Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ(Blm 2 a)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi1Dorusal Olmayan Denklemlerin zmVerilen bir problem iin diferansiyel ve integral denklemleri anlatan belirli fiziksel parametreler vardr.Cebirsel denklemler iki kategoriye ayrlrlar.

1) Dorusal olan (linear) 2) Dorusal olmayan (non-linear)

Dorusal (linear): Bilinmeyen bir balang deeri ierir, ak veya gizli olabilir. Bilinmeyen parametrelerdeki dorusal deiiklikler yine bilinmeyen parametreli fonksiyona iaret eder.

rnek: Uzakl s olan, bulunduu konumdan hareket eden bir nesnenin konumu t=0 annda s = s0 dr ve sabit hareket hz v, ilgili zamanda;s= s0 +Vt olur.s ve V arasndaki herhangi bir dorusal balant ve ayrca Vnin zamanla deimedii varsaylrsa, V; s ve t arasndadr.2Dorusal olmayan: ss birden farkl bir deere sahip olan ve/veya dorusal olmayan fonksiyonlar ieren denklemlerdir.

rnek: dv/dt= sabit = a0 kabul edersek, nesnenin stnde gitgide hzlanan bir hareketi vardr (yerekimi ivmesi benzeri),s ve t arasnda grecelidir.

s=so + Vot + (a/2)t2

Vo balang hzdr. Bu denklem, uzaklk (s) ve zaman (t) arasnda dorusal olmayan bir ilikiye sahiptir, nk t parametresinin karesi gereklidir.

rnek: Takip eden ann arasndaki iliki as, zamanla t dorusal olmayan balantdr.

=ocos ( *t)

Osilasyon =(g/L), o balang asdr, g yerekimi ivmesi ve L balant ubuunun uzunluudur. Bu denklem dorusal deildir. nk; trigonometrik fonksiyon olan Cos() fonksiyonu dorusal deildir.33Bir nesnenin srklenmesi sonucu deien hz;

bo yerekimi ivmesidir. c sabit srklenme katsaysdr. Denklem (2.1.4a,b)nin zm aada verilmitir.

Hz bulalm ve zaman hangi s=0 aralndadr; (Not; t=0 s=0 V=100 anlamsz bir zm yoludur)

4Grafiksel gsterimiDorusal olmayan denklemler f(x)=1980(1-e-0,1t)-98t iken f(x)=0 olabilir.X bamsz deiken ve f(x)in bir fonksiyonudur.

for t=-10:30 ft=(1-exp(-0.1*t)-0.05*t) plot(t,ft,'r*') hold on grid onendxlabel('t(sec)')ylabel('F(t)')

5Grafik YntemiBu grafiin yorumu kolayca yaplabilir ve denklem dzenlenebilir.e-0.1t=1-0.05tBurada, dz izginin y=1-0.05t kesime noktas aranlacaktr, bu stel f(t)=e-0.1t iken grafii izilmitir.

for t=-10:30 ft1=exp(-0.1*t) ft2=1-0.05*t plot(t,ft1,'r*',t,ft2,'b+') hold onendtext(10,2.5,'* f(t)=exp(-0.1t)')text(10.,2.2,'+ f(t)=1-0.05t')xlabel('t(sec)')ylabel('F(t)')

6rnek 2.1.Problem: Fonksiyonu tarayarak yaklak bir kk bulalm.

zm: t=10 olarak alalm ve t=0 anndan itibaren tarayalm. Tablo 2.1den yaklak kk deerinin t=40 civarnda olduunu gryoruz. Gerek (kesin) kk (40,50) aralndadr, nk fonksiyon bu aralkta iaret deitirmektedir. Tablo 2.1 fonksiyon deerleri t f(t) 0 0.0 10 -15.81 20 -15.31 30 -8.80 40 -0.085 50 9.44

7Problem: Dorusal olmayan aadaki denklemin en kk iki pozitif kkn bulalm.

Tablo E2.2 :Farkl artma deerleri kullanlarak rnek E2.2yi zdmzde, kklerin deerlerinin yer deitiini grrz.

rnek 2.28Bisection YntemiBisection, srekli bir fonksiyonun bir sfrnn bulunmas iin kullanlan sistematik bir tarama tekniidir. Bu yntem, ierisinde bir sfr bulunan bir araln ncelikle tespitine dayanr. Aralk sonunda fonksiyon zt iarete sahiptir. Sonra aralk iki eit alt arala blnr ve hangi araln bir sfr deeri ierdiine baklr. Sfr ieren alt aralklarda hesaplamalara devam edilir.

Bir fonksiyon a ve b aralnda iaret deitirsin ve bir [a, b] aralnda sfr deerinin olduunu varsayalm. Araln orta noktas

m=(a+b)/2 dir.ve bir sfr [a, m] yada [m, b]

aralnda olmaldr.9Bisection YntemiUygun alt aralklar, fonksiyonun [a,m] deerleri arasnda iaret deitirip deitirmedii grlerek test edilir.

aret deiiyorsa tarama bu aralkta srdrlr, deilse [m, b] aralnda tarama devam eder. Sadaki ekil fonksiyonun sfr deeri iin ilk yaklam gstermektedir.

Y=f(x)=x2-3

10rnekBisection yntemi kullanarak fonksiyonunun kklerini bulunuz.

Balang aral a=1 ve b=2 dir.Balang;

lk iterasyon;

bundan dolay sfr [1,3/2] aralnda deildir.Sfr [1,3/2] aralnda olduunda, a=3/2 ve ya=-3/4 olarak atanr, b ve deimeyen yb deerleri aynen kullanlr.

11rnekSonular tablo olarak yazlrsa, konuyu anlamak daha kolay olacaktr.

12Bisection yntemi iin MATLAB Program

13SonularBisection yntemi kullanlarak, f(x)=x^2 -3 denkleminin kkleri aadaki gibi bulunur.

14Bisection yntemi (bazen tam olarak almayabilir)Bisection yntemi genellikle yavaa yaknsar ve bazen tam olarak almayabilir.

ekil 2.2.3 (x1, x2) aralnda f(x)=0 iin Bisection yntemi zm retmez. Her iki aralkta sadece tek kk vardr.15rnek E 2.2.1

Tablo E2.2.1.: Bisection yntemi ile F(t)=1+10t -4,9t2 fonksiyonunun sonular aada verilmitir. Ea=yaklak hata ea=yaklak bal (greceli) hata.

Problem : Bir top Vo=10m/s balang hz ile yerden yukar doru frlatlmaktadr. (hzlanma a= g= -9,8m/s2 dir). Topun yere dnmesi iin gereken zaman hesaplaynz.Topun hareketi iin aada verilen denklem kullanlacaktr. 16rnek E 2.2.3.Problem: Hz ile orantl bir srklenme kuvvetine sahip bir cismin hareketi problemini ele alalm. Cismin hareket denklemleri aada verilmitir. So=0, Vo=100 m/s ,bo = -g = -9,80 ve c=0,12 olarak alalm. Herhangi s=0 zamanndan sonra, cismin dikey ykseli hareketini ve hzn bulalm.

S=0 olarak ayarlayalm ve yeniden hesaplayalm.

Taramada yada izimde 10