Merhaba! Hepinize ho geldiniz diyor, ve bugzel bahar gnnde matematik dinlemecesaretini gsterdiiniz iin sizleri kutluyorum.

Matematik-2001 etkinliklerinde matematiingzelliini ve gcn anlatmaya almtm. Ma-tematik-2004 etkinliklerinde, ayn szleri yinele-mek yerine, 20inci yzylda matematiin temelleri-ni derinden sarsan dnceleri konu etmek istiyo-rum. Umarm syleye-ceklerim matematieolan gvenimizi sarsma-yacak, yalnzca insan ak-lnn yaratt grkemlibir tiyatroyu seyretme-mizi salayacaktr1.

Matematiin salamyapsndan asla kuku-lanmadan rahat yaant-mz srdrrken, 20inciyzyln balarnda o grkemli yapnn temellerinesular inmeye balad. Bunun yksn ksaca zet-lemeye alacam. Ksaca diyorum, nk ge-en yzylda matematikteki her geliim balbanabir ekoldr.

Bu ekolleri ana gruba ayrrsak ok kstla-yc olmayz:

1. Usbilimsellik (logicism - Russell ekol)2. Sezgisellik (intuitionism - Brouwer ekol)

3. Biimsellik (formalism - Hilbert ekol)Bu ekoller arasnda ok sert tartmalar oldu.

Tartmalardan byk dnceler dodu. Ama nebu tartmalardan nce ne de sonra kimse Nedenmatematik? sorusunu sormad. Matematiin yad-snamaz gereklilii ve gc asla kuku uyandrmad.Matematik, doal olarak insanolunun yaamnagirmitir. O dildir, sanattr, bilimdir. Bugn iinde

yaadmz bilimi, tekni-i, teknolojiyi yaratm-tr. Uygarlmzn teme-lindedir. nsanln refahve mutluluu iin ortayakonan her aba iindematematik varolmutur,varolmay srdrecektir.

Bilim, matematiisalam ve gvenilir birara olarak grmtr. O

kadar ki, ounlukla, bir bulgu ya da kuraln bi-limsel olarak nitelenmesi iin, onun matematikdiliyle sylenmi olmas gerek ve yeterli saylmtr.Matematiin ortaya kard kurallarn (teoremle-rin) doruluundan kimse kuku duyamaz. Kendi-sine yaktrdmz gzel nitelemelerin hepsini faz-lasyla haketmitir. Matematik, kukusuz, insanaklnn yaratt en yce, en deerli yapttr.

Neden matematik bu kadar kesindir, nedenkimse doruluundan kuku duymaz? Buna veri-len yantlar farkldr. oumuzun benimsedii ya-nt udur: Matematik tmdengelimlidir (deducti-vedir.) Bir tmcenin doruluundan bir bakatmcenin doruluunu karmak iin karm ku-rallar kullanr. Kullandmz usbilim (mantk,logic) doru nermelerden yanl nermeler kar-maz. ki bin yl nce doru bir nermeden yola k-msak, iki bin yl sonra ulaacamz yeni nermede dorudur. ki bin yl nce ortaya konmu olsabile, matematiksel karmlar bugnkler kadartaptazedir. ki bin yl sonrakiler de yle olacaktr.

Bu gr, btn matematik sistemini, kullan-dmz usbilime (manta) ve en bata varsayd-

57

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Yirminci Yzylda MatematiiSarsan Temel Dnceler

Timur Karaay* / tkaracay@baskent.edu.tr

* Bakent niversitesi retim yesi. Yazarn 5-7 Mays 2004 tarihleri arasnda Matematikiler Dernei tarafndan Anka-rada dzenlenen Matematik Etkinliklerinde verdii birkonumadan derlenmitir.

1 Konumama gemeden nce, bir eyi aklamam gerekiyor. Bukonumay hazrlamaya haftalar nce baladm. Gnlerce, ka-famda kurgusunu yaptm. Sonra yazmaya koyuldum. Bir ko-nuda yazarken, byle yapmay alkanlk edinmiim. Kurgu-yu yaparken, ala gelecek ve ounluu matematikiolmayabilecek dinleyicileri skmamak iin, ar matematikseldnceleri hafifleterek, biraz da glmece havasna sokarakanlatmay dndm. Harika bir i yapmann heyecann ya-arken Matematik Dnyasnn 4 numaral 2004 K says eli-me geti. Ali Nesin bu ii benim asla yapamayacam gzel-likte ve sabrla yapm. Elimde olsa, bu konumay onayaptrarak cezalandrmak isterdim. Bu arada, Ali Nesini vedergi ekibini kutlarken, bir matematik dergisini bu denli ilginklan tlsm bilebilmeyi ok istediimi belirtmeliyim.

Bertrand Russell L.E.J. Brouwer David Hilbert

mz belitlere (aksiyomlara) balar. Belitleri dei-tirdiimizde ok farkl sistemler elde ettiimizioktan beri (klityen olmayan geometrilerin orta-ya kyla) biliyoruz. Artk belitleri deitirmeyiok yadrgamyoruz.

Peki, kullandmz usbilim (mantk sistemi)deiirse ne olur? te bu yadrganr. Hi deilse,matematikilerin byk ounluu, usbilimi dei-tirme dncesine kardr. Konumamn bir yerin-de farkl usbilim konusuna biraz deineceism.

Matematiin TemelleriMatematiin temelleri konusunda matematik-

iler her zaman uzlaamamlardr. Bu nedenle, te-mel tanmlamak yerine, temele dayanarak tanmla-nacak balca kavramlar sralamak daha uygunolur. Hemen aklmza gelenler: saylar, kmeler,kategoriler, fonksiyonlar, sonsuzluk, tmevarm,usbilimsel (mantksal) aralar, geometri, topoloji

AraylarBurada matematiin tarihini verecek deilim.

Ama matematiin temellerini sarsan dncelereulaabilmek iin, matema-tiksel usbilime geliin ksaresmigeitini sylemedenolmaz.

Aristo (M..384-322).ki deerli usbilimin kuru-cusudur. Organon (Alet)adl yapt insanla miraskalan en byk yaptlardanbiridir. Aristoteles 14 usa-vurma kural (syllogism)verdi. Bu kurallar bugnkbiimsel mantn temelidirve 2000 yl akn bir zaman dilimi iinde insano-lunun dnme ve doruyu bulma eylemini etkisi al-tnda tutmutur. Kukusuz, matematik de bundannasibini almtr.

Blaise Pascal (1623-1662). Herkesin grd,bildii apak bir gerei, Pascal, matematik diliyleifade etti: Bir para atldnda, ya yaz ya tura ge-lir. Yaz gelme olasl1/2, tura gelme olaslda 1/2dir. Bu iki olasl-n toplam 1/2 + 1/2 = 1eder. Bu basit gerek,olaslk kuram (proba-bility theory) adl bilimdaln dourdu. Bu bilimdalnn, biimsel usbi-limle yakn ilikisi o gn-lerde hi sezilmiyordu; nk biimsel usbilime ma-tematiksel yntemler henz karmamt.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Mate-matikte usbilimselliin (logicism) ilk belirtileri

58

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

karm KurallarDoruluu bilinen ya da varsaylan nerme-

lerden yeni nermeler karmak iin en az birkurala gereksinilir. Genel kabul gren matema-tikte modus ponens denilen tek bir karmkural vardr: Eer nermesi doruysa ve nermesi doru olduunda nermesi de do-ru oluyorsa o zaman nermesi de dorudur.Bu karm kural biimsel olarak,

olarak gsterilir.

Belitleri azaltarak karm kurallarn artra-bilir ya da karm kurallarn azaltarak belitlerioaltabiliriz. Ama her zaman en az bir belit veen az bir karm kural gereklidir.

Aristo (sada) ve hocasEflatun. Rafaelin bir ba-

yaptndan detay

Blaise Pascal

Tmevarm - TmdengelimBugne dek kimse 200 yldan fazla yaama-

mtr. Bu gzlemden yola karak, herkesin 200yandan nce lecei karm yaplabilir. Bu trkarmlara tmevarmsal denir, nk zel-den genele (tme) varrlar. Matematikte bu yn-tem kabul edilemez. Tam tersine matematiktegenelden zele inilir (tmdengelim). Her insanlmldr, Sokrates bir insandr, dolaysylaSokrates lmldr nermesinde olduu gibi.

Tmevarm yntemiyle, bugne dek hi l-mediimden bundan sonra da hi lmeyeceimikarabilirim!

Saylar kuramnaki tmevarmla kantyntemi bambaka bir eydir, yukarda szedi-lenle bir ilgisi yoktur.

onunla ortaya kmtr. Usa-vurma srecini konuulan dil-den ve anlamdan (semantik-ten) bamsz klarak ona ma-tematiksel ve biimsel (sente-tik) bir yap kazandrmaya a-lan ilk kii olan Alman mate-matiki ve filozof Leibnizinyapt iin nemi lmndeniki yzyl sonra anlalabilmi-

tir. Dissertatio de Arte Combinatoria (1666) adleserinde simgesel bir dil yaratmay dnd. Ev-rensel tam notasyon sistemi dedii bu dilde, herkavram en kk bileenlerine ayracak, kavram-lar bu bileenler cinsinden ifade edilecektir. Linguacharacteristica universalis, calculus ratiocinator(akl yrtmenin hesab) adl projeleri kuramsalolarak bile gerekleemedi. Yaarken yaymlanma-m usbilimsel makalelerinin nemi, lmndenok sonra anlalacaktr.

Immanuel Kant (1724-1804).1794te mantn tamamen ilen-mi, bitirilmi, sona erdirilmi birdal olduunu ifade etmitir. Kantyanlyordu. Mantn grkemlidn henz balamamt.

George Boole (1815-1864). ngiliz matematik-i Boole, Alman matematiki Leibnizin dn

matematiksel bir yapyla gerekle-tirdi. ki deerli Aristo mantnmatematiksel temellere oturtansimgesel mant yaratt. Buna Bo-ole mant, Boole cebiri, matema-tiksel mantk, simgesel mantk gibiadlar verilir. Boole mantnda akl

yrtmede kullanlan simgeler, szcklere, nesnele-re, duyulara, verilen anlamlara bal deildir. Soyutsimgeler ve o simgeler arasnda matematiksel ilem-ler kullanlarak akl yrtme sreci tamamlanr.Kulland cebirsel yap, mantn istedii salaml- salar.

Yklemsel Hesap (Predicate Calculus). Bo-oleun nerdeyse her ynn kefettii nermelermant nermelerin kendisini deiken olarak kul-lanr. Oysa bir nermenin kendisinde de deikenlerolabilir, x lmldr ya da her x iin, x bir in-

sansa x lmldr nermelerinde olduu gibi.nermeleri deikenleriyle birlikte irdeleyen mantkdalna yklemsel hesap denir. Yklemsel hesap, Fre-genin bulgularndan esinlenilerek 1910 ve 1920ler-de nermeler mantnn stne kurularak bulun-mutur ve nermeler mantndan daha gldr.

Basitten Karmaa. 1820lerden sonra Bolza-no, Abel, Cauchy ve Weierstrass gibi nllerin,kendi zamanlarnda matematikte beliren baz be-lirsizlikleri gideren nemli bulular oldu. 19uncuyzyln sonlarnda Hamilton karmak saylartemsil etmek iin gerel say iftlerini kulland.Rasyonel saylardan hareketle irrasyonel saylarretmek amacyla Weierstrass, Dedekind ve Can-tor yntemler gelitirdiler. Grassmann ve Dede-kindin almalarna dayanarak Peano doal say-lardan hareketle rasyonel saylar elde eden ynte-mini gelitirdi. Grlyor ki Frege zamannda, ma-tematiin karmak nesnelerinin greceli olarakdaha basit ve bir anlamda daha kk nesnelerdenyaratlabilecei gr arlk kazanmt.

Belirsizlik (Uncertainty). Matematiksel (simge-sel) mantn salam ve cebirsel bir yap olarak or-taya konmas, klasik (szel) mantktan ancak 2000yl sonra yaplabilen ok byk bir aamadr. AmaBoole mant da klasik mantn ortaya koyduuiki-deerlilii korumaktadr. ki-deerli mantktabelirsizlik olamaz. ki deerli mantkta bir nermeya doru ya yanltr. Oysa, gerek yaamda ner-meler hem doru hem yanl ya da biraz doru, bi-raz yanl olabilir. Daha tesi, gzlemlere dayalnermelerin doruluu belli bir olaslk katsaysnabaldr. M.. 400l yllardan beri, doru ve yan-l arasnda bir eylerin daha olmas gerektii sezi-liyordu. nk iki deerli mantn atklar (pa-radoks) yaratt da grlyordu.

59

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

G. W. Leibniz

nermeler Mant/Yklemsel Hesapnermeler mantnda bir nermenin anlamnemli deildir, nemli olan nermelerin doru-luklar ve yanllklar asndan birbirleriyleolan ilikileridir. Her saynn karesi sfrdanbykeittir nermesi yklemsel hesabn kap-samndadr. Gnlk dille ifade edelim: xinrengi ydir tmcesinin x imen ve y yeil oldu-unda doru olmas yklemsel hesabn almaalanna girer.

I. Kant

G. Boole

Jan ukasiewicz (1878 - 1956). Bu sorunu a-mak iin alanlar arasnda Polonyal ukasi-ewiczi anmak gerekir. ukasiewicz geen yzylnbanda ok-deerli mant kurdu. nce doru veyanl arasna bir aradeer (bilirsiz-deer) koyarak-deerli mant belitsel biimde ortaya koydu.Bu sistem iki deerli mant kapsayan daha genelbir sistem oldu. Ama bylece bu iin deerle k-stlanamayaca, sonsuz deerli manta geiindoall da ortaya kyordu.

Bulank (Fuzzy) Mantk. Doa olaylarn ak-lamak iin kullandmz matematiksel yntemlerinve modellerin yarar, gc ve heybeti tartlamaz.

Ancak matematiin determi-nistik niteliinin uygulamadageree ounlukla uymama-s, yzyllar boyunca bilimadamlarn ve dnrleri u-ratrmtr. im yeildirtmcesinin bile doruluk de-eri, yksek olsa bile, tamyzde yz (yani 1) deildir.

Matematiksel temsiller, evrenin karmakl ve s-nrszl karsnda yetersiz kalmaktadr. Bu neden-le, doa olaylarn aklarken, ounlukla, kesinliideil belirsizlii kullanrz. Azerbeycan doumluLotfi Zadeh, 1965 ylnda ilk cesur adm att ve bu-lank kmeler ile bulank mant tanmlad.

Analiz. Antik-a matematikilerinin ussalbilgiye dntremedikleri nemli bir kavramvardr: Sonsuzluk. 17inci ve 18inci yzylda, fi-ziksel olaylarn aklanabilmesi iin (pek de neolduu anlalmadan ortaya atlan) sonsuz k-k kavram bu ynde nemli bir admdr. Son-suz kavramnn matematiksellemesini salayanetmenlerden biri olan limit kavramnn, drt ile-me eklenen beinci bir ilem olarak matematiegirii, analiz adyla anlan byk ve nemli birmatematik daln dourmutur. Analizin douu-nu ve geliimini salayan zorlayc etmenlerin ba-nda fizik gelir. Klasik fiziin hemen her proble-minin zm, analizin bilgi snrlarn zorlamve onu gelimeye itmitir. Bugn klasik fiziktedoa olaylarnn aklanmas, analizin kesin ege-menlii altndadr. Benzer olguya ada fiziktede rastlanmaktadr.

Kuantum Fizii. Klasik fiziin zmleyemedi-i baz doa olaylarnn aklanabilmesi iin yenikuramlara gereksinim duyulmutur. Bu yndekiabalar sonunda, 1924-28 arasnda kuantum fiziikurulmutur. Bu yeni kuramn temelleri de, adnaada analiz ya da fonksiyonel analiz denilenmatematik dalnn ortaya kmasn salamtr. Bugeliim, doa olaylarnn matematiksel modellerletemsiline yeni ve nemli rnekler getirmitir. rne-in, n niteliini, Schrdingerin dalga mekaniikuram Heisenbergin matris mekanii kuramfarkl biimlerde ama doru olarak aklyorlard.Kuantum fiziinin bu sorununa Fonksiyonel Ana-liz mkemmel ve zarif bir zm getirmitir:Schrdingerin kuram L2-fonksiyon uzay iine,Heisenbergin kuram ise l2-dizi uzay iine yerle-tirilmekte ve bu modeller iinde aklanmaktadr.ki kuramn farkl grnts buradan kaynaklan-maktadr. Ancak bu iki uzay, matematiksel adanyaplar biribirlerine denk olan iki uzaydr. Dolay-syla iki kuram bir anlamda birbirine denktir.

60

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Bu tmce yanltr!Bu tmce yanltr tmcesini irdeleyelim.

Bu tmce yanltr tmcesi yanlsa doru-dur, doruysa yanltr.

Klasik mantkta doru tmceye 1, yanltmceye 0 deeri verilir. Dolaysyla, eer yu-kardaki tmcenin deerine p dersek yle birsonu kar:

p = 1 ise p = 0drp = 0 ise p = 1dr.

Soldaki pye eski p diyelim ve pe olarak gs-terelim. Sadaki pye yeni p diyelim ve pyolarak gsterelim. Demek ki,

pe = 1 ise py = 0drpe = 0 ise py = 1dr.

Cebirsel olarak, bu, py = 1 pe

demektir. Oysa biz bir tek p istiyoruz, yeni p,eski p gibi ayrm istemiyoruz, demek ki pe =p = py. Yukardaki py = 1 pe denkleminden p= 1 p denklemini buluruz. Yani p = 1/2. Do-laysyla, bu tmce yanltr tmcesinin do-ruluk deeri 1/2 olmaldr!

ki deerli olan matematikte, yukardakielikiden dolay hibir nerme kendisininyanlln ifade edemez.

Lotfi Zadeh

Nerde Kalmtk?Bu ksa resmigeitten sonra asl konumuza d-

nebiliriz.Toplumlarda liderler, byk kahramanlar zor

zamanlarda (doru zamanlarda) ortaya kar. On-lar evre koullar yaratr. Bilimde de byledir.zm zaman gelen byk problemleri zecekbyk bilginler daima (doru zamanda) ortaya -kar. 20nci yzyln ilk yars, matematiin temelle-rinin yeniden kurulmas abalaryla doludur. Ma-tematik byle zor bir dneme girince, onu kurtar-mak iin kollar svayanlar ok oldu. Harika ilerbaardlar. Bunlarn hepsini nem srasyla verebi-leceimi sanmyorum. Ama 20nci yzyl matema-tik tarihinin hi unutamayaca adlardan bazlarunlardr: Cantor, Zermelo, Skolem, Fraenkel,Montague, Russell, Whitehead, Bernays, von Ne-umann, Hilbert, Gdel, Turing, Zadeh.

Kmeler Kuram ve Sonsuzluk. Geen yzylagirilirken Alman matematiki Georg Cantor(1845-1918) eitli sonsuzluklar bularak matema-tikte bir devrim yaratt. Her devrim, kurulu dzen-de bir karmaa yaratr. Matematikte de bu karma-a kanlmaz olarak yaand.

Doan karmaay aklamak iin imdi hepi-mizin iyi bildii N = {0, 1, 2, 3, } doal saylarkmesinden balayalm ve Cantorun yaptklarngzden geirelim: Cantor,

0, 1, 2, 3, saylarnn sonuna ile gsterdii sonsuz bir sa-y ekledi:

0, 1, 2, 3, , Burada durmas iin bir nedeni yoktu; say ekleme-yi srdrd:

1, 2, 3, , , +1, +2, +3, ...Bu biimde say ekleme iini 2ya kadar gtrd:

1, 2, 3, , , ..., 2Say ekleme iine kendisini iyice kaptran Cantor,eylemini inatla srdrerek, srayla, u kmeleri el-de etti:

Sonunda ulat (sonlu tesi) saylar, analizin

bildii sonsuz say kavramn ve bazlarnn hayalsnrlarn ok ok ayordu. Matematikiler nce-leri buna pek aldr etmediler; nemini de anlama-dlar. Ama giderek iin vehametini anladlar: Te-mel sarslyordu. Dnyann en akll adamlar,olarak addedilen matematikiler arasnda bykbir tartma balad. Kimileri Cantorun syledik-lerinin gerekle ilgisi olmad, kafa yormaya de-meyecek kurgular, hatta fanteziler olduu gr-ndeydi. Kimileri ise bu gibi eylerin matematik-ilerin deil, teologlarn dnecei samalklar ol-duunu savundu.

Cantorun ortaya att kmeler kuram, mate-matikte yepyeni bir r at. r demek yetmez,tam anlamyla bir devrim yaratt! Bundan sonra ma-tematiin temelleri kmeler zerine kurulmalyd!..

Usbilimsellik (logicism). Bertrand Russell,genliine matematiki olarak balad, sonradanfilozoflua kadar dt (!) Bununla yetinmeyip sonyllarnda hmanist akmlara kapld ve sava kar-t eylemlere kart (!) Durup dururken yaamnnson yllarn neredeyse zora sokacakt... Russellmatematiin temellerinin sarsldn ilk gren kiideilse bile, bunu ok ak biimde ortaya koyankiidir. O nedenle, baz matematikilerin onu sev-memesini anlayla karlamak gerekir. Bence in-sanlk adna syledii ve yapt gzel eyleri mate-matiki olarak yapt diye onunla nmeliyiz.

ok poplarize edilmi olarak bildiimiz a-tklarn (paradokslarn) birou Russell tarafn-dan ortaya konulmutur. Bunlarn birou Mate-matik Dnyasnda kmtr; burada yinelemeningereini grmyorum. Yalnzca bir rnek vermekiin berber atksn Ali Nesinin dilinden aktara-cam: Kyn birinde bir berber varm. Bu ber-ber, o kyde kendini tra etmeyen herkesi traedermi, kendini tra edenleriyse tra etmezmi.Soru u: bu berber kendini tra eder mi? Kendinitra etmezse, kendini tra etmeyen herkesi tra etti-inden, kendini tra etmeli. Kendini tra ederse,kendini tra edenleri tra etmediinden, kendinitra etmemeli.

Berberin kendini tra edip etmemesinden bizene! diyebiliriz. Ama bu atklarn birer oyun, bi-rer bilmece olmayp, matematiin temellerini derin-den sarsan stn dnceler olduuna inananlarkt orta yere.

61

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Principia Mathematica. Russell matematiintemelinde oluan sarsnty grp sylemekle yetin-

medi. Whiteheadle birliktematematikte doan elikiyiyokedecek yntem arad.1910, 1912 ve 1913te ya-ymlanan ciltlik PrincipiaMathematicada btn ma-tematiin usbilimsellie (lo-gicisme) indirgenebileceinisavundular. Tezlerini iki b-lme ayrabiliriz. Birincisi,

btn matematiksel dorular usbilimsel dorularadntrlebilir. Baka bir deyile, matematikselterimler usbilimsel terimlerin bir altkmesidir.kincisi, btn matematiksel kant yntemleri usbi-limsel kant yntemleriyle ifade edilebilir. Bakabir deyile, matematiksel teoremler usbilimsel te-oremlerin bir altkmesidir. Russellin szleriylezetlersek, btn soyut matematiin usbilimsel ku-rallarla elde edilebileceini gstermek usbilimcininiidir. yleyse, matematik usbilimdir, matematikide usbilimcidir. Principia Mathematica modernmatematiksel usbilimin domasna neden olmu-tur. lk basm paraszlk yznden geciken Princi-pia Mathematica, Aristonun Organon adl nlyaptndan sonra usbilim alannda yazlm ennemli yapt olarak kabul edilir.

Sezgisellik (Intuitionism). Matematii sezgiselolarak kurmay amalayan bu ekol esas olarak Lu-itzen Egbertus Jan Brouwern (1881-1966) ortayakoyduu sistemdir. Cantorun kmeler kuramnadayal yapsn iddetle yadsrken, Russellin usbi-limselliine de kar durur. Tartma, akl oyunla-rnn sergilendii grkemli bir tiyatroya dnr.Sergilenen oyuna seyirciler de katlr Poincarmatematiin temellerini varsaymlara dayamak is-terken, Kronecker teolojiye snr.

Biimsellik (Formalism). Poincaryle birliktean en etkili matematikisi David Hilbert (1862-1943), akl oyunlarnn son perdesini indirmekistedi. Kant kuram (proof theory) dedii biimselbir matematik dili gelitirdi (1927). Ona gre sezgi-sel matematik yaparken konutuumuz dil, duygu-larmz, zne (madde) geleneksel karm yntemle-rimizi etkilemektedir. D etkenleri yoketmek iinyapay bir matematik dili oluturdu. Yedi ana grup-

ta toplad 17 formlle matematik teoremlerini ka-ntlayabiliyordu. Ortaya att kuramn ilk sunu-munu yaparken yle diyordu: Matematik nyarg-szdr. Onu bulmak iin Kroneckerin yapt gibiTanrya, Poincarnin yapt gibi yeteneklerimizehitabeden varsaymlara, Brouwerin yapt gibi te-mel sezgilere, Russellin yapt gibi belitlere gerek-sinim yoktur. Matematik, formllerden oluan ken-di iinde kapal bir sistemdir.

Hilbert byk bir matematikidir. 20nci yzylmatematiine damgasn vurmutur. 1900de Pa-riste yaplan Uluslararas Matematik Kongresindeortaya att problemler, aradan geen 100 yldabile tam zlememitir, ama bu problemler yzy-ln matematiine yn vermitir. Herkes byle birdahinin akl oyunlar iin yazd son perdeyletemsilin bittiine inanmaktadr. Ta ki Gdel denenbiri kp oyuna hi bitmeyecek bir perde daha ek-leyene dek!..

Gdel Diye Biri! Bir matematik sisteminde nitelik ararz.

Birincisi, tamlk (completeness): Her nerme-nin ya kendisi ya da tersi kantlanabiliyorsa, bakabir deyile, sistemdeki her p nermesi iin ya pdorudur ya da p yanltr nermelerinden birikantlanabiliyorsa sistem tamdr.

kincisi, tutarllk (elikisizlik, consistency):Her p nermesi iin ya p dorudur ya da p yan-ltr nermelerinden ancak biri teoremse sistemtutarl, her ikisi de teoremse sistem tutarszdr.

ncs snanabilirlik: yani sistemde bir kantverildiinde, bu kantn geerli olup olmadn sonluzamanda snayabileceimiz bir yntem olmaldr.

1931de Kurt Gdel (1906-1978) ortal tozdumana katana kadar Hilbertin formal sistemininmatematikteki krizi tamamen zd sanlyordu.Gdelin tamamlanamazlk (incompleteness) teore-mi adn verdii teorem, sadece doal saylar ve top-lamayla arpmay anlayacak kadarck karmak birsistemin yukardaki nitelie sahip olduunun osistem iinde kantlanamayacan sylyordu. Busonu, matematiin tutarl olduunun matematiiniinde kantlanamayacann kantyd. Dolaysyla,kendi iinde kapal bir sistem oluturduu sanlanHilbert formalizminin k anlamna geliyordu.

O zamana kadar kimse Hilbertin yanlm ola-bileceini dnmyordu. Dahi matematiki vonNeumann bile Gdelin yaptn renince Yanl-

62

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

dm, gemiyi kardm! (yani Gdelin teoreminindoru olabilecei aklma gelmedi) diye hayflan-mtr. Kurt Gdel, Aristodan sonra gelmi en b-yk usbilimci unvann kazanmtr.

Alan Turing (1912-1954). Leibnizin dngerekletirecek bir makinay tasarlad (1936). Tu-ring makinas adyla anlan bu hayal makina, hermatematik problemini zecek mekanik bir aletolarak dnld. Turing, bugnk bilgisayarlarnalma ilkelerine ok benzeyen bir yntemle, btnproblemleri zen mekanik bir makinann (ya da

algoritmann) var olamayaca-n kantlad. Bu sonu, farklbir yaklamla Gdeli doru-lamaktadr. Hatta, Greg Chai-tine gre, Gdelin yapt i-ten daha byktr.

Sonu. Akl Oyunlarsryor; henz son perdesinikimse yazamad. Evrenin kar-

maas o son perdenin yazlmasna henz izin ver-miyor. Doa olaylarn aklamak iin ortaya koy-duumuz kuramlar, evrenin yana oranla dahaok yeni, ok yetersiz. Kaosularn deyimiyle,inde kanat rpan kelebein Teksasta kasrgayaratn aklayan modelimiz yok. (Bu sz hi-bir politik ima tamyor.) Byle oluu gelecek iinumudumuz olmaldr. nk insan soyuna stn-lk salayan ey evrenin gizlerini tmyle biliyorolmas deil, o gizleri durmakszn arama iradesinesahip olmasdr. Grkemli bir tiyatroda bitimsizbir oyunu oynuyoruz. Kimbilir, insanolu belki buoyuna erdemi de katabilir.

Kaynaka[1] Baum, R., Philosophy and Mathematics,

San Francisco: Freeman, Cooper, 1973.

[2] Benacerraf, P. ve Putnam, H., Philosophy of Mathematics,

Selected Readings, Cambridge: Cambridge University

Press, 1983.

[3] Boyer, Carl B., The History of The Calculus and its Con-

ceptual Development, New York: Dover, 1949.

[4] Courant, R. ve Robbins, H., What is Mathematics?, Ox-

ford: Oxford University Press, 1978.

[5] Frege, G., Grundgesetze der Arithmetik, cilt I (1893), cilt

II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle. Ed.

[6] Kline, M. Mathematics, the Loss of Certainty, Oxford:

Oxford University Press, 1980.

[7] Nagel, E. ve Newman, J.R., Gdels Proof, New York:

New York University Press, 1958.

[8] Quine, W.V., Ways of Paradox, New York: Random Ho-

use, 1966.

[9] Rand, A., Introduction to Objectivist Epistemology, New

York: Penguin Group, 1990.

[10] Ross, D., The Cognitive Basis of Arithmetic, Poughkeep-

sie, N.Y.: Institute for Objectivist Studies (kacak).

[11] Russell, B., Principles of Mathematics, Cambridge: Camb-

ridge University Press, 1903.

[12] Russell, B., Introduction to Mathematical Philosophy,

London: George Allen and Unwin, 1919.

[13] Whitehead, A. N., Treatise on Universal Algebra, Camb-

ridge: Cambridge University Press, 1898.

[14] Whitehead, A. N., On Mathematical Concepts of the Ma-

terial World, London: Dulau, 1906.

[15] Whitehead, A. N., ve Russell, B., Principia Mathematica,

3 cilt (1910, 1912, 1913), Cambridge: Cambridge Univer-

sity Press. kinci basm, 1925 (cilt 1), 1927 (cilt 2 ve 3). K-

saltlm basm 1962.

[16] Walley, P., Statistical Reasoning with Imprecise Probabili-

ties, Chapman and Hall, London, 1991.

[17] Willaeys, D. ve Malvache, N., The use of Probability

Functions for the Treatment of Fuzzy Information by

Computer, Probability Functions and Systems 5 (1981)

323-328.

[18] Wilson, N. ve Moral, S. A., Logical View of Probability,

Proc. of the 11th Europ. Conf. on Artificial Intelligence

(ECAI94) (Ed. A.G. Cohn), Amsterdam, The Nether-

lands, Aug. 8-12, Wiley, New York (1994) 386-390.

[19] Zadeh, L.A., Quantitative Fuzzy Semantics, Information

Sciences 3 (1971) 159-176.

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Alan Turing

63