yapi statigi i cozumlu ornekler
TRANSCRIPT
1
YAPI STATİĞİ I
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ZİREDDİN MEMMEDOV M. ARİF GÜREL
Harran Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
A o B
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 9 m
f = 4 m
9 m9 m
L=18 m
o
o
4,5 m
2
YAPI STATİĞİ I
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
ZİREDDİN MEMMEDOV M. ARİF GÜREL
Harran Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Şanlıurfa 2007
3
ÖNSÖZ
Yapı Mühendisliğinin başlıca amacının; yapı elemanlarının ve sistemlerinin yeterli bir güvenlik ve rijitlikle, ekonomik ve kullanım amacına uygun şekilde boyutlandırılması olduğunun, İnşaat mühendisleri ve bu dalda eğitim alan genç mühendis adayları tarafından iyi bilindiği kanaatindeyiz. Yapıların belirtilen koşullara uygun olarak boyutlandırılabilmesi için ilk yapılması gereken, dış etkilerden dolayı yapıda oluşan kesit tesirlerinin belirlenmesidir, ki bu, Yapı Statiği dersinin kapsamına girer. Hazırlanmış olan Yapı Statiği I – Çözümlü Örnekler adlı bu kitapta İzostatik (statikçe belirli) sistemlerin dış yüklere göre hesabı ele alınmıştır. Bu amaçla, önce her bölümün başında gerekli bilgiler öz olarak verilmiş, ardından yeterli sayıda örnek açıklamalı olarak çözülmüştür. Örneklerin seçiminde farklı sistem ve yükleme durumları olmasına özen gösterilmiştir. İnşaat Mühendisliği yapılarının önemli bir bölümü bilindiği üzere Hiperstatik (statikçe belirsiz) sistemlerdir. Bu tür sistemlerin dış yüklere göre hesabı, Yazarlar tarafından hazırlanması planlanan Yapı Statiği II – Çözümlü Örnekler adlı kitapta verilecektir. İzostatik sistemlerin hesabını iyice öğrenmiş ve özümsemiş bir öğrencinin Hiperstatik sistemlerin hesabında zorlanmayacağı açıktır. Yazarlar, kitabın bilgisayar ortamında hazırlanması sırasındaki yardımlarından dolayı Arş. Gör. Makine Yüksek Mühendisi Mustafa Özen’ e teşekkür ederler. Kitabın, İnşaat Mühendisliği öğrencilerine ve uygulamada çalışan Mühendislere yararlı olması dileklerimizle. Şanlıurfa, 2007
Zireddin MEMMEDOV M. Arif GÜREL
4
İÇİNDEKİLER
Sayfa No
1. GİRİŞ …………………………………………………………………………. 1 2. GERBER KİRİŞLERİ ……………………………………………………….. 5 Gerber Kirişlerim Sabit Yüklere Göre Hesabı ve İç Kuvvetler Diyagramının Çizimi …………………………………………………………….
5
Örnek 2.1. ………………………………………………………………………... 5 Örnek 2.2. ………………………………………………………………………... 10 Örnek 2.3. ………………………………………………………………………... 14 Örnek 2.4. ………………………………………………………………………... 17 Örnek 2.5. ………………………………………………………………………... 20 Örnek 2.6. ………………………………………………………………………... 26 Örnek 2.7. ………………………………………………………………………... 31 3. GERBER KİRİŞLERDE TESİR ÇİZGİLERİ …………………………….. 36 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 36 Örnek 3.1. ………………………………………………………………………... 36 Örnek 3.2. ………………………………………………………………………... 40 Örnek 3.3. ………………………………………………………………………... 42 Örnek 3.4. ………………………………………………………………………... 43 Örnek 3.5. ………………………………………………………………………... 45 Örnek 3.6. ………………………………………………………………………... 47 Örnek 3.7. ………………………………………………………………………... 48 Örnek 3.8. ………………………………………………………………………... 50 4. İZOSTATİK ÇERÇEVELERİN HESABI …………………………………. 52 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 52 Örnek 4.1. ………………………………………………………………………... 52 Örnek 4.2. ………………………………………………………………………... 56 Örnek 4.3. ………………………………………………………………………... 60 Örnek 4.4. ………………………………………………………………………... 64 Örnek 4.5. ………………………………………………………………………... 70 Örnek 4.6. ………………………………………………………………………... 76 Örnek 4.7. ………………………………………………………………………... 81 5. KAFES SİSTEMLERİNİN HESABI ……………………………………….. 89 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 89 Örnek 5.1. ………………………………………………………………………... 90 Örnek 5.2. ………………………………………………………………………... 93 Örnek 5.3. ………………………………………………………………………... 96 Örnek 5.4. ………………………………………………………………………... 99 Örnek 5.5. ………………………………………………………………………... 102 Örnek 5.6. ………………………………………………………………………... 106 Örnek 5.7. ………………………………………………………………………... 108 6. KAFES SİSTEMLERDE TESİR ÇİZGİLERİ …………………………….. 113 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 113 Örnek 6.1. ………………………………………………………………………... 113 Örnek 6.2. ………………………………………………………………………... 118 Örnek 6.3. ………………………………………………………………………... 122 Örnek 6.4. ………………………………………………………………………... 126 Örnek 6.5. ………………………………………………………………………... 130
5
Örnek 6.6. ………………………………………………………………………... 133 7. ÜÇ MAFSALLI SİSTEMLER ……………………………………………… 138 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 138 Örnek 7.1. ………………………………………………………………………... 142 Örnek 7.2. ………………………………………………………………………... 147 Örnek 7.3. ………………………………………………………………………... 153 Örnek 7.4. ………………………………………………………………………... 159 Örnek 7.5. ………………………………………………………………………... 165 Örnek 7.6. ………………………………………………………………………... 171 8. ÜÇ MAFSALLI SİSTEMLERDE TESİR ÇİZGİLERİ ............................... 177 Genel Bilgiler ……………………………………………………………………. 177 Örnek 8.1. ………………………………………………………………………... 177 Örnek 8.2. ………………………………………………………………………... 182 Örnek 8.3. ………………………………………………………………………... 184 Örnek 8.4. ………………………………………………………………………... 187 Örnek 8.5. ………………………………………………………………………... 190 KAYNAKLAR ………………………………………………………………….. 193
1
1. GİRİŞ
Taşıyıcı sistemler, üzerlerine gelen yükleri güvenlik sınırları içinde taşıyıp zemine ileten sistemlerdir. Bu sistemleri oluşturan elemanlara yapı elemanları denir. İnşaat mühendisliğinin bina, köprü, baraj gibi çeşitli mühendislik yapılarının tasarımı ile uğraşan dalı yapı mühendisliği olarak adlandırılır. Yapı mühendisliğinin temel amacı, mühendislik yapılarının yeterli bir güvenlik ve rijitlikle, ekonomik şekilde boyutlandırılmasıdır. Bu iş için yapı mühendislerine gerekli olan bilgilerin önemli bir bölümü Yapı Statiği derslerinde verilir. Bu derslerde yapı sistemlerinin sabit ve hareketli yüklere göre hesaplama yöntemleri ele alınır. Yapı sistemlerinin sınıflandırılması: Yapı sistemleri kendilerini oluşturan yapı elemanlarına bağlı olarak - bir boyutlu sistemler (çubuk sistemler: kirişler, kafes sistemler, çerçeveler ve kemerler) - iki boyutlu sistemler (yüzeysel taşıyıcı sistemler: plaklar, levhalar ve kabuklar) - üç boyutlu sistemler (uzaysal taşıyıcı sistemler: istinat duvarları, baraj gövdeleri, v.s.) şeklinde sınıflandırılır. Bu kitapta sadece çubuk sistemler incelenmiştir. Yükler
Yapı sistemlerinde iç kuvvet (kesit tesiri, kesit zoru), şekildeğiştirme ve yerdeğiştirme oluşturan tüm etkilere yük adı verilir. Dış yükler (yapıların kendi ağırlıkları, ilave yükler, kar yükü, rüzgar yükleri, deprem yükleri), mesnet çökmeleri, sıcaklık değişimleri, büzülme (rötre) ve yapım hatalarından kaynaklanan yükler başlıca yükler olarak belirtilebilir. Yükler şekilleri bakımından - Tekil yükler ve - Yayılı yükler olarak sınıflandırılabilir. a) Yayılı yükler aşağıdaki gibi sınıflandırılır (Şekil 1.1): a) Düzgün (üniform) yayılı yük b) Üçgen yayılı yük b) c) c) Trapez yayılı yük d) d) Parabolik yayılı yük e) Gelişigüzel yayılı yük e) Şekil 1.1. Yayılı yük çeşitleri Yükler ayrıca
q
q
q1 q2
q m
q(x)
2
- Sabit yükler (taşıyıcı sistemlere daima etkiyen yükler), - Hareketli yükler (taşıyıcı sistemler üzerinde yerleri değişebilen yükler), - Statik yükler (sıfırdan başlayarak son hesap değerlerini alan yükler), - Dinamik yükler (değerleri, yönleri veya yapı üzerindeki durumları hızla değişen yükler), - Toplam yükler olarak da sınıflandırılabilir. Yapı sistemlerinin dinamik yüklere göre hesabı Yapı Dinamiği dersinin konusudur. Mesnetler Yapı sistemlerinin dış ortamla (genellikle zemin ile) bağlandığı yerlere mesnet denir. Mesnetlerde hareketin kısıtlandığı doğrultularda tepkiler oluşur. Mesnetler aşağıdaki gibi sınıflandırılır. a) Kayıcı mesnet
Şekil 1.2. a) Kayıcı mesnet, b) , c) Hesaplama şemaları. b) Sabit mesnet
Şekil 1.3. a) Sabit mesnet, b) , c) Hesaplama şemaları.
c) Ankastre mesnet
Şekil 1.4. a) Ankastre mesnet, b) , c) Hesaplama şemaları.
d) Kayıcı ankastre mesnet
H
R V
V V
H H
P P P
a) b) c)
e P PP
H
V
H
V V
V
H
a) b) c)
MM M
M=V.e
o o o
a) b) c) P P P
V
V V
3
Şekil 1.5. a) Kayıcı ankastre mesnet, b) , c) Hesaplama şemaları.
d) Elastik mesnetler
Şekil 1.6. Elastik mesnetler, a)Çökmeye karşı elastik mesnet, b) Dönmeye karşı elastik mesnet.
Düğüm hoktaları
Çubukların birbirleriyle birleştikleri noktalara düğüm noktaları denir. En yaygın düğüm noktaları şunlardır: - Rijit düğüm noktaları
Şekil 1.7. Bir rijit düğüm noktası. - Mafsallı düğüm noktaları
Şekil 1.8. Bir mafsallı düğüm noktası.
Çubukların mafsalla birleştiği uçlarında eğilme momenti sıfırdır. Mafsallı düğüm noktaları basit ve karmaşık diye ikiye ayrılır. İki çubuğun birleştiği mafsallı düğüm basit (Şekil 1.9a),
e P PP
V V V
V
a) b) c)
MM M
M=V.e
a) b)
31
2 θ1
θ2
θ3
θ1 = θ2 = θ3
31
2 θ1 θ3
θ1 = θ2 = θ3/ /
θ2
4
ikiden fazla çubuğun birleştiği mafsallı düğüm ise karmaşık düğüm (Şekil 1.9b) olarak adlandırılır.
Şekil 1.9. a) Basit, b) Karmaşık mafsallı düğüm.
Taşıyıcı Sistemlerin Genel Sınıflandırılması Yapı Statiğinde taşıyıcı sistemler iki ana gruba ayrılırlar. Bunlar; - İzostatik (statikçe belirli) sistemler ve - Hiperstatik (statikçe belirsiz) sistemlerdir. İzostatik sistemler, Statik’in üç temel denklemi olan ∑ ∑ ∑ === 00,0 MveYX ile hesaplanabilen sistemlerdir. Hiperstatik sistemler ise hesaplanabilmeleri için yukarıdaki üç temel denklemin yeterli olmadığı, ilave denklemlerin gerektiği sistemlerdir.
Bir taşıyıcı sistemin hesabı, gelen etkiler altında mesnet tepkilerinin, iç kuvvetlerin ve yerdeğiştirmelerin hesaplanması demektir. Bu kitapta yalnızca İzostatik sistemlerin hesabı ele alınmıştır. Bu bağlamda, kirişler, düzlem çerçeveler ve kafes sistemler, üç mafsallı çerçeveler ve kemerler incelenmiştir.
a) b)
5
2. GERBER KİRİŞLERİ
Gerber Kirişlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı ve İç Kuvvet Diyagramlarının Çizimi İnşaat pratiğinde, örneğin çok açıklıklı köprülerde ve çatı aşıklarında, basit, konsol ve çıkmalı kirişlerin kendi aralarında mafsalla bağlanması sonucu elde edilen çok açıklıklı izostatik kirişler kullanılır. Böyle kirişler Gerber kirişler diye adlandırılır. Gerber kirişlerde ısı değişimlerinden ve mesnet çökmelerinden dolayı iç kuvvetler meydana gelmez. Bu kirişlerin hesabı Statiğin denge denklemleri kullanılarak yapılır. Gerber kirişlerin hesabı için gereken açıklamalar Örnek 2.1’in çözümünde verilmektedir.
Örnek 2.1 Boyutları ve yükleme durumu Şekil 2.1.1’de görülen Gerber kirişi için a) Kinematik analizin yapılması, b) Eğilme momenti ( M ) diyagramının çizimi, c) Kesme kuvveti ( T ) diyagramının çizimi, d) Çizilmiş diyagramların sağlamasının yapılması istenmektedir.
Çözüm : a) Yapılar kullanımları süresince geometrik biçimlerini korumalı, yani geometrik değişmez olmalıdırlar. Bunun için sistemin serbestlik derecesi kontrol edilir. Bir sistemin serbestlik derecesi, W, aşağıdaki ifade ile belirlenir: W = 3.P – 2.m - Cm Burada, P : Gerber kirişi oluşturan parçaların sayısı, m : parçaları birbirine bağlayan mafsal sayısı, Cm : mesnet bağlarının sayısıdır. W = 0 olması, sistemin geometrik değişmez olması için gerekli koşuldur, ancak tek başına yeterli değildir. Bununla birlikte sistemin yararlı bünyeye sahip olması (aşağıda açıklanmaktadır) şarttır. W > 0 ise sistem geometrik değişendir, diğer bir deyişle labil’dir. İnşaat mühendisliğinde labil sistemlerin yeri yoktur. W < 0 ise sistem geometrik değişmez olup, hiperstatik’dir. Ele alınmış olan sistem için
W = 3.3 – 2.2 -5 = 0
değeri elde edilmektedir. Aynı zamanda bu sistem yararlı bünyeye sahiptir, yani, Şekil 2.1.1’den görüldüğü gibi AB kirişi temele birbirine paralel olmayan ve doğrultuları bir noktada kesişmeyen üç bağla bağlanmıştır. Sistemin bir parçası olan bu kiriş tek başına
Şekil 2.1.1
D o o o o o
o o
o o
8 m 6 m 6 m
2 m 2 m 2 m 2 m
q = 2 kN/m q1=3 kN/m P=10 kN
K
M =8 kN.m
A B Cm1 m2
6
geometrik değişmez olup, esas veya taşıyıcı kiriş olarak adlandırılır. Diğer, yani taşınan parçalar ise esas kirişe bir mafsal ve doğrultusu bu mafsaldan geçmeyen mesnet bağıyla bağlanmıştır.
Gerber sistemleri hesaplamak için taşıma şeması çizilmelidir. Bunun için kirişin parçalarını birbiriyle bağlayan mafsallar iki mesnet bağıyla değiştirilir (Şekil 2.1.2b). Hesaba en üstte bulunan parçadan (kirişten) başlanır. Sonraki kirişlerin hesabında üstte bulunan kirişin mesnet tepkileri onlar için zıt yönde, dış kuvvet gibi etki ettirilir. Böylece Gerber kirişin hesaplama şeması elde edilmiş olur.
Şekil 2.1.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması. m2D kirişinin (Şekil 2.1.3a) hesabı : Mesnet tepkilerinin hesaplanması: Düzgün yayılı yük için mesnet tepkileri birbirlerine eşit olur.
kNql
VV Dm 624.3
21
2====
Eğilme momenti değerlerinin hesaplanması: Eğilme momentinin işareti aşağıdaki gibidir.
6 Şekil 2.1.3. a) m2D kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
Vm2
o o
q1=3 kN/m
D o
m2
VD l1= 4m
x
b)
c)
6 6
a)
M(kN.m)
T(kN)
VB VB
o o o o oo o
o o
8 m 6 m 6 m 2 m 2 m 2 m 2 m
q = 2 kN/m q1=3 kN/m P=10 kN
K
M =8 kN.m
A B
D
m1 m2
o o o o
C
o oo o
o
m1
m2
o
o
o o
q1=3 kN/m
D
o
oo
M =8 kN.m
o o B A
q =2 kN/m
VDVm2
Pm1
VC
Vm1
Vm1
a)
b)
c)
A B
C
D
C
m2
Vm2
oo
o
o
7
0≤ x ≤ 4 2
..2
2
xqxVM mx −= ,
x = 0 ⇒ .0=xM Eğilme momentinin maksimum değeri açıklığın ortasında olup
mkNqlM .684.3
8
221
max ===
olarak elde edilir. Eğilme momentinin maksimum olduğu kesitte kesme kuvvetinin değeri sıfır olur veya işaretini değiştirir. Kesme kuvveti değerlerinin hesaplanması: Kesme kuvvetinin işareti yandaki gibidir.
xqVT mx .2 −= ; 0=x ;62 kNVT mx ==⇒ kNTmxTmx xx 64.364;02.362 −=−=⇒==−=⇒=
Elde edilmiş olan değerlere göre M ve T diyagramları çizilmiştir (Şekil 2.1.3b,c). Eğilme momenti diyagramı dış yük etkisi altında uzamış lifler tarafında çizilmiştir. m1C kirişinin (Şekil 2.1.4a) hesabı : Mesnet tepkilerinin hesabı:
⇒=+++−=∑ 02.2.4. 21 mmC VPMVM
.104
2.62.1081 kNVm =
++=
⇒=+−+=∑ 084.6.6. 21 Cmm VVPM
kNVC 264
86.66.10=
++=
Sağlama:
⇒=−−+−=∑ 021 mCm VPVVY -10 + 26 -10 – 6 = 0. Her bir bölgede eğilme momenti değerlerinin hesaplanması (Şekil 2.1.4a): 0≤ 21 ≤x
,00;. 11111 =⇒=−= xmx MxxVM mkNMmx x .202 11 −=⇒=
2 42≤≤ x ,.122;. 22212 mkNMmxMxVM xmx −=⇒=+=
..324 22 mkNMmx x −=⇒= 0 23 ≤≤ x
..322.62.102,00;.. 33333233 mkNMmxMxxVxPM xxmx −=−−=⇒==⇒=−−= Kiriş bölgelerinde kesme kuvveti değerlerinin hesaplanması (Şekil 2.1.4a):
Şekil 2.1.4. a) m1C kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
10 10
M =8 kN.m
oo
o P=10 kN
m1 C
Vm1
K
Vm2= 6 kN
VC
x1 x2
x3
2 m 2 m 2 m
a)
b)
c)
20 12
32
16 16
M (kN.m)
T (kN)
8
0≤ 21 ≤x
kNVT m 101 −=−= . 2 42≤≤ x
.101 kNVT m −=−= 0 23 ≤≤ x
.166102 kNVPT m =+=+= Hesaplanmış değerlere uygun olarak eğilme momenti diyagramı Şekil 2.1.4b’de ve kesme kuvveti diyagramı Şekil 2.1.4c’de çizilmiştir. AB kirişinin hesaplanması (Şekil 2.1.5a): Mesnet tepkilerinin hesabı:
⇒=−+−=∑ 02.1.2.4.8.8. 1mAb VqqVM
.08
10.105.10.2
010.5.10.8.;108
2.101.2.24.8.21
=−
⇒=−+−==+−
= ∑
B
mBAA
V
VqVMkNV
Sağlama:
.02010010010.1 =−++⇒=−++=∑ qVVVY mBA M değerlerinin hesaplanması:
100 1 ≤≤ x
;2
..21
11xqxVM Ax −=
⇒= 01x ⇒== mxM x 10;0 11
.02
10.210.102
1 =−=xM
100 1 ≤≤ x aralığında eğilme momentinin maksimum değerini bulmak için 0=T kesitinin 0x uzaklığının hesabı:
⇒=−⇒=−= 0.2100. 000 xxqVT A
..252
5.25.10.52
max0 mkNMmx =−==
T kesme kuvveti değerlerinin hesaplanması:
100 1 ≤≤ x
11 .xqVT Ax −= .1010.21010;100 1111 kNTmxkNTx xx −=−=⇒==⇒=
Elde edilmiş değerlere göre M (Şekil 2.1.5b) ve T (Şekil 2.1.5c) diyagramları çizilmiştir.
10
o oB oA
q =2kN/m
Vm
1=10
kN
VA VB 1x
2 m 8 m
mx 50 =
M (kN.m)
T (kN)
a)
b)
c)
10
6
25
Şekil 2.1.5 a) AB kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
9
Gerber kirişin M eğilme momenti ve T kesme kuvveti diyagramları, kirişi oluşturan parçaların M ve T diyagramları aynı eksen üzerinde sırasıyla birleştirilerek elde edilir (Şekil 2.1.6).
Şekil 2.1.6. a) Gerber kiriş, b) M diyagramı, c) T diyagramı. Gerber kirişin T (Şekil 2.1.6c) diyagramına dayanarak, yeniden mesnet tepkileri
bulunabilir (Şekil 2.1.7). Bundan sonra kirişin genel dengesinin sağlaması yapılabilir (Şekil 2.1.8).
04.32.1062601004.10. 1 =−−+++⇒=−−−+++=∑ qPqVVVVY DCBA
o oo
oo
o o6 10
10 6 6 16
Şekil 2.1.7 VB=0VC=26kN VC=6kN
AB C D
VA=10kN
c)
A
P =10kN
o o B
2m 8m
M =8kN.m
oo
o Ko C
o o
q 1=3kN/m
D o
10
10 6
25
20 12
32
16 16
10
6
6
6
q=2kN/m
4m 2m 2m 2m
m1 m2
a)
b) M (kN.m)
T (kN)
A o o B
2 m 8 m
oo
o Ko
C o o D o
4 m 2 m 2 m 2 m
m1 m2
q 1=3 kN/m P =10 kN
q=2 kN/m M =8 kN.m
VA=10 kN VB=0 VC=26 kN VD=6 kN
Şekil 2.1.8
10
⇒=−++−+−=∑ 010.8.4.6.4.5.10.10.1 DCAm VqPVMqVM 10.10 - 2.10.5 + 8 – 26.4 + 10.6 + 3.4.8 – 6.10 = 0. Örnek 2.2. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 2.2.1’de verilmiş olan Gerber kirişin kinematik analizini yapıp, eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarını çiziniz. Çözüm : Sistemin serbestlik derecesi
W = 3P – 2m – Cm = 3.2 -2.1 – 4 = 0 olup, sistem aynı zamanda yararlı bünyeye sahiptir. Kirişin taşıma ve hesaplama şemaları aşağıda çizildiği gibidir (Şekil 2.2.2a,b).
Şekil 2.2.2. a) Gerber kiriş, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması.
Şekil 2.2.1
o o o A o
o o B C
q = 4 kN/m P1 = 8kN P2 =12 kN
M = 8 kN.m
6 m 1,5 m 2 m 4 m 2 m 3 m
m1 K
o o o A o
o o B C
q=4 kN/m q=4 kN/m P1 =8 kN P2 =12 kN
M =8 kN.m
6 m 1,5 m 2 m 4 m 1m 3 m
m1 K
o Bo o
o o o o
o
o o om1
m1A
A
q=4 kN/m P1 =8 kN
oo o B C
q=4 kN/m P2 =12 kN
M =8 kN.m
K
1,5 m 6 m 2 m 4 m 3m 1m
Vm1
Vm1
a)
b)
c)
q = 4 kN/m
11
Am1 kirişinin (Şekil 2.2.3a) hesaplanması: Mesnet tepkileri:
⇒=−+−=∑ 03.6.6.)5,7.(11qVPM Am
kNVA 226
3.6.4)5,7.(8=
+=
⇒=−+−=∑ 0)5,1.(3.6.6. 11 PqVM mA
kNVm 106
)5,1.(83.6.41 =
−=
Sağlama :
⇒=+−+−=∑ 06. 11 mA VqVPY .0106.4228 =+−+−
Her bölge için (Şekil 2.2.3a) M ve T değerlerinin hesaplanması:
5,10 1 ≤≤ x .8;. 11111 kNPTxPM x =−=−=
..125.1;00 1111 mkNMmxMx xx −=⇒==⇒= 60 2 ≤≤ x
;10,00;;2
.. 222212
22
212 kNTMxxVTxqxVM xxmxmx −==⇒=+−=−=
.146.410,.122
36.46.106 222 kNTmkNMmx xx −=+−=−=−=⇒=
60 2 ≤≤ x aralığında eğilme momentinin maksimum değer aldığı kesitin 0x uzaklığı:
mkNMmxxqTx .5.122
)5,2(.4)5,2.(10.5,24
100.102
max000 =−===⇒=+−=
Hesaplanmış değerlere göre M (Şekil 2.2.3b) ve T (Şekil 2.2.3c) diyagramları çizilmiştir. BC kirişinin (Şekil 2.2.4a) hesaplanması: Mesnet tepkileri:
⇒=++−+−−=∑ 0)5,0.(1.3.7.8.2.9.1 qMPVqVM BmC
.7143,257
)5,0.(1.487
3.128.2.49.10 kNVB =+
−++
=
.2857,87
1.2.47
2.1084.12)5,7.(1.4
01.2.2.4.7.)5,7.(1. 1
kNV
qVMPVqM
C
mCB
=−−++
=
⇒=−−++−=∑
Sağlama:
01.42857,8127143,252.41001.2.1 =−+−+−−⇒=−+−+−−=∑ qVPVqVY CBm
Şekil 2.2.3. a) Am1 kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
P1 =8 kN
M(kN.m)
8
oo o
q = 4 kN/m
Vm1 VA
1x 2x
1,5 m 6 m
10
T(kN) c)
a)
b)
12
1412,5
8
A m1
12
Bölgeler (Şekil 2.2.4a) için M ve T değerlerinin hesaplanması.
20 1 ≤≤ x
.182.410;.282
2.42.102
,.121
,10,00..;2
..
1
2
11
11
111111
21
111
kNTmkNMmx
mkNMmx
kNTMxxqVTx
qxVM
xx
x
xxmxmx
−=−−=−=−−=⇒=
−=⇒=
−==⇒=−−=−−=
62 2 ≤≤ x
.7143,77143,252.4102.;)2.()1.(2..
1
22212
kNVqVTxVxqxVM
Bm
Bmx
=+−−⇒+−−=−+−−−=
..857,24).7143,25(5.2.46.106,.281.2.42.102
22
22
mkNMmxmkNMmx
x
x
=+−−=⇒=−=−−=⇒=
10 3 ≤≤ x
.41.4,.22
1.41..5,0
5,0.0;00..;2
.
3
2
333
333333
23
3
kNTmkNMmxmkNM
mxTMxxqTx
qM
xxx
xxxx
==−=−=⇒=−=
⇒===⇒==−=
Şekil 2.2.4. a) BC kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı. 18
o o oB C
q=4 kN/m P2 =12 kNM =8 kN.m
K
2 m 4 m 3 m 1 m
3x
q =4 kN/m
Vm
=10
kN
1x 2x
VC
VB
12
28
2,85
10,85
2 0,5
10
7,714 7,714
4,285 4,285
4
M(kN.m)
T(kN)
a)
b)
c)
4x
13
41 4 ≤≤ x .2857,42857,81.41.;)1.()5,0.(1. 444 kNVqTxVxqM CCx −=−=−=−+−−=
..8571,103).2857.8()5,3.(1.44,.21 4444 mkNMmxmkNMmx xx =+−=⇒=−=⇒= Belirlenen değerlere göre M (Şekil 2.2.4b) ve T (Şekil 2.2.4c) diyagramları çizilmiştir.
M diyagramından görüldüğü gibi kirişin tekil eğilme momenti uygulanmış olan kesitinde, diyagramda bu momentin değeri kadar ve yönünde bir atlama vardır. T diyagramında ise kirişin tekil yük uygulanmış olan kesitinde bu kuvvetin yönünde kendi değeri kadar atlama oluşmuştur.
Gerber kirişi oluşturan basit kirişlerin M ve T diyagramları birleştirilip, kirişin M (Şekil 2.2.5a) ve T (Şekil 2.2.5b) diyagramları elde edilir.
Şekil 2.2.5. a) Gerber kiriş, b) M diyagramı, c) T diyagramı. Kirişin tümünün denge kontrolü (Şekil 2.2.6):
VC=8,2857 kN
o o o A o
o o B C
q = 4 kN/m q = 4 kN/m P1 =8 kN P2 =12 kN
M =8 kN.m
6 m 1,5 m 2 m 4 m 1 m 3 m
m1 K
VA=22 kN VA=25,714 kN
Şekil 2.2.6
12
12,5
14
8
o o o A o
o o B C
q =4 kN/m q = 4 kN/m P1 = 8 kN P2 =12 kN
M =8 kN.m
6 m
1,5 m
2 m 4 m 1 m 3 m
m1 K
12
28
2,85
10,85
2 0,5
7,714 7,714
4,285 4,285
4 T(kN)
8 10
18
a)
b)
c)
M(kN.m)
14
0)5,9.(1.49).2857,8(86.122).7143,25(1.2.43.6.46.22)5,7.(80)5,9.(1.9.6.2.1.2.3.6.6.)5,7.(
01.4128.482857,87143,25221.8.
11
1
=+−++−+−+−
⇒=+−++−+−+−=
=−−−−++=−−−−++=
∑∑
qVMPVqqVPM
qPqPVVVY
CBAm
CBA
Örnek 2.3. Şekil 2.3.1’de görülen Gerber kirişin eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarının çizilmesi istenmektedir.
Şekil 2.3.1.
Çözüm : Sistemin serbestlik derecesi: W = 3.2 – 2.1 - 4 = 0’dır ve sistem yararlı bünyeye sahip olduğundan geometrik değinmezdir. Kirişin taşıma ve hesaplama şemaları Şekil 2.3.2’ de çizilmiştir.
Şekil 2.3.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması.
o o o
q =3 kN/mP=14 kN
M=10 kN.m
2 m 6 m 2 m 2 m
m1 A B K
o o o
q =3 kN/m P=14 kN
M=10 kN.m
2 m 6 m 2 m 2 m
m1A BK
o A o o om1o
o o
A om1
P=14 kN
B K
VA Vm
Vm
M=10 kN.m q =3 kN/m
q =3 kN/m
a)
b)
c)
15
Am1- kirişinin (Şekil 2.3.3a) hesaplanması : Mesnet tepkilerinin bulunması:
.3333,76
103.6.303.6.6.
.6667,106
3.6.31003.6.6.
1
1
1
kNV
MqVM
kNV
qVMM
m
mA
A
Am
=−
=
⇒=−+−=
=+
=
⇒=−+−=
∑
∑
Sağlama:
06.33333.76667.1006.1
=−+
⇒=−+=∑ qVVY mA
Şekil 2.3.3. a) Am1 kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı. Kirişin her bir bölgesi için (Şekil 2.3.3a) M ve T ’nin bağıntılarının yazılıp, değerlerinin hesaplanması.
20 1 ≤≤ x .0;.10 =−= TmkNM
60 2 ≤≤ x
.6667,106.33333,7,102
6.36).3333,7(6 2
2
22 kNTkNMmx xx =+−=−=−=⇒=
İkinci bölgede M ’nin maksimum değer aldığı kesitin uzaklığı, bu kesitte kesme kuvveti değerinin sıfır olma şartından belirlenir.
mkNM
mxqxVT mx
.963.82
)444,2(.3)4444,2.(3333.7
.4444,23
3333,70
2
max
2212
=−=
==⇒=+−=
Belirlenmiş değerlere uygun olarak basit kirişin M ve T diyagramları çizilmiştir (Şekil 2.3.3b,c). m1B kirişinin (Şekil 2.3.4a) hesaplanması: Konsol kirişlerin hesabına serbest uçtan başlanabilir. Her bir bölge için M ve T değerlerini belirlenmesi:
20 1 ≤≤ x
..;2
.. 111
21
111 xqVTxqxVM mxmx −−=−−=
mkNMmx
kNVTMx
x
mxx
.666,202
2.32).333.7(2
.333,7,002
11
1111
−=−−=⇒=
−=−==⇒=
.3333,132.33333,71 kNTx −=−−=
ooA o m1
VA Vm1
2x 1x
6 m 2 m
q =3 kN/m M=10 kN.m
M (kN.m)
T (kN)8,963
7,333
10,667
10 10
16
42 2 ≤≤ x
..
;)2.(2
..
212
2
22
212
PxqVT
xPxqxVM
mx
mx
−−−=
−−−−=
mkN
Mmx
kNTmkNMmx
x
x
x
.333,81
2.1424.34).333,7(4
.3333,27142.33333,7.6666,202
2
22
2
22
−=
=−−−=⇒=
−=−−−=−=⇒=
Hesaplanmış değerlere göre kirişin M (Şekil 2.3.4b) ve T (Şekil 2.3.4c) diyagramları çizilmiştir. Basit kirişlerin M ve T diyagramlarının birleştirilmiş şekilde çizilmesiyle Gerber kirişin M (Şekil 2.3.5b) ve T (Şekil 2.3.5c) diyagramları elde edilmiş olur. Şekil 2.3.5. a) Gerber kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
Şekil 2.3.4. a) m1B kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
M(kN.m)
P=14 kN
B K
Vm1 q =3 kN/m
2 m 2 m
m1
27,33
81,33
7,33 13,33
33,33
20,66 b)
T(kN)
a)
c)
2x 1x
a)
o o o
q =3 kN/m P=14 kN
M=10 kN.m
2 m 6 m 2 m 2 m
m1 A BK
27,33
7,33
13,33
20,66
T(kN)
33,33
10,66 8,963
10 10
81,33
M(kN.m) b)
c)
17
Kirişin tümünün denge kontrolü (Şekil 2.3.6):
Şekil 2.3.6
03333,814).3333,33(2.142.4.36.6667.101004.2.2.4.3.6.6.
03333,331410.36667,10010._
1
=+−+++−
⇒=+−++−+−=
=+−−⇒=−−=
∑∑
BBAm
BA
MVPqqVMM
VPqVY
Örnek 2.4. Yükleme durumu ve boyutları Şekil 2.4.1’de görülen Gerber kirişin eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarını çiziniz.
Şekil 2.4.1 Çözüm : W = 3.3 – 2.2 – 5 = 0 olduğundan ve sistem yararlı bünyeye sahip olduğu için geometrik değişmezdir. Önceki örneklerin çözümlerinde olduğu gibi Gerber kirişin taşıma ve hesaplama şemaları Şekil 2.4.2’de çizilmiştir. m1 m2 kirişinin ( Şekil 2.4.3a) hesaplanması: Kirişe etkiyen yük bir tekil yük olup açıklığın ortasına uygulandığından mesnet tepkileri ve iç kuvvetler aşağıdaki gibi olur.
.5,72
152
221 kNPVV mm ====
Eğilme momentinin maksimum değeri açıklığın ortasında olup
.'.154
4.154.
max dirmkNlpM ===
o o
o
q =3 kN/m P=14 kN
M=10 kN.m
2 m 6 m 2 m 2 m
m1 A B K
MB=81,333 kN.m
VA=10,666 VB=33,333 kN
M=16 kN.m
o ooo
C o o
K
2 m 2 m 2 m 2 m1,5 m1m 5 m
M1=12 kN.m q =4 kN/m
P2=15 kNP1=18 kN P3=20 kN
A Bm2 m1
om1 m2
o
Vm1 Vm2
P2=15 kN
2 m 2 m
15
7,5 7,5
7,5 7,5
M (kN.m)
T (kN)
c)
b)
a)
Şekil 2.4.3. a) m1m2 kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
o
18
Kesme kuvveti değerleri : .5,7;5,7 2211 kNVTkNVT mmmm −==== Bu değerlere uygun olarak kirişin M (Şekil 2.4.3b) ve T (Şekil 2.4.3c) diyagramları çizilmiştir.
Şekil 2.4.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması. Taşıma şemasından (Şekil 2.4.2b) görüldüğü gibi esas kirişlerin her ikisi de (Am1 ve BC) aynı seviyede olduğundan, bu iki kirişin hesap sırası önemli değildir. BC kirişinin (Şekil 2.4.4a) hesaplanması: Mesnet tepkileri
.85714,157
2).5,7(1.2.4)5,2.(5.45.201602.1.2.
)5,2.(5.5.7..64285,397
162.20)5,5.(7.49).5,7(02.
7.)5,5.(7.9.
2
3
3
2
kNV
V
VqqPVMM
kNV
V
MPVqVM
C
C
m
CB
B
B
BmC
=
−−++−=
=−−
−++−−=
=
+++=
=−−
+−−=
∑
∑
M=16 kN.m
M=16 kN.m o o
o o C o
o K
2 m 2 m 2 m 2 m1,5 m 1m 5 m
M1=12 kN.m q = 4 kN/m
P2=15 kN P1=18 kN P3=20 kN
o o o oo
o
o o
o o
m1
m1 m2
m2 BA
A B C
o
P2=15 kN
m1 m2 o o
C o o
q =4 kN/m P3=20 kN
o
Vm1
K
P1=18 kN
A
Vm1
Vm2
Vm2
a)
b)
c) M1=12 kN.m
a)
15,857 15,857
M (kN.m)
Co o
q =4 kN/m
o
Vm2=7,5 kN P3=20 kN M=16 kN.m
B
VC
VB
2 m 2 m 5 m
3x 1x
2x
9,5 23
17,28 47,24 16
7,5 15,5
24,143
4,143 T (kN)
b)
c)
K
Şekil 2.4.4. a) BC kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
19
Sağlama :
.0857,15643,39207.45,707. 32 =++−−−⇒=+−+−−=∑ CBm VPVqVY Her bir bölge için (Şekil 2.4.4a) M ve T ’nin ifadelerinin yazılıp, değerlerinin hesaplanması.
20 1 ≤≤ x
..;2
.. 121
21
121 xqVTxqxVM mxmx −−=−−=
.5,152.45,7,.232
2.42).5,7(2
..5,921.41).5,7(1.5,7,00
1
2
11
21111
kNTmkNMmx
mkNMmxkNTMx
xx
xxx
−=−−=−=−−=⇒=
−=−−=⇒=−==⇒=
72 2 ≤≤ x
..;)2(2
.. 2222
22
222 BmxBmx VxqVTxVxqxVM +−−=−+−−=
.143,2464285,392.45,7,.232 222 kNTmkNMmx xx =+−−=−−=⇒= 20 3 ≤≤ x
..714,472).857,15(162,.160.857,15;.
3333
33
mkNMmxmkNMMxkNVTxVMM
xx
CCx
=+=⇒===⇒=−=−=+=
Hesaplanmış bu değerlere göre BC kirişinin M (Şekil 2.4.4b) ve T (Şekil 2.4.4c) diyagramları çizilmiştir. Am1 kirişi (Şekil 2.4.5a) için M ve T diyagramlarının çizimi: Kirişin bölgeleri için M ve T değerlerinin hesaplanması:
5,10 1 ≤≤ x .5,7;. 1111 kNVTxVM mmx ==−=
..25,115,1).5,7(5,1,00
1
111
mkNMmxMx
x
x
−=−=⇒==⇒=
5,25,1 2 ≤≤ x
..75,24121.18)5,2.(5,75,2.75,0125,1).5,7(5,1
.5,25185,7)5,1(.
22
22
11
121212
mkNMmxmkNMmx
kNPVTMxPxVM
x
x
m
mx
−=+−−=⇒==+−=⇒=
=+=+=+−−−=
Bulunmuş değerlere göre kirişin M (Şekil 2.4.5b) ve T (Şekil 2.4.5c) diyagramları çizilmiştir. Basit kirişlerin M ve T diyagramlarını kullanarak Gerber kirişin M (Şekil 2.4.6b) ve T (Şekil 2.4.6c) diyagramları çizilmiştir.
M (kN.m)
T (kN)
K
P1=18 kN
AV
m1=
7,5k
N2x
1x
a)
b)
c)
24,75
11,25
0,75
25,5 25,5
7,5 7,5
1,5 m 1 m
M1=12 kN
m1
Şekil 2.4.5. a) Am1 kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
20
Şekil 2.4.6. a) Gerber kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı. Verilmiş Gerber kirişin tümünün dengede olmasının kontrolü (Şekil 2.4.7):
Şekil 2.4.7
0169).857,15(7.202).643,39()5,3.(7.42.15)5,5.(18127).5,22(5,3707.9.7.2.)5,3.(7.2.)5,5.(
0857,1520643,397.415185,2507.
32112
321
=−−+−+−−−+−
⇒=+−−+−+−−−−=
=+−+−−−
⇒=+−+−−−=
∑
∑
ACBAm
CBA
VMVPVqPPMMM
VPVqPPVY
Örnek 2.5. Yükleme durumu ve ölçüleri Şekil 2.5.1’de verilmiş olan Gerber kirişin eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarının çizilmesi istenmektedir.
o ooo
C o o K
2 m 2 m 2 m 2 m1,5 m 1 m 5 m
M1=12 kN.m M=16 kN.m q =4 kN/m P2=15 kN P1=18 kN P3=20 kN
m1 m2 BA
a)
b)
c)
24,75
11,25
0,75
25,5 25,5
7,5 7,5
M (kN.m)
9,5
23
17,2847,24
16
7,5 15,5
24,143
4,143
T (kN)
7,5
7,5
15,87 15,87
15
MA=2
4,75
kN
.m
VC=15,857 kN
o oo o
C o o
K
2 m 2 m 2 m 2 m1,5 m 1 m 5 m
M1=10 kN.m q =4 kN/m
P2=15 kNP1=12 kN P3=20 kN
m1 m2 BA
VA=25,5 kN VB=39,643 kN
M=16 kN.m
21
Şekil 2.5.1 Çözüm : Serbestlik derecesi W = 3.P – 2.m – Cm= 3.4 -2.3 – 6 = 0’dır ve Şekil 2.5.1’den görüldüğü gibi kirişin yararlı bünyeye sahip olma şartları sağlanmıştır. Böylece kiriş geometrik değişmezdir. Sistemin taşıma (Şekil 2.5.2b) ve hesaplama (Şekil 2.5.2c) şemaları çizildikten sonra her bir kirişin hesabı yapılır.
Şekil 2.5.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması.
o o o
o
q =3 kN/m
D Em1
C o oo
o o o
q =3 kN/m
A B
M1=10 kN.m
P1=12 kN
K
Vm1
Vm1
Vm2
Vm2
Vm3
Vm3
c) P2=14 kN
o o Co
o
q =3 kN/m
A o o o o
q =3 kN/m P1=12 kN P2=14 kN
M1=10 kN.m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 3 m 3 m6 m
ooooo
o o o o o
oo
B D Em2 m1 m3
m2 m1
B A D E
K
M1=10 kN.m
o o o
m2 m3
M1=10 kN.m
a)
b)
Co o
o o
o o
o o
m3
o o
o o Co o
q =3 kN/m
oo o o
o o
o o
q = 3 kN/m P1=12 kN P2=14 kN
M1=10 kN.m
M1=
10 k
N.m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 m 4 m 3 m6 m
m2 m3 m1 A B ED
22
Hesaplamaya en üstteki kiriş olan m2 m3 kirişinden (Şekil 2.5.3a) başlanır. Bu tür yükleme durumunda, yani kiriş üzerinde sadece bir tekil moment olduğunda mesnet tepkileri ters işaretle birbirine eşittirler.
.5,24
10432 kNMVV mm ====
Kirişin bölgeleri için (Şekil 2.5.3a) M ve T değerleri şöyle hesaplanır:
20 1 ≤≤ x
mkNMmxMxkNVTxVM
xx
mmx
.52).5,2(2,00.5,2;.
1111
2121
−=−=⇒==⇒=−=−=−=
20 2 ≤≤ x
mkNMmxMxkNVTxVM
xx
mmx
.52).5,2(2,00.5,2;.
2222
3232
==⇒==⇒=−=−==
Bu değerlere göre kirişin M (Şekil 1.5.3b) ve T (Şekil 1.5.3c) diyagramları çizilmiştir. DE kirişinin (Şekil 1.5.4a) hesabı: Mesnet tepkileri
.125,208
2).5,2(5.144.8.305.4.8.8.
.375,208
3.144.8.310).5,2(03.4.8.8.10.
2
23
kNV
PqVM
kNV
PqVVM
E
ED
D
DmE
=−+
=
⇒=++−=
=++
=
⇒=−−+−=
∑
∑
Sağlama :
.0125,20148.3375,205,208. 23
=+−−+−
⇒=+−−+−=∑ EDm VPqVVY
Bölgelere göre (Şekil 1.5.4a) M ve T değerlerinin bulunması :
20 1 ≤≤ x
mkNMmxMxkNVTxVM
xx
mmx
.52,00.5,2;.
1111
3131
−=⇒==⇒=−=−=−=
Şekil 2.5.4. a) DE kirişi, b) M diyagramı,
o o
q =3 kN/m
D E o
P2=14 kN
VD VE
Vm3=2,5kN
3x 1x
2x
2 m 5 m 3 m
T(kN)2,5 2,5
5
46,875 17,875
20,125
2,875
11,125
M(kN.m)
c)
b)
a)
o o o
2x
m3
Vm2
M1=10 kN.m
Vm3 1x
2 m 2 m
5
5
2,5 2,5
T(kN)
M(kN.m)
a)
b)
c)
Şekil 1.5.3 a) m2 m3 kirişi ,b) M diyagramı, c) T diyagramı.
23
c) T diyagramı.
72 2 ≤≤ x
.)2.(,2
)2(.)2.(. 232
22
2232 −−+−=−
−−+−= xqVVTxqxVxVM DmxDmx
.875,17375,205,2,.52 222 kNTmkNMmx xx =+−=−=⇒=
.875,25.3375,205,2
.875,462
)27(.35).375,20(7).5,2(7
.75,242
)24(.32).375,20(4).5,2(4
2
2
22
2
22
kNT
mkNMmx
mkNMmx
x
x
x
=−+−=
=−
−+−=⇒=
=−
−+−=⇒=
30 3 ≤≤ x
.125,20,00..;2
.. 33333
23
33 kNVTMxxqVTx
qxVM ExxExEx −=−==⇒=⇒+−=−=
.125,113.3125,20,.875,462
3.33).125,20(3 3
2
33 kNTmkNMmx xx −=+−==−=⇒=
Bulunan değerlere uygun olarak M (Şekil 2.5.4b) ve T (Şekil2 .5.4c) diyagramları çizilmiştir. m1 C kirişinin (Şekil 2.5.5a) hesaplanması : Mesnet tepkileri
kNV
VPVM
m
mmC
2,85
2).5,2('3.12
02.3.5.
1
211
=+
=
⇒=−−=∑
∑ ⇒=+−−= 02.5. 121 PVVM Cmm
.3,15
2.127).5,2( kNVC =+−
=
Sağlama : ∑ ⇒=++−= 0111 mCm VVPVY 05,23,1122,8 =++− Her bir bölgede (Şekil 1.5.5a) M ve T değerleri.
20 1 ≤≤ x
.2,8;. 1111 kNVTxVM mmx === ..4,162,00 1111 mkNMmxMx xx =⇒==⇒=
52 2 ≤≤ x
.8,32,8,)2.(. 11121212 kNPPVTxPxVM mmx −=−=−=−−= ..53.125).2,8(5,.4,162 2222 mkNMmxmkNMmx xx =−=⇒==⇒=
m1 C o o o
P1=12 kN
Vm
2= 2
,5kN
VC Vm1
1x 2x
3 m 2 m 2 m
a)
b)
c)
M (kN.m)
T (kN)
3x
3,8
16,4
5
8,2 8,2
2,5 3,8
Şekil 2.5.5. a) m1C kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
24
20 3 ≤≤ x
..52,00.5,2;. 3333323 mkNMmxMxkNTxVM xxmx =⇒==⇒=−== Bu değerlere göre M (Şekil 2.5.5b) ve T (Şekil 2.5.5c) diyagramları çizilmiştir. AB kirişinin (Şekil 1.5.6a) hesabı: Mesnet tepkileri
.9333,286
124.8.38).2,8(
06.4.8.8.
2667,36
1.2.32).2,8(3.6.31201.2.2.
3.6.6.
1
2
kNV
MVqVM
kNV
qVqVMM
B
BmA
A
m
AB
=++
=
⇒=+−+=
=−−+−
=
⇒=++
+−+=
∑
∑
Sağlama :
02,89333,288.32667,308. 1
=−+−
⇒=−+−=∑ mBA VVqVY
Bölgelere göre (Şekil 1.5.6a) M ve T değerlerinin bulunması:
20 1 ≤≤ x
.2,142.32,8
,.4,2222.32).2,8(2
.7,921.31).2,8(1
,2,8,00
.;2
..
1
2
11
11
111
111
21
111
kNT
mkNMmx
mkNMmx
kNTMx
xqVTxqxVM
x
x
x
xx
mxmx
=+=
−=−−=⇒=
−=−−=⇒=
==⇒=
⇒+=−−=
82 2 ≤≤ x
..;)2.(2
.. 2122
22
212 BmxBmx VxqVTxVxqxVM −+=−+−−=
.7333,149333,282.32,8,.4,222 222 kNTmkNMmx xx −=−+=−=⇒= Bu bölgede eğilme momentinin maksimum değer alacağı kesitin yeri:
Şekil 2.5.6. a) AB kirişi, b) Mdiyagramı, c) T diyagramı.
oo o
q =3 kN/m
A B
M1=10 kN.m
VB
Vm1=8,2kN
VA
1x
2x 3x
T(kN)
2 m 2 m6 m
12 13,77
22,4
9,7
3,27
14,73
14,2 8,2
M(kN.m)
c)
a)
b)
25
mkNMmx
mxxTx
.778,13)9111,4).(9333,28(2
)9111,6(.3)9111,6).(2,8(9111,6
.9111,609333,28.32,802
max0
002
=+−−=⇒=
=⇒=−+⇒=
.2667,39333,288.32,8
,.126).9333,28(2
8.38).2,8(8
2
2
22
kNT
mkNMmx
x
x
=−+=
=+−−=⇒=
20 3 ≤≤ x
.0;.12 == TmkNM Hesaplanmış değerlere göre kirişin M (Şekil 2.5.6b) ve T (Şekil 2.5.6c) diyagramları çizilmiştir. Gerber kirişi oluşturan kirişlerin M ve T diyagramları kullanılarak, tüm sistemin eğilme momenti (Şekil 2.5.7c) ve kesme kuvveti (Şekil 2.5.7c) diyagramları çizilmiştir.
Şekil 2.5.7. a) Gerber kiriş, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
T(kN)
o o Co o
q =3 kN/m
A o o o o
q =3 kN/m P1=12 kN P2=14 kN
M1=10 kN.m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 3 m 3 m6 m
B D Em2 m1 m3 K
M1=10 kN.m a)
o o
o o
12 13,77
22,4
9,7
3,27
14,73
14,2
8,2
M(kN.m)
c)
b)
2,5 2,5
5
46,875
17,875
20,125
2,875
11,125 3,8
16,4
5
8,2
3,8
5
5
2,5
26
Kirişin tümüne ait denge kontrolü:
014).125,20(6).375,20(11.1410.8.3102).3,1(5.129).9333,28(11.8.315).2667,3(12014.6.10.8.2.5.9.11.8.15.
0125,2014375,208.33,1129333,288.32667,3
08.8.
112
21
=−−−++++−+−+
⇒=−−+++−+−+=
=+−+−+−+−
⇒=+−+−+−+−=
∑
∑
EDCBAm
EDCBA
VVqMVPVqVMM
VPVqVPVqVY
Örnek 2.6. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 2.6.1’de verilmiş Gerber kirişin eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarını çizip, genel denge şartlarını kontrol ediniz. Çözüm: Serbestlik derecesi W = 3.P – 2.m – Cm= 3.2 -2.1 – 4 = 0’dır ve Şekil 2.6.1’den görüldüğü gibi sistem yararlı bünyeye sahiptir. Böylece kiriş geometrik değişmezdir.
Gerber kirişin taşıma ve hesaplama şemaları sırasıyla Şekil 2.6.2b ve Şekil 2.6.2c’de çizilmiştir.
Şekil 2.6.1
o o Co
o
q =3 kN/m
A oo o o
q =3 kN/m P1=12 kN P2=14 kN
M1=10 kN.m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 3 m 3 m6 m
B D Em2 m1 m3 K
M1=10 kN.m
oo
oo
VA=3,2667 kN VB=28,9333 kN VC=1,3 kN VD=20,375 kN VE=20,125 kN
Şekil 2.5.8
oo o A B Ko
o o
P1=15 kN P2=18 kN P3=20 kN
M=12 kN.mq=4 kN/m
2 m 2 m 2 m 3 m 3 m 4 m6 m
C m1
27
Şekil 2.6.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması. Am1 kirişinin (Şekil 2.6.3a) hesaplanması: Mesnet tepkileri
.333,16
1.2.401.2.6.
.333,96
7.2.4
06.7.2.
1
1
1
kNV
qVM
kNV
VqM
m
mA
A
Am
==
⇒=−=
==
⇒=+−=
∑
∑
Sağlama :
0333,1333,92.402. 1
=−+−
⇒=−+−=∑ mA VVqY
Bölgelerde (Şekil 2.6.3a) M ve T ’nin değerlerinin hesaplanması:
M=12 kN.m
o o
A
o
q=4 kN/m
o B Ko o
P2=18 kN P3=20 kN
C
M=12 kN.m
Vm1
m1
Vm1
P1=15 kN
oo o A B Ko
o o
P1=15 kN P2=18 kN P3=20 kNq=4 kN/m
2m
2m 2m 3m 3m 4m6m
C
o B o o C
o o o o
o
m1 a)
b)
c)
oo A o
q=4 kN/m
Vm1
VA
m1
2x
2 m 6 m
1x
8
8
1,33 1,33
a)
2b)
c)
M(kN.m)
T(kN)
Şekil 2.6.3. a) Am1 kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
VA
28
20 1 ≤≤ x
.82.4
,.82
2.42;.22
1.41
.0,00.;2
1
2
11
2
11
11111
21
1
kNT
mkNMmxmkNMmx
TMxxqTxqM
x
xx
xxxx
−=−=
−=−=⇒=−=−=⇒=
==⇒=⇒−=−=
60 2 ≤≤ x mkNMmxMxkNVTxVM xxmmx .86,00.333,1;. 222222 −=⇒==⇒===−=
Bu değerlere göre Am1 kirişinin M (Şekil 2.6.3b) ve T (Şekil2.6.3c) diyagramları çizilmiştir. BC esas (taşıyıcı) kirişinin (Şekil 2.6.4a) hesaplanması: Mesnet tepkileri
.4666,1510
2.152).333,1(3.187.201202.2.3.7.10.
2,3610
123.207.1812).3333,1(12.1503.7.10.12.12.
123
321
kNV
PVPPVMM
kNV
MPPVVPM
C
mCB
B
AmC
=−+++−
=
⇒=−+++−−=
=+++−
=
⇒=−−−++−=
∑
∑
Sağlama :
04666,1520182,36333,1150321 =+−−++−⇒=+−−++−=∑ CAm VPPVVPY BC kirişinde olduğu gibi sadece tekil yüklerle yüklü kirişlerde tekil yüklerin uygulama noktaları arasındaki bölgelerde kesme kuvveti sabit kalır, eğilme momenti ise bir doğru şeklinde değişir. Buna göre de M ve T diyagramlarının çizilmesi için iç kuvvetlerin değerlerinin kritik kesitlerde hesaplanması yeterli olur. Eğilme momenti için :
mkNVPMM mBm .333,272).333,115(2.2.;0 11 −=+−=+−== mkNVVPM BmE .2666,403).2,36().333,115(3.5.5.1 =++−=++−=
mkNPVVPM BmF .4,584.187).2,36(9).333,115(4.79.9. 2.1 =−++−=−++−= Sağ uçtan bakılarsa
mkNVMMmkNMMmkNMM CFCD .4,583).466,15(123.;.12;.12 =+=+=====
29
Şekil 2.6.4. a) BC kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı. Kesme kuvveti için (Sol uçtan bakıldığında)
kNPTPPVVPT
TkNTPVVPT
TkNVVPT
TkNVPT
solFBm
sağF
solF
solEBm
sağE
solEBm
sağa
solAmm
4666,15205333,4)(
5333,4185333,2218)(
5333,222,363333,115
6667,133333,115
33211
211
11
111
−=−=−=−−++−=
==−=−=−++−=
==++−=++−
=−=+−=+−=
Sağ uçtan bakıldığında
.4666,15;0 kNVTTT Csol
Csağ
CD −=−=== Bu değerlere göre kirişin M (Şekil 2.6.4b) ve T (Şekil 2.6.4c) diyagramları çizilmiştir. Am1 ve BC kirişlerinin M (Şekil 2.6.3b, Şekil 1.6.4b) ve T (Şekil 2.6.3c, Şekil 2.6.4c) diyagramları birlikte çizilerek Gerber kirişin M (Şekil 2.6.5b) ve T (Şekil 2.6.5c) diyagramları elde edilir.
o B Foo
P2=18 kN P3=20 kN
C
P1=15 kN M=12kN.m
Vm1=1,333k VB VA
M(kN.m)
2 m 2 m3 m 3 m4 m
27,33
40,6658,4
13,66 13,66
22,533 22,533
4,533 4,533
15,466 15,466
T(kN)
a)
12 12
b)
c)
E Dm
30
Şekil 2.6.5. a) Hesaplanan kiriş, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
Gerber kirişin genel denge şartlarının kontrolü:
Şekil 2.6.6
01210).4666,15(7.203.182.158).3333,9(9.2.4
01210.7.3.2.8.9.2.04666,1520182,36153333,92.4
02.
321
321
=−−++−+−
⇒=−−++−+−=
=+−−+−+−
⇒=+−−+−+−=
∑
∑
CVB
CBA
VPPPVqM
VPPVPVqY
VA=9,333 kN
oo o A B Ko
o o
P1=15 kN P2=18 kN P3=20 kNq=4 kN/m
2m 2m 2m 3m 3m 4m6m
C m1
M=12 kN.m
VB=36,2 kN VC=15,4666 kN
8
M=12 kN.m
M(kN.m) 8
1,33 1,33
2 b)
c)
27,33
40,6658,4
13,66 13,66
22,533 22,533
4,533 4,533
15,466 15,466
12 12
oo o A B Ko
o o
P1=15 kN P2=18 kN P3=20 kNq=4 kN/m
2 m 2 m 2 m 3 m 3 m 4 m6 m
C m1
a)
T(kN)
31
Örnek 2.7. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 2.7.1’deki Gerber kirişin eğilme momenti ve kesme kuvveti diyagramlarını çiziniz.
Şekil 2.7.1 Çözüm: Serbestlik derecesi W = 3.D – 2.m – Cm = 3.2 -2.1 – 4 = 0’dır ve Şekil 2.7.1’den görüldüğü gibi kiriş yararlı bünyeye sahiptir. Böylece sistem geometrik değişmezdir. Sistemin taşıma ve hesaplama şemaları sırasıyla Şekil 2.7.2b ve Şekil 2.7.2c’de gösterilmiştir.
Şekil 2.7.2. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) Hesaplama şeması.
M=1
5 kN
.m
o Bo o o
o o
P1=18 kN P2=20 kN P3=15 kNq0=12 kN/m q1=4 kN/m
A C m
8 m 3 m 3 m 4 m 2 m
o Boo o
o o
P1=18 kN P2=20 kNq0=12 kN/m q1=4 kN/m
A C m
8 m 3 m 3 m 4 m 2 m
P3=15 kN
o o C o
oo Bo oA
o
o o
P1=18 kN
P2=20 kN
C m
P3=15 kN
o
o Boo
q0=12 kN/m q1=4 kN/m
A
Vm
Vm
a)
b)
c)
M=1
5 kN
.m
M=1
5 kN
.m
32
mC kirişinin (Şekil 1.7.3a) hesaplanması: Mesnet tepkileri
.857,277
3.209.15
03.7.9.
.143,77
2.154.2002.4.7.
23
32
kNV
PVPM
kNV
PPVM
C
Cm
m
mC
=+
=
⇒=+−=
=−
=
⇒=+−=
∑
∑
Sağlama :
015857,2720143,7032
=−+−
⇒=−+−=∑ PVPVY Cm
M ve T ’nin kritik kesitlerdeki değerleri (Sol uçtan bakıldığında)
.857,1220143,7.30
4.207).143,7(4.7..857,1220143,7
143,7
..429,213).143,7(3..143,7;0
2
2
2
kNPVTmkN
PVMkNPVT
kNVT
mkNVMkNVTM
msol
C
mC
msağ
D
msol
D
mD
mmm
−=−=−=
−==−=−=
−=−=−=
==
======
C kesiti için sağ uçtan
.15.302.152.
3
3
kNPTmkNPM
C
C
==−=−=−=
Elde edilmiş değerlere göre kirişin M (Şekil 2.7.3b) ve T (Şekil 2.7.3c) diyagramları çizilmiştir. AB kirişinin (Şekil 2.7.4a) hesaplanması: Mesnet tepkileri
.8214,218
3.183).143,7()5,1.(3.48.32.
28.1212
03.3.)5,1.(3.8.32.
28.
8. 10
kNV
PVqq
MVM
A
mAB
=−+−+
=
⇒=+++−−=∑
Şekil 2.7.3. a) mC kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
T(kN)
o o
P2=20 kN
C m
P3=15 kN
o
a)))
Vm VC
b)
c)
M(kN.m)
15
3 m 4 m 2 m
30
21,429
7,143 7,143
12,857 12,857
15
D
33
Şekil 2.7.4. a) AB kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
.3216,638
123.2
8.8.12)5,9.(3.411.1811).143,7(
038.
28.
8.)5,9.(3.11.11. 01
kNV
Mq
VqPVM
B
BmA
=−+++
=
⇒=−+−++=∑
Sağlama :
.018143,73.43216,632
8.128214,2103.2
8.1
0 =−−−+−⇒=−−−+−=∑ PVqVq
VY mBA
AB kirişinin bölgelerinde (Şekil 2.7.4a) M ve T ’nin değerlerinin hesaplanması:
30 1 ≤≤ x
;.;2
... 111
21
1111 xqVPTxqxVxPM mxmx ++=−−−=
26,17
P1=18 kN
o Bo o
q0=12 kN/m q1=4 kN/m
A Vm=7,143 kN
M=1
2kN
.m
VB
2x 1x
VA
8 m 3 m
c)
93,429
4,714
9,68
12
21,82
14,178
37,143
25,143
42,214
M (kN.m)
T (kN)
a)
b)
xq )(xq
xqR
34
.143,373.4143,718
..429,932
3.43).143,7(3.183
.2145,422
)5,1(.4)5,1).(143,7()5,1.(185,1
,143,25143,718;00
1
2
11
2
11
111
kNT
mkNMmx
mkNMmx
kNTMx
x
x
x
xx
=++=
−=−−−=⇒=
−=−−−=⇒=
=+==⇒=
113 2 ≤≤ x
2
22
22 )3(75,0
2)3(.)3.(5,1
8)3.(12
−=−
=⇒−=−
= xxqRqxxq xxx
.8214,218).75,0(3216,6312143,718
.1238.8).75,0(8).3216,63()5,9.(3.411).143,7(11.1811
.1786,144).75,0(3216,633.4143,718
,.7146,43
4).75,0(4).3216,63()5,5.(3.47).143,7(7.187
.1786,263216,6312143,718,.429,93)5,1.(4.33).143,7(3.183
.)3(75,03216,63143,7183.,)3.()3.(75,0)3).(3216,63()5,1(3.4).143,7(.18
3)3(.)3.()5,1.(3...
22
222
22
3
22
2
22
2212
22
222322
2222212
kNT
mkNMmx
kNT
mkNMmx
kNTmkNMmx
xTRqVqVPTxxxxxM
xRqxVxqxVxPM
x
x
x
x
x
x
xxBmx
x
xBmx
=+−++=
−=−+−−−=⇒=
−=+−++=
−=−+−−−=⇒=
−=−++=−=−−−=⇒=
−+−+=⇒+−++=−−−−+−−−−=
⇒−
−−+−−−−=
Eğilme momentinin maksimum değer aldığı kesitin uzaklığı:
0)3.(75,03216,6312143,7180)3.(75,03. 22
2212 =−+−++⇒=−+−++= xxVqVPT Bmx
mkN
M
mxxxx
.68,93
)3908,8(.75,0
)908,8.(3216,63)5,1908,8.(4.39089,8.(143,7)908,8.(18
908,8908,539048,34)3(1786,26)3.(75,0
3max
222
22
2
=−
−+−−−−=
=⇒=−⇒=−⇒=−
Belirlenmiş değerlere göre kirişin M (Şekil 2.7.4b) ve T (Şekil 2.7.4c) diyagramları çizilmiştir. Her bir kiriş için çizilmiş M, T diyagramları bir doğru üzerinde çizilip, tüm kirişin M (Şekil 2.7.5b) ve T (Şekil 2.7.5c) diyagramları elde edilir.
35
Şekil 2.7.5. a) Gerber kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
Sistemin genel denge şartlarının kontrolü:
Şekil 2.7.6
015857,2720183.43216,632
8.128214,21 =−+−−−+−=∑Y
.09.157).857,27(
3.20)5,1.(3.43).3216,63()338.2.(
28.121511).8214,21(
=+
−+−++−−=∑ mM
M=1
5 kN
.m
o Boo o
o o
P1=18 kN P2=20 kNq0=12 kN/m q1=4 kN/m
A C m
8 m 3m 3 m 4 m 2 m
P3=15 kN
VC=27,857 kN VA=21,8214 kN VB=63,3216 kN
o Boo o
o o
P1=18 kN P2=20 kNq0=12 kN/m q1=4 kN/m
A C m
8 m 3 m 3 m 4 m 2 m
P3=15 kNa)
M=1
5 kN
.m
93,429
4,714
9,68
12
42,214
M (kN.m)
T(kN) 15
30
21,429
7,143
12,857 12,857
15
c)
21,82
14,178 26,178
37,143
25,143
b)
36
3. GERBER KİRİŞLERDE TESİR ÇİZGİLERİ
Genel Bilgiler
Taşıyıcı sistemlerin hareketli yüklere göre hesabı tesir çizgileri yardımıyla yapılır.
Tesir çizgileri (T.Ç.), yönü değişmeyen hareketli birim yük etkisi altında çizilir. Bunlar, P = 1 birim yükünün sistem üzerindeki durumuna bağlı olarak kesit tesirlerinin, mesnet tepkilerinin ve yer değiştirmelerin değişimini gösterirler. Tesir çizgileri izostatik sistemlerde doğru parçalarından oluşurlar, hiperstatik sistemlerde ise eğriseldirler.
Gerber kirişlerde tesir çizgilerini çizmek için basit kirişlerden bilinen kurallar kullanılır. Önce kirişin taşıma şeması çizilir. Tesir çizgisi çizilecek olan büyüklük (R : mesnet tepkisi, M : eğilme momenti, T : kesme kuvveti gibi) bu kirişin hangi parçasına ait ise hareketli birim yükün adı geçen parça üzerinde hareket etmesi göz önüne alınarak, söz konusu büyüklüğün bu durum için tesir çizgisi çizilir. Sonra, hareketli birim yük diğer parçaların üzerinde de dikkate alınır. Eğer bu parçalardan söz konusu büyüklüğün ait olduğu parçaya etki varsa ilk çizilen tesir çizgisi bu parçalar boyunca mafsallarda kırıklık yapacak ve mesnetlerin altında sıfırdan geçecek şekilde devam ettirilir.
Çizilmiş tesir çizgileri yardımı ile bunların ait oldukları büyüklüklerin (S) değerleri aşağıdaki formülle hesaplanır.
∑ ∑ ∑= = =
++=n
i
n
i
n
iiiiiii tgMAqyPS
1 1 1... α (3.1)
Burada :
:iP kirişe uygulanmış olan tekil yükler, :iy iP tekil yükü altındaki T.Ç ’si ordinatıdır ve ii yP . çarpımının işareti iy ’nin işaretine
bağlıdır, :iq kirişe uygulanmış olan düzgün (üniform) yayılı yüklerin şiddetleri (En sık karşılaşılan
yayılı yükler bunlardır. Eğer sistem üzerinde düzgün yayılı yükten farklı yayılı yükler varsa bunlar için integral işlemi yapılır),
:iA düzgün yayılı yükün etkidiği bölgenin altındaki tesir çizgisi alanıdır. ii Aq . çarpımının işareti iA ’nin işaretine bağlıdır,
:iM kirişe etkiyen tekil momentlerdir, :iα momentlerin uygulanmış olduğu kesitler altında tesir çizgisinin yatayla yaptığı açılardır.
(T.Ç.’si eğrisel olduğunda bu eğriye çizilmiş teğetin yatayla yaptığı açılardır). Momentin yönü açıyı büyütürse ii tgM α. çarpımının işareti negatif, aksi halde pozitiftir.
Mesnet tepkileri ve kesme kuvvetlerinin tesir çizgilerinin ordinatları birimsizdir,
eğilme momentlerininki ise uzunluk birimindedir. İzostatik sistemlerin tesir çizgilerinin herhangi bir ordinatının değeri üçgenlerin benzerliğinden elde edilebilir. Örnek 3.1. Boyutları Şekil 3.1.1a’da verilen çıkmalı kirişin mesnet tepkilerinin ve K kesitinde MK ve TK’nın tesir çizgilerinin çizilmesi istenmektedir. Mesnet tepkilerinin tesir çizgileri :
37
)( dLxc +≤≤−
LxPVxPLVM
LxLPVxLPLVM
BBA
AAB
.0..
).(0).(.
=⇒=+−=
−=⇒=−−=
∑
∑
Görüldüğü gibi VA ve VB’nin tesir çizgilerinin denklemleri birer doğruyu ifade ederler. x’in değişme aralığında alabileceği değerler sırasıyla VA ve VB’ nin tesir çizgisi denklemlerinde yerine konularak elde edilen değerlere göre VA (Şekil 3.1.1b) ve VB’nin (Şekil 3.1.1c) T. Ç.’leri çizilmiştir.
Şekil 3.1.1. a) AB kirişi, b) VA’nın T.Ç., c) VB’nin T.Ç., d) MK’nın T.Ç., e) TK’ nın T.Ç.
K kesitinde eğilme momenti ve kesme kuvvetinin tesir çizgileri şöyle çizilir: Bu büyüklüklerin tesir çizgileri sağ ve sol çizgi olarak iki parçadan oluşur. Hareketli birim yükün
ooo
L
B
c a b d VA VB
K
x P=1
1
1+ c/
L
1+ d
/L
c/L
d/L
1
b
1
1
b.c/L b.c/L
Lba.
c)
a)
b)
d)
e) d/L
c/L b/L
a/L
VB T.Ç.
VA T.Ç.
MK T.Ç.
TK T.Ç.
A
a
38
K kesitinin sağ tarafında hareket ettiği göz önüne alındığında, birim yükün olmadığı sol taraf dikkate alınarak T.Ç.’nin sağ parçasının ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir.
aVM AsolK .=
Görüldüğü gibi MK’nın T.Ç.’nin sağ parçası VA’nın T.Ç.’nin ordinatlarının a ile çarpılmasıyla elde edilir. Hareketli birim yükün K kesitinin sol tarafında hareket ettiği göz önüne alındığında, bu defa da birim yükün olmadığı sağ taraf dikkate alınarak, T.Ç.’nin sol parçası için ifade şöyle elde edilir:
bVM BsağK .=
MK’nın T.Ç.’nin sol parçasının, VB’nın T.Ç.’nin ordinatlarının b ile çarpılmasıyla elde edildiği görülmektedir. Bu tesir çizgisi parçalarının çizimi ölçekli olarak yapıldığında K kesitinin altında kesiştikleri görülür.
Kesme kuvvetinin tesir çizgisi de sağ ve sol olmak üzere iki parçadan oluşur. Bu parçaların ifadeleri eğilme momentinin tesir çizgisine benzer şekilde elde edilir:
Asol
K VT = olup, tesir çizgisinin sağ parçası VA’nın T.Ç.’nin aynısıdır.
Bsol
K VT −= olup, tesir çizgisinin sol parçası VB’nin T.Ç.’nin ters işaretlisidir. Bu sonuçlara uygun olarak kirişin açıklığı içerisinde (mesnetleri arasında) olan K kesitinde eğilme momentinin ve kesme kuvvetinin T. Ç.’leri sırasıyla Şekil 3.1.1d ve Şekil 3.1.1e’de çizilmiştir. Kirişin açıklığı içindeki kesitlerde (K kesiti gibi) eğilme momentinin ve kesme kuvvetinin T.Ç.’lerinin çizimi aşağıda tarif edildiği gibi pratik şekilde de yapılabilir. Eğilme momentinin T.Ç. : Sağ veya sol mesnetten kesite kadar olan mesafe mesnet hizasında artı işaretle bir ordinat olarak işaretlenir. Sonra bu ordinattan diğer mesnetin altında sıfırdan geçecek şekilde bir doğru çizilir. İlgili kesitin bu doğru üzerine izdüşümü alınır. Bu izdüşüm noktasından başta dikkate alınan mesnette sıfırdan geçen bir doğru çizilerek eğilme momentinin T.Ç. tamamlanmış olur (Şekil 3.1.2b). Kesme kuvvetinin T.Ç. : Önce VA’nın ve zıt işaretle VB’nin T.Ç.’leri çizilir. Sonra K kesitinin bu çizgiler üzerine izdüşümleri alınır. VA’nın T.Ç.’nin izdüşümün sağında , VB’nin T.Ç.’nin ise izdüşümün solunda kalan kısımları alınarak TK’nın T.Ç.’si (Şekil 3.1.2c) elde edilir. Açıklığın dışındaki, yani çıkmalar üzerindeki kesitlerin iç kuvvetlerinin tesir çizgilerinde sağ (çıkma sol tarafta ise) veya sol (çıkma sağ tarafta ise) çizginin ordinatları sıfırdır.
39
Şekil 3.1.2. a) AB kirişi, b) MK tesir çizgisi, c) TK tesir çizgisi. Örnek olarak Şekil 3.1.3 a)’daki kirişin K ve K1 kesitlerinde iç kuvvetlerin T.Ç.’lerini çizelim. Şekil 3.1.3. a) AB kirişi, b) MK’nın T.Ç., c) TK’ nın T.Ç., d) MK1’in T.Ç., e) TK1’in T.Ç.
ooo B
c
a
d VA VB
K
x P=1a)
A
L
K1
a
b)
1
1
c)
MK T.Ç.
TK T.Ç.
K11
K11
o oo B
a b VA VB
K x
P=1
a) A
L
P=1
K1
c
1x
a
b)
c)
c
d)
e)
1 1
1 1
MK T.Ç.
TK T.Ç.
MK1 T.Ç.
TK1 T.Ç.
40
K kesiti için iç kuvvetlerin tesir çizgilerinin sağ parçaları sıfırdır (çıkma sol tarafta olduğu için).
xPM K .−= ; 1−=−= PTK ;
inx ' değişme aralığı göz önüne alınarak MK ve TK’nın tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.1.3b ve Şekil 3.1.3c’de çizilmiştir. K1 kesiti için iç kuvvetlerin T.Ç.’lerinin sol parçaları sıfırdır (çıkma sağ tarafta olduğu için).
cx ≤≤ 10
.1;. 111 ==−= PTxPM KK
inx '1 değişme aralığı göz önüne alınarak MK1 ve TK1’in tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.1.3d ve Şekil 3.1.3e’de çizilmiştir. Açıklanmış olan bu kurallar Gerber kirişlerde tesir çizgilerinin çiziminde de geçerlidir.
Örnek 3.2. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.1’de (Şekil 3.2.1a) verilmiş kiriş için a) A mesnetinin VA ve işaretli K kesitinin MK, TK tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla VA, MK ve TK’nın değerlerini hesaplayınız, c) VA, MK ve TK’nın Örnek 2.1’de analitik olarak belirlenmiş değerlerini tesir çizgileri yardımıyla hesaplanan değerleri ile karşılaştırınız. Çözüm : a) VA, MK ve TK tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.2.1c-e’de çizilmiştir. b) Bu tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisi ve iç kuvvetler (3.1) ifadesiyle hesaplanır. Bunun için gereken ordinatlar tesir çizgilerinde üçgenlerin benzerliğinden belirlenmiştir. VA’ nın tesir çizgisinden
.1025,175,05,05,082
4).125,0(.3
)125,0.(10425,0.8)
22).25,0(
21.8.(2.125,0..).( 22
'111
kN
AqPtgMAAqVA
=+++−=
+++−=+++−= α
MK’ nın tesir çizgisinden
mkNAqPtgMM
mkNAqPtgMM
MSağK
MSolK
.1224.1.31.10
42.8.1..
.20610424.1.31.10
42.8.1..
222
221
−=−−=−−=
−=−−−=−−−=−−−=
α
α
ve TK’nın tesir çizgisinden
.102
4).5,0(.3)5,0.(1041.8.5,0.. 323 kNAqPtgMTK −=−−−=−−= α
olarak elde edilir.
ax ≤≤0
41
Şekil 3.2.1. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) VA’nın T.Ç., d) MK’nın T.Ç., e) TK’nın T.Ç. c) VA, MK ve TK için analitik ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerin karşılaştırma tablosu:
Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VA(kN) 10 10 0 MK
Sol(kN.m) - 20 - 20 0 MK
Sağ(kN.m) - 12 - 12 0 TK (kN) - 10 - 10 0 Örnek 3.3. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.2’de (Şekil 3.3.1a) verilmiş olan Gerber kiriş için a) VB, MK ve TK tesir çizgilerini çiziniz,
VA T.Ç.
MK T.Ç.
TK T.Ç.
o o o o o o o
o o
8 m 6 m 6 m
2 m 2 m 2 m 2 m
q =2 kN/m q 1=3 kN/m P=10 kN
K A B D m1 m2
o o o
o o o
o
o o o
o
A
m1
m2
C
D
o
o
M =8 kN.m a)
b)
C
B
P=1
VA
1
2
0,25
1
1
0,125
1
α
1α 2α
3α
c)
d)
e)3A
'1A 2A
1A
MA2
42
b) Tesir çizgileri yardımıyla bu büyüklüklerin değerlerini hesaplayınız, c) Bu büyükler için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) VB, MK ve TK’nın T.Ç.’leri sırasıyla Şekil 3.3.1b, c ve d’de çizilmiştir. b) Tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisinin ve iç kuvvetlerin değerlerini yine (3.1) ifadesiyle hesaplanır. VB’nin tesir çizgisinden
.7143,252
)14286,0.(1.471.8)42857,0.(12
22).12857,1(.4
26).2857,1(.4
)321429,0.(8..42857,0...321428,0. 212'111
kN
AqtgMPAqAqPVB
=−−++
+
+−=−−+++−= α
MK’nın tesir çizgisinden
mkN
AqPtgMAqPM
mkN
AqPtgMAqPM
SağK
SolK
.857,102
)571429,0.(1.4)71428,1.(124
7143,1.10
28).857,0(.4)214286,0.(8.71428,1...214286,0.
.857,22
)571428,0.(1.4)71428,1.(12)571428,0.(8
28).857,0(.4)214286,0.(8.71428,1...214286,0.
42331
42231
=−+
++=−++−=
=−+
−+=−+−−=
α
α
Şekil 3.3.1. a) Gerber kirişi, b) VB’nin T. Ç., c) MK’nın T.Ç. d) T K’nın T. Ç.
TK’nın tesir çizgisinden
1
0,57143
0,143
0,857143
o o o A o
o o B
q=4 kN/m q=4 kN/m P1 =8 kN P2 =12 kN
M =8 kN.m
6 m 1,5 m 4 m 1 m 3 m
m1 Ka) C
1α
1A '1A
2A
4
11,285
0,428
0,3214
3A 1,7148
0,2143 4A2α 3α
b)
c)
d)
1
1
0,42857
0,57143 0,1430,07143
2 m
0,2857TA3
TA44α 4α
43
kN
AqPtgMAqPT
kN
AqPtgMAqPT
TTSağ
K
TTSol
K
2857,42
)2857,0.(1.4)57143,0.(1271.10
28).2857,0(.4)07143,0.(8.57143,0...07143,0.
7143,72
)14286,0.(1.4)42857,0.(1271.8
28).2857,0(.4)07143,0(8.42857,0...07143,0.
42431
42431
−=−−−
−+−=−−++−=
=−+−
−+−=−+++−=
α
α
olarak elde edilir. c) VB, MK, ve TK için analitik ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerin karşılaştırma tablosu: Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VB(kN) 25,7143 25,7143 0 MK
Sol(kN.m) 2,857 2,857 0 MK
Sağ(kN.m) 10,857 10,857 0 TK
Sol (kN) 7,7143 7,7143 0 TK
Sağ(kN) - 4,2857 -4,2857 0 Örnek 3.4. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.3’de (Şekil 3.4.1a) verilmiş Gerber kirişi için a) VB, MK ve TK tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla VB, MK ve TK’yı belirleyiniz, c) Bu büyükler için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) VB, MK ve TK’nın tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.4.1c, d ve e’de çizilmiştir. b) Çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisi ve iç kuvvetlerin değerleri şöyle hesaplanır: VB’nin tesir çizgisinden
kNtgMAAqPVB 333,3361.10)
26.14.1.(31.14.).(1. 1 =−++=−++= α
44
Şekil 3.4.1. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) VB’nin tesir çizgisi, d) MK’ nın tesir çizgisi,
e) TK’nın tesir çizgisi. MK’nın tesir çizgisinden
mkNtgMAqM K .6666,2062.10
28.2.3.. 12 −=+−=+−= α
ve TK’nın tesir çizgisinden
.333,271.14)26.12.1.(31..).(
333,1361.10)
26.12.1.(3.).(
243
243
kNPtgMAAqT
kNtgMAAqT
SağK
SolK
−=−+−=−++−=
−=++−=++−=
α
α
olarak hesaplanmaktadır. c) VB , MK, ve TK için analitik ve T. Ç.’leri yardımıyla bulunmuş değerlerin karşılaştırma tablosu:
o o o
q =3 kN/m P=14 kN
M=10 kN.m
2 m 6 m 2 m 2 m
x
A BK
BK
m1
oo oo
o A m1
P=1
1α
α
2α
0,33
3
1 1
2
11
0,33
3 0,
666
A 1A
2A
3A 4A
a)
b)
c)
d)
e)
VB’ T.Ç.
MK’ T.Ç.
TK’ T.Ç.
45
Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VB(kN) 33,3333 33,3333 0 MK(kN.m) -20,666 -20,666 0 TK
Sol (kN) -13,333 -13,333 0 TK
Sağ(kN) -27,3333 -27,3333 0 Örnek 3.5. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.4’de (Şekil 3.5.1a) verilmiş Gerber kirişi için a) VC, MK ve TK tesir çizgilerini çiziniz, b) T.Ç.’leri yardımıyla VC, MK ve TK’yı belirleyiniz, c) Bu büyükler için analitik yöntemle ve T.Ç.’leri yardımıyla belirlenmiş değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) VC, MK ve TK’nın tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.5.1c, d ve e’de çizilmiştir. b) Bu tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisi ve iç kuvvetlerin hesabı: VC’nin tesir çizgisinden
.857,1571.16)7143,0.(20
22).2857,0(.4)14286,0.(15.7143,0.'.14286,0. 32
kN
tgMPAqPVC
=−+
+−=−+−−= α
MK’nın tesir çizgisinden
..2322.2.41.15.1. 12 mkNAqPM K −=−−=−−=
TK’nın tesir çizgisinden
.143,2471.16)2857,0.(20
25).2857,01(.4
22).2857,0(.4
)14286,0.(15.)2857,0...14286,0. 13322
kN
tgMPAqAqPTK
=+++
++
+=++++= α
olarak belirlenir.
46
c) VB, MK, ve TK için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerin karşılaştırma tablosu: Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VC(kN) 15,857 15,857 0 MK(kN.m) -23 -23 0 TK (kN) 24,143 24,143 0
Şekil 3.5.1. a) Gerber kiriş, b) Taşıma şeması, c) VC’nin tesir çizgisi, d) MK’nın tesir çizgisi, e) TK’ nın tesir çizgisi.
M=16 kN.m o o
o o
C oo K
2 m 2 m 2 m 2 m1,5 m 1 m 5 m
M1=12 kN.m q =4 kN/m
P2=15 kNP1=18 kN P3=20 kN
o oo oo
o
oo
o o
m1
m1 m2
m2 BA
A B C
a)
b)
0,28
57
0,14
286
1
2
1
1
0,28
57
0,14
286
0,28
57
α
α
1α
A'A
1A
c)
d)
e)
VC T.Ç
TK T.Ç
MK T.Ç
2A 3A
1
47
Örnek 3.6. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.5’de (Şekil 3.6.1a) verilmiş olan Gerber kirişi için a) VB, MK ve TK tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla VB, MK ve TK büyüklüklerini belirleyiniz, c) Bu büyüklükler için analitik yöntemle ve T.Ç.’leri yardımıyla hesaplanmış olan değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) VB, MK ve TK tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.6.1c, d ve e’de çizilmiştir. b) Bu tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisi ve iç kuvvetleri (3.1) formülü ile hesaplanır. Gereken ordinatlar yine tesir çizgilerinde üçgenlerin benzerliğinden belirlenir.
kNtgMPAqT
mkNtgMPAqM
kNtgMyPAqtgMV
K
K
B
2,14101.10)6,0.(122.1.3.6,0..
.4,2248,0.10
22.2.3.2,1..
9333,284
5333,0.10)8,0.(122
8).333,1(.361.12....
3112
2111
1111
=++=++=
−=−−=−−−=
=+++=+++=
α
α
αα
c) Analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerin karşılaştırma tablosu: Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VB(kN) 28,9333 28,9333 0 MK(kN.m) -22,4 -22,4 0 TK (kN) 14,2 14,2 0
48
Şekil 3.6.1. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) VB’nin T.Ç., d) MK’nın T.Ç.,
e) TK’nın T.Ç. Örnek 3.7. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.6’da (Şekil 3.7.1a) verilen Gerber kirişi için a) VC, MK ve TK tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla VC, MK ve TK’yı belirleyiniz, c) Bu büyüklükler için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) İlgili büyüklüklerin tesir çizgileri Şekil 3.7.1c-e’de çizilmiştir. b) Çizilen tesir çizgileri yardımıyla mesnet tepkisi ve iç kuvvetlerin hesabı:
1 1,33
3
0,8
0,53
3 α 1α
o o Co o
q =3 kN/m
A oo o o
q =3 kN/m P1=12 kN P2=14 kN
M1=10 kN.m
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 3 m 3 m6 m
ooo
oo o o
o o o
o
B D E m2m1 m3
m2 m1
BA D E
K
M1=10 kN.m a)
b) C o
o
oo
oo
oo
m3
oo
x P=1 o
A
2
1 1
2α
3α
1,2
0,6
1A
2A
0,8
0,4
VB ‘nin T.Ç.
MK ‘nın T.Ç.
TK ‘nın T.Ç.
c)
d)
e)
49
Şekil 3.7.1. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) VC’nin T.Ç., d)MK’nın T.Ç., e) TK’nın T.Ç.
1
A
oo o A B Ko
o o
P1 = 15 kN P2 = 18 kN P3 = 20 kNq = 4 kN/m
2 m 2 m 2 m 3 m3 m 4 m6 m
C
o B o o C
o o o o
o
m
M = 12 kN.m
a)
b)
P=1
0,3
1
0,3
0,7
0,2
0,06
66
3
2,1
0,9
0,6
1
0,3
0,7
0,2
0,2
0,0666
2α
A
1A
2A
α
1α
TK-T.Ç.
VC-T.Ç.
MK-T.Ç.
c)
d)
e)
50
mkN
tgMPPPAqM
kN
tgMPPPAqV
K
C
.4,5831,2.12)1,2.(20
)9,0.(18)6,0.(152
2).2,0(.4.1,2.9,0.6,0..
4666,15101.12)7,0.(20
)3,0.(18)2,0.(152
2).0666.0(.4.7,0.3,0.2,0..
13211
321
=++
++−=−++−=
=−+
++−=−++−=
α
α
kNtgMPPPqAT
kN
tgMPPPAqT
solK
sağK
5333,42,14,532666,0.3,0.3,0.2,0.
4666,1533,0.12)7,0.(20)3,0.(18
)2,0.(152
2).0666,0(.4.7,0.3,0.2,0..
23212
23212
=+−+−=++−+−=
−=+−−
−+−=++−+−=
α
α
c) VC, MK, ve TK için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerin karşılaştırma tablosu: Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VC(kN) 15,4666 15,4666 0 MK(kN.m) 58,4 58,4 0 Sol
KT (kN) 4,5333 4,5333 0 Sol
KT (kN) -15,4666 -15,4666 0 Örnek 3.8. Yükleme durumu ve boyutları Örnek 2.7’de (Şekil 3.8.1a)verilmiş olan Gerber kirişi için a) VA, MK ve TK’nın tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla VA, MK ve TK’yı belirleyiniz, c) Bu büyüklükler için analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanan değerleri karşılaştırınız. Çözüm: a) VA, MK ve TK tesir çizgileri sırasıyla Şekil 3.8.1c, d ve e’de çizilmiştir. b) Çizilen tesir çizgileri yardımı ile mesnet tepkisi ve iç kuvvetlerin hesabı (3.1) ile yapılmıştır.
51
kNPPPAqT
mkNPPPAqM
kN
MtgPPPAqdxxxV
K
K
A
1428,3772.15
74.201.183.1.4
72.
74.1..
.4285,931412.15
712.203.18
23.3.4
1412.
712.3..
8214,2181.12
283.15
143.20
83.18
2.83.3.4
38.
85,1
143.
143.
83..
8.).5,1(
3212
3211
8
0
3
321
=−++=−++=
−=+−−−=+−−−=
=++−
−−−=++−−−= ∫ α
c) VA, MK ve TK için analitik yöntemle ve tesir çizgileri ile belirlenmiş değerlerin karşılaştırma tablosu: Büyüklük Analitik T. Ç.’leri Fark yöntemle yardımıyla VA(kN) 21,8214 21,8214 0 MK(kN.m) -93,4285 -93,4285 0 TK (kN) 37,1428 37,1428 0
52
Şekil 3.8.1. a) Gerber kirişi, b) Taşıma şeması, c) VA’nın T.Ç., d) MK’nın T.Ç., e) TK’nın T.Ç.
Not: Örneklerden görüldüğü gibi herhangi bir büyüklük için çizilen tesir çizgisinin ordinatları, hareketli birim yük her bir ordinat hizasında iken, söz konusu büyüklüğün aldığı değeri göstermektedir.
o Bo o o
o o
P1=18 kN P2=20 kNq0=12 kN/m q1=4 kN/m
A C m
8 m 3 m 3 m 4 m 2 m
P3=15 kN
o o C o
oo Bo o A
o
a)
b)
M=1
5 kN
.m
dxqx
dx
xq
8.1 xyx =
2A
A
1A
α
1
12/7
3/83/14
3/28
3
12/14
1 1
4/7
2/7
c)
d)
e)
53
4. İZOSTATİK ÇERÇEVELERİN HESABI
Genel Bilgiler Elemanları düğüm noktalarında rijit veya mafsallı olarak birleşen, geometrik değişmez çubuk sistemlere çerçeve denir. Çerçeveler bir açıklıklı, çok açıklıklı, bir katlı veya çok katlı olabilir. Çerçevelerin yatay elemanları kiriş, düşey elemanları ise kolon diye adlandırılır. Çerçevelerin kirişleri doğru, kırık veya eğri eksenli olabilir. Şekil 4.1. a) Bir açıklıklı çerçeve (düğümler rijit), b) Çok açıklıklı çerçeve (bazı düğümleri mafsallı), c) Çok açıklıklı çerçeve (kiriş eğik / eğrisel), d) Bir açıklıklı, çok katlı çerçeve.
Çerçeve elemanlarındaki iç kuvvetlerin hesabı kirişlerde kullanılan yöntemlerin uygulanması ile yapılır. Eğilme momenti ve kesme kuvveti için işaretler kirişlerde olduğu gibidir. Normal kuvvet için bakılan kesitte çekme oluşturan kuvvet pozitif, basınç oluşturan ise negatif kabulü yapılmıştır. Örnek 4.1. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.1.1’de verilen çerçeve için a) Sabit yük etkisinden eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz, b) Sistemin genel dengesini kontrol ediniz.
o o
o o
o
a) b)
o
o o
c)
o d)
54
Şekil 4.1.1 Çözüm: Çoğu yapı sistemlerinde olduğu gibi hesaplamaya mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile başlanır (Şekil 4.1.2).
Şekil 4.1.2
∑∑
⇒=−+−+−=
=−=⇒=−−⇒=
03.)5,1.(3.4.3.6.8.
75156.1506.0
2211
21
PqPqVM
kNHPHqX
AB
AA
∑ =++−−=
=−+−
=
03.6.4.8.3.)5,9.(3.
625,228
3.15)5,1.(3.84.203.6.15
1122 qPVPqM
kNV
BA
A
kNVB 625,668
3.6.154.203.15)5,9.(3.8=
++−=
Sağlama: ∑ =+−−−⇒=+−−−= 0625,663.820625,2203.21 BA VqPVY Her bir bölge için (Şekil 4.1.2) eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvetin ifadelerinin yazılıp, değerlerinin belirlenmesi:
8m
o o
q 1=1
5 kN
/m
3 m4 m
B
3 m
3
m
P1=20 kN
P2=15 kN
q2=8 kN/m
A
4 m
5x
1x
2x 3x
4x
HA
VA VB
3 m
BA
3
P1=20 kN q2=8 kN/m
o o q 1
=15
kN/m
3 m
3
m
P2=15kN
4m1 2
4 m4 m
55
60 1 ≤≤ x
.75,00
625,22;.;2
...
111
1111
1111
kNHTMx
kNVNxqHTxxqxHM
Axx
AAxAx
===⇒=
==−=−=
Eğilme momentinin maksimum değer aldığı kesitin yeri:
.156.1575,.1802
6.156.756
.5,1872
5.155.75.50.15750.
1
2
11
2max111111
kNTmkNMmx
mkNMmxxxqHT
xx
xAx
−=−==−=⇒=
=−==⇒=−⇒=−=
40 2 ≤≤ x
mkNMmxmkNMxkNHqNkNVT
xxxVqHM
xx
AA
AAx
.5,894).625,22(1804,.1800.15756.156.;625,22
).625,22(180).625,22(2
6.156.75.2
6.6.
2222
1
22
2
2
2
12
=−=⇒==⇒=−=+−=+−=−=−=
−=−−=−−=
84 3 ≤≤ x
..814.208).625,22(1808,.5,894.15;625,4220625,22;)4.(.180
3333
13133
mkNMmxmkNMmxkNNkNPVTxPxVM
xx
AAx
−=−−=⇒==⇒=−=−=−−=−−=−−−=
B-3 bölgesinde, Şekil 4.1.1’den görüldüğü gibi
kNVNTM B 625,66;0;0 −=−=== ’ dur.
30 4 ≤≤ x
mkNMmxMxkNVNkNPTxPM
xx
Bx
.453.153,00625,66;15;.
4444
2424
−=−=⇒==⇒=−=−===−=
30 5 ≤≤ x
kNTmkNMmx
mkNMmxTMx
NxqTx
qx
xqM
xx
xxx
xx
243.8;.362)3(.83
.92
)5,1(.85,1;0;00
0;.;2
.2
..
5
2
55
2
55555
525
25
25
525
==−=−=⇒=
−=−=⇒===⇒=
==−=−=
Her bir bölge için elde edilmiş değerlere göre çerçevenin M (Şekil 4.1.3b), T (Şekil 4.1.3c) ve N (Şekil 4.1.3d) diyagramları çizilmiştir. Eğilme momenti diyagramı uzamış lifler tarafında çizilmiştir.
56
Şekil 3.1.3 a) Ele alınan çerçeve; b) M diyagramı; c) T diyagramı; d) N diyagramı. Çerçevenin genel denge kontrolü : M diyagramından ∑ =−= 01801801M ∑ =−+= 08145362M T ve N diyagramlarında işaretlenmiş olan mesnet tepkilerinin (Şekil 4.1.4) değerleri de dikkate alındığında ∑ ∑ =−−+−==−−= 03.820625,66625,22;015756.15 YX olarak dengenin sağlanmış olduğu görülmektedir.
1
180
180
45
36 81 2
o o
q 1=1
5 kN
/m
3 m 8 m
B
3 m
3
m
P1=20 kN
P2=15 kN
q2=8 kN/m
A
4 m 1 2
3
o o
N (kN)
15 15
22,625
66,625
66,625
22,6
25
a)
d)
42,625
9 45
o o B A
1 2
3
o o
M (kN.m)
180
180
89,5187,5
81 36
T (kN)
b)
c)
75
15
22,625
42,625
22,625
24
15
15
57
Şekil 4.1.4
Örnek 4.2. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.2.1’ de verilen çerçevenin M, T, N diyagramlarının çizimi ve genel denge kontrolünün yapılması istenmektedir.
Şekil 4.2.1 Çözüm: Hesaplamaya yine mesnet tepkilerinin belirlenmesiyle başlanır (Şekil 4.2.2).
∑ =−=⇒=−+= kNHqPHX AA 76206.1606.12
∑ ⇒=−−−−+= 03.6.6.4.)5,13.(3.12. 112 qPHqMVM BAB
.70833,9312
3.6.166.304.76)5,13.(3.912 kNVA =++++−
=
∑ ⇒=+−++−= 012.7.6.6.4.)5,1.(3. 1122 BA VqPPqMM
kNVB 70833,3612
7.6.166.304.20)5,1.(3.912=
+−−+−=
q 1=1
5 kN
/m
3 m8 m
3 m
3
m
P1=20 kN
P2=15 kN
q2=8 kN/m
4m1 2
3
75 kN
22,625 kN
66,625 kN
o
o
3 m 12 m
4 m
4
m 6 m
2 m
6m
P1=30 kN
q2=9 kN/m q 1
=16
kN/m
P2=20 kN
α
M=1
2kN
.m
58
Şekil 4.2.2
Sağlama : ∑ =−−+−=−−+−= 070833,363070833,933.93. 12 BA VPVqY Her bir bölge için M, T ve N’nin değerlerinin hesabı: 1. bölge (BD kolonu) 60 1 ≤≤ x
.966.16;.2882
6.166
.722
3.163;0,00
70833,36;.;2
.2
..
1
2
11
2
11111
11
21
11
111
kNTmkNMmx
mkNMmxTMx
kNVNxqTxqxxqM
xx
xxx
Bx
==−=−=⇒=
−=−=⇒===⇒=
===−=−=
2.bölge (AC kolonunun AF parçası) 40 2 ≤≤ x
mkNMmxMxkNVNkNHTxHM
xx
AAAx
.3044.764;0070833,93;76;.
2222
22
−=−=⇒==⇒=−=−=−=−=−=
3.bölge (AC kolonunun FC parçası) 84 3 ≤≤ x
mkNMmxmkNMmxkNVNkNPHTxPxHM
xx
AAAx
.6884.208.768,.304470833,93;962076;)4.(.
3333
23233
−=−−=⇒=−=⇒=−=−=−=−−=−−=−−−=
4.bölge (EC konsolu) 30 4 ≤≤ x
o
o
4 m
4
m 6m
2 m
P1=30 kN
q2=9 kN/m
q 1=1
6 kN
/m
P2=20 kN
α 6x
A
B
VBHA
1x
2x
3x
4x 5x
C K
D
E
F
M=1
2kN
.m
6 m6 m3 m VA
59
kNTmkNMmx
mkNMmxTMx
NxxqTxx
qMM
xx
xxx
xx
273.9;.5,282
3.9123
.875,12
)5,1(.9125,1;0;00
0;.9.;2
.9122
,
4
2
44
2
44444
4424
24
24
24
−=−=−=−=⇒=
=−=⇒===⇒=
=−=−=−=−=
5.bölge (CD kirişinin CK parçası) 93 5 ≤≤ x
kNTmkNMmx
mkNMmxTMx
NxxqTxx
qMM
xx
xxx
xx
273.9;.5,282
3.9123
.875,12
)5,1(.9125,1;0;00
0;.9.;2
.9122
,
4
2
44
2
44444
4424
24
24
24
−=−=−=−=⇒=
=−=⇒===⇒=
=−=−=−=−=
Bu bölgede
1664,0212
2sin;9864,0212
12cos2222=
+==
+= αα
C kesitinde (Şekil 4.2.3)
kNPHqVN
kNPHqVT
mkNHPqMM
AAC
AAC
AC
7946,105))9864,0).(2076()1664.0).(3.970833,93(()cos).(sin).3.((
8267,49)1664,0).(2076()9864,0.(3.9)9864,0).(70833,93(sin).(cos.cos.
.5,7168.764.20)5,1.(3.0128.4.)5,1.(3.
22
22
22
−=++−−=++−−=
=+−−−=+−−=−=−−−−=−−−=
αα
ααα
K kesitinde (Şekil 4.2.3)
mkNVHPqMM AAK .25,4126).70833,93(100)5,7.(27126.9.5.)5,7.(3. 22 −=−−−=+−−−=
kNPNNkNNN
kNPTTkNTT
CSağKC
SolK
CSağ
KCSol
K
806,100)1664,0.(307946,105)sin.(;7946,105
2347,20)9864,0.(308267,49cos.;8267,49
1
1
−=+−=−−=−==
=−=−===
α
α
6.bölge (DC kirişinin DK parçası) 60 6 ≤≤ x
(H+P2)
C αq1.3
TC
NC
VA
Şekil 4.2.3
60
kNqVNkNqVT
mkNMmxmkNMxxVqM
B
B
xxBx
80266,100))9864,0.(6.16)1664,0.(70833,36()cos.6.sin.(234,20)1664,0.(6.16)9864,0).(70833,36(sin.6.cos.
.25,4126;.28818.160;.2
6.
2
2
66666
2
26
−=+−=+−==−=+=
−=⇒=−=−=⇒=−−=
αααα
Elde edilmiş değerlere göre çerçevenin M (Şekil 4.2.4b), T (Şekil 4.2.4c) ve N (Şekil 4.2.4d) diyagramları çizilmiştir.
b)
o
o
412,25
12
28,5
1,875
716,5
688
304
72
288288
M
c)
o
o
3 m 12 m
4 m
6 m
P1=30 kN
q2=9 kN/m
q 1=1
6kN
/m
P2=20 kN
α
4 m
M=1
2 kN
.m
6 m
a)
C
D
2 m
61
Şekil 4.2.4. a) Verilen çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı. Çerçevenin genel denge kontrolü: ∑ =−−= 05,286885,716CM ∑ =−= 0288288DM Şekil 4.2.5
Şekil 4.2.6 ∑ =−+= 06.162076X
∑ =−−+−= 07083,36307083,933.9Y
o
o
T
76
76 96
96
27
49,8267 49,8267 20,2347
20,2347 96
36,7083
o
o N
96,7083
96,7083
105,79105,79 100,826
100,826
36,7083
d)
C D
28,5
688
716,5
288
288
P1=30 kN
q2=9 kN/m
q 1=1
6 kN
/m
P2=20 kN
C
D
M=1
2 kN
.m
6 m
36,7
083
kN
76 kN
93,7
083
kN
62
Örnek 4.3. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.3.1’de verilmiş çerçeve için a) Eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz, b) Çerçevenin genel denge kontrolünü yapınız.
Şekil 4.3.1 Çözüm: Mesnet tepkilerinin belirlenmesi (Şekil 4.3.2):
Şekil 4.3.2
kNVqPVY AA 806.102006.0 =+=⇒=−−⇒=∑
∑ =++++−⇒= 04.31.
24.
3.3.6.2.0 9qPqMHM BA
kNH B 6667,1352
4.31.
24.83.203.6.1010
=+++
=
∑ =−+−−+−−= 02.3.3.6.6.)234.2.(
24.0
AAB HMPqVq
M
kNH A 6667,1192
103.203.6.106.80)66667,0.(24.8
=+−−+−
=
o
o q0=8 kN/m
2 m
4 m
3 m 3 m
P =20 kN
M=10 kN.m
q =10 kN/m
o
o q0=8 kN/m
2 m
4 m
3 m 3 m
P=20 kN
M=10 kN.m
q=10 kN/m
B
VA
HA
HB
A
4.0 xq
qx =
4x
1x
2x
3x
63
Sağlama :
∑ =−+⇒=−+= 06667,1356667,11924.80
24.0
BA HHq
X
Çerçevenin bölgeleri için M, T ve N’nin değerlerinin hesaplanması (Şekil 4.3.2):
Şekil 4.3.3 40 1 ≤≤ x
.0;;33
.3
. 2111
3112
11
11 ===−=−=−= NxqRTxxxxqRM xxxx
.16.333,21344
.4;.666,2222;0;00
1
3
11
1
3
11111
kNTmkNMmx
kNTmkNMmxTMx
xx
xxxx
=−=−=⇒=
=−=−=⇒===⇒=
20 3 ≤≤ x
mkNMmxMxNkNHTxHM
xxx
BBx
.3333,2712).6667,135(2;00.0;6667.135;.
3333
33
==⇒==⇒==−=−==
30 4 ≤≤ x
.303.10;.333,216)3.(5333,2613
;.08333,250)5,1.(53333,2615,1
;0;.333,2610.666,135;.
;.5333,2612
.1010333,2712
.2.
42
44
244
4444
24
24
24
4
kNTmkNMmx
mkNMmx
TmkNMxkNHNxqT
xxxqMHM
xx
x
xxB
bx
===−=⇒=
=−=⇒=
==⇒=−=−==
−=−−=−−=
Bölgeler için belirlenmiş değerlere göre M (Şekil 4.3.4b), T (Şekil 4.3.4c) ve N (Şekil 4.3.4d) diyagramları çizilmiştir.
110
1 22.
xxq
qx == 1x
31x
21
1111 2
.22.
xxxxqRq x
x ===
4m
64
Şekil 4.3.4. a) Verilen çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
Çerçevenin genel denge kontrolü (Şekil 4.3.5): ∑ =−= 0333,21333,21AM ∑ =−+= 0333,27110333,261CM
o
o
80 4
16
50
30135,666
135,666
T (kN)
c)
o
o
N (kN)
135,666
135,666
d)
o
o q0=8 kN/m
2 m
4 m
3 m 3 m
P=20 kN
M=10 kN.m
q=10 kN/m
a)
o
o 271,333
2,666
21,333
21,333
130.
083
216,33 261,33
M (kN.m)
b)
A C
A
21,333 kN.m
21,333 kN.m C
271,333 kN.m
261,333 kN.m M=10 kN.m
65
Şekil 4.3.5
∑ =−+=−+= 0666,13524.8666,119
24.0
BA Hq
HX
∑ =−−=−−= 0206.10806. PqVY A Örnek 4.4. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.4.1’de görülen çerçeve için eğilme momenti, kesme kuvveti, normal kuvvet diyagramlarını çiziniz ve genel denge kontrolünü yapınız.
Şekil 4.4.1
Çözüm : Sistemin kinematik analizi : W = 3.2 – 2.1 – 4 = 0 ve yararlı bünyeye sahiptir. Çerçevenin hesaplama şeması Şekil 4.4.2’de çizilmiştir.
4 m
P=20 kNq=10 kN/m
q0=8 kN/m M=10 kN.m
HB=135,666 kN
HA=119,666 kN
VA=80 kN
o
o o o
q 1=1
4 kN
/m
q2=10 kN/m
P2=20 kNP1=15 kN
P3=12 kN
4 m
4
m
12 m
4 m 4 m 4 m
8 m
66
Şekil 4.4.2. a) Esas (taşıyıcı) çerçeve, b) Yardımcı çerçeve. Bu tür sistemlerde önce yardımcı çerçeve (Şekil 4.4.2 b) hesaplanır. Hesaplamaya mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile başlanılır:
∑ ======⇒=−= .402
8.102
8.;120 2
33 kNqVVkNPHPHX CDDD
Bölgeler için iç kuvvetlerin (M, T ve N) değerlerinin hesabı:. DL bölgesi 80 1 ≤≤ x
.12;.;2
.. 121
21
211 kNHNxqVTxqxVM DAxDx −=−=−=−=
.408.1040;02
8.108.408
.0;.80264.10
28.
4
40;00
1
2
11
1
22max
11
111
kNTMmx
TmkNq
Mmx
kNVTMx
xx
xx
Dxx
−=−==−=⇒=
====⇒=
===⇒=
CL bölgesinde
.40;0;0 kNVNTM C −=−=== Elde edilmiş değerlere göre M, T ve N diyagramları çizilmiştir (Şekil 3.4.3 b-d).
o o o
o
q2=10 kN/m
P2=20 kNP1=15 kN
q 1=1
4 kN
/m
4 m 4 m4 m
MA
B E F K
D D
C
L
VA VM
VD
VC
HD HD
VD
P3=12 kN
4 m
8 m
8 m
HA
2x 1x
a)
b)
o
o
q2=10 kN/m
D
C
L
VD
VC
HD P3=12 kN
4 m
8 m
a)
o
o
b)
M (kN.m) 80
67
Şekil 4.4.3. a) Yardımcı çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı. Taşıyıcı çerçevenin (Şekil 4.4.2a) hesaplanması . Mesnet tepkileri
.6667,9112
12.404.8.148.204.154.12012.4.8.8.4.4.12.
6667,1612
4.124.208.154.8.1404.4.8.4.8.12.
100128.1408.
121
21.1
1
kNV
VqPPHVM
kNV
HPPqVM
kNHHHqX
M
DDMA
A
DAD
ADA
=++++−
=
⇒=++++−−=
−=+++−
=
⇒=−−−+=
=−=⇒=−−=
∑
∑∑
Sağlama : 06667,914020156667,1621
=+−−−−=+−−−=∑ MDA VVPPVY Taşıyıcı çerçevenin bölgeleri için M, T ve N’nin değerlerinin hesabı . AB bölgesi 80 2 ≤≤ x
kNVNxqHTxqxHM AAxAx 6667,16)666,16(;.;2
.. 211
22
122 =−−=−=−=−=
.128.14100;.3522
8.148.1008
.2882
4.144.1004
.100;00
2
2
22
2
22
222
kNTmkNMmx
mkNMmx
kNHTMx
xx
x
Axx
−=−==−=⇒=
=−=⇒=
===⇒=
Eğilme momentinin maksimum değer aldığı kesitin yeri
mkNM
mxxTx
.142857,3572
)142857,7(.14)142857,7.(100
142857,70.141002
max
002
=−=
=⇒=−=
BK bölgesi Bu bölgede iç kuvvetlerin karakteristik kesitlerde belirlenmesi diyagramların çizimi için yeterlidir.
o
o
N (kN)
40
4012 12
d)
o
o
T (kN)
40
40
c)
68
Çerçeve kirişinin B kesitinde
kNqHNTkNVT
mkNqHM
A
solEAB
AB
128.141008.6667,16
.3522
64.148.1002
8.8.
1
2
1
−=−=−==−==
=−=−=
E kesitinde
solFA
sağE
AAE
TkNPVT
mkNVqHM
==−−=−=
=−−=+−=
6667,31156667,16
.333,2854).6667,16(2
64.148.1004.2
8.8.
1
2
1
F kesitinde
KAsağ
F
AAF
TkNPPVT
mkNPVqHM
=−=−−−=−−=
=−−−=−+−=
6667,5120156667,16
.666,1584.158).666,16(2
64.148.1004.8.2
8.8.
21
1
2
1
K kesitinde
mkN
PPVqHM AAK
.484.208.15
12).6667,16(32.148.1004.8.12.2
8.8. 2.1
2
1
−=−
−−−=−−+−=
MK kolonu için : MD bölgesinde kNVNTM M 6667,91;0;0 −=−=== DK bölgesinde
kNVVNkNHTkNHM
DMDK
DDKBK
6667,51406667,91;12;484.124.
−=+−=+−===−=−=−=
Elde edilmiş değerlere göre taşıyıcı çerçevenin M, T ve N diyagramları Şekil 4.4.4b-d’de çizilmiştir.
o o
P2=20kNP1=15kN
q 1=1
4kN
/m
4m 4m4m
MA
B E F K
D
VA VM
HD
VD
8m
HA
2x
a)
69
Şekil 4.4.4. a) Taşıyıcı çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
Esas ve yardımcı çerçeveler için çizilen M, T ve N diyagramları aynı ölçekle birleştirilip, tüm çerçevenin M, T ve N diyagramları elde edilir (Şekil 4.4.5b-d).
oo
12
16,66
31,6616,66
12
12
31,6651,66 51,66
100
T (kN)
c)
oo
16,66
16,66
12 12
91,66
91,66 51,66
51,66
N (kN)
d)
oo
48352
352
357,143 48
M (kN.m) 288
285,33 158,66
b)
70
Şekil 4.4.5. a) Verilmiş çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
oo
16,66
16,66
12 12
91,66
91,66
51,66
51,66
N (kN)
d)
o
o
40
40
12
12
o o oo
12
16,66
31,66 16,66
12
12
31,6651,66
100
T (kN)
c)
o
o
40
40
51,66
oo
48
352
352
357,143 48
M (kN.m) 288
285,33 158,66
b)
o
o
80
o
o o o q 1
=14k
N/m
q2=10kN/m
P2=20kNP1=15kN
P3=12kN
4m
4m
12m
4m 4m 4m
8m
a)
71
Çerçevenin genel denge kontrolünün yapılması (Şekil 4.4.6) : ∑ =−= 0352352BM
∑ =−= 04848KM
Şekil 4.4.6 ∑ =−−=−−= 0121008.148. 31 PHqX A
∑ =+−+−−=+−+−−−= 0408.10666,912015666,168.221 CMA VqVPPVY Örnek 4. 5. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.5.1 ‘de verilmiş çerçeve için a) Eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvveti diyagramlarının çizilmesi, b) Çizilmiş diyagramlara dayanarak çerçevenin genel denge kontrolünün yapılması istenmektedir:
Şekil 4.5.1
K B 352
352
48
48
o
q 1=1
4 kN
/m
q2=10 kN/m
P2=20 kNP1=15 kN
P3=12 kN
4 m
4
m
12 m
4m 4m 4m
8 m
HA=100 kN
VA=16,666 kN VM=91,666 kN VC=40 kN
o
o o
o oo oP1=25 kN
P2=30 kN P3=20 kN
q2=20 kN/m
q 3=1
8 kN
/m q1=15kN/m
M=20 kN/m
300 600
8 m 8 m
4 m
4
m
4 m
72
Çözüm : Kinematik analiz yapıldığında W = 3.2 – 2.1 -4 = 0 olduğu görülmekte ve şekilden sistemin yararlı bünyeye sahip olduğu anlaşılmaktadır. Hesaplama şeması Şekil 4.5.2’ de çizilmiştir.
Şekil 4.5.2 mC basit kirişinin M ve T diyagramları daha önce çözülmüş problemlere benzer şekilde çizilmiştir (Şekil 4.5.3b,c).
kNqVV Cm 602
8.152
8.1 ====
Maksimum eğilme momenti açıklığın ortasında oluşur.
.60;60;.120864.15
88. 2
1max kNVTkNVTmkNqM CCmm −=−======
Şekil 4.5.3. a) mC kirişi, b) M diyagramı, c) T diyagramı.
o o
o oo oP1=25kN
P2=30 kN P3=20 kN
q2=20 kN/m
q 3=1
8 kN
/m
q1=15 kN/m
M=20 kN/m
300 600
8 m 8 m
4 m
4
m
4 m
o
8 m
m C
Vm
Vm
A
E K F
B
o o
q1=15 kN/m
o
8 m
m C
Vm VC
120
60
60
a)
b)
c)
M,kN.m
T,kN
73
Taşıyıcı çerçevenin (Şekil 4.5.4) hesaplanması:
Şekil 4.5.4
Mesnet tepkileri:
kN
HqPHPPX AXAX
04.104.1860cos.3025
30cos.6004.0
03312
=++
−−=⇒=−−++=∑
kNV
V
qPqMPPVHVM
A
A
XXYmAAB
02,15116
2.4.184).60cos.30(4.8.30204).30cos.60(16).30sin.60(16.604).04,10(
02.4.4.4.8.4.16.16.4.16.
000
33222
=
+++−−++=
⇒=−−−++−−−=∑
kNV
V
PPMqPPqVM
B
B
XYXBA
96,20416
4.258).30cos.60(2012.8.3016).60sin.30(8).60cos.30(6.4.18
04.8.12.8.16.8.6.4.16.
000
122333
=
⇒+++++−−
=
=+++++−−−=∑
Sağlama : ∑ =−+−−−= 08.232 qVPPVVY BYYmA
08.3096,204)8666,0.(30)5,0.(606002.151 =−+−−− Taşıyıcı çerçevenin (Şekil 4.5.4) karakteristik kesitlerinde M ve T ’nin değerleri:
o o
o o P1=25 kN
P2=60 kN P3=30 kN
q2=20 kN/m
q 3=1
8 kN
/m
M=20 kN/m
300 600
8 m 8 m
4 m
4
m
4 m
Vm
A
E K F
B
1x
2x
VB HA
VA
P2Y
P2X
P3Y
P3X
74
AE kolonunun karakteristik kesitlerinde:
solmAA
solmAAA NkNVNTkNHTM =−=−==−=−== 02,151;04,10;0
mkNPHMNkNVVN
TkNPHTmkNHM
AE
EmAsağm
EAsağ
mAm
.32,1804.258).04,10(4.8.02,916002,151
04,352504,10;.16,404).04,10(4.
1
1
−=−−=−−==−=+−=+−=
=−=−−=−−=−=−=−=
EK bölgesi için
mkNPVPHVM
sabitboyukirişkNPPHN
TkNPVVT
mkNM
YmAAsolK
XAE
KYmAE
E
.84,3078).30sin.60(8.604.258).04,10(8).02,151(8.8.4.8.8.
)(036,8730cos.602504,10
02.6130sin.606002,151
.32,180
021
021
02
=−−−−=−−−−=
−=−−−=−−−=
==−−=−−=
−=
BF bölgesi için 40 1 ≤≤ x
.0;00
.96,204;.;2
.
111
131
21
31
==⇒=
−=−==−=
xx
Bxx
TMx
kNVNxqTxqM
.724.18;.1442
4.184
.362
2.182
1
2
11
2
11
kNTmkNMmx
mkNMmx
xx
x
==−=−=⇒=
−=−=⇒=
FK bölgesi için 80 2 ≤≤ x
.02,618.3096,178
.84,3272
8.308).98,25(1448).96,204(8
.96,178;.1440036,8760cos.304.184.
.3086,178.3060sin.3096,204.2
.30).60.(sin302.4.18.96,2042
..2.4..
2
2
22
222
033
220
2232
22
20
2
22
223322
kNT
mkNMmx
kNTmkNMxkNPqN
xxxqPVT
xxxxqxPqxVM
x
x
xx
X
YBx
YBx
=+−=
=−−−=⇒=
−=−=⇒=−=−−=−−=
+−=++−=++−=
−−−=−−−=
Bu bölgede eğilme momentinin maksimum değer aldığı kesitin 0x mesafesi:
..9,3892
)9653,5(.30)9653,5).(98,25(144)9653,5).(96,204(
9653,50.3096,1782
max
000
mkNM
mxxTx
=−−−=
=⇒=+−=
Hesaplanmış değerlere göre taşıyıcı çerçevenin M, T ve N diyagramları (Şekil 4.5.5b-d) çizilmiştir.
75
o o
o oP1=25 kN
P2=60 kN P3=30 kN
q2=20 kN/m
q 3=1
8 kN
/m
M=20 kN/m
300 600
8 m 8 m
4 m
4
m
4 m
Vm
A
E K F
B
VB HA
VA
P2Y
P2X
P3Y
P3X
a)
o o
o o
180,32
180,32
40,16 307,84
327,84389,9
144
144
36
M (kN.m)
b)
o o
o o
61,02 61,02
178,96
7235,04
10,0
4 T (kN)
c)
76
Şekil 4.5.5. a) Taşıyıcı çerçeve, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı. Taşıyıcı çerçevenin M, T ve N diyagramlarına mC kirişinin M, T, N diyagramları eklenerek tüm çerçevenin eğilme momenti, kesme ve normal kuvvet diyagramları elde edilir (Şekil 4.5.6a-c).
o o
o o
91,0
2 15
1,02
87 87
204,96
204,96
N (kN)
d)
o o
o o
180,32
180,32
40,16327,84
389,9
144
144
36
M (kN.m)
a)
120
307,84
o oo
o
o o
61,02 61,02
178,96
7235,04
10,0
4
T (kN)
b)
60
o 35,04
60
o
77
Şekil 4.5.6. a) M diyagramı, b) T diyagramı, c) N diyagramı. Verilmiş sistemin genel denge kontrolü (Şekil 4.5.7a-d): M diyagramından
032,18032,180 =−=EM
0144144 =−=FM
016,4016,40 =−=mM sağlandığı görülmektedir.
Şekil 4.5.7. a) E düğümü, b) F düğümü, c) m düğümü, d) Tüm çerçeve.
o o
o o91
,02
151,
02
87 87
204,96
204,96
N (kN)
c)
o o o
180,32
180,32 E
a)
o
144
144 40,16
40,16
m
F b)
c)
P1=25 kN
P2=60 kN P3=30 kN
q2=20 kN/m
q 3=1
8 kN
/m
M=20 kN/m
300 600
4 m
4
m
4 m
E K F
VB=204,96 kN
HA=10,04 kN
P2Y
P2X
P3Y
P3X
m o
q1=15 kN/m
VC=60 kN
d)
8 m 8m
VA=1
51,0
2 kN
78
0)866,0.(30)5,0.(608.308.1596,2046002,15160sin.30sin.8.8.
0)5,0.(304.18)8666,0.(602504,1060cos.4.30cos.0
30
221
033
021
=−
−−−++=−−−−++=
=−−++=−−++=
∑∑
PPqqVVVY
PqPPHX
BCA
A
Örnek 4.6. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.6.1’de verilmiş olan sistem için a) Eğilme momenti, kesme ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz, b) Diyagramlara dayanarak sistemin genel denge kontrolünü yapınız.
Şekil 4.6.1
Çözüm: Önce her zaman olduğu gibi mesnet tepkileri hesaplanır (Şekil 4.6.2).
Şekil 4.6.2
o o o o
o
o o
6 m
q2=15 kN/m
q 1=1
0 kN
/m
450
P1=20 kN
P2=30 kN
M=10 kN.m
P3=15 kN
8 m
5 m
10 m
HA
VA VE VF
A
B C
D
E
M K L
F
1x
2x 3x 4x
2 m
4 m
o
o o
6 m
q2=15 kN/m
q 1=1
0 kN
/m
450
P1=20 kN
P2=30 kN
M=10 kN.m
P3=15 kN
8 m
5 m
10 m
4 m
4 m
o o
2 m
79
kNV
PqMPVM
kNHPPHqX
F
FSağC
AA
1065,538
4).7071,0.(304.8.151010.15
04).45.(cos4.8.10.8.
787,58)7071,0.(302010.10045cos.10.
0223
0211
=+++−
=
⇒=+++−−=
=−−=⇒=−−−=
∑
∑
kN
V
MPPVqPPqVM
kNV
PqHqVM
E
EAF
A
AASolC
418117,1498
102.154).7071,0.(307.14.1510).7071,0.(305.205.10.1014).6883,13(
02.4).45.(sin8.7.14.10).45.(cos5.5.10.14.
68833,136
5.203.6.1510).787,58(5.10.10
05.3.6.10.5.10.6.
3
022
0211
121
=−+++++−−
=
⇒=+
−−+−−−+=
=−+−
=
⇒=+−+−=
∑
∑
Sağlama:
0)7071,0.(301514.51065,53418117,14968833,13045sin.14. 0
232
=−+−++
⇒=−+−++=∑ PPqVVVY FEA
Çerçevenin bölgeleri için M, T ve N ’nin ifadelerinin yazılıp, değerlerinin hesaplanması: AB bölgesi 100 1 ≤≤ x
.213,4110.10787,58;87,872
10.1010).787,58(10
.787,58;00
.68833,13;.;2
..
1
2
11
111
111
21
111
kNTkNMmx
kNHTMx
kNVNxqHTxqxHM
xx
Axx
AAxAx
−=−==−=⇒=
===⇒=
−=−=−=−=
Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitin yeri:
.8787,50.10787,58 000 mxxTx =⇒=−= Bu kesitte eğilme momenti maksimum değer alacaktır.
mkNM .7956,1722
)8787,5(.10)8787,5.(787,582
max =−=
BC bölgesi (Sol taraftan bakılmıştır) 60 2 ≤≤ x
.3117,76906883,13,.10027087,871298,826.6883,13,.87,870
.213,41787,5810.1010.,.156883,13.
,2
.1510).787,58().6883,13(2
.2
10.10..
222
222
12222
22
2
22
2
2
122
kNTmkNMmxkNTmkNMx
kNHqNxxqVT
xxxqqHxVM
xx
xx
AAx
AAx
−=−=−=−+=⇒===⇒=
−=+−=+−=−=−=
−+=−−+=
80
Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitin uzaklığı
mkNM
mxxTx
.1157,942
)912553,0(.1587,87)912553,0).(6883,13(
,912553,00.156883,132
max
000
=−+=
=⇒=−=
FK bölgesi için .1065,53,0,0 kNVNTM F −=−===
LK bölgesinde sağ uçtan bakılmıştır ve değerler karakteristik kesitlerde belirlenmiştir.
.0,)lg(15,.202.15102.,.10
3
3
=−=−==+−=+−=−=−=
NsabittiriçinebökNPTmkNPMMmkNMM KL
KM bölgesinde 40 3 ≤≤ x
.1065,84.151065,68.426,1728.15426,212106.154
.1065,68,.200.0,.151065,68.151065,5315.
,2
.15).1065,53(10)2.(152
..)2.(
3
33
333
333233
23
33
23
23333
kNTmkNMmx
kNTmkNMxNxxxqVPT
xxx
xqxVMxPM
x
x
xx
Fx
Fx
−=+−==−+−=⇒=
−==⇒==+−=+−−=+−−=
−+−+=−+−+=
MC bölgesi için 84 4 ≤≤ x
)4).(7071,0.(302
.15).1065,53(
10)2.(15)4).(45.(sin2
..)2.(
4
24
4
440
2
24
24434
−−−
+−+=−−−+−+=
xxx
xxPxqxVMxPM Fx
4
40
24234
.158935,46)7071,0.(30.151065,531545sin..
xxPxqVPT Fx
+=++−−=++−−=
.213,21)7071,0.(3045sin. 0
2 kNPN −=−=−=
.1065,13608935,46
,.426,1722
4.154).1065,53(106.154
4
2
44
kNT
mkNMmx
x
x
=+−=
=−+−=⇒=
.1065,738.158935,46
,04).7071,0.(302
8.158).1065.53(1010.158
.
4
2
44
kNT
Mmx
x
x
=+−=
=−−+−=⇒=
ED bölgesi için .4181,149,0,0 kNVNTM E −=−=== DC bölgesi için .4181,149,20,.1005.205. 11 kNNkNPTmkNPM C −===−=−=−=
81
Bu değerlere göre çerçevenin M, T ve N diyagramları (Şekil 4.6.3 b-d) çizilmiştir.
o o o o o o
o o o o
o
o o
6 m
q2=15 kN/m q 1
=10
kN/m
450
P1=20 kN
P2=30 kN
M=10 kN.m
P3=15 kN
8 m
10 m
A
B C
D
E
M K L
F
2 m
4 m
a)
o
o o o o o o
c)
T (kN)
41,213
20
20
15 15
58,787
13,6883
76,312
73,1065
68,1065 8,1065
13,1065
o o o o
o
o o
100
172,43 172,79
87,87
87,87
94,115
20
10
M (kN.m)
b) 100
82
Şekil 4.6.3. a) Hesaplanan sistem, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı. Sistemin tümünün genel denge kontrolü (Şekil 4.6.4a-c): M diyagramına bakıldığında ∑ =−= 087,8787,87BM ∑ =−= 0100100CM ∑ =−= 02020KM koşulları sağlanmaktadır. Şekil 4.6.4. a) B düğümü, b) C düğümü, c) K düğümü.
Şekil 4.6.5
87,87
c)
87,87 100
100
B C
a) b)
o
K20 20
q 1=1
0 kN
/m
o
6 m
q2=15 kN/m
450
P1=20 kN
P2=30 kN
M=10 kN.m
P3=15 kN
8 m
10 m
B C
D
M K L
2 m
4 m
HA=58,787 kN
VA=58,787 kN VE=149,418117 kN VF=53,1065 kN kN
o o
o
o o
N (kN)
41,213 21,213
13,6
883
149,
418
53,1
065
d)
o
83
T ve N diyagramlarından (Şekil 4.6.5)
01065,53418117,14968833,1315)7071,0.(3014.1545sin.14.
0)7071,0.(30787,582010.1045cos.10.
30
22
0211
=+
+++−−=++++−−=
=−−−=−−−=
∑∑
FEA
A
VVVPPqY
PHPqX
Örnek 4.7. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 4.7.1’de verilmiş olan çerçeve için a) Eğilme momenti, kesme ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz, b) Çizilen diyagramlara dayanarak sistemin tümünün dengesini kontrol ediniz.
Şekil 4.7.1
Çözüm : Sistemin kinematik analizi yapıldığında W = 3.2 – 2.1 -4 = 0 değeri elde edilmekte ve şekilden sistemin yararlı bünyeye sahip olduğu açıkça görülmektedir. Hesaba yine mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile başlanır (Şekil 4.7.2).
⇒=++−−+−−−=
=+++−−+
=
⇒=−−−++−−=
∑
∑
04.8.3.4.8.)5,13.(3.6.16.
96875,17416
6.30)5,13.(3.1512.8.204.258.2519.2012
06.)5,13.(3.12.8.4.8.19.16.
221123
321221
PPMPqqPVM
kNV
PqqPPPMVM
BA
A
AB
kNVB 03125,516
4.258.25123.204.8.20)5,13.(3.156.30=
++−−+−−=
q 2=1
5 kN
/m
o
o
o
P2=25 kN
P1=20 kN
P3=30 kN
P2=25 kN
q1=20 kN/m
8 m 8 m3 m
4 m
4
m
4 m
3 m
6
m
6 m
M=12 kN.m
84
Sağlama:
∑ =++−−=++−−= 003125,596875,1748.20208.11 BA VVqPY Yatay tepkiler
kNH
HqVPPPMM
A
AASolC
97816,1812
4.8.208).96875,174(8.254.2511.2012012.4.8.8.8.4.11. 1221
=−+−−−−
=
⇒=−−+−−−−=∑
Şekil 4.7.2
kNH
HqPVM
B
BBSağC
02083,612
)5,1.(3.156.308).03125,5(012.)5,1.(3.6.8. 23
=−+−
=
⇒=−−+−=∑
Sağlama: ∑ =−−++=−−++= 03.153002083,697816.1825.23.2 232 qPHHPX BA Çerçevenin her bir bölgesi için (Şekil 4.7.2) M, T ve N ’nin değerlerinin hesaplanması: AK kolonunda iç kuvvetlerin karakteristik kesitlerde hesaplanması yeterlidir. A kesitinde
o
o
o
P2=25 kN
P1=20 kN
P3=30 kN
P2=25 kN
q1=20 kN/m
8 m
1x
3 m
4 m
4
m
4 m
3 m
6
m
6 m
M=12 kN.m
q 2=1
5 kN
/m
2x
3x
8 mVA
A B
C
D
E
K L
M
F
VB
HBHA
1
85
.96875,174,96875,18,0 kNVNTkNHTM ASol
DAAA −=−==−=−== D kesitinde
SolE
ASağ
DAD
TkN
PHTmkNHM
=−
=−−=−−=−=−=−=
97816,43
2597816,18,.912,754).97816,18(4. 2
E kesitinde
.97816,68252597816,18,825,2514.258).97816,18(4.8. 222
K
ASağ
EAE
TkNPPHTkNPHM
=−=−−−=−−−=−=−−=−−=
K kesitinde
mkNPPHM AK .74,5274.258.2512).97816,18(4.8.12. 22 −=−−−=−−−= Çerçeve kirişinin 1K parçası için 30 1 ≤≤ x
mkNMmxmkNMMxNkNPTxPMM
xx
x
.723.20123..120.0,20,.
1111
1111
−=−−=⇒=−=−=⇒==−=−=−−=
KC parçası için 113 2 ≤≤ x
.03125,5,08).96875,174(8.1011.2074,53911
.96875,154,.74,5993.2074,5393.97816,68252597816,18,)3.(2096875,17420)3.(
,)3()96875,174(2
)3(.20.2074,539
2)3(.)3.(4.8.12..
22
22
222
22
22112
2
22
2
22
1222212
kNTMmx
kNTmkNMmxkNPPHN
xxqVPT
xxx
xqxVPPHxPMM
xx
xx
A
Ax
AAx
−==+−−−=⇒=
=−=−−=⇒=−=−−−=−−−=
−−+−=−−+−=
−+−
−−−
=−
−−+−−−−−=
Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitin uzaklığı
mkNM
mxxT
x
x
.6)748,7).(96875,174()3748,10.(10)3748,10.(2074,539
748,1032096875,1540)3.(2096875,154
20
000
=+−−−−−=
=+=⇒=−−=
BL kolonu için B kesitinde
)(03125,5,02,6,0 sabittirboyuncakolonkNVNTkNHTM BSağ
FBBB −=−==−=−== F kesitinde
86
SağLB
SolFBF TkNPHTmkNHM ==+−=+−==== 98,233002.6,.125,366).020833,6(6. 3
L kesitinde
mkNPHM BL .75,1076.3012).020833.6(6.12. 3 −=−=−= ML bölgesi (çıkma) için 30 3 ≤≤ x
.453.15,.5,673
.875,165,1;0,00
.0,.,2
.
333
33333
323
23
23
kNTmkNMmx
mkNMmxTMx
NxqTx
qM
xx
xxx
xx
−=−=−=⇒=
−=⇒===⇒=
=−=−=
Çerçeve kirişinin LC bölgesi için L kesitinde
.9794,683.1530020833,63.,03125,5
,.25,4029.156.3012).020833,6(
23.6.12.
23
2
23
kNqPHNkNVT
mkNqPHM
BBL
BL
−=−−=−−=−=−=
−=−−=−−=
(Kesme kuvveti ve normal kuvvetin değerleri bölge boyunca sabittir). C kesitinde (mafsalında) 08).03125,5(25,408.25.40 =+−=+−= BC VM Hesaplanmış değerlere göre çerçevenin M, T ve N diyagramları sırasıyla Şekil 4.7.3b-d’de çizilmiştir.
4 m
4
m
4 m
M a)
o o
o
o o
P2=25 kN
P1=20 kN
P3=30 kN
P2=25 kN
q1=20 kN/m
8 m 8 m3 m
3 m
6
m
6 m
M=12 kN.m
A
D
E
K C L
F
B
1
q 2=1
5 kN
/m
87
o o
o
154,968
20
68,978
68,978
43,978
43,978
18,978
20 5,0315,031
23,98 6,02
6,02
23,98
45
T (kN) 18,978
c)
527,74
599,74
12 72
107,75 67,5
16,875
6
36,25
40,25
75,912
251,825
M (kN.m)
b)
o
o o
88
Şekil 4.7.3. a) Verilen sistem, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
Eğilme momenti diyagramından ∑ =−−= 074,5277274,599KM ∑ =−−= 05,6725,4075,107LM olduğu görülmektedir. T ve N diyagramlarından (Şekil 4.7.4)
Şekil 4.7.4
o o o o
o
174,9687
174,9687
68,978 68,978
5,03125
5,03125
N (kN)
d)
72 599,74
527,74
67,5
107,75
40,2
5
L
K
o
P2=25 kN
P1=20 kN
P3=30 kN
P2=25 kN
q1=20 kN/m
8 m 8 m3 m
4 m
4
m
4 m
3 m
6
m
6 m
M=12 kN.m
D
E
K C L
F
1
a)
HA=18,97816 kN HB=6,02083 kN
VB=5,03125 kN VA=174,96875 kN
q 2=1
5 kN
/m
89
∑ =−−+++=−−+++= 03.1530252502083,697816,183.2321 qPPPHHX BA
∑ =−−+=−−+= 08.202003125,596875,1748.11 qPVVY BA Not: İncelenmiş olan sistemler için çizilen kesit tesiri diyagramlarında aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir: ► Düşey tekil kuvvet, uygulandığı kesitte eğilme momenti diyagramında eğim değişimine, kesme kuvveti diyagramında ise kendi yönünde ve büyüklüğünde bir atlamaya neden olmaktadır. Tekil kuvvet eksene göre eğik durumda olduğunda, kesme kuvveti diyagramındaki bu atlama kuvvetin düşey bileşeni yönünde ve bu bileşenin büyüklüğü kadardır. Eğik tekil kuvvet normal kuvvet diyagramında ise yatay bileşeninin değerine eşit bir atlama meydana getirir. ► Tekil eğilme momenti, uygulandığı kesitte eğilme momenti diyagramında etkime yönüne bağlı ve kendi büyüklüğünde bir atlamaya neden olur, kesme kuvveti ve normal kuvvet diyagramlarında ise bir değişikliğe yol açmaz. ► dT/dx = -q ve dM/dx = T bağıntılarının mevcut olmasından dolayı, kesme kuvveti diyagramı yayılı yük fonksiyonundan bir derece daha büyük bir fonksiyon, eğilme momenti diyagramı ise kesme kuvveti fonksiyonundan bir derece daha büyük bir fonksiyon durumundadır. Buna bağlı olarak, örneğin yayılı yükün sıfır olduğu bir bölgede kesme kuvveti diyagramı sabit, eğilme momenti diyagramı ise birinci dereceden (doğrusal) bir fonksiyon olmaktadır.
90
5. KAFES SİSTEMLERİN HESABI
Genel Bilgiler
Kafes sistemlerin çubukları çekme veya basınç etkisindedir, yani sistemin çubuklarında yalnızca normal kuvvetler oluşur. Çubuklarda eğilme momenti ve kesme kuvveti oluşmaması için aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır: 1. Çubuklar doğru eksenli olmalı ve eksenleri kafes düğümlerinin merkezinde kesişmelidir. 2. Çubukların eksenleri ve dış yükler aynı düzlemde bulunmalıdır. 3. Hesapta düğüm noktaları mafsallı kabul edilip, dış kuvvetler düğüm noktalarına uygulanmalıdır. Çatı kafes sistemlerinde çatıdan gelen yüklerin düğüm noktalarına aktarılması Şekil 5.1 ‘de gösterilmiştir.
Şekil 5.1. a) Çatı kafes sistemi, b) Kafes sistemlerin üstten görünüşü.
)cos
.(.α
dlqP = (5.1)
Burada: d : kafes sistemin düğümleri arasındaki yatay mesafe, l : kafes sistemler (çatı makasları) arasındaki mesafe, q : çatıdan gelen üniform düşey yükün şiddeti, ve α : çatının eğim açısıdır.
o o o o o o
o o
o o o
o
o
d
L=6d
d/2 d/2
2l
l
l
2l
a)
b)
PP/2
d/2
o
α
91
Kafes sistemlerin kullanım yerlerine bağlı olarak yükler üst başlıkta (çatı kafes sistemlerinde), alt başlıkta (bir çok köprü kafes sistemlerinde) veya her iki başlıkta uygulanmış olabilir. Kafes sistemlerde dış yükler etkisi ile çubuklarda oluşan iç kuvvetler başlıca aşağıdaki yöntemlerle hesaplanır. 1. Düğüm kesme yöntemi (Düğüm noktalarının dengesi yöntemi): Bu yöntemin çoğu zaman özel halleri kullanılır. 2. Kesim (Ritter) yöntemi (Moment noktaları yöntemi). 3. İzdüşüm alma yöntemi. 4. Bileşke (birden fazla) kesimler yöntemi. Bunların dışında grafik bir yöntem olan Cremona – Maxwell diyagramı da kullanılır. Karmaşık kafes sistemler de dahil bütün kafes sistemlerin hesabı için Sonlu Elemanlar Yöntemine dayanan bilgisayar programlarının kullanımı kafes sistemlerin hesabını büyük ölçüde kolaylaştırır.
Bir kafes sistemin kinematik analizi hesaplamaya başlamadan önce yapılmalıdır. Sistemin izostatik ve geometrik değişmez olması için aşağıdaki şart sağlanmalıdır.
mcdn −= .2 (5.2) Burada n : kafes sistemin çubuklarının sayısı, d : sistemin düğümlerinin sayısı, ve
mc : mesnet bağlarının sayısıdır. Bu şartın sağlanması sistemin geometrik değişmez olması için gereklidir, fakat yeterli değildir. Bu şartla birlikte sistem taşıyıcı bünyeye de sahip olmalıdır. Örnek 5.1. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.1.1’de verilmiş olan kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5.1.1 Çözüm: Kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetlerin hesaplanmasına diğer sistemlerde olduğu gibi kinematik analiz ve mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile başlanır. Bundan sonra iç kuvvetleri hesaplamak için yöntemlerden uygun olan biri kullanılır. Burada, tüm örneklerin çözümünde Kesim Yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemle hesaplama aşağıdaki sırayla yapılır: Sistem hayalen kesilerek iki parçaya ayrılır. Kesimde dikkat edilmesi gereken, kesilmiş çubuk sayısının üçten fazla olmaması ve doğrultularının bir noktada kesişmemesidir. Ayrılan
o o o o o o o
o o o
o o
o
d=3m
L=6d
P
P/2
o
2m
2m
P/2P
P=30 kNP
P
∗ ∗ ∗
∗
∗
2
1
4
3
6
5
92
parçalardan biri dikkate alınarak, dış kuvvetlerin ve bilinmeyen iç kuvvetlerin etkisi altında bu parçanın dengesi incelenir. Kesim yöntemiyle, dikkate alınan parçanın denge denklemi, kesilmiş üç çubuk içinde, iç kuvveti belirlenmek istenen çubuk dışındaki iki çubuğun veya onların doğrultularının kesişme noktasına, yani moment noktasına göre yazılır. Bu denklemden istenen iç kuvvet belirlenir.
Kesilmiş üç çubuktan ikisi paralel ise (paralel başlıklı kafes sistemlerde veya üst ve alt başlık çubukları paralel olan kafes sistem panellerinde) dikme ve köşegen çubukların iç kuvvetlerinin hesabında izdüşüm alma yöntemi kullanılır. Kinematik analiz: n = 2.14 – 3 = 25. Ayrıca Şekil 5.1.1 ‘den görüldüğü gibi sistemin çubuk sayısı 25 olup, taşıyıcı özelliğe sahiptir. Mesnet tepkilerinin belirlenmesi (Şekil 5.1.2).
Şekil 5.1.2
Sistem ve yüklemesinin simetrik olduğu bu tür durumlarda mesnet tepkileri birbirine eşittir:
kNPPVV i
BA 9030.32
62
===== ∑
Bundan sonra iç kuvvetlerin hesaplanmasına geçilebilir. İç kuvvetler çubuk numarasına uygun olarak N ile (N2-4, N1-2, N2-3 vb.) işaretlenmiştir. Bununla beraber iç kuvvetler aşağıdaki gibi de işaretlenebilir. Örneğin üst başlık çubuğundaki O2-4, alt başlık çubuğundaki U1-3, diyagonal çubuğundaki D2-3, ve dikme çubuğundaki ise V1-2 gibi. Şekil 5.1.2’de görüldüğü gibi N1-2, N2-4, N2-3 ve N1-3 kuvvetleri, 1-1 kesiminin solunda kalan parçasında (Şekil 5.1.3) moment noktalarına göre yazılacak denklemlerden hesaplanır.
Şekil 5.1.3
o o o o o o o
o o o
o o
o
d=3m
L= 6d =18 m
P
P/2
o
2m
2m
P/2 P
P=30 kNP
P
2
1
4
3
6
5A B
VA VB
I
I II
II IIIIII
1′
o o o
o o
P=30 kN
o
P/2=15 kN P
2
1A
3O
N2-3
N2-4
N2-4
F
VA= 90 kN LOA
4 m
3 m
α
β
32−r
42−r α
· α
..
93
N2-4 – için moment noktası “2-3” ve “1-3” çubuklarının kesişme noktası olan “3” düğümüdür.
∑ =+−−−= −− 0.3.6.9.2
9. 42423 rNPPPVM A .
Moment noktasının iç kuvvetin doğrultusuna dik uzaklığı r ile gösterilmiştir.
21693,0219544,9
2sin,97618,0219544,9
992
9cos22
====+
= αα
mr 9047,397618,0.(4cos.442 ===− α , kNN 721,1039047,3
3.306.309.159.9042 −=
+++−=−
N1-3 için moment noktası “2-4” ve “2-3” çubuklarının kesişme noktası olan “2” düğümüdür.
mlrrNPPVM A 333,332.22,0.3.6.
26. 213131312 =+===−−−= −−−−∑
kNN 108333,3
90906.9031 =
−−=−
N2-3 için ise moment noktası “O” noktasıdır. (“2-4” ve “1-3” çubuklarının doğrultularının kesişme noktası).
.0902,103793,13
15.3012,309.159.90,3793,13)743294,0.(18
743294,03)333,3(
333,3sin312,sin).9(3
92222,022222,0
92,2
0.)6.()3.(.2
.
3232
2232
2132
3232
kNNmr
lldenLrdanFO
mLtgtg
L
rNLPLPLPLVM
OA
OAOA
OAOAOAOAAO
−=−−−
===
=+
==−+=−
==⇒===
=++++++−=
−−
−
−Δ
−
Δ
−−∑
ββ
αα
“1-2” çubuğunda oluşan N1-2 iç kuvveti II-II kesiminden belirlenir (Şekil 5.1.2).
Şekil 5.1.4 N1-2 için moment noktası “O” (“ 21 −′ ” ve “1-3” çubuk doğrultularının kesişme noktası) noktası olacaktır (Şekil 5.1.4).
∑ −=++−
=⇒=−++−= −− kNNNVM AO 2115
3601359.90015.12.309.159. 2121
Yukarıda verilmiş olan açıklamaya göre, “4-3” çubuğunun dahil olacağı bir kesimde kesilecek çubukların sayısı üçten fazla olduğu için bu çubukta oluşan iç kuvvet düğüm kesme yöntemiyle hesaplanır (III – III kesimi).
o o
o o
P/2P=30 kN
A
VA= 90 kN
o
N1-2
N1-33 m·O
LOA=9 m
1
1′
94
Şekil 5.1.5
∑∑
=−−−=⇒=−−−=
=⇒=−=
−−−
−−−−
kNNNNPY
NNNNX
15)021693).(721,103.(2300sin..2
.0cos.cos.
342434
24642464
α
αα
Böylece belirlenen iç kuvvetler aşağıdaki tabloda toplu halde verilmiştir. İç Değerleri Kuvvetler (kN) N2-4 - 103,721 Basınç N1-3 108 Çekme N2-3 - 10,0902 Basınç N1-2 -21 Basınç N4-3 15 Çekme Örnek 5.2. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.2.1’de görülen üçgen kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarında oluşan iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5.2.1 Çözüm: Kafes sistemin kinematik analizi: n = 2.12 – 3 = 21. Şekil 5.2.1’den görüldüğü gibi sistem 21 adet çubuktan oluşmuş ve taşıyıcı bünyeye sahiptir. Mesnet tepkileri aşağıdaki gibi belirlenir (Şekil 5.2.2).
o
P=30 kN
N 4-2 N 4-6
4
N4-3
α α
o o o o o
d=2m
L=5d
∗
1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
4
6
d=2m
8
7
9
10
P5 = 12 kN
P4 = 18 kN
P3 = 10 kN
P2 = 15 kN
P1 = 20 kN
A
∗ ∗
∗ ∗ ∗
95
Şekil 5.2.2
kNV
PPPPVPM
kNV
PPPPPVM
B
BA
A
AB
8,4410
2.204.156.108.1812.1202.4.6.8.10.12.
2,3010
2.122.184.106.158.2002.2.4.6.8.10.
12345
54321
=++++
=
⇒=++++−=
=−+++
=
⇒=+−−−−=
∑
∑
Sağlama : 0128,44181015202,30
054321
=−+−−−−
⇒=−+−−−−=∑ PVPPPPVY BA
Verilmiş kafes sistemin dikme çubuklarında iç kuvvetler düğüm kesme yönteminin özel hallerine uygun olarak belirlene bilir. “1” düğümünden (Şekil 5.2.3 a) N 1-A= N 1-3 , N 1-2 = 0 “5” düğümünden (Şekil 5.2.3 b) N 5-3 = N 5-7 , N 5-6 = 0 “B” düğümünden (Şekil 5.2.3 c) NB-10 = NB-7 , NB–9= -VB= - 44,8 kN “4” düğümünden (Şekil 4.2.3 d) N4–2 = N 4– 6 , N 4–3 = 0. Şekil 5.2.3 “8” düğümünden (Şekil 5.2.4) N8- 6 = N 8–9 , N8–7 = - P4 = -18 kN. Şekil 5.2.4.
1o
N 1-A
N 1
-2
N 1-3
5
N 5-3
N 5
-6
N 5-7
b)
o
B
N B-7
N B
-9
N B-10
c)
o
o
VB
4
N 4-6
N 4-2
N 4-3
d)
o 8
N 8-6
N 8-9
N 8-7
P4 = 18 kN
o o o o o
d=2m
L=5d = 10 m
1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
4
6
d = 2 m
8
7
9
10
P5 = 12 kN
P4 = 18 kN
P3 = 10 kN
P2 = 15 kN
P1 = 20 kN
A
VA VB
α θ
β
I
I II
II
III
III
96
Şekil 5.2.2’de görüldüğü gibi işaretlenmiş çubuklardaki iç kuvvetler (N2–3, N4 - 6, N3 - 6, N3 -5, N7 -5) moment noktalarına göre yazılacak denklemlerden belirlenir. I-I kesiminin solunda kalan parçanın (Şekil 5.2.5a) denge şartından ∑ =+= −− 0.2. 32321 rNPM A
II-II kesiminin solunda kalan parçanın (Şekil 5.2.5b) denge şartlarından aşağıdaki iç kuvvetler hesaplanır.
kNN
lNPPVM A
733,233
2.154.206).2,30(0.2.4.6.
53
6553216
=−−
=
⇒=−−−=
−
−−∑
.1699,457888,1
2.204).2,30(,7888,1)8944,0.(2
8944,063
6cos,cos.
0.2.4.
6464
224364
646413
kNNmr
lr
rNPVM A
−=+−
===
=+
==
=+−=
−−
−−
−−∑αα Şekil 5.2.5
kNNmr
rrNPPM A
046,303282,3
2.204.15,3282,3)832,0.(4
832,023
3sin,sin.4,0.2.4.
6363
2263636312
=+
===
=+
===−+=
−−
−−−∑ θθ
“7-B” çubuğunda oluşan iç kuvvet, sistemin III-III kesiminin (Şekil 5.2.2) sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.2.6) denge şartından belirlenir.
kNN
lNPM
B
BB
241
2.120.2.
7
9759
−=−=
=+=
−
−−
Böylece belirlenen çubuk kuvvetleri aşağıdaki tablodadır. Şekil 5.2.6 İç Değerleri Kuvvetler (kN) N2-3 - 22,36 Basınç N3-5 23,733 Çekme N4-6 - 45,1699 Basınç NB-7 -24 Basınç N3-6 30,046 Çekme
kNNmr
llr
36,227889,1
2.20,7889,1)4472,0.(4
4472,021
1sin,sin.4
3232
2232
2132
−====
=+
===
−−
−
−− ββ
N 9-8
o 9
10 o o
P5 = 12 kNVB = 44,8 kN 2 m N B-7
N 7-9
B
o
o 2
α ·o
β
N 1-3
N 2-3
N 2-4
1 3
P1 = 20 kN
VA
32−r
A2 m
o o o
o
o
2
4 P1 = 20 kN
Aα
θ
P2 = 15 kN
VA=
30,2
5 kN
2 m θ
63−r
N 4-6
N 3-6
N 3-5
64−r
6
3
b)
a)
3 m
α
5
.
.
97
Örnek 5.3. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.3.1’de verilmiş olan kafes sistemin sıfır kuvvet çubuklarını belirleyiniz ve işaretlenmiş çubuklardaki iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5.3.1 Çözüm: Hesaplamaya sistemin kinematik analiziyle başlanır. n = 2.14 – 3 = 25. Şekil 5.3.1’den de görülmektedir ki sistem 25 adet çubuktan oluşmaktadır ve taşıyıcı bünyeye sahiptir. Mesnet tepkileri statiğin denge denklemleriyle belirlenir (Şekil 5.3.2).
Şekil 5.3.2
.1666,4418
6.159.2015).1025(06.9.15).(18.
,8333,3718
3.103.259.2012.1518.1203.3.9.12.18.18.
2354
54321
kNV
PPPPVM
kNV
PPPPPVM
B
BA
A
AB
=+++
=
⇒=++++−=
=++++
=
⇒=−−−−−=
∑
∑
Sağlama: ∑ ⇒=+−−−−−= 054321 BA VPPPPPVY 01666,4410252015128333,37 =+−−−−− Sıfır kuvvet çubukları düğüm kesme yönteminin özel hallerinden belirlenir.
o o o o o o o
o o o
o o o o
P5 = 10 kN
P4 = 25 kN P1 = 12 kN
P2 = 15 kN
P3 = 20 kN
1 3
2
5
43 m
6
9
8 10
11 12
2 m
1m
L =18 m
A B
∗
∗∗
∗ ∗
∗
o o o o o o o
o o o
o o o o
P5 = 10 kN
P4 = 25 kNP1 = 12 kN
P2 = 15 kN
P3 = 20 kN
1 3
2
5
43 m
6
9
8 10
11 12
2 m
1m
L =18 m
A B
I
I
θ III
IIII
α
III
98
“1” düğümünden (Şekil 5.3.3a)
kNPNN A 12,0 1131 −=−== −− “2” düğümünden (Şekil 5.3.3b)
.0, 32422 == −−− NNN A “12” düğümünden (Şekil 5.3.3c)
.0,0 121112 == −− BNN
Şekil 5.3.3 İşaretlenmiş çubuklardaki iç kuvvetlerin hesabı moment noktaları ve izdüşüm denge denklemleri ile yapılır. Bu iç kuvvetler kafes sistemin I-I kesiminin (Şekil 5.3.2) sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.3.4) denge şartlarından belirlenir.
Şekil 5.3.4 N7–9 için moment noktası “8-6” ve “8-7” çubuklarının kesişme noktası olan “8” düğümüdür.
kNN
mlrrNPPVM B
333,533
3).2510(6).1666,44(3,0.3).(6.
97
98979797548
−=++−
=
===−++−=
−
−−−−∑
N8– 6 için moment noktası “7” düğümüdür.
.5,623
)1025(9).1666,44(
3,0.6).(9.
68
68686868547
kNN
mlrrNPPVM B
=+−−
=
===+++=−=
−
−−−−∑
I-I kesimiyle kesilmiş üst ve alt başlık çubukları birbirine paralel oldukları için kesişme noktası sonsuzdadır. Buna göre de N8-7’nin hesabı izdüşüm denkleminden yapılır.
kNN
NPPVY B
9636,127071,0
10251666,44
7071,033
3sin,0sin.
78
227854
−=++−
=
=+
==+−−=
−
−∑ αα
o
P1 = 12 kN
N 12 -11
N 1-A
1
o N 2-4
N 2-3
N 2-A 2
o
N 1-3
N 12 -B
12
a) b)
c)
o o o
o
o o
9
8 10
11 122
m
1m
B
o 7 N 9 -7
N 8 -6
N 8 -7
P5 = 10 kN VB = 44,1666 kN
o 6 3 m
α
P4 = 25 kN
99
89−N ’in hesabı “9” düğümünün denge şartından yapılır (Şekil 5.3.5). Şekil 5.3.2’den görüldüğü gibi
1644,061
1sin,9264,061
6cos2222=
+==
+= θθ
.068,549864,0
333,53cos
,0cos.
119
7911911979
kNN
NNNNX
−=−
=
==+−=
−
−−−−∑ θ
θ Şekil 5.3.5
∑ ==−=⇒=−−= −−−− .88,8)1644,0.(068,54sin.0sin. 1198911989 kNNNNNY θθ 11-8 çubuğundaki iç kuvveti sistemin III-III kesiminin (Şekil 5.3.2) sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.3.6) moment noktasına göre denge şartından hesaplanır. 811−N için moment noktası 11-9 ve 10-8 çubuk doğrultularının kesişme noktası olan “O” noktasıdır.
Şekil 5.3.6
.434,052,11
15.3512).1666,44(,0.15).(12.
52,1164,0).612(,64,03)5,2(
5,2sin,sin.
,121666,02,1666,0
9864,01644,0
cossin,
81181181154
81122118
11108811
12
kNNrNPPVM
mrll
lr
mLtgtglL
BO
O
OBB
OB
=−
==−+−=
=+==+
===
======
−−−
−−
−−
−
∑
ββ
θθθ
θ
Kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki iç kuvvetlerin değerleri ve sıfır kuvvet çubukları aşağıdaki tablodadır.
o 9 θ
N 9 -7
N 9 -8
N 9 -11
o o
o o
P5 = 10 kN
10
11 12
3 m
1m
B ·
VB
O
L OB
811−r
N11 - 9
N11 - 8
θ P4 = 25 kN
N 8 -10
β θ
.
100
İç Değerleri Kuvvetler (kN) N1-3 0 N2-3 0 N12-11 0 N12-B 0 N7-9 -53,333 Basınç N8-6 62,5 Çekme N8-7 -12,9636 Basınç N9-8 8,88 Çekme N9-11 -54,068 Basınç N11-8 0,434 Çekme Örnek 5.4. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.4.1’de verilmiş olan yarım diyagonal çubuklu (K tipi) kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki iç kuvvetlerin belirlenmesi istenmektedir.
Şekil 5.4.1 Çözüm: Kafes sistemin kinematik analizi önceki kafes sistemlerde yapıldığı gibidir. Sistem n = 2.20-3 = 37 adet çubuktan oluşmuştur ve Şekil 5.4.1’den görüldüğü gibi taşıyıcı yapıya sahiptir. Mesnet tepkilerinin hesabı (Şekil 5.4.2).
kNV
PPPPPVM
kNV
PPPPPVM
kNHHPPPX
B
BA
A
AB
AA
333,9318
2.104.2045.308.154.10
02.4.)3691215.(18.2
4.18.
667,8618
4.102.104.2045.30*18.15
04.2.4.)3691215.(18.2
18.
201010200
212
221
221
=++++−
=
⇒=++++++++−−=
=+−−
=
⇒=−++++++−−=
=−+=⇒=−−+=
∑
∑∑
P = 30 kN
o o o o o o o
o o
o o
o
o
o o
o
o
o
o
o
3 m 2
m
2 m
L=18 m
A B
P P P P P/2 P/2
P1 = 20 kN
P2 = 10 kN
P2 = 10 kN ∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
101
Şekil 5.4.2 ∑ =+=⇒=−+⇒= .30102000 21 kNHHPPX AA Sağlama:
.0333,9330.515.2667,86,0.52
.2 =+−−=+−−=∑ BA VPPVY
Bu türlü kafes sistemlerin çubuklarında oluşan iç kuvvetler birden fazla kesimin uygulanmasıyla hesaplanır (Şekil 5.4.2). N6-5 ve N2–1 kafes sistemin I-I kesiminin sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.4.3), bu iç kuvvetlerin moment noktalarına göre denge şartlarından belirlenir. N6-5 için moment noktası 1-2 çubuğuyla her ikisi aynı doğru üzerinde olan 6-3 ve 2-3 çubuklarının kesişme noktası olan “2” düğümüdür.
kNN
NPPVM B
75,684
3.154.103).333,93(
04.3.2
4.3.
56
5622
−=+−−
=
=−+−−=
−
−∑
N2-1 için moment noktası “6-5” çubuğuyla her ikisi aynı doğru üzerinde olan “6-3” ve “2-3” çubuklarının kesişme noktası olan “6” düğümüdür. Şekil 5.4.3
.75,584
3.153).333,93(
04.3.2
3.
12
126
kNN
NPVM B
=−
=
⇒=++−=
−
−∑
İşaretlenmiş diğer çubuklardaki iç kuvvetlerin hesaplanması için “3” düğümünü kesip (Şekil 5.4.4) denge şartından
13531353 0cos.cos. −−−− −=⇒=−−=∑ NNNNX αα (1) olduğu elde edilir. Şekil 5.4.4 Bundan sonra II-II kesimi ile (Şekil 5.4.2) dört adet çubuk kesilmesine rağmen, 1353 −− −= NN olduğu için izdüşüm denklemleri kullanılabilir (Şekil 5.4.5).
o
N 3 -6
N 3 -2N 3 -1
N 3 -5
3 α α
P = 30 kN
o o o o o o o
o o
o o
o
o
o o
o
o
o
o
o
3 m
2 m
2
m
L=18 m
A B
P P P P P/2 P/2
P1 = 20 kN
P2 = 10 kN
P2 = 10 kN
VA VB
I
I
II
II
α
7
1 2
34
5 6
8
o o
o o
o
2 m
2
m
B
P/2
7 6
8
2
VB=93,333 kN
P=30 kN
P2 = 10 kNN 6 -5
N 2 -1
N 6 -3
N 2 -3
3 m
HA
102
Şekil 5.4.5
kNNkNN
den
PVNNPVY
konursayerinede
NNPPVY
BB
B
567,43,567,43)5547,0.(2
45333,93
832,0133cos
,5547,023
2sin'345
,sin.2
5,1,0sin..25,1
')2(,)1(
,)2(0sin.sin.2
5313
22
1313
1353
−==−
=
==
=+
=
−==−−=
=−+−−=
−−
Δ
−−
−−
∑
∑
α
α
αα
αα
“8” düğümü kesildiğinde (Şekil 5.4.6) “3” düğümüne benzer şekilde düğüm denge denkleminden
2868
2868 0cos.cos.
−−
−−
−=
⇒=−−=∑NNNNX αα
Şekil 5.4.6 olduğu belirlenir. Kafes sistemin işaretlenmiş “6-3” ve “3-2” çubuklarındaki iç kuvvetler sırasıyla kesilmiş “6” (Şekil 5.4.7a) ve “2” (Şekil 5.4.7c) düğümlerinin denge şartlarından belirlenebilir.
o o
o
o
o
o
2 m
2
m
B
P = 30 kN P/2
P2 = 10 kN 7
3
6
8N 3 -5
N 3 -1
N 2 -1
VB=93,333 kN
αα
5
4
N 6 -5
23 m
N 8 -B
o
N 8 -7
N 8 -2
N 8 -6
8 αα
o 6
P=30 kN
o
P=30 kN
N 6 -5 N 6 -7 N 7 - 6
N 7 - 8
N 6 -8
N 6 -3
α
P2=10 kN 7
b) a)
103
Şekil 5.4.7 “6” düğümünün denge şartından (Şekil 5.4.7a) ∑ =++−= −−− 0cos. 768656 NNNX α yazılır ve “7” düğümünden (Şekil 5.4.7b) düğüm kesme yönteminin özel durumu ile N 6-7 = 10 kN elde edilir. Buna göre
∑ =−−−==−−−=
=−=−=+−
=−
=
−−−
−−−−
−
kNNNNPY
kNNNkNNN
N
169,9)5547,0).(613,70(30,0sin.
613,70,613,70832,0
1075,68cos
368636
86827656
86
αα
değerleri elde edilir. N2 -3 “2” düğümünün (Şekil 5.4.7c) denge şartlarından belirlenir. “B” düğümünden (Şekil 5.4.7d) N B-2 = 0 değeri bulunur. Dolayısıyla
∑
∑−=−=⇒=+=
==⇒=+−=
−−−
−−−
kNNNNY
kNNNNX
169,39)5547,0).(613,70(0sin.
,613,70832,0
75,580cos.
328232
828212
α
α
olarak N2-8 ve N2-3 de belirlenmiş olur. Örnek 5.5. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.5.1’de verilmiş olan kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5.5.1 Çözüm: Sistemin kinematik analizi bilinen formülle yapılır: n = 2.12 – 3 = 21. Şekil 5.5.1’den görüldüğü gibi kafes sistem 21 adet çubuktan oluşmaktadır ve taşıyıcı bünyeye sahiptir. Kafes sistemin ve etkiyen yüklerin simetrisinden mesnet tepkileri aşağıdaki gibi belirlenir:
o 2
o N 2 -1
N 2 -3
N 2 - 8
N 2 - B
N B - 2
N B - 8
αB
VB=93,333 kN
c) d)
o o o o o o o
o
o o
o
o
P = 20 kN PP P P
P/ 2 P/ 2
L = 24 m
d = 4 m
∗
∗
∗
∗ ∗ ∗ 3
m
2 m
1m
104
.6020.32
62
kNPPVV BA ===== ∑
İç kuvvetlerin hesaplanması için gereken kesimler Şekil 5.5.2’de yapılmıştır.
Şekil 5.5.2 İşaretlenmiş “1-3”, “2-3” ve “1-4” çubuklarındaki iç kuvvetler, kafes sistemin I-I kesiminin sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.5.3) denge şartlarından, moment noktaları yöntemi ile belirlenir.
23−N için moment noktası “1-3” ve “1-4” çubuklarının kesişme noktası olan “1” düğümüdür (Şekil 5.5.3).
Şekil 5.5.3
o o o o o o o
o
o o
o
o
P = 20 kN PP P P
P/ 2 P/ 2
L = 24 m
d = 4 m
3 m
2
m 1
m
VB
I
I
II
II
III
III
A B
VA
1
23
4
5
6
3'
o o o
o
o
P=20 kN P
P/ 2
VB=60 kN
.
B
3
4
.K
. Oo β
4 m L O B
5 m
6 m
1
2
3 m
α
α
13−r
α
N 2 -3
N 3 -1
N 4 -1
e
105
.847,618208,5
4.208.2012.1012.60
8208,5)9701,0.(6,24253,041
1sin,9701,041
4cos
,cos.,0.4.8.12.2
12.
23
232222
212323231
kNN
mr
lrrNPPPVM B
−=+++−
=
===+
==+
=
==−+++−=
−
−
−−−−∑
αα
α
N3–1 için moment noktası “3-1” ve “4-1” çubuk doğrultularının kesişme noktası olan “O” noktasıdır (Şekil.5.5.3).
.4,674,18
20.2016.2012.1012.6074,18)78086,0.(24
,sin).12('1,78086,045
5sin'341.12
2025,058,)8('34,25,0
41'23
0.20.16.12.2
.
1313
1322
34
1313
kNNmr
LrdenKOdenmL
mLtgl
LdenOtgdene
rNPPPLVM
BOBO
BOBO
oBBO
−=−−−
===
+==+
==
==+=+==
=−−−−=
−−
−
ΔΔ
−ΔΔ
−−∑
ββ
αα
“2” düğümünü kesip (Şekil 5.5.4) düğüm kesme yöntemi kullanılarak “2-1” çubuğunda oluşan iç kuvvet aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
kNNNNY
kNNNNNX
30)24253,0).(947,61.(20sin..2
,847,610cos.cos.
12
3212
3232
3232
=−−=
⇒=−−=
−==
⇒=−=
−
−−
′−−
′−−
∑
∑
α
αα
Şekil 5.5.4 “3-4” çubuğundaki iç kuvvet kafes sistemin II-II kesiminin sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.5.2) denge şartlarından, yine moment noktaları esasına göre hesaplanır. Bu iç kuvvet, N4-3 , için moment noktası “3-5” ve “4-1” çubuk doğrultularının kesişme noktası olan C noktasıdır (Şekil 5.5.5).
Şekil 5.5.5
o
N 2 -1
N 2 -3N 2 -3'
α α 2
VB=6
0 kN
o o o
o
P=20 kN P
P/ 2
B
3
4 C
4 m L B C
5 m
3 m
N 4 -1
.
N 4 -3
m
θ
θ 5
6
N 5 -3o
106
.883,197084,10
)7084,10.(20)7084,6.(20)7084,2.(10)7084,2.(60
.7084,2
,7084,64472,03)4('56,4472,0
42
2'35
0)8.()8.()4.(.2
.
34
6522
43
kNN
mL
mtgl
LdenCtgdenm
LNLPLPLPLVM
CB
CB
CBCBCBCBCBBC
=+++−
=
=
===+=+
=
=+++−+−−=
−
−ΔΔ
−∑
θθ
“4-5” çubuğunda oluşan iç kuvvet, kafes sistemin III-III kesiminin (Şekil 5.5.2) sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.5.6) denge şartından belirlenir.
Şekil 5.5.6 N5–4 için de moment noktası yine C noktasıdır (“4-5” ve “6-4” çubuk doğrultularının kesişme noktası).
0.)4.(.2
. 4545 =−+−−= −−∑ rNLPLPLVM CBCBCBBC .
kNNmr
denLrdenLC CB
1948,0425,6
)7084,6.(20)7084,2.(10)7084,2.(60,425,6)7084,28(
.6,043
3sin'564,sin).8('4
4545
2245
=−−
==+=
=+
=+=
−−
Δ
−
Δγγ
“B-5” ve “B-6” çubuklarındaki iç kuvvetler düğüm kesme yöntemi ile belirlenir. Bunun için “B” düğümü (Şekil 5.5.2) kesilip, denge şartları yazılır (Şekil 5.5.7).
.666,66)8,0).(333,83(
333,836,0
10600sin.2
.8,0
.6,053sin,8,0
34
4cos'56
,cos.0cos.
6
55
56
22
5656
kNN
kNNNVPY
NN
denB
NNNNX
B
BBB
BB
BBBB
=−−=
−=+−
=⇒=++−=
−=
===+
=
−=⇒=−−=
−
−−
−−
Δ
−−−−∑
ω
ωω
ωω
Şekil 5.5.7
o
VB=60 kN
P/ 2
Bω
N B - 5
N B - 6
5
6 4 m
3 m
o o
o
P
P/ 2
B C
L B C
3 m
VB=6
0 kN
.
5
64 N 6 -4
N 5 - 4
N 5 - 3
γ
4 m
L
45−r
.
107
Örnek 5.6. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.6.1’de verilmiş olan konsol kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5 .6.1 Çözüm: Konsol kafes sistemlerin kinematik analizi de (5.2) bağıntısıyla yapılır. Sistemde n = 2.7-3 = 11 çubuk olmalıdır. Şekil 5.6.1’e bakıldığında sistemin 11 çubuktan oluştuğu görülmektedir. Ayrıca, taşıyıcı özelliğe sahip, yani geometrik değişmez ve izostatik olduğu da açıktır. Konsol kafes sistemlerin çubuklarındaki iç kuvvetler bilinen yöntemlerle, kafes sistemin yapılan kesimlerle, işlemlerin kolaylığı için serbest, diğer bir deyişle mesnet olmayan tarafta kalan parçasının denge şartlarından hesaplanır.
Şekil 5.6.2 İşaretlenmiş “3-5” ve “2-4” çubuklarındaki iç kuvvetler kafes sistemin I-I kesiminin (Şekil 5.6.2) sol tarafında kalan parçasının (Şekil 5.6.3) denge şartlarından, moment denklemleri ile hesaplanır.
Şekil 5.6.3
∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=10 kN P=10 kNP
1 m
1 2 4
3
5
∗ ∗ ∗
∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=10 kN P=10 kNP
1 m
1 2 4
3
5I
I
II
IIIII
III
α
o o
o
P=10 kN P=10 kN
12
3
o
o 5
41 m
N 3 - 5
N 3 - 4
N 2 - 4
αα 1,
333
m
53−r
108
42−N için moment noktası “3-5” ve “3-4” çubuklarının kesişme noktası olan “3” düğümüdür (Şekil 5.6.3).
.15666,0
1.10,666,032,0.1. 423232423 kNNmllNPM −=
−====−−= −−−−∑
53−N için moment noktası “3-4” ve “2-4” çubuklarının kesişme noktası olan “4” düğümüdür (Şekil 5.6.3).
.05,27109,1
1.102.10,109,1)832,0).(3333,1(
832,0)666,0(1
1cos321
,cos.,0.1.2.
5353
22'
545353534
kNNmr
den
lrrNPPM
=+
===
=+
=
==+−−=
−−
Δ
−−−−∑α
α
32−N , “2” düğümü kesilerek, düğüm kesme yönteminin özel durumundan belirlenir (Şekil 5.6.4).
.10, 324221 kNPNNN === −−− Şekil 5.6.4
54−N ve BN −4 kafes sistemin II-II kesiminin (Şekil 5.6.2) sol tarafında kalan parçasının (Şekil 5.6.5) denge şartlarından, moment noktası yöntemi ile hesaplanır.
Şekil 5.6.5 N4-5 için moment noktası “1” düğümüdür (“3-5” ve “4-B” çubuk doğrultularının kesişme noktası) (Şekil 5.6.5).
∑ =+
=⇒=−+= −− .152
2.101.1002.2.1. 54541 kNNNPPM
N4-B için moment noktası “5” düğümüdür (“3-5” ve “4-5” çubuklarının kesişme noktası) (Şekil 5.6.5).
.5,22333,1
1.102.100.1.2. 45441 kNNlNPPM BB −=−−
=⇒=−−−= −−−∑
Kafes sistemde (Şekil 5.6.2) III-III kesiminin sol tarafında kalan parçanın denge şartından, N5–B de moment denklemi yazılarak belirlenebilir. N5–B için moment noktası üst ve alt başlık doğrultularının kesişme noktası olan “1” düğümüdür (Şekil 5.6.6).
o 2
N 2 - 3
N 2 - 4 N 2 - 1
P=10 kN
o 5
o o o
o
12 4
3
α
P=10 kNP P
N 3 - 5
N 4 - 5
N 4 - B
1 m
109
Şekil 5.6.6
.5,124,2
2.101.10
,4,2)8,0.(38,01)333,1(
333,1sin
,sin.3'14,0.2.1.
5
5225
45
5551
kNN
mrll
rdenBrNPPM
B
BB
BBB
−=−−
=
==⇒=+
==
==++=
−
−−
−
−
Δ
−−∑β
β
Örnek 5.7. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 5.7.1’de verilmiş olan karmaşık kafes sistemin soldan 2.panel (kafes sistemin üst ve alt başlıkları üzerinde iki komşu düğüm arasında kalan parçası) çubuklarındaki iç kuvvetleri hesaplayınız.
Şekil 5.7.1 Çözüm: Kafes sistemlerin daha fazla yük taşıması amacıyla, yüklenmiş üst veya alt başlık çubuklarına küçük kafes sistemler eklenmesiyle karmaşık kafes sistemler elde edilir. Karmaşık kafes sistemlerin çubukları Şekil 5.7.2’de görüldüğü gibi aşağıdaki türlere ayrılır: 1. Yalnız esas kafes sisteme ait olan çubuklar: “3-8”, “2-3”, “3-5”, “8-7”(Şekil 5.7.2‘de sürekli çizgiyle gösterilmişlerdir).
.
o o o
o
o
P=10 kN P=10 kNP
1 m
1 2 4
3
5
o
o
2 m
N 5 - A
N 5 - B
N 4 - B
Br −5
B
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B1
2
3
5
4 6
7
8
P P P P=10 kN P P P
PP
2 m
L=16 m
2 m
2
m
β
110
Şekil 5.7.2 2. Yalnız ilave kafes sistemlere ait olan çubuklar: “2-5, “2-4”, “4-5” (Şekil 5.7.2’de kesik çizgiyle gösterilmişlerdir). 3. Esas ve ilave kafes sistemlere ait olan çubuklar: “1-2”, “1-4”, “4-6”,”6-5”, “6-7” (Şekil 5.7.2’de birbirine paralel olan kesik ve sürekli çizgilerle gösterilmişlerdir). Karmaşık kafes sistem, hesabı kolaylaştırmak amacıyla esas (Şekil 5.7.3a) ve ilave (Şekil 5.7.3b) kafes sistem olmak üzere ikiye ayrılır. Her iki kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetler bilinen yöntemlerle hesaplanır. a) b)
Şekil 5.7.3. a) Esas kafes sistem, b) İlave kafes sistem.
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B1
2
3
5
4 6
7
8
P
P P P P=10 kN P P P
P
2 m
L=16 m
2 m
2
m
o o o o o
o o o o
A B1
3
6
8
1,5 P
2 P=20 kN
2 m
L=16 m
4 m
1,5 P
2 P 2 P
o o
o o
o 1 4 6
52
4 m
I
I
III
III
II
II
2 m
VA VB
V1 V6 P=10 kN
111
Esas kafes sistem için mesnet tepkileri kafes sistemin ve yüklemenin simetrisinden
(Şekil .5.7.3a) birbirine eşit olup, şu değerdedir: VA = VB = kNPP 455,42
9== . I-I kesimi ile
kesilmiş çubuklardaki iç kuvvetler ( eee NveNN 616383 , −−− ) esas kafes sistemin kesimin sol tarafında kalan parçasının denge şartlarından belirlenebilir (Şekil 5.7.4). eN 83− için moment noktası “3-6” ve “1-6” çubuklarının kesişme noktası olan “6” düğümüdür.
.404
4.10.28.10).5,1(8.4504.4.28.5,18. 83836 kNNNPPVM eeA −=
++−=⇒=+−−= −−∑
eN 61− için moment noktası “3” düğümüdür (“3-8” ve “3-6” çubuklarının kesişme noktası)
(Şekil 5.7.4).
.352
2.10.26.10).5,1(6.4504.2.26.5,16. 61613 kNNNPPVM eeA =
−−=⇒=−−−= −−∑
Şekil 5.7.4 Köşegen (diyagonal) çubuklardaki iç kuvvetler üst ve alt başlık çubukları birbirine paralel oldukları için izdüşüm denklemleri ile hesaplanır.
kNN
ll
NPPVY
e
KeA
18,118944.0
201545
8944,042
4cos,0cos.25,1
63
2213
363
=−−
=
=+
===−−−=
−
−
−−∑ αα
Esas kafes sistemin II-II kesiminin (Şekil 5.7.3) solunda kalan parçasının (Şekil 5.7.5) denge şartından eN 43− ‘ın belirlenmesine benzer şekilde eN 31− hesaplanır.
Şekil 5.7.5
o o o
o o
A 1
3
6
2 P=20 kNVA= 45 kN
1,5
P=15
kN
α
eN 83−
eN 63−
eN 61−
4 m4
m
K
o
o
1
VA= 45 kN
1,5
P=15
kN
2 P=20 kN
eN 31− αeN 61−
4 m
memN 3−
o 3
o
112
∑ −=++−
=⇒=+−−= −− .18,118944,0
2015450cos.25,1 3131 kNNNPPVY eeA α
Esas kafes sistemin “6-8” çubuğunda oluşan eN 86− iç kuvveti, kafes sistemin III-III kesiminin (Şekil 5 .7.3a) sağ tarafında kalan parçasının (Şekil 5.7.6) denge şartından belirlenir.
∑ =−−
=⇒=−−−= −− .18,118944,0
2015450cos.25,1 6868 kNNNPPVY eeB α
Şekil 5.7.6
İlave kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetlerin hesabı (Şekil 5.7.7a): İlave ve esas kafes sistemler aynı şekle sahip oldukları için çubuklarındaki iç kuvvetlerin belirlenmesi de aynı yöntemlerle, benzer şekilde yapılır. Ele alınan kafes sistem simetrik olduğundan
V1=V6 = 5 kN ,
.,, 644154425621iiiiii NNNNNN −−−−−− ===
yazılabileceği açıktır. Kafes sistemin I-I kesiminin solunda kalan parçasının denge şartlarından çubuklardaki iç kuvvetler hesaplanır (Şekil 5.7.7).
.5,221.502.1.
52
2.502.2.
64414112
525214
iii
ii
NkNNNVM
kNNNVM
−−−
−−
===⇒=−=
−=−
=⇒=+=
∑
∑
“1”düğümü kesilip denge denklemlerinden ii NveN 4121 −− belirlene- bilir (Şekil 5.7.7b).
o B
o o 8
4 m
1,5 P
o o
α
eN 38−
VB=45 kN 2 P=45 kN
6
eN 68−
nenN 6−
4 m
o o
o o
o 1 4 6
5 2
4 m
2 m
V1 V6
P=10 kN 1m 1m
I
I
α β
a)
o β
b) iN 21−
V1=5 kN
iN 41− 1
Şekil 5.7.7
113
.59,54472,0
5,2
,4472,021
1cos,cos
0cos.
,59,58944,05
cos0cos.
6521
2241
214121
541
42421
ii
iiii
iii
NkNN
NNNNX
NkNVNNVY
−−
−−−−
−−−
=−=−=
=+
=−=⇒=+=
====⇒=−=
∑
∑
ββ
β
αα
Esas ve ilave kafes sistemlerin çubuklarında iç kuvvetler yukarıdaki gibi belirlendikten
sonra karmaşık kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanır:
,5,18,11,40
,18,11,77,1659,518,11
525263538383
3132213121
kNNNkNNNkNNN
kNNNkNNNN
iee
eie
−====−==
−==−=−−=+=
−−−−−−
−−−−−
.59,559,518,11
,59,5,5,375,235
,18,11,59,559,518,11
768676
42544241616441
8687656365
kNNNN
kNNNNkNNNNN
kNNNkNNNN
ie
iie
iie
=−=+=
====+=+==
===−++=
−−−
−−−−−−−
−−−−−
114
6. KAFES SİSTEMLERDE TESİR ÇİZGİLERİ
Genel Bilgiler
Kafes sistemlerin de hareketli yüklere göre hesabı tesir çizgileri (T. Ç.) ile yapılır. Kafes sistem çubuklarındaki kuvvetlerin T. Ç.’leri, üst veya alt başlıkta hareket eden, yönü değişmeyen P = 1 birim yükünün durumuna bağlı olarak bu kuvvetlerin değerlerinin değişimini gösteren grafiklerdir. Hareketli birim yükün de sabit yüklerdeki gibi düğümlerde uygulanacağı göz önünde bulundurulmalıdır. Çubuk kuvvetlerinin T. Ç.’leri, kirişlerde eğilme momenti ve kesme kuvvetinin T. Ç.’lerinde olduğu gibi doğru parçalarından oluşur. Tesir çizgilerini çiziminde, sabit yükler için analitik yöntemle, çubuk kuvvetlerinin hesabında yapılmış işlemler ve uygulanmış olan yöntemler aynen tekrarlanır. Kafes sistemde bir çubuk kuvvetinin tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi, hareketli birim yükü, yapılmış kesimin sağ tarafında göz önüne alarak, sol tarafın denge şartları ile sol mesnet tepkisine bağlı olarak elde edilir. Sol doğrusunun ifadesi ise hareketli birim yükü, yapılmış kesimin sol tarafında göz önüne alarak, sağ tarafın denge şartlarından sağ mesnet tepkisine bağlı olarak belirlenir. Konsol kafes sistemlerde bir çubuk kuvvetinin T. Ç.’nin her iki doğrusunun ifadesi de, kafes sistemin serbest, yani mesnet olmayan tarafının denge denklemlerinden elde edilir. Böyle kafes sistemlerde T. Ç.’leri doğrularından biri, hareketli birim yük mesnetlenmiş tarafta göz önüne alındığı için sıfır olur.
Elde edilen ifadelere bağlı olarak çubuk kuvvetlerinin T. Ç.’lerinin sol ve sağ doğruları çizilir. Bundan sonra, yapılmış kesimin sol ve sağ tarafında kalan ilk düğümlerden (hareketli birim yükün hangi başlık üzerinde hareket ettiğine bağlı olarak) sol ve sağ doğrular üzerine izdüşümler alınır. Sağ doğrunun izdüşümünün sağında, sol doğrunun ise izdüşümünün solunda kalan kısımları ele alınır. Daha sonra düğümlerin bu iz düşümleri bir doğruyla birleştirilerek, ki bu doğru geçit çizgisi olarak adlandırılır, dikkate alınmış olan çubuktaki iç kuvvetin tesir çizgisi elde edilmiş olur.
Alt ve üst başlık üzerinde kesimin sol ve sağ tarafındaki ilk düğümler aynı bir düşey doğru üzerinde iseler, P = 1 birim yükünün hangi başlık üzerinde hareket ettiğine bağlı olmaksızın, çubuk kuvvetlerinin tesir çizgileri aynı olur. Ancak, söz konusu düğümler farklı düşey doğrular üzerinde iseler, tesir çizgileri doğal olarak birbirinden farklı olur.
Bu bölümde ele alınan kafes sistemler düzlem kafes sistemlerdir, yani kafes sistemin çubuklarının eksenleri ve düğümlere uygulanmış tekil yükler aynı bir düzlem üzerindedirler. Böyle kafes sistemlerin mesnet tepkilerinin T. Ç.’leri kirişlerdeki gibidir.
Çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla iç kuvvetlerin hesaplanması aşağıdaki bağıntıyla yapılır.
∑= 1.yPN i (6.1) Burada Pi : kafes sistemin üst ve alt başlık düğümlerine uygulanmış tekil yükler, yi : çizilmiş tesir çizgisinde her bir Pi tekil yükünün altındaki ordinattır. Kafes sistemin üst başlık düğümlerinde uygulanmış Pi tekil yükleri, P = 1 yükünün üst başlıkta hareket etmesine uygun çizilmiş T. Ç.’nin ordinatları ile, alt başlık düğümlerinde uygulanmış Pi tekil yükleri ise P = 1 yükünün alt başlıkta hareket etmesine uygun olarak çizilmiş T. Ç.’nin ordinatları ile çarpılır. Pi .yi çarpımının işareti yi ordinatının işaretine bağlıdır. Örnek 6.1. Boyutları ve sabit yükle yükleme durumu Örnek 5.1’de verilmiş olan kafes sistemin (Şekil 6.1.1a) işaretli çubukları için çubuk kuvvetlerinin tesir çizgilerini çizerek, bunlar yardımıyla çubuk kuvvetlerini hesaplayınız. Bu kuvvetleri önceki bölümde analitik yöntemle belirlenmiş değerlerle karşılaştırınız.
115
Şekil 6.1.1 Çözüm: Kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki (Şekil 6.1.1a) kuvvetlerin tesir çizgilerinin çiziminde de Örnek 5.1’de yapılmış işlemler (Şekil 6.1.1b) ve kullanılmış yöntemler olduğu gibi kalacaktır. ● “2-4” çubuğundaki kuvvetin ( 42−N ) T. Ç.’nin çizimi: Bunun için önce T.Ç.’nin her iki doğrusunun ifadelerinin yazılması gerekir. N2-4’ ün T. Ç.’nin sağ doğrusunun ifadesi, P = 1 hareketli yükü I-I kesiminin (Şekil 6.1.1b) sağ tarafında göz önüne alınarak, sistemin bu kesimin sol tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir.
0.9. 42423 =+= −−∑ rNVM ASol . Örnek 5.1’in çözümünden mr 9047,342 =− olduğu
bilinmektedir.
AA VVN ).305,2(.9047,39
42 −=−=− (Sağ doğru VA’nın T. Ç.’nin ordinatları -2,305 ile
çarpılarak elde edilir). N2-4’ün tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi, P = 1 hareketli yükü I-I kesiminin (Şekil 6.1.1b) sol tarafında dikkate alınarak, kafes sistemin, kesimin sağ tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir.
o o o o o o o
o o o
o o
o
d=3m
L=6d
P
P/2
o
2m
2m
P/2 P
P=30 kNP
P
∗ ∗ ∗
∗
∗
2
1
4
3
III
5
a)
o o o o o o o
o o o
o o
o
d=3m
L= 6d =18 m
o
2m
2m
2
1
4
3
6
5A
B
VA VB
I
I II
II IIIIII
1′
P=1
32−r
42−r
O
. F
.
b)
116
...305,2.9047,390.9. 4242423 ÇTninVVNrNVM BBB
Sağ −=−=⇒=−−= −−−∑
Görüldüğü gibi sol doğru VB’nin T. Ç.’nin ordinatları -2,305 ile çarpılarak elde edilir. Bu ifadelere göre N2-4’ün tesir çizgisi Şekil 6.1.2e’de çizilmiştir. Çizilmiş T. Ç. yardımıyla kafes sisteme etkiyen sabit yüklerden N2-4 (6.1) formülü ile hesaplanabilir. “2'-4'“ çizgisi sol doğru üzerindedir. Tesir çizgisinde kafes sistemin düğümlerine uygulanmış Pi tekil yüklerinin altındaki yi ordinatları üçgenlerin benzerliğinden bulunur.
.725,103)4575,3.(30)1525,12).76833,0384166,0.((42 kNPN −=−=++−=− Kafes sistemin işaretlenmiş (Şekil 6.1.1a) diğer çubuklarındaki kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimi “2-4” çubuğundakine benzer şekilde yapılır. ● 31−N ’ün tesir çizgisinin çizimi (Şekil 6.1.1.b):
31−N ’ün tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi, P = 1 hareketli yükü I-I kesiminin (Şekil 6.1.1b) sağ tarafında göz önüne alınarak, sistemin bu kesimin sol tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir.
.'333,3'1.5,0.6. 3131312 rdimrdenÖrnekrNVM ASol∑ ==−= −−−
AA VVN .8,1.3333,36
31 ==− Sağ doğru VA’nın T. Ç. ordinatları 1,8 ile çarpılarak elde edilir.
ünN '31− tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi, P = 1’i kesimin solunda dikkate alarak, kafes
sistemin, kesimin sağ tarafında kalan parçasının denge denkleminden elde edilir.
..'6,3.333,3120.12. 3131312 ÇTninVVNrNVM BBB
Sağ ==⇒=+−=∑ −−− Sol doğru,
VB’nin tesir çizgisi ordinatları 1,8 ile çarpılarak elde edilir. “2'-4'“ geçit çizgisi sağ doğru üzerindedir. Elde edilmiş bu ifadelere göre “1-3” çubuğundaki kuvvetin tesir çizgisi Şekil 6.1.2f’de çizilmiştir. (6.1) ifadesini kullanarak, çizilmiş tesir çizgisi yardımıyla, verilmiş yükleme durumu için N1-3 aşağıdaki gibi belirlenebilir.
.108)6,3.(30)3,06,09,02,16,0.(31 kNPN ==++++=− ● N2-3’ün tesir çizgisinin sağ doğrusu için ifadeyi, kafes sistemin I-I kesiminin (Şekil 6 .1.1a) sağ tarafında kalan parçasının, P = 1 yükünü kesimin sağ tarafında dikkate alarak, uygun olan denge denkleminden aşağıdaki gibi elde edilir.
mrvemLçözümündeinÖrnekrNlVM AOAOASolO 3793.139'1.5,0.. 323232 ===+−= −−−∑ old
uğu belirlenmiştir.
117
AA VVN .67268,03793,139
32 ==− Yani, sağ doğru VA’nın T. Ç.’si ordinatları 0,67268 ile
çarpılarak elde edilir. Diğer tesir çizgileri için de bu açıklama geçerlidir. Sol doğrunun ifadesi P = 1 yükü kesimin sol tarafında alınarak sistemin, kesimin sağında kalan parçasının denge şartından şöyle elde edilir.
BBAOBSağO VVNrNlVM 018,2
3793,13270.)18.( 322323 −=−=⇒=−+−= −−−∑
Elde edilmiş olan bu ifadelere göre N2-3’ün T. Ç.’si Şekil 6.1.2g’de çizilmiştir. (6.1) formülü kullanılarak, çizilmiş T. Ç.’si yardımıyla sabit yükleme durumu için N2-3 belirlenir.
.089,10)672673,0.(30)009,1.(30)1121133,0224226,0336333,0()672666,033633,0.(32
kNPPN
−=+−=++++−=−
● “4-3” çubuğundaki kuvvetin tesir çizgisi, analitik yöntemle hesaplamada olduğu gibi düğüm kesme yöntemi (III-III kesimi) kullanılarak çizilir (Şekil 6.1.1b). Örnek 5.1 ‘in çözümünde olduğu gibi
'sin.2 2434 α−− −−= NPN dır, .21693,0sin =α P = 1 hareketli yükü “4” düğümü dışında olduğu sürece
2434 ).(sin2 −− −= NN α ’dir. Buna uygun olarak N4-3’ün T. Ç.’si Şekil 6.1.2h’da çizilmiştir. Bu tesir çizgisi yardımıyla N4-3 aşağıda hesaplanmıştır.
.15)5,0.(301.305,0.)61
62
62
61.(34 kNPPN =−=−+++=−
● “1-2” çubuğundaki kuvvetin (N1-2) tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi, kafes sistemin II-II kesiminden (Şekil 6.1.1b) solda kalan parçasının denge şartından elde edilir.
AAOAOAASolO VVNlNlVM .6,0.
1590)6.(. 2121 −=−=⇒=+−−= −−∑
N1-2 ’nin T. Ç.’nin sağ doğrusu için ifade, kafes sistemin II-II kesiminin (Şekil 6.1.1b) solunda kalan parçasının denge şartından aşağıdaki gibi elde edilir.
BBOAOABSağO VVNlNlVM .8,1.
15270)6.()18.( 2112 ==⇒=+++−= −−∑
118
Şekil 6.1.2 Elde edilmiş ifadelere göre N1-2’nin tesir çizgisi Şekil 6.1.2ı ve i’de çizilmiştir. Bu T.Ç.‘leri yardımıyla kafes sistemin üzerindeki yükleme altında oluşan N1-2 kuvveti aşağıda
0,6
o o o o o o o
o o o
o o
o
d=3m
L= 6d =18 m
o
2m
2m
2
1
4
3
6
5A B
VA VB
I
I II
II IIIIII P=1
VA’nın T. Ç.
1
1
VB’nın T. Ç.
N2-4’ün T. Ç.
2,305 2,305
1,8 3,6
N2-3’ün T. Ç.
2,018
1
N1-3’ün T. Ç.
1
N1-2’ün T. Ç. P=1 üst baş.
N1-2’ün T. Ç. P=1 alt baş.
P=30 kN
o o o o o o o
o o o
o o
o
P
P/2
o
2m
2m
P/2P
PP
∗ ∗ ∗
∗
∗
2
1
4
3
6
5
a)
b)
c)
d)
f)
0,67
3
g)
h)
ı)
i)
N4-3’ün T. Ç.
1,8
1,8 0,6
0,38
416
0,76
83
1,15
25
0,76
83
0,6 1,
2
0,9
0,6
0,3
0,11
21
0,22
42
0,33
63
0,67
26
0,33
63
0,1
0,2
0,3
0,4
0,3
0,3 0,
6
0,3 0,2 0,1
. .
4'
2' 4'
.2' .
4'
..2
'
4'
..
.4'
2' 6'
1'
1'
. .
2'
.. 2'
e)
119
hesaplanmıştır. Sabit yükler üst başlıkta uygulandığı için Şekil 6.1.2ı’da çizilmiş tesir çizgisi kullanılır.
.211.30)3,0.(30)1,02,02,04,0.(3,0.21 kNPPN =−=+++−=− Kafes sistemin ilgili çubuklarında analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerin karşılaştırma tablosu aşağıdadır. İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N2-4 -103,721 -103,725 0,004 N1-3 108,00 108,00 0 N2-3 -10,09 -10,09 0 N1-2 -21,00 -21,00 0 Çizilmiş tesir çizgilerinin analizinden aşağıdaki sonuçlara varılmaktadır: ► Moment noktası yöntemi ile çizilmiş tesir çizgilerinin sağ ve sol doğru olarak adlandırılan parçaları moment noktasının altında kesişirler. Bu sonuca dayanılarak moment noktası yöntemiyle çizilecek tesir çizgilerinin bir doğrusu (sağ veya sol) çizildikten sonra ikinci doğru, moment noktasının çizilmiş doğru üzerine alınmış izdüşümünden başlayıp mesnetin (moment noktasının izdüşümü tesir çizgisinin sağ doğrusu üzerinde ise sol, sol doğrusu üzerinde ise sağ mesnetin) altında sıfırlanarak, çıkma varsa çıkmanın sonuna kadar devam ettirilerek elde edilir. Moment noktası kafes sistemin açıklığı içindeki düğümlerinden biri ise (sınırındaki düğümler hariç), yapılmış kesimden solda ve sağda kalan ilk düğümlerin iz düşümlerini birleştiren çizgi tesir çizgisi doğrularından birinin üzerinde olur. Moment noktası kafes sistemin açıklık sınırlarında veya dışında ise bu düğümlerin izdüşümlerini birleştiren çizgi, tesir çizgisi çizilmiş çubuk eksenine çapraz olur. ► Ayrıca, bu problemde kullanılmamış olsa da, izdüşüm alma yöntemiyle çizilen tesir çizgilerinde sağ ve sol doğrular birbirine paralel olur ve düğümlerin izdüşümlerini birleştiren çizgi yine tesir çizgisi çizilen çubuk eksenine çapraz olur. Bu sonuçlara dayanarak kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetlerin tesir çizgilerinin bir doğrusu hesaplama ile çizildikten sonra ikincisi hesaplamasız çizilebilir. Örnek 6.2. Boyutları ve sabit yükle yükleme durumu Örnek 5.2’de verilmiş olan üçgen şekilli kafes sistemin (Şekil 6.2.1a) işaretlenmiş çubukları için a) İç kuvvetlerin tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla sabit yükleme durumundan oluşan çubuk kuvvetlerini hesaplayınız. c) Kuvvetlerin analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş olan değerlerini karşılaştırınız.
120
Şekil 6.2.1 Çözüm: a) Örnek 6.1’in çözümündeki açıklamalara dayanarak çubuklardaki kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimi aşağıdaki gibi yapılır. ● “4-6” çubuğundaki kuvvetin (N4-6) tesir çizgisinin çizimi (II-II kesiminden, Şekil 6.2.1b): Tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi aşağıdaki denge şartından (Şekil6 .2.1b, II-II kesiminden) elde edilir.
mrçözümündenninÖrnekrNVM ASol 7888,1'2.5,0.4. 6464643 ==+= −−−∑ ’dir.
AA VVN .23613,27888,14
64 −=−=−
Tesir çizgisinin sol doğrusu, Örnek 6.1 ‘deki açıklamaya uygun olarak sağ doğru üzerinde moment noktası olan “3” düğümünün izdüşümünden başlayıp A mesnetinin altında sıfırlanarak elde edilen doğru olur. “4'-6'”çizgisi sağ doğru üzerindedir. Böylece N4-6’nın tesir çizgisi çizilmiş olur (Şekil 6.2.2d). ● “3-5”çubuğundaki (Şekil 6.2.1b, II-II kesimi) kuvvetin tesir çizgisi benzer şekilde çizilir. Tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi
AAASol VVNNVM .2
3603.6. 53536 ==⇒=−= −−∑ ’dır.
Tesir çizgisinin. sol doğrusu ise moment noktası olan “6” düğümünün sağ doğru üzerindeki izdüşümünü “A” mesneti altında sıfırlamakla elde edilir. “4'-6' “ çizgisi sol doğru üzerindedir (Şekil 6.2.2e). Yapılanlara uygun tesir çizgisi Şekil 6.2.2e’de görüldüğü gibi çizilmiştir.
o o o o o
L=5d
∗ 1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
4
6
d =2m
8
7
9
10
P5 = 12 kN
P4 = 18 kN
P3 = 10 kN
P2 = 15 kN
P1 = 20 kN
A
∗ ∗
∗∗
∗
o o o o o
d=2m
L=5d = 10 m
1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
46
d = 2 m
8
7
9
10 A
VA VB
α θ
β
I
I II
II
III
III
d=2m
a)
b) P = 1
B
B
121
● “3-6” çubuğundaki kuvvetin tesir çizgisinin çizimi (II-II kesimi, Şekil 6.2.1b): T.Ç.’nin sağ doğrusunun ifadesi aşağıdaki denge denkleminden elde edilir (Şekil 6.2.2b). ∑ =−= −− 0.0. 6363 rNVM A
SolA , yani bu doğrunun tüm ordinatları sıfırdır.
Tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi aşağıdaki denge şartından elde edilir (Şekil 6.2.2b). ∑ ==+−= −−− )'2.5(3282,3,0.10. 636363 çözümündenninÖrnekmrrNVM B
SağA
.004,3.3282,310
63 BB VVN ==−
Elde edilmiş ifadeler uygun olarak N3-6‘nın tesir çizgisi çizilmiştir (Şekil 6.2.2f). Görüldüğü gibi “4'-6' “ çizgisi “3-6” çubuğunun eksenine çaprazdır. ● Kafes sistemin “4-3” dikme çubuğundaki N4-3 kuvvetinin T. Ç.’si IV-IV kesiminden, (Şekil 6.2.1b) düğüm kesme yönteminin özel durumuna dayanarak çizilir. Hareketli P = 1 yükü alt başlıkta hareket ettiğinde, birim yükün “4” düğümünde uygulanması söz konusu olmayacağından N4-3 = 0’dır. Yani kuvvetin T. Ç.’si sıfır doğrusudur (Şekil 6.2.2g). Birim yük üst başlıkta hareket ettiğinde “4” düğümü üzerinde olma hali için N4-3 = -1, kalan durumları için ise N4-3 = 0’dır. Bunlara uygun olarak iç kuvvetin tesir çizgisi çizilmiştir (Şekil 6.2.2h). ● Sistemin “2-3” çubuğundaki kuvvetin (N2-3) tesir çizgisinin çizimi: Moment noktası A mesnetinin üzerinde olduğu için N2-3’ün tesir çizgisinin sağ doğrusu sıfır doğrusudur. Sol doğrusu için ifade, sistemin II-II kesiminin sağ tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir. ∑ ==−−= −−− mrçözümündenninÖrnekrNVM B
SağA 7898,1'2.5,0.10. 323232 ’dir.
..').59,5(.7898,110
32 ÇTninVVN BB −=−=−
Bu ifadelere uygun olarak N2-3’ün tesir çizgisi Şekil 6.2.2ı’da çizilmiştir. ● “7-B” çubuğundaki kuvvetin tesir çizgisi kafes sistemde yapılmış III-III kesiminin (Şekil 6.2.1b) solunda (T. Ç.’nin sağ doğrusu) ve sağında (T. Ç.’nin sol doğrusu) kalan parçaların denge şartlarından elde edilen ifadelere göre çizilir. Sol doğrunun ifadesi
∑ =⇒=−= −− ABBASol VNNVM .1001.10. 779
Sağ doğrunun ifadesi
∑ =⇒=+= −− .001.0. 779 BBBSağ NNVM
Elde edilmiş ifadelere göre N7-B ‘nin T. Ç.’si Şekil 6.2.2i ‘de çizilmiştir.
122
Şekil 6.2.2
b) Çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla kafes sistemin sabit yükleme durumu için işaretli çubuklarında oluşan kuvvetlerin hesaplanması:
N4 -3 ‘ün T. Ç. P=1 alt başlık üzere
o o o o o
L=5d
∗1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
4
6
d =2m
8
7
9
10
P5 = 12 kN
P4 = 18 kN
P3 = 10 kN
P2 = 15 kN
P1 = 20 kN
A
∗∗
∗ ∗
∗
o o o o o
d=2m
L=5d = 10 m
1 3 5
o
o
o
o
o
o o
2
4
6
d = 2 m
8
7
9
10 A
VA VB
αθ
β
I
I II
II
III
III
d=2m
a)
b) P = 1
B
B
1
c) VA ‘nın T. Ç.
N4 -6 ‘nın T. Ç. d)
N3 -6 ‘in T. Ç.
N4 -3 ‘ün T. Ç. P=1 üst başlık üzere
N2 -3 ‘ün T. Ç.
N7 -B ‘in T. Ç.
N3 -5 ‘in T. Ç. e)
f)
g)
h)
ı)
i)
2,23
613
0,67
08
1,34
169
0,89
445
0,44
723
0,44723
0,26
66
0,53
33
0,8
0,4
0,4
2
3,00
46
1
10 5,59
0,60
092
1,20
18
1,11
8
2
. .
. .
..
..
. .
. .
4' 6'
6'4'
2' 6'
2' 4'
8'9'
123
.242.122.,36,22)118,1.(20)118,1.(,0.046,30)20184,1.(15)60092,0.(20)20184,1.()60092,0.(
.733,23)4,0.(12)4,0.(18)8,0.(10)5333,0.(15)26667,0.(20)4,0.()4,0.()8,0.()5333,0.()26667,0.(
.16975,45)4472,0.(12)4472,0.(18)89443,0.(10)3416,1.(15)67045,0.(204472,0.)4472,0.()89443,0.()3416,1.()67045,0.(
5713234
2163
5432153
5432164
kNPNkNPNNkNPPN
kNPPPPPN
kNPPPPPN
B −=−=−=−=−=−===+=+=
=−++++=−+++=
−=+−−−−=+−−−−=
−−−
−
−
−
c) Kafes sistemin işaretlenmiş (Şekil 6.2.1a) çubuklarında verilmiş olan sabit yükleme durumundan analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerin karşılaştırma tablosu aşağıda verilmiştir. İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N4-6 - 45,1699 - 45,16975 0,00015 N3-5 23,733 23,733 0 N3-6 30,046 30,046 0 N4-3 0 0 0 N2-3 - 22,36 - 22,36 0 N7-B - 24 -24 0 Örnek 6.3 Boyutları ve yükleme durumu Örnek 5.3’de verilmiş, başlıklarının bir kısmı paralel olan kafes sistemin işaretlenmiş çubukları (Şekil 6.3.1a) için a) Çubuk kuvvetlerinin tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımıyla sabit yükleme durumu için kuvvetleri hesaplayınız, c) Kuvvetlerin analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerini karşılaştırınız.
o o o o o o o
o o o
o o o o
P5 = 10 kN
P4 = 25 kN P1 = 12 kN
P2 = 15 kN
P3 = 20 kN
13
2
5
43 m 6
9
8 10
11 12
2 m
1m
L =18 m
AB
∗
∗
∗
∗ ∗
∗
a)
∗∗
7
124
Şekil 6.3.1
Çözüm: a) Çubuk kuvvetlerinin tesir çizgilerinin çizimi: ● “7-9” çubuğundaki kuvvetin (N7-9) T. Ç.’si I-I kesiminin solunda ve sağında (Şekil 6.3.1b) kalan parçaların denge şartlarından elde edilen ifadelerle çizilir. Tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi
∑ −=−=⇒=+= −− AAASol VVNNVM .4.
31203.12. 97978
Sol doğrusu için ifade
∑ −=−=⇒=−−= −− BBBSağ VVNNVM .2.
3603.6. 97978 ’dir.
Bu ifadelere göre N7-9’un tesir çizgisi Şekil 6.3.2e’de çizilmiştir. Üst ve alt başlık üzerinde I-I kesiminin solunda ve sağında kalan ilk düğümler aynı bir düşey doğru üzerinde olduğu için hareketli birim yükün hangi başlık üzerinde hareket ederse etsin tesir çizgisi aynı olur. Düğümler farklı düşey doğrular üzerinde iseler hareketli yükün üst veya alt başlık üzerinde hareketine uygun olan tesir çizgileri birbirinden, düğümlerin sol ve sağ doğru üzerindeki izdüşümlerini birleştiren geçit doğrusu ile farklanırlar. Bunun tüm çubuklar için geçerli olduğu yukarıda belirtilmişti. ● N6-8’in tesir çizgisinin sağ ve sol doğruları için ifadeler benzer şekilde elde edilir. Sağ doğrusu için ∑ =⇒=−= −− '.303.9. 86867 AA
Sol VNNVM nın T.Ç. Sol doğrusu için ∑ =⇒=+−= −− ..'.303.9. 86867 ÇTninVNNVM BB
Sağ Bunlara uygun olarak N6-8’in tesir çizgisi Şekil 6.3.2f ’de çizilmiştir. ● İşaretlenmiş çubuklardan “7-8” çubuğundaki kuvvetin (N7-8) tesir çizgisinin çizimi izdüşüm denklemleri ile yapılır. Sağ doğrusunun ifadesi
∑ ==⇒=−= −− AAASol VVNNVY .41423,1.
7071,010cos. 8787 α
Sol doğrusunun ifadesi
BBBSağ VVNNVY .41423,1.
7071,010cos. 8787 −=−=⇒=+=∑ −− α ’dir.
Bu ifadelere göre N7-8’in tesir çizgisi Şekil 6.3.2g’de çizilmiştir. ● “6-7”çubuğundaki kuvvetin tesir çizgisi düğüm kesme yönteminin özel durumlarına dayanarak çizilebilir. Hareketli P = 1 yükü üst başlık üzerinde hareket ettiğinde, yükün durumuna bağlı olmadan N6-7 = 0’dır, yani tesir çizgisi sıfır doğrusudur (Şekil 6.3.2h). P = 1 yükü alt başlık üzerinde hareket ettiğinde “6” düğümünde olması dışındaki tüm durumlar için N6-7 = 0’dır. Birim yük “6” düğümünde olduğunda N6-7 = 1 olur. Buna uygun tesir çizgisi Şekil 6.3.2ı’da çizilmiştir.
o o o o o o o
o o o
o o o o
P5 = 10 kN
P4 = 25 kN P1 = 12 kN
P2 = 15 kN
P3 = 20 kN
1 3
2
5
43 m 6
9
8 10
11 12
2 m
1m
L =18 m
A B
I
I
α
b) 7
125
● “1-3” ve “1-A” çubuklarındaki kuvvetlerin (N1-3 ve N1-A) tesir çizgileri de düğüm kesme yönteminin özel durumundan çizilir. P = 1 yükünün üst veya alt başlık üzerindeki hareketinin her bir durumu için N1-3 = 0’dır (Şekil 6.3.2i). P = 1 yükü üst başlık üzerinde iken “1” düğümü üzerinde olması durumu için N1-A = -1, kalan durumlar için ise N1-A = 0’ dır. Buna uygun tesir çizgisi Şekil 6.3.2j’de çizilmiştir. P = 1 yükünün alt başlık üzerindeki her durumu için N1-A = 0’ dır. Buna uygun tesir çizgisi sıfır doğrusu olacaktır (Şekil 6.3.2k). b) Tesir çizgileri yardımıyla verilmiş olan sabit yükleme durumu için işaretlenmiş çubuklardaki iç kuvvetlerin hesaplanması:
.121.121..0.9635,12)235,0).(1025(
)7071,0.(20)4714,0.(15)2357,0).(()7071,0.()4714,0.(.5,62)5,0).(1025()5,1.(201,15)5,0).(()5,1.(1.
.333,53))6667,0).(1025(1.20)6667,0.(15()6667,0).(1.6667,0.(
1131
543287
543286
543297
kNPNNkN
PPPPNkNPPPPN
kNPPPPN
A −=−=−==−=+
+−−=++−−==+++=+++=
−=+++−=+++−=
−−
−
−
−
kNPN 201.201.376 ===− (P3 kafes sistemin alt başlık düğümünde uygulandığı için tesir çizgisi yardımıyla hesaplama P = 1 birim hareketli yükünün alt başlık üzerinde hareketine uygun olarak çizilmiş tesir çizgisi kullanılarak yapılmıştır.) c) Çubuklarda sabit yüklerden oluşan iç kuvvetlerin analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerinin karşılaştırılması. İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N7-9 - 53,3333 - 53,3333 0 N6-8 62,5 62,5 0 N7-8 - 12,9636 - 12,9636 0 N6-7 20 20 0 N1-3 0 0 0 N1-A - 12 - 12 0
126
Şekil 6.3.2 Örnek 6.4. Boyutları ve sabit yükleri Örnek 5.5’de verilmiş olan kafes sistemin soldan 4. panel çubuklarındaki (Şekil 6.4.1a) kuvvetlerin a) Tesir çizgilerini çiziniz,
o o o o o o o
o o o
o o o o
1 3
2
5
43 m 6
9
8 10
11 12
2 m
1m
L =18 m
A B
I
I
α
o o o o o o o
o o o
o o o o
P5 = 10 kN
P4 = 25 kNP1 = 12 kN
P2 = 15 kN
P3 = 20 kN
1 3
2
5
43 m 6
9
8 10
11 12
2 m
1m
A B
∗
∗
∗
∗ ∗
∗
a)
b)
∗ ∗
7
7
P = 1
VA ’nın T. Ç.
VB ’nin T. Ç.
N7-9 ’un T. Ç.
N6-8 ’in T. Ç.
N7-8 ’in T. Ç.
N6-7 ’nin T. Ç. P=1 üst baş. üzere N6-7 ’nin T. Ç. P=1 alt baş. üzere
N1-3 ’ün T. Ç.N1-A ’nın T. Ç. P=1 üst baş. üzere N1-A ’nın T. Ç. P=1 alt baş. üzere
c)
d) e)
f)
g)
h)
ı)
i)
j)
k)
1
1
4
2
3
0,5 1 1,
5
1 0,5
0,33
3
0,66
6 1
1,33
3
0,66
6
1,41
42
1,41
42
0,23
57
0,47
14
0,70
71
0,23
57
0,47
14
1
1
127
b) Tesir çizgileri yardımı ile sabit yüklerden oluşan değerlerini hesaplayınız, c) Analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerleri karşılaştırınız.
Şekil 6.4.1 Çözüm: a) Çubuk kuvvetlerinin tesir çizgilerinin çizimi: N2-3 , N1-4 ve N1-3’ün tesir çizgilerinin çizilmesi I-I kesiminden (Şekil 6.4.1b) moment noktası yöntemi ile yapılır. Bunun için tesir çizgisini oluşturan doğrulardan biri çizilir ve moment noktasının izdüşümü bu doğru üzerine alınır. Alınmış izdüşümü diğer mesnetin altında sıfırlayarak ikinci doğru elde edilir. Sonra, kesimin solunda ve sağında kalan ilk düğümlerin izdüşümleri uygun şekilde bu doğrular üzerine alınıp bir doğruyla birleştirilerek tesir çizgisinin geçit çizgisi elde edilir. Böylelikle kuvvetin tesir çizgisi tamamlanmış olur. ● N2-3’ün T. Ç.’sinin sol doğrusunun ifadesi (P = 1 I-I kesiminin sol tarafında)
)'5.5(8208,5,0.12.3232321 çözümündeninÖrnekrrNVM B
Sağ ==−−=−−−∑
BB VVN .06157,2.8208,512
32 −==−
Sol doğrunun ifadesine ve yukarıdaki açıklamalara dayanarak N2-3’ün tesir çizgisi Şekil 6.4.2d’de çizilmiştir. ● N1-4’ün tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi (P = 1 I-I kesiminin sol tarafında)
BBSağ VNmlrrNVM ).6,1(,5,0.8.
41344141413 ====+−=−−−−−∑
Benzer şekilde N1-4’ün tesir çizgisi çizilmiştir (Şekil 6.4.2e).
o o o o o o o
o
o o
o
o
P = 20 kN PP P P
P/ 2 P/ 2
d = 4 m
∗
∗
∗
∗ ∗
3 m
2
m 1
m
o o o o o o o
o
o
o
o
o
P=1
L = 24 m
3 m
2
m 1
m
VB
I
I
II
II
III III
A B
VA
1
23
4
5
6
3'
a)
b)
128
● N1-3’ün tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi (P = 1 I-I kesiminin solunda. Moment noktası ve yapılacak işlemler Örnek 5.5’in çözümünde verilmiştir (Şekil 5.5.3)).
BB
BOBOBSağO
VVN
mrmLrNLVM
).64034,0(.74,18
12
,74,18,12,0..
31
313131
==
===−=
−
−−−∑
Sol doğrunun ifadesine ve yukarıdaki işlemlere benzer şekilde N1-3’ün tesir çizgisi Şekil 6.4.2f ‘de çizilmiştir. ● N4-3’ün tesir çizgisi kafes sistemde yapılmış II-II kesiminden moment noktası yöntemiyle çizilir. Moment noktasının yeri, uzaklığı ve N4-3’ün moment noktasından olan dik uzaklığının belirlenmesi Örnek 5.5’in çözümünde verilmiştir (Şekil 5.5.5). Şekil 6.4.1a’da görüldüğü gibi üst ve alt başlık üzerinde II-II kesiminin solunda ve sağında kalan ilk düğümler (sırasıyla “1”, “3” ve “5”, “4” düğümleri) bir düşey doğru üzerinde olmadığından tesir çizgisi 3'-5' veya 1'-4' geçit doğrularıyla birbirinden farklı olacaktır. Buna dayanarak, aynı bir tesir çizgisi üzerinde, P = 1 hareketli yükünün üst veya alt başlık üzerinde hareketine uygun her iki geçit doğruları gösterilerek kuvvetin istenen tesir çizgisi elde edilmiş olur (Şekil 6.4.2g). N4-3’ün tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi (P = 1 II-II kesiminin solunda) aşağıdaki denge şartından elde edilir.
BB
CBCBCBBSağC
VVN
mLLNLVM
.)25292,0(.7084,107084,2
,7084,2,0)8.(.
34
34
−=−=
==++=
−
−∑
Sol doğrusunun ifadesine ve önceki iç kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimine dayanarak Şekil 5.4.2g’de N4-3’ün tesir çizgisi çizilmiştir. ● N2-1’nin tesir çizgisi Örnek 5.5’in çözümünde elde edilmiş ifadelerle çizilir. Bu ifadelerden görüldüğü gibi N2-1, N2-3’e bağlı olarak belirlenmiştir. Tesir çizgisinin çiziminde de bu bağıntı kullanılır. Her zaman göz önünde bulundurulmalıdır ki, sabit yükler hangi başlıkta uygulanmışlarsa P = 1 yükünün hareketi de o başlık üzerinde kabul edilir. Ele alınan örneklerde, açıklama amacıyla, hareketli yükün her iki başlık üzerindeki durumu da göz önüne alınmıştır. III-III kesiminden (Şekil 6.4.1b), düğüm kesme yöntemi kullanılarak, P = 1 hareketli yükünün alt başlık üzerindeki hareketinde ∑ ′−− =⇒= 32320 NNX
∑ −− −=⇒= αsin.20 3212 NNY ’dır. Yani N2-1’in T. Ç.’si, N2-3’ün T. Ç.’sinin ordinatlarının (-2sin α) ile çarpılması ile elde edilir . P = 1 hareketli yükünün üst başlık üzerindeki hareketinde, “2” düğümünde uygulanması halinde
1sin2.3212 −−= −− αNN , yani yukarıdaki ifadeye uygun olarak çizilmiş T. Ç.’sinin “2” düğümü altındaki ordinatından 1 çıkarılır. Bunlara uygun olarak N2-1’in T. Ç.’si Şekil 6.4.2h ‘da çizilmiştir. b) Tesir çizgileri yardımıyla verilen sabit yükleme durumu için işaretlenmiş çubuklardaki iç kuvvetlerin hesaplanması:
o
N 2 -1
N 2 -3N 2 -3'
α α 2
o
N 2 -1
N 2 -3N 2 -3'
α α 2
P=1
129
Sabit yükler alt başlık düğümlerinde uygulandıkları için N4-3 ve N2-1’in hesaplanmasında birim yükün alt başlık üzerindeki hareketi için çizilmiş tesir çizgileri kullanılır. Diğer çubuklardaki iç kuvvetlerin tesir çizgileri, P = 1 yükü hangi başlık üzerinde olursa olsun aynıdır.
.30)5,1.(20)1666,03333,05,03333,01666,0.(8832,19)99416,0.(20)41569,083138,012646,00843,004215,0.(
4,6)32,0.(20)32017,064034,032017,21344,010672,0(64)2,3.(20)5333,00666,18,05333,02666,0.(
832,61)0916,3.(20)346,06872,03,16872,0346,0(
21
34
31
41
32
kNPNkNPN
kNPNkNPN
kNPN
==++++===++−−−=
=−=−−++===++++=
−=−=++++−=
−
−
−
−
−
c) Sistemin incelenen çubuklarında oluşan kuvvetlerin analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımı ile belirlenmiş değerleri aşağıdaki tabloda karşılaştırılmıştır. İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N2-3 - 61,847 - 61,832 0,015 N1-4 64 64 0,0 N1-3 - 6,4 - 6,4 0,0 N4-3 30 30 0,0 N1-2 19,883 19,883 0,0
130
Şekil 6.4.2
0,5
o o o o o o o
o
o
o
o
P = 20 kN PP P P
P/ 2 P/ 2
d = 4 m
. ∗
∗ ∗
o o o o o o o
o
o o
o
o
P=1
3 m
2
m 1
m
VB
I
I
II
II
III III
A B
VA
1
23
4
5
6
3'
a)
b)
1,6
0,266 0,533 0,8 1,066
0,533
0,3436 0,6872 1,03
0,3436 0,6872
2,06
15
0,64
03
0,1067 0,2134 0,3201
0,6403 0,3201
1,92
1 2,
4941
1
VB’nin T. Ç
N2-3’ün T. Ç
N1- 4’ün T. Ç
N1- 3’ün T. Ç
N3- 4’ün T. Ç
N1- 2’nin T. Ç
P=1üst başlık üzere
P=1alt başlık üzere
P=1 üst başlıkta
0,25
29
P=1 alt başlıkta
0,4157 0,8314
0,1264 0,0843 0,04215
0,1666 0,3333 0,5
0,1666 0,1666
c)
d)
e)
f)
g)
h)
o ∗
O
C
131
Örnek 6.5 Boyutları ve sabit yükleri Örnek 5.6’da verilmiş olan konsol kafes sistem için a) İşaretlenmiş çubuklardaki (Şekil 6.5.1a) kuvvetlerin tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımı ile sabit yükleme durumundan işaretlenen çubuklarda oluşan kuvvetleri hesaplayınız, c) Kuvvetlerin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerini karşılaştırınız.
Şekil 6.5.1 Çözüm: a)İşaretlenmiş çubuklardaki kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimi: Konsol kafes sistemlerde iç kuvvetlerin tesir çizgilerinin sağ veya sol doğrularından biri sıfır doğrusu olur. Sistem, ele alınan sistem gibi sola doğru ise tesir çizgilerinin sağ doğrusu, sistem sağ tarafa doğru ise sol doğrusu sıfır doğrusudur. Tesir çizgileri doğrularının ifadeleri elde edilirken hesap kolaylığı için mesnetlenmemiş tarafın denge şartlarının kullanılması daha uygundur. ● N3-5 ve N2-4’ün tesir çizgileri I-I kesiminin (Şekil 6.5.1b) sol tarafında kalan parçanın denge şartlarından yararlanılarak moment noktası yöntemi ile çizilir. Sistem sola doğru olan bir konsol sistem olduğundan, tüm çubuklardaki kuvvetlerin tesir çizgilerinin sağ doğruları sıfır doğrusu olur. N3-5’in T. Ç.’nin sol doğrusunun ifadesi (Şekil 6.5.2b):
21 1 ≤≤ x I-I kesiminin sol tarafında kalan parçanın denge şartı kullanılacağı için P = 1 yükünün hareketi “2” düğümünden itibaren göz önüne alınır.
∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=10 kN P=10 kNP
1 m
1 2 4
3
5
∗ ∗
∗ ∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=1 1 m
1 2 4
3
5I
I
II
IIIII
III
α
a)
b)
132
.8034,12,9017,01;109,1.1
).'6.5(109,1,0..
5315311
53
53535314
=⇒==⇒==
==+−=
−−−
−−−∑NmxNmxxN
çözümündenınÖrnekmrrNxPM Sol
Bu değerlere göre N3-5’in tesir çizgisi Şekil 6.5.2c ‘de çizilmiştir. N2-4’ün tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi (Şekil 6.5.2b):
10 2 ≤≤ x Moment noktası I-I kesiminin solunda kalan ilk düğümdür.
.5.11;00;.1
,6666,032;0..
42242242
242
3242424223
−=⇒==⇒=−=
====−−=
−−−
−
−−−−∑
NmxNxr
xN
mlrrNxPM Sol
Bu değerlere göre N2-4’ün tesir çizgisi Şekil 6.5.2d ‘de çizilmiştir. ● N4-5’in tesir çizgisi II-II kesimi (Şekil 6.5.1b) yardımıyla çizilir. Tesir çizgisinin sağ doğrusunun sıfır doğrusu olduğu yukarıda açıklanmıştır. P = 1 yükü üst başlık üzerinde hareket ettiğinde 0 ≤ x3 ≤ 1, alt başlık üzerinde hareket ettiğinde ise 0 ≤ x3 ≤ 2 aralığında değişir (Şekil 6.5.2b). Sol doğrusu için ifade aşağıdaki denge şartından elde edilir.
211.12
,00;2.1
02..
543543
5433
545431
=⇒==⇒=
=⇒==⇒=−=
−−
−−−∑
NmxNmx
Nxx
NNxPM Sol
Bu değerlere göre N4-5’ün tesir çizgisi Şekil 6.5.2e’de çizilmiştir. ● N5-B’nin tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi kafes sistemin III-III kesiminin (Şekil 6.5.1b) sol tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir, sağ doğrusu ise sıfır doğrusudur.
20 4 ≤≤ x
.8333,02,00,4,2
.1,)'6.4(Pr4,2;0..
54544
5
55541
−=⇒==⇒=−=
==+=
−−−
−−−∑
BBB
BBBSol
NmxNxxN
çözümündenınoblemmrrNxPM
Elde edilmiş değerlere göre N5-B’nin tesir çizgisi Şekil 6.5.2f’de çizilmiştir. ● N2-3’ün tesir çizgisi düğüm kesme yönteminin özel durumuna uygun olarak P=1 yükünün her iki başlık üzerinde hareketi göz önüne alınarak çizilmiştir (Şekil 6.5.2g ve Şekil 6.5.2h). b) Tesir çizgileri yardımıyla sabit yükleme durumu için işaretlenmiş çubuklardaki kuvvetlerin hesaplanması (Sabit yükler alt başlık düğümlerine uygulanmıştır).
.101.101..5,12)25,1.(10)83333,041666,0.(
.15)5,1.(10)15,0.(.15)5,1.(10)5,1.(
.051,27)7051,2.(10)9017,08034,1.(
32
5
54
42
53
kNPNkNPN
kNPNkNPN
kNPN
B
===−=−=+−=
==+=−=−=−=
==+=
−
−
−
−
−
133
Şekil 6.5.2 c) Analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerin karşılaştırılması:
İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N3-5 27,05 27,051 0,001 N2-4 -15 -15 0,0 N4-5 15 15 0,0 N5-B 12,5 -12,5 0,0 N1-2 10 10 0,0
∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=10 kN P=10 kNP
1 2 4
3
5
∗
∗ ∗
∗
o o o o
o
o
o
A
B
2 m
P=1 1 m
1 2 4
3
5I
I
II
IIIII
III
a)
b)
4x
1x
2x P=1
3x
α
1,8034
1,5
0,90
1 ··
· ·
· ·· ·
··
1
0,5
2'
4'
2' 4'
4'
B'3'
5'
4' B'
0,4166 0,833
1
N3-5’in T. Ç.
N2- 4’ün T. Ç.
N5- B’nin T. Ç.
(Geçit doğrusu aralıklı P=1üst baş.üzere)
N2- 3’ün T. Ç. (P=1 alt baş.üzere)
N2- 3’ün T. Ç. (P=1 üst baş.üzere)
134
Örnek 6. 6. Boyutları ve sabit yükle yükleme durumu Örnek 5.7’de verilmiş olan karmaşık kafes sistemin işaretlenmiş çubuklarındaki (Şekil 6.6.1) kuvvetlerin a) Tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımı ile verilen sabit yükleme durumu için kuvvetlerin değerlerini belirleyiniz, c) Her iki yöntemle belirlenmiş değerleri karşılaştırınız. Şekil 6.6.1 Çözüm: Karmaşık kafes sistemin çubuklarındaki iç kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimi esas kafes sistemde (Şekil 6.6.2) olduğu gibi yapılır. Fakat tesir çizgilerine ait geçit çizgilerinin elde edilmesi için kesimlerin sol ve sağ tarafında kalan ilk düğümlerin iz düşümleri alınırken ilave olunmuş kafes sistemin düğümleri de göz önünde bulundurulur.
Şekil 6.6.2 Bu karmaşık kafes sistemde ilave olunmuş kafes sistem alt başlığa ilave edildiği (sabit yükler alt başlık düğümlerinde uygulanmıştır, Şekil 6.6.1) için P = 1 yükünün alt başlık üzerinde hareket etmesi durumu göz önüne alınmıştır (Şekil 6.6.2). a)İç kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimi: ● N3-8’in tesir çizgisi I-I kesiminden (Şekil 6.6.2.) çizilir. Sağ doğrusu (P = 1 I-I kesiminin sağ tarafında) için ifade kafes sistemin I-I kesiminin solunda kalan parçasının denge şartından elde edilir.
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B1
2
3
5
4 6
7
8
P P P P=10 kN P P P
PP
2 mL=16 m
2 m
2
m
∗
∗∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B1
2
3
5
4 6
7
8
P=1
2 m
2 m
2
m
VA VB
II
II
I
I
III
III
135
∑ −=⇒=+= −− ...204.8. 83836 ÇTVNNVM AVSol
Sol doğrusu (P = 1 I-I kesiminin solunda) için ifade kafes sistemin I-I kesiminin sağ tarafında kalan parçasının denge şartından elde edilir. ∑ −=⇒=−−= −− BB
Sağ VNNVM .204.8. 83836 Elde edilmiş ifadeler uygun olarak N3-8’in tesir çizgisi Şekil 6.6.3e’de çizilmiştir. ● N4-6’nın tesir çizgisi de I-I kesiminden çizilir (N1-4’ün tesir çizgisi N4-6’nın tesir çizgisinin aynısıdır). Tesir çizgisinin sağ doğrusunun ifadesi ∑ =⇒=−= −− AA
Sol VNNVM .5,104.6. 64643 ’dır. Tesir çizgisinin sol doğrusunun ifadesi ise ∑ =⇒=+−= −− BB
Sağ VNNVM .5,204.10. 64643 ’dir. Bu ifadelere uygun olarak N4-6 ve N1-4’ün tesir çizgileri Şekil 6.6.3f ’de çizilmiştir. ● 6553 −− NveN e ’nın tesir çizgileri kafes sistemin I-I kesiminin sol tarafında kalan parçasının denge şartından yararlanılarak çizilir. Sağ dorusu için ifade
veVVN
çözümündenninÖrnekNVY
AA
ASol
).118068,1(.8944,01
)'7.5(8944,0cos,0cos.
65
65
==
==−=
−
−∑ αα
Sol doğrusu için ise ∑ −=⇒=+= −− .).118068,1(0 6565 edilireldeolarakVNNVY BB
Sağ Bu ifadelere göre 6553 −− NveN e ’nın tesir çizgileri Şekil 6.6.3g’de çizilmiştir. Bu iç kuvvetlerin
( 6553 −− NveN e ) tesir çizgileri birbirinden geçit çizgileri ile farklanır. eN 53− ’in tesir çizgisinin geçit çizgisi kesikli çizgi ile, 65−N ’nın tesir çizgisinin geçit çizgisi ise sürekli çizgi ile gösterilmiştir. ● eNveN 3221 −− ’ün tesir çizgileri 6553 −− NveN e ’nın tesir çizgilerinin çizimine benzer şekilde II-II kesiminden yapılır. Sağ dorusu için ifade
AASol VNNVY .)118068,1(0cos. 2121∑ −=⇒=+= −− α ,
Sol dorusu için ise ∑ =⇒=−= −− .).118068,1(0cos. 2121 edilireldeolarakVNNVY BB
Sağ α
136
Bu ifadelere göre eNveN 3221 −− ’ın tesir çizgileri Şekil 6.6.3h’da çizilmiştir. 6553 −− NveN e ’nın tesir çizgilerinde olduğu gibi bu çubuk kuvvetlerinin tesir çizgileri de birbirinden geçit çizgisiyle farklanır. Şekil 6.6.3h’da eN 32− ’ın geçit çizgisi sürekli çizgiyle, N1-2’ninki ise aralıklı çizgiyle gösterilmiştir. ● eNveN 8776 −− ’in tesir çizgileri de, bunlardan önceki kuvvetlerin tesir çizgilerinin çizimine benzer şekilde III-III kesiminden yararlanılarak yapılır ve birbirinden geçit çizgileriyle farklanır. Sağ dorusu için ifade ∑ −=⇒=+= −− AA
Sol VNNVY ).118068,1(0cos. 7676 α , Sol doğrusu için ise
..)118068,1(0cos. 7676 edilireldeolarakVNNVY BBSağ∑ =⇒=−= −− α
Bu ifadelere ve yapılmış açıklamalara uygun olarak eNveN 8776 −− ’in tesir çizgileri Şekil 6.6.3ı’da çizilmiştir. Çizilmiş tesir çizgilerinden (Şekil 6.6.3f, g, h ve i) görüldüğü gibi geçit çizgilerinin oluşturduğu üçgenler ilave kafes sistemin çubuklarındaki kuvvetlerin tesir çizgileridir. b) Çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla sabit yükleme durumu için çubuk kuvvetlerinin hesaplanması:
.5716,5)55716,0.(10)13976,04192,0.(
.5543,5)13976,02795,04192,055543,04192,02795,013976,0.(10.1259,11)11259,1.(10
)13976,02795,013796,055543,04192,02795,013976,0.(10
.608,5)5608,0.(10)13976,069878,0.(
.1259,11)13976,02795,04192,055543,013976,02795,013976,0.(10
.7341,16)19976,02795,04192,055543,069878,02795,013976,0.(10.5896,5)55896,0.(10)55896,0.(
.5543,5)13976,02795,04192,055543,04192,02795,013976,0.(10.24,11)13976,02735,04192,055543,0139762795,013976,0.(10
.5,2)25,0.(10)25,0.(
.35)1875,0375,05625,075,06875,0625,03125,0.(10
.5,37)1875,0375,05625,075,09375,0625,03125,0.(10.404.10)25,05,075,0175,05,025,0.(
76
76
6887
21
3132
21
65
65
6353
6441
61
6441
8383
kNPN
kNNkN
NN
kNPN
kNNN
kNNkNPN
kNNkNNN
kNPNN
kNN
kNNNkNPNN
i
e
i
e
i
e
ii
e
e
−=−=+−=
=−−−+++==
=−−++++==
−=−=+−=
−=−−−−−+==
−=−−−−−+=−=−=−=
=++++−−−==+++++−−==
====
=++++++=
=++++++==−=−=++++++−==
−
−
−−
−
−−
−
−
−
−−
−−
−
−−
−−
137
N6-7ve N7 -8’in T. Ç
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B 1
2
3
5
4 6
7
8
P P P P=10 kN P P P
P P
2 mL=16 m
2 m
2
m
∗
∗∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
o o o o o o o o o
o o o o
o o o o o o o o
A B 1
2
3
5
4 6
7
8
P=1
2 m
2 m
2
m
VA VB
II
II
I
I
·2 2
0,25 0,5 0,75 1
0,25 0,5 0,75
0,3125 0,625
0,25
0,6875 ·· 1' 6' 0,1875 0,375 0,5625 0,75
· ··
1' 4'
6'
0,13976
0,13976 0,2795 0,4192
0,55543
0,13976
0,4192 1,11
8
1,11
8
1,5
···
·· ·
1,11
8 1,
118
1,11
8 1,
118
1'
4' 6'
6'
9' 11'
9
10
11
0,13976
0,4192 0,2795 0,13976 0,2795
0,55543
0,4192
0,13976
1
1
0,13976 0,2795 0,4192
0,55543 0,13976 0,4192
0,2795 0,13976
VA’nın T. Ç
VB’nin T. Ç N3-8’in T. Ç
N1-4ve N4-6’nın T. Ç
N3-5ve N5 -6’nın T. Ç
N1-2ve N2 -3’ün T. Ç
b)
a)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Şekil 6.6.3
138
c) Kafes sistemin işaretlenmiş (Şekil 6.6.1) çubuklarında verilmiş olan sabit yükleme durumu için analitik yöntem ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerinin karşılaştırılma tablosu aşağıdadır. İç Analitik T. Ç. kuvvetler yöntemle yardımıyla Fark (kN) (kN) N3-8 - 40 - 40 0 N1-4 =N4-6 37,5 37,5 0 eN 61− 35 35 0
ii NN 6441 −− = 2,5 2,5 0
eNN 6353 −− = 11,18 11,24 0, 06
iN 65− 5,59 5,5543 0,035 N1- 2 -16,7341 -16,7341 0 eNN 3132 −− = -11,1259 -11,1259
iN 21− -5,608 -5,59 0,018 eNN 6887 −− = 11,12 11,1259 0,005 N6- 7 5,59 5,5543 0,035 iN 76− -5,59 -5,5716 0,018
139
7. ÜÇ MAFSALLI SİSTEMLER
Genel Bilgiler
Üç mafsallı sistemler kendi aralarında ve temel ile bir doğru üzerinde olmayan üç mafsalla birleşmiş iki parçadan oluşan sistemlerdir. Bu sistemlerin özelliği düşey yükler etkisinde mesnetlerinde düşey tepkilerle beraber yatay tepkilerin de oluşmasıdır. Yatay tepkiler itki kuvvetleri, böyle sistemler ise itkili sistemler olarak adlandırılır. Bu sistemleri oluşturan parçalar kırık eksenli olduğunda üç mafsallı çerçeve, eğri eksenli (daire, 20 den parabol ve elips gibi) olduğunda ise üç mafsallı kemer diye adlandırılır. Üç mafsallı kemerlere örnekler aşağıda gösterilmiştir (Şekil 7.1).
Şekil 7.1. a) Basit üç mafsallı kemer, b) Kolonlu üç mafsallı kemer, c) Ankastre kolonlara oturan üç mafsallı kemer, d) Ankastre eğri eksenli
çubuklara bağlanmış üç mafsallı kemer. Üç mafsallı sistemleri oluşturan parçalar, yukarıda belirtildiği gibi doğru veya kırık eksenli de olabilir. Böyle sistemlere bir kaç örnek aşağıda verilmiştir (Şekil 7.2).
Şekil 7.2 .a) ,b) Kırık eksenli üç mafsallı çerçeve, c) doğru eksenli üç mafsallı çerçeve. Bunların yanında üç mafsallı sistemlerin bir parçası doğru, diğer parçası eğri eksenli de olabilir (Şekil 7.3).
o
o o
o
oo o
o o
o
o o
a)
c)
b)
d)
o
o o
o
o o
o
o o
c) b) a)
140
Şekil 7.3. Bir parçası doğru, diğer parçası eğri eksenli olan üç mafsallı sistem.
İtkili sistemlerde mesnetlerde oluşan itki kuvvetlerini karşılayabilecek özel temellerin oluşturulmuş olması gerekir. Gerektiğinde itki kuvvetlerini güvenle taşıyabilecek gergiler de kullanılır. Böyle sistemler gergili sistemler diye adlandırılır. Gergili sistemlerde itki kuvvetleri gergi tarafından karşılandığından, sistemin mesnetlerinden biri kayıcı mafsallı mesnet olur. Gergi mesnetler seviyesinde veya yukarıda yerleştirilebilir. Gergili üç mafsallı sistemlere çeşitli örnekler aşağıda verilmiştir (Şekil 7.4).
Şekil 7.4. Gergili üç mafsallı sistemler; a), b) Gergisi sırasıyla mesnetler seviyesinde ve mesnetlerin yukarısında olan üç mafsallı kemerler, c) Gergili üç mafsallı çerçeve.
Üç mafsallı kemerlerin sabit yüklere göre hesabı
Üç mafsallı bir kemerin (Şekil 7.5a) hesaplanmasına mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile
başlanır. Düşey tepkiler kemere uygun, yani kemerle aynı açıklığa ve yükleme durumuna sahip basit kirişte (Şekil 7.5b) olduğu gibi belirlenir.
.).(
;.)( 100
LaRP
VVL
bRPVV ii
BBii
AA∑∑ +
==+
==
Burada 00 ,, BABA VVkemerinVveV ise basit kirişin mesnet tepkileri, Pi , R i sırasıyla kemere etkiyen tekil yükler ve yayılı yüklerin bileşkeleri,
o
o o
o
o o
o
o
o o
o
o
o o
o o
c)
b) a)
141
ii bvea bu yüklerin sırasıyla sol ve sağ mesnetten olan uzaklıklarıdır.
Şekil 7.5. a) Üç mafsallı kemer, b) Bu kemere uygun basit kiriş.
İtki kuvvetleri sistemin C mafsalının sol ve sağ tarafında kalan kuvvetlerin bu mafsala göre momentleri toplamının sıfıra eşit olma şartına dayanarak belirlenir.
.;f
MH
fM
HSağC
B
SolC
A∑∑ == (7.1)
Ele alınan üç mafsallı sistem yalnız düşey yükler etkisi altında olduğunda (Şekil 7.5)
fM
HH CBA
0
== = H (7.2)
olur. Burada 0
CM uygun basit kirişin C kesitindeki eğilme momenti, f kemerin yüksekliğidir (sehimi, oku) (C mafsalının A ve B mesnetlerini birleştiren özengi
hattına olan dik uzaklığı) (Şekil 7.5a). Kemerlerde M, T ve N diyagramlarının kemerin gerçek şekil değiştirme durumunu gösterebilmeleri için bu büyüklüklerin değerlerinin belirlendiği kesit sayısının yeterince çok olması önemlidir. Düşey yükler etkisi altında olan kemerler için adı geçen kesit tesirleri aşağıdaki formüllerle hesaplanır.
o
o
Ri
P1 P2 Pi q1 qi
R1
ia ib
xϕ
xy
H A H B
V A V B
f
L / 2
L
A B
P1 P2 Pi q1 qi
o o
C
L / 20
BV
R1 Ri
ia ib
L
0AV
CA B
1a 1b
1a 1b
x
o
a)
b)
142
)cos.sin.(
sin.cos.
.
0
0
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
yHMM
ϕϕ
ϕϕ
−−=
−=
−=
(7.3)
Burada
xM : kemerin sol mesnetten x mesafesinde olan kesitindeki eğilme momenti (Şekil 7.5a), 0xM : uygun basit kirişin (Şekil 7.5b) sol mesnetten x mesafesinde olan kesitindeki eğilme
momenti, H : itki kuvveti (kemerin tüm kesitleri için sabittir),
xy : kemer kesitlerinin ordinatıdır (Şekil 7.5a). Kemerin kesitlerinin ordinatları eksen eğrisi türüne bağlı olarak aşağıdaki gibi belirlenir: 20 den parabol için
)(..4 xLL
xfyx −= , (7.4)
Daire eksenli kemerler için
fRxLRyx +−−−= 22 )2
( (7.5)
fLfR82
2
+= olup, dairenin yarıçapıdır.
xT : kemerin sol mesnetinden x mesafede olan kesitindeki kesme kuvveti, 0
xT : uygun basit kirişin sol mesnetinden x mesafede olan kesitindeki kesme kuvveti,
xϕ : kemerin kesitlerinde eksene çizilmiş teğetle yatay doğru arasında kalan açıdır.
xx ve ϕϕ sincos kemer ekseni türüne uygun olarak aşağıdaki formüllerle belirlenebilir. 2.dereceden parabol için
..cossin
,1
1cos
,)2.(.4)(
2
2
xxx
x
x
xx
tgtg
xLL
fytg
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
=
+=
−=′=
(7.6)
Daire eksenli kemerler için
RxL
RfRy
x
x
22sin
,cos
−=
−+=
ϕ
ϕ (7.7)
143
Örnek 7.1. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.1.1’de verilen ve ekseni 2. dereceden parabol şeklinde olan üç mafsallı kemer için a) Kemerin kinematik analizi yapınız, b) Kemerin yeterli sayıda kesitinde eğilme momenti (M), kesme kuvveti (T) ve normal kuvvet (N) değerlerini hesaplayınız, c) İç kuvvetlerin hesaplanmış değerlerine göre M, T ve N diyagramlarını çiziniz.
Şekil 7.1.1 Çözüm: a) Üç mafsallı kemerlerin kinematik analizi Gerber kirişlerde olduğu gibi yapılır. W = 3.2 – 2.1 – 4 = 0 ve kemerin parçaları kendi aralarında ve temelle bir doğru üzerinde olmayan üç mafsalla bağlandığı için (ki bu geometrik değişmez sistemlerin oluşturulma şartlarından biridir) taşıyıcı bünyeye sahiptir, yani sistem geometrik değişmezdir. b) Üç mafsallı kemerin kesit tesirlerinin hesaplanmasına mesnet tepkilerinin belirlenmesi ile başlanır. Bu işlemler üç mafsallı kemerlerin hesaplanmasında verilmiş açıklamalara dayanılarak yapılır. Kemerin hesaplama şeması ve uygun basit kiriş Şekil 7.1.2 a ve b’de verilmiştir. Mesnet tepkilerinin düşey bileşenleri (Şekil 7.1.2a,b):
.5,5218
)5,4.(9.109.30)5,13.(20,0)5,4.(9.9.)5,13.(18.
0
21
kNVV
qPPVM
AA
AB
=++
==
=−−−=∑
.5,8718
)5,4.(209.30)5,13.(9.10
0)5,4.(9.)5,13.(9.18.
0
12
kNVV
PPqVM
BB
BA
=++
==
=+++−=∑
Sağlama :
∑ =+−−−⇒=+−−−= 05,879.1030205,5209.21 BA VqPPVY Mesnet tepkilerinin yatay bileşenleri, yani itki kuvvetleri üç mafsallı kemerlerin hesaplanmasında verilmiş olan açıklamaya dayanarak kendi aralarında birbirine eşit olup aşağıdaki gibi belirlenir.
o
o A
o B
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
f = 4 m
9 m9 m
144
Şekil 7.1.2. a) Üç mafsallı kemer, b) Uygun kiriş, c) M0 diyagramı, d) T0 diyagramı.
fM
HHH CBA
0
=== ; mkNPVM AC .5,382)5,4.(209).5,52()5,4.(9. 10 =−=−=
kNH 625,954
5,382==
o Bo
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
3x1x 2x
A
0AV 0
BV
a)
b)
c)
d)
2,25 m
118,
125
171,
562
236,
25
309,
375
382,5
362,
81
292,
5
52,5 52,5 32,5 32,5
65
2,5
20
42,5
87,5
0xM (kN.m)
0xT (kN)
o
o A
o B
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
f = 4 m
9 m9 m
x xϕxy
VA VB
H H
C
145
M, T ve N diyagramlarının kemerin gerçek şekil değiştirme durumunu tasvir etmeleri için bu örnekte kemer 8 parçaya ayrılıp, buna uygun kesitlerde kesit tesirlerinin değerleri hesaplanmıştır. (7.3) bağıntılarından görüldüğü gibi kesitler için önce M0 ve T0‘ın değerlerinin hesaplanması gerekir. Bu amaçla, uygun kirişin her bir bölgesi (Şekil 7.1.2b) için M0 ve T0’ın ifadeleri yazılıp, ele alınan kesitlerdeki değerleri aşağıda hesaplanmıştır. I-bölge 5,40 1 ≤≤ x
mkNMmxmkNMmxMx
kNVTxxVM
xxx
AAx
.25,2365,4,.125,11825,2,00
.5,52,).5,52(.011
011
011
0011
001
=⇒==⇒==⇒=
====
II-bölge 95,4 2 ≤≤ x
..5,382
9,.375,30975,6,.25,2365,4
.5,32205,52,)5,4.(20).5,52()5,4.(.
02
2022
022
10
02221200
2
mkNM
mxmkNMmxmkNMmx
kNPVTxxxPxVM
x
xx
AAx
=
⇒==⇒==⇒=
=−=−=−−=−−=
III-bölge (sağdan alınmıştır) 90 3 ≤≤ x
.5,2,.5,3829
.20,.8125,36275,6,.5,2925,4
.65,.5625,17125,2.5,87,00
..105,87.,2
.10).5,87(2
..
03
033
03
033
033
03
033
03
033
3300
3
23
3
23
300
3
kNTmkNMmx
kNTmkNMmxmkNMmx
kNTmkNMmxkNTMx
xxqVTx
xx
qxVM
xx
xxx
xxxx
BxBx
==⇒=
−==⇒==⇒=
−==⇒=−==⇒=
+−=+−=−=−=
Elde edilmiş değerlere göre uygun kirişin 00
xx TveM diyagramları Şekil 7.1.2 c ve d’de çizilmiştir. Kemerin M, T ve N diyagramlarının çizilmesi için gereken işlemlerin kalan kısmı aşağıdaki formüller yardımıyla Tablo 7.1.1’de yapılmıştır.
)cos.sin.(
sin.cos.
.
0
0
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
yHMM
ϕϕ
ϕϕ
−−=
−=
−=
(7.1.1)
)(..4 xLL
xfyx −=
..cossin1
1cos
)2.(.4
2
2
xxx
x
x
x
tgtg
xLL
ftg
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
=
+=
−=
(7.1.2)
146
Nx
(kN
)
-106
,4
-108
,7
-108
,7
-100
,6
-100
,4
-95,
62
-97,
7
-104
,6
-115
,6
-129
,6
H c
osφ x
(kN
)
71,4
7
79,5
6
87,3
8
93,3
5
95,6
2
93,3
5
87,3
8
79,5
6
71,4
7
T x0 ..s
inφ x
(
kN)
34,8
78
29,1
2
21,3
7
13,2
7,05
0 0 4,34
17,2
6
36,0
55
58,1
3
T x
(kN
)
-24,
3
-9,3
6
-9,1
4
-9,1
3
10,9
8
32,5
2,5
1,22
0 -1,0
4
-1,8
6
H .s
inφ x
(
kN)
63,5
3
53,0
4
38,8
4
20,7
4
0 -20,
74
-38,
84
-53,
04
-63,
5
T x0 .c
osφ x
(kN
)
39,2
4
43,6
8
47,9
7
29,6
98
31,7
3
32,5
2,5
-19,
52
-38,
8
-54,
08
-65,
4
T x0
(kN
)
52,5
52,5
52,5
32,5
32,5
32,5
2,5
-20
-42,
5
-65
-87,
5
M
x
(kN
.m)
0 -49,
22
-50,
625
-49,
22
0 4,22
5,62
5
4,22
0
H.y
x (k
N.m
)
0 167,
34
286,
87
358,
59
382,
5
358,
59
286,
87
167,
34
0
H
(kN
)
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
95,6
2
Mx0
(kN
.m)
0 118,
1
236
,2
309,
4
382
,5
362,
8
292,
5
171,
6
0
.sinφ
x 0,
644
0,55
4
0,40
6
0,21
6
0 -0,2
16
-0,4
06
-0,5
54
-0,6
64
cosφ
x
0,74
7
0,83
2
0,91
4
0,97
6
1 0,97
6
0,91
4
0,83
2
0,74
7
tgφ x
0,88
8
0,66
6
0,44
4
0,22
2
0 -0,2
22
-0,4
44
-0,6
66
-0,8
88
yx
(m)
0 1,75
3 3,75
4 3,75
3 1,75
0
x
(m)
0 2,25
4,5
6,75
9 11,2
5
13,5
15,7
5
18
Tabl
o 7.
1.1
147
Kesit tesirlerinin (M, T ve N) yukarıdaki tabloda hesaplanmış değerlerine göre diyagramları Şekil 7.1.3b,c ve d’de çizilmiştir.
Şekil 7.1.3. a) Üç mafsallı kemer, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı
(Eksenel kuvvet diyagramı olduğu için N diyagramda ordinatlar eksenin her iki tarafında alınmıştır).
129,6
o o
o
o o
o
o o
o
o
o A
o
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
f = 4 m
a)
b)
d)
c)
N(kN)
M (kN.m)
T(kN)
49,22
50,62 49,22
4,225,625
4,22
24,3
9,36
9,14
9,13
10,98
32,5
2,5
01,22
1,04
1,86
106,4
108,7
108,7100,6
100,4 95,625 97,7104,6
115,6
2,25 m
148
Hem Mx ve Tx’in (7.1.1)’deki ifadelerinden, hem de uygun kirişin 00 , xx TM diyagramlarının kemerin M ve T diyagramlarıyla karşılaştırılmasından aşağıdaki sonuca varılmaktadır: Üç mafsallı kemerin kesitlerinde oluşan eğilme momenti ve kesme kuvveti değerleri, uygun kirişin kesitlerinde meydana gelen bu büyüklüklerin değerlerinden oldukça küçüktür. Örnek7.2. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.2.1’de verilmiş olan daire eksenli gergili kemer için aşağıdakiler istenmektedir: a) Kinematik analiz, b) Mesnet tepkilerinin ve gergide oluşan kuvvetin belirlenmesi, c) Kemerin yeterli sayıda kesitinde M, T ve N değerlerinin hesaplanması, d) Hesaplanmış değerlere göre M, T ve N diyagramlarının çizimi.
Şekil 7.2.1 Çözüm: a) Sistemin kinematik analizi: Serbestlik derecesi W = 3.3 – 2.3 – 3 = 0’dır ve ayrıca Şekil 7.2.1’den görüldüğü gibi sistem taşıyıcı yapıya sahiptir. b) Mesnet tepkileri statiğin denge denklemlerinden yararlanarak kirişlerde olduğu gibi belirlenir (Şekil 7.2.2 a ve b).
75,24330
)5.7.(15.20)5,22.(15.150)5,7.(15.)5,22.(15.30.
.25,28130
)5,7.(15.15)5,22.(15.200)5,7.(15.)5,22.(15.30.
0
12
0
21
=+
==
⇒=++−=
=+
==
⇒=−−=
∑
∑
BB
BA
AA
AB
VV
qqVM
kNVV
qqVM
Sağlama:
075,24315.1515.2025,281015.15. 21 =+−−⇒=+−−=∑ BA VqqVY C mafsalından geçerek gergiyi kesen I-I kesiminin (Şekil 7.2.2 a) sol veya sağ tarafında kalan kemer parçasının denge şartından gergide oluşan iç kuvvet belirlenebilir.
o
15 m
o o
15 m
q1=20 kN/m q2=15 kN/m
o o
f=6
m
L=30 m
3 m 3 m
149
Şekil 7.2.2. a) Üç mafsallı gergili kemer, b) Uygun kiriş, c) M0 diyagramı, d) T0 diyagramı.
fM
H C
′=
0
, ∑ =−=−= ..75,1968)5,7.(15.2015).25,281()5,7.(15.15. 10 mkNqVM A
SolC
veya
..75,1968)5,7.(15.1515).75,243()5,7.(15.15. 20 mkNqVM B
SağC =−=−=∑
o 15 m
o o
15 m
q1=20 kN/m q2=20 kN/m
o o
f=6
m
L=30 m
3 m
A B
C
VA VB
H
Hx xy 1y
xϕ
15 m 15 m
q1=20 kN/m q2=20 kN/m
o A
0BV
o B
0AV
2x 1x
I
I
281,25
753,
7
1327
,5
1721
,2
1968
,7
1935
1845
1568
,2
1192
,2
663,
7
221,25 161,25
101,2541,25
18,7563,75
108,75 153,75
198,75 243,75
M x0 (kN.m)
T x0 (kN)
150
1yff −=′ , Kemerin ekseni daire şeklinde olduğu için
.36,54561,3
75,1968
,61,339,26.39,2675,21)32
30()75,21(
.75,216.8
3026
82;)
2(
221
222
12
1
iredilmektedeldeolarakkNH
mfmy
mf
LfRfRxLRy
==
=−=′=+−−−=
=+=+=+−−−=
c) Kemerin kesitlerinde iç kuvvetlerin değerleri Örnek 7.1’de olduğu gibi belirlenir. Bu örnekte ise uygun kirişin 10 kesitinde Mx
0 ve Tx0’ın değerleri hesaplanmıştır (Şekil 7.2.2b).
I-bölge 150 1 ≤≤ x
.75,18,.75,196815
.25,41,.193512
.25,101,.25,17219
.25,161,.5,13276
.25,221,.75,7533.25,281,00
..2025,281.,2
.20).25,281(2
..
01
011
01
011
01
011
01
011
01
011
01
011
11100
1
21
1
21
1100
1
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmxkNTMx
xxqVTx
xx
qxVM
xx
xx
xx
xx
xxxx
AxAx
−==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒===⇒=
−=−=−=−=
II-bölge 3015 2 ≤≤ x
.75,243,030
.75,198,.75,63327
.75,153,.5,119224
.75,108,.25,158621
.75,63,.184518
.75,18,.75,196815
.)15.(1575,18)15.(1515.2025,281)15.(15.
,2
)15(.15)5,7.(300).25,281(
2)15(
.)5,7.(15..
02
022
02
022
02
022
02
022
02
022
02
022
2222100
2
22
22
22
221200
2
kNTMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
xxxqqVT
xxx
xqxqxVM
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Ax
Ax
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
−−−=−−−=−−−=
−−−−=
−−−−=
Elde edilmiş değerlere göre uygun kirişin M0 ve T0 diyagramları Şekil 7.2.2 c ve d’de çizilmiştir. Bundan sonra kemerin kesitlerindeki kesit tesirleri olan M, T ve N değerlerinin hesaplanması aşağıda verilmiş formüllerle Tablo 7.2.1’de yapılmıştır. Gergi bağlanmış kesitlerden aşağıda kalan kesitler için:
xxx
xxx
xx
TN
TT
MM
ϕ
ϕ
sin.
cos.0
0
0
−=
=
=
(7.2.1)
Gergi bağlanan ve gergiden yukarıda kalan kesitler için:
151
.)cos.sin.(
sin.cos.
).(
0
01
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
yyHMM
ϕϕ
ϕϕ
+−=
−=
−−=
(7.2.2)
Bu ifadelerdeki xxx vey ϕϕ sincos, kemerin eksen eğrisine uygun olarak aşağıdaki formüllerle belirlenmiştir.
RxL
RFRy
fLfR
fRxLRy
x
x
x
22sin
cos
,82
)2
(
2
22
−=
−+=
+=
+−−−=
ϕ
ϕ
(7.2.3)
152
Nx
(kN
)
-193
,95
-122
,06
-576
,9
-563
,16
-552
,13
-545
,81
-545
,36
-548
,91
-554
,2
-560
,06
-564
,49
-109
,65
-168
,09
H.c
osφ x
(k
N)
− − 454,
84
496,
44
524,
2
540,
12
545,
36
540,
12
524,
2
496,
44
454,
84
− −
T x0 si
nφx
(kN
)
193,
95
122,
06
66,7
25
27,9
3
5,68
8
0 8,79
1
30
63,6
21
109,
65
168,
09
T x
(kN
)
203,
65
184,
53
-116
,35
-78,
88
-53,
121
-34,
35
-18,
75
12,0
67
45,9
12
85,7
11
135,
113
-165
,76
-176
,49
H.si
nφx
(kN
)
− − 300,
87
225,
67
150,
44
75,2
05
0 -75,
205
150,
44
-225
,67
-300
,87
− −
T x0 co
sφx
(k
N)
203,
653
184,
527
146,
786
97,3
21
40,8
54
-18,
75
-63,
138
-104
,53
-139
,95
-165
,76
-176
,499
T x0
(kN
)
281,
25
221,
25
161,
25
101,
25
41,2
5
-18,
75
-63,
75
-108
,75
-153
,75
-198
,75
-243
,75
M
x (k
N.m
)
0 753,
75
422,
2
212,
78
79,6
85
0 -10,
32
77,7
84
287,
20
663,
75
0
H.(y
x-2,
39)
(kN
.m)
− − 0 905,
297
1508
,467
1855
,314
1968
,75
1855
,314
1508
,467
905,
297
0 − −
H
(kN
)
− − 545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
545,
36
− −
Mx0
(kN
.m)
0 753,
75
1327
,5
1721
,2
1935
1968
,75 18
45
1586
,2
1192
,5
663,
75
0
sinφ
x
0,68
9
0,55
2
0,41
4
0,27
5
0,13
8
0 -0,1
38
-0,2
75
-0,4
14
-0,5
52
-0,6
89
cosφ
x
0,72
4
0,83
4
0,91
0
0,96
1
0,99
1 0,99
0,96
1
0,91
0
0,83
4
0,72
4
yx
(m)
0 2,39
4,05
5,15
6
5,79
2
6 5,79
2
5,15
6
4,05
2,39
0
x
(m)
0 3 6 9 12
15
18
21
24
27
30
Tabl
o 7.
2.1
153
Şekil 7.2.3. a) Verilmiş sistem, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
o 15 m
o o
15 m
q1=20 kN/m q2=20 kN/m
o o
f=6
m
L=30 m
3 m
C
o o
o o
o
o o
o o
o
o o
o o
o
753,7
422,2
212,879,7
10,3
77,8
287,2
663,75
203,6
184,5
116,3
78,953,1
34,35 18,7
12,06 45,9 85,7135,1
165,7
176,5
193,9
122,06 576,9
563,2 552,13 545,8 545,36 548,9 554,2
560,06
564,45
109,65
168,09 545,36
M (kN.m)
T (kN)
N (kN) 545,36
a)
b)
d)
154
Çizilmiş diyagramlardan görüldüğü gibi H’ın uygulandığı kesitlerde T diyagramında H.sinφx, N diyagramında ise H.cosφx kadar atlama vardır. Bunlar, diyagramların sağlama şartlarındandır. Örnek 7.3. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.3.1’de verilen, ekseni 2. dereceden parabol şeklinde olan kolonlu üç mafsallı kemerin a) Kinematik analizini yapınız, b) Kesitlerinde eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvet değerlerini hesaplayınız, c) Hesaplanmış değerlere göre M, T ve N diyagramlarını çiziniz.
Şekil 7.3.1
Çözüm: a) Sistemin kinematik tahlili: W = 3.2 - 2.1 - 4 = 0’dır ve Örnek 7.1’de yapılmış açıklamaya dayanarak sistemin yararlı bünyeye sahip olduğu açıktır. b) Sistemin kesitlerinde iç kuvvetlerin değerlerinin hesaplanmasına yine mesnet tepkilerinin belirlenmesiyle başlanır (Şekil 7.3.2 a,b).
.25,10028
7.2014.14.1221.1507.14.14.21.28.
.75,10228
7.1514.14.1221.2007.14.14.21.28.
0
12
0
21
kNVV
PqPVM
kNVV
PqPVM
BB
BA
AA
AB
=++
==
⇒=+++−=
=++
==
⇒=−−−=
∑
∑
o
P1= 20 kN P2= 15 kNq = 12 kN/m
7 m 7 m 7 m
L=28 m f=
6 m
h=
6 m
o
7 m
o
155
M 0(kN.m)
o
P1= 20 kN P2= 15 kNq = 12 kN/m
7 m 7 m 7 m 7 m
f= 6
m
h= 6
m
o
P1= 20 kN P2= 15 kNq = 12 kN/m
7 m 7 m 7 m 7 m
o
o o
H H
VA VB
VA0 VB
0
A B
C
14 m 14 m
C x1 x2
x3
A B
3,5 m
359,6
719,25935,4 1004,5 926,6
701,7
350,87
102,75 102,7582,75
40,75
1,25
43,2585,25
100,25 100,25
T 0(kN)
a)
b)
d)
c)
N K
xϕ
xy x
156
Şekil 7.3.2. a) Verilen sistem, b) Uygun kiriş, c) M0 diyagramı, d) T0 diyagramı. Sağlama:
.014.12152025,10075,102014.21 =−−−+⇒=−−−+=∑ qPPVVY BA İtki kuvvetleri
.70833,83665,1004
.5,1004)5,3.(7.127.2014).75,102()5,3.(7.7.14., 100
0
kNH
mkNqPVMhf
MH AC
C
=+
=
=−−=−−=+
=Veri
lmiş üç mafsallı sistemin kemer kısmının kesitlerinde kesit tesirlerinin değerleri aşağıdaki ifadelerle hesaplanacaktır.
)cos.sin(
sin.cos.
).(
0
0
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
hyHMM
ϕϕ
ϕϕ
+−=
−=
+−=
(7.3.1)
(7.3.1) ifadelerinde yer alan yx, cosφx ve sinφx büyüklükleri kemerin eksen eğrisi 20 ’den parabol olduğu için aşağıdaki formüllerle hesaplanır
xxx
x
x
x
x
tgtg
xxLL
fytg
xxxLL
xfy
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
.cossin1
1cos
)228(28
6.4)2(4
)28(28
.6.4)(..4
2
22
22
=
+=
−=−=′=
−=−=
(7.3.2)
(7.3.1) ifadelerinden görüldüğü gibi uygun kirişin kesitlerinde kesit tesirleri olan Mx
0 ve Tx0’ın
belirlenmesi ön şarttır. Uygun kirişin kesitlerindeki tesirlerin hesabı aşağıda verilmektedir. I-bölgede 70 1 ≤≤ x
..25,7197
..625,3595,3.00
.75,102,).75,102(.
011
011
011
0011
001
mkNMmx
mkNMmxMx
kNVTxxVM
x
xx
AAx
=⇒=
=⇒==⇒=
====
II-bölgede 217 2 ≤≤ x
157
.25,1,.5,100414
.75,40,.375,9355,10
.75,82,.25,7197
).7.(1275,82)7(122075,102)7.(
,2
)7(.12)7.(20).75,102(2
)7(.)7.(.
02
022
02
022
02
022
222100
2
22
22
22
21200
2
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
xxxqPVT
xxxxqxPxVM
xx
xx
xx
Ax
Ax
−==⇒=
==⇒=
==⇒=
−−=−−−=−−−=
−−−−=
−−−−=
.25,85,.75,70121
.25,43,.625,9265,1702
022
02
022
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
xx
xx
==⇒=
−==⇒=
III-bölgede 70 3 ≤≤ x
mkNMmxmkNMmxMx
kNVTxxVM
xxx
BBx
.75,7017..875,3505,3.00
.25,100,).25,100(.033
033
033
0033
003
=⇒==⇒==⇒=
−=−===
Elde edilmiş değerlere göre uygun kirişin M0 ve T0 diyagramları sırasıyla Şekil 7.3.2 c ve d’de çizilmiştir. Üç mafsallı sistemin kemer kısmı için M, T ve N diyagramlarının çizilmesi için gereken hesaplama işlemleri (7.3.2) ve (7.3.1) ifadelerinden yararlanarak Tablo 7.3.1’de yapılmıştır. Kolon kısımları için ise hesaplamalar çerçevelerdeki gibi yapılır. AK kolonu için: MA = 0, T = -H = - 83,70833 kN (kolon boyu sabit), N = -VA = -102,75 kN (kolon boyu sabit), MK = -H . h = - (83,70833) . 6 = - 502,25 kN.m . BN kolonu için MB = 0, T = H = 83,70833 kN (kolon boyu sabit), N = -VB = -100,25 kN (sabittir), MN = -H . h = - (83,70833) .6 = -502,25 kN.m .
158
N
x (
kN)
-1
30,4
2
-125
,97
-117
,41
-109
,54
-90,
39
-83,
708
-90,
912
-110
,52
-116
,43
-124
,62
-128
,79
H.c
osφ x
(kN
)
63,5
55
70,4
13
76,9
39
81,8
5
83,7
08
81,8
5
76,9
39
70,4
13
63,5
55
T x0 .si
nφx
(k
N)
66,8
68
55,5
62
40,4
75
32,5
96
8,53
8
0 9,06
2
33,5
82
39,4
9
54,2
1
65,2
42
T
x (
kN)
23
,536
41,1
65
61,4
76
43,0
8
22,3
-1,2
5
-24,
75
-45,
38
-59,
169
-39,
063
-21,
64
H.si
nφx
(k
N)
54,4
76
45,2
65
32,9
74
17,5
34
0
-17,
539
-32,
974
-45,
265
-54,
476
T x0 co
sφx
(k
N)
78,0
13
86,4
31
94,4
4
76,0
58
39,8
45
-1,2
5
-42,
289
-78,
356
-92,
143
-84,
328
-76,
115
T x
0 (k
N)
102,
75
102,
75
102,
75
82,7
5
40,7
5
-1,2
5
-43,
25
-85,
25
-100
,25
-100
,25
-100
,25
M
x (k
N.m
)
-502
,25
-259
,68
-159
,68
-37,
73
0 -46,
484
-177
,22
-416
,11
-502
,25
H.(
yx+
6)
(kN
.m)
502,
25
721,
98
878,
94
973,
11
1004
,4
973,
11
878,
94
721,
98
502,
25
H
(kN
)
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
83,7
08
Mx0
(kN
.0 35
9,6 719
,2
935,
4 100
4,5
926,
6 701,
7 305,
87 0
sinφ
x
0,65
1 0,54
1 0,39
4 0,20
90
0,20
9 - 0,39
4 0,54
1 0,65
1
cosφ
x
0,75
9
0,84
1
0,91
9
0,97
8
1 0,97
8
0,99
19
0,84
1
0,75
9
tgφ x
0,85
7
0,64
3
0,42
8
0,21
4 0
-0,2
14
-0,4
28
-0,6
43
-0,8
57
yx+
6
(m
)
6 8,62
5
10,5
11,6
2
12
11,6
2
10,5
8,62
5
6
x
(m
) 0 3,
5
7 10
,5
14
17,5
21
24,5
28
Tabl
o 7.
3.1
159
M, T ve N’nin tabloda hesaplanmış değerlerine göre diyagramları Şekil 7.3.3’de çizilmiştir.
Şekil 7.3.3. a) M diyagramı, b) T diyagramı, c) N diyagramı.
502,25
502,25
o
o o
a)
o
o o
o
o o
502,25
502,25
259,64 159,68 37,73 46,48
177,22 416,11
23,53
41,16
61,46
43,0822,3
1,2524,7
45,359,1
39,06
21,63
83,7
83,7 83,7
83,7
T (kN)
M (kN.m)
N (kN)
102,75
102,75
130,42
125,97
117,41 109,53
90,38 83,7 116,43
110,5 124,62
128,79
100,25
100,25
b)
c)
160
Örnek 7.4. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.4.1’de görülen, temele ankastre bağlı kolonlar üzerine oturan daire eksenli üç mafsallı kemer için a) Sistemin kinematik analizini yapınız, b) Kemerin ve kolonların kesitlerinde kesit tesirlerinin değerlerini hesaplayınız, c) Hesaplanmış değerlere göre sistemin M, T ve N diyagramlarını çiziniz.
Şekil 7.4.1 Çözüm: a) Sistemin kinematik analizi: W = 3.P – 2.m – Cm = 3.4 – 2.3 – 6 = 0 şartı sağlanmakta ve Şekil 7.4.1’den sistem taşıyıcı özelliğe sahip olduğu görülmektedir. b) Sistemin kesitlerinde eğilme momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvetin değerlerini belirlemek için, Gerber kirişlerdeki açıklamalara dayanarak önce Şekil 7.4.2b’de sistemin hesaplama şeması çizilmiştir Daha sonra önceki örneklerde olduğu gibi hesaplamaya mesnet tepkilerinin belirlenmesiyle başlanmıştır. Mesnet tepkileri (Şekil 7.4.2b,c):
kNVV
qPqVm
mm
m
5,21232
4.8.2016.2524.16.1504.8.16.24.16.32.
011
2112
=++
==
⇒=−−−=∑
.5,21232
8.16.1516.2528.8.20
08.16.16.28.8.32.
022
1221
kNVV
qPqVm
mm
m
=++
==
⇒=+++−=∑
İtki kuvvetleri ,0
fM
H C=
o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
L=32 m f=
8 m
h=
8 m
o o
q2 = 20 kN/m
161
o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
f= 8
m
h= 8
m
o o
q2 = 20 kN/m
L=32 m
o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
f= 8
m
o o
q2 = 20 kN/m
m1 H H
HH
Vm1
Vm1
Vm 2
Vm 2
m1 m2
m2
C
a)
b)
A B
C
m1 m2
A B
h= 8
m
162
Şekil 7.4.2. a) Üç mafsallı sistem, b) Hesaplama şeması, c) Uygun kiriş, d) M0 diyagramı, e) T0 diyagramı.
Sol taraftan bakıldığında (Şekil 7.4.2c)
..1858
1480,.14808.16.15)5,212(8.16.16. 101
0 mkNHmkNqVM mC ===−=−=
Kemerin kesitlerinde kesit tesirlerinin
)cos.sin.(
sin.cos.
.
0
0
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
yHMM
ϕϕ
ϕϕ
+−=
−=
−=
(7.4.1)
ifadeleriyle hesaplandığı önceki örneklerin çözümlerinden bellidir. (7.4.1) ifadelerindeki yx, cosφx ve sinφx kemerin eksen eğrisinin türüne (daire) bağlı olarak
.2
2sin,cos
,208.8
3228
82,)
2(
2222
RxL
RfRy
mf
LfRfRxLRy
xx
x
−=
−+=
=+=+=+−−−=
ϕϕ (7.4.2)
ifadeleriyle hesaplanır.
o o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
q2 = 20 kN/m
m1 m2
Vm1 Vm 2
3x 1x
2x C
4 m
730
12201470 1480
12701060
690
212,5 152,5
92,532,5
52,527,5
52,5
132,5212,5
M 0 (kN.m)
T 0 (kN)
c)
d)
e)
163
Şimdi uygun kirişin kesitlerinde 00xx TveM değerleri belirlenmelidir. Bunun için kirişin her bir
bölgesinde (Şekil 7.4.2c) kesit tesirlerinin ifadeleri yazılıp, değerleri hesaplanır. I-bölge 160 1 ≤≤ x
.5,27,.148016
.5,32,.147012
.5,92,.12208
.5,152,.7304
.5,212,00
..155,212.,2
.15).5,212(2
..
01
011
01
011
01
011
01
011
01
011
11101
01
21
1
21
1101
01
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTMx
xxqVTx
xx
qxVM
xx
xx
xx
xx
xx
mxmx
−==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
−=−=−=−=
II-bölge 2416 2 ≤≤ x
..106024
..127020,.148016
.5,522516.155,21216.
,)16.(25)8.(16.15).5,212()16.()8.(16..
022
022
022
101
02
222221201
02
mkNMmx
mkNMmxmkNMmx
kNPqVT
xxxxPxqxVM
x
xx
mx
mx
=⇒=
=⇒==⇒=
−=−−=−−=
−−−−=−−−−=
III-bölge 80 3 ≤≤ x
.5,52,.10608
.5,132,.6904
.5,212,00
.205,212.,2
.20).5,212(2
..
03
033
03
033
03
033
33202
03
23
3
23
2302
03
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTMx
xxqVTx
xx
qxVM
xx
xx
xx
mxmx
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
+−=+−=−=−=
Sistemin kolonları (Şekil 7.4.2b) için kesit tesirlerinin belirlenmesi: Am1 kolonu: Mm1= 0, T = -H = -185 kN (kolon boyunca sabit), N = -Vm1
0 = - 212,5 kN, MA = H .8 = 185 . 8 = 1480 kN.m . Bm2 kolonu: Mm2 = 0, T = H = 185 kN (kolon boyunca sabit), N = -Vm2
0 = - 212,5 kN, MB = H .8 = 185 . 8 = 1480 kN.m . Sistemin kemer kısmının kesitlerinde M, T ve N değerlerinin hesaplanması (7.4.2) ve (7.4.1) formüllerinden yararlanarak Tablo 7.4.1’de yapılmıştır.
164
Nx
(kN
)
-281
-239
,5
-206
,55
-187
,76
-1
85
-191
,76
-190
,55
-227
,5
-281
H c
osφ x
(
kN)
111
148
169,
55
181,
26
185
181,
2
169,
55
148
111
T x0 si
nφx
(k
N)
170
91,5
37
6,5
0 10,5
21
79,5
170
Tx
(kN
)
-20,
5
11
10,7
7
-5,1
6
-27,
5
-52,
5
-14,
44
25,8
8
5 20,5
H si
nφx
(kN
)
148
111
74
37
0 -3
7
-74
-111
-148
T x0 co
sφx
(k
N)
127,
5
122
84,7
7
31,8
4
-27,
5
-52,
5
-51,
44
-48,
116
-106
-127
,5
T x0
(kN
)
212,
5
152,
5
92,5
32,5
-27,
5
-52,
5
-52,
5
-52,
5
-132
,5
-212
,5
Mx
(kN
.m)
0 -10
48,8
9
64,7
6
0 -135
,2
-111
,1
-50
0
H.y
x (k
N.m
)
0 740
1171
,1
1405
,2
1480
1405
,2
1171
,1
740
0
H
(kN
)
185
185
185
185
185
185
185
185
185
Mx0
(kN
.m)
0 730
1220
1470
1480
1270
1060
690
0
sinφ
x
0,8
0,6
0,4
0,2
0 -0,2
-0,4
-0,6
-0,8
cosφ
x
0,6
0,8
0,91
6
0,97
9
1
0,97
9
0,91
6
0,8
0,6
y
(m)
0 4 6,33
7,59
6
8 7,59
6
6,33
4 0
x
(m)
0 4 8 12 16
20
24
28
32
Tabl
o 7.
4.1
165
Şekil 7.4.3. a) M diyagramı, b) T diyagramı, c) N diyagramı.
o
o o m1 m2
a)
A B
C
4 m
o
o o
o
o o
C
b)
c)
10
48,89 64,76
135,2
111,1
50
1480 1480
M (kN.m)
20,5
11
10,77
5,1627,5
52,5
11,44
25,88
5
20,5
T (kN)
N (kN)
185
185
185
185
281
239,5
206,55187,76 185 191,76
190,55
227,5
281
212,5
212,5212,5
212,5
166
Örnek 7.5. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.5.1’de verilmiş, mafsaldan sol tarafta kalan parçası kırık eksenli, sağ tarafta kalan parçası ise 20 ‘den parabol eğrisi olan üç mafsallı sistemin a) Kinematik tahlilini yapınız, b) Kesitlerinde kesit tesirlerinin değerlerini hesaplayınız, c) Hesaplanmış değerlere göre M, T ve N diyagramlarını çiziniz.
Şekil 7.5.1 Çözüm: a) Sistemin kinematik tahlili: W = 3.2 – 2.1 – 4 = 0 ve sistemin parçaları kendi aralarında ve temelle bir doğru üzerinde olmayan 3 adet mafsalla bağlandığı için (Şekil 7.5.1) taşıyıcı bünyeye sahip olup geometrik değişmezdir. b) Verilmiş olan üç mafsallı sistemin kesitlerinde iç kuvvetlerin değerlerini hesaplamak için (7.3) ifadelerine dayanarak, önce sisteme uygun kirişin kesitlerinde M0 ve T0 ‘ın değerleri hesaplanır (Şekil 7.5.2b). Mesnet tepkilerinin hesabı (Şekil 7.5.2a,b):
.5,11124
3.6.86.2018.1418.12.1003.6.6.18.18.12.24.
.5,9024
6.146.12.1018.2021.6.806.6.12.18.21.6.24.
0
1122
0
2211
kNVV
qPPqVM
kNVV
PqPqVM
BB
BA
AA
AB
=+++
==
⇒=++++−=
=+++
==
⇒=−−−−=
∑
∑
Sağlama:
.05,1111412.10206.85,90012.6. 02211
0 =+−−−−=+−−−−=∑ BA VPqPqVY İtki kuvveti (yatay tepki):
o
o o
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kNq1= 8 kN/m q2= 10 kN/m
12 m 12 m
L = 24 m
f = 6
m
167
,.5346.209.6.812).5,90(6.9.6.12.
;
1100
0
mkNPqVMf
MH
aC
C
=−−=−−=
=
.896
5340
kNf
MH C ===
Şekil 7.5.2. a) Verilmiş sistem, b) Uygun kiriş, c) M0 diyagramı, d) T0 diyagramı.
12 m 12 m
o
o o
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kN q1= 8 kN/m q2= 10 kN/m
f = 6
m
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kN q1= 8 kN/m
o o
q2= 10 kN/m
A B
VA VB
H
H
0AV 0
BV
A B
1x 2x
3x 4x
450
xϕ
xxy
90,5
399235,5
466,5 534 556,5 489289,5
66,542,5
22,5 22,5
7,537,5
51,581,5
111,5
M0(kN.m)
T0(kN)
3 m
a)
b)
c)
d)
C
168
Uygun kirişin (Şekil 7.5.2 b) her bir bölgesi için M0 ve T0 ‘ın ifadeleri yazılıp, gereken kesitlerde değerleri hesaplanmıştır.
60 1 ≤≤ x
.5,42,.3996
.5,66,.5,2353.5,90,00
..85,90.;2
.8).5,90(2
..
01
011
01
011
01
011
11100
1
21
1
21
1100
1
kNTmkNMmx
kNTmkNMmxkNTMx
xxqVTxxxqxVM
xx
xxxx
AxBx
==⇒=
==⇒===⇒=
−=−=−=−=
126 2 ≤≤ x
..53412
..5,4669..3996
.5,22206.85,906.
),6.(20)3.(48).5,90()6.()3.(6..
022
022
022
110
0
2222121200
2
mkNMmx
mkNMmxmkNMmx
kNPqVT
xxxxPxqxVM
x
xx
A
Ax
=⇒=
=⇒==⇒=
=−−=−−=
−−−−=−−−−=
60 3 ≤≤ x
.5,51,.4896
.5,81,.5,2893
.5,111,00
..105,111.,2
.10).5,111(2
..
03
033
03
033
03
033
33200
3
23
3
23
2300
3
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTMx
xxqVTx
xx
qxVM
xx
xx
xx
BxBx
−==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
−=+−=−=−=
126 4 ≤≤ x
.5,22,.53412
.5,7,.5,5569
.5,37,.4896
..105,9714.105,111.
),6.(142
.10).5,111()6.(2
..
04
044
04
044
04
044
4424200
4
2
24
442
24
2400
4
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
kNTmkNMmx
xxPxqVT
xx
xxPx
qxVM
xx
xx
xx
Bx
Bx
==⇒=
−==⇒=
−==⇒=
+−=++−=++−=
−−−=−−−=
Elde edilmiş değerlere göre uygun kirişin M0 ve T0 diyagramları Şekil 7.5.2c ve d’de çizilmiştir. Üç mafsallı sistemin kesitlerinde kesit tesirlerinin (M, T ve N) değerlerinin hesaplanması:
169
)cos.sin.(
sin.cos.
.
0
0
0
xxxx
xxxx
xxx
HTN
HTT
yHMM
ϕϕ
ϕϕ
+−=
−=
−=
(7.5.1)
ifadeleri yardımıyla Tablo 7.5.1’de yapılmıştır. (7.5.1) formüllerindeki, sistemin eğri eksenli parçasının kesitlerinde yx, cosφx ve sinφx aşağıda verilmiş olan ifadelerle belirlenir.
xxx
x
x
xx
x
tgtg
xLL
fytg
xLL
xfy
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
.cossin1
1cos
)2.(.4)(
).(..4
2
2
2
=
+=
−=′=
−=
(7.5.2)
Sistemin sol parçası kırık eksenlidir ve kesit koordinatları bundan dolayı bellidir.
170
Nx
(kN
)
-126
,92
-109
,95
-92,
98
-89
-89
-89
-88,
166
-96,
37
-102
,2
-120
,1
-141
,77
H c
osφ x
(kN
)
62,9
3
62,9
3
62,9
3
89
89
89
86,3
4
79,6
0
71,2
62,9
3
T x0 si
nφx
(kN
)
63,9
9
47,0
2
30,0
5
0 0 0 1,81
16,7
7 23
,03
48,9
78,8
4
T x
(kN
)
1,60
6
-15,
9
-32,
9
22,5
22,5
22,5
14,3
6,26
-6
,26
-11,
8
-15,
9
H .s
inφ x
(
kN)
62,9
3
62,9
3
62,9
3
0 0 0 -21,
58
-39,
8
-53,
4
-62,
93
T x0 cs
φ x
(k
N)
63,9
9
47,0
2
30,0
5
22,5
22,5
22,5
-7,2
76
-33,
54
-46,
06
65,2
-78,
84
T x0
(kN
)
90,5
66,5
42,5
22,5
22,5
22,5
-7,5
-37,
5 -5
1,5
-81,
5
-111
,5
Mx
(kN
.m)
0 -31,
5
-135
-67,
5
0 55,8
7
88,5
55,8
7
0
H.y
x (k
N.m
)
0 267
534
534
534
500,
625
400,
5
233,
625
0
H
(kN
)
89
89
89
89
89
89
89
89
89
Mx0
(kN
.m)
0 235,
5
39
9
466,
5
53
4
556,
5
489
289,
5
.sinφ
x 0,
7071
0,70
7
0,70
71
0 0 0 -0,2
42
-0,4
47
-0,6
-0,7
07
cosφ
x
0,70
71
0,70
71
0,70
71
1 1 1 0,97
01
0,89
44
0,8
0,70
71
tgφ x
1 1 1 0 0 0 -0,2
5
-0,5
-0,7
5
-1
y x
(m)
0 3 6 6 6 5,62
5
4,5
2,62
5
0
x (m)
0 3 6 9 12
15
18
21
24
Tabl
o 7.
5.1
171
M, T ve N ‘nin hesaplanmış değerlerine göre diyagramları Şekil 7.5.3b,c,d’de çizilmiştir.
Şekil 7.5.3. a) Verilmiş sistem, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
o
o o
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kN q1= 8 kN/m q2= 10 kN/m
f = 6
m
o
o o
o
o o
o
o o
3 m
31,5
135 135
67,5
55,87
88,5 55,87
1,6 15,91
32,88
22,5 22,514,3
6,26
6,26
11,8
15,9
126,92
109,95
92,98 89 89 88,16
120,1 102,2
96,37
141,77
a)
b)
c)
d)
M (kN.m)
T (kN)
N (kN)
172
Örnek 7.6. Boyutları ve yükleme durumu Şekil 7.6.1’de verilmiş olan, mafsaldan sol tarafta kalan parçası ikinci dereceden parabol eksenli, sağ tarafta kalan parçası ise eğik bir doğru olan üç mafsallı sistem için aşağıdakiler istenmektedir: a) Sistemin kinematik tahlilinin yapılması, b) Sistemin kesitlerinde kesit tesirlerinin belirlenmesi, c) İç kuvvetlerin belirlenmiş değerlerine göre sistemin M, T ve N diyagramlarının çizilmesi.
Şekil 7.6.1
Çözüm: a) Sistemin kinematik analizi önceki problemlerde olduğu gibi yapılır. W = 3.2 – 2.1 – 4 = 0 şartı sağlanmış ve Şekil 7.6.1’den görüldüğü gibi sistem taşıyıcı özelliğe sahip olup geometrik değişmezdir. b) Sistemin kesitlerinde iç kuvvetlerin değerlerinin belirlenmesine yine mesnet tepkilerinin hesabı ile başlanır (Şekil 7.6.2).
.7857,6128
3.6.15)5,3.(7.207.3014.2021.403.6.2003.6.)5,3.(7.7.14.21.3.6.28.
.2143,16828
3.6.207.4014.2021.30)5,24.(7.203.6.1503.6.7.14.21.)5,24.(7.3.6.28.
121233
332121
kNV
qqPPPqVM
kNV
qPPPqqVM
B
BA
A
AB
=+++++−
=
⇒=+++++−−=
=+++++−
=
⇒=−−−−−+=
∑
∑
Sağlama:
07857,614020307.202143,16807. 3212
=+−−−−
⇒=+−−−−=∑ BA VPPPqVY
o
o o
7 m
14 m 14 m
7 m 7 m 7 m
q2 = 20 kN/m P2 = 20 kN P3 = 40 kNP1 = 30 kN
q 1 =
15
kN/m
q 3=
20 k
N/m
f
6 m
4
m
173
İtki kuvvetleri
.5,410
7.30)5,10.(7.207.6.15).2143,168(
010.7.)5,10.(7.7.6.14. 121
kNH
HPqqVM
A
AASolC
=−−−
=
⇒=−−−−=∑
.5,2510
7.407.6.2014).7857,61(010.7.7.6.14. 33
kNH
HPqVM
B
BBSağC
=++
=
⇒=−++−=∑
Sağlama:
.06.205,255,46.1506.6. 31 =−++⇒=−++=∑ qHHqX BA
Şekil 7.6.2
Üç mafsallı sistemin her bir bölgesi (Şekil 7.6.2) için M, T ve N’nin ifadeleri yazılıp, istenen sayıda kesitteki değerleri hesaplanır.
70 1 ≤≤ x
).sin).6.155,4(cos)..202143,168(()sin).6.(cos)..((
,2
.20)6.(5,4)3.(6.15).2143,168(
2.)6.()3.(6..
111
111121
21
111
21
211111
xx
xAxAx
xx
xAxAx
xqHxqVT
xyyx
xqyHyqxVM
ϕϕϕϕ
+−−=+−−=
−+−+−
=−+−+−=
o
o o
7 m
14 m 14 m
7 m 7 m 7 m
q2 = 20 kN/m P2 = 20 kN P3 = 40 kNP1 = 30 kN
q 1 =
15
kN/m
q 3=
20 k
N/m
f
6 m
4
m
x1
x2 y x2
φx1φx2
x3
x4x4
y x3 y x
4
α
BV AV
AH BH
E
A B
C
K
x 5
x 6
y x1
174
).cos).6.155,4(sin)..202143,168((cos).6.(sin)..((
111
111121
xx
xAxAx
xqHxqVN
ϕϕϕϕ
++−−=++−−=
Mx1, Tx1 ve Nx1’in ifadelerinde yer alan 111 sincos, xxx vey ϕϕ , eksen eğrisi 20 den parabol olduğu için aşağıdaki bağıntılarla belirlenir.
..cossin,1
1cos
),.228.(28
4.4)(),28.(28
4.4).(..4
111
121
121112121
1
xxx
x
x
xxx
tgtg
xytgxxLL
xfy
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
=+
=
−=′=−=−=
cos,57143,0,00 111 ==⇒= xx tgyx ϕ
.6146,98,1675,1,.107.2747,0sin,9615,0cos,2857,0,37
.547,125,047,53,.875,3.3939,0sin,9191,0cos,4286,0,75,15,3
111
11111
111
11111
kNNkNTmkNMtgmymx
kNNkNTmkNMtgmymx
xxx
xxxx
xxx
xxxx
−=======⇒=
−=======⇒=
ϕϕϕ
ϕϕϕ
147 2 ≤≤ x
.5,94,7857,1,0
.0sin,1cos,0,414.29,93,131,15,.875,29
.14142,0sin,9899,0cos,1428,0,75,35,10.373,90,676,27,.1077
).cos.5,94sin).7857,1((cos).6.(sin).7.((
,sin).5,94(cos).7857,1(sin).6.155,4(cos).307.202143,168(sin).6.(cos).7.(
,)3.(6.15)6.(5,4)7.(30)5,3.(7.20).2143,168()3.(6.)6.()7.()5,3.(7..
222
22222
222
22222
2222
22212122
2222
212122
22222
212212222
kNNkNTM
tgmymxkNNkNTmkNM
tgmymxkNNkNTmkNMmx
qHPqVN
HqPqVT
yyxxxyqyHxPxqxVM
xxx
xxxx
xxx
xxxx
xxx
xxxAxAx
xxxx
xAxAx
xx
xxAAx
−=−==
====⇒=−=−==
====⇒=−=−==⇒=
+−−=++−−−=
−−=+−−−=+−−−=
+−+−−−−−=+−+−−−−−=
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
70 3 ≤≤ x
).9615,0.(6.20)9615,0.(5,25)2747,0.(7857,61cos.6.cos.sin.,sin).5,256.20(cos).7857,61(sin).6.(cos.
,)3.(6.20)6.(5,25).7857,61()3.(6.)6.(.
33
33
33333333
−+−=−+−=−+−=−+−=
+−++=+−++=
ααααααα
qHVNHqVT
yyxyqyHxVM
BBx
BBx
xxxxBBx
.5065,165,165,99,.297 111 kNNkNTmkNM xxx −==−=
175
Sistemin sağ parçasının tüm kesitleri için α açısı sabittir. Sağ tarafın ölçülerini (Şekil 7.6.2) kullanarak
9615,056022,1414cos,2747,0
4144sin
22===
+= αα olduğu belirlenir.
Bu bölgede
kNNkNT
x
x
834,107))9615,0.(5,94)2747,0).(7857,61(,4478,33)2747,0.(5,94)9615,0.(7857,61
3
3
−=−−=−=+−=
olup sabittirler.
..5,36)23.(6.20)26.(5,257).7857,61(
,29615,02747,0.7.77
..2073.6.206).5,25(,00
3
33
333
mkNM
mtgymx
mkNMyx
x
x
xx
=+−++=
===⇒=
−=−==⇒=
α
147 4 ≤≤ x
.0,414.846,96)9615,0.(6.20)9615,0.(5,25)2747,0).(407857,61(
cos.6.cos.sin.sin.
,012,52747,0).5,256.20(9615,0).407857,61(sin).6.(cos).(
),7.(40)3.(6.20)6).(5,25().7857,61()7.()3.(6.)6.(.
444
334
334
4444
4343444
==⇒=−=−++−
=−++−=
=−++−=−++−=
−−+−++=−−+−++=
xx
BBx
BBx
xx
xxBBx
MmymxkN
qHPVN
kNHqPVT
xyyxxPyqyHxVM
αααα
αα
Sistemin kolon kısımlarında iç kuvvetlerin belirlenmesi: AK kolonu için 60 5 ≤≤ x
.5,94,.2976.5,49,.813.5,4,00
.2143,168
,.155,4.,2
.15.5,42
..
555
555555
5515
25
5
25
155
kNTmkNMmxkNTmkNMmxkNTMx
kNVN
xxqHTx
xx
qxHM
xx
xxxx
A
AxAx
−=−=⇒=−=−=⇒=−==⇒=
−=−=
−−=−−=−−=−−=
BE kolonu için 60 6 ≤≤ x
.7857,61
,5,25.,2
.20.5,252
.. 636
26
6
26
366
kNVN
kNxqHTx
xx
qxHM
B
BxBx
−=−=
−=+−=−=−=
176
.5,941205,25,.2076.5,34,.5,133,5,25,00
6666
66666
kNTmkNMmxkNTmkNMmxkNTMx
xxx
xxx
−=−=−=⇒=−=−=⇒=−==⇒=
Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitin yeri ve maksimum moment değeri:
..25625,16,275,10.205,25 6666 mkNMmxxT xx ==⇒=−= Hesaplanmış değerlere göre üç mafsallı sistemin M, T ve N diyagramları Şekil 7.6.3b,c ve d’ de çizilmiştir.
o
o o
7m
14 m 14 m
7m 7m 7m
q2 = 20 kN/m P2 = 20 kN P3 = 40 kNP1 = 30 kN
q 1 =
15k
N/m
q 3=
20 k
N/m
f
6m
4m
o o
o 297
297
81
3,87 107
29,8207
207
16,2
36,5
3,5 m
M (kN.m)
a)
b)
177
Şekil 7.6.3. a) Verilmiş olan sistem, b) M diyagramı, c) T diyagramı, d) N diyagramı.
o o
o
94,599,16
53,047 1,167
27,67515,13 1,785
4,5 25,5
33,44
5,012
5,012
33,44 94,5
T (kN)
c)
o o
o
N(kN)
168,21
168,21
165,5
125,54 98,690,37
93,29 94,5
61,78
61,78
107,83
107,83
96,84d)
178
8. ÜÇ MAFSALLI SİSTEMLERDE TESİR ÇİZGİLERİ
Genel Bilgiler
Tesir çizgileri hakkında önceki bölümlerde verilen bilgiler üç mafsallı sistemler için de geçerlidir. 7. Bölüm’deki örneklerde incelenmiş olan sistemlerin mesnet tepkilerinin ve seçilmiş olan bir kesitlerindeki kesit tesirlerinin tesir çizgilerinin (T.Ç.) çizimi, analitik yöntemle bu büyüklüklerin hesaplanmasında kullanılan ifadeler yardımıyla yapılmıştır. Tesir çizgileri yardımıyla, verilmiş olan yükleme durumu için tesir çizgileri çizilmiş olan büyüklüklerin hesaplanması 2. Bölüm’de de verilmiş olan
∑ ∑ ∑++= iiiiii tgMAqyPS α... (8.1) ifadesi ile yapılır.
Sistemin mesnet tepkilerinin düşey bileşenlerinin tesir çizgileri, uygun kirişin mesnet tepkilerinin tesir çizgileriyle aynıdır. Bundan dolayı, çözülecek örneklerde onların tesir çizgilerinin çizimi verilmemiştir. Örnek 8.1. Boyutları ve yükleme durumu Örnek 7.1’de (Şekil 8.1.1a) verilmiş olan üç mafsallı kemer için a) İtki kuvvetinin tesir çizgisini çiziniz, b) K kesitinin (Şekil 8.1.1a) kesit tesirlerinin (MK, TK ve NK) ve itki kuvveti H’ın tesir çizgilerini çiziniz, c) Çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla H, MK, TK ve NK’nın değerlerini hesaplayınız ve sonuçları analitik yöntemle belirlenmiş değerlerle karşılaştırınız.
Şekil 8.1.1. a) Verilmiş olan sistem, b) Uygun kiriş.
o
o A o B
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
f = 4 m
9 m9 m
L=18 m
C
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
4,5 m 4,5 m 9 m
o A o BC
K
K
Ka
a)
b)
179
Çözüm:
a) İtki kuvvetinin tesir çizgisi f
MH C
0
= ifadesine dayanarak çizilir. Yani H ’ın T. Ç.’si 0CM ’ın
T.Ç.’nin (Şekil 8.1.2c) (uygun kirişin C kesitinde eğilme momentinin T. Ç.’si olup, çizimi 3. Bölümde açıklanmıştır) tüm ordinatlarının f ‘ye bölünmesiyle elde edilir (Şekil 8.1.2d). b) Kesit tesirlerinin tesir çizgilerinin çizimi: ● MK’nın tesir çizgisi KKK yHMM .0 −= bağıntısından yararlanarak çizilir. Bunun için önce
0KM ’ın T.Ç.’si ( 0
CM ‘ın T. Ç.’nin çizimine benzer şekilde) çizilir (Şekil 8.1.2e). Sonra H ’ın tesir çizgisinin ordinatları Ky ile çarpılmış şekilde çizilir (Şekil 8.1.2f). Çizilmiş tesir çizgileri birbirinden grafik olarak çıkarılarak MK ’nın tesir çizgisi elde edilir (Şekil 8.1.2g). ● TK’nın tesir çizgisi KKkK HTT ϕϕ sin.cos.0 −= formülüne dayanarak çizilir. Bunun için önce 0
KT ‘ın tesir çizgisi (çizimi 3. Bölümde açıklanmıştır) ordinatları cosφK ile çarpılmış şekilde çizilir (Şekil 8.1.2h). Sonra H ’ın tesir çizgisi ordinatları sinφK ile çarpılmış şekilde çizilir (Şekil 8.1.2ı). Çizilmiş bu grafikler birbirinden çıkarılarak KT ’nın tesir çizgisi elde edilmiş olur (Şekil 8.1.2i). ● NK’nın tesir çizgisi )cos.sin.( 0
KKKK HTN ϕϕ +−= ifadesi yardımıyla çizilir. Bunun için ordinatları sinφK ile çarpılmış 0
KT ’ın tesir çizgisi (Şekil 8.1.2j), ordinatları cosφK ile çarpılmış H ’ın tesir çizgisi (Şekil 8.1.2k) ile grafik olarak toplanır (Şekil 8.1.2l). Kesit tesirlerinin tesir çizgilerinden görüldüğü gibi bu tesir çizgileri üç doğrudan oluşmaktadır. Tesir çizgilerinin kenar parçaları sıfır (yatay) doğrusuyla mesnetler hizasında kesişerek sıfır noktaları oluşturur. Tesir çizgilerinin orta parçasının kendisi veya doğrultusu yatay doğruyla kesişerek üçüncü sıfır noktasını oluşturur. Böylece kesit tesirlerinin tesir çizgilerinde üç noktada ordinatların sıfır olduğu görülmektedir. Yani hareketli P = 1 birim yükü bu noktalarla aynı bir düşey doğru üzerinde olduğunda tesir çizgisi çizilmiş büyüklüğün değeri sıfır olur. Bu açıklamaya dayanarak, üçüncü sıfır noktasının (ikisi mesnetlerin altında) yeri belirlendiğinde, tesir çizgileri kolay bir şekilde çizilebilir. Üç mafsallı sistemlerde tesir çizgilerinin bu yolla çizimi “sıfır noktaları yöntemiyle çizim” olarak adlandırılır. Örnek olarak bu örnekte ele alınan üç mafsallı kemerin K kesitinde iç kuvvetlerin (MK, TK ve NK) analitik yöntemle çizilmiş tesir çizgilerini sıfır noktaları yöntemiyle yeniden çizelim. ● MK’nın tesir çizgisinin çizimi: Hareketli P = 1 birim yükünün C mafsalı ile K kesiti arasında olduğu kabul edilsin (Şekil 8.1.3a). Bu durumda B mesnet tepkisinin (RB: yatay ve düşey bileşenlerinin bileşkesi) doğrultusu C’den geçer (mafsalda momentin sıfır olma şartının sağlanması için). K kesitinde eğilme momentinin sıfır olması istendiğinden A mesnet tepkisinin (RA) doğrultusunu K kesitinden geçirilir (Şekil 8.1.3a). Bu doğrultular bir OM noktasında kesişirler. Hareketli birim yük bu kesişme noktasıyla aynı bir düşey doğru üzerinde olduğunda MK = 0 olacağı açıktır (bir doğru üzerinde olmayan üç kuvvet etkisi altında olan cismin dengede olma şartından). OM noktasının sol mesnetten (kesit sol parça üzerinde verildiği için) olan mesafesi aşağıdaki ifadeyle belirlenir (Şekil 8.1.3a’da MK = 0 şartından).
180
Şekil 8.1.2
KK
KM afly
Lfau+
=2
Kϕ o
o A o B
f = 4 m
9 m9 m
C
o A o BC
K
K
y K=3
m
P=1
Ka = 4,5 m
9
0CM ’ın T. Ç
4,5
1,125
TK ‘ın T. Ç
4,5 0KM ’ın T. Ç
3,375
yK . H ‘ın T. Ç 1,6875
3,375 2,25
MK ‘ın T. Ç 1,125
1,6875
4,5
cosφK. 0KT ’ın T. Ç
0,9138
0,45690,6853
0,22850,45690,2285
sinφK. H ‘ın T. Ç 0,4569
0,4569
0,91
38
0,40
61
0,4061 1,028
H ‘ın T. Ç
cosφK. H ‘ın T. Ç
sinφK. 0KT ’ın T. Ç
0,20305 0,3046
0,1015
0,514
0,4061 0,4124
1,2310,8185
NK ‘ın T. Ç
H H
VB VA
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
ı)
i)
j)
k)
l)
0,91
38
181
Burada: uM : OM sıfır noktasının, kesitin sistemin hangi parçası üzerinde olduğuna bağlı olarak sol veya sağ mesnetten olan mesafesi (Şekil 8.1.3a),
Ka : K kesitinin mesnetten (sol veya sağ) olan uzaklığı, f : üç mafsallı sistemin yüksekliği,
Ky : K kesitinin ordinatı, ve l2 : sistem açıklığının K kesitinin olmadığı parçasının uzunluğudur (çoğunlukla 2/2 Ll = ’dir). Şimdi MK’nın tesir çizgisi için üçüncü sıfır noktasının yerini belirleyelim (kesit koordinatları Tablo 7.1’den).
.2,7)5,4.(49.3
18.4).5,4( muM =+
=
Sıfır noktasının yeri belirlendikten sonra eğilme momentinin tesir çizgisi pratik olarak aşağıdaki gibi çizilir: Mesnetten kesite kadar olan mesafe ( Ka ) artı işaretle mesnetin altında işaretlenip, MK’nın sıfıra eşit olduğu noktadan (OM’nin izdüşümünden) geçilerek C mafsalından indirilmiş düşey doğruyla kesişene dek bir doğru çizilir (kesit sol parçada verilmiş ise tesir çizgisinin sağ doğrusu). Kesişme noktası bir doğruyla diğer mesnetin altında sıfırlanır (T. Ç.’sinin sol doğrusu). Bundan sonra kesitin (K’nın) MK = 0 noktasından geçen doğru üzerine izdüşümü alınır ve mesnetin altında ( Ka ’nın işaretlendiği mesnet) sıfırla birleştirilerek eğilme momentinin tesir çizgisi elde edilmiş olur (Şekil 8.1.3c). ● TK’nın tesir çizgisinin çizimi: P = 1 hareketli birim yükü C mafsalı ile K kesiti arasında olduğu için RB’nin doğrultusu C’den geçer (açıklaması MK’nın T. Ç.’nin çiziminde verilmiştir). K kesitinde kesme kuvvetinin sıfır olması istendiği için A mesnet tepkisinin (RA) doğrultusu K kesitinde kemer eksenine çizilmiş teğete paralel olarak çizilir. Bu doğrultuların kesişme noktası OT üçüncü sıfır noktasının yeridir. Sıfır noktasının mesnetten olan mesafesi Şekil 8.1.3a‘dan TK = 0 olma şartından elde edilmiş aşağıdaki ifadeyle belirlenir.
KT tglf
fLuϕ2+
=
İncelenen sistem için
.9)4444,0.(94
4.18 muT =+
=
değeri elde edilmektedir. Üçüncü sıfır noktasının yeri belli olduktan sonra kesme kuvvetin tesir çizgisi şöyle çizilir: Sol mesnetin altında artı işaretle cosφK (kesit sağ parçada verilmişse aksi işaretle sağ mesnetin altında) işaretlenip, kesme kuvvetinin sıfır olduğu noktadan (OT’nin izdüşümünden) geçirilerek C’den indirilmiş düşey doğruyla kesişene dek bir doğru çizilir. Kesişme noktası bir doğruyla sağ mesnetin (kesit sağ parçada alındığında sol mesnetin) altında sıfırlanır. Sonra K kesitinin birinci çizilmiş doğrunun üzerine iz düşümü alınır. Bu iz düşümden cosφK ‘ya eşit bir ordinat indirilip sol mesnetin (kesit sağda verildiğinde bu ordinat yukarıya doğru çizilip sağ mesnetin) altında sıfırlanarak TK ‘nın tesir çizgisi elde edilmiş olur (Şekil 8.1.3d). ● NK’nın tesir çizgisinin çizimi: RB’nin doğrultusu yukarıda verilen açıklamalara dayanarak C mafsalından geçer, RA’ nınki ise çizilmiş teğete dik şekilde olur (kesitte NK = 0 olması için). Bu doğrultuların kesişme noktası aranan sıfır noktasıdır. Bu noktanın yeri (Şekil 8.1.3a’dan NK = 0 olma şartından) aşağıdaki formülle belirlenir.
182
Şekil 8.1.3. a) Verilmiş sistem, b)Uygun kiriş, c) MK’nın T. Ç., d) TK’nın T. Ç., e) NK’nın T. Ç.
.4306,4)4444,0.(49)4444,0.(18.4
2
mtgfl
tgLfuK
KN =
−=
−=
ϕϕ
Üçüncü sıfır noktasının yeri belirlendikten sonra sol mesnetin (kesit sağ parçaya ait olduğunda sağ mesnetin) altında aksi işaretle sinφK ordinatı işaretlenip sıfır noktasının (ON’nin) izdüşümü ile birleştirilir ve C’den indirilmiş düşey doğruyla kesişene dek bu doğru devam ettirilir. Kesişme noktası sağ mesnetin (kesit sağ parçaya ait olduğunda sol mesnetin) altında sıfırlanır. Sonra K’nın izdüşümü birinci çizilmiş doğrunun üzerine alınır ve izdüşümünden sinφK’ya eşit bir ordinat yukarıya doğru çizilerek sol mesnetin (kesit sağ parçaya ait olduğunda sağ mesnetin) altında sıfırlanarak NK’nın tesir çizgisi elde edilmiş olur (Şekil 8.1.3e).
o
o A o B
f = 4 m
9 m9 m
C
o A o B C
K
K
y K=3
m
P=1
aK= 4,5 m
a)
b)
P1=20 kN P2=30 kNq =10 kN/m
·OMφK
φK
RBRA
OT
RA
ON
TK ‘ın T. Ç
MK ‘ın T. Ç
NK ‘ın T. Ç
c)
d)
e)
4,5 m 4,5 m 9 m
4,5 1,6875
1,125 0,9138
0,4569
0,4569
0,4061
0,4124
0,8185 1,231
7,2 m
9 m4,4306 m
183
c) Kesit tesirlerinin, çizilmiş tesir çizgileri yardımıyla hesabında gereken ordinatlar üçgenlerin benzerliğinden belirlenmiştir.
..66,502
)125,1.(9.10)125,1.(30)6857,1.(202
)125,1.(9.)125,1.()6857,1.( 21
mkN
qPPM K
−=
=−−=−−=
.575,100)2
)231,1.(9.10)231,1.(30)4125,0.(20(
,696,1082
)231,1.(9.10
)231,1.(30)81856,0.(20(2
)231,1.(9.)231,1.()81856,0.((
.138,9)4569,0.(.138,9)4569,0.(20)4569,0.(
21
1
1
kNN
kN
qPPN
kNPTkNPT
SağK
SolK
SağK
SolK
−=++−=
−=+
++−=++−=
−=−=
===
Kesit tesirlerinin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerinin
karşılaştırma tablosu.
Örnek 8.2. Boyutları ve yükleme durumu Örnek 7.2’de verilmiş olan daire eksenli gergili kemer (Şekil 8.2.1) için a) Verilmiş K kesitinde iç kuvvetlerin (MK, TK ve NK) tesir çizgilerini sıfır noktaları yöntemiyle çiziniz, b) Bu büyüklüklerin değerlerini T. Ç.’leri yardımıyla hesaplayınız, c) Bu büyüklüklerin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerini karşılaştırınız. Çözüm: Örnek 8.1’de verilmiş olan açıklamalara dayanarak, iç kuvvetlerin T. Ç.’lerinin çizimi için önemli olan üçüncü sıfır noktasının yerinin belirlenmesi Şekil 8.2.2a’da gösterilmiştir. RA ve RB bileşkelerinin uygulama yeri, yukarıdaki örnekden farklı olarak, düşey ve yatay bileşenlerinin doğrultularının kesişme noktasıdır (Şekil 8.2.2a). Sıfır noktalarının mesnetten olan mesafesi, hareketli P =1 birim yükünün bu noktalarla aynı bir düşey doğru üzerinde olma halinde uygun iç kuvvetin sıfıra eşit olma şartından ve Şekil 8.2.2a’dan, Örnek 8.1’e benzer şekilde belirlenmiştir.
Kesit tesirleri Analitik yöntemle
T. Ç.’leri yardımıyla Fark
KM (kN.m) -50,625 -50,66 0,035 Sol
KT (kN) 9,138 9,138 0 Sağ
KT (kN) -9,138 -9,138 0 SolKN (kN) -108,704 -108,696 0,008 SağKN (kN) -100,581 -100,575 0,006
184
Şekil 8.2.1
Şekil 8.2.2. a) Üç mafsallı gergili kemer, b) MK’nın T. Ç.’si, c) TK’nın T. Ç.’si, d) NK’nın T. Ç.’si.
İç kuvvetlerin sıfır olduğu noktaların mesnetten olan mesafesi belirlenirken, K kesiti gergiden yukarıda olduğu için yK , f büyüklüklerinin yerine (yK – y1) ve (f - y1) alınır.
o
15 m
o o
15 m
q1=20 kN/m q2=15 kN/m
o o
f=6
m
L=30 m
3 m 3 m
6 m
y K
y 1=2
,39
m
y K =
4,05
m
o
o o
o o f=
6 m
6 m
K
K
· ·
φK
φK
6 3,4206
0,4488
B A
C· ·
uN =3,6852 m
uT =10,3848 m
uM =13,956 m
·RA
RB
φK
RB
OMOT
ON
0,9103
0,4138
0,38436
0,525940,40455
0,6737
1,0875
2,098
MK ‘nın T. Ç.
TK ‘nın T. Ç.
NK ‘nın T. Ç.
P =1
a)
b)
c)
d)
185
.6852,3)454575,0).(39,26(15
)454575,0).(39,26.(30
,38487,10)454575,0.(15)39,26(
)39,26.(30
,956,13)39,26(15).39,205,4(
30).39,26.(6
mu
mu
mu
N
T
M
=−−−
=
=+−−
=
=−+−
−=
b) Tesir çizgileri yardımıyla iç kuvvetlerin belirlenmesi Örnek 8.1’de olduğu gibi yapılır. Gereken ordinatlar tesir çizgilerinde üçgenlerin benzerliğinden hesaplanmıştır.
.95,559)2
6).674,0(.159.2
086,1098,2.152
)098,2.(15.20(
)2
6).674,0(.9.2
086,1098,2.2
)098,2.(15.(
.709,852
)52594,0.(6.152
)3848,4).(38436,0(.152
)6152,4).(40455,0(.152
15).40455,0(.20
2)52594,0.(6.
2)3848,4).(38436,0(.
2)6152,4).(40455,0(.
215).40455,0(.
..18,2872
)956,13).(42046,3(.152
)044,1).(44884,0(.152
)44884,0.(15.20
2)956,13).(42046,3(.
2044,1).()44884,0(.
2)44884,0.(15.
221
2221
221
kN
qqqN
kN
qqqqT
mkN
qqqM
K
K
K
−=++
+−
=++
+−=
=
=+−+
=+−+=
=+−−
=+−−=
c) İç kuvvetlerin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerinin karşılaştırma tablosu aşağıdadır.
İç kuvvetler
Analitik yöntemle
T. Ç.’leri yardımıyla
Fark
MK (kN.m) 287,2 287,18 0,02 TK (kN) 85,71 85,709 0,001NK (kN) -560,06 -559,95 0,11
Örnek 8.3. Boyutları ve yükleme durumu Örnek 7.3’de verilmiş olan, ekseni 20 den parabol şeklinde olan üç mafsallı sistem (Şekil 8.3.1) için
a) Sol mesnetten 7 m mesafede verilmiş (Şekil 8.3.1) K kesitinde iç kuvvetlerin (MK , TK ve NK) T. Ç.’lerinin çizilmesi, b) T. Ç.’leri yardımıyla, sabit yüklerden oluşan iç kuvvetlerin belirlenmesi,
186
c) İç kuvvetlerin analitik yöntemle ve T. Ç.’leri yardımıyla hesaplanmış değerlerinin karşılaştırılması istenmektedir.
Şekil 8.3.1
Çözüm: a) İç kuvvetlerin T. Ç.’lerinin çizimi sıfır noktaları yardımıyla bundan önceki örneklere benzer şekilde yapılmıştır (Şekil 8.3.2c,d ve e). MK , TK ve NK değerlerinin sıfır olduğu noktaların mesnetten olan mesafeleri uM , uT ve uN için yukarıdaki örneklerde verilen formüller ile belirlenir. Önceki örneklerden farklı olarak formüllerde yK ve f yerine, Şekil 8.3.1’den görüldüğü gibi sırasıyla (yK + 6) ve (f + 6) kullanılması gerektiğine dikkat edilmelidir.
.25803,16)42857,0).(66(14
)42857,0.(28).66(
,6666,18)42857,0.(14)66(
28).66(
,181,107).66(14).65,4(
28).66.(7..
2
2
2
mtgfl
tgLfu
mtglfLfu
mafly
Lfau
K
KK
KT
Kk
KM
=+−
+=
−=
=+++
=+
=
=+++
+=
+=
ϕϕ
ϕ
c) İç kuvvetlerin tesir çizgileri yardımıyla belirlenebilmesi için gereken ordinatlar hesaplanıp Şekil 8.3.2’de gösterilmiştir.
o
P1= 20 kN P2= 15 kNq = 12 kN/m
7 m 7 m 7 m
L=28 m
f= 6
m
h= 6
m
o
y K=
4,5
m
o
φK
7 m
K
A B
C
187
Şekil 8.3.2. a) Verilmiş üç mafsallı sistem, b) Sabit yükleme durumu,
c) MK’nın T. Ç.’si, d) TK’nın T. Ç.’si, e) NK’nın T. Ç.’si.
o
L=28 m
f= 6
m
h= 6
m
o y K
= 4,
5 m
o φK
K
A B
C
P1= 20 kN P2= 15 kNq = 12 kN/m
7 m 7 m 7 m 7 m
uM =10,181 m
φK
7
2,1871
2,6257 1,3128
uT =18,6667 m
0,91
91
0,5744
0,3447
0,22977 0,11488
P =1·
·
·
ON OM
OT
uN =16,258 m
0,39
39
0,1696
0,56350,733
0,3665
a)
RB RA RA
RA
b)
c)
d)
e)
MK ‘nın T. Ç.
TK ‘nın T. Ç.
NK ‘nın T. Ç.
188
.5215,109)4975,5179,46453,54)1696,0.(20(
.4,117)3665,0.(157.2
3665,0733,0.127.2
733,05635,0.12)5635,0.(20(
)3665,0.(7.2
3665,0733,0.7.2
733,05635,0.)5635,0.((
.08,437232,14753,147751,33)3447,0.(20.462,61
)11488,0.(157.2
11488,022977,0.127.2
22977,05744,0.12)5744,0.(20
)11488,0.(7.2
11488,022977,0.7.2
22977,05744,0.)5744,0.(
..789,159)3128,1.(15
7.2
3128,16257,2.122
)819,3.(6257,2.122
)181,3.(1871,2.12)1871,2.(20
)3128,1.(7.2
3128,16257,2.2
)819,3.(6257,2.2
)181,3.(1871,2.)1871,2.(
21
21
21
kNN
kN
PqqPN
kNTkN
PqqPT
mkN
PqqqPM
SağK
Solk
SağK
SolK
K
−=+++−=
−=++
++
+−
=++
++
+−=
=+++−=
=++
++
+
=++
++
+=
−=−
−+
−−+=
−+
−−+=
İç
kuvvetlerin analitik yöntemle ve T. Ç.’leri yardımıyla belirlenmiş değerlerinin karşılaştırma tablosu
İç kuvvetler
Analitik yöntemle
T. Ç. ‘leri yardımıyla
Fark
MK (kN.m) -159,688 -159,789 0,1 Sol
KT (kN) 61,467 61,462 0,005Sağ
KT (kN) 43,08 43,08 0 SolKN (kN) -117,415 -117,4 0,015SağKN (kN) -109,53 -109,5215 0,008
Örnek 8.4. Boyutları ve yüklemesi Örnek 7.4’de (Şekil 8.4.1) verilen, eksen eğrisi dairesel olup, kolonlar üzerine oturan üç mafsallı kemer için a) Kemerin sağ parçasında verilmiş K kesitinde (Şekil 8.4.1) iç kuvvetlerin tesir çizgilerini çiziniz, b) T. Ç.’leri yardımı ile iç kuvvetlerin değerlerini hesaplayınız, c) Verilmiş yükleme durumu için iç kuvvetlerin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımı ile belirlenmiş değerlerini karşılaştırınız. Çözüm: a) K kesiti kemere ait olduğu için, kesit tesirlerinin tesir çizgilerinin çizimi için gereken işlemler sistemin kemer kısmında (Şekil 8.4.2b) yapılır (Şekil 8.4.2a). Böylece, kesit tesirlerinin çizilmiş tesir çizgileri Şekil 8.4.2c,d ve e’de gösterilmiştir.
189
Şekil 8.4.1
b) Tesir çizgileri yardımıyla verilmiş olan yükleme durumundan (Şekil 8.4.2b) kesit tesirlerinin değerlerini hesaplamak için üçüncü sıfır noktalarının yeri Şekil 8.4.2a’dan ve bu noktalarda iç kuvvetlerin sıfır olma şartından elde edilmiş olan formüllerle belirlenir.
.93231,8)436443,0.(816
)436443,0.(32.8
,0859,17)436443,0.(168
32.8
,3907,128.816).3303,6(
32.8.8
2
2
2
mtgfl
tgLfu
mtglfLfu
mafly
Lfau
k
KN
KT
KK
KM
=−
=−
=
=+
=+
=
=+
=+
=
ϕϕ
ϕ
Bundan sonra tesir çizgileri yardımı ile verilmiş yükleme durumu için iç kuvvetlerin (MK, TK ve NK) değerleri hesaplanır.
.5525,190)2
)35825,0.(8.20)1165,1.(252
)1165,1.(16.15(
,872,25)4291,0.(4.20
)05825,0.(25)05825,0.(8.152
)4291,0.(8.)05825,0.(2
)05825,0.(16.
,.1095,111)8348,2.(4.20
)3303,2.(25)3303,2.(8.152
)8348,2.(8.)3303,2.(2
)3303,2.(16.
21
21
kNN
kN
qPqT
mkN
qPqM
K
K
K
−=++−=
=+
−−=+−−=
−=+
−−=+−−=
o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
L=32 m
f= 8
m
h= 8
m
o o
q2 = 20 kN/m
y K=
6,33
03m
o
KφK
190
Şekil 8.4.2. a) Üç mafsallı kemer, b) Sabit yükleme durumu, c) MK’nın T. Ç.’si, d) TK’nın T. Ç.’si, e) NK’nın T. Ç.’si.
o o y K=
6,33
03m
K
φK
o
P = 25 kNq1 = 15 kN/m
16 m 8 m 8 m
q2 = 20 kN/m
m1 m2
C
P = 1
aK = 8 m
φK
·
·
OM
OT
ON
8
0,9165
0,4
uM =12,466 m
uT =17,0859 m
uN =8,9323 m
2,8348
2,3303
0,05825
0,48737
0,4291
0,35825
0,758251,1165
R m1
R m2 R m2
f= 8
m
MK’nın T. Ç.
NK’nın T. Ç.
a)
b)
c)
d)
e)
TK’nın T. Ç.
191
c) İç kuvvetlerin analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerlerinin karşılaştırma tablosu aşağıdadır.
İç kuvvetler
Analitik yöntemle
T. Ç. yardımıyla
Fark
MK (kN.m) -111,105 -111,109 0,004TK (kN) 25,883 25,872 0,011NK (kN) -190,5525 -190,5525 0
Örnek 8.5. Boyutları ve yükleme durumu Örnek 7.5’de (Şekil 8.5.1) verilmiş olan üç mafsallı sistemin K kesiti (Şekil 8.5.1) için a) İç kuvvetlerin tesir çizgilerini çiziniz, b) Tesir çizgileri yardımı ile verilmiş yükleme durumundan bu iç kuvvetlerin değerlerini hesaplayınız, c) İç kuvvetlerin verilmiş yükleme durumundan analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla hesaplanmış değerlerini karşılaştırınız.
Şekil 8.5.1 Çözüm: a) K kesiti sistemin yatay doğru eksenli parçasında verildiğinden, kesitte TK ve NK’nın tesir çizgilerinin ifadeleri analitik yöntemden bilinen bağıntılarla elde edilir.
.)0cos.0sin.()cos.sin.(
,0sin.0cos.sin.cos.0000
00000
HHTHTN
THTHTT
KKKKK
KKKKKK
−=+−=+−=
=−=−=
ϕϕ
ϕϕ
K kesitinde eğilme momentinin tesir çizgisi bundan önceki örneklerde olduğu gibi sıfır noktaları yöntemiyle çizilir. Bağıntılardan alınan sonuçlara ve MK’nın T.Ç.’sinin çizimi için olan açıklamaya dayanarak iç kuvvetlerin T. Ç.’leri Şekil 8.5.2c,d ve f’de çizilmiştir. Sıfır noktasının mesnetten olan mesafesi (uM) bilinen formülle belirlenir.
o
o o
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kNq1= 8 kN/m q2= 10 kN/m
12 m 12 m
L = 24 m
f = 6
m aK = 9 m
A B
CK
192
.2857,106.912.6
24.6.9
2
mfaly
LfauKK
KM =
+=
+=
Şekil 8.5.2. a) Üç mafsallı sistem, b) Yükleme durumu, c) MK’nın T. Ç.’si, d) TK’nın T. Ç.’si, e) MC
0 ‘ın T. Ç.’si, f) NK’nın T. Ç.’si.
o
o o
6 m 6 m 6 m 6 m
P1= 20 kN P2= 14 kN q1= 8 kN/m q2= 10 kN/m
12 m 12 m
L = 24 m
f = 6
m aK = 9 m
A B
CK
P = 1
9
1
1 12
2
6
1
uM= 10,2857 m
0,25
0,5
0,5
MK ‘nın T. Ç.
TK ‘nın T. Ç.
NK ‘nın T. Ç.
MC0 ‘ın T. Ç.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1,5 0,75
1,125 0,75
0,625
0,375
0,25
0,5
193
b) İç kuvvetlerin, verilmiş yükleme durumu için tesir çizgileri yardımı ile hesaplanması:
.89)5,0.(146.10)5,0.(20)5,1.(8
)5,0.(2
1.12.)5,0.(2
)5,0.(6.
,5,22)25,0.(142
)5,0.(12.10)25,0.(202
)25,0.(6.8
)25,0.(2
)5,0.(12.)25,0.(2
)25,0.(6.
,.5,67)75,0.(142
12).5,1(.10)75,0.(202
6).75,0(.8
)75,0.(2
12).5,1(.)75,0.(2
6).75,0(.
2211
2211
2211
kN
PqPqN
kN
PqPqT
mkN
PqPqM
K
K
K
−=−−−−
=−−−−=
=++−−
=++−−=
−=−−+
=−−+=
c) Analitik yöntemle ve tesir çizgileri yardımıyla belirlenmiş değerler aşağıdaki tabloda karşılaştırılmıştır.
İç kuvvetler
Analitik yöntemle
T. Ç. yardımıyla
Fark
MK (kN.m) -67,5 -67,5 0 TK (kN) 22,5 22,5 0 NK (kN) -89 -89 0
194
KAYNAKLAR
1. Çakıroğlu , A. , Çetmeli, E . Yapı Statiği – Cilt I , Beta , İstanbul , 1988 – 301 syf. 2. Darkov ,A. V. , Şapoşnikov , N. N. Stroitelnaya Mexanika , Moskova , Vısşaya şkola ,
1986 , - 607 syf. 3. Ekiz , İ. Yapı Statiği I – İzostatik sistemler , İstanbul , 1995 – 525 syf. 4. Fuat Erbatur Structural Analysis , Part I and Part II , Ankara , 1994 – 116 syf. 5. Hanali , S. A. Yapı Statiği , Teknik Yayınevi , Ankara , 2003 – 344 syf. 6. Hanali , S. A. , Memmedov , Z. A. İnşaat Mexanikası , Bakü , 1988 – 77 syf. 7. Harry H. West , Louis F. Geschwindner Wiley Fundamentals of Structural Analysis ,
2002 – 600 syf. 8. İsayev , E. M. , Memmedsadıgov , H. H. İnşaat Mexanikası , Çaşıoğlu , Bakü , 2003 –
362 syf. 9. Kleyn , G. K. , Rekaç , B. G. , Rozenblat , G. İ. Rukovodstvo k praktiçeskim
zanyatiyam po kursu Stroitelnoy Mexanike , M. Vısşaya şkola ,1972 – 320 syf. 10. Kasımzade , A. A. Yapı Statiği , Birsen Yayınevi , İstanbul , 2004 – 351 syf. 11. Müfit Yorulmaz , Kaya Özgen. Yapı Statiği , İstanbul , 1992 – 156 syf. 12. Mustafa İnan. Cisimlerin Mukavemeti , İ. T. Ü. Yayınları , Yayın No: 25 , İstanbul
1988 – 560 syf. 13. Memmedov , Z. A. , Hanali , S. A. , Eliyeva , G. M. Uygulamalı Mukavemet , Bakü ,
1994 – 48 syf. 14. Sinitko , N. K. Stroitelnaya Mexanika , M. Vısşaya şkola , 1980 – 431 syf. 15. Wang , C. K. Intermediate Structural Analysis , McGraw – Hill Book Company , 1983
– 790 syf.