y +1/1/60+ · Вопрос 25 | Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич...

y +1/1/60+ yТеория вероятностей и математическая статистика Экзамен, 15.06.2015

Можно пользоваться простым калькулятором. В каждом вопросе единственный верный ответ.Ни пуха, ни пера!

Вопрос 1 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируется ги-потеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматриваетсякритерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятность ошибки2-го рода для этого критерия равна:

A 0.1

B 0.4

C 0.2

D 0.5

E 0.3

F Нет верного ответа.

Вопрос 2 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом максимальногоправдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотности f(x) =12a

3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию

A 3n ln a− a∏

lnxi

B 3n∏

ln a− axnC 3n ln a− an lnxi

D 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

E 3n ln a− a∑xi


Вопрос 3 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величина2Z2

1

Z22+Z

27имеет распределение

A F1,7

B F7,2

C t2

D F2,7

E F1,2


Вопрос 4 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется

A Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна

B Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

C Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

D Вероятность принять неверную гипотезу

E Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна


Вопрос 5 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.

A 20, H0 не отвергается

B 24, H0 не отвергается

C 53, H0 отвергается

D 12.75, H0 не отвергается

E 65.75, H0 отвергается


y y

y +1/2/59+ yВопрос 6 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0

A LR = 68, χ22

B LR = ln 34, χ2n−2

C LR = ln 68, χ2n−2

D LR = 34, χ2n−1

E LR = 34, χ22


Вопрос 7 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.

Евлампий Аристарх Капитолина Аграфена ЭвридикаС крошкой 10 6 7 5 4С орехами 9 8 8 7 6

Вычислите модуль значения статистики теста знаков. Используя нормальную аппроксимацию,проверьте на уровне значимости 0.05 гипотезу об отсутствии предпочтения мороженного с ореш-ками против альтернативы, что мороженное с орешками вкуснее.

A 1.29, H0 не отвергается

B 1.65, H0 отвергается

C 1.96, H0 отвергается

D 1.29, H0 отвергается

E 1.34, H0 не отвергается


Вопрос 8 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математических ожи-даний в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение

A χ2n1+n2−1

B tn1+n2

C Fn1,n2

D tn1+n2−2

E tn1+n2−1


Вопрос 9 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?

A 1n

∑ni=1Xi

B 12n

∑2ni=1Xi

C X1+X2

2

D 1n

∑2ni=n+1Xi

E X1


Вопрос 10 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке

размером n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим

размером n2. Тогда статистика σ̂21/n1

σ̂22/n2

имеет распределение

A χ2n1+n2

B N(0; 1)

C Fn1,n2

D Fn1−1,n2−1

E tn1+n2−1


Вопрос 11 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что

∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x

2i = 100. Несмещенная

оценка µ принимает значение

A 0.33

B 3.3

C 3

D 100/11

E 10


y y

y +1/3/58+ yВопрос 12 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно

A 0.75

B 2.5

C 0.25

D 0.5

E 7.5


Вопрос 13 ♣ Все условия регулярности для применения метода максимального правдоподобиявыполнены. Вторая производная лог-функции правдоподобия равна `′′(θ) = −100. Дисперсиянесмещенной эффективной оценки для параметра θ равна

A 0.01

B 10

C 1

D 100

E 0.1


Вопрос 14 ♣ Вероятность ошибки первого рода, α, и вероятность ошибки второго рода, β,всегда связаны соотношением

A α+ β ≤ 1

B α+ β ≥ 1

C α ≤ βD α ≥ β

E α+ β = 1


Вопрос 15 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение

A Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости

B Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%

C Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 5%, но не на уровне значимости 1%

D Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости

E Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 20%, но не на уровне значимости 10%


Вопрос 16 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является

A асимптотически несмещенной и состоя-тельной

B смещенной и состоятельнойC несмещенной и несостоятельной

D несмещенной и состоятельной

E смещенной и несостоятельной



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x


оценка дисперсии принимает значение

A 1/11

B 10

C 11/100

D 100/11

E 1/10


y y

y +1/4/57+ yВопрос 18 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.







Вопрос 19 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна

A 3/4

B 80

C 4

D 25

E 4/3


Вопрос 20 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если

A Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)

B E(θ̂n)→ θ

C E(θ̂n) = θ

D P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

E Var(θ̂n)→ 0


Вопрос 21 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение

A tn−1

B χ2n

C tn

D χ2n−1

E N(0, 1)


Вопрос 22 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна

A 0.04

B 0.4

C 0.016

D 0.16

E 1.6


Вопрос 23 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна

A 0.85

B 0.58

C 0.98

D 0.87

E 0.78


Вопрос 24 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:

Ak

√kX

k

B k

√(k + 1)X

k

C k

√(k + 1)Xk

D k+1

√(k + 1)X

k

Ek√kXk


y y

y +1/5/56+ yВопрос 25 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.

Время 8:00 кухарка заходит кухарка не заходитКрылов завтракает 200 40

Крылов уже позавтракал 25 100

A 139

B 179

C 79

D 100

E 39


Вопрос 26 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n

2 ln ν−∑n

i=1(xi−µ)22ν . Оценка максимального правдоподобия

для ν при предположении, что H0 верна, равна

A∑x2i−4

∑xi

n + 2

B∑x2i−4

∑xi

n + 4

C∑x2i−4

∑xi+4

n

D∑x2i−4

∑xi+2

n

E∑x2i−4

∑xi

n


Вопрос 27 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что

A они равныB µ̂MM > µ̂ML

C они не равны, и не сближаются при n →∞

D µ̂MM < µ̂ML

E они не равны, но сближаются при n→∞


Вопрос 28 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение

A tn

B N(0, 1)

C χ2n−1

D tn−1

E χ2n


Вопрос 29 ♣ Если Xi независимы, E(Xi) = µ и Var(Xi) = σ2, то математическое ожиданиевеличины Y =

∑ni=1(Xi − X̄)2 равно

A (n− 1)σ2

B σ2/n

C µ

D σ2

E σ̂2


Вопрос 30 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1

√n−3√∑n

i=4 Z2i


A N(0, 1)

B tn−1

C tn−3

D F1,n−2

E χ2n−4


y y

y +1/6/55+ yВопрос 31 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид

(10 33 8

). Дисперсия

разности элементов вектора, Var(X1 −X2), равняется

A 15

B 12

C 2

D 6

E 18


Вопрос 32 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2

4 имеет распределение

A χ23

B χ24

C χ22

D χ21

E t2


Вопрос 33 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1

A Отвергается, только если Ha : σ < 1

B Не отвергается

C Отвергается, только если Ha : σ > 1

D Отвергается, только если Ha : σ 6= 1

E Отвергается


Вопрос 34 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид

A (θ + 1)xnθ

B (θ + 1)n∏xθi

C (θ + 1)∑xi

D∑

(θ + 1)xθi

E (∑xi)

θ


y y

y +1/7/54+ yИмя, фамилия и номер группы:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Номер в списке (для автоматического распознавания):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вопрос 1 : A B C D E F


































Учитываются только ответы, перенесённые на этот листок.

y y



Вопрос 1 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по выборкаразмера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , и оценкумаксимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что

A µ̂MM > µ̂ML

B они не равны, и не сближаются при n →∞

C µ̂MM < µ̂ML

D они равны



Вопрос 2 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величины:0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответствиираспределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова для уров-ня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.

A 0.78, H0 отвергается

B 0.48, H0 не отвергается





Вопрос 3 ♣ Пусть σ̂21 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборке разме-

ром n1, σ̂22 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшим размером

n2. Тогда статистика σ̂21/n1

σ̂22/n2


A Fn1,n2

B N(0; 1)

C Fn1−1,n2−1

D tn1+n2−1

E χ2n1+n2


Вопрос 4 ♣ Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич Крылов, либо завтракает, ли-бо уже позавтракал. В это же время кухарка либо заглядывает к Крылову, либо нет.По таблице сопряженности вычислите статистику χ2 Пирсона для тестирования гипоте-зы о том, что визиты кухарки не зависят от того, позавтракал ли уже Крылов или нет.



A 139

B 179

C 79

D 100

E 39


Вопрос 5 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожиданиемµ и стандартным отклонением σ. Известно, что

∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x

2i = 100. Несмещенная оценка

µ принимает значение

A 10

B 3.3

C 100/11

D 0.33

E 3


y y

y +2/2/52+ yВопрос 6 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является

A смещенной и несостоятельнойB несмещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-

тельной


E смещенной и состоятельной


Вопрос 7 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению при неизвестном математическоможидании используется статистика, имеющая распределение

A tn−1

B χ2n

C N(0, 1)

D χ2n−1

E tn



A X1

B 12n

∑2ni=1Xi

C 1n

∑2ni=n+1Xi

D 1n

∑ni=1Xi

E X1+X2

2



A Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна

B Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

C Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

D Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна

E Вероятность принять неверную гипотезу




A σ̂2

B σ2

C σ2/n

D µ

E (n− 1)σ2



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A F1,n−2

B χ2n−4

C N(0, 1)

D tn−1

E tn−3


Вопрос 12 ♣ На основе случайной выборки, содержащей одно наблюдение X1, тестируетсягипотеза H0 : X1 ∼ U [0; 1] против альтернативной гипотезы Ha : X1 ∼ U [0.5; 1.5]. Рассматри-вается критерий: если X1 > 0.8, то гипотеза H0 отвергается в пользу гипотезы Ha. Вероятностьошибки 2-го рода для этого критерия равна:

A 0.1

B 0.2

C 0.3

D 0.4

E 0.5


y y

y +2/3/51+ yВопрос 13 ♣ Пусть X1, X2, . . . , Xn — случайная выборка размера 36 из нормального рас-пределения N(µ, 9). Для тестирования основной гипотезы H0 : µ = 0 против альтернативнойHa : µ = −2 вы используете критерий: если X̄ ≥ −1, то вы не отвергаете гипотезу H0, в против-ном случае вы отвергаете гипотезу H0 в пользу гипотезы Ha. Мощность критерия равна

A 0.58

B 0.85

C 0.78

D 0.87

E 0.98






D 24, H0 не отвергается




A Отвергается, только если Ha : σ 6= 1

B Отвергается, только если Ha : σ > 1

C Отвергается, только если Ha : σ < 1

D Не отвергается

E Отвергается



A k

√(k + 1)Xk

B k+1

√(k + 1)X

k

C k

√(k + 1)X

k

Dk

√kX

k

Ek√kXk


Вопрос 17 ♣ Ковариационная матрица вектора X = (X1, X2) имеет вид(

10 33 8



A 15

B 18

C 6

D 2

E 12



A 4/3

B 4

C 3/4

D 80

E 25


y y


A LR = ln 34, χ2n−2

B LR = 34, χ2n−1

C LR = 34, χ22

D LR = 68, χ22

E LR = ln 68, χ2n−2



A 0.01

B 100

C 0.1

D 1

E 10



1

Z22+Z


A F1,2

B t2

C F7,2

D F1,7

E F2,7



A 0.16

B 0.4

C 1.6

D 0.016

E 0.04


Вопрос 23 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно

A 2.5

B 0.75

C 0.5

D 0.25

E 7.5






D Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости



y y

y +2/5/49+ yВопрос 25 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n

2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi+2

n

B∑x2i−4

∑xi

n

C∑x2i−4

∑xi

n + 2

D∑x2i−4

∑xi

n + 4

E∑x2i−4

∑xi+4

n



A tn−1

B χ2n

C tn

D χ2n−1

E N(0, 1)



A α+ β ≥ 1

B α ≤ βC α ≥ βD α+ β = 1

E α+ β ≤ 1


Вопрос 28 ♣ Зулус Чака каСензангакона проверяет гипотезу о равенстве математическихожиданий в двух нормальных выборках небольших размеров n1 и n2. Если дисперсии неизвестны,но равны, то тестовая статистика имеет распределение

A χ2n1+n2−1

B tn1+n2−1

C tn1+n2

D Fn1,n2

E tn1+n2−2




A χ21

B χ22

C χ23

D t2

E χ24



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 1/11

B 1/10

C 100/11

D 10

E 11/100



A∑

(θ + 1)xθi

B (θ + 1)xnθ

C (∑xi)

θ

D (θ + 1)n∏xθi

E (θ + 1)∑xi


y y

y +2/6/48+ yВопрос 32 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1

2a3x2e−ax при x ≥ 0. Для этой цели ему достаточно максимизировать функцию

A 3n ln a− a∏

lnxi

B 3n ln a− an lnxi

C 3n ln a− a∑xi

D 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

E 3n∏

ln a− axn







C 1.34, H0 не отвергается





A E(θ̂n)→ θ

B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

C E(θ̂n) = θ

D Var(θ̂n)→ 0

E Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y



Вопрос 1 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. При про-верке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известной дис-персии используется статистика, имеющая распределение

A χ2n

B tn−1

C χ2n−1

D N(0, 1)

E tn



10 33 8



A 12

B 15

C 6

D 2

E 18


Вопрос 3 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 — Ас-капоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна

A 0.04

B 1.6

C 0.16

D 0.016

E 0.4




A 3n ln a− a∏

lnxi

B 3n ln a− a∑xi

C 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

D 3n∏

ln a− axnE 3n ln a− an lnxi



A Вероятность принять неверную гипотезу

B Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна


D Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

E Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна



1

Z22+Z


A F7,2

B F1,7

C F2,7

D t2

E F1,2


y y

y +3/2/45+ yВопрос 7 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какая изнижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?

A 1n

∑ni=1Xi

B X1

C 1n

∑2ni=n+1Xi

D X1+X2

2

E 12n

∑2ni=1Xi



A tn1+n2

B Fn1,n2

C χ2n1+n2−1

D tn1+n2−1

E tn1+n2−2





σ̂22/n2


A N(0; 1)

B tn1+n2−1

C Fn1,n2

D χ2n1+n2

E Fn1−1,n2−1



A 10

B 0.1

C 100

D 0.01

E 1




A χ21

B χ24

C χ23

D χ22

E t2



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 1/10

B 11/100

C 1/11

D 100/11

E 10



A tn−1

B N(0, 1)

C χ2n−1

D tn

E χ2n


y y

y +3/3/44+ yВопрос 14 ♣ Проверяя гипотезу о равенстве дисперсий в двух выборках (размером в 3 и 5наблюдений), Анаксимандр Милетский получил значение тестовой статистики 10. Если оценкадисперсии по одной из выборок равна 8, то другая оценка дисперсии может быть равна

A 3/4

B 4/3

C 80

D 4

E 25



A 0.98

B 0.87

C 0.58

D 0.78

E 0.85



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 3

B 0.33

C 100/11

D 10

E 3.3


Вопрос 17 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.








A Не отвергается


C Отвергается, только если Ha : σ 6= 1

D Отвергается

E Отвергается, только если Ha : σ < 1



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−3

B N(0, 1)

C tn−1

D χ2n−4

E F1,n−2



A Var(θ̂n)→ 0

B E(θ̂n)→ θ

C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

D E(θ̂n) = θ



y y

y +3/4/43+ yВопрос 21 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз95 раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно

A 0.25

B 0.5

C 2.5

D 0.75

E 7.5



A 0.4

B 0.5

C 0.1

D 0.2

E 0.3


Вопрос 23 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 0, σ2 = 1 с помощьюLR статистики теста отношения правдоподобия. При подстановке оценок метода максимальногоправдоподобия в лог-функцию правдоподобия он получил ` = −177, а при подстановке µ = 0 иσ = 1 оказалось, что ` = −211. Найдите значение LR статистики и укажите её закон распреде-ления при верной H0

A LR = 34, χ2n−1

B LR = 68, χ22

C LR = ln 34, χ2n−2

D LR = 34, χ22

E LR = ln 68, χ2n−2



A Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости


C Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости

D Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%




A несмещенной и несостоятельной

B смещенной и состоятельной

C несмещенной и состоятельной

D смещенной и несостоятельной

E асимптотически несмещенной и состоя-тельной



A α+ β ≤ 1

B α+ β ≥ 1

C α+ β = 1

D α ≤ βE α ≥ βF Нет верного ответа.

y y

y +3/5/42+ yВопрос 27 ♣ Пусть X1,. . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [0, θ] распределения.Оценка параметра θ методом моментов по k-му моменту имеет вид:

A k

√(k + 1)X

k

Bk

√kX

k

C k+1

√(k + 1)X

k

Dk√kXk

E k

√(k + 1)Xk



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi

n + 4

B∑x2i−4

∑xi

n + 2

C∑x2i−4

∑xi

n

D∑x2i−4

∑xi+2

n

E∑x2i−4

∑xi+4

n



A они не равны, но сближаются при n→∞B µ̂MM > µ̂ML


D они равны

E µ̂MM < µ̂ML













A σ2/n

B σ̂2

C µ

D σ2

E (n− 1)σ2



A 53, H0 отвергается


C 20, H0 не отвергается




y y




A 100

B 179

C 79

D 139

E 39



A (∑xi)

θ

B∑

(θ + 1)xθi

C (θ + 1)∑xi

D (θ + 1)n∏xθi

E (θ + 1)xnθ


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A они не равны, и не сближаются при n →∞

B они равныC µ̂MM > µ̂ML

D µ̂MM < µ̂ML







D 53, H0 отвергается




A Отвергается

B Отвергается, только если Ha : σ < 1



E Не отвергается



A χ2n

B N(0, 1)

C tn−1

D χ2n−1

E tn



A 0.16

B 0.04

C 0.016

D 0.4

E 1.6


y y

y +4/2/38+ yВопрос 6 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.










A 12n

∑2ni=1Xi

B X1+X2

2

C 1n

∑ni=1Xi

D 1n

∑2ni=n+1Xi

E X1



A tn1+n2−2

B tn1+n2−1

C χ2n1+n2−1

D tn1+n2

E Fn1,n2



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x


µ принимает значение

A 3.3

B 10

C 0.33

D 100/11

E 3



A χ2n

B χ2n−1

C tn

D tn−1

E N(0, 1)



A 80

B 3/4

C 25

D 4/3

E 4


y y

y +4/3/37+ yВопрос 12 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1


A 3n∏

ln a− axn

B 3n ln a− an lnxi

C 3n ln a− a∑xi

D 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

E 3n ln a− a∏

lnxi



A 0.75

B 0.25

C 0.5

D 2.5

E 7.5



A несмещенной и состоятельнойB несмещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-

тельной

D смещенной и состоятельной











A (θ + 1)n∏xθi

B (∑xi)

θ

C (θ + 1)xnθ

D (θ + 1)∑xi

E∑

(θ + 1)xθi



A 1

B 0.01

C 10

D 0.1

E 100


y y


A LR = ln 68, χ2n−2

B LR = 34, χ2n−1

C LR = 68, χ22

D LR = 34, χ22

E LR = ln 34, χ2n−2



1

Z22+Z


A F1,7

B F2,7

C t2

D F1,2

E F7,2



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 10

B 11/100

C 1/11

D 100/11

E 1/10





A 139

B 39

C 179

D 100

E 79




B Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости






A α+ β ≥ 1

B α+ β = 1

C α ≥ βD α ≤ β

E α+ β ≤ 1


y y

y +4/5/35+ yВопрос 24 ♣ Пусть σ̂2

1 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по первой выборкеразмером n1, σ̂2

2 — несмещенная оценка дисперсии, полученная по второй выборке, с меньшимразмером n2. Тогда статистика σ̂2

1/n1

σ̂22/n2


A Fn1−1,n2−1

B N(0; 1)

C Fn1,n2

D tn1+n2−1

E χ2n1+n2



A k+1

√(k + 1)X

k

Bk√kXk

Ck

√kX

k

D k

√(k + 1)Xk

E k

√(k + 1)X

k



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−3

B N(0, 1)

C tn−1

D χ2n−4

E F1,n−2



A 0.3

B 0.1

C 0.2

D 0.4

E 0.5



A 0.78

B 0.98

C 0.85

D 0.58

E 0.87



10 33 8



A 2

B 15

C 6

D 18

E 12



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi+2

n

B∑x2i−4

∑xi+4

n

C∑x2i−4

∑xi

n

D∑x2i−4

∑xi

n + 2

E∑x2i−4

∑xi

n + 4


y y

y +4/6/34+ yВопрос 31 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ21 + Z2


A χ22

B χ21

C χ23

D t2

E χ24




A (n− 1)σ2

B σ2

C σ̂2

D µ

E σ2/n



A Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна



D Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна





B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

C Var(θ̂n)→ 0

D E(θ̂n) = θ

E E(θ̂n)→ θ


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A 0.4

B 0.016

C 1.6

D 0.16

E 0.04



A E(θ̂n) = θ

B Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)

C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

D Var(θ̂n)→ 0

E E(θ̂n)→ θ



A 80

B 4/3

C 4

D 25

E 3/4



A 0.1

B 1

C 10

D 0.01

E 100












∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x


дисперсии принимает значение

A 10

B 1/11

C 100/11

D 1/10

E 11/100


y y

y +5/2/31+ yВопрос 7 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1


B Отвергается, только если Ha : σ 6= 1

C Не отвергается

D Отвергается

E Отвергается, только если Ha : σ > 1



1

Z22+Z


A F2,7

B F1,7

C F1,2

D t2

E F7,2


Вопрос 9 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз 95раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно

A 0.75

B 2.5

C 0.5

D 7.5

E 0.25










A k

√(k + 1)Xk

B k+1

√(k + 1)X

k

C k

√(k + 1)X

k

Dk

√kX

k

Ek√kXk



A (θ + 1)n∏xθi

B (∑xi)

θ

C∑

(θ + 1)xθi

D (θ + 1)∑xi

E (θ + 1)xnθ


Вопрос 13 ♣ Пусть X1, . . . , X2n — выборка объема 2n из некоторого распределения. Какаяиз нижеперечисленных оценок математического ожидания имеет наименьшую дисперсию?

A 1n

∑2ni=n+1Xi

B X1+X2

2

C X1

D 12n

∑2ni=1Xi

E 1n

∑ni=1Xi


y y

y +5/3/30+ yВопрос 14 ♣ У пяти случайно выбранных студентов первого потока результаты за контроль-ную по статистике оказались равны 82, 47, 20, 43 и 73. У четырёх случайно выбранных студентоввторого потока — 68, 83, 60 и 52. Вычислите статистику Вилкоксона и проверьте гипотезу H0 ободнородности результатов студентов двух потоков. Критические значения статистики Вилкоксо-на равны TL = 12 и TR = 28.


B 53, H0 отвергается



E 24, H0 не отвергается





A 39

B 79

C 100

D 139

E 179



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi+4

n

B∑x2i−4

∑xi

n

C∑x2i−4

∑xi+2

n

D∑x2i−4

∑xi

n + 4

E∑x2i−4

∑xi

n + 2



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 3

B 3.3

C 10

D 0.33

E 100/11



A χ2n1+n2−1

B tn1+n2−1

C tn1+n2−2

D Fn1,n2

E tn1+n2




B µ̂MM < µ̂ML

C они равны

D µ̂MM > µ̂ML



y y

y +5/4/29+ yВопрос 20 ♣ Имеется случайная выборка размера n из нормального распределения. Припроверке гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению при известнойдисперсии используется статистика, имеющая распределение

A χ2n

B tn

C χ2n−1

D tn−1

E N(0, 1)



A α+ β ≤ 1

B α ≤ βC α+ β ≥ 1

D α+ β = 1

E α ≥ βF Нет верного ответа.


A N(0, 1)

B χ2n

C χ2n−1

D tn−1

E tn





σ̂22/n2


A Fn1,n2

B N(0; 1)

C Fn1−1,n2−1

D tn1+n2−1

E χ2n1+n2



A 0.1

B 0.2

C 0.4

D 0.5

E 0.3










A LR = 34, χ2n−1

B LR = ln 34, χ2n−2

C LR = 68, χ22

D LR = ln 68, χ2n−2

E LR = 34, χ22

F Нет верного ответа.y y

y +5/5/28+ yВопрос 27 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1

√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−1

B F1,n−2

C N(0, 1)

D χ2n−4

E tn−3


Вопрос 28 ♣ Ацтек Монтесума Илуикамина хочет оценить параметр a методом макси-мального правдоподобия по выборке из неотрицательного распределения с функцией плотностиf(x) = 1


A 3n ln a− a∑xi

B 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

C 3n ln a− an lnxi

D 3n ln a− a∏

lnxi

E 3n∏

ln a− axn



A несмещенной и несостоятельнойB смещенной и несостоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-

тельной


E смещенной и состоятельной




A χ22

B χ24

C χ21

D χ23

E t2



10 33 8



A 6

B 18

C 2

D 12

E 15



A Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

B Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна







A σ2/n

B µ

C (n− 1)σ2

D σ2

E σ̂2


y y


A 0.78

B 0.85

C 0.87

D 0.98

E 0.58


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A несмещенной и состоятельнойB смещенной и состоятельнойC асимптотически несмещенной и состоя-

тельной

D смещенной и несостоятельной

E несмещенной и несостоятельной










A X1+X2

2

B X1

C 1n

∑ni=1Xi

D 12n

∑2ni=1Xi

E 1n

∑2ni=n+1Xi



A 3/4

B 25

C 4

D 4/3

E 80



A k+1

√(k + 1)X

k

Bk

√kX

k

Ck√kXk

D k

√(k + 1)X

k

E k

√(k + 1)Xk



A 1

B 0.01

C 0.1

D 10

E 100


y y

y +6/2/24+ yВопрос 7 ♣ Производитель мороженного попросил оценить по 10-бальной шкале два видамороженного: с кусочками шоколада и с орешками. Было опрошено 5 человек.












σ̂22/n2


A χ2n1+n2

B N(0; 1)

C Fn1−1,n2−1

D Fn1,n2

E tn1+n2−1




A 3n ln a− a∏

lnxi

B 3n ln a− a∑xi


D 3n∏

ln a− axnE 3n

∑ln ai − a

∑lnxi




A σ̂2

B µ

C (n− 1)σ2

D σ2/n

E σ2



A α+ β = 1

B α+ β ≤ 1

C α+ β ≥ 1

D α ≥ βE α ≤ βF Нет верного ответа.


A 7.5

B 2.5

C 0.75

D 0.25

E 0.5



1

Z22+Z


A F7,2

B F1,7

C F1,2

D t2

E F2,7


y y

y +6/3/23+ yВопрос 14 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется

A Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна








B E(θ̂n)→ θ

C Var(θ̂n)→ 0

D P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

E E(θ̂n) = θ



A LR = ln 68, χ2n−2

B LR = ln 34, χ2n−2

C LR = 34, χ2n−1

D LR = 68, χ22

E LR = 34, χ22



A (θ + 1)∑xi

B (θ + 1)n∏xθi

C (θ + 1)xnθ

D (∑xi)

θ

E∑

(θ + 1)xθi





A 79

B 39

C 139

D 179

E 100



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 100/11

B 1/11

C 1/10

D 11/100

E 10


y y

y +6/4/22+ yВопрос 20 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что

A µ̂MM < µ̂ML

B они не равны, и не сближаются при n →∞

C они равны

D они не равны, но сближаются при n→∞

E µ̂MM > µ̂ML



A Отвергается


C Не отвергается

D Отвергается, только если Ha : σ > 1

E Отвергается, только если Ha : σ < 1










A 0.58

B 0.87

C 0.78

D 0.98

E 0.85



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 100/11

B 3

C 3.3

D 0.33

E 10



A tn

B N(0, 1)

C χ2n−1

D tn−1

E χ2n


y y


(10 33 8



A 2

B 18

C 15

D 6

E 12




A χ21

B χ23

C χ22

D χ24

E t2



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−1

B N(0, 1)

C tn−3

D χ2n−4

E F1,n−2



A tn

B N(0, 1)

C χ2n

D χ2n−1

E tn−1



A 0.2

B 0.4

C 0.1

D 0.5

E 0.3



A Гипотеза H0 отвергается на уровне значимости 10%, но не на уровне значимости 5%




E Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости


y y

y +6/6/20+ yВопрос 32 ♣ Среди 100 случайно выбранных ацтеков 20 платят дань Кулуакану, а 80 —Аскапоцалько. Соответственно, оценка доли ацтеков, платящих дань Кулуакану, равна p̂ = 0.2.Разумная оценка стандартного отклонения случайной величины p̂ равна

A 0.016

B 0.04

C 0.4

D 0.16

E 1.6



A χ2n1+n2−1

B tn1+n2−2

C tn1+n2

D Fn1,n2

E tn1+n2−1



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi+4

n

B∑x2i−4

∑xi+2

n

C∑x2i−4

∑xi

n

D∑x2i−4

∑xi

n + 2

E∑x2i−4

∑xi

n + 4


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A tn

B χ2n−1

C tn−1

D N(0, 1)

E χ2n



A 0.78

B 0.98

C 0.87

D 0.85

E 0.58



A они не равны, но сближаются при n→∞B они не равны, и не сближаются при n →∞

C µ̂MM < µ̂ML

D они равны

E µ̂MM > µ̂ML














σ̂22/n2


A Fn1−1,n2−1

B tn1+n2−1

C Fn1,n2

D χ2n1+n2

E N(0; 1)


y y

y +7/2/17+ yВопрос 6 ♣ Пусть X1, . . . , Xn — выборка объема n из равномерного на [a, b] распределения.Оценка X1 +X2 параметра c = a+ b является

A несмещенной и состоятельной

B смещенной и состоятельной

C смещенной и несостоятельной

D несмещенной и несостоятельной

E асимптотически несмещенной и состоя-тельной



10 33 8



A 2

B 12

C 6

D 15

E 18



A 0.016

B 0.4

C 0.04

D 1.6

E 0.16



A α+ β ≥ 1

B α+ β ≤ 1

C α ≤ βD α ≥ β

E α+ β = 1



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi

n

B∑x2i−4

∑xi+2

n

C∑x2i−4

∑xi

n + 4

D∑x2i−4

∑xi+4

n

E∑x2i−4

∑xi

n + 2



A 0.5

B 0.25

C 0.75

D 2.5

E 7.5




A µ

B σ2

C σ2/n

D (n− 1)σ2

E σ̂2


y y

y +7/3/16+ yВопрос 13 ♣ Функция правдоподобия, построенная по случайной выборке X1, . . . , Xn израспределения с функцией плотности f(x) = (θ + 1)xθ при x ∈ [0; 1] имеет вид

A (∑xi)

θ

B (θ + 1)xnθ

C (θ + 1)n∏xθi

D∑

(θ + 1)xθi

E (θ + 1)∑xi



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 0.33

B 3.3

C 100/11

D 3

E 10



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−3

B F1,n−2

C N(0, 1)

D χ2n−4

E tn−1



A 0.01

B 0.1

C 1

D 10

E 100



A tn1+n2−2

B tn1+n2

C tn1+n2−1

D χ2n1+n2−1

E Fn1,n2



A 0.4

B 0.3

C 0.1

D 0.5

E 0.2







E 53, H0 отвергается


y y

y +7/4/15+ yВопрос 20 ♣ По случайной выборке из 100 наблюдений было оценено выборочное среднееX̄ = 20 и несмещенная оценка дисперсии σ̂2 = 25. В рамках проверки гипотезы H0 : µ = 15против альтернативной гипотезы Ha : µ > 15 можно сделать следующее заключение










A 79

B 179

C 39

D 139

E 100



1

Z22+Z


A F2,7

B F7,2

C t2

D F1,2

E F1,7



A 80

B 4

C 25

D 3/4

E 4/3



A χ2n−1

B tn−1

C N(0, 1)

D tn

E χ2n



A 1n

∑2ni=n+1Xi

B X1+X2

2

C 1n

∑ni=1Xi

D X1

E 12n

∑2ni=1Xi


y y

y +7/5/14+ yВопрос 26 ♣ Датчик случайных чисел выдал следующие значения псевдо случайной величи-ны: 0.78, 0.48. Вычислите значение критерия Колмогорова и проверьте гипотезу H0 о соответ-ствии распределения равномерному на [0; 1]. Критическое значение статистики Колмогорова дляуровня значимости 0.1 и двух наблюдений равно 0.776.








A LR = ln 68, χ2n−2

B LR = ln 34, χ2n−2

C LR = 68, χ22

D LR = 34, χ2n−1

E LR = 34, χ22



A Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна

B Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

C Единица минус вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна


E Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна



Ak

√kX

k

B k

√(k + 1)Xk

Ck√kXk

D k

√(k + 1)X

k

E k+1

√(k + 1)X

k




A 3n ln a− an lnxi

B 3n∏

ln a− axnC 3n ln a− a

∑xi

D 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

E 3n ln a− a∏

lnxi



A Не отвергается


C Отвергается

D Отвергается, только если Ha : σ < 1



y y



A χ24

B t2

C χ23

D χ21

E χ22



A E(θ̂n)→ θ


C E(θ̂n) = θ

D Var(θ̂n)→ 0

E P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 1/10

B 100/11

C 1/11

D 10

E 11/100


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y








E 24, H0 не отвергается



A tn1+n2−1

B χ2n1+n2−1

C tn1+n2−2

D Fn1,n2

E tn1+n2












A 0.2

B 0.4

C 0.5

D 0.3

E 0.1



10 33 8



A 12

B 6

C 18

D 15

E 2


y y



A χ22

B t2

C χ23

D χ21

E χ24



A 1.6

B 0.4

C 0.016

D 0.16

E 0.04




A (n− 1)σ2

B σ2/n

C σ̂2

D µ

E σ2



A tn−1

B χ2n

C χ2n−1

D N(0, 1)

E tn



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 10

B 3

C 100/11

D 0.33

E 3.3



A α ≥ βB α+ β ≥ 1

C α+ β ≤ 1

D α ≤ βE α+ β = 1



A несмещенной и несостоятельнойB асимптотически несмещенной и состоя-

тельнойC несмещенной и состоятельной

D смещенной и состоятельной



y y




A 79

B 100

C 39

D 139

E 179





C Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости





∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 11/100

B 1/11

C 100/11

D 10

E 1/10




A 3n∏

ln a− axn

B 3n ln a− a∏

lnxi


D 3n ln a− a∑xi

E 3n∑

ln ai − a∑

lnxi



Ak

√kX

k

B k

√(k + 1)Xk

C k+1

√(k + 1)X

k

Dk√kXk

E k

√(k + 1)X

k



A χ2n

B tn

C χ2n−1

D tn−1

E N(0, 1)


y y

y +8/4/8+ yВопрос 19 ♣ Величины Z1, Z2, . . . , Zn независимы и нормальны N(0, 1). Случайная величинаZ1

√n−3√∑n

i=4 Z2i


A χ2n−4

B N(0, 1)

C F1,n−2

D tn−3

E tn−1



A 0.1

B 100

C 1

D 0.01

E 10



A они не равны, но сближаются при n→∞B µ̂MM > µ̂ML


D µ̂MM < µ̂ML

E они равны



A 0.85

B 0.87

C 0.98

D 0.78

E 0.58



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi

n + 4

B∑x2i−4

∑xi

n

C∑x2i−4

∑xi+2

n

D∑x2i−4

∑xi

n + 2

E∑x2i−4

∑xi+4

n



A 80

B 25

C 4

D 4/3

E 3/4



A Отвергается, только если Ha : σ 6= 1

B Отвергается

C Отвергается, только если Ha : σ < 1

D Не отвергается



y y


A (∑xi)

θ

B (θ + 1)n∏xθi

C (θ + 1)xnθ

D∑

(θ + 1)xθi

E (θ + 1)∑xi



A Вероятность принять неверную гипотезу



D Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

E Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна



1

Z22+Z


A F2,7

B F1,2

C F7,2

D F1,7

E t2





σ̂22/n2


A Fn1,n2

B Fn1−1,n2−1

C tn1+n2−1

D N(0; 1)

E χ2n1+n2



A LR = 34, χ22

B LR = ln 68, χ2n−2

C LR = ln 34, χ2n−2

D LR = 68, χ22

E LR = 34, χ2n−1









y y

y +8/6/6+ yВопрос 32 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если

A E(θ̂n) = θ


C P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

D Var(θ̂n)→ 0

E E(θ̂n)→ θ



A 1n

∑2ni=n+1Xi

B X1

C 12n

∑2ni=1Xi

D X1+X2

2

E 1n

∑ni=1Xi



A 0.5

B 0.75

C 7.5

D 2.5

E 0.25


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A 0.5

B 0.2

C 0.3

D 0.4

E 0.1



A Вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда она верна

B Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

C Вероятность принять неверную гипотезу


E Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна





A 79

B 139

C 100

D 179

E 39










A tn−1

B tn

C N(0, 1)

D χ2n−1

E χ2n


y y


(10 33 8



A 12

B 15

C 2

D 18

E 6


Вопрос 7 ♣ Николай Коперник подбросил бутерброд 200 раз. Бутерброд упал маслом вниз 95раз, а маслом вверх — 105 раз. Значение критерия χ2 Пирсона для проверки гипотезы о равнойвероятности данных событий равно

A 2.5

B 7.5

C 0.75

D 0.25

E 0.5



2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi

n

B∑x2i−4

∑xi+4

n

C∑x2i−4

∑xi

n + 2

D∑x2i−4

∑xi+2

n

E∑x2i−4

∑xi

n + 4



A 4

B 80

C 25

D 4/3

E 3/4



A 0.4

B 0.16

C 1.6

D 0.016

E 0.04



A χ2n−1

B N(0, 1)

C χ2n

D tn−1

E tn




A µ

B σ2/n

C σ2

D (n− 1)σ2

E σ̂2


y y

y +9/3/2+ yВопрос 13 ♣ Последовательность оценок θ̂1, θ̂2, . . . называется состоятельной, если

A E(θ̂n) = θ

B P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

C E(θ̂n)→ θ

D Var(θ̂n)→ 0




A 100

B 0.1

C 10

D 0.01

E 1






D Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости






σ̂22/n2


A tn1+n2−1

B N(0; 1)

C Fn1−1,n2−1

D χ2n1+n2

E Fn1,n2



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 0.33

B 100/11

C 3.3

D 3

E 10




A χ24

B χ23

C χ21

D t2

E χ22



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A χ2n−4

B tn−1

C N(0, 1)

D tn−3

E F1,n−2


y y


A 0.98

B 0.58

C 0.78

D 0.87

E 0.85



1

Z22+Z


A F7,2

B F1,2

C t2

D F1,7

E F2,7



∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 100/11

B 1/10

C 1/11

D 10

E 11/100











A 3n∏

ln a− axn

B 3n ln a− a∑xi

C 3n ln a− a∏

lnxi

D 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

E 3n ln a− an lnxi



A Fn1,n2

B tn1+n2−2

C χ2n1+n2−1

D tn1+n2−1

E tn1+n2


y y

y +9/5/60+ yВопрос 26 ♣ Бессмертный гений поэзии Ли Бо оценивает математическое ожидание по вы-борка размера n из нормального распределения. Он построил оценку метода моментов, µ̂MM , иоценку максимального правдоподобия, µ̂ML. Про эти оценки можно утверждать, что

A они равны

B µ̂MM < µ̂ML

C µ̂MM > µ̂ML

D они не равны, но сближаются при n→∞E они не равны, и не сближаются при n →∞












A α+ β ≤ 1

B α ≥ βC α ≤ βD α+ β = 1

E α+ β ≥ 1



Ak

√kX

k

B k

√(k + 1)Xk

C k

√(k + 1)X

k

D k+1

√(k + 1)X

k

Ek√kXk



A LR = 34, χ22

B LR = 34, χ2n−1

C LR = ln 34, χ2n−2

D LR = ln 68, χ2n−2

E LR = 68, χ22



A 1n

∑2ni=n+1Xi

B X1

C 1n

∑ni=1Xi

D X1+X2

2

E 12n

∑2ni=1Xi


y y


A∑

(θ + 1)xθi

B (∑xi)

θ

C (θ + 1)n∏xθi

D (θ + 1)∑xi

E (θ + 1)xnθ



A смещенной и состоятельной

B смещенной и несостоятельной

C несмещенной и несостоятельной

D асимптотически несмещенной и состоя-тельной

E несмещенной и состоятельной





C Отвергается




y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y




A k+1

√(k + 1)X

k

Bk

√kX

k

Ck√kXk

D k

√(k + 1)Xk

E k

√(k + 1)X

k










A χ2n

B tn

C tn−1

D N(0, 1)

E χ2n−1



A LR = 34, χ2n−1

B LR = 34, χ22

C LR = ln 68, χ2n−2

D LR = ln 34, χ2n−2

E LR = 68, χ22











y y

y +10/2/56+ yВопрос 6 ♣ Если P-значение (P-value) больше уровня значимости α, то гипотеза H0 : σ = 1


B Отвергается







A χ23

B t2

C χ21

D χ22

E χ24






D 53, H0 отвергается




∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x


дисперсии принимает значение

A 100/11

B 10

C 1/10

D 1/11

E 11/100



A 0.75

B 0.5

C 7.5

D 2.5

E 0.25



A 0.2

B 0.5

C 0.4

D 0.3

E 0.1


y y

y +10/3/55+ yВопрос 12 ♣ Вероятностью ошибки второго рода называется

A Единица минус вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна

B Вероятность принять неверную гипотезу


D Вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна





B µ̂MM > µ̂ML

C µ̂MM < µ̂ML

D они равны




A несмещенной и несостоятельной

B смещенной и несостоятельной

C смещенной и состоятельной

D асимптотически несмещенной и состоя-тельной

E несмещенной и состоятельной



10 33 8



A 15

B 12

C 2

D 6

E 18




A 3n∑

ln ai − a∑

lnxi

B 3n ln a− a∏

lnxi

C 3n ln a− a∑xi

D 3n∏

ln a− axnE 3n ln a− an lnxi



A P(|θ̂n − θ| > t)→ 0 для всех t > 0

B Var(θ̂n)→ 0

C E(θ̂n) = θ

D Var(θ̂n) ≥ Var(θ̂n+1)

E E(θ̂n)→ θ


y y


A 0.87

B 0.85

C 0.78

D 0.58

E 0.98



A 25

B 4

C 4/3

D 80

E 3/4



A (θ + 1)n∏xθi

B (∑xi)

θ

C (θ + 1)∑xi

D∑

(θ + 1)xθi

E (θ + 1)xnθ



A tn1+n2−1

B χ2n1+n2−1

C Fn1,n2

D tn1+n2−2

E tn1+n2



A 1.6

B 0.04

C 0.16

D 0.4

E 0.016





A 39

B 139

C 100

D 79

E 179


y y

y +10/5/53+ yВопрос 24 ♣ Геродот Геликарнасский проверяет гипотезу H0 : µ = 2. Лог-функция правдопо-добия имеет вид `(µ, ν) = −n2 ln(2π)− n

2 ln ν−∑n



A∑x2i−4

∑xi

n + 4

B∑x2i−4

∑xi+4

n

C∑x2i−4

∑xi

n + 2

D∑x2i−4

∑xi+2

n

E∑x2i−4

∑xi

n





C Гипотеза H0 отвергается на любом разумном уровне значимости


E Гипотеза H0 не отвергается на любом разумном уровне значимости



A 1

B 0.01

C 10

D 100

E 0.1



A α+ β = 1

B α+ β ≥ 1

C α+ β ≤ 1

D α ≥ βE α ≤ βF Нет верного ответа.



A σ2

B µ

C σ2/n

D (n− 1)σ2

E σ̂2



A χ2n−1

B tn

C tn−1

D χ2n

E N(0, 1)


y y

y +10/6/52+ yВопрос 30 ♣ Пусть X1, X2, . . . , X11 — выборка из распределения с математическим ожида-нием µ и стандартным отклонением σ. Известно, что

∑11i=1 xi = 33,

∑11i=1 x



A 0.33

B 3

C 100/11

D 3.3

E 10



A 12n

∑2ni=1Xi

B X1

C 1n

∑ni=1Xi

D 1n

∑2ni=n+1Xi

E X1+X2

2



1

Z22+Z


A F2,7

B F7,2

C t2

D F1,2

E F1,7



√n−3√∑n

i=4 Z2i


A tn−3

B tn−1

C χ2n−4

D F1,n−2

E N(0, 1)





σ̂22/n2


A N(0; 1)

B tn1+n2−1

C Fn1,n2

D χ2n1+n2

E Fn1−1,n2−1


y y


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




































y y

y +1/1/60+ · Вопрос 25 | Каждое утро в 8:00 Иван Андреевич...

Documents