula se reproduce por bipartición, es decir, que se divide en dos células hijas.

Luego de determinado tiempo, una célula ya se ha dividido por quinta vez. ¿Cuántas células se producen en esta quinta división?

¿Luego de cuántas divisiones se obtienen 126 células?¿Cuántas células habrá, en total, al término de 40 divisiones?

1) ¿Necesitaste dividir para conocer la respuesta al problema?


a) Realizar el conteo. b) Buscar un patrón. c) Hacer un diagrama de árbol.

4) Luego de la primera división, ¿cuántas células hay?

5) ¿Qué te pide averiguar el problema?

1) Haz lo que mencionaste anteriormente para resolver el problema:

División Cantidad de células Total

1.a

2.a

3.a

4.a

5.a

2) Completa la tabla con información sobre las células que se producen en cada división y el total de ellas.

3) A partir de la tabla, generaliza el patrón para hallar el total de células para n divisiones.

4) ¿Después de cuántas divisiones se obtienen 126 células?

5) ¿Cuántas células habrá en total después de 40 divisiones?

2) Explica qué estrategia utilizaste para resolver el problema.


Resolvamos 232

De cuadrados y vueltas

1) ¿De quiénes te hablan en el problema?

2) ¿Qué forma tiene el terreno? ¿Cuál es su área?

3) ¿Cuántas categorías para la carrera hay?

1) Representa, a continuación, la estrategia que seleccionaste anteriormente:

El terreno es de forma cuadrada, es decir, sus cuatro lados tienen la misma medida.

2) ¿Se conoce la medida del área del terreno? ¿Cuál es?

3) ¿Cuánto mide uno de los lados de la cancha?

4) ¿Cuántos metros deberá correr un estudiante en cada una de las categorías?

Primera categoría: Segunda categoría: Tercera categoría:

2) ¿Cuál consideras que es una estrategia para resolver el problema?

a) Realizar un gráfico considerando distancias. b) Representar en un gráfico que incluya la longitud del

terterreno. c) Hacer una tabla.

1) ¿Con el dato de que el terreno es cuadrado, es posible saber sus dimensiones?

En la IE Antonio Raymondi, se ha comprado un terreno de forma cuadrada para que sus estudiantes realicen actividades recreativas y deportivas allí. El área de dicho terreno es de 7225 m2.

Los estudiantes, muy entusiasmados, van a su primera clase de Educación Física y su profesor les indica que deberán correr alrededor de la cancha. Dependiendo del esfuerzo físico que hagan, se divide la carrera en categorías: media vuelta, una vuelta, dos vueltas.

¿Cuántos metros deberán correr los estudiantes por cada una de las categorías?

4) ¿Es necesario calcular algún dato importante?

5) ¿Cuántas categorías se reconocen en la carrera?

6) ¿Qué te piden hallar?

1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver el problema.

2) ¿Qué habría pasado si la cancha hubiera tenido forma circular? Muestra tus resultados.



Propagación de rumoresResulta sorprendente cómo se difunde un rumor entre las personas. Alguien inicia un chisme sobre algún político, artista, o sobre la escasez de determinado producto, y rápidamente está en boca de casi todos los pobladores. Aunque parezca sorprendente, el hecho no entraña ninguna sorpresa. Efectuando algunos cálculos podremos observar lo que ocurre.

Analicemos el siguiente caso hipotético:A las 8 de la mañana, arribó a una ciudad de 9000 habitantes un ciudadano capitalino, quien trajo una noticia de interés general. En el hostal donde se alojó, comunicó la noticia a tres pobladores. Convengamos en que ha transcurrido un cuarto de hora, es decir, a las 8:15 conocen la noticia: el capitalino y tres personas más. Cada uno de los tres pobladores se apresuró a comunicarla a tres vecinos más que desconocen la noticia, y así continuaron, sucesivamente.

Hagamos un esquema gráfico para analizar la evolución del rumor en la primera hora, después de que el forastero llegó al pueblo.

1) Completen el gráfico:

2) Organicen los datos en una tabla:

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran cálculos de potenciación y radicación en expresiones con números. Ellas se emplean en diversas situaciones donde una constante se repite una cantidad determinada de veces, en casos de producción o crecimiento, por ejemplo.

3) Después de 1 hora, ¿cuántas personas se han enterado?

4) ¿Entre qué intervalo de tiempo, aproximadamente, se enterarán de la noticia todos los habitantes de la ciudad?

5) Encuentren un modelo que permita conocer el número de habitantes que se enteran de la noticia en un intervalo de tiempo, considerando las características del problema.

Para un intervalo de tiempo cualquiera, el número de personas sería:

6) Investiguen la población de una ciudad de su región. Siguiendo la pauta del problema presentado, encuentren el tiempo requerido para difundir un rumor a toda la población de la ciudad.

Hora N.° de personas

8:00 a. m. 1

8:15 a. m. 4

8:30 a. m. 13

8:45 a. m.

9:00 a. m.

9:15 a. m.

9:30 a. m.

9:45 a. m.

10:00 a. m.

Hora Cantidad de personas que conocen la noticia

8:00 a. m.

8:15 a. m.

8:30 a. m.

8:45 a. m.




Autoevaluación


Resolvamos 234

Lluvia de televisores

1) ¿Cuánto paga el primer comprador por el televisor y cuáles son las condiciones?

2) ¿Cuánto cuesta realmente el televisor?

3) ¿Quiénes pagan el saldo?

4) ¿Qué beneficio alcanza quien compra un bono?

5) En la primera vuelta, solo estás tú involucrado. ¿Cuántos estarán involucrados en la segunda vuelta?

Dentro de diez años será el apagón mundial, los televisores que tenemos hoy en día ya no servirán, salvo que tengan incorporado el nuevo sistema HD.

Algunas tiendas que venden a plazo han desarrollado campañas para las personas que ingresen a este proceso de cambio tecnológico. Sin embargo, algunos comerciantes han utilizado campañas no muy creíbles como la que te presentamos aquí.

La campaña ofrecía un televisor de 24 pulgadas por solo USD 120. El volante correspondiente que cayó en nuestras manos decía:

Al escribir al correo, nos enviaron la siguiente información:

LLÉVATE UN TELEVISOR DE 24” POR USD 120

Ahora con el plan ELECTRICASH, puedes adquirir un TV de 24” por tan solo USD 120 (pago único).

Aprovecha esta ocasión - Precio real del TV : USD 600.

Ahorra USD 480.Pide nuestro prospecto con las condiciones de [email protected]

6) ¿Cuántos serán los compradores reclutados para la tercera etapa?

7) Reflexiona y responde. ¿Crees que es conveniente este sistema de compra? ¿Por qué?

8) Suponiendo que ahora la empresa ofrece un pago único de USD 200, con las mismas condiciones, ¿cuántos serán los compradores reclutados para la cuarta etapa?

No basta multiplicar y dividir6

TV con HD

Por el momento, debe pagar primero USD 120 y no recibirá el televisor, con la condición de que reparta cuatro bonos a igual cantidad de conocidos suyos y que estos hayan abonado USD 120 cada uno. Sin embargo, cada nuevo aportante de los USD 120 no recibirá su televisor hasta que se cumpla la condición anterior.



Regalos reales

1) Elabora el gráfico que representa la forma geométrica de las cajas.

2) Halla la arista del cubo cuyo volumen es de 7 dm3.

3) ¿Cuántos cm de cinta necesitará para adornar un regalo?

4) ¿Cuántos m de cinta necesitará para adornar los 1000 regalos? Redondea al entero más cercano por exceso.

1) Explica los procedimientos empleados para resolver el problema .

2) Si la cinta se vende en rollos de 40 m de largo, ¿cuántos rollos de cinta debe comprar Luisa?

1) Observa la ilustración y completa:

Las cintas formadas van paralelas y son de igual longitud a

2) Como cuentas con el dato del volumen, puedes calcular la longitud de la . ¿Cómo puedes hallarla?

1) ¿Qué desea hacer Luisa?

2) ¿Qué parte del cubo es la que adorna con cinta?

3) ¿Cuántos regalos adornará?

4) ¿Qué te preguntan?

Luisa quiere decorar las cajas de unos regalos navideños con cinta roja de 0,5 cm de ancho tal como se indica en la ilustración. Las cajas tienen forma cúbica con un volumen de 7 dm3. ¿Cuántos metros de cinta necesitarás como mínimo para poder decorar 1000 cajas?

3) ¿Cuántos lados del cubo se decorarán con la cinta?

4) ¿Conoces una fórmula que relacione el volumen de un cubo con su arista? Escríbela.

3) Si hubieses trabajado con decimales redondeados desde el comienzo, ¿el número de metros habría sido mayor o menor?

4) ¿Cómo habrías resuelto el problema si las cajas hubiesen tenido forma de tetraedro regular?


Resolvamos 236

El vigilante

1) ¿Qué le ofrecen al vigilante como pago por un año?

2) ¿Cuánto tiempo iba a trabajar el vigilante?

3) ¿Cuánto tiempo trabajó en realidad?

4) ¿Qué se le dio por el trabajo realizado?


Los vecinos de una cuadra le ofrecen a un agente de seguridad la suma de S/.1000 en efectivo más un televisor, como pago anual por cuidar la cuadra. Al cabo de 7 meses, el agente renuncia y recibe como pago el televisor y S/.200. ¿Cuál es el valor del televisor?

1) ¿Qué estrategia fue la más útil para resolver este problema?

2) Aplica la misma estrategia para resolver el siguiente problema. Para ganar S/.500 en la rifa de una moto, se hicieron 900 boletos; pero solo se vendieron 750, lo que originó una pérdida de S/.100. ¿Cuánto vale la moto?

1) Desarrolla la estrategia elegida siguiendo las siguientes pautas:

a) Primero elabora un organizador considerando el número de partes que debería tener si el vigilante trabajara un año.

b) Paralelo a este, representa en otro organizador el costo del televisor y el dinero que recibirá.

c) En un tercer organizador, simboliza solo lo que recibió el vigilante por los siete meses trabajados.

Plantea el problema por etapas.

1) Si trabajó 7 meses, ¿cuántos meses le falta para cumplir un año?

2) Si iba a recibir S/.1000 + 1 televisor por un año y le dieron S/.200 + 1 televisor por siete meses, ¿cuánto recibirá por los 5 meses restantes?

3) ¿Qué tipo de organizador eliges para resolver el problema? a) Un diagrama de Venn b) Una tabla de datos

c) Un diagrama de tiras

2) De acuerdo con el gráfico, ¿cuánto ganó en 5 meses?

3) ¿Cuál era su pago mensual?

4) ¿Cuál era el pago anual?

5) ¿Cuál es el precio del televisor?

3) Escribe un problema de estructura similar a los formulados. Dáselo a tu compañero(a) para que lo resuelva.



La vendedora de sandíasUna vendedora llevó cierto número de sandías al mercado. Primero vendió la mitad del total que llevó, más media sandía; luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media sandía. Si luego de estas dos ventas le quedó 1 sandía, ¿cuántas de estas frutas había llevado al mercado, si se sabe, además, que en ningún momento cortó ninguna sandía?

En algunas situaciones de la vida cotidiana, conviene volver sobre lo actuado. Cuando se te extravía algo en tu casa, un buen método es repasar los lugares por los que anduviste. Asimismo, para reconstruir la escena del crimen, los detectives tienen que pensar hacia atrás, a fin de descubrir qué pudo haber sucedido antes de que ellos llegaran.

La situación presentada narra las ventas de una comerciante a lo largo de un día. Si se hubiese grabado lo hecho y se retrocedieran luego las imágenes, podríamos ir del final al comienzo de la situación. Algo similar haremos aquí.

1) El diagrama mostrado narra la historia sintéticamente.

Completen los lugares faltantes. Partan del final, colocando debajo las operaciones inversas para llegar al inicio.

2) Comprueben que el número hallado cumple las condiciones del problema.

3) Escriban, en la segunda columna, la representación algebraica de cada situación.

4) Planteen la ecuación correspondiente y resuélvanla. ¿Coinciden los resultados?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita:

Expresión verbal Vendió Le quedan

Primero vendió la mitad del total que llevó, más media sandía.

x/2 + 1/2

Luego vendió la mitad de lo que le quedó después de la primera venta, más media sandía.

INICIO FINAL

5) ¿Qué método les parece más sencillo?

6) ¿Cómo pueden reconocer este tipo de problemas?

7) Utilicen razonamiento regresivo para resolver este problema:

Elisa le da a Patricia tanto dinero como Patricia tenía. Luego Patricia le da a Elisa tanto dinero como Elisa tenía en ese momento. Ahora cada una de ellas tiene S/.16. ¿Cuántos nuevos soles tenía Elisa al principio?

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran cálculos de multiplicación, división y potenciación en expresiones con números. Ellas se emplean en diversas situaciones en las que una constante se repite una cantidad determinada de veces, en casos de producción o crecimiento, por ejemplo.

- y + x

+ y - x

1

Multiplico por 2

Multiplico por 2 Sumo 1/2Sumo 1/2




Debo mejorar.

Autoevaluación


Resolvamos 238

Cada coche en su lugar

Decisiones lógicas

1) Observa el cuadro y responde las siguientes preguntas:

a) ¿En cuántos casos se cumple la condición 3?

b) ¿En cuántos casos se cumple la condición 5?

c) ¿En cuántos casos se cumple la condición 1?

d) ¿En cuántos casos se cumple la condición 4?

e) ¿En cuántos casos se cumple la condición 2?

f) ¿En cuántos casos se cumple la condición 6?

2) Reflexiona y responde. Explica qué procedimiento, en forma ordenada y jerarquizada, te permitiría hallar la respuesta a las condiciones de la playa de estacionamiento.

3) ¿Cuál de los casos cumple con el ordenamiento en la zona de estacionamiento?

4) Dos carros intercambian su posición, de manera que en la nueva disposición el verde está junto al rojo y el blanco está a tres lugares del negro. ¿Cuál(es) de estas nuevas afirmaciones es(son) correcta(s)?

a) El carro blanco está junto al amarillo.

b) El verde está junto al azul.

c) El rojo es uno de los que se han intercambiado.

En una zona de estacionamiento hay 6 carros formando una fila. Están dispuestos de modo tal que:Condición 1: El carro azul está a dos lugares del carro verde.Condición 2: El carro amarillo está a tres lugares del carro rojo.Condición 3: El carro negro está en uno de los extremos de la fila.Condición 4: El carro blanco está junto al carro rojo.Condición 5: El carro verde está a tres lugares del carro negro.Condición 6: El carro azul no está junto al carro negro.Condición 7: El carro rojo ocupa la segunda posición.

A continuación, te presentamos 7 casos de ordenamiento de los automóviles.

CasosPosición

1.a 2.a 3.a 4.a 5.a 6.a

1 Negro Azul Amarillo Verde Rojo Blanco2 Negro Azul Amarillo Verde Blanco Rojo3 Negro Rojo Blanco Verde Amarillo Azul4 Azul Amarillo Verde Rojo Blanco Negro5 Azul Amarillo Verde Blanco Rojo Negro6 Rojo Blanco Verde Amarillo Azul Negro7 Blanco Rojo Verde Amarillo Azul Negro

7



1) ¿Cuántos hijos tiene la Sra. Fátima?

2) ¿Cómo se distribuye el trabajo a la semana?

3) ¿Cuántos días tiene el mes?

4) Expresa con otras palabras el hecho de que Jaime y Sebastián barrieron exactamente cuatro veces en el mes.

5) ¿Qué te piden en el problema?

1) Si tú fueras uno de los encargados de la limpieza, ¿cómo podrías determinar cuántos días te van a tocar en un mes cualquiera?

2) ¿Crees que un tanteo organizado te ayude? Explica.

3) ¿Sobre qué información tantearías?

1) Realiza tus planteamientos considerando el siguiente organizador:

2) Si el primer día del mes fuera lunes, ¿cuántos días limpiaría Jaime? ¿Se resuelve el problema? Explica.

La señora Fátima tiene siete hijos. Ellos hicieron un horario en el que se indica quién limpiaría la casa cada uno de los 31 días de un mes. Jaime limpia los lunes; Pedro, los martes; Lupe, los miércoles; Alejandro, los jueves; Sebastián, los viernes; Wilder, los sábados, y Lina, los domingos.

Si Jaime y Sebastián dijeron que, en este mes, ellos limpiaron exactamente cuatro veces, ¿quién limpió el primer día de este mes?

Uno cada día

3) ¿Puede ser el viernes primero? Explica tu razonamiento.

4) Ensaya un poco. Si el martes es primero, ¿se cumplen las condiciones?

5) ¿Con qué otro día puedes tantear?

6) ¿En qué día o días habría empezado el mes?

7) ¿Quién o quiénes habrían limpiado ese día?

L M M J V S D

1) ¿Cuál fue la estrategia principal que te permitió hallar la solución del problema?

2) ¿Considerando las condiciones de los hijos, es posible que el mes hubiese tenido 28 días?


Resolvamos 240

1) ¿Es posible relacionar una pila con otra?

2) Suponiendo que si tienes 20 monedas en la pila 2, entonces tienes monedas en la pila 4. ¿Crees que tantear es una buena estrategia? Explica.

1) ¿Cuántas pilas de monedas se han construido?

2) ¿Puede haber una pila sin monedas?

Explica por qué.

1) ¿Cuántas monedas puede haber en la pila cuatro? Incorpora en la tabla.

2) ¿Cuál es la condición de la pila 3?

3) Completa la tabla siguiendo las pistas:

4) ¿Cuál de los casos cumple con la condición del problema? ¿Cuántas monedas hay en cada pila?

1) Describe las estrategias principales que te permitieron hallar la solución del problema.

Pilas de monedasTienes 20 monedas ordenadas en 4 pilas. Todas las pilas tienen un número par de monedas. La segunda pila tiene el doble de monedas que la cuarta. Cada pila tiene un número distinto de monedas. Cada pila tiene al menos una moneda. La tercera tiene más monedas.

¿Cuántas monedas hay en cada pila?

3) ¿Cuántas monedas hay en total?


3) Es posible organizar la información en una tabla. ¿Cuántas incógnitas deben aparecer en ella?

Pila 1 Pila 2 Pila 3 Pila 4 Total de monedas

Caso 1Caso 2Caso 3Caso 4

2) Inventa un problema con 30 monedas dispuestas en 4 pilas. Ten cuidado al redactar las pistas.



Jugadores de ajedrezEl profesor Atilio desea conformar un equipo de cuatro jugadores para un torneo de ajedrez.

En el salón ha seleccionado a siete posibles jugadores: los hombres A, B, C y las mujeres M, N, O, P.

Todos ellos son de igual capacidad y cada equipo debe tener al menos dos hombres. Para un equipo de cuatro, todos los integrantes deben comprenderse y colaborar entre sí, pero:

* El ajedrecista B no puede jugar con la ajedrecista M.* El ajedrecista C no puede jugar con la ajedrecista P.* La ajedrecista M no puede jugar con el ajedrecista C.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones.

1) Si se selecciona a la jugadora O y se rechaza al jugador B, ¿cómo podría estar conformado el equipo? (Pueden marcar más de una opción).

a) A, C, M y O

b) A, C, N y O

c) A, C, P y O

d) A, N, P y O

e) C, P, N, y O

2) ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. Los jugadores B y P nunca pueden ser ambos seleccionados juntos.

II. Los jugadores C y O nunca pueden ser ambos seleccionados juntos.

III. Los jugadores C y M nunca pueden ser ambos seleccionados juntos.

3) ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones deben ser siempre ciertas?

I. Si M juega, A juega.

II. Si O juega, B juega.

III. Si A juega, P juega.

Tu grupo ha sido elegido para asesorar al profesor. Busquen una notación adecuada para expresar con símbolos cada una de las condiciones del problema y ayúdenlo a responder estas tres interrogantes.






Autoevaluación


Resolvamos 242

Aventuras con la dama y el tigre*En un país lejano, a un rey se le ocurrió el siguiente método para dar la oportunidad a los aventureros capturados de conseguir su libertad. Cada aventurero debe elegir entre dos habitaciones: si escoge una en la que hay una bella dama, es liberado y se casa con ella; si encuentra un tigre, será devorado por él.

Los tres aventureros fueron conducidos ante la presencia del rey, quien les explicó que en cada una de las dos habitaciones había una dama o un tigre (o una dama en cada una o un tigre en cada una), no estando vacía alguna de ellas.

1) El primer aventurero avanzó hacia las habitaciones. El rey señaló los letreros de sus respectivas puertas:

–¿Es verdad lo que dicen los letreros? –preguntó el aventurero.

–Uno de ellos dice la verdad, el otro no –replicó el rey.

¿Cuál le recomendarías elegir para salvar su vida?

2) El primer aventurero salvó su vida. Entonces el rey, para confundir al segundo aventurero, cambió los letreros y se seleccionaron nuevos ocupantes para las habitaciones. Al llegar el segundo, vio esto:

El rey avisó que, o bien los dos letreros dicen la verdad, o bien ambos mienten. ¿Qué habitación debe escogerse?

3) Reflexiona y responde, ¿los letreros mostrados para cada situación determinan la solución al problema?

4) El rey estaba molesto, pues todos los aventureros se estaban salvando, así que cambió las reglas. Al aventurero que quedaba se le dijo que si en la habitación I hay una dama, el letrero de su puerta dirá la verdad; pero si hay un tigre, el letrero mentirá. En la habitación II, ocurrirá lo contrario: si hay una dama, el letrero mentirá; si hay un tigre, el letrero dirá la verdad.

El tercer aventurero vio estos carteles en las puertas:

¿Cuál le recomendarías que escoja?

*Merrill, R. ¿La dama o el tigre?

I En esta habitación hay una

dama y en la otra, un tigre.

IIEn una de estas

habitaciones hay una damay en la otra hay un

tigre.

I Al menos en una

de las habitaciones hay una dama.

IIHay un tigre

en la otra habitación.

I Hay damas en

ambas habitaciones.

IIHay damas en

ambas habitaciones.

En el país de la lógica8



Los isleños upf, upf*

1) ¿Cuántas comunidades habitan la isla?

2) ¿Qué características tienen los isleños de la comunidad A?

3) ¿Qué características tienen los isleños de la comunidad B?

1) ¿Cuántas posibilidades de respuesta existen?

2) Completa estas posibles respuestas:

a) El poblador alto es y el bajo es

b) El poblador alto es y el bajo,

Una isla está habitada por dos comunidades. Los miembros de la comunidad A siempre dicen la verdad, los miembros de la comunidad B mienten todo el tiempo.

Un extranjero se encontró con dos de estos pobladores, uno alto y otro bajo.“¿Eres de los que dicen la verdad?”, preguntó al más alto. “Upf”, le respondió el isleño.

El extranjero reconoció la palabra como el término que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El poblador bajo hablaba la lengua del extranjero, así que este le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. “Dijo sí”, replicó el poblador bajo; “pero él miente”, añadió.

¿A qué comunidad pertenecía cada uno de los pobladores?

Formula hipótesis y, para cada una, coloca los valores de verdad.

1) Hipótesis 1: El alto es veraz y el bajo, mentiroso.

1) ¿Cuál es la estrategia que más te ayudó a resolver el problema?

2) Menciona tres actividades en las que es necesario formular hipótesis acerca de algo.

4) ¿Qué significa “upf”?


3) ¿Cómo determinas cuál caso es la solución?

4) Explica por qué una tabla te ayuda a organizar mejor la información.

2) Hipótesis 2: El alto es mentiroso y el bajo es veraz.

3) ¿A qué comunidad pertenece cada uno de los pobladores?

Dijo Valor de verdad

Poblador alto Upf.

Poblador bajo Dijo sí; pero él miente.

Dijo Valor de verdad

Poblador alto Upf.

Poblador bajo Dijo sí; pero él miente.

* Gardner, M. Matemática para divertirse. Página 77.


Resolvamos 244

Los recipientes de dulce

1) ¿Qué contienen los recipientes?

2) ¿Qué quiere decir el letrero “Mezcla”?

3) ¿Pueden estar los dulces de menta en el que dice “Menta”?

1) Completa donde corresponda y marca con un aspa (X) aquellas combinaciones que no son posibles.

2) ¿Qué posibilidades le quedan al recipiente con el letrero “Mezcla”?

1) ¿Qué estrategia te ayudó a resolver el problema?

2) Reflexiona y responde, ¿hubiese convenido abrir el recipiente con letrero “Limón”?

Supongamos que se tienen tres recipientes iguales que contienen dulces. No se puede ver lo que hay en el interior de cada uno, pues son de plástico opaco. Cada recipiente tiene colocado un letrero como se muestra.

Un bromista despegó todas las etiquetas que había y las puso, a propósito, en recipientes que no correspondían. ¿Cuántos dulces se deben sacar y de cuántos recipientes para tener la seguridad del contenido de cada uno?

1) ¿Cuántos grupos de datos hay?

2) ¿Qué es lo que hay que relacionar?

4) ¿Cuál es la condición de este problema?

5) ¿Qué es lo que te piden?

3) Si abres el recipiente que dice “Mezcla” y el caramelo es:

a) De limón, ¿qué concluyes?

b) De menta, ¿qué concluyes?

4) ¿Cuántos dulces se deben sacar y de cuántos recipientes?

3) Explica por qué una tabla puede servir para organizar la información.

3) ¿Hubiese convenido abrir el recipiente con letrero “Menta”?

4) ¿Qué razonamiento, a tu juicio, fue la clave para resolver el problema?

ContenidoLetrero Menta Mezcla

Menta

Limón



¡Las cuatro al túnel!Cuatro amigas necesitan cruzar un túnel. Las cuatro comienzan del mismo lado. Solo tienen 19 (diecinueve) minutos para llegar al otro extremo del túnel. Es de noche y solo cuentan con una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el túnel, necesitan llevar la linterna siempre.

La linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de un extremo al otro. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el túnel, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.

Por ejemplo, si Ana y Carmen cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si Carmen retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.

1) ¿Pueden Brenda y Carmen cruzar juntas el túnel?

2) ¿Qué estrategia proponen para que todas las amigas crucen el túnel en 19 minutos?

3) Elijan una notación adecuada que les informe acerca de lo siguiente: ¿Quiénes están cruzando el túnel? ¿Cuánto tiempo demoran? ¿Cuánto tiempo acumulado llevan en el trayecto?

La tabla mostrada les da una pista de cómo organizar la información.

4) Expresen en orden la secuencia en que las amigas cruzan el túnel.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades para facilitar que Ana, Brenda, Carmen y Dalila crucen el túnel:

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones a partir de pistas. Los detectives y fiscales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones.

Nombre Ana Brenda Carmen Dalila

Tiempo que tarda en cruzar 1 min 2 min 5 min 10 min

Personas que parten

Tiempo transcurrido

Personas que llegan

Tiempo de retorno

Persona que retorna

Tiempo acumulado

Persona(s) que se queda(n)



Autoevaluación


Resolvamos 246

Elecciones a la ordenEn Chulquillo, se están realizando las elecciones para elegir al nuevo alcalde del distrito. Se presentaron tres candidatos que pertenecen a dos agrupaciones políticas y un candidato independiente. El 14 de mayo, un día después de las elecciones, el periódico local publicó la siguiente noticia:

1) ¿Cuál es el total de votos que hay en la elección?

2) ¿Cuántos candidatos postularon?

3) Si al candidato Alberto Luna se le atribuye un término incógnita, ¿cuántos votaron por él?

4) ¿Y en el caso del candidato Bernardo Caycho?

5) ¿Cuántas personas votaron por la candidata Carolina Huanta?

6) Reflexiona y responde, ¿es posible calcular cuál de los candidatos ganó la elección?, ¿mediante qué procedimiento?

7) ¿Cuántos votos obtuvo el candidato triunfante?

8) ¿Lo realizado anteriormente, en qué otros contextos te podría ayudar?

De variables y números

CHULQUILLO DIO SU VOTOLas elecciones entre los candidatos Alberto Luna, Bernardo Caycho y Carolina Huanta se desarrollaron con total normalidad. Votaron 3500 hombres y 5500 mujeres.

Bernardo obtuvo 500 votos menos que Alberto, pero 800 votos más que Carolina.

El Observador. Viernes, 7 de octubre de 2011.

9



Luces, matemática… acción

1) ¿Qué desea hacer Carlos?

2) ¿Cuál era la distribución de asientos y filas por sala en el cine?

3) ¿Cuál es el número de asientos luego de la remodelación?


Por una disposición de Defensa Civil, se exigía que todos los cines de la ciudad tengan el mismo número de filas que de asientos por fila, también que hayan tres grupos de asientos: uno central y dos laterales. Los laterales debían tener, al menos, cinco asientos por fila. En la actualidad, Defensa Civil dejó sin efecto estas disposiciones y algunos cines hicieron modificaciones.

Carlos, administrador de un cine, decide remodelarlo quitando dos filas (sin variar la cantidad de asientos). Después de la remodelación, el número de asientos que quedó fue 323. ¿Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación?

1) Haz lo que indicaste en la pregunta anterior:

Llama x al número de filas y de asientos por fila.

Cantidad total de asientos:

Considera que si se eliminan 2 filas, esto se expresará

1) Describe la estrategia empleada para resolver el problema.

2) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros problemas?, ¿de qué tipo? Plantea un problema como ejemplo.

3) Si Carlos hubiera quitado dos columnas en lugar de filas, ¿cómo cambiaría la respuesta?

4) Formula un problema que requiera el uso de la estrategia empleada.

2) ¿Tiene sentido trabajar con el valor negativo?

3) ¿Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación?

1) ¿Qué estrategia conviene desarrollar?

a) Hacer un gráfico que simule la situación. b) Hacer una tabla. c) Hacer un diagrama de Venn.


Resolvamos 248

Mezclando cantidades


2) ¿Qué datos te da el problema?

3) ¿Qué te pide el problema?

1) Completa la tabla siguiente, considerando que no conoces la cantidad de litros de uno de los recipientes.

1) ¿Qué elementos formarían parte de la mezcla?

2) Si se tiene 10 litros de la mezcla al 20 %, ¿qué elementos lo componen?

Está compuesto por litros de agua, litros de alcohol y litros de mezcla.

Experimenta con otros porcentajes.

2) ¿Cómo calcularías la mezcla resultante?

3) ¿Cuántos litros se tiene que agregar para que el primer componente quede al 14 %?

2) ¿Cómo cambiaría tu respuesta si se hubiera agregado alcohol metílico al 25 %?, ¿sería necesario cambiar algún dato en el problema?

1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.

Un grupo de estudiantes tiene que conseguir una solución de alcohol metílico al 14 %. En el laboratorio de la institución educativa, hay dos recipientes con soluciones de alcohol como se muestra.

Si se quiere utilizar toda la solución del recipiente I, ¿cuántos litros de la otra solución se deben usar?

3) ¿Qué estrategia puedes desarrollar para resolver la situación?

a) Elaborar una tabla de datos.

b) Realizar un esquema.

c) Hacer un diagrama de tiras.

d) Hacer un diagrama de árbol.

e) Plantear una ecuación.

Cantidad de mezcla

Porcentaje de alcohol

Cantidad de alcohol (Iitros)

Cantidad de mezcla (Iitros)

Recipiente I

Recipiente II

Recipiente nuevo

Alcohol metílico6 litros (10 %)

Recipiente I

Recipiente II

Alcohol metílico12 litros (30 %)



1) Completen la tabla que representa las posibles situaciones de ingreso para Julio en una semana. Consideren que todas las mesas atendidas dejan propina.

Sana diversión, buen ahorroJulio Pérez trabaja en un exclusivo restaurante del centro de Huaraz, donde le pagan un sueldo básico de S/.140 semanales.

Como Julio es una persona muy atenta y servicial hacia sus clientes, por cada mesa que atiende le dejan entre S/.2 y S/.4 de propina. Los gastos semanales de Julio, entre cine, libros, paseos, etc., ascienden a S/.50; pero desea ahorrar cada semana S/.204 como mínimo.

La situación mostrada es bastante común en los pagos a personas que atienden en restaurantes. Lo primero que tendremos que hacer será asumir un pago de propina promedio. Para elaborar un modelo, fijaremos este pago en S/.3 por mesa atendida.

Hagamos una tabla para averiguar lo que recauda Julio en una semana si: no atiende ninguna mesa o atiende 1, 2, 3 o más mesas.

N.° de mesas atendidas en la

semanaPropina Sueldo semanal

+ propina

0 0 1401 3 x 123

Generalizando

Con tus compañeros, desarrollen las siguientes actividades:2) Luego, el sueldo semanal de Julio se puede simbolizar por:

3) Acorde con la respuesta anterior y sabiendo que Julio gasta semanalmente S/.50, ¿cuánto ahorra?

4) Él desea ahorrar semanalmente S/.204 como mínimo, ¿cuál sería la relación?

5) Resuelvan la inecuación planteada en el problema.

6) Interpreten la solución de la inecuación planteada.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales y productivas.




Autoevaluación


Resolvamos 250

El premio mayorJuan, Felipe y María juntaron un dinero para adquirir un boleto de la lotería local. El número comprado entre los tres resultó ser el ganador del premio mayor. Al enterarse de ello, no llegaron a un acuerdo de repartirse el dinero en tres partes iguales, sino que comenzaron a discutir. Luego de que dialogaron, quedaron que se iba a repartir del siguiente modo:A Felipe le corresponde el doble que a Juan.A María, S/. 200 más que a Felipe.

Como no se conocen las cantidades, supongamos que a Juan le corresponde “x” nuevos soles.

1) ¿Cuánto le corresponde a Felipe?

2) ¿Cuánto le corresponde a María?

3) Si tuvieran que repartirse S/.1400, ¿cuál sería el planteamiento final que realizarías?

4) ¿Cuánto le correspondería a cada uno?

5) Reflexiona y responde, ¿consideras que es justa la repartición?

6) Tres amigos, Julio, Marcos y Alejandro se reparten S/. 2100, de tal forma que uno recibe el doble y otro el triple de lo que tiene Marcos. ¿Cuáles eran los montos repartidos?

Matematizando conecuaciones10



Camarón que se duerme...


2) ¿El camino que recorre el Sr. Ramírez durante toda su travesía es el mismo?

3) ¿Cuánto ha recorrido antes de dormir?

1) ¿Cuáles son las características del viaje del Sr. Ramírez, según los datos expresados?

2) ¿Qué estrategia puedes utilizar para resolver el problema?

a) Realizar un gráfico.

b) Plantear la ecuación.

c) Elaborar una tabla.

El señor Ramírez tiene que recorrer cada mañana un largo camino en autobús hasta su lugar de trabajo.

Hoy el señor Ramírez está muy cansado y se duerme cuando todavía le queda el doble del camino que ya ha recorrido. En la mitad del viaje total, le despierta el alboroto de unos estudiantes y solo consigue dormirse de nuevo cuando todavía le queda por recorrer la mitad del tramo que ya lleva hecho.

El señor Ramírez ya no despertará hasta llegar al final del viaje. La parte del trayecto total durante la que el señor Ramírez ha estado durmiendo es:

1) Organiza la información considerando cuándo se durmió y despertó el señor Ramírez.

2) Representa, haciendo uso de fracciones, el recorrido del señor Ramírez paso a paso:

3) El trayecto que ha recorrido durmiendo es:

Condición del problema

4) ¿Cuándo es que se despierta por el ruido de los estudiantes?

5) ¿Cuándo se duerme nuevamente?

6) ¿Qué se desea conocer?

Forma de expresión

1) ¿Qué estrategias te sirvieron para tomar la decisión?

2) ¿Hubiera cambiado el resultado final del problema si es que el señor Ramírez no se hubiera despertado?


52

Para elaborar ladrillos

1) ¿Qué quiere lograr el dueño de la fábrica de ladrillos?

2) ¿Cuántos elementos forman parte de la mezcla?

3) ¿Cuáles son los precios de cada ingrediente?

1) Completa la siguiente tabla con la información solicitada y responde, ¿cuántas toneladas de cada clase de arcilla se debe emplear para obtener la mezcla?

1) Comprueba si lo obtenido responde al problema.

2) ¿Qué estrategia te sirvió para tomar la decisión?

Cerca a la comunidad de Orejuelas, se ha instalado una planta artesanal de ladrillos. El dueño trabaja con una antigua receta heredada de su abuelo.

Para conseguir 500 toneladas de arcilla, cuyo precio es de S/.76 la tonelada, se prepara, diariamente, una mezcla con dos tipos de arcilla: una que cuesta S/.28 la media tonelada y la otra cuyo precio es S/.93 la tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada clase de arcilla se debe emplear para obtener la mezcla?

3) ¿Qué estrategia conviene realizar?

a) Transferir los datos a una tabla de doble entrada.

b) Trabajar con los precios para conocer el total.

c) Trabajar con los precios de cada elemento para diferenciar

1) ¿Cuáles son los datos disponibles?

2) Suponiendo que quieres conseguir 200 toneladas con dos cantidades y una de ellas tiene x toneladas, ¿cuánto tendrá la otra cantidad? ¿Crees que sea suficiente su desarrollo?

4) ¿Se conoce la cantidad de mezcla final?

5) ¿Qué se quiere conocer?

2) Para obtener 500 toneladas de la mezcla, ¿cuántas toneladas de arcilla cuyo costo es S/.56 la tonelada se usarán?

3) ¿Cuántas toneladas de arcilla de S/.93 se usarán?

3) Imagina que trabajas en esta fábrica de ladrillos y quieren aumentar la calidad de la arcilla agregando a la mezcla final otro compuesto. ¿Es ello posible o viable? Plantea el caso y resuélvelo.

Tipo de arcillaPrecio por

tonelada (S/.)Cantidad Costo

1. arcillaa

Mezcla

cada caso.


a 2. arcilla

Resolvamos 2


¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales y productivas.

Cadena alimenticiaEn el planeta Urrantia 243, existen tres tipos de animales extraños: ulanos, orencos y sarapios.

Los científicos de este planeta han estudiado las costumbres de alimentación de estos animales, llegando a establecer una cadena alimenticia.

Diariamente:

• Cada ulano desayuna un orenco.• Cada sarapio almuerza un ulano.• Cada orenco cena un sarapio.• Se sabe que no hay otras muertes ni nacimientos.

1) Propongan una expresión para el número de orencos antes del desayuno, en el primer día de ese mes.

2) Planteen una expresión para el número de sarapios.

3) Formulen una expresión para el número de ulanos.

4) Luego de varios días, cuya cantidad no se conoce, un orenco se convierte en el único ser viviente del planeta.

Asumamos que pasaron w días y debe ser después de la cena.

¿Es posible calcular la cantidad de animales que hubo en el día 1 del mes?

5) Con la información inicial, ¿es posible conocer después de qué comida queda un solo orenco?

6) Un astronauta, que llegó z días antes de que el orenco se convirtiera en el único sobreviviente, dijo que en total había más de 38 pero menos de 42 animales. Si hoy fuera 1 de febrero, ¿en qué fecha el orenco se convierte en el único sobreviviente?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita:




Debo mejorar.

Autoevaluación


Resolvamos 254

Estética matemáticaEn las historias clínicas podrás encontrar, algunas veces, gráficas que te describen el estado de tu salud. Por ejemplo, la que observamos aquí, muestra el aumento del peso en kilos de dos personas, con el aumento de la edad en años .

1) ¿Cuál es el peso de David y Sofía a las edades de 10 y 16 años, respectivamente?

2) ¿Cuáles eran las edades de David y Sofía cuando él pesaba 50 kg y ella, 20 kg?

3) ¿A qué edades, respectivamente, David pesaba más de 30 kg y Sofía, menos de 40 kg?

4) ¿A partir de qué edad(es) David pesó más que Sofía?

5) ¿En cuántos kilos se incrementó el peso de David entre los 18 y 20 años?

6) ¿De cuánto fue el incremento de Sofía entre los 15 y 20 años? ¿Cuál fue el crecimiento promedio en ese periodo?

7) Reflexiona: ¿es posible representar la situación pero tomando el peso en el eje x y la edad en el eje y?

ed

Funciones que se ven11

DavidSofía

Edad(años)

CURVAS DE PESOPeso(kg)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

80

70

60

50

40

30

20

10



En la sala de reuniones, están conversando los docentes del 2.° A de la IE Micaela Bastidas.

En el gráfico adjunto, se han representado por puntos los informes de los docentes. ¿Qué puntos representan a Arturo, Sandra, Norma y Dante?

Los docentes conversan

1) ¿Qué están haciendo los docentes?

2) ¿A qué característica de los estudiantes se refieren las palabras: no ha trabajado bien, ha trabajado bien, ha trabajado razonablemente bien?

1) ¿Qué información vas a utilizar?

3) ¿Qué otras características de los estudiantes están comparando los docentes?

4) ¿Qué tienes que encontrar?, ¿qué te solicita el problema?

1) ¿Quién tiene el más bajo esfuerzo y la más baja nota?

2) ¿Qué punto tiene el más bajo esfuerzo y la más baja nota?

3) Con las respuestas anteriores, ¿puedes identificar a quiénes representan los puntos del gráfico mostrado?

4) Usa razonamientos similares para completar la tabla:

PuntoNombre Norma Dante Arturo Sandra

2) ¿Para qué te sirve esta información?

1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?

2) Describe las características del estudiante que se ubica en el punto no considerado en tu respuesta.

En cambio,

Arturo ha estado muy relajado y ha sacado una nota

muy baja.

Así es, Dante

también ha cumplido regularmente con

las tareas y tiene un resultado satisfactorio

en el examen.

Sí pues, el

esfuerzo de los chicos es muy importante.

Norma se ha esmerado bastante, por ello

merece sus excelentes calificaciones.

Sandra ha sacado

buena nota en la última prueba. Pero se distrae fácilmente y su

conducta no la ayuda. Si se concentra un poco más, le va a ir mejor.

Nota del examen

Esfuerzo

3

2

1

4

5


Resolvamos 256

Llamadas telefónicasCinco personas han realizado llamadas telefónicas desde sus teléfonos fijos a cinco destinos del país. Ellos anotaron, en el siguiente gráfico, el costo de estas llamadas y el tiempo que estuvieron comunicándose. ¿Quién llamó al lugar más alejado? Explica con cuidado tu razonamiento.

1) ¿Qué representa el gráfico?

2) ¿Qué se representa en el eje x?

3) ¿Qué se representa en el eje y?

4) ¿Todos han pagado lo mismo por el minuto de llamada? ¿Por qué?


1) Supón datos y, a partir de la estrategia reconocida, organiza la información en la siguiente tabla:

Jhon Sara Clara David Jaime

Costo de la llamada

Duración de la llamada

1) ¿La estrategia utilizada es parecida a una anterior que empleaste?, ¿en qué se diferencian?

2) ¿En quién la razón es mayor y en quién es menor?

3) ¿Qué significa esto?

4) ¿Quién llamó al lugar más lejano?

1) Debes extraer conclusiones a partir de la disposición de los puntos en el gráfico. Completa según corresponda: La persona que llama al lugar más alejado...

a) paga menos por minuto. b) paga más por minuto. c) paga lo mismo.

2) Hay que buscar una forma de comparar las distancias a las que se llamó. ¿Qué indicador podría darte esa información?

Duración de la llamada

Costo dela llamada

Jhon

David

Clara

Sara

Jaime

2) ¿Fue importante establecer una razón en este problema?

3) Los puntos de David, Clara y Sara se encuentran sobre una misma recta. ¿Qué concluyes al respecto? (Observa el cuadro comparativo).



Pago del estacionamientoEl administrador de una empresa dedicada al parqueo de automóviles quiere mejorar su oferta de servicio a sus clientes debido al incremento de la competencia a su alrededor. Para ello, contrata a un servicio de consultoría que le propone la información adjunta.

1) Observen la gráfica y completen:

El eje x indica la variación en El eje y indica la variación en

2) Según la gráfica, ¿cuánto se debe pagar por estacionar 30 minutos, 1 hora con 45 minutos y 2 horas?

3) Un día, de 6 a. m. a 12 m., se estacionaron varios autos. Los vehículos ocuparon las zonas de estacionamiento A, B, C, D, E y F durante los tiempos que se indican en la tabla. ¿De cuánto será el ingreso para la empresa?

4) Expliquen, ¿cómo realizaron el cálculo del pago del estacionamiento F en la tabla de la pregunta anterior?

5) Si alguien estaciona n horas m minutos, siendo n > 4 y m < 60, ¿cuánto debe pagar? Completen la siguiente tabla, experimentando diversos datos para hallar la respuesta.

Reconozcan un patrón en la relación entre n horas y m minutos.

6) Expliquen cómo hallaron la respuesta.

n h m min Tiempo por el que se debe pagar Costo

Caso 1 4 h 20 min 5 hCaso 2 6 h 35 minCaso 3Caso 4

Estacionamiento Tiempo Pago (S/.)A 100 minB 1h 35 minC 15 minD 2,5 hE 168 minF 256 min

Ingresos

Formulen un modelo que exprese la condición de la situación planteada.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas referidos a funciones discretas, que en la cotidianidad se utilizan para formular un evento y analizarlo. Es importante conocer el procedimiento correcto, ya que si no se aplica correctamente el análisis, no podremos obtener buenos resultados.

Si t > 4, entonces el pago adicional será de S/.8 por el tiempo transcurrido hasta la hora siguiente. Se mantiene la misma condición para más tiempo transcurrido.

Nota: tiempo está expresado en “t“.

Pago(S/.)

40

32

15

10

Tiempo (horas)

1 2 3 4






Autoevaluación


Resolvamos 258

Avisos periodísticosEl cuadro muestra las tarifas de los avisos clasificados de un diario.

1) ¿Qué significa el dato de S/.7,71 en la tarifa?

2) ¿Cuánto costará un aviso de venta de una casa, que tenga cinco palabras y que se quiera publicar el domingo?

3) ¿Cuánto costará publicar el aviso de una moto, que tenga diez palabras para el viernes y que sea un clasificado de dos estrellas?

4) ¿De qué factores depende el costo de publicación de un aviso para vender una casa?

5) ¿Cuánto costará publicar un aviso de venta de un auto, que tenga diez palabras y que se quiera publicar los lunes, miércoles y viernes?

6) En cualquier sección (inmobiliaria, automotores, empleos, oportunidades, relax), ¿el incremento por palabra es constante o varía?

7) ¿Si un aviso de venta de un auto de 10 palabras cuesta x, un aviso de 20 palabras costará 2x? Explica.

8) Reflexiona y responde. El precio de un aviso se compone de costos fijos y variables, ¿te parece razonable esta división? Explica.

9) Observa la sección Empleos y oficios y registra en la tabla la información que te permitirá saber el costo total por palabra para los días de la semana, menos el domingo:

Las funciones sí funcionan

Costo fijo por orden de publicación

Costo por palabra, en un día de lunes a sábado Cantidad de palabras Número de días Costo total por x

palabras y por y días

Avisos clasificados de El ObservadorTarifa

S/. por palabra Otras tarifas. Pago único por Orden de Publicación S/.

Dom Lun-Sáb Clasificado con 1 estrella (*) 2,21

Costo fijo por Orden de Publicación 7,71 7,71 Clasificado con 2 estrellas (**) 3,52

INMOBILIARIA Clasificado con título centrado 7,70

i1 i6 2,26 0,85 Clasificado con negritas 4,94

AUTOMOTORES Clasificado con viñeta 11,00

a1 a3 2,18 0,78Avisos destacados

S/.

(autos / camionetas / camiones, buses y maquinaria pesada) Dom Lun-Sáb

a4 a6 1,90 0,72 2 x 1 cm/col (hasta 20 palabras) 91,10 59,00

(motos, bicicletas, embarcaciones y otros accesorios y servicios / maquinarias y motores)

3 x 1 cm/col (hasta 25 palabras) 122,00 89,44

EMPLEOS Y OFICIOSAvisos desplegados

S/. por cm/col

e1 e3 1,90 0,72 Dom Sáb Lun - Vie

OPORTUNIDADES 5 30 cm/col 12,39 7,60 7,60

o1, o2, o4, o20 1,90 0,72 31 30 cm/col 14,04 8,92 8,67

Relax 101 30 cm/col 16,52 10,33 9,91

o12 2,75 2,28

Consultar tarifas a color y fecha de cierre de avisos.Todas las tarifas incluyen I.G.V.

12



Producción de botellas de agua

1) ¿De qué trata la situación problemática?



1) ¿Cuántas botellas se producen en un minuto?

2) Completa la tabla siguiente:

3) Elabora una tabla donde se registre el número de botellas en horas. Luego, realiza la gráfica solicitada con la información registrada en la tabla.

La gráfica es:

4) ¿Qué tipo de gráfico resulta?

5) ¿Cuántas botellas se fabrican en 5 horas?

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6

N.° botellas

Tiempo N.° botellas

1 min

15 min

30 min

1 hora

1,5 horas

1) ¿Qué variables del proceso de fabricación debes relacionar?

2) A medida que pasa el tiempo, ¿qué ocurre en el proceso?

3) Describe las estrategias que elegirías para resolver el problema.

Una empresa embotelladora ha adquirido una nueva máquina que produce cápsulas de plástico que servirán como envases para agua mineral, a razón de 3 botellas cada 4 segundos.

¿Cuántas botellas son fabricadas en 5 horas?

Representa gráficamente el número N de botellas producidas, en función de la duración t (en horas) del proceso de fabricación.

1) Describe el procedimiento que te permitió hallar las respuestas al problema.

2) A partir del problema, ¿cómo se expresa N en función de t?

3) ¿Al cabo de cuántas horas se logra producir más de 1 millón de botellas?

0 1 2 3 4 5 6 7

Botellas

Tiempo(horas)


Resolvamos 260

Bienes que se deprecian Los activos de una empresa son sus bienes inmuebles y maquinarias, los cuales tienen un valor que disminuye con el tiempo. Para comprender mejor sobre el tema, usaremos cifras aproximadas que se asemejan a datos reales que existen en la actualidad; por ejemplo, un edificio se deprecia totalmente en 20 años. Es decir, que en 20 años pierde el 100 % de su valor total por el uso a que es sometido, lo cual significa que cada año pierde el 5 % de dicho valor.

Supón que un edificio, en el año 2005, estaba valorizado en USD 400 000, averigua, según el porcentaje de depreciación indicado, ¿en cuánto se deprecia anualmente? ¿Qué valor tenía en el año 2010?

3) Esboza la gráfica correspondiente a la tabla elaborada en la pregunta anterior.


2) ¿Cuáles son los datos expresados en el problema?


1) ¿Cuál es la característica que se desea analizar?

2) ¿Qué variables se tienen que identificar para resolver el problema?

3) ¿Cuál es la variable independiente?

4) ¿Qué estrategias podrías utilizar?

1) ¿Cuál es la depreciación anual?

2) Completa la tabla:

Año Valor del edificio (en miles de dólares)

2005 40020062007200820092010

Valor(en miles de

dólares)

Tiempo(Años)

0 2005 2006 2007 2008 2009 2010

1) Describe la estrategia empleada.

2) ¿Cómo se expresa el “valor“ v del edificio en función de t?

3) ¿Cuál será el “valor” del edificio al cabo de 15 años?

4) ¿Qué tipo de gráfico resulta?

5) ¿Qué valor tenía el edificio en el año 2010?



El costo de estar en forma

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas referidos a funciones lineales, que en la cotidianidad se utilizan para formular un evento y analizarlo. Esto se presenta comúnmente en situaciones en las que dos magnitudes se encuentran relacionadas directamente, tales como las tarifas de servicios, distancias y duración de un movimiento, etc.

1) Si una persona desea estar solo un mes, ¿cuánto pagará en cada gimnasio?

2) ¿Cuánto pagará por 5 meses en el gimnasio “Ponte en forma”?

3) ¿Cuánto pagará por “t” meses en el gimnasio “Ponte en forma”?

4) ¿Cuánto pagará por “t” meses en el gimnasio “Cuerpo y salud”?

5) Planteen una inecuación que considere menor o igual el pago en el segundo gimnasio (Cuerpo y salud).

¿Por qué se considera menor o igual el segundo gimnasio?

6) Resuelvan la inecuación que han planteado.

El gimnasio “Ponte en forma” cobra un derecho de inscripción de S/.250 y una mensualidad de S/.100, mientras que el gimnasio “Cuerpo y salud” cobra S/.150 por derecho de inscripción y S/.150 de mensualidad.

Ambos gimnasios están ubicados en el mismo distrito y poseen instalaciones semejantes, por lo que la decisión para elegir uno de ellos solo depende de los pagos que se deben efectuar.

¿Para cuántos meses es más conveniente elegir el segundo gimnasio?

7) ¿Para qué valor de t es menor el pago en el segundo gimnasio? Comprueben.

8) En el plano cartesiano mostrado, tracen la gráfica de los costos para los dos gimnasios.

9) ¿Para qué valor de t es más conveniente el primer gimnasio?

Costo(S/.)

700

600

500

400

300

200

100

0 1 2 3 4 5 Tiempo(Meses)

Gimnasio “Ponte en forma”Gimnasio “Cuerpo y salud”

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:



Autoevaluación


Resolvamos 262

Calentamiento globalHabrás observado que en los últimos años el clima está variando mucho; asimismo, te habrás enterado de que la Tierra se está calentando cada vez más y que esto causa que los glaciares se derritan.

Los gobiernos del mundo están muy preocupados por esta situación. Por ello, están iniciando proyectos relacionados con la descontaminación, entre los que se incluyen planes para reducir el incremento de gases que contaminan la atmósfera.

Los gráficos mostrados, que fueron publicados en tres diarios diferentes, tratan de dar a conocer a la población cómo se ha incrementado la presencia de gases contaminantes en la atmósfera en los últimos 4 años.

1) ¿Cuáles son los datos que muestran los gráficos?

2) ¿Cuál es la cantidad de gas contaminante en el 1.er año?

3) ¿Cuál es la cantidad de gas contaminante en el 3.er año?

4) ¿Cuál es la proyección que darías en el 5.° año?

5) Reflexiona y responde, ¿consideras que alguno de los tres diarios haya representado la información de forma incorrecta? Justifica.

6) ¿A qué crees que se deba la diferencia en la presentación de la misma información en cada uno de los tres diarios?

7) Con respecto al gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta en relación con el peligro del calentamiento global?, ¿qué conclusiones puedes dar?

a) La contaminación por gases debe reducirse, pues la tendencia actual es a crecer de forma constante, lo que acelera la destrucción de la capa de ozono.

b) La contaminación por gases debe considerarse como una alerta a nivel mundial, debido a que está creciendo de forma exponencial, acelerando la destrucción de la capa de ozono.

c) La contaminación por gases se mantiene constante en todos estos años; sin embargo, hay que considerar reducir la propagación de gases.

Conclusiones:

Tiempo(Años) Tiempo

(Años)Tiempo(Años)

400

300

200

100

Gases contaminantes(Millones de m3)

1

A

B

C

D

2 3 4

400

300

200

100 E

F

G

H

1 2 3 4

400300200100

MZ

YX

1 2 3 4

Interpretando la realidad13





Carrera graficada

1) ¿Qué elementos se deberían considerar para realizar un gráfico de la situación de cada una de ellas?

2) Si una persona es más rápida que otra, en un mismo tiempo recorrerá más espacio, ¿cómo crees que sea su representación gráfica?

3) Dos personas son lentas y si una lo es más que la otra, en un mismo tiempo recorrerá menos espacio, ¿cómo crees que sea su representación gráfica?

5) ¿Cómo corrió la estudiante que llegó primera?

6) ¿Qué te piden realizar?


2) ¿Cuántas estudiantes han participado?

3) ¿Cuáles son las magnitudes que se encuentran representadas en la situación?

4) ¿Qué sucedió con la última en llegar?

En las olimpiadas por el aniversario del colegio, se ha organizado una carrera que consiste en dar una vuelta al estadio cuya longitud es de 400 m. En la carrera, participaron cuatro estudiantes y se han registrado las siguientes marcas:

Claudia partió muy rápido y recorrió 150 m en medio minuto; pero disminuyó su velocidad, la mantuvo de manera constante y llegó a la meta casi caminando.

Eva salió rápidamente y después de un minuto, cuando había recorrido 200 m, tropezó, se cayó y al levantarse ya no pudo correr como al inicio. Llegó hasta 300 m, pero ya no pudo continuar más.

María salió lentamente e hizo la cuarta parte de la carrera en medio minuto; por lo que mantuvo su velocidad hasta llegar a la meta y fue primera.

Luisa mantuvo la misma velocidad a lo largo de toda la carrera. Así, a los 3 minutos ya había recorrido 300 m, pero no consiguió ganar.

Haz una única gráfica representando las carreras de cada una de ellas.

4) Si una persona abandona un trayecto, ¿qué crees que pase en la representación gráfica?

5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones te ayuda a trazar un plan de acción?

a) Expresar cuatro gráficos relacionando el tiempo y la longitud.

b) Expresar cuatro gráficos relacionando el tiempo y la velocidad.

c) Expresar una misma escala para el desarrollo de los gráficos.

d) Expresar escalas diferentes para cada gráfico.

e) Representar las pendientes más y menos empinadas y relacionarlas con los participantes.

f) Representar las trayectorias con los participantes.


Resolvamos 264

1) Comprueba si lo obtenido te ha servido para resolver el problema.

2) ¿En qué momento has tenido dificultad para resolver el problema?

3) ¿Crees que el problema se podría resolver a partir de otros procedimientos? Explica, brevemente, alguno de ellos.

4) ¿Qué habría sucedido si ninguna de las participantes hubiera ganado la carrera?, ¿cambiaría mucho la gráfica?

1) Representa gráficamente las carreras realizadas por Claudia, Eva, María y Luisa alrededor del estadio.

5) Representa en una misma gráfica las carreras de las cuatro competidoras.

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

Claudia

Tiempo (seg.)

Distancia (m)

400

350

300

250

200

150

100

50

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300Tiempo (seg.)

Distancia (m)

400

350

300

250

200

150

100

50

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300Tiempo (seg.)

Distancia (m)

400

350

300

250

200

150

100

50

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300Tiempo (seg.)

Distancia (m)

400

350

300

250

200

150

100

50

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300Tiempo (seg.)

Distancia (m)

400

350

300

250

200

150

100

50

Eva

LuisaMaría



El diario de dos monos*

1) ¿En qué actividad emplea más tiempo cada mono?

2) ¿En qué actividad emplean menos tiempo?

3) ¿Cuántos minutos está reposando el mono más que la mona?

4) ¿En qué actividades emplean el mono y la mona entre 30 y 180 minutos?

* Santillana Educación, S.L. (s/f). Prensa y Matemáticas 1.° ESO. Página 166.

5) ¿En qué actividades emplean el mono y la mona más de 240 minutos?

6) ¿Consideran que hay diferencias entre los monos machos y hembras?

7) Esta información presentada, ¿es importante? Justifiquen.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con diagramas lineales, a partir del gráfico y de su interpretación. Es importante conocer estos contenidos, ya que son muy utilizados para representar información sobre eventos reales.

César y José, los veterinarios de un zoológico, se encuentran analizando el comportamiento de dos nuevos monos, un macho y una hembra, que llegaron hace unos días.

En el gráfico, se muestra el tiempo que emplean cada uno de ellos en diversas actividades durante 12 horas.

Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas e investiguen el comportamiento de los dos monos:

Reposando Moviéndose Rebuscando Comiendo

Tiempo (en minutos)

HembraMacho

Actividades

330

300

270

240210180150

120

90

60

30

0




Autoevaluación


Resolvamos 266

Encomiendas pensadas

1) ¿Cuánto te costará el envío de un paquete que pese 348 g?

2) ¿Cuánto te costará el envío de un paquete que pese 740 g?

3) ¿Cuánto es el valor del IGV de un paquete de 3 kilos que se envía a Cajamarca?

4) ¿Cuánto será el valor de venta de un paquete de 4800 gramos que se envía a Catacaos?

5) Si deseas enviar a Lima dos paquetes: uno que pesa 2,5 kg y otro que pesa 1,9 kg, ¿te conviene enviarlos juntos o por separado? Explica.

6) El peso de unas vasijas en su caja es de 125 g. Si tienes disponible S/.30, ¿hasta cuántas vasijas puedes enviar?

7) Reflexiona y responde. ¿Consideras que existe una relación de dependencia entre el costo de la encomienda y su peso?

8) ¿Para cada valor del costo, existe un único peso de la encomienda?

9) Si tienes 4 jarrones de Catacaos que pesan 340 g cada uno, te conviene enviar los cuatro o debes comprar más para aprovechar mejor las condiciones de venta. Explica tu razonamiento.

Las tarifas postales suelen establecerse en función del peso de los envíos y de la distancia que viajará el paquete. En una localidad de Piura, las autoridades postales han establecido tarifas de envío a la ciudad de Lima como se muestra en la tabla. Los pesos se aproximan al gramo entero más cercano.

Supón que estás en Piura y quieres encargar algunas encomiendas a tus familiares en Lima.

Tarifas de Serpost, vigentes al 1 de noviembre del 2011

PESO EN GRAMOS

ENCOMIENDAS

LOCAL NACIONAL

VALOR DE VENTA I.G.V. PRECIO DE

VENTAVALOR DE

VENTA I.G.V. PRECIO DE VENTA

Hasta 500 4,24 0,76 5,00 6,36 1,14 7,50

De 501 a 1000 5,93 1,07 7,00 8,05 1,45 9,50

De 1001 a 2000 8,05 1,45 9,50 11,44 2,06 13,50

De 2001 a 3000 10,17 1,83 12,00 14,83 2,67 17,50

De 3001 a 4000 12,29 2,21 14,50 18,22 3,28 21,50

De 4001 a 5000 14,41 2,59 17,00 21,61 3,89 25,50

Segmentos que cuentan historias14



Ventas del mes (x) Comisión Sueldo básico Sueldo mensual (y)

x < 5000

x > 5000

Ventas y comisiones

1) ¿De qué depende el pago que recibe José?

2) ¿Qué significa que recibe un sueldo básico de S/.600?

3) ¿Qué es una comisión?

4) ¿Qué tienes que averiguar?

José trabaja en un minimercado de su barrio, su sueldo básico es S/.600. Además, la tienda le ofrece un pago del 10 % de las ventas mensuales que él produzca, a modo de comisión, si las ventas no exceden de S/.5000. Pero si las ventas superan este monto, José recibirá un pago fijo de S/.500 por concepto de comisión.

¿Cuál será la expresion matemática adecuada que le permita a José conocer su sueldo rápidamente?

1) Halla el sueldo total de José para cada mes que se indica. 2) Haz una gráfica que indique estos puntos a considerar. x: y:

3) ¿Sobre qué lugar geométrico se encuentran estos puntos?

1) Coloca el nombre a cada una de las variables. x: y:

2) Organiza los datos en un cuadro.

1) ¿Si vende S/.3000, cuánto recibe de comisión? ¿Y si vende S/.4000?

2) ¿Si vende S/.9000, cuál es la comisión? ¿Y si vende S/.1000?

3) De las interrogantes anteriores, ¿de qué depende la comisión?

4) Explica la estrategia y los procedimientos que te ayudarán a resolver el problema.

Mes Venta al mes (S/.)

Sueldo + comisión (S/.)

Enero 3000Febrero 2000Marzo 1000Abril 2500Mayo 5000Junio 5400Julio 6000

Sueldo (S/.)

Ventas (S/.)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000


Resolvamos 268

Copias y marketingPara mejorar sus ingresos, una tienda de fotocopias del Jr. Azángaro ha diseñado una estrategia de ventas para los siguientes meses del año. El gerente reúne a sus empleados y explica la promoción:“En Azángaro todos cobran S/.0,05 por copia simple, sea cual sea la cantidad de copias. Nosotros propondremos ese precio si el número de copias no es mayor de 50; pero si saca más de 50 hasta 100 copias, el precio será S/.0,04 por copia, y si saca más de 100, será de S/.0,03”.El gerente te solicita ayudar a los empleados a calcular rápidamente el precio de cualquier número de copias solicitado. ¿Qué propones?

1) ¿Cuánto deberá pagar un cliente que ha sacado “x” copias menores que 50, y en qué condiciones varía “x”?

2) ¿Cuánto deberá pagar un cliente si ha sacado un número de copias x, entre 50 y 100?, ¿en qué condiciones varía x?

3) ¿Cuánto pagará un cliente que sacó más de cien copias?, ¿en qué condiciones varía x?

4) Completa el siguiente cuadro:

Enunciado literal Ejemplo Enunciado algebraico

5) Escribe lo desarrollado en la tabla anterior como expresiones que relacionan el costo de las copias “y“ con el número de copias “x“ para cada variación del número de copias.

Función Variación del número de copias

1) Partiendo de supuestos:

a) ¿Cuál es el precio por copia que debe pagar un cliente que ha sacado 40 copias?

b) ¿Cuál es el precio por copia que pagará un cliente que ha sacado 60 copias?

c) ¿Cuál es el precio por copia para un cliente que ha sacado 120 copias?

2) ¿Qué actividad te ayudará a resolver el problema?

a) Realizar más supuestos de valores y cantidades de copias.

b) Relacionar las condiciones del problema con los datos supuestos.

c) Hacer un presupuesto para cada cantidad de copias.


2) ¿Cuáles son las condiciones del problema?


1) ¿Qué estrategia fue la que te sirvió para resolver este problema?

2) ¿En qué otros casos puedes aplicar esa estrategia?



Impuestos para vivir mejor

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la formulación de modelos de fenómenos del mundo real con funciones lineales. Estas actividades son importantes, puesto que me permitirán entender el comportamiento de un hecho constante y predecir nueva información a partir de lo ya analizado.

Los impuestos son la fuente principal de ingresos que los gobiernos tienen para invertir en aspectos prioritarios para el desarrollo, como la educación, la salud, los servicios de atención social, la infraestructura vial, entre otros. Los contribuyentes abonan impuestos de acuerdo con sus ingresos mensuales. Tanto los ingresos como los impuestos están en nuevos soles. Los que ganan menos de S/.500 no pagan.

1) En el gráfico mostrado: a) x representa b) y representa

2) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de S/. 800 mensuales?

3) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de S/. 1500 mensuales?

4) En el eje x se ha graficado el incremento del ingreso, de S/.100 en S/.100, a partir de S/.800. Por cada S/.100 más de ingresos, ¿en cuánto se incrementa el impuesto a pagar?

5) ¿Cuánto paga de impuesto un vecino cuyo ingreso es de S/. 1000 mensuales? Anoten sus operaciones y expliquen.

6) Si se mantiene la tendencia de la gráfica, ¿cuánto de impuestos se paga si se tiene un ingreso de S/.1800?

7) ¿Cuánto paga de impuestos un contribuyente cuyo ingreso es de S/.500 mensuales? Anoten sus operaciones y expliquen.

8) Para N > 500, ¿cuánto paga de impuestos un contribuyente cuyo ingreso es de S/.N mensuales?

9) ¿Cuánto paga de impuestos un contribuyente que gana S/.1250?

Con tus compañeros, hallen el modelo matemático que expresa este comportamiento.

y

75

26

x

800 1000 1500




Debo mejorar.

Autoevaluación


Resolvamos 270

Construyendo con madera

1) Identifica cuatro rectas, como mínimo, de las que se presentan en la estructura frontal de la casa prefabricada.

2) A partir de la situación, representa:

a) 5 segmentos paralelos:

b) 2 segmentos secantes:

c) 3 grupos de ángulos alternos internos:

d) 3 grupos de ángulos alternos externos:

3) Reflexiona y responde, ¿cómo están relacionados los < 1 y < 2?

4) Si la base del diseño y la viga son equidistantes y se reconoce una región cuadrada ROXT, halla cómo están relacionados OR y RS, sabiendo que ORT mide 90°.

La madera como material de construcción tiene mucho éxito frente a otros, pues, en tanto sea de calidad, no presenta los inconvenientes usuales: no se pudre ni se tuerce o raja. Es un material que se caracteriza por su resistencia, dureza, rigidez y densidad. Con este material pueden construirse cabañas, casas prefabricadas y demás obras con gran resistencia.

Si se utiliza madera adecuada, puede dar lugar a construcciones de diseños versátiles, estéticos, prácticos y económicos, esto debido a los diseños técnicos que hacen uso de la geometría. Por ejemplo, en la figura se muestra la estructura simétrica de la cara frontal de una construcción en madera en la que podrás reconocer formas y objetos geométricos.

Practicando con la geometría15

1

26

5

3O P

X

R

S

T

Q

A

4



Las calles de Colorinche*La figura muestra el plano de la imaginaria ciudad de Colorinche. Considera las calles como líneas rectas:

a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris?b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle Arco Iris?c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris?d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde?e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?

1) ¿De qué se habla en el problema?

2) ¿En qué forma se encuentran distribuidas las calles en Colorinche?

3) ¿Existen rectas paralelas?

4) ¿Existen rectas perpendiculares?

5) ¿Cómo se llaman a las rectas que no son ni paralelas ni perpendiculares?

6) ¿Qué te piden resolver?

1) Realiza la estrategia elegida en el paso anterior: 2) A partir del plano, relaciona las calles que tienen las características de ser paralelas, perpendiculares o secantes.

1) ¿Qué estrategia consideras aplicar para resolver el problema?

a) Replantear el dibujo.

1) ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema?

3) Copia en tu cuaderno el plano del lugar donde vives y selecciona de él 3 avenidas o calles que son paralelas y 3 que son perpendiculares.

2) Supón que el alcalde de Colorinche hará un cambio en las calles, de modo que todas sean perpendiculares o paralelas, ¿cuáles tendría que cambiar?

Calle Verde

Calle

Azu

l

Calle

Arc

o Iri

s

Calle

Am

arill

o

Calle Roja

Calle Blanco

Calle Añil

b) Utilizar colores para señalar el tipo de posición entre rectas.

c) Seleccionar la respuesta de una lista.

* Santillana. Matemáticas 1.° ESO. Biblioteca del profesorado. Solucionario. Página 227.


Resolvamos 272

Carretera cruzando la granjaUn agricultor desea hacer un camino en dos partes entre sus parcelas de cultivo. Para ello, solicita ayuda a un ingeniero quien le manifiesta: “este camino es preferible hacerlo de tal manera que los bordes opuestos del terreno sean paralelos y la línea media de la carretera sea una secante a los bordes del terreno”. Al ver la confusión del agricultor, el ingeniero le presenta un plano como el que se muestra.Halla el valor de los ángulos.

1) Los ángulos 2 y 6 tienen igual medida porque

2) ¿Qué se puede decir de los ángulos 2 y 8?

3) ¿Cómo calcular x?

4) Determina el valor de x.

1) ¿Qué desea hacer el agricultor?


1) Describe las estrategias que te ayudaron a resolver el problema.

2) ¿Qué otra estrategia habría ayudado a resolver el problema?

3) Halla los valores de todos los ángulos.


1) ¿Qué tipo de rectas observas en el diagrama?

2) ¿Qué tipo de ángulos identificas?

3) ¿Qué estrategia podrías utilizar?

4) ¿Qué propiedades cumplen las medidas de los ángulos marcados?

5) Determina m < 2.

6) ¿Cómo calcular y?

7) ¿Cuál es el valor de y?

8) ¿Cuánto mide el ángulo 5?

4) Crea un problema de similares características y plantea otras formas de resolverlo.

1 2 4 3

5 6 8 7

Se sabe que: m < 2 = 3x - 11m < 3 = 5y + 6m < 8 = x + 19



Trayectorias de rebote

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas de contexto matemático que involucran el cálculo de ángulos formados por una recta secante a dos paralelas. Las formas paralelas y perpendiculares las encontramos en objetos, calles, avenidas, edificios, etc., y es importante saber interpretarlas para tomar decisiones.

Cuando una pelota choca con una pared, rebota de manera que la trayectoria final y la pared forman el mismo ángulo que la trayectoria inicial con la pared.

Utilicen este principio para determinar la medida del ángulo x. La pelota se lanza en línea recta desde el punto P y rebota en las dos paredes, como muestra el esquema. Para el primer rebote, la trayectoria forma un ángulo de 37° con la pared. Asuman que l y m son paralelas.

1) ¿Cómo incide y cómo rebota la pelota en la primera pared?

2) ¿Cómo incide y cómo rebota la pelota en la segunda pared?

3) Si a es la medida del ángulo con que incide la pelota en el primer rebote y b, la medida correspondiente al segundo rebote, ubiquen estas medidas en el diagrama.

4) Considerando las rectas paralelas, establece una relación entre los ángulos para hallar el < c.

5) Suponiendo que a = 35°, calcula el valor de b.

6) ¿Cuál es el nuevo valor de x?

7) Calculen el valor que tendría x si la pelota rebota desde P con un ángulo de 30°.

8) Considerando la pregunta 4, propongan otras formas para resolver el problema.

mx°

100°

143°

P

I

mx°

143°

P

I

Con tus compañeros, resuelvan las siguientes preguntas y hallen el valor de x.






Autoevaluación

100°

c

c


Resolvamos 274

Un problema de cables tensados

Problematizando con triángulos

1) ¿Cuántos triángulos reconoces en el esquema?

2) Anota los siguientes datos en el gráfico inicial: a) Ángulo BAC mide 20°. b) Ángulo CDB mide 30°. c) Angulo de 80° respecto al poste y el terreno horizontal.

3) Completa la tabla en el orden indicado.

4) Reflexiona y responde. Con relación al argumento planteado en la tabla, ¿qué propiedad referida a los ángulos, reconoces en los triángulos usados?

Un circo es un espectáculo artístico que puede incluir a acróbatas, payasos, magos, adiestradores de animales y otros artistas. Es presentado en el interior de una gran carpa que cuenta con pistas y galerías con asientos para el público.

En la actualidad, existen circos estables y circos itinerantes. Es precisamente en este último tipo de circos que, para darle estabilidad al toldo, los expertos cirqueros instalan postes que se encuentran inclinados respecto al terreno horizontal y están sostenidos por cables anclados al suelo. A continuación, se muestra un diseño que expresa las características de los postes de instalación para este tipo de toldo.

Ángulos Medida Argumento

CPD 100° Es un ángulo suplementario 180° - 80° = 100°

PCD

ABP

ACR

ARC

ARD

5) Halla la medida del ángulo R.

6) En la figura, se reconoce el ángulo ARD. La medida que has hallado, ¿satisface la condición de ser ángulo obtuso? ¿Por qué?

7) En la relación establecida, referida al ángulo ARD, ¿qué propiedad de los ángulos se cumple con respecto a los triángulos?

8) A continuación, se muestra otro diseño para la instalación del poste. ¿Cuánto mide al ángulo ADE?

- Poste inclinado 80o respecto al terreno horizontal.- Cables AB y CD anclados al suelo.- Ángulo BAC mide 20o.- Ángulo CDB mide 30o.

16



Trabajando con medidasEn un triángulo del que no se conoce tipo específico, se tienen las siguientes características:

• Uno de los ángulos mide el 50 % de uno de los otros dos.• El mismo ángulo mide el 33 1 % de la medida del tercero.

Con estos datos, indica el tipo de triángulo del que se habla y determina la medida de su ángulo menor.

1) ¿De qué forma geométrica se habla en el problema?

2) ¿Se conocen las medidas de los ángulos del triángulo?

3) ¿Se conoce la suma de los tres ángulos?

4) ¿Cómo están expresadas las relaciones entre los ángulos del triángulo?

5) ¿Qué se quiere saber en el problema?

3) El mismo ángulo mide 33 1 % del tercer ángulo, entonces se puede decir que

4) Realiza los cálculos necesarios.

5) ¿Cuáles son las medidas del primer, segundo y tercer ángulo?

6) ¿Qué tipo de triángulo es y cuánto mide el ángulo menor?

1) Haz lo que indicaste en el paso anterior:

2) Uno de los ángulos mide el 50 % de uno de los otros, entonces se puede decir que

1) ¿Cómo podemos relacionar esta información con las medidas de un triángulo?

2) ¿Cómo podremos establecer las relaciones entre el primer, el segundo y el tercer ángulo?

1) ¿Cuál es la estrategia que utilizaste para resolver el problema?

2) ¿Cómo cambiarán tus respuestas si el primer ángulo es igual que la suma de los otros dos?

3) ¿Cuáles serían los porcentajes en el caso de un triángulo equilátero?

4) ¿Cuáles son las relaciones entre el primer ángulo, el segundo y el tercero?

3) Describe las estrategias que te permitirán solucionar el problema.

3

3


Resolvamos 276

1) Haz lo que indicaste en el punto anterior para resolver el problema:

2) Calcula las medidas de los siguientes ángulos:

δ = γ = α =

Calculando las incógnitasEn el siguiente triángulo, calcula la medida del ángulo α.

1) ¿Con qué datos se cuenta para poder calcular el valor de α?

2) La medida del ángulo de 40°, ¿es importante para resolver el caso?

3) ¿Cuántos triángulos tienen que ser resueltos antes de calcular el valor de α?

4) El triángulo formado por los ángulos γ, δ y δ, ¿qué tipo de triángulo es?

5) ¿Cuál es la característica que destaca en ese triángulo?

6) ¿Es posible calcular desde un principio el ángulo α resolviendo este triángulo?


1) ¿Qué estrategia conviene realizar?

a) Analizar cada uno de los triángulos que forman la figura.

b) Completar los otros valores con las propiedades de suma

c) Rehacer el gráfico.

1) ¿El diagrama presentado te permitió resolver el problema con rapidez?

2) Describe las estrategias que te sirvieron para resolver el problema.

3) Crea un problema similar (verifica que el resultado se pueda calcular) y preséntalo a tus compañeros. Que ellos resuelvan el caso que creaste y te brinden sugerencias para mejorar el problema.

de triángulos.

δ

40°

δ

α

γ

γ



La señal secreta de Pitágoras

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran suma de ángulos interiores y exteriores de un triángulo, que en la cotidianidad se utilizan para resolver situaciones en las que se ven involucradas formas triangulares, tales como construcciones, soportes, etc.

Buena parte de la Geometría Pitagórica se dedica al estudio y descubrimiento de diversas formas geométricas, siendo una de ellas el pentágono regular. Este tiene la característica de ser una figura en forma de estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular*, llamado pentágono estrellado, Pentacle, Pentalfa o pentagrama místico. Este parece haber sido una especie de símbolo esotérico de identificación, a modo de anagrama, en la Escuela Pitagórica.

El pentagrama místico fue uno de los tópicos geométricos más importantes de la Escuela Pitagórica por sus bellísimas propiedades geométricas de las que nace su simbolismo místico. Por ello, los pitagóricos estudiaron exhaustivamente la construcción y propiedades del pentagrama. Veamos una de ellas.

Observen la figura. Con cinco líneas se ha formado una estrella de cinco puntas. Se quiere determinar una característica de interés sobre esta figura y sus ángulos: ¿cuál es la suma de los ángulos marcados?

1) ¿Qué formas geométricas se asocian a la figura?

2) ¿Consideran aplicar propiedades relativas a los ángulos de un triángulo? Indiquen algunas.

3) Observen ahora, ¿qué ocurre si agrupamos los ángulos por parejas, agregando a la figura las medidas x, y? Completen las siguientes afirmaciones: m < EST = a +

m < ETC = +

4) Al momento ya conocen las medidas del triángulo ETS. ¿Qué propiedad se cumple con esas medidas?

5) x, y representan a la suma de otras medidas. ¿Qué ocurre al reemplazar x, y luego y, por la suma correspondiente? Indiquen el proceso y el resultado.

6) Reflexionen sobre este caso: si las cinco líneas que forman la estrella de cinco puntas fuesen todas congruentes, ¿la suma de los ángulos marcados sería la misma? Fundamenten su respuesta.

7) Según el caso planteado, ¿cuánto mide cada ángulo?

8) En el problema original, donde se supone que los lados de la figura no son regulares, ¿sería posible hallar la medida de cada ángulo?

A

B

CE

F

N M

S

RT

Para resolver la incógnita, con tus compañeros realicen algunas actividades preliminares:

*Dodecaedro regular: Figura geométrica regular de doce lados.



Autoevaluación

b

c

de

a

yx

R

E C

B

A

F

T

N M

S


Resolvamos 278

Construyendo el huerto escolar

1) El terreno destinado para el biohuerto está compuesto por formas geométricas conocidas. ¿Cuáles son?

2) ¿Cuánto miden las dimensiones que tienen las formas geométricas que has reconocido? Elabora un gráfico para dar tu respuesta.

3) Completa el cuadro para obtener el perímetro y el área de las formas geométricas en el biohuerto.

Forma geométrica Perímetro Área

SemicírculoRectánguloTriángulo

Total

4) Si se desea cercar el biohuerto, ¿cuántos metros de alambre se necesitarán como mínimo? Elabora un gráfico que te ayude a dar respuesta al problema.

5) Reflexiona y responde, ¿el cálculo del perímetro de las figuras reconocidas en el biohuerto es diferente a los metros de alambre que se necesitarán como mínimo para cercar el terreno? ¿A qué se debe esto?

6) El profesor que asesora a los estudiantes recomienda cercar usando el siguiente modelo. ¿Cuántos metros de alambre necesitará para realizar dicha propuesta?

Aplicando áreas en la vida cotidiana

Los estudiantes del 2° B de la IE Fermín Tangüis desean construir un biohuerto para la clase de Ciencia, Tecnología y Ambiente. El terreno se muestra en verde.

176 m

8 m

10 m26 m

8 m 8 m 8 m

6 m



Urbanizando el vecindario El señor Paredes ha recibido una propuesta interesante de una empresa que quiere comprar su terreno para la construcción de un centro comercial.

La empresa le propuso un pago de S/.975 000, argumentando que lo ofertado es un aproximado de S/.300 el metro cuadrado. Para comprobar si le conviene el pago que hará la empresa, el señor Paredes ha buscado los planos del terreno, cuyas dimensiones son: Ancho: 65 mLargo: 93 m

¿Es cierto lo que afirma la empresa? ¿Le pagarían S/.300 el metro cuadrado?

1) ¿Qué información te da el texto?

2) ¿Qué forma tiene el terreno?

3) ¿Cuáles son sus dimensiones?

4) ¿Cuál es el costo aproximado por metro cuadrado, según la empresa?


3) A continuación, relaciona el área con el monto que piensan pagarle, a fin de conocer si el precio por metro cuadrado coincide con lo propuesto.Entonces, ¿cuál es el precio por metro cuadrado conociendo su área total?

4) ¿Hay alguna diferencia con el precio ofrecido por la empresa?

5) ¿Es cierta la propuesta del comprador?

1) Desarrolla tu estrategia:

2) Calcula el área del terreno en metros cuadrados.

1) A partir de los datos identificados en el problema, ¿qué estrategia es la más adecuada para resolver el problema? Justifica tu respuesta.

a) Elaborar un esquema. b) Hacer un gráfico. c) Trabajar los datos en una tabla.


2) Si el Sr. Paredes quisiera vender su terreno por un precio de S/.100 más por m2 que la propuesta de la constructora, ¿cuál será el precio real de venta?

S/.300 el m2


Resolvamos 280

Pintando y presupuestando


2) ¿Qué formas geométricas identificas en el problema?

1) ¿Cuántas áreas va a pintar Juan?

2) ¿Qué formas tienen?

1) Incorpora los datos de la estrategia desarrollada en la siguiente tabla:

Juan se dedica desde hace mucho tiempo a realizar el servicio de pintura de interiores y exteriores. Le han encargado pintar el segundo piso de una casa. Para estimar cuánto de pintura debe comprar, ha tomado las medidas y encontró las siguientes formas y dimensiones:

• Dos paredes en forma de trapecio.• Una pared rectangular de 13 x 4,6 m; otra de 13 x 3,2 m con dos ventanas

que miden 0,9 x 1 m cada una.• El techo de la habitación es del mismo ancho que la base menor de la pared.• Un balde de pintura alcanza para 10 m2.

¿Cuánto de pintura necesitará Juan para pintar las paredes y el techo?

3) ¿Qué otro dato presenta el problema?


3) ¿Cómo calcularás las dimensiones para el pintado?

4) ¿Qué otra estrategia te ayudará a encontrar la solución?

a) Hacer una tabla. b) Buscar un patrón. c) Hacer un dibujo.

2) ¿Cuánto de pintura necesitará?

Forma de la pared Cantidad Área

1) ¿Qué fue lo que te dio la pista?

2) Explica la estrategia que utilizaste.

4,6 m

6,6 m

8,2 m

3,2 m



Afiches económicosCon el fin de promocionar un concierto musical, pro fondos de la biblioteca, los estudiantes de la IE César Vallejo han decidido elaborar unos afiches publicitarios.

Los profesores han propuesto colaborar con la impresión de los afiches, de modo que los estudiantes solo financiarían la compra de papel. Este servicio, por parte de los docentes, debe cumplir con lo siguiente:• La donación de los profesores alcanza para tener unos 600 cm2 de impresión, por cada afiche.• La donación solo debe ser utilizada para la impresión y en su totalidad.• Los márgenes superior e inferior libres deben ser iguales a 3 cm.• Los márgenes izquierdo y derecho libres deben ser iguales a 2 cm.• El tamaño de papel a utilizarse debe ser el más económico posible.• El costo del papel es proporcional al área de este.

1) Hagan un diagrama que les permita visualizar las condiciones del servicio:

2) ¿Es correcto decir que, para hallar el costo mínimo de papel, deberemos hallar el área mínima? ¿Por qué?

3) Si la impresión tiene un ancho de 10 cm, ¿cuál será el largo? ¿Cuál será el área del papel utilizado?

4) Si la impresión tiene un ancho de 12 cm, ¿cuál será el largo? ¿Cuál será el área del papel utilizado?

5) ¿El área del papel utilizado varía conforme cambia el ancho de la impresión? ¿Cómo?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades:

6) Continúen llenando la tabla que les mostramos, a fin de saber con qué ancho obtendremos la menor área de papel.

7) ¿Podrían afirmar, categóricamente, que estas dimensiones son las correctas? ¿Por qué?

8) ¿Cuáles serán las dimensiones de papel más ventajosas?

Ancho de impresión

(cm)

Largo de la impresión

(cm)

Ancho de la hoja (cm)

Largo de la hoja (cm)

Área de la hoja (cm2)

6 100 10 106 1060

12 50

18

24

30

36

42

48

56

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que implican el cálculo sistemático o con fórmulas del perímetro o de las áreas de figuras geométricas planas, que en la cotidianidad son muy utilizados para calcular la superficie de terrenos o de figuras en construcciones, perímetro, entre otros.




Autoevaluación


Resolvamos 282

Cercos perimétricos*En un jardín comunal, se ha dispuesto un espacio para colocar juegos infantiles. El municipio dispone solo de 32 metros de cerca. Un diseñador ha presentado estas cuatro propuestas para el área infantil, que debe ser cercado con el material disponible.

Propuesta ¿Se puede cercar con 32 m del material disponible?

ABCD

1) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura D? Calcula este perímetro de dos maneras distintas.

2) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura A? ¿Es posible calcular su área? Explica.

3) ¿Cómo son los perímetros de las figuras A y D? ¿Qué características comunes tienen ambas figuras?

4) ¿Cuánto mide el perímetro de la figura C?

5) Se desea utilizar los 32 m del material disponible para cercar estas secciones. Escribe Sí o No para indicar si, para cada propuesta, se puede o no se puede construir el cerco con esa cantidad de material.

6) Reflexiona y responde, ¿qué concepto geométrico está relacionado con cercar esta figura?

7) Si se tuviera que pavimentar la sección infantil, ¿qué concepto geométrico utilizarías?

8) Según los datos expresados en las figuras, ¿en qué figura es posible conocer la medida de su superficie y cuál es esta?

La medición geométrica18

A B

DC

6 m

10 m 10 m

10 m10 m

6 m

6 m6 m

* Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 36.



El terreno divididoLos hermanos Mendívil heredaron un terreno cuadrangular. Hasta ahora solo dos de ellos siembran en dicho lugar. Santiago cultiva papas huayro en una extensión de 81 m2; mientras que Rolando siembra otro tipo de papa en 18 m2, como se muestra en el diagrama.

Ellos quieren saber el área de la herencia en total y cuál es su perímetro. ¿Puedes ayudar a calcularlos?

1) ¿Qué heredaron los hermanos?

2) ¿Qué forma tiene ese terreno?

3) ¿Qué forma tiene el terreno que siembra Santiago?

4) ¿Qué forma tiene el terreno que siembra Rolando?

5) ¿Qué significa x en el diagrama?

6) ¿Qué debes calcular para ayudar a los hermanos?

1) ¿Tienes las áreas de los terrenos de Santiago y Rolando?

2) ¿De qué manera puedes calcular los lados de los terrenos?

3) ¿Por cuál de los terrenos empezarás el cálculo? Explica.

1) ¿Cuál es el lado del terreno de Santiago?

2) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de Rolando?

3) ¿Cuál es el valor de x?

4) Utiliza una figura para representar la situación y coloca los datos que vas encontrando.

4) ¿Cuál es el área de la herencia?

5) ¿Cuál es el perímetro de la herencia?

1) ¿Cuál fue la estrategia que más te ayudó a resolver el problema?

2) ¿Cuál es el área de los otros terrenos?

81 m2

x

x

18 m

2


Resolvamos 284

Nadando bajo los reflectores

1) ¿Qué forma geométrica predomina en el problema?

2) Recuerda las fórmulas para hallar el perímetro y el área de la figura geométrica asociada al problema. Escríbelas.

3) El plano de instalación de los reflectores muestra una relación entre el largo y el ancho. ¿Cuál es?

1) Elabora un dibujo y expresa los datos que te dan en el problema.

L a Asociación de Padres de Familia del colegio decidió iluminar el recinto de prácticas de natación. Para este fin se decidió instalar, a modo de cerco rectangular, un reflector cada 3 m, lo cual implicaba utilizar 36 reflectores, incluyendo uno en cada esquina. Observa la ilustración, ahí puedes apreciar que el cerco tiene el doble de largo que de ancho. Cada reflector está representado por una bolita amarilla.

¿Cuál es el largo y el ancho del recinto a iluminar?, ¿cuál es el área de la región cercada?

1) ¿De qué trata la situación planteada?


4) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema? (Puedes marcar más de una opción).

a) Ensayo y error

b) Hacer una representación gráfica

c) Buscar regularidades

d) Expresar variables y datos

e) Hacer los cálculos

2) Comienza por lo más fácil, el perímetro. ¿Cuánto mide?

3) A partir del perímetro, completa: La suma del largo y del ancho es . El largo mide y el ancho es de .

4) ¿Cuál es el área de la región cercada?



2a

a



Comederos para aves

1) ¿Cuántas aves de 2 a 3 semanas de vida pueden comer en un comedero de 2 m de largo?

2) ¿Cuántas aves de 6 semanas de vida pueden comer en un comedero de 2 m de largo?

3) Manuel ha adquirido 200 pollos de una semana de edad. Él quiere diseñar un comedero de charola para sus animales. ¿Cuántos cm2 de material como mínimo y máximo debe comprar para poder hacer su comedero?

4) ¿Cuáles son las dimensiones para un comedero de pollos de razas livianas si tienen 17 semanas de vida?

5) El corral de Manuel tiene la forma mostrada en la figura. Calculen el área de este corral de cuatro maneras distintas.

6) Calculen la cantidad de metros lineales necesarios para cercar este corral. Háganlo de dos maneras distintas.

Edad (En semanas)

Pollos de engorde (espacio de comedero en cm por ave)

Aves de postura

Razas livianas Razas pesadas

0 – 1 Comederos de charola de 35 – 45 cm de diámetro y de 3 – 5 cm de altura, o bien las cajas donde vienen los pollitos, debidamente cortadas, usadas a razón de 1 para cada 100 aves.

2 – 3 2,5 cm/ave 2,5 cm/ave 2,5 cm/ave

4 – 6 5 cm/ave 5 cm/ave 5 cm/ave

7 – 11 7,5 cm/ave o 30 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves

6,7 cm/ave o 25 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves





10 cm/ave o 40 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves

21 – 80 Durante la

postura

10 a 12 cm/ave o 50 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves

12,5 a 15 cm/ave o 60 comederos colgantes de 42 cm de diámetro para mil aves

Nota: Para hacer los cálculos de espacio de comederos o de bebederos en centímetros lineales, se consideran ambos lados. Por un comedero de 150 cm tiene un total de 300 cm porque las aves comen en ambos lados. Considerar π = 3,14

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que implican el cálculo sistemático o con fórmulas tanto del perímetro como de las áreas de figuras geométricas planas. En la cotidianidad, estos conocimientos son muy utilizados para calcular superficies de figuras o de terrenos en construcciones, perímetros y aplicaciones.

2 m

3 m

6 m

2,5 m1,5

m

2,5

m

1 m




Debo mejorar.

Autoevaluación

Fuente: Navarro, C. Curso de Avicultura. Página 31.


Resolvamos 286

Bordando sueños

1) ¿Qué figura tiene forma de espiral?

2) ¿Qué figura geométrica reconoces en las curvas del logo de forma de espiral?

3) ¿Qué tipo de curvas forman el otro logo?

4) ¿Qué es necesario conocer si se quiere construir los diseños de las figuras?

5) ¿Qué fórmulas se van a necesitar? Escríbelas.

6) Completa. Los operarios desean hacer un bordado del logo de forma espiral que está formado por cinco semicircunferencias. Tomando en cuenta que D = 8a, las longitudes de las circunferencias serán:

En muchos logotipos que reconocemos en la vida cotidiana se usan expresiones circulares donde se reconocen el diámetro y, en otras, semicircunferencias. Mónica tiene un taller de bordado y ha recibido el pedido de hacer parches con el logo “caracol” y el símbolo del “yin y yang”. Su equipo de trabajo necesita reconocer las formas geométricas en los logos que deben elaborar, para lo cual solicitan tu apoyo. Figura 1 Figura 2

2a 2a

8a 10a

2aa

aN+

M

R

+X

7) ¿Cuál es la longitud de bordado necesario para el logo en forma de espiral?

8) Calcula la longitud del bordado de las partes del logo de la figura 2. Considerar D = 10a.

9) ¿Cuál es la longitud de alambre necesario para el otro logo?

10) Reflexiona y responde, ¿qué logo requiere más material?

Circulemos por los círculos19

1.a semicircunferencia







La limitada vida de FidoFido está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2 m. La cadena está unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto, cuyos lados miden 2 m y 4 m. La argolla de la barra puede desplazarse por toda la barra a ambos lados. Hallar la medida de la superficie máxima en que se desplaza Fido.

Nota: Considerar π = 3,14

1) ¿Cuál es el alcance máximo de la cadena a la que está atado Fido?

2) Señala, en el gráfico inicial, puntos donde puede estar fija la argolla de la cadena que sujeta a Fido.

3) ¿Qué forma tiene la barra?


1) Si Fido estuviera atado a una estaca, ¿qué forma tendría la región en la que podría desplazarse?

2) ¿Cómo podrías representar mejor tal situación?

1) En este espacio, dibuja a escala los desplazamientos máximos que puede hacer Fido.

3) Para el caso de Fido, ¿cómo podrías representar la situación planteada en el problema?

2) En la gráfica, descompón la figura elaborada en otras que sean conocidas y calcula su área. Ubica los valores hallados en la siguiente tabla.

3) ¿Cuál es la superficie máxima en la que se desplaza Fido?

Figura Operaciones para hallar el área

Área (m2)

1

2

3

4

5

6

Total

B

A x

1) ¿Qué estrategia te ayudó más a resolver este problema?

2) Si se mantiene constante la cadena y la barra tiene la forma y medidas indicadas (3 m x 3 m), ¿la superficie que alcanza Fido es mayor o menor que la anterior?, ¿por cuánto?

4 mA

B

2 m

2 m

x


Resolvamos 288

La jirafa hambrienta

1) ¿Qué concepto geométrico está asociado a la medida de lo que está disponible para la jirafa?

2) Este problema es parecido a otro. ¿Qué estrategia o procedimiento realizarías para resolver el problema?

3) ¿Consideras que descomponer la figura desconocida en otras más conocidas es una buena estrategia?

1) Haz un diagrama para representar la situación y descompón la figura en rectángulos y sectores circulares.

2) Coloca los datos en la siguiente tabla e indica el área de cada figura. ¿Cuál es el área de la superficie de hierba de la cual la jirafa puede comer?

Figura Fórmula del áreaOperaciones para hallar el

área

Área (m2)

1

2

3

4

5

6

Total

1) ¿Qué hace la jirafa?

2) ¿Qué forma y qué medidas tiene el terreno cercado?

3) En cada vértice, ¿qué figura describe la jirafa al comer las hierbas fuera del cerco?

4) ¿Qué debes averiguar?

Una jirafa se encuentra cautiva dentro de un terreno triangular cercado, como se muestra en la figura. Las medidas de los lados de ese lugar son 20 m, 16 m y 12 m.

Gracias a su largo cuello, la jirafa puede comer la hierba que está fuera del terreno cercado, exactamente hasta una distancia de 2 m alrededor de todo el cerco.

¿Cuál es el área en metros cuadrados del terreno que está fuera del cerco y del cual podría comer la jirafa?

1) ¿Cuál fue la estrategia que más te ayudó a resolver el problema?

20 m12 m

16 m



Guirnaldas circulares

1) Con tu equipo reflexionen y describan la secuencia de pasos utilizada para calcular el largo de una cadena de dos eslabones.

2) Hagan un dibujo de tres eslabones. ¿Identifican un método similar al anterior para calcular su largo?

3) Organicen los datos encontrados en una tabla.

N.° de eslabones Largo (cm)

1

2

3

4

4) ¿Observan algún patrón en esta tabla? Descríbanlo.

5) Generalicen el patrón de tal forma que les permita calcular el largo de la cadena cuando se conoce el número de eslabones.

6) ¿Cuántos metros medirá una cadena que tiene 100 eslabones?

7) Si para cubrir el patio del colegio se necesitan cadenas de 1,70 m, una para cada pared, ¿cuántas anillas se tendrán que utilizar?

Con tus compañeros, hagan el experimento con papel y formen una cadena de dos eslabones con las dimensiones indicadas en el texto. ¿Cuánto mide de largo esa cadena? Agréguenle un eslabón más. ¿Cuánto mide ahora el largo de esta cadena de tres eslabones?

Elaboren un diagrama análogo a la cadena, considerando las dimensiones rectangulares necesarias para hallar su largo.

Nota: Forma circular mayor = 5 cm Forma circular menor = 4 cm

Para recibir a una procesión en la IE Virgen del Carmen, los estudiantes están fabricando guirnaldas con papel crepé de colores. Primero cortan anillas circulares de 1 cm de espesor, luego son entrelazadas como se muestra para formar eslabones gigantes.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran el cálculo de la circunferencia de un círculo. Este conocimiento me sirve para resolver situaciones en las que hay que aplicar el concepto de perímetro de circunferencia y analizar casos en los que hay que trabajar con formas circulares.

4 cm

5 cm






Autoevaluación


Resolvamos 290

Se acerca la Navidad

7) Reflexiona y responde, ¿qué conocimientos geométricos has empleado para el desarrollo de los problemas?

8 ) El Sr. Pérez, al enterarse del costo, sugiere una alternativa para el adorno, como se muestra en la figura:

¿Esta alternativa es más económica que la anterior? ¿Por qué?

La familia Pérez va a celebrar por primera vez las fiestas de Navidad invitando a sus demás familiares. Ellos quieren que este año sea inolvidable. Por eso, han comprado 9 mesas circulares que van a colocar en todo el jardín para recibir a los invitados.

Cada mesa tiene un diámetro de 90 cm y alrededor de ella se sentarán 4 personas. La mesa tendrá, por lo tanto, 4 sillas distribuidas simétricamente. Una de las hijas decide adornar cada mesa con una cinta que cubra el borde superior, encima de los manteles. La cinta mide 2 cm de ancho.

¿Cuál es la longitud y el área total de la cinta para una mesa?


Reconociendo longitudes20

1) ¿Qué forma tiene la mesa?

2) Para que pueda comprar la cinta, ¿qué necesita calcular?

3) ¿Qué forma geométrica tiene la cinta que adornará las mesas?

4) ¿Cuánto de cinta en cm2 usará para el borde de una mesa?

5) ¿Qué longitud de cinta comprará en total para todos sus invitados?

6) En el bazar, venden la cinta requerida a S/.3 el metro. ¿Cuál es el costo total de adornar las mesas?



Un negocio creativo

1) Desarrolla la estrategia propuesta.

2) En la figura 1 (la más grande), ¿qué elementos tienes de ella y cuál es su longitud?

3) En la figura 2, ¿qué elementos tienes de ella?

4) ¿Qué necesitas conocer para calcular cuánto de material será necesario?

5) ¿Cuál es el perímetro de cada una de las formas? Utiliza para ello la estrategia que indicaste antes.

Figura 1: Figura 2:

6) ¿Cuánto de material será necesario?

7) ¿Cuánto debe invertir Carmen?

1) ¿Qué figuras geométricas reconoces en la figura ?

2) ¿Qué figuras son las que Carmen debería trabajar?

4) ¿Qué información se necesita conocer?

5) ¿Qué te pide averiguar el problema?


2) ¿Qué forma tiene el adorno?

3) ¿Qué dato explícito está en la figura?

Carmen fabrica móviles para diversas tiendas de artesanía. Ella quiere producir 450 móviles que tengan la forma mostrada. La altura de cada móvil es de 32 cm. Para hacerlo, utilizará alambre de aluminio N.° 14, cuyo costo por metro es de S/.32,50.

¿Cuánto dinero tiene que invertir en adquirir el alambre necesario para su elaboración?

Nota: Considerar π = 3,14Aproximar a centécimas el valor hallado.

3) ¿Qué datos tienes para poder calcular su longitud?

4) ¿Qué estrategia puedes utilizar para resolver el problema?

a) Hacer un dibujo. b) Elaborar una tabla. c) Hacer un diagrama de Venn.

2) ¿Consideras que el cuadrado de 256 cm2 de área es importante en la resolución del problema?

1) ¿Qué estrategia te sirvió más para poder calcular la cantidad necesaria de alambre?

1 2

256 cm2


Resolvamos 292

Presupuestando costos


2) ¿Cuántas piezas tiene que construir el carpintero?

3) ¿Qué forma tienen las piezas?

1) Realiza el gráfico de lo que imaginaste:

En total tenemos círculos.

2) Calcula el área de cada uno de ellos. Considera la medida del cuadrado.

3) ¿Cuál es el área total?

4) Cada metro cuadrado vale S/.8,45. ¿Cuánto gastará por todo?

1) ¿En qué momento has tenido dificultad para hallar la solución?

2) ¿Cómo reorientaste el problema para hallar la solución?

3) ¿Qué conceptos matemáticos has utilizado para resolver este problema?

4) ¿Crees que habría algún cambio significativo si la forma fuera cuadrada en vez de circular? Sustenta tu respuesta.

4) ¿Tienes alguna dimensión que te ayude a calcular cuánto de material necesitará?

5) ¿Qué quiere hacer el carpintero al final?

1) Imagina que cada una de las piezas pueden moverse, ¿cuál podría ser su ubicación dentro del cuadrado de 32 cm de lado o dentro de los otros de 16 cm de lado?

Un carpintero metálico tiene que fabricar 180 piezas como la que se muestra.

Si el metro cuadrado del material con el que se va a fabricar vale S/.8,45, ¿cuánto cobrará por todo?


16 cm 16 cm



Formas complejasUn vitral tiene la forma de la flor que se indica en la figura, donde la letra R representa a la región roja; la M, a la morada, y la V, a la verde.

Se desea decorar con alambre cada uno de los bordes del vitral, con el fin de cubrir así los bordes que queden entre cada una de las formas.

Cada sección está marcada en el patrón.


Con tus compañeros, resuelvan la incógnita y hallen la respuesta.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran el cálculo de la circunferencia de un círculo. Este conocimiento nos sirve para resolver situaciones en las que hay que aplicar el concepto de perímetro de circunferencia y analizar casos en los que hay que trabajar con formas circulares.

1) ¿Cómo son las circunferencias proyectadas en la sección roja y sección morada?

2) ¿Cuál es la relación entre la forma que proyecta la zona morada y la zona verde?

3) Para cubrir el borde de una sección roja, se necesitaron 31,4 cm de alambre.

Si trasladan uno a uno cada segmento circular, ¿qué figura formarán?

4) ¿Cuánto de alambre se necesitará para cubrir todas las secciones rojas?

5) Ahora, considerando la sección morada (M), ¿cuántos centímetros de alambre serán necesarios?

6) Para la sección verde, ¿cuántos centímetros de alambre serán necesarios?

7) En total, serán necesarios metros de alambre.

8) ¿Qué relación pueden encontrar entre la sección roja, morada y verde?

9) ¿Creen que sin haber analizado el caso paso a paso hubieran dado con la respuesta?

V

V

VM

M

MMR

R

R

R

V

B

B

BR

R

RRR

R

R

R

B



Autoevaluación


Resolvamos 294

Proyecto de construcción


2) ¿Qué forma tiene el pozo que se va a excavar?

3) ¿Cuáles son las dimensiones del pozo que se desea construir?

4) ¿Qué volumen de tierra remueve la excavadora por hora?

5) ¿Cuántos viajes por hora hace el camión?

6) ¿Cuál es el salario por hora del operario de la excavadora y del conductor del camión?

7) ¿Qué fórmulas relacionadas con ciertos elementos geométricos utilizarás?

8) Completa las tablas considerando las actividades referidas al pozo.

9) ¿Cuál es el salario del operario de la excavadora?

10) Reflexiona y responde. ¿Qué condiciones pueden afectar el pago del chofer? Explica.

11) ¿Cuál es el salario del chofer según el cuadro?

Pozo Contenedor

Volumen (m3)

Excavadora Camión

Rendimiento por hora (m3)

Costo del operario por

hora (S/.)

Número de horas

Pago total del operario (S/.)

La empresa “Tierra firme” ganó un proyecto de obra en el que se realizará la construcción de un pozo de forma cilíndrica. Al momento de elaborar los planos, han decidido que necesitan excavar 50 metros de profundidad con un diámetro de 2,7 m. La excavadora extrae 9 m3 por hora.

Una vez terminada la excavación, un camión, que puede hacer cuatro viajes por hora, se encarga de retirar la tierra en su contenedor de 500 cm x 250 cm x 150 cm. Por cada hora, el operario de la excavadora gana S/.60 y el chofer del camión, S/.30.

¿Cuánto se gasta en el salario del operario de la excavadora?


21 Mediciones adecuadas



A mayor consumo, mayor gasto

1) ¿Qué dato es importante considerar para resolver el problema?

3) ¿Crees que es útil un problema de este tipo? Justifica.

4) Revisa en tu casa el recibo de agua, compara la cantidad de m3 que consumes, así como el monto por cm3 consumido.

1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión?

2) ¿La estrategia utilizada te permitió resolver el problema?

3) ¿Cuánto de agua han consumido?

4) ¿Qué pide el problema?

1) ¿Qué quiere saber la familia Sotil?

2) ¿Cuáles son las unidades de medida que están involucradas en el caso?

Con el dato que has mencionado anteriormente, calcula cuánto de agua han consumido durante el mes de enero. Considera el siguiente esquema de conversión:

1) Plantea la conversión necesaria a realizar para el problema.

2) ¿Dentro de qué categoría estarán?

3) ¿Cuánto van a pagar por el consumo realizado?

Supongamos que se tiene un medidor de agua que expresa la cantidad consumida en m3 y dm3. La familia Sotil ha consumido 14 m3 y 21 dm3 de agua durante el mes de enero. La empresa de servico de agua potable y alcantarillado tiene una tarifa, según el consumo durante el mes, con los siguientes precios:

¿Cuánto tienen que pagar por el consumo realizado el mes de enero?

Tarifa S/. por m3

De 0 a 10 m3 0,94De 10 a 25 m3 1,091De 25 a 50 m3 2,414De 50 m3 a más 4,095

2) ¿Necesitas realizar alguna conversión? ¿Cuál es el esquema a seguir? Recuerda que deberías considerar conversiones de dm3 a m3 y viceversa.

1 metro cúbico (m3)

103 dm3 (dm3 = decímetro

cúbico)106 cm3

(cm3 = centímetro cúbico) 103 l

(l = litro)


Resolvamos 296

Propuesta de ahorroEn el distrito de Villa Eternidad, con una población de 15 200 habitantes (que aproximadamente representan 3800 familias), la postulante a alcaldesa ha propuesto lo siguiente para iniciar el plan de ahorro de agua.

Las dimensiones del cilindro son un radio de 2,5 cm y una altura de 23 cm. Por otro lado, durante un mes, se necesitan 5400 m3 de agua para regar los jardines.¿Resultará efectivo lo planificado por la postulante a la alcaldía?

1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Hacer una tabla. b) Buscar un patrón. c) Hacer un dibujo.

1) Explica con tus propias palabras en qué consiste el problema.

2) ¿Cuántos habitantes tiene Villa Eternidad y cuántas familias hay allí?

3) ¿Cuál es la propuesta de la alcaldesa?

4) ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro?

5) ¿Qué debe hacer cada poblador para ahorrar agua?

6) ¿Cuánto de agua, en total, quieren ahorrar en todo el distrito?


1) ¿Has tenido dificultades para llegar a la solución del problema?

2) De ser cierto lo anterior, ¿cómo has llegado a superar este inconveniente?

3) Si tú fueras el oponente de la alcaldesa, ¿qué le dirías a la población de Villa Eternidad con respecto a la propuesta presentada y qué volumen de cilindro ahorrador recomendarías?

1) ¿Cuánto de agua se ahorra utilizando el cilindro con arena?

2) Si se quiere ahorrar un total de 5400 m3 de agua, ¿cuántas veces será necesario jalar de la cadena?

3) Por estudios realizados, una familia jala la cadena, en promedio, 16 veces al día. Con ello, el ahorro diario de agua es:

4) ¿Es posible ejecutar esta propuesta en el tiempo planteado?

Si en cada una de las viviendas colocaran un cilindro pequeño con arena al interior del tanque del inodoro durante un mes, ahorraríamos el agua suficiente para regar los jardines durante ese tiempo.

4) ¿Sería correcta tu contrapropuesta?, ¿de qué depende para que sea la indicada?

Nota: π = 3,14

2,5 cm

23 cm



A más cilindros, más potencia

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal. En nuestra vida, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones.

1) Calculen el volumen de cada cilindro.

2) ¿Cuál es el volumen total en los cilindros?

3) El volumen está expresado en cm3; sin embargo, el motor indica 1,6 litros. ¿Cumple con esa característica?

Con tus compañeros, comprueben si lo que indican los datos, efectivamente, corresponden al volumen.

4) En otro caso, un modelo de automóvil tiene las siguientes características:

¿Su motor, de cuántos litros es?

5) Investiguen a qué se deben estas diferencias y si hay alguna ventaja o desventaja en poseer mayor cilindraje.

Número de cilindros 4 en líneaDistribución Por cadena, DOHC, 16 válvulasCilindrada 1998 cm3

La energía generada por el motor hace que las ruedas de un vehículo giren y, por ello, este se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna, donde el combustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión).

Es frecuente leer, en la parte trasera de los vehículos, datos como los siguientes: 1,3 litros; 1,6 litros; 2,0 litros; 4,0 litros; 16 litros, entre otros.

Los números se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros. Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual:




Autoevaluación

Componente Especificaciones técnicas

Motor 1,6 l

Cilindros 4 en línea

Válvulas 2 por cilindro

Diámetro de los cilindros 82,07 mm

Carrera 75,48 mm

Cilindrada 1597 cm3

Nota: Carrera = altura de un cilindro

Inyector de gasolina

Pistón

Cigüeñal

Toma de aire

Válvula de escape


ceiteA

Resolvamos 298

Ampliando la biblioteca

1) ¿Qué forma tiene la biblioteca según sus dimensiones?

2) ¿Cuál es su volumen antes de querer aumentar sus dimensiones?

3) Si el volumen que se desea aumentar es 60 m3, ¿en cuánto debe incrementarse la altura de la sala?

4) Reflexiona y responde, ¿cómo se calculó la longitud de la altura que se quiere aumentar?

5) Si permitieran ampliar la superficie del terreno y ya no quisieran que se aumente hacia el techo, sino alargar uno de los lados, ¿qué se podría hacer? Plantea una propuesta y luego preséntala en clase.

La biblioteca de la institución educativa tiene las dimensiones mostradas en la figura y no puede contar con más terreno.

La bibliotecaria ha informado que ya no es posible ingresar más estantes con libros, a menos que se reduzca el área de lectura. Ella ha señalado al director que se necesita ampliar la biblioteca en 60 m3.

Mediciones para convivir mejor22

Altura: 3 mAforo: 20 personas

Vistasuperior

Vistafrontal

¿Cómo podremos ampliar la

biblioteca?4 m

2 m

2 m

3 m

3 m

3 m



Ante una emergencia

4) ¿Cuál es la cantidad de agua que extrae la bomba?

5) ¿Qué pide el problema?


2) ¿Cuáles son las dimensiones de la casa de la familia Gálvez? ¿Qué forma tiene?

3) ¿A qué altura ha llegado el agua en la vivienda?

1) Completa los datos solicitados en la tabla y dibuja el gráfico que represente la vivienda de la familia Gálvez.

Dimensiones del terreno

Altura del agua

Volumen en litros

Razón de bombeo

Tiempo en horas

2) ¿Cuál es el volumen de agua que provocó la inundación?

3) ¿Es necesario convertir esta medida en otra?

4) La bomba saca 6 litros por minuto, ¿cuánto de agua sacará en 10 minutos?

5) ¿En 20 minutos?

6) ¿En cuánto tiempo sacará toda el agua?

El incremento del caudal del río Mantaro ha originado que varias casas se inunden. En promedio, el agua ha llegado hasta 60 cm de alto en el primer piso; pero en algunas casas, más pegadas a la orilla del río, la inundación ha sido mayor. Tal es la situación de la vivienda de la familia Gálvez, en cuyo caso la altura del agua ha llegado a 1,65 m. Los bomberos están ayudando a retirar el agua; para ello, utilizan una bomba que extrae 6 l/min. ¿Cuántas horas tardarán en extraerla?Las dimensiones del piso de la casa de la familia Gálvez son: 6 m x 3,5 m.

Nota: 1 litro equivale a 1000 cm3

1) ¿Cómo puedes reconocer la situación planteada en el problema?

2) La motobomba extrae 6 litros de agua por 1 minuto, ¿cómo puede ayudar este dato a resolver el problema?

2) ¿Qué hubiera sucedido si en vez de 1,65 m se hubiera inundado solo 0,6 m?, ¿en cuánto tiempo se hubiera retirado el agua?

1) ¿Qué estrategias te fueron útiles para resolver el problema?


Resolvamos 2100

Salud en veranoLa Municipalidad de Piura ha dado una ordenanza de salud pública, que garantizará tener el agua de las piscinas en óptimas condiciones. Por ello, se añaden 2 mg de cloro por 15 cm3 de agua cada 5 días.

El complejo deportivo “Daniel Carpio” tiene una piscina para adultos como la del gráfico.

¿Cuántos gramos de cloro se necesitarán para el mantenimiento de la piscina durante 60 días?

10 m 2 m25 m

5 m

1) Este problema es similar o parecido a otro desarrollado, ¿qué estrategia emplearás para resolverlo?

2) ¿Qué puedes hacer para calcular el volumen de agua de la piscina?

Procedimiento Resultado

Área de la base

Altura

Volumen total

1) Completa la siguiente tabla con los datos solicitados: 2) Si cada 5 días se añaden 2 mg de cloro al agua, ¿cuánto de cloro se habrá añadido para el volumen hallado en la piscina?

3) Si se está planificando el mantenimiento de la piscina para 60 días, ¿cuántas veces habrá que añadirle cloro?

4) ¿Cuánto de cloro será necesario para los 60 días?

1) Explica, con tus propias palabras, la estrategia utilizada para resolver el problema.

2) Si desean construir una piscina para niños, ¿qué modelo podrían utilizar? Indica, para ese caso, la cantidad de cloro que habrá de usarse.


2) ¿Qué datos te dan?

3) ¿Qué forma tiene la piscina?

4) ¿Cuáles son sus dimensiones?


3) La dosis de 2 mg por 15 cm3 cada 5 días se puede relacionar con el mantenimiento de la piscina durante 60 días, ¿con qué otro dato más se puede relacionar?

Cloro Volumen



Dándoles forma a los materiales

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades cúbicas en el sistema métrico decimal. En la vida cotidiana, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones.

En el taller de Educación para el Trabajo, el equipo de Luis debe fabricar una pieza mecánica cuyo diseño se muestra.

1) ¿Qué formas geométricas se observan en el diseño?

2) Escriban las fórmulas de volumen que van a aplicar.

3) Si dejan el volumen del hueco en forma de cilindro para el final, ¿qué partes tendría el diseño? Indiquen sus medidas en centímetros.

4) Calculen el volumen de las partes que anotaron en la pregunta anterior.

5) Calculen el volumen del hueco cilíndrico.

6) Utilicen los resultados de las preguntas 4 y 5, y calculen el volumen del objeto.

7) ¿De qué otro modo podrían calcular el volumen del objeto?

Con tus compañeros, ayuden al equipo de Luis, utilicen las medidas que se indican y calculen el volumen del objeto.




Debo mejorar.

Autoevaluación


2 cm

2 cm

8 cm

2 cm 2 cm

3 cm

2 cm2 cm

Resolvamos 2102

El mirioramaEl miriorama o paisaje infinito es un juego que surgió al principio del siglo XIX (los primeros ejemplos se elaboraron en Francia e Inglaterra) y en el que una serie de tarjetas pueden combinarse de diferentes maneras, encajando siempre para formar distintos paisajes.

Fuente: Piezas originales elaboradas por Jean-Pierre Brès, ca. 1802. http://mengambrea.org/miriorama/bres.html

1) Imagina que te regalan un miriorama con solo tres partes: A, B y C. Haz una lista de los paisajes posibles.

2) ¿Cuántos diferentes paisajes se pueden formar con este miriorama?

3) ¿Y si el miriorama tuviera cuatro partes? Para saberlo, haz la lista de todos los paisajes que se pueden formar.

4) ¿Cuántos diferentes paisajes se pueden formar?

5) Reflexiona y responde, ¿puedes hacer uso del diagrama de árbol para resolver los problemas anteriores? Experimenta en tu cuaderno.

6) Organiza tu información mediante un diagrama de árbol y responde, ¿cuántos paisajes diferentes se podrán formar con un miriorama de cuatro partes?

7) Organiza estos números en un cuadro como se muestra.

8) ¿Reconoces algún patrón en la lista de la columna “Número de paisajes”?

9) Generaliza tu patrón y calcula cuántos paisajes diferentes se obtienen con un miriorama de 6 partes.

Partes Números de paisajes

2 2

3

4

¿De cuántas formas?23

N.° Paisajes posibles

1

2

3

4

5

6



Placas sospechosas

1) ¿Cuántos símbolos tenía la placa?

2) ¿Cómo se distribuyen estos símbolos?

1) Completa la expresión:

Hay que saber cuántas placas se pueden formar con símbolos, si los primeros son vocales y los 4 últimos son

2) ¿Cómo podría reconocer todas las posibles situaciones respecto al problema?

1) El cuadro muestra los espacios a llenar para la placa sospechosa, completa en él las posibles situaciones.

2) ¿De cuántas formas diferentes se puede llenar la primera casilla?

3) ¿Y la segunda?

Vocal Vocal Número Número Número Número

1) ¿Qué estrategia es la que más te ayudó a resolver el problema?

2) ¿Crees que organizar los datos en casillas te fue útil?, ¿por qué?

3) Si el testigo hubiese dicho que ningún dígito se repite, ¿cuántas placas sospechosas debería investigar la policía?

Un testigo de un asalto informó a la policía que el auto utilizado por los ladrones para la fuga tenía una placa de seis símbolos: los dos primeros eran vocales y los cuatro últimos eran dígitos mayores que cuatro.

¿Cuántos autos deberá investigar la policía?

3) Da tres ejemplos de la placa del auto a investigar.

4) ¿Qué es lo que te piden?

3) ¿Qué principio de conteo se puede utilizar?

a) El principio de la suma.

b) El principio de la multiplicación.

c) Una combinación de ambos.

4) ¿De cuántas diferentes maneras se pueden llenar la primera y la segunda casilla? Explica.

5) ¿De cuántas formas se puede llenar la tercera casilla?

6) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden llenar la primera, segunda y tercera casillas?

7) ¿Cuántas formas distintas existen de llenar las seis casillas?


Resolvamos 2104

Andrés y Betty, juntos para siempre

1) ¿En qué forma se ubican los asientos?

2) ¿Cuántas personas forman el grupo?

1) Estando todos los asientos sin ocupar, ¿cuántas posibilidades tienen Andrés y Betty de ocupar pares de asientos contiguos? Completa en el cuadro las posibilidades para hallar la respuesta.

2) Elegidos los dos asientos, ¿de cuántas maneras los pueden ocupar Andrés y Betty?


2) ¿Qué principio de conteo utilizaste?

1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?

a) Hacer una lista. b) Buscar regularidades. c) Calcular directamente.

Andrés, Betty, Ciro, Diana, Eduardo y Felicia tienen reservados seis lugares consecutivos en la fila de un teatro. El primer asiento se encuentra junto al pasillo.

¿De cuántas formas pueden acomodarse, de modo que Andrés y Betty ocupen lugares vecinos?

2) ¿Qué acción sugieres realizar primero?

3) ¿Qué otra acción propones realizar después?

3) ¿Cuántos asientos disponibles quedan para Ciro, Diana, Eduardo y Felicia?

4) Si el esquema representa las posibilidades, ¿de cuántas formas pueden acomodarse los jóvenes de acuerdo con la condición del problema?

3) ¿Cuántas de ellas deben ocupar lugares vecinos?


3) Considera esta variante y resuélvela. ¿De cuántas formas pueden sentarse si los hombres y las mujeres deben ocupar posiciones alternadas y en el asiento junto al pasillo debe sentarse un hombre?

1 2 3 4 5 6

Pasi

llo

Asiento 1 Asiento 2 Asiento 3 Asiento 4 Asiento 5 Asiento 6



1) Busquen con tus compañeros un problema más sencillo. ¿Qué es lo que se puede reducir aquí?

2) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer dos personas?

Hagan un diagrama mostrando los casos.

3) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer tres personas?

Hagan un diagrama mostrando los casos posibles.

Una comida gratisDiez jóvenes (cinco hombres y cinco mujeres) decidieron celebrar la culminación de sus exámenes de semestre comiendo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa redonda. Unos propusieron que la ubicación fuera por orden alfabético o con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes, por la estatura, etc.La discusión se prolongaba y nadie se sentaba a la mesa. Entonces Joel, el dueño del restaurante, les dijo: – Señores, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme.Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. Joel continuó:– Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vuelven para

comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo y se sientan en orden distinto, y así, sucesivamente, hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles.

Cuando llegue el día en que tengan ustedes que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente que, en lo sucesivo, les invitaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.

La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos posibles de ubicación alrededor de la mesa, con el fin de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Estimen después de cuántos días Joel empezará a darles la comida gratis.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.

4) ¿De cuántas maneras pueden sentarse a comer cuatro personas?

5) Llenen la tabla con los datos encontrados.

6) Escriban una fórmula para hallar el número de formas en que n personas pueden sentarse a una mesa redonda.

7) ¿De cuántas maneras se sentarán 10 personas a la mesa?

8) ¿Después de cuántos años, entonces, los jóvenes del problema podrán disfrutar una comida gratis?

9) ¿Es posible la propuesta del dueño del restaurante?

Número de personas Formas de sentarse






Autoevaluación


Resolvamos 2106

Conteo de rutas

Juega, aprendey combina

Gonzalo, comerciante de abarrotes, siempre viaja entre las ciudades A, B y C, empleando diversos medios de transporte. Según el plano mostrado, de A a B puede ir a pie o en bicicleta, y una vez que llega a B, tiene 3 maneras de continuar a la ciudad C: en moto, en auto o a caballo.

Vamos por partes:

1) Si Gonzalo elige ir a pie de la ciudad A a la ciudad B, ¿de cuántas maneras podrá continuar hasta la ciudad C?

2) Si de A a B elige ir en bicicleta, ¿de cuántas maneras podrá continuar hasta C?

3) Representa, por medio de un diagrama de árbol, las opciones que tiene Gonzalo para trasladarse. Observa que la primera bifurcación corresponde a las opciones que tiene para ir de A a B. Completa el diagrama indicando el medio de transporte que puede emplear para ir por las otras bifurcaciones.

4) Determina el número de maneras en que podrá realizar el viaje de A a C pasando por B.

5) Reflexiona sobre los resultados. Si de A a B hay dos maneras y de B a C hay 3, ¿qué operación te da el total de maneras? Comprueba.

6) Aplica el principio multiplicativo a esta situación: ¿de cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones diferentes y 2 pares de calzado también diferentes?

7) Regresa al problema original, el de viajar por las ciudades A, B y C y resuelve este caso: ¿de cuántas maneras podrá ir Gonzalo de A a C, pasando por B y luego regresar de C a A pasando por B?

24



Alineaciones estratégicas

1) ¿De quiénes te hablan en el problema?

2) ¿Cuántas posiciones hay dentro del equipo?

3) ¿Cómo es la alineación que el director técnico deberá considerar?

1) Dibuja la alineación que propone el director técnico.

2) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los mediocampistas?

1) Describe la estrategia empleada para resolver el problema.


a) Hacer una tabla. b) Buscar un patrón. c) Hacer un dibujo.

El equipo de fútbol “La Resistencia” tiene tres arqueros, siete defensas, cinco mediocampistas y siete delanteros.

El equipo siempre juega bajo el sistema uno, cuatro, tres, tres (arquero, defensas, mediocampistas, delanteros). Cada jugador solo puede jugar en su posición.

¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el director técnico de dicho equipo si no cambia a los jugadores de sus líneas habituales?

4) ¿Cuántos jugadores necesita para cada posición?

5) ¿Un mediocampista podrá jugar como delantero?

6) ¿Será necesario conocer otros datos?


3) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los delanteros?

4) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los arqueros?

5) ¿De cuántas formas distintas podrán ir los defensas?

6) ¿Para conocer el total de alineaciones, basta con sumar todas las cantidades resultantes anteriormente?

7) ¿De cuántas formas el director técnico podrá alinear a sus jugadores para todas las fechas del partido?

2) ¿En otros problemas, se puede aplicar la estrategia que has reconocido? Plantea el problema con un ejemplo.


Resolvamos 2108

Manteniendo seguros nuestros celularesPara la seguridad del teléfono celular, se han diseñado claves de acceso de 4 dígitos.

Recientemente, una empresa internacional está innovando la seguridad de sus teléfonos y permite que la clave pueda incluir los números del 0 al 9, además de las letras a, b, c, d y e.

Con esta nueva idea de seguridad, ¿cuál es el número de códigos diferentes que podemos poner en el celular?

1) ¿Sobre qué trata el problema?

2) ¿Cuántos números hábiles se tiene para generar una clave?

3) ¿Con cuántos números se forma la clave?

1) ¿De cuántas formas puedes elegir los 4 dígitos originalmente?


2) Para cada uno de los casos (convencional y propuesta innovadora), ¿la estrategia es la misma?

1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? Puedes marcar más de una alternativa.

a) Hacer un diagrama de árbol. b) Buscar un patrón. c) Hacer un dibujo.

2) ¿Qué principio de conteo es útil para resolver el problema?

a) Permutaciones con repetición. b) Combinatoria. c) Permutaciones.

3) Menciona 4 posibles claves que se pueden formar originalmente.

4) ¿Según la referida propuesta innovadora, cuántos elementos entre números y letras dispones para formar la clave?


4) Menciona 4 posibles claves que se pueden formar en la propuesta innovadora.

5) ¿En la propuesta innovadora, es posible elegir las mismas claves por las que se podía optar originalmente?

6) ¿Puedes elegir el mismo número o letra más de 1 vez en la clave?

2) ¿De cuántas formas puedes elegir entre las letras y números en la propuesta innovadora?

3) Mientras más posibilidades hay de tener una clave, menor es el riesgo que se tenga para que alguien la descubra. Si quieres tener 1 000 000 de posibilidades para crear una clave, ¿de cuántos dígitos debería estar conformada?



Eligiendo al nuevo comité estudiantil

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.

Tenemos a seis estudiantes de esta sección, digamos A, B, C, D, E, F, para conformar un comité estudiantil cuyos cargos son presidente, secretario y tesorero. Se trata de elegir a los candidatos, según algunas condiciones, y determinar de cuántas maneras es posible realizar la elección.

1) ¿Cuántos cargos se van a cubrir?

2) ¿Cuántos son los candidatos?

3) ¿Un candidato puede ocupar dos cargos?

4) ¿Cuántos comités pueden conformarse? Completen el siguiente diagrama que les facilitará hallar la respuesta.

Primer cargo: maneras. Segundo cargo: maneras. Tercer cargo: maneras. Pueden conformarse comités.

5) ¿Qué principio aplicaron?

6) Si A y B solo se postulan para presidente, ¿cuántos comités pueden conformarse?


7) A y B no postulan como presidentes y tampoco para ser secretarios y tesoreros, ¿cuántos comités pueden conformarse?


8) ¿Qué principio(s) aplicaron en la pregunta anterior?

9) Del número de comisiones conformadas según la pregunta 4, ¿cuántas tienen a A en algún puesto?

10) ¿Qué estrategia aplicaron en la pregunta anterior?

Con tus compañeros, resuelvan las interrogantes que a continuación se exponen.

Presidente

Presidente

Secretario

Secretario

Tesorero

Tesorero

Presidente Secretario Tesorero



Autoevaluación

Z_01_128 Libro2 Cuaderno.indd 109 9/14/12 10:43 AM

Resolvamos 2110

Turismo guiado por la ciudad maravillosaUna compañía de turismo y aventura ofrece un tour por la ciudad del Cusco, que contempla la visita a cinco lugares de interés de la ciudad y sus alrededores: la Catedral, el Koricancha, el mercado de artesanos y los sitios arqueológicos de Tambomachay y Sacsayhuaman. El turista puede elegir en qué orden visitar estos lugares, ¿de cuántas maneras podrá organizar el recorrido?

Catedral CKoricanchaMercadoTambomachaySacsayhuaman

1) ¿Cuántos lugares se van a visitar?

2) ¿En qué orden se visitarán?

3) Para indicar de modo abreviado los lugares, usaremos la letra inicial de cada lugar. Completa la relación:

4) ¿De cuántas maneras puede elegirse el primero de los lugares a ser visitado?

5) Una vez escogido el primer lugar que será visitado, ¿cuántos lugares quedan para ser escogidos como segundo destino?

6) De modo similar, ya escogidos los dos primeros lugares, ¿de cuántas maneras se puede escoger los siguientes? Completa.

El tercer lugar: El cuarto lugar: El quinto lugar:

7) Recuerda el principio multiplicativo: “Si una actividad se realiza por etapas y la primera puede hacerse de m maneras, la segunda de n maneras, y así, sucesivamente, hasta que la última se puede hacer de k maneras, la actividad completa se puede realizar de m × n × p × … × k maneras”. Aplica el principio al problema: ¿de cuántas maneras podrá el turista organizar el recorrido?

8) Escribe algunas propuestas del orden en el que el turista puede visitar los cinco lugares.

9) Si el turista decide empezar por la Catedral, ¿de cuántas maneras podrá organizar su recorrido?

Escribe algún recorrido que puede seguir. Ejemplo: C

10) Reflexiona y responde. Considera la operación factorial n! que se define como el producto de los naturales consecutivos desde 1 hasta n. ¿Cuáles de las interrogantes antes desarrolladas se pueden responder con la expresión factorial? ¿Cuáles serían las respuestas para esas preguntas?

11) Si la misma empresa ofrece otro paquete turístico a Chachapoyas, esta vez para 7 lugares, ¿de cuántas maneras se puede organizar la visita?

(1 y 2) http://www.municusco.gob.pe/web/contenido.php?id_item=48

(3) http://www.ptsperu.com/galeria-fotos2.php?pag=7

(4) http://www.hoycuscoperu.com/tambomachay/

(5) http://municusco.gob.pe/gerencias/plan%20maestro/images/visita_virtual/saqsaywaman.gif

El conteo matemático no usa dedos25

(1) Catedral

(4) Tambomachay (5) Sacsayhuaman

(2) Koricancha

(3) Mercado artesanal



Por este puente solo pasa uno


2) ¿Cuáles son los datos del problema?

1) Aplica el principio multiplicativo para determinar de cuántos modos pueden cruzar el puente.

2) Si cada ordenamiento posible es una permutación, ¿cuántas permutaciones son?

1) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a este caso?

2) ¿Se debe hacer una lista completa de los ordenamientos para saber cuántos son?

3) ¿Qué tipo de operación se realiza?

1) ¿Qué estrategias podrías utilizar?

2) Si los representas por sus iniciales, escribe algunas listas que indiquen cómo cruzan del primero al último excursionista.

3) ¿Qué te solicita la situación problemática?

3) ¿Qué denominación tienen los ordenamientos posibles que has escrito?

4) ¿En qué orden deben hacerlo?

3) ¿En cuántos de los ordenamientos Diana cruza inmediatamente después de Juan?

4) Si decidieran cruzar primero los varones y luego las damas, ¿de cuántas formas podrían cruzar?

5) Si decidieran cruzar primero un varón seguido de una dama y así, sucesivamente, ¿de cuántas formas podrían cruzar?

En lugares alejados del país, los pobladores construyen puentes artesanales de totora que permiten cruzar los ríos. Estas ingeniosas construcciones se denominan puentes colgantes y, por lo general, dada su estrechez, hay que cruzarlos en fila de uno.

Ocurre que llegan a uno de estos puentes los excursionistas: Andrés, Diana, Juan, María, Pedro y Tomás. Ellos deciden atravesarlo, pero nadie se anima a ser el primero. a) ¿De cuántas maneras pueden cruzar el puente?b) ¿En cuántas de ellas Diana cruzará inmediatamente después de Juan?


Resolvamos 2112

Organizándonos sí podemos

1) Escribe las fórmulas para permutaciones y combinaciones.

2) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, sin definir los cargos?

3) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, si se nombra un presidente, un secretario y un vocal?

1) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a cada situación?

2) ¿Era previsible que los resultados fuesen distintos?

3) ¿En qué caso el resultado fue mayor? ¿Por qué?

4) Si uno de los 15 estudiantes es Juan y tiene condiciones de líder, ¿de cuántas maneras se podrá formar la comisión con Juan de presidente y los otros dos miembros de vicepresidentes?


2) ¿Quiénes pueden ser elegidos?

3) ¿En qué orden deben hacerlo?



2) ¿Cuál de las dos incógnitas a resolver implica considerar combinaciones? ¿Por qué?

3) Si en la comisión se asignan cargos, ¿qué denominación tienen los ordenamientos posibles?

Quince estudiantes de 2.° grado son elegibles para integrar una comisión de tres miembros, con la finalidad de organizar una actividad sobre el calentamiento global.

a) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión?b) ¿De cuántas maneras se puede formar la comisión, si se nombra un presidente, un secretario y un vocal?



Las tres primeras eran obligatorias

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas que involucran permutaciones, variaciones y combinaciones. Estas son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos.

1) ¿Cuántas preguntas tenía el examen de Matemática?

2) ¿Se debían contestar todas las preguntas?

3) ¿Cuáles eran las preguntas obligatorias?

4) ¿Cuántas preguntas eran obligatorias y cuántas podían ser elegidas? Planteen una nomenclatura para identificar cada pregunta.

5) ¿De cuántas maneras pudo elegir Pablo las preguntas que debía contestar?

6) Representen con n el número de preguntas elegibles y con r a las preguntas que de ahí se deben contestar y completen:

n =

r =

Es época de exámenes y ya se han rendido varios. Pablo, estudiante del 2.° grado, recuerda en especial el de Matemática, pues según las instrucciones había que contestar 8 de 10 preguntas y las tres primeras eran de carácter obligatorio.

Pablo desea conocer, ¿de cuántas maneras podría haber elegido las preguntas que debía contestar?

7) ¿Qué tipo de ordenamiento corresponde a este caso?

8) Calculen nPr o nCr, según su respuesta anterior.

9) ¿Es el resultado de la pregunta anterior la respuesta al problema?, ¿por qué?

10) Cambiemos algunas especificaciones:

Que el examen tenga 12 preguntas. Hay que responder 8, pero las 4 últimas son obligatorias. Para este nuevo caso, determinen n y r. Utilicen la experiencia ganada.

n =

r =

11) Dados los cambios en la pregunta anterior, ¿de cuántas maneras podría elegir Pablo las preguntas a contestar?

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y resuelvan la incógnita de Pablo:




Autoevaluación


Resolvamos 2114

Entrevistando a las familias

1) ¿Cuántas familias fueron entrevistadas?

2) ¿Cuántos hijos tienen como máximo?

3) ¿Cuántos hijos tienen como mínimo?

4) Completa la oración:

Es bien sabido que en estadística la moda es el valor que

5) ¿Cuál es el valor de la moda en este caso?

6) Registra la información en la siguiente tabla y responde, ¿cuál es la mediana de los datos?

Número de hijos Frecuencia Acumulado0123456

Se ha realizado una encuesta sobre la cantidad de hijos que tienen algunas familias en el distrito de Caramarca.

Los resultados han sido organizados en la siguiente tabla:

N.° de hijos 0 1 2 3 4 5 6N.° de familias 131 127 57 61 12 9 3

7) ¿Qué puedes interpretar con ese dato?

8) Completa la tabla y responde, ¿cuál es el promedio de los datos presentados?

9) Reflexiona y responde, ¿qué se entiende en los datos por promedio?

10) ¿Qué datos de número de familias deben aumentar o disminuir en la tabla, de forma que el promedio y la mediana tengan el mismo valor?

Número de hijos Frecuencia Producto

0

1

2

3

4

5

6

Promedio

Datos en tablas para calcular26



1) Explica, con tus propias palabras, lo que pide el problema.

2) ¿A qué magnitudes hace referencia?

3) ¿Cuál es el tamaño de Javier?

1) ¿Qué te indica el promedio de las estaturas con respecto a la de Javier?

1) Compara la estatura promedio de cada una de las ciudades con las de Javier y César.

2) ¿Cuáles son las diferencias?

3) Completa el siguiente cuadro y responde, ¿quién es más alto realmente?

Buena Esperanza Santa Teresa

Diferencia

Promedio

(Diferencia promedio)*100

Estatura Buena Esperanza Santa Teresa

Promedio

Javier

César

Diferencia

1) ¿Qué estrategia utilizaste para resolver el problema?

2) ¿Fue necesario realizar una división para hacer la comparación?

3) Comprueba si lo obtenido responde al problema.

Javier y César son dos compañeros de aula. Ellos quieren saber quién es realmente el más alto en el lugar donde viven. Javier mide 1,75 m y vive en la ciudad de Buena Esperanza, donde la estatura promedio es de 1,60 m.Su mejor amigo César, quien mide 1,80 m, vive en la ciudad de Santa Teresa, donde la estatura promedio es de 1,70 m.¿Cuál de las dos personas es más alta con respecto a sus vecinos?

¿Soy el más alto en mi ciudad?

4) ¿Cuál es el tamaño de César?

5) ¿Cuáles son los promedios de estatura entre sus vecinos?

6) ¿Es posible determinar quién es más alto?

4) ¿Crees que si tanto Javier como César se compararan en relación con un tercer amigo (que mide 1,74), la diferencia de estaturas sería la misma?

5) ¿Cómo crees que es tu estatura con respecto a la de tus compañeros de aula?

2) ¿Qué te indica el promedio de las estaturas con relación a la de César?


Resolvamos 2116

1) ¿Qué estrategia seguirías para resolver el problema?

a) Realizar un gráfico. b) Elaborar una tabla. c) Listar uno a uno los datos presentados.

1) ¿De quiénes te habla el problema?

2) ¿A qué hace referencia el problema?

3) ¿Cuál es la situación de cada jugador antes del partido?

Andrés PabloPromedio aritméticoMedianaModa

1) En la siguiente tabla registra la información solicitada, referida a los puntajes anotados por cada jugador.

2) ¿Es necesario comparar cada uno de los resultados?

3) ¿Cuál es la cantidad de puntos que tiene cada jugador?

1) ¿Cuál fue la estrategia que utilizaste para resolver el problema?

2) ¿Te fue sencillo dar con la respuesta? Explica brevemente.

Números para ganarEstos son los puntos anotados por dos jugadores de básquet en los seis últimos partidos.

El equipo está jugando un partido decisivo y ambos jugadores se encuentran en la banca. Si fueras el entrenador, ¿a cuál de ellos elegirías para que ingrese a jugar?

PartidosJugadores 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°

Andrés 10 12 11 13 11 9Pablo 2 14 7 22 4 17

4) ¿En qué se basaría el entrenador para elegir a uno de ellos para el juego?

5) ¿Qué dato te pide el problema?

4) Calcula el promedio de puntos de ambos jugadores.

5) ¿Qué tipo de promedio ayuda al entrenador a decidir qué jugador pondrá en el juego?

6) ¿Qué conclusiones puedes sacar de ello?

3) ¿De qué te sirve calcular y comparar los promedios de cantidades diferentes?

4) ¿Quién crees que debe mejorar la cantidad de sus puntos anotados?



Los goles de la Copa del Mundo

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de promedios aritméticos, mediana y moda. Estas medidas se aplican para reconocer perfiles de grupos conformados por lectores, consumidores, amas de casa, entre otros.

Los 64 goles anotados en un campeonato de la Copa del Mundo se distribuyeron como se muestra a continuación:

Cuando Juan, el mejor futbolista del colegio, les pregunta a sus compañeras ¿cuál es la mediana de estos datos?, tres de ellas responden así:Amalia: La mediana es 4 porque es el quinto valor de los 9 dados.Patricia: La mediana es 2,9 porque la suma de todos los goles anotados es 186, dividido entre 64 partidos.Vanesa: La mediana es 3 porque los dos datos centrales son 3.

Juan está confundido, ¿quién tiene la razón y por qué?

N.° de goles anotados 0 1 2 3 4 5 6 7 8N.° de partidos 3 12 11 18 10 6 1 2 1

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades para ayudar a Juan a resolver la incógnita:

1) Recuerden el concepto de mediana y escríbanlo.

2) ¿Tiene razón Amalia? ¿Por qué?

3) ¿Tiene razón Patricia? ¿Por qué?

4) ¿Tiene razón Vanesa? ¿Qué plantea?

5) Calculen los dos datos centrales.

6) ¿Quién tenía la razón? ¿Por qué?

7) ¿Qué clase de medida es la mediana?




Debo mejorar.

Autoevaluación


Resolvamos 2118

El diseñador de juegos

1) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara o sello?

2) ¿Cómo son las tres regiones de la ruleta?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que salga uno de los tres colores? Completa el cuadro.

4) En la figura se reconoce el desarrollo del dado de cuatro lados. ¿Cómo se llama a este sólido? Coloca los números del 1 al 4 en el desarrollo. ¿Cómo son las regiones en el dado?

5) ¿Cuál es la probabilidad de que salga uno de los cuatro números?

6) Reflexiona y responde. ¿Por qué se dice que este es un juego de azar?

7) El juego tiene dos etapas y se realizan una a continuación de la otra. En el siguiente diagrama de árbol escribe los eventos y sus probabilidades:

P (azul) P (rojo) P (amarillo)

En una feria de un pequeño pueblo de Áncash, un famoso tombolero de la zona ha presentado a los pobladores el siguiente juego:

Primero, se hace girar una ruleta en la que pueden aparecer los colores verde, rojo y amarillo con la misma probabilidad.

• Si sale verde, lanzas un dado de cuatro caras.• Si sale rojo, lanzas una moneda.• Si sale amarillo, el juego termina.

El juego termina.

P= sale 1

P= sale 2

P= sale 3

P= sale 4

P= sale cara

P= sale sello

Ruleta

p = amarillo

EVENTOS PROBABILIDADES

p = verde: lanza dado

p = rojo: lanza moneda

El azar en sociedad27



Gana con rulebol*En una tómbola de barrio, se presentó el rulebol, un juego en dos etapas. Primero, se hace girar una ruleta; luego, si se detiene en un número par, se le permite al jugador sacar al azar una bolita de la bolsa. Cuando la que se toma es una bolita negra, se gana un premio. La ruleta y la bolsa con bolitas se muestran aquí.

Olivia juega una vez. ¿Qué probabilidad tiene ella de ganar un premio?

3) ¿Qué se realiza en segundo lugar?

4) ¿Cuándo se gana un premio?


1) ¿Qué se está jugando? ¿De qué dependen las salidas del juego?

2) ¿Qué se realiza primero?

1) ¿Qué estrategia fue la que más te ayudó a resolver este problema?

1) Haz el diagrama y completa en él las respuestas a las preguntas siguientes.

2) ¿Cuántos números hay en la ruleta?

1) Completa según corresponda:

a) La ruleta puede detenerse en un número o en un número

b) De la bolsa se puede extraer una bolita o una bolita

2) Mediante qué diagrama puedes organizar la información anterior. a) Diagrama lineal. b) Diagrama de árbol. c) Diagrama de barras.

2) ¿Qué tipo de probabilidad ocurre en este juego?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que en la ruleta salga un número par?

4) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa?

5) ¿Cuántas bolas son negras?

6) ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola negra?

7) ¿Cuál es la probabilidad de que Olivia gane un premio?

* Instituto Nacional de Evaluación y Calidad del Sistema Educativo (INECSE). PISA 2003: Pruebas de Matemáticas y de Solución de problemas. Página 45.


Resolvamos 2120

1) Completa la siguiente tabla con la información solicitada:

2) Según la tabla, ¿cuántos llegaron, en total, en cuatro, tres, dos y un fin de semana?

El que espera desesperaLa empresa de buses Sulca tiene salidas a Chimbote solo los fines de semana. Después de realizar un estudio respecto del flujo de viajeros en el último año, se ha podido estimar la probabilidad de tener una determinada cantidad de pasajeros los fines de semana.

Mediante esta tabla, la empresa planea tener operativos los buses en cantidad suficiente para atender a los pasajeros. En los fines de semana, ¿cuál es el número de pasajeros con el que debería contar la empresa?

1) En la tabla, la probabilidad de 0,4 significa que de cada fines de semana han llegado 300 pasajeros.

2) De diez posibles, ¿en cuántos fines de semana llegaron 200 pasajeros?, ¿y 100?, ¿y 50?

3) ¿Puedes hallar el promedio por semana del número de pasajeros que llega a la empresa?

1) ¿Cuándo tiene salidas la empresa Sulca?

2) ¿Cuál es la probabilidad de que un fin de semana lleguen 300 pasajeros?

3) ¿Cuál es la probabilidad de que un fin de semana lleguen 100 pasajeros?


N.° de pasajeros Probabilidad300 0,4200 0,3100 0,250 0,1

3) ¿Cuántos pasajeros llegaron, en total, en los diez fines de semana?

4) ¿Cuántos pasajeros llegaron, en promedio, por semana?

5) ¿Crees que ese número es una buena predicción de lo que la empresa debe esperar cada fin de semana?

6) ¿Cuál es la cantidad de pasajeros que se espera tener en un fin de semana?

Número de fines de semana

Pasajeros por cada fin de semana

Total número de pasajeros

1) ¿Cuál es la estrategia que te fue más útil para resolver el problema?

2) Si el número de pasajeros esperados es 250, ¿significa que todos los fines de semana llegará esa cantidad de pasajeros? Explica.

4

3

2

1

10



Jugando con dados

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Esto es importante, ya que permite calcular la probabilidad de un suceso determinado, sea de nivel cotidiano, comercial, entre otros, donde los casos que se van a analizar sean posibles.

Para realizar un experimento sobre sucesos probabilísticos, podemos emplear dados.

El resultado se determina cuando los dados dejan de rodar y se suman los puntos que indican sus caras superiores.

Si se lanzan dos dados, determinen con sus compañeros la probabilidad de que la suma sea:

a) igual a 1. b) igual a 4. c) menor que 13.

(1,1) (1,2) (1,3) (1, ) (1, ) (1, )(2,1) ( ,2) ( ,3) (2,4) (2, ) (2, )(3,1) (3,2) (3,3) (3, ) (3, ) (3, )(4,1) (4,2) (4, ) (4,4) (4, ) (4, )(5,1) (5, ) (5,3) (5,4) (5,5) (5, )(6,1) (6,2) ( ,3) (6, ) (6, ) (6, )

1) Conviene analizar primero el espacio muestral, es decir, el conjunto de resultados posibles. Por cada valor que aparezca en uno de los dados, en el otro pueden aparecer seis. Completen la lista:

2) ¿Cuántos resultados o pares ordenados forman el espacio muestral?

3) ¿En cuáles de esos resultados la suma es 1?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 1?

5) ¿En cuántos de los resultados la suma es 4?

6) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?

7) ¿En cuántos de los resultados la suma es menor que 13?

8) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 13?

9) ¿Cuántas sumas distintas pueden obtenerse con dos dados? ¿Cuáles son?

10) Reflexionando sobre lo que han realizado, ¿es posible calcular probabilidades para otras sumas? Indiquen algunas sumas con sus respectivas probabilidades.

11) De todas las sumas posibles, ¿cuál es la que tiene mayor probabilidad?

12) En un juego con dos dados de predicción de sumas, ¿a qué suma les convendría apostar? ¿Por qué?






Autoevaluación


Resolvamos 2122

Recorrido al azar


2) ¿Dónde se inicia el recorrido?

3) ¿Dónde termina el recorrido?

4) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “T”?

5) ¿Observas alguna simetría en los recorridos?

6) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “S”?

7) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “V”?, ¿y a “R”?

¿Cuál es la probabilidad de que al partir de P se llegue a Q?

8) ¿De cuántas maneras se puede llegar a “Q”?

9) ¿Cuál es el total de recorridos posibles?

10) ¿Qué fórmula se aplica?

11) ¿Cuál es la probabilidad de llegar a “Q”?

12) ¿Cuáles son los puntos con menor probabilidad? ¿Por qué?

13) ¿Cuál es el punto con mayor probabilidad?

14) ¿Cuáles son las probabilidades para cada punto? ¿Cuánto suman? Explica.

Un agricultor diseña las rutas de los canales de regadío para sus parcelas, de modo que solamente se permitan movimientos descendentes del agua por estos y para que, en cada intersección de los canales, se elija un camino al azar y se cierre otro que lleve el agua a los reservorios T, V, Q y S. El siguiente esquema expresa este diseño:

¿Es o no probable?28


P


Leyendo el periódicoEn un distrito, el 30 % de los habitantes lee el periódico X; el 20 % , el periódico Y, y el 7 %, ambos periódicos.

Los encuestadores pasan por las calles del distrito a preguntar cuál es el diario que leen más a menudo, ¿qué probabilidad hay de que, escogiendo alguien al azar, lea solo un periódico?

3) ¿En qué forma están representados estos datos?


1) ¿Cuál es el dato que se ha analizado en la encuesta?

2) ¿Cuántos periódicos leen en el distrito?

2) ¿Es relevante calcular probabilidades en sucesos de este tipo? ¿Cuál sería tu propuesta de mejora?

1) Plantea una pregunta con tres alternativas y encuesta a tus compañeros, luego saca las probabilidades de cada uno de los eventos analizados.

2) El dato que se pide sobre la probabilidad de que, al escoger a una persona al azar, esta lea solo un periódico, ¿qué significa?

3) ¿Cuántos leen los periódicos X e Y?

4) ¿Cuánto es la probabilidad solicitada?

1) Elabora la estrategia elegida en el paso anterior e incorpora la información indicada en el problema.

1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Elaborar un organizador. b) Hacer un cuadro de doble entrada. c) Hacer un diagrama de Venn.


Resolvamos 2124

Dados mágicosDos personas juegan a obtener la puntuación más alta, lanzando cada una sus dados A y B. El dado A tiene cuatro caras con un 6 y las otras dos con un 10.

El dado B tiene una cara con la puntuación 3, cuatro caras con la puntuación 6 y la cara restante con un 12. Cada jugador lanza su dado y gana quien tenga la puntuación más alta.

¿Cuál es la probabilidad de ganar de cada jugador y la probabilidad de empatar?

1) ¿Qué estrategia te sirve para resolver este problema? a) Realizar un gráfico. b) Buscar un patrón. c) Hacer un diagrama de árbol.

1) ¿Cuáles son las características del dado A?

2) ¿Cuáles son las características del dado B?


3) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador que lanza el dado A?

4) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador que lanza el dado B?

5) ¿Cuál es la probabilidad de que empaten?

6) ¿Las probabilidades son las mismas?, ¿qué podemos concluir de los resultados?

1) ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar los dados A y B?

2) Para saber quién ganará, si las dos personas lanzan los dados a la vez, se deberá multiplicar las probabilidades de cada dado.Completa la siguiente tabla para resolver el problema.

Puntuación Posibilidad Resultado probable del eventoDado A Dado B Dado A Dado B

( , ) = x = ;( , ) = x = ;( , ) = x = ;( , ) = x = ;( , ) = x = ;( , ) = x = ;

1) Experimenta con unos cubitos, colócales puntos a cada uno de los dados y calcula la probabilidad de obtener cada resultado al lanzarlos.

2) Luego, en grupos de 4 integrantes, analiza cada caso (procura que sean diferentes) y anota tus conclusiones.

3) ¿Es relevante calcular probabilidades en eventos de este tipo? Explica brevemente.



Competencia de dardosCon motivo del aniversario de la institución educativa, se ha celebrado un campeonato de dardos.

Tras varias eliminaciones, han quedado Ana, Bernardo, Camila y Juan como finalistas.En la siguiente tabla, se observan las partidas que han jugado y los ganadores de ellas.

¿Qué aprendí?En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto se aplica para estudiar situaciones de incertidumbre. Ayuda a tomar decisiones razonadas y a planificar de manera objetiva.

1) Según los datos anotados, ¿qué probabilidad hay de que Juan gane el campeonato?

2) Elaboren un diagrama de árbol para el caso de que Juan gane o pierda en las partidas con cada oponente.

3) Para cada caso, las probabilidades de ganar de Juan son:

Ganar a Ana:

Ganar a Bernardo:

Ganar a Camila:

4) Entonces, la probabilidad de que Juan gane el campeonato es:

5) ¿De cuántas formas pueden hallar la respuesta?

La final se jugará bajo la modalidad “todos contra todos”. Cada victoria otorgará 1 punto al ganador y 0 puntos al perdedor.Al finalizar la liga, ganará el concursante con mayor puntuación.

Con tus compañeros, realicen las siguientes actividades y descubran sus posibilidades de ganar:

Juan contra:

Ana contra:Bernardo contra:Partidas jugadas Partidas ganadas por Ana

Bernardo 27 16

Camila 29 13

Partidas jugadas Partidas ganadas por Bernardo

Camila 32 9

Partidas jugadas Partidas ganadas por Juan

Ana 36 22

Bernardo 44 35

Camila 31 12



Autoevaluación


Resolvamos 2126

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