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MF31

mf31

Year 12 Mathematics Extension 2

conics 3.1 equations of ellipse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . first name last name mf31

3.1 equations of ellipse

conics • Year 12 Mathematics Extension 2

Prime Education

2



Prime Education

3

3.1.1 eccentricity

Loop string around thumb tacks at each focus and stretch string tight with a pencil while moving the

pencil around the tacks.

x

y

O SS'

P

ellipse is a locus which constant SP SP



Prime Education

4

x

y

O SS'

PM

NN' AA'

the value of eccentricity is a unique value for each ellipse, such as SP

ePM

, SA

eAN

,

SAe

A N

0.9e 0.5e

x

y

O

x

y

O

0.3e 0e

x

y

O

x

y

O



Prime Education

5

0e , circle

0 1 e , SP PM ellipse

x

y

O

x

y

O

1e , SP PM parabola

1e , SP PM hyperbola

x

y

O

x

y

O

eccentricity is calculated by 2 2 21 b a e or

22

21

be

a for the ellipse

2 2

2 21

x y

a b



Prime Education

6

Question 1

Calculate the eccentricity of

2 2

19 4

x y.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Question 2

Calculate the eccentricity of 2 24 144 x y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Question 3

Calculate the eccentricity of

2 2

14 9

x y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Prime Education

7

3.1.2 definition of ellipse

x

y

O SS'

PM

2 2

2 21

x y

a b

a-a

b

-b directrixdirectrix

foci: ,0S ae and ,0 S ae

directrices: a

xe

or b

ye

the length of the major axes: 2a

the length of the minor axes: 2b

2 2

2 21

3 2

x y

2 2

2 21

2 3

x y

x

y

O SS'

2

3

directrixdirectrix

x

y

O

S

S'

2

3

directrix

directrix



Prime Education

8

Question 4

Determine the real values of k for which the equation

2 2

19 4

x y

k k defines an ellipse.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Question 5

Find the equation of the ellipse whose centre 0,0 , the length of minor axis of 12 and focus 4,0 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Question 6

Find the equation of the ellipse whose centre 0,0 , the length of minor axis of 12 and focus 0,4 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Prime Education

9

Question 7

For 2 2

2 21

5 2

x y, find the following.

(a) eccentricity

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) coordinates of the foci

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(c) directrices

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(d) sketch the graph.

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

10

Question 8

For 2 2

125 9

x y , find the following.

(a) eccentricity

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) foci

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(c) directrices

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(d) sketch the graph.

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

11

Question 9

For

2 2

116 9


(a) eccentricity

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) coordinates of foci

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(c) lengths of major and minor axes

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(d) directrices

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(e) sketch the graph

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

12

Question 10

For

2 2

116 36


(a) eccentricity

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) coordinates of foci

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(c) lengths of axes

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(d) directrices

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-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

13

3.1.3 transformation of ellipse

Question 11

Find the equation of the ellipse with major axis of 12 units, minor axis of 8 units and centre 1,2 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Prime Education

14

Question 12

Find the following for

2 211

16 9

x y .

(a) eccentricity

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) centre

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(c) coordinates of foci

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(d) directrices

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-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

15

Question 13

Find the following for 2 22 2 12 11 0x x y y .

(a) Find the centre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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(b) Find the eccentricity

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(c) Find the foci

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(d) Find the directrices

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(e) Sketch the graph

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

x

y

O



Prime Education

16

3.1.4 locus of ellipse

Question 14

Write the equation of the locus of a point P that moves such that its distance from 3,0 is 4

5 as its

distance from the line 2x .

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Prime Education

17

Question 14

1y mx is a chord of the ellipse 2 24 16x y that passes through 0,1 for all real values of m.

(a) Find the x-coordinate of the midpoint of the chord joining two intersections.

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(b) Find the y-coordinate of the midpoint of the chord joining two intersections.

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(c) Find the locus of the midpoint of the chord as m varies.

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Prime Education

18

3.1.5 parametric equations of ellipse

2 2

2 21

x y

a b

cos , sin x y

a b

cos , sin x a y b

Question 16

What are the parametric coordinates of the ellipse equation 2 24 9 36x y are.

2 2cos sin 1A A

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Question 17

What are the parametric coordinates of the ellipse equation

2 21 3

14 2

x y ?

2 2cos sin 1A A

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Prime Education

19

Question 18

,0 , cos2 , sin 2 A a P a b and cos2 , sin 2 Q a b are points on the ellipse

2 2

2 21

x y

a b such

that 90PAQ . Show that

2

2tan tan

b

a.

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Prime Education

20

Question 19

(a) Show that cos , sinP a b lies on the ellipse

2 2

2 21

x y

a b .

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(b) Prove that 1 cos , 1 cos SP a e S P a e , if and S S are the foci.

x

y

O SS'

PMM'

ax

e

ax

e

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(c) Hence, show that 2SP S P a .

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Prime Education

21

Practice questions

Question 10

(a) Find the centre 2 24 9 24 36 36 0x y x y .

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(b) Find the eccentricity

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(c) Find the foci

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(d) Find the directrices

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(e) Sketch the graph

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-10

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5

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x

y

O



Prime Education

22

Question 14

Write the equation of the locus of a point that moves so that its distance from 2,2S is 2

3 as its

distance from the line 3x y .

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Prime Education

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Question 22

cos , sinP a b lies on the ellipse

2 2

2 21

x y

a b with centre O. OP produced meets a directrix in

M, and the perpendicular from the corresponding focus onto OM meets the same directrix in N.

If R is the foot of the directrix, prove that the product of RM and RN is independent of the position

of P.

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Prime Education

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Question 23

cos , sinP a b lies on the ellipse

2 2

2 21

x y

a b .

Find the locus of the midpoint of AP, where A is ,0a

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Prime Education

25

Checkpoint Question

Question 21

8y mx is a chord of the ellipse 2 24 16x y that passes through 0,8 for all real values of m.

Find the locus of the midpoint of the chord as m varies.

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