YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA

aF Im

suppean suhteellisuusteorian yleistys mielivaltaisiin, ei-inertiaalisiin

koordinaatistoihin

teoria painovoimasta

lähtökohta: periaatteessa kahdenlaisia massoja

Einstein: oletetaan

putoaminen ei riipu massasta

rGG

r

mGMeF

2

”hidas”, inertiaalinen massa

painava massa

IG mm

rG

r

GMea

2

1

http://archive.ncsa.uiuc.edu/

painovoimaa ja kiihtyvyyttä ei voi erottaa toisistaan

Einstein: ”elämäni onnellisin ajatus”

vapaassa pudotuksessa henkilö ei tunne omaa painoaan

2

v(t)

gravitaatio ”valevoima”: koordinaattiefekti

v(t+Δt)

v(t+nΔt)

paikallinen (hetkellinen)

inertiaalijärjestelmä

lokaalisti ei painovoimaa

vapaa pudotus

3

maan pinta

gravitaatio

valitsee koordinaatiston

sähkömagneettiset voimat

4

voimalta näyttää

- tässä koordinaatistossa

ei voimia

vahva ekvivalenssiperiaate:

painovoima eliminoituu paikallisessa inertiaalijärjestelmässä

kaikissa vuorovaikutuksissa

suppea suhteellisuusteoria aina voimassa paikallisesti (hetkellisesti) 5

heuristinen tarkastelu: ekvivalenssiperiaate a la suppea suhteellisuusteoria

ghVVghV

x

V

0

ga

fotoni osuu pohjaan ajassa h/c

toisaalta pohja liikku nopeudella v = gt = gh/c

h

g

fotoni

potentiaali

fotoni saapuu pohjalle ajassa

22

23

2

1'

c

V

c

gh

t

t

c

gh

c

h

c

gh

c

h

c

vttt

myös Maan gravitaatio-

potentiaalissa

= gravitaation aiheuttama muutos kellon käymiselle 6

KAKSOSPARADOKSI a la EKVIVALENSSIPERIAATE

huomioidaan nyt kiihtyvyyden vaikutus käyttämällä ekvivalenssiperiaatetta

A B

menomatkalla B:n koordinaateissa v

d

c

vtt BA

2

2

211 1

d

vtg turn 2

paluumatka: BA tt 1

v

d

c

vtt BA 2

2

B kokee kiihtyvyden g, joten A:n kello edistää tekijällä gd/c2 ajan Δtturn

B

g

v

c

gd

turnBA tc

vdt

c

gd

c

vdtt )1(

2

2

22

2

kiihtyvyys

kumoutuu!

OK

B jarruttaa ja kiihdyttää määränpäässä

vakiokiihtyvyydellä g

7

Jos gravitaation olemassaolo riippuu koordinaatistosta

→ gravitaatio avaruuden ominaisuus

Gravitaatio riippuu massasta

→ avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta

suppea suhteellisuusteoria: massa on energiaa …

→ avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta

suppea suhteellisuusteoria: aika ja avaruus naimisissa …

→ ajan ja avaruuden ominaisuudet riippuvat massasta ja energiasta

PÄÄTELLÄÄN:

8

Yleisen suhteellisuusteorian

dynaaminen aika-avaruus

• Aika ja avaruus eivät ole kiinteitä vaan muodostavat

dynaamisen näyttämön, jonka paikalliseen muotoon

(”käyristymiseen”) massa ja energia vaikuttaa

• Massa ja energia määräävät, miten aika-avaruuden sisäisen

rakenteen tulee käyristyä

• Avaruus määrää, miten kappaleet liikkuvat; nämä

määräävät, miten avaruus käyristyy = takaisinkytkentä

9

MITKÄ OVAT HYVÄKSYTTÄVIÄ KOORDINAATISTOJA?

kaikki! YLEINEN SUHTEELLISUUSPERIAATE:

Kaikki matemaattisesti säännölliset

koordinaatistot ovat yhdenvertaisia

Suppea suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa

Yleinen suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa koordinaatistoissa

x → x’ = L(v) x

x → x’ = G(x)

Lorentz-muunnos

Yleinen koordinaattimuunnos

10

MITEN NIIN KAAREVA?

2d

x y

formaalisti: 2d analogia

• ylimääräistä ulottuvuutta, jonne kaareutuminen tapahtuu, ei oikeasti ole olemassa

• ”avaruuden metriset ominaisuudet ei-triviaalit”

• ”avaruudella sisäinen rakenne” – voidaan formaalisti ilmaista käyristymisenä 11

paikallisesti Minkowski

suppea suhteellisuusteoria voimassa paikallisesti

geodeetti suoraviivainen liike käyristyneessä avaruudessa

näyttää käyräviivaiselta liikkeeltä suoraviivaisissa

koordinaateissa

12

yleinen suhteellisuusteoria

Einstein 1916 painovoima = avaruuden käyristyminen

massa, energia välimatkat,

kellojen käynti

13

MINKOWSKI:

222222 dzdydxdtcds kiinteä avaruus-aika

avaruusaika on dynaaminen

YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA

33

33

10

01

00

00

3

0,

2

...

),(

dxdxgdxdxgdxdxg

dxdxgdxdxtgds

x

),( xtgmetriikka, metrinen perustensori: 4 4 matriisi

tuntematon funktio, joka pitää ratkaista liikeyhtälöistä

),(),( xx tgtg yleisen suhteellisuusteorian metriikka symmetrinen

10 tuntematonta funktiota

yleinen mv.

koordinaatisto

14

4-ulotteisen avaruuden aika- ja avaruusintervallien mittaukset

riippuvat paikasta ja ajasta sekä massaenergiasta, joka määrittää

avaruuden muodon

t1,x1

t2,x2

dxdxgds 2

15

MIKÄ MÄÄRITTÄÄ METRIIKAN

liikeyhtälöt = Einsteinin kenttäyhtälöt muotoa

],[

],[][

ENERGIAAINEgg

pEDYNAMIIKKAgGEOMETRIA

kenttä

16

MITKÄ SITTEN OVAT KENTTÄYHTÄLÖT?

17

NEWTON

r

GMV

Vmm

aF

gravitaatiopotentiaali

check:

rzyx

zyx

r

GM

r

GM

rzyxGMV

jner

x

zyx

x

zyxxrx

rzyxGMV

ereee

eee

233

32/3222

21

222

1][

.)(

211

1

gravitaatio-

laki OK

18

jos pistemäisen massan sijasta meillä on massajakauma

3

4)()(

3

rVMM rr

tilavuus

Gr

GM

rzyxGMVV 4

3132

2

2

2

2

22

vakiotiheydelle

tämä steppi edellyttää

ei-triviaalia matematiikkaa

GV 42 Poissonin yhtälö

ei Lorentz-kovariantti: arvo muuttuu siirryttäessä koordinaatistosta toiseen

19

?1

2

2

2

22

tc

vrt. aaltoyhtälö

ei riitä: Poissonin yhtälön oikea puoli ei sekään ole Lorentz-kovariantti

2

/'

V

M

Miten siis yleistetään?

v=0 v0 Lorentz-kontraktio

liikkeen suunnassa

yleistys on monimutkainen! (ja vei Einsteinilta 9

vuotta löytää)

20

T

GV

2”Einsteinin tensori” – metriikan funktio

”energia-impulssitensori” – riippuu aineen ominaisuuksista

T

c

GG

4

8

”Einsteinin yhtälö”

2. kertaluvun differentiaaliyhtälö

metriikan komponenteille g

tunnetaan kun aine tunnetaan

10 yhtälöä ratkaistaan metriikka g(t,x) kun aine tunnetaan

MASSAENERGIA MÄÄRÄÄ AVARUUDEN GEOMETRIAN

21

ESIMERKKI

ideaalikaasu = lämpötasapainossa oleva kaasu esim varhainen

maailmankaikkeus

paine p, energiatiheys

myös massaenergia (E=mc2)

Einsteinin yhtälöt ovat

energia-impulssitensori

tunnetaan

0

3,2,18

8

4

400

G

ipc

GG

c

GG

ii

statistinen fysiikka

tilanyhtälö

esim relativistinen (v ~ c) kaasu

31p

22

kun v << c

GVTc

GG 4

8 2

4 Einstein Poisson OK

Massa ja energia käyristävät avaruutta. Mutta entä kun ollaan kaukana massoista?

g = Minkowski + pieni häiriö = + h

Einsteinin yhtälöt aaltoyhtälö

01

2

2

2

2

h

tcpienet avaruusajan häiriöt etenevät aaltoina,

joiden nopeus on valon nopeus

= gravitaatioaallot kuljettavat energiaa

23

kaksoistähti

kuva: NASA

staattinen tähti staattinen avaruusaika

sopiva liike väreitä avaruusaikaan

epäsuora havaitseminen

24 Taylor, J.H., Fowler, L.A. and Weisberg, J.M. 1979, Nature 277, 437

Kaksoispulsari PSR 1913+16

Hulse & Taylor: Nobel 1993

(1973)

25

ASYMMETRISET ILMIÖT GRAVITAATIOAALTOJA

• törmäykset: neutronitähdet, mustat aukot

• supernovaräjähdykset

• galaksiräjähdykset

• jne

valonsäde

ohimenevä metristen ominaisuuksien

muutos: kellojen käynti, pituusmittaus

gravitaatioaalto avaruusaika paikallisesti Minkowski

(esim. maapallolla sijaitsevan mitta-

laitteen ympäristössä

voidaan periaatteessa havaita maapallolla

26

avaruusaika on ”jäykkää” pieni efekti

kahden valkoisen kääpiön muodostama systeemi n. 150 valovuoden

etäisyydellä gravitaatioaaltoja, jotka muuttavat etäisyyksiä tekijällä

10-10 m

miten mitata?

esimerkki: peili

gravitaatioaalto

interferenssikuvio muuttuu kun valonsäteen kulkuaika muuttuu

27

LIGO Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory, USA

~4 km

2 laitetta: Washington ja Louisiana, etäisyys 3000 km

28

gravitaatioaalto havaittu: vuoden 2016 suuri uutinen

Kahden mustan aukon syhtyminen 1.3 mrd valovuoden etäisyydellä

M1 = 36 Msun, M2 = 29 Msun M = 62 Msun

gravitaatioaaltoina säteiltiin pois E = 3 Msun c2

signaali: 0.2 s

teho: 4 1049 W = 50 havaittavan universumin tähdet

29

30

31

LISA http://lisa.nasa.gov/ NASA+ESA

Laser Interferometer Space Antenna

laukaisu 2030?

3 satelliittia lentää muodostelmassa,

etäisyys ~5 miljoonaa km