yneylem ders notlar

END331 YNEYLEM ARATIRMASI I DERS NOTLARI

Do. Dr. Y. lker Topcu

Teekkr: Prof. W.L. Winston'n "Operations Research: Applications and Algorithms" kitab ile Prof. J.E. Beasley's YA ders notlarnn bu ders notlarnn oluturulmasna olan katklar yznden her iki profesre de teekkr ederiz.... Rastlayabileceiniz tm hatalarn sorumluluu bize aittir. Ltfen bizi bu hatalardan haberdar ediniz! stanbul Teknik Universitesi OR/MS takm

www.isl.itu.edu.tr/ya

Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net)

NDEKLER 1. YNEYLEM ARATIRMASINA GR............................................................... 1 1.1 1.2 1.3 2. 3. TERMNOLOJ ......................................................................................................... 1 YA YNTEMBLM................................................................................................. 1 YA'NIN TARHES ................................................................................................ 3

TEMEL YA KAVRAMLARI ................................................................................. 5 DORUSAL PROGRAMLAMA .......................................................................... 9 3.1 DPNN FORMLASYONU.................................................................................. 11 Giapetto rnei.............................................................................................. 11 Reklam rnei ............................................................................................... 12 Beslenme rnei ........................................................................................... 13 Postane rnei .............................................................................................. 14 Sailco rnei.................................................................................................. 15 Mteri Hizmet Dzeyi rnei..................................................................... 16 DP zmleri: Drt Durum .......................................................................... 17 Grafik zm ................................................................................................. 17 Simpleks Algoritmas..................................................................................... 23 Byk M Yntemi........................................................................................... 29 Primal Dual.................................................................................................. 32 Bir DPnin Dualini Bulma .............................................................................. 32 Dual Teoremi.................................................................................................. 33 Ekonomik Yorum ........................................................................................... 34 ndirgenmi Maliyet ....................................................................................... 36 Glge Fiyat ..................................................................................................... 36 Kavramsallatrma......................................................................................... 36 Duyarllk iin Lindo ktsnn Kullanlmas .............................................. 37 Baz nemli denklemler ................................................................................ 39 Simpleks Kullanarak Duyarllk.................................................................... 39 Grafik zm Kullanarak Duyarllk............................................................ 41 Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net) i 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7

DPNN ZM.................................................................................................. 17

DUALTE ................................................................................................................. 32

DUYARLILIK ANALZ .......................................................................................... 36

3.4.8 3.4.9 3.5 3.6 3.7 4. 4.1

Dualite ve Duyarllk ...................................................................................... 42 %100 Kural .................................................................................................... 42

DUAL SMPLEKS YNTEM............................................................................... 43 DZELTLM SMPLEKS YNTEM ............................................................... 44 TMLER GEVEKLK TEOREM....................................................................... 51 ULATIRMA SORUNLARININ FORMLASYONU......................................... 53 Dengeli Ulatrma Sorununun Formulasyonu ........................................... 54 Dengesiz bir Ulatrma Sorununun Dengelenmesi .................................. 55 Kuzeybat Ke Yntemi .............................................................................. 57 Enkk Maliyet Yntemi ............................................................................. 58 Vogel'in Yaklam ......................................................................................... 60

ULATIRMA SORUNLARI ............................................................................... 53 4.1.1 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.4 4.5

TEMEL OLURLU ZMN BULUNMASI ..................................................... 56

ULATIRMA SMPLEKS..................................................................................... 61 GEC KONAKLAMA SORUNLARI.................................................................. 64 ATAMA SORUNLARI............................................................................................ 67 DP Gsterimi .................................................................................................. 67 Macar Yntemi ............................................................................................... 67

4.5.1 4.5.2


ii

1. YNEYLEM ARATIRMASINA GR 1.1 TERMNOLOJ "Yneylem Aratrmas" (YA), ngiliz ve Avrupallar tarafndan "Operational Research" ve Amerikallar tarafndan "Operations Research" olarak isimlendirilir ve "OR" olarak ksaltlr. Bu alanda kullanlan bir dier terim de "Ynetim Bilimi"dir (Management Science) ve uluslararas literatrde MS olarak ksaltlr. ki terim birletirilerek "OR/MS" veya "ORMS" de denilir. YA genelde bir "Sorun zme" (problem solving) ve "Karar Verme Bilimi" (decision science) olarak da deerlendirilir. Baz kaynaklarda YA yerine Endstri Mhendislii (Industrial Engineering - IE) kavram da kullanlr. Son yllarda bu alan iin tek bir terim kullanlmaya allmaktadr: OR. Biz de derste bu alan iin Yneylem Aratrmasnn Trke ksaltmas olan YA'y kullanacaz. Yneylem Aratrmas (Ynetim Bilimi) genellikle kt kaynaklarn tahsis edilmesi gereken durumlarda en iyi ekilde bir sistemi tasarlamaya ve iletmeye ynelik karar verme srecine bilimsel bir yaklamdr. Belirli bir hedefi gerekletirmek iin birlikte alan birbirine bal bileenlerin oluturduu dzen sistemdir. 1.2 YA YNTEMBLM Bir sorunun zm iin YA kullanld zaman aadaki yedi admlk sre takip edilmelidir. Adm 1. Sorunun Formlasyonu YA analisti (sorunu olan karar vericiye YA teknikleri ile yardmc olan kii) ilk olarak sorunu tanmlar. Sorunun tanmlanmas; amalarn ve sorunu oluturan sistemin bileenlerinin belirlenmesi ile olur.


1

Adm 2. Sistemin ncelenmesi Daha sonra analist sorunu etkileyen parametrelerin deerlerini belirlemek iin veri toplar. Sz konusu deerler sorunu temsil edecek bir matematiksel modelin gelitirilmesi (Adm 3) ve deerlendirilmesi (Adm 4) iin kullanlr. Adm 3. Sorunun Matematiksel Modelinin Kurulmas Analist tarafndan sorunu ideal bir ekilde temsil edecek bir matematiksel model gelitirilir. Bu derste modelleme iin eitli yntemler reneceiz. Adm 4. Modelin Dorulanmas nc admda kurulan modelin gerei iyi yanstp yanstmad snanr. u anki durum iin modelin ne kadar geerli olduu belirlenerek modelin geree ne kadar uyduu test edilir. Adm 5. Uygun bir Seenein Seilmesi Eldeki model zerinde bir zm yntemi kullanlarak amalar en iyi karlayan bir seenek (varsa) analist tarafndan seilir. Bazen eldeki seeneklerin kullanm iin snrlandrmalar ve kstlamalar olabilir. Bu yzden amac karlayan seenek bulunamayabilir. Baz durumlarda ise amalar en iyi ekilde karlayan birden fazla sayda seenek bulunabilir. Adm 6. Sonularn Karar Vericiye Sunumu Bu admda, analist modeli ve model zm sonucunda ortaya kan nerileri karar verici ya da vericilere sunar. Seenek says birden fazla ise karar verici(ler) gereksinimlerine gre birini seerler. Sonularn sunumundan sonra, karar verici(ler) neriyi onaylamayabilir. Bunun nedeni uralan sorunun doru tanmlanmamas ya da modelin kurulmasnda karar vericinin yeterince srece karmamas olabilir. Bu durumda analist ilk adma yeniden dnmelidir. Adm 7. nerinin Uygulanmas ve zlenmesi Eer karar verici sunulan neriden memnun kalrsa, analistin son grevi karar vericinin neriyi uygulamasna yardmc olmaktr: Seenein kullanlarak sorunun zmne nezaret etmeli ve zellikle evre koullar deitike amalar karlamaya ynelik dinamik gncellemeler yaparak uygulamay izlemelidir.


2

1.3 YA'NIN TARHES YA greceli olarak yeni bir bilim daldr. 1930'lu yllarn sonunda YA ilk olarak Birleik Krallk'ta kullanld. 1936 ylnn banda ngiliz Hava Bakanl; dou kysnda, Felixstowe yaknlarnda, Suffolk'da Bawdsey Aratrma stasyonu'nu kurdu. Sz konusu yer hava kuvvetleri sava ncesi radar almalarnn yapld merkezdi. Yine 1936 ylnda Kraliyet Hava Kuvvetleri (RAF) iinde Britanya hava savunmas iin zel bir birlik oluturuldu. Radarn kullanlmaya balamas beraberinde baz sorunlar da getirdi: Uaklarn rotas ve kontrolu gibi elde edilen bilginin doru ve etkin bir ekilde kullanlmas gibi. 1936 ylnn sonunda, Kent'deki Biggin Hill'de kurulan bir grup elde edilen radar bilgisi ile dier uak ile ilgili yer bilgilerinin btnletirilmesini hedefleyen almalar yapt. Sz konusu almalar YA'nn balangc olarak kabul edilebilir. 1937 ylnda Bawdsey Aratrma stasyonu deneysel almalar pratie evirdi ve Radar stasyonu olarak almaya balad. Radardan elde edilen bilgiler btnletirilerek genel hava savunma ve kontrol sistemi oluturuldu. Temmuz 1938'de ky boyunca drt yeni radar istasyonu daha kuruldu. Bu durumda da farkl istasyonlardan elde edilen ve genelde birbirleri ile elien bilginin dorulanmas ve egdm sorunu ortaya kt. Sorunun zm iin ve yaplan ilerin etkinliinin llmesi amacyla Bawdsey Aratrma stasyonu'nda A.P. Rowe bakanlnda bir bilimsel grup oluturuldu. Sz konusu askeri operasyonlarn aratrlmas (Research into Military Operations) ilemine "Operational Research" denildi. Genileyen alma grubu, 1939 yaznda, Stanmore Aratrma stasyonu'nu merkez olarak kullanmaya balad. Sava srasnda Stanmore Aratrma Merkezi, Fransa'daki Alman glerine kar istenen ek uak kuvvetlerinin uygun olup olmadn YA teknikleri kullanarak deerlendirdi ve uygun olmadn gsteren grafiklerle o zamanki babakan Winston Churchill'e bir sunum yapt ve sonuta blgeye ek kuvvet gnderilmeyerek hava kuvvetlerinin gcnn azalmas engellendi. 1941 ylnda Yneylem Aratrmas Blm (Operational Research Section - ORS) kuruldu ve sava bitimine kadar sz konusu grup almalar yapt. 1941 ylnda kurulan Blackett nderliindeki bu gruba yedi ayr bilim dalndan onbir bilim adam katlmt: fizyolog, bir fiziki, iki matematiki, bir astrofiziki, iki fizik matematikisi, bir subay, bir mhendis. Savatan sonra YA almalar zellikle ABD'de askeriye dndaki alanlarda da hzland Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net) 3

Trkiye'de ise ilk YA almalar, 1 Haziran 1956'da, Alb. Fuat Ulu'un abalar ile Genel Kurmay'da oluturulan yedek subaylardan oluan Harekat Aratrmas grubu ile balad. Seferberlik ve hava savunma konularnda yurtdndan alnan destek ile aratrmalar yapld. lkemizde ilk YA dersi de T Makine Fakltesinde 1960-61 ders ylnda Prof. Dr. lhami Karayaln tarafndan verildi. 1966 ylnda Harekat Aratrmas ismi Yneylem Aratrmas olarak deitirildi.


4

2. TEMEL YA KAVRAMLARI YA, gerek hayat sistemlerinin matematiksel modellerle temsil edilmesi ve en iyi (optimum) zm bulmak iin kurulan modellere saysal yntemler (algoritmalar) uygulanmasdr. Bir eniyileme (optimizasyon) modeli verilen kstlar salayan karar deikenlerinin tm deerleri arasnda ama fonksiyonunu eniyileyen (enbykleyen veya enkkleyen) deerleri bulmay hedefler rnek Two Mines irketi zel bir cevher kard iki adet maden ocana sahiptir. Ocaklarda retilen cevher snfa ayrlr: yksek, orta, dk kaliteli. irket bir fabrikaya haftalk olarak 12 ton yksek, 8 ton orta ve 24 ton dk kaliteli cevher salamak zere anlamtr. Sz konusu iki maden oca (X ve Y) ayrntlar aada verilen farkl iletim zelliklerine sahiptir. Maden X Y Maliyet ('000 / gn) 180 160 Yksek 6 1 retim (ton/gn) Orta 3 1 Dk 4 6

Anlamay gerekletirmek iin haftasonu retim yaplmayan maden ocaklar haftada ka gn iletilmelidir? Tahmin Two Mines rneini incelemek iin ok basit bir ekilde yargmz kullanarak madenlerin haftada ka gn alacana ynelik olarak fikir yrterek tahmin yapabiliriz.

haftada bir gn X madenini, bir gn Y madenini iletme cevher retilecek bu durumda da 12 tonluk mteri gereksinimi

Bu zm nerisi iyi bir sonu vermeyecek gibi gzkmektedir. Sadece 7 ton yksek kaliteli denilir. Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net) 5 karlanamayacaktr. Byle bir zme "olurlu (uygun) olmayan" (infeasible) zm

haftada 4 gn X madenini, 3 gn Y madenini iletme

Bu durumda tm mteri gereksinimleri karlanabilmektedir. Byle bir zme de "olurlu" (feasible) zm denilir. Fakat sz konusu zm nerisi ok pahaldr. Anlamay en kk maliyetle salayacak zm isteriz. Tahmin ederek yeni zmler bulsak bile bulduumuz zmn en kk maliyetli olup olmadn bilemeyiz. Yapsal bir yaklam ile en iyi zm bulabiliriz. zm Yapmamz gereken Two Mines rneini szel olarak ifade edip, sz konusu ifadeyi matematiksel bir tanma evirmektir. Bu tipte sorunlar zmeye urarken ncelikle aadaki kavramlar belirlemeliyiz:

deikenler (variables) kstlar (constraints) ama.(objective)

Bu belirleme srecine "formlasyon" ya da daha resmi bir ekilde sorunun matematiksel modelinin formlasyonu denilir. Deikenler Bunlar verilmesi gereken kararlar veya bilinmeyenleri temsil eder. ncelenen sorunda iki adet karar deikeni (decision variable) vardr: x = Bir haftada X maden ocann iletilecei gn says y = Bir haftada Y maden ocann iletilecei gn says Doal olarak x >= 0 ve y >= 0 olacaktr Kstlar Kst, soruna zg durumlarn getirdii snrlamalardr. Kst belirlemenin en iyi yolu nce snrlayc durumlar szel olarak ifade edip daha sonra deikenleri kullanp matematiksel biimde yazmaktr: Cevher retim ksd retilen cevher ile mteri gereksiniminin dengelenmesi Cevher eitleri Yksek Orta Dk 6x + 1y >= 12 3x + 1y >= 8 4x + 6y >= 24


6

Kstlarda eitlik yerine eitsizlik kullanldna dikkat ediniz. Bu durumda gereksinim duyulandan daha fazla cevher retebiliriz. Eitsizlik kullanma "en iyileme" (optimization) sorunlarndaki kstlarda esneklik salar. Haftalk gn ksd - Haftada belirli bir gnden fazla allamaz. rnein haftada 5 gn allrsa x = 8 4x + 6y >= 24 x kstsa, sol taraftan bir fazlalk (excess) deiken ei karlr. 3. Tm > veya = kstlarn sol tarafna bir yapay deiken ai eklenir. Ayn zamanda yapay deikenler iin iaret snrlamas (ai > 0) da eklenir. 4. M ok byk bir say olsun. Eer DP enkkleme sorunu ise, ama fonksiyonuna (her yapay deiken iin) Mai eklenir. Eer DP enbykleme sorunu ise, ama fonksiyonuna (her yapay deiken iin) -Mai eklenir. 5. Her yapay deiken balang temel zmnde olaca iin ama fonksiyonundan (0. satr) elenmelidir (katsaylar sfr olacak ekilde dzenleme yaplmaldr). Daha sonra simpleks algoritmasnn admlar kullanlarak (M'nin byk bir say olduu unutulmadan!) zme gidilir. Yukardaki 5 admla dzenlenen yeni DP'nin en iyi zmnde tm yapay deikenler 0'a eit karsa, esas sorunun en iyi zm bulunmutur. Eer yeni DP'nin en iyi zmnde en az bir yapay deiken pozitif bir deer alrsa, esas sorun zmszdr (infeasible)!!!


29

rnek 1. Oranj Meyve Suyu (Winston 4.10., s. 164) Bevco irketi, portakal gazozu ile portakal suyunu kartrarak Oranj ismiyle portakall meyve sular retmektedir. Portakal gazozunun bir onsunda 0.5 oz. eker ve 1 mg C vitamini vardr. Portakal suyunun bir onsunda ise 0.25 oz. eker ve 3 mg C vitamini vardr. Bevco bir oz. portakal gazozu retmek iin 2, bir oz. portakal suyu retmek iin ise 3 harcamaktadr. irketin pazarlama blm Oranj' 10 oz.luk ielerde satmak istemektedir. Bevco'nun her bir iede en az 20 mg C vitamini bulunmasn ve en ok 4 oz. eker olmas artn en az maliyetle karlamasn salaynz. DP Modeli x1 ve x2 bir ie Oranj'da bulunmas gereken portakal gazozu ve portakal suyu miktar olsun. DP modeli aadaki gibi kurulur. min z = 2 x1 + 3 x2 0.5 x1+ 0.25 x2 < 4 x1+ x1+ x1,x2 > 0 Byk M yntemi ile zm Adm 1. Tm kstlarn ST deerleri negatif olmayacak ekilde kstlar yeniden dzenleyiniz Tm kstlarn ST deeri pozitiftir Adm 2. Tm kstlar standart biime eviriniz z 2 x1 x1+ x1+ 3 x2 = 0 = 4 - e2 = 20 = 10 3 x2 x2 0.5 x1+ 0.25 x2 + s1 3 x2 > 20 x2 = 10 (eker ksd) (C vit. ksd) (10 ozluk ie ksd)

tm deikenler > 0 Adm 3. > veya = kstlara ai yapay deikenini ekleyiniz z 2 x1 x1+ x1+ 3 x2 3 x2 x2 - e2 + a2 + a3 = 0 = 4 = 20 = 10 R0 R1 R2 R3 0.5 x1+ 0.25 x2 + s1

tm deikenler > 0 Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net) 30

Adm 4. Ama fonksiyonuna Mai ekleyiniz (min. sorunu iin) min z = 2 x1 + 3 x2 + M a2 + M a3 Sfrnc satr (R0) aadaki gibi olacaktr: z 2 x1 3 x2 M a2 M a3 = 0 Adm 5. Yapay deikenleri R0'dan eleyecek ekilde yeni R0 oluturunuz Yeni R0 = R0 + M R2 + M R3 z + (2M2) x1 + (4M3) x2 M e2 Balang tablosu: z 1 0 0 0 x1 2M-2 0.5 1 1 x2 4M-3 0.25 3 1 s1 0 1 0 0 e2 -M 0 -1 0 a2 0 0 1 0 a3 0 0 0 1 ST 30M 4 20 10 TD z=30M s1=4 a2=20 a3=10 16 20/3* 10 Oran = 30M Yeni R0

Enkkleme sorununda, sfrnc satr katsays "en pozitif" olan deiken giren deikendir! lk tablo: z 1 0 0 0 En iyi tablo: z 1 0 0 0 Rapor: Bir ie Oranj'da, 5 oz. portakal gazozu ve 5 oz. portakal suyu olmaldr. Bu durumda toplam maliyet 25 olacaktr. x1 0 0 0 1 x2 0 0 1 0 s1 0 1 0 0 e2 -1/2 -1/8 -1/2 1/2 a2 (1-2M)/2 1/8 1/2 -1/2 a3 (3-2M)/2 -5/8 -1/2 3/2 ST 25 1/4 5 5 TD z=25 s1=1/4 x2=5 x1=5 x1 (2M-3)/3 5/12 1/3 2/3 x2 0 0 1 0 s1 0 1 0 0 e2 (M-3)/3 1/12 -1/3 1/3 a2 (3-4M)/3 -1/12 1/3 -1/3 a3 0 0 0 1 ST 20+3.3M 7/3 20/3 10/3 TD z s1 x2 a3 28/5 20 5* Oran


31

3.3 DUALTE 3.3.1 Primal Dual Herhangi bir DP ile ilikisi olan bir dier DP dual (eters) olarak isimlendirilir. Dual bilgisi ekonomik ve duyarllk analizi ile ilgili ilgin aklamalar salar. Duali alnan DP primal olarak isimlendirilir. Primal model enbykleme sorunu ise dual enkkleme sorunu olur. Bu kuraln tam tersi de dorudur. 3.3.2 Bir DPnin Dualini Bulma Normal enbykleme sorununun duali normal enkkleme sorunudur. Normal enbykleme sorunu tm deikenlerin 0 veya 0dan byk olduu ve tm kstlarn olduu bir sorundur. Normal enbykleme sorunu tm deikenlerin 0 veya 0dan byk olduu ve tm kstlarn olduu bir sorundur. Benzer ekilde, normal enkkleme sorununun duali de normal enbykleme sorunudur. Normal Enbykleme Sorununun Dualini Bulma PRMAL maks z = yle ki c1x1+ c2x2 ++ cnxn a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn bm xj 0 (j = 1, 2, ,n) DUAL min w = yle ki b1y1+ b2y2 ++ bmym a11y1 + a21y2 + + am1ym c1 a12y1 + a22y2 + + am2ym c2 a1ny1 + a2ny2 + + amnym cn yi 0 (i = 1, 2, ,m)


32

Normal Enkkleme Sorununun Dualini Bulma PRMAL min w = yle ki b1y1+ b2y2 ++ bmym a11y1 + a21y2 + + am1ym c1 a12y1 + a22y2 + + am2ym c2 a1ny1 + a2ny2 + + amnym cn yi 0 (i = 1, 2, ,m) DUAL maks z = yle ki c1x1+ c2x2 ++ cnxn a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn bm xj 0 (j = 1, 2, ,n) Normal Olmayan Enbykleme Sorununun Dualini Bulma Eer i. primal kst > kstsa, ilgili dual deiken yi < 0 eklinde olmaldr. Eer i. primal kst eitlikse, ilgili dual deiken yi "iareti snrlandrlmam" (unrestricted in sign - urs) deikendir. Eer i. primal deiken urs ise, i. dual kst eitliktir.

Normal Olmayan Enkkleme Sorununun Dualini Bulma Eer i. primal kst < kstsa, ilgili dual deiken xi < 0 eklinde olmaldr Eer i. primal kst eitlikse, ilgili dual deiken xi "iareti snrlandrlmam" (urs) deikendir. Eer i. primal deiken urs ise, i. dual kst eitliktir

3.3.3 Dual Teoremi Primal ve dualin en iyi ama fonksiyon deerleri eittir (eer sorunlar iin en iyi zm varsa).


33

Zayf dualiteye gre; dual iin herhangi bir olurlu zmn w-deeri en fazla primal iin herhangi bir olurlu zmn z-deeri kadar olabilir olarak kullanlabilir. Primal snrl deilse (unbounded) dual olurlu deildir (infeasible) Dual snrl deilse primal olurlu deildir. Primal enbykleme sorunu ise en iyi tablonun sfrnc satrndan en iyi dual zm nasl okunur? yi dual deikeninin en iyi deeri = en iyi R0da sinin katsays = en iyi R0da einin katsays = en iyi R0da ainin katsays M dual zm nasl okunur? xi dual deikeninin en iyi deeri = en iyi R0da sinin katsays = en iyi R0da einin katsays = en iyi R0da ainin katsays + M 3.3.4 Ekonomik Yorum Primal normal enbykleme sorunu olduunda, dual deikenler karar vericiye salanabilecek kaynaklarn deeri ile ilgili olur. Bu yzden dual deikenlerden ou kez kaynak glge fiyatlar olarak sz edilir. rnek PRMAL x1, x2, x3 retilen sra, masa ve sandalye saysn gstersin. Haftalk kar $z iken DP modeli: maks z = 60x1+30x2+20x3 8x1+ 6x2+ x3 48 8 (Tahta kst) (Montaj kst) (Marangozluk kst) 4x1+ 2x2+1.5x3 20 2x1+1.5x2+0.5x3 x1,x2,x3 0 (kst i ise) (kst i ise) (kst i = ise) (kst i ise) (kst i ise) (kst i = ise) z w. Dual iin herhangi bir olurlu zm primal ama fonksiyon deeri iin snr

Primal enbykleme sorunu ise en iyi tablonun sfrnc satrndan en iyi


34

DUAL Farzedelim ki bir giriimci Dakota'nn tm kaynaklarn (hammadde) satn almak istiyor. Dual sorunda y1, y2, y3 srasyla bir m2 tahta, bir ssat montaj iilii ve bir saat marangozluk iin denmesi gereken creti gsterir. $w de kaynak satn alma toplam maliyetini gsterir. Kaynak cretleri Dakota'y sata tevik edecek kadar yksek; giriimciyi vazgeirmeyecek kadar az olmaldr. Bu durumda da toplam satn alma maliyeti toplam kar kadar olur. min w = 48y1+ 20y2+ 8y3 8y1 + 6y1 + 4y2 + 2y3 60 (Sra kst) 2y2 + 1.5y3 30 (Masa kst)

y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 (Sandalye kst) y1,y2,y3 0


35

3.4 DUYARLILIK ANALZ 3.4.1 ndirgenmi Maliyet Herhangi bir temel d deikenin indirgenmi maliyeti (reduced cost), deikenin temel deiken olmas (DP'nin en iyi zmne girmesi) iin ama fonksiyon katsaysnda yaplacak iyiletirme miktardr. Eer bir xk temel d deikeninin ama fonksiyon katsays indirgenmi maliyet kadar iyiletirilirse, DP'nin bir tek en iyi zm olmaz: alternatif zmler vardr. xk, sz konusu zmlerden en az birinde temel deiken; en az birinde ise temel d deiken konumundadr. Eer xk temel d deikeninin ama fonksiyon katsays indirgenmi maliyetten daha fazla iyiletirilirse, yeni DP'nin tek bir en iyi zmne ulalr ve bu zmde xk temel deiken olur (xk>0). Temel deikenin indirgenmi maliyeti sfrdr (tanma baknz)! 3.4.2 Glge Fiyat DP modelinin i. ksdnn glge fiyat (shadow price), sz konusu ksdn sa taraf (ST; Right Hand Side - RHS) deerinin 1 birim oaltlmas durumunda, en iyi ama fonksiyon deerinin ne kadar iyiletiini (enbykleme sorununda ne kadar arttn, enkkleme sorununda ne kadar azaldn) gsterir. Bu tanm sadece deiimden nceki zmn deiimden sonra da ayn kalmas durumunda geerlidir! Bir > ksdn glge fiyat her zaman 0 ya da 0'dan kk (nonpositive); bir < ksdn glge fiyat ise her zaman 0 ya da 0'dan byk (nonnnegative) olacaktr. 3.4.3 Kavramsallatrma maks z = 5 x1 + x2 + 10 x3 x1 x2 Tm deikenler 0 Bu ok kolay bir DP modelidir ve simpleks kullanlmadan elle de zlebilir: x2 = 1 (Bu deiken ilk kstta yoktur, bu durumda sorun enbykleme olduundan ikinci ksdn sol taraf deeri 1'e eit olur) Dr. Y. lker Topcu (www.ilkertopcu.net) 36 + x3 100 1

x1 = 0, x3 = 100 (Bu iki deiken ise salt ilk kstta kullanlmlardr ve x3'n ama fonksiyon deeri x1'inkinden byk olduu iin x3'n en iyi deeri birinci kst ST deerine eit olur) Bu durumda en iyi zm aadaki gibidir: z = 1001, [x1, x2, x3] = [0, 1, 100] Ayn zamanda duyarlk analizi de elle hesaplanabilir: ndirgenmi Maliyet x2 ve x3 temel deiken (en iyi zmde) olduklarndan, indirgenmi maliyetleri 0'dr. x1'i temel deiken yapabilmek iin ama fonksiyon katsaysn en az x3'n ama fonksiyon katsays kadar yapmak dier bir deyile 5 (10-5) birim oaltmak gerekir. Yeni ama fonksiyonu (maks z = 10 x1 + x2 + 10 x3) olacak ve [x1, x2, x3] iin en az iki en iyi zm bulunacaktr: [0, 1, 100] ve [100, 1, 0]. Bu durumda x1'in indirgenmi maliyeti 5'dir Eer x1'in ama fonksiyon katsaysn indirgenmi maliyet deerinden daha fazla oaltrsak en iyi zm bir tane olacaktr: [100, 1, 0]. Glge Fiyat Eer birinci ksdn ST deeri 1 birim arttrlrsa, x3'n yeni en iyi zm deeri 100 yerine 101 olacaktr. Bu durumda da z'nin yeni deeri 1011 olacaktr. Tanmdan faydalanp tersten gidersek: 1011 - 1001 = 10, birinci ksdn glge fiyat deeridir. Benzer ekilde ikinci ksdn glge fiyat 1 olarak hesaplanr (ltfen hesaplaynz). 3.4.4 Duyarllk iin Lindo ktsnn Kullanlmas DKKAT: Simpleks'de sfrnc satr olan ama fonksiyonu Lindo'da birinci satr (Row 1) olarak kabul edilir! Bu yzden ilk kst, Lindo'da her zaman ikinci satrdr!!! MAX 5 X1 + X2 + 10 X3 SUBJECT TO 2) X1 + X3

yneylem ders notlar

Documents