XXIII Санкт-Петербургскаяастрономическая олимпиада

отборочный тур, решения

20163 декабря24 января

5–6 классы

1. В каком городе — в Москве или в Санкт-Петербурге — Сириус может подниматься вышенад горизонтом?

Решение (8 баллов):

Сириус — звезда южного полушария. Это означает, что в северном полушарии Землинаибольшей высоты над горизонтом он достигает над южной половиной горизонта.

В таком случае, чем южнее находится город северного полушария (т.е. чем меньше егоширота), тем выше над горизонтом может подниматься Сириус. Лучше всего понять это,поработав со звездным глобусом или компьютерным планетарием, настраивая их на раз-ные широты. Но можно и нарисовать очень схематичный рисунок, подобный приведенно-му. На нем плоскость горизонта Санкт-Петербурга обозначена синей линией, Москвы —красной, для наглядности города изображены на одном меридиане, а разность междуширотами сильно преувеличена. При рисовании нужно понимать, что звезды, в том чис-ле и Сириус, находятся чрезвычайно далеко по сравнению с радиусом Земли, поэтомудля рисования схемы лучше взять лист бумаги побольше, а Землю нарисовать поменьше.

плоскость экватора Земли

С

Ю

СПб

М

Сириус

Москва (широта 56◦ с.ш.) южнее Санкт-Петербурга (широта 60◦ с.ш.), следовательно,в Москве Сириус поднимается выше.

Следует заметить, что для околополярных звезд, которые наибольшей высоты достига-ют над северной частью горизонта, ситуация обратная. Если какая-то звезда достигаетнаивысшей высоты над горизонтом на севере в обоих городах (северного полушария),то чем южнее город, тем меньше эта наибольшая высота. Самый очевидный пример та-кой звезды — это Полярная звезда. Известно, что высота Полярной звезды над горизон-том (которая практически не меняется в течение суток) практически равна широте местанаблюдения. Следовательно чем меньше широта, тем меньше высота Полярной, вплотьдо того, что на экваторе Полярная находится почти на горизонте.

2. Школьник Миша, выйдя на улицу, увидел Луну в первой четверти рядом со звездой ЗубенЭльгенуби. Помогите Мише узнать, будет ли через неделю лунное затмение. Почему?

Решение (8 баллов):

Орбита Луны наклонена к эклиптике (той линии, по которой Солнце движется по небув течение года) на довольно большой угол (5◦) по сравнению с угловыми размерами Лу-ны, Солнца и земной тени. Именно поэтому затмения бывают не каждый месяц. Чтобыпроизошло лунное затмение, нужно выполнение одновременно двух условий:

(a) Луна находится в фазе полнолуния;

(b) Луна располагается достаточно близко к эклиптике, чтобы попасть в земную тень,т.е. находится рядом с так называемым узлом своей орбиты — точкой пересеченияорбиты Луны и эклиптики.

Проверим, выполнятся ли через неделю условия, необходимые для затмения. Полнаясмена лунных фаз (так называемый синодический месяц) занимает примерно 1 месяц(в среднем 29.5 суток). Первая четверть — это растущая Луна. Следовательно, черезнеделю (т.е. четверть месяца) наступит полнолуние и первое условие будет выполнено.Звезда Зубен Эльгенуби — α2 зодиакального созвездия Весы — находится практическина эклиптике. Следовательно Луна в первой четверти, которую увидел Миша, также бы-ла на эклиптике. Период обращения Луны вокруг Земли также примерно равен месяцу(точнее 27.3 суток). Таким образом за неделю Луна пройдет примерно четверть длинысвоей орбиты вокруг Земли и тем самым максимально отойдет от эклиптики (см. рисунок[не в масштабе, угол преувеличен]).

тень ЗемлиСолнце Земля

Луна в первой четверти

Луна в полнолунии

орбита Луны

плоскость эклиптики

5◦

Следовательно, второе условие не выполнится и затмения не будет.

3. На какой планете Солнечной Системы можно наблюдать самый продолжительный восходСолнца? Почему?

Решение (8 баллов):

Для того, чтобы полностью взойти над горизонтом, диск Солнца должен пройти свойугловой диаметр D� (см. рисунок, где для наглядности изображен восход на экваторепланеты).

горизонтD�

Следовательно, продолжительность восхода Солнца на планете определяется видимымразмером диска Солнца и скоростью его движения по небу планеты. На всех широтах,кроме полюсов, скорость движения Солнца по небу определяется продолжительностьюсолнечных суток планеты, т.е. периода, за который Солнце совершает полный оборот

по небу (не путать с истинным периодом вращения планеты вокруг свой оси!). Таким обра-зом, чем больше угловой размер Солнца на планете и чем дольше длятся на ней солнечныесутки, тем дольше будет длится «обычный» восход. Всем этим условиям удовлетворяетМеркурий, солнечные сутки на котором длятся 176 земных суток (дольше, чем на любойдругой планете Солнечной системы) и который ближе всех планет к Солнцу, так что ви-димый размер Солнца на нем самый большой. Следовательно, самый продолжительный«обычный» восход Солнца можно наблюдать на Меркурии.

Если же мы переберемся на полюс любой планеты Солнечной системы (кроме Мерку-рия, на полюсах которого Солнце никогда не восходит), то там примерно по полгода на-блюдается либо полярный день, либо полярная ночь. Таким образом «солнечные сутки»на полюсах по продолжительности равны году планеты, т.е. периоду ее полного оборотапо орбите вокруг Солнца. Следовательно, на полюсах скорость пересечения диском Солн-ца горизонта определяется периодом обращения планеты вокруг Солнца. За счет такогоэффекта самый длительный восход Солнца можно наблюдать на полюсах Нептуна, пери-од обращения которого вокруг Солнца — 165 земных лет — самый большой среди планетСолнечной системы, даже несмотря на малость углового размера Солнца на Нептуне.

Для того, чтобы выбрать из этих двух вариантов (Меркурий и Нептун) наибольший,требуются трудоемкие вычисления, поэтому каждый из этих вариантов мы будем считатьправильным ответом (естественно, при его достаточном обосновании).

4. Перечислите все созвездия неба, граничащие хотя бы в одной точке с созвездием Эридан.

Решение (8 баллов):

Кит, Телец, Орион, Заяц, Резец, Часы, Южная Гидра, Тукан (граничит в одной точке),Феникс, Печь.

5. Почтовый космический корабль летит из центра галактики Водоворот (она же M51) в бли-жайшую к M51 галактику-спутник вдоль спирального рукава, их связывающего. Найдитеснимок галактики M51 и оцените расстояние, которое должен будет преодолеть корабль.Во сколько раз этот путь длиннее, чем путь по прямой?

Решение (8 баллов):

На просторах интернета можно найти немало снимков галактики Водоворот (M51).Ниже приведено изображение, взятое с сайта Astronomy Pictures of the Day(http://apod.nasa.gov/apod/ap100611.html). Красными пятнами отмечено положение обла-ков водорода (так называемых, областей HII). На этой же странице можно заметить, чтодиаметр галактики M51 составляет примерно 60 000 световых лет.

Это спиральная галактика, удаленная от нас на расстояние примерно 23 млн св. года. Уче-ным крупно повезло, что эта галактика видна плашмя. Этот факт позволяет подробно изу-чать спиральную структуру данной галактики. На снимке очевидно, что M51 взаимодей-ствует со своим спутником (его обозначают как NGC 5195), который выглядит как светлоепятно справа от M51. Взаимодействие заключается как раз в том, что один из спираль-ных рукавов от центра галактики Водоворот идет прямо до галактики-спутника. Вообще,спиральный рукав, по современным представлениям, — это волна плотности звездооб-разования, то есть это область, в которой много молодых ярких звезд. Именно поэтомуспирали хорошо видны на снимках.

Можно заметить, что спиральная структура у этой галактики не такая простая: спиралиимеют различные ответвления, начинаются не прямо из центра галактики, в них при-сутствует пыль. Будем считать, что вдоль пылевого рукава почтовому кораблю лететьнезачем (там могут водиться всякие галактические пираты), поэтому он путешествуетвдоль наиболее населенного звездами рукава (он же сильнее усеян облаками водорода),никуда не сворачивая по пути. А конечной точкой его путешествия будет центр галактики-спутника — самая яркая точка в его центре (выбор иной точки в пределах спутника ответ

принципиально не меняет). Значит, необходимо придумать способ измерить длину этогоспирального рукава и сравнить ее с расстоянием по прямой.

Сначала измерим диаметр этой галактики в сантиметрах, чтобы получить масштаб изоб-ражения, то есть сколько световых лет содержится в одном сантиметре изображения (ши-рина фото 18 см). Это можно сделать линейкой, помня, что диаметр проходит через центр.Получится значение около 8.5 см (красная линия на втором рисунке). Вычислим масштабизображения:

60000 св. лет8.5 см

≈ 7000 св. лет в см

Значение взято примерным, т.к. на самом деле, точный размер M51 отличается от приве-денного значения, диаметр можно было взять немного другой и получить отличающеесязначение.

Теперь померяем линейкой расстояние от центра M51 до центра NGC 5159. Получитсяоколо 6.7 см (обозначено зеленой линией). Это означает, что реальное расстояние равно6.7 см× 7000 св. лет в см = 46900 св. лет.

Осталось самое сложное: выяснить длину пути по спирали. Довольно понятно, что при-кладывать линейку к изображению спирали не очень эффективно. Лучше всего взятьнитку и постараться максимально точно описать при помощи нее ветвь спирали (жел-тая линия). То есть один конец приложить к центру галактики-спутника, а далее вестинитку по спирали, следя за тем, чтоб она не сильно из нее выходила. По достижениюцентра M51 поставить пометку на нитке, нитку убрать и измерить полученный отрезокнитки линейкой. Затем стоит приложить нитку во второй раз и получить вторую отмет-ку. Если отметки совпали, значит предыдущее измерение было произведено достаточнохорошо. Если нет — приложить нитку в третий раз. Таким образом будут получены триотметки. Несколько измерений позволяют избежать сильной погрешности в измерениидлины спирали. Теперь необходимо взять среднее значение длины нитки из этих трех,тогда получится длина спирали около 29.5 см.

Вычислим реальное расстояние вдоль спирали, которое должен пролететь почтовый ко-рабль: 29.5 см × 7000 св. лет в см = 206500 св. лет. Осталось не забыть найти отноше-ние двух расстояний: вдоль спирали и по прямой. Достаточно понятно, что можно най-ти отношение измеренных величин в сантиметрах, т.к. они однозначно связаны с реаль-ными расстояниями в галактике M51. Получаем, что путь по спирали длиннее прямогов 29.5 см/6.7 см = 4.4 раза.

http://school.astro.spbu.ru