XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

1

Professor: Leandro Brandão

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase – Nível 1

6o ou 7o anos (antigas 5ª e 6ª séries) Prova realizada em 2008

01) Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove

desses segmentos podemos formar um triângulo eqüilátero de lado 3 cm. Com qual número de

segmentos a seguir é impossível formar um triângulo?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

(A) Com 4 segmentos é impossível formar um triângulo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e

2, o que impossibilita tal formação.

02) Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de

leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa

ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinqüenta reais e quer saber

quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para

este problema?

A) 80,018)12,370,4(550 B) 5080,06312,3570,45

C) 5080,063)12,370,4(5 D) 80,063)12,370,4(550

E) 80,06)12,370,4(550

1. (C) Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de

iogurte com 6 iogurtes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto com esses itens é

80,06312,3570,45 80,063)12,370,4(5 . Como ela paga com uma

nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco

5080,063)12,370,4(580,063)12,370,4(550 .

03) Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte

pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere?

Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da

pesquisa aparece nos gráficos abaixo:

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

2

Podemos concluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferência das

cores é:

A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I

(B) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.

Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A quantidade de pessoas cuja preferência

é pela cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens, ou seja,

0,19 0,50 0,69n n n ; pela cor II é de 0,33 0,32 0,65n n n e pela cor III é

0,48 0,18 0,66n n n . Nesse caso, a ordem de preferência das cores é II, III, I.

Observação: nessas situações, quando se fala em ordem, é usual colocarmos em

ordem crescente. Porém, serão consideradas corretas as duas maneiras: crescente ou

decrescente.

04) O quociente e o resto na divisão de 26097 por 25 são, respectivamente:

A) 1043 e 22 B) 1044 e 3 C) 143 e 22 D) 1044 e 22 E) 144 e 3

05) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um

número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das

pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um

projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista.

Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista?

A) 2 B) 6 C) 20 D) 41 E) 62

C) Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas que tinham um número par e múltiplo

de 3, que no intervalo dado é o conjunto 6,12,18, ...,120 . Como

1 6 6, 2 6 12, 3 6 18, ..., 20 6 120 , há 20 números nesse conjunto.

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

3

06) Sobre uma mesa retangular de uma sala foram

colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma

câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou

o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa

melhor essa fotografia?

(E) Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao cubo menor. O esboço que

representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E.

07) Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe

foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

(B) De todos os alunos dessa classe, 60% (22 18) 0,60 40 24 foram prestar trabalho

comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando

número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolveram, restando

assim o mínimo de 24 22 2 vagas para as meninas.

08) Uma urna contém 2008 cartões. Cada cartão recebeu um número diferente, a partir do número

1 até o 2008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os números dos cartões. Quantos

números ímpares diferentes podem ser obtidos dessa maneira?

A) 1004 B) 1005 C) 2007 D) 2008 E) 4016

(C) A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a

soma é par). O menor resultado que satisfaz as condições dadas é 321 e o maior,

401520082007 , e pode-se obter qualquer ímpar entre 3 e 4015 com os números

disponíveis nos cartões, ou seja, os números ímpares que podem ser obtidos estão no

conjunto 4015...,,7,5,3 .

No conjunto 4016,4015...,,7,6,5,4,3,2,1 há 4016 números, dentre os quais não nos

interessa os 200824016 pares e o número 1. Logo a quantidade de números ímpares

diferentes que pode ser obtida dessa maneira é 2007120084016 .

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

4

09) Juntando quatro trapézios iguais de bases 30 cm e 50 cm,

como o da figura ao lado, podemos formar um quadrado de área

2500 cm2, com um “buraco” quadrado no meio. Qual é a área

de cada trapézio, em cm2?

50 cm

45o

45o

30cm

A) 200 B) 250 C) 300 D) 350 E) 400

(E) Juntando os quatro trapézios, formamos um quadrado de área 2500 cm2. Como o “buraco”

quadrado no meio tem área 9003030 cm2, a área de cada um dos 4 trapézios, em cm2, é

400416004)9002500( .

10) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares?

A) 20 B) 48 C) 100 D) 125 E) 225

(D) Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades

para o algarismo C : 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os

algarismos A e B deverão preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para

cada um. Logo 125555 números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.

11) Sabe-se que 9

2 do conteúdo de uma garrafa enchem

6

5 de um copo. Para encher 15 copos

iguais a esse, quantas garrafas deverão ser usadas?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

(C) Serão necessárias 4garrafas5

6

9

215

copos

garrafascopos15

65

92

garrafas.

12) Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

(E) Podem ser construídos 10316 quadrados com vértices nos

pontos do reticulado, conforme mostra a seqüência de desenhos a seguir.

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

5

13) A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008.

Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

(C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo 14 de junho de 2009 será um

domingo, de 2010 será uma segunda-feira, de 2011 será uma terça-feira, de 2012 (que é bissexto)

será uma quinta-feira, de 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, de 2014 será um sábado.

Portanto a próxima vez que o dia 14 de junho será num sábado acontecerá daqui a 6 anos.

14) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e

são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão

?

A) 5

3 B)

5

4 C) 1 D)

4

5

E) 3

5

(D) Como CE CD , ( ) (180 20 ) 2 80m CÊD . Logo ( ) 180 80 100m CÊB e,

como BE CE , (180 100 ) 2 40 . Além disso, ( ) ( ) 80m BÊA m CÊD e, como

AE BE , (180 80 ) 2 50 . Portanto o valor da razão

é

50 5

440 .

15) Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente

iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores

desses algarismos?

A) 17 B) 27 C) 37 D) 47 E) 57

(C) Vemos a multiplicação de um número de três algarismos por um outro de dois algarismos

terminado em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 ou 97. Desses 9 números, o

único divisor de 6157 é 47, o que nos dá 131476157 . Assim, a multiplicação é:

6157

524

917

47

131

E a soma dos números substituídos pelo sinal * é 374257194131 .

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

6

16) Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes

são: Arnaldo (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho único e o mais novo dos três

amigos. Cernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de Arnaldo. Os nomes do

médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são:

A) A, B, C B) C, A, B C) B, A, C D) B, C, A E) A, C, B

(C) Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e não é o mais novo, e o médico é filho

único, Bernaldo é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos e como Cernaldo é mais

velho que o engenheiro, Arnaldo é o engenheiro e Cernaldo é o professor.

17) Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo

retângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda

juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e,

contornando as beiradas com um lápis, obteve uma

figura como a ao lado, que está fora de escala. Qual é o

perímetro dessa figura?

A) 28 cm B) 35 cm C) 42 cm D) 43 cm E) 60 cm

(C) Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse

modo, temos:

5

12

12

A

B

C

D

Como os ângulos e são iguais, pois os lados de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é

isósceles e, portanto, AB BC e BD AB . Conseqüentemente, BD BC e, assim,

13BD BC AD cm . Finalmente, o perímetro procurado é 12 5 12 13 42 cm .

18) Qual é o maior número de algarismos que devem ser apagados do número de 1000 algarismos

20082008…2008, de modo que a soma dos algarismos restantes seja 2008?

A) 130 B) 260 C) 510 D) 746 E) 1020

. (D) A estratégia para apagar o maior número de algarismos é eliminar a maior quantidade

possível de algarismos de menor valor. Vamos começar pelos 50021000 zeros que

aparecem no número. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 algarismos 8, cuja soma é

2500200050082502250 . Apagamos agora a maior quantidade de algarismos 2 e

como 49220082500 , podemos atingir nossa meta apagando 2462492 algarismos 2.

Portanto o maior número de algarismos que devem ser apagados é 746246500 .

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

7

19) Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar

cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco

partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados

da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser

girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120

C) ou (D) ambas devem ser consideradas como resposta correta.

(C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4

cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte

com uma cor diferente, e isso pode ser feito de 64

1234

maneiras de modo que

não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras

iguais de se pintar os cartões, pois girando-se cada uma delas, obtém-se as outras três.

Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá

produzir 3065 cartões diferentes.

(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então

só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

20) Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo

momento por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro A passa por Americanópolis, 20

quilômetros à frente do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C. Quando o carro B passar por

Americanópolis, quantos quilômetros estará à frente do carro C?

A) 20 B) 25,5 C) 30 D) 35 E) 37,5

(E) No trajeto de 100 km, como o carro A passa por Americanópolis 20 quilômetros à frente do

carro B, o carro B já percorreu 8020100 km do trajeto e, de forma análoga, o carro C já

percorreu 5050100 km do mesmo trajeto. Perceba que, enquanto o carro B percorre 80 km,

XXX Olimpíada Brasileira de Matemática – Primeira Fase – Nível 1 www.obm.org.br

8

o carro C percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C percorre 1 km, o carro B percorre

6,15080 km. Assim, quando o carro B passar por Americanópolis, tendo percorrido os 20

km que lhe faltam, o carro C terá percorrido 5,126,120 km e estará

5,37)5,1250(100 km atrás do carro B.